Рубрика: Школьная жизнь

Квадратные уравнения (способы решения)

Разделы: Математика

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их книгописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным .
Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Выражение D = b²— 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

• если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
• если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;
• если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Формулы

Полное квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

1. c = 0, то уравнение примет вид
   ax² + bx = 0.
   x(ax + b) = 0 ,
   x = 0 или ax + b = 0, x = —b : a.
2. b = 0, то уравнение примет вид
   ax² + c = 0,
   x² = —c / a,
   x_{1, 2} = ±√(-c / a).
3. b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид
   ax² = 0,
   x = 0

Решение неполного квадратного уравнения

Квадратные уравнения с комплексными переменными

Сначала рассмотрим простейшее квадратное уравнение z² = a, где a-заданное число, а z-неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1. имеет один корень z = 0, если а = 0;
2. имеет два действительных корня z_{1, 2} = ±√a
3. Не имеет действительных корней, если a < 0

Решение квадратных уравнений с помощью графиков

Не используя формул квадратное уравнение можно решить графическим способом. Например x² + x + 1 = 0.
Решим уравнение. Для этого построим два графика y = x²; y = x + 1.

y = x², квадратичная функция, график парабола.
y = x + 1, линейная функция, график прямая.

Графики пересекаются в двух точках, уравнение имеет два корня.
Ответ: x ≈ -0,6; x ≈ 2,6.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Зная, что скорость в стоячей воде равна 10 км/ч, составим уравнение.

ОДЗ: ∀ x ≠ 9, 10.

Практикум

Заключение

Ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это – квадратные уравнения.

В наше время невозможно представить себе решение как простейших, так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках, без применения решения квадратных уравнений.

Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое

Презентация

20.06.2009

urok.1sept.ru

Вывод формулы корней полного квадратного уравнения. Решение приведенных квадратных уравнений и уравнений с четным вторым коэффициентом

Разделы: Математика

Устный счет:

1. При каком значении Х , выражение принимает минимальное значение

а) ; б)
2. Зависимость y(x) выражается формулой y = 13x + 1 выразить x(y)

3. Не решая уравнения, определить, равносильны ли они:

4. Выделить полный квадрат:

5. Вычислить пары чисел , удовлетворяющих условиям

1. Какое уравнение называется полным?
2. Что такое корни квадратного уравнения?
3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Теорема. Квадратное уравнение не может иметь более двух различных корней.

Доказательство:

Предположим, что уравнение три различных корня:

Если уравнение имеет корень, то после подстановки его в уравнение получится верное числовое равенство:

(1)
(2)
(3)

из (2) отнимаем (1)

–

_____________________

В каком случае произведение равно 0?

Так как = > 0 = > a+ b = 0. (4)

Из (3) вычтем (2)

–

_________________

= > a+ b = 0 (5)

Из (4) отнимем (5)

–

________________

а0 = > = > ,
а по условию пришли к противоречию.

Давайте решим уравнение:

Самостоятельно:

a)

Вместе:

б)

Нравится ли этот способ? Нет! Тогда будем рассуждать иначе:

(формулу для нахождения корней квадратного уравнения учить проговаривать словами).

– дискриминант квадратного уравнения.

По теореме, доказанной нами , уравнение не может иметь более двух корней.

Количество корней зависит от D.

1). D > 0
2). D = 0

3). D < 0 – уравнение действительных корней не имеет.

Решить уравнения:

1)
– корней нет.

2)
D = 49–48 = 1

3)
D = 25 + 12 = 37

Если в уравнении b = 2k ,то уравнение имеет вид

D =

Диктант(один ученик на внутренней доске, в это время двое по карточкам)

1) Вычислить дискриминант квадратного уравнения D = 100
2) Найти корни квадратного уравнения х = 3 и
3) При каком условии полное квадратное уравнение имеет один корень D = 0
4) При каком условии полное квадратное уравнение не имеет корней.
5) Решить уравнение D < 0.

После диктанта ребята меняются тетрадями и проверяют задание , исправляют ошибки и задают вопросы ученику у доски.

Все проверяют работу учеников на доске, которым были даны карточки.

1)

а) Решить уравнение

б) При каком m можно представить в виде квадрата двучлена выражение

а)
б)

2)

1. Решить уравнение

2. При каком а уравнение имеет один корень

Этим учащимся задаются вопросы и ставится оценка.

Итог урока

– Какие уравнения мы сегодня решали?
– Сколько корней может иметь квадратное уравнение?
– С помощью чего мы их решали?

Когда D = 0, то …
D < 0, то …
D > 0, то …

3.03.2008

urok.1sept.ru

Квадратные уравнения и его корни

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств. Решение многих задач математики, физики и практики сводится к решению алгебраических уравнений.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики.

Овладение данными приёмами поможет мне экономить время и эффективно решать уравнения.

Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

Квадратным уравнением называется уравнение ах² + bх + с = 0, где а≠0, а, b,с – заданные числа числа, х – неизвестное.

Коэффициенты а, b,с квадратного уравнения называют так: а- первым или старшим коэффициентом, b-вторым коэффициентом, с-свободным членом.

Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение ах² + bх + с = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю.

1) ах² = 0, х=0

2) ах² + с = 0, ах² = -с

1. если с>0, то нет действительных корней

2. если с

3) ах² + bх = 0, х(ах+в)=0 х=0 или ах=- в х=- в/а

Пример1: 5х²=0 х=0

Ответ: х= 0

Пример2: 3х² — 27 = 0

3х²=27 х²=9 х 1,2=

Ответ: х1,2 =

Пример3: х²+7=0 х²=-7

Ответ: нет действительных корней

Пример4: х²- 6х=0 х(х-6)=0 х1=0 или х2=6

Ответ: х1=0; х2=6

3. История квадратных уравнений.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребность решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложено в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты переводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В “Арифметике” Диофант нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96”.

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 – x. Разность между ними 2x. Отсюда уравнение

(10 + x) (10 – x) = 96, или же

100 – x² = 96, x² – 4 = 0 (1)

Отсюда x = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение x = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения y (20 – y) = 96 y² – 20y + 96 = 0 (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удаётся свести задачу к решению не полного квадратного уравнения(1).

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее:

«Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Одна из задач знаменитого индийского математика XIIв. Бхаскары:

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Часть страницы из алгебры Бхаскары (вычисление корней).

Квадратные уравнения у ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных уравнений и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) “Квадраты равны корнями”, т. е. ax² = bx.

2) “Квадраты равны числу”, т. е. ax²= c.

3) “Корни равны числу”, т. е. ax = c

4) “Квадраты и числа равны корням”, т. е. ax² + c = bx/

5) “Квадраты и корни равны числу”, т. е. ax² + bx = c.

6) “Корни и числа равны квадратам”, т. е. bx + c + ax²

Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приёмами ал-джабар и ал-мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до 17 века, не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Квадратные уравнения в Европе XIII — XVIIв. в.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в книге “Книге абака”, написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объёмистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других стран Европы. Многие задачи из “Книги абака” переходили почти во все европейские учебники 16 – 17 веков и частично 18 века.

Общие правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду x² + bx = c, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, c было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в 16 веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способов решения квадратных уравнений принимает современный вид.

4. Решение квадратных уравнений.

4. 1 Метод выделения полного квадрата

Пример1: решить квадратное уравнение х² + 2х – 3=0

➢ Преобразуем это уравнение так: х² + 2х = 3, х² + 2х +1= 3+1,

(х + 1)² = 4.

Следовательно, х+1=2 или х+1= -2, откуда х1=1, х2= -3.

Решая уравнение, мы преобразовали его так, что в левой части получился квадрат двучлена, а правая часть не содержит неизвестное.

4. 2 Решение квадратных уравнений по формуле.

ах² + bх + с = 0

D=b²- 4ac

Если D =0,то х=

Если D>0,то

Если D

Пример1: х² — 4х +5 =0

D=16-4·1·5

D

Пример2: 2х² + 3х + 1 = 0

D=9-4·2·1=1 х1=

Ответ: -1; — ½

4. 3 Теорема Виета

Если — корни уравнения х² + bх + c = 0, то справедливы формулы

Т. е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример1: х² — 14х – 15 =0

Ответ: 15; -1

Теорема Виета aх² + bх + c = 0 x1 + x2 = — b/a x1· x2 = c/a

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

В числителе с , в знаменателе а.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда.

В числителе в, b знаменателе а.

5. Приёмы устного решения квадратного уравнения.

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с = 0, то х1 = 1; х2 = с/а.

Пример: 5х² — 8х +3 = 0

Так как 5 – 8 + 3 = 0, то х1 = 1; х2 = 0,6

Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 выполняется равенство а + с = в, то х1 = -1; х2 = — с/а.

Пример: 5х² + 8х +3 = 0

Так как 5 + 3 = 8, то х1 = — 1; х2 = — 0,6

Пример. Решить уравнения с большими коэффициентами:

5. 2 Приём «Переброски»:

Пример1:

2х² — 11х +5=0 х²-11х+10=0

делим на 2

Пример2:

6х² — 7х – 3 = 0 х² — 7х -18 = 0

делим на 6

Ответ:1,5; -1/3

6. Комплексные числа.

Решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н. Е. Жуковский (1847 – 1921) при разработке теории крыла, автором которой он является. Комплексные числа и функции от комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Цель настоящей работы знакомство с историей появления комплексных чисел, с действиями с комплексными числами, решение уравнений с комплексным переменным.

7. Действия с комплексными числами.

Рассмотрим решение квадратного уравнения х²+1=0. Отсюда х²=-1. Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом i²=-1, откуда i=. Решение квадратного уравнения, например, х² –8х+25=0, можно записать следующим образом: х=4=4=4=

=43=43i.

Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а+bi, где a и b- действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi-мнимой частью этого числа, b- коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число z=(a+c)+(b+d)i. Числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а, (а+bi)+(а-bi)=2а. Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi=c+di, если a=c, b=d. Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т. е. z=a+bi=0, если a=0,b=0. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b=0, то a+bi=a — действительное число. Если а=0, b0, то a+bi=bi – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a+ bi и c+di называется комплексное число х+уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х=а-с, у=b-d. Значит, (а+bi)-(c+di)=(a-c)+ (b-d)i.

Произведение комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число z = (ac-bd)+(ad+bc)i, z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу: (a +bi)(a-bi)=a2+b2

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:(a+bi):(c+di) =. = = +i.

Степень числа i является периодической функцией показателя с периодом 4. Действительно, i2 =-1, i3 =-i, i4 = 1, i4n = (i4)n = 1n = 1, i4n+1=i, i4n+2 =-1, i4n+3 =-i.

Квадратное уравнение с комплексным неизвестным.

Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2=a, где а — заданное число, z — неизвестное.

На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z=0, если а=0;

2) имеет два действительных корня z1,2=, если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а

На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2=a, если:

1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3.

1)z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2- i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем

(z-i)(z+i)=0, z1=i, z2=-i.

Ответ. z1,2=i.

2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение: z2=(-1)25, z2=i252, z2-52i=0, (z-5i)(z+5i)=0, откуда z1=5i, z2=-5i.

Ответ. z 1,2=5i.

3) z2=-3, z2=i2()2, z2-()2i2=0, (z-i)(z+i)=0, z1 =i, z 2=-i.

Ответ. z1,2=i.

Вообще уравнение z2=a, где а

Используя равенство i2=-1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: =i, =i=2i, = i.

Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2+bz+c=0, где а,b,с- действительные числа, а0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2= = = = =23i.

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.

Число 4 — это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13 — свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 — корни уравнения az2+bz+c=0, z1+z2= -, z1z2=.

Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее корень z1=-1-2i.

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z²+2z+5=0.

8. Заключение.

В данной работе рассмотрены способы решения квадратных уравнений. А также рассмотрены приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения.

Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики. Овладение данными приёмами поможет мне экономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

В настоящем работе дано понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным, что позволяет решить любые квадратные уравнения, даже с отрицательным дискриминантом.

Таким образом, цели работы — рассмотреть способы решения квадратных уравнений: метод выделения полного квадрата, решение квадратных уравнений по формуле, теорема Виета; изучить приёмы устного решения квадратного уравнения; рассмотреть решение квадратного уравнения с комплексными неизвестными — достигнуты.

www.hintfox.com

Формулы корней квадратных уравнений | Учеба-Легко.РФ

Пусть дано квадратное уравнение ах² + bх + с = 0. 
Применим к квадратному трехчлену ах² + bх + с те же преобразования, которые мы выполняли в § 13, когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах² + bх + с является парабола. 
Имеем

Обычно выражение b² — 4ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах + bх + с).

Таким образом

Значит, квадратное уравнение ах² + их + с = О можно переписать в виде

Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.

Доказательство. Если D < 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1. Решить уравнение 2x² + 4х + 7 = 0. 
Решение. Здесь а = 2, b = 4, с = 7, 
D = b²-4ac = 4². 4. 2. 7 = 16-56 = -40. 
Так как D < 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид

   — единственный корень уравнения.

Замечание 1. Помните ли вы, что х = —  — абсцисса вершины параболы, которая служит графиком функции у = ах² + их + с? Почему именно это 
значение оказалось единственным корнем квадратного уравнения ах² + их + с — 0? «Ларчик» открывается просто: если D — 0, то, как мы установили ранее,

Графиком же функции  является парабола с вершиной в точке  (см., например, рис. 98). Значит, абсцисса вершины параболы и единственный корень квадратного уравнения при D = 0 — одно и то же число.

Пример 2. Решить уравнение 4x² — 20x + 25 = 0. 
Решение. Здесь а = 4, b = -20, с = 25, D = b² — 4ас = (-20)² — 4 • 4 • 25 = 400 — 400 = 0.

Так как D = 0, то по теореме 2 данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле

Ответ: 2,5. 

Замечание 2. Обратите внимание, что 4х² — 20х +25 — полный квадрат: 4х² — 20х + 25 = (2х — 5)². 
Если бы мы это заметили сразу, то решили бы уравнение так: (2х — 5)² = 0, значит, 2х — 5 = 0, откуда получаем х = 2,5. Вообще, если D = 0, то

ах² + bх + с =  — это мы отметили ранее в замечании 1. 
Если D > 0, то квадратное уравнение ах² + bх +  с = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам

Доказательство. Перепишем квадратное уравнение ах² + ^Ьх + с = 0 в виде (1)

Положим 
По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что

Итак, заданное квадратное уравнение имеет два корня:

Замечание 3. В математике довольно редко бывает так, чтобы введенный термин не имел, образно выражаясь, житейской подоплеки. Возьмем новое 
понятие — дискриминант. Вспомните слово «дискриминация». Что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отноше- 
ние к различным пюдям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от латинского discriminans — «различающий». Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Пример 3. Решить уравнение Зх² + 8х — 11 = 0. 
Решение. Здесь а = 3, b = 8, с = — 11, 
D = b² — 4ас = 8² — 4 • 3 • (-11) = 64 + 132 = 196. 
Так как D > 0, то по теореме 3 данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находятся по формулам (3)

Фактически мы с вами выработали следующее правило:

Правило решения уравнения 
ах² + bх + с = 0

Это правило универсально, оно применимо как к полным, так и к неполным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому правилу не решают, их удобнее решать так, как мы это делали в предыдущем параграфе.

Пример 4. Решить уравнения:

а) х² + Зх — 5 = 0;            б) — 9x² + 6х — 1 = 0;            в) 2х²-х + 3,5 = 0.

Р е ш е н и е. а) Здесь а = 1, b = 3, с = — 5, 
D = b² — 4ас = З² — 4 • 1 • (- 5) = 9 + 20 = 29.

Так как D > 0, то данное квадратное уравнение имеет два корня. Эти корни находим по формулам (3)

б) Как показывает опыт, удобнее иметь дело с квадратными уравнениями, у которых старший коэффициент положителен. Поэтому сначала умножим обе части уравнения на -1, получим

9x² — 6x + 1 = 0. 
Здесь а = 9, b = -6, с = 1, D = b² — 4ас = 36 — 36 = 0. 
Так как D = 0, то данное квадратное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле х = — . Значит, 

Это уравнение можно было решить по-другому: так как 
9х² — 6x + 1 = (Зх — IJ, то получаем уравнение (Зх — I)² = 0, откуда находим Зх — 1 = 0, т. е. х = .

в) Здесь а = 2, b = — 1, с = 3,5, D = b² — 4ас = 1 — 4 • 2 • 3,5= 1 — 28 = — 27. Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Математики — люди практичные, экономные. Зачем, говорят они, пользоваться таким длинным правилом решения квадратного уравнения, лучше сразу написать общую формулу:

Если окажется, что дискриминант D = b² — 4ас — отрицательное число, то записанная формула не имеет смысла (под знаком квадратного корня находится отрицательное число), значит, корней нет. Если же окажется, что дискриминант равен нулю, то получаем

т. е. один корень (говорят также, что квадратное уравнение в этом случае имеет два одинаковых корня:

Наконец, если окажется, что b² — 4ас > 0, то получаются два корня х₁и х₂, которые вычисляются по тем же формулам (3), что указаны выше.

Само число  в этом случае положительно (как всякий квадратный корень из положительного числа), а двойной знак перед ним означает, что в одном случае (при отыскании х₁ ) это положительное число прибавляется к числу — b, а в другом случае (при отыскании х₂) это положительное число вы-
читается из числа — b.

У вас есть свобода выбора. Хотите —- решайте квадратное уравнение подробно, используя сформулированное выше правило; хотите — запишите сразу формулу (4) и с ее помощью делайте необходимые выводы.

Пример 5. Решить уравнения: 

Решение, а) Конечно, можно использовать формулы (4) или (3), учитывая, что в данном случае  Но зачем выполнять действия с дробями, когда проще и, главное, приятнее иметь дело с целыми числами? Давайте освободимся от знаменателей. Для этого нужно умножить обе части уравнения на 12, т. е. на наименьший общий знаменатель дробей, служащих коэффициентами уравнения. Получим

откуда 8х² + 10x — 7 = 0.

А теперь воспользуемся формулой (4)

б) Мы снова имеем уравнение с дробными коэффициентами: а = 3, b = — 0,2, с = 2,77. Умножим обе части уравнения на 100, тогда получим уравнение с целыми коэффициентами: 
300x² — 20x + 277 = 0. 
Далее воспользуемся формулой (4):

Простая прикидка показывает, что дискриминант (подкоренное выражение) — отрицательное число. Значит, уравнение не имеет корней.

Пример 6. Решить уравнение 
Решение. Здесь, в отличие от предыдущего примера, предпочтительнее действовать по правилу, а не по сокращенной формуле (4).

Имеем а = 5, b = -, с = 1, D = b² — 4ас = (- ) ² — 4 • 5 • 1 = 60 — 20 = 40. Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые будем искать по формулам (3)

Пример 7. Решить уравнение 
х² — (2р + 1)x +(р²+р-2) = 0

Решение. Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих пор квадратных уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр (буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена уравнения. 
Найдем дискриминант:

Пример 8. Решить уравнение рx² + (1 — р) х — 1 = 0. 
Решение. Это также уравнение с параметром р, но, в отличие от предыдущего примера, его нельзя сразу решать по формулам (4) или (3). Дело в том, что указанные формулы применимы к квадратным уравнениям, а про заданное уравнение мы этого пока сказать не можем. В самом деле, а вдруг р = 0? Тогда 
уравнение примет вид 0 • x²+ (1-0)x- 1 = 0, т. е. х — 1 = 0, откуда получаем х = 1. Вот если точно известно, что , то можно применять формулы корней квадратного уравнения:

uclg.ru

§12. Виды углов. Измерение углов

125. Заполните пропуски.

1) Угол, стороны которого образуют прямую, называют развернутым.
2) Единицу измерения углов называют градусом.
3) Измерить угол — значит подсчитать, сколько градусов входит в этот угол.
4) Величина развернутого угла составляет 180 градусов.
5) Углы измеряют с помощью прибора, который называют транспортиром.
6) Равные углы имеют равные градусные меры.
7) Из двух неравных углов большим считают тот, у которого градусная мера больше другого.
8) Если между сторонами угла АВС провести луч ВD, то градусная мера угла АВС равна сумме градусных мер углов ABD и DBC.
9) Острым называют угол, градусная мера которого меньше 90 градусов.
10) Прямым называют угол, градусная мера которого равна 90 градусам.
11) Тупым называют угол, градусная мера которого больше 90 градусов.
12) Биссектриса развернутого угла делит его на два прямых угла.

126. Начертите:
1) острый угол ACD;
2) прямой угол HTR;
3) тупой угол M;
4) развернутый угол KBO.

127. Известно, что . Заполните таблицу.

128. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображенных на рисунке. Отпределите вид каждого угла.

129. 1) Отлоите от луча ВА угол АВС, величина которого равна 60 градусов.
2) Отложите от луча CD угол DCB, величина которого равна 140 градусов.
3) Отложите от луча ОК угол КОМ, величина которого равна 90 градусов.
4) Отложите от луча ST угол TSK, величина которого равна 26 градусов.
5) Отложите от луча QP угол PQR, величина которого равна 118 градусов.
6) Отложите от луча EF угол FEK, величина которого равна 180 градусов. 

130. На данном рисунке угол EDK равен 43 градуса. Тогда угол CDE равен 180-43 = 137 градусов.

131. Начертите два угла с общей стороной так, чтобы они: 1) составляли развернутый угол; 2) не составляли развернутый угол.

132. Углы АВС и DBC составляют развернутый угол. Определите вид угла DBC, если угол АВС: 1) острый; 2) прямой; 3) тупой.

Ответ: 1) тупой; 2) прямой; 3) острый.

133. Из вершины прямого угла МОК проведены два луча ОР и ON так, что МON=64, РОК=57. Вычислити величину угла РON.

134. Развернутый угол АВС разделили лучами ВD, ВМ и ВК на четыре равных угла. Заполните пропуски.

1) Градусную меру 45 градусов имеют углы ABD, DBM, MBK, KBC.
2) Градусную меру 90 градусов имеют углы ABM, MBC, DBK.
3) Градусную меру 135 градусов имеют углы ABK, DBC.

135. Начертите угол COD, равный 163 градусам. Лучом OA разделите этот угол на два угла так, чтобы угол AOD был равен 88 градусам. Вычислите величину угла AOC.

136. Известно, что луч DE — биссектриса угла ADC, угол ADE=54 градусам. Тогда угол ADC = ? Пользуясь транспортиром, начертите угол  ADC и проведите луч DE.

137. Нарисуйте на циферблате часов часовую и минутную стрелки так, чтобы часы показывали заданное время, и найдите градусную меру угла между стрелками часов.
1) 2 ч; 2) 6 ч; 3) 8 ч

138. Угол АВС равен 30 градусам. Проведите луч BD так, чтобы: 1) луч ABD был равен 90 градусам, а угол  CBD — 120; 2) угол  ABD был равен 90 градусам, а угол  CBD — 60.

matem-gdz.ru

Измерение углов. 5-й класс

Разделы: Математика

Цели урока:

Обучающая: Ввести понятие величины угла. Познакомить с инструментами измерения углов.

что это такое, каковы его свойства и чему равна сумма его уголов

Если на плоскости имеются четыре точки, из которых никакие три не принадлежит одной прямой, то их можно попарно соединить отрезками. В результате получится фигура с четырьмя углами, содержащая две диагонали, при пересечении которых получится выпуклый четырехугольник.

Виды

Существует несколько видов фигур с четырьмя углами, но не все они являются выпуклыми. Слева рисунок отображает выпуклый четырехугольник, все его внутренние точки находятся в одной полуплоскости относительно прямой l, на которой лежит сторона AD. Для среднего данное условие выполняется, но его нельзя считать выпуклым, потому что его стороны пересекаются. Такие четырехугольники называются самопересекающимися. Правый тоже не является выпуклым, так как две его точки B и C лежат в разных полуплоскостях относительно разбиения прямой l.

На основании вышесказанного дадим определение. Выпуклым четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, которые последовательно их соединяют. Главное условие: никакие три точки не должны одновременно лежать на одной прямой, а соединяющие отрезки пересекаться.

Виды выпуклых четырехугольников:

• прямоугольник;
• параллелограмм;
• трапеция;
• ромб;
• квадрат.

Перечисленные отношения между множествами фигур упрощают доказательства теорем (предложений, выражающих свойства). Например, если теорема доказана для параллелограмма (будет ли параллелограмм выпуклым? и т.д.), то она будет верна и для любого соответствующего подмножества фигур. Если же доказана более общая теорема для выпуклого четырехугольника, то она будет верна и для параллелограмма, и для трапеции.

Свойства

Главные признаки:

• сумма углов — 360 градусов;
• диагонали могут пересекаться в одной точке.

Если сумма углов равна 360, это следствие более общего случая – четырехугольника, не имеющего пересекающихся отрезков. Но для выпуклого обычно проводят отдельное и очень простое доказательство. Если внутри выпуклого четырехугольника провести диагональ, то она разобьет его на два треугольника. Как известно, сумма углов в треугольнике равна 180. Сложив все получившиеся углы, получаем величину 360.

Если взять средние точки всех сторон произвольного выпуклого четырехугольника и построить на них новый, то он окажется параллелограммом (Теорема Вариньона).

Доказательство на следующем фото. Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет на каждой из сторон точку, делящую эту сторону пополам. Рассмотрим отрезок FG. Это средняя линия треугольника DAB, параллельная диагонали DB. Это следует из подобия треугольников DAB и FAG.

Аналогично проводятся рассуждения для треугольников DBC и EHC. Из чего следует параллельность DB и EH. Поскольку отрезки FG и EH параллельны диагонали DB, то и сами параллельны.

Аналогично доказывается, что отрезки FE и GH параллельны. Так как противолежащие стороны EFGH попарно параллельны, значит, это параллелограмм.

Обратите внимание! Теорема Вариньона справедлива для всех четырехугольников, невыпуклых и самопересекающихся. Если взять середины диагоналей, то можно построить еще два параллелограмма. Центры всех трех параллелограммов окажутся на одной прямой.

Если выпуклый четырёхугольник имеет свойство взаимной перпендикулярности своих диагоналей, то суммы квадратов его противоположных сторон у него равны. Это доказывается при помощи теоремы Пифагора, как показано на следующем чертеже:

Квадрат каждой из сторон выражается через сумму квадратов отрезков диагоналей, ограниченных вершинами и точкой пересечения. Для удобства мы обозначаем их малыми буквами латинского алфавита, совпадающими с названием вершин. Затем выписываем выражения для сумм квадратов противолежащих сторон:

В правой части каждого из выражений стоит одна и та же сумма слагаемых. Следовательно, равны и правые части между собой, что доказывает теорема.

Вписанные и описанные

Часто требуется проверить, не лежат ли вершины четырехугольника на окружности, или существует ли окружность, вписанная в 4-угольник. Центр описанной окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров к сторонам, а центр вписанной – на пересечении биссектрис внутренних углов.

Если сумма противоположных углов составляет 180, то рядом с ними можно описать окружность, другими словами, существует окружность, на которой лежат все вершины четырехугольника. Его называют вписанным (подразумевается, что в окружность). Верно и обратное утверждение, то есть выраженное в теореме условие необходимое и достаточное.

Расчет площади

Площадь, которую имеет любой выпуклый четырёхугольник, равна половине произведения длин диагоналей на синус угла между ними. Докажем это правило.

Здесь опять поможет теорема Вариньона (мы имеем “большой” параллелограмм, о котором сразу не было сказано). Проведем прямые, параллельные диагоналям, через вершины A, B, C, D исходного прямоугольника. Мы получим параллелограмм EFGH. Его площадь равна сумме площадей параллелограммов AFBO, BGCO, CHDO, DEAO. Но каждый из перечисленных делится своей диагональю на пару треугольников с равными площадями. С другой стороны, в силу параллельности диагоналей ADCD сторонам внешнего параллелограмма, мы можем применить формулу площади:

Полезное видео

Подведем итоги

Фигуру, состоящую из четырех углов, можно часто увидеть в обычной жизни, такую форму обычно имеют земельные участки, здания, параллелограммы служат для построения векторных базисов на плоскости. Не случайно 4-угольники хорошо изучены и установлено большое число свойств, связанных с ними.

Вконтакте

Одноклассники

Facebook

Мой мир

Twitter

znaniya.guru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Планиметрия

Типы четырёхугольников

      Классификация треугольников изложена в разделе нашего справочника «Типы треугольников».

      Целью данного раздела является классификация четырёхугольников.

      Классификация четырёхугольников по типам представлена на схеме 1.

Схема 1

      Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 1, даны в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Четырёхугольник		Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией с четырьмя звеньями без самопересечений.
Выпуклый четырёхугольник		Выпуклый четырёхугольник – это четырёхугольник, который вместе с любыми двумя точками содержит и весь отрезок с концами в этих точках
Невыпуклый четырёхугольник		Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.
Параллелограмм		Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны
Трапеция		Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие стороны не параллельны (боковые   стороны).
Дельтоид		Дельтоид – это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Четырёхугольник

Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией с четырьмя звеньями без самопересечений.

Выпуклый четырёхугольник

Выпуклый четырёхугольник – это четырёхугольник, который вместе с любыми двумя точками содержит и весь отрезок с концами в этих точках

Невыпуклый четырёхугольник

Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Трапеция

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие стороны не параллельны (боковые   стороны).

Дельтоид

Дельтоид – это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Типы параллелограммов

      На схеме 2 представлена классификация параллелограммов.

Схема 2

      Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 2, даны в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Прямоугольник		Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Ромб		Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат		Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.
Параллелограмм общего вида		Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат

Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Параллелограмм общего вида

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Типы трапеций

      На схеме 3 представлена классификация трапеций.

Схема 3

      Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 3, даны в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Равнобедренная (равнобочная) трапеция		Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны.
Прямоугольная трапеция		Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Трапеция общего вида		Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Равнобедренная (равнобочная) трапеция

Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция

Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Трапеция общего вида

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Ответы@Mail.Ru: что такое выпуклый четырёхугольник

Четырехугольник, и вообще любая плоская фигура, называется выпуклой, если любые две точки, принадлежащие этой фигуре, можно соединить отрезком, который тоже будет принадлежать этой фигуре (никакая из точек отрезка не будет находиться вне этой фигуры).

выпуклый многоугольник целиком лежит по одну сторону от каждой из своих сторон.

Ромб, он Же парралелограмм

Выпуклый многоугольник — это многоугольник, все вершины которого находятся в одной полуплоскости относительно прямой, на которой лежит любая из его сторон 🙂

полностью соглашусь с гуру Пыхтачком

Жаль что тут рисовать нельзя!!!!))))

Это трапеция! Не сомневайтесь! Это правильный ответ!!!!

touch.otvet.mail.ru

Четырёхугольник — Википедия

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся (см. рис.).

Виды четырёхугольников[править]

1. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;
   • Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
   • Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
   • Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
2. Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
3. Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.
4. Антипараллелограмм , или контрпараллелограмм— четырёхугольник, в котором каждые две противоположные стороны равны между собою, но не параллельны, в отличие от параллелограмма, а антипараллельны.

Четырёхсторонник[править]

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

• Замечание. Многие теоремы планиметрии, сформулированные для четырёхсторонника, применимы также и для полного четырёхсторонника или пространственного четырёхсторонника, когда отмеченные выше четыре прямые общего положения располагаются не на плоскости, а в пространстве с теми же ограничениями: все прямые попарно пересекаются (на плоскости это условие почти всегда гарантировано), никакие две из них не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.

Угловые соотношения[править]

• Сумма углов четырёхугольника равна .

Метрические соотношения[править]

Обобщенное неравенство четырехугольника[править]

В любом четырехугольнике (включая вырожденный) сумма длин трех его сторон не меньше длины четвертой стороны, то есть ^[1]:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырехугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой.

Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего две точки пересечения этих двух пар противоположных сторон (на рисунке точки показаны красным цветом). Указанная прямая называется прямой Гаусса (на рисунке она показана зеленым цветом). При этом прямая Гаусса всегда перпендикулярна прямой Обера.

Соотношения между сторонами и диагоналями четырехугольника[править]

• Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

.

Это соотношение можно представить в виде определителя:

• Замечание. Последний определитель с точностью до множителя 288 представляет собой выражение для квадрата объёма тетраэдра через длины его рёбер с помощью определителя Кэли-Менгера. Если тетраэдр уложен в плоскость, то он имеет нулевой объем и превращается в четырехугольник. Длины рёбер будут длинами сторон или диагоналей четырехугольника.
• Соотношения Бретшнайдера — соотношение между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника:

,

,

.

Теоремы о средних линиях четырёхугольника[править]

Пусть G, H, I, J – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а E, F – середины его диагоналей. Назовем три отрезка GH, IJ, EF соответственно первой, второй и третьей средними линиями четырёхугольника.

Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона

• Обобщенная теорема Ньютона. Все три средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Указанная прямая называется прямой Ньютона.
• Теорема Вариньона (геометрия) ^[1]:
  • Четырёхугольники GHIJ, EHFG, JEIG являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона. Первый из них назовем большим параллелограммом Вариньона
  • Центры всех трех параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
  • Периметр большого параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
  • Площадь большого параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника , то есть

.

• • Площадь исходного четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними, то есть

.

• • Сумма квадратов трех средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

.

• Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей.
• Математически для рисунка слева с серым четырёхугольником ABCD формула Эйлера записывается в виде:

.

• Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
• См. также свойства центроида четырёхугольника.

Окружности девяти точек треугольников внутри четырехугольника[править]

В произвольном выпуклом четырехугольнике окружности девяти точек треугольников , на которые его разбивают две диагонали, пересекаются в одной точке ^[2].

Частные случаи четырехугольников[править]

Четырехугольники, вписанные в окружность[править]

• Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то четырёхугольник вписан в эту окружность, и наоборот.
• Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°, то есть:

.

• Две теоремы Птолемея. Для простого (несамопересекающегося) четырехугольника, вписанного в окружность, имеющего длины пар противоположных сторон: a и c, b и d, а также длины диагоналей e и f, справедливы:

1) Первая теорема Птолемея:

;

2) Вторая теорема Птолемея: В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d, b и c опираются своими концами на диагональ длиной e. Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя.

• Если выпуклый четырёхугольник вписан в некоторую окружность, то в ту же самую окружность вписаны и пара треугольников, на которые разбивает четырехугольник любая из его диагоналей (связь с окружностями треугольника).
• Из последнего утверждения следует: если три из четырех медиатрис (или срединных перпендикуляров), проведенных к сторонам выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и медиатриса его четвертой стороны. Более того, такой четырехугольник вписан в некоторую окружность, центр которой находится в точке пресечения указанных медиатрис^[3].

Теорема Микеля-Штейнера для четырехстроннника

• Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля, вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF.
• Прямая, антипараллельная стороне треугольника и пересекающая его, отсекает от него четырёхугольник, около которого всегда можно описать окружность.
• Площадь вписанного в окружность четырёхугольника:

где p — полупериметр четырёхугольника.

• • Последняя формула следует из общей формулы (1) в рамке в параграфе «Площадь», если в ней учесть, что
  • Последняя формула есть обобщение формулы Герона на случай четырёхугольника.
  • Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель^[5]:

• Из последней формулы при d=0 автоматически получается формула Дроздова В. ^[6][7] для формулы Герона:
• Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

• Теорема^[8]. Если во вписанном в окружность четырехугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырех образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника.
• Теорема^[9]. Пусть – вписанный четырёхугольник, – основание перпендикуляра, опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности.
• Частными четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник, квадрат, равнобедренная или равнобочная трапеция, антипараллелограмм.

Четырехугольники, вписанные в окружность с перпендикулярными диагоналями (вписанные ортодиагональные четырехугольники)[править]

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке , то две пары его антимедиатрис проходят через точку .

Замечание. В этой теореме под антимедиатрисой^[10] понимают отрезок четырехугольника на рисунке справа (по аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника). Он перпендикулярен одной стороне и одновременно проходит через середину противоположной ей стороны четырехугольника.

• Известна теорема: Если в четырехугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырехугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны ^[11]. Из этой теоремы и теоремы Брахмагупты следует, что концы двух пар антимедиатрис (восемь точек) вписанного ортодиагонального четырехугольника лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырехугольника).
• Частным вписанным ортодиагональным четырёхугольником является квадрат.

Четырехугольники, описанные около окружности[править]

• Говорят, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то четырёхугольник описан около этой окружности, и наоборот.
• Выпуклый четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны, то есть: .
• Точки касания вписанной окружности с четырехугольником отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника.
• Площадь описанного четырехугольника
  • Условие означает, что .

Вводя понятие полупериметра p, имеем . Следовательно, также имеем . Далее можно заметить: Следовательно, Тогда по формуле (1) в рамке в параграфе «Площадь» имеем

• • Поскольку четырёхугольник описан, то его площадь также равна половине периметра p, умноженной на радиус r вписанной окружности: .
• Если выпуклый четырёхугольник — не трапеция и не параллелограмм и он описан около некоторой окружности, то около этой же самой окружности описаны и пара треугольников, которые получаются при продолжении двух его пар противоположных сторон до их пересечения (связь с окружностями треугольника).
• Из последнего утверждения следует: если три из четырех биссектрис (или биссекторов), проведенных для внутренних углов выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и биссектриса его четвертого внутреннего угла. Более того такой четырехугольник описан около некоторой окружности, центр которой находится в точке пресечения указанных биссектрис^[12].
• Если четырёхугольник является описанным около окружности, то центр его вписанной окружности лежит на прямой Ньютона. Более точное утверждение ниже.
• Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Гаусса. На рисунке (вторая группа рисунков сверху) она зеленая, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
• Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).
• Частными четырёхугольниками, описанными около окружности, являются: ромб, квадрат, дельтоид.

Вписано-описанные четырехугольники[править]

Вписано-описанные четырехугольники — четырехугольники, которые могут быть одновременно описаны около некоторой окружности, а также вписаны в некоторую окружность.

Свойства:[править]

• Любое одно из двух указанных ниже условий по отдельности является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы данный выпуклый четырехугольник был вписанно-описанным для некоторых окружностей:

и .

• Выполнение двух последних условий одновременно для некоторого выпуклого четырехугольника является необходимым и достаточным для того, чтобы данный четырехугольник был вписанно-описанным.
• Площадь вписанно-описанного четырехугольника:

• Для радиусов R и r соответственно описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния d между центрами этих окружностей выполняется соотношение, представляющее четырехугольниковый аналог теоремы Эйлера (аналогичная формула Эйлера есть для треугольника):

или

.

• Частным вписанно-описанным четырехугольником является квадрат.

Четырехугольники с перпендикулярными сторонами[править]

• Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
• Если у выпуклого четырёхугольника перпендикулярны две пары смежных сторон (то есть два противоположных угла прямые), то этот четырёхугольник может быть вписан в некоторую окружность. Более того, диаметром этой окружности будет служить диагональ, на которую опираются одними концами указанные две пары смежных сторон.
• Частными четырёхугольниками с перпендикулярными сторонами являются: прямоугольник и квадрат.

Четырехугольники с перпендикулярными диагоналями[править]

• Четырехугольники с перпендикулярными диагоналями называются ортодиагональными четырёхугольниками.
• Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
• Площадь ортодиагонального четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей: .
• Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
• Антимедиатрисой четырехугольника называются отрезок прямой, выходящий из середины одной его стороны и перпендикулярный противоположной ей стороне.
• Теорема Брахмагупты. Если у четырехугольника перпендикулярны диагонали и он может быть вписан в некоторую окружность, то четыре его антимедиатрисы пересекаются в одной точке. Более того, этой точкой пересечения антимедиатрис является точка пересечения его диагоналей.
• Если у четырехугольника перпендикулярны диагонали и он может быть вписан в некоторую окружность, то учетверенный квадрат её радиуса R равен сумме квадратов любой пары противоположных его сторон:
• Если у четырехугольника перпендикулярны диагонали и он может быть описан около некоторой окружности, то у него равны произведения двух пар противоположных сторон:
• Параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон ортодиагональныого четырёхугольника является прямоугольником.
• Если в четырехугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырехугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны ^[13].
• Частными ортодиагональными четырёхугольниками являются: ромб, квадрат, дельтоид.

Внеописанный четырёхугольник[править]

• Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника)^[14]. Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис.
• Замечание. Вписанную, описанную, а также вневписанную окружности можно провести не у всякого четырёхугольника. Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то условием его внеописанности является любое из двух условий ниже:

• Площадь произвольного не самопересекающегося выпуклого четырёхугольника с диагоналями , и углом между ними (или их продолжениями), равна:

• Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними, то есть

.

Замечание. Первая и вторая средние линии четырёхугольника — отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон

• Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна^[4]:

, где ,  — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон.

• Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника также равна

(1)

где p — полупериметр, а есть полусумма противоположных углов четырёхугольника (Какую именно пару противоположных углов взять роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна , то полусумма двух других углов будет и ). Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

где p — полупериметр, e и f -диагонали четырёхугольника.

История[править]

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали для определения площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d^[15]:

.

Для непрямоугольных четырёхугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Можно предположить, что она использовалась только для определения площади почти прямоугольных участков земли. При неточном измерении сторон прямоугольника эта формула позволяет повысить точность результата за счет усреднения исходных измерений.

1. ↑ ^1,01,1 Четырёхугольники.
2. ↑ Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 9
3. ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И .В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 38, правая колонка, пункт 7
4. ↑ ^4,04,1 Понарин, с. 74
5. ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И.В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
6. ↑ Дроздов В. Геронов определитель. Занимательная страница // Математика в школе, 1995, № 5, обложка
7. ↑ Мухлаев А. Возможно, Герон что-то утаил/ 38–я открытая областная научная конференция учащихся. Омск. 2006. C. 8/ http://gigabaza.ru/doc/66950.html
8. ↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 8, рис. 13, c. 6 / http://www.geometry.ru/articles/aymefeuerbach.pdf
9. ↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5 / http://www.geometry.ru/articles/aymefeuerbach.pdf
10. ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И .В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
11. ↑ Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 11
12. ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-ки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 39, левая колонка, последний абзац
13. ↑ Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 11
14. ↑ Mirko, Zoran, Vladimir, 2007, с. 33—52
15. ↑ Г. Г. Цейтен История математики в древности и в средние века, ГТТИ, М-Л, 1932.

www.wikiznanie.ru

4.3. Корреляционная таблица

При большом числе наблюдений одно и то же значение случайной величины Х может встретиться раз, одно и то же значение случайной величиныY может встретиться раз, а одна и та же пара чисел (х, у) может наблюдаться раз. Поэтому данные наблюдений группируют, т.е. подсчитывают частоты,,. Все сгруппированные данные за-писывают в виде таблицы, которую называют корреляционной.

Поясним ее строение на простом примере. Имеем таблицу:

В первой строке указаны наблюдаемые значения (1, 2, 3, 4, 5) слу-чайной величины Х, а в первом столбце таблицы – наблюдаемые значения (1, 0, 1, 2) случайной величины Y. На пересечении строк и столбцов находятся частоты наблюдаемых пар значений случайных величин Х и Y. Например, частота 6 указывает, что пара чисел (4, 1) наблюдалась 6 раз. Все частоты помещены в прямоугольнике, стороны которого проведены жирными линиями.

В последнем столбце записаны суммы частот строк. Например, сумма частот второй строки равна — это число указывает, что значение случайной величины Y, равное 0 (в сочетании с различными значениями случайной величины Х ), наблюдалось 11 раз.

В последней строке записаны суммы частот столбцов. Например, сумма частот четвертого столбца равна — это число указывает, что значение случайной величины Х, равное 4 (в сочетании с различными значениями случайной величины Y ), наблюдалось 15 раз.

Общее число наблюдений

4.4. Выборочный коэффициент корреляции

Ранее мы полагали, что значения Х и соответствующие им значения Y наблюдались по одному разу. На практике, безусловно, одна пара случайных величин (х, у) может наблюдаться любое число раз.

Поэтому формула для коэффициента регрессии (4.4) примет вид

(4.5)

где в сумме учтено, что пара (х, у) наблюдалась раз, а и выборочные средние квадратические отклонения случайных величин Х и Y.

Умножим обе части равенства (4.5) на дробь и назовем это выражение выборочным коэффициентом корреляции

Тогда уравнение линейной регрессии Y на Х будет иметь вид

Замечание 2. Выборочный коэффициент корреляции является безраз-мерной оценкой коэффициента регрессии

Таким образом, основная задача корреляционного анализа состоит в оценке степени линейной связи между случайными величинами Х и Y, которая устанавливается при помощи выборочного коэффициента корре-ляции

Если выборочный коэффициент корреляции мал, то линейная связь считается слабой и ее можно не принимать во внимание. Если же выборочный коэффициент корреляцииблизок к1, то линейная связь сильная и к ней следует относиться практически как к функциональной. В противном случае, связь принято считать статистической. И, наконец, при связь между случайными величинамиХ и Y имеет строго линейный характер.

Замечание. Выборочный коэффициент корреляции является лишь оценкой теоретического коэффициента корреляциигенеральной сово-купности, поэтому возникает необходимость проверить гипотезу о значи-мости выборочного коэффициента корреляции. Однако, если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность, т.е. является репрезентативной, то вывод (гипотезу) о ли-нейной зависимости между случайными величинами Х и Y , полученный по данным выборки, можно распространить и на всю генеральную сово-купность.

Например, для оценки теоретического коэффициента корреляции генеральной совокупности (если она распределена нормально) можно воспользоваться формулой

studfiles.net

Корреляционная таблица | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

ГДЗ по Алгебре, решебник и ответы онлайн

6. Интегральная теорема Муавра — Лапласа

Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и удовлетворяет двойному неравенству, а число независимых испытанийдостаточно велико, то вероятностьможет быть вычислена по следующей приближённой формуле

(14) ,

где пределы интеграла определяются равенствами

Формула (14) тем точнее, чем больше число испытаний в данном эксперименте.

На основании равенство (13) формулу (14) можно переписать в виде

(15) .

Далее, введём понятие нормированной функции Лапласа:

(16) (Н.Ф.Л)

Отметим простейшие свойства функции :

Последнее свойство связано со свойствами функции Гаусса .

Функция нечётна. Действительно, после замены переменных

=;

Для проверки второго свойства достаточно сделать чертёж. Аналитически она связано с так называемым несобственным интегралом Пуассона.

Отсюда прямо следует, что для всех чисел можно полагать что,следовательно, все значения этой функции расположены в отрезке [-0,5; 0,5], при этом наименьшим являетсязатем функция медленно растёт и обращается в нуль, т.е.а затем возрастает доСледовательно, на всей числовой прямой является строго возрастающей функцией, т.е. если то

Следует отметить, что выводы свойства 2 для функции обосновывается на основании несобственного интеграла Пуассона.

Замечание.При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа пользуются специальными таблицами. В таблице даны значения для положительных аргументов и для; для значенийследует воспользоваться той же таблицей с учётом равенства

Далее, для того, чтобы воспользоваться таблицей функции , преобразуем равенство (15), так:

И на основании свойства 2 (нечётности ), с учётом чётности подынтегральной функции получим

=.

Таким образом, вероятность того, что событие появится внезависимых испытаниях не менеераз и не болеераз, вычисляется формулой:

(17) ;

Пример 12.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах мишень будет поражена не менее 150 и не более 250 раз.

Решение:Здесь,,,,. Вычисляем

,,

,.

Подставляя в интегральную формулу Лапласа, получим

.

На практике наряду с равенством (16) часто используют и другую формулу называемую «интегралом вероятности» или функцией Лапласа (см. более подробно в гл.2., п.9.,Т.9.).

(И.В. или Ф.Л.)

Для этой функции справедливы равенства:

(18) .

Следовательно, она связана с табулированной функцией и поэтому имеется также ё таблица приближённых значений (см. в конце книги, приложение).

Пример 13. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенных деталей окажется от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию задачи ,,.,. Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:

,

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Следовательно, с учётом табличных значений функции ;

получим искомую вероятность

.

_{Теперь у нас есть возможность в качестве приложения рассмотренных предельных теорем доказать известную теорему «закон больших чисел в форме Бернулли»}

_.

7. Закон больших чисел (ЗБЧ в форме Бернулли)

Первым исторически самым простым законом больших чисел является теорема

Я. Бернулли. Теорема Бернулли выражает наиболее простую форму проявлния закона больших чисел. Она обосновывает теоретическую возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты, т.е. обосновывает свойство устойчивости относительной частоты.

Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления событияравна,а относительная частота в каждой серии испытания равна

Рассмотрим задачу:в условиях испытания по схеме Бернулли и при достаточно большом числе независимых испытанийнайти вероятность отклонение относительной частоты от постоянной вероятностипоявления событияпо абсолютной величине не превышает заданного числа Другими словами, найти вероятность:

при достаточно большом числе независимых испытаний.

Теорема (ЗБЧ Я. Бернулли 1713 г.) При вышеприведённых условиях при любом , как бы ни было мало, имеет место предельное равенство

(19) .

Доказательство. Проведём доказательство этого важного утверждения на основании интегральной теоремы Муавра – Лапласа. По определению относительная частота равна

А вероятность наступления событиев одном испытании. Сначала установим следующее равенство при любоми достаточно большом:

(20) .

Действительно, в соответствии условием легко заметить, что имеет место двойное неравенство. Обозначим

(21) .

Тогда, будем иметь неравенства

.

Следовательно, для искомой вероятности . Теперь, для случаеввоспользуемся равенством

;

и с учётом нечётности получим

== 2.

Равенство (20) получено.

Из формулы (20) непосредственно следует, что при (с учётомгде), получим предельное равенство (20).

Пример 14. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится отпо абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. Согласно условиям задачи, требуется найти

По формуле (3) имеем

=2_.

С учётом табличного значения функции получим

.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб

деталей, то в каждой пробе примерно происходит отклонение относительной «частоты» на

95, 44 % и величина этих проб от вероятности, по модулю не превышающей 0,03.

Рассмотрим другой пример, где требуется найти число .

Пример 15. Вероятность того, что деталь нестандартна, равна. Сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью 0,9999 можно было бы утверждать, что относительная частота нестандартных деталей (среди отобранных), отклоняется отпо модулю не более, чем на 0,03. Найти это количество

Решение. Здесь, по условию.

Требуется определить . По формуле (13) имеем

.

Поскольку,

.

По таблице находим, что данное значение соответствует для аргумента. Отсюда,. Смысл этого результата таков: относительная частота будет заключена

между числами . Таким образом, число нестандартных деталей в 99,99 % проб будет заключено между числами 101,72 (7 % от числа 1444) и 187,72 (13 % от числа 1444).

Если взять лишь одну пробу 1444 деталей, то с большой уверенностью можно ожидать, что число нестандартных деталей будет не менее101и не более 188, в тоже время маловероятно, что их окажется меньше 101 или больше 188.

Следует заметить, что теорема Бернулли также устанавливает: при неограниченном увеличении числа испытаний частота случайного событиясходится по вероятности к истинной вероятности этого же события, т.е. справедлива оценка снизу

(22) ;,

при условии, что вероятность события от испытания к испытанию остается неизменным и равным при этом .

Неравенство (22) является прямым следствием известного неравенства Чебышева (см. далее тему «Предельные теоремы теории вероятностей» «Теорема Чебышева»). Мы позже ещё раз вернёмся к этому ЗБЧ. Оно удобно для получения оценок вероятностей снизу и двухстороннею оценку для необходимого числа наступления события, так чтобы вероятность от модуля разности относительной частоты и истинной вероятности, заданному ограничению рассматриваемого события удовлетворяло.

Пример 16.Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты появления «герба» от вероятности его появления меньше чем на 0,1.

Решение. По условию здесь

На основании неравенство (4) получим

Следовательно, неравенство равносильно двойному неравенству

Поэтому можно заключить, что вероятность числа попаданий «герба» в интервал (400; 600) больше чем

_{Пример 17. В урне 1000 белых и 2000 чёрных шаров. Извлекли (с возвращением) 300 шаров. Оценить снизу вероятность того, число извлечённых шаров m (при этом они должны быть белыми) удовлетворяет двойному неравенству 80<m <120.}

_{Решение. Двойное неравенство для величины m перепишем в виде:}

_{Таким образом, требуется оценить вероятность выполнении неравенства}

Следовательно,

.

71

studfiles.net

Лекция 7. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Пусть случайная величина распределена по биномиальному закону. Эта случайная величина представляет собой число успеховв серии изиспытаний, в каждом из которых может появиться успех с вероятностьюили неуспех с вероятностью.Вероятность того, что в серии изиспытаний появитсяуспехов равна

, (1)

при этом ,.

При больших значениях ивычисление вероятности по формуле (1) представляет значительные трудности. Например, если,,, то

и вычислить такую вероятность достаточно сложно.

,Однако при выполнении определенных условий функция биномиального распределения имеет вид функции нормального распределения или функции Пуассона.

Пусть достаточно велико, ане мало, так что (). Введем обозначение

. (2)

Если при величина, но при этом остается ограниченной величина, т.е., то вероятность того, что в серии изиспытаний будетуспехов равна

, (3)

где .

При достаточно больших эту вероятность можно выразить через функцию

Гаусса :

(3)

где , а аргумент.

Доказательство.

Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, вероятность появления успехов в серии изиспытаний равна

Учитывая, что

, ,, получим

(4)

При получении этого выражения была использована формула Стирлинга , справедливая при достаточно больших значениях.

В формуле (4)

при этом (5)

при этом (6)

при . (7)

Введем . Тогда(8)

С учетом равенств (5) и (6) получим

(9)

При выводе этой формулы было учтено, что и ., что следует из (5) и (6).

Из (9) следует, что , а значит. Подставляя это выражение в (8) и учитывая (5) и (6), получим

(10)

, где .

Из теоремы Муавра-Лапласа следует, что при больших значениях и не малых значенияхфункция биномиального распределения имеет вид функции нормированного нормального распределения си.

, (11)

где

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если при величина, но при этом остается ограниченной величина, т.е., то вероятность того, что в серии изиспытаний число успехов находится в промежуткеопределяется с помощью функции Лапласа

, (12)

где — функция Лапласа.

Доказательство

(12)

Учитывая, что

и вводя обозначения и,

преобразуем (12) к виду

(13)

Следовательно, при больших значениях и не малых значенияхфункция биномиального распределения имеет вид функции нормированного нормального распределения си.

Если числа ирасположены симметрично относительно математического ожидания, т.е.и, то формула (13) примет вид

. (14)

Вероятность наступления события не менее, чем заданное число раз

Пример.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.7. Определить вероятность того, что при 100 выстрелах не менее 75 попадут в цель.

Решение. Здесь ,,,,.

.

Необходимые значения функции Лапласа найдены из таблиц..

Пример

Монету бросают 700 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 350 раз.

Решение.

Рассмотрим случайную величину – количество выпадений герба при 700 бросках. Она распределена биномиально с. Значение, следовательно, можно применить локальную формулу Муавра – Лапласа.

Пример 2.

Монету бросают 700 раз. Найти вероятность того, что количество выпадений герба будет заключено в промежутке от 330 до 370.

Решение.

Рассмотрим случайную величину – количество выпадений герба при 700 бросках. Она распределена биномиально с. Значение, следовательно, можно применить интегральную формулу Муавра – Лапласа.

Пример.

Вероятность того, что изделие относится к первому сорту, равна 0.7 . Партия содержит 10000 изделий. Определить вероятность того, что число изделий первого сорта в этой партии будет заключаться между 6900 и 7100.

Решение. Здесь ,,,,.

Пример.

Вероятность того, что изделие относится к первому сорту равна 0.9 . Партия содержит 1600 изделий. Определить с вероятностью 0.8, в каких границах будет заключаться число изделий первого сорта в этой партии, если эти границы должны быть симметричными относительно математического ожидания.

Решение. Здесь ,,,,.

По формуле (14) . Отсюда.

По таблице значений функции Лагранжа найдем , что значению соответствует значение аргумента. Следовательно,и. Для определения границ, между которыми заключено число изделий первого сорта, имеем неравенство. Отсюда.

studfiles.net

Теоремы Муавра-Лапласа / Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] / 3dstroyproekt.ru

Локальная теорема Муавра-Лапласа { 1730 г. Муавр и Лаплас }

Если вероятность $p$ появлений события $A$ постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, то вероятность $P_n ( k )$ — того, что событие $A$ появится $k$ раз в $n$ испытаниях, равна приближенно { чем больше $n$, тем точнее } значению функции $y=\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 2\pi } } \cdot e^ { — { x^2 } / 2 } =\frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi ( x )$

при $x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $. Имеются таблицы, где помещены значения функции $\varphi ( x )=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \cdot e^ { — { x^2 } / 2 } $

итак \begin{equation} \label { eq2 } P_n ( k )\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \cdot \varphi ( x )\,,\,где\,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \qquad (2) \end{equation}

функция $\varphi ( x )=\varphi ( { -x } )$ -четная.

Пример. Найти вероятность того, что событие $A$наступит ровно 80 раз при 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании $p=0,2$.

Решение. Если $p=0,2$ тогда $q=1-p=1-0,2=0,8$.

$P_ { 400 } ( { 80 } )\approx \frac { 1 } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } \varphi ( x )\,,\,где\,x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $

$ \begin{array} { l } x=\frac { k-n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } =\frac { 80-400\cdot 0,2 } { \sqrt { 400\cdot 0,2\cdot 0,8 } } =\frac { 80-80 } { \sqrt { 400\cdot 0,16 } } =0 \\ \varphi ( 0 )=0,3989\,,\,P_ { 400 } ( { 80 } )\approx \frac { 0,3989 } { 20\cdot 0,4 } =\frac { 0,3989 } { 8 } =0,0498 \\ \end{array} $

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность P наступления события $A$ в каждом испытании постоянна и $p\ne 0$ и $p\ne 1$, тогда вероятность $P_n ( { k_1 ,k_2 } )$ того, что событие $A$ наступит от $k_ { 1 } $ до $k_ { 2 } $ раз в $n$ испытаниях, равна $ P_n ( { k_1 ,k_2 } )\approx \frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int\limits_ { x_1 } ^ { x_2 } { e^ { — { z^2 } / 2 } dz } =\Phi ( { x_2 } )-\Phi ( { x_1 } )$

где $x_1 =\frac { k_1 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } , x_2 =\frac { k_2 -n\cdot p } { \sqrt { n\cdot p\cdot q } } $ ,где

$\Phi ( x )=\frac { 1 } { \sqrt { 2\cdot \pi } } \int { e^ { — { z^2 } / 2 } dz } $ -находят по таблицам

$\Phi ( { -x } )=-\Phi ( x )$-нечетная

Нечетная функция. Значения в таблице даны для $x=5$, для $x>5,\Phi ( x )=0,5$

Пример. Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. Если брака 10%, то стандартных изделий 90%. Тогда по условию, $n=625, p=0,9, q=0,1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5$. Получим $ \begin{array} { l } P_ { 625 } (550,575)\approx \Phi ( { \frac { 575-562,5 } { \sqrt { 625\cdot 0,9\cdot 0,1 } } } )- \Phi ( { \frac { 550-562,5 } { \sqrt { 626\cdot 0,9\cdot 0,1 } } } )\approx \Phi (1,67)- \Phi (-1,67)=2 \Phi (1,67)=0,9052 \\ \end{array} $

3dstroyproekt.ru

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Задача по теории вероятностей с решением

Схема повторных независимых испытаний Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в  испытаниях ровно  раз. При ее выводе предполагается, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если .  Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Муавра — Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно  раз в  испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если вероятность  появления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях ровно  раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции

при

Таким образом, вероятность того, что событие  появится в  независимых испытаниях ровно  раз, приближенно равна:

где

100task.ru

5. Локальная теорема Муавра – Лапласа

В случаях, когда число испытаний достаточно велико, а вероятность удовлетворяет, для вычисления биномиальных вероятностей используют приближенные теоремы Муавра – Лапласа.

Локальная теорема Муавра- Лапласа. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и удовлетворяет условиям, а число независимых испытанийдостаточно велико, то вероятностьможет бить вычислена по следующей приближённой формуле

(12) ,

дает асимптотическую формулу (оно тем точнее, чем больше ), позволяющую найти приближенное значение при достаточно больших значениях, где функция

(13) (Ф. Г.)

называется функцией Гаусса, а её график представляет кривой вероятностей.

Кратко остановимся на схеме доказательства этой теоремы. Имеют место равенства

(14) ;.

В силу ограниченности величин разностьстремится квместе си. Воспользуемся формулой Стрилинга, дляТогда с учетом формулы Бернулли после некоторых преобразований получим

.

Из равенств (14) следут, что

(15)

Следовательно, при достаточно большом получим

.

Далее воспользуемся (на основании представления логарифма в степенной ряд) асимптотическим представлением Тогда получим

₍₁₆₎

.

На основании равенств (14) и с учётом , будем иметь

Применяя асимптотические равенства (15), после некоторых упрощений получим, что

Подставляя полученные выражения в формулу (16), имеем

_{Теорема доказана. В частности, справедливо асимптотическое равенство}

Кроме того, для функции приведена таблица значений (см. приложение?).

Свойства функции :

1. функция чётная, т.е.

2. при , и дляможно считать,

3.

_{Функция Гаусса в дальнейшем будет встречаться и в разделе «Нормальный закон распределения». Из равенства (12) следует, что}

Пример 10.Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 40 раз.

Решение:Применим формулу (12). Поскольку, по условию задачии, тоТогда на основании таблицы значений функцииполучим. По формуле (12) получим

.

Легко заметить, что величину с помощью формулы Бернулли очень трудно сосчитать.

Пример 11. Найти вероятность того, что событиеАнаступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появится этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение:По условию, тогда

Согласно таблице значений, . По локальной формуле Лапласа

В приближенных формулах Лапласа по мере приближения одного из чисел pиqк нулю точность понижается, т.е. точность в общем случае улучшается с ростом. Еслитои еслитопотому, чтоp+q = 1.

Обычно для произведения берут число не менее 10., отсюда следует, чтоесли p или q близко к нулю,тем больше нужно братьn.

В задачах, где требуется вычислять вероятность того, что в nнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнаp(0<p<1), событие наступит не менее раз и не болеераз, , равна

.

И используют интегральную теорему Муавра- Лапласа (ее приведём без доказательства, можно прочитать, например, в учебнике Гнеденко []).

В основе доказательства естественно лежит локальная теорема Муавра-Лапласса.

studfiles.net

10. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

При больших значениях n и m вычисление вероятностей Pn(m) превращается в технически сложную задачу.

Задача усложняется при расчете вероятности вида: В этих случаях пользуются приближенными асимптотическими формулами.

ТЕОРЕМА 1.(локальная предельная теорема Муавра-Лапласа):

Вероятность того, что в n-независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз определяется по формуле: Pn(m)- (1), где,x=,

где p (0<p<1)- вероятность наступления A в отдельном испытании. q=1-p.

Замечание: равенство (1) тем точнее, чем больше n и ближе p к 0.5.

Свойства:

1. Значение можно найти по таблицам приложения.

2. –четная, .

3. Монотонно убывающая при x, . (она очень быстро стремиться), причемочень быстро, будем считать что приx,

Пример: найти вер-ть того, что при 600бросаниях игрального кубика выпадет ровно 120 шестерок.

n=600, m120, p=1/6, q=5/6.

P600(120= 0.004

X==2.19

ТЕОРЕМА 2.(интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа):

Пусть вероятность появления события A в каждом из n независимых испытаний равна p (0<p<1). Тогда вер-ть того ,что в n-независимых испытаниях событие A появится от m₁ до m₂ раз (m₁≥ m₂) выражается формулой:

Pn(m₁≤m≤m₂)= Pn(m₁;m₂)Ф(x₁)- Ф(x₂),

где Ф(x)= 1/dt

x₁=,x₂=.

Свойства функции Ф(x):

1. Значение можно найти по таблицам приложения.

2. Эта функция нечетная, т.е. Ф(-x)=-Ф(x).

3. Монотонно возрастающая, при x, Ф(x), причем стремится быстро. Считают, что уже приx, Ф(x)

Пример: определить вероятность того, что число выпавших шестерок заключено в интервале от 90 до 120.

P600(90≤m≤120)Ф(2.19)- Ф(-1.1) =Ф(2.19)+ Ф(1.1)=0.85007

x₁==x=-1.10, x₂=2.19.

11. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Теорема Пуассона. Закон больших чисел в форме Бернулли.

Закон больших чисел в форме Бернулли.

Пусть теоретическая вероятность наступления события A в каждом из n-испытаний равна p, тогда вероятность того, что относительная частота наступления события A отклонится от вероятности р по абсолютной величине меньше чем на приблизительно равна:

P(|-p|<)2Ф()

Пример: вероятность того, что деталь не стандартная равна 0.2. Сколько деталей нужно отобрать, чтобы с вероятностью 0.97 можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности p=0.2 по абсолютной величине не более чем на 0.01.

P=0.2, q=0.8, n-? P(|m/n-0.2|≤0.01)=0.97)2Ф()

m/n – относительная частота появления нестандартных деталей.

Ф(0.01)=0.485,n= 2.17*2.17*0.16/0.01*0.01

0.01= 2.17

В случаях, когда число испытаний n больше, а вероятность успеха в каждом испытании p пользуются теоремой Пуассона.

Теорема Пуассона.

Пусть вероятность появления события A в каждом из n-независимых испытаний равна p, причем n ,n , тогда справедлива следующая формула:

Pn(m)где λ=np.

На практике эта теорема дает хорошее приближение, когда λ≤10

Пример: вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.015ю Найти вероятность того, что в партии из 100 изделий нет ни одного бракованного.

P=0.015, n= 100, λ=100*0.015=15

P100(0)*== 0.22313

studfiles.net

Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Решение задач

Если количество независимых испытаний достаточно большое применения формулы Бернулли становится трудоемким. Для упрощения вычислений применяют локальную и интегральную теоремы Лапласа, которые дают близкий к формуле Бернулли результат при большом количестве испытаний и не требуют больших вычислений.

ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА

Вероятность того, что в независимых испытаниях с вероятностью появления события равной событие наступит ровно раз (безразлично в какой последовательности) определяется по приближенной формуле

где

– Функция Гаусса,

– аргумент функции Гаусса;

– вероятность противоположного события .

Формулу называют локальной формулой Лапласа.

Функция обладает следующими свойствами:

1) она является четной функцией ;

2) для значений аргумента больше четырех она сколь угодно мала

Теорему Лапласа рекомендуется применять при значениях произведения больше девяти

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА

Вероятность, что в независимых испытаниях событие с вероятностью появления наступит не менее раз и не более (независимо от последовательности появления) приближенно определяется зависимостью

где – интегральная функция Лапласа;

– аргументы интегральной функции распределения;

– вероятность невыполнения события .

Функция обладает следующими свойствами:

1) она является нечетной функцией

2) для аргументов больше пяти она равна 0,5

Значение обеих функций находят из таблиц в которых функции с достаточной точностью протабульовани.

———————————

Рассмотрим задачи на применение каждой из теорем.

Пример 1. Есть 100 лунок по которым случайным образом разбрасывают 30 шариков. Каждый шарик с равной вероятностью может попасть в любую лунку (в одну лунку попадает не более одного шарика). Найти вероятность того, что в выбранную лунку попадет ровно один шарик.

Решение. Проводится независимых бросков шариков с одинаковой вероятностью попадания при каждом броске

Вероятность попадания в лунку ровно одного шарика определим по локальной формулой Лапласа:

Для этого определяем составляющие

и подставим в зависимость

———————————

Пример 2. Проводится 200 независимых опытов с вероятностью успеха в каждом 24%. Какова вероятность успешного проведения 50 опытов?

Решение. По условию

находим составляющие формулы Лапласа

Подставляя в формулу, находим

———————————

Пример 3. Вероятность выхода из строя за смену одного станка равна 0,1. Определить вероятность выхода из строя от 2 до 13 станков при наличии 100 станков.

Решение. Записываем входные данные

Для подобных примеров применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа и находим вероятность

———————————

Решение задач по приведенным теоремам позволяет при большом количестве испытаний находить приближенное значение вероятности. Локальная теорема необходима при определении конкретного количества появления событий, интегральная теорема Муавра-Лапласа — в случаях, когда задан диапазон возможного количества появлений события. Таблицы табулирования функций, применяемых в формулах можно найти в сборниках по теории вероятностей и интернете.

yukhym.com

Нормальное распределение — Электронный учебник K-tree