Даны две противоположные вершины квадрата составить уравнения его сторон: Даны две противоположные вершины квадрата А (-1;3) и С (6;2). Составить уравнение его сторон

Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат : Геометрия

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

nandemotaberareru	Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 24. 01.2011, 04:22
24/01/11 5	Даны две противоположные вершины квадрата, лежащего в плоскости, проходящей через начало координат. Составить уравнение диагоналей и сторон квадрата. А(1,0,7). С(3,4,1) Нашла уравнение плоскости, в которой лежит квадрат: -7х+5у+z=0 Нашла точку пересечения диагоналей Е(2,2,4). Каким образом найти координаты точки В?

Yu_K	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 24. 01.2011, 05:20
02/11/08 1183	Попробуйте найти вектор EB. Что про него известно?

nandemotaberareru	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 24. 01.2011, 15:18
24/01/11 5	Тогда: В результате преобразований получим: 2 уравнения,3 неизвестных.. не знаю, как дальше продвинуться…

ИСН	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 24. 01.2011, 15:33
Заслуженный участник 18/05/06 13406 с Территории	Это всё, что известно про вектор EB? Совсем всё? Длина и что перпендикулярен, и больше ничего? Или, может, там есть ещё что-то про пл……

nandemotaberareru	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 25. 01.2011, 03:51
24/01/11 5	уравнение плоскости (плоскость проходит через начало координат)

ewert	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 25. 01.2011, 08:15
Заслуженный участник 11/05/08 32154	Ну и как расположен искомый вектор по отношению к этой плоскости — и какое требование на него (в дополнение к уже написанным) отсюда вытекает?… И кстати: о длине вектора пока что лучше временно забыть. Главное — определить его направление, а уж длину-то уточнить потом не проблема.

TOTAL	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 25. 01.2011, 12:12
Заслуженный участник 23/08/07 5178 Нов-ск	nandemotaberareru в сообщении #403636 писал(а): Даны две противоположные вершины квадрата, лежащего в плоскости, проходящей через начало координат. Составить уравнение диагоналей и сторон квадрата. А(1,0,7). С(3,4,1) Координаты третьей вершины равны Эта вершина находится на одинаковом и известном расстоянии от вершин и т.е. имеются два уравнения для двух неизвестных и которые легко решите.

ИСН	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 25. 01.2011, 12:54
Заслуженный участник 18/05/06 13406 с Территории	TOTAL, так нечестно — чтобы это увидеть, необходимо более высокоуровневое понимание проблемы. nandemotaberareru, что плоскость проходит через начало координат — это я понял; что Вы нашли её уравнение — хорошо; а про вектор-то что известно? Вектор, который EB. Да. Он что?

nandemotaberareru	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 25. 01.2011, 14:35
24/01/11 5	получается, он перпендикулярен нормальному вектору плоскости.

ИСН	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 25.01.2011, 14:45
Заслуженный участник 18/05/06 13406 с Территории	Ну! Вот и третье уравнение.

nandemotaberareru	Re: Квадрат в плоскости, проходящей через начало координат 26.01.2011, 05:55
24/01/11 5	Спасибо! Разобралась)

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 11 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Модуль 2.

Аналитическая геометрия на плоскости и пространстве. Понятие функции

11

Тема 1. Прямая на плоскости

1. Даны две точки: и . Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно вектору .

2. Составить уравнение прямой, если точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

3. Даны вершины треугольника: , , . Составить уравнения его высот.

4. Даны уравнения сторон треугольника , , . Определить точку пересечения его высот.

5. Даны вершины треугольника: , , . Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

6. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат прямоугольной системы Oxy и наклоненной к оси Ox под углом:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат:

1. параллельно прямой ;

2. перпендикулярно прямой ;

3. образующей угол с прямой ;

4. наклоненной под углом в к прямой .

9. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно:

1) оси абсцисс; 2) биссектрисе координатного угла; 3) прямой .

10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью Ox угол вдвое больше угла, составленного с этой осью прямой .

11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой:

1) ;

2) .

12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку на одинаковом расстоянии от точек и .

13. Найти точку , симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки и .

14. Определить угол  между прямыми:

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , .

15. Установить, какие из следующих прямых перпендикулярны:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

16. Даны две противоположные вершины квадрата: и . Составить уравнение его сторон.

17. Точка является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения остальных сторон квадрата.

18. Даны уравнения сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный.

19. Точка является вершиной квадрата, одна из сторон которого задана уравнением . Вычислить площадь этого квадрата.

20. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин . Вычислить площадь этого квадрата.

21. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:

1) 2)

3) 4)

Тема 2. Кривые второго порядка

1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что:

а) полуоси его

б) расстояние между фокусами а большая ось

в) малая полуось и расстояние между фокусами

г) большая полуось а эксцентриситет

д) малая полуось а эксцентриситет

е) сумма полуосей а расстояние между фокусами

2. Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3; б) большая полуось a=6, а эксцентриситет ; в) расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ; г) расстояние между фокусами равно 6, а ; д) расстояние между фокусами равно , а .

3. Найти длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

4. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что: а) расстояние между фокусами 2c=10, а между вершинами 2а=8; б) действительная полуось , а эксцентриситет ; в) расстояние между фокусами 2с=6, а эксцентриситет ; г) расстояние между фокусами 2с=20, а уравнение асимптот ; д) мнимая полуось b=4, а расстояние между фокусами 2с=10.

5. Построить гиперболу Найти: а) действительную и мнимую полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот.

6. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30.

7. Действительная полуось гиперболы равна 5, эксцентриситет Найти уравнение гиперболы.

8. Построить гиперболу Найти: а) действительную и мнимую полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот.

9. Найти уравнения асимптот гиперболы

10. Построить эллипс Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет.

11. Уравнения асимптот гиперболы и , а расстояние между фокусами Найти уравнение гиперболы.

12. Парабола проходит через точку А(2,4). Определить ее параметр p.

13. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Оx.

14. Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса, если известно, что эллипс проходит через точки и

15. Эллипс проходит через точки и . Написать его уравнение и найти расстояния точки М от фокусов.

16. Гипербола проходит через точку и имеет мнимую полуось b=2. Написать ее уравнение и найти расстояния точки М от фокусов.

17. Построить параболу . Найти а) координаты фокуса; б) уравнение директрисы.

18. Написать уравнение параболы: а) проходящей через точки (0;0) и (1;-3) и симметричной относительно оси Оx; б) проходящей через точки (0;0) и (2;-4) и симметричной относительно оси Оy.

19. Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Оx и что точка пересечения прямых и лежит на параболе.

20. Найти фокальные радиусы и для эллипса , если точка М(-4,2,4) принадлежит эллипсу.

21. Фокусы эллипса расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат. Точка принадлежит эллипсу, а его малая полуось Найти большая полуось .

Две противоположные вершины квадрата это (- 1, 2) и (3, 2). Найдите координаты двух других вершин

Решение:

Нарисуем фигуру квадрата с двумя противоположными вершинами (-1, 2) и (3, 2),

Пусть ABCD — квадрат с известными вершинами А (— 1, 2) и С (3, 2) соответственно.

Пусть B(x₁, y₁) и D(x₂, y₂) две неизвестные вершины

Мы знаем, что стороны квадрата равны друг другу.

Следовательно, AB = BC

Используя формулу расстояния для AB = AC с A (- 1, 2), B (x₁, y₁) и C (3, 2)

√ [(x₁ — (-1)) ² + (y₁ — 2) ² ] = √ [(x₁ — 3) ² + (Y₁ — 2) ² ]

X₁ ² + 2x₁+ 1+ ² — ^{. 4y₁ + 4 = x₁ 2 + 9 — 6x₁ + y₁ 2 + 4 — 4y₁ (путем упрощения и транспонирования)}

8x₁ = 8

x₁ = 1

Мы знаем, что на квадрате все интерьеры. 90 градусов.

In ΔABC

AB ²  + BC ²  = AC ²  [по теореме Пифагора]

1)) ²  + (y₁ — 2) ²  + (x₁ — 3) ²  + (y₁ — 2) ²  = [3 — (-1)] ² 2 + [ 2 —  ].0021 2 = 16

4 + y₁ ² + 4 — 4y₁ + 4 + y₁ ² — 4y₁ + 4 = 16

2y₁ ² + 16 — 8y₁ = 16

2y₁ ² — 8y₁ = 16

2y₁ ² — 8y₁. = 0

y₁ (y₁ — 4) = 0

y₁ = 0 или 4

Теперь у нас есть координаты точки B(1, 0)

Построим квадрат на графике, как показано ниже:

Видим, что вершина напротив (1, 0) есть (1, 4)

Отсюда для точки D имеем координаты x₂ = 1, y₂ = 4

Следовательно, искомыми вершинами являются B (1, 0) и D (1, 4).

☛ Проверить: NCERT Solutions Class 10 Math Chapter 7

---

Видео Решение:

Две противоположные вершины квадрата (-1, 2) и (3, 2).

Найдите координаты двух других вершин.

Математика Решения NCERT Класс 10 Глава 7 Упражнение 7.4 Вопрос 4

Резюме:

Две противоположные вершины квадрата (- 1, 2) и (3, 2). Тогда координаты двух других вершин будут B (1, 0) и D (1, 4).

---

☛ Похожие вопросы:

• Ученикам X класса средней школы в Кринагаре был выделен прямоугольный участок земли для садоводства. Саженцы Гульмохара высаживают на меже на расстоянии 1 м друг от друга. На участке есть газон треугольной формы, как показано на следующем рисунке.
• Вершинами ∆ABC являются A (4, 6), B (1, 5) и C (7, 2). Проведена линия, пересекающая стороны AB и AC в точках D и E соответственно, так что AD/AB = AE/AC = 1/4. Вычислите площадь ∆ADE и сравните ее с площадью ∆ABC. (Вспомним теорему 6.2 и теорему 6.6).
• Пусть A (4, 2), B(6, 5) и C(1, 4) — вершины ∆ABC. (i) Медиана из A пересекает BC в D. Найдите координаты точки D.( ii) Найдите координаты точки P на AD такие, что AP : PD = 2 : 1
.
• ABCD представляет собой прямоугольник, образованный точками A(–1, –1), B(– 1, 4), C(5, 4) и D(5, – 1). P, Q, R и S являются серединами AB, BC, CD и DA соответственно. Является ли четырехугольник PQRS квадратом? Прямоугольник? или ромб? Обосновать ответ.

Вещи, которые вы могли заметить | Одновременные квадраты | Геометрия уравнений

Вот несколько кратких и неофициальных заметок о вещах, которые вы могли заметить, ответив на предложенные вопросы.

Учитывая любые три из четырех уравнений, описывающих квадрат, сможете ли вы найти второе?

Если нам даны три уравнения, мы можем решить их одновременно, чтобы найти координаты их точек пересечения. Это дало бы нам две из четырех вершин квадрата.

Чтобы фигура, заключенная в прямоугольник, была квадратом, мы знаем, что должны быть две пары параллельных прямых, пересекающихся под прямым углом. Это дает нам полезную информацию о градиентах четырех линий.

Используя координаты двух вершин, мы можем найти длину стороны квадрата. Это можно использовать для определения местоположения третьей и четвертой вершин и, следовательно, четвертого уравнения.

---

Три из четырех уравнений равны

1. \(y=3x+2\)

2. \(3у+х=8\)

3. \(3у+х=12\)

Найдите четвертое уравнение.

Найдите площадь квадрата.

Одновременное решение этих трех уравнений дает нам координаты двух вершин как \(\left(\frac{1}{5},\frac{13}{5}\right)\) и \(\left(\frac {3}{5},\фракция{19{5}\справа)\).

Если мы теперь рассмотрим приведенную ниже диаграмму, она дает нам довольно простой способ определения местоположения третьей и четвертой вершин.

Следовательно, третья и четвертая вершины могут располагаться в точках \(\left(\frac{3}{5}+\frac{6}{5},\frac{19}{5}-\frac{2} {5}\right)\) и \(\left(\frac{1}{5}+\frac{6}{5},\frac{13}{5}-\frac{2}{5}\ верно)\).

Это даст четвертое уравнение как \(y=3x-\frac{10}{5}\).

Альтернативно, третья и четвертая вершины могут быть расположены в \(\left(\frac{3}{5}-\frac{6}{5},\frac{19{5}+\frac{2}{5}\right)\) и \(\left(\frac{1}{5}-\frac{6}{5},\frac{13}{5} +\frac{2}{5}\right)\).

Это даст четвертое уравнение как \(y=3x+6\).

Используя теорему Пифагора, мы можем найти площадь квадрата как \(\frac{8}{5}\).

Итак, если нам даны три из четырех уравнений, описывающих квадрат, можно найти площадь квадрата, но есть две возможности для четвертого уравнения. Существуют два квадрата, заключенные в трех заданных уравнениях.

Вы понимаете, почему всегда будет две возможности для четвертого уравнения?

---

Вам дано, что координаты двух соседних вершин квадрата равны \((\frac{1}{5},\frac{3}{5})\) и \((\frac{1}{ 5},-\frac{3}{5})\).

Эта проблема по сути такая же, как описанная выше. Мы можем найти третью и четвертую координаты, используя тот же метод, и, следовательно, найти четвертое уравнение.

Стоит отметить, что снова существуют два квадрата, учитывая координаты этих двух смежных вершин.

---

Вам дана площадь квадрата и координаты одной вершины. Сможете ли вы найти уравнения?

Зная площадь квадрата, мы можем сразу записать длину стороны. Теперь нам нужно найти вторую вершину, но без знания градиента стороны существует бесконечное количество возможных квадратов.

---

Вам дано, что одна вершина квадрата расположена в точке \((1,\frac{1}{5})\) и что одна сторона, примыкающая к этой вершине, лежит на прямой \(5y=x\) .

Можете ли вы описать соответствующий набор из трех уравнений, который описывает квадрат площадью ровно 1?

Мы знаем, что если квадрат имеет площадь ровно 1, то длина его стороны должна быть равна 1. Итак, нам нужно найти координаты точки вдоль прямой \(5y=x\) на расстоянии 1 от \( (1,\frac{1}{5})\).

Возможны две подобные точки. Может быть полезно использовать теорему Пифагора, чтобы составить квадратное уравнение относительно \(a\) или \(b\).