Рубрика: Школьная жизнь

Путеводитель по программам для сравнения данных

Бесплатные решения    

Синхронизация данных требует от программистов, системных администраторов и времени, и соответствующих навыков. Однако не менее важен правильно подобранный инструментарий. Контроль версий, работа с проектами, резервное копирование, слияние и визуальное сравнение файлов — далеко не полный список задач, так или иначе связанных с синхронизацией.

В путеводитель вошли 10 программ, которые можно назвать во многом универсальными: они не привязаны к определенному сервису или приложению, позволяют выполнять вышеназванные (и менее специализированные) задачи не только через графический интерфейс, но и в режиме командной строки.

Критерии сравнения выглядят следующим образом:

• Интерфейс: поддержка режимов отображения, сохранение сессий, возможности настройки панели инструментов, колонок
• Функциональность текстового редактора, работа с исходным кодом
• Методы слияния и синхронизации, возможность трехстороннего сравнения
• Экспорт отчетов, создание патчей (diff)
• Дополнительные функции: интеграция со сторонними приложениями, поддержка расширений, протоколов и др.

SmartSynchronize

Домашняя страница: http://www.syntevo.com/smartsynchronize/

SmartSynchronize — кроссплатформенная программа для сравнения данных, структуры директорий и их содержимого. Фактически, программа бесплатна для некоммерческого использования, тем не менее, однопользовательская лицензия стоит 39 USD.

Режимы сравнения представлены в приветственном окне программы. Помимо диалога выбора файлов, здесь возможен просмотр истории и выбор сохраненного профиля. Также в настройках (Preferences) настраиваются фильтры: файловые — для отсеивания файлов по названию и расширению, и фильтры директорий — позволяют составить список исключений.

Для сравнения файлов используется двухпанельный режим side-by-side с синхронной прокруткой содержимого обеих панелей. Условных обозначений в SmartSynchronize немного, но, благодаря соединительным линиям (linking lines), операции сравнения и слияния очень интуитивны. SmartSynchronize указывает, куда и в каком направлении будет добавлен участок из одного файла в другой. Вставка текста производится одним кликом, позволяя обойтись без контекстного меню.

Кодировку и синтаксис документа можно определить вручную, предусмотрена подсветка синтаксиса для многих языков программирования и разметки, нумерация строк и другие редакторские функции, присущие интегрированным средам разработки IDE.

В целом, SmartSynchronize гибко настраивается, но все настройки распределены по разным разделам меню, что требует некоторого привыкания. Не хватает режимов отображения, настроек панели инструментов.

В режиме сравнения директорий выводится список файлов и статус для каждого из них, в нижней части окна доступен предосмотр. Метод сравнения — по содержимому или только по размеру и времени — определяется в настройках Edit → Preferences. Количество информационных колонок (тип файла, дата) нельзя увеличить, хотя отключить имеющиеся можно.

В SmartSynchronize реализовано как одностороннее объединение данных с левой или правой сторонами, так и обычная синхронизация. Конфигурацию можно сохранить для последующей загрузки, сделав снимок файловой структуры. Как поясняют разработчики, программа не распознает атрибуты файлов, поэтому использовать ее в качестве утилиты для резервирования нет смысла. Работа с архивами также не предусмотрена, равно как и с удаленными каталогами.

Помимо вышеупомянутых, имеется дополнительный, трехсторонний метод слияния — 3-Way-Merge, который позволяет объединить различия между несколькими версиями файлов, причем каждый из трех документов можно редактировать независимо друг от друга.

Функции сравнения, несомненно, востребованы программистами при контроле версий. Поэтому в заключение стоит сослаться на альтернативное решение этой же компании — SmartCVS. Программа представляет собой CVS-клиент с интегрированным инструментарием SmartSynchronize.

Резюме. SmartSynchronize предлагает неплохой инструментарий для работы с файлами и директориями, местами не поддающийся настройке и не выходящий за рамки базовых возможностей.

[+] Трехстороннее слияние
[+] Удобный текстовый редактор
[−] Отсутствие документации
[−] Невозможность синхронизации удаленных каталогов и архивов

WinMerge

Домашняя страница: http://winmerge.org/

WinMerge — программа для сравнения и объединения файлов и каталогов в ОС Windows. Ее можно использовать как отдельный инструмент либо в связке с проектами. В WinMerge встроен текстовый редактор с поддержкой языков программирования, подсветкой и нумерацией строк.

Имеется два режима работы с данными, объединенных в диалог выбора файлов и папок. При сравнении доступны фильтры двух типов: фильтры файлов и строковые. Это позволяет использовать различные надстройки и оперировать регулярными выражениями, отсеивая необходимые типы данных при сравнении.

В режиме сравнения файлов в окне отображаются оба файла, в левой и правой части. Для удобной навигации по содержимому предусмотрена карта («Местоположения»). Строки, которые имеют различия, отмечены цветом, также с ними можно ознакомиться в панели «Отличия». Основные операции слияния доступны в разделе «Объединение».

Отдельного внимания заслуживает функциональность текстового редактора. Внешний вид поддается модификации. Помимо подсветки синтаксиса и нумерации строк, предусмотрена работа со скриптами, а расширение функциональности возможно за счет дополнений. Дополнения относятся к распаковщику, представлению и редактору скриптов.

При сравнении каталогов результаты выводятся табулированным списком. В нем содержатся сведения о названии файла (каталога), его расположении, результат сравнения, дата, расширение и другая информация. Настроить отображение можно с помощью колонок. При необходимости можно активировать рекурсивный режим или переключиться в представление в виде дерева для удобной навигации.

WinMerge позволяет выполнять одни и те же задачи разными способами — в том числе, с помощью перетаскивания или через контекстное меню Проводника. Можно создавать проекты для быстрого доступа к данным и настройкам. WinMerge работает в режиме командной строки, также программу можно использовать в связке с системами контроля версий (TortoiseSVN, Visual Studio, Rational ClearCase и т. п.).

Резюме. WinMerge — программа, в первую очередь, с уклоном на работу с проектами. Интеграция с SVN, функциональный редактор, фильтры и расширения — все это отлично дополняет базовые возможности при сравнении данных.

[+] Поддержка расширений
[+] Функциональный редактор
[+] Интеграция со сторонними приложениями
[−] Нет трехстороннего сравнения

Meld

Домашняя страница: http://meldmerge.org/

Meld — кроссплатформенная программа (OS X, Linux, Windows) для синхронизации файлов и директорий. С ее помощью осуществляется как двух-, так и трехстороннее сравнение. Прежде всего, инструментарий Meld будет полезен разработчикам, так как возможна интеграция с системами управления версиями: Git, Bazaar, Mercurial, Subversion и прочими.

Несмотря на поддержку нескольких платформ, приложение далеко не стабильно функционирует в Windows. Скажем, вкладки и окна не всегда открываются и закрываются корректно. Возможно, проблемы связаны с библиотекой PyGTK, входящей в инсталлятор. Запустить программу получилось не сразу и только от имени администратора. Ошибки возникают постоянно, в подтверждение — перечень текущих проблем.

В процессе сравнения файлов можно задействовать текстовый фильтр или поиск (поддерживается синтаксис regex). Предусмотрены подсветка синтаксиса (используется библиотека gtksourceview), нумерация строк, учет пробелов и другие опции, которые нужно активировать через настройки, так как по умолчанию они отключены. Вставки, изменения и конфликты в документе подсвечиваются, возможна быстрая навигация по списку изменений и экспорт в формате diff. Связь между файлами легко отследить с помощью соединительных линий и одним кликом произвести слияние нужных участков.

Сканирование файлов директорий работает очень медленно. Это связано с тем, что сравнение осуществляется по содержимому, а не по размеру и временно́й отметке. Проблема решается установкой флажка напротив соответствующей опции в настройках. Набор доступных колонок весьма ограничен: размер, дата модификации и разрешения. Хотя и можно воспользоваться файловым фильтром, просмотр длинного списка файлов все равно превращается в рутинный процесс: нельзя мгновенно остановить сканирование, свернуть дерево файлов, быстро переместиться к нужным элементам.

Разработчикам будет интересен третий режим работы приложения — Version Control View. Meld поддерживает интерфейс командной строки, поэтому предусмотрена интеграция со средами Git, Bazaar, Mercurial, Subversion и многим другими.

Резюме. Программа Meld зарекомендовала себя с хорошей стороны в среде Linux, чего нельзя сказать о функционировании в Windows. Нестабильная работа и неудобный интерфейс, отсутствие сессий, недостаточная гибкость настройки… С другой стороны, инструментарий программы неплох, а качественная адаптация Meld для Windows, возможно, лишь вопрос времени.

[+] Трехстороннее сравнение
[+] Поддержка систем контроля версий
[−] Медленная и нестабильная работа в Windows
[−] Неудобный и неинформативный интерфейс

Diffuse

Домашняя страница: http://diffuse.sourceforge.net

Diffuse —кроссплатформенный продукт для ОС Windows, OS X, Linux и BSD, по интерфейсу напоминающий Meld (в основе — библиотека PyGTK), но имеющий функциональные отличия. Заявлена интеграция с Bazaar, CVS, Darcs, Git, Mercurial, Monotone, RCS, Subversion и другими средами.

Продолжая сравнение с Meld: Diffuse характеризуется стабильностью, здесь нет внезапных зависаний. Доступна подробная документация, интерфейс переведен на русский язык. Однако сравнение директорий не входит в инструментарий, в программу заложены только функции сравнения файлов и их редактирования. В Diffuse можно обнаружить несколько режимов слияния: — двух-, трех- и многостороннее. Таким образом, источников сравнения может быть сколько угодно, вопрос лишь в быстродействии и удобстве. Касательно второго аспекта можно лишь сказать, что сессий здесь нет — соответственно, работа с большими проектами в Diffuse под вопросом.

Различия отмечаются цветом, сводка (Comparison Summary) доступна возле полосы прокрутки, для навигации по списку изменений предназначены кнопки на панели управления. Нумерация строк и подсветка синтаксиса с возможностью ручного переключения включены по умолчанию. В отличие от других подобных редакторов, в Diffuse нельзя сразу выделить произвольный участок текста, для этого необходимо дважды кликнуть по содержимому. В ином случае можно выделять текст и производить другие действия только построчно.

Очевидно, что в Diffuse перелинковки различий между файлами нет, поэтому слияние строк осуществляется менее интуитивным методом. Все доступные команды собраны в разделе «Слияние», куда нужно обращаться каждый раз за неимением команд в контекстном меню. В SmartSynchronize или других упомянутых решениях многие операции производятся в один клик.

Работа с системами управления версиями возможна посредством командной строки, перечень команд с описанием изложен в справке.

Резюме. Функциональность такого рода востребована при слиянии нескольких текстовых документов. Программа лишена недостатков, присущих ближайшему аналогу Diffuse — Meld. Но, к сожалению, сравнение директорий и отчетность остались за бортом.

[+] Удобная работа со строками
[+] Интеграция с CVS
[+] Многооконное слияние
[−] Отсутствие сессий
[−] Маркировка изменений не интуитивна

Perforce P4 Merge

Домашняя страница: http://www.perforce.com/product/components/perforce-visual-merge-and-diff-tools

P4Merge нечасто упоминается среди других бесплатных продуктов (например, по сравнению с WinMerge). К тому же отыскать эту программу среди других компонентов комплекса Perforce непросто. Perforce — это коммерческая кроссплатформенная система управления версиями, обладающая широкой сферой применения, не в последнюю очередь за счет плагинов и интеграции с различными продуктами (IntelliJ IDEA, Autodesk 3D Studio Max, Maya, Adobe Photoshop, Microsoft Office, Eclipse, emacs и др.). Впрочем, P4 Merge может работать автономно от сервера Perforce, достаточно скачать программу с сайта разработчика для ее бесплатного использования.

Основные операции — это сравнение файлов (Diff) и слияние (Merge). Редактор документов предельно прост: есть нумерация, но нет подсветки синтаксиса. Редактировать файлы в двух панелях «на лету» нельзя, нужно выбрать одну из панелей, включить режим редактирования и затем сохранить изменения. Различия маркируются, для перехода между ними предназначены кнопки навигации. Ориентироваться по изменениям проще всего с помощью соединительных линий. В целом, интерфейс P4 Merge недостаточно удобен: в нем нет сводки по различиям, статистика по изменениям представлена суммарной цифрой, без детализации, для просмотра изменений нужно использовать ручное обновление.

Перечисляя другие особенности программы, стоит упомянуть сравнение изображений. В данном режиме обнаружились две полезные функции: подсветка различий и слияние двух файлов в один. При этом непонятно, почему меню редактора содержит невостребованные команды, такие как смена кодировки, методы сравнения и прочие, которые относятся к сравнению текстовых файлов, но никак не изображений.

Резюме. Конечно, в P4 Merge множество функциональных ограничений, особенно если сравнивать с платными продуктами. Приложение можно рассматривать сугубо как дополнение к серверу Perforce. Возможно, в поисках нужного инструментария следует обратить внимание и на другие компоненты, доступные на сайте разработчика.

[+] Диаграмма слияния в режиме Merge
[−] Слабая функциональность
[−] Невозможность редактирования на лету
[−] Отсутствие команд слияния

www.ixbt.com

7 способов сравнения файлов по содержимому в Windows ил Linux [АйТи бубен]

Веб-мастерам или владельцам сайтов часто бывает необходимо сравнить два файла по содержимому. Из этой статьи вы узнаете как сравнить два файла между собой. Здесь описаны все известные мне способы для сравнения текстовых файлов и скрипты (html, css, php и так далее).

Способ 1. Meld

Meld — графический инструмент для получения различий и слияния двух файлов, двух каталогов. Meld — визуальный инструмент сравнения и объединения файлов и каталогов для Linux. Meld ориентирован, в первую очередь, для разработчиков. Однако он может оказаться полезным любому пользователю, нуждающемуся в хорошем инструменте для сравнения файлов и директорий.

В Meld вы можете сравнивать два или три файла, либо два или три каталога. Вы можете просматривать рабочую копию из популярных систем контроля версий, таких, таких как CVS, Subversion, Bazaar-NG и Mercurial. Meld представлен для большинства linux дистрибутивов (Ubuntu, Suse, Fedora и др.), и присутствует в их основных репозиториях.

# aptitude install meld

Meld существует и под Windows, но я не рекомендую его использовать в этой операционной системе.

Способ 2. Сравнение содержимого двух файлов в программе WinMerge.

Бесплатная программа WinMerge позволяет сравнивать не только содержимое файлов, она также сравнивает содержимое целых папок. WinMerge является Open Source инструментом сравнения и слияния для Windows. WinMerge может сравнивать как файлы, так и папки, отображая различия в визуальной текстовой форме, которые легко понять и обработать.

После установки, открываете пункт меню «Файл» — «Открыть». Выбираете файлы для сравнения. Для этого нажимаете на кнопку «Обзор» и выбираете файл. Выбрав файлы, нажимаете на кнопку «ОК».

В WinMerge можно также редактировать файлы. После закрытия окна сравнения, программа предложит сохранить изменения в файлах.

Способ 3. diff

diff — утилита сравнения файлов, выводящая разницу между двумя файлами.

• Для сравнения каталогов используйте эту команду:

  $ diff -qr <current-directory> <backup-directory>

Способ 4. Kompare

Kompare — отображает различия между файлами. Умеет сравнивать содержимое файлов или каталогов, а также создавать, показывать и применять файлы патчей. Kompare — это графическая утилита для работы с diff, которая позволяет находить отличия в файлах, а также объединять их. Написана на Qt и рассчитана в первую очередь на KDE. Вот ее основные особенности:

• Поддержка нескольких форматов diff;

• Поддержка сравнение файла linux и каталогов;

• Поддержка просмотра файлов diff;

• Настраиваемый интерфейс;

• Создание и применение патчей к файлам.

Способ 5. Сравнение файлов в программе Total Commander

В Total Commander существует инструмент сравнения файлов по содержимому, где можно не только сравнить содержимое, но и редактировать его и копировать из одного файла в другой.

После запуска Total Commander – в одной из панелей выбираете (клавиша Insert) первый файл для сравнения – во второй панели открываете папку со вторым файлом и ставим на него курсор. Вызываем программу для сравнения: «Файлы→Сравнить по содержимому».

Для внесения изменений в файл достаточно нажать на кнопку «Редактировать». В программе доступны функции копирования и отката, поиска и изменение кодировки. Если вы внесли изменения в файл, то после закрытия окна сравнения, будет предложено сохранить изменения.

Способ 6. Сравнение файлов в Notepad++

Notepad++ не умеет сравнивать файлы. Для появления этого функционала в Notepad++ нужно установить плагин «Compare».

Запускаете редактор – переходите в пункт меню «Плагины» — «Plugin Manager» — «Show Plugin Manager». В новом окне выбираете плагин «Compare» и жмёте кнопку «Install».

После установки плагина откройте два файла и выбирите меню «Плагины» — «Compare» — «Compare (Alt+D)». Результат сравнения файлов будет представлен в отдельных панелях. Напротив строк, в которых найдены отличия будет стоять предупреждающий знак.

Способ 7. Сравнение файлов с помощью командной строки Windows

Сравнение с помощью командной строки Windows (cmd.exe) не позволяет редактировать файлы, но просто сравнить содержимое файлов, используя этот способ, вы можете.

Для вызова командной строки Windows перейдите «Пуск» — «Все программы» — «Стандартные» — «Командная строка» или нажмите клавиш «Windows+R», введите cmd и нажмите клавишу Enter.

В командной строке введите команду:

fc /N путь к первому файлу путь ко второму файлу

kak_sravnit_fajly_po_soderzhimomu.txt · Последние изменения: 2018/07/08 10:28 (внешнее изменение)

wiki.dieg.info

Сравнение файлов в Linux | Losst

Иногда возникает необходимость сравнить несколько файлов между собой. Это может понадобиться при анализе разницы между несколькими версиями конфигурационного файла или просто для сравнения различных файлов. В Linux для этого есть несколько утилит, как для работы через терминал, так и в графическом интерфейсе.

В этой статье мы рассмотрим как выполняется сравнение файлов Linux. Разберем самые полезные способы, как для терминала, так и в графическом режиме. Сначала рассмотрим как выполнять сравнение файла linux с помощью утилиты diff.

Содержание статьи:

Сравнение файлов diff

Утилита diff linux — это программа, которая работает в консольном режиме. Ее синтаксис очень прост. Вызовите утилиту, передайте нужные файлы, а также задайте опции, если это необходимо:

$ diff опции файл1 файл2

Можно передать больше двух файлов, если это нужно. Перед тем как перейти к примерам, давайте рассмотрим опции утилиты:

• -q — выводить только отличия файлов;
• -s — выводить только совпадающие части;
• -с — выводить нужное количество строк после совпадений;
• -u — выводить только нужное количество строк после отличий;
• -y — выводить в две колонки;
• -e — вывод в формате ed скрипта;
• -n — вывод в формате RCS;
• -a — сравнивать файлы как текстовые, даже если они не текстовые;
• -t — заменить табуляции на пробелы в выводе;
• -l — разделить на страницы и добавить поддержку листания;
• -r — рекурсивное сравнение папок;
• -i — игнорировать регистр;
• -E — игнорировать изменения в табуляциях;
• -Z — не учитывать пробелы в конце строки;
• -b — не учитывать пробелы;
• -B — не учитывать пустые строки.

Это были основные опции утилиты, теперь давайте рассмотрим как сравнить файлы Linux. В выводе утилиты кроме, непосредственно, отображения изменений, выводит строку в которой указывается в какой строчке и что было сделано. Для этого используются такие символы:

• a — добавлена;
• d — удалена;
• c — изменена.

К тому же, линии, которые отличаются, будут обозначаться символом <, а те, которые совпадают — символом >.

Вот содержимое наших тестовых файлов:

Теперь давайте выполним сравнение файлов diff:

diff file1 file2

В результате мы получим строчку: 2,3c2,4. Она означает, что строки 2 и 3 были изменены. Вы можете использовать опции для игнорирования регистра:

diff -i file1 file2

Можно сделать вывод в две колонки:

diff -y file1 file2

А с помощью опции -u вы можете создать патч, который потом может быть наложен на такой же файл другим пользователем:

diff -u file1 file2

Чтобы обработать несколько файлов в папке удобно использовать опцию -r:

diff -r ~/tmp1 ~/tmp2

Для удобства, вы можете перенаправить вывод утилиты сразу в файл:

diff -u file1 file2 > file.patch

Как видите, все очень просто. Но не очень удобно. Более приятно использовать графические инструменты.

Сравнение файлов Linux с помощью GUI

Существует несколько отличных инструментов для сравнения файлов в linux в графическом интерфейсе. Вы без труда разберетесь как их использовать. Давайте рассмотрим несколько из них:

1. Kompare

Kompare — это графическая утилита для работы с diff, которая позволяет находить отличия в файлах, а также объединять их. Написана на Qt и рассчитана в первую очередь на KDE. Вот ее основные особенности:

• Поддержка нескольких форматов diff;
• Поддержка сравнение файла linux и каталогов;
• Поддержка просмотра файлов diff;
• Настраиваемый интерфейс;
• Создание и применение патчей к файлам.

2. DiffMerge

DiffMerge — это кроссплатформенная программ для сравнения и объединения файлов. Позволяет сравнивать два или три файла. Поддерживается редактирование строк на лету.

Особенности:

• Поддержка сравнения каталогов;
• Интеграция с просмотрщиком файлов;
• Настраиваемая.

3. Meld

Это легкий инструмент для сравнения и объединения файлов. Он позволяет сравнивать файлы, каталоги, а также выполнять функции системы контроля версий. Программа создана для разработчиков и имеет такие особенности:

• Сравнение двух и трех файлов;
• Использование пользовательских типов и слов;
• Режим автоматического слияния и действия с боками текста;
• Поддержка Git, Mercurial, Subversion, Bazar и многое другое.

4. Diffuse

Diffuse — еще один популярный и достаточно простой инструмент для сравнения и слияния файлов. Он написан на Python. Поддерживается две основные возможности — сравнение файлов и управление версиями. Вы можете редактировать файлы прямо во время просмотра. Основные функции:

• Подсветка синтаксиса;
• Сочетания клавиш для удобной навигации;
• Поддержка неограниченного числа отмен;
• Поддержка Unicode;
• Поддержка Git, CVS, Darcs, Mercurial, RCS, Subversion, SVK и Monotone.

5. XXdiff

XXdiff — это свободный и очень мощный инструмент для сравнения и слияния файлов. Но у программы есть несколько минусов. Это отсутствие поддержки Unicode и редактирования файлов.

Особенности:

• Поверхностное или рекурсивное сравнение одного или двух файлов и каталогов;
• Подсветка отличий;
• Интерактивное объединение;
• Поддержка внешних инструментов сравнения, такие как GNU Diff, SIG Diff, Cleareddiff и многое другое;
• Расширяемость с помощью сценариев;
• Настраиваемость.

6. KDiff3

KDiff3 — еще один отличный, свободный инструмент для сравнения файлов в окружении рабочего стола KDE. Он входит в набор программ KDevelop и работает на всех платформах, включая Windows и MacOS. Можно выполнить сравнение двух файлов linux для двух или трех, или даже сравнить каталоги. Вот основные особенности:

• Отображение различий построчно и посимвольно;
• Поддержка автослияния;
• Обработка конфликтов при слиянии;
• Поддержка Unicode;
• Отображение отличий;
• Поддержка ручного выравнивания.

Выводы

В этой статье мы рассмотрели как выполняется сравнение файлов linux с помощью терминала, как создавать патчи, а также сделали небольшой обзор лучших графических утилит для сравнения файлов. А какие инструменты для сравнения используете вы? Напишите в комментариях!

losst.ru

Утилиты для быстрого сравнения документов / Программное обеспечение

Нередко при работе приходится сравнивать между собой различные модификации документов, например, исходную и измененную редакции материалов, подготовленных в Word либо в виде PDF-документов или презентаций, рабочую и обновленные версии прайс-листов с изменившимися ценами в Excel, разные версии текстовых документов и т.п. При этом вопрос не в том, какая из версий файлов является более свежей (это и так понятно из свойств файлов), а важно, что именно изменилось в документах с точки зрения содержимого. Сравнивать документы вручную — занятие неблагодарное из-за слишком больших затрат времени и возможности ошибок, ведь не заметить какую-то важную деталь при просмотре проще простого. Гораздо разумнее задачу сравнения файлов перепоручить компьютеру. В целом, в плане сравнения Word-документов все обстоит достаточно благополучно и без использования вспомогательных инструментов, хотя в версиях Word 2002 и Word 2003 данная возможность надежно скрыта от чужих глаз, и, вероятно, не так много пользователей о ее существовании вообще догадываются. Дело в том, что для сравнения документов здесь нужно вначале загрузить исходный файл. Затем из меню «Сервис» открыть команду «Сравнить и объединить исправления», указать файл, сравниваемый с исходным, и включить флажок «Черные строки». Только после этих манипуляций кнопка «Объединить» превратится в кнопку «Сравнить», и при щелчке по данной кнопке программа и проведет сравнение файлов. Результаты сравнения будут показаны во вновь созданном документе в традиционном режиме рецензирования. С появлением Word 2007 все стало гораздо проще, поскольку теперь достаточно переключиться на вкладку «Рецензирование», щелкнуть по кнопке «Сравнить» и указать сравниваемые версии документа. Результат сравнения окажется представленным в новом документе, где слева будет отображен отрецензированный документ с учетом изменений, а справа (друг над другом) — исходный и измененный документы. Теоретически, в Excel тоже возможно сравнение документов встроенными средствами, правда, только при работе в режиме фиксирования изменений. Однако это неудобно, поскольку каждую из измененных ячеек придется просматривать, наводя на нее мышь, так как изменения, внесенные в документ, отображаются во всплывающих окошках (примерно таких, как обычные примечания). Во-вторых, если названный режим не будет предварительно включен (команда «Сервис» > «Исправления» > «Выделить исправления», флажок «Отслеживать исправления»), то произвести сравнение XLS-файлов потом окажется невозможно. Что касается быстрого сравнения PDF-документов, то такая возможность, конечно, имеется в Acrobat 9 Pro и Acrobat 9 Pro Extended, но эти решения установлены далеко не на каждом компьютере. Поэтому при необходимости быстрого сравнения Excel-таблиц, PDF-документов, презентаций, а также документов в других форматах, в частности, текстовых файлов и программных кодов, приходится прибегать к использованию дополнительного инструментария. Вариантов тут множество, и это могут быть как комплексные решения, позволяющие работать с несколькими файловыми форматами, так и узкоспециализированные утилиты. Немалая часть подобных решений предлагается за приличные деньги — скажем, цена одного из самых известных в этой сфере комплексных решений Diff Doc составляет $99,95, а весьма популярная среди программистов утилита Araxis Merge оценивается в €119. Вместе с тем, на рынке имеются и вполне доступные по цене либо вообще бесплатные программы подобного плана, именно такие решения мы и оценим в данной статье. При этом основное внимание уделим комплексным решениям, а из узкоспециализированных средств отметим лишь утилиты для быстрого сравнения таблиц Excel, поскольку это одна из наиболее актуальных задач, а проведение сравнения Excel-документов комплексными решениями хоть и возможно, но менее эффективно, чем с помощью узкоспециализированных утилит.

⇡#Комплексные решения для быстрого сравнения документов

⇡#Compare Suite 7.0

Разработчик: AKS-Labs
Размер дистрибутива: 3,79 Мб
Распространение: условно бесплатная Compare Suite — удобный инструмент для быстрого сравнения текстовых файлов, документов MS Office, RTF-документов, файлов PDF, web-страниц (HTM), презентаций PowerPoint, бинарных и некоторых других типов файлов, а также файлов в ZIP- и RAR-архивах и на FTP-серверах. В случае сравнения листингов программ на ряде языков программирования (Object Pascal, HTML, C/C++, JavaScript, PHP и др.) предусмотрена подсветка синтаксиса. Имеется функционал для синхронизации текстовых файлов и сравнения папок вместе с подпапками. Демо-версия программы (имеется русскоязычная локализация) работоспособна в течение 30 дней и полностью функциональна. Стоимость коммерческой версии составляет 60 долл. Технология сравнения файлов в Compare Suite проста. Вначале выбирается метод сравнения файлов, для чего в меню «Сравнить» нужно выбрать один из вариантов: «посимвольно», «пословно», «по ключевым словам». Классическое посимвольное сравнение полезно в ситуациях, когда нужно зафиксировать малейшие отличия в написании слов — скажем, при сравнении листингов программ. Пословное сравнение документов, как правило, используется для сравнения разных версий одного и того же файла. С помощью метода сравнения по ключевым словам можно сравнить непохожие документы даже тогда, когда пословное сравнение невозможно. После выбора метода сравнения, в меню «Файл» надо выбрать команду «Новое сравнение файлов» и указать на левой и правой панелях файлы для сравнения. Программа проанализирует файлы и выделит все имеющиеся отличия (добавленные, измененные и удаленные фрагменты) различными цветами. Дополнительно можно создать сравнительный отчет с детальной информацией о сравниваемых файлах (команда «Файл» > «Отчет»). При сравнении файлов, отличных от текстовых, следует иметь в виду, что их сравнение во всех комплексных решениях (как в Compare Suite, так и в других утилитах) производится после преобразования в текстовый формат. На практике это означает, например, что если в сравниваемых версиях Word-документа одно и то же слово в конкретном предложении оказалось на разных строках, то оно будет причислено к списку изменений. При сравнении XLS-документов данные из таблиц перед проведением анализа извлекаются, а найденные отличия отображаются построчно в текстовом формате с указанием имени листа и названий столбцов, что позволяет ориентироваться в данных. По такой же схеме осуществляется сравнение PDF-документов и презентаций PowerPoint.

Если Вы заметили ошибку — выделите ее мышью и нажмите CTRL+ENTER.

3dnews.ru

Путеводитель по программам для сравнения данных

Платные решения    

Beyond Compare 3

Домашняя страница: http://www.scootersoftware.com/

Программа для сравнения файлов и папок, в том числе заархивированных или расположенных на удаленном сервере. С помощью Beyond Compare 3 также можно сравнивать ключи Реестра, изображения, MP3-теги, синхронизировать каталоги, редактировать исходный код и выполнять множество других задач.

Интерфейс Beyond Compare удобен за счет многовкладочного интерфейса: это позволяет работать с несколькими сессиями параллельно и в одном окне. Помимо того, можно создавать рабочие пространства (workspaces) — коллекции открытых сессий.

Важные отличия этого продукта от большинства аналогов — наглядность сравнения и удобство редактирования во всех доступных режимах. Скажем, сравнение двоичных файлов предусматривает также правку посредством HEX-редактора. При работе с изображениями различия отображаются как пиксели, не говоря уже о полноценном редактировании файлов. MP3-файлы можно сравнивать по метаданным. Поддержка дополнительных форматов обеспечивается плагинами.

В режиме сравнения файлов используется традиционный двухпанельный интерфейс. Цвет шрифта позволяет отметить важные различия (красная маркировка) и менее существенные (синяя), фоновый цвет также несет функциональное значение. Для правки текста предусмотрен полноценный редактор исходного кода с поддержкой соответствующих форматов (см. Tools → File Formats).

При сравнении каталогов используется тот же двухпанельный вид отображения. Для показа различий применяются маркировки и значки, значение которых легко обнаружить в документации. Можно сравнивать директории как побайтово (медленный метод), так и по указанным свойствам, таким как дата или размер (быстрый метод).

Отображение данных регулируется посредством файлового фильтра (вывод указанных типов файлов) или фильтра отображения (показ изменений). Все необходимые инструменты вынесены на панель инструментов справа от вкладок. В меню Actions находятся команды, связанные с синхронизацией и сравнением. Управление отображением доступно в меню View.

В сравнении каталогов могут быть задействованы различные источники — не только локальные, но также и удаленные каталоги, архивы (поддерживаются форматы RAR, ZIP, 7z и мн. др.), снимки файловой структуры (snapshots). Благодаря предосмотру, можно заранее ознакомиться с результатом синхронизации.

Рутинные задачи автоматизируются с помощью скриптов. В Beyond Compare есть поддержка командной строки и регулярных выражений. Отчет доступен для печати или вывода в форматах HTML и TXT.

Резюме. Beyond Compare представляет собой многофункциональное решение для синхронизации, слияния, редактирования различных типов данных. Наравне с функциональностью, очень удобен многовкладочный интерфейс с поддержкой сессий и рабочих пространств. В результате, программа хороша при работе как с малыми, так и с достаточно сложными проектами.

[+] Удобный интерфейс
[+] Работа с архивами и удаленными каталогами
[+] Возможности автоматизации
[+] Доступные фильтры и режимы отображения

Compare++

Домашняя страница: http://cmpp.coodesoft.com/

Compare++ представляет собой программу для сравнения директорий и текстовых файлов в ОС Windows. Позиционируется, прежде всего, как инструмент для программистов и веб-разработчиков: благодаря распознаванию функций, классов, документ с исходным кодом легко структурируется, удобен в навигации, редактировании.

Оболочка Compare++ весьма проста и ничем не перегружена. Сохранение сессий не предусмотрено, вместо этого можно воспользоваться историей. Вкладочный интерфейс позволяет работать с несколькими проектами одновременно.

Среди основных возможностей — сравнение файлов, каталогов и трехстороннее слияние. При сравнении данных можно быстро переключиться в один из двух режимов, ориентированных на работу с текстом или кодом. Во втором случае, на панели Function View выводится список классов, к каждому из которых легко перейти в документе и произвести с ним нужные действия (например, слияние) парой кликов мыши. Вообще говоря, Function View — не такая и редкость для редакторов исходного кода, но для программ данной категории это единичный случай.

Из других особенностей редактирования: предусмотрена нумерация строк, подсветка синтаксиса (C/C++, Java, C#, Javascript, CSS и мн. др.), в том числе парных скобок. Все внесенные в документах правки маркируются: текст был изменен, удален или добавлен. Результат сравнения можно экспортировать в diff-, txt- или html-файл и, опционально, отправить на email.

Сравнение директорий осуществляется без предосмотра. Синхронизация содержимого архивов и с удаленным сервером не предусмотрена, зато можно сохранять снимки файловой структуры и применять фильтры для файлов и каталогов. На панели инструментов также можно обнаружить дополнительные режимы отображения. Сравнение осуществляется по свойствам файла — дате модификации и размеру, возможно рекурсивное и сравнение по содержимому (соответствующие опции доступны в секции Folder Compare настроек). Колонки сортируются, но не поддаются настройке.

Возможна работа через интерфейс командной строки. Соответственно, Compare++ интегрируется с продуктами SVN, Git, Perforce, Microsoft TFS, SourceSafe и прочими системами в качестве внешнего инструментария для сравнения.

Резюме. Compare++ можно рассматривать как хорошо настраиваемый редактор исходного кода, с функциями сравнения и синхронизации. Равно как и наоборот — как программу для синхронизации с редакторскими функциями. В связке с интеграционными возможностями, программа будет полезна как дополнение к IDE-среде.

[−] Нет полноценной поддержки сессий
[−] Отсутствие расширений
[+] Удобная работа с исходным кодом
[+] Трехстороннее слияние
[+] Создание diff-патчей и отчетов

Araxis Merge

Домашняя страница: http://www.araxis.com/merge/

Araxis Merge — программа для визуального сравнения, слияния и синхронизации папок. Встроенный редактор распознает различные форматы документов: исходный код, веб-страницы, XML, PDF, Microsoft Office, изображения и т. п. Также в Merge предусмотрена интеграция с популярными системами управления версиями и другими средами разработки.

В Merge задействован вкладочный интерфейс, поддерживается сохранение сеансов и рабочих пространств со всеми настройками в отдельный файл. Лента Ribbon разделена на секции, благодаря этому расположение команд легко запоминается, инструменты для работы с текстом всегда под рукой. Все действия, связанные с редактированием и навигацией по тексту, доступны на ленте. Панель инструментов тщательно настраивается только в Mac OS, возможны и другие различия между версиями Merge, в зависимости от платформы. Расположение панелей легко изменить на вертикальное или горизонтальное расположение, можно добавить дополнительные информационные колонки. Таким образом, программа удобна, ее интерфейс продуман до мелочей.

Merge поддерживает 4 режима сравнения. Дополнительные режимы (сравнение изображений и двоичных данных) не столь интересны ввиду отсутствия инструментов редактирования. Поэтому далее речь будет идти о сравнении файлов и директорий.

Текстовый редактор поддерживает подсветку синтаксиса, нумерацию строк. При сравнении, кроме изменений, отмеченных соответствующим цветом, удобно отслеживать связи между строками посредством соединительных линий (Linking lines). Наведя курсор на соответствующий блок, можно применить для него операцию слияния с соседним файлом (функция Point-and-click merging). Здесь улавливается аналогия с упомянутой в первой части обзора программой SmartSynchronize. В документ можно добавлять закладки и комментарии. Экспорт отчетов, с занесением всех отличий, осуществляется в форматах DIFF, HTML, HTML-слайдшоу и XML.

Второй основной режим работы Araxis Merge — сравнение и синхронизация каталогов. Сильная сторона этого инструмента — поддержка различных источников: виртуальная файловая система, сетевые диски, проекты и другие источники. При сравнении, доступны две панели с отображением структуры каталогов, также несложно активировать режим трехстороннего слияния.

Конфигурация фильтров для директорий и файлов доступна в разделе Filters настроек. Они делятся на визуальные (вывод только нужных данных) и фильтры выбора (выбор файлов по заданным критериям).

В перечне доступных операций — объединение папок, побайтовое сравнение и сравнение по размеру и дате. При автосинхронизации файлы с конфликтами не обрабатываются и откладываются для принятия пользователем решения.

Потенциальные возможности Araxis Merge значительно возрастают, если брать в расчет интеграцию с Mercurial, Git, Subversion, Perforce и другими средами. Расширяемость обеспечивается встроенными в программу плагинами.

Резюме. Araxis Merge — программа с хорошо продуманным интерфейсом, оптимальным набором инструментов для сравнения, синхронизации и слияния данных. Из пожеланий — не хватает дополнительных режимов сравнения данных, в сочетании с удобным редактированием, как в случае с Beyond Compare.

[+] Интеграция со средами разработки
[+] Удобное визуальное сравнение
[+] Переключение режимов отображения
[+] Статистика и отчетность

UltraCompare Professional

Домашняя страница: http://www.ultraedit.com/products/ultracompare.html

UltraCompare позволяет сравнивать текстовые файлы, документы Word, двоичные файлы, каталоги и архивы, локальные, удаленные директории и съемные носители. Поддерживаются автоматическая синхронизация, трехстороннее слияние, поиск дубликатов и прочие вспомогательные операции.

Интерфейс UltraCompare предусматривает как сессии, так и рабочие пространства. Он удобен, не в последнюю очередь, за счет быстрого доступа к файловым операциям: например, можно выбрать для сравнения нужные файлы прямо из боковой панели. Здесь же, в левой панели, можно создать фильтр. Дополнительные опции можно найти в разделе Ignore Options настроек.

На выбор предоставлены следующие режимы работы с данными: сравнение текста и папок (плюс трехстороннее слияние для обоих видов), двоичных файлов, синхронизация папок. Смена режима осуществляется через меню Mode. Выбрав его, можно указать источники для левой и правой панелей, перетянув их в окно и нажав кнопку Go.

При сравнении текста, строки с различиями маркируются фоновым цветом и помечаются символами рядом с нумерацией. Соединительные линии позволяют отследить связь между двумя документами и помогают при слиянии, соответствующие команды доступны в разделе меню Merge. Для редактирования исходного кода рекомендуется прибегнуть к инструментарию программы UltraEdit. Возникает вопрос: насколько целесообразно оплачивать одну из дополнительных возможностей, если стоимость этого редактора выше, чем UltraCompare.

Для рекурсивного и не рекурсивного сравнения доступны локальные, удаленные и съемные источники, также поддерживаются ZIP-, RAR-, JAR- архивы. Результаты сравнения отображаются по обе панели (источник — получатель). Сравнение осуществляется по размеру и возрасту или содержимому файлов.

Пользователь имеет возможность создавать правила синхронизации (rules): замена файлов, удаление устаревших элементов, копирование и прочие. Возможна синхронизация по расписанию. Поддерживается командная строка, в наличии интеграция с приложениями для контроля версий: AnkhSVN Perforce, QVCS, Subversion, TortoiseCVS, TortoiseSVN и другими.

Резюме. Инструментарий UltraCompare включает в себя наиболее востребованные режимы сравнения, слияния и синхронизации, позволяя задействовать различные источники данных. Широкие интеграционные возможности посредством командного интерфейса. Вроде бы, все в угоду разработчику, но редактор без подсветки синтаксиса — это явный недостаток.

[+] Сравнение архивов и удаленных каталогов
[+] Интеграция с приложениями для контроля версий
[+] Трехстороннее сравнение
[−] Ограничения встроенного редактора

ExamDiff Pro

Домашняя страница: http://www.prestosoft.com/edp_examdiffpro.asp

Программа ExamDiff предназначена для визуального сравнения текстовых, двоичных файлов и директорий. В длинном списке основных функций можно обнаружить поддержку плагинов. Благодаря им, возможна работа с такими форматами, как XML, HTML, PDF, MS Excel, Word, PowerPoint и другими.

Очевидно, что для редактирования кода ExamDiff открывает широкие возможности, как по функциональности, так и по удобству. Меню View позволяет настроить отображение панелей на усмотрение пользователя, панель инструментов полностью настраиваема.

Редактор поддерживает подсветку синтаксиса, нумерацию, в документе можно создавать закладки. Предусмотрены различные способы навигации по документу: собственно, навигационная панель, выпадающий список, синхронная прокрутка. Многие действия выполняются без лишних, как часто случается, манипуляций: например, для перехода к настройкам цветовой схемы достаточно кликнуть по маркировкам в статусной строке, для добавления исключения — поставить флажок Skip возле выпадающего списка, а через контекстное меню открывается доступ к командам плагинов.

Среди дополнительных возможностей для синхронизации директорий — поддержка удаленных источников, архивов. В ExamDiff можно создавать снимки для последующего сравнения, применять фильтры для различных групп файлов (в настройках имеется ряд предустановок), применять фильтры по временной отметке и размеру.

Помимо редакций Pro Standard и Pro Master, существует бесплатная версия ExamDiff. В ней нет трехстороннего слияния, сравнения директорий и двоичных файлов.

Резюме. ExamDiff Pro содержит необходимые инструменты для редактирования. Редактор адаптирован для работы с большими документами, исходным кодом, позволяя быстро ориентироваться по документу и переходить в нужный участок файла.

[+] Гибкая настройка
[+] Расширенные функции редактирования
[+] Поддержка расширений
[+] Удобная навигация по документам

Сводная таблица

Программа	Разработчик	Стоимость	Платформы	Экспорт	Поддержка CVS
SmartSynchronize	syntevo GmbH	Бесплатно для некоммерч. использования	Linux, Mac OS, Windows	HTML	+
WinMerge	Dean Grimm	Бесплатно	Windows	CSV, HTML, XML, табулированный	+
Meld	Stephen Kennedy	Бесплатно	BSD, Solaris, Linux, Mac OS, Windows	DIFF	+
Diffuse	Derrick Moser	Бесплатно	Windows, Mac OS, Linux, BSD	−	+
Perforce P4 Merge	Perforce	Бесплатно	Windows, Mac OS, Linux, Sun Solaris	−	−
Beyond Compare 3	Scooter Software	$30+	Windows, Linux	XML, HTML, CSV, TXT, Unix Patch	+
Compare++	Coode Software	$29,95	Windows	DIFF, TXT, HTML	+
Araxis Merge	Araxis LTD.	?99+	Mac OS, Windows	DIFF, HTML, HTML-слайдшоу, XML	+
UltraCompare Professional	IDM Computer Solutions, Inc	$49,95	Windows	TXT, DIFF-отчет	+
ExamDiff Pro	PrestoSoft	$34,99	Windows	UNIX, HTML, Diff	+

 

Программа	Сравнение					Подсветка синтаксиса	Сессии
	локальных директорий	удаленнных директорий / архивов	трехстороннее	файлов	другие виды
SmartSynchronize	+	−/−	+	+	−	+	+ (история, профили)
WinMerge	+	−/−	−	+	Двоичные (исполняемые) файлы	+	+ (проекты)
Meld	+	−/−	+	+	−	+	−
Diffuse	−	−/−	+	+	Многостороннее	+	−
Perforce P4 Merge	−	−/−	+	+	Изображения	−	−
Beyond Compare 3	+	+/+	+	+	Двоичные файлы, изображения, MP3, файлы Реестра	+	+
Compare++	+	−/−	+	+	−	+	+ (история)
Araxis Merge	+	+/+	+	+	Двоичные файлы, изображения	+	+
UltraCompare Professional	+	+/+	+	+	Двоичные файлы	−	+
ExamDiff Pro	+	+/+	+	+	Двоичные файлы	+	+

www.ixbt.com

О подходах к сравнению версий файлов / Habr

Люди, использующие системы контроля версий исходного кода (SVN, Mercurial, Git и т.п.), наверняка часто пользуются возможностью сравнения версий файлов для просмотра внесенных пользователями изменений. Существует множество независимых программ сравнения версий (WinMerge, BeyondCompare и др.). При сравнении версий, как правило, две версии файла показываются рядом друг с другом таким образом, чтобы одинаковые (неизменившиеся) части документов были расположены напротив друг друга, а изменившиеся (добавленные и удаленные) выделяются соответствующим цветом.
Уверен, многим было бы интересно узнать, какие алгоритмы могут использоваться для реализации такого сравнения.

В качестве простейшего случая рассмотрим сравнение простых текстовых (plain text) файлов.
Текстовый файл — это набор строк (а точнее абзацев) текста. Абзац — это строка символов, заканчивающая символами конца строки и перевода каретки (в Windows) или только одним символом конца строки (в Unix/Linux). Не будем отвлекаться на то, что символы могут представлены различными кодировками и будем считать, что мы имеем дело с однобайтной ASCII. Задача сравнения версий такого файла заключается в определении того, какие абзацы не изменились, а какие изменились, были удалены или добавлены.

Большинство алгоритмов сравнения файлов основаны на алгоритме поиска самой длинной совпадающей подпоследовательности (LCS, Longest Common Subsequence). Действительно, самая длинная общая подпоследовательность символов двух файлов можно считать неизменившейся частью, а все остальные участки (в зависимости от их принадлежности к одной из версий) являются удаленными (если они принадлежат старой версии) или добавленными (если принадлежат новой). Существует несколько реализаций алгоритма LCS, вычислительная сложность которых варьируется от полиномиальной (прямо пропорциональной длинам сравниваемых подпоследовательностей) до логарифмической. Данные алгоритмы также очень требовательны к памяти. Становится понятно, что использовать посимвольное представление документов в таких условиях нереально. Удобнее в качестве единиц сравнения использовать абзацы. Их можно сравнивать «как есть», т.е. непосредственно как строки, но в целях оптимизации удобнее их прохэшировать и сравнивать хэши, а к самим строкам обращаться только в случае совпадения хэшей (т.к. от коллизий при хэшировании никто не застрахован).

Таким образом, первый этап алгоритма сравнения заключается в загрузке списка абзацев документов в память (да, нам действительно придется загрузить оба сравниваемых документа целиком в память), их хэшировании и применении к полученным хэшам алгоритма поиска наибольшей общей совпадающей подпоследовательности (LCS). На выходе данного этапа мы получим информацию о гарантированно неизменившихся (т.е. совпадающих) участках документов. Все остальные участки являются изменившимися. Если изменившемуся участку из старой версии соответствует пустой участок в новой версии, значит этот участок был удален. Если изменившемуся участку новой версии соответствует пустой участок в старой версии, значит этот участок был добавлен.

Сложнее дело обстоит с измененными участками, присутствующими и в старой, и в новой версии. Например, между двумя совпадающими участками можем располагаться изменившийся участок, который в старой версии составлял два абзаца, а в новой — три. Равных (совпадающих) абзацев среди этих пяти абзацев нет. Если остановиться на этом шаге, можно просто при показе пользователю выделить эти группы абзацев целиком как измененные и переложить задачу анализа подробных изменений на пользователя. Но можно поступить хитрее. Можно рассчитать оптимальное соответствие для абзацев измененного участка, чтобы точно знать, какой которому соответсвует. Для оценки «похожести» каждой пары абзацев можно применить алгоритм расчета так называемой «дистанции редактирования» (или расстояния Левенштейна). Дистанция редактирования — это минимальное количество операций вставки, удаления и замены одного символа на другой, необходимых для превращения одной строки в другую. Вычислив дистанцию редактирования между каждой парой абзацев измененного участка, мы можем применить метод динамического программирования для вычисления оптимального соответствия между абзацами измененного участка. Самым неоптимальным вариантом размещения при этом является тот, когда все абзацы измененного участка в старой версии считаются удаленными, а все абзацы новой версии — добавленными (т.е. никто никому не соответствует). Все остальные варианты размещения будут более оптимальны. Применив метод динамического программирования (как именно его можно в данном случае применить, напишу в другом посте) можно найти самый оптимальный вариант соответствия. Теперь мы уже точно знаем, какой абзац измененного участка какому соответствует и сможем применить алгоритм сравнения (на этот раз уже посимвольный) для вычисления точных изменений внутри абзаца.

Если уважаемым читателям интересны подробности и особенности реализации алгоритмов поиска наибольшей общей подпоследовательности, дистанции редактирования и применения метода динамического программирования для вычисления оптимального соответствия группы изменившихся абзацев (последний алгоритм я считаю своего рода моим ноу-хау), просьба писать об этом в комментариях, и я напишу об этом более подробные посты (каждый из этих алгоритмов сам по себе очень интересен и заслуживает отдельного поста).

habr.com

Как сравнить файлы? Сравнение файлов в Total Commander и NotePad++ — Технический отдел

Лень – двигатель прогресса, как бы странно это не звучало, некоторые изобретения очень упрощают нам жизнь. В своей статье я хочу рассказать, как сравнить два файла доступными способами.
А решил написать об этом после одного случая, когда мне нужно было узнать какие изменения внесли разработчики в процедуру для базы данных при новом обновлении.

 

А помогли мне в этом две программы, которые обосновались у меня уже давно:
1. Total Commander
2. Notepad++

Сравнение файлов в TotalCommander

Допустим у нас уже есть два файла которые нам нужно сравнить.
1.Тогда выделяем их в TotalCommander

2. Переходим в меню ФАЙЛ —-> Сравнить по содержимому.

3. В открывшимся окне имеем две области в каждой из которых видно содержимое файлов.

В итоге, строки с изменениями подсвечиваются серым, конкретные отличия красным шрифтом.

Для перехода к следующему блоку различий или возврату к предыдущему в TotalCommander имеет в меню кнопки «Следующее отличие»  и «Предыдущее отличие». Здесь же можно активировать режим редактирования нажав кнопку «Редактировать», после этого можно изменить шрифт, копировать строки из окна в окно, а в случае ошибочного действия есть спасительная кнопка «Откат».

После редактирования программа спросит, что сделать с файлами: сохранять или не сохранять.

Сравнение файлов в Notepad++

Notepad++ по моему мнению лучший блокнот который должен быть у каждого. Он имеет большой функционал, расширяющийся за счет плагинов.

Итак, как нам поможет Notepad++ для сравнения файлов? Ответ прост: нужно скачать нужный плагин.

Открываем пункт «Плагины» —> «Plugin Manager»—> «Show Plugin Manager».

В открывшимся менеджере высыплется большой список различных плагинов. Выбираем «Compare« и устанавливаем.

Далее,

1. открываем два файла в Notepad++.
2. Делаем так  чтобы оба файла были открыты во вкладках рядом друг с другом.
3. На панели меню идем в Плагины —> Compare —> Compare, либо используем горячие клавиши – Alt + D и запускаем плагин.

В открывшимся окне, как и в TotalComander, имеем две области в каждой из которых видно содержимое файлов.

Зеленые плюсики — это то что добавилось,

Красные минусы -то что удалилось,

Желтые восклицательные знаки — то что изменилось.

Выход из режима Compare через меню Плагины –> Compare –> Clear Results, либо Ctrl + Alt + D.

deptech.ru

Сложение дробей с целыми числами и разными знаменателями

Дробные выражения сложны для понимания ребёнком. У большинства возникают сложности, связанные с вычислением дробей. При изучении темы «сложение дробей с целыми числами», ребёнок впадает в ступор, затрудняясь решить задание. Во многих примерах перед тем как выполнить действие нужно произвести ряд вычислений. Например, преобразовать дроби или перевести неправильную дробь в правильную.

Объясним ребёнку наглядно. Возьмём три яблока, два из которых будут целыми, а третье разрежем на 4 части. От разрезанного яблока отделим одну дольку, а остальные три положим рядом с двумя целыми фруктами. Получим ¼ яблока в одной стороне и 2 ¾ — в другой. Если мы их соединим, то получим целых три яблока. Попробуем уменьшить 2 ¾ яблока на ¼, то есть уберём ещё одну дольку, получим 2 2/4 яблока.

Рассмотрим подробнее действия с дробями, в составе которых присутствуют целые числа:

Для начала вспомним правило вычисления для дробных выражений с общим знаменателем:

На первый взгляд всё легко и просто. Но это касается только выражений, не требующих преобразования.

Как найти значение выражения где знаменатели разные

В некоторых заданиях необходимо найти значение выражения, где знаменатели разные. Рассмотрим конкретный случай:
3 2/7+6 1/3

Найдём значение данного выражения, для этого найдём для двух дробей общий знаменатель.

Для чисел 7 и 3 – это 21. Целые части оставляем прежними, а дробные – приводим к 21, для этого первую дробь умножаем на 3, вторую – на 7, получаем:
6/21+7/21, не забываем, что целые части не подлежат преобразованию. В итоге получаем две дроби с одним знаменателям и вычисляем их сумму:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Что если в результате сложения получается неправильная дробь, которая уже имеет целую часть:
2 1/3+3 2/3
В данном случае складываем целые части и дробные, получаем:
5 3/3, как известно, 3/3 – это единица, значит 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

С нахождением суммы всё понятно, разберём вычитание:

Из всего сказанного вытекает правило действий над смешанными числами, которое звучит так:

• Если же от дробного выражения необходимо вычесть целое число, не нужно представлять второе число в виде дроби, достаточно произвести действие только над целыми частями.

Попробуем самостоятельно вычислить значение выражений:

Разберём подробнее пример под буквой «м»:

4 5/11-2 8/11, числитель первой дроби меньше, чем второй. Для этого занимаем одно целое число у первой дроби, получаем,
3 5/11+11/11=3 целых 16/11, отнимаем от первой дроби вторую:
3 16/11-2 8/11=1 целая 8/11

• Будьте внимательны при выполнении задания, не забывайте преобразовывать неправильные дроби в смешанные, выделяя целую часть. Для этого необходимо значение числителя разделить на значение знаменателя, то что получилось, встаёт на место целой части, остаток – будет числителем, например:

19/4=4 ¾, проверим: 4*4+3=19, в знаменателе 4 остаётся без изменений.

Подведём итог:

Перед тем как приступить к выполнению задания, связанного с дробями, необходимо проанализировать, что это за выражение, какие преобразования нужно совершить над дробью, чтобы решение было правильным. Ищите более рациональные способ решения. Не идите сложными путями. Распланируйте все действия, решайте сначала в черновом варианте, затем переносите в школьную тетрадь.

Чтобы не произошло путаницы при решении дробных выражений, необходимо руководствоваться правилом последовательности. Решайте всё внимательно, не торопясь.

detskoerazvitie.info

Правило сложение дробей с разными знаменателями. 5 класс

Правила сложения дробей с разными знаменателями

Правила сложения дробей с разными знаменателями очень простые.

Рассмотрим правила сложения дробей с разными знаменателями по шагам:

1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей. Полученный НОК будет общим знаменателем дробей;

2. Привести дроби к общему знаменателю;

3. Сложить дроби, приведенные к общему знаменателю.

На простом примере научимся применять правила сложения дробей с разными знаменателями.

Пример

Пример сложения дробей с разными знаменателями.

Сложить дроби с разными знаменателями:

Будем решать по шагам.

1. Найти НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей.

Число 12 делится на 6.

Отсюда делаем вывод, что 12 есть наименьшее общее кратное чисел 6 и 12.

Ответ: нок чисел 6 и 12 равен 12:

НОК(6, 12) = 12

Полученный НОК и будет общим знаменателем двух дробей 1/6 и 5/12.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

В нашем примере привести к общему знаменателю 12 нужно только первую дробь, ведь у второй дроби знаменатель уже равен 12.

Разделим общий знаменатель 12 на знаменатель первой дроби:

12 : 6 = 2

2 есть дополнительный множитель.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби (1/6) на дополнительный множитель 2:

Таким образом мы привели первую дробь к общему знаменателю 12.

3. Сложить дроби, приведенные к общему знаменателю.

Складываем только числители полученных дробей с общим знаменателем:

1	+	5	=	1 * 2	+	5	=
6		12		6 * 2		12
2	+	5	=
12		12
7
12

Итак, ответ:

www.sbp-program.ru

Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Приведение дробей к одному знаменателю. Понятие о НОК

• Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
• Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
• Понятие о НОК
• Приведение дробей к одному знаменателю
• Как сложить целое число и дробь

1Сложение и вычитание дробей  с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тот же, например:

Чтобы сложить смешанные дроби, надо отдельно сложить их целые части, а затем сложить их дробные части, и записать результат смешанной дробью,

Пример 1:

Пример 2:

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем из нее целую часть и прибавляем ее к целой части, например:

2Сложение и вычитание дробей  с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к одному знаменателю, а дальше действовать, как указано в начале этой статьи. Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное). Для числителя каждой из дробей находятся дополнительные множители с помощью деления НОК на знаменатель этой дроби. Мы рассмотрим пример позже, после того, как разберемся,  что же такое НОК.

3Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное двух чисел (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба эти числа без остатка. Иногда НОК можно подобрать устно, но чаще, особенно при работе с большими числами, приходится находить НОК письменно, с помощью следующего алгоритма:

Для того, чтобы найти НОК нескольких чисел, нужно:

1. Разложить эти числа на простые множители
2. Взять самое большое разложение, и записать эти числа в виде произведения
3. Выделить в других разложениях числа, которые не встречаются в самом большом разложении (или встречаются в нем меньшее число раз), и добавить их к произведению.
4. Перемножить все числа в произведении, это и будет НОК.

Например, найдем НОК чисел 28 и 21:

4Приведение дробей к одному знаменателю

Вернемся к сложению дробей с разными знаменателями.

Когда мы приводим дроби к одинаковому знаменателю, равному НОК обоих знаменателей, мы должны умножить числители этих дробей на дополнительные множители. Найти их можно, разделив НОК на знаменатель соответствующей дроби, например:

Таким образом, чтобы привести дроби к одному показателю, нужно сначала найти НОК (то есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя) знаменателей этих дробей, затем поставить дополнительные множители к числителям дробей. Найти их можно, разделив общий знаменатель (НОК) на знаменатель соответствующей дроби. Затем нужно умножить числитель каждой дроби на дополнительный множитель, а знаменателем поставить НОК.

 5Как сложить целое число и дробь

Для того, чтобы сложить целое число и дробь, нужно просто добавить это число перед дробью, при этом получится смешанная дробь, например:

Если мы складываем целое число и смешанную дробь, мы прибавляем это число к целой части дроби, например:

Тренажер 1

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

Информация

В этом тесте проверяется умение складывать  дроби с одинаковыми знаменателями. При этом нужно соблюдать два правила:

• Если в результате получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
• Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

Тренажер 2

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

Лимит времени: 0

0 из 20 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

Информация

Тест поможет проверить, как вы умеете складывать  дроби с разными знаменателями. Перед тем, как сложить дроби, необходимо привести их к одинаковому знаменателю. Записывая результат, соблюдаем два правила:

• Если в результате сложения получается неправильная дробь, нужно перевести ее в смешанное число.
• Если дробь можно сократить, обязательно сократите ее, иначе будет засчитан неправильный ответ.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6
7. 7
8. 8
9. 9
10. 10
11. 11
12. 12
13. 13
14. 14
15. 15
16. 16
17. 17
18. 18
19. 19
20. 20

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

kid-mama.ru

Сложение дробей с разными знаменателями 5 класс. Решено

Сложение дробей с разными знаменателями, 5 класс

Как складывать дроби с разными знаменателями?

Правила сложения дробей с разными знаменателями

Правила сложения дробей с разными знаменателями:

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей;

2. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю;

3. Сложить числители дробей, а знаменатель оставить неизменным.

Пример сложения дробей с разными знаменателями

Сложить две дроби

У этих двух дробей разные знаменатели. Мы можем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями. Поэтому нужно привести дроби к общему знаменателю.

1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.

Как найти общий знаменатель дробей?

Сначала находим НОК (наименьшее общее кратное) чисел 4 и 8 (это знаменатели наших дробей).

Число 8 делится на 4.

Отсюда сразу делаем вывод, что 8 есть наименьшее общее кратное чисел 8 и 4.

Ответ: нок чисел 4 и 8 равен 8:

НОК(4, 8) = 8

Полученный результат 8 и есть общий знаменатель данных двух дробей.

2. Привести дроби к общему знаменателю.

Как привести дроби к общему знаменателю?

Наш общий знаменатель равен 8.

У второй дроби знаменатель уже равен 8, её оставляем неизменной.

У первой дроби знаменатель равен 4. Её нужно привести к знаменателю 8.

Делим 8 на 4:

8 : 4 = 2

2 есть дополнительный множитель.

Умножаем и числитель, и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель:

Таким образом мы привели первую дробь к общему знаменателю 8.

Запишем всё вместе:

1	+	3	=	1 * 2	+	3	=	2	+	3
4		8		4 * 2		8		8		8

Теперь мы имеем две дроби с одинаковыми знаменателями.

3. Сложить числители дробей, а знаменатель оставить неизменным.

Складываем только числители полученных дробей с общим знаменателем:

Запишем всё вместе:

1	+	3	=	1 * 2	+	3	=	2	+	3	=	5
4		8		4 * 2		8		8		8		8

Итак, ответ:

www.sbp-program.ru

Сложение смешанных дробей, 5 класс. Решено

Сложение смешанных дробей, 5 класс

Как сложить смешанные дроби?

Сложение смешанных дробей рассмотрим на примерах.

Но прежде изучим правила сложения смешанных дробей.

Правила сложения смешанных дробей

Правила сложения смешанных дробей:

При сложении смешанных дробей отдельно складываем целые части и отдельно дробные.

Сложение смешанных дробей с одинаковыми знаменателями

Сложить смешанные дроби с одинаковыми знаменателями:

Отдельно складываем целые части и отдельно дробные:

2 + 3 +	1	+		2	=	5	3
	11			11			11

Сложение смешанных дробей с разными знаменателями

Сложить смешанные дроби с разными знаменателями:

Отдельно складываем целые части и отдельно дробные:

2 + 3 +	1	+		2	=
	2			3
5 +	1	+		2
	2			3

Целые части мы сложили, результат равен 5, осталось сложить дробные части:

У дробей разные знаменатели. Чтоб можно было их сложить, приведем дроби к общему знаменателю.

Как привести дроби к общему знаменателю?

Сначала найдем НОК (наименьшее общее кратное) знаменателей 2 и 3.

Это число 6:

НОК(2, 3) = 6

НОК, равный 6, есть общий знаменатель дробей 1/2 и 2/3

Разделим общий знаменатель 6 на знаменатели наших дробей:

6 : 2 = 3
6 : 3 = 2

3 – это дополнительный множитель для дроби 1/2.

2 – это дополнительный множитель для дроби 1/3.

Чтоб привести дробь 1/2 к общему знаменателю 6, умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель 3:

Чтоб привести дробь 1/3 к общему знаменателю 6, умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:

Теперь, когда обе дроби приведены к общему знаменателю, их можно сложить:

Итак, сложение целых частей смешанных дробей дало 5, а сложение дробных частей дало 5/6.

Ответ:

www.sbp-program.ru

Вычитание дробей с разными знаменателями. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить абстрактное мышление и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» — сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби – это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

• Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m – b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

7/19 — 3/19 = (7 — 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби – «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 — 3/47 — 8/47 — 2/47 — 7/47 = (29 — 3 — 8 — 2 — 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей – «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, — «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

• Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число — числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби — «1» — добавляем числитель второй слагаемой дроби — «2». Результат — «3» — записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, — «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

• Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

  

О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

Свойство дроби

Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

• 2/3 – в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
  2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
• 7/9 или 7/(3 х 3) – в знаменателе не хватает двойки:
  7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
• 5/6 или 5/(2 х 3) – в знаменателе не хватает тройки:
  5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Все вместе это выглядит так:

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

Рассмотрим это на примере: 4/18 – 3/15.

Находим кратное чисел 18 и 15:

• Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
• Число 15 состоит из 5 х 3.
• Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

• 90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
• 90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

Следующий этап нашего решения – приведение каждой дроби к знаменателю «90».

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

(4 х 5)/(18 х 5) – (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 – 18/90 = 2/90 = 1/45.

Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

Аналогично производится и сложение дробей, имеющих различные знаменатели.

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

• Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, – числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
• Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
• Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
• При получении неправильной дроби выделить целую часть.

Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от натурального числа. На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

fb.ru

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.

К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.

Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.

Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.

Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

1. найти НОК всех знаменателей;
2. проставить к каждой дроби дополнительные множители;
3. умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
4. полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
5. произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.

Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

Например:

Запись опубликована в рубрике Математика с метками вычитание, дробь, знаменатель, сложение. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

shkolo.ru

Неравенства с модулями. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Неравенства с модулями

Существует несколько определений модуля. Эти определения должны быть равноценны, эквивалентны, т. е. из первого определения следует второе, а из второго первое.

Определение:

Модулем числа t называется само число t, если оно больше нуля, модулем нуля является ноль, и если под модулем отрицательное число, то модуль t равен минус t.

 

Обычно в задачах под модулем стоит целое выражение, зависящее от х, тогда:

Из вешесказанного следует простое правило: если под модулем стоит положительное число, то модуль можно отбросить. Если же под модулем стоит отрицательное число, то модуль следует отбросить, но поставить знак минус перед всем подмодульным выражением.

Определение:

Модуль числа t – это расстояние от точки t до точки 0.

В частности, 

Например:

Рис. 1. Модули чисел 3 и -3

 

Из определения модуля следует основной прием решения задач с модулем, а именно, освободиться от модуля на основе его определения. Поясним на конкретном примере.

Пример 1 – построить график функции:

Согласно определению модуля, рассматриваем два случая:

Рис. 2. График функции

Пример 2 – решить неравенства:

a)

Решим, опираясь на второе определение:

Проиллюстрируем:

Рис. 3. Решение примера 2.a

Любая точка, не принадлежащая выбранному отрезку, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет больше заданного расстояния.

Ответ:

б)

Проиллюстрируем:

Рис. 4. Решение примера 2.б

Любая точка, не принадлежащая выбранным промежуткам, не будет являться решением, так как расстояние от нее до точки 3 будет меньше заданного расстояния.

Ответ:

Рассмотрим неравенства вида:

Данное неравенство можно решать двумя способами.

Способ 1 (по определению):

Способ 2:

Строгое доказательство данного способа опустим, приведем и прокомментируем его.

Поясним на графике (рисунок 5)

Рис. 5. Пояснительный график

Итак, на рисунке 12.5 изображен график функции . Решения неравенства  заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворит промежуток значений (-g; g) – показано красным.

Рассмотрим следующий тип неравенств с уединенным модулем:

Аналогично предыдущему неравенству, покажем два способа решения.

Способ 1:

Способ 2:

Доказательство данного способа можно получить, продолжив преобразовывать совокупность, полученную в первом способе. Мы проиллюстрируем данный способ решения:

Рис. 6. Пояснительный график

Итак, на рисунке 6 изображен график функции . Решения неравенства  заштрихованы зеленым цветом. Если функция g(x) задана как константа, то нас удовлетворят промежутки значений  – показано красным.

 

Пример 3 – решить неравенство:

Решаем неравенство вторым способом:

Проиллюстрируем решение системы:

Рис. 7 Решение системы в примере 3

Ответ:

Пример 4 – решить неравенство:

Решаем вторым способом:

Проиллюстрируем решение совокупности:

Рис. 8. Решение совокупности в примере 4

Ответ:

Неравенства с модулем можно решать методом интервалов.

Пример 5 – решить неравенства:

а)

б)

Согласно стандартному алгоритму, рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль:

Исследуем функцию. ОДЗ:

Чтобы найти корни, решим уравнение:

Выделяем интервалы знакопостоянства и определяем знаки функции:

Рис. 9. Интервалы знакопостоянства функции

Ответ: а); б) ;

Рассмотрим неравенство, в котором сравниваются два модуля.

Пример 6 – решить неравенство:

Напомним, что если обе части неравенства положительны, мы имеем право возвести их в квадрат, при этом равносильность не теряется. В данном случае каждый модуль неотрицателен, имеем право возвести в квадрат, при этом модули уничтожатся, согласно свойству ():

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

Вынесем из скобок константные множители:

Разделим обе части неравенства на минус три, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

Получено простейшее квадратное неравенство. Парабола, ветви направлены вверх, интересующие нас значения находятся в интервале между корнями.

Ответ:

            Итак, мы рассмотрели различные типовые неравенства с модулем, привели некоторые схемы решения и решили примеры. Далее перейдем к системам уравнений.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал естественных наук (Источник).

2. ЕГЭ по математике (Источник).

3. Математика, которая мне нравится (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

2. Решить неравенство:

а) ;

б);  

в);  

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

 

interneturok.ru

Уравнение с модулем. наглядное пособие по алгебре ( 7 класс)

Уравнение, содержащие переменную под знаком модуля.

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:

|а| = а

Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:

|а| = — а

Короче это записывают так:

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:

|-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:

|0| = 0

На доске записали решение линейного уравнения, но часть уравнения вытерли. Восстановите их.

infourok.ru

Модуль Алгебра — ЁП

Модуль алгебра первой части содержит четырнадцать (1 — 14) заданий, каждое из которых оценивается в один балл.

Действия с дробями

Понятие обыкновенной и десятичной дроби. Сложение, вычитание, умножение, деление дробей. Сравнение дробей. Перевод обыкновенной дроби в десятичную и обратно.

Действия со степенями

Понятие степени. Свойства степеней. Возведение отрицательного числа в степень. 

Задание №2

Анализ диаграмм, таблиц, графиков.
Разные таблицы. Таблицы нормативов. Диаграммы.

Задание №3

Координатная прямая

Понятие координатной прямой. Расположение чисел на координатной прямой. Сравнение чисел, расположенных на координатной прямой. Сопоставление чисел, изображенных на прямой с некоторым числом. 

Модуль числа

Понятие модуля числа. 

Квадратный корень из числа

Понятие квадратного корня. Расположение квадратного корня из числа на координатной прямой. 

Задание №4

Преобразования и вычисления

Свойства квадратного корня, свойства степеней. Вынесение множителя за знак квадратного корня.  

ФСУ

Формулы сокращенного умножения.

Стандартный вид числа

Понятие стандартного вида числа. Перевод приставок в множитель.

Задание №5

Анализ диаграмм, таблиц, графиков.
Анализ таблиц. Вычисление величин по графику или диаграмме. Определение величины по графику.

Задание №6

Уравнения
Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. ОДЗ. 

Системы уравнений
Понятие системы уравнений. Отбор решений. 

Задание №7

Простейшие текстовые задачи.
Пропорции. Проценты. Разные задачи.

Задание №8

Анализ диаграмм.
Столбчатые диаграммы. Круговые диаграммы.

Задание №9

Статистика, вероятности.
Статистика. Теоремы о вероятностных событиях. Классические вероятности.

Задание №10

Неравенства

Линейные неравенства. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. ОДЗ. 

Системы неравенств

Понятие системы неравенств. Отбор решений. 

Задание №11

Виды графиков

Прямая. Парабола. Гипербола. Квадратный корень.

Действия с графиками

Растяжение графиков. Сдвиги графиков. 

Задание №12

Числовые последовательности

Понятие числовой последовательности. Нахождение n-ных членов последовательности. Принцип работы с числовыми последовательностями. 

Арифметическая прогрессия.

Понятие арифметической прогрессии. Разность арифметической прогрессии. Рекуррентная формула. Сумма первых n членов арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия

Понятие геометрической прогрессии. Знаменатель прогрессии. Рекуррентная формула. Сумма первых n членов геометрической прогрессии. Полезные формулы. 

Задание №13

Расчеты по формулам.
Вычисление по формуле. Линейные уравнения. Разные задачи.

Задание №14

Формулы сокращенного умножения

ФСУ. Применение ФСУ в различных выражениях. 

Упрощение выражений

Разложение на множители: вынесение общего множителя, группировка, применение ФСУ. Приведение выражений к общему знаменателю. 

В модуле алгебра второй части содержится три задания (21 — 23), каждое из которых оценивается в два балла.

Задание №21

Алгебраические выражения, уравнения, системы уравнений, неравенства, системы неравенств.

Задание №22

Текстовые задачи
Задачи на движение по воде. Задачи на проценты, сплавы и смеси. Задачи на совместную работу. Движение по прямой. Разные задачи.

Задание №23

Функции и их свойства. Графики функций.
Гиперболы. Параболы. Кусочно-непрерывные функции. Разные задачи.

epmat.ru

Урок «Решение заданий Модуля «Алгебра»

Решение заданий Модуля «Алгебра»

(подготовка к ОГЭ математика)

Тема: Решение заданий модуля «Алгебра». Подготовка к ОГЭ

Учебный предмет: Практикум по математике

Класс: 9 класс

Тип урока: урок коррекции, закрепления и совершенствования умений и навыков

Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая, индивидуальная

Цели урока

образовательные:

• знать свойства, определения, алгоритм по данным содержательным линиям: «Алгебраические выражения. Функции. Уравнения и неравенства», вырабатывать умение применять накопленные знания для решения заданий ГИА по математике;

• находить значение выражений, применяя свойства степени, аналитическую формулу функции, решение неравенств и систем неравенств;

• анализировать учебный материал, сравнивать личное решение с эталоном;

• выделять главное в учебном материале, личные ошибки при выполнении заданий

развивающие: развитие умения пользоваться приемами сравнения, обобщения, делать выводы, применять полученные знания при решении алгебраических выражений, неравенств и систем неравенств, моделировать решение с помощью логических цепочек рассуждений, правильно использовать в речи математические термины

воспитательные: работать самостоятельно, в малых группах, в парах, выполнять самооценку учебной деятельности, оказывать помощь, вести диалог, навык работы в группе, вести дискуссию.

Технологическая карта урока

Предмет: Практикум по математике (урок в рамках подготовки к ГИА по математике)

Класс: 9

Тема урока: Решение заданий модуля «Алгебра».

Тип урока: урок коррекции, закрепления и совершенствования умений и навыков

Форма урока: урок-практикум

I этап

1.Организация начала урока

(1 мин)

Полная готовность класса и оборудования, быстрое включение учащихся в деловой ритм.

Приветствие учащихся.

Озвучивание темы урока.

Создание мотивации успеха

Приветствует обучающихся, проверяет их готовность к уроку.

Активизирует внимание учащихся.

Создает эмоциональный настрой на урок.

Приветствуют учителя, проверяют свою готовность к уроку.

Приветствуют друг друга, настраиваются на совместное сотрудничество.

Настраиваются на работу на уроке, готовятся к получению новых знаний.

2. Анализ ошибок модуля «Алгебра»

(1 мин)

Установление рейтинга наиболее сложных заданий выполнения теста ГИА Модуля «Алгебра» всеми учащимися.

Общий вывод: (содержательные линии наиболее сложных заданий модуля «Алгебра»)

• Алгебраические выражения

• Функции и графики

• Уравнения и неравенства

Уточняет рейтинг сложных заданий по таблице мониторинга.

Выдвигает проблему.

Побуждает учащихся к анализу.

Устанавливают вместе с учителем наиболее сложный учебный материал.

Формулируют собственное мнение по презентации.

Принимают информацию, акцентируя внимание на результатах тестирования.

3. Подготовка к основному этапу урока

(2 мин)

Обеспечение мотивации и принятия учащимися цели учебно-познавательной деятельности на уроке.

Подведение детей к постановке целей урока.

Формулирование целей урока.

Предложение самооценки учащимися по таблице:

3 балла — знаю и могу

2 балла – знаю, но допускаю ошибки

1 балл — надо повторить

Организация погружения в проблему.

Проводит диалог с учащимися.

Предлагает учащимся обозначить цели урока.

Озвучивают и фиксируют цели урока.

Настраиваются на самооценку учебной деятельности.

Слушают учителя.

Строят понятные для собеседника высказывания.

Используют диалогическую форму речи.

Принимают и формулируют учебную цель.

II этап

Усвоение знаний и способов действий по содержательным линиям Модуля «Алгебра»

(30 мин)

Организация восприятия, повторения, закрепления учебного материала по теме «Степени»

«Алгебраические выражения»

Задание №3 по теме «Степени»

1. Актуализация знаний (демонстрация презентации по теме «Свойства степени»)

2. Контролирующий элемент (4 задания по презентации)

3. Самооценка по эталону

Предлагает к просмотру презентацию, повторить свойства и решить задания фронтально и индивидуально с фронтальной проверкой.

Сопоставляют свойства степени с предложенным действием.

Отбирают нужное свойство для решения.

Формулируют актуализацию знаний для себя.

Выбор и использование свойства в соответствии с заданием.

Принимают и сохраняют учебную информацию.

Самостоятельно организуют учебную деятельность.

Анализируют и сравнивают личный результат с правильным решением.

Самооценка данного этапа урока.

Организация восприятия, повторения, закрепления учебного материала по теме «Функции и их графики»

«Функции и графики»

Задание №5 по теме «Функции»

1. Актуализация знаний (демонстрация видеолекции по теме «Функции»)

2. Контролирующий элемент (задание «Выполни соответствие»)- работа в парах

3. Самооценка по таблице

Демонстрирует видеофрагмент.

Предлагает решить задание в парах и выполнить проверку.

Актуализируют знания по теме «Функции»

Применяют знания для решения учебной задачи в парах.

Формулируют актуализацию знаний для себя.

Договариваясь с партнером, приходят к общему решению.

Принимают и сохраняют учебную информацию.

Организуют учебную деятельность.

Анализируют и сравнивают результат с результатом партнера, с правильным решением.

Формулируют собственную позицию.

Корректируют ошибки.

Самооценка этапа урока.

Электронная физминутка для глаз

Здоровьесбережение

Предлагает просмотр презентации для снятия напряжения глаз и релаксации.

По презентации выполняют зрительную гимнастику.

Используют внешний источник для снятия напряжения.

Релаксация.

Организация восприятия, повторения, закрепления учебного материала

«Уравнения и неравенства»

Задание №8 по теме «Неравенства»

1. Актуализация знаний (демонстрация презентации по теме «Неравенства. Системы неравенств»)

2. Контролирующий элемент (задания, тест интерактивный)

3. Самооценка по таблице

Демонстрирует презентацию.

Задания по теме «Неравенства».

Актуализируют знания по теме «Неравенства»

Применяют знания для решения учебной задачи.

Формулируют актуализацию знаний для себя.

Использование знаний для решения заданий.

Принимают и сохраняют учебную информацию.

Самостоятельно организуют учебную деятельность.

Анализируют и сравнивают результат с результатом у доски.

Формулируют собственную позицию.

Корректируют ошибки.

Самооценка этапа.

III.этап

1. Информация о домашнем задании

(1 мин)

Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Домашнее задание

решить 5 заданий на различные действия с алгебраическими дробями и решить.

Реализует необходимые и достаточные условия для успешного выполнения домашнего задания всеми учащимися.

Проводят сверку соответствующих записей в тетрадях и дневниках.

Настраиваются на верное выполнение домашнего задания.

Оценивают свои возможности для выполнения домашнего задания.

2. Подведение итогов урока

(2 мин)

Подведение итогов усвоения знаний.

Достижение целей урока.

Выставление оценок.

Информация для учащихся

Организует диалог с учащимися о достижении целей.

Комментирует и выставляет оценки за урок.

Оценивают достижение целей урока.

Подают учителю дневники на выставление оценок.

Сдают тетради и таблицу самоанализа.

Проводят оценку своих возможностей на успешное усвоение материала урока.

Анализируют и сравнивают результаты своей деятельности за урок с результатами одноклассников.

3. Рефлексия

(3 мин)

Мобилизация учащихся на рефлексию своего поведения (мотивации, способов деятельности, общения)

Диалог с учащимися.

Акцентирование внимания на конечных результатах учебной деятельности обучающихся на уроке.

Предлагает учащимся проанализировать их деятельность на уроке.

Оценка усвоения материала за урок

на основе результатов таблицы.

Мотивируют свои успехи и неудачи в процессе учебной деятельности.

Формулируют выводы.

Усваивают и прогнозируют принципы саморегуляции и сотрудничества.

Используют диалогическую форму речи.

Осмысливают свои действия и дают самооценку.

infourok.ru

cosx меньше a

Рассмотрим решение тригонометрических неравенств вида cosx меньше a (cosx<a) на единичной окружности.

Снова применяем ассоциацию косинус-колобок. Оба кругленькие, оба начинаются с ко-. Колобку, в силу особенности его фигуры, удобнее двигаться влево-вправо, а не вверх-вниз. Влево-вправо на координатной плоскости — движение по оси ox. Значит, косинус — это x. То есть абсцисса,  координата x точки на окружности. Геометрически cosx=a в точках пересечения единичной окружности и прямой x=a (прямая, параллельная оси ox). Соответственно, точки окружности, находящиеся правее этой прямой, соответствуют значениям косинуса, большим a, а cosx меньше a — левее этой прямой. Прямая и окружность могут пересекаться, не пересекаться и касаться. От их взаимного расположения зависит решение тригонометрического неравенства cosx меньше a.

1) cosx<a, при 0<a<1.

 

Первая точка пересечения прямой и окружности находится, как обычно, — это arccos a. Поскольку нам нужны значения, в которых cos x меньше a, из первой точки ко второй мы идем по верхнему пути, против часовой стрелки. При таком направлении обхода угол увеличивается. Вторую точку получили, немного не дойдя до 2п. На сколько не дошли? На тот же угол, который соответствует arccos a. Раз не дошли, то это число вычитаем из 2п. Поэтому вторая точка пересечения прямой с окружностью есть 2п-arccos a. Итак, решением неравенства cos x меньше a является промежуток (arccos a; 2п-arccos a). Поскольку период косинуса равен 2п, к каждому из концов промежутка прибавляем 2пn, где n -целое число (то есть n принадлежит Z). Получаем окончательный вариант ответа: (arccos a+2пn; 2п-arccos a+2пn). Для нестрогого неравенства точки закрашиваем и ставим квадратные скобки.

2) cos x меньше -a, при 0<a<1.

Решение неравенства аналогично первому случаю. Отличие — нужно вычислить арккосинус отрицательного числа (чуть позже я расскажу, как легко запомнить значения arccos (-a) с помощью ассоциации). А пока что arccos (-a)= п-arccos a. Ко второй точке здесь тоже идем против часовой стрелки, то есть значение угла увеличивается. Не доходим до 2п на величину arccos(-a), отсюда вторая точка есть 2п-arccos(-a). Чтобы учесть все решения неравенства, к концам промежутка прибавляем 2пn. Если неравенство нестрогое, точки закрашиваем и включаем в ответ (с квадратной скобкой).

3) cosx<0

То есть ищем, где косинус отрицательный.

В качестве первой точки промежутка, на котором косинус принимает отрицательные значения, берем п/2, вторая точка — 3п/2. Чтобы учесть все промежутки, на которых косинус отрицательный, прибавляем к концам промежутка 2пn. Таким образом, решение тригонометрического неравенства cosx<0 есть промежуток (п/2+2пn; 3п/2+2пn), где n — целое число. Если неравенство нестрогое, то есть ищем неотрицательные значения косинуса, точки закрашиваем, скобки берем квадратные.

4) cosx<1

В этом случае окружность и прямая x=a касаются в одной точке — в нуле. Таким образом, за исключением этой точки, окружность расположена левее прямой. Значит, cosx меньше 1 в любой точке, кроме точек вида 0+2пn. Чтобы записать решение тригонометрического неравенства cosx<1 в виде интервала, в качестве второго конца промежутка берем 2п и к обоим концам прибавляем 2пn. Получаем (2пn; 2п+2пn).

5) cosx<a, при a>1.

В этом случае окружность целиком лежит левее прямой x=a и любое значение x удовлетворяет условию неравенства. Таким образом, в этом случае косинус меньше a на промежутке (-∞;+∞).

6) cosx<-a, при a>1.

При таких a окружность целиком расположена правее прямой x=-a и нет ни одного x, удовлетворяющего требованию cosx меньше -a. Поэтому решений нет.

   

В этом случае точку пересечения окружности и прямой исключать из решения не нужно, значит, x — любое число и решением является вся числовая прямая: (-∞;+∞).

   

Единственным решением этого тригонометрического неравенства является точка п. С учетом периодичности косинуса, решением является множество точек вида п+2пn, где n — целое число.

И в заключении — пример решения тригонометрического неравенства вида cosx меньше a: cosx<-1/2:

 

www.uznateshe.ru

Решите неравенство cos(x)*cos(x)>0 (косинус от (х) умножить на косинус от (х) больше 0)

Дано неравенство:
$$\cos{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
$$\cos{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 0$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (0) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

w = -b/2a = -0/2/(1)

$$w_{1} = 0$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{2} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} > 0$$
$$\cos{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right )} \cos{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right )} > 0$$

   2          
sin (1/10) > 0
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{3 \pi}{2}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство cos(x)^3>=0 (косинус от (х) в кубе больше или равно 0)

Дано неравенство:
$$\cos^{3}{\left (x \right )} \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем
$$\cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
$$\cos^{3}{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Дано уравнение
$$w^{3} = 0$$
значит
$$w = 0$$
Получим ответ: w = 0
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{2} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\cos^{3}{\left (x \right )} \geq 0$$
$$\cos^{3}{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right )} \geq 0$$

   3           
sin (1/10) >= 0
     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq \frac{\pi}{2}$$
$$x \geq \frac{3 \pi}{2}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство -cos(2*x)>0 (минус косинус от (2 умножить на х) больше 0)

Дано неравенство:
$$- \cos{\left (2 x \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние

с изменением знака при 0

Получим:
$$- \cos{\left (2 x \right )} = 0$$

Разделим обе части ур-ния на -1

Ур-ние превратится в
$$\cos{\left (2 x \right )} = 0$$
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$2 x = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
Или
$$2 x = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$2 x = \pi n — \frac{\pi}{2}$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4} + — \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} — \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
подставляем в выражение
$$- \cos{\left (2 x \right )} > 0$$

    /  /pi   pi*n   1 \\    
-cos|2*|-- + ---- - --|| > 0
    \  \4     2     10//    

sin(-1/5 + pi*n) > 0

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

решение неравенство COSX = -0,5 помогите решить плиз

Такое простейшее уравнение решается классически: x 1 = — arccos(A) + 2 pi n, где n — целое число x 2 = arccos(A) + 2 pi n, где n — целое число

Тяжело отвечать на некорректные вопросы, но умные, образованные люди здесь вопросов не задают.. . Предупреждаю сразу, я не напишу ответов, поэтому не читай, если не хочешь разобраться и понять как решать. Для тупого списывания используй другие ответы или решебники. cosx = -0.5 — вообще-то, это равенство, а точнее, уравнение. В тригонометрии основой всех вычислений является окружность единичного радиуса. Каждая точка на окружности задает значения косинуса и синуса определенного угла, где косинус — абсцисса этой точки (проекция на ось Х) , а синус — ордината (проекция на ось У) . Угол в 0 радиан соответствует точке (1;0), т. е. для угла в 0 радиан косинус равен 1, а синус — 0. Отсчет остальных углов идет против часовой стрелки, либо по часовой стрелке, но угол тогда учитывается со знаком минус. Все это показано на этом рисунке: <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/9b0e06f9f60ee05ffd4294e3565cb7f5_i-1.gif» > Если косинус угла равен -0.5, то нужно отложить эту точку на оси Х и посмотреть, какой угол соответствует этому значению. Для этого можно условно провести вертикальную линию до пересечения с окружностью (как будто была из точек на окружности сделана проекция на ось Х) . Очевидно, что таких угла будет два. Один дает точку над осью Х, другой под. Рекомендую так же запомнить базовые значения косинусов и синусов для часто используемых углов в 30, 45 и 60 градусов (Пи / 6, Пи / 4, Пи / 3 — соответственно в радианах) . Полный круг соответствует углу 2*Пи (360 градусов) . Четверть круга соответственно Пи / 2 (90 градусов) . Теперь просто смотрим, какой угол у нас получается для обеих точек. Но надо не забыть, что все это повторяется каждый круг (+2Пи*n). Еще в случае с косинусом обычно точку под осью Х описывают отрицательным углом, он получается равным первому, но с отрицательным знаком, т. к. движение по окружности меняется в противоположную сторону. По идее этого должно хватить для решения, если что — задавай вопросы.

touch.otvet.mail.ru

Выбор без возвращения и без учёта порядка

Теорема 3. Общее количество различных наборов при выборе  элементов из  без возвращения и без учёта порядка равняется

и называется числом сочетаний из  элементов по  элементов.

Доказательство. Согласно следствию 1,  различных номеров шаров можно упорядочить  способами. Поэтому из каждого набора, выбранного без возвращения и без учёта порядка, можно образовать  наборов, отличающихся друг от друга порядком следования номеров. Т.е. при выборе без возвращения и с учётом порядка возможно в  раз больше наборов, чем при выборе без учёта порядка. Поэтому число наборов при выборе без учёта порядка равно 

QED

Упражнение 4. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:

а)

из колоды в 36 карт без возвращения, без учёта порядка вынимают три карты;

б)

из русского алфавита выбрасывают четыре буквы.

Выбор с возвращением и с учётом порядка

 Теорема 4. Общее количество различных наборов при выборе  элементов из  с возвращением и с учётом порядка равняется .

Доказательство. Первый шар можно выбрать  способами. При каждом из этих способов второй шар можно выбрать также  способами, и так  раз. Общее число наборов равно.

QED

Упражнение 5. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:

а)

из колоды в 36 карт тянут три раза карту с учётом порядка и с возвращением;

б)

пятизначное число составляется из одних нечётных цифр;

в)

обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв.

Выбор с возвращением и без учёта порядка

Рассмотрим урну с двумя пронумерованными шарами и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением.

с учётом порядка	без учёта порядка
(1,1)	(1,1)
(2,2)	(2,2)
(1,2) (2,1)	}     (1,2)

Видим, что в схеме «без учёта порядка» получилось три различных результата, в отличие от четырёх результатов в схеме «с учётом порядка». Заметим также, что никаким делением на «число каких-нибудь перестановок», которое помогло избавиться от учёта порядка при выборе без возвращения, число 3 из числа 4 получить не удастся.

  Теорема 5. Общее количество различных наборов при выборе  элементов из  с возвращением и без учёта порядка равняется

Упражнение 6. Проверить, что при  и  получается ровно 3.

Доказательство. Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора. Нам не важен порядок номеров, т.е. мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из  номеров шаров появился каждый номер. Поэтому результат выбора можно представить набором чисел , в котором  — число появлений шара номер  в наборе, и . Числа  принимают значения из . Два результата выбора в схеме выбора с возвращением и без учёта порядка различаются, если соответствующие им наборы  не совпадают (порядок следования элементов  учитывается).

Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты, и посчитаем их количество. Есть  ящиков, в которых размещаются  шаров. Нас интересует только число шаров в каждом ящике. Результатом эксперимента снова является набор чисел , где  равно числу шаров в ящике с номером , и . Числа  принимают натуральные значения или равны нулю.

А теперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а точки — находящиеся в ящиках шары:

Мы видим результат размещения девяти шаров по семи ящикам. Первый ящик содержит три шара, второй и шестой ящики пусты, третий ящик содержит один шар, в четвёртом и пятом ящиках лежит по два шара. Переложим один шар из первого ящика во второй и изобразим таким же образом ещё два результата размещения:

Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шары и перегородки, или расставляя  шаров на  местах. Число  получается так: у  ящиков есть ровно перегородка, считая крайние, но из них перемещать можно лишь  внутреннюю перегородку. Таким образом, имеется  мест, которые можно занять шарами либо внутренними перегородками. Перебрав все возможные способы расставить  шаров на этих  местах (заполняя оставшиеся места перегородками), переберем все нужные размещения.

Осталось заметить, что способов расставить  шаров на  местах существует

Именно столько есть способов выбрать из  номеров мест  номеров мест для шаров.

Упражнение 7.

а)

Найти количество способов разложить натуральное число  в сумму  целых неотрицательных слагаемых, если важен порядок следования этих слагаемых.

б)

Найти число различных производных порядка  функции  переменных.

в)

Найти число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. То же самое для трёх игральных костей.

studfiles.net

Выбор с возвращением.

Выборка с возвращением, упорядоченная.

Выборка с возвращением, неупорядоченная.

Имеется хранилище с n различными предметами. Имеется k занумерованных ящиков. Из хранилища берем один случайный предмет. Информацию о нем фиксируем в первой ячейке. Сам предмет возвращаем в хранилище. Затем берем следующий предмет и информацию фиксируем во второй ячейке. И т.д. В данной схеме различными считаются варианты, которые отличаются хотя бы одной позицией. Общее число ;

Имеется хранилище с n различными предметами. Имеется ящик объемом k. Из хранилища берем один случайный предмет. Информацию о нем фиксируем в ящике. Сам предмет возвращаем в хранилище. Затем берем следующий предмет и информацию фиксируем в ящике. И т.д. В данной схеме различными считаются варианты, которые отличаются набором элементов. . Доказательство. Используем математическую индукцию. База индукции. K=1; 2. Предположим, что для некоторого k N(p , k ) = Докажем, что для k+1 формула справедлива . а – наименьший номер элемента попавшего во второе хранилище. Если а = 1, то оставшиеся k позиций могут быть заполнены . a=1 → a=2 → a=3 → ….. a=n-1 → a=n →

Выборка без возвращения.

Выборка без возвращения, упорядоченная.

Выборка без возвращения, неупорядоченная.

Имеется хранилище с n различными предметами. Имеется k занумерованных ящиков. Из хранилища берем один случайный предмет и кладем в первую ячейку. Затем берем следующий предмет и кладется во вторую ячейку. И т.д. Любой вариант заполнения упорядоченной выборки без возвращения, называется размещением. Два размещения считаются различными, если они отличаются хотя бы одной позицией. Есть особый случай размещения предметов n=k. Размещение n различных предметов по n ячейкам, называется перестановками.

Имеется хранилище с n различными предметами. Имеется ящик объемом k. Из хранилища берем один случайный предмет и кладем в ящик. Затем берем следующий предмет и кладем в ящик. И т.д. Неупорядоченная выборка в процедуре выбора без возвращения, называется сочетанием. Два сочетания считаются различными, если они отличаются набором элементов.

Размещения с повторениями.

Имеется хранилище с n предметами, но среди них, n₁ – предметов одного типа (неотличимых друг от друга) n₂ – предметов второго типа и n₃ – предметов третьего типа… n_m– предметов m-ого типа. n₁+ n₂+…+ n_m= n.

Размещением такой совокупности предметов по n занумерованным ячейкам, называется размещением с повторениями.

Два размещения с повторениями считаются различными, если они отличаются хотя бы одной позицией.

Общее количество размещений с повторениями.

studfiles.net

Схема выбора без возвращений — МегаЛекции

Элементы комбинаторики

 

Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило умножения. Если из некоторого конечного множества первый объект (элемент х) можно выбрать n₁ способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент у) можно выбрать n₂ способами, то оба объекта (х и у) в указанном порядке можно выбрать n₁∙n₂ способами.

Этот правило распространяется на случай трех и более объектов.

Пример 2.1.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?

Решение:

а) Имеется 5 различных способов выбора первой цифры в числе. После того как первую цифру выбрали, осталось четыре цифры для выбора второй цифры числа. Для выбора третьей цифры числа остается три цифры. Следовательно, согласно правила умножения имеем способов расстановки цифр, т.е искомое число трехзначных чисел — 60.

б) если цифры могут повторятся, то трехзначных чисел .

Правило суммы. Если некоторый объект х можно выбрать n₁ способами, а объект у можно выбрать n₂ способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (х или у), можно выбрать n₁ + n₂ способами.

Это правило распространяется на любое конечное число объектов.

Пример 2.2. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать для выполнения различных заданий двух студентов одного пола?

Решение:

По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14∙13=182 способами, а двух юношей — 6∙5=30. Следует выбрать 2 студентов одного пола: 2 студенток или 2 юношей. Согласно правилу сложения таких способов будет 182+30 = 212.

 

Решение вероятностных задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте, состоящем в выборе наудачу r элементов из n различных элементов рассматриваемого множества.

Существуют две схемы выбора r элементов (0< r ≤ n) из исходного множества: без возвращения (без повторений) и с возвращением (с повторениями). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все r элементов или отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.

 

Схема выбора без возвращений

 

Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.

Размещением из n элементов по r элементов (0< r ≤ n) называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее r элементов.

Из определения вытекает, что размещения – это выборки, состоящие из r элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из n элементов по r элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:

,

(2.1)

или

,

(2.2)

где , ,

Для составления размещения надо выбрать r элементов из множества с n элементами и упорядочить их, т.е. заполнить r мест элементами множества. Первый элемент можно выбрать n способами, т.е. на первое место можно поместить любой из n элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся n-1 элементов n-1 способами. Для выбора третьего элемента имеется n-2 способа, четвертого — n-3 способа, и наконец, для последнего r-го элемента — (n-(r-1)) способов. Таким образом, по правилу умножения, существует n(n-1)( n-2) … (n-(r-1)) способов выбора r элементов из данных n элементов, т.е. .

Пример 2.3. Составить различные размещения по 2 элемента из множества и подсчитать их число.

Решение:

Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента:

(a, b), (a, c), (b, a), (c, a), (b, c), (c, b).

Согласно формуле (2.2) их число

.

 

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

Из определения вытекает, что перестановки – это выборки, состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов. Число перестановок из n элементов обозначается символом Р_n и вычисляется по формуле:

Формула следует из определения перестановки:

(2.4)

 

Пример 2.4. Сколько различных перестановок можно составить из элементов множества ?

Решение:

Из элементов данного множества можно составить следующие перестановки:

(2, 7, 8), (2, 8, 7), (7, 2, 8), (7, 8, 2), (8, 2, 7), (8, 7, 2).

По формуле (2.3) имеем

.

 

Сочетанием из n элементов по r (0 ≤ r ≤ n) элементов называется любое подмножество, которое содержит r элементов данного множества.

Из определения вытекает, что сочетания – это выборки, каждая из которых состоит из r элементов, взятых из данных n элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по r элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:

.

(2.5)

или

.

(2.6)

Число размещений из n элементов по r элементов можно найти следующим образом: выбрать r элементов из множества, содержащего n элементов, затем в каждом из полученных сочетаний сделать все перестановки для упорядочивания подмножеств. Следовательно, согласно правилу умножения можно записать: , Отсюда или .

 

Можно показать, что имеют место формулы:

 

Пример 2.5.Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики? Если выбрать 1 красную и 2 розовых гвоздики?

Решение:

Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 14 гвоздик, можно способами. По формуле (2.6) находим, что

.

Красную гвоздику можно выбрать способами. Выбрать две розовые из четырех имеющихся можно способами. По правилу произведения букет из одной красной и двух розовых гвоздик можно составить способами.

---

Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:

megalektsii.ru

0/ /Выбор с возвращением и с учётом порядка.

Теорема 4. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n с возвращением и с учётом порядка равняется n^k.

Доказательство. Первый шар можно выбрать n способами. При каждом из этих способов второй шар можно выбрать также n способами, и так k раз. Общее число наборов равно n ^. n ^.… ^. n=n!

Выбор с возвращением и без учёта порядка.

Рассмотрим урну с двумя пронумерованными шарами и перечислим результаты выбора двух шариков из этой урны при выборе с возвращением.

С учётом порядка	Без учёта порядка
(1,1)	(1,1)
(2,2)	(2,2)
(1,2) (2,1)	} (1,2)

Видим, что в схеме «без учёта порядка» получилось три различных результата, в отличие от четырёх результатов в схеме «с учётом порядка». Заметим также, что никаким делением на «число каких-нибудь перестановок», которое помогло избавиться от учёта порядка при выборе без возвращения, число 3 из числа 4 получить не удастся.

Теорема 5. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n с возвращением и без учёта порядка равняется

Доказательство. Рассмотрим подробно, чем отличаются друг от друга два разных результата такой схемы выбора. Нам не важен порядок номеров, т.е. мы учитываем только, сколько раз в нашем наборе из k номеров шаров появился каждый номер. Поэтому результат выбора можно представить набором чисел k₁, k₂,…, k_n, в котором k_i — число появлений шара номер i в наборе, и k₁+ k₁+…+ k_n=k. Числа k_i принимают значения из . Два результата выбора в схеме выбора с возвращением и без учёта порядка различаются, если соответствующие им наборы k₁, k₂,…, k_n не совпадают (порядок следования элементов k_i учитывается).

Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты, и посчитаем их количество. Есть n ящиков, в которых размещаются k шаров. Нас интересует только число шаров в каждом ящике. Результатом эксперимента снова является набор чисел k₁, k₂,…, k_n, где k_i равно числу шаров в ящике с номером i, и k₁+ k₁+…+ k_n=k. Числа k_i принимают натуральные значения или равны нулю.

А теперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а точки — находящиеся в ящиках шары:

| . . . | | . | . . | . . | | . |

Мы видим результат размещения девяти шаров по семи ящикам. Первый ящик содержит три шара, второй и шестой ящики пусты, третий ящик содержит один шар, в четвёртом и пятом ящиках лежит по два шара. Переложим один шар из первого ящика во второй и изобразим таким же образом ещё два результата размещения:

| . . | . | . | . . | . . | | . | | | | | | | | . . . . . . . . . |

Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шары и перегородки, или расставляя k шаров на n-1+k местах. Число n-1+k получается так: у n ящиков есть ровно n+1 перегородка, считая крайние, но из них перемещать можно лишь n-1 внутреннюю перегородку. Таким образом, имеется n-1+k мест, которые можно занять шарами либо внутренними перегородками. Перебрав все возможные способы расставить k шаров на этих n-1+k местах (заполняя оставшиеся места перегородками), переберем все нужные размещения.

Осталось заметить, что способов расставить k шаров на n-1+k местах существует

Именно столько есть способов выбрать из n-1+k номеров мест k номеров мест для шаров.

studfiles.net

выбор с возвращением и без учета порядка

Теорема 5.

Общее количество выборок в схеме выбора  элементов из  с возвращением и без учета порядка определяется формулой

4. Теорема сложения вероятностей.

Рассмотрим теоремы, позволяющие вычислить вероятность появления события А или В в результате одного испытания, т.е. вероятность суммы этих событий А+В. Возможны два случая: события совместны и несовместны.

 Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство:

Число всех исходов N, число исходов благоприятствующих событию  А- К, событию В- L. Так как А и В несовместны, то ни  один из этих исходов не может благоприятствовать А и В одновременно, т.е. А и В взаимно исключающие, следовательно число благоприятствующих исходов для события А+В равно К+L. Тогда вероятность равна

  

 Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Доказательство:

Всего исходов N, благоприятствующих событию А- К, событию В- L, совместному появлению А и В- М. Следовательно, благоприятных исходов для события А+В : K+L—M. Откуда вероятность события А+В:

  

4. Сумма и произведение совместных событий и их геометрическая интерпретация.

 Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А или события В или их вместе.

 

хотя бы одно из событий А или В. С=А+В Геометрическая интерпретация

u– множество исходов некоторого опыта.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном появлении события А и В. С=А*В

Разностью событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А и не появлении события В С=А\В.

Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое. . А+=U A*=V–невозможно.

4. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей.

Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

р (АВ) =р (А) ·р (В/А). (2.6)

Доказательство.

Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством возможных исходов нужно считатьт_А (так какАпроизошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли иА, иВ(т_АВ ). Следовательно,

откуда следует утверждение теоремы.

Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность событияВА, совпадающего с событиемАВ, то получим, чтор (ВА) =р (В) ·р (А/В). Следовательно,

р (А) ·р (В/А) =р (В) ·р (А/В). (2.7)

Событие Вназываетсянезависимым от событияА, если появление событияАне изменяет вероятностиВ, то естьр (В/А) =р(В).

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий, в противном случае события называют зависимыми.

Если событие Вне зависит отА, то иАне зависит отВ. Действительно, из (2.7) следует при этом, чтор (А) ·р (В) =р (В) ·р (А/В), откудар (А/В) =р (А). Значит,свойство независимости событий взаимно.

Теорема умножения для независимых событий имеет вид:

р (АВ) =р (А) ·р (В) , (2.8)

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероят-ностей.

При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.

studfiles.net

Схема выбора с возвращением.

 

Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.

Вычисляются по формуле

.

 

Пример 10. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 2, 5, 7, 8?

Решение. Все пятизначные числа, составленные из заданных цифр, могут отличаться либо порядком их следования, либо самими цифрами, следовательно, они являются размещениями из 4-х элементов по 5 с повторениями.

= 4⁵= 1024 (этот результат можно получить, используя правило умножения).

 

Если при выборке элементов из элементов множества элементы возвращаются, но не упорядочиваются, то говорят, что это сочетания с повторениями.

 

.

 

Пример 11. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трех сортов?

Решение. Рассматриваемое множество состоит из трех различных элементов, а выборки имеют объем, равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трех элементов по 5 в каждом. По формуле имеем

 

Пусть во множестве из элементов есть различных элементов, при этом 1-ый элемент повторяется раз, второй элемент – раз,…, -тый элемент – раз, причем . Перестановки из элементов данного множества называют перестановками с повторениями из элементов

 

Пример 12. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3,3,5,5,8?

Решение. Всего элементов 5 ( ).

Первый элемент 3 повторяется 2 раза, следовательно,

.

Второй элемент 5 повторяется 2 раза,

Третий элемент 8 повторяется 1 раз,

 

 

Похожие статьи:

poznayka.org

Элементы комбинаторики. Модели случайного выбора

Вопросы, которые рассматриваются в этом параграфе, не имеют особого значения с точки зрения общей теории, так как здесь изучается некоторая частная модель, связанная с классическим определением вероятности. Но модели случайного выбора широко используются в экономике, социологии, демографии и других науках. В силу этого они очень важны с практической точки зрения.

Как мы видели выше, при классическом определении вероятности нам нужно решить две задачи: вычислить число всех элементарных исходов и число благоприятных исходов для события А. Обычно это сводится к подсчету того, сколькими способами может быть выполнено некоторое действие, т. е. сколько существует вариантов. Задачами такого типа занимается специальный раздел математики, называемыйкомбинаторикой. Мы начнем изучение основ комбинаторики с одной элементарной, но очень полезной леммы.

Лемма 1 (умножения). Пусть некоторое действие осуществляется в два этапа. На первом этапе мы имеем вариантов его осуществления, а на втором, независимо от того, что произошло на первом этапе,- вариантов. Тогда общее число вариантов осуществления такого действия равно

Доказательство этой леммы сводится к установлению взаимно однозначного соответствия между двухэтапными вариантами и клетками таблицы размера

Нас в основном будут интересовать задачи комбинаторики, которые можно сформулировать в терминах выбора некоторого количества предметов из заданной совокупности При этом необходимо учитывать два обстоятельства: как производился выбор и как фиксировался результат выбора. В первом случае мы имеем два варианта: выбор с повторением, когда на каждом этапе выбранный предмет возвращается назад и выбор производится из одной и той же совокупности; выбор без повторения, когда выбранный на некотором шаге предмет уже не используется в дальнейшем. При фиксации результата мы также имеем два варианта: с учетом порядка (в этом случае мы знаем, какие выбраны предметы и в каком порядке) и без учета порядка (здесь мы знаем только, какие были выбраны предметы, но не имеем информации о порядке их появления). Имея в виду вероятностные и статистические применения рассматриваемых задач, мы будем называть результат выбора элементарным исходом или выборкой. Число элементов в выборке называется ееобъемом. Рассмотрим несколько стандартных примеров.

Определение 1. Размещением с повторением изэлементов по называется произвольная упорядоченная выборка с возвращением, объемаиз совокупности

В этом случае , где. Используя лемму

умножения, легко подсчитать, что число различных элементарных исходов будет равно

Определение 2. Размещением (без повторения) из элементов по называется произвольная упорядоченная выборка без возвращения объема из совокупности

Здесь . Вновь по лемме

умножения получаем ,что число различных размещений равно

Если , то такое размещение называется перестановкой. Число различных перестановок элементов равно

Определение 3. Сочетанием (без повторений) из элементов по называется произвольная неупорядоченная выборка без возвращения объема из совокупности

В этом случае мы отмечаем только, какие именно элементы вошли в эту выборку, и не учитываем порядок их появления. Поэтому для каждого элемента достаточно указать, входит он в выборку или нет. Таким образом, , где , если входит в выборку , и равно 0 в противном случае. Из каждого сочетания, переставляя его элементы, мы получаем различных размещений. В силу этого число сочетаний в раз меньше числа размещений, т. е.

Определение 4. Сочетанием с повторением из элементов по называется произвольная неупорядоченная выборка с возвращением объема из совокупности

Так как теперь один элемент может входить в выборку несколько раз, то элементарный исход имеет вид , где означает, что элемент входит в выборку раз. Для подсчета числа таких выборок применим следующий вспомогательный прием. Выпишем сначала все элементы , затем и так далее. Между элементами разных типов поставим перегородки. Таким образом, мы имеем элементов и перегородку. Если каких-то элементов нет, то перегородки стоят рядом. Для задания сочетания с повторением достаточно расставить перегородку на возможных мест без учета порядка. Это можно сделать способами.

Рассмотрим два важных с практической точки зрения примера.

Пример 1. Пусть мы имеем некоторую совокупность, содержащую предметов, из которых — одного типа и — другого типа. С возвращением выбираем предметов из этой совокупности. Найти вероятность события того, что среди них будет предметов первого типа.

Так как выбор осуществляется с возвращением, то мы имеем всего различных элементарных исходов в этой задаче. Благоприятные исходы легче пересчитать, используя следующее замечание. Сначала мы должны выбрать, на каких шагах мы будем отбирать предметы первого типа. Это можно сделать способами. Затем на каждом из этих шагов мы имеем вариантов, а на остальных- вариантов. По лемме умножения число благоприятных исходов будет равно . Если обозначить через долю предметов первого типа во всей совокупности, то получим

Пример 2. Пусть мы имеем ту же задачу, что и в примере 1, но выбор осуществляется без возвращения.

В этом примере удобнее фиксировать результат без учета порядка следования элементов. Тогда общее число элементарных исходов . Для получения благоприятного исхода нужно в два этапа набрать элементов первого типа (из ) и элементов второго типа (из ), т. е. по лемме умножения . Тогда по классическому определению вероятности получаем

Задача 1. Пусть в примере так что (0,1), а и — фиксированы. Тогда

Таким образом, в этом случае выбор с возвращением и выбор без возвращения эквивалентны. Легко понять, почему так получилось. Дело в том, что для больших совокупностей удаление небольшого числа элементов не меняет практически пропорций, т. е. мы имеем на каждом шаге выбор из той же совокупности.

Пример 3. В некотором городе живет 100 ООО человек, среди которых 60 ООО женщин. Для проведения социологического обследования производят выборку объема 500. Найти вероятность того, что среди них будет 300женщин.

Так как отбор 500 человек не изменит существенно пропорций, то можно считать, что мы имеем выбор с возвращением. Здесь

. Тогда

Примеры 1 и 2 можно обобщить на случай выбора из совокупностей, где есть предметы типов

itteach.ru

МЕДІАНА ТРИКУТНИКА ТА Її ВЛАСТИВОСТІ.

МЕДІАНА  ТРИКУТНИКА ТА Її ВЛАСТИВОСТІ.

 Медіана трикутника.

Медіаною трикутника називають відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

На малюнку 206 відрізок АМ₁ — медіані трикутника АВС. Точку М₁ називають основою медіани. Будь-який трикутник має три медіани. На малюнку 208 відрізки АМ₁, ВМ₂ і СМ₃ — медіани трикутника АВС.

  Медіана трикутника – це відрізок, що з’єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони. Трикутник має три медіани, які прийнято позначати m_а, m_b, m_с. Запам’ятаємо, що з вершини А виходить медіана m_а, з вершини В виходить медіана m_b, з вершини С виходить медіана m_с..      Зауваження.  Правильність побудови трьох медіан в трикутнику можна перевірити за їх властивістю перетину в одній точці, яка знаходиться всередині трикутника. Властивості медіан: 1.Кожна медіана трикутника лежить всередині трикутника, а в точці перетину медіан  ділиться на частини рахуючи від вершини, як  2:1. тобто довша частинка медіани вдвічі більша , ніж коротша частинка, яка  становить третю частинку від усієї довжини  медіани.

2. Завжди  можна відновити трикутник за трьома його медіанами.
3. Якщо відомі довжини трьох сторін трикутника, то можна  знайти довжини трьох медіан цього трикутника за такими формулами.                       

4. Точку перетину медіан трикутника називають іноді центр маси трикутника. 5.Якщо з’єднати точку перетину медіан трикутника з вершинами, то трикутник розбивається на три рівновеликі трикутники, тобто у цих трикутників рівні площі. 6. Медіана прямокутного трикутника, що проведена до найдовшої сторони, рівна половині цієї сторони та розділяє прямокутний трикутник на два рівнобедрені трикутники. 7.Кожна медіана трикутника розрізає його на два рівновеликих трикутника. 8. Площа трикутника, що складений з медіан даного трикутника, рівна три чверті площі даного трикутника. 9.Сума трьох векторів, що виходять з точки перетину медіан до вершин трикутника , рівна нулю. 10.Точка перетину медіан при проектуванні трикутника на площину переходить в точку перетину медіан спроектованого трикутника. Зазначимо, що такою властивістю не володіють точки перетину бісектрис та висот. 11.Завжди існує трикутник, сторони якого рівні та паралельні медіанам даного трикутника. 

Властивість медіан трикутника:

У будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці (вона називається центроїдом трикутника) і в цій точці поділяються у відношенні 2:1, починаючи від вершини.

На малюнку 207 точка М — центроїд трикутника.

Тоді 

Довжину медіани трикутника m_а проведену до сторони а, можна знайти за формулою:

де b і с — сторони трикутника, між якими проходить медіана.

Приклад. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана, що проведена до бічної сторони — 5 см. Знайдіть довжини бічних сторін. Розв’язання. За умовою основа а = 4 см, m_а = 5 см. Позначимо бічні сторони b = с = х. Тоді маємо:  х = 6 (враховуючи х > 0 ). Отже, довжина бічної сторони 6 см. 

geom7klass.blogspot.com

Медіана трикутника

Слово «медіана» перекладається як «рівноподіляюча сторону». Щоб побудувати медіану, треба середину сторони трикутника з’єднати відрізком з протилежною вершиною трикутника. Отриманий відрізок і є медіана трикутника.
Медіана трикутника — відрізок, проведений з вершини трикутника, що з’єднує цю вершину з серединою протилежної сторони трикутника.

На малюнку червоним кольором позначена медіана CK. При цьому вона ділить сторону AB трикутника навпіл, AK = KB.

Властивості медіани

Всі медіани трикутника перетинаються в одній точці, розташованій в площині трикутника і що є його центром ваги.

Для визначення цієї точки досить побудувати дві медіани трикутника, і точка їх перетину належатиме третьої медіані цього трикутника.

• Точкою перетину медіан трикутника кожна медіана ділиться у відношенні 2:1, рахуючи від вершини трикутника. Тобто довжина відрізка медіани від вершини трикутника до точки перетину медіан становить 2/3 всієї її довжини, а від точки перетину медіан до сторони трикутника — 1/3 її довжини.
• Медіана розбиває трикутник на два рівновеликих (по площі) трикутника.
• Трикутник ділиться трьома медианами на шість рівновеликих трикутників.
• З сегментів, які формують медіани, можна скласти трикутник, площа якого буде дорівнює 3/4 від всього трикутника. Довжини медіан задовольняють нерівності трикутника.
• У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини з прямим кутом, дорівнює половині гіпотенузи.
• Більшій стороні трикутника відповідає менша медіана.
• У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса і висота, проведені до основи трикутника, збігаються.
• У рівностороннього трикутника всі три «помітні» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «помітні» точки (точки ортоцентра, центру ваги і центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «помітних» ліній, тобто теж збігаються.

Середня лінія трикутника

Відрізок, проведений через основи двох будь-яких медіан трикутника, є його середньою лінією.

Середня лінія трикутника з’єднує дві точки решт медіан, що лежать на сторонах трикутника

Середня лінія трикутника завжди паралельна тій стороні трикутника, з якої вона не має спільних точок.
Середня лінія трикутника дорівнює половині довжини того боку трикутника, якої вона паралельна.

profmeter.com.ua

Медіана трикутника

Медіана і висота трикутника — це одна з найбільш захоплюючих і цікавих тем геометрії. Термін «Медіана» означає пряму або відрізок, який з’єднує вершину трикутника з його протилежною стороною. Іншими словами, медіана — це лінія, яка проходить з середини однієї сторони трикутника в протилежну вершину цього ж трикутника. Оскільки у трикутника тільки три вершини і три сторони, значить і медіани може бути тільки три.

Властивості медіани трикутника

1. Все медіани трикутника перетинаються в одній точці і розділяються цією точкою в співвідношенні 2: 1, рахуючи від вершини. Таким чином, якщо намалювати в трикутнику всі три медіани, то точка їх перетину буде ділити їх на дві частини. Частина, яка розташовується ближче до вершини, становитиме 2/3 всієї лінії, а частина, яка розташовується ближче до сторони трикутника — 1/3 лінії. Перетинаються медіани в одній точці.
2. Три медіани, проведені в одному трикутнику, ділять цей трикутник на 6 маленьких трикутників, чия площа буде дорівнює.
3. Чим більше сторона трикутника, від якої виходить медіана , тим менше ця медіана. І навпаки, найкоротша сторона має найдовшу медіану.
4. Медіана в прямокутному трикутнику має ряд власних характеристик. Наприклад, якщо навколо такого трикутника описати коло, яка проходитиме через усі вершини, то медіана прямого кута, проведена до гіпотенузи, стане радіусом описаного кола (тобто її довжина становитиме відстань від будь-якої точки окружності до її центру).

Рівняння довжини медіани трикутника

Формула медіани виходить з теореми Стюарта і говорить, що медіана — це квадратний корінь з відносини квадратів суми сторін трикутника, які утворюють вершину, за вирахуванням квадрата сторони, до якої проведена медіана до чотирьох. Іншими словами, щоб дізнатися довжину медіани потрібно звести в квадрат показники довжини кожної сторони трикутника, а потім записати це у вигляді дробу, в чисельнику якого буде сума квадратів сторін, які утворюють кут, звідки виходить медіана, мінус квадрат третьої сторони.

В якості знаменника тут виступає цифра 4. Потім з даннойдробі потрібно витягти корінь квадратний, і тоді ми отримаємо довжину медіани.

Точка перетину медіан трикутника

Як ми писали вище, всім медіани одного трикутника перетинаються в одній точці. Цю точку називають центром трикутника. Він ділить кожну медіану на дві частини, довжина яких співвідноситься як 2: 1. При цьому центр трикутника є і центром описаної навколо нього кола. А інші геометричні фігури мають власні центри.

Координати точки перетину медіан трикутника

Щоб знайти координати перетину медіан одного трикутника, скористаємося властивістю центроїда, згідно з яким він ділить кожну медіану на відрізки 2: 1. Позначаємо вершини як як A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3),

і обчислюємо координати центру трикутника за формулою: x0 = (x1 + x2 + x3)/3; y0 = (y1 + y2 + y3)/3.

Площа трикутника через медіану

Всі медіани одного трикутника ділять цей трикутник на 6 рівних трикутників, а центр трикутника ділить кожну медіану у співвідношенні 2: 1. Тому якщо відомі параметри кожної медіани, можна обчислити і площа трикутника через площу одного з маленьких трикутників, а потім збільшити цей показник у 6 разів.

У випадку з прямокутним трикутником чинимо так. Навколо трикутника описуємо коло, а ще одну вписуємо в нього. Пам’ятаємо, що площа трикутника дорівнює сумі квадрата радіуса внутрішньої окружності і подвійного добутку радіуса описаної і вписаного кола. При цьому, радіус описаної дорівнює довжині медіани, яка йде до середини гіпотенузи. А радіус вписаного обчислюємо через властивість центру трикутника ділити кожну медіану на дві частини у співвідношенні 2: 1. Всі отримані значення вставляємо в формулу і отримуємо площа прямокутного трикутника.

olympica.com.ua

Медіана трикутника

Трикутник і його медіани.

Медіана трикутника ( лат. mediāna — Середня) — відрізок усередині трикутника, що з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони, а також пряма, що містить цей відрізок.

1. Властивості

• Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається центроїдів, і діляться цією точкою на дві частини у відношенні 2:1, рахуючи від вершини.
• Трикутник ділиться трьома медианами на шість рівновеликих трикутників.
• Більшій стороні трикутника відповідає менша медіана.
• З векторів, що утворюють медіани, можна скласти трикутник.
• При афінних перетвореннях медіана переходить в медіану.
• Медіана трикутника ділить його на дві рівновеликі частини.
• Медіана трикутника є чевіаной

2. Формули

, Де m _c — медіана до сторони c; a, b, c — сторони трикутника,

тому сума квадратів медиан довільного трикутника завжди в 4 / 3 рази менше суми квадратів його сторін.

• Формула боку через медіани:

, Де m _a, m _b, m _c медіани до відповідних сторонам трикутника, a, b, c — Сторони трикутника.

Якщо дві медіани перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, в 5 разів більше квадрата третьої сторони.

Медіана, це така мавпа, яка опускається на бік і ділить її порівну

МЕДІА — мавпа
У якій гостре око,
Стрибне точно в середину
Сторони проти вершини,
Де знаходиться зараз.

Полегшує запам’ятовування формулювання. Найчастіше вживається дітьми.

Примітки

znaimo.com.ua

Медіана трикутника — Howling Pixel

Медіа́на — в геометрії, відрізок, який з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони

Властивості

• Медіани трикутника перетинаються в точці, яка є його центром мас.
• Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами, а три проведені медіани — на шість рівновеликих.
• В точці перетину медіани трикутника діляться у відношенні 2:1.
• Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
• При афінному перетворенні площини медіана трикутника переходить в медіану.
• Якщо дві медіани трикутника перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, у п’ять разів більша за квадрат третьої сторони, тобто, якщо mb⊥mc{\displaystyle m_{b}\perp m_{c}}, то b2+c2=5a2{\displaystyle b^{2}+c^{2}=5a^{2}}.

Формули

Див. також

Джерела

• Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
• Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
• Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с. — ISBN 5-330-02081-6
• Кушнір І. А. Повернення втраченої геометрії / І. Кушнір. — Київ: Факт, 2000. 280 с. ISBN 966-7274-75-5

Висота трикутника

Висота́ трику́тника — відрізок, проведений з вершини трикутника до прямої, яка містить сторону протилежну вершині та перпендикулярний до неї. Висотою також називають довжину висоти трикутника, тобто відстань від вершини до протилежної сторони. Основою висоти називається точка перетину висоти та прямої, яка містить протилежну сторону.

Висоту використовують для обчислення площі трикутника. Вона дорівнює половині добутку довжини висоти на довжину основи, тобто протилежної сторони:

S=12ah,{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah,}

де a,h{\displaystyle a,\,h} — відповідно довжина сторони та висота трикутника (h{\displaystyle h} від англ. height), опущена на цю сторону. Отже, найдовша висота трикутника буде лежати навпроти найкоротшої сторони трикутника. Висота пов’язана з довжинами сторін трикутника тригонометричними функціями.

У рівнобедреному трикутнику (трикутнику, в якому дві сторони конгруентні), висота, проведена до неконгруентної сторони, потрапляє у середню точку цієї сторони. Також, ця висота буде бісектрисою кута трикутника, з вершини якого вона проведена.

В прямокутному трикутнику висота, опущена на гіпотенузу ділить її на два відрізки довжини m і n. Якщо довжину висоти позначити через hc{\displaystyle h_{c}}, то отримаємо співвідношення:

hc=mn{\displaystyle h_{c}={\sqrt {mn}}}  (середнє геометричне)

В гострокутному трикутнику всі три висоти лежать всередині трикутника. В тупокутному трикутнику дві висоти опускаються на продовження сторін та лежать поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику дві висоти збігаються з катетами цього трикутника.

Три висоти або їх продовження, перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника. Ортоцентр буде лежати всередині трикутника (і відповідно всі основи перпендикулярів лежать в трикутнику) тоді і тільки тоді, якщо трикутник не тупокутний (в ньому жоден з внутрішніх кутів не більший за прямий кут).

Ортоцентр

Ортоцентр (від грец. ορθοξ — прямий) — точка перетину висот трикутника або їх продовжень. Інакше: ортоцентром називається точка перетину прямих, що містять висоти трикутника. Зазвичай ортоцентр позначають великою латинською літерою H{\displaystyle H}.

В гострокутному трикутнику ортоцентр лежить всередині трикутника. В тупокутному — поза межами трикутника. В прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Трикутник

Трику́тник у евклідовій геометрії — геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що їх сполучають. Трикутник з вершинами A, B, і C позначається ABC. Трикутник є многокутником і 2-симплексом. В евклідовій геометрії трикутник однозначно задає площину. Всі трикутники двовимірні.

Основні відомості про трикутники були наведені Евклідом в його праці «Елементи» біля 300 до н. е.

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

howlingpixel.com

Медiана прямокутного трикутника

Примітка. У даному уроці викладено теоретичні матеріали і рішення завдань з геометрії на тему «медіана у прямокутному трикутнику». Якщо Вам необхідно вирішити завдання з геометрії, якої тут немає — пишіть про це у форумі. Майже напевно курс буде доповнено.

См. также этот урок на русском языке.

Властивості медіани прямокутного трикутника 

Визначення медiани

Медіаною трикутника називається відрізок, що з’єднує один з кутів трикутника з серединою протилежної йому сторони. (медіаною також називають пряму, що містить даний відрізок)

• Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться цією точкою на дві частини у відношенні 2:1, рахуючи від вершини кута. Точка їх перетину називається центром тяжіння трикутника (відносно рідко у завданнях для позначення цієї точки використовується термін «центроїд»)
• Медіана розбиває трикутник на два рівновеликих трикутника
• Трикутник ділиться трьома медианами на шість рівновеликих трикутників
• Більшої сторони трикутника відповідає менша медіана.

Задачі з геометрії, пропоновані для вирішення, в основному, використовують наступні властивості медіани прямокутного трикутника:

• Сума квадратів медіан, опущених на катети прямокутного трикутника дорівнює п’яти квадратах медіани, опущеною на гіпотенузу (формула 1)
• Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи (формула 2)
• Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколо прямокутного трикутника (формула 3)
• Медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює половині квадратного кореня з суми квадратів катетів (формула 4)
• Медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від ділення довжини катета на два синуса противолежащего катету гострого кута (формула 5)
• Медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від ділення довжини катета на два косинуса прилеглого катету гострого кута (формула 6)
• Сума квадратів сторін прямокутного трикутника дорівнює восьми квадратах медіани, опущеною на його гіпотенузу (формула 7)

Позначення в формулах:
a, b — катети прямокутного трикутника
c — гіпотенуза прямокутного трикутника
Якщо позначити трикутник, як ABC, то

ВС = а

AC = b

AB = c

(тобто сторони a,b,c — є протилежними відповідним кутам)

m_a — медіана, проведена до катету а 

m_b — медіана, проведена до катету b

m_c — медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи с

α (альфа) — кут CAB, протилежний стороні а

Задача про медіану у прямокутному трикутнику

Медіани прямокутного трикутника, проведені до катетам, дорівнюють, відповідно, 3 см і 4 див. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Рішення. 

Перш ніж розпочати вирішення завдання, звернемо увагу на співвідношення довжини гіпотенузи прямокутного трикутника і медіани, яка опущена на неї. Для цього звернемося до формулами 2, 4, 5 властивостей медіани в прямокутному трикутнику. В цих формулах явно вказано співвідношення гіпотенузи і медіани, яка на неї опущена як 1 до 2. Тому,для зручності майбутніх обчислень (що ніяк не вплине на правильність рішення, але зробить його більш зручним), позначимо довжини катетів AC і BC через змінні x та y як 2x і 2y (а не x і y). 

Розглянемо прямокутний трикутник ADC. Кут C у нього прямий за умовою задачі, катет AC — загальний з трикутником ABC, а катет CD дорівнює половині BC згідно властивостям медіани. Тоді, по теоремі Піфагора  

AC² + CD² = AD²

Оскільки AC = 2x, CD = y (так як медіана ділить катет на дві рівні частини), то
4x² + y² = 9 

Одночасно, розглянемо прямокутний трикутник EBC. У нього також кут З прямою за умовою задачі, катет BC є спільним з катетом BC вихідного трикутника ABC, а катет EC за властивістю медіани дорівнює половині катета AC вихідного трикутника ABC.
По теоремі Піфагора:
EC² + BC²  = BE²

Оскільки EC = x (медіана ділить катет навпіл), BC = 2y, то
x² + 4y²  = 16

Так як трикутники ABC, EBC і ADC пов’язані між собою загальними сторонами, то обидва отриманих рівняння також пов’язані між собою.
Розв’яжемо отриману систему рівнянь.
4x² + y² = 9
x² + 4y²  = 16 

Складемо обидва рівняння (втім, можна було вибрати і будь-який інший спосіб рішення).
5x² + 5y² = 25  
5( x² + y² ) = 25
x² + y² = 5 

Звернемося до вихідного трикутника ABC. За теоремою Піфагора
AC² + BC²  = AB²

Так як довжина кожного з катетів нам «відома», ми прийняли, що їх довжина дорівнює 2x і 2y, тобто
4x² + 4y² = AB²
Так як обидва доданки мають спільний множник 4, винесемо його за дужки    
4 ( x² + y² ) = AB²  
Чому дорівнює  x² + y² ми вже знаємо (див. вище x² + y² = 5), тому просто підставимо значення замість  x² + y² 

AB² = 4 х 5
AB² = 20
AB = √20 = 2√5  

Відповідь: довжина гіпотенузи дорівнює 2√5     

profmeter.com.ua

Перетин медіан трикутника

07.07.2015

Існує теорема про те, що медіани трикутника перетинаються в одній точці, і ця точка ділить кожну медіану в співвідношенні 2:1, де 2 відповідає відрізку від вершини, з якої проведена медіана, до точки перетину медіан, а 1 відповідає відрізку від точки перетину медіан до середини сторони, до якої проведена медіана.

Щоб довести цю теорему, розглянемо трикутник ABC з медіанами AE, BF, CD. Тобто точки D, E, F ділять навпіл сторони AB, BC, CA відповідно.

Нам не відомо, чи перетинаються всі медіани в одній точці (це ще потрібно довести). Однак будь-які дві медіани перетнуться в одній точці, тому що не можуть бути паралельні. Нехай медіани AE і BF перетинаються в точці O.

Перетин двох медіан трикутника

Медіана BF ділить медіану AE на два відрізки AO і EO. Проведемо через точку E пряму, паралельну BF. Ця пряма перетне сторону AC в якійсь точці L. Також проведемо через середину відрізка AB (точку D) ще одну паралельну до BF пряму. Вона перетне AC в точці K.

Згідно з теоремою Фалеса, якщо на одній стороні кута від його вершини відкласти послідовно рівні відрізки і провести через кінці цих відрізків паралельні прямі, які перетинають іншу сторону кута, то ці паралельні прямі відсічуть на другій стороні кута також рівні між собою відрізки.

Подивимося на кут BCA даного трикутника. Відрізки BE і EC рівні між собою, прямі BF і EL паралельні один одному. Тоді згідно теоремі Фалеса CL = LF.
Якщо ж подивитися на кут BAC, так як AD = BD і DK || BF, то AK = KF.

Так як відрізки AF і CF рівні між собою (так як Їх утворює медіана) і кожен з них ділиться на два рівних відрізка, то всі чотири відрізка боку AC рівні між собою: AK = KF = FL = LC.

Розглянемо кут EAC. Через кінці трьох рівних відрізків боку AC проведені паралельні прямі. Отже, вони відсікають на стороні AE рівні між собою відрізки. Відрізок AO містить в собі два таких відрізка, а EO тільки один. Таким чином, ми довели, що як мінімум одна медіана трикутника точкою перетину з іншою медіаною ділиться на два відрізки, довжини яких співвідносяться як 2:1.

Тепер розглянемо перетин медіани AE з медіаною CD. Нехай вони перетинаються в точці P.

Аналогічно попередньому, доводиться, що паралельні прямі FM, CD, EN ділять сторону AB на рівні відрізки. У свою чергу вони ж ділять AE на три рівних відрізка. Причому від вершини A до перетину медіан два таких відрізка, а після – один.

Один і той же відрізок можна розділити на три рівні частини так, щоб при одному варіанті поділу вони були одного розміру, а при іншому – іншого. Тому точки O і P повинні збігатися. Це означає, що всі три медіани трикутника перетинаються в одній точці.

Щоб довести, що дві інші медіани діляться точкою перетину у співвідношенні 2:1, можна аналогічно попередньому провести паралельні прямі до сторін AB і BC.

« Перетин висот трикутника Симетричні фігури »

moyaosvita.com.ua

Проекция точки на прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀) и прямая L:

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L₁.

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

Подставим значения x и y в (4):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’.

Пример 1. Найти проекцию точки M₀(1, 3) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (6) имеет вид:

Т.е. m=4, p=5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x’=2, y’=-3. Подставим значения m, p, x₀, y₀, x’, y’ в (5′):

Подставляя значение t в (5), получим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(1, 3) на прямую (6) является точка:

 

2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и прямая L:

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (7)(Рис.2).

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (8) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (7):

Подставим значения x и y в (9):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (9). Следовательно, подставляя значение t’ в (10) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’, z₁=lt’+z’.

Пример 2. Найти проекцию точки M₀(3, −1, −2) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (11) имеет вид:

Т.е. m=2, p=3, l=−4. Из уравнения прямой (11) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(2, 1, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (11) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=2, y’=1, z’=1. Подставим значения m, p, l x₀, y₀, z₀ x’, y’, z’ в (10′):

Подставляя значение t=t’ в (10), получим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(3, −1, −2) на прямую (11) является точка:

matworld.ru

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M₀ на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M₀ и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M₀ на плоскость (1).

Пример 1.Найти проекцию M₁ точки M₀(4, -3, 2) на плоскость

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

т.е. A=5, B=1, C=−8.

Координаты точки M₀: x₀=4, y₀=−3, z₀=2.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

Из выражений (7) находим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

matworld.ru

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны: координаты трех точек лежащих на плоскости.координаты вектора нормали и точки лежащей на плоскости.

Введите данные:

Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

• Если заданы координаты трех точек A(

  x

  ₁,

  y

  ₁,

  z

  ₁), B(

  x

  ₂,

  y

  ₂,

  z

  ₂) и C(

  x

  ₃,

  y

  ₃,

  z

  ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

  x  —  x 1		y  —  y 1		z  —  z 1	= 0
  x 2 —  x 1		y 2 —  y 1		z 2 —  z 1
  x 3 —  x 1		y 3 —  y 1		z 3 —  z 1

  
  
• Если заданы координаты точки A(

  x

  ₁,

  y

  ₁,

  z

  ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали

  n

  = {A; B; C} то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле A(

  x

  —

  x

  ₁) + B(

  y

  —

  y

  ₁) + C(

  z

  —

  z

  ₁) = 0

Подробная информацию об уравнении плоскости.

o-math.com

Координаты проекции точки на плоскость и на прямую.Расстояние от точки до плоскости и до прямой.

Координаты проекции точки на плоскость.

Плоскость ABC задана координатами трёх её точек

Задана точка

Точка M является проекцией точки S на плоскость ABC:

Найти координаты точки M

Координаты векторов

По условию, так как прямые AB и AC не параллельны, векторное произведение векторов

Равно нулю смешанное произведение векторов

Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, перпендикулярна этой плоскости

Равны нулю скалярные произведения:

Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными xm, ym, zm:

Введём обозначения

Определитель этой системы отличен от нуля:

Система имеет единственное решение:

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между точкой S и плоскостью ABC может быть найдено по формуле:

Расстояние между точкой S и плоскостью ABC может быть найдено вторым способом, как высота параллелепипеда, сторонами которого являются [AB] и [AC], а боковым ребром является [AS].

Векторное произведение векторов AB и AC имеет координаты:

Модуль векторного произведения векторов AB и AC:

Модуль смешанного произведения векторов AS, AB, AC:

Расстояние между точкой S и плоскостью ABC может быть найдено по формуле:

Координаты проекции точки на прямую.

Прямая AB задана координатами двух её точек

Задана точка

Точка K является проекцией точки S на прямую AB.

Найти координаты точки K

Для нахождения координат точки K используем условия:

1. Векторы AK и AB – коллинеарны, их координаты пропорциональны;
2. Векторы SK и AB ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю ;

Из первого уравнения

Подставляя xk, yk, zk во второе уравнение, находим t:

Координаты проекции точки S на прямую AB, то есть координаты точки K(xk, yk, zk):

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено по формуле:

Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено вторым способом, как высота параллелограмма, сторонами которого являются [AB] и [AS].

Векторное произведение векторов AB и AS имеет координаты:

Модуль векторного произведения векторов AB и AS:

Модуль вектора AB:

Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено по формуле:

Программа «Координаты проекции точки на плоскость, на прямую.
Расстояние от точки до плосоксти, до прямой».

Программа «Координаты проекции точки на плоскость, на прямую.
Расстояние от точки до плосоксти, до прямой».

Версия от 15 декабря 2012 года.

Выдаётся точное значение координат проекции точки на плосокость или прямую в виде несократимой рациональной дроби c/r.
Выдаётся точное значение расстояния от в виде c*sqrt(p)/r

Дробь c/r является несократимой рациональной дробью, а подкоренное выражение p не содержит в качестве своих делителей квадраты натуральных чисел.

Результат можно вывести в файл.

Для перевода курсора в следующее поле и вычисления результата используйте клавишу Enter.

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми.

На главную страницу.

ateist.spb.ru

28 — двадцать восемь. натуральное четное число. совершенное число. в ряду натуральных чисел находится между числами 27 и 29. Все о числе двадцать восемь.

1. Главная
2. О числе 28

28 — двадцать восемь. Натуральное четное число. Совершенное число. В ряду натуральных чисел находится между числами 27 и 29.

Like если 28 твое любимое число!

Распространенные значения и факты

28 регион — Амурская область

Столица

Благовещенск

Автомобильный код

28

Федеральный округ

Дальневосточный

Экономический район

Дальневосточный

Дата образования

20 октября 1932 г.

Территория

363,7 тыс. кв. км 2,13 % от РФ 14 место в РФ

Население

Общая численность 902,5 тыс. чел. 0,62 % от РФ 59 место в РФ

Изображения числа 28

Склонение числа «28» по падежам

Падеж	Вспомогательное слово	Характеризующий вопрос	Склонение числа 28
Именительный	Есть	Кто? Что?	двадцать восемь
Родительный	Нет	Кого? Чего?	двадцати восьми
Дательный	Дать	Кому? Чему?	двадцати восьми
Винительный	Видеть	Кого? Что?	двадцать восемь
Творительный	Доволен	Кем? Чем?	двадцатью восьмью
Предложный	Думать	О ком? О чём?	двадцати восьми

Перевод «двадцать восемь» на другие языки

Азербайджанский

iyirmi səkkiz

Албанский

njëzet e tetë

Английский

twenty eight

Арабский

ثمانية وعشرين

Армянский

քսան ութ

Белорусский

дваццаць восем

Болгарский

двадесет и осем

Вьетнамский

hai mươi tám

Голландский

achtentwintig

Греческий

είκοσι οχτώ

Грузинский

ოცდარვა

Иврит

עשרים ושמונה

Идиш

28

Ирландский

fiche is a hocht

Исландский

Tuttugu og átta

Испанский

veintiocho

Итальянский

ventotto

Китайский

28

Корейский

스물여덟

Латынь

viginti octo,

Латышский

divdesmit astoņi

Литовский

dvidešimt aštuonių

Монгольский

хорин найман

Немецкий

achtundzwanzig

Норвежский

Twenty Eight

Персидский

بیست و هشت

Польский

dwadzieścia osiem

Португальский

vinte e oito

Румынский

douăzeci și opt

Сербский

двадесет осам

Словацкий

dvadsať osem

Словенский

twenty osmih

Тайский

28

Турецкий

yirmisekiz

Украинский

двадцять вісім

Финский

kaksikymmentäkahdeksan

Французский

vingt-huit

Хорватский

dvadeset i osam

Чешский

dvacet osm

Шведский

tjugoåtta

Эсперанто

dudek ok

Эстонский

kahekümne kaheksale

Японский

28

Перевод «28» на другие языки и системы

Римскими цифрами

Римскими цифрами

XXVIII

Сервис перевода арабских чисел в римские

Арабско-индийскими цифрами

Арабскими цифрами

٢٨

Восточно-арабскими цифрами

۲۸

Деванагари

२८

Бенгальскими цифрами

২৮

Гурмукхи

੨੮

Гуджарати

૨૮

Ория

୨୮

Тамильскими цифрами

௨௮

Телугу

౨౮

Каннада

೨೮

Малаялам

൨൮

Тайскими цифрами

๒๘

Лаосскими цифрами

໒໘

Тибетскими цифрами

༢༨

Бирманскими цифрами

၂၈

Кхемерскими цифрами

២៨

Монгольскими цифрами

᠒᠘

В других системах счисления

28 в двоичной системе

11100

28 в троичной системе

1001

28 в восьмеричной системе

34

28 в десятичной системе

28

28 в двенадцатеричной системе

24

28 в тринадцатеричной системе

22

28 в шестнадцатеричной системе

1C

Известные люди умершие в 28 лет

• Емшанов, Никита Владимирович Российский актёр театра и кино; ДТП. Смерть наступила в 2011 году в 28 лет.
• The Rev Барабанщик американской группы Avenged Sevenfold 29 декабря Журов, Юрий Васильевич (75) Заслуженный деятель науки РФ, член-корреспондент РАО 30 декабря Шандыбин, Василий Иванович (68) депутат Государственной Думы РФ второго и третьего созывов (19952003) 30 декабря Вахид, Абдуррахман (69) бывший президент Индонезии (19992001) 30 декабря. Смерть наступила в 2009 году в 28 лет.
• Гордон, Люси Британская и французская киноактриса и фотомодель; самоубийство. Смерть наступила в 2009 году в 28 лет.
• Валентина Джованьини Известная итальянская певица; погибла в дорожно-транспортном происшествии. Смерть наступила в 2009 году в 28 лет.
• Луцци, Федерико Итальянский теннисист. Смерть наступила в 2008 году в 28 лет.
• Асрян, Карен Армянский гроссмейстер, чемпион Шахматной Олимпиады в Турине 2006 года; инфаркт. Смерть наступила в 2008 году в 28 лет.
• Леджер, Хит Австралийский актёр; интоксикация, к которой привела принятая актёром комбинация из гидрокодона (викодин), диазепама (валиум), темазепама, олпразолама (занакс) и доксиламина. Смерть наступила в 2008 году в 28 лет.
• Антонюк, Геннадий Васильевич Артист, танцор, звезда российского травести-шоу. Смерть наступила в 2007 году в 28 лет.
• Куценко, Андрей Сергеевич Украинский футболист, полузащитник. Смерть наступила в 2007 году в 28 лет.
• Нсофва, Часве Замбийский футболист, нападающий сборной Замбии. Смерть наступила в 2007 году в 28 лет.
• Туркин, Андрей Алексеевич Офицер Управления «В» («Вымпел») Центра специального назначения ФСБ РФ, лейтенант, погибший при освобождении заложников; Герой Российской Федерации (посмертно). Смерть наступила в 2004 году в 28 лет.
• Марк-Вивьен Фоэ Камерунский футболист. Смерть наступила в 2003 году в 28 лет.
• Жуков, Олег Евгеньевич (музыкант) Музыкант и певец, один из участников поп-группы Дискотека Авария. Смерть наступила в 2002 году в 28 лет.
• Бриджес, Элиза Американская фотомодель и киноактриса; передозировка героина 7 февраля Владимир Ляховицкий (76) российский актёр театра и кино. Смерть наступила в 2002 году в 28 лет.
• Кейн, Сара Английский драматург; покончила с собой (повесилась). Смерть наступила в 1999 году в 28 лет.
• Сорин, Игорь Владимирович Российский поэт, музыкант, артист, с 1995 по 1998 солист популярной группы «Иванушки International»; самоубийство. Смерть наступила в 1998 году в 28 лет.
• Гриньков, Сергей Михайлович Советский и российский фигурист, двукратный олимпийский чемпион. Смерть наступила в 1995 году в 28 лет.
• Алыджанов, Рафик Джафар оглы Азербайджанский офицер, Национальный герой Азербайджана. Смерть наступила в 1993 году в 28 лет.
• Ли, Брэндон Американский актёр, мастер восточных единоборств, единственный сын Брюса Ли; несчастный случай. Смерть наступила в 1993 году в 28 лет.
• Кулиев, Агиль Сахиб оглы Азербайджанский офицер, Национальный герой Азербайджана. Смерть наступила в 1992 году в 28 лет.

Все люди умершие в 28 лет (105)

QR-код, MD5, SHA-1 числа 28

Адрес для вставки QR-кода числа 28, размер 500×500:

http://pro-chislo.ruhttp://pro-chislo.ru//data/moduleImages/QRCodes/28/8399f7b345749e72947a99fdf6e32f0a.png

MD2 от 28

3c67ff1370ada6d4b89733d0fc60189a

MD4 от 28

e7d623a2e3ad02dac540cc96e95e0efe

MD5 от 28

33e75ff09dd601bbe69f351039152189

SHA1 от 28

0a57cb53ba59c46fc4b692527a38a87c78d84028

SHA256 от 28

59e19706d51d39f66711c2653cd7eb1291c94d9b55eb14bda74ce4dc636d015a

SHA384 от 28

40161b3cdbeffadee863b7e211c444f8e0f99fc051c1666c9fdd8a2aad1354dc1264f346b766064687b0ab6d8c441608

SHA512 от 28

edbd48c836f826b5ed8d62b401cd19674ef1b8627b9c68a4639819a8564f57426c632b7c1d3dee8209c48c2396da0a3a08d160617f7291a1186ca6d9de5db272

GOST от 28

71a088f2fb7aca8d97714e600c24f4a21b6d4beae80738a1cb58519ed0330f66

Base64 от 28

Mjg=

28й день в году

28й день в не високосном году — 28 января

Международный день мобилизации против ядерной войны

28й день в високосном году — 28 января

Математические свойства числа 28

Простые множители

2 * 2 * 7

Делители

1, 2, 4, 7, 14, 28

Количество делителей

6

Сумма делителей

56

Простое число

Нет

Предыдущее простое

23

Следующее простое

29

28е простое число

107

Число Фибоначчи

Нет

Число Белла

Нет

Число Каталана

Нет

Факториал

Нет

Регулярное число (Число Хемминга)

Нет

Совершенное число

Да

Полигональное число

треугольник(7), шестиугольник(4)

Квадрат

784

Квадратный корень

5.2915026221292

Натуральный логарифм (ln)

3.3322045101752

Десятичный логарифм (lg)

1.4471580313422

Синус (sin)

0.27090578830787

Косинус (cos)

-0.96260586631357

Тангенс (tg)

0.28142960456427

Фильмы про 28

28 спален (28 Hotel Rooms), 2011 год

Одна случайная встреча привела к одной случайной ночи. Ситуация вполне обыденная и не должна была окончиться чем-то серьёзным, особенно учитывая…

28 недель спустя (28 Weeks Later…), 2007 год

Прошлого полгода после эпидемии. Такая страна, как Британия, просто напросто опустошена, население вымерло напрочь. Чтобы оно вновь восстановилось, скажем так,…

28 дней (28 Days), 2000 год

Молодая, известная, богатая и красивая писательница Гвен Каммингс является большой любительницей спиртного, но при этом не теряет своего очарования. Девушка,…

Все фильмы о числе 28 (4)

Комментарии о числе 28

pro-chislo.ru

Нечетные числа — это… Что такое Нечетные числа?

Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19). Нуль считается чётным числом. ^[1]

Чётное число — целое число, которое делится без остатка на 2:   …−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…

Нечётное число — целое число, которое не делится без остатка на 2:   …−3, −1, 1, 3, 5, 7, 9…

Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов [0] и [1] по модулю 2.

Признак чётности

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.

Арифметика

• Сложение и вычитание:
  • Чётное ± Чётное = Чётное
  • Чётное ± Нечётное = Нечётное
  • Нечётное ± Чётное = Нечётное
  • Нечётное ± Нечётное = Чётное
• Умножение:
  • Чётное × Чётное = Чётное
  • Чётное × Нечётное = Чётное
  • Нечётное × Нечётное = Нечётное
• Деление:
  • Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
  • Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
  • Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
  • Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь, а чётные — Ян.

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

Примечания

1. ↑ «Чётные числа» в БСЭ.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

все нечётные числа до 100

1.3.5.7 и дальше по арифм прогрессии

а ноль это чётное/нечетное?

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 и тд все до 100, что не делятся на 2, через число

ноль это чётное хоть и оно не делится на 2

глупые 1 исключение начинают с трёх

нет, с 1начинают или с 0…

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,53,55,57,59,61,63,65,67,69,71,73,75,77,79,81,83,85,87,89,91,93,95,97,99,101,103,105,107,109,111,113,115 …(бесконечно много)

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 9

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 и 99 Было сложно

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 кароче надоело

Четное число — целое число, которое делится на 2 без остатка: −4,−2,0,2,4,6,8,10… Например 4 это четное число его можно разделить на 2. Это помогает в сложении. Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка: −3,−1,1,3,5,7,9

Я родился 27 октября 2002 года.

touch.otvet.mail.ru

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Ковариация и коэффициент корреляции

Пройденное нами математическое ожидание случайной величины есть (как было выяснено) ее среднее значение, т.е. центр, вокруг которого группируются значения случайной величины. Но для описания поведения с.в. недостаточно знать ее математическое ожидание. Например, случайные величины Х и Y с законами распределения

Х	−0.01	0.01
Р	1/2	1/2

имеют, как нетрудно посчитать, одинаковые средние значения: M(X)=M(Y)=0. Однако понятно, что поведение их совсем разное: значения с.в. Х тесно группируются вокруг своего среднего (центра), а значения с.в. Y разбросаны достаточно далеко от своего центра. Поэтому необходимо ввести еще одну числовую характеристику случайной величины (кроме математического ожидания), которая как раз бы и характеризовала степень уклонения этой величины от своего среднего значения. Попробуем.

Пусть имеется с.в. Х и пусть его среднее значение равно числу а : М(Х)= а . Надо характеризовать величину уклонения значений с.в. Х от среднего, т.е. от числа а. Можно ввести новую с.в. Y=Х−а , которая при каждом испытании будет нам показывать, на сколько и в какую сторону уклонилось значение с.в. Х от своего центра. Поэтому назовем с.в. уклонением случайной величины Х. Но нам удобнее было бы иметь для характеристики разброса не случайную величину, а только какое-нибудь одно число (как это было с математическим ожиданием). Какое? Казалось бы разумным в качестве такого числа взять среднее отклонение с.в. Х от своего центра, т.е. среднее значение уклонения Y, т.е. математическое ожидание с.в. Y. Посчитаем его, пользуясь свойствами математического ожидания:

М(Y) = М(Х−а) = М(Х) −М(а) = М(Х) −а = М(Х) −М(Х) = 0 !

(восклицательный знак здесь не факториал, а выражение эмоции). Итак, среднее значение уклонения любой случайной величины от своего среднего равно нулю, а потому не может быть взято в качестве меры отклонения различных случайных величин от своего среднего значения. Равенство нулю среднего отклонения от центра объясняется тем, что разные по знаку уклонения компенсируют друг друга (поэтому математическое ожидание действительно является центром случайной величины). Разумнее всего в качестве отклонения от центра взять не само уклонение, а его абсолютную величину, т.е. ввести случайную величину Y=|X−a|, которая при каждом испытании покажет абсолютную величину уклонения с.в. Х от своего среднего, а в качестве числовой характеристики разброса от с.в. Х от своего среднего взять среднее значение (т.е. математическое ожидание) этой величины Y, т.е. M(Y)=M(|X−a|). Это действительно было бы самым разумным, если бы не одно обстоятельство. Дело в том, что величина M(|X−a|), являясь действительно самой разумной мерой разброса, имеет мало хороших свойств, а потому неудобна как для практического применения, так для теоретических изысканий. В качестве компромиссного решения вопроса о мере уклонения с.в. от ее центра выбрано среднее значение квадрата отклонения, т.е. математическое ожидание случайной величины Y=(X−a)². Эта величина обладает многими приятными свойствами (о них ниже), но для того, чтобы характеризовать все же само среднее уклонении от центра (а не его квадрат), придется далее ввести еще одну числовую характеристику (среднее квадратическое отклонение − об этом тоже ниже).

Дисперсией случайной величины Х ( обозначается D(X) ) называется среднее значение квадрата отклонения с.в. Х от своего среднего значения a=M(X):

D(X)=М{[X−M(X)]²}=M((X−a)²).

Как уже было сказано, дисперсия характеризует не само среднее отклонение с.в. Х от ее центра, а средний квадрат такого отклонения. Чтобы получить все же аналог самого среднего отклонения, нужно извлечь квадратный корень из дисперсии. Тогда получим новую числовую характеристику случайных величин − среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х (обозначается σ(Х), σ − греческая буква «сигма») называется квадратный корень из ее дисперсии:

.

Отметим тот приятный факт, что (в отличии от дисперсии) среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Из формулы D(X)=М{[X−M(X)]²}, являющейся определением дисперсии, легко вывести следующую формулу

D(X)=М(X ²) − [M(X)]²,

которая более удобна для практического вычисления дисперсии. Вспоминая правило вычисления математического ожидания функции от случайной величины (в данном случае это М(X ²)), из этой формулы легко получить конкретные выражения для дисперсии как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Х	х1	х2	…	xn
Р	p1	p2	…	pn

1) Пусть Х – дискретная случайная величина с законом распределения

Тогда

.

2) Пусть Х – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности f(x). Тогда

.

Понятно, что если н.с.в. Х сосредоточена на некотором отрезке [a,b] (т.е. по принятому выше определению плотность ее вероятности f(x) обращается в 0 вне этого отрезка), то формула для дисперсии переходит в следующую:

.

Рассмотрим свойства дисперсии, которые справедливы как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Некоторые из них аналогичны свойствам математического ожидания, а некоторые нет. Выводятся они из формулы D(X)=М(X ²) − [M(X)]² и свойств математического ожидания.

1. Если С = const – постоянная величина, то ее дисперсия равна нулю:

D(C) = 0.

2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии с квадратом:

D(c ∙X ) = c ² ∙D(X).

Отсюда при с = −1, в частности, следует, что D(−X) = D(X).

3. Дисперсия суммы двух случайных величин Х и Y вычисляется по формуле:

D(X+Y) = D(X)+D(Y)+2∙M{[X−M(X)]∙[Y−M(Y)]}.

Величина

cov(Х,Y) = M{[X−M(X)]∙[Y−M(Y)]},

стоящая в правой части формулы для дисперсии суммы случайных величин, называется корреляционным моментом или ковариацией случайных величин Х и Y. Учитывая введенное понятие, формула для дисперсии суммы случайных величин может быть записана в виде

D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2 ∙ cov(Х,Y).

Ковариация обладает следующим важным свойством.

Утверждение. Если случайные величины Х и Y независимы, то их ковариация равна 0.

Доказывается это утверждение достаточно просто, если вспомнить, что для независимых величин математическое ожидание их произведение равно произведению их математических ожиданий.

Из приведенного утверждения вытекает важное

Следствие. Если ковариация двух случайных величин не равна 0, то эти величины зависимы (в том смысле, что не являются независимыми случайными величинами).

Итак, ненулевая ковариация говорит о зависимости случайных величин. Обратное, к сожалению, неверно. Можно привести примеры как зависимых, так и независимых случайных величин, ковариация которых равна 0. Если ковариация двух случайных величин равна нулю, то они называются некоррелированными случайными величинами, а если не равна 0, то коррелированными. Таким образом, из независимости следует некоррелированность, а обратное, вообще говоря, неверно. Однако известно, что если с.в. Х и с.в. Y распределены по нормальному закону (этот важный закон распределения случайных величин будет разбираться позднее), то из их некоррелированности следует их независимость.

Ковариация случайных величин можно рассматривать как меру связи (точнее, меру коррелированности) случайных величин.

Из приведенного выше утверждения, а также формулы для дисперсии суммы случайных величин вытекает следующее свойство дисперсии.

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: если Х и Y − независимые случайные величины, то

D(X+Y)=D(X)+D(Y).

5. Дисперсия разности независимых случайных величин тоже равна сумме их дисперсий: если Х и Y − независимые случайные величины, то

D(X−Y)=D(X)+D(Y).

6. Дисперсию произведения независимых случайных величин можно вычислить по формуле:

.

7. Пусть Х – случайная величина, k и b – числа. Тогда

D(kX+b)=k²D(X).

Пример. Даны законы распределения независимых случайных величин Х и Y:

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Найти дисперсию случайной величины 2Х−Y+5.

Пример(снова к задаче об автосалоне). Найди дисперсию и среднее квадратическое отклонение введенных ранее случайных величин Х (число продаж в день) и Y (ежедневная прибыль автосалона).

Решение. Мы уже находили среднее ежедневное число продаж и среднюю ежедневную прибыль автосалона: M(X)=1, M(Y)=50 у.е. . Учитывая указанный ранее закон распределения с.в. Х:

Х	0	1	2	3
Р	0.4	0.3	0.2	0.1

по формуле для дисперсии д.с.в. получим:

D(X )= 0²∙0.4+1²∙0.3+2²∙0.2+3²∙0.1 − 1² = 1 .

Тогда среднее квадратическое отклонение . Теперь исследуем ежедневную прибыль. ПосколькуY=100 ∙X − 50, то, используя свойства дисперсии, получим D(Y)=100² ∙D(X)=10000. Тогда среднее квадратическое отклонение у.е. . Попробуем проанализировать по этим данным стабильность работы автосалона. При средней ежедневной прибыли в 50 у.е. среднее отклонение от нее (в ту или иную сторону) составляет 100 у.е., т.е. 200% от средней прибыли . Казалось бы предприятие работает крайне нестабильно. Однако все не так плохо (хотя и не очень уж хорошо), что показывает следующий

Пример(напоследок к задаче об автосалоне). Найди дисперсию и среднее квадратическое отклонение с.в. Y − ежемесячной прибыли автосалона.

Решение. Пусть Y₁− прибыль автосалона в 1-ый день месяца, …, Y₃₀− прибыль автосалона в последний 30-ый день месяца. Все эти с.в. независимы друг от друга, дисперсия каждой из них была вычислена ранее (равна 10000), и ясно, что месячная прибыль есть сумма ежедневных прибылей: Y=Y₁+…+Y₃₀ . Пользуясь соответствующим свойством дисперсии, получим D(Y)=D(Y₁)+…+D(Y₃₀)=30 ∙10000=300000. Тогда среднее квадратическое отклонение ежемесячной прибыли автосалона у.е. . Посчитаем, какой процент теперь это составляет от среднейежемесячной прибыли M(Y). Пользуясь соответствующим свойством математического ожидания, получим М(Y)=М(Y₁)+…+М(Y₃₀)=30 ∙50=1500. Теперь уже среднее отклонение от средней прибыли составляет %, что, конечно, значительно меньше прежних 200%. Хотя тоже много и работа предприятия оставляет желать лучшего.

Пример. В ящике 5 белых шаров и 7 черных. Наугад вынимаю 3 шара. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение с.в. Х – числа белых шаров среди вынутых.

8. Рассмотрим теперь нахождение дисперсии в часто встречающихся ситуациях (аналогичных рассмотренным в свойствах матожидания). Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с вероятностью, зависящей в общем случае от номера испытания. Пусть р₁– вероятность появления событий А в 1-oм испытании, …, р_n– вероятность появления событий А в n-oм испытании. Обозначим q₁=1–p₁, …, q_n=1–p_n (это вероятности того, что событие А не произойдет в соответствующих испытаниях). Рассмотрим с.в. Х – число появлений события А во всех n испытаниях (число успехов в n испытаниях). Тогда дисперсия числа успехов:

.

Доказательство. Отметим, что ранее уже была доказана соответствующая формула для математического ожидания: . Формулу для дисперсии получим тем же способом. Рассмотрим вспомогательные случайные величины:Х₁ – число появлений события А в 1-ом испытании, …, Х_n – число появлений события А в n-ом испытании . Все введенные с.в. могут принимать значения 0 или 1 (событие А в испытании может появиться или нет), причем значение 1 по условию принимается в k-ом испытании с вероятностью p_k (вероятность появления события А в k-ом испытании), а значение 0 с вероятностью (1– p_k) (вероятность противоположного события – не появления события А в k-ом испытании), k=1,…, n. Поэтому эти величины имеют следующие законы распределения:

, … ,

Поэтому средние значения этих величин: М(Х₁)=0∙q₁+1∙ р₁= р₁ , …, М(Х_n)=0∙q_n+1∙ р_n= р_n . Учитывая формулу для дисперсии д.с.в., получим D(Х₁)=0²∙q₁+1²∙ р₁ – р₁²= р₁∙(1–p₁)= р₁∙q₁ , …, D(Х_n)= р_n∙q_n . Ясно, что общее число появлений события А во всех испытаниях равно сумме сумме «успехов» по всем испытаниям: Х=Х₁+Х₂+…+X_n . Пользуясь свойством дисперсии суммы независимых случайных величин, получаем: D(Х)=D(Х₁)+D(Х₂)+…+D(X_n)= р₁∙q₁+…+ р_n∙q_n , что и требовалось доказать.

Пример (о тех же стрелках). Первый стрелок попадает в мишень с вероятностью р₁=0.5, второй с вероятностью р₂=0.6, а третий с вероятностью р₃=0.7 . Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий в мишень при одном залпе этих стрелков по мишени.

Решение. Этот пример в точности укладывается в изложенную схему. Событие А в данном случае – попадание в мишень. В каждом из трех испытаний (выстрелы стрелков) оно появляется со своей вероятностью (р₁=0.5 либо р₂=0.6, либо р₃=0.7) . С.в. Х – общее число попаданий в мишень есть общее число появлений события А. Поэтому D(Х)= р₁∙q₁+р₂∙q₂+р₃∙q₃=0.5∙0.5+0.6∙0.4+0.7∙0.3=0.7 , .

9. Математическое ожидание числа успехов в схеме Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р, а q=1–p. Рассмотрим с.в. Х – число появлений события А во всех n испытаниях. Тогда дисперсия числа успехов:

.

Эта формула следует из предыдущего свойства, так как в рассматриваемом случае вероятности успеха в каждом испытании одинакова: р₁=р₂=…=р_n=р .

Сделаем важное

Замечание. Из полученной формулы получаем, что среднее квадратическое отклонение числа успехов от среднего их числа равно, а потому это отклонение неограниченно растет с ростом числа испытанийn. Однако из выведенной ранее формулы видно, что при этом неограниченно растет и само среднее число успехов. Однако относительное среднее отклонениенеограниченно убывает с ростом числа испытаний, стремясь к 0.

Пример (о том же стрелке). Стрелок попадает в мишень с вероятностью р=0.6 . Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий в мишень при трех выстрелах.

Пример. Найти дисперсию с.в. Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события одинаковы в каждом испытании, а среднее число появлений события в этих испытаниях равно 1.2 .

Пример. Д.с.в. Х принимает значения {–1, 0, 1} . Найти закон распределения этой с.в., если М(Х)=0, D(X)=2/3 .

Пример. Плотность вероятности н.с.в. Х задана формулой:

.

Найти значение параметра а, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Ответ: а=3, М(Х)=3/4, D(Х)=3/80.

Вернемся снова к вопросу о зависимости (точнее, коррелированности) произвольных случайных величин Х и Y, мерой которой, как сказано выше, может выступать их ковариация cov(Х,Y) = M{[X−M(X)]∙[Y−M(Y)]}. Из этой формулы для ковариации легко вывести более удобную формулу:

cov(Х,Y) = M(X∙Y)−M(X)∙M(Y).

В случае дискретной системы случайных величин Х и Y с законом распределения

Х \ Y	y1	y2	y3	…	ym
x1	p11	p12	p13	…	p1m
x2	p21	p22	p23	…	p2m
…	…	…	…	…	…
xn	pn1	pn2	pn3	…	pnm

математическое ожидание произведения случайных величин M(X∙Y) (это первое слагаемое в выражении для ковариации) вычисляется по формуле:

.

Поэтому формула для ковариации в этом случае имеет вид:

,

где вероятности принятия своих значений случайными величинами Х и Y вычисляются по формулам, которые ранее нами выводились (см. тему «Понятие о системе случайных величин»):

,

Оказывается, что в качестве меры зависимости случайной величины более удобной является другая величина (которая будет названа коэффициентом корреляции), тесно связанная с ковариацией и выражающаяся через нее. Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y (обозначается r_XY) называется число, равное

.

Коэффициент корреляции действительно более удобен (по сравнению с ковариацией) для выражения тесноты связи между с.в. Х и Y, так как является безразмерной величиной и обладает следующими полезными свойствами.

1. Если с.в. Х и Y независимы, то r_XY=0 ( потому если , то с.в.Х и Y зависимы).

Это свойство полностью аналогично соответствующему свойству ковариации и сразу следует из формулы для коэффициента корреляции.

2. Коэффициент корреляции любых случайных величин Х и Y заключен между (−1) и 1: |r_XY|≤1 .

3. Коэффициент корреляции случайных величин Х и Y равен (−1) или 1 (т.е. |r_XY|=1 ) в том и только случае, когда между величинами Х и Y имеется линейная функциональная связь (что означает существование таких чисел а и b, что Y=a ∙X+b.

Относительный (и принципиальный) недостаток коэффициента корреляции состоит в том, что он точно показывает только наличие именно линейной связи между случайными величинами. Коэффициент корреляции может оказаться по модулю даже не близким к 1, однако между случайными величинами все равно может оказаться самая сильная связь − функциональная (хотя, конечно, не линейная).

Таким образом, коэффициент корреляции позволяет судить (хотя и не в полной мере) о степени зависимости случайных величин:

• если Х и Y независимы, то r_XY=0 ;

• если r_XY ≠ 0 , то Х и Y зависимы ;

• если r_XY = ±1 , то Х и Y линейно зависимы ;

studfiles.net

Математическое ожидание. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, выражающие наиболее характерные свойства (черты) закона распределения случайной величины. Такие числа носят название числовых характеристик случайной величины.

Математическим ожиданием (или средним значением) (или ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.

Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений , то ее математическое ожидание находится по формуле

(3)

Если же дискретная случайная величина X принимает бесконечное (счетное) число значений, то

, (4)

при этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится, т. е. сходится ряд .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности , находится по формуле

, (5)

при этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части равенства абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл ).

Дисперсией (рассеянием) (или ) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Из определения вытекает часто используемая формула:

.

Если —дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется по формуле:

, (т. е. ) (6)

в случае конечного числа значений, принимаемых случайной величиной X, и по формуле

, (т. е. ) (7)

в случае счетного числа значений.

Если X — непрерывная случайная величина сплотностью , то

(или ). (8)

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется величина .

Среднее квадратическое отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Мода и медиана

Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, в частности, мода и медиана случайной величины.

Модой дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение.

Модой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение , при котором плотность распределения имеет максимум, т. е. .

На рис. 3 и 4 показана мода для дискретной и непрерывной случайной величины.

 

Рис. 3 Рис. 4

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет два или несколько максимумов, то распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Иногда встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимум. Такие распределения называются антимодальными.

Медианой непрерывной случайной величины X (обозначение: ) называется такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т. е.

. (9)

Геометрически вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 5). Каждая из этих площадей равна , т. к. площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице. Поэтому функция распределения в точке равна , т. е. .

Рис. 5

Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.

 

Решение задач

Пример 1.Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X – число появлений события A в трех опытах. Построить ряд и многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины X. Найти: 1) вероятность событий: A={X<2}; B={ }; C={ }; 2) математическое ожидание , дисперсию , среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Решение.Случайная величина X может принимать значения ; ; ; . Соответствующие им вероятности найдем, воспользовавшись формулой Бернулли. При n=3, ; имеем: ; ;

; .

Отсюда ряд распределения случайной величины X имеет вид:

 

 

(Контроль: ).

Многоугольник распределения случайной величины X представлен на рис.6.

 

Рис. 6 Рис. 7

Найдем функцию распределения F(x). По определению функции распределения имеем: если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то ;

если , то

.

Итак,

 

График функции F(x) изображен на рис. 7.

1) Сначала вычислим искомые вероятности непосредственно:

;

;

.

Эти же вероятности найдем, воспользовавшись формулами:

и . Тогда ;

;

2) Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу (3), получим . Вычислим дисперсию. По формуле (6) имеем:

=0,72. Тогда среднее квадратическое отклонение .

 

Пример 2.Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:

Найти моду.

Решение.Так как дискретная случайная величина X принимает значение с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями, то мода случайной величины X равна 20, т. е. .

Пример 3.Дана функция

Рис. 8

Показать, что может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X.. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение.Используя свойство нормированности плотности распределения, найдем, что

,

кроме того, . Следовательно, может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины. Так как прямая является осью симметрии соответствующей дуги кривой (см. рис.8), то математическое ожидание случайной величины X равно , т. е. . Найдем дисперсию, воспользовавшись формулой (8). Двукратным интегрированием по частям получим:

Пример 4.Дана плотность вероятности случайной величины X;

Найти функцию распределения F(X), вероятность попадания случайной величины X в промежуток , числовые характеристики величины X: .

Решение.Найдем функцию распределения случайной величины X, для этого воспользуется соотношением (1).

Если x < 0, то .

Если , то .

Если x > a, то .

Итак,

По формуле (*) имеем .

Найдем математическое ожидание случайной величины X. Согласно формуле (5)

.

Теперь отыщем дисперсию. По формуле (8)

Отсюда среднее квадратическое отклонение .

Пример 5.Найти моду, медиану, математическое ожидание и функцию распределения случайной величины X с плотностью вероятности

Решение.Найдем точку максимума функции : ; отсюда при . Точка является точкой максимума функции , так как , если и , если . Следовательно, мода .

Медиану определим из условия (9): (или ).

В данном случае по формуле (2): , т. е. .

Таким образом, приходим к уравнению: или . Отсюда, .

Воспользовавшись формулой (5), вычислим математическое ожидание случайной величины X:

Найдем функцию распределения случайной величины X.

Прежде всего заметим, что если x < 0, то

Если же то т. е. .

 

megaobuchalka.ru

Среднее квадратическое отклонение

_==

Вероятность попадания в интервал

P

Пример 5.8. Случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

f(x)= .

Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания в интервал [-2;-1]. Построить кривую плотности вероятности этой случайной величины.

Решение.

1. По виду формулы плотности вероятности определяем, что случайная величина распределена по нормальному закону, для которого плотность вероятности f(x) = . Приведем заданную функцию к стандартному виду:

f(x)= =.

Отсюда следует, что m = -1.5;σ= 0.5. Известно, что параметрm– математическое ожиданиеM[], аσ- среднее квадратическое отклонениеσ_. Следовательно,M[] = -1.5,σ_=0.5,D[] ==0.25.

2. Найдем вероятность попадания заданной случайной величины в интервал [-2,-1]. По свойствам функции распределения вероятность попадания случайной величины в интервал

,

где F(x) – функция распределения случайной величины. Для нормально распределенной случайной величины функция распределенияF(x) может быть выражена через её нормированную функцию Ф(х) формулой:

F(x)= Ф. (5.5)

Функция Ф(х) табулирована (см. табл. В Приложения).

Таким образом,

Р. (5.6)

Для решаемой задачи:=0,5 т.е.

Учитывая, что Ф(-х)=1- Ф(х), и найдя в табл.В Приложения Ф(1)=0.8413, получим

Р(-1)=2Ф(1)-1=0,6826.

3. Построим кривую плотности вероятности. Для этого на графике построим сначала кривую нормированной плотности вероятности (на рис. 5.6 штриховая линия 1), т.е.. Затем сожмем её по оси ординат и растянем по оси абсцисс вσраз (т.е. максимум увеличится в два раза). Получим пунктирную линию 2. И, наконец, сдвинем по оси абсцисс на величинуmвлево, т.е. в данном случае максимум графика будет в точкех=-1,5. Окончательный результат на рисунке изображен сплошной линией.

Рис. 5.6.

Пример 5.9.Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону,

если P{X>60}=0,98 иP{X<90}=0,84.

Решение.Для определения искомых числовых характеристик следует найти параметры распределения предлагаемой случайной величины, так как для нормально распределенной случайной величины математическое ожидание совпадает с параметромm, а среднее квадратическое отклонение с параметром σ. Для этого воспользуемся формулой, выражающей вероятность попадания случайной величины в данные в условиях интервалы через функцию распределения. Преобразуем задания в условии задачи равенства:

из P{x>60}= 0,98 получимр{х60} = 1-р(х>60) = 1-0,98. Отсюда

P{x60}=0,02.

По формуле (5.5) преобразуем левую часть , получим

F(60)= Ф()= 0,02.

Теперь по таблицам Ф(х) (табл. В Приложения) необходимо найти значениех, при котором Ф(х) равняется 0,02. Такого значения в таблице нет, это означает, что искомое значение – отрицательное. Используя формулу

Ф(-х)= 1-Ф(х), (5.7)

можно записать

Ф()= 1-Ф()= 0,02,

т.е. Ф()= 0,98.

По табл.В Приложения находим, что Ф(х)= 0,98 соответствует значению х=2,056, т.е. = 2,056.

Таким образом, m-2.056=60.

Из второго условия следует P{X<90}=F(90)=Ф(= 0,84 ; по табл. В Приложения находим аргумент для значения функции 0,84 и получаем =0,995 , отсюда m+0,995 σ=90. Таким образом получаем систему уравнений относительно параметрови σ:

Находим из системы искомые параметры: 3,051 σ=30,σ@9,83,m=60+2,05×9,83@80,15.

Итак, =80,15, аσ=9,83.

studfiles.net

§ 2. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины, их свойства

24

Замечание 1. Значения функцииf (t) называют обычноплотностью вероятности случайной величиныX . Такое название объясняется следующими обстоятельствами:

f (t)= limF(t +	t) − F(t) .
t →0	t	F(t+ t) − F(t)
F(t+ t) − F(t) = P(t≤ X< t+ t)			есть “средняя
		t
вероятность”, т.е. вероятность P(t ≤ X < t +		t) , отнесенная к единице длины.

Замечание 2. Понятие интегральной функции распределения имеет место и для дискретных случайных величин. График этой функции в таком случае имеет ступенчатый вид.

Для описания дискретной случайной величины понятие дифференциальной функции распределения неприменимо.

Определение 1. ПустьX – дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

	x	x1		x2		…	xn	(1)
	p	p1		p2		…	pn
Математическим ожиданием дискретной случайной величины X на-
зывается число				n
			M ( X) = ∑ xi pi .					(2)

i =1

Определение 2. ПустьX – непрерывная случайная величина иf (t) – ее дифференциальная функция распределения.Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число

+∞
M ( X) = ∫t f(t) dt	(3)

−∞

(имеется ввиду, что интеграл (3) сходится).

Математическое ожидание, как дискретной, так и непрерывной случайной величины, имеет следующий вероятностный смысл.

Пусть проведено N испытаний, в результате чего получены значения случайной величиныX :x1 ,x2 , …,xN . Среднее арифметическое этих чисел

x1 + x2 +… + xN при большихn близко кM (X ) .

N

25

Поясним вышесказанное на примере дискретной случайной величины X . ЕслиX имеет распределение (1), то в результатеN испытаний (N – большое) мы получимp1 N раз значениеx1 ,p2 N раз – значениеx2 , …,

pN N раз – значениеxN . Среднее арифметическое полученных в результате испытаний значений равно:

	x1 p1 N+ x2 p2 N+… + xN pN N	N
		= ∑xi pi = M( X) .
	N
		i =1

В связи с этим математическое ожидание называют также средним значением случайной величины.

Замечание. Математическое ожидание является постоянным, не зависящим от опыта числом, характеризующим определенное свойство случайной величины, а именно – устойчивость среднего арифметического полученных в результате испытаний значений.

Свойства математического ожидания

1.M (C) = C, где C= const.

2.	M ( X+Y) = M( X) + M(Y)	для произвольных случайных величин	X
		и Y (зависимых или независимых).
3.	M (λ X )= λ M (X ) для	любой случайной величины X и произ-
	вольного числа λ .
4.	M ( X Y) = M( X) M(Y)	для независимых случайных величин X	и

Y .

Определение 3. ПустьX – дискретная случайная величина с распре-

делением (1). Дисперсией дискретной случайной величины Xназывается число:

n
D(X )= ∑(xi − M (X ))2 pi ,	(4)
i =1
где M (X ) – математическое ожидание случайной величиныX .
Определение 4. ПустьX – непрерывная случайная величина и	f (t) –

ее дифференциальная функция распределения. Дисперсией непрерывной случайной величины X называется число:

+∞
D( X) = ∫(t− M( X))2 f(t) dt	(5)

−∞

(если интеграл сходится), M (X ) – математическое ожидание случайной величиныX .

26

Данные выше определения можно объединить следующим образом: дисперсия случайной величины X есть математическое ожидание случайной

величины ( X − M (X ))2 .

Истолкование дисперсии случайной величины как математического ожидания квадрата отклонения X отM (X ) позволяет описать вероятностный смысл дисперсии следующим образом.

Дисперсия характеризует среднее значение квадрата отклонения значений X от ее математического ожидания. Чем больше эти отклонения по абсолютной величине, тем больше дисперсия, и обратно. Дисперсия измеряет меру рассеяния значений случайной величины относительно математического ожиданияX .

Свойства дисперсии

1.D(C)= 0 , гдеC = const .

2.D(λ X )= λ2 D(X ) для любой случайной величиныX и произволь-

ного числа λ .

3. D(X +Y )= D(X )+ D(Y ) для независимых случайных величинX и

Y .

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величиныX и квадратом ее математического ожи-

дания, т.е.
D(X )= M (X 2 )−[M (X )]2 .	(6)
Доказательство.	свойства2,3 для
D( X) = M[X− M( X)]2 = M( X2 − 2 X M( X) +[M( X)]2 )	матем. ожидания
	=

= M (X 2 )− 2M (X )M (X )+[M (X )]2 = M (X 2 )−[M (X )]2 .

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величиныX называют квадратный корень из ее дисперсии, т.е.

Среднее квадратическое отклонение, как и дисперсия, является мерой рассеяния значений случайной величины относительно математического ожидания. Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и случайная величина X , в то время как дисперсия имеет измерение

X 2 . Поэтому иногда предпочтительнее иметь дело сσ (X ) , а не сD(X ) .

27

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин, т.е.

σ(X1 + X 2 +…+ X n )= σ 2 (X1 )+σ 2 (X 2 )+…+σ 2 (X n ) .

Доказательство.

Пусть X = X1 + X 2 +…+ X n .

свайство3

D(X )= D(X1 )+ D(X 2 )+…+ D(X n ).

σ(X )= D(X )= D(X1 )+…+ D(X n )= σ 2 (X1 )+…+σ 2 (X n ) .

Примеры решения задач

Пример 1.

Пусть X – количество очков при бросании игральной кости. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величиныX .

Решение. Закон распределения имеет вид:

x			1					2			3					6			5			6			Σ
p		1 6					1 6				1 6					1 6			1 6			1 6			1
		6										+ 3 1				+ 4 1						= 21
M ( X) = ∑xi pi =1 1									+ 2		1						+5		1	+ 6	1		=	7	= 3,5.
		i =1						6			6		6			6			6		6 6 2
Дисперсию вычислим по формуле:
								D(X )= M (X 2 )−[M (X )]2 .
Закон распределения случайной величины X 2																				имеет вид:
x2			1					4			9					16			25			36			Σ
p		1 6					1 6				1 6					1 6			1 6			1 6			1
M ( X2 )		= 1 (1 +4					+ 9+16+ 25+ 36)									= 91 ,
		6														6
D(X )=		91	−		7 2		=	182 −147				=	35		≈ 2,92 ,
		6							12				12
					2
σ(X )=		D(X )=					2,92 ≈1,71.

28

Пример 2.

Случайная величина X – задана дифференциальной функцией распределенияf (t)= cost в интервале(0;π2). Вне этого интервалаf (t)= 0 . Най-

ти математическое ожидание величины Y = X 2 .

Решение.

+∞				+∞
M ( X) = ∫t f(t) dt.	Если X * =ϕ(X )M (X * )= ∫ϕ(t)
−∞				−∞
+∞	π 2		u = t2 , du= 2tdt,
M ( X2 ) = ∫t2 f(t) dt= ∫t2		cos t dt=
			dv = cos t dt, v	= sint
−∞	0

π 2

π 2

u = t, du= dt,

= t2 sint

− 2 ∫tsin t dt=

=

0

0

dv = sin t dt,

v = −cost

=

π

2

π

2

π 2

π

2

− 2 sint

π

2

π 2

− 2 .

4

− 2

−t cost

+

∫cost dt

=

4

=

4

0

0

0

Пример 3.

Найти

дисперсию

случайной

величины X ,

заданной

интегральной

функцией

0,

при t ≤ −2,

F(t)=

при − 2 < t≤ 2,

t 4+1 2 ,

при t ≥ 2.

1,

Решение.

Найдем дифференциальную функцию распределения случайной

величины X

′

f (t)= F (t) :

0,

при t ≤ −2,

1 4 ,

при − 2 < t≤ 2,

f (t) =

0,

при t ≥ 2.

2

2

t2

M ( X)

⌠

⌠ 1

t dt =

2

= 0 .

= t f(t) dt=

8

⌡

⌡ 4

−2

−2

−2

2

2

3

D( X) = M[X− M( X)]

2

2

⌠

2

1

⌠

2

t

2

16

4

=

M ( X

) = t

f (t) dt=

t

dt =

=

=

.

4

12

12

3

⌡

⌡

−2

−2

−2

studfiles.net

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Выбор каждого из 1000 изделий можно считать независимым испытанием, в котором вероятность появления изделия первого сорта одинакова и равна Р = 0,96.

Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.

Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что М(Х) = 0,9.

Т. к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то

Пример. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

По формуле дисперсии биноминального закона получаем:

Пример. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно Р1=0,3; P2=0,4; P3=0,5; P4=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .

1) Не отказал ни один прибор.

2) Отказал один из приборов.

0,302.

3) Отказали два прибора.

4) Отказали три прибора.

5) Отказали все приборы.

Получаем закон распределения:

X	0	1	2	3	4
X2	0	1	4	9	16
P	0,084	0,302	0,38	0,198	0,036

Математическое ожидание:

Дисперсия:

< Предыдущая		Следующая >

matica.org.ua

5.1. Математическое ожидание. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые Числовые параметры, выражающие наиболее характерные свойства (черты) закона распределения случайной величины. Такие числа носят название Числовых характеристик случайной величины.

Математическим ожиданием (или средним значением) (или ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.

Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений , то ее математическое ожидание находится по формуле

(3)

Если же дискретная случайная величина X принимает бесконечное (счетное) число значений, то

, (4)

При этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится, т. е. сходится ряд .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности , находится по формуле

, (5)

При этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части равенства абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл ).

Дисперсией (рассеянием) (или ) случайной величины Называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Из определения вытекает часто используемая формула:

.

Если — Дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется по формуле:

, (т. е. ) (6)

В случае конечного числа значений, принимаемых случайной величиной X, и по формуле

, (т. е. ) (7)

В случае счетного числа значений.

Если X — непрерывная случайная величина С Плотностью , то

(или ). (8)

Средним квадратическим отклонением Случайной величины Называется величина .

Среднее квадратическое отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

matica.org.ua

Дисперсия случайной величины. Среднее квадратическое отклонение

Мы рассмотрели число, которое характеризует поведение случайной величины в среднем. Но среднее значение далеко не всегда дает даже общее представление о поведении случайной величины.

Есть еще одна характеристика, которая зачастую несет не менее важную информацию, — это разброс (или рассеивание) случайной величины вокруг ее среднего значения. Вспомним известную шутку о том, что средняя температура по больнице, 36,6°. Ведь это вполне может быть так, если часть больных имеет повышенную температуру, а часть пониженную. Тогда чем же будет отличаться поведение случайной величины, равной температуре больного человека, от поведения величины, равной температуре здорового? И та, и другая величины подвержены колебаниям вокруг некоторого среднего значения (возможно, даже одинакового), но очевидно, что у больных величина этих колебаний будет больше. Попробуем выяснить, какое выражение может претендовать на роль средней меры рассеивания случайной величины вокруг ее среднего значения.

Дисперсиейслучайной величины называется математическое ожиданиеквадрата ее отклонения:

Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

или

Средним квадратическим отклонением(стандартом) случайной величины называется арифметический корень из дисперсии, т.е.

Пример 4.10. Найти дисперсию числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение:

Закон распределения случайной величины Х и ее математическое ожидание М(Х) = 3,5 были приведены в примере 4.7.

Вычислим дисперсию:

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется равенством:

.

Свойства дисперсии:

1.Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (С) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D (X + Y) = D (X) + D (Y).

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D (X + C) = D (X).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (X — Y) = D (X) + D (Y).

 

Литература:

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — с.64 – 66, 75 – 94.

2. Гусак А.А. Теория вероятностей: справ. Пособие к решению задач / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. – 6-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2007. – с. 83 – 141.

Контрольные вопросы:

1. Что называют случайной величиной?

2. Какую величину называют дискретной случайной величиной?

3. Какую величину называют непрерывной случайной величиной?

4. Как задают закон распределения дискретной случайной величины?

5. Что такое многоугольник распределения?

6. Что называют функцией распределения случайной величины?

7. Какими свойствами обладает функция распределения?

8. Какие числовые характеристики случайной величины вы знаете? Дайте им определения, укажите методы их нахождения, перечислите свойства.

 

Задания для самостоятельного решения

Задание 4.1. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Задание 4.2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

Задание 4.3. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

Задание 4.4. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х:

Найти плотность распределения.

Задание 4.5. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.

Задание 4.6. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Тема 5



infopedia.su