Рубрика: Школьная жизнь

КОТАНГЕНС — это… Что такое КОТАНГЕНС?

dic.academic.ru

КОТАНГЕНС — это… Что такое КОТАНГЕНС?

dic.academic.ru

КОТАНГЕНС — это… Что такое КОТАНГЕНС?

dic.academic.ru

Tg — это… Что такое Tg?

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические функции — вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x), последняя пара функций в настоящее время сравнительно малоупотребительна (про ещё менее употребляемые функции см. здесь). В англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x. Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть дана декартова система координат на плоскости и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Будем измерять углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок.)

Рис. 3.
Тригонометрические функции угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице.

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — действительное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом α называется отношение AB/OB (противолежащего катета к гипотенузе)
• Косинусом α называется отношение ОА/OB (прилежащего катета к гипотенузе)
• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)
• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)
• Секансом α называется отношение ОB/OA (гипотенузы к прилежащему катету)
• Косекансом α называется отношение ОB/AB (гипотенузы к противолежащему катету)

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее. Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см. Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

с начальными условиями cos(0) = sin'(0) = 1, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде суммы степенны́х рядов:

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями и можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

где B_n — числа Бернулли.

где E_n — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице.

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Периодичность

Функции y = sin α, y = cos α, y = sec α, y = cosec α — периодические с периодом 2π. Функции: y = tg α, y = ctg α — c периодом π

Формулы приведения

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей другая функция из пары (то есть косинус для синуса, синус для косинуса и аналогично для остальных функций). Нужный знак в правой части равенства определяется следующим образом: предположим что угол α находится в первой четверти, тогда определяем знаки значений функций в левой и правой части равенства и в случае их несовпадения перед правой частью пишем знак -, например:

Формулы сложения

Другие тригонометрические тождества.

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно дифференцируемы на всей области определения:

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

См. также Список интегралов от тригонометрических функций

История

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII веке.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583)

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Котангенс — это… Что такое Котангенс?

dic.academic.ru

КОТАНГЕНС — это… Что такое КОТАНГЕНС?

dic.academic.ru

котангенс — это… Что такое котангенс?

dic.academic.ru

Как возвести число в степень — калькулятор

Для проверки правильности решения воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором, с его помощью можно возводить в степень как положительные, так и отрицательные значения степеней.

Основанием степени могут быть любые целые числа и десятичные дроби. Показатель степени тоже может быть любой десятичной дробью.
Не забывайте, что для отрицательных чисел не определена операция возведения в нецелую степень.

Пример как возвести число в степень:

Для простоты понимания степеней числа, предлагаю рассмотреть на простых примерах:

• Возведем число четыре в третью степень 4³=4*4*4, по порядку 4*4=16, 16*4=64, из примера следует что, четыре в третьей степени равно 64.
• Теперь посчитаем, чему равно 5 в пятой степени, 5*5*5*5*5=3125

Отрицательная степень числа:

Показатель степени числа может быть меньше 0, т.е, отрицательным числом. Число с отрицательной степенью считается по формуле:

Тогда:

и еще пример:

100uslug.com

Как возвести в степень на калькуляторе

15 апреля 2011

Автор КакПросто!

Не все калькуляторы имеют функцию возведения числа в степень. Для того, чтобы определить возможности своего калькулятора, узнайте, является ли он инженерным. Если не знаете, то найдите кнопку вашего калькулятора, изображающую x в сепени y. Если она есть, значит, трюк удастся.

Статьи по теме:

Вам понадобится

Инструкция

Если у вас есть инженерный калькулятор, и вы видите на нем кнопку с изображением функции x, возведенной в степень y, то проделайте следующее действие. Введите значение числа, которое нужно возвести в степень, а затем нажмите кнопку, о которой шла речь выше. Теперь введите значение степени и получите результат, нажав на кнопку со знаком равно. Результат получен.

Полезный совет

Если вы пользуетесь калькулятором, который входит в стандартный набор программ Windows, то его вид можно изменить (расширить в инженерный и обратно).

Источники:

• значение кнопок на калькуляторе

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

как на калькуляторе, возвести число в отрицательную степень?

1 разделить на 1,25 и возвести в 2 степень. =)))

не хрена колькулятор, первый раз такой вижу!

Вводите число например «2» потом нажимаете на кнопку степени (там где х) вводите степень и два раза нажимаете М+

я думаю что тыкаешь 1,25 потом кнопочку у в степени икс и набираешь ( -2)

просто вводишь 2-3 и готово

touch.otvet.mail.ru

Как на калькуляторе посчитать корень в n-ой степени

Либо в дробной степени, 1/n, либо поставить птицу inv в инженерном виде калькулятора винды, перед фyнкцией возведения в степень. X^n, где n степень корня

Корень энной степени из числа или корень (квадратный) в энной степени?

через логарифм

если корень допустим пятой степени нажать на знак корня 5 раз

Х^ (1/n) — можно так если калькулятор поддерживает запись формул (для примера: выражение квадратный корень из числа Y будет выглядеть — Y^(1/2)

нужно чтобы на калькуляторе было n кнопок с корнем

нажимаем сначала число, которое нужно возвести в 3 степень, затем жмем 2ndF (зеленая такая), затем значек корня. все.

touch.otvet.mail.ru

Система линейных алгебраических уравнений. Виды систем. Матричная форма записи.

Содержание темы:

1. Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.
2. Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.

Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.

Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему

содержащую $m$ уравнений и $n$ неизвестных ($x_1,x_2,\ldots,x_n$). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.

Параметры $a_{ij}$ ($i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$) называют коэффициентами, а $b_i$ ($i=\overline{1,m}$) – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «$m\times n$ система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит $m$ уравнений и $n$ неизвестных.

Если все свободные члены $b_i=0$ ($i=\overline{1,m}$), то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.

Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных $x_1,x_2,\ldots,x_n$, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.

Пример №1

Рассмотрим СЛАУ

Имеем систему линейных алгебраических уравнений, содержащую $3$ уравнения и $5$ неизвестных: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Можно, сказать, что задана система $3\times 5$ линейных уравнений.

Коэффициентами системы (2) есть числа, стоящие перед неизвестными. Например, в первом уравнении эти числа таковы: $3,-4,1,7,-1$. Свободные члены системы представлены числами $11,-65,0$. Так как среди свободных членов есть хотя бы один, не равный нулю, то СЛАУ (2) является неоднородной.

Упорядоченная совокупность $(4;-11;5;-7;1)$ является решением данной СЛАУ. В этом несложно убедиться, если подставить $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ в уравнения заданной системы:

Естественно, возникает вопрос том, является ли проверенное решение единственным. Вопрос о количестве решений СЛАУ будет затронут в соответствующей теме.

Пример №2

Рассмотрим СЛАУ

Система (3) является СЛАУ, содержащей $5$ уравнений и $3$ неизвестных: $x_1,x_2,x_3$. Так как все свободные члены данной системы равны нулю, то СЛАУ (3) является однородной. Несложно проверить, что совокупность $(0;0;0)$ является решением данной СЛАУ. Подставляя $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, например, в первое уравнение системы (3), получим верное равенство: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0-0=0$. Подстановка в иные уравнения делается аналогично.

Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.

С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица $A$ называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица $\widetilde{A}$ называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены $b_1,b_2,…,b_m$. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.

Матрица-столбец $B$ называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец $X$ – матрицей неизвестных.

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: $A\cdot X=B$.

Примечание

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков (см. пример №4).

Пример №3

Записать СЛАУ $ \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end{aligned} \right. $ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Решение

Имеем четыре неизвестных, которые в каждом уравнении следуют в таком порядке: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Матрица неизвестных будет такой: $\left( \begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)$.

Свободные члены данной системы выражены числами $-5,0,-11$, посему матрица свободных членов имеет вид: $B=\left( \begin{array} {c} -5 \\ 0 \\ -11 \end{array} \right)$.

Перейдем к составлению матрицы системы. В первую строку данной матрицы будут занесены коэффициенты первого уравнения: $2,3,-5,1$.

Во вторую строку запишем коэффициенты второго уравнения: $4,0,-1,0$. При этом следует учесть, что коэффициенты системы при переменных $x_2$ и $x_4$ во втором уравнении равны нулю (ибо эти переменные во втором уравнении отсутствуют).

В третью строку матрицы системы запишем коэффициенты третьего уравнения: $0,14,8,1$. Учитываем при этом равенство нулю коэффициента при переменной $x_1$(эта переменная отсутствует в третьем уравнении). Матрица системы будет иметь вид:

Чтобы была нагляднее взаимосвязь между матрицей системы и самой системой, я запишу рядом заданную СЛАУ и ее матрицу системы:

В матричной форме заданная СЛАУ будет иметь вид $A\cdot X=B$. В развернутой записи:

Запишем расширенную матрицу системы. Для этого к матрице системы $ A=\left( \begin{array} {cccc} 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end{array} \right) $ допишем столбец свободных членов (т.е. $-5,0,-11$). Получим: $\widetilde{A}=\left( \begin{array} {cccc|c} 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end{array} \right) $.

Пример №4

Записать СЛАУ $ \left \{\begin{aligned} & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4. \end{aligned}\right.$ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Решение

Как видите, порядок следования неизвестных в уравнениях данной СЛАУ различен. Например, во втором уравнении порядок таков: $a,y,c$, однако в третьем уравнении: $c,y,a$. Перед тем, как записывать СЛАУ в матричной форме, порядок следования переменных во всех уравнениях нужно сделать одинаковым.

Упорядочить переменные в уравнениях заданной СЛАУ можно разными способами (количество способов расставить три переменные составит $3!=6$). Я разберу два способа упорядочивания неизвестных.

Способ №1

Введём такой порядок: $c,y,a$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $\left \{\begin{aligned} & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4. \end{aligned}\right.$

Для наглядности я запишу СЛАУ в таком виде: $\left \{\begin{aligned} & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \end{aligned}\right.$

Матрица системы имеет вид: $ A=\left( \begin{array} {ccc} 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end{array} \right) $. Матрица свободных членов: $B=\left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=\left( \begin{array} {c} c \\ y \\ a \end{array} \right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $A\cdot X=B$. В развёрнутом виде:

Расширенная матрица системы такова: $\left( \begin{array} {ccc|c} 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end{array} \right) $.

Способ №2

Введём такой порядок: $a,c,y$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $\left \{ \begin{aligned} & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y=25; \\ & 5a-c=-4. \end{aligned}\right.$

Для наглядности я запишу СЛАУ в таком виде: $\left \{ \begin{aligned} & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \end{aligned}\right.$

Матрица системы имеет вид: $ A=\left( \begin{array} {ccc} 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end{array} \right)$. Матрица свободных членов: $B=\left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=\left( \begin{array} {c} a \\ c \\ y \end{array} \right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $A\cdot X=B$. В развёрнутом виде:

Расширенная матрица системы такова: $\left( \begin{array} {ccc|c} 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & -1 & 0 & -4 \end{array} \right) $.

Как видите, изменение порядка следования неизвестных равносильно перестановке столбцов матрицы системы. Но каким бы этот порядок расположения неизвестных ни был, он должен совпадать во всех уравнениях заданной СЛАУ.

math1.ru

Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений

Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.

Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.   

Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A^-1 · B, где A^-1 — обратная матрица.

Матричный метод решения состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с nнеизвестными:

Её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A^-1 — матрицу, обратную к матрице A:  A^-1 (AX) = A^-1B

Так как A^-1A = E, получаем X = A^-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.

Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они  понадобятся для нахождения обратной матрицы.

Теперь найдём союзную матрицу и транспонируем  её, потом подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

Подставляя переменные в формулу, получаем:

Найдем неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу  и столбец свободных членов.

Итак, x=2; y=1; z=4.

Если у Вас есть вопросы или Вам нужна помощь в решении линейных уравнений или систем, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь.  

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

5.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными:

где

Будем предполагать, что основная матрица невырожденная. Тогда, по теореме 3.1, существует обратная матрицаПомножив матричное уравнениена матрицуслева, воспользовавшись определением 3.2, а также утверждением 8) теоремы 1.1, получим формулу, на которой основан матричный метод решения систем линейных уравнений:

Замечание. Отметим, что матричный метод решения систем линейных уравнений в отличие от метода Гаусса имеет ограниченное применение: этим методом могут быть решены только такие системы линейных уравнений, у которых, во-первых, число неизвестных равно числу уравнений, а во-вторых, основная матрица невырожденная.

Пример. Решить систему линейных уравнений матричным методом.

Задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными где

Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку её определитель отличен от нуля:

Обратную матрицу составим одним из методов, описанных в пункте 3.

По формуле матричного метода решения систем линейных уравнений получим

5.3. Метод Крамера

Данный метод так же, как и матричный, применим только для систем линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений. Метод Крамера основан на одноимённой теореме:

Теорема 5.2. Система линейных уравнений снеизвестными

основная матрица которой невырожденная, имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам

где определитель матрицы, полученной из основной матрицысистемы уравнений заменой еёго столбца столбцом свободных членов.

Пример. Найдём решение системы линейных уравнений, рассмотренной в предыдущем примере, методом Крамера. Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку Вычислим определители

По формулам, представленным в теореме 5.2, вычислим значения неизвестных:

6. Исследование систем линейных уравнений.

Базисное решение

Исследовать систему линейных уравнений – означает определить, какой является эта система – совместной или несовместной, и в случае её совместности выяснить, определённая эта система или неопределённая.

Условие совместности системы линейных уравнений даёт следующая теорема

Теорема 6.1 (Кронекера–Капелли).

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы:

Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем.

Теорема 6.2. Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой

Теорема 6.3. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.

Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных, Тогда:

1. при система несовместна;

2. при система совместна, причём, если, система определённая; если же, система неопределённая.

Определение 6.1. Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю.

Пример. Исследовать систему линейных уравнений. В случае неопределённости системы найти её базисное решение.

Вычислим ранги основной и расширенной матрицданной системы уравнений, для чего приведём расширенную (а вместе с тем и основную) матрицу системы к ступенчатому виду:

Вторую строку матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на третью строку – с первой строкой, умноженной наа четвёртую строку – с первой, умноженной наполучим матрицу

К третьей строке этой матрицы прибавим вторую строку, умноженную на а к четвёртой строке – первую, умноженную наВ результате получим матрицу

удаляя из которой третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу

Таким образом, Следовательно, данная система линейных уравнений совместна, а поскольку величина ранга меньше числа неизвестных, система является неопределённой.Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице соответствует система уравнений

Неизвестные иявляются главными, а неизвестныеисвободными. Придавая свободным неизвестным нулевые значения, получим базисное решение данной системы линейных уравнений:

studfiles.net

Сведение системы линейных уравнений к матрице.

Любую систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения.

Так система линейных уравнений

состоящая из m линейных уравнений, содержащая n неизвестных величин, может быть записана в виде матричного уравнения:

Ax = b

где

A = a₁₁a₁₂…a_1na₂₁a₂₂…a_2n…………a_m1a_m2…a_mn; x = x₁x₂…x_m; b = b₁b₂…b_m

Матрица A — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец x — вектор неизвестных, а вектор-столбец b — вектор значений системы линейных уравнений.

N.B. Если в i-той строке системы линейных уравнений отсутствует переменная x_j, значит ее множитель равен нулю, то есть a_ij = 0.

Пример 1.

Решение: Система линейных уравнений запишется с помощью матриц следующим образом:

ru.onlinemschool.com

Элементарные преобразования матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1. Изменение порядка строк (столбцов).

2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число.

4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число.

Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).

1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:

2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x₁, x₂, … , x_n, обращающая каждое уравнение системы в тождество.

3. Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.

4. Система уравнений (1) называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее более одного решения.

5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).

К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:

1. Отбрасывание нулевых строк.

2. Изменение порядка строк.

3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.

Методы решения систем линейных уравнений.

1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:

Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем обозначения.

Матрица коэффициентов перед переменными:

X = ‒ матрица переменных.

В = ‒ матрица свободных членов.

Тогда система (2) примет вид:

A×X = B ‒ матричное уравнение.

Решив уравнение, получим:

X = A^-1×B

Пример:

; ;

1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4  0 матрицаА^-1 существует.

2) A^T= ;

3)

à =

4) А^-1 = × Ã =;

Х = А^-1 × B

Ответ:

2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.

Рассмотрим систему 2 ‒ х линейных уравнений с 2 ‒ мя неизвестными:

Решим эту систему методом подстановки:

Из первого уравнения следует:

Подставив во второе уравнение, получим:

Подставляем значение в формулу для, получим:

=

Определитель Δ — определитель матрицы системы;

Δ x₁ — определитель переменной x₁;

Δ x₂ — определитель переменной x₂;

Формулы:

x ₁ =;x ₂ =;…,x_n = ;Δ  0;

‒ называются формулами Крамера.

При нахождении определителей неизвестных х₁, х₂,…, х_nзаменяется столбец коэффициентов при той переменной, определитель которой находят, на столбец свободных членов.

Пример: Решить систему уравнений методом Крамера

Решение: 

Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:

Так как Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:

где Δ ₁, Δ ₂, Δ ₃ получаются из определителя Δ путем замены 1‒ го, 2 ‒ го или 3 ‒ го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.

Таким образом:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему:

Расширенной матрицей системы (1) называется матрица вида:

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения по m – тое уравнение.

При этом путем элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольной (если m = n и определитель системы ≠ 0) или ступенчатой (если m < n) форме.

Затем, начиная с последнего по номеру уравнения, находятся все неизвестные.

Алгоритм метода Гаусса:

1) Составить расширенную матрицу системы, включающую столбец свободных членов.

2) Если а₁₁  0, то первую строку делим на а₁₁ и умножаем на (– a₂₁) и прибавляем вторую строку. Аналогично дойти до m–той строки:

I стр. делим на а₁₁ и умножаем на (– а_m1) и прибавляем m – тую стр.

При этом из уравнений, начиная со второго по m – тое, исключится переменная x₁.

3) На 3 ‒ м шаге вторая строка используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3 ‒ й по m – тую. При этом исключится переменная x_{2 ,} начиная с 3 ‒ й строки по m – тую, и т. д.

В результате этих преобразований система приведется к треугольной или ступенчатой форме (в случае треугольной формы под главной диагональю нули).

Приведение системы к треугольной или ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из полученной системы называется обратным ходом.

Пример:

Прямой ход. Приведём расширенную матрицу системы

с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицыA_b, получим матрицу:

Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на (‒2), а её третью строку – с первой строкой, умноженной на (‒7). Получим матрицу

К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (‒3), в результате чего получим ступенчатую матрицу

Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:

,

Обратный ход. Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных:

studfiles.net

Лекция 6. Системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений. Лекция 6.

Системы линейных уравнений.

Основные понятия.

Система видa

называется системой — линейных уравнений снеизвестными.

Числа ,,называютсякоэффициентами системы.

Числа ,называютсясвободными членами системы, –переменными системы. Матрица

называется основной матрицей системы, а матрица

– расширенной матрицей системы. Матрицы — столбцы

и — соответственноматрицами свободных членов и неизвестных системы. Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде .Решением системы называется значений переменных, при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы — столбца. Тогда справедливо матричное равенство.

Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения.

Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение.

Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение

.

Теорема Кронекера – Копелли.

Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений снеизвестными

(1)

Теорема 2. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной (.

Теорема 3. Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 4. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.

Правила решения систем.

1. Находят ранги основной и расширенной матрицы и если то система не совместна.

2. Если , то система совместна, в этом случае находят какой-нибудь базисный минор- того порядка и берут соответствующие ему- уравнений системы, отбрасывая остальные. Те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, остальныепеременных называют свободными. Выражения со свободными переменными переносят в правую часть.

3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.

4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.

Методы решения систем линейных уравнений.

Метод обратной матрицы.

Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными

причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде

,

где ,,.

Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу

.

Так как , то получаем, откуда получаем равенство для нахождения неизвестных

.

Пример 27. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений

Решение. Обозначим через основную матрицу системы

.

Пусть , тогда решение найдем по формуле.

Вычислим .

Так как , тои система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения

, ,

, ,

, ,

, ,

Таким образом

.

Сделаем проверку

.

Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных.

.

Сравнивая значения матриц, получим ответ: .

Метод Крамера.

Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными

причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном видеили

Отсюда

Обозначим

. . . . . . . . . . . . . . ,

Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера.

Пример 28. Решить методом Крамера следующую систему линейных уравнений .

Решение. Найдем определитель основной матрицы системы

.

Так как , то, система имеет единственное решение.

Найдем остальные определители для формул Крамера

,

,

.

По формулам Крамера находим значения переменных

Ответ:

Метод Гаусса.

Метод заключается в последовательном исключении переменных.

Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:

На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду

,

где , которой соответствует система

После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть.

На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется вуравнение. Из этого уравнения

выражается переменная . Этот процесс продолжается до первого уравнения. В результате получается выражение главных переменныхчерез свободные переменные.

Пример 29. Решить методом Гаусса следующую систему

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду

.

Так как больше числа неизвестных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений. Запишем систему для ступенчатой матрицы

Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные

, будут базисными а переменная – свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть

Из последнего уравнения выражаем

Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим

откуда . Подставив значения переменныхив первое уравнение, найдем. Ответ запишем в следующем виде

Ответ:

32

studfiles.net

Система линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи.

Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.

Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему

содержащую m уравнений и n неизвестных (x1,x2,…,xn). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.

Параметры aij  называют коэффициентами, а bi – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «m×n система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит m уравнений и n неизвестных.

Если все свободные члены bi=0 то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.

Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел (α1,α2,…,αn), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных x1,x2,…,xn, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. x1=x2=…=xn=0.

Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.

Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.

С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица A называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,…,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.

Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец X – матрицей неизвестных.

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.

Примечание

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков 

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA˜.

Система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если rangA=rangA˜, то решение есть; если rangA≠rangA˜, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

1. Если rangA≠rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).

2. Если rangA=rangA˜<n, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).

3. Если rangA=rangA˜=n, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.

Методы решения СЛАУ

1. Метод Крамера

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода Крамера можно выразить в трёх пунктах:

1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. Δ≠0.

2. Для каждой переменной xi необходимо составить определитель Δ X_i, полученный из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.

3. Найти значения неизвестных по формуле xi= Δ X_i /Δ 

Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью обратной матрицы (иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ. Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:

1. Записать три матрицы: матрицу системы A, матрицу неизвестных X, матрицу свободных членов B.

2. Найти обратную матрицу A^-1.

3. Используя равенство X=A^-1⋅B получить решение заданной СЛАУ.

Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): как однородных, так и неоднородных. Коротко говоря, суть данного метода состоит в последовательном исключении неизвестных.

Преобразования, допустимые в методе Гаусса:

1. Смена мест двух строк;

2. Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.

3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.

4. Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.

5. Вычеркивание повторяющихся строк.

Насчет последних двух пунктов: повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, – естественно, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №2, №5, №6 повторяются, то можно оставить одну из них, – например, строку №5. При этом строки №2 и №6 будут удалены.

Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления.

studfiles.net

Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов | Игошин В.И.

Игошин В.И.

Сборник ( 3-е изд, стереотип.) содержит задачи и упражнения по всем традиционным разделам курса математической логики и теории алгоритмов. В каждом параграфе подробно рассмотрены разнообразные типовые примеры и приведены многочисленные задачи разного уровня сложности для самостоятельного решения. Теоретический материал изложен в учебном пособии: Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. Для студентов университетов, технических и педагогических вузов, обучающихся по специальностям’Математика?,’Прикладная математика’. От себя: Сборник состоит из четырнадцати параграфов в 5 главах: I. Алгебра высказываний; II. Булевы функции; III. Формализованное исчисление высказываний; IV. Логика предикатов; V. Элементы теории алгоритмов. Каждый параграф предваряется теоретическими сведениями. Особенно ценным является то, что автор в каждой серии однотипных задач (под буквами, скажем, а)- л)) приводит подробное решение одной или нескольких из них в качестве образца. То есть пособие одновременно может рассматриваться как некое руководство по решению задач. Другие книги автора на сайте: Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов Другие книги по математической логике и теории алгоритмов на сайте: Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике Гилберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики Гилберт Д., Бернайс П. Основания математики Гладкий А.В. Математическая логика Гохман А.В. Сборник задач по математической логике и алгебре множеств Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика Идельсон А.В. Математическая теория логического вывода. Математическая логика и основания математики Клини С.К. Математическая логика Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику Крайзель Г. Исследования по теории доказательств Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева Математическая логика Мацнев А.П. Математическая логика и теория алгоритмов Мальцев А.И. Избранные труды, в 2-х томах Мальцев А.Н. Алгоритмы и рекурсивные функции Мендельсон Э. Введение в математическую логику Никольская И.Л. Математическая логика Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения

bookfi.net

Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов | Игошин В.И.

Игошин В.И.

Сборник ( 3-е изд, стереотип.) содержит задачи и упражнения по всем традиционным разделам курса математической логики и теории алгоритмов. В каждом параграфе подробно рассмотрены разнообразные типовые примеры и приведены многочисленные задачи разного уровня сложности для самостоятельного решения. Теоретический материал изложен в учебном пособии: Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. Для студентов университетов, технических и педагогических вузов, обучающихся по специальностям’Математика?,’Прикладная математика’. От себя: Сборник состоит из четырнадцати параграфов в 5 главах: I. Алгебра высказываний; II. Булевы функции; III. Формализованное исчисление высказываний; IV. Логика предикатов; V. Элементы теории алгоритмов. Каждый параграф предваряется теоретическими сведениями. Особенно ценным является то, что автор в каждой серии однотипных задач (под буквами, скажем, а)- л)) приводит подробное решение одной или нескольких из них в качестве образца. То есть пособие одновременно может рассматриваться как некое руководство по решению задач. Другие книги автора на сайте: Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов Другие книги по математической логике и теории алгоритмов на сайте: Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике Гилберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики Гилберт Д., Бернайс П. Основания математики Гладкий А.В. Математическая логика Гохман А.В. Сборник задач по математической логике и алгебре множеств Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика Идельсон А.В. Математическая теория логического вывода. Математическая логика и основания математики Клини С.К. Математическая логика Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику Крайзель Г. Исследования по теории доказательств Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева Математическая логика Мацнев А.П. Математическая логика и теория алгоритмов Мальцев А.И. Избранные труды, в 2-х томах Мальцев А.Н. Алгоритмы и рекурсивные функции Мендельсон Э. Введение в математическую логику Никольская И.Л. Математическая логика Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения

ua.bookfi.net

Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов | Игошин В.И.

Игошин В.И.

Сборник ( 3-е изд, стереотип.) содержит задачи и упражнения по всем традиционным разделам курса математической логики и теории алгоритмов. В каждом параграфе подробно рассмотрены разнообразные типовые примеры и приведены многочисленные задачи разного уровня сложности для самостоятельного решения. Теоретический материал изложен в учебном пособии: Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. Для студентов университетов, технических и педагогических вузов, обучающихся по специальностям’Математика?,’Прикладная математика’. От себя: Сборник состоит из четырнадцати параграфов в 5 главах: I. Алгебра высказываний; II. Булевы функции; III. Формализованное исчисление высказываний; IV. Логика предикатов; V. Элементы теории алгоритмов. Каждый параграф предваряется теоретическими сведениями. Особенно ценным является то, что автор в каждой серии однотипных задач (под буквами, скажем, а)- л)) приводит подробное решение одной или нескольких из них в качестве образца. То есть пособие одновременно может рассматриваться как некое руководство по решению задач. Другие книги автора на сайте: Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов Другие книги по математической логике и теории алгоритмов на сайте: Аляев Ю.А. Тюрин С.Ф. Дискретная математика и математическая логика Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике Гилберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики Гилберт Д., Бернайс П. Основания математики Гладкий А.В. Математическая логика Гохман А.В. Сборник задач по математической логике и алгебре множеств Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика Идельсон А.В. Математическая теория логического вывода. Математическая логика и основания математики Клини С.К. Математическая логика Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику Крайзель Г. Исследования по теории доказательств Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов Л. М. Лихтарников, Т. Г. Сукачева Математическая логика Мацнев А.П. Математическая логика и теория алгоритмов Мальцев А.И. Избранные труды, в 2-х томах Мальцев А.Н. Алгоритмы и рекурсивные функции Мендельсон Э. Введение в математическую логику Никольская И.Л. Математическая логика Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения

en.bookfi.net

игошин математическая логика и теория алгоритмов решебник

скачать в.с.волькенштейн решебник 1979

3 фев 2010. Для однотипных задач даны только ответы.. устранены замеченные неточности и опечатки предыдущего издания (1979 г.).. Все решения к ` Сборнику задач по общему курсу физики` В. А. Волькенштейн.

Нахождение площади фигуры

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y).

В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G. Вот полученные формулы:

•  для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке[a;b],

•  для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке[a;b].

Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более сложными фигурами.

В этой статье мы поговорим о вычислении площади фигур, границы которых заданы функциями в явном виде, то есть, как y=f(x) или x=g(y), и подробно разберем решение характерных примеров.

Навигация по странице.

• Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

• Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

Теорема.

Пусть функции и определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем для любого значения x из [a;b]. Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, и вычисляется по формуле .

Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c,y=d, и : .

Доказательство.

Покажем справедливость формулы для трех случаев:

В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G и криволинейной трапеции равна площади фигуры . Следовательно,

Поэтому, . Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Аналогично, во втором случае справедливо равенство . Вот графическая иллюстрация:

В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем . Проиллюстрируем это:

Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции и пересекают ось Ox.

Обозначим точки пересечения . Эти точки разбивают отрезок [a; b]на n частей , где . Фигуру Gможно представить объединением фигур . Очевидно, что на своем интервале попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как

Следовательно,

Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.

Графическая иллюстрация общего случая.

Таким образом, формула доказана.

Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y).

К началу страницы

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиямиy=f(x) или x=g(y).

Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это нам позволит сложную фигуру представить как объединение более простых фигур. При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: основные элементарные функции, их свойства и графики; геометрические преобразования графиков функций и исследование функции и построение графика.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми , x=1, x=4.

Решение.

Построим эти линии на плоскости.

Всюду на отрезке [1;4] график параболы выше прямой . Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Немного усложним пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Ранее у нас всегда были две прямых, параллельных оси абсцисс, а сейчас только одна x=7. Сразу возникает вопрос: где взять второй предел интегрирования? Давайте для этого взглянем на чертеж.

Стало понятно, что нижним пределом интегрирования при нахождении площади фигуры является абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы . Эту абсциссу найдем из равенства:

Следовательно, абсциссой точки пересечения является x=2.

Обратите внимание.

В нашем примере и по чертежу видно, что линии и y=x пересекаются в точке(2;2) и предыдущие вычисления кажутся излишними. Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий.

Очевидно, график функции y=x расположен выше графика функции на интервале [2;7]. Применяем формулу для вычисления площади:

Еще усложним задание.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение.

Построим график обратной пропорциональности и параболы .

Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения и .

При отличных от нуля значениях x равенство эквивалентно уравнению третьей степени с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу решение кубических уравнений чтобы вспомнить алгоритм его решения.

Легко проверить, что x=1 является корнем этого уравнения: .

Разделив выражение на двучлен x-1, имеем:

Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения :

Теперь из чертежа стало видно, что фигура G заключена выше синей и ниже красной линии на интервале . Таким образом, искомая площадь будет равна

Рассмотрим еще один характерный пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и осью абсцисс.

Решение.

Сделаем чертеж.

 — это обычная степенная функция с показателем одна треть, график функции можно получить из графика отобразив его симметрично относительно оси абсцисс и подняв на единицу вверх.

Найдем точки пересечения всех линий.

Ось абсцисс имеет уравнение y=0.

Графики функций и y=0 пересекаются в точке (0;0) так как x=0 является единственным действительным корнем уравнения .

Графики функций и y=0 пересекаются в точке (2;0), так как x=2является единственным корнем уравнения .

Графики функций и пересекаются в точке (1;1), так как x=1является единственным корнем уравнения . Это утверждение не совсем очевидно, но — функция строго возрастающая, а — строго убывающая, поэтому, уравнение имеет не более одного корня.

Как же действовать дальше? Здесь есть несколько вариантов.

1. Можно фигуру G представить суммой двух криволинейных трапеций. Первая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже красной линии на отрезке . Следовательно, искомая площадь будет равна .

2. Можно фигуру G представить разностью двух фигур. Первая фигура является криволинейной трапецией и расположена выше оси Ox и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше красной и ниже синей линии на отрезке . В этом случае площадь представляем как .

3. А можно фигуру G рассматривать на отрезке , заключенной правее синей линии и левее красной. Вот на этом варианте и остановимся.

Единственное замечание: в этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида . То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y. Это сделать в нашем случае достаточно легко. Разрешим уравнения и относительно x:

Таким образом, искомая площадь равна

Мы бы пришли к этому же результату и в двух других случаях.

Можно переходить к последнему примеру.

Пример.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

С построением этих линий проблем возникнуть не должно. На чертеже красной линией изображен график функции , синей линией , а черной линией .

Определим точки пересечения линий.

Начнем с графиков функций и :

Найдем точку пересечения графиков функций и :

Осталось найти точку пересечения прямых и :

Дальше можно поступить двояко:

Тогда площадь фигуры равна:

Для этого случая, перед применением формулы для вычисления площади фигуры, разрешим уравнения линий относительно x:

Таким образом, площадь равна:

Как видите, значения совпадают.

К началу страницы

Подведем итог.

Мы разобрали все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями. Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие навыков вычисления определенных интегралов.

studfiles.net

Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла

WolframAlpha по-русски: Приведение матрицы к ступенчатому виду: пошаговое решение в Wolfram|Alpha

Приведение матрицы к ступенчатому виду — промежуточный этап при решении систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, других задач линейной алгебры. Приведение матрицы к ступенчатому виду также называют преобразованием Гаусса-Жордана.

Для приведения матрицы к ступенчатому виду «вручную» к строкам матрицы применяются элементарные преобразования: строки матрицы можно менять местами, умножать или делить на ненулевое число, складывать и вычитать. В Wolfram|Alpha для приведения матрицы к ступенчатому виду служит запрос row reduce, например:

row reduce {{-1, 1, 7, 5}, {-7, 2, 3, 4}, {-1, 2, 7, -2}}

Чтобы получить пошаговое решение Вы должны заранее зарегистрироваться в Wolfram|Alpha и войти в свой аккаунт.

Полученное решение можно рассматривать пошагово, нажимая последовательно кнопку «Next step» («Следующий шаг»):

Нажав кнопку «Show all steps» («Показать все шаги») сразу получим полное решение:

Для квадратной невырожденной матрицы в результате приведения матрицы к ступенчатому виду получим диагональную матрицу с единицами по главной диагонали:

row reduce {{7, 3, -11}, {-6, 7, 10}, {-11, 2, -2}}

Помните, для получения пошагового решения Вам нужно войти в свой аккаунт в Wolfram|Alpha. Обратите внимание: Wolfram|Alpha предупреждает Вас, что пользователь бесплатного аккаунта может получить не более 3-х пошаговых решений в течение суток.

Вот, как выглядит полное решение в этом случае:

www.wolframalpha-ru.com

Как привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду (метод Гаусса)?

Данная статья является первой частью серии статей под названием «Решение матриц». Каждая часть сопровождается теорией, примерами и подробным описанием.

Если Вам нужно привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду, воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором.

Содержание:

Эту задачу приходится решать очень часто, так как она используется во многих операциях над матрицами (решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), вычисление определителя матрицы).

Что бы привести матрицу к треугольному виду, нужно воспользоваться методом Гаусса, который является простым в использовании и позволяет быстро прийти к конечному результату. Метод заключается в том чтобы исходную матрицу, путём элементарных преобразований привести к треугольному (ступенчатому) виду.

Для приведения матрицы к треугольному виду, необходимо обнулить все элементы стоящие ниже главной диагонали.

Пусть дана матрица

.

Первым действием обнуляем первые элементы 2,3,…,n строки, для этого вычтем из этих строк первую строку умноженную на соответственно,

получим ,

где .

Теперь вычтем из 3,4…,n строки вторую строку умноженную на , этим действием обнуляем вторые элементы этих строк, соответственно, получаем

,

где b_ij элементы получившиеся в результате этих преобразований. И так далее, пока не получим вид ,

где b_ij это элементы получившиеся в результате элементарных преобразований, это и есть матрица треугольного вида.

Если Вам не понятен какой-либо шаг или у Вас есть вопросы по приведению матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, вы всегда можете оставить свой комментарий ниже или решить её воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.

Свои вопросы по данной статье, Вы всегда можете задать в комментариях.

rytex.ru

Виды матриц. Ступенчатый вид матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому и треугольному виду

Матрица — это особый объект в математике. Изображается в форме прямоугольной или квадратной таблицы, сложенной из определенного числа строк и столбцов. В математике имеется большое разнообразие видов матриц, различающихся по размерам или содержанию. Числа ее строк и столбцов именуются порядками. Эти объекты употребляются в математике для упорядочивания записи систем линейных уравнений и удобного поиска их результатов. Уравнения с использованием матрицы решаются посредством метода Карла Гаусса, Габриэля Крамера, миноров и алгебраических дополнений, а также многими другими способами. Базовым умением при работе с матрицами является приведение к стандартному виду. Однако для начала давайте разберемся, какие виды матриц выделяют математики.

Нулевой тип

Все компоненты этого вида матрицы — нули. Между тем, число ее строк и столбцов абсолютно различно.

Квадратный тип

Количество столбцов и строк этого вида матрицы совпадает. Иначе говоря, она представляет собой таблицу формы «квадрат». Число ее столбцов (или строк) именуются порядком. Частными случаями считается существование матрицы второго порядка (матрица 2×2), четвертого порядка (4×4), десятого (10×10), семнадцатого (17×17) и так далее.

Вектор-стобец

Это один из простейших видов матриц, содержащий только один столбец, который включает в себя три численных значения. Она представляет ряд свободных членов (чисел, независимых от переменных) в системах линейных уравнений.

Вектор-строка

Вид, аналогичный предыдущему. Состоит из трех численных элементов, в свою очередь организованных в одну строку.

Диагональный тип

Числовые значения в диагональном виде матрицы принимают только компоненты главной диагонали (выделена зеленым цветом). Основная диагональ начинается с элемента, находящегося в правом верхнем углу, а заканчивается числом в третьем столбце третьей строки. Остальные компоненты равны нулю. Диагональный тип представляет собой только квадратную матрицу какого-либо порядка. Среди матриц диагонального вида можно выделить скалярную. Все ее компоненты принимают одинаковые значения.

Единичная матрица

Подвид диагональной матрицы. Все ее числовые значения являются единицами. Используя единичный тип матричных таблиц, выполняют ее базовые преобразования или находят матрицу, обратную исходной.

Канонический тип

Канонический вид матрицы считается одним из основных; приведение к нему часто необходимо для работы. Число строк и столбцов в канонической матрице различно, она необязательно принадлежит к квадратному типу. Она несколько похожа на единичную матрицу, однако в ее случае не все компоненты основной диагонали принимают значение, равное единице. Главнодиагональных единиц может быть две, четыре (все зависит от длины и ширины матрицы). Или единицы могут не иметься вовсе (тогда она считается нулевой). Остальные компоненты канонического типа, как и элементы диагонального и единичного, равны нулю.

Треугольный тип

Один из важнейших видов матрицы, применяемый при поиске ее детерминанта и при выполнении простейших операций. Треугольный тип происходит от диагонального, поэтому матрица также является квадратной. Треугольный вид матрицы подразделяют на верхнетреугольный и нижнетреугольный.

В верхнетреугольной матрице (рис. 1) только элементы, которые находятся над главной диагональю, принимают значение, равное нулю. Компоненты же самой диагонали и части матрицы, располагающейся под ней, содержат числовые значения.

В нижнетреугольной (рис. 2), наоборот, элементы, располагающиеся в нижней части матрицы, равны нулю.

Ступенчатая матрица

Вид необходим для нахождения ранга матрицы, а также для элементарных действий над ними (наряду с треугольным типом). Ступенчатая матрица названа так, потому что в ней содержатся характерные «ступени» из нулей (как показано на рисунке). В ступенчатом типе образуется диагональ из нулей (необязательно главная), и все элементы под данной диагональю тоже имеют значения, равные нулю. Обязательным условием является следующее: если в ступенчатой матрице присутствует нулевая строка, то остальные строки, находящиеся ниже нее, также не содержат числовых значений.

Таким образом, мы рассмотрели важнейшие типы матриц, необходимые для работы с ними. Теперь разберемся с задачей преобразования матрицы в требуемую форму.

Приведение к треугольному виду

Как же привести матрицу к треугольному виду? Чаще всего в заданиях нужно преобразовать матрицу в треугольный вид, чтобы найти ее детерминант, по-другому называемый определителем. Выполняя данную процедуру, крайне важно «сохранить» главную диагональ матрицы, потому что детерминант треугольной матрицы равен именно произведению компонентов ее главной диагонали. Напомню также альтернативные методы нахождения определителя. Детерминант квадратного типа находится при помощи специальных формул. Например, можно воспользоваться методом треугольника. Для других матриц используют метод разложения по строке, столбцу или их элементам. Также можно применять метод миноров и алгебраических дополнений матрицы.

Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.

Задание 1

Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.

Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.

Чтобы привести ее к треугольному виду, начнем преобразование с левого нижнего угла матрицы — с числа 6. Чтобы обратить его в нуль, умножим первую строку на три и вычтем ее из последней строки.

Важно! Верхняя строка не изменяется, а остается такой же, как и в исходной матрице. Записывать строку, в четыре раза большую исходной, не нужно. Но значения строк, компоненты которых нужно обратить в нуль, постоянно меняются.

Далее займемся следующим значением — элементом второй строки первого столбца, числом 8. Умножим первую строку на четыре и вычтем ее из второй строки. Получим нуль.

Осталось только последнее значение — элемент третьей строки второго столбца. Это число (-1). Чтобы обратить его в нуль, из первой строки вычтем вторую.

Выполним проверку:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Значит, ответ к заданию: -22.

Задание 2

Нужно найти детерминант матрицы методом приведения его к треугольному виду.

Представленная матрица принадлежит к квадратному типу и является матрицей четвертого порядка. Значит, необходимо обратить в нуль три компонента первого столбца, два компонента второго столбца и один компонент третьего.

Начнем приведение ее с элемента, находящегося в нижнем углу слева, — с числа 4. Нам нужно обратить данное число в нуль. Удобнее всего сделать это, умножив на четыре верхнюю строку, а затем вычесть ее из четвертой. Запишем итог первого этапа преобразования.

Итак, компонент четвертой строки обращен в нуль. Перейдем к первому элементу третьей строки, к числу 3. Выполняем аналогичную операцию. Умножаем на три первую строку, вычитаем ее из третьей строки и записываем результат.

Далее видим число 2 во второй строке. Повторяем операцию: умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из второй.

Нам удалось обратить в нуль все компоненты первого столбца данной квадратной матрицы, за исключением числа 1 — элемента главной диагонали, не требующего преобразования. Теперь важно сохранить полученные нули, поэтому будем выполнять преобразования со строками, а не со столбцами. Перейдем ко второму столбцу представленной матрицы.

Снова начнем с нижней части — с элемента второго столбца последней строки. Это число (-7). Однако в данном случае удобнее начать с числа (-1) — элемента второго столбца третьей строки. Чтобы обратить его в нуль, вычтем из третьей строки вторую. Затем умножим вторую строку на семь и вычтем ее из четвертой. Мы получили нуль вместо элемента, расположенного в четвертой строке второго столбца. Теперь перейдем к третьему столбцу.

В данном столбце нам нужно обратить в нуль только одно число — 4. Сделать это несложно: просто прибавляем к последней строке третью и видим необходимый нам нуль.

После всех произведенных преобразований мы привели предложенную матрицу к треугольному виду. Теперь, чтобы найти ее детерминант, нужно только произвести умножение получившихся элементов главной диагонали. Получаем: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Следовательно, решением является число 160.

Итак, теперь вопрос приведения матрицы к треугольному виду вас не затруднит.

Приведение к ступенчатому виду

При элементарных операциях над матрицами ступенчатый вид является менее «востребованным», чем треугольный. Чаще всего он используется для нахождения ранга матрицы (т. е. количества ее ненулевых строк) или для определения линейно зависимых и независимых строк. Однако ступенчатый вид матрицы является более универсальным, так как подходит не только для квадратного типа, но и для всех остальных.

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, сначала нужно найти ее детерминант. Для этого подойдут вышеназванные методы. Цель нахождения детерминанта такова: выяснить, можно ли преобразовать ее в ступенчатый вид матрицы. Если детерминант больше или меньше нуля, то можно спокойно приступать к заданию. Если же он равен нулю, выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду не получится. В таком случае нужно проверить, нет ли ошибок в записи или в преобразованиях матрицы. Если подобных неточностей нет, задание решить невозможно.

Рассмотрим, как привести матрицу к ступенчатому виду на примерах нескольких заданий.

Задание 1. Найти ранг данной матричной таблицы.

Перед нами квадратная матрица третьего порядка (3×3). Мы знаем, что для нахождения ранга необходимо привести ее к ступенчатому виду. Поэтому сначала нам необходимо найти детерминант матрицы. Воспользуемся методом треугольника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) — (1 x 1 x 4) — (2 x 3 x 0) — (6 x 5 x 2) = 12.

Детерминант = 12. Он больше нуля, значит, матрицу можно привести к ступенчатому виду. Приступим к ее преобразованиям.

Начнем его с элемента левого столбца третьей строки — числа 2. Умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из третьей. Благодаря этой операции как нужный нам элемент, так и число 4 — элемент второго столбца третьей строки — обратились в нуль.

Далее обращаем в нуль элемент второй строки первого столбца — число 3. Для этого умножаем верхнюю строку на три и вычитаем ее из второй.

Мы видим, что в результате приведения образовалась треугольная матрица. В нашем случае продолжить преобразование нельзя, так как остальные компоненты не удастся обратить в нуль.

Значит, делаем вывод, что количество строк, содержащих числовые значения, в данной матрице (или ее ранг) — 3. Ответ к заданию: 3.

Задание 2. Определить количество линейно независимых строк данной матрицы.

Нам требуется найти такие строки, которые нельзя какими-либо преобразованиями обратить в нуль. Фактически нам нужно найти количество ненулевых строк, или ранг представленной матрицы. Для этого выполним ее упрощение.

Мы видим матрицу, не принадлежащую к квадратному типу. Она имеет размеры 3×4. Начнем приведение также с элемента левого нижнего угла — числа (-1).

Прибавляем первую строку к третьей. Далее вычитаем из нее вторую, чтобы обратить число 5 в нуль.

Дальнейшие ее преобразования невозможны. Значит, делаем вывод, что количество линейно независимых строк в ней и ответ к заданию — 3.

Теперь приведение матрицы к ступенчатому виду не является для вас невыполнимым заданием.

На примерах данных заданий мы разобрали приведение матрицы к треугольному виду и ступенчатому виду. Чтобы обратить в нуль нужные значения матричных таблиц, в отдельных случаях требуется проявить фантазию и правильно преобразовать их столбцы или строки. Успехов вам в математике и в работе с матрицами!

fb.ru

Свойства обратной матрицы — Мегаобучалка

1.Обратная матрица единственна.

Доказательство.Пусть существуют две обратные матрицы: и . Тогда

2. . Это следует из определения.

3. .

Доказательство: и

.

4. .

Доказательство: и

.

5.Если – невырожденная матрица, то – тоже невырожденная.

Доказательство: .

Пример.Найти обратную матрицу для матрицы

.

Найдём определитель матрицы :

,

следовательно, существует обратная матрица.

Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

; ; ; ; ; ;

; ; ,

тогда

.

Проверка

.

Лекция 5

Понятие линейной зависимости строк матрицы, основные теоремы.

Элементарные преобразования матриц. Ступенчатые матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому и единичному виду. Построение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

 

Понятие линейной зависимости строк матрицы, основные теоремы

Основная литература: [1], [4].

 

Элементарные преобразования матриц. Ступенчатые матрицы.

Приведение матрицы к ступенчатому и единичному виду.

Построение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие действия:

1) транспонирование матрицы;

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

3) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;

4) прибавление к каждому элементу строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

5) отбрасывание нулевой строки (столбца).

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

1) Из всех строк матрицы выбрать такую строку, первый элемент которой равен единице. Если такой строки нет, то получить ее с помощью элементарного преобразования 4. Меняя порядок строк, сделать выбранную строку первой строкой.

2) С помощью элементарного преобразования 4 получить нули во всех строках первого столбца, кроме первой.

3) Из всех строк матрицы, кроме первой, выбрать такую строку, второй элемент которой равен единице. Если такой строки нет, то получить ее с помощью элементарного преобразования 4. Меняя порядок строк, сделать выбранную строку второй строкой.

4) С помощью элементарного преобразования 4 получить нули во всех строках второго столбца, кроме первой и второй.

5) Алгоритм продолжать до тех пор, пока все элементы, лежащие ниже главной диагонали, не обратятся в нуль.

Пример 1.Привести матрицу к ступенчатому виду.

Решение.

.

 

Рассмотрим ещё один способ нахождения обратной матрицы с использованием элементарных преобразований.

Пример 2. .

Следовательно, .

 

Лекция 6

Ранг матрицы, определение. Понятие базисного минора матрицы.

megaobuchalka.ru

как переводить масштабы? пж помогите

Масштаб показывает, во сколько раз расстояния на плане уменьшены по отношению к реальным расстояниям. например, масштаб 1:1000 это значит, что в 1см на карте 1000 реальных см, т. е. 10 метров или 1: 500000 это значит, что в 1см на карте 500000 реальных см, т. е. 5000 м или 5 км Основной принцип такой: если левая часть в мм, то и правая означает число реальных мм, их потом переводишь в см, м, или км, если левая часть в см, то и правая часть показывает число реальных см, их потом переводишь в м или км Чтобы из см получить метры дели их на 100, полученные метры дели на 1000 — получишь км

<a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:1VUqXny»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Мне кажется то, посмотри этот документ <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:document789234789234-pdf»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Спроси тут <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:cnpocuTyt»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Мне кажется то, посмотри этот документ <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:document789234789234-pdf»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Спроси тут <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:cnpocuTyt»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Спроси тут <a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:cnpocuTyt»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

<img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/218142159_d3f996ee2266d1ff8619c2873cfc4ea7_800.jpg» alt=»» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/218142159_d3f996ee2266d1ff8619c2873cfc4ea7_120x120.jpg» data-big=»1″>

М 1:1, то есть 1 мм соответствует 1 мм, начерченному на чертеже. М 1:2, то есть 1 мм соответствует 0,5 мм на чертеже (уменьшение в два раза, любой размер в идеале чертится в два раза меньшим на чертеже). М 2:1, то есть 1 мм соответствует 2 мм на чертеже (увеличение в два раза на чертеже от реальных размеров объекта).

1. Если это численный масштаб, то сантиметры переводишь в метры, а затем метры в километры. Делишь на 100, а затем на 1000. 1 : 500 000. в 1 см 5 км. А если проще, то Если в знаменателе после первой цифры находится пять нулей, то, закрыв пальцем 5 нулей, получим число километров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте. Пример для масштаба 1 : 500 000. В знаменателе после цифры — пять нулей, закрыв их, получим для именованного масштаба: в 1 см на карте 5 километров на местности. Если после цифры в знаменателе менее пяти нулей, то, закрыв два нуля, получим число метров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте. Если, например, в знаменателе масштаба 1 : 10 000 закроем два нуля, получим: в 1 см — 100 м. Чтобы именованный перевести в численный надо: если написано в 1 см 5 км — добавить 5 нулей — 1 : 500000 Если написано в 1 см 5 м — добавить 2 нуля -1 : 500

touch.otvet.mail.ru

Помогите!!!!масштаб 1/50,как рассчитать сколько в сантиметре метров?

При проектировании строительных чертежей в зависимости от размеров объектов рекомендуется выполнять чертежи в следующих масштабах 1:100; 1:200; 1:400. Для небольших здании и для фасадов применяют масштаб 1:50. Это даёт возможность выявить на фасаде архитектурные детали. Поскольку масштаб разных изображении может быть различным, его обычно указывают около каждого из них. Размеры на строительных чертежах в отличие от машиностроительных чертежей можно проставлять в сантиметрах, а в некоторых случаях разрешается давать размеры в метрах, указывая единицу измерения. Следует помнить, что какой бы масштаб ни был на чертеже всегда проставляют действительные размеры, то есть натуральные размеры предмета или объекта. Значит у Вас на чертеже и есть масштаб 1:50. Т. е в одном см (2 клеточки) — 50 см реального размера. И на бумаге будет выглядеть как прямоугольник со сторонами 10 х 12 см

В 1 см 50 см, тоесть в 1см 0,5 м

Умножай на 50..в одном сантиметре-50 см, т. е. 0,5 метра.

в см 0.01 м. 1 сотая. 1/50 — это в одной единице 50 единиц.

1см на карте=50см=0,5м

В одном сантиметре 50 сантиметров. И в чем проблема? В одном метре сколько сантиметров? А у тебя что? Получается 0,5 метра.

Что такое масштаб 1/50 Это значит, что 1см на плане соответствует 50см в натуре, т. е 0.5 метра

Все очень просто нужно только умножить на 2 и снизить единицу измерения. допусти 12 метров в масштабе 1/50 будет 24 см. мы 12 умножили на 2 и снизили с метров до сантиметров. это первый вариант а второй искомый реальный размер делим на 50 т. е. на масштаб. 12метров делим на 50 масштаб получаем 0.24м что равняется 24см. Формула Реальный размер : масштаб = Уменьшенный размер. По таким замерам делают масштабные модели. если размеры не указаны их можно рассчитать зная размеры реальной модели

touch.otvet.mail.ru

Помогите!!!!масштаб 1/50,как рассчитать сколько в сантиметре метров?

Помогите!!!!масштаб 1/50,как рассчитать сколько в сантиметре метров?

0

144

больше 1года назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

Ответы (8)

В 1 см 50 см, тоесть в 1см 0,5 м

0

ответ написан больше 1года назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

Умножай на 50..в одном сантиметре-50 см, т. е. 0,5 метра.

0

ответ написан больше 1года назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

в см 0.01 м. 1 сотая. 1/50 — это в одной единице 50 единиц.

0

ответ написан больше 1года назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

1см на карте=50см=0,5м

0

ответ написан больше 1года назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

В одном сантиметре 50 сантиметров. И в чем проблема? В одном метре сколько сантиметров? А у тебя что? Получается 0,5 метра.

0

ответ написан больше 1года назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

Что такое масштаб 1/50 Это значит, что 1см на плане соответствует 50см в натуре, т. е 0.5 метра

0

ответ написан больше 1года назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

пол-метра…

0

ответ написан больше 1года назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

Все очень просто нужно только умножить на 2 и снизить единицу измерения. допусти 12 метров в масштабе 1/50 будет 24 см. мы 12 умножили на 2 и снизили с метров до сантиметров. это первый вариант а второй искомый реальный размер делим на 50 т. е. на масштаб. 12метров делим на 50 масштаб получаем 0.24м что равняется 24см. Формула Реальный размер : масштаб = Уменьшенный размер. По таким замерам делают масштабные модели. если размеры не указаны их можно рассчитать зная размеры реальной модели

0

ответ написан больше 1года назад

0 комментариев

Войдите что бы оставлять комментарии

Оставить ответ

Войдите, чтобы написать ответ

education.ques.ru

Ответы@Mail.Ru: Напомните, пож-ста, как определить сколько в 1 см километров, если масштаб карты 1:1 000 000 ?

В 1 см-10км, когда определяешь масштаб отбрасывай три последних нуля

У вас в 1 см 10 км. 1 000 000 — в 1см. на карте 1 000 000 см. на местности. Переведите см. в метры, убрав сначала 2 нуля справа, потом метры в километры, убрав ещё три нуля справа.

Смотрите рисунок. Удачи и успехов в наше нелегкое время!!! <img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/msv_mnv/_answers/i-252.jpg» >

при вычислении масштаба нужно просто отбрасывать три последних числа. и ты узнаешь сколько в 1-ом см метров или километров

touch.otvet.mail.ru

переведите из численных масштабов в именованные. в 1 см 10км, в 1 см 250км, в 1см 100 м

а) в 1см 10км будет 1:1 000 000 б) в 1см 250км будет 1:25 000 000 в) в 1см 100м будет 1:10 000 Почитайте правило: Правило для учащихся. Для более легкого перевода именованного масштаба в численный нужно перевести расстояние на местности, указанное в именованном масштабе, в сантиметры. Если расстояние на местности выражено в метрах, чтобы получить знаменатель численного масштаба, нужно приписать два нуля, если в километрах, то пять нулей. Например, для именованного масштаба в 1 см — 100 м расстояние на местности выражено в метрах, поэтому для численного масштаба приписываем два нуля и получаем: 1 : 10 000. Для масштаба в 1 см — 5 км приписываем к пятерке пять нулей и получаем: 1 : 500 000. Для более легкого перевода численного масштаба в именованный нужно посчитать, на сколько нулей кончается число в знаменателе. Например, в масштабе 1 : 500 000 в знаменателе после цифры 5 находится пять нулей. Если после цифры в знаменателе пять и более нулей, то, закрыв (пальцем, авторучкой или просто зачеркнув) пять нулей, получим число километров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте. Пример для масштаба 1 : 500 000. В знаменателе после цифры — пять нулей, закрыв их, получим для именованного масштаба: в 1 см на карте 5 километров на местности. Если после цифры в знаменателе менее пяти нулей, то, закрыв два нуля, получим число метров на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте. Если, например, в знаменателе масштаба 1 : 10 000 закроем два нуля, получим: в 1 см — 100 м.

а) в 1см 10км будет 1:1 000 000 б) в 1см 250км будет 1:25 000 000 в) в 1см 100м будет 1:10 000

edededeerfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrfrf

Ирина спасибо что обяснила кратко и быстро

Ирина спасибо что обяснила кратко и быстро

спасибо вам большое мне понравилось

Переведите численный масштаб карты в именованный: 1:200 000 1:10 000 000 1:25 000 Ответы: в 1 см — 2 км; в 1 см — 100 км; в 1 см — 250 м.

Condorita Высший разум (623679) 7 лет назад Мастшаб — отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта В географии: Масштабом называется отношение длины линии на плане или карте к соответствующей проекции этой линии на местности. Масштабы на картах и планах могут быть представлены численно или графически. Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень уменьшения проекции. Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности. Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1:1 000 крупнее, чем масштаб 1:25 000. Графические масштабы подразделяются на линейные и поперечные. Линейный масштаб — это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделённой на равные части. Поперечный масштаб — это графический масштаб в виде номограммы, построение которой основано на пропорциональности отрезков параллельных прямых, пересекающих стороны угла. Точность масштаба — это отрезок горизонтального проложения линии, соответствующий 0,1 мм на плане. Значение 0,1 мм для определения точности масштаба принято из-за того, что это минимальный отрезок, который человек может различить невооруженным глазом. Например, для масштаба 1:10 000 точность масштаба будет равна 1 м. В этом масштабе 1 см на плане соответствует 10 000 см (100 м) на местности, 1 мм — 1 000 см (10 м) , 0,1 мм — 100 см (1 м) . Он представляет собой прямую линию, разделенную на равные отрезки, соответствующие десятичным числам расстояний на местности. Отрезки, а называют основанием масштаба. А расстояние на местности, соответствующее основанию, называют величиной линейного масштаба. Для повышения точности определения расстояний крайнее слева основание делят на более мелкие части б, называемые наименьшими делениями линейного масштаба. При работе с планом и картой часто приходиться переводить численный масштаб в именованный или линейный. Для этого необходимо знаменатель численного масштаба перевести в более крупные меры — метры и километры. Например, если численный масштаб плана 1:5000, это значит что в 1 см на плане соответствует на местности 5000 см или 50 метрам. Классификация карт. Географические карты классифицируются по масштабу, обхвату территории, содержанию и назначению. По масштабу географические карты делят на крупномасштабные, построенные в масштабе 1: 200 000 и крупнее; среднемасштабные, построенные в масштабе мельче 1: 200 000 до 1: 1 000 000 включительно; мелкомасштабные, построенные в масштабе мельче 1: 1 000 000. Крупномасштабные карты называют топографическими, среднемасштабные — обзорно-топографическими, мелкомасштабные — обзорными. По обхвату территории различают карты мира, полушарий, материков и их крупных частей, океанов и морей, государств, областей, районов. По содержанию карты подразделяются на общегеографические и тематические. На общегеографических картах изображают основные элементы местности: рельеф, водоемы, населенные пункты, транспортную сеть, государственные и административные границы и др. При этом ни один элемент земной поверхности не выделен особо. Подробность изображения зависит лишь от масштаба карты, особенностей местности и тех задач, для решения которых предназначается карта. Тематические карты передают с большей подробностью один или несколько определенных элементов в зависимости от темы данной карты. Среди них различают физико-географические (геологические, климатические, почвенные) и социально-экономические (политические, политико-административные, карты населения, экономические и др. ) По назначению выделяют карты многоцелевого назначения (топографические карты) , научно-справочные, учебные, туристические, навигационные, военные и другие.

touch.otvet.mail.ru

tg 2 x = 1

Задание.
Решить уравнение:

Решение.
Данное уравнение является одним из самых простых видов тригонометрических уравнений, которые очень легко научиться решать.
Первое, что необходимо сделать, это определить — при каких аргументах тангенс равен единице. Один из способов является использование таблицы значений тригонометрических функций от основных углов. Заглянув в таблицу, можно определить, что тангенс равен единице при аргументах, равных Пи/4, 5Пи/4 и т.д. Достаточно этих двух значений для того, чтобы записать общее решение для данного уравнения.
Сначала запишем аргумент нашей функции — это 2х. затем записываем первое значение из таблицы — это Пи/4. Дальше определяем, что следующее значение отличается от первого на число Пи. Известно, что Пи является периодом функции тангенс. Таким образом, получаем для заданного уравнения следующий результат:
, переменная h может быть любым целым числом, как положительным, так и отрицательным.
Второе. Для полноценного решения нужно найти, чему будет равен аргумент х. Для этого достаточно разделить все уравнение на число два:
, h — любое целое число.

Ответ. , h —целое.

Также корни можно определить из графика функции тангенс или с помощью тригонометрической окружности.

ru.solverbook.com

чему равна производная от тангенс квадрат икс?

2 умноженное на тангенс х деленое на косинус квадрат х Пояснение: это сложная функция сначала берется производная по степени и умножается на аргумент, то есть производная от степени дает 2tg(х) ; производная tg(х) = 1/cos^2(х) Получаем: 2tg(x)/cos^2(x)

2 x делить на косинус квадрат х

2 умножить на тангенс икс, умножить на дробь — в числителе 1, в знаменателе косинус квадрат икс

<img src=»//foto.mail.ru/mail/profazarjan/_answers/i-18.jpg» >

touch.otvet.mail.ru

tg x = 0 решение

Доброй ночи!
Уравнения вида, которое вы нам предоставили — очень часто вызывает различные затруднение. Но это, на самом деле, не так страшно и не так сложно. Прежде, чем разобраться с Вашей уравнением tg x = 0, нужно подумать, в каком виде можно представить данное уравнение, чтоб понять как его решать.
Вот так будет выглядеть Ваше условие на математическом языке: 

Да, я понимаю, что это Вам особо не помогло. Но для решения этого уравнения есть определённое правило решения подобных уравнений, которое примет такой общий вид: 

Как только мы разобрались с общим решением, то теперь можем преступить к решению именно Вашего уравнения: 

Значение  мы найдём при помощи таблицы. И исходя из этого получаем, что  или 
Так как с основным разобрались, то теперь можем и решить до конца Ваше уравнение: 

либо 

Запишем это всё в более привлекательном виде и получим следующее:

либо 

Ответ: либо 

ru.solverbook.com

Гипербола

Гипербола — это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух отдельных кривых, которые не пересекаются.
Формула гиперболы y = k/x, при условии, что k не равно 0. То есть вершины гиперболы стремятся к нолю, но никогда не пересекаются с ним.

Гипербола — это множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Основные понятия

1. Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.
2. Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.
3. Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.
4. Середина большой оси называется центром гиперболы.
5. Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы. Обычно обозначается a.
6. Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием. Обычно обозначается c.
7. Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы.
8. Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр, называется мнимой или сопряженной осью гиперболы.
9. Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный к её действительной оси, называется фокальным параметром.
10. Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром. Обычно обозначается b.