Рубрика: Школьная жизнь

График функции y = sqrt(x-3)

Решение

$$f{\left (x \right )} = \sqrt{x — 3}$$

[LaTeX]

[LaTeX]

Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$

[LaTeX]

(0, i*sqrt(3))

[LaTeX]

[LaTeX]

[LaTeX]

[LaTeX]

[LaTeX]

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x — 3} = \sqrt{- x — 3}$$
— Нет
$$\sqrt{x — 3} = — \sqrt{- x — 3}$$
— Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

www.kontrolnaya-rabota.ru

Функция y = √x. Её свойства и график. Решение задач. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Данный урок мы посвятим решению типовых задач на построение графика функции . Вспомним определение квадратного корня.

Определение. Квадратным корнем из неотрицательного числа  называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен .

.

Изобразим график  – это правая ветвь параболы (рис. 1).

Рис. 1.

На графике наглядно виден смысл вычисления квадратного корня. Например, если рассмотреть ординату 16, то ей будет соответствовать абсцисса 4, т. к. . Аналогично, ординате 9 на графике соответствует точка с абсциссой 3, поскольку , ординате 11 соответствует абсцисса , т. к.  (квадратный корень из 11 не извлекается в целых числах).

Теперь вспомним график функции  (рис. 2).

Рис. 2.

На графике для наглядности изображены несколько точек, ординаты которых вычисляются с помощью извлечения квадратного корня: , , .

Пример 1. Постройте и прочтите график функции: а) , б) .

Решение. а) Построение начинается с простейшего вида функции, т. е. в данном случае с графика  (пунктиром). Затем для построения искомого графика график функции  необходимо сдвинуть влево на 1 (рис. 3). При этом все точки графика сдвинутся на 1 влево, например, точка с координатами (1;1) перейдет в точку с координатами (0;1). В результате получаем искомый график (красная кривая). Проверить такой способ легко при подстановке нескольких значений аргумента.

Рис. 3.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до , функция возрастает от 0 до . Область определения (ОДЗ) при этом требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, т. е. .

б)  Для построения графика функции  поступим аналогичным образом. Сначала строим график  (пунктиром). Затем для построения искомого графика график функции  необходимо сдвинуть вправо на 1 (рис. 4). При этом все точки графика сдвинутся на 1 вправо, например, точка с координатами (1;1) прейдет в точку с координатами (2;1). В результате получаем искомый график (красная кривая).

Рис. 4.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до , функция возрастает от 0 до . Область определения (ОДЗ) аналогична предыдущему случаю: .

Замечание. На указанных примерах несложно сформулировать правило построения функций вида:

.

Пример 2. Постройте и прочтите график функции: а) , б) .

Решение. а) Этот пример также демонстрирует преобразование графиков функций, но только уже другого типа. Начинаем построение с простейшей функции  (пунктиром). Затем график построенной функции смещаем на 2 вверх и получаем на рисунке 5 искомый график (красная кривая). Точка с координатами (1;1) при этом, например, переходит в точку (1;3).

Рис. 5.

Прочтем график: если аргумент меняется от 0 до , функция возрастает от 2 до . Область определения (ОДЗ): .

б) Также начинаем построение с простейшей функции  (пунктиром). Затем график построенной функции (рис. 6) смещаем на 1 вниз и получаем искомый график (красная кривая). Точка с координатами (1;1) при этом, например, переходит в точку (1;0).

Рис. 6.

Прочтем график: если аргумент меняется от 0 до , функция возрастает от  до . Область определения (ОДЗ): .

Замечание. С помощью указанных примеров сформулируем правило построения функций вида:

.

Пример 3. Постройте и прочтите график функции .

Решение. Метод построения указанной функции представляет собой комбинацию двух методов, которые мы видели в предыдущих примерах. Сначала строим основную функцию  (пунктиром), затем смещаем ее на 1 вправо и на 2 вверх (рис. 7). При этом, например, точка с координатами (1;1) сначала перейдет в точку (2;1), а затем в точку (2;3). Искомая кривая изображена красным цветом.

Рис. 7.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до , функция возрастает от 2 до . Область определения (ОДЗ) – подкоренное выражение неотрицательно: .

Замечание. Как видно на указанном примере, преобразования графиков функций, которые мы рассмотрели, можно применять последовательно в комплексе.

Пример 4. Постройте и прочтите график функции .

Решение. Для построения данной составной функции изображаем ее части в приведенных диапазонах построения (рис. 8). Для этого сначала изображаем пунктиром всю функцию , затем всю функцию , а затем наводим (красная кривая) только те их области, которые заданы условием задачи. Сливаются два участка кривой в точке с координатами (1;1).

Рис. 8.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до 1, функция возрастает от 0 до , если аргумент меняется от 1 до , функция убывает от 1 до 0. Область определения (ОДЗ) – подкоренное выражение неотрицательно: .

Пример 5. Графически решить систему уравнений .

Решение. Для решения системы графическим способом необходимо построить графики функций (рис. 9), представляющих собой уравнения системы, и определить координаты их точек пересечения.

Рис. 9.

На графике изображен полезный факт, демонстрирующий, что графики квадратичной функции и квадратного корня симметричны относительно графика функции  . По графику видно, что имеем две точки пересечения, т. е. система имеет два решения. Для определения точных значений этих решений подставим стандартные значения аргумента в обе исследуемые функции: 0 и 1. При этом получим:  и , т. е. координаты точек пересечения графиков и решения системы:  и .

Ответ. (0;0), (1;1).

Пример 6. (С параметром). При каких значениях параметра  имеет решение уравнение ?

Решение. Для исследования значений параметра  воспользуемся графическим методом и построим график функции . Мы его уже строили на сегодняшнем уроке, поэтому воспользуемся готовым рисунком 10.

Рис. 10.

Прочтем график: если аргумент меняется от  до , функция возрастает от 2 до . Из этого следует, что функция принимает значения только , причем при аргументе  она принимает свое минимальное значение . Из полученного диапазона изменения  можно сделать однозначный вывод, что параметр , который в уравнении приравнивается к рассмотренной функции, может принимать такие же значения . Например, при  имеем, что , т. е. у уравнения есть корень и т. д.

Ответ..

На следующем уроке мы рассмотрим свойства квадратных корней.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математика = это легко! 😉 (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

3. Квадратный корень из х (Источник).

Домашнее задание

1. №313, 316, 317. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Решите графически уравнение .

3. Постройте график функции .

4. Решите графически уравнение: 

interneturok.ru

Функция корень x | Алгебра

Функция квадратный корень из x —

— один из частных случаев степенной функции. Эта функция не имеет своего собственного имени (в отличие от квадратичной функции или кубической функции) и называется просто формулой. График функции y равен корню из x — ветвь параболы.

Для построения графика возьмём несколько точек. Так как под знаком квадратного корня могут стоять только неотрицательные числа, значения аргумента должны бить неотрицательными. Для удобства вычислений берём x, квадратные корни из которых — целые числа:

и т.д. Таким образом, получили точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).

Результаты удобнее оформить в виде таблицы:

Эти точки отмечаем на координатной плоскости

и через них проводим график — ветвь параболы:

y=√x

Свойства функции y=√x

1) Область определения — множество неотрицательных чисел:

D: x∈[0;∞).

2) Область значений — множество неотрицательных чисел:

E: y∈[0;∞).

3) Функция имеет один нуль:

y=0 при x=0.

4) Функция возрастает на всей своей области определения:

И наоборот:

www.algebraclass.ru

Относительная молярная и молекулярная массы вещества. Молярный объем вещества

В химии не используют значения абсолютных масс молекул, а пользуются величиной относительная молекулярная масса. Она показывает, во сколько раз масса молекулы больше 1/12 массы атома углерода. Эту величину обозначают M_r.

Относительная молекулярная масса равна сумме относительных атомных масс входящих в нее атомов. Вычислим относительную молекулярную массу воды.

Вы знаете, что в состав молекулы воды входят два атома водорода и один атом кислорода. Тогда ее относительная молекулярная масса будет равна сумме произведений относительной атомной массы каждого химического элемента на число его атомов в молекуле воды:

Зная относительные молекулярные массы газообразных веществ, можно сравнивать их плотности, т. е. вычислять относительную плотность одного газа по другому – D(А/Б). Относительная плотность газа А по газу Б равна отношению их относительных молекулярных масс:

Вычислим относительную плотность углекислого газа по водороду:

.

Теперь вычисляем относительную плотность углекислого газа по водороду:

D(угл. г./водор.) = M_r(угл. г.) : M_r(водор.) = 44:2 = 22.

Таким образом, углекислый газ в 22 раза тяжелее водорода.

Как известно, закон Авогадро применим только к газообразным веществам. Но химикам необходимо иметь представление о количестве молекул и в порциях жидких или твердых веществ. Поэтому для сопоставления числа молекул в веществах химиками была введена величина – молярная масса.

Молярная масса обозначается М, она численно равна относительной молекулярной массе.

Отношение массы вещества к его молярной массе называется количеством вещества.

Количество вещества обозначается n. Это количественная характеристика порции вещества, наряду с массой и объемом. Измеряется количество вещества в молях.

Слово «моль» происходит от слова «молекула». Число молекул в равных количествах вещества одинаково.

Экспериментально установлено, что 1 моль вещества содержит  частиц (например, молекул). Это число называется числом Авогадро. А если к нему добавить единицу измерения – 1/моль, то это будет физическая величина – постоянная Авогадро, которая обозначается N_А.

Молярная масса измеряется в г/моль. Физический смысл молярной массы в том, что эта масса 1 моль вещества.

В соответствии с законом Авогадро, 1 моль любого газа будет занимать один и тот же объем. Объем одного моля газа называется молярным объемом и обозначается V_n.

При нормальных условиях (а это 0 °С и нормальное давление – 1 атм. или 760 мм рт. ст. или 101,3 кПа) молярный объем равен 22,4 л/моль.

Тогда количество вещества газа при н.у. можно вычислить как отношение объема газа к молярному объему.

ЗАДАЧА 1. Какое количество вещества соответствует 180 г воды?

ЗАДАЧА 2. Вычислим объем при н.у., который займет углекислый газ количеством 6 моль.

Список литературы

1. Сборник задач и упражнений по химии: 8-й класс: к учебнику П.А. Оржековского и др. «Химия, 8 класс» / П.А. Оржековский, Н.А. Титов, Ф.Ф. Гегеле. – М.: АСТ: Астрель, 2006. (с. 29–34)
2. Ушакова О.В. Рабочая тетрадь по химии: 8-й кл.: к учебнику П.А. Оржековского и др. «Химия. 8 класс» / О.В. Ушакова, П.И. Беспалов, П.А. Оржековский; под. ред. проф. П.А. Оржековского – М.: АСТ: Астрель: Профиздат, 2006. (с. 27–32)
3. Химия: 8-й класс: учеб. для общеобр. учреждений / П.А. Оржековский, Л.М. Мещерякова, Л.С. Понтак. М.: АСТ: Астрель, 2005. (§§ 12, 13)
4. Химия: неорг. химия: учеб. для 8 кл. общеобр.учрежд. / Г.Е. Рудзитис, Ф.Г. Фельдман. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники», 2009. (§§ 10, 17)
5. Энциклопедия для детей. Том 17. Химия / Глав. ред.В.А. Володин, вед. науч. ред. И. Леенсон. – М.: Аванта+, 2003.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов (Источник).
2. Электронная версия журнала «Химия и жизнь» (Источник).
3. Тесты по химии (онлайн) (Источник).

Домашнее задание

1. с.69 № 3; с.73 №№ 1, 2, 4 из учебника «Химия: 8-й класс» (П.А. Оржековский, Л.М. Мещерякова, Л.С. Понтак. М.: АСТ: Астрель, 2005).

2. №№ 65, 66, 71, 72 из Сборника задач и упражнений по химии: 8-й класс: к учебнику П.А. Оржековского и др. «Химия, 8 класс» / П.А. Оржековский, Н.А. Титов, Ф.Ф. Гегеле. – М.: АСТ: Астрель, 2006.

interneturok.ru

1.3.3. Моль, молярная масса, молярный объем

Одной из основных единиц в Международной системе единиц (СИ) является единица количества вещества – моль.

Моль – это такое количество вещества, которое содержит столько структурных единиц данного вещества (молекул, атомов, ионов и др.), сколько атомов углерода содержится в 0,012 кг (12 г) изотопа углерода ¹²С.

Учитывая, что значение абсолютной атомной массы для углерода равно m(C) = 1,99·10^26 кг, можно рассчитать число атомов углерода N_А, содержащееся в 0,012 кг углерода.

Моль любого вещества содержит одно и то же число частиц этого вещества (структурных единиц). Число структурных единиц, содержащихся в веществе количеством один моль равно 6,02·10²³ и называется числом Авогадро (N_А).

Например, один моль меди содержит 6,02·10²³ атомов меди (Cu), а один моль водорода (H₂) – 6,02·10²³ молекул водорода.

Молярной массой (M) называется масса вещества, взятого в количестве 1 моль.

Молярная масса обозначается буквой М и имеет размерность [г/моль]. В физике пользуются размерностью [кг/кмоль].

В общем случае численное значение молярной массы вещества численно совпадает со значением его относительной молекулярной (относительной атомной) массы.

Например, относительная молекулярная масса воды равна:

Мr(Н₂О) = 2Аr (Н) + Аr (O) = 2∙1 + 16 = 18 а.е.м.

Молярная масса воды имеет ту же величину, но выражена в г/моль:

М (Н₂О) = 18 г/моль.

Таким образом, моль воды, содержащий 6,02·10²³ молекул воды (соответственно 2·6,02·10²³ атомов водорода и 6,02·10²³ атомов кислорода), имеет массу 18 граммов. В воде, количеством вещества 1 моль, содержится 2 моль атомов водорода и один моль атомов кислорода.

1.3.4. Связь между массой вещества и его количеством

Зная массу вещества и его химическую формулу, а значит и значение его молярной массы, можно определить количество вещества и, наоборот, зная количество вещества, можно определить его массу. Для подобных расчетов следует пользоваться формулами:

ν = m / M,

m = ν · M,

где ν – количество вещества, [моль]; m – масса вещества, [г] или [кг]; М – молярная масса вещества, [г/моль] или [кг/кмоль].

Например, для нахождения массы сульфата натрия (Na₂SO₄) количеством 5 моль найдем:

1) значение относительной молекулярной массы Na₂SO₄, представляющую собой сумму округленных значений относительных атомных масс:

Мr(Na₂SO₄) = 2Аr(Na) + Аr(S) + 4Аr(O) = 142,

2) численно равное ей значение молярной массы вещества:

М(Na₂SO₄) = 142 г/моль,

3) и, наконец, массу 5 моль сульфата натрия:

m = ν · M = 5 моль · 142 г/моль = 710 г.

Ответ: 710.

1.3.5. Связь между объемом вещества и его количеством

При нормальных условиях (н.у.), т.е. при давлении р, равном 101325 Па (760 мм. рт. ст.), и температуре Т, равной 273,15 К (0С), один моль различных газов и паров занимает один и тот же объем, равный 22,4 л.

Объем, занимаемый 1 моль газа или пара при н.у., называется молярным объемом газа и имеет размерность литр на моль.

V_мол = 22,4 л/моль.

Зная количество газообразного вещества (ν) и значение молярного объема (V_мол) можно рассчитать его объем (V) при нормальных условиях:

V = ν · V_мол,

где ν – количество вещества [моль]; V – объем газообразного вещества [л]; V_мол = 22,4 л/моль.

И, наоборот, зная объем (V) газообразного вещества при нормальных условиях, можно рассчитать его количество (ν):

ν = V /V_мол.

studfiles.net

Молярная масса в химии

Понятие молярная масса

Массы атомов и молекул очень малы, поэтому в качестве единицы измерения удобно выбрать массу одного из атомов и выражать массы остальных атомов относительно нее. Именно так и поступал основоположник атомной теории Дальтон, который составил таблицу атомных масс, приняв массу атома водорода за единицу.

До 1961 года в физике за атомную единицу массы (а.е.м. сокращенно) принимали 1/16 массы атома кислорода ¹⁶О, а в химии – 1/16 средней атомной массы природного кислорода, который является смесью трех изотопов. Химическая единица массы была на 0,03% больше, чем физическая.

Атомная масса и относительная атомная масса элемента

В настоящее время за в физике и химии принята единая система измерения. В качестве стандартной единицы атомной массы выбрана 1/12 часть массы атома углерода ¹²С.

1 а.е.м. = 1/12 m(¹²С) = 1,66057×10^-27 кг = 1,66057×10^-24 г.

При расчете относительной атомной массы учитывается распространенность изотопов элементов в земной коре. Например, хлор имеет два изотопа ³⁵Сl (75,5%) и ³⁷Сl (24,5%).Относительная атомная масса хлора равна:

A_r(Cl) = (0,755×m(³⁵Сl) + 0,245×m(³⁷Сl)) / (1/12×m(¹²С) = 35,5.

Из определения относительной атомной массы следует, что средняя абсолютная масса атома равна относительной атомной массе, умноженной на а.е.м.:

m(Cl) = 35,5 ×1,66057×10^-24 = 5,89×10^-23 г.

Относительная молекулярная масса элемента

Относительная молекулярная масса молекулы равна сумме относительных атомных масс атомов, входящих в состав молекулы, например:

M_r(N₂O) = 2×A_r(N) + A_r(O) = 2×14,0067 + 15,9994 = 44,0128.

Абсолютная масса молекулы равна относительной молекулярной массе, умноженной на а.е.м.

Число атомов и молекул в обычных образцах веществ очень велико, поэтому при характеристике количества вещества используют специальную единицу измерения – моль.

Моль – это количество вещества, которое содержит столько же частиц (молекул, атомов, ионов, электронов), сколько атомов углерода содержится в 12 г изотопа ¹²С.

Масса одного атома ¹²С равна 12 а.е.м., поэтому число атомов в 12 г изотопа ¹²С равно:

N_A = 12 г / 12 × 1,66057×10^-24 г = 1/1,66057×10^-24 = 6,0221×10^-23.

Таким образом, моль вещества содержит 6,0221×10^-23 частиц этого вещества.

Физическую величину N_A называют постоянной Авогадро, она имеет размерность [N_A] = моль^-1. Число 6,0221×10^-23 называют числом Авогадро.

Легко показать, что численные значения молярной массы М и относительной молекулярной массы M_r равны, однако первая величина имеет размерность [M] = г/моль, а вторая безразмерна:

M = N_A × m (1 молекулы) = N_A × M_r × 1 а.е.м. = (N_A ×1 а.е.м.) × M_r = × M_r.

Это означает, что если масса некоторой молекулы равна, например, 44 а.е.м., то масса одного моля молекул равна 44 г.

Постоянная Авогадро является коэффициентом пропорциональности, обеспечивающим переход от молекулярных отношений к молярным.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Молярная масса вещества онлайн

Молярная масса вещества (Грамм/Моль)

Формула химического вещества

Введение в химические формулы

Не секрет , что химические знаки позволяют изобразить состав сложного вещества в виде формул.

Химическая формула — это условная запись состава вещества посредством химических знаков и индексов. 

Формулы различают молекулярные, структурные, электронные и другие.

Молекулярные формулы (h4P04, Fe203, А1(ОН)3, Na2S04, 02 и т.д.) показывают качественный (т.е. из каких элементов состоит вещество) и количественный (т.е. сколько атомов каждого элемента имеются в веществе) состав.

Структурные формулы показывают порядок соединения атомов в молекуле, соединяя атомы черточками (одна черточка — одна химическая связь между двумя атомами в молекуле).

Относительная атомная и молекуряная масса

Относительная атомная масса вещестав или элемента — это безразмерная величина. Почему безразмерная, ведь масса должна иметь размерность?

Причина в том что атомная масса вещества  в кг очень мала и выражается  порядком 10 в минус 27 степени. Что бы в расчетах не учитывать этот показатель, массу каждого элемента привели к отношению 1/12 массы изотопа углерода.  По этой причине относительная атомная масса углерода и составляет 12 единиц. 

Современные значения относительных атомных масс приведены в периодической системе элементов Д.И.Менделеева. Для большинства элементов указаны

среднеарифметические значения атомных масс природной смеси изотопов этих элементов. 

Например, относительная масса водорода равна 1, а кислорода 16.

Относительная молекулярная масса простых и сложных веществ численно равна сумме относительных атомных масс атомов, входящих в состав молекулы.

1*2+16 =18

По химической формуле можно вычислить как химический состав, так и молекулярную массу.

Определяемый по химическим формулам количественный состав имеет огромное значение для многочисленных расчетов, которые производятся по химическому составу.

Вычисление относительной молекулярной массы вещества по химической формуле производится путем сложения произведений относительных атомных масс элементов на соответствующие индексы в химической формуле.

Как рассчитывается молекулярная масса вещества мы рассмотрели чуть выше.

И именно эту задачу автоматизирует наш химический калькулятор.

Зная молекулярную массу вещества, нам ничего не стоит рассчитать и молярную массу.

Моль —  есть количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 12 грамм

Таким образом, молярная масса вещества с точностью соответствует  относительной молекулярной массе и имеет размерность грамм/моль

Таким образом молярная масса воды равна 18 грамм/моль.

Молярную массу вещества можно определить как отношение массы данной порции вещества  к количеству вещества в этой порции

Отличительные особенности

В отношении других калькуляторов, рассчитывающих молярную массу вещества, этот калькулятор обладает следующими особенностями:

— Формула может  содержать скобки например  

— Формула может содержать коэффициент  

Если есть необходимость рассчета массовых долей каждого химическго элемента в формуле  то стоит воспользоваться калькулятором Массовая доля вещества онлайн

Интересные факты

Молярные массы каких химических элементов не округляются?

Логично, предположить если вы прочитали, откуда появляется понятие «относительная масса», что «не округленная» масса будет у одного элемента — углерода. Будут ли встречаться другие химические элементы с «не округленными» массами? Сомневаюсь. 

синтаксис

molar формула[!]

где формула — произвольная формула химического вещества.

Внимание! Химические элементы в формуле должны быть указаны так, как в таблице Менделеева.

простой пример покажет какая цена ошибки не соблюдать регистр (прописные или строчные символы) букв

Если напишем CO — то это углерод и кислород, а если напишем Co — то это кобальт. 

В любую часть формулы, можно вставить служебный символ(восклицательный знак).

Что же он нам дает?

Он все параметры огругляет до того уровня точности, который используется в школьной программе. Это очень удобно именно для тех, кто решает школьные задачи.

Например молярная масса воды  в школьных учебниках равна 18, а если учитывать более точные алгоритмы, то получаем что молярная масса равна 18.01528. Разница небольшая, но если делать расчет например массовой доли химического вещества, получается небольшое, но очень неприятное расхождение в выходных параметрах, которое может ввести в заблуждение неопытных пользователей калькулятора.

Примеры

Рассчитать молярную и молекулярную массу вещества  

пишем запрос molar NaMgU3O24C18h37

получаем ответ

Если же в входных параметрах написать символ- восклицательный знак, то получим такой ответ

Молярная масса вещества равна 1389

Рассчитать молярную массу  

Пишем K4[Fe(CN)6]

Узнаем молекулярную, а  также молярную массу 

В результате запроc выглядит так molar CuSO4*5h3O

И ответ выглядит так 

Как уже было сказано в статье выше, молярная масса  и молекулярная масса вещества равны друг другу и отличаются лишь тем, что молекулярная масса безразмерная величина, в отличии от молярной массы (грамм/моль)

Удачных Вам расчетов!

• Окислы химических веществ >>

abakbot.ru

Молярная масса вещества онлайн

Молярная масса вещества (Грамм/Моль)

Формула химического вещества

Введение в химические формулы

Не секрет , что химические знаки позволяют изобразить состав сложного вещества в виде формул.

Химическая формула — это условная запись состава вещества посредством химических знаков и индексов. 

Формулы различают молекулярные, структурные, электронные и другие.

Молекулярные формулы (h4P04, Fe203, А1(ОН)3, Na2S04, 02 и т.д.) показывают качественный (т.е. из каких элементов состоит вещество) и количественный (т.е. сколько атомов каждого элемента имеются в веществе) состав.

Структурные формулы показывают порядок соединения атомов в молекуле, соединяя атомы черточками (одна черточка — одна химическая связь между двумя атомами в молекуле).

Относительная атомная и молекуряная масса

Относительная атомная масса вещестав или элемента — это безразмерная величина. Почему безразмерная, ведь масса должна иметь размерность?

Причина в том что атомная масса вещества  в кг очень мала и выражается  порядком 10 в минус 27 степени. Что бы в расчетах не учитывать этот показатель, массу каждого элемента привели к отношению 1/12 массы изотопа углерода.  По этой причине относительная атомная масса углерода и составляет 12 единиц. 

Современные значения относительных атомных масс приведены в периодической системе элементов Д.И.Менделеева. Для большинства элементов указаны

среднеарифметические значения атомных масс природной смеси изотопов этих элементов. 

Например, относительная масса водорода равна 1, а кислорода 16.

Относительная молекулярная масса простых и сложных веществ численно равна сумме относительных атомных масс атомов, входящих в состав молекулы.

1*2+16 =18

По химической формуле можно вычислить как химический состав, так и молекулярную массу.

Определяемый по химическим формулам количественный состав имеет огромное значение для многочисленных расчетов, которые производятся по химическому составу.

Вычисление относительной молекулярной массы вещества по химической формуле производится путем сложения произведений относительных атомных масс элементов на соответствующие индексы в химической формуле.

Как рассчитывается молекулярная масса вещества мы рассмотрели чуть выше.

И именно эту задачу автоматизирует наш химический калькулятор.

Зная молекулярную массу вещества, нам ничего не стоит рассчитать и молярную массу.

Моль —  есть количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 12 грамм

Таким образом, молярная масса вещества с точностью соответствует  относительной молекулярной массе и имеет размерность грамм/моль

Таким образом молярная масса воды равна 18 грамм/моль.

Молярную массу вещества можно определить как отношение массы данной порции вещества  к количеству вещества в этой порции

Отличительные особенности

В отношении других калькуляторов, рассчитывающих молярную массу вещества, этот калькулятор обладает следующими особенностями:

— Формула может  содержать скобки например  

— Формула может содержать коэффициент  

Если есть необходимость рассчета массовых долей каждого химическго элемента в формуле  то стоит воспользоваться калькулятором Массовая доля вещества онлайн

Интересные факты

Молярные массы каких химических элементов не округляются?

Логично, предположить если вы прочитали, откуда появляется понятие «относительная масса», что «не округленная» масса будет у одного элемента — углерода. Будут ли встречаться другие химические элементы с «не округленными» массами? Сомневаюсь. 

синтаксис

molar формула[!]

где формула — произвольная формула химического вещества.

Внимание! Химические элементы в формуле должны быть указаны так, как в таблице Менделеева.

простой пример покажет какая цена ошибки не соблюдать регистр (прописные или строчные символы) букв

Если напишем CO — то это углерод и кислород, а если напишем Co — то это кобальт. 

В любую часть формулы, можно вставить служебный символ(восклицательный знак).

Что же он нам дает?

Он все параметры огругляет до того уровня точности, который используется в школьной программе. Это очень удобно именно для тех, кто решает школьные задачи.

Например молярная масса воды  в школьных учебниках равна 18, а если учитывать более точные алгоритмы, то получаем что молярная масса равна 18.01528. Разница небольшая, но если делать расчет например массовой доли химического вещества, получается небольшое, но очень неприятное расхождение в выходных параметрах, которое может ввести в заблуждение неопытных пользователей калькулятора.

Примеры

Рассчитать молярную и молекулярную массу вещества  

пишем запрос molar NaMgU3O24C18h37

получаем ответ

Если же в входных параметрах написать символ- восклицательный знак, то получим такой ответ

Молярная масса вещества равна 1389

Рассчитать молярную массу  

Пишем K4[Fe(CN)6]

Узнаем молекулярную, а  также молярную массу 

В результате запроc выглядит так molar CuSO4*5h3O

И ответ выглядит так 

Как уже было сказано в статье выше, молярная масса  и молекулярная масса вещества равны друг другу и отличаются лишь тем, что молекулярная масса безразмерная величина, в отличии от молярной массы (грамм/моль)

Удачных Вам расчетов!

abakbot.ru

Молярная масса, расчет по формуле вещества

Молярная масса вещества складывает из суммы молярных масс атомов, входящих в химическую формулу. Атомные молярные массы — это константы, значения которых можно узнать в химическом справочнике (иногда атомные массы пишут прямо в периодической таблице элементов).

К примеру, молярная масса водорода (химическая формула молекулы водорода — H₂) это удвоенная атомарная молярная масса элемента водород (H) :

1.0079 * 2 = 2.0158 г/моль

Для упрощения расчетов, особенно в школе, используют округленные значения молярных масс. Но компьютеру не сложно посчитать без округления, а также найти нужные молярные массы атомов в табличке за вас.

Калькулятор молярной массы

Все что нужно знать — это химическую формулу вещества.

Калькулятор распознаёт химические элементы в формуле и считает их общую массу. Но могут быть неоднозначности, к примеру формула h3CO3 (угольная кислота), написанная без учета регистра — h3co3 — будет воспринята калькулятором как h3Co3, т.е как некий гидрид Кобальта.

Чтобы помочь калькулятору распознать элементы в формуле, нужно учитывать регистр. Но на мобильном телефоне не удобно постоянно менять регистр ввода. В этом случае разделяйте хим. элементы пробелом. Увидев пробелы, программа сообразит, что это отдельные элементы.

Примеры формул, которые понимает калькулятор:

C8h20N4O2 (кофеин), (Nh5)2SO4 (сульфат аммония), 4Na2CO3 * 1.5 h3O2 (перкарбонат натрия), h3 s o 4 (серная кислота)

ZnS (Сфалерит, цинковая обманка)

Молярная масса 97.456, г/моль

Уголок химика

Данная запись опубликована в 21.12.2016 17:52 и размещена в На первой полосе. Вы можете перейти в конец страницы и оставить ваш комментарий.

shra.ru

8. Количество и молярная масса вещества

В химических экспериментах и технологических процессах имеют дело не с отдельными атомами и молекулами, а с той или иной массой (или объемом) вещества, в которой содержится огромное число атомов и молекул. Для проведения расчетов с такими массами введено понятие о количестве вещества. Количество вещества определяется числом содержащихся в нем атомов или молекул.

Количество вещества обозначается символом n (читается: эн) Единицей количества вещества является моль.

Один моль – это такое количество вещества, в котором содержится столько молекул, атомов или других структурных единиц, сколько содержится атомов в 12 г изотопа углерода ¹²С.

Число структурных единиц, составляющих один моль вещества, известно: 6,02∙10²³. Это число называется постоянной Авогадро (или числом Авогадро) и является одной из фундаментальных постоянных величин в химии и физике.

Примечание. Строго говоря, числом Авогадро – это число 6,02∙10²³, а постоянная Авогадро – это то же число с указанием единицы измерения: 6,02∙10²³ моль^–1.

Масса одного моля вещества называется молярной массой; её обозначение (символ) – М, единица измерения – г/моль. Для веществ с атомной структурой (благородные газы, металлы, бор, углерод, кремний) молярная масса равна относительной атомной массе, выраженной в граммах, например: M(Fe) = 55,85 г/моль » 56 г/моль. Для веществ с молекулярной структурой молярная масса равна относительной молекулярной массе, выраженной в граммах, например: M(H₂SO₄) » 98 г/моль. Для веществ с ионной структурой молярная масса рассчитывается для формульной единицы вещества, например: M(CaCO₃) » 100 г/моль.

Термин моль – это полное название единицы измерения количества вещества, и в то же время её сокращенное обозначение; в других единицах измерения такого не бывает: сравните, например, килограмм – кг, метр – м, секунда – с. Поэтому слово моль при написании после числа и в заголовках таблиц не склоняется, но при чтении текста его следует склонять, иначе нарушаются правила грамматики. Например, написан текст: в химической реакции 500 г NaOH провзаимодействовало с 1 кг H₂SO₄. Читается: в химической реакции пятьсот граммов гидроксида натрия провзаимодействовало с одним килограммом серной кислоты. Написан текст: в химической реакции 2 моль KOH провзаимодействовало с 3 моль HNO₃.Читается: в химической реакции два моля гидроксида калия провзаимодействовало с тремя молями азотной кислоты.

Часто в химических текстах перед указанием числа молей пишутся слова «количество вещества», например: «в реакции участвовало количество вещества аммиака 5 моль». Такая фраза для русского языка непривычная. Для сравнения вспомним, что когда речь идет не о количестве, а о массе или объеме, то в этих случаях говорят просто и естественно: «в реакции участвовало 25 г хлорида бария»; нигде нет неестественных для русского языка фраз типа: «в реакции участвовала масса хлорида бария 20 г». Но термин «количество» применяется не только в том смысле, который он имеет в химии, но шире, например количество тепла, электричества, денег, людей и т.д. Именно по этой причине принято говорить «в реакции участвовало количество вещества аммиака 5 моль».

Понятие моль распространяется на любые формульные и структурные единицы: n_Fe – количество атомов железа, n(H₂O) – количество молекул воды, n_NaCl – количество формульных единиц хлорида натрия, n(Na⁺) – количество катионов натрия, n_OH –количество групп OH, n_e – количество электронов. В текстах формульная или структурная единица указана и разночтений не бывает. В устной речи молекулы и формульные единицы специально не указываются, а все остальные структурные единицы следует указывать. Например, если имеют в виду молекулярный водород Н₂, то говорят: количество водорода. Это следует понимать так, что все знают о том, что естественное состояние водорода, азота, кислорода, галогенов – это двухатомные молекулы, а не атомы. К сожалению, это знают не все. Поэтому приходится говорить: количество молекулярного водорода, хотя при обычных условиях существование атомарного водорода невозможно.

Количество вещества (n), масса (m) и молярная масса (M) связанны между собой соотношениями:

m = n·M;

Пример . Какое количество воды содержится в 0,9 л этого вещества?

Решение. Плотность воды равна единице (1 кг/л), следовательно, масса 0,9 л воды равна 0,9 кг или 900 г. Молярная масса Н₂О 18 г/моль. Искомая величина равна 900:18, т.е. 50 моль.

Пример . Вычислитt массу 25 моль гидроксида калия.

Решение. Молярная масса КОН равна 56 г/моль, поэтому масса 25 моль этого вещества составляют 25∙56, т.е. 50 моль.

Пример. Массе 5,39 г соответствует 0,05 моль неизвестного металла. Какой это металл?

Решение. Вычисляем молярную массу неизвестного металла, она равна 5,39:0,05, т.е. 107,8 г/моль. Это означает, что неизвестный металл (находим его по атомной массе в Периодической системе) – серебро.

studfiles.net

Глава 8. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

В этой главе рассматриваются вопросы о собственных векторах и собственных значениях произвольной квадратной матрицы, симметрической матрицы и подобных матриц.

1. Основные понятия.

Определение. Вектор , называетсясобственным вектором квадратной матрицы , если существует такое число, что

. При этом числоназываетсясобственным значением матрицы , соответствующим собственному вектору.

Уравнение может быть записано в виде

.

Определение. Если — собственное значение матрицы, асоответствующий ему собственный вектор, тоназываютсобственной парой матрицы .

● Пример 1. Показать, что вектор является собственным вектором матрицы. Найти соответствующее ему собственное значение.

Решение.

Так как (), то— собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению.●

● Пример 2. Показать, что если — собственная пара матрицы, то— собственная пара матрицы.

Решение. Действительно,

, т.е. . Из последнего следует, что— собственная пара матрицы.●

● Пример 3. При каких ивекторявляется собственным вектором матрицы?

Решение. Найдем вектор ..

Если — собственный вектор матрицы , то, откуда. Из последнего имеемии.

Ответ: при и произвольномвекторсобственный вектор матрицы.

● Пример 4. Существует ли , при котором- собственный вектор матрицы? Если существует, указать соответствующую собственную пару.

Решение. Вычислим произведение

Если — собственная пара матрицы, то

.

Из последнего равенства имеем Откуда,,.

— собственная пара матрицы.●

2. Свойства собственных векторов.

1) Если — собственный вектор матрицы , а— соответствующее ему собственное значение, то при любомвектортакже является собственным вектором этой матрицы, соответствующим этому же собственному значению.

►Действительно, .◄

Замечание. Любой собственный вектор матрицы определяет целое направление собственных векторов этой матрицы с одним и тем же собственным значением.

2) Собственные векторы матрицы, соответствующие различным её собственным значениям, линейно независимы.

►Доказательство. Пусть и— собственные пары матрицы, где.

Предположим, что илинейно зависимые векторы.

Если илинейно зависимы, то хотя бы один из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации другого (пусть).

Тогда , откуда следует, что. Так как, то.

Полученное противоречие доказывает утверждение.◄

3) Если илинейно независимые собственные векторы матрицы, соответствующие одному и тому же собственному значению, то любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов() также является собственным вектором этой матрицы, соответствующим этому же собственному значению.

►Действительно, , что и требовалось доказать.◄

4) Если матрица диагональная , то ее собственные значения совпадают с диагональными элементами этой матрицы (), а единичный векторявляется собственным вектором, соответствующим собственному значению.

►Действительно, ◄

3 Нахождение собственных значений и собственных векторов.

Собственные значения и собственные векторы матрицы удовлетворяют матричному уравнению.

Если собственный вектор матрицы , то однородная системаимеет нетривиальное решение, поэтому(порядок матрицыи. Последнее уравнение позволяет найти собственные значения матрицы.

Определение. Многочлен называютхарактеристическим многочленомматрицы.

Определение. Уравнение

называется характеристическим уравнением матрицы .

Корни характеристического уравнения матрицы являются собственными значениями матрицы.

Характеристическое уравнение матрицы может быть записано в виде.

Определение. Множество всех собственных значений квадратной матрицы называется спектром этой матрицы.

Спектр матрицы -го порядка содержитсобственных значений матрицы, которые могут быть как действительными, так и комплексными, простыми так и кратными.

Для матрицы характеристическое уравнениеможет быть может быть преобразовано к виду .

, поэтому характеристическое уравнение матрицы имеет вид

. (8.1)

При этом

,(8.2)

.(8.3)

Уравнение является характеристическим уравнением матрицы.Это уравнение может быть представлено в виде

или

, (8.4)

где , аминоры определителя.

Если ,икорни характеристического уравнения (8.4), то это уравнение может быть записано в виде

. (8.5)

Сравнивая уравнения (8.4) и (8.5), можно записать следующее:

,(8.6)

,(8.7)

.(8.8)

Собственные векторы матрицы , соответствующие собственному значению, удовлетворяют матричному уравнению, которое может быть записана в формеТак как ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных (=0), то система имеет бесконечное множество

решений, каждое ненулевое из которых является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

● Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. — характеристическое уравнение для данной матрицы, откуда,и.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем системуэквивалентную уравнению. Векторявляется решением этого уравнения, а привектор- искомый собственный вектор.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем системуиз которой следует, что векторприявляется собственным вектором, соответствующим собственному значению.

Ответ. ,при;,при.

● Пример 6.

Найти собственные пары матрицы .

Решение. — характеристическоеуравнение матрицы , которое может быть записано в виде, где,,,,(проверьте).

— характеристическое уравнение матрицы , корни которого.

Собственные векторы, соответствующие собственному значению , находим из системы. Приимеем систему которая равносильна системе решение которой .

При векторявляется собственным вектором матрицы, соответствующим собственному значению.

При для нахождения собственных векторов имеем системукоторая равносильна одному уравнению.

При любых ивекторесть решение уравнения, а при

является собственным вектором, который соответствует собственному значению .

Ответ: при;при.

● Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Характеристическое уравнение для указанной матрицы имеет вид , откудаи.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем системуиз которой следуетпри.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем системуиз которой следуетпри.

Ответ. ,при;,при.

● Пример 8.

Доказать, что если собственная пара невырожденной матрицы , то —собственная пара матрицы .

►Так матрица невырожденная (), то существует. Произведение собственных значений матрицыравно, а так как, то собственное значение.

— собственная пара матрицы , поэтому.Умножив последнее равенство слева на , имеем, откуда,и. Последнее равенство означает, что — собственная пара матрицы .◄

studfiles.net

Собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования (оператора)

Всякий ненулевой вектор х(а₁,а₂,…,а_nназывается собственным вектором линейного преобразования, если

Ах=λx, (1.5.4) где λ -некоторое число, называемое собственным значением (числом) линейного преобразования.

Если матрица А имеет вид (1.5.2), то равенство (1.5.4) запи­сывается в виде системы линейных алгебраических уравнений (Дц — Л)а^ -ь a^a^+…+а^а^ = О

(a₁₁— λ)a₁+a₁₂a₂+…+a_1na_n=0

a₂₁a₁+(a₂₂— λ)a₂+…+a_2na_n=0

———————————— (1.5.5)

a_n1a₁+a_n2a₂+…+(a_nn— λ)a_n=0

Система (1.5.5), однородная СЛАУ, имеет отличные от нуля (нетривиальные) решения только тогда, когда определитель равен нулю. Отсюда следует, что

det(A- λE)=0. (1.5.6) Уравнение (1.5.6) называется характеристическим уравнением матрицы данного линейного преобразования. Каждый действительный корень λ уравнения (1.5.6) является собственным числом. Соответствующие собственному числу координаты собственного вектора находятся из системы (1.5.5) методом, изложенном в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).

Система однородных линейных алгебраических уравнений (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид:

(11-λ)а₁+2а₂-8а₃=0

2а₁+(2-λ)а₂+10а₃=0 (1.5.7)

-8а₁+10а₂+(5-λ)а₃=0

Вычислим определитель (1.5.6) и решим соответствующее характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение имеет вид

λ³-18 λ²-81 λ+1458=0, а его решение λ₁=9, λ₂=18, λ₃=-9. Найденные зна­чения λ_і, і=1,3 подставим в (1.5.7)

Решение этой системы х₁= С(2,2,1)^Т, С єR, а соответствующий еди­ничный вектор х⁰₁ =(2/3, 2/3, 1/3) ^Т

При λ ₂=18: х⁰₂=(-2/3, 1/3, 2/3)^Тпри λ₃=-9 х⁰₃ =(1/3, -2/3, 2/3)

Решения систем линейных уравнений рассмотрены в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).

Необходимо отметить следующие свойства собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.

1.Корни характеристического уравнения вещественной симметрической матрицы вещественны.

2.Собственные векторы вещественной симметрической матрицы, отве­чающие различным собственным значениям ортогональны. (Проверьте на собственных векторах матрицы примера 1.5.4).

Вопросы для самопроверки

1.Приведите примеры n-мерных векторов.

2.Что такое линейное векторное пространство, какое пространство

называется евклидовым?

З. Что такое базис в n -мерном пространстве?

4 . Как определяется линейное преобразование?

5.Докажите неравенство Коши-Буняковского.

6. Докажите неравенство ||x+y||≤||x||+||y||

7. При каком условии матрица линейного преобразования имеет диаго­нальный вид?

8.Сформулируйте алгоритм нахождения собственных векторов.

Тема 1. 6 . Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду уравнений линии и поверхности второго по­рядка

Квадратичной формой от трех переменных x,y,z называется одно­родный многочлен второй степени относительно этих переменных.

F(x,y,z)= a₁₁x² + 2a₁₂xу+ а₂₂у² + 2a₁₃xz+ 2a₂₃yz+a₂₂ z² (1.6.1)

Если учесть, что а₁₂ =a₂₁, a₁₃=a₃₁, a₂₃=a₃₂ , тоF(x,y,z) записывается

в виде

F(x, у, z) = а₁₁х² + а₁₂ху + а₂₁ух + а₂₂ у² + a₁₃xz + a₃₁ zx + a₂₃ yz + a₃₂ zy + a₂₂z² .

называется матрицей квадратичной формы. Квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит члены только с квадратами пе­ременных, т.е. а_ij = 0; i,j = 1,3; i≠ j . Матрица (1.6.2) квадратичной формы

(1.6.1) будет иметь диагональный вид, если в трехмерном про­странстве перейти к. новому базису, состоящему из собственных век­торов (см. тему 1.5) матрицы А, при этом на главной диагонали бу­дут стоять собственные числа матрицы А.

Квадратичная форма в новом базисе будет иметь вид

F(x₁, y_1, z₁)=λ₁x₁² + λ₂ y₁² + λ₃z₁² (1.6.3)

В случае двух переменных х, у квадратичная формаF(x,y) имеет вид

F(х,у) = а₁₁х² + 2а₁₂ ху + а₂₂ y², (1.6.4)

причем а₁₂ = a₂₁ .

Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду применяются при решении задач на приведение к каноническому виду уравнений кривых второго порядка

a₁₁x² + 2а₁₂ ху + а₂₂ у² + b₁х + b₂ y + с = 0

и уравнений поверхностей второго порядка

a₁₁x² + 2а₁₂ ху + а₂₂ у² + 2a₁₃ xz+2a₂₃ yz+a₂₂ z² +b₁х + b₂ y +b₃ z + с = 0

Канонические уравнения основных кривых второго’ порядка были рассмотрены в теме 1.4 (1.4.6). Поверхности второго порядка делятся на центральные и нецен­тральные. Канонические уравнения некоторых поверхностей второго порядка приведены ниже.

megaobuchalka.ru

Найти матрицу в базисе из собственных векторов — КиберПедия

Если собственные векторы матрицы образуют базис, то она представима в виде:

, где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица из собственных чисел.

…ничего не напоминает из заключительного параграфа статьи о линейных преобразованиях? 😉

Такое разложение матрицы также называют каноническим или диагональным.

Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы и образуют базис. Составим матрицу из их координат:

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:

Подчёркиваю важность порядка: перестановка «двойки» и «тройки» недопустима!

По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордананетруднополучить . Это не опечатка – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Таким образом, матрица запишется в следующем виде:

Желающие могут перемножить три матрицы и удостовериться, что произведение равно .

Каноническое разложение матрицы выгодно использовать во многих задачах, и, кроме того, в нём сразу видны векторы, которые при данном линейном преобразовании не меняют направление. Это в точности векторы канонического базиса, т.е. собственные векторы.

Давайте вспомним заключительную часть урока о линейных преобразованиях. Там мы выяснили, что одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах в общем случае соответствуют разные матрицы. И наиболее удобным из них как раз и является базис из собственных векторов! (в случае его существования). Более того, все матрицы конкретного линейного преобразования (в одном и том же векторном пространстве)имеют один и то же характеристический многочлен, и, скорее всего, именно по этой причине он и получил своё название. Так, в Примере 6 первой статьи по теме у исходной и итоговой матрицы «три на три» один и тот же характеристический многочлен – по той причине, что они задают одно и то же линейное преобразование трёхмерного пространства.

Пример 3

Записать матрицу в базисе из собственных векторов

Решение: найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены кратные собственные числа.

Мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений:

Вторая координата принудительно равна нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что .

Таким образом, кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор .

! Примечание: в общем случае такое утверждение неверно!

Канонические разложение матрицы имеет вид , и в нашей ситуации данного разложения не существует. Почему? Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например , в пару не годится (хотя бы по той причине, что и обратной матрицы попросту не существует).

У рассмотренного примера есть простое геометрическое объяснение: матрица определяет ни что иное, как «перекос Джоконды», у которого существует лишь одна группа коллинеарных векторов, сохраняющих своё направление. Направление же всех остальных ненулевых векторов данное линейное преобразование меняет.

Ответ: собственные векторы не образуют базиса, поэтому требуемое разложение неосуществимо.

Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах.

Задача с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью:

Пример 4

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

Решение: такая формулировка задачи смущать не должна – ведь это и есть «генеральная линия партии». Энтузиасты могут провести самостоятельные выкладки по аналогии с Примером №1, я же ограничусь «рабочим» решением примера.

По условию требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа.

Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы и составим её характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-ей степени, затем подбором найти корень и стать жертвой долгих мытарств, описанных в Примере №1 урока Сложные пределы. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей:

Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части:

Выполненное действие не привело к заметному результату.

Поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен . Решив квадратное уравнение, получаем .

Таким образом:

Вынесем за скобку и проведём дальнейшие упрощения:

Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге:

Это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее.

Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания:

Найдем собственные векторы:

1) Мысленно либо на черновике подставим значение в определитель , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы:

Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена/решена система.

Компактные координаты даёт значение

Собственный вектор:

Крайне желательно проверить, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.

2) Для собственного значения по такому же принципу получаем следующую систему:

Из 2-го уравнения системы выразим: – подставим в третье уравнение:

Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .

Пусть

Проверяем, что решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Таким образом, собственный вектор: .

3) И, наконец, собственному значению соответствует система:

Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-ое и 3-е уравнение:

Всё хорошо – выявилась линейная зависимость , которую подставляем в выражение :

В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»

Положим , тогда:

Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор

Ответ: собственные векторы:

Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение – то здесь это возможно. Различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы: составляем матрицу из их координат, диагональную матрицу из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу . Геометрически собственные векторы базиса указывают на три различных направления пространства, которые данное линейное преобразование не меняет.

Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-ей степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, и . Эстетичнеепредставить ответ в виде , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо.

Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.

cyberpedia.su

Собственные числа и собственные вектора

Для анализа внутренней структуры линейного преобразования целесообразно найти вектора, которые данное преобразование изменяет наиболее просто. Таким свойством обладают собственные вектора матрицы, удовлетворяющие соотношению

,

где l — коэффициент, показывающий изменения длины вектора, т.е. образ вектора совпадает с прообразом по направлению и отличается от него лишь длиной.

Умножим представленное соотношение слева на единичную матрицу E и перенесем все члены в левую часть.

Матрица называется характеристической матрицей. Очевидно, что она имеет вид:

Для вычисления вектора нужно решить систему . Эта система однородна (в правой части стоит нулевой вектор) и имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель матрицы равен нулю ( ). В этом случае в матрице есть линейно зависимая строка, а в системе уравнений – линейно-зависимое уравнение. Удалив это уравнение и задав произвольное значение одной из координат вектора , решением оставшейся части системы можно найти остальные координаты .

Для того чтобы найти значение числа l, при котором определитель обратился в ноль, нужно аналитически выписать определитель матрицы, приводя подобные члены относительно степеней l. В общем случае для матрицы размерностью nполучим характеристическое уравнение степени n:

.

Известно, что решением уравнения степени nявляется n значений . Числа l_i называются собственными числами (значениями) матрицы. Обычно l_i располагают в ряд по уменьшению модуля, при этом максимальное значение обозначают через l₁ , а минимальное через l_n .

Пусть в качестве базиса принята совокупность собственных векторов и вектор имеет в этой системе координаты , . Тогда . Поскольку то , т.е. при линейном преобразовании координаты вектора по величине сокращаются (l_i < 1) или удлиняются (l_i > 1) пропорционально собственным числам. Линейное преобразование в базисе собственных векторов имеет диагональную матрицу

.

Если собственные числа l_i различны, то собственные вектора линейно-независимы. Отметим, что если является собственным вектором, то любой вектор также будет собственным вектором, т.е. для каждого l_i имеется не один собственный вектор, а бесчисленное множество векторов, лежащих на одном и том же направлении.

Таким образом, в базисе из линейно-независимых собственных векторов матрица линейного преобразования преобразует вектор путем растяжения, сжатия или разворота (l<0) координат вектора (умножение проекций на соответствующие собственные числа).

Пример: Найти собственные числа и собственные вектора матрицы .

Характеристическая матрица имеет вид

Приравнивая нулю определитель матрицы , получим характеристическое уравнение, из которого можно найти собственные числа

. Отсюда .

Вычисление собственных векторов. Первый собственный вектор может быть найден из уравнения , или

.

Последнее матричное уравнение эквивалентно системе:

.

Нетрудно видеть, что уравнения линейно-зависимы, следовательно, любое из них, например второе, можно удалить. Тогда . Задавая , получим . Отсюда вектор .

Уравнение для второго собственного вектора приводит к системе:

Отбрасываем второе уравнение, задав , получим , т.е. .

Найденные вектора представлены на рис. 7.7.

Т.к. матрица А симметрична, то исходный ортонормированный базис преобразуется в ортогональный (можно сделать ортонормированным, поделив каждый вектор нового базиса на его длину).

Рассмотрим некоторый вектор и найдем его образ под действием матрицы :

В результате получаем вектор большей длины, расположенный под углом с исходным вектором (рис. 7.8).

Тот же вектор можно получить другим способом. Найдем проекции (OB, CB) вектора на собственные вектора и (числа a и b). Линейное преобразование заключается в умножении первой проекции (a) на первое собственное число , и второй проекции на величину . Геометрически складывая преобразованные проекции (OD и DE), получаем тот же вектор . Аналогично преобразуется любой иной вектор, лежащий на плоскости .

Если взять множество векторов, лежащих концами на единичной окружности, то матрица линейного преобразования будет в 3 раза вытягивать проекции на вектор и оставлять неизменными (l₂ = 1) проекции на . В результате окружность растягивается в эллипс. Таким образом, собственные числа и собственные вектора дают характеристику преобразования исходного пространства векторов.

Преобразование подобия

Совокупность линейно-независимых собственных векторов образует базис. При этом матрица перехода из исходного базиса в новый представляется совокупностью координат собственных векторов в исходном базисе

.

Соотношения в матричном виде можно представить как

где — диагональная матрица из собственных чисел: = .

Нельзя писать , так как , что не соответствует действительности, и, кроме того, при умножении матрицы H на справа действительно, каждый собственный вектор (столбец матрицы H) умножается на соответствующее собственное число

,

в то время как умножение на диагональную матрицу слева равносильно умножению на коэффициенты строк, а не столбцов, что противоречит математическому смыслу собственных векторов:

.

Умножив уравнение (7.8) сначала справа, а затем слева на матрицу , получим

МатрицыАи L представляют собой одно и то же линейное преобразование, записанное в различных системах координат. Матрица А показывает преобразование в координатах базиса , а матрица L показывает тоже преобразование в координатах базиса .

Итак, одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах соответствует отличающиеся матрицы.

Базис1: – A, ,

Базис 2: — L ,

Базис 3: – , ,

где B= , (см.п.7.2)

Матрицы А и L называются подобными, т.к. соответствуют одному и тому же преобразованию. Определители этих матриц равны. Отсюда определитель матрицы равен произведению всех его собственных чисел

.

Структурная диаграмма преобразования векторов представлена на рис. 7.9. В частности, если требуется преобразовать вектор из базиса в базис , то необходимо умножить его на матрицу H^-1.

С помощью данной диаграммы легко получается соотношение подобия (7.9), которое показывает переход от вектора к его образу по и против часовой стрелки.

Норма матрицы

Первое (максимальное) собственное число характеризует максимальное растяжение (при >1) или минимальное сжатие (при <1) вектора. Поскольку вычисления собственных чисел для матрицы большой размерности представляют значительные трудности, на практике часто используют оценку числовой характеристикой матрицы, называемой нормой матрицы , .

Норма матрицы является одной из характеристик матрицы. Поскольку матрица является отражением некоторого линейного преобразования, то неудивительно, что норма матрицы теоретически определяется через линейное преобразование верхней границей изменения длины вектора (представленный ниже оператор sup обозначает точную верхнюю границу)

,

т.е. норма матрицы характеризуется максимальным по модулю образом единичного вектора. Отсюда понятно соотношение .

Используются три способа вычисления нормы матрицы.

1. Кубическая норма (норма по строкам) равна максимальной сумме модулей элементов строк ,.

2. Октаэдрическая норма (норма по столбцам) равна максимальной сумме модулей элементов столбцов, .

3. Сферическая норма (Евклидова норма). .

Свойства норм матрицы:

Для любой симметричной матрицы .

Сжимающее отображение

Преобразование (отображение) называется сжимающим, если . Это справедливо при или .

Для оценки , характеризующего максимальную степень сжатия, необходимо отметить, что переход от образа к прообразу связан с матрицей А^-1.

.

В правой части записано представление прообраза вектора через его образ. Поскольку матрице А^-1 соответствует матрица ^-1 с элементами , то — максимальное собственное число для обратной матрицы А^-1 и .

Общая теория статистики

Раздел 1. Общая теория статистики

Тема 1. Предмет, задачи. Основные категории и понятия теории статистики

Статистика – это общественная наука, изучающая количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной.

Явления общественной жизни – это сложное сочетание различных элементов.

Общественные явления обладают вполне конкретными размерами.

Общественным явлениям присущи определенные количественные соотношения, и существуют они независимо от того, изучает ли их статистика или нет.

Размеры и соотношения количества и качества отдельных явлений статистика выражает при помощи определенных понятий, статистических показателей. Числовое значение показателя, относящееся к определенному месту и времени, называют величиной показателя.

Метод статистики предполагает следующую последовательность действий:

разработка статистической гипотезы,

статистическое наблюдение,

сводка и группировка статистических данных,

анализ данных,

интерпретация данных.

Прохождение каждой стадии связано с использованием специальных методов, объясняемых содержанием выполняемой работы.

Массовый характер общественных законов и своеобразие их действий предопределяет необходимость исследования совокупных данных.

Закон больших чисел порожден особыми свойствами массовых явлений. Последние в силу своей индивидуальности, с одной стороны, отличаются друг от друга, а с другой – имеют нечто общее, обусловленное их принадлежностью к определенному классу, виду. Причем единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных факторов, ежели их совокупность.

Закон больших чисел в наиболее простой форме гласит, что количественные закономерности массовых явлений отчетливо проявляются лишь в достаточно большом их числе.

Таким образом, сущность его заключается в том, что в числах, получающихся в результате массового наблюдения, выступают определенные правильности, которые не могут быть обнаружены в небольшом числе фактов.

Закон больших чисел выражает диалектику случайного и необходимого. В результате взаимопогашения случайных отклонений средние величины, исчисленные для величины одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действия постоянных и существенных фактов в данных условиях места и времени.

Тенденции и закономерности, вскрытые с помощью закона больших чисел, имеют силу лишь как массовые тенденции, но не как законы для каждого отдельного случая.

Задачи статистики : Разработка системы гипотез, характеризующих развитие, динамику, состояние социально-экономических явлений. Организация статистической деятельности. Разработка методологии анализа. Разработка системы показателей для управления хозяйством на макро- и микроуровне. Популяризовать данные статистического наблюдения. Организация государственной статистики в РФ .

Тема 2. Статистическое наблюдение

Статистическое наблюдение – это сбор необходимых данных по явлениям, процессам общественной жизни. Но это не всякий сбор данных, а лишь планомерный, научно организованный, систематический и направленный на регистрацию признаков, характерных для исследуемых явлений и процессов. От качества данных, полученных на первом этапе, зависят конечные результаты исследования.

Различают две основные формы статистического наблюдения – отчетность и специально организованное наблюдение.

Отчетность – это такая форма наблюдения, при которой предприятия, организации представляют в статистические и вышестоящие органы постоянные сведения, характеризующие их деятельность. Специально организованное наблюдение – такое наблюдение, которое организуется со специальной целью на определенную дату для получения данных, которые в силу различных причин не собираются статистической отчетности, а также с целью проверки данных статистической отчетности.

По времени регистрации фактов статистическое наблюдение может быть непрерывным, периодическим и единовременным.

Непрерывное (текущее) наблюдение – ведется систематически (т.е. регистрация фактов производится по мере их свершения). Периодическое наблюдение – повторяется через определенные равные промежутки времени. Пример – перепись населения. Единовременное наблюдение – производится по мере надобности без соблюдения определенной периодичности. По охвату единиц совокупности выделяют сплошное и несплошное наблюдение. Сплошным называется наблюдение, при котором исследованию подвергаются все единицы изучаемой совокупности. Несплошным называется такое наблюдение, при котором исследованию подвергается только часть единиц изучаемой совокупности, отобранная определенным образом.

Тема 3. Сводка и группировка статистических данных

Статистическая сводка – это операция по обработке собранных данных, которые выражаются в виде показателей, относящихся к каждой единице объекта статистического наблюдения. В результате сводки эти данные превращаются в систему статистических таблиц и промежуточных итогов. По результатам сводки можно выявить наиболее типичные черты и закономерности изучаемых явлений.

Предварительно составляется программа и план сводки. В программе определяется подлежащее и сказуемое сводки. Подлежащее составляет вся совокупность группы или части, на которые разбивается совокупность. Сказуемое – это те показатели, которые характеризуют каждую группу, часть или всю совокупность в целом.

План сводки – содержит организационные вопросы. Статистическая группировка – это метод исследования массовых общественных явлений путем выделения и ограничения однородных групп, через которые раскрываются существенные черты и особенности состояния и развития всей совокупности.

Основные задачи, которые решаются с помощью группировок:

выделение социально-экономических типов,

изучение структуры социально-экономических явлений,

выявление связи между явлениями.

Группировочный признак – это признак, по которому происходит определение единиц в группе. Его выбор зависит от цели группировки и существа данного явления.

Число групп определяется с таким расчетом, чтобы в каждую группу попало достаточно большое число единиц. Интервалы могут быть равными и неравными. Последние в свою очередь делятся на равномерно возрастающие и равномерно убывающие.

Тема 4. Абсолютные и относительные величины

Абсолютные статистические величины показывают объем, размеры, уровни различных социально-экономических явлений и процессов. Они отражают уровни в физических мерах объема, веса и т.п. В общем, абсолютные статистические величины – это именованные числа. Они всегда имеют определенную размерность и единицы измерения. Последние определяют сущность абсолютной величины.

Типы абсолютных величин:

Натуральные – такие единицы, которые отражают величину предметов, вещей в физических мерах (вес, объем, площадь и т.д.).

Денежные (стоимостные) – используются для характеристики многих экономических показателей в стоимостном выражении.

Трудовые – используются для определения затрат труда (человеко-час, человеко-день)

Условно-натуральные – единицы, которые используются для сведения воедино нескольких разновидностей потребительных стоимостей (т.у.т = 29,3 МДж/кг; мыло 40 % жирности).

Виды абсолютных величин:

Индивидуальные – отражают размеры количественных признаков у отдельных единиц изучаемой совокупности.

Общие – выражают размеры, величину количественных признаков у всей изучаемой совокупности в целом.

Абсолютные величины отражают наличие тех или иных ресурсов, это основа материального учета. Они наиболее объективно отражают развитие экономики. Абсолютные величины являются основой для расчета разных относительных статистических показателей.

Относительные статистические величины выражают количественные соотношения между явлениями общественной жизни, они получаются в результате деления одной абсолютной величины на другую. Знаменатель (основание сравнения, база) – это величина, с которой производится сравнение. Сравниваемая (отчетная, текущая) величина – это величина, которая сравнивается.

Относительная величина показывает, во сколько раз сравниваемая величина больше или меньше базисной или какую долю первая составляет по отношению ко второй. В ряде случае относительная величина показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой.

Важное свойство – относительная величина абстрагирует различия абсолютных величин и позволяет сравнивать такие явления, абсолютные размеры которых непосредственно несопоставимы.

Тема 5. Средние величины в статистике

Боль

mirznanii.com

Теория статистики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОЛЖСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.Н.ТАТИЩЕВА

КАФЕДРА «БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ, АНАЛИЗ И АУДИТ»

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

_________________Е.В.Никифорова

«_____»___________________2005г.

Теория статистики)

Учебно-методическое пособие, методические указания

и задания к контрольной (индивидуальной) работе

для студентов экономических специальностей

Составил – к.э.н., доцент Гениатулин В.Н.

Тольятти 2005

Учебно-методическое пособие разработано в соответствии с Государственными образовательными стандартами специальностей 060400 «Финансы и кредит»,

060500 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,

061100 «Менеджмент организации», 061500 «Маркетинг»,

351200 «Налоги и налогообложение»

Рассмотрены на заседании кафедры «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Протокол №____от_____________2005г.

Зав. кафедрой «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»____Е.В.Никифорова

Одобрено УМС экономического факультета

Протокол №____от_____________2005г.

Утверждено на заседании УМС ВУиТ

Протокол №____от_____________2005г.

Председатель УМС ВУиТ__________________Е.В.Никифорова

Содержание

1. Предмет статистической науки и ее методология

2. Содержание курса

3. Методические указания по выполнению контрольной работы

4. Задания к контрольной работе

5. Практикум по теории статистики

6. Вопросы к экзамену (зачету) по статистике

7. Тесты

8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

1. ПРЕДМЕТ СТАТИСТИЧЕСКОЙ НАУКИ И ЕЕ МЕТОДОЛОГИЯ

Каждая наука обладает существенными специфическими особенностями, которые отличают ее от других наук и дают ей право на самостоятельное существование как особой отрасли знания. Главная особенность любой науки заключается в предмете познания, в принципах и методах его изучения, которые в совокупности образуют ее методологию.

Предметом исследования статистики являются массовые явления социально-экономической жизни; она изучает количественную сторону этих явлений в неразрывной связи с их качественным содержанием в конкретных условиях места и времени.

Явления и процессы в жизни общества характеризуются статистикой с помощью статистических показателей. Статистические показатели – это количественная оценка свойств изучаемого явления. Статистика при помощи статистических показаний характеризует размеры изучаемых явлений, их особенности, закономерности развития и их взаимосвязи. При этом статистические показатели подразделяются на учетно-оценочные и аналитические. Учетно-оценочные показатели отражают объем или уровень изучаемого явления; аналитические показатели используются для характеристики особенностей развития явления, распространенности в пространстве, соотношения его частей, взаимосвязи с другими явлениями. В качестве аналитических показателей, используются средние величины, показатели структуры, вариации, динамики, степени тесноты связи и др.

В настоящее время основными задачами российской статистики являются:

— разработка научно обоснованной статистической методологии соответствующей потребностям общества на современном этапе, а также международным стандартам;

— представление официальной статистической информации Президенту Российской Федерации, Правительству Российской Федерации, Федеральному Собранию Российской Федерации, федеральным органам исполнительной власти, общественности, а также международным организациям;

— предоставление всем пользователям равного доступа к открытой статистической информации путем распространения официальных докладов о социально-экономическом положении Российской Федерации, субъектов Российской Федерации, отраслей и секторов экономики, публикации статистических сборников и других материалов.

Формирование информационной системы статистических показателей для всестороннего анализа экономических и социальных процессов, происходящих в стране в целом и в ее регионах, осуществляется на базе показателей, содержащихся в статистической государственной отчетности (около 700 форм) и на основе выборочных статистических обследований.

На региональном уровне проводятся дополнительные статистические наблюдения, отражающие специфику каждого региона.

Действующая в России информационная статистическая система располагает комплексом средств для обеспечения необходимой разнообразной информацией как органов государственного управления, научных учреждений, так и средств массовой информации.

В целях оперативного информирования органов государственного управления об отдельных важных тенденциях в развитие экономики систематически выпускается экспресс-информация. Снабженная кратким анализом, она поступает потребителю через несколько часов после завершения машинной обработки данных.

Правительством Российской Федерации утверждена целевая программа реформирования статистики. Целью программы является наиболее полное обеспечение потребностей федеральных органов исполнительной власти субъектов Российской Федерации и всех заинтересованных пользователей объективной и актуальной информацией о социально-экономическом развитии Российской Федерации, субъектов Российской Федерации, отраслей экономики, хозяйствующих субъектов, населения.

Опираясь на теоретическую базу, статистика применяет специфические методы цифрового освещения явления, которые находят свое выражение в трех этапах (стадиях) статистического исследования:

1. Массовое научно организованное наблюдение, с помощью которого получают первичную информацию об отдельных единицах (фактах) изучаемого явления.

2. Группировка и сводка материала, представляющие собой расчленение всей массы случаев (единиц) на однородные группы и подгруппы, подсчет итогов по каждой группе и оформление полученных результатов в виде статистической таблицы. Группировки дают возможность выделить из состава всех случаев единицы разного качества, показать особенности явлений, развивающихся в различных условиях. После проведения группировки приступают к обобщению данных наблюдения. Эта ступень носит название сводки.

3. Обработка статистических показателей, полученных при сводке и анализ результатов для получения обоснованных выводов о состоянии изучаемого явления и закономерности его развития. Выводы, как правило, излагаются в текстовой форме и сопровождаются графиками и таблицами.

Таким образом, специфический метод статистики основан на соединении анализа и синтеза. Сначала выделяются в составе изучаемого явления и раздельно изучаются части (группы и подгруппы), оценивается существенность или несущественность наблюдаемых различий в величине признака выявляются причины в целом, во всей совокупности его сторон, тенденций и форм развития. Все стадии статистической работы тесно связаны друг с другом.

Структура статистической науки предоставлена на рис.1.

Рис.1. Структура статистической науки.

Таким образом, в статистической науке выделяются следующие части: общая теория статистики, экономическая статистика и ее отрасли, социальная статистика и ее отрасли.

Общая теория статистики разрабатывает общие принципы и методы статистического исследования общественных явлений, наиболее общие категории (показатели) статистики.

Задачей экономической статистики является разработка и анализ синтетических показателей, отражающих состояние национальной экономики, взаимосвязи отраслей, особенности размещения производственных сил, наличие материальных, трудовых и финансовых ресурсов, достигнутый уровень их использования.

Статистики крупных отраслей могут быть подразделены на более мелкие отраслевые статистики: например, статистика промышленности – на статистику машиностроения, металлургии, химии и др.; статистика сельского хозяйства – на статистику земледелия и животноводства и т.п.

Социальная статистика формирует систему показателей для характеристики образа жизни населения и различных аспектов социальных отношений; ее отрасли – статистика народонаселения, политики, культуры, здравоохранения, науки, просвещения, права и т.д.

Отрасли экономической статистики – статистика промышленности, сельского хозяйства, строительства, транспорта, связи, труда,

mirznanii.com

Статистика (теория статистики)

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОЛЖСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.Н. ТАТИЩЕВА (ИНСТИТУТ)

Кафедра «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

__________А.Д. Немцев

«___»___________2011 г.

В.Н.Гениатулин

Конспект лекций

для студентов специальностей 080109.65 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 080105.65 «Финансы и кредит», 080107.65 «Налоги и налогообложение»,

080507.65 «Менеджмент организации», 080102. 65 «Мировая экономика»

Тольятти 2011

Содержание

Введение

В условиях становления новых хозяйственных отношений повышаются требования к уровню статистической подготовки экономистов. Цель дисциплины состоит в том, чтобы помочь студентам в изучении закономерностей социально-экономического развития общества и взаимосвязей всех явлений и процессов, происходящих в жизни общества, а также потребностей и ресурсов развития экономики, основных элементов производства и его конечных результатов.

Статистические методы сбора, обработки и анализа информации используются для общей характеристики социально-экономического развития, при проведении международных сопоставлений уровней экономического и социального развития различных стран.

Статистика дает необходимую информационную базу при самостоятельной работе студентов, написании курсовых и дипломных работ по основным дисциплинам специальности.

При изучении дисциплины ставятся задачи всестороннего и глубокого изучения состояния и развития экономики, различных социальных и экономических процессов, происходящих в стране, их закономерностей путем обработки, анализа и обобщения данных о них.

В результате изучения дисциплины студент должен уметь использовать методы статистического анализа для исследования явлений и процессов общественной жизни; применять систему статистических показателей; исследовать социально-экономический потенциал страны и процесс производства валового национального продукта; иметь навыки статистического анализа и измерять экономическую эффективность производства на микро- и макроуровне.

Таким образом, статистика имеет большое значение в системе дисциплин, определяющих содержание экономического образования, и тесно связана с такими дисциплинами, как экономическая теория, высшая математика, экономический анализ, бухгалтерский учет.

В ходе изучения дисциплины студенты должны:

а) знать:

• систему сбора, обработки и анализа экономической информации;

• новые направления, формы, средства и методы отечественной экономической статистики;

• систему основных экономических показателей статистики;

• методологию расчета статистических показателей, используемых в анализе.

б) уметь:

— применять на практике изученные показатели и методы их расчета;

— решать конкретные задачи с использованием различных методик.

studfiles.net

Book: Общая теория статистики

15. Статистические таблицы

Статистическая таблица – таблица, которая дает количественную характеристику статистической совокупности и представляет собой форму наглядного изложения полученных в результате статистической сводки и группировки числовых (цифровых) данных.

Подлежащее таблицы представляет ту статисти–ческую совокупность, о которой идет речь в таблице.

Сказуемое таблицы – это те показатели, с по–мощью которых дается характеристика явления, ото–бражаемого в таблице.

Если в подлежащем таблицы содержится простой перечень каких-либо объектов или территориальных еди–ниц, таблица называется простой. Если подлежащее простой таблицы содержит перечень территорий, то такая таблица называется территориальной.

Групповые таблицы в отличие от простых со–держат в подлежащем не простой перечень единиц объекта наблюдения, а их группировку по одному существенному признаку. Групповая таблица мо–жет быть более сложной, если в сказуемом приво–дится не только число единиц в каждой группе, но и ряд других важных показателей, количественно и качественно характеризующих группы подлежаще–го.

Комбинационными называются статистические таблицы, в подлежащем которых группы единиц, об–разованные по одному признаку, подразделяются на подгруппы по одному или нескольким признакам.

Наряду с перечисленными выше таблицами в статистической практике применяют таблицы со–пряженности (или таблицы частот). В основе по–строения таких таблиц лежит группировка единиц со–вокупности по двум или более признакам, которые называются уровнями.

Таблица частот называется одномерной, если в ней табулирована только одна перемен–ная. Таблица, в основе которой лежит группировка по двум признакам, называется таблицей с двумя входами. Таблицы частот, в которых табулируются значения двух или более признаков, называются таб–лицами сопряженности.

Основные правила построения статистических таблиц.

1. Статистическая таблица должна быть компакт–ной и отражать только те исходные данные, которые прямо отражают исследуемое социально-экономиче–ское явление в статике и динамике.

2. Заголовок статистической таблицы и название граф и строк должны быть четкими, краткими, лако–ничными. В заголовке должны быть отражены объект, признак, время и место совершения события.

3. Графы и строки следует нумеровать.

4. Графы и строки должны содержать единицы измерения, для которых существуют общепринятые сокращения.

5. Лучше всего располагать сопоставляемую в ходе анализа информацию в соседних графах.

6. Для удобства чтения и работы числа в стати–стической таблице следует проставлять в середине граф, строго одно под другим.

7. Числа целесообразно округлять с одинаковой степенью точности (до целого знака, до десятой до–ли).

8. Отсутствие данных обозначается знаком умно–жения, при отсутствии явления ставится знак тире (—).

9. Для отображения очень малых чисел использу–ют обозначение 0.0 или 0.00.

10. Если число получено на основании условных расчетов, то его берут в скобки, сомнительные числа сопровождают вопросительным знаком, а предвари–тельные – знаком «!».

www.e-reading.club

Общая теория статистики

1. Предмет статистики.

Статистикой называют планомерный и систематический учет осуществляемый в масштабах страны органами государственной статистики во главе с государственным комитетом РФ по статистике.

Статистика — цифровые данные публикуемые в специальных справочниках и средствах массовой информации.

Статистика — специальная научная дисциплина.

Предмет и содержание статистической науки.

Предмет и содержание статистической науки долгое время были дискуссионными. С целью решения этих вопросов в 1954 и 1968 гг. проводились специальные совещания с привлечением широкого круга ученых и практиков не только статистиков, но и специалистов связанных с ней науки. Кроме того, до середины 70-х гг. шла дискуссия о предмете статистики в специальной литературе. В ходе дискуссий выявились 3 основные точки зрения на предмет статистики:

1. Статистика — универсальная наука, изучающая массовое явление природы и общества.

2. Статистика — методологическая наука не имеющая своего предмета познания, а представляющая собой учение о методе, применяемым общественными науками.

3. Статистика — общественная наука, имеющая свой предмет, методологию и исследующая количественные закономерности общественного развития.

В результате проводившихся совещаний и дискуссий в статистической науке первые две точки зрения были большинством ученых и практиков отвергнуты, а третья в основном принята, дополнена и уточнена.

Предметом статистики является количественная сторона массовых социально-экономических явлений, неразрывные связи с их качественной стороной, конкретных условий, места и времени. Из данного определения следуют основные черты предмета статистической науки:

1. Статистика — наука общественная.

2. В отличие от других общественных наук статистика изучает количественную сторону общественных явлений.

3. Статистика изучает массовое явление.

4. Статистика изучает количественную сторону явлений в неразрывной связи с количественной стороной и это находит свое воплощение в существовании системы статистических показателей.

5. Статистика изучает количественную сторону явлений в конкретных условиях места и времени.

2. Особенности статистической методологии. Метод статистики.

Под статистической методологией понимается система принципов и методов их реализации направленных на изучение количественных закономерностей, проявляющихся в структуре взаимосвязей и динамике социально-экономических явлений. Важнейшими составными элементами метода статистики и статистической методологии являются массовое статистическое наблюдение, сводка и группировка, а также применение обобщающих статистических показателей и их анализ.

Сущность первого элемента статистической методологии составляет сбор первичных данных об изучаемом объекте. Например: в процессе переписи населения страны собираются данные о каждом человеке, проживающем на ее территории, которая заносится в специальный формуляр.

Второй элемент: сводка и группировка представляет собой разделение совокупности данных, полученных на этапе наблюдения на однородные группы по одному или несколько признаков. Например в результате группировки материалов переписи населения делится на группы (по полу, возрасту, населению, образованию и т.д.).

Сущность третьего элемента статистической методологии заключается в вычислении и социально-экономической интерпретации обобщающих статистических показателей:

1. Абсолютных

2. Относительных

3. Средних

4. Показателей вариации

5. Динамики

6. Индексов и т.д.

Три основных элемента статистической методологии составляют также три стадии любого статистического исследования.

3. Теоретические основы статистики.

Теоретическую основу статистики составляют понятия и категории, в совокупности которых выражаются основные принципы данной науки. В статистики к важнейшим категориям и понятиям относятся: совокупность, вариация, признак, закономерность.

Статистическая совокупность — это множество (масса) однокачественных (однородных) хотя бы по одному какому-либо признаку явлений, существование которых ограничено в пространстве и времени. Статистической совокупностью можно считать, к примеру, совокупность жителей России по состоянию на 1 января 1997г., совокупность фермерских хозяйств Ростовской области в 1997г. Однако статистическая совокупность (множество) совсем не обязательно представляет большую численность единиц, в принципе она может быть и очень маленькой; например, объем совокупности малой выборки может составлять иногда 8-10 единиц.

Важнейшим свойством статистической совокупности является ее неразложимость. Это означает, что дальнейшее дробление индивидуальных явлений не вызывает потери их качественной основы. Исчезновение или ликвидация одного или ряда явлений не разрушает качественной основы статистической совокупности в целом. Так, население страны или города останется населением, несмотря на постоянно происходящие процессы механического и естественного движения населения.

Количественные изменения значение признака при переходе от одной единицы совокупности к другой называются вариацией. Вариация возникает под воздействием случайных, прежде всего внешних причин.

Статистические совокупности имеют определенные свойства, носителями которых выступают единицы (отдельные элементы) совокупности (явления), обладающие определенными признаками. По форме внешнего выражения признаки делятся на:

— атрибутивные (описательные)

— количественные

Атрибутивные (качественные) признаки не поддаются прямому количественному (числовому) выражению.

Количественные признаки делятся на дискретные (прерывные) и непрерывные.

Важнейшей категорией статистики является статистическая закономерность. Под закономерностью вообще принято называть повторяемость, последовательность и порядок изменений в явлениях.

Статистическая же закономерность в статистике рассматривается как количественная закономерность изменения в пространстве и времени массовых явлений и процессов общественной жизни, состоящих из множества элементов (единиц совокупности). Она свойственна не отдельным единицам совокупности, а всей их массе, или совокупности в целом.

Статистическая закономерность — это форма проявления причинной связи, выражающаяся в последовательности, регулярности, повторяемости событий с достаточно высокой степенью вероятности, если причины (условия), порождающие события. Не изменяются или изменяются незначительно. Статистические закономерности устанавливаются на основе анализа массовых данных.

4. Основные понятия и категории статистической науки в целом.

6. Общая теория статистики как отрасль статистической науки.

К основным понятиям и категориям статистической науки относятся следующие: совокупность, признак, показатель, система показателей и др.

Статистическая совокупность — множество элементов одного и того же вида сходных между собой по одним признакам и различающимся по другим. Например: это совокупность отраслей экономики, совокупность ВУЗ, совокупность сотрудничества КБ и т.п.

Отдельные элементы статистической совокупности называются ее единицами. В рассмотренных выше примерах единицами совокупности являются соответственно отрасли, ВУЗ (один) и сотрудник.

Единицы совокупности обладают как правило многими признаками.

Признак — свойство единиц совокупности, выражающее их сущность и имеющее способность варьировать, т.е. изменяться. Признаки, принимающие единичное значение у отдельных единиц совокупности называются варьирующими, а сами значения вариантами.

Варьирующие признаки подразделяются на атрибутивные или качественные. Признак называется атрибутивным или качественным, если его отдельное значение (варианты) выражаются в виде состояния или свойств присущих явлению. Варианты атрибутивных признаков выражаются в словесной форме. Примерами таких признаков могут служить — хозяйственный.

Признак называется количественным, если его отдельное значение выражается в виде чисел. Например: заработная плата, стипендия, возраст, размер ОФ.

По характеру варьирования количественные признаки делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретные — такие количественные признаки, которые могут принимать только вполне определенное, как правило целое значен

mirznanii.com

Book: Теория статистики

8. Виды и способы статистического наблюдения

Рассмотрим следующие виды статистического наблюдения:

1) если обследованию подвергается абсолютно все единицы изучаемой совокупности явлений и процессов, то это сплошное статистическое наблюдение;

2) если обследованию подвергаются часть единиц изучаемой совокупности явлений, то это несплошное статистическое наблюдение;

3) выборочным наблюдением называют наблюдение, при котором характеристика всей совокупности фактов дается по некоторой их части, отобранной в случайном порядке;

4) монографическое обследование – это детальное изучение и описание определенных единиц совокупности;

5) если обследованию подвергается та часть единиц совокупности, у которой величина изучаемого признака является преобладающей во всем объеме, то это называется методом основного массива;

6) сбор данных, основанный на добровольном заполнении адресатами анкет, называется анкетным обследованием;

7) если наблюдение ведется непрерывно, и при этом все факты и явления, происходящие в состоянии изменения, регистрируются, то это наблюдение называется текущим;

8) если же наблюдение осуществляется нерегулярно, но только тогда, когда требуется, это наблюдение называется единовременным;

9) периодическим называется наблюдение, которое повторяется через определенные промежутки времени (год, месяц, квартал и т. д.). В зависимости от источников собираемых сведений различают:

1) наблюдение, осуществляемое самими регистраторами путем замера и с помощью осмотра, подсчета и взвешивания признаков изучаемого объекта, называется непосредственным;

2) опрос – это наблюдение, при котором ответы человека на вопросы фиксируются на определенном формуляре;

3) при документальном учете фактов источником сведений служат документы.

Способы статистического наблюдения.

Предоставление предприятиями, организациями статистических отчетов о своей хозяйственной деятельности в строго установленном порядке называют отчетным способом.

Вид статистического наблюдения, предполагающий предоставление сведений в органы, которые и ведут наблюдение, в явочном порядке называют явочным способом.

Если сведения в органы предоставляют корреспонденты, то этот способ называют корреспондентским.

Предоставление документов, которые заполняют сами опрашиваемые, а специальные работники только обеспечивают формулярами, называют способом саморегистрации.

www.e-reading.club

конспект лекции читать онлайн бесплатно, автор Нина Владимировна Коник на Fictionbook

Данное учебное пособие содержит полный курс лекций по общей теории статистики, составленный профессиональными экономистами. Используя данный конспект лекций при подготовке к сдаче экзамена, студенты смогут в предельно сжатые сроки систематизировать и конкретизировать знания, приобретенные в процессе изучения этой дисциплины; сосредоточить свое внимание на основных понятиях, их признаках и особенностях; сформулировать примерную структуру (план) ответов на возможные экзаменационные вопросы.

Издание предназначено для студентов, обучающихся по специальности «Статистика» и другим экономическим специальностям.

ЛЕКЦИЯ № 1. Статистика как наука

1. Предмет и метод статистики как общественной науки

Статистика – самостоятельная общественная наука, имеющая свой предмет и методы исследования, которая возникла из потребностей общественной жизни. Статистика – это наука, изучающая количественную сторону всех социально-экономических явлений. Термин «статистика» происходит от латинского слова «статус», которое обозначает «положение, порядок». В первый раз его употребил немецкий ученый Г. Ахенваль (1719-1772). Главной задачей статистики является математически правильно описать собранные сведения. Статистику можно назвать специальным разделом математики, которая описывает ту или иную сторону жизнедеятельности человека. Статистика использует самые различные математические ме-годы и приемы, чтобы человек мог проанализировать ту или иную проблему.

Статистика может оказать неоценимую помощь любому руководителю на любом предприятии, если уметь ею правильно пользоваться.

На сегодняшний день термин «статистика» применяется в трех значениях:

1) особая отрасль практической деятельности людей, направленная на сбор, обработку и анализ данных, которые характеризуют социально-экономическое развитие страны, ее регионов, отдельных отраслей экономики или предприятий;

2) наука, которая занимается разработкой теоретических положений и методов, употребляемых в статистической практике;

3) статистика – статистические данные, представленные в отчетности предприятий, отраслей экономики, а также данные, публикуемые в сборниках, различных справочниках, бюллетенях и т. п.

Объект статистики – явления и процессы социально-экономической жизни общества, в которых отображаются и находят свое выражение социально-экономические отношения людей.

Общая теория статистики является методологической основой, ядром всех отраслевых статистик. Она разрабатывает общие принципы и методы статистического исследования общественных явлений и является наиболее общей категорией статистики.

Задачами экономической статистики являются разработка и анализ синтетических показателей, отражающих состояние национальной экономики, взаимосвязи отраслей, особенности размещения производительных сил, наличие материальных, трудовых и финансовых ресурсов.

Социальная статистика вырабатывает систему показателей для характеристики образа жизни населения и различных аспектов социальных отношений.

Статистика – общественная наука, которая занимается сбором информации различного характера, ее упорядочиванием, сопоставлением, анализом и интерпретацией (объяснением). Она обладает следующими отличительными особенностями:

1) изучает количественную сторону общественных явлений. Данная сторона явления представляет его величину, размер, объем и имеет числовое измерение;

2) исследует качественную сторону массовых явлений. Предоставленная сторона явления выражает его специфику, внутреннюю особенность, отличающую его от других явлений. Качественная и количественная стороны явления всегда существуют вместе, образуют одно единое целое.

Все общественные явления и события протекают во времени и пространстве, и в отношении любого из них всегда можно определить, в какое время оно возникло и где оно развивается. Таким образом, статистика изучает явления в конкретных условиях места и времени.

Постигаемые статистикой явления и процессы общественной жизни находятся в постоянном изменении и развитии. На базе сбора, обработки и анализа массовых данных об изменении изучаемых явлений и процессов обнаруживается статистическая закономерность. В статистических закономерностях проявляются действия общественных законов, определяющих существование и развитие социально-экономических отношений в обществе.

Предметом статистики является исследование общественных явлений, динамики и направления их развития. При помощи статистических показателей статистика устанавливает количественную сторону общественного явления, наблюдает закономерности перехода количества в качество на примере данного общественного явления. На основании предоставленных наблюдений статистика производит анализ полученных данных в конкретных условиях места и времени.

Статистика занимается исследованием социально-экономических явлений и процессов, которые носят массовый характер, а также изучает множество определяющих их факторов.

Для выведения и подтверждения своих теоретических законов большинство общественных наук пользуются статистикой. Заключениями, сформированными на статистических исследованиях, пользуются экономика, история, социология, политология и множество других гуманитарных наук. Статистика необходима и общественным наукам для подтверждения их теоретической основы, и ее практическая роль очень велика. Ни крупные предприятия, ни серьезные производства, разрабатывая стратегию экономического и социального развития объекта, не могут обойтись без анализа данных статистического учета. Для этого на предприятиях и производствах организовываются специальные аналитические отделы и службы, привлекающие специалистов, которые закончили профессиональную подготовку по данной дисциплине.

Статистика, как и любая другая наука, обладает определенной совокупностью методов изучения своего предмета. Методы статистики выбираются в зависимости от изучаемого явления и конкретного предмета исследования (связи, закономерности или развития).

Методы в статистике образуются в совокупности из разработанных и применяемых специфических способов и приемов исследования общественных явлений. К ним имеют отношение наблюдение, сводка и группировка данных, исчисление обобщающих показателей на основе специальных методов (метод средних, индексов и т. д.). В связи с этим различают три этапа работы со статистическими данными:

1) сбор – это массовое научно-организованное наблюдение, посредством которого получают первичную информацию об отдельных фактах (единицах) изучаемого явления. Данный статистический учет большого числа или всех входящих в состав изучаемого явления единиц является информационной базой для статистических обобщений, для формулирования выводов об изучаемом явлении или процессе;

2) группировка и сводка. Под этими данными понимают распределение множества фактов (единиц) на однородные группы и подгруппы, итоговый подсчет по каждой группе и подгруппе и оформление полученных итогов в виде статистической таблицы;

3) обработка и анализ. Статистический анализ заключает стадию статистического исследования. Он содержит в себе обработку статистических данных, которые были получены при сводке, интерпретацию полученных результатов с целью получения объективных выводов о состоянии изучаемого явления и о закономерностях его развития. В проессе статистического анализа исследуются структура, динамика и взаимосвязь общественных явлений и процессов.

Основными этапами статистического анализа являются:

1) утверждение фактов и установление их оценки;

2) выявление характерных особенностей и причин явления;

3) сравнение явления с нормативными, плановыми и другими явлениями, которые приняты за базу сравнения;

4) формулирование выводов, прогнозов, предположений и гипотез;

5) статистическую проверку выдвинутых предположений (гипотез).

2. Теоретические основы и основные понятия статистики

Для статистической методологии теоретической базой является диалектико-материалистическое понимание законов процесса развития общества. Вследствие этого статистика нередко применяет такие категории, как количество и качество, необходимость и случайность, закономерность, причинность и др.

Основные положения статистики базируются на законах социальной и экономической теории, так как именно они рассматривают закономерности развития общественных явлений, определяют их значение, причины и последствия для жизни общества. С иной стороны, законы многих общественных наук созданы на основе показателей статистики и закономерностей, выявленных с помощью статистического анализа, вследствие этого можно сказать, что связь между статистикой и другими общественными науками является бесконечной и непрерывной. Статистика устанавливает законы общественных наук, а они, в свою очередь, корректируют положения статистики.

Теоретическая основа статистики также близко связана с математикой, так как для измерения, сравнения и анализа количественных характеристик необходимо использовать математические показатели, законы и методы. Глубокое изучение динамики явления, его изменения во времени, а также взаимосвязи его с другими явлениями невозможны без применения высшей математики и математического анализа.

Очень часто статистическое исследование опирается на разработанную математическую модель явления. Такая модель теоретически отображает количественные соотношения изучаемого явления. При ее наличии задача статистики состоит в численном определении параметров, входящих в модели.

При оценке финансового состояния предприятия нередко используют скоринговую модель А. Альтмана, где уровень банкротства Z вычисляется по следующей формуле:

Z = 1,2x₁ + 1,4x₂ + 3,3x₃ + 0,6x₄ + 10,0x₅,

где x₁ – отношение обратного капитала к сумме активов фирмы;

x₂ – отношение нераспределенного дохода к сумме активов;

x₃ – отношение операционных доходов к сумме активов;

x₄ – отношение рыночной стоимости акций фирмы к общей сумме долга;

x₅ – отношение суммы продаж к сумме активов.

По оценке А. Альтмана, при Z < 2,675 фирме угрожает банкротство, а при Z > 2,675 финансовое положение фирмы вне опасения. Чтобы получить эту оценку, надо подставить в формулу неизвестные х₁, x₂, x₃, x₄ и x₅, которые являются определенными показателями строк баланса.

Особенно большое распространение в статистической науке получили такие направления математики, как теория вероятностей и математическая статистика. В статистике употребляются операции, которые прямым образом рассчитываются с помощью правил теории вероятностей. Это выборочный метод наблюдения. Основное из этих правил – ряд теорем, выражающих закон больших чисел. Суть этого закона заключается в исчезновении в сводном показателе элемента случайности, с которой связаны индивидуальные характеристики, по мере объединения в нем все большего их числа.

Математическая статистика также близко связана с теорией вероятностей. Рассматриваемые в ней задачи можно отнести к трем категориям: распределение (структура совокупности), связи (между признаками), динамика (изменение во времени). Широко используется анализ вариационных рядов, прогнозирование развития явлений осуществляется с помощью экстра-поляций. Причинно-следственные связи явлений и процессов вводятся с помощью корреляционного и регрессионного анализа. Наконец, статистическая наука обязана математической статистике такими важнейшими своими категориями и понятиями, как совокупность, вариация, признак, закономерность.

Статистическая совокупность относится к основным категориям статистики и является объектом статистического исследования, под которым понимается планомерный научно обоснованный сбор сведений о социально-экономических явлениях общественной жизни и анализ полученных данных. Для того чтобы осуществить статистическое исследование, нужна научно аргументированная информационная база. Такой информационной базой является статистическая совокупность – совокупность социально-экономических объектов или явлений общественной жизни, объединенных общей связью, качественной основой, но отличающихся друг от друга некоторыми признаками (например, совокупность домохозяйств, семей, фирм и т. д.).

С точки зрения статистической методологии статистическая совокупность – это множество единиц, обладающих такими характеристиками, как однородность, массовость, определенная целостность, наличие вариации, взаимозависимость состояния отдельных единиц.

Таким образом, статистическая совокупность состоит из отдельных единиц. Предмет, человек, факт, процесс могут быть единицей совокупности. Единица совокупности является первичным элементом и носителем ее основных признаков. Элемент совокупности, по которому собираются необходимые данные для статистического исследования, называется единицей наблюдения. Количество единиц совокупности называется объемом совокупности.

Статистической совокупностью могут выступать население при переписи, предприятия, города, сотрудники фирмы. Выбор статистической совокупности и ее единиц зависит от конкретных условий и характера изучаемого социально-экономического явления, процесса.

Массовость единиц совокупности тесно связана с ее полнотой. Полнота обеспечивается охватом единиц исследуемой статистической совокупности. Например, исследователь должен сделать вывод о развитии банковского дела. Следовательно, ему необходимо собрать информацию обо всех банках, функционирующих в данном регионе. Так как любая совокупность имеет достаточно сложный характер, то полноту следует понимать как охват множества самых различных признаков совокупности, достоверным и существенным образом описывающих изучаемое явление. Если в процессе наблюдения за банками, например, не будут учтены финансовые результаты, то нельзя произвести окончательные выводы о развитии банковской системы. Кроме того, полнота полагает изучение признаков единиц совокупности за максимально длительные периоды. Довольно полные данные являются, как правило, массовыми и исчерпывающими.

Исследуемые на практике социально-экономические явления весьма многообразны, поэтому охватить все явления сложно и порой вообще нельзя. Исследователь вынужден изучать только часть статистической совокупности, а выводы делать по всей совокупности. В таких ситуациях важнейшим требованием является обоснованный отбор той части совокупности, по которой исследуются признаки. Эта часть должна отображать основные свойства, явления и быть типичной. В реальности в исследуемых явлениях и процессах могут одновременно взаимодействовать несколько совокупностей. В этих ситуациях объект изучения находят так, чтобы ясно выделить исследуемые совокупности.

Признаком единицы совокупности называют ее характерную черту, конкретное свойство, особенность, качество, которое может быть наблюдаемо и измерено. Совокупность, изучаемая во времени или в пространстве, обязана быть сопоставима. Следовательно, на признаки единиц совокупности накладывается требование их сопоставимости и единообразия. Для этого необходимо использовать, например, единые стоимостные оценки. Для того чтобы качественно исследовать совокупность, изучают наиболее значительные или взаимосвязанные признаки. Количество признаков, характеризующих единицу совокупности, не должно быть излишним. Это усложняет сбор данных и обработку результатов. Признаки единиц статистической совокупности нужно комбинировать так, чтобы они дополняли друг друга и обладали взаимозависимостью.

Требование однородности статистической совокупности означает выбор критерия, по которому та или иная единица относится к изучаемой совокупности. Например, если изучается инициативность молодых избирателей, то необходимо установить границы возраста таких избирателей, чтобы исключить людей более старшего поколения. Можно ограничить подобную совокупность представителями сельской местности или, например, студенчества.

Присутствие вариации у единиц совокупности обозначает, что их признаки могут получать всевозможные значения или видоизменения у некоторых единиц совокупности. В связи с этим такие признаки именуются варьирующими, а вариантами называются отдельные значения или видоизменения

Признаки делятся на атрибутивные и количественные. Признак называется атрибутивным или качественным, если он выражается смысловым понятием, например пол человека или его принадлежность к той либо иной социальной группе. Внутри они подразделяются на номинальные и порядковые.

Признак называют количественным, если он выражен числом. По характеру варьирования количественные признаки подразделяются на дискретные и непрерывные. Примером дискретного признака является число людей в семье. В виде целых чисел выражаются, как правило, варианты дискретных признаков. К непрерывным признакам относятся, например, возраст, величина заработной платы, стаж работы и т. д.

По способу измерения признаки делятся на первичные (учитываемые) и вторичные (расчетные). Первичные (учитываемые) выражают единицу совокупности в целом, т. е. абсолютные величины. Вторичные (расчетные) непосредственно не измеряются, а рассчитываются (себестоимость, производительность). Первичные признаки лежат в основе наблюдения статистической совокупности, а вторичные определяются в процессе обработки и анализа данных и представляют собой соотношение первичных признаков.

По отношению к характеризуемому объекту признаки делятся на прямые и косвенные. Прямые признаки – это свойства, непосредственно присущие объекту, который характеризуется (объем продукции, возраст человека). Косвенные признаки являются свойствами, характерными не для самого объекта, а для прочих совокупностей, имеющих отношение к объекту или входящих в него.

По отношению ко времени различают моментальные и интервальные признаки. Моментальные признаки характеризуют изучаемый объект в какой-то момент времени, установленный планом статистического исследования. Интервальные признаки характеризуют результаты процессов. Их значения могут возникать только за интервал времени.

Кроме признаков, состояние исследуемого объекта или статистической совокупности характеризуют показатели. Показатели – одно из главных понятий статистики, который представляет ставляет собой обобщенную количественную оценку социально-экономических процессов и явлений. По целевым функциям статистические показатели делятся на учетно-оценоч-ные и аналитические. Учетно-оценочные показатели – это статистическая характеристика величин социально-экономических явлений в установленных условиях места и времени, т. е. они отображают объемы распространения в пространстве или достигнутые на определенное время уровни.

Аналитические показатели используются для анализа данных изучаемой статистической совокупности и характеризуют специфику развития исследуемых явлений. В качестве аналитических показателей в статистике используются относительные, средние величины, показатели вариации и динамики, показатели связи. Совокупность статистических показателей, отражающих взаимосвязи, которые имеются между явлениями, образует системы статистических показателей.

В целом показатели и признаки в полной мере характеризуют и исчерпывающим образом описывают статистическую совокупность, позволяя исследователю проводить полное изучение явлений и процессов жизни человеческого общества, что и является одной из целей статистической науки.

Центральной категорией статистики является статистическая закономерность. Под закономерностью вообще понимают обнаруживаемую причинно-следственную связь между явлениями, последовательность и повторяемость отдельных признаков, характеризующих явление. В статистике же под закономерностью понимают количественную закономерность изменения в пространстве и времени массовых явлений и процессов общественной жизни в результате действия объективных законов. Следовательно, статистическая закономерность характерна не отдельным единицам совокупности, а всей совокупности в целом и выражается только при достаточно большом числе наблюдений. Таким образом, статистическая закономерность обнаруживает себя как средняя, общественная, массовая закономерность при взаимопогашении индивидуальных отклонений значений признаков в ту или иную сторону.

Итак, проявление статистической закономерности дает нам возможность представить общую картину явления, изучить тенденцию его развития, исключая случайные, индивидуальные отклонения.

fictionbook.ru

Тест по теме » Числовые выражения» алгебра 9 класс

Тематический контроль по алгебре 9 класс.

Тест по теме:

Числовые выражения.

Вариант – І.

1. Вычислите: 2,5-0,4.

А) 1; В) 2; С) 3; Д) 1; Е) 0.

2. Найдите значение выражения:

А) 28; В) 26 С) 24 Д) 14 Е) 196

3. Вычислите:

175+(1000-375):25

А) 32 В) 100 С) 1 Д) 150 Е) 0

4. Вычислите:

10

А) 1 В) С) Д) Е) 2

5. Вычислите:

(81): 121

А) 1 В) 3 С) Д) 0 Е) 5

6. Вычислите:

2

А) 2 В) 2 С) 1 Д) 2 Е)0

7. Вычислите:

А) 2 В) 0 С) 10 Д) 15 Е) 1

8. Вычислите:

А) 0,04 В)0,01 С) 0,03 Д) 1 Е) 0,44

9. Вычислите:

А) В) С) Д) Е) 1

10. Вычислите:

(17,31²-12,69²)-(29,81²-0,19²)

А) -750 В) 750 С) 815 Д) 850 Е) 1

11. Найдите неизвестный член пропорции: х:1

А) 1 В) 1 С) 1 Д) 1 Е) 2

12. Найдите неизвестный член пропорции:

+

А) 2 В) -1 С) 1 Д) — Е) —

13. Разделите число 45 прямо пропорционально числам 4; 5 и 6. Найдите меньшее число.

А) 18 В) 20 С) 12. Д) 16 Е) 15

14. Вычислите:

(6-4,5) :0,003

А) 100 В) 500 С) 200 Д) 1 Е) 10

15. Чему равен НОД суммы и разности 16 и 4.

А) 20 В) 4 С) 8 Д) 10 Е) 12

16. Найдите НОД (90 и 84)

А) 3 В) 12 С) 6 Д) 8 Е) 7

17. Выполните действие:

(81108:27-125 12):4

А) 400 В) 376 С) 300 Д) 1 Е) 375

18. Найдите наименьшей общий делитель чисел 2205 и 2475.

А) 50 В) 40 С) 55 Д) 45 Е) 35

19. Найдите х из пропорции:

А) 5 В) 4 С) 8 Д) 6 Е) 1

20. Решить уравнение:

25(1-2х)²=0

А) 2 В) 1,5 С) 1 Д) 0,5 Е)0

21. Решить уравнение

1

А) 0,48 В) 0,049 С) 0,048 Д) 0,4 Е) 1

22. Решить уравнение

А) х=0,5 В) х=-2 С) х=2 Д) х=-0,2 Е) х=0,2

23. Сумма двух чисел равно 120, а и х разность 5. Найдите эти числа.

А) 63 и 57 В) 80 и 40 С) 62,5 и 57,5 Д) 68 и 52 Е) 105,5 и 14,5

24. Вычислить:

А) -2 В) 4 С) -4 Д) 2 Е) 2

25. Вычислите:

А) 840 В) 8400 С) 84 Д) 8,4 Е) 0,84

Тематический контроль по алгебре 9 класс.

Тест по теме:

Числовые выражения.

ІІ вариант

1. Вычислите:

А) 9 В) 8 С) 6 Д) 1 Е) 2

2. Вычислите:

А) В) С) Д) Е) 5,28

3.

А) 2 В) 1 С) -2 Д) -1 Е) 1

4. Вычислите:

А) 8 В) 7 С) 9 Д) 1 Е) 1

5. Вычислите:

А) 0,6 В) 0,5 С) 0,3 Д) 0,7 Е) 0,1

6. Вычислите:

А) В) С) Д) Е)

7. Найдите неизвестный член пропорции:

3,7:11,1=х:

А) В) С) Д) Е)

8. Найдите неизвестный член пропорции:

2

А) 11 В) 10 С) 20 Д) 15 Е) 18

9. Выполните действия:

А) 1 В) 1 С) -1 Д) -1 Е) 1

10. Вычислите:

А) 1 В) 712 С) 712,8 Д) 0 Е) 712,8

11. Вычислите:

А) 13+6 В) 13-6 С) 23 Д) 23 Е) 13

12. Вычислите действия: 3+

А) 2 В) -2 С) -3 Д) 3 Е)

13. Найдите значение выражения: 15-(3)

А) 12 В) 3 С) 13 Д) 12 Е)

14. Решите уравнение: 3

А) 11 В) 5 С) 5 Д) 11 Е) 1

15. Найти корень уравнения: х-

А) 6 — 1/6 В) 8 С) 5 Д) 12 Е) 10

16. Найдите знечение выражения:

7, если а =5

А) 4 В) 4 С) 3 Д) 0 Е) 1

17. Скорость убегающего зайца составляет скорости собаки. На сколько метров собака сократит расстояние между ними, пробежав 150 м?

А) 125 м В) 25 м С) 180 м Д) 150 м Е) 100 м

18. В семье 3 брата среднему брату 8 года, младший 7 года младше старшего, а старший родился на 3года до рождения среднего. На сколько лет средний брат младше старшего?

А) на 12 года В) на 4 года С) на 8 года

Д) на 3 года Е) на 7 года

19. Решить уравнение: (х—

А) 16 В) 16 С) 3 Д) 3 Е)

20. Решите уравнение: х-2

А) 2 В) 7 С) 6 Д) 2 Е) 1

21. Решите уравнение: 123-(х+37,11)=4,9

А) 165,01 В) 80,99 С) 155,21 Д) 90,79 Е) 90

22. Решите уравнение: -48,3-(х+7,19)=-23,74

А) -79,23 В) -17,37 С) -64,85 Д) 1 Е) -31,75

23. Найдите значение выражения: -(0,8)³ (2,5)²

А) -1,2 В) 1,2 С) 3,2 Д) -3,2 Е) 3

24. Найдите значение выражения

(-1)⁵ 18,4-2,7:(-0,3)³

А) 118,4 В) 81,6 С) -118,4 Д) -81,6 Е)1

25. Решить уравнение

(3х+0,9) 1

А) 3 В) -1 С) 10 Д) 2 Е) 1

Тематический контроль по алгебре 9 класс.

Тест по теме:

Числовые выражения.

Коды правильных ответов

№

Тест

В-1

В-2

1.

А

А

2.

А

Е

3.

А

С

4.

С

Е

5.

С

Д

6.

В

А

7.

Е

А

8.

А

В

9.

Д

Д

10.

А

Е

11.

В

Е

12.

С

Д

13.

С

Д

14.

В

В

15.

В

А

16.

С

А

17.

В

В

18.

Д

Д

19.

Д

Д

20.

Д

В

21.

С

В

22.

С

Е

23.

С

Д

24.

Д

В

25.

А

Е

infourok.ru

Проверочная работа по алгебре для 9 класса ОГЭ Алгебраические выражения

Проверочная работа. Алгебра ОГЭ 1.

Вариант 1.

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

2.  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  

3. Одна из точек, от­ме­чен­ных на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, со­от­вет­ству­ет числу  Какая это точка?

1) точка M 2) точка N 3) точка P 4) точка Q

4. В каком слу­чае числа  и 7 рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  2)  3)  4) 

5. В ла­бо­ра­то­рию ку­пи­ли элек­трон­ный микроскоп, ко­то­рый даёт воз­мож­ность раз­ли­чать объ­ек­ты раз­ме­ром до  Вы­ра­зи­те эту ве­ли­чи­ну в миллиметрах.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 0,0000027 2) 0,000027 3) 0,00027 4) 0,027

6. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  при , .

7. Со­кра­ти­те дробь

8. Сократите дробь 

9.

Проверочная работа. Алгебра ОГЭ 1.

Вариант 2.

1. Найдите зна­че­ние выражения  

2. Запишите в от­ве­те но­ме­ра тех выражений, зна­че­ние ко­то­рых равно −5.

Номера за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без пробелов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных символов.

2) 

3) 

4) 

3. Одна из точек, от­ме­чен­ных на ко­ор­ди­нат­ной прямой, со­от­вет­ству­ет числу   Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) A 2) B 3) C 4) D

4. Вычислите: 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) -49 2) 49 3)  4) 

5. Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­боль­шим?

1)  2)  3)  4) 

6. Упростите вы­ра­же­ние   и най­ди­те его зна­че­ние при  .

7. Найдите значение выражения 

8. Со­кра­ти­те дробь

9. Сократите дробь 

Ответы

Вариант 2 (Вариант № 8543650)

1. Найдите зна­че­ние выражения  

Ответ: 0,44

2. Запишите в от­ве­те но­ме­ра тех выражений, зна­че­ние ко­то­рых равно −5.

Номера за­пи­ши­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния без пробелов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных символов.

2) 

3) 

4) 

Ответ: 24

3. Одна из точек, от­ме­чен­ных на ко­ор­ди­нат­ной прямой, со­от­вет­ству­ет числу    Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) A 2) B 3) C 4) D

Ответ: 3

4. Вычислите: 

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

 1) -49 2) 49 3)  4) 

Ответ: 4

5. Зна­че­ние ка­ко­го из дан­ных вы­ра­же­ний яв­ля­ет­ся наи­боль­шим?

 1)  2)  3)  4) 

Ответ: 3

6. Упростите вы­ра­же­ние   и най­ди­те его зна­че­ние при  .

Ответ: -6

Вариант 1 . (Вариант № 8543554)

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния  Ответ: 1,5

2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния    Ответ: 2,1

3. Одна из точек, от­ме­чен­ных на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой, со­от­вет­ству­ет числу  Какая это точка?

 1) точка M 2) точка N 3) точка P 4) точка Q

Ответ: 3

4. В каком слу­чае числа  и 7 рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 1)  2)  3)  4) 

Ответ: 1

5. В ла­бо­ра­то­рию ку­пи­ли элек­трон­ный микроскоп, ко­то­рый даёт воз­мож­ность раз­ли­чать объ­ек­ты раз­ме­ром до  Вы­ра­зи­те эту ве­ли­чи­ну в миллиметрах.

В ответе укажите номер правильного варианта.

 1) 0,0000027 2) 0,000027 3) 0,00027 4) 0,027

Ответ: 3

6. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния  при , .

Ответ: 14

infourok.ru

Урок 1.1 Найти значение выражения | Математика

Posted By admin on 12.09.2012

Примеры типа “Найти значение выражения” встречаются в тестировании и как самостоятельные задания, и как вычислительная составляющая  в различных задачах. Нахождение значения выражения требует знания порядка действий. Как известно, в первую очередь выполняются действия в скобках, затем возведение в степень (извлечение корня), умножение (деление), в последнюю очередь сложение (вычитание).

Некоторые рекомендации и замечания  для нахождения значения выражения:

1) Не обязательно выполнять все действия только в десятичных дробях или только в обыкновенных. Нужно подходить к решению рационально.

2) Если дальнейшее действие требует сложения или вычитания обыкновенных дробей, лучше в ответе по необходимости выделить целую часть. Если дальнейшее действие – умножение или деление обыкновенных дробей, тогда лучше оставить компоненты операции в виде неправильной дроби.

3) При сложении и вычитании обыкновенных дробей всегда максимально раскладывайте знаменатели на множители. При умножении или делении следует раскладывать и числитель и знамениатель. Вовремя сокращайте! Это наиболее частая ошибка при нахождении значения выражения. Действия становятся громоздкими, вероятность ошибки значительно повышается.

Пример 1

Найти значение выражения

Нахождение НОД

а) методом разложения на множители

б) по алгоритму Эвклида

Следующие примеры попробуйте выполнить самостоятельно, сверьте решения и ответы, перейдя по ссылке.

Пример 2

Найти значение выражения

Пример  3

Найти значение выражения

Пример  4

Найти значение выражения

Пример 5

Найти значение выражения

Решения и ответы

Следующие примеры попробуйте выполнить самостоятельно, сверьте решения и ответы, перейдя по ссылке.

Наиболее просматриваемые записи

Categories: 1 Вычислить выражение
Метки: найти значение выражения, репетитор по математике

matematika911.ru

Приведение дробей к общему знаменателю. Онлайн калькулятор

Общий знаменатель обыкновенных дробей

Если обыкновенные дроби имеют одинаковые знаменатели, то про эти дроби говорят, что они имеют общий знаменатель. Например, дроби

  и  

имеют общий знаменатель 7.

Общий знаменатель – это число, которое является знаменателем для двух и более обыкновенных дробей.

Дроби, имеющие разные знаменатели, можно привести к общему знаменателю.

Приведение дробей к общему знаменателю

Приведение дробей к общему знаменателю – это замена данных дробей, имеющих разные знаменатели, на равные им дроби, у которых одинаковые знаменатели.

Дроби можно привести либо просто к общему знаменателю, либо к наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю нужно:

1. Выполнить сокращение дробей, если это возможно.
2. Найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Именно НОК и станет их наименьшим общим знаменателем.
3. Разделить НОК на знаменатели данных дробей. Этим действием мы находим дополнительный множитель для каждой из данных дробей. Дополнительный множитель – это число, на которое надо умножить члены дроби, чтобы привести её к общему знаменателю.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби и :

1) Находим НОК знаменателей данных дробей:

НОК (8, 12) = 24

2) Находим дополнительные множители:

24 : 8 = 3 (для ) и 24 : 12 = 2 (для )

3) Умножаем члены каждой дроби на свой дополнительный множитель:

Приведение к общему знаменателю можно записывать в более краткой форме, указывая дополнительный множитель рядом с числителем каждой дроби (сверху справа или сверху слева) и не записывая промежуточные вычисления:

К общему знаменателю можно привести и более простым способом, умножив члены первой дроби на знаменатель второй дроби, а члены второй дроби – на знаменатель первой.

Пример. Привести к общему знаменателю дроби и :

В качестве общего знаменателя дробей можно взять произведение их знаменателей.

Приведение дробей к общему знаменателю используется при сложении, вычитании и сравнении дробей, у которых разные знаменатели.

Калькулятор приведения к общему знаменателю

Данный калькулятор поможет вам привести обыкновенные дроби к наименьшему общему знаменателю. Просто введите две дроби и нажмите кнопку Привести.

naobumium.info

Калькулятор наименьшего общего знаменателя (НОЗ)

В реальной жизни нам необходимо оперировать обыкновенными дробями. Однако чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, например, 2/3 и 5/7, нам потребуется найти общий знаменатель. Приведя дроби к общему знаменателю, мы сможем легко осуществить операции сложения или вычитания.

Определение

Дроби — одна из самых сложных тем в начальной арифметике, и рациональные числа пугают школьников, которые встречаются с ними впервые. Мы привыкли оперировать с числами, записанными в десятичном формате. Куда проще сходу сложить 0,71 и 0,44, чем суммировать 5/7 и 4/9. Ведь для суммирования дробей их необходимо привести к общему знаменателю. Однако дроби куда точнее представляют значение величин, чем их десятичные эквиваленты, а в математике представление рядов или иррациональных чисел в виде дроби становится приоритетной задачей. Такая задача носит название «приведение выражения к замкнутому виду».

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же коэффициент, то значение дроби не изменится. Это одно из самых важных свойств дробных чисел. К примеру, дробь 3/4 в десятичной форме записывается как 0,75. Если умножить числитель и знаменатель на 3, то получим дробь 9/12, что точно также равняется 0,75. Благодаря этому свойству мы можем умножать разные дроби таким образом, чтобы они все имели одинаковые знаменатели. Как это сделать?

Поиск общего знаменателя

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее общее кратное для всех знаменателей выражения. Найти такое число мы можем тремя способами.

Использование максимального знаменателя

Это один из самых простых, но трудоемких методов поиска НОЗ. Вначале из знаменателей всех дробей выписываем самое большое число и проверяем его делимость на меньшие числа. Если делится, то наибольший знаменатель и есть НОЗ.

Если в предыдущей операции числа делятся с остатком, то необходимо самое большое из них умножить на 2 и повторить проверку на делимость. Если оно делится без остатка, то новый коэффициент становится НОЗ.

Если нет, то самый большой знаменатель умножается на 3, 4 , 5 и так далее, пока не будет найдено наименьшее общее кратное для нижних частей всех дробей. На практике это выглядит так.

Пусть у нас есть дроби 1/5, 1/8 и 1/20. Проверяем 20 на делимость 5 и 8. 20 не делится на 8. Умножаем 20 на 2. Проверяем 40 на делимость 5 и 8. Числа делятся без остатка, следовательно, НОЗ (1/5, 1/8 и 1/20) = 40, а дроби превращаются в 8/40, 5/40 и 2/40.

Последовательный перебор кратных

Второй способ — это простой перебор кратных и выбор из них наименьшего. Для поиска кратных мы умножаем число на 2, 3, 4 и так далее, поэтому количество кратных устремляется в бесконечность. Ограничить эту последовательность можно пределом, которое представляет собой произведение заданных чисел. К примеру, для чисел 12 и 20 НОК находится следующим образом:

• выписываем числа, кратные 12 — 24, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120;
• выписываем числа, кратные 20 — 40, 60, 80, 100, 120;
• определяем общие кратные — 60, 120;
• выбираем наименьшее из них — 60.

Таким образом, для 1/12 и 1/20 общим знаменателем будет 60, а дроби преобразуются в 5/60 и 3/60.

Разложение на простые множители

Этот способ нахождения НОК наиболее актуален. Данный метод подразумевает разложение всех чисел из нижних частей дробей на неделимые множители. После этого составляется число, которое содержит множители всех знаменателей. На практике это работает так. Найдем НОК для той же пары 12 и 20:

• раскладываем на множители 12 — 2 × 2 × 3;
• раскладываем 20 — 2 × 2 × 5;
• объединяем множители таким образом, чтобы они содержали в себе числа и 12, и 20 — 2 × 2 × 3 × 5;
• перемножаем неделимые и получаем результат — 60.

В третьем пункте мы объединяем множители без повторов, то есть двух двоек достаточно для формирования 12 в комбинации с тройкой и 20 — с пятеркой.

Наш калькулятор позволяет определить НОЗ для произвольного количества дробей, записанных как в обыкновенной, так и в десятичной форме. Для поиска НОЗ вам достаточно ввести значения через табуляцию или запятую, после чего программа вычислит общий знаменатель и выведет на экран преобразованные дроби.

Пример из реальной жизни

Сложение дробей

Пусть в задаче по арифметике нам необходимо сложить пять дробей:

0,75 + 1/5 + 0,875 + 1/4 + 1/20

Решение вручную производилось бы следующим способом. Для начала нам необходимо представить числа в одной форме записи:

• 0,75 = 75/100 = 3/4;
• 0,875 = 875/1000 = 35/40 = 7/8.

Теперь у нас есть ряд обыкновенных дробей, которые необходимо привести к одинаковому знаменателю:

3/4 + 1/5 + 7/8 + 1/4 + 1/20

Так как у нас 5 слагаемых, проще всего использовать способ поиска НОЗ по наибольшему числу. Проверяем 20 на делимость остальными числами. 20 не делится на 8 без остатка. Умножаем 20 на 2, проверим 40 на делимость — все числа делят 40 нацело. Это и есть наш общий знаменатель. Теперь для суммирования рациональных чисел нам необходимо определить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Дополнительные множители буду выглядеть так:

• 40/4 = 10;
• 40/5 = 8;
• 40/8 = 5;
• 40/4 = 10;
• 40/20 = 2.

Теперь умножим числитель и знаменатель дробей на соответствующие дополнительные множители:

30/40 + 8/40 + 35/40 + 10/40 + 2/40

Для такого выражения мы можем легко определить сумму, равную 85/40 или 2 целых и 1/8. Это громоздкие вычисления, поэтому вы можете просто ввести данные задачи в форму калькулятора и сразу получить ответ.

Заключение

Арифметические операции с дробями — не слишком удобная вещь, ведь для поиска ответа приходится осуществлять множество промежуточных вычислений. Используйте наш онлайн-калькулятор для приведения дробей к общему знаменателю и быстрого решения школьных задач.

bbf.ru

Приведение дробей к общему знаменателю, действия с дробями

Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дробичислителем является число 5, а знаменателем — 7.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными.

Дробь называют смешанной, если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

Основное свойство дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть

Приведение дробей к общему знаменателю:

Чтобы привести две дроби к одному знаменателю следует:

1)&nbsp Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
2)&nbsp Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
3)&nbsp Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

Действия с дробями:

Для того, чтобы сложить две дроби необходимо

• Привести дроби к общему знаменателю
• Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

Для того, чтобы вычесть одну дробь из другой необходимо

• Привести дроби к общему знаменателю
• Вычесть числители, а знаменатель оставить без изменений

Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:

Калькулятор:

Данный калькулятор выполняет сложение (+), вычитание (-), умножение (*) и деление (/) дробей.

calcs.ucoz.ru

Привести дроби к общему знаменателю онлайн калькулятор, наименьший общий

   Для того, чтобы с дробями можно было производить математические операции их необходимо привести к общему знаменателю. Онлайн-калькулятор для определения наименьшего общего знаменателя приводит две и больше дроби к самому маленькому общему знаменателю.

Как работать на калькуляторе:

В верхнее окошко необходимо ввести через запятую все дроби.Затем нажать «рассчитать». Данный калькулятор выведет наименьший общий знаменатель и преобразит все дроби для дальнейшей работы с ними.

Разберемся на примере:

Даны две дроби х/с и у/е. Чтобы просуммировать эти дроби их сперва необходимо привести к общему знаменателю. Для этого необходимо:

1. Подобрать число такое, чтобы оно могло делиться на оба знаменателя и в результате получалось целое число.
2. Затем необходимо умножить числитель и знаменатель обеих дробей на это число. Если х=2, с=12, у=3, а е=8, наименьший общий знаменатель 24.
3. Для преображение необходимо 2/12 умножить на 2/2, а 3/8 умножить на 3/3 и мы получим 4/24 и 9/24.

Для упрощение всех этих этапов можно применять данный онлайн калькулятор. Вводим 2/12, 3/8 и после нажатия «рассчитать» получаем 4/24, 9/24.

Числа, действия с числами

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю, правило, примеры, решения.

Материал этой статьи объясняет, как найти наименьший общий знаменатель и как привести дроби к общему знаменателю.

Сначала даны определения общего знаменателя дробей и наименьшего общего знаменателя, а также показано, как найти общий знаменатель дробей. Дальше приведено правило приведения дробей к общему знаменателю и рассмотрены примеры применения этого правила. В заключение разобраны примеры приведения трех и большего количества дробей к общему знаменателю.

Что называют приведением дробей к общему знаменателю?

Если обыкновенные дроби имеют равные знаменатели, то про эти дроби говорят, что они приведены к общему знаменателю.

Так дроби 45/76 и 143/76 приведены к общему знаменателю 76, а дроби 1/3, 3/3, 17/3 и 1 000/3 приведены к общему знаменателю 3.

Если же знаменатели дробей не равны, то такие дроби всегда можно привести к общему знаменателю, умножив их числитель и знаменатель на определенные дополнительные множители.

Например, обыкновенные дроби 2/5 и 7/4 при помощи дополнительных множителей 4 и 5 соответственно приводятся к общему знаменателю 20. Действительно, умножив числитель и знаменатель дроби 2/5 на 4, получим дробь 8/20, а, умножив числитель и знаменатель дроби 7/4 на 5, придем к дроби 35/20 (смотрите приведение дробей к новому знаменателю).

Теперь мы можем сказать, что такое приведение дробей к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю – это умножение числителей и знаменателей данных дробей на такие дополнительные множители, что в результате получаются дроби с одинаковыми знаменателями.

К началу страницы

Общий знаменатель, определение, примеры

Теперь пришло время дать определение общего знаменателя дробей.

Иными словами, общим знаменателем некоторого набора обыкновенных дробей является любое натуральное число, которое делится на все знаменатели данных дробей.

Из озвученного определения следует, что данный набор дробей имеет бесконечно много общих знаменателей, так как существует бесконечное множество общих кратных всех знаменателей исходного набора дробей.

Определение общего знаменателя дробей позволяет находить общие знаменатели данных дробей. Пусть, к примеру, даны дроби 1/4 и 5/6, их знаменатели равны 4 и 6 соответственно.

Положительными общими кратными чисел 4 и 6 являются числа 12, 24, 36, 48, … Любое из этих чисел является общим знаменателем дробей 1/4 и 5/6.

Для закрепления материала рассмотрим решение следующего примера.

Можно ли дроби 2/3, 23/6 и 7/12 привести к общему знаменателю 150?

Для ответа на поставленный вопрос нам нужно выяснить, является ли число 150 общим кратным знаменателей 3, 6 и 12. Для этого проверим, делится ли 150 нацело на каждое из этих чисел (при необходимости смотрите правила и примеры деления натуральных чисел, а также правила и примеры деления натуральных чисел с остатком): 150:3=50, 150:6=25, 150:12=12 (ост.

6).

Итак, 150 не делится нацело на 12, следовательно, 150 не является общим кратным чисел 3, 6 и 12. Следовательно, число 150 не может быть общим знаменателем исходных дробей.

К началу страницы

Наименьший общий знаменатель, как его найти?

В множестве чисел, являющихся общими знаменателями данных дробей, существует наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем.

Сформулируем определение наименьшего общего знаменателя данных дробей.

Осталось разобраться с вопросом, как найти наименьший общий делитель.

Так как наименьшее общее кратное является наименьшим положительным общим делителем данного набора чисел, то НОК знаменателей данных дробей представляет собой наименьший общий знаменатель данных дробей.

Таким образом, нахождение наименьшего общего знаменателя дробей сводится к нахождению НОК знаменателей этих дробей.

Разберем решение примера.

Найдите наименьший общий знаменатель дробей 3/10 и 277/28.

Знаменатели данных дробей равны 10 и 28. Искомый наименьший общий знаменатель находится как НОК чисел 10 и 28. В нашем случае легко найти НОК с помощью разложения чисел на простые множители: так как 10=2·5, а 28=2·2·7, то НОК(15, 28)=2·2·5·7=140.

К началу страницы

Как привести дроби к общему знаменателю? Правило, примеры, решения

Обычно обыкновенные дроби приводят к наименьшему общему знаменателю.

Сейчас мы запишем правило, которое объясняет, как привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю состоит из трех шагов:

• Во-первых, находится наименьший общий знаменатель дробей.
• Во-вторых, для каждой дроби вычисляется дополнительный множитель, для чего наименьший общий знаменатель делится на знаменатель каждой дроби.
• В-третьих, числитель и знаменатель каждой дроби умножается на ее дополнительный множитель.

Применим озвученное правило к решению следующего примера.

Приведите дроби 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю.

Выполним все шаги алгоритма приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Сначала находим наименьший общий знаменатель, который равен наименьшему общему кратному чисел 14 и 18. Так как 14=2·7 и 18=2·3·3, то НОК(14, 18)=2·3·3·7=126.

Теперь вычисляем дополнительные множители, с помощью которых дроби 5/14 и 7/18 будут приведены к знаменателю 126. Для дроби 5/14 дополнительный множитель равен 126:14=9, а для дроби 7/18 дополнительный множитель равен 126:18=7.

Осталось умножить числители и знаменатели дробей 5/14 и 7/18 на дополнительные множители 9 и 7 соответственно.

Имеем и .

Итак, приведение дробей 5/14 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю завершено.

В итоге получились дроби 45/126 и 49/126.

и .

К началу страницы

Приведение к наименьшему общему знаменателю трех и более дробей

Правило из предыдущего пункта позволяет приводить к наименьшему общему знаменателю не только две дроби, но и три дроби, и большее их количество.

Рассмотрим решение примера.

Приведите четыре обыкновенных дроби 3/2, 5/6, 3/8 и 17/18 к наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен наименьшему общему кратному чисел 2, 6, 8 и 18. Для нахождения НОК(2, 6, 8, 18) воспользуемся информацией из раздела нахождение НОК трех и большего количества чисел.

Получаем НОК(2, 6)=6, НОК(6, 8)=24, наконец, НОК(24, 18)=72, поэтому, НОК(2, 6, 8, 18)=72. Таким образом, наименьший общий знаменатель равен 72.

Теперь вычисляем дополнительные множители. Для дроби 3/2 дополнительный множитель равен 72:2=36, для дроби 5/6 он равен 72:6=12, для дроби 3/8 дополнительный множитель есть 72:8=9, а для дроби 17/18 он равен 72:18=4.

Приведение дробей к общему знаменателю

Остался последний шаг в приведении исходных дробей к наименьшему общему знаменателю: .

Профиль автора статьи в Google+

К началу страницы

Общий знаменатель – это любое положительное общее кратное всех знаменателей данных дробей.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, из всех общих знаменателей данных дробей.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.

Предоставление фракций общему знаменателю

Общий знаменатель обычных дробей

Если обычные фракции имеют одинаковые знаменатели, то эти фракции имеют общий знаменатель. К примеру,

и  

они имеют общий знаменатель.

Общий знаменатель Это число, которое является знаменателем для двух или более регулярных дробей.

Фракции с разными знаменателями можно свести к общему знаменателю.

Предоставление фракций общему знаменателю

Предоставление фракций общему знаменателю Является ли замена этих фракций разными знаменателями тех же фракций с теми же знаменателями?

Фракции можно просто привести к общему знаменателю или наименьшему общему знаменателю.

Самый маленький общий знаменатель Это наименьший общий знаменатель этих дробей.

Общий знаменатель фракций в Интернете

Чтобы дать фракции наименьшему общему знаменателю, вам нужно:

1. Если возможно, выполните сокращение фракции.
2. Найдите наименьшие общие каталоги этих дробей. NOC станет их самым маленьким общим знаменателем.
3. Разделите LCM на знаменатели этих дробей. Эта мера находит дополнительный фактор для каждой из этих фракций. Дополнительный коэффициент Является ли число, для которого необходимо умножить члены фракции, чтобы привести его к общему знаменателю?
4. Умножьте числитель и знаменатель каждой фракции с дополнительным фактором.

Пример. Получить общий знаменатель фракций и :

1) Найдите имена NOC этих фракций:

NOC (8, 12) = 24

2) Найдены дополнительные факторы:

24: 8 = 3 (для ) и 24: 12 = 2 (для )

3) Умножьте члены каждой фракции с дополнительным фактором:

Уменьшение общего знаменателя можно записать в более короткой форме, указывая на дополнительный коэффициент в дополнение к счетчику каждой фракции (верхний правый или верхний левый) и не записывая промежуточные вычисления:

Общий знаменатель можно уменьшить легче, умножив члены первой фракции со второй имманентной долей и членами второй фракции знаменателем первой.

Пример. Получить общий знаменатель фракций и :

В качестве общего знаменателя фракций можно взять произведение их знаменателей.

Уменьшение фракций до общего знаменателя используется для добавления, вычитания и сравнения дробей с разными знаменателями.

Калькулятор снижения до общего знаменателя

Этот калькулятор поможет вам довести обычные фракции до самого низкого общего знаменателя.

Просто введите две фракции и нажмите.

5.4.5. Примеры преобразования обычных дробей в наименьший общий знаменатель

 Наименьшим общим знаменателем непрерывных дробей является наименьший общий знаменатель для этих дробей. (см. раздел «Поиск наименьшего общего кратного»: 5.3.5. Найдите наименьшее количество кратных (NOC) заданных номеров).

Чтобы уменьшить долю на наименьшем общем знаменателе, необходимо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, и это будет наименьший общий знаменатель.

2) находит дополнительный коэффициент для каждой из фракций, для которых новый знаменатель распределяется с именем каждой фракции. 3) умножить числитель и знаменатель каждой фракции с дополнительным фактором.

Примеры. Чтобы уменьшить следующие фракции до самого низкого общего знаменателя.

Мы находим наименьший общий многозначный знаменатель: LCM (5; 4) = 20, так как 20 — наименьшее число, разделенное на 5 и 4.

Для первой доли найден дополнительный коэффициент 4 (20:5 = 4). Для второй фракции имеется дополнительный коэффициент 5 (20:4 = 5). Умножьте число и знаменатель первой фракции на 4, а счетчик и знаменатель второй части на 5.

Мы уменьшили эти дроби до наименьшего общего знаменателя (20).

Наименьшим общим знаменателем для этих дробей является число 8, так как оно делится на 4 и внутри.

Для первой доли нет дополнительного фактора (или можно сказать, что он равен единице), второй фактор является дополнительным фактором 2 (8:4 = 2). Умножьте числитель и знаменатель второй фракции на 2.

Онлайн калькулятор. Предоставление фракций общему знаменателю

Мы уменьшили эти дроби до наименьшего общего знаменателя (8-е место).

Эти фракции не являются невыносимыми.

Первая фракция была уменьшена на 4, а вторая фракция была уменьшена на 2. (См. Примеры для сокращения обычных фракций: Карта сайта → 5.4.2.

Примеры сокращения обычных фракций). Находки НОК (16; 20) = 24·5 = 16·5 = 80. Дополнительным фактором для 1-й фракции является 5 (80:16 = 5). Дополнительным фактором для второй фракции является 4 (80:20 = 4).

Мы умножаем числитель и знаменатель первой фракции с 5, а счетчик и знаменатель второй фракции 4. Дробная информация была дана наименьшему общему знаменателю (80).

Найдите наименьший общий знаменатель NOx (5; 6 и 15) = NOK (5; 6 и 15) = 30. Дополнительным фактором для первой фракции является 6 (30:5 = 6), является дополнительным фактором во второй части 5 (30:6 = 5), является дополнительным фактором для третьей фракции 2 (30:15 = 2).

Число и знаменатель первой фракции умножаются на 6, счетчик и знаменатель второй фракции с 5, счетчик и знаменатель третьей фракции с 2. Частичным данным был дан наименьший общий знаменатель30).

Страница 1 из 11

vipstylelife.ru

Как конвертировать DJVU в PDF бесплатно

На сегодняшний день книжные издания очень часто переводятся в электронный формат, что значительно облегчает многим пользователям жизнь в том случае, когда хорошей библиотеки с большим объемом данных нет. Устройства, начиная от компьютеров и ноутбуков, а заканчивая смартфонами и электронными книгами, уже давно воспринимают такой формат файлов, как PDF – являющийся основным при переносе книги в электронную форму. Однако многие интересные для пользователя издания не представлены в таком виде, а для их создания используют формат DJVU, который требует специального софта для прочтения, что иногда становится проблемой. В статье речь пойдет о том, как произвести конвертацию электронного формата DJVU в PDF, а для тех, кто все же желает открыть имеющийся файл DJVU, в сети Интернет имеется специальное программное обеспечение, которое при желании не трудно отыскать.

Онлайн-конвертер DJVU в PDF

Лучшим вариантом для пользователей, не желающих или не умеющих устанавливать какое-либо программное обеспечение на свой компьютер, является использование различных интернет-порталов осуществляющих сервис конвертации файлов из одного формата в другой. Среди существующих на сегодняшний день вариантов лучшим для конвертации является портал «ConvertOnlineFree» — бесплатный функционал, широкий диапазон обрабатываемых файлов, быстрая работа и т.д. Что касается непосредственно перевода, то зайдя на сайт http://convertonlinefree.com/ пользователь должен:

• войти в необходимый раздел, как показано на скриншоте;

• в следующем появившемся меню необходимо выбрать через кнопку «Обзор…» конвертируемый файл и нажать «Конвертировать». Стоит сказать, что тест показал отличную конвертацию книги размером около 30 мегабайт и объемом более 100 страниц, что является отличным результатом для сервиса предоставляемого совершенно бесплатно;

• если после начатого процесса активации выдано сообщение об ошибке, то стоит повторить попытку, т.к. периодически возникают непонятные неполадки в системе решаемые повторением всех действий;

• далее можно скачать полученный при конвертации файл и начинать работать с ним в любом редакторе. Обычно процесс скачивания начинается автоматически, если это позволяют настройки браузера или, как показано на скриншоте, будут предложены варианты действий с файлом.

PDF принтер для конвертирования DJVU

Если же рассматривать программное обеспечение способное решить поставленную задачу, то на помощь пользователю, столкнувшемуся с проблемой конвертирования, приходит специальный софт – PDF принтер. Программа BullZip Free PDF является ярким представителем данной категории софта. Начальные действия очень просты:

• скачиваем программу, которая находится в свободном доступе на сайте производителя;
• установка также не должна вызвать затруднений, поскольку стандартный инсталлятор мало чем отличается от тех, что используются при установке других программ;
• функционал приложения огромен, но речь пойдет непосредственно о том, как при помощи данного софта производится конвертация.

После установки пользователь видит стандартный интерфейс программы. Чтобы перевести DJVU в PDF, необходимо выполнить следующие действия.

1. Открываем необходимый нам файл DJVU через эту программу.
2. В меню «Файл» выбираем раздел «Печать».
3. В открывшемся окне в строке с выбором принтера устанавливаем вариант «BullZip PDF Printer».
4. После выполнения последнего действия начнется создание файла. Далее пользователю будет предложено сохранить его в нужное место.

Между работой описанного онлайн-конвертера и данного софта имеются значимые различия. Стоит сказать, что файл в первом случае получается гораздо меньше, но вполне возможно, что если при конвертировании через BullZip придется произвести различные настройки до начала процесса.

it-increment.ru

Конвертировать djvu в pdf

Конвертация файлов DJVU в PDF возможна несколькими способами.

Первый, это с помощью конвертера. Более быстрый и легкий способ. Но программа платная, можно запускать в пробном режиме с ограничениями.

Второй способ с помощью установки виртуального принтера. Все достаточно легко, о нюансах расскажу в данной статье.

Конвертировать djvu в pdf сначала попробуем первым способом. Его минус в том, что если программу использовать в пробной версии, после конвертации в PDF-файлах будет навязчивая картинка с сообщением, что конвертация была сделана этой программой.

А плюс, работает быстрее второго способа, что особенно важно при конвертации больших DJVU файлов, где 100+ страниц.

Качаем программу Stdu-Converter с оф. сайта.  http://www.stdutility.com/download/stduconverter.exe

Устанавливаем. Запускаем. Выбираем «Use trial»

В строчке «Source file» жмем «Browse» и выбираем файл, который хотим конвертировать.

Строка «Destination PDF file» показывает месторасположение будущего PDF файла. Можно пометь название и расположение.

Дополнительные опции открываться кнопочкой «Advanced»

В строке «Pages list» можно указать какие страницы будем конвертировать. Выделить все страницы – правой кнопкой мышки на списке «Select» — «All Pages». Снять галочки — «Uncheck pages», поставить – «Check pages».

Жмем «Convert» и PDF файл готов!

Для второго способа понадобиться программа novaPDF. Качаем с оф. сайта —  http://www.novapdf.com/download/setup/novapl.exe

В процессе установки выбираем «novaPDF».

Галочку «Сделать novaPDF принтером по умолчанию» можно не ставить.

Также понадобиться программа WinDjView, позволяющая просматривать файлы DJVU и печатать их. Качаем с сайта — http://windjview.sourceforge.net/ru/

Устанавливаем, открываем программой WinDjView наш файл. Далее нажимаем «Файл» — «Печать» или «File» — «Print»

Там где принтер «Name» выбираем  — «novaPDF». Там, где страницы «Pages», выбираем какие нам нужно конвертировать, если все, ставим «All». Для эксперимента рекомендую поставить 1-2. Так как 100-200 будет может быть долго. Нажимаем «Print»

В следующем окошке, в поле «Файл» можно выбрать имя, путь, куда сохранить PDF-файл. Нажимаем «ОК»

Все, файл готов! Конвертировать djvu в pdf данным способом удобно если файл небольшого размера, для больших файлов нужен хороший компьютер или немного подождать.

pc-knowledge.ru

Программы для конвертирования pdf в djvu. Конвертируем djvu в pdf

PDF to DJVU Converter — программа-конвертер, предназначенная для конвертирования PDF в DJVU . Используя эту программу мы сможем успешно . «Но зачем конвертировать PDF в DJVU», — наверное, спросите Вы. Дело в том, что в большинстве случаев книги в DJVU формате занимают намного меньше места, чем их аналоги в PDF формате. Соответственно из соображений экономии места на компьютере можно .

В этом руководстве будет дана подробная инструкция как конвертировать PDF в DJVU . Стоит отметить, что на нашем сайте рассматривался обратный процесс: конвертирование DJVU в PDF , но теперь мы покажем, как можно . Для успешного конвертирования нам нужна программа, которая умеет это делать. Как было упомянуто выше — эта программа называется PDF to DJVU Converter . Ее нужно скачать. Скачать можете по ссылкам в конце этой статьи. Ну а теперь приступим к нашей главной задаче — .

ИНСТРУКЦИЯ ПО КОНВЕРТИРОВАНИЮ PDF В DJVU

Итак, скачали архив с программой PDF to DJVU Converter , распаковываем архив, открываем папку PDFtoDJVU/bin и двойным щелчком мыши запускаем файл pdf2djvugui.exe или просто pdf2djvugui (если расширение файлов у Вас не отображается). Откроется главное окно PDF to DJVU Converter :

Теперь в строке «Input File» нажимаем на кнопку «Browse» и указываем PDF файл , который надо конвертировать в DJVU. Смотрим скриншоты:

В строке «Output File» (Выходной файл) указана папка, где будет размещен файл в DJVU формате. По умолчанию это та же папка, где содержится исходный файл (PDF формат). Чтобы начать конвертирование PDF в DJVU кликаем «ОК».

Итак, конвертирование PDF в DJVU успешно завершено. После завершения конвертирования автоматически откроется наш DJVU файл. (Какой программой открыть DJVU формат обсуждалось в статье:

Сервис позволяет произвести преобразование (конвертировать) из формата Adobe Acrobat (PDF) в формат DJVU

PDF – это сокращение от Portable Document Format, что можно перевести с английского как «Формат Переносимого Документа». Его разработала компания Adobe Systems для использования федеральными властями США в качестве инструмента хранения рабочих документов. Это универсальный межплатформенный формат, который сейчас является стандартным для электронных документов. Он служит для того, чтобы без каких-либо потерь преобразовывать текстовые файлы (в том числе с фотографиями или иными изображениями) в электронные документы. Для чтения PDF-файлов нужны специальные программы – Adobe (Acrobat) Reader, PDF-Viewer и другие.

DJVU – это формат растровых изображений, который используется для того, чтобы хранить в отсканированном виде журналы, книги, каталоги, другие виды печатной продукции, а также просто отсканированных изображений. Кроме того, файлы указанного формата, разработанного компанией LizardTech, могут применяться для текстовых документов, в которых имеется много формул, рисунков, схем. Другие форматы аналогичной функциональности не способны отражать все детали таких файлов столь точно. DJVU – оптимальный формат для создания электронных библиотек, в которых может быть большие объемы файлов.

Отзывы

Как конвертировать файл в формате DjVu в файл в формате PDF с помощью программы? С такой проблемой часто сталкиваются пользователи, когда из файла в формате DjVu необходимо получить файл в формате PDF.

Файл, сохраненный в формате DjVu («дежавю»), в отличие от аналогичного файла в формате PDF имеет значительно меньший размер. Поэтому в формате DjVu часто сохраняется техническая литература, энциклопедии, словари и т. п., другие документы, имеющие в своем составе много изображений, схем, фотографий. Страницы книг сохраняются в хорошем качестве, а сам файл будет значительно меньшего размера, чем такой же файл в формате PDF.

Почему возникает необходимость перевода DjVu в PDF? Дело в том, что существует небольшое количество программ, созданных для просмотра файлов в формате DjVu. О самых популярных просмотрщиках DjVu вы можете прочитать в разделе «Текст» на моем сайте.

Второй важный момент, проблема просмотра файлов формата DjVu на разных устройствах. Если на компьютере с просмотром «дежавю» нет проблем, то на мобильных устройствах с этим сложнее. Даже, если есть соответствующие приложения, то возможны проблемы с форматированием и т. п.

Преимущество формата PDF в его универсальности, нет проблем с просмотром. Важным преимуществом является то, что документ в формате PDF выглядит одинаково на все

ellunium.ru

DjVu to PDF онлайн — конвертируем бесплатно

Как преобразовать формат DjVu в PDF без установки конвертера?

В настоящее время, для того, чтобы конвертировать различные расширения файлов не нужно захламлять свой ПК кучей специального софта. Самый удобный вариант среди пользователей – это онлайн конвертер, который по своему функционалу практически не уступает обычной компьютерной версии.

Среди огромного количества платных и бесплатных сервисов, трудно найти действительно стоящий. Одни сайты ограничивают размер исходных DjVu, что делает невозможным преобразование крупногабаритных медиа, другие – не имеют даже самых простых функций, например:

• Черно-белый вариант PDF для электронных книг без графики.
• Режим для медиафайлов в цвете.
• Несколько видов сжатия.
• Предпросмотр произвольно преобразованных страниц для оценки конечного результата.

И чтобы вы не шастали по интернету в поисках качественного преобразователя DjVu в PDF, мы предлагаем оценить самый популярный и проверенный нами онлайн конвертер, находящийся по адресу www.djvu-pdf.com. Почему мы выбрали именно его?

• Во-первых, это единственный сервис в сети, который распознает скрытый текст в конвертируемых файлах.
• Во-вторых, он может извлекать из электронных книг только один текст, убирая иллюстрации (в зависимости от настроек).
• В-третьих, он предоставляет возможность конвертировать файлы неограниченного размера.
• И в-четвертых, он быстро загружает DjVu на сайт и сбрасывает PDF на компьютер.

Но это еще далеко не все фишки веб-ресурса, поэтому давайте закинем на него «дежавю» файлик и посмотрим, как он с ним справится…

Кстати! Данный сайт не поддерживает русский язык, поэтому скачайте специальное расширение «Переводчик» для своего браузера. Хотя, с нашей инструкцией вы все и так поймете, так как все необходимые действия не только описаны, но и показаны на скриншотах.

Как работает онлайн конвертер

1. Чтобы конвертировать расширение, необходимо загрузить ваш DjVu на сайт. Для этого, нажмите на кнопочку «Обзор/Выберите файл» и в открывшемся окошке, укажите его местонахождение на жестком диске.

Если вам нужен «чистый» файл PDF, без каких либо настроек, сжатий и тому подобное, то жмите «Поехали!» и потом «Преобразовать!», а мы пока рассмотрим все функции, которые сервис предоставляет бесплатно.

Первая вкладка имеет три варианта настроек

• Черно-белый формат с резким контрастом для электронных книг с минимальным количеством иллюстраций. По желанию, можно сделать первую страницу цветной.
• Если вам не нужна графика, то вы можете извлечь только текст для работы в самой популярной читалке eReader.
• Обычный режим преобразования файлов в таком виде, какие они есть (следует выбирать для работы с документами, содержащими много графики).

В разделе «PDF с возможностью поиска файлов», вы можете добавить необходимую информацию о документе. Поставьте галочку напротив «Использовать информацию…» и следуйте дальнейшим подсказкам сервера.

Для начала онлайн-конвертации, нужно нажать на кнопку «Преобразовать». Также вы можете выбрать уровень сжатия «Нормальный» или «Сильный». Только не забывайте, что сильное сжатие уменьшает качество PDF.

Если вы нажмете на «Предварительный просмотр», то можете увидеть, как будут выглядеть 15 выбранных случайным образом документов после конвертации.

Теперь, вам нужно дождаться окончания обработки и скопировать ссылку для загрузки файла

Когда PDF будет полностью готов, высветится окошко, в котором вы сможете скачать новоиспеченный документ на жесткий диск ПК

Загрузка начнется автоматически. Ищите новоиспеченный файл в разделе «Загрузки» вашего браузера или в папке Download в «Моих документах».

Итог

На данный момент, сервис djvu-pdf.com самый продвинутый среди аналогичных онлайн конвертеров. С его помощью, вы можете абсолютно бесплатно преобразовать любые DjVu-файлы с закодированным текстом. Более того, сайт предоставляет большинство настроек компьютерных версий приложений, благодаря чему, отсекается необходимость их установки.

Оставить отзыв к сервису DjVu to PDF онлайн

mydjvu-pro.ru

Прогрессия арифметическая и геометрическая — Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической? — 22 ответа



Арифметическая и геометрическая прогрессия

В разделе Школы на вопрос Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической? заданный автором Переброситься лучший ответ это Арифметическая прогрессия — это последовательность в разницу НА определенное число.
Например: 1,5,9,13,…
Здесь разница на 4
Геогметрическая прогрессия — это последовательность в разницу В определенное число
Например: 1,4,16,64,…
Здесь последующее число больше предыдущего в 4 раза

Оксид азота (V) — это… Что такое Оксид азота (V)?



Оксид азота (V)

Окси́д азо́та(V) (пентаоксид диазота, азотный ангидрид) N₂O₅ — бесцветные, очень летучие кристаллы. Крайне неустойчив.

Газообразный азотный ангидрид состоит из отдельных молекул, строение которых отвечает формуле O₂N–О–NO₂ и имеет неплоскую структуру. Кристаллы образованы ионами NO₂⁺ и NO₃^— (нитрат нитроила).

Получение

1) Путём дегидратации азотной кислоты HNO₃ посредством P₂O₅:

2HNO₃ + P₂O₅ → 2HPO₃ + N₂O₅;

12HNO₃ + P₄O₁₀ → 4H₃PO₄ + 6N₂O₅;

2) Пропуская сухой хлор над сухим нитратом серебра:

4AgNO₃ + 2Cl₂ → 4AgCl + 2N₂O₅ + O₂↑;

3) Путём взаимодействием оксида азота(IV) с озоном:

2NO₂ + O₃ → N₂O₅ + O₂↑.

Свойства

Типичный кислотный оксид. N₂O₅ легко летуч и крайне неустойчив. Разложение происходит со взрывом, чаще всего — без видимых причин:

2N₂O₅ → 4NO₂↑ + O₂↑ + Q.

Растворяется в воде с образованием азотной кислоты (обратимая реакция):

N₂O₅ + H₂O ↔ 2HNO₃.

Растворяется в щелочах с образованием нитратов:

N₂O₅ + 2NaOH → 2NaNO₃ + H₂O.

Физиологическое действие

Как и все оксиды азота (за исключением оксида азота(I) N₂O), N₂O₅ токсичен. Работа с N₂O₅ требует осторожности, поскольку реакция его разложения сильно экзотермическая. Кроме того, при разложении он даёт ядовитый NO₂.

Wikimedia Foundation. 2010.

• Оксид азота (I)
• Оксид азота (IV)

Смотреть что такое «Оксид азота (V)» в других словарях:

• Оксид азота(II) — Оксид азота(II) …   Википедия

• Оксид азота(I) — Газ без цвета, со сладким вкусом и запахом Общие Систематическое наименование Оксонитрид азота(I) Химическая формула N2O Физические свойства …   Википедия

• Оксид азота(IV) — Оксид азота(IV) …   Википедия

• Оксид азота (II) — Оксид азота(II) Общие Систематическое наименование Оксид азота(II) Химическая формула …   Википедия

• Оксид азота(V) — Оксид азота(V) …   Википедия

• Оксид азота (IV) — Оксид азота(IV) Общие …   Википедия

• Оксид азота (I) — Оксид азота(I) Общие Систематическое наименование Оксид азота(I) Химическая формула N2O Отн. молек. масса 44 а. е. м …   Википедия

• оксид азота — — [http://www.eionet.europa.eu/gemet/alphabetic?langcode=en] EN nitrogen monoxide A colourless gas, soluble in water, ethanol and ether. It is formed in many reactions involving the reduction of nitric acid, but more convenient reactions… …   Справочник технического переводчика

• Оксид азота — Оксиды азота  соединения азота с кислородом. Содержание 1 Список оксидов 2 N2O 3 NO 4 N2O3(III) 5 NО2, N2O4 …   Википедия

• оксид азота (NO) — 3.5.3 оксид азота (NO): Продукт, относящийся к классу опасности 3. Источник: ГОСТ Р 51206 20 …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

dic.academic.ru

N2O5 какой это оксид

Азотный ангидрид (N2O5 какой это оксид?) образуется в виде летучих бесцветных гигроскопичных кристаллов при пропускании паров азотной кислоты через колонку с оксидом фосфора (V):

   

Твердый построен из ионов и , а в газовой фазе и растворах состоит из молекул . Это вещество очень неустойчиво и в течение нескольких часов распадается (период полураспада 10 ч), при нагревании – со взрывом:

   

При растворении в воде образуется азотная кислота.
Высший оксид азота является сильным окислителем, например:

   

В безводных кислотах (серной, азотной, ортофосфорной, хлорной) распадается, образуя катион нитрония :

   

ru.solverbook.com

Оксид азота (I, II, III, IV, V): свойства, получение, применение

Введение

Если внимательно взглянуть на азот в периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева, то можно заметить, что он имеет переменную валентность. Это значит, что азот образует сразу несколько бинарных соединений с кислородом. Некоторые из них были открыты недавно, а некоторые — изучены вдоль и поперек. Существуют малостабильные и устойчивые оксиды азота. Химические свойства каждого из этих веществ совершенно разные, поэтому при их изучении нужно рассматривать как минимум пять оксидов азота. Вот о них и пойдет речь в сегодняшней статье.

Оксид азота (I)

Формула — N₂O. Иногда его могут называть оксонитридом азота, оксидом диазота, закисью азота или веселящим газом.

Свойства

В обычных условиях представлен бесцветным газом, имеющим сладковатый запах. Его могут растворять вода, этанол, эфир и серная кислота. Если газобразный оксид одновалентного азота нагреть до комнатной температуры под давлением 40 атмосфер, то он сгущается до бесцветной жидкости. Это несолеобразующий оксид, разлагающийся во время нагревания и показывающий себя в реакциях как восстановитель.

Получение

Этот оксид образуется, когда нагревают сухой нитрат аммония. Другой способ его получения — термическое разложение смеси «сульфаминовая + азотная кислота».

Применение

Используется в качестве средства для ингаляционного наркоза, пищевая промышленность знает этот оксид как добавку E942. С его помощью также улучшают технические характеристики двигателей внутреннего сгорания.

Оксид азота (II)

Формула — NO. Встречается под названиями монооксида азота, окиси азота и нитрозил-радикала

Свойства

При нормальных условиях имеет вид бесцветного газа, который плохо растворяется в воде. Его трудно сжижить, однако в твердом и жидком состояниях это вещество имеет голубой цвет. Данный оксид может окисляться кислородом воздуха

Получение

Его довольно просто получить, для этого нужно нагреть до 1200-1300^оС смесь азота и кислорода. В лабораторных условиях он образуется сразу при нескольким опытах:

• Реакция меди и 30%-ного раствора азотной кислоты.
• Взаимодействие хлорида железа, нитрита натрия и соляной кислоты.
• Реакция азотистой и иодоводородной кислот.

Применение

Это одно из веществ, из которых получают азотную кислоту.

Оксид азота (III)

Формула — N₂O₃. Также его могут называть азотистым ангидридом и сесквиоксидом азота.

Свойства

В нормальных условиях является жидкостью, которая имеет синий цвет, а в стандартных — бесцветным газом. Чистый оксид существует только в твердом агрегатном состоянии.

Получение

Образуется при взаимодействии 50%-ной азотной кислоты и твердого оксида трехвалентного мышьяка (его также можно заменить крахмалом).

Применение

С помощью этого вещества в лабораториях получают азотистую кислоту и ее соли.

Оксид азота (IV)

Формула — NO₂. Также его могут называть диоксидом азота или бурым газом.

Свойства

Последнее название соответствует одному из его свойств. Ведь этот оксид имеет вид или красно-бурого газа или желтоватой жидкости. Ему присуща высокая химическая активность.

Получение

Данный оксид получают при взаимодействии азотной кислоты и меди, а также во время термического разложения нитрата свинца.

Применение

С помощью него производят серную и азотную кислоты, окисляют жидкое ракетное топливо и смесевые взрывчатые вещества.

Оксид азота (V)

Формула — N₂O₅. Может встречаться под названиями пентаоксида диазота, нитрата нитроила или азотного ангидрида.

Свойства

Имеет вид бецветных и очень летучих кристаллов. Они могут плавиться при температуре 32,3^оС.

Получение

Этот оксид образуется при нескольких реакциях:

• Дегидрация азотной кислоты оксидом пятивалентного фосфора.
• Пропускание сухого хлора над нитратом серебра.
• Взаимодействие озона с оксидом четырехвалентного азота.

Применение

Из-за своей крайней неустойчивости в чистом виде нигде не используется.

Заключение

В химии существует девять оксидов азота, приведенные выше являются только классическими соединениями этого элемента. Остальные четыре — это, как уже было сказано, нестабильные вещества. Однако их все объединяет одно свойство — высокая токсичность. Выбросы оксидов азота в атмосферу приводят к ухудшению состояния здоровья живущих поблизости от промышленных химических предприятий людей. Симптомы отравления каким-либо из этих веществ — токсический отек легких, нарушение работы центральной нервной системы и поражение крови, причина которого — связывание гемоглобина. Поэтому с оксидами азота необходимо осторожно обращаться и в большинстве случаев использовать средства защиты.

fb.ru

Формула азота в химии

Атомная масса: 14,008.а.е.м.

Электронная и графическая формула азота

Электронная формула: 1s² 2s² 2p³.

Электронно-графическая формула внешнего электронного слоя атома азота:

Азот является одним из самых распространенных элементов на Земле, а также одним из основных биогенных элементов, входит в состав белков и нуклеиновых кислот.

Азот – простое вещество, состоящее из двух атомов азота.

Формула: N₂.

Структурная формула азота

Структурная формула:

Молярная масса: 28,016 г/моль.

При нормальных условиях азот – бесцветный газ, не имеет запаха, цвета и вкуса, плохо растворим в воде. В жидком состоянии – бесцветная, подвижная жидкость. При контакте с воздухом жидкий азот поглощает из него кислород. В твердом состоянии (−209,86°C) существует в виде снегоподобной массы или больших белоснежных кристаллов.

Молекула азота очень прочная, поскольку между атомами азота в молекуле N₂ образуется тройная связь N≡N. Вследствие этого многие соединения азота имеют положительную энтальпию образования (галогениды, азиды, оксиды), а соединения азота термически неустойчивы и довольно легко разлагают ся при нагревании. Химически азот довольно инертен, поэтому в природе находится главным образом в свободном состоянии.

Азот при обычных условиях реагирует только с литием:

при нагревании может вступить в реакцию с некоторыми другими металлами и неметаллами, также с образованием нитридов:

Наибольшее практическое значение имеет аммиак (нитрид водорода) NH₃, который получается при взаимодействии водорода с азотом:

В электрическом разряде азот реагирует с кислородом, образуя оксид азота(II) NO:

Азот также может образовывать комплексные соединения с переходными металлами.

Примеры решения задач

ru.solverbook.com

Оксиды азота

Оксиды азота

При описании свойств азота отмечалось, что при непосредственном взаимодействии азота с кислородом образуется только оксид азота (II) NO. Однако существуют оксиды азота со всеми возможными степенями окисления (от +1 до +5).

 

 

N₂O — оксид азота (I), «веселящий газ»

При обычной температуре N₂O — бесцветный газ со слабым приятным запахом и сладковатым вкусом; обладает наркотическим действием, вызывая сначала судорожный смех, затем — потерю сознания.

Способы получения

1. Разложение нитрата аммония при небольшом нагревании:

NH₄NO₃ = N₂O↑ + 2Н₂О

2. Действие HNO₃ на активные металлы

10HNO₃(конц.) + 4Са = N₂O↑ + 4Ca(NO₃)₂ + 5Н₂О

Химические свойства

N₂O не проявляет ни кислотных, ни основных свойств, т. е. не взаимодействует с основаниями, с кислотами, с водой (несолеобразующий оксид).

При Т > 500’С разлагается на простые вещества. N₂O — очень сильный окислитель. Например, способен в водном растворе окислить диоксид серы до серной кислоты:

N₂O + SO₂ + Н₂О = N₂↑ + H₂SO₄

NO — оксид азота (II), монооксид азота.

При обычной температуре NO — бесцветный газ без запаха, малорастворимый в воде, очень токсичный (в больших концентрациях изменяет структуру гемоглобина).

Способы получения

1. Прямой синтез из простых веществ может быть осуществлен только при очень высокой Т:

N₂ + O₂ = 2NО — Q

2. Получение в промышленности (1-я стадия производства HNO₃).

4NH₃ + 5O₂ = 4NО + 6Н₂О

3. Лабораторный способ — действие разб. HNO₃ на тяжелые металлы:

8HNO₃ + 3Cu = 2NO + 3Cu(NO₃)₂ + 4Н₂О

Химические свойства

NO — несолеобразующий оксид (подобно N₂О). Обладает окислительно-восстановительной двойственностью.

2NO + SO₂ + Н₂О = N₂O↑ + H₂SO₄

2NO + 2H₂ = N₂ + 2Н₂О (со взрывом)

2NO + O₂ = 2NO₂

10NO + 6KMnO₄ + 9H₂SO₄ = 10HNO₃ + 3K₂SO₄ + 6MnSO₄ + 4Н₂О

NO₂ — оксид азота (IV), диоксид азота

При обычной температуре NO₂ — красно-бурый ядовитый газ с резким запахом. Представляет собой смесь NO₂ и его димера N₂O₄ в соотношении -1:4. Диоксид азота хорошо растворяется в воде.

Способы получения

I. Промышленный — окисление NO: 2NO + O₂ = 2NO₂

II. Лабораторные:

действие конц. HNO₃ на тяжелые металлы: 4HNO₃ + Сu = 2NO₂↑ + Cu(NO₃)₂ + 2Н₂О

разложение нитратов: 2Pb(NO₃)₂ = 4NO₂↑ + O₂↑ + 2РbО

Химические свойства

NO₂ взаимодействует с водой, основными оксидами и щелочами. Но реакции протекают не так, как с обычными оксидами — они всегда окислительно — восстановительные. Объясняется это тем, что не существует кислоты со С.О. (N) = +4, поэтому NO₂ при растворении в воде диспропорционирует с образованием 2-х кислот — азотной и азотистой:

2NO₂ + Н₂О = HNO₃ + HNO₂

Если растворение происходит в присутствии O₂, то образуется одна кислота — азотная:

4NO₂ + 2Н₂О + O₂ = 4HNO₃

Аналогичным образом происходит взаимодействие NO₂ со щелочами:

в отсутствие O₂: 2NO₂ + 2NaOH = NaNO₃ + NaNO₂ + Н₂О

в присутствии O₂: 4NO₂ + 4NaOH + O₂ = 4NaNO₃ + 2Н₂О

По окислительной способности NO₂ превосходит азотную кислоту. В его атмосфере горят С, S, Р, металлы и некоторые органические вещества. При этом NO₂ восстанавливается до свободного азота:

10NO₂ + 8P = 5N₂ + 4P₂O₅

2NO₂ + 8HI = N₂ + 4I₂ + 4Н₂О (возникает фиолетовое пламя)

В присутствии Pt или Ni диоксид азота восстанавливается водородом до аммиака:

2NO₂ + 7Н₂ = 2NH₃ + 4Н₂О

Как окислитель NO₂ используется в ракетных топливах. При его взаимодействии с гидразином и его производными выделяется большое количество энергии:

2NO₂ + 2N₂H₄ = 3N₂ + 4Н₂О + Q

N₂O₃ и N₂O₅ — неустойчивые вещества

Оба оксида имеют ярко выраженный кислотный характер, являются соответственно ангидридами азотистой и азотной кислот.

N₂O₃ как индивидуальное вещество существует только в твердом состоянии ниже Т пл. (-10⁰С).

С повышением температуры разлагается: N₂O₃ → NO + NO₂

N₂O₅ при комнатной температуре и особенно на свету разлагается так энергично, что иногда самопроизвольно взрывается:

2N₂O₅ = 4NO₂ + O₂

examchemistry.com

Оксиды азота | Химическая энциклопедия

Для азота известны оксиды, отвечающие всем его положительным степеням окисления (+1, +2, +3, +4, +5). Оксид азота(І) N20 и оксид азота (II) NO — несолеобразующие оксиды, остальные — солеобразующие кислотные оксиды. Все оксиды азота, за исключением оксида азота(І), ядовиты.

Еще в XVIII в. было замечено, что вдыхание небольших количеств оксида азота(І) N2O приводит к безудержному веселью. Отсюда и название этого соединения — «веселящий газ». Длительное время его использовали в медицине для наркоза.

Оксиды азота

Название	Формула	Окраска, агрегатное состояние	Кислотно-основные свойства	Продукт взаимодействия с водой
Оксид азота(I)	N2O	Бесцветный газ	Несолеобразующий	—
Оксид азота(II)	NO	Бесцветный газ	Несолеобразующий	—
Оксид азота(III)	N2O3	Темно-синяя жидкость	Кислотный	Азотистая кислота HNO2
Оксид азота(IV)	NO2	Бурый газ, ниже 21,2 °С — бурая жидкость	Кислотный	Смесь азотистой HNO2 и азотной HNO3 кислот
Оксид азота(V)	N2O5	Бесцветные кристаллы	Кислотный	Азотная кислота HNO3

Все оксиды азота проявляют окислительные свойства, которые наиболее сильно выражены у N₂O₅:

2N₂O₅ + С = 4NO₂ + СO₂.

Наибольшее практическое значение имеют оксид азота(П) и оксид азота(ІУ). Только оксид азота(II) NO можно получить при непосредственном взаимодействии азота и кислорода:

N₂ + O₂ =t 2NO — Q.

Эта реакция протекает при температуре порядка 3000 °С в электрическом разряде. В природе она осуществляется во время грозы. При взаимодействии бесцветного оксида азота(II) с кислородом воздуха образуется оксид азота(ІV), имеющий бурую окраску:

2NO + O₂ → 2NO₂ + Q.

Поэтому говорят, что оксид азота(П) «буреет» на воздухе. Рассматриваемая реакция является экзотермической и обратимой. При повышении температуры и понижении давления равновесие в системе в соответствии с принципом Ле Шателье смещается влево. Поэтому в атмосфере могут одновременно присутствовать как оксид азота(II), так и оксид азота(IV).

При растворении оксида азота(IV) в охлажденной воде одновременно образуются две кислоты – азотистая HNO₂ и азотная HNO₃:

2NO₂ + H₂O = HNO₂ + HNO₃.

В присутствии кислорода образуется только азотная кислота:

4NO₂ + 2H₂O + O₂ = 4HNO₃. Вам необходимо включить JavaScript, чтобы проголосовать

abouthist.net

Оксид азота(I) — это… Что такое Оксид азота(I)?

Оксонитри́д азо́та(I) (оксид диазота, закись азота, окись азота, веселящий газ) — соединение с химической формулой N₂O. Иногда называется «веселящим газом» из-за производимого им опьяняющего эффекта. При нормальной температуре это бесцветный негорючий газ с приятным сладковатым запахом и привкусом.

Закись азота является озоноразрушающим веществом, а также парниковым газом.

Получение

Закись азота получают нагреванием сухого нитрата аммония. Разложение начинается при 170 °C и сопровождается выделением тепла. Поэтому, чтобы не дать протекать ему слишком бурно, следует вовремя прекратить нагревание, так как при температурах более 300 °C нитрат аммония разлагается со взрывом:

Более удобным способом является нагревание сульфаминовой кислоты с 73%-й азотной кислотой:

В химической промышленности закись азота является побочным продуктом и для её разрушения используют каталитические конвертеры, так как выделение в виде товарного продукта, как правило, экономически нецелесообразно.

История

Впервые был получен в 1772 году Джозефом Пристли, который назвал его «флогистированным нитрозным воздухом»^[1].

Физические свойства

Бесцветный газ, тяжелее воздуха (относительная плотность 1,527), с характерным сладковатым запахом. Растворим в воде (0,6 объёма N₂O в 1 объёме воды при 25 °C, или 0,15 г/100 мл воды при 15 °C), растворим также в этиловом спирте, эфире, серной кислоте. При 0 °C и давлении 30 атм, а также при комнатной температуре и давлении 40 атм сгущается в бесцветную жидкость. Из 1 кг жидкой закиси азота образуется 500 л газа. Молекула закиси азота имеет дипольный момент 0,166 Д, коэффициент преломления в жидком виде равен 1,330 (для жёлтого света с длиной волны 589 нм). Давление паров жидкого N₂O при 20 °C равно 5150 кПа.

Химические свойства

Относится к несолеобразующим оксидам, с водой, с растворами щелочей и кислот не взаимодействует. Не воспламеняется, но поддерживает горение. Смеси с эфиром, циклопропаном, хлорэтилом в определённых концентрациях взрывоопасны. В нормальных условиях N₂O химически инертен, при нагревании проявляет свойства окислителя:

При взаимодействии с сильными окислителями N₂O может проявлять свойства восстановителя:

При нагревании N₂O разлагается:

Применение

Существует два вида закиси азота — пищевая или медицинская для медицинского применения (высокой степени очистки) и техническая — технический оксид диазота, в котором есть примеси, количество которых указывается в соответствующих техусловиях (ТУ) на данный газ. Медицинская закись азота используется в основном как средство для ингаляционного наркоза, в основном в сочетании с другими препаратами (из-за недостаточно сильного обезболивающего действия), находит применение и в пищевой промышленности, например при производстве взбитых сливок в качестве пропеллента. Как пищевой продукт, имеет индекс E942. Также иногда используется для улучшения технических характеристик двигателей внутреннего сгорания, В промышленности применяется как пропеллент и упаковочный газ. Может использоваться в ракетных двигателях в качестве окислителя, а также как единственное топливо в монокомпонентных ракетных двигателях.

Средство для ингаляционного наркоза

Малые концентрации закиси азота вызывают чувство опьянения (отсюда название — «веселящий газ») и лёгкую сонливость. При вдыхании чистого газа быстро развиваются состояние наркотического опьянения, а затем асфиксия. В смеси с кислородом при правильном дозировании кислорода и закиси азота вызывает наркоз. Закись азота обладает слабой наркотической активностью, в связи с чем её необходимо применять в больших концентрациях. В большинстве случаев применяют комбинированный наркоз, при котором закись азота сочетают с другими, более мощными, средствами для наркоза, а также с миорелаксантами.

Закись азота, предназначенная для медицинских нужд (высокой степени очистки от примесей), не вызывает раздражения дыхательных путей. Будучи, в процессе вдыхания, растворенной в плазме крови, практически не изменяется и не метаболизируется, с гемоглобином не связывается. После прекращения вдыхания выделяется (в течение 10—15 мин) через дыхательные пути в неизменном виде. Период полувыведения — 5 минут.

Наркоз с применением закиси азота используется в хирургической практике, оперативной гинекологии, хирургической стоматологии, а также для обезболивания родов. «Лечебный анальгетический наркоз» (Б. В. Петровский, С. Н. Ефуни) с использованием смеси закиси азота и кислорода иногда применяют в послеоперационном периоде для профилактики травматического шока, а также для купирования болевых приступов при острой коронарной недостаточности, инфаркте миокарда, остром панкреатите и других патологических состояниях, сопровождающихся болями, не купирующимися обычными средствами.

Применяют закись азота в смеси с кислородом при помощи специальных аппаратов для газового наркоза. Обычно начинают со смеси, содержащей 70—80 % закиси азота и 30—20 % кислорода, затем количество кислорода увеличивают до 40—50 %. Если не удается получить необходимую глубину наркоза, при концентрации закиси азота 70—75 %, добавляют более мощные наркотические средства: фторотан, диэтиловый эфир, барбитураты.

Для более полного расслабления мускулатуры применяют миорелаксанты, при этом не только усиливается расслабление мышц, но также улучшается течение наркоза.

После прекращения подачи закиси азота следует во избежание гипоксии продолжать давать кислород в течение 4—5 мин.

Применять закись азота, как и любое средство для наркоза, необходимо с осторожностью, особенно при выраженных явлениях гипоксии и нарушении диффузии газов в лёгких.

Для обезболивания родов пользуются методом прерывистой аутоанальгезии с применением, при помощи специальных наркозных аппаратов, смеси закиси азота (40—75 %) и кислорода. Роженица начинает вдыхать смесь при появлении предвестников схватки и заканчивает вдыхание на высоте схватки или по её окончании.

Для уменьшения эмоционального возбуждения, предупреждения тошноты и рвоты и потенцирования действия закиси азота возможна премедикация внутримышечным введением 0,5%-го раствора диазепама (седуксена, сибазона) в количестве 1—2 мл (5—10 мг), 2—3 мл 0,25%-го раствора дроперидола (5,0—7,5 мг).

Лечебный наркоз закисью азота (при стенокардии и инфаркте миокарда) противопоказан при тяжёлых заболеваниях нервной системы, хроническом алкоголизме, состоянии алкогольного опьянения (возможны возбуждение, галлюцинации).

Форма выпуска: в металлических баллонах вместимостью 10 л под давлением 50 атм в сжиженном состоянии. Баллоны окрашены в серый цвет и имеют надпись «Для медицинского применения».

В двигателях внутреннего сгорания

Закись азота иногда используется для улучшения технических характеристик двигателей внутреннего сгорания. В случае автомобильных применений вещество, содержащее закись азота, и горючее впрыскиваются во впускной (всасывающий) коллектор двигателя, что приводит к следующим результатам:

• снижает температуру всасываемого в двигатель воздуха, обеспечивая плотный поступающий заряд смеси.
• увеличивает содержание кислорода в поступающем заряде (воздух содержит лишь ~21 масс. % кислорода).
• повышает скорость (интенсивность) сгорания в цилиндрах двигателя.

См. подробнее: Системы закиси азота.

В пищевой промышленности

В пищевой промышленности соединение зарегистрировано в качестве пищевой добавки E942, как пропеллент и упаковочный газ.

Хранение

Хранение: при комнатной температуре в закрытом помещении, вдали от огня.

См. также

Литература

Навигация

Примечания

dic.academic.ru

Урок «Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем»

Тема: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Цели урока:

• изучить новый материал, научить складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями,

• развивать математическую речь, внимание,

• воспитывать аккуратность, интерес к предмету, активность, усидчивость

Ход урока.

1. Организационный момент.

Друзья мои! Я очень рада

Войти в приветливый ваш класс

И для меня уже награда

Вниманье ваших умных глаз.

2. Мотивация урока.

Начать наш урок хочу пословицей. Прочитайте её. Как вы понимаете смысл пословицы?

МАТЕМАТИКЕ УЧИТЬСЯ – ВСЕГДА ПРИГОДИТЬСЯ.

2) Ребята, а зачем заниматься математикой?

Не зря говорят: МАТЕМАТИКА – КОРОЛЕВА НАУК!

БЕЗ НЕЁ НЕ ЛЕТЯТ КОРАБЛИ,

БЕЗ НЕЁ НЕ ПОДЕЛИШЬ НИ АКРА ЗЕМЛИ,

ДАЖЕ ХЛЕБА НЕ КУПИШЬ, РУБЛЯ НЕ СОЧТЁШЬ,

ЧТО ПОЧЁМ, НЕ УЗНАЕШЬ, А УЗНАВ, НЕ ПОЙМЁШЬ!

Над какой темой мы работали на предыдущих уроках?

Как вы думаете, всё ли вы знаете о дробях? Хотите узнать новое? Не боитесь трудностей? А что (кто) поможет вам справиться с трудностями? Пожелайте друг другу удачи.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

1) Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой

а) больше числитель;

б) меньше числитель;

в) среди ответов нет правильных

2). Расставьте в порядке возрастания дроби:

3). Расставьте дроби в порядке убывания:

4). Найдите ошибку в записях:

а) б) в) г) д)

5). Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называют

а) правильной дробью б) неправильной дробью г) среди ответов нет правильных

6). При каких значениях, а дробь будет правильной.

7). Может ли правильная дробь быть больше, чем 1?

Решить № 708, 709, 710.

4. Изучение нового материала.

Буханку хлеба разделили на 8 равных частей (долей) (на доске висит наглядность). Сначала на тарелку положили 2 доли, а потом еще 5 долей.

На тарелке оказалось 7 долей, то есть буханки:

— При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.

С помощью букв правило сложения можно записать так:

— Буханку хлеба разрезали на 8 равных частей.

— На тарелку положили 7 долей, а потом 4 доли съели. Осталось три доли, то есть буханки: .

— При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

С помощью букв правило вычитания можно записать так:

Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями?

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают а знаменатель оставляют тот же.

— Как вычитают дроби с одинаковыми знаменателями?

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же.

— Запишите правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями с помощью букв.

;

5. Закрепление нового материала.

Решить № 718, 820, 724.

6. Зарядка для глаз

(Звучит музыка) Реснички опускаются…

Глазки закрываются…

Мы спокойно отдыхаем…

Сном волшебным засыпаем…

Дышится легко… ровно… глубоко…

Наши руки отдыхают…

Отдыхают… Засыпают…

Шея не напряжена

И рассла-бле-на…

Губы чуть приоткрываются…

Все чудесно расслабляется…

Дышится легко… ровно… глубоко…

(Пауза.)

Мы спокойно отдыхаем…

Сном волшебным засыпаем…

(Громче, быстрей, энергичней.)

Хорошо нам отдыхать!

Но пора уже вставать!

Крепче кулачки сжимаем.

Их повыше поднимаем.

Пoтянулись! Улыбнулись!

7. Самостоятельная работа.

Решить № 722, 399 (3).

8. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

— Что нового узнали на уроке?

— Чему научились?

— Оцените свои знания по таблице:

Знаю: (что такое умножение)

Сомневаюсь:

Не знаю:

Выучить п. 24. Решить № 711, 719. 721, 723.

Тема: Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Цели урока:

• закрепить правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями,

• развивать математическую речь, внимание, память;

• воспитывать аккуратность, интерес к предмету, активность, усидчивость.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, садитесь!

Я знаю каждый в классе гений,

Но без труда талант не впрок

Скрестите шпаги ваших мнений

Мы вместе сочиним урок!

Мои соавторы и судьи,

Оценкой вас не накажу

За странный слог не обессудьте,

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

— Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями?

— Как вычитают дроби с одинаковыми знаменателями?

— Запишите правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями с помощью букв.

Вычислить:

Найти значения выражений:

4. Решение упражнений на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Решить № 726, 725, 728.

5. Физкультминутка.

Поднимает руки класс — это «раз»

Повернулась голова — это «два»

«Руки вниз, вперёд смотри — это «три».

Руки в стороны пошире развернули на «четыре»

С силой их к плечам прижать — это «пять»

Всем ребятам надо сесть — это «шесть».

6. Самостоятельная работа.

Решить № 730 (1).

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Решить № 727, 729.

infourok.ru

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Однажды вечером Саша и Паша сидели у Саши дома и решали, чем заняться. И тут Паша предложил:

– Саша, а давай полепим.

– А из чего? У меня нет пластилина.

– Давай сами сделаем. Только у нас будет не пластилин, а солёное тесто. Из него тоже можно вылепить красивые и необычные фигурки.

У меня даже где-то был рецепт. Вот, нашёл. Только самого рецепта нет, есть технология изготовления. Итак, надо смешать  часть стакана соли с  стакана муки, добавить воду и постепенно добавить ещё  стакана соли.

– Так, подожди Паша. Сколько всего соли надо взять?  стакана и ещё . Как такое сложить?

Помнишь, нам Электроша говорил, что обыкновенные дроби можно складывать, отнимать, умножать и делить, как числа.

Давай попробуем сложить  и . Сложим числители и знаменатели. И получим .

– А, может надо числитель первой дроби сложить со знаменателем второй дроби, а числитель второй – со знаменателем первой. Тогда получим .

– Да, задача – протянул Саша.

Давай пойдём к Электроше, он уж точно нас научит правильно складывать дроби.

И мальчики отправились к своему другу – роботу Электроше.

– Электроша, привет!

Смотри, у нас появилась новая проблема, которую мы не можем решить. Чтобы приготовить солёное тесто для лепки, нам надо сначала взять  стакана соли, а потом ещё взять  стакана соли. Вот мы и не можем подсчитать, сколько соли нам всего надо взять.

Поможешь нам?

– Конечно помогу. Только сначала давайте посчитаем устно.

Ну что, теперь можно перейти к решению вашей задачи.

Чтобы было удобнее, давайте изобразим прямоугольник. Посмотрите внимательно на наши дроби. У них общий знаменатель.

– Паша, на сколько частей нам надо разделить наш прямоугольник?

– Ну, раз знаменатель дробей равен 7, то разделить наш прямоугольник необходимо на 7 частей.

– Да, ты прав. Теперь давайте отметим первую дробь. Сколько частей нам нужно заштриховать, Саша?

– Нам надо заштриховать 1 часть.

Изобразим на этом же прямоугольнике .

Посчитайте, сколько частей у нас всего закрашено.

– Ну, это не сложно. Всего закрашено 5 частей.

– А как можно записать это дробью?

– .

– Да, правильно.

– Подожди, Электроша, Получается, что для того, чтобы сложить две дроби, нужно просто сложить их числители? А почему знаменатели мы не складываем?

– Да, Саша, ты прав, есть правило, которое помогает сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Обратите внимание, что мы говорим только о дробях с одинаковыми знаменателями. Как складывать дроби с разными знаменателями, мы узнаем позже.

А сейчас запомните правило: чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

В буквенном виде, это можно записать так .

– Ага, все понятно, надо просто сложить числители дробей и все. Легкотня.

– Ну раз понятно, выполните задание.

Выполните действия: . И назовите дроби, которые у вас получились.

Первым начал решать Паша. . Складываем 3 и 5 и получаем . Числитель больше знаменателя, значит, это неправильная дробь.

Затем к решению приступил Саша. . Получим . Числитель меньше знаменателя – получили правильную дробь.

. Складывая 1 и 15, получим . Числитель равен знаменателю, получили неправильную дробь, которая равна 1.

– Молодцы, ребята. Вы все правильно решили.

Теперь давайте поговорим о разности дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим разность дробей  и . Сначала разберём, что обозначает эта запись.

Вспомним про разность обыкновенных чисел.

Как можно понять, что из 13 вычитают 7? Паша, ты помнишь?

– Это будет число 6. Для проверки надо сложить 6 и 7 и мы должны получить 13.

– Да, Паша, ты прав. С обыкновенными дробями то же самое.

Запись  надо понимать так: нужно найти такое число, которое в сумме с  даст число .

Поскольку к  надо прибавить , значит, получим, что .

Запомните правило: чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

В буквенном виде, это записывается так: .

– Так это тоже несложно. Электроша, дай нам задание, и мы с Пашей его решим.

Выполните действия: .

Начинай ты, Саша. . От 13 отнимем 6 и получим, что эта разность равна .

.

Теперь ты, Паша реши последний пример.

. Получим .

– Вы молодцы. Все правильно сделали. Вот вам еще одно задание.

Решите уравнения: .

– Итак, начал Паша. Разберем первое уравнение . У нас записана сумма, в которой неизвестно одно из слагаемых. Мы помним, что для того, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Получим, что . Вспомним, как вычитаются дроби с одинаковыми знаменателями, и получим, что .

– А можно теперь я? – спросил Саша. – Второе уравнение  – это разность, в которой неизвестно вычитаемое. Мы помним, что для того, чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность. Получим, что . Тогда .

Последнее уравнение  – это разность, в которой неизвестно уменьшаемое. Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. Получим, что . Тогда .

– Молодцы, мальчики. Вот вам ещё одна задача. В мясном магазине за 3 дня продали 225 килограмм мяса. В первый день продали  мяса, во второй день . Сколько килограмм мяса продали в третий день?

Паша, может ты попробуешь решить?

– Хорошо. Сначала давайте найдём, какую часть мяса продали за 2 дня. Для этого сложим дроби  и . Получим, что за первые два дня продали  всего мяса. Попробуем посчитать, сколько это килограмм.

Знаменатель показывает, что всё количество мяса надо разделить на 9. . Получим, что 1 часть равна 25 килограммам.

Нам нужно взять 7 таких частей. Умножим 7 на 25 и получим, что за первые 2 дня было продано  килограмм мяса.

Теперь для того, чтобы определить, сколько мяса продали в третий день, надо от 225 отнять 175 и получим, что в третий день продали всего  килограмм мяса.

– Молодец, Паша, ты все правильно решил.

Вот вам ещё одна задачка. Посложнее.

Мальчик читает книгу. В первый день он прочитал  всей книги. Во второй день на  меньше чем в первый. На третий день мальчик закончил читать книгу, прочитав за 3 дня 506 страниц. Сколько страниц книги мальчик прочитал в третий день?

– Так, сначала нам надо посчитать, сколько страниц мальчик прочитал во второй день. В условии сказано, что это число на  меньше того количества страниц, которые мальчик прочитал в первый день. То есть мы можем от  отнять  и получим, что во второй день мальчик прочитал  всей книги.

Теперь найдем, какую часть книги мальчик прочитал за 2 дня.

Для этого  сложим с . Получим, что за 2 дня мальчик прочитал  всей книги.

Разделим 506 на 22 и узнаем, сколько страниц книги составляет 1 часть. Одна часть книги составляет  страницы. У нас 13 таких частей. Значит, за 2 дня мальчик прочитал  страниц. Остаётся только от 506 отнять 299 и получим, что в третий день мальчик прочитал  страниц.

– Молодец, Саша. Ты все правильно решил.

videouroki.net

Урок математики по теме «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями». 5-й класс

Разделы: Математика