Алгебра неравенства: Основные правила решения неравенств — урок. Алгебра, 9 класс.

01Математика — 8 класс. Алгебра — Решение квадратного неравенства через произведение

Skip to main content
  1. Классы
  2. 8 класс. Алгебра
  3. 08. Квадратные неравенства, алгебраический подход
  4. Теория: 03 Решение квадратного неравенства через произведение
  • 1Пример
  • 2Пример
  • 3Пример
  • 4Пример
  • 5Пример
  • 6Пример
  • 7Пример
  • 8Пример

Задание

Решение

Запишем неравенство \(\displaystyle (x+10)(x-14)>0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b >0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b>0\) – оба числа положительны,
  • либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b<0\) – оба числа отрицательны.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x+10)(x-14)>0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x+10>0{ \small ,}\, x-14>0\) – оба множителя положительны;
  • либо \(\displaystyle x+10<0{ \small ,}\, x-14<0\) – оба множителя отрицательны.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&>0{ \small ,}\\x-14 &> 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&< 0{ \small ,}\\x-14& < 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>-10{ \small ,}\\x&> 14\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< -10{ \small ,}\\x& < 14{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&>-10{ \small ,}\\ x &>14 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x>-10\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Неравенство \(\displaystyle x>14\) соответствует множеству точек на прямой:

  

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше \(\displaystyle -10\) и больше \(\displaystyle 14{\small :}\)

  

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (14;+\infty){\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&<-10{ \small ,}\\ x &<14{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x< -10\) соответствует множеству точек на прямой:

Неравенство \(\displaystyle x<14\) соответствует множеству точек на прямой:

Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle -10\) и меньше \(\displaystyle 14{\small :}\)

Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-\infty;-10){\small .} \)

 


Объединяя полученные решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in (14;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-10) \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-10)\cup (14;+\infty){\small . } \)

Вход

Войти через

Регистрация

Глава 1. Неравенства (Алгебра Мерзляк)

ОГЛАВЛЕНИЕ Вернуться к содержанию учебника

Алгебра 9 класс УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Вентана-Граф. УЧЕБНИК: Глава 1 Неравенства: § 1. Числовые неравенства. § 2. Основные свойства числовых неравенств. § 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения. § 4. Неравенства с одной переменной. § 5. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки. § 6. Системы линейных неравенств с одной переменной. Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме. Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке учебного пособия.

Глава 1. Неравенства

§ 1. Числовые неравенства.

§ 2. Основные свойства числовых неравенств.

§ 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения.

§ 4. Неравенства с одной переменной.

§ 5. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки.

§ 6. Системы линейных неравенств с одной переменной.

Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме.

Итоги главы 1

В этой главе вы узнаете, в каком случае число а считают больше (меньше) числа b, изучите свойства числовых неравенств, узнаете, что называют решением неравенства с одной переменной, решением системы неравенств с одной переменной.

Вы научитесь оценивать значения выражений, доказывать неравенства, решать линейные неравенства и системы линейных неравенств с одной переменной.

§ 1. Числовые неравенства.

 

§ 2. Основные свойства числовых неравенств.

 

§ 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения.

 

§ 4. Неравенства с одной переменной.

 

§ 5. Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки.

 

§ 6. Системы линейных неравенств с одной переменной.

 

Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме. 

 

Итоги главы 1

Сравнение чисел

Число а считают больше числа b, если разность а – b является положительным числом. Число а считают меньше числа b, если разность а – b является отрицательным числом.

Основные свойства числовых неравенств

Если а > b и b > с, то а > с.
Если а > b и с – любое число, то а + с > b + с.
Если а > b и с – положительное число, то ас > bс.
Если а > b и с – отрицательное число, то ас < bс.
Если а > b и ab > 0, то 1/a < 1/b.

Сложение и умножение числовых неравенств

Если а > b и с > d, то а + с > b + d.
Если а > b, с > d и а, b, с, d – положительные числа, то ас > bd.

Решение неравенства с одной переменной

Решением неравенства с одной переменной называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений не существует.

Равносильные неравенства

Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Правила решения неравенств с одной переменной

  • Если какое–либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
  • Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
  • Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство. равносильное данному.

Решение системы неравенств с одной переменной

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, которое обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство. Решить систему неравенств означает найти все её решения или доказать, что решений нет.

Числовые промежутки

 


Вы смотрели: Алгебра 9 класс УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Вентана-Граф. УЧЕБНИК: Глава 1 Неравенства. Ознакомительная версия с цитатами из учебника для принятия решения о покупке учебного пособия.

ОГЛАВЛЕНИЕ Вернуться к содержанию учебника

2: Уравнения и неравенства — Математика LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    15042
    • OpenStax
    • OpenStax

    Уравнение утверждает, что два выражения равны, а неравенство связывает два разных значения.

    Источник: Безбрежный. «Уравнения и неравенства». Бескрайняя Алгебра . Boundless, 21 июля 2015 г. Получено 22 декабря 2015 г. с https://www.boundless.com/алгебра/te…ties-63-10904/

    Источник: Boundless. «Уравнения и неравенства». Бескрайняя Алгебра . Boundless, 21 июля 2015 г. Получено 22 декабря 2015 г. с https://www.boundless.com/алгебра/te…ties-63-109.04/
    Уравнение утверждает, что два выражения равны, а неравенство связывает два разных значения.

    Источник: Безбрежный. «Уравнения и неравенства». Бескрайняя алгебра. Boundless, 21 июля 2015 г. Получено 22 декабря 2015 г. с https://www.boundless.com/алгебра/te…ties-63-10904/

    Источник: Boundless. «Уравнения и неравенства». Бескрайняя алгебра. Boundless, 21 июля 2015 г. Получено 22 декабря 2015 г. с https://www.boundless.com/алгебра/te…ties-63-10904/

    .

    Напомним, что функция — это отношение, которое присваивает каждому элементу домена ровно один элемент диапазона. Линейные функции — это особый тип функций, которые можно использовать для моделирования многих реальных приложений, таких как рост растений во времени. В этой главе мы рассмотрим линейные функции, их графики и то, как связать их с данными.

    • 2.1: Прелюдия к уравнениям и неравенствам
      Основы уравнений имеют решающее значение для многих аспектов современной жизни.
    • 2.2: Прямоугольные системы координат и графики
      Декарт ввел компоненты, которые составляют декартову систему координат, сетку с перпендикулярными осями. Декарт назвал горизонтальную ось осью \(x\), а вертикальную ось — осью \(y\). Эта система, также называемая прямоугольной системой координат, основана на двумерной плоскости, состоящей из осей \(х\) и \(у\). Перпендикулярные друг другу оси делят плоскость на четыре части. Каждый раздел называется квадрантом.
    • 2.
      3: Линейные уравнения с одной переменной
      Линейное уравнение – это уравнение прямой линии, записанное с одной переменной. Единственная степень переменной равна 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид ax+b=0ax+b=0 и решаются с использованием основных алгебраических операций.
    • 2.4: Модели и приложения
      Линейное уравнение можно использовать для решения задачи с неизвестным числом. Приложения могут быть написаны как математические задачи путем определения известных величин и присвоения переменной неизвестным величинам. Известно много формул, которые можно использовать для решения приложений. Задачи на расстояние решаются по формуле \(d = rt\). Многие геометрические задачи решаются с помощью формулы периметра \(P =2L+2W\), формулы площади \(A =LW\) или формулы объема \(V =LWH\).
    • 2.5: Комплексные числа
      Квадратный корень любого отрицательного числа может быть записан как кратное i. Чтобы построить комплексное число, мы используем две числовые линии, которые пересекаются, образуя комплексную плоскость. Горизонтальная ось — это реальная ось, а вертикальная ось — воображаемая ось. Комплексные числа можно складывать и вычитать, комбинируя действительные части и комбинируя мнимые части. Комплексные числа можно умножать и делить.
    • 2.6: Квадратные уравнения
      Многие квадратные уравнения можно решить с помощью разложения на множители, если уравнение имеет старший коэффициент 1 или уравнение представляет собой разность квадратов. Затем свойство нулевого фактора используется для поиска решений. Многие квадратные уравнения со старшим коэффициентом, отличным от 1, можно решить с помощью факторизации с использованием метода группировки. Другой метод решения квадратичных уравнений — это свойство квадратного корня. Переменная возводится в квадрат. Мы выделяем квадрат члена и берем квадратный корень из обеих частей уравнения.
    • 2.7: Другие типы уравнений
      Рациональные показатели можно переписать несколькими способами в зависимости от того, что наиболее удобно для задачи. Чтобы решить, обе части уравнения возводятся в степень, при которой показатель степени переменной будет равен 1. Факторинг распространяется на полиномы более высокого порядка, когда он включает факторизацию GCF или факторинг путем группировки. Мы можем решать радикальные уравнения, выделяя радикал и возводя обе части уравнения в степень, соответствующую индексу.
    • 2.8: Линейные неравенства и абсолютные неравенства
      В этом разделе мы рассмотрим различные способы выражения различных наборов чисел, неравенств и абсолютных неравенств.

    Эта страница под названием 2: Equations and Inequalities распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
    • Была ли эта статья полезной?
    1. Тип изделия
      Глава
      Автор
      ОпенСтакс
      Лицензия
      СС BY
      Версия лицензии
      4,0
      Программа OER или Publisher
      ОпенСтакс
      Показать страницу TOC
      нет
    2. Теги
      1. источник@https://openstax. org/details/books/precalculus

    Что такое неравенство и как показать его на числовой прямой?

    Что такое неравенство и как его изобразить на числовой прямой?

    Яна Руссик

    07 апреля 2021 г.

    Онлайн-обучение

    ,

    Математика

    В математике неравенство показывает отношение между двумя значениями в алгебраическом выражении, которые не равны. Знаки неравенства могут указывать на то, что одна переменная из двух сторон неравенства больше, больше или равна, меньше или меньше или равна другому значению.

    Является ли знак больше или меньше зависит от направления знака неравенства. Если открытая часть знака повернута влево, >, значение с левой стороны знака больше, чем с правой. Если он повернут вправо, <, значение слева меньше, чем значение справа.

    Под некоторыми символами неравенства есть черта: ≥ и ≤. Это означает, что две части выражения неравенства могут быть потенциально равными. Однако недостаточно известно, чтобы доказать это.

    Как вы можете видеть в математическом выражении выше, x больше или равно 7. Поскольку x может принимать много значений, утверждение, что оно равно 7, не будет верным утверждением. Вот почему мы должны использовать .

    Неравенства на числовой прямой

    Всякий раз, когда линейное неравенство имеет переменную и действительное число, вы можете выразить его на числовой прямой. Вот как использовать числовые строки, чтобы показать, что x больше положительного числа 3 и меньше или равно отрицательному числу -1:

    Любая числовая линия, показывающая линейное неравенство, должна иметь незакрашенный кружок для < и > и закрытый кружок для ≤ и ≥.

    Использование интервальной записи

    Когда мы знаем, что между двумя числами существует неравенство, вы можете записать его в интервальной записи. Обозначение интервала выражает диапазон расположения неравенства с помощью квадратных скобок для знаков ≥ и ≤ и скобок для знаков < и >.

    Вот как бы вы это показали y меньше или равно -4 и 2 больше y :

    что у равно или больше -4. В линейной записи это записывается как:

    Линейная запись: [-4, 2)

    Ответ на вопрос «Что такое неравенство?»

    Понимание концепции неравенств позволяет нам лучше понять линейные уравнения и числовую прямую. . Когда мы знаем, что переменная, например x или y находится в определенном диапазоне значений, мы можем представить его, заштриховав этот диапазон чисел на числовой строке.

    В этой строке мы используем незакрашенный кружок для значений больше или меньше и закрытый кружок для значений равно или меньше и равно или больше значений. Если мы знаем, что неравенство находится между двумя числами, мы можем использовать квадратные и круглые скобки, чтобы показать возможный диапазон значений неравенства в линейной записи.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *