Квадрат суммы
Квадрат суммыНавигация по странице:
- Квадрат суммы — определение
- Вывод формулы квадрата суммы
- Применение формулы квадрата суммы
- Геометрическая интерпретация квадрата суммы
- Примеры задач на применение формулы квадрата суммы
Определение.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго:
Вывод формулы квадрата суммы
Для доказательства справедливости формулы квадрата суммы достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:
Применение формулы квадрата суммы
Формулу квадрата суммы удобно использовать:
- для раскрытия скобок
- для упрощения выражений
- для вычисления квадратов больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик
Геометрическая интерпретация
Формулу квадрата суммы двух положительных чисел a и b можно изобразить геометрически
Рассмотрим квадрат со стороной (a + b), его площадь равна (a + b)2.
В противоположных углах рассматриваемого квадрата построим квадраты со сторонами a и b.
Тогда большой начальный квадрат, будет разделен на четыре части: два квадрата с площадями a2 и b2, а также два прямоугольника с площадями равными ab. Тогда получаем, что
Примеры задач на применение формулы квадрата суммы
Пример 1.
Раскрыть скобки (x + 3)2.
Решение:
Пример 2.
Раскрыть скобки (2x + 3y2)2.
Решение:
Пример 3.
Упростить выражение
9x2 + 6x + 1(3x + 1).
Решение:
Можно заметить, что выражение в числителе — это разложенный квадрат суммы
Заметим, что с помощью формулы квадрата суммы легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.
Пример 4.
Решение:
Фомулы сокращенного умножения Квадрат суммы Квадрат разности Разность квадратов Куб суммы Куб разности Сумма кубов Разность кубов
§ Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов. Квадрат суммы. Куб суммы. Разность кубов и другие формулы
При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения.
Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.
Следует также помнить, что вместо «a» и «b» в формулах могут стоять как числа, так и любые другие алгебраические многочлены.
Разность квадратов
Запомните!
Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Примеры:
- 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
- 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
Квадрат суммы
Запомните!
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить
квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.
Поясним на примере:
Найти 1122.
- Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
- Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
1122 = (100 + 12)2 - Воспользуемся формулой квадрата суммы:
1122 = (100 + 12)2 = 1002 + 2 · 100 · 12 + 122 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.
- (8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2
Предостережение!
(a + b)2 не равно (a2 + b2)
Квадрат разности
Запомните!
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе
плюс квадрат второго числа.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:
(a − b)2 = (b − a)2
Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:
(a − b)2 = a2 −2ab + b2 = b2 − 2ab + a2 = (b − a)2
Куб суммы
Запомните!
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Как запомнить куб суммы
Запомнить эту «страшную» на вид формулу довольно просто.
- Выучите, что в начале идёт «a3».
- Два многочлена посередине имеют коэффициенты 3.
- Вспомним, что любое число в нулевой степени есть 1.
(a0 = 1, b0 = 1). Легко заметить, что в формуле
идёт понижение
степени «a» и увеличение степени
«b». В этом можно убедиться:
(a + b)3 = a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + b3a0 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Предостережение!
(a + b)3 не равно a3 + b3
Куб разности
Запомните!
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное
произведение квадрата первого числа на второе
плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Запоминается эта формула как и предыдущая, но только с учётом чередования знаков «+» и «−». Перед первым членом «a3 » стоит «+» (по правилам математики мы его не пишем). Значит, перед следующим членом будет стоять «−», затем опять «+» и т.д.
(a − b)3 = + a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Сумма кубов
Не путать с кубом суммы!
Запомните!
Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Сумма кубов — это произведение двух скобок.
- Первая скобка — сумма двух чисел.
- Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a2− ab + b2)
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.
Разность кубов
Не путать с кубом разности!
Запомните!
Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
Будьте внимательны при записи знаков.
Применение формул сокращенного умножения
Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.
Примеры:
- a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
- (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2
Таблицу со всеми формулами сокращённого умножения вы можете скачать в разделе
«Шпаргалки».
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Оставить комментарий:
| Отправить |
A минус B минус C Формула целого квадрата
Формула (a — b — c) 2 используется для нахождения квадрата разности между тремя числами без фактического вычисления всего квадрата и факторизации. (a — b — c) 2 формула является одним из основных алгебраических тождеств. Чтобы получить расширение формулы (a — b — c) 2 , мы просто умножаем (a — b c) само на себя, чтобы получить (a — b — c) 2 . Давайте узнаем больше о формуле (a — b — c) 2 вместе с решенными примерами.
Что такое (a – b – c)
2 Формула? Мы только что прочитали, что, умножив (a — b — c) само на себя, мы можем легко получить формулу (a — b — c) 
Давайте посмотрим на расширение формулы (a — b — c) 2 .
(а – б – в) 2 = (а – б – в)(а – б – в)
(a — b — c) 2 = a 2 — ab — ac — ab + b 2 + bc — ca + bc + c 2
(а — б — в) 2 = а 2 + b 2 + c 2 — 2ab + 2bc — 2ca
(a — b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2(ab — bc + ca)
Давайте посмотрим, как использовать (a — b — c) 2 формула в следующем разделе.
Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.
Забронировать бесплатный пробный урок
Примеры для (a — b — c)
2 Формула Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять формулу (a — b — c) 2 .
Пример 1: Найдите значение (a – b – c) 2 , если a = 2, b = 4 и c = 3, используя формулу (a – b c) 2 .
Решение:
Найти: (a — b — c) 2
Учитывая, что:
а = 2, б = 4, с = 3
Использование (a – b – c) 2 формула,
(a — b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2ab + 2bc — 2ca
(a — b — c) 2 = 2 2 + 4 2 + 3 2 — 2(2)(4) +2(4)(3) — 2(3)(2)
(a — b — c) 2 = 4 + 16 + 9 — 16 + 24 — 12
Ответ: (a — b — c) 2 = 25. значение (a — b — c) 2 если a = 12, b = 4 и c = 5 с использованием (a — b c) 2 формула.
Решение:
Найти: (a — b — c) 2
Учитывая, что:
а = 12, б = 4, в = 5
Используя формулу (a — b — c) 2 ,
(a — b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2ab + 2bc — 2ca
(a — b — c) 2 = 12 2 + 4 2 + 5 2 — 2(12)(4) +2(4)(5) — 2(5)(12)
(а – б – в) 2 = 144 + 16 + 25 — 96 + 40 — 120 = 9
Ответ: (a — b — c) 2 = 9.
b 2 + c 2 если (ab — bc + ca) = 10 и (a — b — c) = 20 с использованием формулы (a — b — c) 2 .
Решение:
Найти: a 2 + b 2 + c 2
Учитывая, что:
(ab-bc+ca) = 10 и (a — b — c) = 20
Использование (a – b – c) 2 формула,
(a — b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2(ab — bc + ca)
(20) 2 = а 2 + b 2 + c 2 — 2(10)
400 = а 2 + б 2 + в 2 — 20
a 2 + b 2 + c 2 = 400 + 20 = 420
— б — в) 2 Формулы (a — b — c) 2 формула читается как минус b минус c целый квадрат. Его расширение выражается как (a — b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2ab + 2bc — 2ca. Формула (a — b — c) 2 является одним из важных алгебраических тождеств. Оно читается как минус b минус c целый квадрат. (а — б — в) 2 формула выражается как (a — b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2ab + 2bc — 2ca. Давайте разберемся в использовании формулы (a — b — c) 2 с помощью следующего примера. Стэн Партлоу, CPP Опубликовано 8 января 2021 г. + Подписаться Возможно, вы находитесь в процессе оценки эффективности работы вашей команды или только что завершили ее. Часто во время таких разговоров члены команды спрашивают, как они могут перейти на следующий уровень в рейтинговой системе или получить повышение до более высокого уровня или даже стать лидером. Ответы на большинство этих вопросов (за исключением уровня рейтинга системы эффективности) обычно не включаются в стандартную форму отзыва об эффективности, поскольку эта обратная связь относится к набору целей, которые были установлены в начале периода оценки и могут не включать обсуждение дополнительных характеристик, необходимых для продвижения по служебной лестнице или повышения до руководящей должности. На это многие менеджеры отвечают: «Вы отлично поработали в этом году, вам просто нужно больше работать» или «Если вы хотите получить повышение, вам нужно взять на себя больше ответственности». Один из моих коллег по моей бывшей компании, Том Кратт, придумал модель, которую можно использовать в сочетании со стандартной оценкой производительности, чтобы продемонстрировать члену команды, что ему нужно сделать, чтобы перейти на другой уровень. Он назвал это азбукой. ABC сосредоточены на трех областях (некоторые из этих вопросов могут появиться в вашем стандартном инструменте оценки эффективности): Отношение- Вы командный игрок? Решение проблем? Вы верите в миссию команды? У вас сильная рабочая этика? Вы хотите помочь другим? Вы готовы потерпеть неудачу? Вы добровольно берете на себя дополнительную ответственность? Поведение- Как вы относитесь к другим? Вы подотчетны? Вы привносите позитив в команду? Вы инклюзивны? Вы уважительны? Вы наставляете других? Помогаете ли вы другим стать экспертами в предметной области? Ремесло- Вы эксперт в предметной области? Готовы ли вы продолжить обучение своему ремеслу? Вы готовы учиться новому? Готовы ли вы инвестировать в себя, повышая свое образование и получая профессиональные сертификаты? Большинство из нас понимает C . A , отношение и B , поведение — это навыки межличностного общения, и ими сложнее овладеть. Когда вы думаете о предоставлении обратной связи, используйте некоторые из A и B вопросы, представленные выше, или придумайте свои собственные, чтобы изучить эти атрибуты с членами вашей команды. Я считаю, что есть еще одно измерение, которое следует добавить к этой модели, и это дополнительное C . Этот C представляет Consistency . Я называю эту модель ABC2 (в квадрате), потому что Согласованность должна присутствовать во всех трех атрибутах. Откуда вы знаете, как оценивать членов вашей команды по ABC&C ? Конечно, вы можете использовать свои собственные наблюдения, но я думаю, что вы будете ограничены в своих оценках. Лучший способ составить достоверную картину ABC&C — это создать простой инструмент для опроса и спросить других членов команды, что человек работает с тем, как они видят ABC . Постарайтесь привлечь не только подчиненных, если они есть, но и коллег и людей из других команд, с которыми они, возможно, работали. Вы начнете видеть закономерности, связанные с AB&C , и сможете выявить проблемы Согласованность . Вы можете найти респондентов, мнения которых о членах команды сильно расходятся АБ&С. Это признак проблем Согласованность . Часто вы обнаружите, что человек хорошо работает с теми, кто ему нравится и с кем ему комфортно, но проявляет плохие черты с теми, кого он не уважает или не любит. Что такое расширение (a — b — c)
2 Формула?
Что такое a
2 — b 2 — c 2 Формула в алгебре? Как упростить числа с помощью формулы (a — b — c)
2 ?
Пример: Найдите значение (2 – 5 – 3) 2 , используя формулу (a – b c) 2 .
Чтобы найти: (2 — 5 — 3) 2
Предположим, что a = 2, b = 5 и c = 3,
Мы подставим их в формулу (a — b — c) 2 .
(a — b — c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 — 2ab + 2bc — 2ca
= 2 2 + 5 2 + 3 2 — 2(2*5) + 2(5*3) — 2(3*2)
= 4 + 25 + 9 — 2(10) + 2(15) — 2(6)
Ответ: (2 — 5 — 3) 2 = 36 Как пользоваться (a — b — c ) 92 как полная мощность или не как (a — b — c)
2 .
Азбука в квадрате
Стэн Партлоу, CPP
Тренер/Консультант/Тренер/Спикер/Член Консультативного совета – Текущий. Начальник службы безопасности / сотрудник правоохранительных органов — в отставке
В своем последнем посте я поделился формулой, разработанной командой Senn Delaney для предоставления ценных отзывов. Я думаю, что эта формула верна, и благодаря ей обсуждения отзывов о производительности, которые я проводил с моей командой, стали более эффективными.
Если вы поставите себя на место члена команды, такая обратная связь не очень поможет. Они, вероятно, спрашивают себя, куда они должны приложить свои усилия.
Мы являемся экспертами в предметной области или готовы много работать, чтобы стать экспертом в предметной области. Мы прилагаем дополнительные усилия, чтобы научиться своему ремеслу, и многие из нас готовы пройти лишнюю милю и продолжить свое образование или получить продвинутые сертификаты. Многие члены команды ожидают, что если они улучшат свои C их нужно повысить. Я думаю, что это одномерный взгляд. Хотя это может помочь в некоторых категориях оценки эффективности, оно не затрагивает другие атрибуты, которые должны присутствовать, если человек собирается перейти на более высокую должность в своей классификации должностей или перейти на руководящую должность.
Очень часто мы видим членов команды с очень сильными C , но очень слабыми в A и B , которые ожидают повышения. Они считают, что заслуживают повышения, потому что технически сильны и долгое время работают в организации. По мере того, как люди продвигаются вверх по карьерной лестнице в вашей организации, навыки межличностного общения ( A и B ) важнее, чем C. 
Большинство из нас довольно рано понимают, как справляться. Мы узнаем, что наш босс хочет видеть от нас, и мы предоставляем это. Таким образом, этот вклад важен, но, вероятно, не раскрывает всей истории.