Что такое задача коши: Задача Коши | это… Что такое Задача Коши?

Содержание

2. Начальные условия и задача коши

Определение. Начальные условия для дифференциального уравнения -го порядка — это набор чисел

, (2)

задающий для фиксированного значения независимой переменной значения неизвестной функциии ее производных вплоть до порядка, на единицу меньшего порядка уравнения:

Определение. Задачей Коши для дифференциального уравнения называется задача отыскания решения , отвечающего заданным начальным условиям.

Геометрический смысл задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка

Для дифференциального уравнения 1-го порядка (при ) начальные условия (2) имеют вид пары чисел. Тем самым ставится задача отыскания решения, для которого. Геометрически это означает выбор из совокупности интегральных кривых той, которая проходит через заданную точку плоскости(рис.

1).

Рис. 1

Геометрический смысл задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка

Для дифференциального уравнения 2-го порядка (при ) начальные условия (2) имеют вид тройки чисел, и ставится задача отыскания решения, для которогои. Геометрически это означает выбор из совокупности интегральных кривых той, которая, во-первых, проходит через заданную точку плоскости, и, во-вторых, имеет в этой точке заданный угловой коэффициент касательной(рис. 2).

М₀

Рис. 2

Начальные условия , будучи набором из чисел, задают точку пространства. Множество всех рассматриваемых вариантов начальных условий образует некоторую область.

Для различных видов ограничений на функцию и на областьимеет место существование и единственность решения задачи Коши для начальных условий из.

Приведем примеры соответствующих теорем.

I. Пусть уравнение 1-го порядка является разрешённым относительно производной :

Теорема 1. Если функция и ее частная производнаянепрерывны в областиплоскости, то решение задачи Коши для любых начальных условийсуществует и единственно в некоторой окрестности точки.

II. Пусть уравнение -го порядка является разрешённым относительно старшей производной :

Теорема 2. Если функция и ее частные производныенепрерывны в области-мерного пространства, то решение задачи Коши для любых начальных условийсуществует и единственно в некоторой окрестности точки.

В дальнейшем будем предполагать, что дифференциальные уравнения рассматриваются в области существования и единственности решения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения -го порядка называется функция , зависящая от аргументаи отпроизвольных постоянных, которая удовлетворяет двум условиям:

1) при любых значениях произвольных постоянных эта функция является решением;

2) за счет выбора значений произвольных постоянных можно получить решение задачи Коши для любых начальных условий из области существования и единственности решения.

Заметим, что количество произвольных постоянных равно порядку уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется функция, которая получается из общего решения, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Напомним определение неявной функции: функция в окрестноститочки,задана неявно уравнением , если при всехиз этой окрестности справедливо равенство.

Обычное, «явное» задание функции можно рассматривать как частный случай неявного: ; здесь.

Определение. Общим интегралом дифференциального уравнения -го порядка называется уравнение

, (3)

зависящее от произвольных постоянных, которое задает общее решениекак неявную функцию.

Определение. Частным интегралом называется уравнение, которое получается из общего интеграла (3), если произвольным постоянным придать определенные значения.

Замечание. В тех случаях, когда удается найти решение дифференциального уравнения, оно имеет, как правило, вид общего интеграла (3). Если при этом можно явно выразить через(«разрешить уравнение относительно»), то приходим к общему решению.

Задача Коши для линейных эллиптических систем первого порядка с постоянными коэффициентами

Библиографическое описание:

Турсунов, Ф. Р. Задача Коши для линейных эллиптических систем первого порядка с постоянными коэффициентами / Ф. Р. Турсунов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2014. — № 2 (61). — С. 30-35. — URL: https://moluch.ru/archive/61/9087/ (дата обращения: 21.11.2022).

В работе изучается задача продолжения решения линейных систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами в области по ее известным значениям на гладкой части границы т.е. задача Коши для решения линейных систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами.

В работе строится семейство вектор функций зависящих от параметра , и доказывается, что при некоторых условиях и специальном выборе параметра семейство сходится в обычном смысле к решению в точке при . Семейство называется регуляризованным решением задачи Коши по М.М. Лаврентьеву.

Решение задачи Коши для эллиптической системы уравнений Коши-Римана впервые получил Т. Карлеман. Карлеманом была предложена идея введения в интегральную формулу Коши дополнительную функцию, зависящей от положительного числового параметра и позволяющей путем предельного перехода погасить влияние интегралов по части границы, где значения продолжаемой функции не заданы. Идею Карлемана развили Г.М. Голузин и В.И. Крылов, которые нашли общий способ получения формул Карлемана для одномерной системы уравнений Коши-Римана. А.Н. Тихонов показал, что если решение какой–либо некорректной задачи существует и принадлежит компактному подмножеству соответствующего функционального пространства, то из единственности следует устойчивость решения.

Вопросы единственности и устойчивости решения задачи Коши для эллиптических уравнений были исследованы Т. Карлеманом, А. Дуглисом , М.М.Лаврентьевым, Е.М. Ландисом, Ш. Ярмухамедовым , Н.Н. Тархановым, А.А. Шлапуновым и др.

Основываясь на результатах Карлемана и Голузина–Крылова, М.М.Лаврентьев ввел важное понятие функции Карлемана для одномерной системы уравнений Коши–Римана и уравнения Лапласа. Функция Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа – это фундаментальное решение, зависящее от положительного числового параметра, стремящегося к нулю вместе со своей производной по нормали на части границы области вне носителя данных Коши, когда параметр стремится к нулю. М.М.Лаврентьев указал способ построения регуляризации некорректной задачи Коши для уравнения Лапласа, если известна функция Карлемана. Функция Карлемана для уравнения Лапласа в явном виде была построена в работе Ш. Ярмухамедова.

Пусть, ограниченная область в ,граница которой состоит из части плоскости и некоторой гладкой поверхности , лежащей в полупространстве .

Пусть, и точки т- мерного Евклидового пространства , и транспонированный вектор х.

Введем следующее обозначения:

– диагональная матрица, – площадь поверхности единичной сферы .

Через обозначим класс матриц , сэлементами состоящими из линейных форм с постоянными коэффициентами из С которые удовлетворяет условию:

где – сопряженная матрица к .

В области рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида:

(1)

где

Если и является решением системы (1), тогда верно следующее интегральное представление:

, (2)

где

– единичная внешняя нормаль, проведенная в точке на поверхности

Интегральная формула (2) доказано в работе [1]. Формула (2) также верна, если вместе подставим функцию вида:

(3)

где гармоническая функция при

Функция определяется по следующим формулам:

,если (4)

, если (5)

где

Обозначим

Тогда интегральная формула имеет вид:

(6)

Постановка задача. Пусть удовлетворяет системе (1) в области и

(7)

Требуется восстановить вектор – функцию в используя данные Коши.

Рассматривается нами задача относятся к некорректно – постановлением задачам, т.е. решение задача неустойчиво. Используя методику проведенную в работе [3], докажем следующее:

Теорема 1.Пусть вектор – функция удовлетворяет системе (1), а также граничному условию на . Если

то верна следующая оценка:

(8)

где – некоторая функция от ,

Доказательство. Формулу (6) представим в виде

Тогда

состоит из комбинаций интегралов типа:

Следуют оценки интегралов этих типов. Доказательство теоремы сначала приводим в случаи когда

При этом функцию запишем в виде

Отделяя мнимую часть функции получим:

, (9)

где

. (10)

Используем формулу Лейбница в (10) получим:

(11)

где – коэффициенты бинома.

В дальнейшем используем неравенствами при ,

при

при (12)

при

В каждом неравенстве (12) – постоянные различные. В этих неравенствах условие можно заменить условием .

Оценивая (11) при пользуясь неравенствами (12) получим:

Оценим интегралы типа .

Для этого находим производную от (11) по :

(13)

Учитывая неравенства (12), из (13) получим следующие оценки:

Используем следующие формулы:

(14)

Оценим . При этом

(15)

Учитывая неравенства (12) и оценивая (15), получим следующее неравенство:

При теорема доказано. Теперь теорему докажем при условиях .

При этом функции определим из (4), где

Отделяя мнимую часть функции получим:

где .

Теперь функция определим следующим образом:

(16)

Используем неравенства (12) и рассуждая аналогично как в случае четно- мерного пространства, получим из (16) доказательство теоремы.

Следствие 1. Предельное равенство

выполняется равномерно в любом компакте из .

Пусть вектор- функция, удовлетворяющая в области системе (1), и непрерывна в области , а также , тогда верно следующее неравенство

где,

Верна следующая теорема:

Теорема. 2. Пусть вектор функция удовлетворяет системе (1),

непрерывные приближения на , т.е.

если то верно

где,

Доказательство. Используем интегральную формулу (6)

Учитывая утверждение теоремы 1 и неравенства

а также полагая , получим утверждение теоремы 2.

Из этой теоремы следует:

Следствие 2: Предельное равенство

выполняется равномерно на каждом компакте из G.

Литература:

1. Н.Н. Тарханов. Об интегральном представленном решений систем линейных дифференциальной уравнений первого порядка в частных производных и некоторые приложениях. Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Красноярск –1980, стр. 147- 160.

2. М.М. Лаврентьев. О некоторых некорректных задачах математического физики. Изд. СО АН СССР Новосибирск, 1962 г.

3. Ш.Ярмухамедов. Интегральных представления гармонических функций многих переменных. ДАН СССР, Т.204, № 4, 1972, 799-802 стр.

4. Ш.Ярмухамедов, А. Абдукаримов, З. Маликов. О задачи Коши для системы эллиптического типа первого порядка. Докл. Росс. Акад. Наук. Том 323 (1992) №1.

Основные термины (генерируются автоматически): интегральная формула, функция, Кош, неравенство, доказательство теоремы, некорректная задача, одномерная система уравнений, положительный числовой параметр, Предельное равенство, эллиптический тип первого порядка.

API управления задачами

cat | Elasticsearch Guide [8.5]

API управления задачами cat является новым, и его все еще следует рассматривать как бета-функцию. API может изменяться способами, несовместимыми с предыдущими версиями. Статус функции см. в #51628.

API-интерфейсы cat предназначены только для использования человеком с использованием командной строки или Kibana. приставка. Они , а не предназначены для использования приложениями. Для применения потребление, используйте API управления задачами.

Возвращает информацию о задачах, выполняемых в данный момент в кластере, аналогично API управления задачами.

Requestedit

GET /_cat/tasks

Prerequisitesedit

Если функции безопасности Elasticsearch включены, у вас должен быть монитор или управлять привилегией кластера для использования этого API.

Descriptionedit

API управления задачами cat возвращает информацию о задачах, выполняемых в данный момент на одном или нескольких узлах кластера. Это более компактный вид API управления задачами JSON.

Изменить параметры запроса

подробный: (необязательно, логическое значение) Если верно , ответ включает подробную информацию о восстановлении сегментов. По умолчанию false .
формат: (Необязательно, строка) Краткая версия Заголовок приема HTTP. Допустимые значения включают JSON, YAML и т. д.
ч: (Необязательно, строка) Список имен столбцов, разделенных запятыми, для отображения.
помощь: (Необязательно, логическое значение) Если true , ответ включает справочную информацию. По умолчанию к ложно .
узлов: (необязательно, строка) Разделенный запятыми список идентификаторов узлов или имен, используемых для ограничения ответа. Поддерживает подстановочные знаки ( * ) выражения.
parent_task_id: (необязательно, строка) Идентификатор родительской задачи, используемый для ограничения ответа.
с: (Необязательно, строка) Разделенный запятыми список имен столбцов или используемых псевдонимов столбцов. для сортировки ответа.
время: (Необязательно, единицы времени) Единица, используемая для отображения значений времени.
против: (Необязательно, логическое значение) Если true , ответ включает заголовки столбцов. По умолчанию false .

Коды ответовизменить

404 (Недостающие ресурсы): Если указан, но не найден, этот код указывает, что отсутствуют ресурсы, соответствующие запросу.

Examplesedit

 GET _cat/tasks?v=true

API возвращает следующий ответ:

 action task_id parent_task_id type start_time timestamp running_time ip node
кластер:монитор/задачи/списки[n] oTUltX4IQMOUUVeiohTt8A:124 oTUltX4IQMOUUVeiohTt8A:123 прямой 1458585884904 01:48:24 44,1микрос 127.0.0.1:9300 oTUltX4IQMOUUVeiohTt8A
кластер: монитор/задачи/списки oTUltX4IQMOUUVeiohTt8A:123 - транспорт 1458585884904 01:48:24 186. 2micros 127.0.0.1:9300 oTUltX4IQMOUUVeiohTt8A

методов оценивания в классе (CAT) | Центр обучения

Версия для печати

Что такое CAT?
Зачем мне использовать CAT?
Как использовать CAT?
Где я могу найти больше кошек?

Что такое CAT?

Техники оценивания в классе (CAT), как правило, представляют собой простые, не оцениваемые, анонимные занятия в классе, предназначенные для предоставления вам и вашим учащимся полезной обратной связи о процессе преподавания-обучения.

Примеры CAT включают следующее.

Тест базовых знаний представляет собой краткую простую анкету, которая выдается учащимся в начале курса или перед введением в новый раздел, урок или тему. Он предназначен для выявления предубеждений учащихся.
Minute Paper проверяет, насколько учащиеся усваивают знания. Преподаватель заканчивает занятие, предлагая учащимся написать краткий ответ на следующие вопросы: «Что было самым важным, что вы узнали на этом занятии?» и «Какой важный вопрос остается без ответа?»
Самая грязная точка — один из самых простых CAT, помогающий определить, где у учащихся возникают трудности. Техника заключается в том, чтобы попросить студентов быстро записать ответ на один вопрос: «Что было самым грязным в [лекции, обсуждении, домашнем задании, фильме и т. д.]?» Термин «самый грязный» означает «самый неясный» или «самый запутанный».
В чем принцип? CAT полезен в курсах, требующих решения проблем. После того, как учащиеся выяснят, с какой проблемой они имеют дело, они часто должны решить, какой принцип(ы) применить для решения проблемы. Этот CAT предлагает учащимся несколько задач и просит их сформулировать принцип, который лучше всего применим к каждой задаче.
Матрица определения признаков : Подготовьте раздаточный материал с матрицей из трех столбцов и нескольких строк. В верхней части первых двух столбцов перечислите два разных понятия, которые потенциально могут привести к путанице (например, ураганы и торнадо, Пикассо и Матисс). В третьем столбце перечислите важные характеристики обоих понятий в произвольном порядке. Раздайте учащимся раздаточный материал и попросите их использовать матрицу, чтобы определить, какие характеристики относятся к каждому из двух понятий. Соберите их ответы, и вы быстро узнаете, какие характеристики доставляют вашим ученикам больше всего проблем.

Зачем мне использовать CAT?

CAT можно использовать для улучшения преподавания и обучения в классе. Более частое использование CAT может…

Своевременная обратная связь о процессе преподавания и обучения
Предоставление информации об обучении учащихся с меньшими трудозатратами, чем традиционные задания (тесты, рефераты и т. д.)
Поощряйте мнение о том, что обучение — это непрерывный процесс исследований, экспериментов и размышлений
Помогите учащимся лучше контролировать свое обучение
Помогите учащимся чувствовать себя менее анонимными даже на больших курсах
Предоставить конкретные доказательства того, что инструктор заботится об обучении

Как использовать CAT?

Результаты CAT могут помочь учителям в точной настройке своих стратегий обучения, чтобы лучше соответствовать потребностям учащихся. Хорошая стратегия использования CAT заключается в следующем.

Решите, что вы хотите оценить в отношении обучения ваших учащихся с помощью CAT.
Выберите CAT, который обеспечивает эту обратную связь, соответствует вашему стилю обучения и может быть легко реализован в вашем классе.
Объясните учащимся цель занятия, а затем проведите его.
После урока просмотрите результаты, определите, что они говорят вам об обучении ваших учеников, и решите, какие изменения внести, если таковые имеются.
Расскажите своим ученикам, что вы узнали из CAT и как вы будете использовать эту информацию.

Где я могу найти больше кошек?

Стандартная ссылка на CAT: Методы оценивания в классе: руководство для преподавателей колледжей , 2-е издание, Томас А. Анджело и К. Патрисия Кросс (Джосси-Басс, 1993). Эта книга включает 50 CAT, проиндексированных различными полезными способами. Книга доступна в библиотеке Центра обучения.