Рубрика: Школьная жизнь

Арабские цифры. Натуральные и целые числа. История натуральных чисел.

Натуральные числа — это положительные числа, которые используются при счете предметов. Натуральные числа существуют не одно тысячелетие, как сказал однажды знаменитый математик Кронекер: «Бог создал натуральные числа, все остальное — работа человека.»

Основные потребности повседневной жизни людей привели к введению дробных чисел, как \(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{5}{4}.\)

Позже, индусы изобрели число \(0\), он показывает, что какого-то объекта нет или он не существует. В начале нового времени итальянские алгебраисты ввели отрицательные числа. Так образовались целые числа –  это натуральные, отрицательные числа и 0.

Когда математики говорят о рациональных числах — это значит целые и дробные числа.

Арабские цифры

Арабские цифры возникли в Индии не позднее V века. Мы используем арабскую десятичную систему счисления цифр:

Цифры – система знаков  для записи конкретного значения чисел, причем такие, что каждый знак в отдельности описывает определенное число. Это одно из величайших человеческих изобретений в математики. Числа формируются путем объединения цифр системы счисления по определенному механизму, то есть при помощи цифр можно записать любое число, например, число  \(6 324 354\). Самая правая цифра в числе определяется как наименее значащая цифра, а самая левая как наиболее значимая цифра. Это связано с тем, что значение места самой правой цифры является наименьшим, а левая цифра — наибольшая.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Целые числа. Определение. | tutomath

Существуют множество разновидностей чисел, одни из них – это целые числа. Целые числа появились для того, чтобы облегчить счет не только в положительную сторону, но и в отрицательную.

Рассмотрим пример:
Днем на улице была температура 3 градуса. К вечеру температура снизилась на 3 градуса.
3-3=0
На улице стало 0 градусов. А ночью температура снизилась на 4 градуса и стало показывать на термометре -4 градуса.
0-4=-4

Ряд целых чисел.

Натуральными числами мы такую задачу описать мы не сможем, рассмотрим эту задачу на координатной прямой.

У нас получился ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Этот ряд чисел называется рядом целых чисел.

Целые положительные числа. Целые отрицательные числа.

Ряд целых чисел состоит из положительных и отрицательных чисел. Справа от нуля идут натуральные числа или их еще называют целыми положительными числами. А слева от нуля идут целые отрицательные числа.

Нуль не является ни положительным ни отрицательным числом. Он является границей между положительными и отрицательными числами.

Целые числа – это множество чисел, состоящие из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и нуля.

Ряд целых чисел в положительную и в отрицательную сторону является бесконечным множеством.

Если мы возьмём два любых целых числа, то числа, стоящие между этими целыми числами, будут называться конечным множеством.

Например:
Возьмем целые числа от -2 до 4. Все числа, стоящие между этими числами, входят в конечное множество. Наше конечное множество чисел выглядит так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральные числа обозначаются латинской буквой N.
Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Все множество натуральных чисел и целых чисел можно изобразить на рисунке.

Неположительные целые числа другими словами – это отрицательные целые числа.
Неотрицательные целые числа – это положительные целые числа.

Вопросы по теме:
Как называются числа, находящиеся в ряду целых чисел: а) справа от нуля; б) слева от нуля?
Ответ: а) натуральные числа или целые положительные числа. Оба термина несут один и тот же смысл.
б) целые отрицательные числа.

Назовите наибольшее целое число?
Ответ: ряд положительных целых чисел бесконечен, поэтому наибольшего целого числа не существует.

Какое наименьшее целое число?
Ответ: ряд отрицательных чисел бесконечен, поэтому наименьшего целого числа не существует.

Пример №1:
Сколько целых чисел расположено между числами -33 и 102?
Решение:
У нас 32 отрицательных числа, есть нуль и 101 положительных чисел.
32+1+101=134
Ответ: 134

Пример №2:
Приведите пример целого числа.
Целое число: -16523, -100, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1009, 1984.

Пример №3:
Сколько четных целых чисел расположено между числами -4 и 5?
Ответ: -2, 2, 4.

tutomath.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Арифметика

Натуральные (целые положительные) числа

      Числа

1 ,  2 ,  3 ,  …

называются натуральными или целыми положительными числами.

      Множество натуральных чисел бесконечно и обозначается символом   N.

      Число нуль, отрицательные и дробные числа не являются натуральными числами.

Целые отрицательные числа

      Числа

– 1 ,  – 2 ,  – 3 ,  …

называются целыми отрицательными числами.

      Множество целых отрицательных чисел бесконечно и обозначается символом     N_– .

Целые числа

      Множество целых чисел состоит из множества натуральных чисел, числа «нуль» и множества целых отрицательных чисел.

      Множество целых чисел бесконечно и обозначается символом   Z . 

Десятичная система счисления

      Системой счисления называется способ записи натуральных чисел при помощи символов, которые называются цифрами.

      В обычной практической жизни используется десятичная система счисления. В этой системе числа записываются при помощи   10   цифр (арабских цифр):

0 ,  1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ,  6 ,  7 ,  8 ,  9 .

      Например, число, десятичная запись которого   361 ,   равно сумме трёх сотен, шести десятков и одной единицы:

      В данном справочнике рассматривается только десятичная система счисления.

      Задача. Сумма квадратов цифр положительного двузначного числа равна   13 .   Если от этого числа отнять   9 ,   то получится число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

      Решение. Обозначив буквами   x   и   y   цифру десятков и цифру единиц искомого числа, соответственно, запишем это число в виде     (черта сверху поставлена для того, чтобы отличить десятичную запись числа от произведения цифр   x   и   y ).   Тогда:

      Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, имеет вид     причем

      По условию задачи неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

для решения которой преобразуем второе уравнение:

      Далее получаем:

      Теперь решим первое уравнение:

      Поскольку число   – 2   не является цифрой, то второй корень должен быть отброшен. Следовательно,

      Ответ: Искомое число равно   32.

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

В чем разница между натуральными и целыми числами?

Определяющее понятие математики – число, которое используется для количественной характеристики объектов. Наука оперирует их несколькими видами. Осознание особенностей этого понятия поможет избежать ошибок, приблизит открытие новых горизонтов познания точной науки.

Считать человек научился тогда, когда научился говорить. Первоначально это было определение количества предметов, товара. При появлении письменности придумали специальные значки – цифры. В этой стать речь пойдёт о натуральных и целых числах, как самых простых.

Натуральные числа

На заре цивилизации первобытные люди обходились понятиями «один» и «много». Древние охотники не утруждали себя подсчётами. При возникновении товарообменных отношений назрела потребность усложнить счёт.

Во время торговли приходилось считать количество товара. Тогда появились самые простые числа. Их называют натуральными, так как возникли естественным образом при счёте. Ими описывают количество предметов или порядковый номер ряда подобных объектов. Для письменного отображения этих величин используют специальные знаки, которые называют цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Пример записи: двести тридцать один – 231.

Самая маленькая величина – единица (1), самой большой нет. Если возьмём самое большое, на наш взгляд, значение, к нему всегда можно добавить ещё 1, получить большее, и так до бесконечности.

При их расположении последовательно в порядке возрастания получаем числовой ряд. Каждый следующий элемент ряда увеличивается на 1 по отношению к предыдущему. Этот массив элементов обозначают N={1, 2, 3, …n, …}. Сюда не входит ноль, он применяется только для описания многозначных величин.

Если выражение содержит только один значок, то оно называется однозначным. Например: 1, 3, 7. Если запись имеет больше одной цифры, то она многозначная. К примеру, числа: 15, 23, 78 – двузначные, 125, 561, 938 – трёхзначные, 2589, 1596, 3564 – четырёхзначные. Математика использует десятичную систему исчисления. При записи каждому значку соответствует своё определённое значение в зависимости от расположения. Например, 286:

• Последняя шесть означает 6 единиц.
• Предпоследняя восемь – 8десятков.
• Первая двойка – 2 сотни.

В этой записи две сотни, восемь десятков и шесть единиц.

С ними производят математические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в степень и извлечение корня. Но только при умножении и сложении получают натуральные числа. Если выполнять другие действия, то получим целую или дробную величину.

Целые числа

У этого понятия определение шире. Сюда входят элементы, описанные выше, а также противоположные по значению и 0. В итоге, имеем бесконечное количество натуральных (1, 2, 3, 4, …) и столько же противоположных значений.

Совокупность их с нолём называется целыми.Они бывают положительными и отрицательными. Первые подразумевают знак плюс (обычно не пишется). Примеры таких записей: 8, 15, 127, 3259.

Отрицательные целые имеют знак минус (всегда пишется): −9, −21, −832, −4785. Они появились при развитии товарообменных отношений. Так было удобно считать долги. Например, торговцу заплатили за мешок вяленой рыбы одну шкурку лисы, а надо было три, то долг составит ещё две шкурки: 1− 3 = −2.

Ноль стоит обособленно. Он не принадлежит ни к тем, ни к другим. Все что больше него – положительные, меньше – отрицательные. Множество этих элементов обозначают Z={… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. С ними выполняют основные математические действия, нельзя только делить на ноль. Этими значениями принято описывать количественное изменение предметов или физических явлений во времени.

Общие черты понятий

1. Оба выполняют количественную характеристику предметов или каких-то параметров.
2. Натуральные значения входят во множество целых, то есть любое из них будет целым.
3. Математические действия кроме деления и извлечения корня с обоими видами даёт целое.
4. Самого большого числа для них нет – исчезает в бесконечности.

Отличия чисел

Наряду с общими признаками у этих понятий есть различия в написании, значениях и функциях.

Натуральные всегда больше ноля, целые – положительные, отрицательные и 0, поэтому не каждое целое будет натуральным.

У первых самое маленькое значение единица, у вторых его нет, оно бесконечно малое. Какую бы маленькую величину мы не придумали, от неё всегда можно отнять единицу и получить ещё меньшую и так бесконечно много раз.

Целыми легче описывать изменение количества, чем натуральными. При этом нет необходимости конкретно указывать увеличение или уменьшение численности. Само число характеризует эту перемену, а знак перед ним указывает направление. Вот примеры такого описания. Пусть в библиотеке есть некоторое количество книг. Если туда привезут еще восемьдесят, то их станет больше, а 80 выражает это изменение перечня в сторону повышения. Если же из библиотеки заберут тридцать книг, то их станет меньше, а 30 будет выражать перемену в сторону снижения. В библиотеку не будут привозить и увозить издания, то говорят о неизменности наличия литературы, то есть произошла нулевая перемена.

Этот пример показывает преобразование объёма книг с помощью целых чисел 80, −30 и 0 соответственно. Положительное 80 передаёт рост численности, отрицательное −30 выражает её понижение (отрицательная величина). Ноль показывает, что сумма предметов осталось без изменения.

Целыми хорошо описывается варьирование физических величин. При увеличении температуры на 3 градуса, это указывается значением 3. Уменьшение температуры на 10 градусов записывается как число с минусом: −10. А постоянство температуры определяется нолём.

Не каждый из нас математик, но понимание основ этой науки сыграет позитивную роль для каждого. Элементарные математические знания не раз выручат в трудной ситуации.

vchemraznica.ru

Решение задач по теории вероятностей

Теория вероятностей, в отличие от классического математического анализа, часто оперирует примерами и задачами из повседневной жизни. Применение ее в таких играх, как покер и рулетка, может существенно увеличить выигрыш, особенно если интуиция – не самая сильная ваша сторона. С другой стороны, законы теории вероятностей базируются на простой логике и могут быть поняты и освоены каждым. Поэтому читателю будет полезно ознакомиться с основными понятиями и принципами решения задач по данной теме.
 

Исходя из определения, вероятность наступления события (будем называть это событие А) есть отношения количества вариантов развития, где А происходит (m), к общему количеству вариантов развития (m).

Очевидно, что m всегда меньше или равно n, поэтому величина P никогда не превышает единицы. С другой стороны, m и n неотрицательны, поэтому вероятность не может быть меньше нуля. Часто величину вероятности выражают в процентах, умножая исходное выражение на 100%.
 

Попробуйте ответить на вопрос:

Какое количество автомобилей с одинаковыми цифрами на номере вы скорее всего встретите среди 300 проехавших мимо?

Теория вероятностей тесно связана с комбинаторикой – разделом математики, изучающем в том числе размещения, перестановки, сочетания элементов из множеств. Читателю стоит освоить следующие понятия: размещение, сочетание, размещение и сочетание с повторением из n различных элементов по m в каждом, перестановка из n элементов.
 

Например:

Сколькими способами можно взять три разных карточных короля – сочетание из 4 элементов по 3 в каждом?

Если комбинации из трех карт могут еще отличаться порядком – например, пики–крести–черви и черви-пики-крести, – размещение из 4 элементов по 3 в каждом. Если масти могут совпадать, но порядок не важен – сочетание с повторением, а если все-таки важен – то размещение с повторением. А вот сколькими способами можно упорядочить три карты – перестановка из 3 элементов. С формулами для расчета данных величин читатель может ознакомиться в любом учебном пособии по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».
 

Определите, сколькими способами можно наугад достать три белых шара из урны, где 5 белых шаров и 2 черных? Какова при этом вероятность такого исхода?

В качестве следующего этапа в освоении теории вероятностей следует изучить связи между вероятностями различных событий. Читателю стоит ознакомиться с такими понятиями, как совместные и несовместные события, благоприятствующие и противоположные события, сумма(объединение) событий, произведение(совмещение) событий, полная группа событий.
 

В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию.

Лучник стреляет в мишень, при этом событие А состоит в том, что он поражает ее, событие А1 – стрела попадает в «десятку», а событие В – стрела летит в «молоко».

События А и B являются несовместными, так же как события А1 и В. События А и А1 являются совместными. Событие А1 благоприятствует событию А, но обратное утверждение неверно. Событие B является противоположным по отношению к А и А1. События А и В образуют полную группу событий, а А1 и В или А и А1 – нет.
 

Совмещение и произведение событий очень наглядно иллюстрируется графически. Рассмотрим события в качестве контуров, заключающих в себе все исходы, при которых эти события происходят. При этом площадь под контуром А1 также принадлежит к контуру А. Белым цветом будем обозначать пустое множество, а желтым — результаты суммы (объединения) или умножения (совмещения) различных комбинаций из А, А1 и В. Почему контур А1 внутри А?

Суммой (объединением) А и B будет событие А+В:

Произведением (совмещением) А и B будет событие AB, которое невозможно, так как контуры А и B не пересекаются:

Сумма А + А1:

Произведение АА1:

Сумма А1+В:

Произведение А1В:

Cо всеми вышеизложенными понятиями и с формулами для сложения и умножения вероятностей читатель аналогичным образом может ознакомиться в любом учебном пособии по данному предмету. Изображение вероятностей в качестве геометрических контуров часто помогает при решении задач с множеством заданных условий и сложными связями между ними.

Попробуйте самостоятельно изобразить события А+А1В, А(А1+В), АВ +А1.

Если рассматривать цепочку событий, происходящих последовательно, необходимо ввести понятие условной вероятности P_A(B) – вероятности события B, при условии, что А наступило. Читателю следует ознакомиться с формулой полной вероятности и с формулой Бейеса.
 

В качестве примера условной вероятности существует очень интересная задача, называемая парадоксом Монти Холла:

Представьте, что вы – участник шоу, в котором вам предстоит выбирать из трех закрытых дверей одну, за которой находится приз. За двумя другими дверями ничего нет. Ведущий знает, где находится приз, и предлагает вам выбрать дверь. После вашего предположения ведущий не открывает выбранную вами дверь, но из двух оставшихся открывает ту, за которой ничего нет. После этого он предлагает вам либо оставить свой выбор прежним, либо выбрать другую дверь. Станете ли вы менять свой выбор и почему?

Для решения задач с большим количеством испытаний классические формулы с использованием сочетаний и размещений неудобны, так как вычисляются с большим трудом (чему равен факториал 10000?). Как правило, подобные задачи легко узнаваемы, и их решение заключается в применении одной формулы, в выборе оной и состоит сложность задания. Читателю стоит освоить понятия и области применения для формул Бернулли, Лапласа и Пуассона.
 

При написании статьи автор использовал учебное пособие «Элементы теории вероятностей и математической статистики», авт. М.Ф.Рушайло, изд. РХТУ им. Д.И.Менделеева, 2005.
 
 

Решение теории вероятностей на заказ

Мы беремся решать задачи по теории вероятностей. Чтобы заказать у нас работу, вам нужно только прикрепить файл и указать срок.
Узнать цену работы можно абсолютно бесплатно.

reshatel.org

Решим задачи, контрольные, курсовые… — Решение задач по теории вероятности

Решение. Обозначим через А событие—два орудия попали в цель.
Сделаем два предположения (гипотезы):
 B₁—первое орудие попало в цель;
 В₂—первое орудие не попало в цель.
 По условию, P(В₁) = 0,4; следовательно (событие В₂ противоположно событию B₁),

Р(В₂)= 1—0,4 = 0,6.

Найдем условную вероятность P_B2(A), т. е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах. Другими словами, найдем вероятность того, что второе и третье орудия попали в цель. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:

Искомая вероятность того, что первое орудие дало попадание, по формуле Бейеса равна

www.reshim.su

Случайные события. Вероятность события. Примеры решения задач

Случайные события. Вероятность события

Классическое определение вероятности
Вероятностью события А Р(A) называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов n, Р(A)=.

Решение:

Для начала найдем вероятность того, что ни одному из студентов не достанется билет с простыми вопросами.
Эта вероятность равна

Первая дробь  показывает вероятность того, что первому студенту достался билет со сложными вопросами (их 17 из 20)
Вторая дробь  показывает вероятность того, что второму студенту достался билет со сложными вопросами (их  осталось 16 из 19)
Третья дробь  показывает вероятность того, что третьему студенту достался билет со сложными вопросами (их осталось 15 из 18)
И так далее до пятого студента. Вероятности перемножаются т.к. по условию требуется одновременное выполнение этих условий.

Чтобы получить вероятность того, что хотя бы одному из студентов достанется билет с простыми вопросами надо вычесть полученную выше вероятность из единицы.

Ответ: 0,6009.

Задача2
Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0; 1; 2; 3, наудачу выбирается одна. Какова вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности. Решение

Вероятность события A – «Выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности», согласно классическому определению, равна P(A) = , где n – полное число равновероятных исходов; m – число исходов, благоприятствующих событию A.

Число способов заполнить 10 позиций в последовательности цифрами 0; 1; 2; 3 составляет, с учетом возможности повторения цифр, n = 410 = 220 = 1048576.

Число способов разместить 5 нулей на 10 позициях в последовательности при условии, что нули обязательно находятся на первом и десятом месте в последовательности, равно числу способов разместить три нуля на восьми свободных позициях в последовательности и равно числу сочетаний из 8 элементов по 3:  =  = 56.

Оставшиеся 8 – 3 = 5 позиций в последовательности будут заполнены цифрами 1; 2; 3. Число способов осуществить это, с учетом возможности повторения, равно 35 = 243.

Т.о., число исходов, благоприятствующих событию A, равно m = ×35 = 56×243 = 13608.
Искомая вероятность события A равна:
P(A) =  = 0,013.
Ответ: P(A) =  = 0,013.

Решение. В этой задаче производится испытание – извлекается одна деталь. Число всех исходов испытания равно 100, т. к. может быть взята любая деталь из 100. Эти исходы несовместны, равновозможны, единственно возможны. Таким образом, Событие — появилась деталь без брака. Всего в партии 97 деталей без брака, следовательно, число исходов, благоприятных появлению события А равно 97 . Итак,  Тогда
Задача 4.
Код банковского сейфа состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что наудачу выбранный код содержит различные цифры? Решение. Так как на каждом из шести мест в шестизначном шифре может стоять любая из десяти цифр: 0,  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных шестизначных номеров по правилу произведения будет . Номера, в которых все цифры различны, — это размещения из 10 элементов (10 цифр) по 6. Поэтому число благоприятствующих исходов . Искомая вероятность равна
Задача 5.
Между шестью фирмами (А, Б, В, Г, Д, Е), занимающимися продажей компьютерной техники, проводится жеребьевка на предмет очередности предъявления своей продукции на выставке потенциальным потребителям. Какова вероятность того, что очередь будет выстроена по порядку, т. е. А, Б, В, Г, Д, Е? Решение. Исход испытания — случайное расположение фирм в очереди. Число всех возможных исходов равно числу всех перестановок из шести элементов (фирм), т.е.Число исходов, благоприятствующих событию : m=1, если очередь выстроена по порядку. Тогда
Задача 6.
В компании 10 акционеров, из них трое имеют привилегированные акции. На собрание акционеров явилось 6 человек. Найти вероятность того, что среди явившихся акционеров:
а) все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют;
б) двое присутствуют и один не явился. Решение
а) испытанием является отбор 6 человек из 10 акционеров. Число всех исходов испытания равно числу сочетаний из 10 по 6, т. е.

Пусть событие  — среди шести человек нет ни одного с привилегированными акциями. Исход, благоприятствующий событию ,- отбор шести человек среди семи акционеров, не имеющих привилегированных акций. Число всех исходов, благоприятствующих событию А, будет
Искомая вероятность

б) пусть событие — среди шести явившихся акционеров двое с привилегированными акциями, а остальные четыре – с общими акциями. Число всех исходов,  Число способов выбора двух человек из необходимых трех  Число способов выбора оставшихся четырех акционеров среди семи с общими акциями Тогда число всех способов отбора по правилу произведения  
Искомая вероятность равна

www.matem96.ru

Математические методы

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Северо-Казахстанский государственный университет им. М. Козыбаева

М.В. Погребицкая

В ПСИХОЛОГИИ

Учебно-методическое пособие

для студентов психологических и

педагогических специальностей

Петропавловск 2004

ББК 88

УДК 311:189.9

П 43

Издается по решению

Учебно-методического Совета

СКГУ им. М.Козыбаева

(протокол № 9 от 24.06.2004г.)

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, доцент Е. Акжигитов

Погребицкая М.В.

Учебно-методическое пособие содержит системное изложение математических методов в применении к задачам экспериментальных психологических исследований. В доступной форме, не требующей значительной подготовки, рассматриваются основные методы обработки данных, включая непараметрические критерии оценки различий и корреляционный анализ. Приведены многочисленные примеры такой обработки и предложены многовариантные лабораторные работы для развития практических навыков решения задач.

Пособие предназначено для студентов психологических и педагогических специальностей, а также может быть использовано студентами, обучающимися по кредитной и дистанционной технологиям, исследователями в области психологии, социологии, педагогики, медицины и биологии.

УДК 311:189.9

 Погребицкая М.В., 2004

 Северо-Казахстанский государственный университет им. М.Козыбаева, 2004

Содержание

ОТ АВТОРА

Применение математических методов для обработки экспериментального материала в психологии – неотъемлемая часть профессиональных навыков современного психолога.

Математические методы – это мощный инструмент, позволяющий успешно ориентироваться в море экспериментальных данных и избегать логических и содержательных ошибок в работе психолога.

Наиболее естественным путем, которым математика проникает в психологию, является математическая статистика, применение которой позволяет психологу обосновывать экспериментальные планы, обобщать данные экспериментов, выявлять различия между группами испытуемых, находить зависимости между экспериментальными данными, строить статистические прогнозы.

Настоящее учебно-методическое пособие призвано решить следующие задачи:

• повысить уровень математической культуры студентов-психологов;

• привить навыки самостоятельной работы в условиях кредитной технологии и дистанционного обучения;

• дать представление об основных статистических

процедурах;

• научить студентов самостоятельно проводить первоначальную статистическую обработку экспериментальных данных;

• сформировать основы статистического мышления студентов;

• научить студентов правильно выбирать методы обработки экспериментальных данных и оценивать полученные результаты;

• научить студентов грамотно подготавливать данные для работы со статистическими пакетами на ЭВМ;

• привить навыки использования инструментов среды Microsoft Excel для нахождения различного рода статистик.

Материал для пособия подобран с учетом требований Государственных общеобязательных стандартов образования РК к содержанию первой части дисциплины «Математические методы в психологии» по специальностям 520930 «Психология», 020940 «Психология», 031440 «Педагогика и психология», 050106 «Педагогика и психология» и 050503 «Психология».

Большинство рассматриваемых в руководстве методов являются непараметрическими, что расширяет их возможности применения в психологии по сравнению с традиционными параметрическими методами. Пособие содержит большое количество практических примеров и задач.

В руководство включены также 10 многовариантных лабораторных работ, выполнение которых возможно с применением и без применения статистических пакетов на ЭВМ. В одном из приложений приводятся описания статистических функций табличного процессора Excel, входящего в состав пакета программMicrosoftOffice. Приложение 4 содержит рекомендации к использованию встроенного пакета анализа в Excel.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время использование математических методов в развитии новых психологических теорий стало необходимостью. Математические процедуры входят в такие разделы психологии, как психометрика, психодиагностика, дифференциальная психология, психогенетика. Многие психологические концепции подвергаются сомнению на основании того, что они не подтверждены статистически.

С другой стороны, психологу можно совершать открытия, не привлекая математики. Существует множество теорий в психологии, сформулированных без поддержки математики, например, теория психоанализа, бихевиоральная концепция, аналитическая психология.

Психология отличается от многих наук тем, что не имеет собственных единиц измерения и берет их «напрокат», например, у физики (секунды, миллиметры, градусы). Тем не менее, применение математического аппарата в большинстве исследований проще, чем доказательство, что в этом не было необходимости. В любом случае математика систематизирует мышление и позволяет выявить закономерности, на первый взгляд, не всегда очевидные.

Можно выделить три стадии процесса математизации психологической науки.

Первая стадия – это применение математических методов для анализа и обработки результатов экспериментов и наблюдений и установление простейших количественных закономерностей (психофизический закон, экспоненциальная кривая научения).

Вторая стадия заключалась в попытке моделирования психических процессов и явлений с помощью готового математического аппарата, разработанного ранее для других наук.

Третий этап математизации (современный этап) характеризуется разработкой специализированного математического аппарата для исследования и моделирования психических процессов и явлений, формирования математической психологии как самостоятельного раздела теоретической (абстрактно-аналитической) психологии.

В основе предмета «Математические методы в психологии» лежит «математическая статистика»– наука о случайных явлениях, включающая описание случайных явлений, проверку гипотез, изучение причинных зависимостей.

Распространенное отношение к статистике – смесь благоговения с цинизмом, подозрением и презрением. Однажды кто-то заметил: «Есть маленькая ложь, есть большая ложь, а есть статистика». Необоснованное применение методов статистики может повлечь за собой ситуацию, в которой человек, держа голову в холодильнике, а ноги в печи, говорит: «В среднем я чувствую себя прекрасно». Отказ от широко распространенного мнения о статистике – это не только путь к новым открытиям и закономерностям в различных областях познания, но и лучшая защита от цифрового абсурда.

Первоначально статистикой (statistics) называлось изучение государственных дел. В XVII в. в Европе горстка математиков проводила небольшие част­ные исследования, которые впоследствии оформились в теорию вероятностей. Эти исследования, проведенные, в частности, Блезом Паскалем (1623-1662гг.) и Пьером Ферма (1601-1665гг.), выполнялись по просьбе Шевалье де Мере, азартного игрока, которому было особенно важно понять природу удачи.

На первоначальное развитие статистических методов оказало вли­яние их происхождение. У статистики были «мать», которой нужно было представлять регулярные отчеты правительственных подразделений (слова «штат» и «статистика» происходят от одного латинского корня –status), и «отец» – честный карточный игрок, который полагался на мате­матику, усиливавшую его ловкость – умение брать решающие взятки в азартных играх. От «матери» ведут свое происхождение счет, измерение, описание, табулирование, упорядочение и проведение переписей, т.е. все то, что привело к современной описательной статистике. От предприимчивого интеллектуала – «отца» – в конечном счете, возникла современная теория статистического вывода, непосредственно бази­рующаяся на теории вероятностей. Недавнее дополнение, называемое планированием экспериментов, опирается в основном на сочетание теории вероятностей с несколько элементарной, но удивительной ло­гикой.

Начала статистической теории измерений положены Карлом Фрид­рихом Гауссом – королем математиков, как его называли современни­ки, – в первой половине XIX века в связи с его занятиями астрономией и геодезией. С 1807 г. и до самой смерти в 1855 г. Гаусс заведовал кафедрой математики Геттингенского университета и одновременно был директором обсерватории в Геттингене. В его основном труде по астрономии «Теория движения небесных тел» содержится способ опре­деления орбит планет по наблюдениям, который опирается на разви­тую им же классическую теорию ошибок измерений. Таким образом, метрология оказывается тесно связанной со статистической теорией измерений.

Естественно было ожидать, что дальнейшее развитие математи­ческой статистики будет стимулироваться новыми проблемами метро­логии.

Важной сферой применения методов математической статистики является массовое производство. Первые идеи в этой области при­надлежат одному из директоров крупных пивоваренных заводов Гиннеса в Англии. В начале XX в. он прочитал книгу по теории вероятностей и подумал, что «из этого можно делать деньги». Позвав к себе Уильяма Госсета, младшего служащего завода, директор предложил ему поехать в единственный в то время центр статистических исследований в Лон­доне для учебы под руководством крупнейшего статистика, биолога и философа Карла Пирсона, основателя журнала «Биометрика».

У.Госсет проявил инициативу и выдающиеся способности и вско­ре приступил к самостоятельным исследованиям. Их результаты были весьма значительны: одни представляли несомненную ценность для пивоварения, другие – большой теоретический интерес. Естественно возникла проблема их публикации. Но устав пивоваренной компании Гиннеса запрещал работникам публикацию результатов исследований. Однако компания дала согласие на публикацию работ по теоретичес­ким вопросам статистики (что было нарушением устава), но решила не связывать результаты с именем одного из служащих компании, дабы конкуренты не могли догадаться о пользе, которую несет статистика для пивоварения. В результате научный мир был изумлен рядом перво­классных статей в журнале «Биометрика», опубликованных начиная с 1908 г. под псевдонимом «Student», что значит «Студент», но в нашей литературе принято писать «Стьюдент». Эти работы совершили перево­рот в статистике, так как они содержат неклассическую постановку за­дачи и точное ее решение.

Сейчас положение совершенно иное: не только плодотворно раз­виваются области психологии, широко использующие математические методы, но даже на психологических факультетах и в ряде гуманитар­ных, биологических и медицинских вузов читается обязательный курс математики, включающий элементы математической статистики.

Основными разделами математической статистики считаются разделы описательной статистики, теория статистического вывода, планирование и анализ экспериментов.

Описательная статистика включает в себя табулирование, представ­ление и описание совокупностей данных. Эти данные могут быть либо количественными, как, например, измерения роста и веса, либо каче­ственными, как, например, пол и тип личности. Описательная статистика упорядочивает и систематизирует имеющуюся информацию, облегчает понима­ние изучаемого явления.

Наиболее ярким примером статисти­ческого описания служат результаты переписи населения, пред­ставленные в виде соответствующих таблиц, графиков и показателей распределения населения по демографическим и социальным признакам.

Всякая большая группа испытуемых, относительно которых мы хотим провести исследование и собираемся делать выводы, называется генеральной совокупностью.

Выборка– это часть испытуемых,выделенная из генеральной совокупности для проведения эксперимента.

Теория статистического вывода– это формализованная система методов решения задач, в которой выводятся свойства генеральной совокупности данных путем исследования выборки.

Например, директор крупного концерна хочет определить долю сотрудников, которые положительно относятся к введению нового графика работы. Излишне было бы опрашивать каждого сотрудника, если бы можно было надежно опреде­лить такую долю по выборке минимальным объемом, скажем, в 100 человек. Но какова доля тех сотрудников, которые положительно отнеслись в этой выборке из 100 человек, по отношению к доле во всей совокупности сотрудников? Ответ можно получить благодаря теории статистического вывода. Таким образом, задача статистического вывода состоит в том, чтобы предсказать свойства всей совокупности, зная свойства только выборки из этой совокупности. Эти выводы делаются и производятся с помощью методов описательной статистики посредством описания как свойств выборок, так и совокупностей.

Планирование и анализ экспериментов представляет собой третью важную ветвь статистических методов, разработанную для обнаружения и проверки причинных связей между переменными.

К особенностям применения математических методов обработки в психологии относятся следующие утверждения:

• чем ближе к реальности экспериментальные данные, тем надежнее результат математического исследования;

• при использовании математических методов для анализа и обработки результатов экспериментов и наблюдений большую часть успеха исследования составляют определение типа решаемой задачи и выбор метода решения;

• важную часть решения задачи занимает интерпретация полученного результата.

studfiles.net

Математические методы — это… Что такое Математические методы?

Математические методы

применяются для обработки полученных методом опроса и эксперимента данных, а также для установления количественных зависимостей между изучаемыми явлениями. Они помогают оценить результаты эксперимента, повышают надежность выводов, дают основание для теоретических обобщений. К математическим методам относят методы: регистрации, ранжирования, шкалирования (см. регистрация, ранжирование, шкалирование).

Исследовательская деятельность. Словарь.— М.: УЦ «Перспектива». Е.А. Шашенкова. 2010.

• Магистратура
• Метод идеализации

Смотреть что такое «Математические методы» в других словарях:

• МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ — в демографии, служат для количеств. и качеств, анализа демографич. процессов, используются при расчёте разл. демографич. показателей. М. м. применяются, во первых, в теоретич. анализе взаимосвязей между характеристиками разл. демографич.… …   Демографический энциклопедический словарь

• Математические методы в социологии — Математические методы в социологии  методы статистического анализа статистических данных и методы математического моделирования социальных явлений и процессов. Компьютерная социология  использование возможностей компьютерной техники для …   Википедия

• МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ГЕОЛОГИИ — использование математических методов в геологических исследованиях обеспечивает воспроизводимость результатов, позволяет максимально унифицировать форму представления материала и производить его обработку сообразно системе строгих, логически… …   Геологическая энциклопедия

• математические методы в биологии — сущ., кол во синонимов: 1 • мамба (3) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

• Математические методы в экономике — Эта статья или раздел описывает ситуацию применительно лишь к одному региону. Вы можете помочь Википедии, добавив информацию для других стран и регионов. Математические методы в экономике   научное направление в экономике, посвящённое и …   Википедия

• Математические методы в управлении войсками — количественные и символико логические методы анализа, оценки и прогнозирования обстановки, подготовки на этой основе управленческих решений и их оптимизации. Среди известных М.м.у.в. наибольшее распространение получили методы теории вероятностей …   Пограничный словарь

• МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИНЖЕНЕРНОЙ ПСИХОЛОГИИ — совокупность алгоритмов, основанных на теоретических положениях и идеях определенного раздела математики и позволяющих осуществить комплексный анализ закономерностей и соотношений. Применение М. м. в инженерной психологии развивается по трем… …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

• экономико-математические методы — эконометрика — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] экономико математические методы ЭММ Обобщающее название комплекса экономических и математических… …   Справочник технического переводчика

• Экономико-математические методы (ЭММ) — [economico mat­he­ma­tical methods] обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения экономики. Введено академиком В.С.Немчиновым в начале 60 х годов. Встречаются высказывания о том, что… …   Экономико-математический словарь

• Экономика и математические методы — Cписок значений слова или словосочетания со ссылками на …   Википедия

Книги

• Математические методы социальных технологий, Курбатов В.И., В учебном пособии изложены математические модели и методы их анализа, апробированные при изучении демографических, экономических и социальных процессов. Рассмотрены математические модели… Категория: Социология, политология Издатель: ВУЗОВСКАЯ КНИГА, Производитель: ВУЗОВСКАЯ КНИГА, Подробнее  Купить за 1053 грн (только Украина)
• Математические методы, Т. Л. Партыка, И. И. Попов, Рассматриваются прикладные математические методы и модели, в том числе методы математического программирования (поиск экстремума, линейное и динамическое программирование), многосвязные… Категория: Разработка программного обеспечения Серия: Профессиональное образование Издатель: Форум, Инфра-М, Подробнее  Купить за 674 руб
• Математические методы, Т. Л. Партыка, И. И. Попов, Рассматриваются прикладные математические методы и модели, в том числе методы математического программирования (поиск экстремума, линейное и динамическое программирование), многосвязные… Категория: Учебники для ВУЗов Серия: Профессиональное образование Издатель: Форум, Инфра-М, Производитель: Форум, Инфра-М, Подробнее  Купить за 500 грн (только Украина)

research_activities.academic.ru

Методы математического анализа — Энциклопедия по экономике

Решение этого комплекса задач осуществляется на единой математической основе. Помимо сетевых моделей при расчете календарно-плановых нормативов использованы методы математического анализа, комбинаторно-эвристические процедуры и теория математической статистики.  [c.45]

Данная глава посвящена моделированию фактического распределения сделок с помощью регулируемого распределения, то есть поиску функции и ее подходящих параметров, которые моделируют фактическую функцию плотности вероятности торговых P L с двумя точками перегиба. Вы можете использовать уже известные функции и методы, например, полиномиальную интерполяцию или экстраполяцию, интерполяцию и экстраполяцию рациональной функции (частные многочленов), или использовать сплайн-интерполяцию. После того как теоретическая функция найдена, можно определить ассоциированные вероятности тем же методом расчета интеграла, который использовался при поиске ассоциированных вероятностей регулируемого распределения, или рассчитать интеграл с помощью методов математического анализа. Одна из целей этой книги — позволить трейдерам, использующим немеханические системы, применять те же методы управления счетом, что и трейдерам, использующим механические системы. Регулируемое распределение требует расчета параметров, они относятся к первым четырем моментам распределения. Именно эти моменты — расположение, масштаб, асимметрия и эксцесс — описывают распределение. Таким образом, кто-либо, торгующий по немеханическому методу, например по волнам Эллиотта,  [c.141]

Первоначально, когда еще в природе не существовало компьютерной техники, а методы математического анализа в силу сложности расчетов никто не пытался применить для анализа динамики цен, трейдеры вручную, используя лишь логарифмические линейки, рисовали графики, на которых откладывали прямые линии. Позже были найдены закономерности в соотношении этих линий и графиков цен. Так возникли трендовые линии, модели и фигуры.  [c.35]

Исторически классический технический анализ развивался следующим образом. Первоначально, когда еще в природе не существовало компьютерной техники, а методы математического анализа в силу сложности расчетов никто не пытался применять для анализа динамики цен, трейдеры вручную, ис-  [c.243]

Методы математического анализа  [c.140]

Использование методов математического анализа для управления производством сводится в основном к отысканию максимумов (или минимумов) различных функциональных зависимостей, которые имеются на предприятии. Если имеется функциональная зависимость общего вида у=-рО ), то точка экстремума должна удовлетворять условию g — 0. Иными словами, необходимо сначала продифференцировать функцию, затем приравнять ее к нулю, затем определить соответствующее значение х. Например, имеем зависимость  [c.140]

Следует помнить, что если функция имеет несколько минимумов или максимумов, то методы математического,. анализа не дают гарантии нахождения самой максимальной или самой минимальной точки.  [c.141]

В настоящее время происходит также синтез аналитических методов математического анализа и вычислительной математики. В последние десятилетия появились универсальные пакеты символьных вычислений, которые позволяют без знания алгоритмов и программ решать на компьютере сложнейшие численные и аналитические задачи быстро отыскивать производные и экстремумы сложных функций, строить графики, решать системы уравнений и многое другое.  [c.14]

Наличие функциональных зависимостей социально-экономических явлений позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа. Поэтому необходимо познакомиться с ними. Это знакомство мы начнем со способов задания функции.  [c.22]

Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать для решения экономических проблем методы математического анализа. В качестве примеров функциональных зависимостей можно привести следующие функции, имеющие смысл в некоторой области значений аргумента  [c.94]

В последнее время стали применяться методы математического анализа работы энергосистем на электронно-счетных машинах. Такой анализ в первую очередь производится в объединенных и крупных энергосистемах и позволяет выявить резервы дальнейшего снижения себестоимости энергии.  [c.405]

Иными словами, методика программирования — это одна из глав прикладной математики. Другими главами являются методика применения теории вероятностей, теория сложных систем, теория численных методов математического анализа, методика решения некорректно поставленных задач 7 и многие другие.  [c.5]

Буржуазным экономистам нельзя верить ни в одном слове, раз речь заходит об общей теории политической экономии 2. Исследования буржуазных ученых могут представлять определенный интерес лишь со стороны использования статистических материалов, некоторых методов математического анализа, данных отраслевых и специальных экономик о технико-экономических сдвигах в хозяйстве.  [c.541]

Еще до официального признания в рамках государственной политики необходимости перехода от планово-распределительной системы с командно-административными принципами управления к рыночным отношениям было известно, что дать полное формализованное описание системы управления для сложных систем практически невозможно. Причиной этому являются протекающие в управляемой системе (или внешней для нее среде) процессы, при описании которых не удается воспользоваться информацией об их внутренней структуре или принципах формирования, а также недоступность информации и чрезмерные затраты на ее получение. Это особенно характерно для рыночной экономики и при ее формировании. Поэтому в настоящей работе наибольшее внимание уделено методикам, которые позволяют принимать и обосновывать решения при неопределенности экономических данных и ситуаций, недостатке фактической информации об окружающей среде, ее перспективах, что вызывает наибольшие затруднения у специалистов в условиях рыночных отношений. Это вариантные методы математического анализа возможных линий поведения и связанных с ними исходов. Среди них в настоящей главе рассмотрены теория игр, разновидность имитационной модели, теория графов, эвристические методы при использовании методов экспертных оценок, теория вероятностей в сочетании с другими методами. В составе аналитических расчетов задействованы также приемы факторного анализа, балансовых методов и др.  [c.55]

Применяя методы математического анализа и математической статистики, можно заранее рассчитать репрезентативность выборки информации и ее соответствие генеральной совокупности.  [c.546]

Многообразие и сложность проблемы пропорций нашли свое отражение в различных подходах к исследуемой проблеме. Большинство авторов используют в работе метод математического анализа, иногда полностью отвлекаясь от назначения изделия, законов формирования его материальной структуры. Этот метод позволяет выявить наличие пропорций, но не объясняет, к сожалению, как и почему применена именно эта пропорция и какой художественный эффект при этом был достигнут. Отсюда ограниченность математических методов и ошибочность вывода о том, что достаточно установить строгую пропорциональность, как сразу изделие приобретает гармоничную завершенность и эстетическую выразительность.  [c.190]

Вывод. Для проведения сравнительной оценки семи предприятий использовано пять оценочных показателей. Расчеты, проведенные с использованием метода математического анализа, показали, что более точное распределение мест дал метод Дельфи, где учтена значимость показателей, используемых для сравнительной оценки предприятий.  [c.288]

Обработка прогнозных данных не требует от риск-менеджера фундаментальных знаний различных методов математического анализа. Это позволит оптимизировать структуру подразделения по управлению риском предприятия, распределив нагрузку между специалистами различного профиля (финансистами, математиками, юристами), и оптимизировать затраты на содержание данного подразделения.  [c.581]

Математический анализ. Математический анализ подразумевает вычисление теоретических ранних и поздних дат начала и завершения всех работ проекта без учета ограничений со стороны набора ресурсов. В результате получается не расписание, а скорее показатель количества временных периодов, в рамках которых работа должна быть запланирована с данными ресурсами и прочими известными ограничениями. Наиболее известны следующие методы математического анализа  [c.73]

Кроме балансового в плановой работе используются и другие методы экономического анализа и синтеза, прямого счета, расчета по факторам, экстраполяции и итерации, экономико-математические методы (линейного программирования, динамического программирования, матричный и др.), метод экономико-математического моделирования.  [c.72]

При современных масштабах производства эффективная работа по плановому руководству отдельными предприятиями и отраслью немыслима без широкого внедрения математических методов в анализ и планирование и без электронно-вычислительной техники. В настоящее время ведутся исследования и разрабатывается теория планирования, в основе которой лежат балансовый метод, метод моделирования и метод выбора оптимального варианта производственной программы. В частности, благоприятные перспективы имеет матричный (балансовый) метод планирования деятельности предприятий, основанный на применении матричной алгебры.  [c.129]

Курс Оценка стоимости предприятия (бизнеса) имеет связь с такими дисциплинами, как «Теория и практика оценочной деятельности», «Правовые основы оценочной деятельности», «Математические методы оценки» » Анализ финансовой отчетности», «Бухгалтерский учет», «Микро и макроэкономика», «Бизнес-планирование».  [c.311]

Критерии и способы оценки сравнительной экономической эффективности проектов детально излагаются в главе 5. Однако вопросы, рассматриваемые на стадии ТЭО, настолько широки и разноплановы, что одних экономических критериев здесь явно недостаточно. Формальные методы математической оптимизации здесь играют подчиненную роль. А главное внимание обращено на творческую проработку ft анализ имеющихся альтернатив. Оценку их эффективности дают с помощью целой группы экономических, социальных, экологических, технико-технологических, а нередко — и международных аспектов. Наиболее удачный вариант проектных решений принимают к осуществлению и утверждают в виде «Технического задания на разработку проекта строительства предприятия» (ТЗ).  [c.55]

Кроме метода элиминирования, для определения характера и степени зависимости технико-экономических показателей от различных факторов в процессе анализа используют методы математической статистики, в частности, корреляционный метод, требующий современные средства вычислительной техники.  [c.389]

Чем удачнее подобрана модель, тем точнее она отражает характерные черты анализируемого процесса, тем достовернее полученные результаты. К построению моделей подходят по-разному используют методы математического программирования (линейное, динамичное, выпуклое, стохастическое), сетевого и матричного планирования, математической статистики (дисперсионный и регрессионный анализы, группировка совокупностей по статистическим критериям) и т.д.  [c.33]

При анализе фактических и расчетных показателей эффективности организационно-технических мероприятий обычно применяют методы математической статистики (уравнения корреляции, дисперсионный анализ, теорию вероятностей, законы больших чисел, метод полного факторного анализа, метод наименьших квадратов, математической обработки динамических рядов и т. д.). Следует иметь в виду, что математические методы и ЭВМ следует использовать при качественном анализе основных критериев и показателей эффективностей, выявлении взаимообусловленных связей и зависимостей.  [c.98]

В связи с различиями в структурности проблем в планировании существуют различные методы разработки и обоснования оптимальности планов. К ним относятся методы экономического анализа балансовый технико-экономических расчетов, системного анализа, экономико-математические методы, экспертные (оценочные).  [c.143]

В последнее время особое значение придается применению различных экономико-математических методов для анализа показателей, характеризующих развитие экономики, в том числе для анализа себестоимости.  [c.23]

Одновременно с этим методом в нефтяной промышленности применим метод индексного анализа себестоимости, а также трансцендентная кинетическая производственная функция как экономико-математическая модель [28]. Одним из главных условий получения хороших результатов является правильный выбор исходных статистических показателей, от которых зависит в значительной степени точность расчетов.  [c.23]

При наличии такого согласованного набора показателей нашей небольшой группе уже не нужно было разводить долгих философских дискуссий о том, к какому из характерных регионов США следует отнести тот или иной город, или о том, что в таком-то районе экономика вообще развита хорошо, и поэтому наши продажи должны здесь пойти вверх. Подобные обсуждения заменил математический анализ. Членам группы оставалось только сравнить коэффициент эффективности любого города с показателями других городов и с наличием или отсутствием маркетинговой активности в этих городах. Самое главное, они получили метод экстраполяции потенциального объема продаж в таких городах, где до сих пор никаких маркетинговых мероприятий еще не проводилось. В результате оказалось, что многие небольшие города имеют весьма неплохие перспективы.  [c.47]

В число основных традиционных способов и приемов экономического анализа входят исчисление относительных и средних величин сравнение группировка индексный метод метод цепных подстановок балансовый метод. К математическим методам экономического анализа можно  [c.14]

Для решения данной задачи использованы методы математической статистики, в частности, корреляционно-регрессионный анализ.  [c.104]

Так, к оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам относятся отдельные методы математического программирования, методы исследования операций, методы экономической кибернетики, методы математической теории планирования экстремальных экспериментов, эвристические методы. К неоптимизационным точным методам относятся методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К неоптимизационным приближенным методам относятся метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.  [c.98]

Ряд экономических задач в области проектирования и эксплуатации оборудования, используемого в газоразделении, может с успехом решаться обычными методами классического анализа (выбор оптимальной толщины изоляции, оценка сравнительной экономической эффективности различных типов теп-лообменных аппаратов, выбор оптимального размера предприятий и пр.). Приведем пример использования метода математического анализа при решении экономической задачи (выбор оптимальной толщины изоляции агрегатов глубокого охлаждения).  [c.198]

С начала XX в. в учебных курсах микроэкономического анализа изме] лось и понимание метода экономической теории. Менялись и взгляды методику ее преподавания. В 40—50-е гг. главной задачей преподавания с ло внедрение методов математического анализа. Об этом свидетельствует ник Гарвардского университета, написанный Дж. Хендерсоном и Р Кн н том в 1958 г. Он был высоко оценен такими выдающимися исследователя как Э. Хансен, У. Баумоль, Э. Чемберлин. Вучебнике излагается куре мик экономического анализа для неэкономических специальностей, полност переложенный на язык математики. Повсеместное внедрение математик ких методов как в научные исследования, так и в изложение учебного мл» риала, позволило более строго и стройно изложить основные теоретическ положения, проверить теоретические системы навнутреннююлогику, обл чило проверку теорий с помощью статистических данных.  [c.362]

Целевая функция / может быть недифференцируемой, что затрудняет применение классических методов математического анализа.  [c.84]

Неоптимизационные точные методы элементарной математики классические методы математического анализа эконометричес-кие методы.  [c.219]

В прогнозировании можно идти двумя путями. Первый — попытаться причинно-следственный механизм, т.е. найти факторы, опреде-поведение прогнозируемого показателя, прогноз по которым либо известен, либо его дать несложно. Этот путь приводит к экономико-математическому моделированию, построению модели поведения экономического объекта. В настоящее время данный путь широко используется при прогнозировании природопользования. Второй путь — не вдаваясь в механику движения, попытаться предсказать будущее положение, анали-временной ряд изолированно. В современной практике прогнозиро-природопользования такие методы изолированного анализа и про-почти не применяются, но преимущество этих методов диктует необходимость их более широкого применения.  [c.31]

Из различных возможных направлений развития отрасли необходимо отобрать наилучшие с учетом имеющихся возможностей. С этой целью составленные прогнозы подвергают тщательному анализу. Значительное количество неопределенностей обусловли-ваег вероятностный характер прогнозов. В случае, если предвидение будущего выполняется с помощью статистических методов, вероятность осуществления прогноза определяется с помощью методов математической статистики. На основе статистических методов находят верхнюю и нижнюю границы значения прогнозируемых параметров (например, производительность труда, себестоимость продукции).  [c.90]

economy-ru.info

Методы математические — Энциклопедия по экономике

Сущность статистического контроля качества продукции состоит в том, что на предприятии с помощью методов математической  [c.123]

Чтобы успешно проводить исследования, необходимо разработать их методику, ознакомиться с методами математической статистики, основами логики, нужно научиться обобщать факты, и, что самое главное, безукоризненно знать предмет исследований.  [c.33]

Процесс разработки в условиях АСУП задач перспективного развития предприятия включает следующее 1) определение круга решаемых проблем и искомых результатов 2) локализацию системы, т. е. определение комплекса входящих в нее объектов и связей рассматриваемой системы с отраслью и народным хозяйством 3) выбор периода планирования 4) выбор типа экстремальной задачи в зависимости от характера решаемых проблем, специфики оптимизируемой системы, длительности периода планирования и т. д. 5) установление критерия оптимальности 6) определение возможных вариантов развития отдельных объектов системы — перспектив реконструкции или модернизации действующих объектов предприятий, возможность расширения предприятия за счет строительства новых объектов основного и вспомогательного производства, варианты совершенствования технологии и т. д. 7) формулирование условий, в которых осуществляется деятельность всей рассматриваемой системы и отдельных ее объектов, включая внешние и внутренние ее связи 8) формализацию задачи, т. е. описание условий деятельности системы и целевой функции в виде экономико-математической модели 9) подготовку исходной информации, определение числовых значений параметров экономико-математической модели 10) решение возникающих экстремальных задач отыскания лучшего варианта развития системы с использованием методов математического программирования и ЭВМ И) ана-. лиз полученных результатов 12) выдачу необходимой исходной информации, включая результаты выполненных расчетов в АСУП, для решения комплексной задачи в масштабе отрасли.  [c.420]

Метод уравнений. Сущность метода математических уравнений состоит в следующем.  [c.220]

Критерии и способы оценки сравнительной экономической эффективности проектов детально излагаются в главе 5. Однако вопросы, рассматриваемые на стадии ТЭО, настолько широки и разноплановы, что одних экономических критериев здесь явно недостаточно. Формальные методы математической оптимизации здесь играют подчиненную роль. А главное внимание обращено на творческую проработку ft анализ имеющихся альтернатив. Оценку их эффективности дают с помощью целой группы экономических, социальных, экологических, технико-технологических, а нередко — и международных аспектов. Наиболее удачный вариант проектных решений принимают к осуществлению и утверждают в виде «Технического задания на разработку проекта строительства предприятия» (ТЗ).  [c.55]

Применение методов математического моделирования при подготовке. производства  [c.100]

Математическое моделирование технологических процессов основывается на теории процесса как результате соответствующих исследований. Однако нередко встречаются процессы столь сложные, что теоретическое изучение их механизма требует весьма длительных сроков, тогда как задачи оптимизации подлежат решению в более короткое время. Поэтому для моделирования технологических процессов используются методы математической статистики, позволяющие на основе эксперимента давать математическое описание очень сложных или малоизученных процессов.  [c.100]

Математико-статистическое моделирование основывается на методах математической статистики, теории вероятностей, теории корреляции и других. Эффективность применения этих методов была значительно повышена  [c.100]

Во всех перечисленных выше методах математического программирования коэффициенты ограничений и оптимизируемой функции рассматриваются как величины, не зависящие от времени. Поэтому эти методы пригодны для решения только статических задач. Для исследования динамических процессов и явлений применяют метод динамического программирования, в  [c.153]

В общем виде функциональная зависимость удельных эксплуатационных затрат у от факториальных признаков (х, d, z, V, w, R) выражается по методу математической статистики следующим уравнением связи  [c.156]

Кроме метода элиминирования, для определения характера и степени зависимости технико-экономических показателей от различных факторов в процессе анализа используют методы математической статистики, в частности, корреляционный метод, требующий современные средства вычислительной техники.  [c.389]

Чем удачнее подобрана модель, тем точнее она отражает характерные черты анализируемого процесса, тем достовернее полученные результаты. К построению моделей подходят по-разному используют методы математического программирования (линейное, динамичное, выпуклое, стохастическое), сетевого и матричного планирования, математической статистики (дисперсионный и регрессионный анализы, группировка совокупностей по статистическим критериям) и т.д.  [c.33]

Оптимизация производственной программы предприятия. Для выбора более рациональных вариантов смешения компонентов в товарные нефтепродукты и для расчета оптимальной производственной программы на нефтеперерабатывающих предприятиях применяют методы математического программирования.  [c.73]

При анализе фактических и расчетных показателей эффективности организационно-технических мероприятий обычно применяют методы математической статистики (уравнения корреляции, дисперсионный анализ, теорию вероятностей, законы больших чисел, метод полного факторного анализа, метод наименьших квадратов, математической обработки динамических рядов и т. д.). Следует иметь в виду, что математические методы и ЭВМ следует использовать при качественном анализе основных критериев и показателей эффективностей, выявлении взаимообусловленных связей и зависимостей.  [c.98]

Одним из наиболее известных методов является система Аккорд (автоматизация контроля и координации оптимальных режимов деятельности). Оптимизация рабочей силы в этой системе выполняется по программе Дельта . Идея алгоритма этой программы сводится к использованию метода линейного программирования на сети. Можно отметить достаточную строгость применяемого в этом методе математического аппарата. Недостаток этого метода заключается в том, что оптимизация проводится без учета механизации работ (путем добавления или изменения одних рабочих).  [c.47]

Зависимость отдельных составляющих целевой функции от числа пунктов разгрузки, включенных в какой-либо вариант внешнего транспортного обеспечения и условно рассматриваемых как непрерывные функции в области целочисленных величин числа пунктов разгрузки пгв, представлена на рис. 27. Как видно из рисунка, с увеличением числа пунктов разгрузки возрастают суммарные затраты на их организацию и уменьшаются транспортные расходы по доставке труб к месту работ. Следовательно, целевая функция как сумма указанных составляющих имеет экстремум при некотором значении числа пунктов разгрузки. Учитывая нелинейную зависимость функционала и его отдельных составляющих от числа вводимых пунктов разгрузки и искомых переменных, для решения поставленной задачи не могут быть применены классические методы математического программирования (например,. линейного). Как известно из курса высшей математики, математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных. Само название программирование взято из линейного программирования, где оно обычно обозначает распределение наилучшим образом ограниченных ресурсов для достижения поставленных целей. Следовательно, термин программирование здесь можно заменить термином планирование .  [c.145]

Данный метод поиска оптимального набора пунктов разгрузки можно отнести к области эвристического (логического) программирования. Как и в большинстве других методов математического программирования, вначале находят опорное решение рассматриваемой задачи (так называемый допустимый план). Затем последовательно за конечное число шагов (итераций) находят допустимое решение, соответствующее минимуму целевой функции. На каждом шаге определяют новое допустимое решение, которому соответствует меньшее значение целевой функции, чем ее значение на предыдущем допустимом решении.  [c.146]

Обработка данных методами математической статистики заключается в следующем  [c.57]

Ввиду того, что межремонтный период работы турбобура при одинаковом долоте и методе бурения изменяется в весьма широких пределах вследствие влияния случайных причин, результаты промысловых данных были отработаны методами математической статистики, описанной в предыдущем параграфе. Для этого составляли вариационный ряд значений межремонтного периода работы турбобура в зависимости от вида бурения и диаметра скважины. После предварительного исключения из вариационного ряда грубых промахов для каждого варианта определяли среднее взвешенное значение признака, среднеквадратическое отклонение и предельную случайную погрешность, коэффициент вариации и степень точно сти при вероятности 0,80 и данном числе степеней свободы.  [c.60]

Для выяснения этих вопросов полученные показатели работы долот в обоих вариантах бурения были обработаны методами математической статистики, описанной в IV главе.  [c.205]

Для решения данной задачи использованы методы математической статистики, в частности, корреляционно-регрессионный анализ.  [c.104]

Выборочный контроль качества продукции основан на применении методов математической статистики для проверки соответствия качества контролируемой партии изделий установленным требованиям по выборочным характеристикам малой выборки из партии.  [c.174]

Таким образом, анализ с применением методов математической статистики дает возможность установить, в какой мере каждый из объективно действующих факторов и вся их совокупность влияют на уровень производительности труда, что позволяет в какой-то мере управлять величиной производительности труда. Решение этой задачи имеет большое значение для научно обоснованного планирования, особенно на перспективный период.  [c.89]

При выполнении анализа технико-экономической эффективности НИР выбор методов и средств зависит не только от целей анализа, но и от объема исходной информации, которая есть на данной стадии НИР. Так, на стадии разработки технического задания имеется весьма ограниченный круг данных, поэтому, естественно, расчеты по узкому кругу укрупненных показателей носят ориентировочный характер. Широко используются методы экстраполяции, моделирования, аналогов и т. д. При оформлении результатов НИР, когда имеются уже основные характеристики исследуемого объекта, расчеты, обосновывающие целесообразность проведения ОКР и внедрения объекта в производство, должны быть сделаны значительно более точно с использованием информации, накопленной в процессе проведения НИР. На этой стадии могут широко применяться методы математического моделирования, учитывающие структуру объекта, его основные конструкторские характеристики, результаты исследования физических моделей и т. д.  [c.88]

При применении методов математического планирования эксперимента применяется bj — 3.  [c.90]

В условиях конструкторской подготовки производства весьма трудно обеспечить равномерную по календарным срокам сдачу технической документации на опытные образцы. Выявленные в процессе проектирования недочеты конструкции, необходимость конструкторских доработок и изменений, естественно, вызывает многочисленные отклонения от плановых сроков и, как следствие, неравномерное поступление заказов в экспериментальные цехи. В таких условиях большую роль играет применение математических приемов, позволяющих оперативно маневрировать ресурсами и обеспечить выравнивание загрузки производственных участков. В частности, оптимизация загрузки опытного производства, маневрирование ресурсами могут выполняться методами математического моделирования.  [c.130]

Корреляционный анализ, основанный на использовании методов математической статистики при обработке исходных данных, позволяет выявить комплексное влияние на величину себестоимости ряда основных, наиболее существенных факторов. При использовании этого метода себестоимость серийного изготовления проектируемого изделия рассматривается как функция выбранных его характеристик  [c.142]

Большое количество промежуточных расчетов, требующихся для определения приведенных затрат и годового эффекта, заставляет учитывать еще одну характерную особенность технико-экономического анализа. Поскольку объем исходной информации по проектируемой машине (особенно на ранних стадиях проектирования) весьма ограничен, для этих расчетов привлекается разнообразный статистический материал и используются различные методы математической статистики. Как бы совершенна ни была зависимость, разработанная для расчета того или иного показателя, погрешность в полученных  [c.148]

В настоящее время широко используется метод установления нормативной численности работающих, основанный на изучении влияния различных факторов на объем работ. На основании данных о фактической численности работников, занятых выполнением тех или иных трудовых функций, и численных значений факторов по группе базовых предприятий с применением метода математической статистики для данной группы  [c.262]

Новые возможности для использования всех рассмотренных выше методов открываются применением в планировании методов экономико-математического моделирования. Так, например, аппарат межотраслевого моделирования позволяет увязать баланс народного хозяйства с системой материальных балансов, с отраслевыми расчетами потребности в продукции и структуры затрат на ее производство, с расчетами по капитальному строительству, уровню жизни населения и др., а в конечном счете — поставить и решить задачу оптимизации межотраслевых связей. Тем самым балансовый метод получает свое дальнейшее развитие за счет применения методов межотраслевого моделирования и оптимального планирования. Методы сетевого планирования, матричной алгебры, оптимизации выступают в качестве инструментов практической реализации программно-целевого подхода, а методы математической статистики находят широкое применение в прогнозировании.  [c.95]

Однако практическое применение экономико-математических методов в нашей стране стало реально осуществимым к началу 60-х годов благодаря появлению и быстрому развитию электронной вычислительной техники. В эти годы были построены первые отчетные и экспериментальные плановые межотраслевые балансы, решены первые задачи оптимального развития и размещения производства, рассчитаны прогнозы отдельных экономических показателей с помощью методов математической статистики.  [c.117]

В составе задач первой очереди АСПР Госплана СССР около 80% их общего числа относится к задачам прямой обработки данных и 20%—к задачам, реализуемым с использованием экономико-математических моделей. Среди задач первого из этих классов (класс А) примерно 60% относится к прямым плановым расчетам и 40%—к информационно-поисковым и справочным задачам. Среди задач второго из этих классов (класс Б) наиболее широко представлены задачи, решаемые на основе народнохозяйственных межотраслевых моделей и моделей оптимального планирования. Задачи типа БЗ, решаемые с использованием методов математической статистики, пока еще не нашли широкого применения.  [c.178]

Основная цель планирования технической подготовки производства определение сроков выполнения всего комплекса работ п отдельных его этапов. Эффективность организации технической подготовки определяется правильным выбором методов планирования, планово-учетных единиц планирования, своевременностью разработки п обоснованностью системы норм и нормативов трудоемкости п продолжительности выполнения ра-бдокументы организации работ технической подготовки производства. Один метод планирования заключается в разработке календарных линейных графиков по этапам работ другой в разработке сетевого графика с применением методов математической статистики и электронно-вычислительной техники. Качество норм и нормативов предопределяет обоснованность плановых показателей п позволяет с высокой степенью достоверности оцепить результаты труда исполнителей.  [c.72]

Из различных возможных направлений развития отрасли необходимо отобрать наилучшие с учетом имеющихся возможностей. С этой целью составленные прогнозы подвергают тщательному анализу. Значительное количество неопределенностей обусловли-ваег вероятностный характер прогнозов. В случае, если предвидение будущего выполняется с помощью статистических методов, вероятность осуществления прогноза определяется с помощью методов математической статистики. На основе статистических методов находят верхнюю и нижнюю границы значения прогнозируемых параметров (например, производительность труда, себестоимость продукции).  [c.90]

Методы математического моделирования процессов позволяют существенно уменьшить объем и продолжительность проектных разработок и могут быть использованы как для решения проектных задач при создании новых промышленных объектов, так и для оптимизации уже осуществленных технологических режимов. Математическое описание содержит необходимые исходные данные для автоматизации управления технологическими процессами описывающие уравнения вводят в ЭЦВМ, которая на их основе выдает команды для постоянного поддержания оптимального технологического режима.  [c.100]

Ввиду того, что показатели работы долот при бурении с отклонителем и на прямой трубе изменяются в сравнительно большом диапазоне, а количество их ограничено, то для установления точности и надежности исследуемых показателей и случайности или неслучайности различия между ними фактические промысловые данные должны быть обработаны методами математической статистики [56]. При этом исходят из известной теории П. Л. Че-бышева, что при достаточно большом числе наблюдений среднее оказывается вполне определенной величиной, вытекающей из общих условий процесса. Чем больше число наблюдений, тем ближе подходит среднее их значение к своему математическому ожиданию, представляющему собой среднюю величину возможных зна-  [c.56]

Ввиду ограниченности количества данных при работе с двумя сопоставимыми отклоняющими компоновками необходимо установить точность и надежность средних значений показателей работы долот в обоих вариантах, а также выяснить, случайно или не случайно различие между ними. С этой целью полученные показатели работы долот в обоих вариантах бурения были обработаны методами математической статистики, описанной в главе IV. В результате этого данные, содержащие грубые ошибки, исключались из рассмотрения и не вошли в табл. 43. При этом было установлено, что средняя проходка на трехшарошечное долото Б-269С при бурении с кривыми переводниками с углом смещения осей резьб 2 и 2,5° составляет соответственно 30,7 и 24,4 м исправленное среднемвадратичбское отклонение 10,0 и 7,26 м коэффициент вариации 32,6 и 27,5% точность 2,70 и 1,67 м при вероятности 0,80.  [c.184]

Обработка параметров искривления ствола методами математической статистики [23] показала, что при бурении опытными долотами ЗВ-190С приращение искривления ствола на 10 м проходки на 24% больше, чем при бурении серийными долотами ОМ-576-190С (1,37е против 1,09°).  [c.215]

В последние годы на основе теоретического обобщения передовой практики советскими учеными и практическими работниками разработан ряд новых принципов и подходов, способствующих рационализации всею комплекса работ по подготовке производства. Успешно внедряются в практику методы организации комплексной подготовки производства, обеспечивающей реализацию процессов создания и внедрения новой техники По единому плану, во нзаим-ной связи и обусловленности. Значительно расширен диапазон методов технико-экономического анализа технических и организационных решений при проектировании новой техники, технологии и организации производства. Создана методология функционально-стоимостного анализа и определены конкретные пути его реализации в условиях социалистической промышленности. Широкое применение находят программно-целевые методы планирования и организации работ по созданию новых видов продукции. Разработаны процедуры планирования, методические принципы формирования нормативной базы, методы математического и имитационного моделирования. Определены формы и способы организации подготовки производства в системах автоматизированного проектирования.  [c.309]

economy-ru.info

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ — это… Что такое МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ?

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ в демографии, служат для количеств. и качеств, анализа демографич. процессов, используются при расчёте разл. демографич. показателей. М. м. применяются, во-первых, в теоретич. анализе взаимосвязей между характеристиками разл. демографич. процессов и состава и числ. нас. главным образом на основе моделей демографических. Во-вторых, для расчёта или приближённой оценки отд. количеств. мер, в т. ч. производных показателей, рассчитываемых на основе демографич. моделей (напр., истинный коэфф. естеств. прироста, сила смертности и др.), а также непосредственных характеристик нас. и демографич. процессов, к-рые в силу тех или иных причин не были получены при сборе данных демографич. статистики (определение данных по 1-летним возрастам исходя из 5-летних возрастных групп, для заполнения пропусков в динамич. рядах показателей и их экстраполяции и др.). В-третьих, для анализа и матем. описания, а также прогноза связей между отд. демографич. показателями (напр., биометрический анализ, формула Брасса в типовых таблицах смертности). Кроме того, в рамках статистич. методов выделяются теоретико-вероятностные и математико-статистические.

В основе применения М. м. в демографии лежит формализация демографич. процесса, в ходе к-рой приходится абстрагироваться от целого ряда качеств. характеристик, черт и свойств нас. Так, применяя методы матем. анализа, приходится не учитывать, что числ. нас. или число демографич. событий суть целые величины, изменяющиеся прерывно, в дискретных моделях предполагается несущественным распределение событий внутри годичного интервала времени и т. д. Применение М. м. допустимо в той мере, в какой формальные допущения не искажают существа изучаемых процессов или явлений.

В совр. демографии применяются методы матем. анализа (интегральное и дифференциальное исчисления, теория рядов и т. п.) и дифференциальных уравнений при построении непрерывных моделей демографич. процессов. Интегральные уравнения служат гл. обр. для описания процесса воспроиз-ва нас. в непрерывной модели (см. Интегральное уравнение). Методы матричной алгебры применяются в дискретных демографич. моделях (см., напр., Модели воспроизводства населения) при перспективных расчётах нас. Теоретико-вероятностные методы используются при построении стохастич. демографич. моделей (напр., имитационных моделей рождаемости). Правила вычисления вероятностей сложных событий лежат в основе расчётов демографич. таблиц, определения т. н. чистых и комбинированных вероятностей (напр., вероятность овдовения к данному возрасту при условии отсутствия развода, вероятность рождения ребёнка или вступления в брак в данном возрастном интервале при наличии или отсутствии смертности и т. д.).

В практике демографич. расчётов важное место занимают методы вычислит. математики; интерполяция и экстраполяция, численное интегрирование (см., напр., Борткевича поправка) и др.

М. м. применялись в демографии на всём протяжении её истории, использование ЭВМ значительно расширило их возможности и повысило точность расчётов.

Венецкии И. Г., Математические методы в демографии, М., 1971; Боярский А. Я., Население и методы его изучения, М., 1975; Keyfitz N., Introduction to the mathematics of population, Reading (Mass.), L., 1968.

Е. М. Андреев.

Демографический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор Д.И. Валентей. 1985.

demography.academic.ru

Классификация экономико-математических методов

Особенностью решения задач управления экономикой является необходимость учета при их решении множества переменных величин, характеризующих постоянно изменяющиеся производственные условия.

Так как число сочетаний этих величин в течение определенного времени могло быть достаточно большим, то возможно существование значительного числа вариантов решений. Отсюда большая размерность решаемых задач. В этих условиях простой перебор и сравнение всех возможных вариантов решения конкретной задачи нереально из-за большой трудоемкости вычислений. Поэтому требуются специальные методы, позволяющие достаточно быстро и с достаточной степенью обоснованности найти искомое решение. Эти методы получили название экономико-математических методов.

Поскольку целью изучения экономико-математических методов является раскрытие механизма их реализации, определение области наиболее эффективного использования, то в качестве классификационного признака можно принять, например, характер используемого математического аппарата. По этому признаку можно выделить методы классической и прикладной математики (рис.1).

Методы классической математики включают математический анализ и теорию вероятностей. Методы математического анализа в свою очередь могут быть классифицированы на дифференциальное и вариационное исчисления. Эти методы целесообразно использовать при расчете параметров календарно-плановых нормативов: определение размеров партии деталей, длительности производственного цикла, для оперативного регулирования производства и др.

Группа методов прикладной математики обширна по номенклатуре, неоднородна по составу элементарных расчетов, способам их реализации, применяемым приемам и т.д. По общности указанных признаков методы рассматриваемой группы можно классифицировать следующим образом: методы оптимального программирования, математической статистики, комбинаторные методы, теории расписаний, игр, массового обслуживания, управление запасами, метод экспертных оценок.

Экономико-математические методы

1. Методы классической математики

1.1.

Матема-

тический

анализ

2. Методы прикладной математики

1.2.

Теория

вероят-

ности

2.2. Матема-

тическая

статистика

2.1. Оптимальное

программи-

рование

2.1.1. Линейное

2.1.2. Вероятность

2.1.5. Выпуклое

2.2.1. Корреляцион-

ный анализ

Дифференци-

альное

исчисление

2.1.6. Квадратичное

2.2.2. Регрессионный анализ

2.6. Теория массового обслуживания

2.4. Теория игр

2.3. Комбина-

торные

методы

2.2.3. Дисперсионный анализ

2.2.4. Факторный анализ

2.7. Теория управления запасами

2.8. Метод экспертных оценок

2.5. Теория расписания

2.1.3. Целочисленное

1.1.2. Вариационное исчисление

2.1.4. Нелинейное

2.1.7. Динамическое

2.1.8. Параметрическое

2.1.9. Блочное

Рис. 1 – Классификация экономико-математических методов

Методы математической статистики используются для нахождения и раскрытия закономерностей, свойственных большим совокупностям однородных объектов. При этом изучается не каждый элемент совокупности, а определенная выборка. Полученные характеристики такой выборки могут использоваться: 1) для сравнительной оценки элементов различных совокупностей или их характеристик, 2) для установления связей между отдельными величинами, 3) для прогнозирования на этой основе развития системы в будущем. Математическая статистика включает: корреляционный, регрессионный, дисперсионный, факторный анализы и др.

Оптимальное программирование – это комплекс специальных методов, обеспечивающих в условиях множества возможных решений выбор такого, которое является наилучшим (оптимальным) по заданному критерию при определенных ограничивающих условиях. Оптимальное программирование – эффективный инструмент решения задач управления. В их числе: линейное, вероятностное, целочисленное (дискретное) программирование, нелинейное, выпуклое, квадратичное, динамическое, параметрическое, блочное и др.

В математике решаемые на оптимум задачи называются экстремальными. В них требуется отыскать максимум или минимум некоторой целевой функции.

Линейное программирование используется при решении задач в том случае, когда целевая функция и ограничения выражены линейными зависимостями. Эти методы в настоящее время являются наиболее разработанными, относительно простыми и понятными для широкого использования. Существуют эффективные алгоритмы для использования вычислительной техники при их реализации. Многие процессы допускают линейную интерпретацию, а некоторые нелинейные зависимости могут быть сведены к линейным для ограниченного числа ситуаций.

Однако в некоторых случаях применение линейных методов искажает получаемые результаты, что приводит к необходимости использования и других методов.

Если в системе равенств или неравенств содержатся случайные элементы, но зависимости между переменными линейные, то такая задача решается методами вероятностного программирования. Если при нахождении неизвестных переменных необходимо, чтобы одна из них или несколько принимали только целочисленные значения, то в этом случае при решении такой задачи необходимо использовать методы целочисленного программирования.

Методы нелинейного программирования используются тогда, когда целевая функция, или хотя бы одно ограничение, выражены нелинейной зависимостью. В числе методов нелинейного программирования можно выделить квадратичное и выпуклое программирование.

Выпуклое программирование представляет собой совокупность специальных методов решения нелинейных экстремальных задач, у которых выпуклы либо целевая функция, либо ограничительные условия.

Квадратичное программирование – это совокупность методов решения особого класса экстремальных задач, в которых ограничения линейны, а целевая функция является многочленом второй степени.

Методы динамического программирования могут применяться для решения оптимизационных задач, в которых необходимо рассматривать процесс управления или производства в пространстве или во времени, т.е. в развитии. Весь процесс поиска оптимального решения представляется в виде определенной последовательности шагов, для каждого из которых находится оптимальное решение, влияющее на последующие шаги (принцип многошаговости Р.Беллмана).

В моделях реальных экономических систем коэффициенты целевой функции или ограничения могут являться не постоянными величинами, а изменяться в течение определенного периода времени под воздействием различных факторов. В этом случае эффективными будут методы параметрического программирования.

Модели, содержащие большое число показателей, очень сложны в реализации. Поэтому в тех случаях, когда это возможно, их преобразуют в несколько моделей меньшей размерности. Полученные локальные задачи решаются совместно с использованием специальных методов, наиболее известным из которых является метод разложения Данцига-Вульфа. Это методы блочного программирования.

Для решения задач методами математического программирования используются комбинаторные методы, например, ветвей и границ. В случае «трудной» задачи она заменяется на набор задач, представляющих ветвь. Чем больше ветвей, тем большее значение получает целевая функция. Граница предельной ветви достигается в том случае, если значение критерия не улучшается. К этим методам близко подходят эвристические, основные на опыте, интуиции исполнителя.

Когда приходится принимать решения в условиях неопределенноcти, причем такое решение должно обеспечивать наибольший эффект или наименьшие потери, целесообразно пользоваться методами теории игр.

Предметом исследования теории массового обслуживания являются вероятностные модели реальных систем обслуживания, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок. В экономике: заявка – спрос на продукцию определенного вида, обслуживающее устройство – предприятия.

Теория расписаний представляет собой систему методов, позволяющих упорядочить во времени использование системы машин для обработки некоторого множества изделий. При этом должны быть выполнены определенные технологические условия и обеспечено достижение оптимального значения заранее заданного критерия качества расписания.

studfiles.net

Математические методы экономических исследований

Международный институт

экономики и права

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Контрольная работа

Тема 1. Системы, системный подход, системный анализ. Основные термины, определения, технологии

1. Понятие системы.

2. Системный подход, принципы системного подхода.

3. Системный анализ: постановка задачи, декомпозиция, композиция системы, исследование системы.

4. Структура системы.

Краткое содержание темы

Вообще строго определенного понятия системы в настоящее время не существует. Однако, для целей экономического исследования наиболее приемлемым будет следующее определение:

Система — это целостная совокупность элементов любого типа, взаимосвязанных между собой, взаимодействие которых обеспечивает достижение поставленной цели.

Таким образом, для системы характерно наличие:

· совокупности элементов;

· взаимосвязи элементов через структуру;

· взаимодействия;

· целенаправленности.

Элемент системы — это структурная единица системы, не подлежащая делению в данных условиях рассмотрения системы.

Основным свойством системы является то, что она обладает характеристиками, принципиально отличными от характеристик составляющих ее элементов. Только интегративное взаимодействие ее элементов позволяет системе достигнуть уникальных свойств.

Системный подход — это конкретно-научный метод диалектической методологии, имеющей общенаучное значение. Методология изучения системы как единого целого, состоящего из отдельных частей, с различных точек зрения формализации позволяет сформулировать следующие принципы системного подхода.

Принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной (глобальной ) цели.

Принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности частей (элементов).

Принцип связности: рассмотрение любой части совместно с ее связями с окружением.

Принцип модульного построения: выделение модулей (подсистем) в системе и рассмотрение ее как совокупность подсистем.

Принцип иерархии: выделение иерархии частей (элементов) и (или) их ранжирование.

Принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функций с приоритетом функций над структурой.

Принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации.

Принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях управления централизации и децентрализации.

Принцип неопределенности: учет неопределенностей и случайностей в системе.

Совокупность приемов и методов для изучения сложных систем представляет собой системный анализ. Системный анализ — это средство и технология системного подхода.

Рассмотрим основные этапы системного анализа.

1. Постановка задачи. Она включает:

· определение объекта исследования;

· постановку целей;

· задание критериев для изучения объекта и управления им.

Этап слабоформализуем. Успех постановки задачи определяется в основном искусством и опытом системного аналитика, глубиной понимания им поставленной проблемы.

2. Структуризация и очертание границ (декомпозиция) изучаемой системы. Она включает:

· разбиение совокупности всех объектов и процессов, отвечающих поставленной цели, на два класса: собственно исследуемую систему и внешнюю среду;

· изучение процессов взаимодействия объектов (элементов) системы и внешней среды.

Этап слабоформализуем. Он основан на искусстве и опыте проводящих этот этап специалистов.

Разбиение объектов и процессов осуществляется в результате последовательного перебора и включения в систему объектов и процессов, оказывающих заметное влияние на процесс достижения поставленной цели.

3. Составление модели изучаемой системы (как правило, математической).

Параметризация — первый этап этого процесса. Осуществляется описание элементов системы и элементарных воздействий с помощью тех или иных параметров. Параметры могут принимать как непрерывные, так и дискретные числовые значения, а также значения в виде признаков, которые не могут быть охарактеризованы с помощью обычных числовых параметров, а различаются качественно (например: теплый, холодный, плохой, хороший).

Установление различного рода зависимостей между введенными параметрами. Характер этих зависимостей может быть любым. Количественные (числовые) параметры связываются зависимостями типа систем уравнений (обыкновенных алгебраических или дифференциальных). Качественные параметры связываются зависимостями типа таблиц. В общем случае могут встречаться комбинации зависимостей различных типов.

Зависимости между параметрами в системах задаются в общем случае не простыми формулами, а произвольными алгоритмами с использованием любых средств как количественных, так и описательных.

Выделение подсистем и установление их иерархии преследует цель не только упрощения описания системы. Этот процесс дает возможность осуществлять уточнение первоначальной структуризации (разбиения на элементы) и параметризации системы.

Результатом этого этапа является законченная математическая модель системы, описанная на формальном языке.

4. Исследование полученной (построенной) системы — четвертый этап системного анализа.

Первая задача этапа — прогноз развития изучаемой системы.

Для решения этой задачи задают различные предположения о внешних воздействиях на систему в течение рассматриваемого периода и с помощью модели определяют распределение значений, характеризующих систему параметров для любых фиксированных моментов времени.

Термин “прогноз развития” подчеркивает то обстоятельство, что для системы нельзя определить единственную траекторию развития, можно определить лишь множество таких траекторий. При этом каждая траектория может реализоваться в действительности лишь с той или иной степенью вероятности.

Получив прогноз развития изучаемой системы, производят анализ его результатов на соответствие заданным целям и критериям и вырабатывают предложения по улучшению управления и т.д., пока не получится удовлетворяющий результат.

Под структурой системы понимается организация системы из отдельных элементов с их взаимосвязями, которые определяются распределением функций и целей, выполняемых системой.

Структура — это способ организации целого из составных частей .

Эффективность структуры определяется качеством, значением, формой и содержанием ее составных частей, а также местом, которое занимают они в целом, и существующими между ними отношениями.

По принципам управления и подчиненности различают структуры (системы): централизованные, децентрализованные, смешанные.

Централизованная система: задания отдельным элементам системы выдаются лишь одним элементом более высокого уровня.

Децентрализованная система: решения отдельными элементами системы принимаются независимо и не корректируются системой более высокого уровня.

В смешанной системе некоторые функции или этапы выполняются по централизованной системе, а другие — по децентрализованной.

По числу уровней иерархии различают системы: одноуровневые, многоуровневые.

Многоуровневые могут быть однородными и неоднородными.

По выполняемым функциям и целевому назначению различают системы: физические, экономические, биологические, общественные, информационные и т.д.

В зависимости от числа элементов системы и связей между ними различают системы фиксированной (жесткой) и изменяемой (управляемой или переменной) структуры.

По принципам разбиения систем на подсистемы различают структуры систем, в которых элементы объединяются по функциональному и (или) объектному принципам. При объектном разбиении различают структуры отраслевых систем, региональных систем, территориальных систем.

1. Методы математической статистики.

2. Методы исследования операций и оптимизации.

3. Кибернетические методы.

4. Методы экспертных оценок.

Краткое содержание темы

Основой моделирования экономических систем и протекающих в них процессов являются экономико-математические методы. Рассмотрим состав и структуру экономико-математических методов, применяемых в современной экономической науке и практике.

К старейшим и наиболее используемым классам экономико-математических методов относятся методы математической статистики. Эти методы используются для анализа деятельности экономических систем и включают в себя следующие направления:

· расчет и интерпретация статистических характеристик экономических процессов;

· рег

mirznanii.com

Исследовать функцию y=x^2/x+1 и построить график….

Решение:
y(x)=x²/(x-1)
1) Область определения: (- ∞;1) (1;∞)
2) Множество значений: (0;∞)
3) Проверим является ли функция четной или нечетной:
y(х) = x²/(x-1)
y(-x)=x²/(-x-1) , так как y(х) ≠y(-х) и y(-х) ≠-y(х) , то функция не является ни четной ни не четной.
4)Найдем координаты точек пересечения с осями координат:
а) с осью ОХ: у=0, получаем: x²/(x-1) =0,
x²=0
x=0 график пересекат ось обсцисс и ординат в точке (0;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции:
y=(2x(x-1)-x²)/(x-1)²=(x²-2x)/(x-1)²; y=0
(x²-2x)/(x-1)²=0,
x²-2x=0
x1=0
x2=2 Получили 2 стационарные точки, проверим их на экстремум:
Так как на промежутках (- ∞;0) (2;∞) y>0, то на этих промежутках функция возрастает.
Так как на промежутках (0;1) (1;2) уТочка х=0 является точкой максимума у (0)=0
Точка х=2 является точкой минимума у (2)=4
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
fу»=((2x-2)(x-1)²-2(x-1)(x²-2x))/(x-1)^4=2/(x-1)³; y»=0
2/(x-1)³=0, уравнение не имеет корней, следовательно точек перегиба функция не имеет.
Так как на промежутке (1;∞) , y»> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вниз.
Так как на промежутке (- ∞;1) y»7) Проверим имеет ли график функции асимптоты:
а) вертикальные. Найдем односторонние пределы в точке разрыва х=1
lim (прих->1-0) (x²/(x-1))=-∞
lim (прих->1+0) (x²/(x-1))=∞ так как пределы бесконечны то прямая х=1 является вертикальной асимптотой.
б) Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты вида у=kx+b
k=lim (при х->∞)(y(x)/x)=lim (при х->∞)( x²/(x(x-1))=1
b=lim (при х->∞)(y(x)-kx)=lim (при х->∞)(x²/(x-1)-x)=1
Итак прямая у=x+1 является наклонной асимптотой.
Все стройте график.

Оцени ответ

shkolniku.com

Исследовать функцию и построить график y=x^4-2x^2-3

Ответ оставил Гость

1. Обсласть опрежедения функции: множество всех действительных чисел.
2. четность функции

Итак, функция четная.
3. Точки пересечения с осью Ох и Оу.
3.1. С осью Ох (у=0)

Через дискриминант

точки с соью Ох

3.2. Точки пересения с осью Оу (х=0)

(0;-3) — точки пересечения с осью Оу

4. Критические точки(возрастание и убывание функции)

Приравняем к нулю

_-_(-1)__+__(0)__-_(1)__+__>

Итак, функция возрастает на промежутке , убывает . В точке х=-1 и х=1 функция имеет локальный минимум, а в точке х=0 — локальный максимум
5. Точки перегиба

Вертикальных, горизональных и наклонных асимптот нет.

Оцени ответ

shkolniku.com

Исследование функций 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Математический анализ

Вариант 7

Исполнитель: студент Сычёва А.Н.

Группа: ЭПБ 14 СР

Преподаватель: Коржавина Н.В.

Серов 2014

Задание 1. Пределы функций

Вычислить пределы:

а) =*=

=== = =1

b)= = = 0

c)= = = ^х ==

Задание 2. Исследование функций

Используя дифференциальное исчисление, провести полное исследование функции и построить ее график: у=

1 Найдем область определения функции.

х²-4=0 х²=4 х=

2 Исследуем функцию на четность.

f(-х)== =f(х)

Функция четная значит ее график симметричен относительно оси ординат.

3 Находим вертикальные асимптоты к графику функции.

При х→2 слева =-

При х→2 справа =+

х=2 Вертикальная асимптота, т.к. график функции симметричен относительно оси ординат, то прямая х=-2 тоже будет вертикальной асимптотой.

4 Исследуем поведение функции на бесконечность.

Прямая у=0 является горизонтальной асимптотой.

5 Найдем экстремум и интервалы монотонности.

у^‘=’==

у^‘=0 х=0

Производная не существует в точках х=2 и х=-2, но эти токи не входят в область определения.

На (- у^‘>0 следовательно функция на промежутке не возрастает.

На (0;+∞) у следовательно функция на промежутке убывает.

у^‘

+ — х=0 точка максимума

у 0

6 Находим интервалы выпуклости и точки перегиба функции.

у^»== =-==

Точек в которых вторая производная обращается в 0, нет, следовательно нет точек перегиба.

3х²+4>0 следовательно знак у^» зависит от знака (х²-4)³ следовательно на (-2;2)

у^», на (-∞;-2) у^»>0

у^» -2 2

+ — +

7 Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Пусть х=0 у=

Точка пересечения графика функции с осью ординат (0;-0,5)

Пусть у=0 то таких значений х нет.

Рисунок 1 График функции у=

Задание 3 Неопределенный интеграл

Вычислить неопределенные интегралы, используя методы интегрирования:

а) – непосредственное интегрирование;

б) – замены переменной;

в) – интегрирования по частям.

а) = =+2 = + 2* + +C

б)dx== = =+C=+С

в) = ln x* —

Задание 4 Определенный интеграл

4.1 Вычислить определенный интеграл:

==

ln x*=ln 2 *(6+4)-ln 1

4.2 Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж.

y=x²+3 x=0 y=x-1 x=2

Рисунок 2 чертех фигуры ограниченной кривыми

Задание 5 Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость:

а)

= = ln x

Интеграл сходящийся.

б)

Особая точка х=0

Этот интеграл расходящийся.

Задание 6 Ряды

6.1 Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость

u_n= u_n+1=

6.2 Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда

С_n=3ⁿ(x-2)ⁿ С_n+1=3ⁿ⁺¹(x-2)ⁿ⁺¹

— ¹

Область сходимости:(

Задание 7 Функции нескольких переменных

Исследовать функцию двух переменных на экстремум.

z=

z’_x=-4x z’_y=y³

x=0 y=0 A=-4 B=0 C=0

функция ряд интеграл дифференциальный

x=0 y=0 не является точкой экстремума.

Задание 8 Решение дифференциальных уравнений

8.1 Найти общее и частное решения дифференциального уравнения:

y²y’=3-2x y(0)=1

y²

Общее решение

y(0)=1 1³/3 = 0 — 0 + С С = 1/3

y³/3 = 3x – x² + 1/3

y³ = 9x – 3x² + 1 Частное решение

8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y»- 6y’ + 9y = 0 y(0) = 1 y'(0) = -1

k² — 6k+9=0 Характеристическое уравнение

k₁ = k₂ = 3

y_общ = е ^3x ( C₁+C₂ x ) Общее решение

y^/_общ= 3e ^3x ( C₁ + C₂ x ) + C₂ e ^3x

y(0) = 1 e ^3*0 ( C₁+C₂*0 ) = 1 C₁ = 1

y^/ (0) = -1 3*e ^3*0 ( C₁+C₂*0 ) + C₂* e ^3*0 = -1 3*C₁+C₂ = -1 3+C₂ = -1

C₂ = -4 y_част = е^3x( 1-4x )

Список использованных источников

1. Аксёнов. Математический анализ.

2. Натанзон С.М. Краткий курс математического анализа. 2004 год.

3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике.

4. Фомин В.И. Учебное пособие по математике. 2007 год.

studfiles.net

2. Дисперсия и ее свойства

Важное значение для характеристики случайных величин имеет дисперсия.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Слово «дисперсия» означает «рассеяние», т.е. дисперсия характеризует рассеяние (разбросанность) значений случайной величины около ее математического ожидания.

Из определения следует, что дисперсия – это постоянная величина, т.е. числовая характеристика случайной величины, которая имеет размерность квадрата случайной величины.

С вероятной точки зрения, дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Действительно, рассмотрим дискретную случайную величину, которая имеет конечное множество значений. Тогда, согласно определению, дисперсия вычисляется по формуле

. (2)

Если дисперсия мала, то из формулы (2) следует, что малы слагаемые. Поэтому, если не рассматривать значения, которым соответствует малая вероятность (такие значения практически невозможны), то все остальные значениямало отклоняются от математического ожидания. Следовательно,при малой дисперсии возможные значения случайной величины концентрируются около ее математического ожидания (за исключением, может быть, сравнительно малого числа отдельных значений). Если дисперсия велика, то это означает большой разброс значений случайной величины, концентрация значений случайной величины около какого-нибудь центра исключается.

Пример. Пусть случайные величины иимеют следующее законы распределения

Таблица 9. Таблица 10.

Найти математические ожидания и дисперсии этих случайных величин.

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математических ожиданий, находим

.

.

С помощью формулы (2) вычислим дисперсии заданных случайных величин

.

Из полученных результатов делаем вывод: математические ожидания случайных величин иодинаковы, однако дисперсии различны. Дисперсия случайной величинымала и мы видим, что ее значение сконцентрированы около ее математического ожидания. Напротив, значения случайной величинызначительно рассеяны относительно, а поэтому дисперсияимеет большое значение. ●

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

.

Доказательство.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

.

Доказательство.

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

.

Доказательство. Воспользуемся определением дисперсии и свойствами 3, 2 математического ожидания, имеем

(3)

Определение. Математическое ожидание произведения отклонений случайных величин и от их математических ожиданий называется корреляционным моментом этих величин

.

Если случайные величины, величины инезависимы, то, воспользовавшись свойствами 6 и 7 математических ожиданий, находим

.

Поэтому из формулы 3 имеем

,

откуда окончательно следует

. ●

С помощью метода математической индукции это свойство может быть распространено на случай любого конечного числа независимых случайных величин.

Свойство 4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

. ●

Свойство 5. Дисперсия разности двух случайных независимых величин равна сумме дисперсий этих величин

.

Доказательство.

Свойство 6. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию

квадрата этой величины минус квадрат ее математического ожидания

.

(Эта формула применяется для вычисления дисперсии)

Доказательство.

studfiles.net

Дисперсией случайной величины называется число

то есть дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Число называется среднеквадратичным отклонением, поэтому дисперсия часто обозначается σ².

Свойства дисперсии следуют из ее определения и свойств математического ожидания.

1⁰. D[С]=0, если С — неслучайная величина.

2⁰. М[С X] = С^{2 .} М[Х], если С — неслучайная величина.

3⁰. D[XY] = D[X]+D[Y]. если случайные величины Х и Y независимы

4⁰. D[X] = M[X²] – (M[X])² = M[X²] – m²

Приведем формулы вычисления дисперсии для дискретных случайных величин:

где m=М|Х] — математическое ожидание, рассчитываемое предварительно по формулам

Функция распределения. Плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины М(Х), Д(Х),.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), равная вероятности того, что Х примет значение меньше, чем число х, то есть F(х)=F(Х<х). Иногда ее называют интегральной функцией распределения.

Рассмотрим свойства функции распределения.

1⁰. 0≤F(x)≤1.

2⁰. F(х) — неубывающая функция, т. е. из х₂>х₁ следует F(х₂)≥ F(х₁).

3⁰ . Р(х1≤Х<x₂) =F(х₂)-F(х₁), если х₂>x₁.

4⁰. Р(х) непрерывна слева, то есть для любой точки x₀

5⁰. .

6⁰. Если F(х) непрерывна в точке x₀ , то Р(Х=x₀) = 0.

Если функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины можно представить в виде то функция f(x) называется плотностью распределения вероятности.

Свойства плотности распределения.

1⁰. f(x)≥0 .

2⁰. .

ПРИМЕР . Равномерное распределение. Говорят, что случайная величинаХравномерно распределена на отрезке[a,b], если она имеет следующую плотность:

Значение постоянной с определяем из условия нормировки

,

откуда .

График плотности распределения приведен на рисунке. Если какой-либо отрезок [α,β]целиком содержится в [а,b],то вероятность попадания в него случайной величины Х равна

.

Поэтому можно сказать, что вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на какой-либо отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его положения внутри области возможных значений.

Построим теперь функцию распределения. При х<афункция распределения равна нулю, так какf(х)=0. При а≤x≤bполучаем

.

Для x>b получаем

.

Таким образом,

График функции распределения приведен на рис.12.

С равномерно распределенными случайными величинами мы сталкиваемся тогда, когда по условиям опыта случайная величина принимает значения на некотором конечном промежутке, причем все возможные значения из этого промежутка равновозможны. Например, Х — время ожидания на остановке автобуса — равномерно распределен­ная на отрезке [0,Т]случайная величина, где Т — интервал движения автобусов по расписанию.

ПРИМЕР. Нормальное распределение Гаусса. 1/σ√2π

,

гдеm – любое действительное число, а σ — любое положительное действительное число. Эти числа называются параметрами распределения. Нормальный закон распределения зависит, таким образом, от двух параметров. График плотности распределения имеет вид, приведенный на рис.13.

Если m=0 и σ =1, то нормальный закон распределения называется стандартным и имеет плотность

Однако далеко не во всякой задаче нам необходимо знать закон распределения случайной величины полностью. В ряде случаев можно обойтись несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения интересующей нас случайной величины. Например, числом, характеризующим среднее значение случайной величины, и числом, характеризующим средний размах отклонения случайной величины от своего среднего значения и т.п. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайных величин.

При переходе к непрерывным случайным величинам суммирование заменяется интегрированием. Поясним подробней. Разобьем множество возможных значений непрерывной случайной величины точками х₁,х₂,…,х_n на небольшие отрезки длин ∆x_k = x_k– x_k-1 (k=2,3,…n).

Тогда по свойству 2 плотности распределения и теореме о среднем для определенного интеграла получаем

,

где f(х) — плотность распределения случайной величины, а точка Мы заменяем приближенно нашу непрерывную случайную величину дискретной с законом распределения Р(Х=ξ_k)=р_k. Поэтому

это интегральная сумма. Осталось перейти к пределу при и получить соответствующий интеграл.

Математическим ожиданием или средним значением непрерывной случайной величины, заданной своей плотностью распределения f(х), называется число

ПРИМЕР 3. Для равномерного на отрезке [а,b] распределения имеем

;

;

и т.д.

Приведем формулы вычисления дисперсии для непрерывных случайных величин:

,

где m=М|Х] — математическое ожидание, рассчитываемое предварительно по формулам

Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа.

По определению плотность нормально распределенной случайной величины равна

Возможные значения такой величины Х могут принимать любые действительные значения -∞<Х<∞, а распределение зависит от двух параметров . -∞<m<∞ и -∞<σ<∞.

Таким образом, график функции f(х) будет таким:

При измененииm кривая f(x) скользит вдоль оси абсцисс, не меняя своей формы. При изменении σ кривая меняет свою форму: если σ увеличивается, то кривая становится ниже и шире и наоборот.

Если m=0 и σ=1, то закон нормального распределения называется стандартным. В этом случае

Если случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами m и σ , то этот факт записывают так:.

Вычислим математическое ожидание случайной величины

Таким образом, параметр m — это математическое ожидание случайной величины X.

Вычислим теперь дисперсию

где мы использовали то, что по правилу Лопиталя

Таким образом, параметр σ — это среднеквадратическое отклонение, поскольку σ²— это дисперсия.

Мода и медиана нормального распределения совпадает с математическим ожиданием, т.к. максимум f(x) достигается при x=m и

где

функция распределения закона которая имеет график, представленный на рисунке.

Пусть Вычислим Р(а<Х<b) — вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. По свойству плотности распределения имеем

где мы использовали формулу Ньютона-Лейбница для определенных интегралов, а — любая первообразная для подынтегральной функции

Любая первообразная может быть рассчитана по формуле

где С— произвольная постоянная. Это можно легко проверить диффе­ренцированием .

При С=0 мы получаем функцию Лапласа

а при С=∞ — функцию распределения стандартного нормального закона

Нетрудно получить связь между Ф*(х) и Ф(х).

Окончательно получаем

В зависимости от имеющихся у нас под руками таблиц мы воспользуемся той или иной формулой. Отметим, что пользоваться таблицами функции Лапласа удобней, так как она нечетна и мы легко — находим ее значения при отрицательном аргументе (обычно, таблицы заданы только для положительных значений аргумента). Пользоваться таблицами функции Ф*(х) в этом случае несколько неудобнее, если она задана только для положительных значений аргумента.

ПРИМЕР 1. Пусть Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала ]0;3[.

По таблице функции Лапласа получаем

По таблице функции распределения стандартного нормального закона получаем, используя ее связь с функцией Лапласа:

Вэтом примере мы вывели полезную формулу

Ф^*(-х)=1-Ф^*(х),

которую легко пояс­нить следующим рисунком.

Найдем вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал ]m—l,m+l[, симметричный относительно математического ожидания:

При различных l получаем

Как мы видим, хотя теоретически возможные значения Х могут быть любые, но практически все значения попадают в интервал ]m-3σ,m+3σ[. Этот факт обычно называют правилом «трех сигм». При нормальном распределении из 10000 измерений только 27 имеют «законное» право выйти из этого интервала ( событие маловероятное и им обычно пренебрегают). Поэтому можно считать, что все воз­можные значения нормальной случайной величины находятся в этом интервале.

Распределение монотонной функции случайной величины. Исследование системы двух случайных величин. Функциональная и вероятностная зависимость. Условная плотность.

Часто приходится рассматривать сразу несколько случайных величин одновременно. Например, при стрельбе по мишени точка попадания имеет две координаты, которые являются случайными величинами; при медицинском осмотре основными параметрами состояния здоровья считаются частота пульса, уровень кровяного давления, температура тела и т.д., которые при случайном выборе человека являются случайными величинами.

Пусть Х и Y — дискретные случайные величины. Двумерная случайная величина {X, Y} называется системой дискретного типа и задается следующей таблицей, называемой двумерным рядом распределения

 где Pij=(X=xi;Y=yj).

studfiles.net

Дисперсией случайной величины называется число

то есть дисперсия есть математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания. Число называется среднеквадратичным отклонением, поэтому дисперсия часто обозначается σ².

Свойства дисперсии следуют из ее определения и свойств математического ожидания.

1⁰. D[С]=0, если С — неслучайная величина.

2⁰. М[С X] = С^{2 .} М[Х], если С — неслучайная величина.

3⁰. D[XY] = D[X]+D[Y]. если случайные величины Х и Y независимы

4⁰. D[X] = M[X²] – (M[X])² = M[X²] – m²

Приведем формулы вычисления дисперсии для дискретных случайных величин:

где m=М|Х] — математическое ожидание, рассчитываемое предварительно по формулам

Функция распределения. Плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины М(Х), Д(Х),.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), равная вероятности того, что Х примет значение меньше, чем число х, то есть F(х)=F(Х<х). Иногда ее называют интегральной функцией распределения.

Рассмотрим свойства функции распределения.

1⁰. 0≤F(x)≤1.

2⁰. F(х) — неубывающая функция, т. е. из х₂>х₁ следует F(х₂)≥ F(х₁).

3⁰ . Р(х1≤Х<x₂) =F(х₂)-F(х₁), если х₂>x₁.

4⁰. Р(х) непрерывна слева, то есть для любой точки x₀

5⁰. .

6⁰. Если F(х) непрерывна в точке x₀ , то Р(Х=x₀) = 0.

Если функцию распределения F(х) непрерывной случайной величины можно представить в виде то функция f(x) называется плотностью распределения вероятности.

Свойства плотности распределения.

1⁰. f(x)≥0 .

2⁰. .

ПРИМЕР . Равномерное распределение. Говорят, что случайная величинаХравномерно распределена на отрезке[a,b], если она имеет следующую плотность:

Значение постоянной с определяем из условия нормировки

,

откуда .

График плотности распределения приведен на рисунке. Если какой-либо отрезок [α,β]целиком содержится в [а,b],то вероятность попадания в него случайной величины Х равна

.

Поэтому можно сказать, что вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на какой-либо отрезок пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его положения внутри области возможных значений.

Построим теперь функцию распределения. При х<афункция распределения равна нулю, так какf(х)=0. При а≤x≤bполучаем

.

Для x>b получаем

.

Таким образом,

График функции распределения приведен на рис.12.

С равномерно распределенными случайными величинами мы сталкиваемся тогда, когда по условиям опыта случайная величина принимает значения на некотором конечном промежутке, причем все возможные значения из этого промежутка равновозможны. Например, Х — время ожидания на остановке автобуса — равномерно распределен­ная на отрезке [0,Т]случайная величина, где Т — интервал движения автобусов по расписанию.

ПРИМЕР. Нормальное распределение Гаусса. 1/σ√2π

,

гдеm – любое действительное число, а σ — любое положительное действительное число. Эти числа называются параметрами распределения. Нормальный закон распределения зависит, таким образом, от двух параметров. График плотности распределения имеет вид, приведенный на рис.13.

Если m=0 и σ =1, то нормальный закон распределения называется стандартным и имеет плотность

Однако далеко не во всякой задаче нам необходимо знать закон распределения случайной величины полностью. В ряде случаев можно обойтись несколькими числами, отражающими наиболее важные особенности закона распределения интересующей нас случайной величины. Например, числом, характеризующим среднее значение случайной величины, и числом, характеризующим средний размах отклонения случайной величины от своего среднего значения и т.п. Такого рода числа называются числовыми характеристиками случайных величин.

При переходе к непрерывным случайным величинам суммирование заменяется интегрированием. Поясним подробней. Разобьем множество возможных значений непрерывной случайной величины точками х₁,х₂,…,х_n на небольшие отрезки длин ∆x_k = x_k– x_k-1 (k=2,3,…n).

Тогда по свойству 2 плотности распределения и теореме о среднем для определенного интеграла получаем

,

где f(х) — плотность распределения случайной величины, а точка Мы заменяем приближенно нашу непрерывную случайную величину дискретной с законом распределения Р(Х=ξ_k)=р_k. Поэтому

это интегральная сумма. Осталось перейти к пределу при и получить соответствующий интеграл.

Математическим ожиданием или средним значением непрерывной случайной величины, заданной своей плотностью распределения f(х), называется число

ПРИМЕР 3. Для равномерного на отрезке [а,b] распределения имеем

;

;

и т.д.

Приведем формулы вычисления дисперсии для непрерывных случайных величин:

,

где m=М|Х] — математическое ожидание, рассчитываемое предварительно по формулам

Нормальный закон распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа.

По определению плотность нормально распределенной случайной величины равна

Возможные значения такой величины Х могут принимать любые действительные значения -∞<Х<∞, а распределение зависит от двух параметров . -∞<m<∞ и -∞<σ<∞.

Таким образом, график функции f(х) будет таким:

При измененииm кривая f(x) скользит вдоль оси абсцисс, не меняя своей формы. При изменении σ кривая меняет свою форму: если σ увеличивается, то кривая становится ниже и шире и наоборот.

Если m=0 и σ=1, то закон нормального распределения называется стандартным. В этом случае

Если случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами m и σ , то этот факт записывают так:.

Вычислим математическое ожидание случайной величины

Таким образом, параметр m — это математическое ожидание случайной величины X.

Вычислим теперь дисперсию

где мы использовали то, что по правилу Лопиталя

Таким образом, параметр σ — это среднеквадратическое отклонение, поскольку σ²— это дисперсия.

Мода и медиана нормального распределения совпадает с математическим ожиданием, т.к. максимум f(x) достигается при x=m и

где

функция распределения закона которая имеет график, представленный на рисунке.

Пусть Вычислим Р(а<Х<b) — вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. По свойству плотности распределения имеем

где мы использовали формулу Ньютона-Лейбница для определенных интегралов, а — любая первообразная для подынтегральной функции

Любая первообразная может быть рассчитана по формуле

где С— произвольная постоянная. Это можно легко проверить диффе­ренцированием .

При С=0 мы получаем функцию Лапласа

а при С=∞ — функцию распределения стандартного нормального закона

Нетрудно получить связь между Ф*(х) и Ф(х).

Окончательно получаем

В зависимости от имеющихся у нас под руками таблиц мы воспользуемся той или иной формулой. Отметим, что пользоваться таблицами функции Лапласа удобней, так как она нечетна и мы легко — находим ее значения при отрицательном аргументе (обычно, таблицы заданы только для положительных значений аргумента). Пользоваться таблицами функции Ф*(х) в этом случае несколько неудобнее, если она задана только для положительных значений аргумента.

ПРИМЕР 1. Пусть Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала ]0;3[.

По таблице функции Лапласа получаем

По таблице функции распределения стандартного нормального закона получаем, используя ее связь с функцией Лапласа:

Вэтом примере мы вывели полезную формулу

Ф^*(-х)=1-Ф^*(х),

которую легко пояс­нить следующим рисунком.

Найдем вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал ]m—l,m+l[, симметричный относительно математического ожидания:

При различных l получаем

Как мы видим, хотя теоретически возможные значения Х могут быть любые, но практически все значения попадают в интервал ]m-3σ,m+3σ[. Этот факт обычно называют правилом «трех сигм». При нормальном распределении из 10000 измерений только 27 имеют «законное» право выйти из этого интервала ( событие маловероятное и им обычно пренебрегают). Поэтому можно считать, что все воз­можные значения нормальной случайной величины находятся в этом интервале.

Распределение монотонной функции случайной величины. Исследование системы двух случайных величин. Функциональная и вероятностная зависимость. Условная плотность.

Часто приходится рассматривать сразу несколько случайных величин одновременно. Например, при стрельбе по мишени точка попадания имеет две координаты, которые являются случайными величинами; при медицинском осмотре основными параметрами состояния здоровья считаются частота пульса, уровень кровяного давления, температура тела и т.д., которые при случайном выборе человека являются случайными величинами.

Пусть Х и Y — дискретные случайные величины. Двумерная случайная величина {X, Y} называется системой дискретного типа и задается следующей таблицей, называемой двумерным рядом распределения

 где Pij=(X=xi;Y=yj).

studfiles.net

Дисперсия случайной величины.

Дисперсия DX случайной величиныXопределяется формулой

_{DX = E(X – EX)2}

_{Дисперсия случайной величины — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.}

Рассмотрим случайную величину Xс законом распределения

Вычислим её математическое ожидание.

_{EX = 1 + 2 + 3 =} 

_{Составим закон распределения случайной величины X – EX}

а затем закон распределения случайной величины (X-EX)²

Теперь можно рассчитать величину DX :

_{DX = ++=}

_{Замечание. Более удобной для вычисления может оказаться следующая формула, которую можно рассматривать как одно из свойств дисперсии:}

_{DX = EX2 – (EX)2}

_{Таким образом, дисперсия случайной величины равна разности мате­матического ожидания квадрата случайной величины и квадрата её математи­ческого ожидания. Для использования этой формулы нужно составить таблицу:}

_{и провести вычисления EX2 и (EX)2 по описанной схеме.}

_{Пример.}

Найти дисперсию случайной величины, заданной законом распределения

Выше было показано, что EX=р. Легко видеть, чтоEX²=р. Таким образом, получается, чтоDX=р–р²=pq.

Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно её математического ожидания. Если все значения случайной величины тесно сконцентрированы около её математического ожидания и большие отклонения от математического ожидания маловероятны, то такая случайная величина имеет малую дисперсию. Если значения случайной величины рассеяны и велика вероятность больших отклонений от математического ожидания, то такая случайная величина имеет большую дисперсию.

Пример

Найти дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на [a,b]

Свойства дисперсии.

1. Если k – число, то D(kX) =k² DX.

2. Для попарно независимых случайных величин X₁,X₂,,X_nсправедливо равенство

3. Если Х и Y независимы, D(X+Y) =DX+DY.

Предлагаем в качестве упражнения рассмотреть, чему равняется D(X– Y) в тех же условиях

Неравенства Маркова и Чебышева

Неравенства Маркова дают оценку для значений случайной величины в тех случаях, когда наши знания о случайной величине ограничиваются ее математическим ожиданием и дисперсией, и, хотя эти оценки достаточно грубы, они требуют минимальной информации о рассматриваемой случайной величине.

Если возможные значения дискретной случайной величины Х неотрицательны и существует ее математическое ожидание ЕХ = а , то для любого числа с > 0 справедливо неравенство

Р (Х <с ) >1 – а / с

Соответственно, выполняется и неравенство

Р (Х ≥ с ) ≤ а / с

Эти неравенства называются (первым и вторым) неравенствами Маркова

Пример 9.4. Пусть X — время опоздания студента на

лекцию, причем известно, что ЕХ = 1 мин. Воспользовавшись

первым неравенством Чебышева, оценим вероятность Р{Х >5}

того, что студент опоздает не менее, чем на 5 мин.

Имеем P(X≥5) ≤EX/5

Таким образом, искомая вероятность не более 0,2, т.е. в среднем,

из каждых пяти студентов опаздывает по крайней мере на 5 мин не более чем один студент.

Если Х – случайная величина, математическое ожидание которой ЕХ = а , дисперсия DХ конечна, то для любого числа с > 0 выполняются неравенства

P ( | X – a | ≥ c ) ≤DX / c²

P ( | X – a | < c ) >1 – DX / c²

Данные неравенства называются (первым и вторым) неравенствами Чебышева

Замечание. Иногда и неравенства Маркова и неравенства Чебышева называются первым и вторым неравенствами Чебышева.

Пример. Пусть в условиях предыдущего примера известно дополнительно, что а = y/DX = 1. Оценим минимальное значение х_о, при котором вероятность опоздания студента на время не менее х_о не превышает заданного значения Р₃ = 0,1.

Для решения поставленной задачи воспользуемся неравенством Чебышева. Тогда

Р₃ ≤ Р{Х ≥х₀} = Р{Х — ЕX ≥ х_о — ЕX} ≤ Р{|Х – EХ| >х₀— EX}≤

Значит,

и

И, подставляя конкретные значения, имеем

Таким образом, вероятность опоздания студента на время более 4,16 мин не более 0,1.

Сравнивая полученный результат с результатом предыдущего примера можно заметить, что дополнительная информация о дисперсии времени опоздания позволяет дать более точную оценку искомой вероятности.

Замечание. Элементарным следствием из неравенства Чебышева является Закон больших чисел (в форме Чебышева):

Определение. (Начальным)Моментом порядка k случайной величины Х называется число m_k = Е(Х^k )

Определение. (Центральным) моментом порядка k случайной величины Х называется число μ_k = Е(Х–ЕХ)^k

Замечание. Нетрудно видеть, что математическое ожидание – начальный момент первого порядка, а дисперсия – центральный момент второго порядка.

Замечание.Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = EX , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому

появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения.

Определение. Асимметрией А случайной величины Х называют отношение третьего центрального момента к кубу среднеквадратичного отклонения. А=μ₃ / σ³

(по Е.В.Сидоренко)

Асимметрия — величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания.: Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если больше нуля , то правее.

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому

появлению значений, которые выше или, наоборот, ниже среднего, образуются асимметричные распределения. При левосторонней, или положительной, асимметрии в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней,

или отрицательной — более высокие

Очевидно, что для случайной величины, распределенной симметрично относительно математического ожидания, асимметрия равна нулю.

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному

появлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с положительным эксцессом. Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения может образоваться впадина, превращающая его в двувершинное (см следующий рисунок эксцесса).

Определение. Эксцессом γ случайной величины Х называют отношение

 = (μ₄ / σ⁴ ) –3

Эксцесс: а) положительный; 6) отрицательный. В распределениях с нормальной выпуклостьюγ =0.

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины Х от нормального распределения, как раз и является эксцесс. Для нормального распределения γ=0, если γ >0 , то это значит, что график плотности «заострен» сильнее, чем у нормального, а если γ<0, то, соответственно, меньше.

Определение. Квантилью уровня α или α-квантилью (0<α<1) называют число Q_α, удовлетворяющее неравенствам Р{X < Q_α }≤α и P{X> Q_α } ≤ 1 – α

½ -квантиль называют также Медианой М случайной величины Х.

Для непрерывной случайной величины Х α-квантиль Q_α – это такое число, меньше которого Х принимает значение с вероятностью α.

Если известна плотность распределения ρ(х) случайной величины Х, то, учитывая связь между функцией распределения и плотностью, уравнение для определения квантили можно записать как

Иначе говоря, квантиль Q_α – решение уравнения F(Q_α )=α ,

Пример.

Найдем α-квантиль и медиану экспоненциального распределения

(Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение с параметром  > 0, если она принимает только неотрицательные значения, а ее плотность распределения имеет вид: (х) = е^—х , x≥0 и 0, если х <0

, поэтому , а медиана равна

Определение. Модой непрерывной случайной величины называют точку максимума (локального) плотности распределения р(х). Различают унимодальные (имеющие одну моду), бимодальные (имеющие две моды) и мулътимодальные (имеющие несколько мод) распределения.

Для определения моды дискретной случайной величины предположим сначала, что ее значения x₁, … x_n расположены в порядке возрастания.

Модой дискретной случайной величины называют такое значение х_i, при котором для вероятностей выполняются неравенства

p_i-1 < p_i и p_i+1 < р_i

В случае дискретных случайных величин распределения также могут быть унимодальными, бимодальными и мультимодальными.

Наивероятнейшим значением называют моду, при которой достигается глобальный максимум вероятности (дискретной случайной величины) или плотности распределения (непрерывной случайной величины).

Если распределение унимодальное, то мода также будет наивероятнейшим значением.

studfiles.net

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся: математическое ожидание, дисперсия.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дсв называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности и обозначается .

Если дсв задана законом распределения

, то

Пусть произведено испытаний, в которых случайная величинапринялараз значение,раз значение, …,раз значение, причём++…+=. Тогда сумма всех значений, принятых, равна. Найдём среднее арифметическоевсех значений. Итак, . Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е.

В самом деле, постоянную можно рассмотреть как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

Если , то

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых, т.е. .

Если , то

+

, т.к. .

5. Математическое ожидание числа появлений события А в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытаний, т.е.

Дисперсия дискретной случайной величины

Математическое ожидание, или среднее значение, случайной величины в ряде вопросов является достаточной характеристикой изучаемой случайной величины. Но бывает так, что одно среднее значение не даёт практически исчерпывающей характеристики случайной величины, а требуется ещё знать, сколь велики отклонения отдельных значений случайной величины от её математического ожидания.

Например, по данным статистического наблюдения изучается: средний рост или вес человека в определённой группе. Результаты опыта или наблюдения может считаться удачным, если возможные значения случайной величины незначительно отличаются от математического ожидания. Поэтому возникает необходимость введения ещё понятия отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной и её математическим ожиданием: .

Это отклонение характеризует рассеяние случайной величины. На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение, т.е. математическое ожидание отклонения.

Покажем, что математическое ожидание отклонения равно нулю. В самом деле . Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. В случае замены абсолютными значениями приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьёзным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания и обозначают . Таким образом:

При решении практических задач часто пользуются немного видоизменённой формулой дисперсии, а именно: . При преобразовании было учтено, что математическое ожидание есть постоянная величина, а значит,есть также постоянные величины. Итак,

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. .

В самом деле .

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. .

В самом деле .

.

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е.

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсии, т.е.

5. Дисперсия числа появления события А в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятностьпоявления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании, т.е..

.

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг её среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии и обозначается σ(:

.

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность σ(совпадает с размерностью случайной величины. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию.

Функция распределения вероятностей случайной величины

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех её возможных значений и их вероятностей. Такой способ задания не является общим: он не применим, например, для непрерывных случайных величин, так как в этом случае не предоставляется возможным перечислить все возможные значения. Поэтому вводят понятие функции распределения вероятностей случайной величины.

Пусть – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение, меньшее, т.е. вероятность события, обозначим через.

Функцией распределения называется функция , определяющая вероятность того, что случайная величинв результате испытания примет значение, меньшее, т.е.

.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. .

2. Если , то.

В самом деле, пусть . Событие, состоящее в том, чтопримет значение, меньшее, можно подразделить на два несовместных события:примет значение, меньшееипримет значение, удовлетворяющее неравенствут.е.). По теореме сложения имеем:), откуда

) или . Т.к. любая вероятность есть число неотрицательное, тоили.

Если и, то. Таким образом, вероятность того, что случайная величина примет значение, заключённое в интервале, равна приращению функции распределения на этом интервале:

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

а) , б). График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

studfiles.net

2.6. Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание не всегда является достаточной характеристикой сл. величины, оно является наиболее типичным значением сл. величины в серии испытаний, а в каждом отдельном испытании значения сл. величины отклоняются от ее математического ожидания в ту или иную сторону. Поэтому наряду со средним значением сл. величины хорошо бы иметь величину, характеризующую отклонение сл. величины от своего среднего. Ведь одна ситуация, если отклонение сл. величины от своего среднего в ту или иную сторону (еще говорят: разброс вокруг среднего значения) составляет 1 единицу, но совсем другая – если, например, 10 единиц.

Такой характеристикой обычно служит дисперсия сл. величины.

Определение. Дисперсией случайной величины  называют число

.(2.18)

Величина

() ≡=(2.19)

называется средним квадратическим отклонением случайной величины ξ.

Размерность среднеквадратичного отклонения такая же, как и у сл. величины ξ, размерность же дисперсии равна квадрату размерности сл. величины ξ; такое различие размерностей не очень удобно, потому и вводится среднее квадратичное отклонение.

Вычисляют дисперсию по формуле

(2.20)

Пример 18. Вычислим дисперсию для сл. величины из примера 14.

Решение. D = .

Пример 19. Вычислим дисперсию сл. величины из примера 15.

Решение.

Из примера 19 видим, что вторым параметром в нормальном распределении является среднее квадратическое отклонение.

Свойства дисперсии.

D1. если.

.

D2.

.

D3. , если величинынезависимы.

Рассмотрим выражение По свойству математического ожидания, еслинезависимы – это с одной стороны; с другой стороны

Следствия.

1) ;

2) ;

3) .

D4.  Действительно, рассмотрим равенства

Пример 20. Вычислить дисперсию сл. величины из примера 16.

Решение. Для вычисления дисперсии сл. величины, имеющей -распределение, воспользуемся свойством D4. Из примера 16 возьмем величину

Замечание. Если сл. величина имеет математическое ожидание, то дисперсия всегда определена, но может принимать значение, равное ∞.

Пример 21. Пусть функция плотности распределения сл. величины ξ задана формулой

В точках –2, –1 и 2 функция f(x) имеет разрывы. Всем свойствам плотности вероятностей функция удовлетворяет, в частности,

–конечной дисперсии нет.

Упражнение. Получить выражения для математических ожиданий и для дисперсий всех случайных величин, описанных выше в этом разделе, исключая распределение Вейбулла и гамма-распределение.

2.7. Моменты случайных величин. Другие числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание и дисперсия сл. величины являются представителями целого класса характеристик, которые называются моментами сл. величин.

Начальным моментом порядка cл. величины называется число

. (2.21)

При математическое ожидание – начальный момент 1-го порядка.

Центральным моментом порядка cл. величины называется число

. (2.22)

При дисперсия сл. величины – это центральный момент второго порядка. Интересно отметить, что

Абсолютным моментом порядка сл. величины ξ называются число.

Между начальными и центральными моментами существуют связывающие их соотношения, для последующих вычислений нам будут интересны только два:

(2.23)

Моменты служат в дополнение к математическому ожиданию и дисперсии для более детального изучения особенностей распределения сл. величины. Особенно важны моменты 3-го и 4-го порядков, так как через них выражаются некоторые числа (такие, как асимметрия и эксцесс), характеризующие распределение сл. величин.

Таким образом, две характеристики положения, наиболее часто используемые для описания сл. величин, являются представителями широкого класса характеристик сл. величин – моментов сл. величин.

Из других характеристик положения наиболее часто используют медиану и моду случайной величины, обозначают их символами и Мо ξ соответственно.

Медиана случайной величины ξ – число – определяется из соотношения. Из определения следует, что медиана сл. величины – это любое решение уравнения. Поскольку решение этого уравнения не единственно, то медиана сл. величины определяется неоднозначно.

Модой непрерывной сл. величины ξ называют точку локального максимума ее плотности распределения f(x). По числу мод распределения бывают унимодальные (одна мода), бимодальные (две моды) и мультимодальные (более двух мод). Нормальное распределение, например, относится к числу унимодальных, причем Me  = Мо ξ = m – математическому ожиданию.

Модой дискретной сл. величины называют такое ее значение , для которогои, при этом все ее значения должны быть расположены в порядке возрастания.

Пример 22. Рассмотрим сл. величину, имеющую распределение Коши Известно, что эта сл. величина не имеетматематического ожидания (см. пример 17). Однако функция f(х) имеет глобальный максимум в точке х = 0, f(0) = . Следовательно, Мо ξ = 0.

Широкое применение в математической статистике при построении доверительных интервалов и при проверке статистических гипотез находят α-квантили.

—квантилью (симметричной —квантилью) сл. величины называется число, удовлетворяющее уравнениям: (). Отметим, что – это медиана случайной величиныMe :

Пример 23. Найти —квантили и медиану экспоненциального распределения.

Решение. .

Для первой проверки сл. величины на нормальность в математической статистике используют асимметрию и эксцесс.

Асимметрией сл. величины  называется число Еслидля любого х, тотак как в этом случае все центральные моменты нечетных порядков равны нулю. Равенство вероятностей означает, что сл. величина распределена симметрично относительно своего математического ожидания.

Таким образом, коэффициент асимметрии служит для характеристики степени несимметричности функции плотности распределения сл. величины. Если> 0, то функция плотности распределения по отношению к ее математическому ожиданию имеет сдвиг вправо; для< 0 – влево.

Пример 24. Вычислить асимметрию для случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.

Решение. Поскольку вычислим составляющие этойформулы: – интеграл от нечетной подынтегральной функции по симметричному промежутку. Тогда.

Из примера следует, что нормальное распределение является своего рода эталоном, с которым сравниваются другие распределения.

Замечание. При сравнении сл. величин их нужно центрировать и нормировать, то есть от сл. величины переходить к сл. величине. Вновь полученные сл. величины имеют те же значения, что и исходные.

Эксцессом сл. величины  называется число Эксцесс, как правило, используется для характеристики симметричности унимодальных распределений.

Пример 25. Для нормального распределения = 0, так как

Если для некоторой сл. величины > 0, то кривая плотности распределения более островершинна, чем при нормальном распределении; если< 0, то кривая плотности распределения более плоская, чем при нормальном распределении. При этом справедливо замечание относительно преобразования сравниваемых сл. величин, сделанное выше. Более подробно эти вопросы можно изучить по специальной литературе по теории вероятностей и математической статистике.

studfiles.net

Дисперсия случайной величины — это… Что такое Дисперсия случайной величины?

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Определение

Пусть  — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание^[1][2].

Замечания

Свойства

Пример

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

и математическое ожидание случайной величины

Тогда дисперсия случайной величины

См. также

Примечания

1. ↑ Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
2. ↑ Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.

Литература

dic.academic.ru

Задание № 1: Решите уравнение: а) 1/6х = 18 б) 7х + 11,9 = 0 в) 6х

5-9 класс

Задание № 2:

Часть пути в 600 км турист пролетел на самолете, а часть проехал на автобусе. На самолете он пролетел путь в 9 раз больше, чем на автобусе?

Задание № 3:

На одном участке было в 5 раз больше саженцев смородины, чем на другом. После того как с первого участка увезли 50 саженцев, а на второй посадили еще 90, на обоих участках стало поровну саженцев. Сколько всего саженцев было изначально?

Задание № 4:

Решите уравнение: 6х — (2х — 5) = 2(2х — 4)

Список литературы на тему «История математики

spisok-literaturi.ru

Math.ru

math.ru

Литература по истории математики

studfiles.net

История математики, в 2-х томах | Рыбников К. А.

Рыбников К. А.

От автора В Московском государственном университете обучение истории математики является важной составной частью подготовки математиков-специалистов. Лекции первого семестра (том 1) охватывают развитие математики от древнейших времен до XVII в. включительно. Из огромного материала, относящегося к этому периоду времени, тщательно отобраны и кратко изложены только те части, в которых наиболее ярко раскрываются закономерности развития математики. За счет этого высвобождается время для более обстоятельного освещения во втором семестре вопросов развития математики в последние 200?250 лет. Книга рассчитана на студентов университетов и педагогических институтов. Написана она сжато. По-видимому, она будет полезна и для более широких кругов математиков’ педагогов и исследователей, испытывающих необходимость осмыслить исторический опыт своей науки, пути формирования современной математики. Содержание Предисловие Лекция 1. Предмет истории математики Лекция 2. Возникновение первых математических понятий и методов. Математика древнего Египта и Вавилона Лекция 3. Первые математические теории в античной Греции Лекция 4. Аксиоматическое построение математики в эпоху эллинизма.’Начала? Евклида Лекция 5. Инфинитезимальные методы в античной Греции. Математическое творчество Архимеда Лекция 6. Теория конических сечений и другие математические; теории и методы поздней античности Лекция 7. Особенности развития математики в Китае и в Индии Лекция 8. Математика народов Средней Азии и Ближнего Востока в IX-XV веках Лекция 9. Математика европейского средневековья и эпохи Возрождения Лекция 10. Преобразование математики в XVII веке. Возникновение аналитической геометрии Лекция 11. Усовершенствование вычислительных методов и средств в XVII веке Лекции 12 и 13. Интеграционные и дифференциальные методы в математике XVII века Лекции 14 и 15. Появление анализа бесконечно малых Библиография Еще книги по теме История математики, в 3-х томах. Под ред. А. П. Юшкевича

bookfi.net

Книги-Математика

retrolib.narod.ru

Тест 2. Сумма и разность дробей. Умножение дробей. 4 Варианта.

Распределение по вариантам.

8 «А» класс:

№

Фамилия Имя

Вариант

Амиров А.

1

Бунестру А.

2

Гурбанова З.

3

Гурылин Д.

4

Джаббаров Д.

1

Золоев Р.

2

Ильин И.

3

Карелина В.

4

Костюкевич Е.

1

Краснов Д.

2

Кудряшов М.

3

Кукушкин А.

4

Мингалеев А.

1

Миронов Е.

2

Морозов С.

3

Силаева А.

4

Смоголева Т.

1

Стародубцева А.

2

Титов Д.

3

Турчанинова Е.

4

Ушаков Д.

1

Фарзиева Н.

2

Шахова В.

3

Шевель В.

4

Шеметова А.

1

8 «Б» класс:

№

Фамилия Имя

Вариант

Асланян К.

1

Волгин А.

2

Головенькина М.

3

Гришанкова А.

4

Егорова Н.

1

Жилкина А.

2

Жучкова А.

3

Казаков Д.

4

Кандрашов К.

1

Курганова С.

2

Логинов Г.

3

Локтева А.

4

Настас В.

1

Наджафова З.

2

Одинцова С.

3

Прусенок А.

4

Селиванов В.

1

Семагаев И.

2

Трушкин Н.

3

Фролов И.

4

Хворова С.

1

Чусов А.

2

8 «В» класс:

№

Фамилия Имя

Вариант

Абнизов И.

1

Акулова К.

2

Алешкина И.

3

Алиев Р.

4

Аперян С.

1

Артемов И.

2

Бандорина А.

3

Березюк А.

4

Бронников Д.

1

Буров Е.

2

Бычков М.

3

Гусева М.

4

Дерюгина С.

1

Зименков А.

2

Каночкин А.

3

Лишеленко Д.

4

Луговой М.

1

Скунцев Н.

2

Медведева М.

3

Ревуцкий С.

4

Соловьева А.

1

Шелеп А.

2

Шитиков М.

3

Якут М.

4

Яруллин Р.

1

Фомина Д.

2

Тест 2. « Сумма и разность дробей. Умножение дробей».

Вариант -1.

Представьте в виде дроби: x+7y9x+3x-12y9x.

4x+19y9x;

4x+19y18x;

4x-5y9x;

4x–5y18x.

Представьте в виде дроби: 7x-11y5x-x+8y5x.

6x-3y5x;

8x–3y5x;

8x–19y5x;

6x–19y5x.

Упростите выражение: a2-3aba-5b-7ab-25b2a-5b.

a-5b;

2;

a+5b;

a2–10ab-25b2a-5b.

Представьте в виде дроби: 16y3x2∙9x24y3

12y2;

12xy3;

16y+9x312x2y3;

12y3.

Упростите выражение: 14a2b3c∙-15ac321b2∙10a.

-100a2c23b2 ; г) 100a2c23b.

100a2c23b2;

-100a2c23b;

Упростите выражение: 8a2b35c4∙5ac.

8a3b7c3;

8a2b7c4;

8ab175c4;

8a2b35c4.

Тест 2. « Сумма и разность дробей. Умножение дробей».

Вариант -2.

Представьте в виде дроби: 16x+y8x+3x-5y8x.

19x+6y16x;

19x–4y8x;

19x+6y8x;

19x–4y16x.

Представьте в виде дроби:16x-y8x-3x+5y8x.

13x+4y8x;

13x–6y8x;

19x–4y8x;

19x–6y8x.

Упростите выражение: a2+3aba-2b-7ab-4b2a-2b.

a-2b;

a+2b;

2;

a2–4ab-4b2a-2b.

Представьте в виде дроби: 20y23x2∙9x4y3.

15xy; в) 15x2y3;

15x2y; г) 20y2+9x12x2y3;

Упростите выражение: 24ab5c∙15ac316b2∙-7c.

-63a2c2b;

63a2c2b;

-63c2b;

63c2b.

Упростите выражение: 9ab25c4∙5a2c.

9a2b5c4;

9a3b5c3;

9b5ac5;

9b125ac5.

Тест 2. « Сумма и разность дробей. Умножение дробей».

Вариант -3.

Представьте в виде дроби: 14x+y7x+4x-2y7x.

18x-y14x;

18x+3y7x;

18x–y7x;

18x-y14x.

Представьте в виде дроби: 14x+y7x-3x-5y7x.

17x-4y7x;

11x+6y7x;

17x+6y7x;

11x–6y7x.

Упростите выражение: a2+4aba-3b-10ab-9b2a-3b.

2; в) a2-6ab-9b2a-3b;

a−3b; г) a+3b.

Представьте в виде дроби: 12y25x3∙15x8y.

9y22x3;

9y2x2;

12y2+15x40x3y;

9y2x3.

Упростите выражение: 16ab3c∙-15a2c324b2∙7a.

-70a2c23b;

70a2c23b2;

70a2c23b;

-70a2c23b2.

Упростите выражение: 7ab240c4∙5ac.

7b2200c3;

7a2b28c3;

7b2200c5;

7ab28c5.

Тест 2. « Сумма и разность дробей. Умножение дробей».

Вариант -4.

Представьте в виде дроби: 17x+y6x+3x-8y6x.

20x+9y12x;

20x–7y12x;

20x+9y6x;

20x–7y6x.

Представьте в виде дроби: 12x-5y5x-3x+2y5x.

9x-3y5x;

9x–7y5x;

15x–7y5x;

15x–3y5x.

Упростите выражение: a2+2aba-4b-10ab-16b2a-4b.

a+4b;

a-4b;

a2+12ab–16b2a-4b;

a2–8ab-16b2a-4b.

Представьте в виде дроби: 9x24y3∙20y3x2.

15y3;

15y;

15y2;

9×2+20y12x2y3.

Упростите выражение: 21a2c35b2∙-15ab14c∙7a.

-63a2c22b;

-63a2c32b2;

63a2c32b2;

63a2c22b.

Упростите выражение: 7a2b18c3∙9ac.

7a3b2c2;

7ab2c4;

7ab162c4;

7a2b2c3.

freedocs.xyz

Тест 2. Сумма и разность дробей. Умножение дробей. 4 Варианта.

Распределение по вариантам.
8 «А» класс:
№ Фамилия Имя Вариант
Амиров А. 1
Бунестру А. 2
Гурбанова З. 3
Гурылин Д. 4
Джаббаров Д. 1
Золоев Р. 2
Ильин И. 3
Карелина В. 4
Костюкевич Е. 1
Краснов Д. 2
Кудряшов М. 3
Кукушкин А. 4
Мингалеев А. 1
Миронов Е. 2
Морозов С. 3
Силаева А. 4
Смоголева Т. 1
Стародубцева А. 2
Титов Д. 3
Турчанинова Е. 4
Ушаков Д. 1
Фарзиева Н. 2
Шахова В. 3
Шевель В. 4
Шеметова А. 1
8 «Б» класс:
№ Фамилия Имя Вариант
Асланян К. 1
Волгин А. 2
Головенькина М. 3
Гришанкова А. 4
Егорова Н. 1
Жилкина А. 2
Жучкова А. 3
Казаков Д. 4
Кандрашов К. 1
Курганова С. 2
Логинов Г. 3
Локтева А. 4
Настас В. 1
Наджафова З. 2
Одинцова С. 3
Прусенок А. 4
Селиванов В. 1
Семагаев И. 2
Трушкин Н. 3
Фролов И. 4
Хворова С. 1
Чусов А. 2
8 «В» класс:
№ Фамилия Имя Вариант
Абнизов И. 1
Акулова К. 2
Алешкина И. 3
Алиев Р. 4
Аперян С. 1
Артемов И. 2
Бандорина А. 3
Березюк А. 4
Бронников Д. 1
Буров Е. 2
Бычков М. 3
Гусева М. 4
Дерюгина С. 1
Зименков А. 2
Каночкин А. 3
Лишеленко Д. 4
Луговой М. 1
Скунцев Н. 2
Медведева М. 3
Ревуцкий С. 4
Соловьева А. 1
Шелеп А. 2
Шитиков М. 3
Якут М. 4
Яруллин Р. 1
Фомина Д. 2
Тест 2. « Сумма и разность дробей. Умножение дробей».
Вариант -1.
Представьте в виде дроби: x+7y9x+3x-12y9x.4x+19y9x;4x+19y18x;
4x-5y9x;
4x–5y18x.
Представьте в виде дроби: 7x-11y5x-x+8y5x.6x-3y5x;8x–3y5x;8x–19y5x;6x–19y5x.Упростите выражение: a2-3aba-5b-7ab-25b2a-5b.a-5b;2;
a+5b;
a2–10ab-25b2a-5b.Представьте в виде дроби: 16y3x2∙9x24y312y2;12xy3;
16y+9x312x2y3;
12y3.
Упростите выражение: 14a2b3c∙-15ac321b2∙10a.-100a2c23b2 ; г) 100a2c23b.100a2c23b2;-100a2c23b; Упростите выражение: 8a2b35c4∙5ac.8a3b7c3;8a2b7c4;
8ab175c4;
8a2b35c4.
Тест 2. « Сумма и разность дробей. Умножение дробей».Вариант -2.Представьте в виде дроби: 16x+y8x+3x-5y8x.19x+6y16x;19x–4y8x;19x+6y8x;
19x–4y16x.Представьте в виде дроби:16x-y8x-3x+5y8x.13x+4y8x;13x–6y8x;19x–4y8x;19x–6y8x.Упростите выражение: a2+3aba-2b-7ab-4b2a-2b.a-2b;a+2b;
2;
a2–4ab-4b2a-2b. Представьте в виде дроби: 20y23x2∙9x4y3.15xy; в) 15x2y3;15x2y; г) 20y2+9x12x2y3;
Упростите выражение: 24ab5c∙15ac316b2∙-7c.-63a2c2b;63a2c2b;-63c2b;63c2b.Упростите выражение: 9ab25c4∙5a2c.9a2b5c4;9a3b5c3;
9b5ac5;9b125ac5.
Тест 2. « Сумма и разность дробей. Умножение дробей».Вариант -3.Представьте в виде дроби: 14x+y7x+4x-2y7x.18x-y14x;18x+3y7x;
18x–y7x;18x-y14x.Представьте в виде дроби: 14x+y7x-3x-5y7x.17x-4y7x;11x+6y7x;
17x+6y7x;
11x–6y7x.Упростите выражение: a2+4aba-3b-10ab-9b2a-3b.2; в) a2-6ab-9b2a-3b;
a−3b; г) a+3b.Представьте в виде дроби: 12y25x3∙15x8y.9y22x3;9y2x2;
12y2+15x40x3y;
9y2x3.
Упростите выражение: 16ab3c∙-15a2c324b2∙7a.-70a2c23b;70a2c23b2;70a2c23b;-70a2c23b2.Упростите выражение: 7ab240c4∙5ac.7b2200c3;7a2b28c3;7b2200c5;7ab28c5.
Тест 2. « Сумма и разность дробей. Умножение дробей».Вариант -4.Представьте в виде дроби: 17x+y6x+3x-8y6x.20x+9y12x;20x–7y12x;20x+9y6x;
20x–7y6x.Представьте в виде дроби: 12x-5y5x-3x+2y5x.9x-3y5x;9x–7y5x;15x–7y5x;15x–3y5x.Упростите выражение: a2+2aba-4b-10ab-16b2a-4b.a+4b;a-4b;a2+12ab–16b2a-4b;a2–8ab-16b2a-4b.Представьте в виде дроби: 9x24y3∙20y3x2.15y3;15y;15y2;9×2+20y12x2y3.
Упростите выражение: 21a2c35b2∙-15ab14c∙7a.-63a2c22b;-63a2c32b2;63a2c32b2;63a2c22b.Упростите выражение: 7a2b18c3∙9ac.7a3b2c2;7ab2c4;
7ab162c4;
7a2b2c3.

Приложенные файлы

filesclub.net

Карточки «Сумма и разность дробей», 8 класс

А — 8	Сложение и вычитание дробей	1.1.1

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.2

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.3

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.4

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.5

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.6

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.7

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.8

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.9

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.10

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.11

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.12

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.13

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.14

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.15

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.16

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.17

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.18

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.19

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.20

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.21

Упростить выражение:

а) ;

б) .

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.22

Упростить выражение:

а) ;

б) .

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.23

Упростить выражение:

а) ;

б) .

А — 8

Сложение и вычитание дробей

1.1.24

Упростить выражение:

а) ;

б) .

infourok.ru

Контрольная работа «Сумма и разность дробей» 8 класс

Контрольная работа № 1

«Сумма и разность дробей»

1 вариант

1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь

   

не имеет смысла?

2. Найдите значение выражения

   при .

3. Выполните действия:

а)

в)

б)

г)

_______________________________________________________________

4. Прогулочный теплоход по течению реки проплывает 12 км за такое же время, что и 10 км против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода 22 км/ч.

_______________________________________________________________

5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения

   положительно.

2 вариант

1. При каких значениях переменной алгебраическая дробь

   

не имеет смысла?

2. Найдите значение выражения

   при

3. Выполните действия:

а)

в)

б)

г)

_______________________________________________________________

4. Туристы проплыли на лодке по озеру 18 км за такое же время, что и 15 км против течения реки. Найдите скорость лодки по озеру, если скорость течения реки 2 км/ч.

_______________________________________________________________

5. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения

   отрицательно.

globuss24.ru

Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (средний)

18 августа 2011

Прежде чем вы приступите к этому тесту, я хочу объяснить, зачем он нужен. Задумайтесь: большинство моих учеников довольно быстро осваивают приемы сложения и вычитания дробей. Они вполне успешно решают предыдущий тест в качестве домашнего задания — но затем начинаются проблемы.

Дело в том, что после сложения вам предстоит изучать умножение. А там основной прием — сокращение дробей (см. урок «Умножение и деление дробей»). Прием настолько простой и удобный, что возникает соблазн применить его при сложении.

И многие применяют. Начинают подбирать и сокращать слагаемые, хотя делать этого категорически нельзя. Сокращать можно только множители! Возникают глупые ошибки в, казалось бы, хорошо изученной теме.

Чтобы понять, о чем речь, взгляните на пример. Рассмотрим два решения: правильное и неправильное.

Задача. Найдите значение выражения:

Первый шаг — переводим дроби в неправильные. Имеем:

Это было правильное решение. Привели дроби к общему знаменателю, нашли разность, выделили целую часть (ибо это ответ). Теперь посмотрим, какие бывают ошибки:

Красным помечены неправильные преобразования. В первом случае ученик «сократил» числители 33 и 22 (ведь они делятся на 11). Во втором — аналогичная участь ждала числитель 33 и знаменатель 15 (оба делятся на 3). Разумеется, ответы получились неправильными.

На первый взгляд, глупые ошибки. Даже смешные. Однако их допускают слишком многие, поэтому я специально обращаю на них ваше внимание.

Данный тест — своего рода страховка от подобных недоразумений. Не стоит решать его, если вы только что закончили урок «Сложение и вычитание дробей». Лучше займитесь умножением, пройдите там пару тестов — и возвращайтесь сюда.

Поверьте, вы будете удивлены собственными результатами. Или не будете — в этом случае хочу вас поздравить: тему сложения и вычитания дробей вы действительно освоили.

Оформление ответов — стандартное. Числитель и знаменатель дроби записываются через косую черту. Целая часть отделяется от дробной пробелом. Вот примеры того, как надо записывать ответы:

Сразу отмечу, что отрицательных ответов в этом тесте не будет. Так что о минусах не беспокойтесь.

Смотрите также:

1. Умножение и деление дробей
2. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
3. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
4. Задание 6 — геометрия с элементами тригонометрии
5. Центральные и вписанные углы в задании 6
6. Задача B5: площадь кольца

www.berdov.com

Тест по математике на тему «Сложение и вычитание дробей»

I вариант

Какие числа следует подставить вместо букв a, b, c и d, чтобы все равенства оказались верными:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

а) a = 48, b = 8, c = 3, d = 12;

б) a = 48, b = 6, c = 5, d = 12;

в) a = 48, b = 12, c = 6, d = 20;

г) другой ответ.

2. Сократите: .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

3. Найдите наименьший общий знаменатель дробей , и .

а) 66;

б) 132;

в) 33;

г) другой ответ.

4. Какие из дробей можно представить в виде десятичных: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ?

а) 1 и 5;

б) 1, 5 и 6;

в) 1, 4 и 6;

г) другой ответ.

5. Вася пробежал дистанцию 90 м за 14 с, Коля 100 м – за 15 с, а Петя 110 м – за 16 с. У кого из мальчиков

средняя скорость больше?

а) у Васи;

б) у Пети;

в) у Коли;

г) у всех одинакова.

6. В каком из примеров в ответе получится число 0,45?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7. Решите уравнение .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

8. Найдите значение выражения .

а) 0,5;

б) ;

в) вычислить нельзя;

г) другой ответ.

9. При каком натуральном а значение выражения равно 2?

а) 7;

б) 14;

в) ни при каком;

г) другой ответ.

10. Сколько существует натуральных b, при которых ?

а) 10;

б) 12;

в) таких нет;

г) другой ответ.

II вариант

Какие числа следует подставить вместо букв m, n, p и k, чтобы все равенства оказались верными:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

а) m = 9, n = 82, p = 4, k = 20;

б) m = 9, n = 72, p = 5, k = 20;

в) m = 9, n = 12, p = 5, k = 24;

г) другой ответ.

2. Сократите: .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

3. Найдите наименьший общий знаменатель дробей , и .

а) 35;

б) 140;

в) 70;

г) другой ответ.

4. Какие из дробей можно представить в виде десятичных: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ?

а) 1 и 5;

б) 1, 5 и 6;

в) 1, 4 и 6;

г) другой ответ.

5. Маша разложила 34 кг ягод в 11 одинаковых пакетов, Лена – 38 кг ягод в 12 пакетов, а Галя – 40 кг в 16 пакетов. У кого из девочек более вместительные пакеты?

а) у Маши;

б) у Лены;

в) у Гали;

г) у всех одинаковые.

6. В каком из примеров в ответе получится число 0,35?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7. Решите уравнение .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

8. Найдите значение выражения .

а) 0,7;

б) ;

в) вычислить нельзя;

г) другой ответ.

9. При каком натуральном b значение выражения равно 1?

а) 12;

б) 24;

в) другой ответ;

г) ни при каком.

10. Сколько существует натуральных a, при которых ?

а) 8;

б) 6;

в) таких нет;

г) другой ответ.

III вариант

Какие числа следует подставить вместо букв a, b, c и d, чтобы все равенства оказались верными:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

а) a = 36, b = 6, c = 4, d = 16;

б) a = 36, b = 8, c = 4, d = 16;

в) a = 36, b = 12, c = 4, d = 24;

г) другой ответ.

2. Сократите: .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

3. Найдите наименьший общий знаменатель дробей , и .

а) 102;

б) 34;

в) 16;

г) другой ответ.

4. Какие из дробей можно представить в виде десятичных: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ?

а) 2, 4 и 5;

б) 2 и 4;

в) 2 и 5;

г) другой ответ.

5. Первая черепаха проползла 6 м за 7 часов, вторая – 7 м за 8 часов, а третья – 8 м за 9 часов. У какой из черепах

была большая средняя скорость?

а) у первой;

б) у второй;

в) у третьей;

г) у всех одинакова.

6. В каком из примеров в ответе получится число 0,05?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7. Решите уравнение .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

8. Найдите значение выражения .

а) 1;

б) 2;

в) вычислить нельзя;

г) другой ответ.

9. При каком натуральном а значение выражения равно 2?

а) 24;

б) 12;

в) ни при каком;

г) другой ответ.

10. Сколько существует натуральных b, при которых ?

а) 14;

б) 12;

в) таких нет;

г) другой ответ.

IV вариант

Какие числа следует подставить вместо букв m, n, p и k, чтобы все равенства оказались верными:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

а) m = 1, n = 16, p = 16, k = 12;

б) m = 1, n = 4, p = 96, k = 24;

в) m = 1, n = 32, p = 48, k = 6;

г) другой ответ.

2. Сократите: .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

3. Найдите наименьший общий знаменатель дробей , и .

а) 180;

б) 90;

в) 270;

г) другой ответ.

4. Какие из дробей можно представить в виде десятичных: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ?

а) 1, 3 и 5;

б) 3, 5 и 6;

в) 3 и 5;

г) другой ответ.

5. Турист шел три дня. В первый день он прошел 33 км за 6 часов, во второй – 38,5 км за 7 часов, а в третий – 27,5 за 5 часов. В какой из дней у него была наибольшая средняя скорость?

а) в первый;

б) во второй;

в) в третий;

г) одинаковая.

6. В каком из примеров в ответе получится число 0,15?

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

7. Решите уравнение .

а) ;

б) ;

в) ;

г) другой ответ.

8. Найдите значение выражения .

а) ;

б) 3,5;

в) вычислить нельзя;

г) другой ответ.

9. При каком натуральном b значение выражения равно 6?

а) 7;

б) 18;

в) другой ответ;

г) ни при каком.

10. Сколько существует натуральных с, при которых ?

а) 9;

б) 7;

в) таких нет;

г) другой ответ.

Сложение и вычитание дробей — ключ

infourok.ru

Тест по математике на тему «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями»

Тема: Сложение и вычитание дробей

с одинаковыми знаменателями».

Вариант 1

1. При сложении дробей с одинаковыми знаменателями

нужно:

а) сложить числители, а знаменатель оставить прежним;

б) сложить знаменатели, а числитель оставить прежним;

в) сложить числители, сложить знаменатели.

2. Значение выражения — равно: а) ; б) ; в) .

3. В результате выполнения действий в выражении

— ( + ) получится: а) ; б) ; в) .

4. За два часа электропоезд прошел расстояния между

начальным и конечным пунктами. Причем за первый

час он прошел этого расстояния. Какую часть всего

расстояния электропоезд прошел за второй час?

а) ; б) ; в) .

5. В уравнении х + = + х равен:

а) 1; б) ; в) .

Тема: Сложение и вычитание дробей

с одинаковыми знаменателями».

Вариант 2

1. При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями

нужно:

а) из числителя уменьшаемого вычесть числитель

вычитаемого, а знаменатель оставить прежним;

б) вычесть знаменатели, а числитель оставить прежним;

в) вычесть числители, вычесть знаменатели.

2. Значение выражения + равно: а) ; б) ; в) .

3. В результате выполнения действий в выражении

— ( + ) получится: а) ; б) ; в) .

4. За две недели завод выполнил заказа, причем за первую неделю было выполнено заказа. Какую часть заказа завод выполнил за вторую неделю?

а) ; б) ; в) .

5. В уравнении х — = — х равен:

а) 1; б) ; в) .

infourok.ru

Вывод производных arcsin(x) и arccos(x)

Здесь мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса. Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.

Вывод производной арксинуса

По формуле производной обратной функции

Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
y = arcsin x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin y.

Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1)   .

Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2)   .
Здесь
y = arcsin x;
x = sin y.

Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого заметим, что поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (2):
.

Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
.

Второй способ

Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3)   .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4)   .

Производную правой части находим из таблицы производных:
.

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.

Подставим в (4):
.
Отсюда
.

Вывод производной арккосинуса

Используя связь между арксинусом и арккосинусом

Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом:
.
Отсюда
.

По формуле производной обратной функции

Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.

Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos y.

Применим формулу производной обратной функции:
(1)   .

Производная косинуса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5)   .
Здесь
y = arccos x;
x = cos y.

Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (5):
.

Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
.

Второй способ

Поскольку арккосинус и косинус являются взаимно обратными функциями, то
(6)   .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x:
(7)   .

Из таблицы производных находим:
.

Производную левой части найдем по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.

Подставим в (7):
.
Отсюда
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 06-05-2017

1cov-edu.ru

Производная арксинуса, формула и примеры

Производная арксинуса равна единица, деленная на корень из единицы минус аргумент в квадрате.

Функция является обратной к функции и также является нечетной.

Если аргумент арксинуса есть сложной функцией (то есть там стоит выражение более сложное, чем просто ), то формула для производной принимает вид:

Примеры решения задач по теме «Производная арксинуса»

ru.solverbook.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Производные обратных тригонометрических функций — вывод формул

Вывод производных арксинуса и арккосинуса

Сначала выведем формулу производной арксинуса. Пусть
y = arcsin x.
Поскольку арксинус есть функция, обратная к синусу, то
.
Здесь y – функция от x. Дифференцируем по переменной x:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Итак, мы нашли:
.

Поскольку , то . Тогда
.
И предыдущая формула принимает вид:
. Отсюда
.

Точно таким способом можно получить формулу производной арккосинуса. Однако проще воспользоваться формулой, связывающей обратные тригонометрические функции:
.
Тогда
.

Более подробно изложение представлено на странице “Вывод производных арксинуса и арккосинуса”. Там дается вывод производных двумя способами – рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции.

Вывод производных арктангенса и арккотангенса

Таким же способом найдем производные арктангенса и арккотангенса.

Пусть
y = arctg x.
Арктангенс есть функция, обратная к тангенсу:
.
Дифференцируем по переменной x:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Итак, мы нашли:
.

Далее выразим через и учтем, что .
.
Тогда
.
Отсюда
.

Производная арккотангенса:
.

См. “Вывод производных арктангенса и арккотангенса”. На этой странице изложен вывод производных двумя способами – рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции.

Производные высших порядков

Далее мы приводим некоторые соотношения и выражения для производных высших порядков от обратных тригонометрических функций. Полное изложение вывода формул производных высших порядков представлено на страницах Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса и Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса.

Производные арксинуса

Пусть
.
Производную первого порядка от арксинуса мы уже нашли:
.
Дифференцируя, находим производную второго порядка:
;
.
Ее также можно записать в следующем виде:
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса первого и второго порядков:
.

Дифференцируя это уравнение, можно найти производные высших порядков.

Производная арксинуса n-го порядка

Производная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид:
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .

Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению:
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Производная арккосинуса n-го порядка

Производные для арккосинуса получаются из производных для арксинуса с помощью тригонометрической формулы:
.
Поэтому производные этих функций отличаются только знаком:
.

Производные арктангенса

Пусть . Мы нашли производную арккотангенса первого порядка:
.

Разложим дробь на простейшие:

.
Здесь – мнимая единица, .

Дифференцируем раз и приводим дробь к общему знаменателю:

.

Подставляя , получим:
.

Производная арктангенса n-го порядка

Таким образом, производную арктангенса n-го порядка можно представить несколькими способами:
;
.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >

Производные арккотангенса

Пусть теперь . Применим формулу, связывающей обратные тригонометрические функции:
.
Тогда производная n-го порядка от арккотангенса отличаются только знаком от производной арктангенса:
.

Подставив , найдем:
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 20-04-2017

1cov-edu.ru

Mathway | Популярные задачи

www.mathway.com

Таблица производных

Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.