Рубрика: Школьная жизнь

эконометрика — публикации с ключевым словом — Издательство «Креативная экономика»

Научные публикации (статьи и монографии) с ключевым словом эконометрика, выпущенные в Издательстве Креативная экономика (найдено: 4 за период c 2001 по 2019 год).

1. Беилин И.Л.
Инновационные подходы в цифровом моделировании региональных экономических процессов // Вопросы инновационной экономики. (№ 2 / 2019).
В статье впервые предлагается использование метода аналитической сегментации для формирования региональных инвестиционных портфелей малых инновационных предприятий, основанных на широком диапазоне собственных научно–исследовательских разработок. Это предприятия, созданные согласно № 209 ФЗ, на поддержку которых, в первую очередь, направленны программы Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно–технической сфере (Фонд содействия инновациям). К ним относятся программы «СТАРТ», «Развитие», «Коммерциализация», «Кооперация». Цифровая модель реализует возможности в «on–line» режиме корректирования сегментации и долей инвестирования портфелей региональных инновационных проектов в зависимости от изменений финансовых, экономических, технологических и эксплуатационных характеристик инновационного продукта. На основе методов сетевого планирования сформирована инновационная цифровая модель инвестирования малого инновационного предприятия, определен критический путь и резервы финансирования.

Беилин И.Л. Инновационные подходы в цифровом моделировании региональных экономических процессов // Вопросы инновационной экономики. – 2019. – Том 9. – № 2. – doi: 10.18334/vinec.9.2.40499.

Самышева Е.Ю. Эконометрические методы в современной экономике // Российское предпринимательство. – 2010. – Том 11. – № 10. – с. 44-48. – url: https://creativeconomy.ru/lib/6338.

Орлова Л.А. Эконометрика на промышленном предприятии // Российское предпринимательство. – 2003. – Том 4. – № 3. – с. 79-84. – url: https://creativeconomy.ru/lib/920.

Организованный в 1989 г. Институт высоких статистических технологий и эконометрики (ИВСТЭ) действует на базе кафедры «Экономика и организация производства» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Институт на хоздоговорных и гос-бюджетных началах занимается развитием, изучением и внедрением высоких статистических технологий, т.е. наиболее современных технологий анализа технических, экономических, социологических, медицинских данных, ориенти-рованных на использование в условиях современного производства и экономики. Основной интерес представляют применение высоких статистических тех-нологий для анализа конкретных экономических данных., т.е. в эконометрике, прежде всего, в контроллинге.
Зачем нужны высокие статистические технологии? Разве недостаточно обычных статистических методов? Мы считаем и доказываем своими тео-ретическими и прикладными работами, что этого совершенно недостаточно.

Орлов А.И. Высокие статистические технологии и эконометрика в контроллинге // Российское предпринимательство. – 2001. – Том 2. – № 5. – с. 91-93. – url: https://creativeconomy.ru/lib/411.

Продолжить поиск в библиотеке по запросу «эконометрика»?

creativeconomy.ru

Статьи и научные доклады по эконометрике

poisk-ru.ru

Эконометрика :: Федеральный образовательный портал

Опубликовано на портале: 28-10-2003

Aннотация:
Цель курса — основной целью дисциплины “Эконометрика” является обучение студентов методологии и методике построения и применения эконо-метрических моделей для анализа состояния и для оценки законо-мерностей развития экономических и социальных систем в условиях взаимосвязей между их внутренними и внешними факторами.
Основные задачи курса: расширение и углубление теоретических знаний о качественных особенностях экономических и социальных систем, количествен-ных взаимосвязях и закономерностях их развития; овладение методологией и методикой построения и применения эконометрических моделей как для анализа состояния, так и для оценки закономерностей развития указанных систем; изучение наиболее типичных моделей и получение навыков практической работы с ними. Программа включает содержание курса, темы лекций, списки основной и дополнительной литературы.

1. Проблемы обоснования эконометрической модели;
2. Методы оценки параметров линейных эконометрических моделей;
3. Методы оценки коэффициентов эконометрической модели при коррелирующих или нестационарных ошибках;
4. Модели с коррелирующими факторами;
5. Модели с лаговыми зависимыми переменными;
6. Линейные модели временных рядов;
7. Модели финансовой эконометрики;
8. Системы взаимозависимых эконометрических моделей;
9. Модели с переменной структурой;
10. Модели с дискретными зависимыми переменными;
11. Методы оценки параметров нелинейных моделей;
12. Использование эконометрических моделей в прогнозировании и анализе социальных и экономических процессов.

Ключевые слова

См. также:

Давид Львович Константиновский, Владимир Николаевич Шубкин

[Книга]

Марина Ивановна Либоракина

Полития. 2003.  № 4. С. 225-237. 

[Статья]

Blake LeBaron

Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics. 1997.  Vol. 2. No. 2. P. 53-59. 

[Статья]

Halbert L. White

Econometrica. 1980.  Vol. 48. No. 4. P. 817-838. 

[Статья]

John Aitchison, Samuel D. Silvey

Biometrika. 1957.  Vol. 44. No. 1/2. P. 131-140. 

[Статья]

Ray C. Fair

Journal of Political Economy. 1978.  Vol. 86. P. 45-61. 

[Статья]

Jerry Hausman

Econometrica. 1978.  Vol. 46. No. 6. P. 1251-1272. 

[Статья]

ecsocman.hse.ru

Статья по эконометрике на заказ

У большинства дни в университете подсознательно связываются с весельем и радостью. Но привычные радости буквально сразу после начала уроков в ВУЗе осложняются стрессовым учебным графиком, который никак не вписывается в планы студентов.

Рвение к освоению специальностью дается так тяжело, что не остается ни сил, ни желания для написания разного рода результирующих работ. Сумасшедший ритм студенческой жизни не дает в указанный срок выполнить такую работу, как научная статья по предмету «Эконометрика».

Научная статья на заказ как моментальное решение проблем

Именно для содействия и оказания посильной поддержки абитуриентам была создана наша компания, где каждый сможет смело заказать работу по любой дисциплине.

С нами вас ждет тишина и покой. А мы можем гарантировать вам ваше спокойствие. Вашу работу вы получите в указанный при оформлении период.

Почему нам верят миллионы клиентов?

1. Абсолютная конфиденциальность. Вы можете рассчитывать, что поступившие к нам личные данные и тонкости заявки не подлежат разглашению.
2. Надзор над процессом выполнения работы. Вы в любое время можете просмотреть свою работу на любом пункте его выполнения. Стоит только оформить заявку, как вы получаете персонального менеджера, который будет оперативно информировать вас о малейшем изменении в процессе выполнения заказа.
3. Вспомогательное тестирование специалистами. Как только работа будет готова, она поступит к независимому специалисту, который проанализирует и выполнит проверку по новому, затем выдаст собственное заключение о ее соответствии тематике, указанным ранее требованиям и эталонам оформления.
4. Высокая уникальность. Вы можете рассчитывать на работу, которая не один раз проверялась по программе «Антиплагиат», именно по этой причине уникальность работы будет превышать 70%.
5. Поддержка всех заказов вплоть до сдачи. Если в момент проверки работы преподаватель сделает выговор, поправки и сдаст на доработку, мы сделаем эту доработку совершенно БЕСПЛАТНО! Достаточно будет лишь получить рецензию руководителя.

Для оформления заказа Вам вовсе нет нужды лично приходить в офис — хватит завершить заявку на выполнение на нашей страничке или позвонить нашим менеджерам по указанным телефонам.

fastfine.ru

Статьи и научные доклады по эконометрике

Слушатели должны понимать, что эконометрика является динамически развивающейся наукой, поэтому наиболее полную, а главное, свежую информацию можно получить только при прочтении эконометрических статей (articles, papers) и научных докладов (working papers). Статьи и научные доклады не дают систематических знаний, однако позволяют более глубоко познакомиться с тем или иным методом или результатом.

Различие между статьей и научным докладом следующее: научный доклад обычно представляет собой описание недавно проведенного исследования, обычно в авторской редакции. Научные доклады очень легко и быстро публикуются как в электронном, так и в печатном виде и дают представление о самых свежих научных результатах. Многие научные доклады после доработки публикуются журналами, т.е. превращаются в журнальные статьи.

Ведущие западные экономические журналы являются рецензируемыми, т.е. публикуют статью только после того, как редактор журнала получит рецензию на статью от двух признанных специалистов по данной теме, причем рецензентам не известен автор статьи, а автору неизвестны рецензенты. Такая система, хотя и не является совершенной, в значительной степени снижает риск появления в журнале некачественных или неактуальных статей. По поводу научных докладов таких гарантий никто дать не может. В нерецензируемых журналах редактор принимает решение о публикации на основании собственного впечатления о статье. Поскольку редактор не может быть узким специалистом во многих областях, он вполне может пропустить некачественную статью. По нашим сведениям, среди российских экономических журналов, к сожалению, нет рецензируемых.

Некоторые журналы по эконометрике доступны в библиотечной базе JSTOR(Заметим, что статьи, интересные с точки зрения эконометрики, стоит искать не только в разделе Statistics, но и в разделах Economics и Finance). Хорошим источником научных докладов является базаSSRN. Многие научные доклады из этой базы бесплатно доступны жителям бывшего Советского Союза и Восточной Европы.

Много информации можно получить из Handbook of Econometrics. Handbook – это сборник обзоров оригинальных статей по достаточно узким темам. К такому источнику обычно обращаются уже после изучения базовых учебников. В сочетании со свежими журнальными статьями, не вошедшими в Handbook, и с научными докладами (working papers), этот источник дает практически полное представление о состоянии исследований в интересующей Вас узкой области знаний.

Программное обеспечение (статистические пакеты)

Предлагаемый ниже обзор пакетов не является полным. Выбор пакетов связан с предпочтениями авторов сайта, поскольку мы писали только о тех пакетах, в которых сами работали. Любознательный читатель сможет расширить свои знания о многообразии эконометрических пакетов, если прочтет приложение ЭП в книге Магнус и др. (2001). Мы рекомендуем своим читателям осваивать такие профессиональные пакеты, как Stata (для анализа пространственных и панельных данных), EViews (для анализа временных рядов) и Gauss (для реализации нестандартных эконометрических методов).

• Stata– мощный пакет для статистического и эконометрического анализа данных. Ориентирован, в первую очередь, на эконометристов. Компания Stata Corporation внимательно следит за развитием эконометрики и за нуждами исследователей и постоянно совершенствует пакет, добавляя в него все новые возможности для эконометрического анализа. Пакет особенно хорош для обработки пространственных данных (cross-section data), панельных (panel data) и данных по временам жизни (survival-time data). Интерфейс пакета предполагает программирование с помощью командного языка и минимум действий с помощью меню. Человеку, привыкшему работать с программой типа Microsoft Word, это может сначала показаться сложным и неудобным, но специфика работы с данными, на которые ориентирован пакет, показывает большие преимущества такого подхода. Освоить пакет достаточно легко, если обратиться к пособию «Прикладной эконометрический анализ в пакете Stata» С. Коленикова (см. разд. 2). Кроме того, пакет Stata имеет отличную систему встроенной подсказки. Пакет также имеет встроенный язык программирования.

• EViews– очень хороший профессиональный пакет, ориентированный, в первую очередь, на анализ временных рядов. Имеет удобный, легко осваиваемый интерфейс с большим количеством меню, но возможно и программирование. Пакет широко используется как экономистами-исследователями, так и финансовыми аналитиками, специалистами в области макроэкономического прогнозирования, прогнозирования продаж и т.д. На сайте разработчика доступна студенческая версия программы. Отличная система подсказки пакета представляет собой, по существу, учебник по эконометрике, ориентированный на практическую работу. Пакет имеет встроенный язык программирования.

• Gauss– профессиональный язык программирования, ориентированный на решение задач эконометрического анализа. Необходимость в программировании возникает, например, в случае, когда эконометрист пользуется нестандартными эконометрическими методами, которые не реализованы в статистических пакетах. Гаусс – излюбленная программа эконометристов-теоретиков. Ссылки, связанные с этим пакетом и домашние задания с использованием пакета можно найти, например, на сайтеСтанислава Анатольева. Одно из удобств этого языка программирования заключается в том, что переменная в нем по умолчанию является не скаляром, как в обычных языках, а матрицей. Например, для расчета оценки по МНК в Гауссе вместо организации двойных циклов для перемножения матриц и подпрограммы для обращения матрицы вы просто пишете знакомую формулу: b=INV(X’X)X’Y, и ответ готов! Для Гаусса существует обширная библиотека подпрограмм. Отрицательная сторона пакета – неразвитая диагностика ошибок.

• SPSS– пакет анализа с развитым windows-интерфейсом и красивой графикой, особенно популярный среди социологов и маркетологов. Пакет ориентирован, главным образом, на анализ пространственных данных и на кластерный анализ. Удобной особенностью пакета является возможность написания программ. Однако встроенные модели и тесты для пространственных данных и для временных рядов заметно отстают от развития науки. Компания SPSS явно отдает предпочтение развитию качества графики перед развитием статистических возможностей пакета, что делает пакет идеальным для целей маркетинга, но малопривлекательным для современных эконометрических исследований.

• Statistica– наиболее простой диалоговый пакет, позволяющий производить некоторые эконометрические расчеты с пространственными данными. Может быть полезен при начальном знакомстве с эконометрикой. Программа имеет удобный интерфейс. На сайте разработчика доступна студенческая версия программы.

• PcGive– диалоговый пакет эконометрического моделирования. Позволяет проводить различные процедуры оценки и тесты, от метода наименьших квадратов до коинтеграционного анализа данных и оценки моделей одновременных уравнений. На сайте разработчика доступна студенческая версия программы.

studfiles.net

Статья — Основы эконометрики — Математика

Профессиональный Институт Управления

Факультет: Финансы и кредит

Специальность: Финансы и кредит

Курс: 5

Дисциплина: Эконометрика

Реферат на тему:

Основы эконометрики.

Студентки: Погосян Э.Т.

Группа: УФША-51/7-ВС

Проверил:_____________

Москва — 2009г.

Содержание

Введение……………………………………………………………………2

Основная часть:

1. Основные эконометрические модели………………………………….3

2. Структура современной эконометрики…………………………………4

3. Специфика и принципы эконометрики………………………………5-6

4. Эконометрические модели…………………………………………….7-8

Заключение…………………………………………………………………9

Список используемой литературы

Введение.

Эконометрика – это не то же самое, что экономическая статистика. Она отнюдь не идентична тому, что мы называем общей экономической теорией, хотя значительная доля этой теории носит определенно количественный характер. Также эконометрика не должна восприниматься как синоним применения математики в экономике. Опыт показывает, что статистика, и экономическая теория, и математика, взятые по отдельности, являются необходимыми, но не достаточными для действительного понимания количественных отношений в современной жизни. Именно объединение всех трех частей дает мощный эффект. И именно это составляет эконометрику.

С современных позиций эконометрику можно определить как науку о моделировании экономических явлений, позволяющем объяснять и прогнозировать их развитие, выявлять и измерять определяющие факторы.

Среди предпосылок возникновения эконометрики можно назвать разработку количественных методов в экономических исследованиях, накопление учетно-статистических данных, создание современной микро- и макроэкономики.

Особенно важным для развития количественного подхода был статистический анализ поведения цен на различные товары – отечественные и импортные. Появились исследования динамики цен на важнейшие товары, группы товаров, анализ региональных особенностей роста цен; уделялось внимание построению индексов цен, попыткам выявления цикличности в изменениях цен и связи с бизнес — циклами.

Исследования экономики с неизбежностью опирается на данные пассивного эксперимента, т.к. исследователь никак не может воздействовать на данные. Таковыми являются все реальные данные, которые нам предлагает официальная статистика, или учет, или специальное наблюдение.

1. Основные эконометрические модели.

Путь эконометрики в нашу страну был долгим и сложным. Первая попытка внедрить эконометрику в науку принадлежит Василию Сергеевичу Немчинову. Эта попытка привела к выделению экономико-математических методов и экономической кибернетики.

Применяемые в настоящее время эконометрические модели делят на:

· статистические и динамические – по характеру используемых данных. Промежуточное положение занимают модели панельных данных, основанные на данных по одной и той же совокупности за ряд лет;

· комплексные или некомплексные. Первые отличаются тем, что отражают связи между макроэкономическими показателями на всех стадиях процесса воспроизводства.

· аналитические, имитационные и прогностические. Деление по целям их применения.

Этапы построения эконометрической модели:

Первый: теоретический, в ходе которого формируется цель исследования, определяется круг участвующих в модели экономических характеристик, создается описание связей между ними.

Второй: информационный, когда осуществляется поиск требуемых данных, проверяется их достоверность, сопоставимость, осуществляются необходимые пересчеты, используются пространственные и временные данные.

Третий: спецификация модели, когда устанавливаются внешние и внутренние переменные, выявляются связи и соотношения.

Четвертый: идентификация модели, т.е. выявление условий корректного оценивания параметров модели на основе соотношения количества переменных и связей между ними.

Пятый: оценка параметров модели.

Шестой: проверка адекватности модели, делается вывод о том, какова точность расчетов на основе модели, получаемых прогнозных оценок, производится анализ остатков.

2. Структура современной эконометрики.

Термин «эконометрика» состоит из двух частей: «эконо-» — от «экономика» и «-метрика» — от «измерение». Эконометрика посвящена развитию и применению статистических методов в конкретной области науки и практики.

В эконометрике выделяют три вида научной и прикладной деятельности:

а) разработка и исследование эконометрических методов (методов прикладной статистики) с учетом специфики экономических данных;

б) разработка и исследование эконометрических моделей в соответствии с конкретными потребностями экономической науки и практики;

в) применение эконометрических методов и моделей для статистического анализа конкретных экономических данных.

Кратко рассмотрим виды научной и прикладной деятельности. Если работам соответствуют научные результаты, значимость которых оценивается по общеэконометрическим критериям, то для них основное — успешное решение задач конкретной области экономики. Прикладная статистика — курс математической статистики состоит в основном из доказательств теорем, как и соответствующие учебные пособия. Математическая статистика играет роль математического фундамента для прикладной статистики. Хотя статистические данные собираются и анализируются с незапамятных времен, современная математическая статистика как наука была создана сравнительно недавно — в первой половине ХХ в. Именно тогда были разработаны основные идеи и получены результаты, излагаемые ныне в учебных курсах математической статистики.

В результате специалист по математической статистике оказывается зачастую беспомощным при обработке реальных данных, а пакеты программ применяют лица, не имеющие необходимой теоретической подготовки.

3. Специфика и принципы эконометрики.

Чтобы продемонстрировать основные принципы эконометрики, рассмотрим пример из страхового бизнеса. Годовой пробег автомобиля — это важный фактор, но пользоваться им как оценочным затруднительно. Практическое решение состоит в определении ряда легко наблюдаемых факторов — мощности машины, возраста, географического положения, износа, каждый из которых имеет некоторую связь с истинным риском, в свою очередь определяющим фактический размер страховой премии.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения только характерных черт.

В эконометрике, как и в любой научной дисциплине, познание развивается в соответствии с общим научным методом, предполагающим:

— формулировку гипотезы с учетом соотношений между наблюдаемыми данными;

— сбор статистических данных и представление гипотезы в сжатой или математической форме;

— модификацию или улучшение гипотезы.

Таким образом, сердцевиной познания в экономике является эксперимент, предполагающий либо непосредственное наблюдение (измерение), либо математическое моделирование.

Область применения эконометрических моделей — все сферы экономической теории и практики, где есть возможность сбора и обработки статистических данных, прогнозирования их поведения.

Для анализа экономических данных могут применяться все разделы прикладной статистики, а именно:

· статистика случайных величин;

· многомерный статистический анализ;

· статистика временных рядов и случайных процессов;

· статистика объектов нечисловой природы, в том числе статистика интервальных данных.

Перечисленные четыре области выделены на основе математической природы элементов выборки: в первой из них это — числа, во второй — вектора, в третьей — функции, в четвертой — объекты нечисловой природы, т.е. элементы пространств, в которых нет операций сложения и умножения на число.

Есть два принципиально различных подхода к изучению поведения организаций и людей. Согласно первому из них вполне допустимо описывать действия человека в вероятностных терминах, например, считать его ответ на заданный вопрос случайной величиной. Сторонники второго подхода полагают, что поведение человека или организации является детерминированным, определяется теми или иными причинами, а случайность при анализе выборки возникает лишь из-за случайности при отборе лиц для опроса или предприятий для изучения. Если ответ на вопрос имеет вид «да» — «нет», то число ответов «да» при первом подходе, как известно, имеет биномиальное распределение, а при втором – гипергеометрическое.

Итак, специфика эконометрики проявляется не в перечне применяемых для анализа конкретных экономических данных статистических методов, а в частоте использования тех или иных методов.

4. Эконометрические модели.

Задача эконометрики — создание как более универсальных, так и специальных методов для обнаружения наиболее устойчивых характеристик в поведении реальных экономических показателей. Эконометрика разрабатывает методы подгонки формальной модели с целью наилучшего имитирования ею поведения.

Статистические и математические модели экономических явлений и процессов определяются спецификой той или иной области экономических исследований. Так, в экономике качества модели — используют как технические, так и экономические характеристики, а потому относятся к эконометрике, равно как и многие модели теории массового обслуживания.

К эконометрике качества относятся многие публикации научно-технического журнал «Заводская лаборатория». Этот журнал посвящен аналитической химии, физическим, математическим и механическим методам исследования, а также сертификации материалов. Он создан в 1932 г. и адресован специалистам черной и цветной металлургии, химической промышленности и др. Кроме сотрудников центральных заводских лабораторий, служб качества, надежности и других заводских подразделений, он ориентирован в основном на работников прикладных научно-исследовательских организаций. Технические и экономические вопросы обычно рассматриваются в неразрывном единстве.

Другой важный раздел эконометрики — теория и практика экспертных оценок. Экспертные оценки используют для решения ряда экономических задач, например, выбора оптимального направления инвестиций, или наилучшего образца определенного вида продукции для организации массового выпуска, или при прогнозировании развития экономической ситуации, или при распределении финансирования.

Менее полезными практически являются различные эконометрические модели, предназначенные для прогнозирования макроэкономических показателей. Они представляют собой систему линейных зависимостей между прошлыми и настоящими значениями переменных. В таких задачах оценивают как структуру модели. Структура такой модели — объект нечисловой природы, что и объясняет сложность соответствующей теории.

При анализе потоков платежей необходимо использовать эконометрические модели инфляционных процессов, поскольку без оценки индекса инфляции невозможно вычислить дисконт-функцию, а потому нельзя установить реальное соотношение авансовых и «итоговых» платежей. Прогнозирование сбора налогов может осуществляться с помощью системы временных рядов — на первом этапе по каждому одномерному параметру отдельно, а затем — с помощью некоторой линейной эконометрической системы уравнений, дающей возможность прогнозировать векторный параметр с учетом связей между координатами и лагов, т.е. влияния значений переменных в определенные прошлые моменты времени.

Заключение.

Подводя итоги сказанному выше, обратимся к вопросам подготовки кадров в области эконометрики. В настоящее время в классификаторах специальностей научных работников и специальностей, по которым идет подготовка студентов, эконометрика не представлена вообще, а статистика — двумя отдельными позициями: в специальности «теория вероятностей и математическая статистика» как часть математики и как одна из экономических специальностей. Такие практически важные области, как статистические методы в промышленности, в частности, статистические методы управления качеством и надежностью, технической диагностики, планирования эксперимента, а также статистические методы в менеджменте, в экологии, в химии, в геологии, в медицине и т.д., и т.п. вообще не представлены в рассматриваемых классификаторах. Можно сказать, что они существуют нелегально, потому что, например, научным работникам при защите диссертаций приходится «маскироваться» под другие специальности.

Поскольку кадры по статистическим методам и эконометрике не готовятся, то каждый специалист — самоучка, то общее их число на порядок меньше, чем в Великобритании. США и других странах, в которых науки «эконометрика» и «статистика» рассматривается в одном ряду с такими общепризнанными науками, как математикой, физикой, химией, биологией и др.

Очевидно, необходимы постоянные контакты между специалистами по социально-экономическим применениям статистических методов, с одной стороны, и математической статистике, с другой стороны. Эконометрика находится именно на этом стыке.

Список используемой литературы

1. Носко В.П. «Эконометрика для начинающих. Основные понятия,

элементарные методы, границы применимости, интерпретация

результатов» М. – 2000г.

2. Мардас А. Н. «Эконометрика». Краткий курс. М.- 2001г.

3. Учебное пособие. «Математические модели в экономике» М.- 2005г.

4. Давыдов С.Б. «Математическое моделирование экономических

систем». М.- 2002г.

ronl.org

Что значит функция в математике? Обясните своими словами, а то решаю всякие функции, не понимая что такое функция.

Понятие не простое. И даже в книжках существует не одно определение функции. Я в учебниках встречал по крайней мере два определения. Функция представляет собой некую зависимость, когда одна величина полностью определяет значение другой величины. Я не говорю «представляет собой формулу» потому, что не всякую зависимость можно выразить формулой. «Закон», «правило», «соответствие» — это подходящие понятия, чтоб с их применением значение одной переменной однозначно определяло значение другой переменной. Тут ключевое слово «однозначно». Это слово иногда опускают из определения, и тогда появляются непонятки, уводящие от исконного понятия функции. Например, нарисуй окружность как график — по формуле, на координатной плоскости. Одному значению Х соответствует два значения Y и наоборот. Именно поэтому уравнение окружности нельзя назвать функцией — неоднозначное соответствие. Нарисуй параболу простейшую у=х^2. Одному значению Х соответствует строго одно значение У — зависимость однозначная. Поэтому уравнение параболы можно рассматривать как функцию у от х (или наоборот). Вот это и есть главная фишка — если по какому-либо правилу из одной величины можно о д н о з н а ч н о прийти к конкретному значению другой величины — это правило и есть функция.

<a href=»/» rel=»nofollow» title=»15907216:##:2cBgadA»>[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Это какая то как правило математическая зависимость одного от другого.

это правило, по которому нужно что-либо сделать с поступающим числом. например функция f(x)=x*2 или у=х*2 Значит нужно умножить число на 2. f(3) В этом случае у=2*3=6 На входе число 3, на выходе число 6. В жизни мы постоянно составляем и решаем такие функции

Функция — это правило, которое позволяет, зная значение х, найти соответствующее значение у

Своими словами: функция это закон по которому из входных данных получается результат. Простой пример из жизни. У вас есть рука и горячий предмет, это входные данные, если коснутся, то обожжешься — это результат. Возьмем и наденем на руку перчатку изменив входные данные — результат будет иной, но закон останется таким же — нагрев одного предмета другим.

touch.otvet.mail.ru

02. Функции. Предельное значение функции

2. Понятие функции. Предельное значение функции

1 из 26

Рассматривается понятие функции, её предельного значения в точке и на бесконечности.

2 из 26

Функция – одно из фундаментальных понятий математики. Она описывает зависимость между несколькими переменными.

Определение 2.1. Если каждому значению переменной из множества{ } ставят в соответствие по определённому правилу некоторое число , то говорят, что на множестве{ } задана функция= ( ) или= ( ).

Примеры функций

= 2. Функция задана на всей числовой оси( 2) = , множество значений( 2) = + — полупрямая неотрицательных чисел.

= !. Функция определена на множестве натуральных чисел(!) = . Множество значений – множество натуральных чисел вида!.

3 из 26

0,= ( ) = {1, — функция Дирихле. Область определе-

ния — ,область значений два числа 0 и 1.

−1, < 0;= ( ) = { 0, = 0; — функция знака. Область опреде-

1, > 0

ления — ,область значений три числа-1,0и 1.

= – целая часть числа. Область определения- ,область значений – целые числа.

4 из 26

2.1. Понятие предельного значения функции

Определение 2.2 (Гейне). Число называют предельным значением функции= ( ) в точке= (или пределом функции при→ ), если для любой сходящейся к последователь-

5 из 26

Определение 2.3. Число называют правым (левым) предельным значением функции= ( ) в точке= (или односторонним пределом функции при→ ), если для любой сходящейся к последовательности{ } значений аргумента , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции{ ( )} сходится к .

Правый предел

Левый предел

6 из 26

Рис. 2.1. Предел и односторонние пределы функции в точке

Определение 2.4. Число называют предельным значением функции= ( ) при→ ∞ (или пределом функции при→ ∞), если для любой бесконечно большой последовательности

7 из 26

Определение 2.5. Число называют предельным значением функции= ( ) при стремлении аргумента к положительной (отрицательной) бесконечности, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой, начиная с некоторого номера положительны (отрицательны) соответствующая последовательность зна-

Рис. 2.2. Предел функции на бесконечности

9 из 26

2.2. Свойства функций, имеющих предельное

значение

Свойства сформулированы для случая стремления переменной к конечному числу: → . Однако, они остаются справедливыми и для односторонних пределов в точке, а так же и для предела на бесконечности.

Теорема 2.1. Пусть функции( ) и( ) имеют в точке=предельные значения и . Тогда функции( ) + ( ),( ) −

( ),( ) ( ) и( ) имеют в точке= предельные значе-

( )

ния (частное при условии ≠ 0), равные соответственно+ ,

− , и .

Доказательство. Пусть{ } — произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента функций( ) и( ).

10 из 26

studfiles.net

Что называется областью значения функции?

Все значения, которые может принимать игрек в функции y = f(x)

Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

ягуарчика выпей и просветлеешь…

Если объяснять попроще, то какие значения может принимать «у». Например: у=корень из «х». Из арифметического квадратного корня не может выйти отрицательное число, значит, и «у» не может быть отрицательным. Записывается так Е (у) =[0;+бесконечность)

Область определения и область значений функции. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т. e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x, при которых функция y = f ( x ) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции.

touch.otvet.mail.ru

что значит «найти нули функции»?

Где икс и игрик принимают нулевые значения, по русский сказать где они равны нулю)

Найти точки пересечения с осями координат, если мне не изменяет память)

Подставь вместо у или f(x) ноль, реши уравнение, найди х. Это и будет ноль функции.

Найти точки, где график пересекает ось икс

нули функции: 1) f(0) 2) f(x)=0

Теоретическая справка Определение нуля ~ Нуль порядка n ~ Простой нуль ~ Необходимое и достаточное условия нуля порядка n ~ Порядок нуля произведения анал. функций Пусть функция f (z) является аналитической в точке z0. Точка z0 называется нулем функции f (z), если ее значение в этой точке равно нулю, т. е. f (z0) = 0. В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции (т. z0) отсутствует свободный член: С0 = f(z0) = 0. Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-z0) до n-ой степени, т. е. разложение имеет вид: или то точка z0 называется нулем порядка n функции f(z). Нуль первого порядка (n = 1) называется простым нулем. Следующие условия являются необходимым и достаточным условиями нуля порядка n функции f (z) в точке z0: a). b). представление функции в виде произведения: Порядок нуля в точке z0 функции, полученной в результате перемножения аналитических функций f (z) = f1(z) f2(z) равен сумме порядков нуля (n1 + n2) в этой точке функций сомножителей ( n1 — порядок нуля в точке z0 функции f1(z), n2 — порядок нуля в точке z0 функции f2(z) ). ПРИМЕР 1. Определить порядок нуля в точке для функции f(z). ПРИМЕР 2. Найти нули функции f(z) и определить их порядок. ПРИМЕР 3. Найти нули функции f(z) и определить их порядок. ПРИМЕР 4. Определить порядок нуля в точке для функции f(z).

Найти нули функции — значит найти значения х при которых у обращается в нуль. Ну или найти координаты точек пересечения графика с осью ох.

Нули функции-это значения аргумента при которых функция равна нулю. Для нахождения их надо функцию приравнять к нулю и решить это уравнение. Значения «х» и будут нулями функции. Это точки которые лежат на оси Ох. Точнее точки пересечения графика функции с осью Ох.

нули функции — это значения переменной х при которых значеня фунции равно нулю, если проще, у=0, а х некоторому числу при этом значении

touch.otvet.mail.ru

Конвертировать DOC в RTF онлайн, бесплатно преобразовать .doc в .rtf

onlineconvertfree.com

Конвертировать DOCX в RTF онлайн, бесплатно преобразовать .docx в .rtf

onlineconvertfree.com

Как конвертировать DOC в RTF?

Конвертирование DOC в RTF

Конвертирование файла DOC в RTF это процесс, изменяющий форму презентации данных, а не сами данные. Конвертация данных — это процесс, выполняемый для потребностей компьютерной технологий. Нас, как окончательных пользователей, интересует прежде всего содержимое файла. Совсем иначе данные в файлах воспринимают машины. Они не интересуются содержанием, для них важна соответствующая форма, или же презентация данных, так, чтобы они смогли расшифровать их содержимое.

Несмотря на то, что данные в окончательной форме представляют ряды нулей и единиц, они должны быть рядами, упорядоченными таким образом, чтобы были читабельны для определенной аппликации или платформы. Всякий раз, когда данные должны быть переданы дальше, должна произойти их конвертация в формат, читабельный для следующей аппликации — нас интересует целевой формат RTF. Данные, содержащиеся в файле DOC можно конвертировать не только для потребностей следующей аппликации, но также с целью перенесения их в другую компьютерную систему.

Экспорт и импорт данных и мануальная конвертация

Конверсия данных как правило является процессом, в определенных случаях механизированным. Эффект работы одной программы является автоматически входным продуктом следующей аппликации (некоторые аппликации дают автоматическую возможность записывать работу, проведенную с файлом DOC в формат RTF — ЭКСПОРТ данных) После выполнения экспорта, мы можем простым методом провести ИМПОРТ этих данных в другую аппликацию. Если нет такой возможности, мы можем попробовать самостоятельно провести процесс конвертирования DOC в RTF. Чтобы язык машин совпадал, необходимо использовать соответствующий конвертатор. Список программ для интересующего Вас конвертирования Вы найдете вверху этой страницы. Конвертатор файла — это транслятор бинарного кода, нивелирующий разницу в коде или проводящий его правильный перевод таким образом, чтобы другая машина или программа поняла его. Для нас, как пользователей, заметным изменением будет только иное расширение файла — RTF вместо DOC. Для машин и программ — это разница между пониманием содержания файла, и отсутствием возможности его прочтения.

ru.thefile.org

Конвертировать RTF в DOCX онлайн, бесплатно преобразовать .rtf в .docx

onlineconvertfree.com

конвертация DOC в RTF — File Extension

Конвертируя файл в другое расширение файлов Вы сможете воспользоваться другими программами для его обслуживания. Но не следует забывать, что файл DOC после конвертирования в RTF может немного отличаться от оригинала, например размещением данных. Самая важнейшая информация должна сохранится, но если Вы заинтересованы в том, чтобы файл, после конвертирования из DOC в RTF был идентичен, Вы должны действовать рассудительно и выбрать соответствующее приложение из списка ниже. Это не гарантирует выполнения конвертирования на 100% соответствующего Вашим ожиданиям, но все же может сильно помочь. Если все-таки эффект конвертирования файла DOC в RTF не выполнил Ваших ожиданий, Вы можете попробовать найти в интернете другую версию Вашего файла в формате DOC, раньше уже правильно конвертированную кем то другим в файл RTF. Если у вас это не получится, воспользуйтесь информацией, представленной в дальнейшей части.

Программы для конвертирования DOC в RTF:

Другие возможные конвертирования файлов DOC

Если после проведения конвертирования файла DOC Вы не получили соответствующего результата, Вы можете попробовать изменить формат файла DOC в другой чем RTF. На нашем сайте Вы найдете также информацию о следующих возможностях конвертирования:

Конвертирование файла с расширением DOC в другой формат

Какие еще есть возможности?

К сожалению, если после выполнения двух ранее описанных действий (попыток найти свои файлы DOC конвертированный кем то другим, и попытки его самостоятельного конвертирования в формат RTF) по-прежнему остается проблема с файлом, то решений остается немного. Вы можете еще раз попробовать поискать и установить приложение, которое сможет открыть файл DOC в оригинальном формате (без конвертирования в файл RTF. Такое решение будет трудным для выполнения, но без сомнения принесет наилучший результат.

www.file-extension.info

Конвертировать DOCX в RTF — Онлайн Конвертер Файлов

Исходный формат:CSV — Comma Separated ValuesDOC — Microsoft Word DocumentDOCX — Microsoft Word 2007 DocumentDJVU — DjVu DocumentODP — OpenDocument PresentationODS — OpenDocument SpreadsheetODT — OpenDocument Text DocumentPPS — PowerPoint Slide ShowPPSX — PowerPoint Slide Show 2007PPT — PowerPoint PresentationPPTX — PowerPoint Presentation 2007PDF — Portable Document FormatPS — PostScriptEPS — Encapsulated PostScriptRTF — Rich Text FormatTXT — Text documentWKS — Microsoft Works SpreadsheetWPS — Microsoft Works DocumentXLS — Microsoft Excel SpreadsheetXLSX — Microsoft Excel 2007 SpreadsheetXPS — XML Paper Specification3GP — 3GP Multimedia FileAVI — Audio Video Interleave FileFLV — Flash Video FileM4V — MPEG-4 Video FileMKV — Matroska Video FileMOV — Apple QuickTime Movie FileMP4 — MPEG-4 Video FileMPEG — Moving Picture Experts Group FileOGV — Ogg Vorbis Video FileWMV — Windows Media Video FileWEBM — HTML5 Video FileAAC — Advanced Audio Coding FileAC3 — AC3 Audio FileAIFF — Audio Interchange File FormatAMR — Adaptive Multi-Rate Audio FileAPE — Monkey’s Lossless Audio FormatAU — Sun’s Audio File FormatFLAC — Free Lossless Audio CodecM4A — MPEG-4 Audio FileMKA — Matroska Audio FileMP3 — MPEG-1 Audio Layer 3 FileMPC — MusePack Audio FileOGG — Ogg Vorbis Audio FileRA — RealMedia Streaming MediaWAV — Waveform Audio File FormatWMA — Windows Media Audio FileBMP — Windows BitmapEXR — OpenEXR File FormatGIF — Graphics Interchange FormatICO — ICO File FormatJP2 — JPEG 2000 compliant imageJPEG — Joint Photographic Experts GroupPBM — Netpbm Portable Bitmap formatPCX — Paintbrush image formatPGM — Netpbm Portable Graymap formatPNG — Portable Network GraphicsPPM — Netpbm Portable Pixmap formatPSD — Photoshop DocumentTIFF — Tagged Image File FormatTGA — Truevision Graphics AdapterCHM — Microsoft Compiled HTML HelpEPUB — Electronic PublicationFB2 — Fiction Book 2.0LIT — Microsoft LiteratureLRF — Sony Portable ReaderMOBI — Mobipocket eBookPDB — Palm Media eBookRB — RocketEdition eBookTCR — Psion eBook7Z — 7-ZipZIP — ZipRAR — Roshal ArchiveJAR — Java ArchiveTAR — TarballTAR.GZ — TAR GZippedCAB — Cabinet

www.docspal.com

11) Обратная матрица. Существование.

Определение 1. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной — в противном случае.

Определение 2. Матрица А^-1 называется обратной к квадратной матрице А n-го порядка, если А·А^-1= А^-1·А=Е.

Теорема 1. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

2 часть (существование). Дана матрица

А = , .

Построим обратную матрицу. Для этого совершим ряд действий:

1) заменим все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями:

А* — матрица, присоединенная к матрице А;

2) транспонируем полученную матрицу:

(А*)^Т=;

3) разделим все элементы на число А

.

Проверим, будет ли полученная матрица обратной к исходной. Для этого умножим матрицу А на А^-1. Элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце матрицы произведения, будет равен

Элементы матрицы-результата совпадают с элементами единичной матрицы Е. Следовательно, А · А^-1=Е, т.е. А^-1 — обратная матрица к А.

12) Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ нахождения обратной матрицы.

Определение 1. Элементарными преобразованиями над матрицей называются:

1)            умножение любой строки на число, отличное от нуля;

2)            прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой, умноженных на одно и то же число;

3)            перестановка строк;

4)             отбрасывание строки из нулей.

Определение 2. Две матрицы называются эквивалентными (АВ), если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Теорема. Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице того же порядка. Применяя ту же последовательность элементарных преобразований к единичной матрице, можно получить обратную матрицу к данной.

Обычно элементарные преобразования производят над данной матрицей и единичной одновременно. Для этого составляют расширенную матрицу, в левой части которой стоит исходная матрица, а в правой — единичная матрица того же порядка. С помощью элементарных преобразований в левой части создают единичную матрицу, параллельно в правой части автоматически создается обратная матрица.

.

13. Ранг матрицы.

Пусть дана произвольная матрица размером . Возьмем произвольные k строк и k столбцов, . Минором порядка k называют определитель порядка k, составленный из элементов, расположенных на пересечении выбранных k строк и k столбцов, и обозначают M_k.

Для данной матрицы можно составить m · n миноров первого порядка,  миноров второго порядка и т.д.,  миноров k-го порядка.

Определение 1. Рангом матрицы называется максимальный порядок минора, отличного от нуля, и обозначаетсяr(A).

Очевидно, что .

Определение 2. Отличный от нуля минор порядка r=r(A) называется базисным минором матрицы А, а строки (столбцы), в которых он расположен, называют базисными строками (столбцами).

Теорема 1 (теорема о базисном миноре). Любой столбец (строка) матрицы А является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).

Теорема 2. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых строк этой матрицы.

Для того чтобы найти ранг матрицы, необходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду и найти ранг полученной матрицы. Рассмотрим схему таких преобразований подробно. Пусть дана матрица

А=.

Предположим, что а₁₁ отличен от нуля (если а₁₁=0, то, переставив строки, этого можно добиться). Разделим первую строку на а₁₁, после чего на первом месте в первой строке будет стоять 1. Умножая последовательно первую строку на а₂₁, а_31, …, а_m1 и вычитая, соответственно, из второй, третьей, …, n-й, образуем в первом столбце все нулевые элементы.

А.

Преобразуем второй столбец, начиная с элемента а’₂₂. Если этот элемент отличен от нуля, то аналогично вышеизложенному получим на его месте единицу, а ниже расположенные элементы превратим в нули. Если а’₂₂=0, но ниже его в том же столбце есть элемент, отличный от нуля, то, поменяв местами строки, переставим его на место а’₂₂. Если в столбце не окажется ненулевых элементов, то можно поменять местами столбцы, пока на месте а’₂₂ не окажется ненулевой элемент.

После второго цикла получим новую эквивалентную матрицу.

А.

Выполняя последовательно несколько циклов подобных эквивалентных преобразований и отбросив нулевые строки, придем окончательно к матрице

А.

Буквой «а» условно обозначены элементы матрицы, которые могут принимать любые числовые значения.

Очевидно, что r(A)=m1, так как минор, расположенный в первых m1 строках и первых m1 столбцах, равен единице.

Вычисление ранга системы векторов можно свести к вычислению ранга матрицы. Из теоремы 2 следует, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, столбцами (строками) которой являются векторы этой системы.

studfiles.net

Обратная матрица

Матрицу А^-1называютобратнойпо отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1* А = А * А^-1= Е.

Из определения следует, что обратная матрица является квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А.

Можно отметить, что понятие обратной матрицы аналогично понятию обратного числа (это число, которое при умножении на данное число дает единицу: а*а^-1= а*(1/а) = 1).

Все числа, кроме нуля, имеют обратные числа.

Чтобы решить вопрос о том, имеет ли квадратная матрица обратную, необходимо найти ее определитель. Если определитель матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной, илиособенной.

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы: обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Докажем необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу А^-1, т.е. А^-1* А = Е. Тогда |А^-1* А| = |А^-1| * |А| = |Е| = 1. Следовательно, |А|0.

Докажем достаточность. Чтобы его доказать, необходимо просто описать способ вычисления обратной матрицы, который мы всегда сможем применить для невырожденной матрицы.

Итак, пусть |А| 0. Транспонируем матрицу А. Для каждого элемента А^Т найдем алгебраическое дополнение и составим из них матрицу, которую называютприсоединенной (взаимной, союзной):.

Найдем произведение присоединенной матрицы и исходной . Получим. Таким образом матрица В – диагональная. На ее главной диагонали стоят определители исходной матрицы, а все остальные элементы – нули:

Аналогично можно показать, что .

Если разделить все элементы матрицы на |А|, то будет получена единичная матрица Е.

Таким образом , т.е..

Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существует другая обратная матрица для А, отличная от А^-1. Обозначим ее X. Тогда А * Х = Е. Умножим слева обе части равенства на А^-1.

А^-1* А * Х = А^-1* Е

Е * Х = А^-1

Х = А^-1

Единственность доказана.

Итак, алгоритм вычисления обратной матрицы состоит из следующих шагов:

1. Найти определитель матрицы |А| . Если |А| = 0, то матрица А — вырожденная, и обратную матрицу найти нельзя. Если |А| 0, то переходят к следующему шагу.

2. Построить транспонированную матрицу А^Т.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и построить присоединенную матрицу .

4. Вычислить обратную матрицу, разделив присоединенную матрицу на |А|.

5. Можно проверить правильность вычисления обратной матрицы в соответствии с определением: А^-1* А = А * А^-1= Е.

1. Найдем определитель этой матрицы по правилу треугольников:

 0.

Проверку опустим.

Можно доказать следующие свойства обращения матриц:

1) |А^-1| = 1/|А|

2) (А^-1)^-1= А

3) (А^m)^-1= (А^-1)^m

4) (АB)^-1=B^-1* А^-1

5) (А^-1)^T= (А^T)^-1

Ранг матрицы

Минором k-го порядкаматрицы А размера m х n называют определитель квадратной матрицыk-го порядка, которая получена из матрицы А вычеркиванием каких-либо строк и столбцов.

Из определения следует, что порядок минора не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. kmin{m;n}. Например, из матрицы А_5х3можно получить квадратные подматрицы первого, второго и третьего порядков (соответственно, рассчитать миноры этих порядков).

Рангомматрицы называют наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы (обозначают rang А, илиr(А)).

Из определения следует, что

1) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r(А)min{m;n};

2) r(А) = 0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая (все элементы матрицы равны нулю), т.е.r(А) = 0А = 0;

3) для квадратной матрицы n-го порядка r(А) = n тогда и только тогда, когда эта матрица А невырожденная, т.е.r(А) = n|А|0.

На самом деле, для этого достаточно вычислить только один такой минор (тот, который получен вычеркиванием третьего столбца (потому что в остальных будет присутствовать нулевой третий столбец, и поэтому они равны нулю).

По правилу треугольника = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Поскольку все миноры третьего порядка нулевые, r(А)2. Так как существует ненулевой минор второго порядка, например,

Очевидно, что использованные нами приемы (рассмотрение всевозможных миноров) не подходят для определения ранга в более сложных случаях ввиду большой трудоемкости. Обычно для нахождения ранга матрицы используют некоторые преобразования, которые называют элементарными:

1). Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

2). Умножение всех элементов строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля.

3). Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4). Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5). Транспонирование.

Если матрица А получена из матрицы Bэлементарными преобразованиями, то эти матрицы называютэквивалентнымии обозначают АВ.

Теорема. Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранг.

Доказательство теоремы следует из свойств определителя матрицы. В самом деле, при этих преобразованиях определители квадратных матриц либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В результате наивысший порядок отличных от нуля миноров исходной матрицы остается прежним, т.е. ее ранг не меняются.

С помощью элементарных преобразований матрицу приводят к так называемому ступенчатому виду (преобразуют в ступенчатую матрицу), т.е. добиваются, чтобы в эквивалентной матрице под главной диагональю стояли только нулевые элементы, а на главной диагонали – ненулевые:

Ранг ступенчатой матрицы равен r, так как вычеркиванием из нее столбцов, начиная с (r + 1)-го и дальше можно получить треугольную матрицу r-го порядка, определитель которой будет отличен от нуля, так как будет представлять собой произведение ненулевых элементов (следовательно, имеется минор r-го порядка, не равный нулю):

Пример. Найти ранг матрицы

1). Если а₁₁= 0 (как в нашем случае), то перестановкой строк или столбцов добьемся того, чтобы а₁₁0. Здесь поменяем местами 1-ю и 2-ю строки матрицы:

2). Теперь а₁₁0. Элементарными преобразованиями добьемся того, чтобы все остальные элементы в первом столбце равнялись нулю. Во второй строкеa₂₁= 0. В третьей строкеa₃₁= -4. Чтобы вместо (-4) стоял 0, прибавим к третьей строке первую строку, умноженную на 2 (т.е. на (-а₃₁/а₁₁) = -(-4)/2 = = 2). Аналогично к четвертой строке прибавим первую строку (умноженную на единицу, т.е. на (-а₄₁/а₁₁) = -(-2)/2 = 1).

3). В полученной матрице а₂₂0 (если бы было а₂₂= 0, то можно было бы снова переставить строки). Добьемся, чтобы ниже диагонали во втором столбце тоже стояли нули. Для этого к 3-й и 4-й строкам прибавим вторую строку, умноженную на -3 ((-а₃₂/а₂₂) = (-а₄₂/а₂₂) = -(-3)/(-1) = -3):

4). В полученной матрице две последние строки – нулевые, и их можно отбросить:

Получена ступенчатая матрица, состоящая из двух строк. Следовательно, r(A) = 2.

studfiles.net

4) Обратная матрица, вычисление, приложение.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.

Свойства обратной матрицы

, гдеобозначает определитель.

для любых двух обратимых матрици.

гдеобозначает транспонированную матрицу.

для любого коэффициента.

Если необходимо решить систему линейных уравнений , (b — ненулевой вектор) где— искомый вектор, и еслисуществует, то. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

Нахождение с помощью матрицы алгебраических дополнений

— транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

5)Теорема о существовании и единственности обратной матрицы.

Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы существует обратная матрица, то она единственна.

Доказательство.

Пусть существует матрица , для которойи матрица, для которой.

Тогда , то есть. Умножим обе части равенства на матрицу, получим, гдеи.

Значит, , что и требовалось доказать.

6) Теорема Кронекера – Капели

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что. Следовательно, столбецявляется линейной комбинацией столбцовматрицы. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что.

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрицекакой-нибудь базисный минор. Так как, то он же и будет базисным минором и матрицы. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицыбудет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы.

7) Метод крамера (вывод) решения систем линейных уравнений.

Метод (Крамера).

Если матрица квадратной системы невырожденная, то система определенная.

В этом случае решение системы может быть найдено по формулам ,

где — определитель системы;— определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой её-го столбца столбцом свободных членов.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i= D_i/D, где

D = det A, а D_i– определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

D_i=

studfiles.net

Обратная матрица — Википедия. Что такое Обратная матрица

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

AA−1=A−1A=E{\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E}

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Жордана—Гаусса

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λi{\displaystyle \Lambda _{i}} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Λ1⋅⋯⋅Λn⋅A=ΛA=E⇒Λ=A−1{\displaystyle \Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}}.

Λm=[1…0−a1m/amm0…0…0…1−am−1m/amm0…00…01/amm0…00…0−am+1m/amm1…0…0…0−anm/amm0…1]{\displaystyle \Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_{m-1m}/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_{mm}&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\dots &1\end{bmatrix}}}.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ{\displaystyle \Lambda }, то есть будет искомой. Сложность алгоритма — O(n3){\displaystyle O(n^{3})}.

С помощью матрицы алгебраических дополнений

Матрица, обратная матрице A{\displaystyle A}, представима в виде

A−1=adj(A)det(A){\displaystyle {A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A)}}}

где adj(A){\displaystyle {\mbox{adj}}(A)} — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы).

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение AX=In{\displaystyle AX=I_{n}} для обратной матрицы X{\displaystyle X} можно рассматривать как совокупность n{\displaystyle n} систем вида Ax=b{\displaystyle Ax=b}. Обозначим i{\displaystyle i}-ый столбец матрицы X{\displaystyle X} через Xi{\displaystyle X_{i}}; тогда AXi=ei{\displaystyle AX_{i}=e_{i}}, i=1,…,n{\displaystyle i=1,\ldots ,n} ,поскольку i{\displaystyle i}-м столбцом матрицы In{\displaystyle I_{n}} является единичный вектор ei{\displaystyle e_{i}}. другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)^[1].

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение PA=LU{\displaystyle PA=LU}. Пусть PA=B{\displaystyle PA=B}, B−1=D{\displaystyle B^{-1}=D}. Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: D=U−1L−1{\displaystyle D=U^{-1}L^{-1}}. Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида UD=L−1{\displaystyle UD=L^{-1}} и DL=U−1{\displaystyle DL=U^{-1}}. Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для n(n+1)2{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для n(n−1)2{\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}} из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)⁻¹ = A⁻¹P⁻¹ = B⁻¹ = D. получаем равенство A−1=DP{\displaystyle A^{-1}=DP}.

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма — O(n³).

Итерационные методы

Методы Шульца

{Ψk=E−AUk,Uk+1=Uk∑i=0nΨki{\displaystyle {\begin{cases}\Psi _{k}=E-AU_{k},\\U_{k+1}=U_{k}\sum _{i=0}^{n}\Psi _{k}^{i}\end{cases}}}

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения U0{\displaystyle U_{0}} в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору U0{\displaystyle U_{0}}, обеспечивающие выполнение условия ρ(Ψ0)<1{\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы AAT{\displaystyle AA^{T}} (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и ρ(A)≤β{\displaystyle \rho (A)\leq \beta }, то можно взять U0=αE{\displaystyle U_{0}={\alpha }E}, где α∈(0,2β){\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)}; если же A — произвольная невырожденная матрица и ρ(AAT)≤β{\displaystyle \rho (AA^{T})\leq \beta }, то полагают U0=αAT{\displaystyle U_{0}={\alpha }A^{T}}, где также α∈(0,2β){\displaystyle \alpha \in \left(0,{\frac {2}{\beta }}\right)}; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что ρ(AAT)≤kAATk{\displaystyle \rho (AA^{T})\leq {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}}, положить U0=AT‖AAT‖{\displaystyle U_{0}={\frac {A^{T}}{\|AA^{T}\|}}}). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что ‖Ψ0‖{\displaystyle \|\Psi _{0}\|} будет малой (возможно, даже окажется ‖Ψ0‖>1{\displaystyle \|\Psi _{0}\|>1}), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры

Матрица 2 × 2

A−1=[abcd]−1=1detA[d−b−ca]=1ad−bc[d−b−ca]{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}}^[2]

Обращение матрицы 2 × 2 возможно только при условии, что ad−bc=detA≠0{\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0}.

Примечания

Ссылки

wiki.sc

Обратная матрица — это… Что такое Обратная матрица?

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы

Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A⁻¹.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

.

.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна , то есть будет искомой. Сложность алгоритма — .

С помощью матрицы алгебраических дополнений

 — транспонированная матрица алгебраических дополнений;

Полученная матрица A⁻¹ и будет обратной. Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя O_det и равна O(n²)·O_det.

Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов исходной матрицы.

Использование LU/LUP-разложения

Матричное уравнение для обратной матрицы можно рассматривать как совокупность систем вида . Обозначим -ый столбец матрицы через ; тогда , ,поскольку -м столбцом матрицы является единичный вектор . другими словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению n уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. После выполнения LUP-разложения (время O(n³)) на решение каждого из n уравнений нужно время O(n²), так что и эта часть работы требует времени O(n³)^[1].

Если матрица A невырождена, то для неё можно рассчитать LUP-разложение . Пусть , . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: . Если умножить это равенство на U и L то можно получить два равенства вида и . Первое из этих равенств представляет собой систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе представляет также систему из n² линейных уравнений для из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из n² равенств. С помощью этих равенств можно реккурентно определить все n² элементов матрицы D. Тогда из равенства (PA)⁻¹ = A⁻¹P⁻¹ = B⁻¹ = D. получаем равенство .

В случае использования LU-разложения не требуется перестановки столбцов матрицы D но решение может разойтись даже если матрица A невырождена.

Сложность алгоритма — O(n³).

Итерационные методы

Методы Шульца

Оценка погрешности

Выбор начального приближения

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на LU-разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать сверху оценку спектра обращаемой матрицы A либо матрицы (а именно, если A — симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же A — произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно конечно упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Примеры

Матрица 2х2

Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что .

Примечания

1. ↑ Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, — М.: Вильямс, 2006 (стр. 700)

Ссылки

dic.academic.ru

Лекция 5. Обратная матрица

Обратные матрицы. Лекция 5.

Обратная матрица.

Квадратная матрица называетсяневырожденной, если её определитель не равен 0. В противном случае матрица называется вырожденной.

Матрица называетсяобратной к матрице , если выполняется следующее условие:. В этом случае обозначают.

Теорема 1. Всякая невырожденная матрица имеет свою обратную матрицу. Доказательство. Пусть дана матрица , причем. Составим матрицуследующим образом

,

где – алгебраические дополнения соответствующих элементовматрицы. Найдем произведение

На диагонали полученной матрицы стоят суммы произведений элементов строк на их алгебраические дополнения. По свойству 8 они равны определителю матрицы . На остальных местах стоят суммы произведений элементов строк на соответствующие алгебраические дополнения элементов других строк. По свойству 9 все они равны нулю. Поэтому

. Таким образом, . Аналогично можно получить равенство. Отсюда

По определению обратной матрицы

Так как , то матрицасуществует. Следовательно, матрицаимеет обратную матрицу. Теорема доказана.

Следствие: Для произвольной матрицы обратная матрица имеет вид .

Есть другой способ вычисления обратной матрицы методом элементарных преобразований. Для матрицы и единичной матрицысоставляется расширенная матрица, которая с помощью элементарных преобразований приводится к виду. Можно показать, что в этом случае.

Пример 25. Для матриц ивычислитьи.

Решение. Так как , то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения:

, ,,.

В соответствии с следствием из теоремы о существовании обратной матрицы . Сделаем проверку

.

Так как , то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения:

.

В соответствии с следствием из теоремы о существовании обратной матрицы . Сделаем проверку

Ответ:

Свойства обратной матрицы.

1. ;

2. ;

3. .

Ранг матрицы.

Пусть дана матрица размерности

.

Выделим в ней строк истолбцов.. Из элементов, стоящих на пересечениистрок истолбцов составим определитель– го порядка. Все такие определители называютминорами матрицы.

Пример 26. Для матрицы минорами второго порядка будут, например, определители

, ,,,,,,,.

Минорами третьего порядка — ,,,.

Всего для матрицы можно составитьминоров порядка, где. Так для матрицысуществует всего

миноров второго порядка.

Наибольший из порядков минора данной матрицы, отличных от нуля называется рангом матрицы. Обозначаются как .

Минор, порядок которого равен рангу матрицы, называют базисным минором. У каждой матрицы может быть несколько базисных миноров.

Свойства ранга матрицы.

1. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

2. Если из матрицы убрать нулевую строку (нулевой столбец), то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не меняется при её элементарных преобразованиях.

4. Ранг матрицы равен числу не нулевых строк в её ступенчатом виде.

27

studfiles.net

Обратная матрица

Обратная матрица

        Определение 14.8Матрицаназывается обратной матрицей для квадратной матрицы, если.

Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица(иначе одно из произведенийилибыло бы не определено).

Обратная матрица для матрицы обозначается. Таким образом, еслисуществует, то.

Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы, то есть. Про матрицыиможно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Предложение 14.20Если матрица имеет обратную, тои.

        Доказательство.     Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей (предложение 14.7), то. Последствию 14.1, поэтому, что невозможно при. Из предыдущего равенства следует также.

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

        Определение 14.9Квадратную матрицуназовем вырожденной или особенной матрицей, если, и невырожденной или неособенной матрицей, если.

Предложение 14.21Если обратная матрица существует, то она единственна.

        Доказательство.     Пусть две матрицыиявляются обратными для матрицы. Тогда

и

Следовательно, .

Предложение 14.22Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и

где — алгебраические дополнения к элементам.

        Доказательство.     Так как для невырожденной матрицыправая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы. Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой. Тогда нужно проверить, чтои что. Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.

Пусть . Найдем элементы матрицы, учитывая, что:

Если , то попредложению 14.17сумма справа равна нулю, то естьпри.

Если , то

Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по-ой строке (предложение 14.16). Таким образом,

Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть.

Результаты предложений 14.20,14.21,14.22соберем в одну теорему.

Теорема 14.1Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица— невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).     

        Замечание 14.12Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номерстолбца, а второй — номерстроки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

        Пример 14.7Найдите обратную матрицу для матрицы.

Решение.Находим определитель

Так как , то матрица— невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй — строке:

Полученная матрица и служит ответом к задаче.         

        Замечание 14.13В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц — целые числа. И наоборот, если элементы матрицы— десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителявпереди.

        Замечание 14.14При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

        Пример 14.8Найдите обратную матрицу для матрицы.

Решение.

— существует.

Ответ:.

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

studfiles.net

Синус 150 | Треугольники

Чтобы найти синус 150 градусов, используем формулу приведения для синуса тупого угла (от 90 до 180 градусов).

Утверждение:

Доказательство:

На единичной окружности синус угла альфа — это ордината точки, полученной поворотом на угол альфа вокруг точки O из точки (1;0).

Для синуса тупого угла (от 90º до 180º) верна формула приведения

Представим 150 градусов в виде разности

Используя данную формулу приведения и значение синуса 30 градусов, получаем

Что и требовалось доказать.

Если перевести 150 градусов в радианы:

то получим значение синуса 5П/6:

www.treugolniki.ru

sin 150

Доброй вечер!
 Очень интересный вопрос, надеюсь, мы сможем Вам помочь.  Нам с вами нужно найти sin 150 градусов.
Чаще всего для решения таких задач нужно определить показатели косинуса либо же синуса. Для углов от 0 до 360 градусов практически любое значение cos или sin можно с лёгкостью  найти в соответствующих табличках, которые существуют и распространены. Но что же нам делать, когда в задании просят найти другие величины, которые никак не отражаются в известных таблицах? Далее мы рассмотрим с Вами пример, как найти синус 150 градусов.
Давайте первым делом теперь подумаем, как мы можем разложить наш синус 150 градусов, да и таким образом, чтоб получившиеся значения мы легко могли найти в таблице. 

sin суммы, как мы вспомним, раскладывается по формуле: произведение cos второго угла на sin первого угла плюс произведение sin второго угла на cos первого в сумме: 

Теперь давайте попробуем разложить наш sin 150 по этой формуле:

Надеюсь, данная информация будет для Вас полезна и в дальнейшем, так как благодаря такой схеме можно вычислять значения любых углов.
Ответ: 

ru.solverbook.com

Чему равен синус и косинус 150?

синус150=0.5 косинус=-0.866 или минус корень из 3х делить на три

Синус = одна вторая, а косинус, не знаю

синус 150 = одна / вторая косинус 150 = минус /корень из трех / вторых

син150=-снус45 кос150=-кос45

touch.otvet.mail.ru

чему равен снус синус 150 градусов

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка

с искомой функцией .

Решая его, находим . Так как , то .

Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

,

где и — произвольные константы интегрирования.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Заменяя z произведением функций u и v, получим

Тогда получим выражения с функцией v:

Выражения с функцией u:

Дважды интегрируем и получаем:

.

Для интегрирования по частям обозначаем:

.

Интегрируем по частям и получаем:

.

Итак, общее решение данного дифференциального уравения:

.

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

,

где и — произвольные константы интегрирования.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Интегрируем полученную функцию:

Мы пришли к цели — общему решению данного дифференциального уравения:

.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

или

Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :

Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:

Интегрируем:

Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:

.

Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:

.

Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:

,

где и — произвольные константы интегрирования.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

или

.

При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Используя вновь подстановку

,

получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:

.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1, y‘(0) = −1.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:

.

Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Чтобы определить C1, используем данные условия y(0) = 1, y‘(0) = −1 или p(0) = −1. В полученное выражение подставим y = 1, p = −1:

.

Получаем

и

.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

.

Из начального условия y(0) = 1 следует

.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

.

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1, y‘(1) = −1.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Таким образом, получили уравнение первого порядка

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p, получим

Интегрируем обе части уравнения

Получим

или

Используем начальные условия и определим C1. Если x = 1, то y = 1 и p = y‘ = −1, поэтому

.

Тогда

Из начального условия y(1) = 1 следует

.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

.

Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах – это уравнение вида:
(1)   ,
где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) от переменных x, y:
.
При этом   .

Если найдена такая функция U(x, y), то уравнение принимает вид:
dU(x, y) = 0.
Его общий интеграл:
U(x, y) = C,
где C – постоянная.

Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1). Для этого умножим уравнение на dx. Тогда   . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1)   .

Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2)   .

Доказательство

Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y. Точка x₀, y₀ также принадлежит этой области.

Докажем необходимость условия (2).
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U(x, y):
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что   . Необходимость условия (2) доказана.

Докажем достаточность условия (2).
Пусть выполняется условие (2):
(2)   .
Покажем, что можно найти такую функцию U(x, y), что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U(x, y), которая удовлетворяет уравнениям:
(3)   ;
(4)   .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x₀ до x, считая что y – это постоянная:
;
;
(5)   .
Дифференцируем по y считая, что x – это постоянная и применим (2):

.
Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y₀ до y:
;
;
.
Подставляем в (5):
(6)   .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.

В формуле (6), U(x₀, y₀) является постоянной – значением функции U(x, y) в точке x₀, y₀. Ей можно присвоить любое значение.

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1)   .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2):
(2)   .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет – то это не уравнение в полных дифференциалах.

Пример

Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.

Решение

Здесь
,   .
Дифференцируем по y, считая x постоянной:


.
Дифференцируем по x, считая y постоянной:


.
Поскольку:
,
то заданное уравнение – в полных дифференциалах.

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v);
v du + u dv = d(uv);
;
.
В этих формулах u и v – произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Пример 1

Решить уравнение:
.

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1)   .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;

.
Подставляем в (П1):
;
.

Ответ

.

Метод последовательного интегрирования

В этом методе мы ищем функцию U(x, y), удовлетворяющую уравнениям:
(3)   ;
(4)   .

Проинтегрируем уравнение (3) по x, считая y постоянной:
.
Здесь φ(y) – произвольная функция от y, которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4):
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ(y) и, тем самым, U(x, y).

Пример 2

Решить уравнение в полных дифференциалах:
.

Решение

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Введем обозначения:
,   .
Ищем Функцию U(x, y), дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3)   ;
(4)   .
Проинтегрируем уравнение (3) по x, считая y постоянной:
(П2)  
.
Дифференцируем по y:

.
Подставим в (4):
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2):

.
Общий интеграл уравнения:
U(x, y) = const.
Объединяем две постоянные в одну.

Ответ

.

Метод интегрирования вдоль кривой

Функцию U, определяемую соотношением:
dU = p(x, y) dx + q(x, y) dy,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки (x₀, y₀) и (x, y):
(7)   .
Поскольку
(8)   ,
то интеграл зависит только от координат начальной (x₀, y₀) и конечной (x, y) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9)   .
Здесь x₀ и y₀ – постоянные. Поэтому U(x₀, y₀) – также постоянная.

Пример такого определения U был получен при доказательстве свойства уравнения в полных дифференциалах:
(6)   .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y, от точки (x₀ , y₀) до точки (x₀ , y) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x, от точки (x₀ , y) до точки (x, y) .

В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки (x₀ , y₀) и (x, y) в параметрическом виде:
x₁ = s(t₁);   y₁ = r(t₁);
x₀ = s(t₀);   y₀ = r(t₀);
x = s(t);   y = r(t);
и интегрировать по t₁ от t₀ до t.

Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки (x₀ , y₀) и (x, y). В этом случае:
x₁ = x₀ + (x – x₀) t₁; y₁ = y₀ + (y – y₀) t₁;
t₀ = 0;   t = 1;
dx₁ = (x – x₀) dt₁; dy₁ = (y – y₀) dt₁.
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1.
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 10-08-2012   Изменено: 02-07-2015

1cov-edu.ru

Дифференциальные уравнения, формулы и примеры

Понятие дифференциального уравнения

Например.

Толчком к развитию теории дифференциальных уравнений послужили различного рода механические задачи, в которых находились координаты тел, их скорости и ускорения. Названные величины зависели от времени при различных воздействиях.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, которое было предложено немецким философом, логиком, математиком, механиком, физиком, юристом, историком, дипломатом, изобретателем и языковедом Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) и английским физиком, математиком, механиком и астрономом сэром Исааком Ньютоном (1642-1727). Термин «дифференциальное уравнение» предложил Готфрид Лейбниц в 1676 г.

18 век стал вправе переломным для развития теории дифференциальных уравнений. Появилось огромное количество работ, среди которых особо выделялись труды швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонардо Эйлера (1707-1783) и французского математика, астронома и механика Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813). В их работах получила свое развитие теория малых колебаний, которая основывалась на теории линейных систем дифференциальных уравнений. Методы теории возмущения были разработаны французским математиком, механиком, физиком и астрономом Пьером-Симоном, маркизом де Лапласом (1749-1827), Ж. Лагранжем и немецким математиком, механиком, физиком, астрономом и геодезистом Иоганном Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855).

Французский математик Жозеф Лиувиль (1809-1882) установил неразрешимость ряда дифференциальных уравнений в элементарных функциях и квадратурах. «Качественная теория дифференциальных уравнений» (или теория динамических систем), предложенная французским математиком, механиком, физиком, астрономом и философом Жюлем Анри Пуанкаре (1854-1912), стала новой вехой в развитии теории дифференциальных уравнений.

От истории развития дифференциальных уравнений вернемся к ее основным определениям и понятиям.

Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Например. .

Порядок дифференциального уравнения

Например. Уравнение – дифференциальное уравнение третьего порядка, поскольку старший порядок производной, входящей в него, равен трем (данная производная подчеркнута).

Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка – или, если оно разрешимо относительно производной, – .

Решение дифференциального уравнения

Решением или общим интегралом дифференциального уравнения называется функция , удовлетворяющая указанному уравнению.

Кривая , соответствующая решению дифференциального уравнения, называется интегральной кривой этого уравнения.

Общее и частное решение дифференциального уравнения

Общим решением дифференциального уравнения называется соотношение

или

здесь C – произвольная постоянная или константа интегрирования. Это решение обладает следующим свойством: если разрешить выражение (или ) относительно y, то в результате получим функцию , являющуюся решением рассматриваемого дифференциального уравнения.

Уравнения (2) задают семейство интегральных кривых дифференциального уравнения (1).

Частное решение дифференциального уравнения – это решение, полученное из общего решения вида (2) при некотором значении произвольной постоянной C.

Например. Для дифференциального уравнения функция является общим решением, а при получаем частное решение .

Произвольную постоянную C можно определить из начальных условий – это такие условия, при которых ищется решение дифференциального уравнения, чтобы оно (решение) принимало значение при некотором заданном значении независимой переменной , то есть выполняется равенство

Если задано дифференциальное уравнение (1) с начальными условиями (3), то такая задача называется задачей Коши.

Например. .

ru.solverbook.com

Теорема Виета

Теорема Виета звучит так:

Теорема Виета широко используется при решении задач, в которых

• не требуется найти корни квадратного уравнения, а лишь некоторое их соотношение;
• нужно найти значение параметра, при котором значение корней удовлетворяет заданному соотношению.

С помощью теоремы Виета можно устно находить корни квадратного уравнения, а также проверять, являются ли заданные числа корнями уравнения.

Чтобы грамотно использовать теорему Виета, ее нужно хорошо понимать.

Остановимся подробнее на каждом слове этой теоремы. Сначала о коэффициентах квадратного уравнения:

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1, то есть если

В общем случае не каждое квадратное уравнение является приведенным, например, уравнение не является приведенным. В этом уравнении .

Но каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, для этого достаточно обе части уравнения вида разделить на :

В полученном уравнении старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен  , свободный член равен .

То есть корни  произвольного квадратного уравнения, согласно теоремы Виета,  удовлетворяют системе:

Например корни уравнения

удовлетворяют системе

Обратная теорема Виета позволяет составить квадратное уравнение по значениям его корней:

Например, числа -7 и -2 являются корнями уравнения ,   или 

Решим несколько задач с использованием теоремы Виета.

Задача 1. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней равен

Так как произведение корней должно быть числом рациональным, второй корень может представлять выражение, сопряженное выражению , то есть дополняющее его до формулы разности квадратов. Это выражение :

Тогда ;

Отсюда получаем уравнение:

Задача 2. Найдите значения выражения , где и — корни уравнения .

Если в задаче не требуется найти значения корней квадратного уравнения, а только их соотношение, следовательно, нужно воспользоваться теоремой Виета.

Запишем теорему Виета для этого уравнения:

Теперь мы знаем, чему равны сумма и произведение корней. Представим выражение  в виде комбинации суммы и произведения. Приведем дроби к общему знаменателю.

Ответ: -8

Задача 3. Найдите значение выражения , где и — корни уравнения .

Эта задача аналогична предыдущей, только в ней чуть сложнее преобразование выражения  в комбинацию выражений  и .

Вспомним формулу квадрата суммы: . Перенесем  влево и получим соотношение (1)

Запишем теорему Виета для уравнения :

(по формуле 1)

Ответ: 20,5

Задача 4. Решите устно уравнение:

Теорем Виета позволяет в некоторых случаях легко находить корни квадратного уравнения.

Для этого удобно придерживаться такой последовательности шагов:

1. Выписываем теорему Виета для данного уравнения.
2. Определяем знаки корней.
3. Раскладываем на два множителя свободный член, и определяем,  какая пара множителей в сумме дает второй коэффициент, взятый с противоположным знаком.

Для данного уравнения 

1  

2  Определим знаки корней.

Для определения знаков удобно пользоваться такой таблицей:

Так как в уравнении  произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней также отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

3. Будем раскладывать на множители число 24, имея в виду, что множитель с большим модулем отрицателен, и выбираем пару чисел, сумма которых равна -2.

Очевидно, что это числа -6 и 4.

Ответ: -6; 4

Задача 5. Решите устно уравнение:

1  

2 Определим знаки корней.

Так как в уравнении

произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

В данном случае корни проще подобрать, зная их сумму: . Можно предположить, что . Проверим, чему равно произведение этих выражений:

Предположение верное.

Ответ: 

Следствием из теоремы Виета являются такие полезные факты:

Задача 6. Найти корни уравнения:

Заметим, что  , следовательно, .

Задача 7.

Найти корни уравнения:

Заметим, что  , следовательно,

Как решать задачи с параметром с помощью теоремы Виета читайте здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

формула, алгоритм использования, приведенный вид

Для начала сформулируем саму теорему: Пусть у нас есть приведённое квадратное уравнение вида x^2+b*x + c = 0. Допустим, это уравнение содержит корни x1 и x2. Тогда по теореме следующие утверждения допустимы:

интеграл от модуля — ПриМат

$\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}$ 1. Линейность интеграла. Если функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$, а числа $\alpha, \beta \in \mathbb {R}$, то
$$\int\limits_a^b \lbrack\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\rbrack\,dx = \alpha\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx + \beta\int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$$

Это свойство получено нами ранее при доказательстве интегрируемости линейной комбинации.

2. Аддитивность интеграла. Пусть числа $b < a$. Зададим точки $a = x_{0} > x_{1} > \ldots > x_{n} = b,$ выберем точки $\xi_{i} \in \lbrack x_{i+1}, x_{i}\rbrack$ и составим сумму $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}.$ Заметим, что в этой сумме все $\Delta x_{i} < 0.$ Ясно, что эту сумму можно получить как интегральную сумму на $\lbrack b, a\rbrack,$ только с противоположным знаком. Это приводит к следующему определению.

Определение. Пусть $b < a$ и функция $f$ интегрируема на $\lbrack b, a\rbrack.$ Тогда по определению полагаем
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = -\int\limits_b^a f\left(x\right)\,dx.$$
Далее, для каждой функции $f$, определенной в точке $a$, полагаем по определению

$$\int\limits_a^a f\left(x\right)\,dx = 0.$$

Теорема. Пусть $a, b, c$ — произвольные точки на действительной прямой. Если функция $f$ интегрируема на наибольшем из отрезков с концами в двух из этих точек, то она интегрируема также и на двух других отрезках, и справедливо равенство
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx.$$

Пусть, например, $a < c < b$ и функция $f$ интегрируема на $\lbrack a, b\rbrack.$ Тогда, по доказанному ранее свойству 4, она интегрируема на отрезках $\lbrack a, c\rbrack$ и $\lbrack c, b\rbrack.$ Возьмем произвольное разбиение $a = x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{n} = b$, такое, что $c$ является одной из точек деления. Выберем промежуточные точки $\xi_{i}$ и рассмотрим интегральную сумму $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}$. Если $c = x_{j}$, то эту сумму разобьем на две: $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{j-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i} + \sum\limits_{i=j}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}$. При $d(\Pi) \to 0$ первая сумма справа стремится к $\displaystyle\int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx$, вторая — к $\displaystyle\int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx$, а сумма $\sigma$ стремится к $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$. Переходя к пределу при $d(\Pi) \to 0$, получим требуемое равенство.
Пусть теперь $c < a < b$. Тогда, по уже доказанному,
$$\int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_c^a f\left(x\right)\,dx + \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx.$$
Отсюда следует
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx-\int\limits_c^a f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx$$
и теорема доказана полностью.

3. Интеграл от модуля. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$. Тогда
$$\left|\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx\right| \leqslant \int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right| \,dx.$$

Действительно, интегрируемость модуля интегрируемой функции доказана ранее. Докажем неравенство. Для этого выберем произвольное разбиение отрезка $\lbrack a, b\rbrack.$ Тогда для интегральных сумм будем иметь следующее неравенство:
$$\left|\sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}\right| \leqslant \sum\limits_{i=0}^{n-1} \left|f\left(\xi_{i}\right)\right|\Delta x_{i}.$$
При стремлении к нулю диаметра разбиения интегральная сумма под знаком модуля в левой части стремится к к $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$, а сумма справа стремится к $\displaystyle\int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right|\,dx$. Переходя к пределу при $d(\Pi) \to 0$, получаем требуемое неравенство для интегралов.

4. Монотонность интеграла. Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ и $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack.$ Тогда
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant \int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$$

Действительно, возьмем произвольное разбиение отрезка $\lbrack a, b\rbrack$ и выберем промежуточные точки $\xi_{i}$. Тогда $f\left(\xi_{i}\right)\leqslant g\left(\xi_{i}\right) \left(i = 0, 1, \ldots, n-1\right)$. Умножая эти неравенства на $\Delta x_{i} > 0$ и складывая, получим
$$\sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}\leqslant\sum\limits_{i=0}^{n-1} g\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}.$$
Отсюда, устремляя к нулю диаметр разбиения, получаем требуемое неравенство.

Следствие 1. Пусть $f$ — неотрицательная интегрируемая функция на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$. Тогда
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \geqslant 0.$$

Следствие 2. Если интегрируемая функция $f$ строго положительна на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$, то и $$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx > 0.$$

Действительно, в силу критерия Лебега , найдется точка $x_{0}\in\lbrack a, b\rbrack$, в которой функция непрерывна . Поскольку $f\left(x_0\right) > 0$, то найдется такое $\delta > 0$, что $\displaystyle f\left(x\right) > \frac{1}{2}f\left(x_0\right)$ для всех $x \in \left(x_0-\delta, x_0 + \delta\right) \cap \lbrack a, b\rbrack.$ Выберем отрезок $\lbrack\alpha, \beta\rbrack \subset \left(x_0-\delta, x_0 + \delta\right) \cap \lbrack a, b\rbrack, a\leqslant\alpha < \beta\leqslant b$.Тогда, в силу свойства аддитивности интеграла, получим $$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^\alpha f\left(x\right)\,dx + \int\limits_\alpha^\beta f\left(x\right)\,dx + \int\limits_\beta^b f\left(x\right)\,dx.$$ Первый и третий интегралы справа неотрицательны в силу следствия, а для второго интеграла, учитывая неравенство $\displaystyle f\left(x\right) \geqslant \frac{1}{2} f\left(x_0\right)$, из свойства монотонности интеграла получим $$\int\limits_\alpha^\beta f\left(x\right)\,dx \geqslant \int\limits_\alpha^\beta \frac{1}{2}f\left(x_0\right)\,dx = \frac{1}{2}f\left(x_0\right)\left(\beta-\alpha\right) > 0.$$
Таким образом, $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx > 0$.

Следствие 3.Пусть функция $f$ интегрируема на $\lbrack a, b\rbrack$ и $m \leqslant f\left(x\right) \leqslant M$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack$. Тогда
$$ \begin{equation}\label{prop_of_int_first}m\left(b-a\right) \leqslant \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant M\left(b-a\right)\end{equation}.$$

Это следствие сразу вытекает из свойства монотонности интеграла.

Действительно, положим $\displaystyle\mu = \frac{1}{\left(b-a\right)}\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$. Тогда, по следствию 3, $m \leqslant \mu \leqslant M$.

Отметим, что при $a > b$ в такой формулировке это замечание остается в силе, в то время как знаки неравенств в $\eqref{prop_of_int_first}$ меняются на противоположные.

Следствие 4. Если функция $f$ непрерывна на $\lbrack a, b\rbrack$, то найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$, что
$$ \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = f\left(\xi\right)\left(b-a\right).$$

Действительно, пусть $m$ и $M$ соответственно нижняя и верхняя грани функции $f$ на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$, они достигаются в силу первой теоремы Вейерштрасса. По уже доказанному, найдется точка $\mu \in \lbrack m, M\rbrack$, такая, что $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \mu \left(b-a\right)$. По теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$, что $f\left(\xi\right) = \mu.$

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

1. Оценить интеграл $\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\,dx}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}}$.
   Решение

   Оценим подынтегральную функцию:
   $$-1 \leqslant \sin{x} \leqslant 1 \Rightarrow$$
   $$3 \leqslant 5 + 2\sin{x} \leqslant 7 \Rightarrow$$
   $$\sqrt{3} \leqslant \sqrt{5 + 2\sin{x}} \leqslant \sqrt{7} \Rightarrow$$
   $$\frac{1}{\sqrt{7}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
   Отсюда и из монотонности интеграла следует, что
   $$\int\limits_0^{2\pi} \frac{\,dx}{\sqrt{7}} \leqslant \int\limits_0^{2\pi}\frac{\,dx}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}}\leqslant\int\limits_0^{2\pi} \frac{\,dx}{\sqrt{3}}.$$
   Таким образом,
   $$\frac{2\pi}{\sqrt{7}} \leqslant \int\limits_0^{2\pi}\frac{\,dx}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}}\leqslant\frac{2\pi}{\sqrt{3}}.$$

2. Найти определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^2 \left|1-x\right|\,dx$.
   Решение

   
   Из аддитивности интеграла
   $$\int\limits_0^2 \left|1-x\right|\,dx = \int\limits_0^1 \left|1-x\right|\,dx + \int\limits_1^2 \left|1-x\right|\,dx =$$ $$= \int\limits_0^1 \left(1-x\right)\,dx + \int\limits_1^2 \left(x-1\right)\,dx = \int\limits_0^1 \,dx-\int\limits_0^1 x \,dx + \int\limits_1^2 x \,dx-\int\limits_1^2 \,dx =$$ $$= 1-0-\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1 + \left.\frac{x^2}{2}\right|_1^2-(2-1) = 1-\frac{1}{2} + 0 + \frac{2^2}{2}-\frac{1}{2}-1 = 1.$$

3. Найти определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^3 \frac{x^4}{x^2 + 1}\,dx$
   Решение

   $$\int\limits_0^3 \frac{x^4}{x^2 + 1}\,dx = \int\limits_0^3 \frac{\left(x^4 -1\right) + 1}{x^2 + 1}\,dx =$$ $$= \int\limits_0^3 \frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right) + 1}{x^2 + 1}\,dx = \int\limits_0^3 \left(x^2-1 + \frac{1}{x^2 + 1}\right)\,dx.$$
   Воспользовавшись свойством линейности интеграла, получим
   $$\int\limits_0^3 \left(x^2-1 + \frac{1}{x^2 + 1}\right)\,dx = \int\limits_0^3 x^2 \,dx-\int\limits_0^3 \,dx + \int\limits_0^3 \frac{\,dx}{x^2 + 1} =$$ $$= \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3-(3-0) + \left.\arctg{x}\right|_0^3 = 9-0-3+ \arctg{3}-\arctg{0} =$$ $$=6 + \arctg{3}.$$

4. Не вычисляя интегралов, определить какой из них больше: $\displaystyle\int\limits_2^3 e^{-x}\sin{x}\,dx$ или $\displaystyle\int\limits_2^3 e^{-x^2}\sin{x}\,dx$.
   Решение

   Сравним подынтегральные функции. Пусть $f\left(x\right) = e^{-x}\sin{x}$, $g\left(x\right) = e^{-x^2}\sin{x}$.
   $$f\left(x\right)-g\left(x\right) = e^{-x}\sin{x}-e^{-x^2}\sin{x} = \sin{x}\left(e^{-x}-e^{-x^2}\right) =$$ $$= e^{-x}\sin{x}\left(1-e^{-x^2 + x}\right).$$
   На промежутке $\lbrack 2, 3\rbrack$ функции $\sin{x}$ и $e^{-x}$ принимают положительные значения (поскольку синус на $\lbrack 0, \pi\rbrack$ положительный). Значит нам достаточно сравнить с нулем выражение $1-e^{-x^2 + x}$. Поскольку на $\lbrack 2, 3\rbrack$ $x^2 > x$, то $-x^2 + x < 0$, а значит $e^{-x^2 + x} < 1$. $1-e^{-x^2 + x} > 0$, из чего следует, что $f\left(x\right) > g\left(x\right)$.
   Ответ:
   $$\int\limits_2^3 e^{-x}\sin{x}\,dx > \int\limits_2^3 e^{-x^2}\sin{x}\,dx.$$

5. Найти среднее значение функции на данном отрезке: $\sin{x}$, $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$.
   Решение

   Воспользуемся четвертым следствием из свойства монотонности интеграла. Средним значением функции $f\left(x\right)$ на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$ называется число $\displaystyle\mu = \frac{1}{\left(b-a\right)}\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx.$
   Из этого следует:
   $$\mu = \frac{1}{\left(\frac{\pi}{2}-0\right)} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\,dx = \left.-\frac{2}{\pi}\cos{x}\right|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}(0-1) = \frac{2}{\pi}.$$
   Ответ: $\displaystyle\frac{2}{\pi}.$

Смотрите также

1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — С. 326-332.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — С. 570-582.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1970.- 800 с. — С. 108-116.

Свойства интеграла

Лимит времени: 0

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Свойства интеграла»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Геометрия 7 класс Решение задач на 1 признак равенства треугольников

Конспект урока по геометрии в 7 классе

Тема урока: Решение задач по теме «Первый признак равенства треугольников»

Цели урока:

— повторить определения треугольника, равных фигур, равных треугольников; понятия соответствующих элементов треугольника;

— рассмотреть первый признак равенства треугольников

— начать формирование умения по решению задач на первый признак равенства

треугольников;

— развивать геометрические представления учащихся о многообразии геометрических фигур;

Задачи урока: 

— Создать условия для формирования  умения  применять первый признак равенства треугольников при решении задач.

— Развивать логическое мышление, тренировать геометрическую зоркость, пространственное воображение.

— Воспитывать навыки самоконтроля; внимательность, аккуратность.

Формы работы на уроке: классно-урочная, индивидуальная, фронтальная.

Тип урока: комбинированный.

Технические средства обучения: мультимедийный проектор, экран, презентация в программе PowerPoint (Приложение 1).

Ход урока:

1. Организационный момент: объявление темы и целей урока

2. Устная работа, актуализация знаний:

— Вспоминаем определение треугольника;

— Вспоминаем определение равных фигур;

— Вспоминаем определение равных треугольников;

— Решаем устно задачи по готовому чертежу:

1. Назовите угол, лежащий напротив в стороны КТ в треугольнике МОС;

2. Назовите углы, прилежащие к стороне РТ треугольника КРТ;

3. Какой угол треугольника МОС соответствует углу Р треугольника РКТ;

4. Какая сторона треугольника РКТ соответствует стороне ОС треугольника МОС;

5. Какая сторона лежит напротив угла Т в треугольнике РКТ.

— Повторяем первый признак равенства треугольников.

3. Решение задач

Решаем задачи по готовым чертежам, представленным на экране. Один учащийся решает у доски, остальные в тетрадях.

1) Дано:

АВО и СDО

ВО=ОС

О — середина АD

АВ=3 см

/ ОСD=30*

——————————————

Доказать:

АВО = СDО

Найти:

СD, / АВС

2) Дано:

АВС, АСD

/1= / 2

АВ=2,5 см

ВС=АD

ВС в 1,2 р.б. АВ

———————————————

Найти:

Р АВСD

3) Дано:

EMN и FNM

/ М = / N

EM = FN

———————————-

Доказать:

EMN = FNM

4. Постановка д/з

1) Составить и решить задачу по готовому чертежу:

infourok.ru

Презентация — Задачи на готовых чертежах

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Признаки равенства треугольников
Задачи на готовых чертежах

Слайд 2

Признаки равенства треугольников

Слайд 3

Первый признак равенства треугольников

Слайд 4

А
В
С
Д
О
Задача 1

Слайд 5

А
В
С
Д
Задача 2

Слайд 6

1
2
А
В
С
Д
Задача 3

Слайд 7

А
В
С
Д
Задача 4

Слайд 8

А
D
В
C
Доказать: АВ=ВС
Задача 5

Слайд 9

1
2
А
Д
С
О
В
Задача 6

Слайд 10

Задача 7

Слайд 11

Доказать: Δ ДВС=Δ ДАС
Задача 8

Слайд 12

А
В
C
Д
О
Задача 9

Слайд 13

К
Д
С
В
А
Найти: равные треугольники
Задача 10

Слайд 14

Второй признак равенства треугольников

Слайд 15

А
В
С
Д
О
Задача 1

Слайд 16

Задача 2

Слайд 17

А
Д
С
В
Задача 3

Слайд 18

Р
А
В
С
Д
К
Задача 4

Слайд 19

Найти: равные треугольники
Задача 5

Слайд 20

В
А
С
Д
Задача 6

Слайд 21

Задача 7

Слайд 22

Д
Задача 8

Слайд 23

Задача 9

Слайд 24

А
В
С
Д
О
Задача 10

Слайд 25

Д
О
В
С
А
Найти: равные треугольники
Задача 11

Слайд 26

Третий признак равенства треугольников

Слайд 27

А
В
С
Д
Задача 1

Слайд 28

А
Д
В
С
Доказать: Δ АВД=Δ ВСД
Задача 2

Слайд 29

А
К
Д
В
Р
S
Задача 3

Слайд 30

Задача 4

Слайд 31

А
В
C
Д
Н
Задача 5

Слайд 32

АД=СВ
Задача 6

Слайд 33

А
В
С
Д
К
Р
Задача 7

Слайд 34

Найти:
АОВ
Задача 8

Слайд 35

А
В
С
Д
Р
К
Найди: равные треугольники
Задача 9

Слайд 36

А
В
С
Д
О
Задача 10

lusana.ru

«Решение задач на применение признаков равенства треугольников по готовым чертежам». 7-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

---

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (917,9 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

---

Учебник: Геометрия 7-9 под. ред. Л.С. Атанасян.

На начальном этапе изучения геометрии основную трудность для большинства учащихся представляет выполнение чертежа. Кроме того на его выполнение расходуется много времени. Школьники учатся видеть и понимать краткость записи и условные обозначения, правильно строить чертеж. Существенно сократить записываемый текст помогает математическая символика. Правильно выполненный чертеж – 50% успеха в решении задачи.

На уроках геометрии очень часто каждое высказывание и ответ на вопрос должны, как правило, сопровождаться демонстрацией чертежа, причем чертеж и данные из условия задачи должны находиться перед глазами учащихся в процессе решения задачи. Когда учащиеся наглядно видят условие, то легче решают задачи. По этой причине упражнения на готовых чертежах оказывают неоценимую помощь в усвоении и закреплении новых понятий и теорем, дают возможность в течение минимума времени усвоить и повторить значительно больший объем материала, тем самым наращивать темп работы на уроках.[3]

Эти упражнения способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся, обучают умению рассуждать, находить в них общее и различия, сопоставлять и противопоставлять, делать правильные выводы.

Дифференцированный подбор задач позволяет учителю проводить разные формы урока. Заранее подготовленные чертежи могут служить в качестве устных  упражнений и учитель будет отводить на решение этих упражнений 10 – 15 мин. Более сложные упражнения учитель может использовать, как для индивидуальных работ по карточкам, так и для самостоятельных работ и для тематического контроля.

При выполнении упражнений происходит активная мыслительная деятельность учащихся, периодический повтор определений, свойств и признаков изучаемых фигур, что в свою очередь приводит к эффективному непроизвольному запоминанию определений, свойств и признаков изучаемых фигур.

Предлагаемые упражнения по готовым чертежам быстро готовят учащихся к самостоятельному решению таких задач, для которых эти упражнения являются элементами.

Методика проведения уроков с использованием упражнений на готовых чертежах, несомненно, способствует повышению творческой активности учащихся, развитию логического мышления, является эффективным средством усвоения и закрепления теоретического материала.[3]

Предлагаемые упражнения не ставят целью заменить систему задач учебника,  а являются лишь дополнением к ней. Они дают возможность учителю сэкономить значительную часть времени на изучение соответствующих тем и способствуют усилению практической направленности преподавания геометрии.

Решение задач на применение признаков равенства треугольников по готовым чертежам

Цель урока: совершенствование навыков решения задач на применение признаков равенства треугольников, показать практическое применение свойств и признаков равенства прямоугольных треугольников к решению практических задач:

• Учебная задача: научить учащихся использовать, свойства и признаки равенства треугольников при решении практических задач
• Развивающая задача: использовать исследовательскую деятельность, развивать интуицию, стремление к применению полученных знаний.
• Воспитательная задача: формирование навыков поиска рациональных путей решения задач, воспитывать уважение к значимости полученных знаний

План урока.

I этап. Повторение теоретического материала при работе по готовым чертежам (2 – 4 слайды)
II этап. Решение задач по готовым чертежам с подробным объяснением и записью решения ( 5, 6 слайды).
III этап. Решение практических задач (7 — 9 слайды).
IV этап. Презентация исторического материала о Фалесе, подготовленная учащимся.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Теоретический опрос.

– Какие углы называются смежными?
– Свойство смежных углов.
– Какие углы называются вертикальными?
– Свойство вертикальных углов.
– Сколько признаков равенства треугольников вы знаете?
– Слайд 2. I признак равенства треугольников.
– Слайд 3. II признак равенства треугольников.
– Слайд 4. III признак равенства треугольников.

2. Решение задач по готовым чертежам (слайды 5, 6)

Слайд 5.

– Сколько треугольников вы видите на чертеже?
– Назовите их.
– Назовите равные элементы треугольников?
– В каком треугольнике проще найти, равный третий элемент? (∆АВС = ∆DBA)
– Какой, это элемент? (АВ – общая сторона)
АС = BD, AD = BC, AB – общая сторона, следовательно ∆АВС = ∆ABD
– Что следует из равенства этих треугольников? ()
– Какую пару треугольников мы можем еще рассмотреть? (∆OВDи ∆OAC )
∆АОВ – равнобедренный, следовательно   ОАВ =
Ответ: ∆АВС = ∆ABD, ∆OВD = ∆OAC
Слайд 6
– Сколько треугольников вы видите на чертеже?
– Назовите их.
– Назовите равные элементы треугольников?
– Какую пару треугольников рассмотрим сначала? (∆DOE =∆COF)
DO = OC, ОЕ = OF,- по двум сторонам и углу между ними.
– Что следует из равенства этих треугольников?

– Какую пару треугольников мы можем еще рассмотреть? (∆CEF= ∆DFE)
 EF– общая сторона для ∆CEF и ∆DFE, CE=CF∆CEF=∆DFE– по трем сторонам.
– Что следует из равенства этих треугольников?
– Какую пару треугольников мы можем еще рассмотреть? (∆ADF =∆BCE)

CE=DF,
– Что следует из равенства этих треугольников?
– Какую пару треугольников мы можем еще рассмотреть? (∆ADE= ∆BCF)

– Какие выводы вы можете сделать?

III. Решение практических задач

– Каким свойством обладает биссектриса угла треугольника? (Каждая точка биссектрисы угла треугольника равноудалена от его сторон)
– Какие признаки равенства прямоугольных треугольников вы знаете?
Слайд 7.
– По вспомогательному рисунку сделаем правильный чертеж.
– Проверим правильность построения.
– Проанализируем чертеж.
– Какие выводы вы можете сделать.
AB = AC, BD = CD, ∆АВD= ∆ACD – по катету и гипотенузе
Слайд 8
– Сделаем чертеж к задаче.
– Проверим правильность выполнения чертежа.
– Проанализируем чертеж.
– Ваш ответ.
Слайд 9. Задача Фалеса.
– Сделайте чертеж к задаче.
– Проверим правильность выполнения чертежа.
– Проанализируем чертеж.
– Какую пару треугольников вы видите.
– Какие эти треугольники?
– Почему так сказал Фалес?

IV. Презентация исторического материала о Фалесе, подготовленная учащимся

V. Подведение итогов

VI. Домашнее задание:

1. Решить задачи №140, 141, 142;
2. Дополнительная задача: Два равнобедренных треугольника АВС и ADCимеют общее основание АС. Вершины В и Dрасположены по разные стороны от АС. Точка Е лежит на отрезке BD, но не лежит на отрезке AC. Докажите, что  .

Литература

1. Алтухова Е.В.и др. Математика. 5-11 классы: уроки учительского мастерства / Волгоград: Учитель, 2009.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии. 7 класс / М.: «ВАКО», 2004.
3. Балаян Э.Н. Геометрия задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ 7 – 9 классы / Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.

31.03.2013

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Презентация к уроку геометрии (7 класс) по теме: Сборник УСТНЫЕ ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ Признаки равенства треугольников

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Составитель: Обухова Н.С,

учитель МОУ СОШ №17

г.Заволжья

Нижегородской области

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

1

2

3

Литература

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

1

2

3

4

6

7

5

8

9

10

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

D

О

Δ ВОС=Δ АОD

Задача 1

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

D

Δ АВС=Δ АDС

Задача 2

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

1

2

А

В

С

D

Δ АВD=Δ ВСD

Задача 3

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

D

D=

В

Задача 4

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

D

В

C

АВ=ВС

Задача 5

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

1

2

А

D

С

О

В

АО=СО

Задача 6

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

1

2

А

В

С

D

АВ=ВС

Задача 7

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

D

А

В

С

Δ DВС=Δ DАС

Задача 8

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

C

D

О

А=

В

Задача 9

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

К

D

С

В

А

Найти равные треугольники

Задача 10

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

1

2

3

4

6

7

5

8

9

10

11

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

D

О

D=

В

Задача 1

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

О

АО=СО

Задача 2

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

D

С

В

АВ=СD

Задача 3

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

Р

А

В

С

D

К

Р=

В

Задача 4

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

К

D

С

В

А

Найти равные треугольники

Задача 5

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

В

АВ=СD

А

С

D

Задача 6

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

С=

В

А

С

В

D

О

1

2

Задача 7

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

K

С

В

H

Найти равные треугольники

Задача 8

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

О

К

Р

АК=СР

Задача 9

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

D

Найти равные треугольники

О

Задача 10

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

D

О

В

С

А

Найти равные треугольники

Задача 11

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

1

2

3

4

6

7

5

8

9

10

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

D

D=

В

Задача 1

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

D

В

С

Δ АВD=Δ ВСD

Задача 2

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

К

D

В

Р

S

Р=

К

Задача 3

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

К

Н

С

АН=НС

Задача 4

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

C

D

Н

ВН=НD

Задача 5

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

D

А

В

С

АD=СВ

А=

В

Задача 5

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

D

К

Р

Найти равные треугольники

Задача 7

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

О

В

С

АОВ

Задача 8

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

D

Р

К

Найдите равные треугольники

Задача 9

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

А

В

С

D

О

Найдите все пары равных треугольников

Задача 10

Обухова Н.С, МОУ СОШ № 17 г.Заволжья Нижегородской области

1.Ершова А.П., Голобородько В.В, Ершова А.С

Самостоятельные и контрольные работы по алгебре

и геометриидля 7 класса.-М:Илекса, 2004.-176с.

2.Саврасова С.М.,Ястребинецкий Г.А.

Упражнения по планиметрии на готовых чертежах.-

М.: просвещение, 1987.-112 с.: ил.

3. Зив Б.Г. и др.

Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл.

общеобразоват.учреждений.-М.:Просвещение, 2000.-271 с.: ил.

4. Рабинович Е.М.

Сборник задач на готовых чертежах.-К.:1996.-56с.

5. Гаврилова Н.Ф.

Поурочные разработки по геометрии: 7 класс.-2-е изд.,

перераб. и доп.-М.: ВАКО,2009.-304 с.

nsportal.ru

Первый признак равенства треугольников. Решение задач

Разделы: Математика

---

Цели и задачи урока:

• повторение понятий треугольника и его элементов
• повторение понятия равных треугольников
• формирование у учащихся умения доказывать равенство треугольников
• умение выделять следствия, вытекающие из равенства треугольников.

Ход урока

Решение задач по готовым чертежам.

I. Проверка домашнего задания: № 90, № 94.

Перед уроком на доске выполнены чертежи и записано дано к каждой задаче:

№90.

Дано: треугол. АВС

АВ = 17 см, АС > AB в 2 раза, ВС < AC на 10 см.

Найти: P треугол. ABC = ?

№ 94.

Дано: АВ = АС, <1 = <2, АС= 15 см, DC= 5 см.  

а) Доказать: треугол. АВD = треугол. ACD

б) Найти: BD и АВ.

Далее с помощью фронтального опроса класса устно проверяем решение домашних задач.

№ 90. Решение:

1. Пусть АВ = 17 см (по условию), тогда AC = 2АВ = 17 * 2 = 34 см, а ВС = АС – 10 = 34 – 10 = 24 см
2. P АВС = АВ + ВС + АС = 17 + 34 + 24 = 75 см.

Ответ: Р треугольника. АВС = 75 см.

№ 94.

1) Рассмотрим треугольник АВС и треугольник АСD.

а) АВ = АС (по условию)

б) < 1 = < 2 (по условию)

в) AD – общая сторона

Из а, б, в следует => треугольник АВD = треугольнику АСD по двум сторонам и углу между ними (Первый признак равенства треугольников).

2) Треугольник АВD = треугольнику АСD, мы знаем, что в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, т.е. т.к <1 = <2, то BD = DC = 5 см

3) АВ = АС = 15 см (по условию)

Ответ: АВ = 15 см, ВО = 5 см.

Попутно повторяем следующие понятия:

а) какая фигура называется треугольником;
б) элементы треугольника;
в) стороны и углы, противолежащие друг другу;
г) углы, прилежащие к сторонам треугольника;
д) что такое периметр треугольника

II. Опрос класса – доказательство I-ого признака равенства треугольников. Опрос называется – Каскад.

5 учеников из класса уже ответили учителю эту теорему и знают ее отлично. Знают все дополнительные вопросы (и ответы на них), которые надо задать по ходу доказательства этой теоремы. Причем это, как правило, слабые ученики класса, которые выучивают теорему, хорошо понимая ее, с помощью учителя. Они стремятся дотошно разобраться в доказательстве данной теоремы и всего теоретического материала, используемого в ней, так как знают, что на уроке они будут опрашивать и оценивать сильных учеников класса. Это стимулирует их на хорошую подготовку к уроку, детям всегда хочется побывать в роли учителя, тем более, что дети послабее опрашивают тех, кто лучше разбирается в данном предмете. Все ученики класса, кроме этих пятерых, достают листки и делают на них чертежи к теореме, и пишут дано. На первый взгляд дети работают сами, но на самом деле вся работа хорошо спланировано учителями. Весь класс у него на контроле. Как только работа с листочками закончена, учащиеся готовые отвечать поднимают руки и им учитель предлагает занять место рядом с одним из пятерых, уже ответивших теорему. Дети начинают тихим шепотом отвечать друг другу. Через 3-4 минуты в классе уже 10 человек, которые спрашивают, и так по нарастающей. Когда все ответили, учитель называет всех учеников по списку, и отметку говорит тот, кто его опрашивал. Отметки, как правило, бывают хорошими, двоек нет совсем, так как дети знают, что спросят всех. (Если оценки чуть завышены, это не страшно, важно, что они с желанием готовятся, следовательно учат теорию, владеют ей начинают лучше решать задачи, а это то, чего мы хотим добиться на уроках геометрии.

III. В это время I ученик за доской готовит материал для доказательства этой теоремы. Как только все ответили друг другу теорему и получили оценки, он отвечает устно эту же теорему. Ребята должны владеть собой при ответе для полной аудитории, тренировать хороший математический язык, логическую последовательность ответа. А аудитория уметь слушать, улавливать ошибки, если они есть, задавать вопросы отвечавшему и учиться правильно, оценивать ответы одноклассников.

IV. Решение задач. Устно по готовым чертежам.

Доказать равенство треугольников.

1.			2.
Доказать: треугол. АОВ = треугол. COD			Доказать: треугол. АВD = треугол. CDB

У доски ученик.

У доски ученик + фронтальная помощь класса. Решим письменно задачу с полным оформлением решения в тетради.

Дано:

< ABE = < DCE, BE = CE

BK = LC, < BKE = 110°

1) Доказать: треугол. BEK = треугол. CEL

2) Найти: < ELC

Решение:

1) < ABE + < 1 = 180° (смежные углы)

< DCE + < 2 = 180° (смежные углы)

< 1 = 180° — < ABE

< 2 = 180° — < DCE

и по условию < ABE = < DCE, следовательно < 1 = < 2/

2) Рассмотрим треугол. BEK и треугол. CEL:

а) BE = СE (по условию)

б) BK = LC (по условию)

в) <1 = < 2

из а, б, в следует => треугол. BEK = CEL по двум сторонам м углу между ними (I признак равенства треугольников) ч.т.д.

3) Треугол. BEK = треугол. CEL , а в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, т.е. т.к BE=CE, то < ELC = < BKE = 110°.

Ответ: < BKE = 110°

2.

Дано:

треугол. BEC = DFA

Доказать: 1) треугол. ABC = треугол. CDA

2) треугол. ABE = треугол CDE

Доказательство:

1) Т.к. по условию треугол. BEC = треугол. DFA, то BC = DA, <BCE = < DAF.

2) Рассмотрим. треугол. ABC и треугол. CDA:

а) BC = DA

б) < BCA = <DAC

в) AC – общая сторона

Из а, б, в, следует => треугол. ABC = треугол. CDA по I признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3) Т.к треугол. BEC = треугол. DFA, то EC = FA.

Т.к треугол. АВС = треугол. CDA, то АС – общая сторона

Отсюда следует => AE = AC – EC

CF = AC – FA, т.е. AE = CF.

4) Т.к. треугол. BEC = треугол. DFA, то BE = Df и < BEC = < DFA, то они смежные соответственно с углами: < AEB и < CFD, т.е. < AEB = < СFD.

5) Рассмотрим треугол. ABE и треугол. СDF:

а) BE = DF

б) AE=СF

в) < AEB=< CFD

Из а,б,в следует => треугол. ABE = треугол. CDF по двум сторонам и углу между ними( I признак павенства треугольников) ч.т.д.

VI. Домашнее задание: параграф 14,15. № 95, 96, 92.

VII. Итог урока.

15.05.2010

urok.1sept.ru

Задачи на второй признак равенства треугольников. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Посмотрев данный видеоурок, все желающие смогут получить представление о теме «Задачи на второй признак равенства треугольников». В ходе этой лекции учащимся предстоит вспомнить, повторить и научиться применять все о втором признаке равенства треугольников. Учитель подробно разберет и решит несколько задач по этой теме.

Сначала вспомним, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. Однако очень трудно сравнивать фигуры по определению, поэтому мы введем признаки равенства треугольников – по некоторым элементам.

 

Рис. 1. Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны. Об этом гласит первый признак равенства треугольников, то есть:

АВС = .

Вспомним второй признак равенства треугольников:

Рис. 2. Второй признак равенства треугольников

Рассмотрим некоторые задачи.

Пример 1: По данным рисунка докажите, что АО = ОС, АВ = CD, ∠А = ∠С.

Дано: ВО = ОD, ∠В = ∠D.

Доказать: АО = ОС, АВ = CD, ∠А = ∠С.

Рис. 3. Чертеж к примеру 1

Доказательство:

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, а именно, что АО = ОС, АВ = CD, ∠А=∠С.

Что и требовалось доказать.

Пример 2: По данным рисунка докажите, что BО = ОD, АВ = CD, ∠B = ∠D.

Дано: AО = ОC, ∠A = ∠C.

Доказать: BО = ОD, АВ = CD, ∠B = ∠D.

Рис. 4. Чертеж к примеру 2

Доказательство:

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, а именно, что BО = ОD, АВ = CD, ∠B=∠D.

Что и требовалось доказать.

Пример 3: По данным рисунка найдите СD, АD, ∠С.

Дано ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠А = 60°, АВ = 6 см, ВС = 4 см.

Найти: СD, АD, ∠С.

Рис. 5. Чертеж к примеру 3

Доказательство:

        

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, а именно, что DC = AB = 6, AD = DC = 4, ∠C = ∠A = 60°.

Ответ: СD = 6 см, АD = 4 см, ∠С = 60°.

                       

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Первый признак равенства треугольников (Источник).
2. Справочный портал calc.ru (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 40. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Докажите, что OB = OD. Известно, что ∠A = ∠C, AO = OC.

3. Докажите, что OВ = OА, если известно, что ∠D = ∠C, OC = OD.

4. На рисунке ∠DBC = ∠DAC, BO = AO. Докажите, что ∠C = ∠D.

interneturok.ru

Признаки равенства треугольников. Решение задач на готовых чертежах

Просмотр содержимого документа
«Признаки равенства треугольников. Решение задач на готовых чертежах»

Признаки равенства треугольников

Задачи на готовых чертежах

1

2

3

1

2

3

4

5

9

7

8

6

10

Задача 1

В

С

О

А

Д

Доказать: Δ ВОС= Δ АОД

Задача 2

В

С

А

Д

Доказать: Δ АВС= Δ АДС

Задача 3

В

С

1

2

А

Д

Доказать: Δ АВД= Δ ВСД

Задача 4

С

В

А

Д

Д=

В

Доказать:

Задача 5

C

D

В

А

Доказать: АВ=ВС

Задача 6

А

С

2

1

Д

В

О

Доказать: АО=СО

Задача 7

В

1

Д

А

2

С

Доказать: АВ=ВС

Задача 8

А

В

Д

С

Доказать: Δ ДВС= Δ ДАС

Задача 9

В

О

А

C

Д

А=

В

Доказать:

Задача 10

Д

С

А

К

В

Найти: равные треугольники

5

2

4

3

1

7

8

9

6

10

11

Задача 1

В

С

О

А

Д

Д=

В

Доказать:

Задача 2

В

О

С

А

Доказать: АО=СО

Задача 3

С

В

D

А

Доказать: АВ=С D

Задача 4

В

С

Д

А

К

Р

Р=

В

Доказать:

Задача 5

А

Д

В

К

С

Найти: равные треугольники

Задача 6

В

Д

А

С

Доказать: АВ=СД

Задача 7

В

С

О

А

Д

1

2

В

С=

Доказать:

С

Задача 8

В

Д

H

А

K

Найти равные треугольники

Задача 9

В

Р

К

С

А

О

Доказать: АК=СР

Задача 10

В

Д

А

О

С

Найти: равные треугольники

Задача 11

В

Д

С

О

А

Найти: равные треугольники

1

2

3

4

5

6

8

7

9

10

Задача 1

С

В

Д

А

Д=

В

Доказать:

Задача 2

В

С

А

Д

Доказать: Δ АВД= Δ ВСД

Задача 3

Д

Р

В

S

К

А

Р=

К

Доказать:

Задача 4

В

К

С

А

Н

Доказать: АН=НС

Задача 5

В

Н

C

А

Д

Доказать: ВН=НД

Задача 6

А

В

Д

С

АД=СВ

А=

В

Доказать:

Задача 7

В

С

К

Р

Д

А

Найти: равные треугольники

Задача 8

В

А

С

О

АОВ

Найти:

Задача 9

С

В

Д

К

А

Р

Найди: равные треугольники

Задача 10

С

В

О

Д

А

Найти: все пары

равных треугольников

multiurok.ru

Интервальный вариационный ряд — МегаЛекции