Диаграммы множеств: Множества — Теория — Диаграммы Венна

alexxlab / / Разное

Множества. Диаграмма Венна. Задачи по математике 3 класс



Задание 1

Назови каждый элемент множества В = {2; m;}. Принадлежит ли этому множеству число 2, буква а? Запиши соответствующие предложения:

  • Решение
  • Число 2 и буква a принадлежит множеству B.

Задание 2

На рисунке изображена диаграмма множества А. Зашипи, какие элементы принадлежат множеству Л, а какие ему не принадлежат. Прочитай полученные записи.

  • b принадлежит множеству A
  • 8 принадлежит множеству A
  • e не принадлежит множеству A
  • 4 не принадлежит множеству A
  • не принадлежит множеству A
  • принадлежит множеству A

Задание 3

Отметь элементы , , d, 10, , 5 на диаграмме множества С, если известно, что:



Задание 4

Имеется множество М = {а; Ь; ; С; }. Поставь знак ∈ или ∉ .

    Решение
  • a ∈ M
  • ∉ M
  • ∉ M
  • ∈ M
  • c ∈ M
  • 8 ∉ M

Задание 5

    D — множество двузначных чисел.
  • а) Запиши, используя знаки ∈ или ∉, являются ли числа 26, 307, 8, 940, 15, 60 элементами множества D?
  • б) Запиши самое маленькое и самое большое число, принадлежащее множеству D.
  • в) Сколько элементов содержит множество D?
    Решение
  • а)
    • 26 ∈ D,
    • 307 ∉ D,
    • 8 ∉ D,
    • 940 ∉ D,
    • 15 ∈ D,
    • 60 ∈ D.
  • б) Самое маленькое число множества D — 8, самое большое число множества D — 60.
  • г) Множетво D содержит 3 элемента.

Задание 6

Запиши множество трёхзначных чисел, у которых все три цифры одинаковые. Сколько существует таких чисел?

    Решение
  • а)
    • 111
    • 222
    • 333
    • 444
    • 555
    • 666
    • 777
    • 888
    • 999
  • б) Трехзначных чисел, у которых все три цифры одинаковые всего 9.

Задание 7

А — множество девочек с мячом, а В — м ножество девочек с цветком. Построй диаграммы множеств A и В.

Сколько девочек принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В? Сколько девочек принадлежит множеству B, но не принадлежит А? Сколько общих элементов у множеств А и В?

  • Множеству A принадлежит 3 девочки.
  • Множеству B принадлежит 5 девочек.
  • У множеств A и B нет общих элементов.



Задание 8

Бабушка Гамми сварила 45 л яблочного сока и 85 л вишнёвого. Из них на завтрак медведи израсходовали 18л сока, а на обед — в 2 раза больше, чем на завтрак. Сколько сока у медведей ещё осталось?

    Решение
  • Вычисляем сколько всего сока у медведей 45 + 85 = 130.
  • Вычисляем сколько медведи израсходовали на обед 18 * 2 = 36.
  • Вычисляем сколько всего израсходовали медведи 36 + 18 = 54.
  • Вычисляем сколько осталось сока у медведей 130 — 54 = 76.
  • У медведей осталось 76 литров сока.

Задание 9

Вычисли устно:

Задание 10

  • а) У Вадима a открыток. Их в 2 раза меньше, чем у Алёши. Сколько открыток у Алёши?
  • б) У Лены Ь марок. Их на С марок меньше, чем у её сестры. Сколько марок у них вместе?
  • в) Артем нашёл n ягод земляники. Из них сестре он подарил k ягод, а бабушке — в 3 раза больше. Сколько ягод у него осталось?
  • г) Из X белых и Y красных гвоздик сделали букеты по 5 гвоздик в каждом. Сколько получилось букетов?
    Решение
  • а) 2 * a
  • б) (b + c) + b
  • в) n — (k * 3 + k)
  • г) (X + Y) : 5

Задание 11

    Найди значения выражений:
  • а) 360 : 6 • 5 — 450 : (25 • 2) — 70 • 6 : 3 =
  • б) 4 • (30 • 8) — 9 • 8 : 12 — (100 — 8 • 8) =
    Решение
  • а) 360 : 6 • 5 — 450 : (25 • 2) — 70 • 6 : 3 = 300 — 90 = 210 — 140 = 70
  • б) 4 • (30 • 8) — 9 • 8 : 12 — (100 — 8 • 8) = 960 — 6 = 964 — 36 = 918

Задание 12

Заполни таблицу, а затем запиши найденные значения X в порядке убывания:


Решение

Далее



На странице использованы задачи и задания из книги Л. Г. Петерсон «Математика. 3 класс. Часть1.» 2008г.
Ссылка на сайт автора: www.sch3000.ru



2.2.5 Диаграммы Эйлера–Венна

Диаграммы Эйлера–Венна1 — геометрические представления множеств.

Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов (или каких–либо других замкнутых фигур), представляющих множества. Круги могут пересекаться в случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Приведенные на рис. 2.2 – 2.6 иллюстрации операций объединения, пересечения, дополнения, обычной и симметрической разности двух множеств являются диаграммами Эйлера–Венна.

Пример 1. Представить множестводиаграммой Эйлера–Венна.

Построим общую диаграмму, показанную на рис. 2.8,а. Прямоугольник – универсальное множество U. Круги – множестваA,B,C.

Рисунок 2.8 – Диаграммы к Примеру 1

Заштрихуем В диагональными линиями в одном направлении, а – в другом (рис. 2.8,б). Площадь с двойной штриховкой представляет собой их пересечение, т.е. множество. Выделим это множество цветом. На новой копии диаграммы заштрихуем эту областьлиниями одного направления,a A —

другого. Вся заштрихованная на рис. 2.8,в область представляет объединение множествА и, т.е. множество.Выделим эту область цветом.

Пример 2. Проиллюстрировать на конкретных множествах и с помощью диаграмм Эйлера–Венна справедливость соотношения

.

Это свойство дистрибутивности слева операции пересечения относительно объединения.

Пусть U= {а,b,с,d,e}.

А= {а,b},В= {а,с,d},С= {b,с,d,e}.

Для левой части равенства получаем

= {a, b}({а,с, d}{b, с, d, e}) = {a, b}{а, b, с, d, е}

= {а, b};

для правой части равенства имеем

=({a, b}{а, с, d})({a, b}{b, с, d, e}) = {a}{b} = {a, b}.

Таким образом, левая и правая части соотношения совпадают.

Построим теперь диаграммы Эйлера–Венна. Левая часть равенства представлена на рис. 2.9,а, правая – на рис. 2.9,б. Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей рассматриваемого соотношения.

  1. Что такое множество? Как его обозначить? Как можно его задать?

  2. Как обозначаются элементы множества и их принадлежность множеству?

  3. Что такое подмножество? Поясните понятие включения множества.

  4. Дайте определение равенству двух множеств.

  5. Что такое конечное и бесконечное множества?

Рисунок 2.9 – Диаграммы к Примеру 2

  1. Что обозначает понятие – мощность множества? Граница множества?

  2. Какие множества называют пустым и универсальным? Как они обозначаются?

  3. Что такое булеан, как он строится и обозначается? Чему равна его мощность?

  4. Укажите способы задания множеств.

  5. Корректно ли задано множество А= {В,Е, 1, 2, 3, 33}?

  6. Какие “булевские” операции над множествами Вы знаете? Приведите примеры.

  7. Какие операции, кроме “булевских”, применяют в теории множеств?

  8. Поясните операцию перемножения множеств. Чему равна мощность произведения множеств?

  9. Что такое диаграммы Эйлера–Венна? Представьте диаграммой выражение .

  10. Приведите основные законы “булевой” алгебры множеств.

  11. Чему равно объединение и пересечение множеств, входящих в булеан?

  12. Как выполняются операции объединения и пересечения над множествами АиВ, еслиВявляется подмножествомА?

1 В Европе эти диаграммы называют диаграммами Эйлера, в Америке – Венна.

5.1. Теория множеств и диаграммы Венна — математика для специалистов в области общественного здравоохранения и гигиены труда

В этом разделе мы познакомимся с операциями над множествами и обозначениями, чтобы мы могли применить эти понятия как к задачам подсчета, так и к задачам вероятности. Начнем с определения некоторых терминов.

Набор представляет собой набор объектов, и его члены называются элементами набора. Мы называем набор заглавными буквами и заключаем его элементы в фигурные скобки. Предположим, нам нужно составить список членов шахматного клуба. Мы используем следующие обозначения множеств.

C = {Кен, Боб, Тран, Шанти, Эрик}

Множество, не имеющее элементов, называется пустым множеством . Пустое множество обозначается символом Ø.

Два набора равны , если они состоят из одних и тех же элементов.

Набор A является подмножеством набора B , если каждый элемент набора A также является элементом набора B .

Предположим, C = {Ал, Боб, Крис, Дэвид, Эд} и A = {Боб, Дэвид}. Тогда A является подмножеством C и записывается как .

Каждое множество является подмножеством самого себя, а пустое множество является подмножеством каждого множества.

Объединение двух множеств

Пусть A и B будут двумя множествами, тогда объединение A и B , записанное как , представляет собой множество всех элементов, которые находятся либо в A , либо в B или в обоих A и B .

 

Пересечение двух множеств

Пусть A и B два множества, тогда пересечение A и B , записанное как , есть множество всех элементов, общих для обоих множеств A и Б .

 

Универсальный набор U — набор, состоящий из всех рассматриваемых элементов.

Дополнение к набору

Let A — любое множество, то дополнение множества A , записанное как , — это множество, состоящее из элементов универсального множества U , которых нет в A .

 

Непересекающиеся множества

Два множества A и B называются непересекающимися множествами, если их пересечение является пустым множеством.

 

Перечислите все подмножества набора основных цветов {красный, желтый, синий}.

Раствор

Подмножества: ∅, {красный}, {желтый}, {синий}, {красный, желтый}, {красный, синий}, {желтый, синий}, {красный, желтый, синий}

Обратите внимание, что пустой набор является подмножеством каждого множества, а множество является подмножеством самого себя.

 

Пусть F = {Айкман, Джексон, Райс, Сандерс, Янг} и B = {Гриффи, Джексон, Сандерс, Томас}. Найдите пересечение множеств F и B .

Решение

Пересечение двух множеств — это множество, элементы которого принадлежат обоим множествам. Следовательно,

= {Джексон, Сандерс}

 

Найдите объединение наборов F и B , данных следующим образом.

F = {Айкман, Джексон, Райс, Сандерс, Янг}

B = {Гриффи, Джексон, Сандерс, Томас}

Решение

Объединение двух множеств есть множество, элементами которого являются либо в A , либо в B , либо в обоих A и B . Следовательно,

= {Айкман, Гриффи, Джексон, Райс, Сандерс, Томас, Янг}

Обратите внимание, что при записи объединения двух множеств избегаются повторения.

 

Пусть универсальный набор U = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, индиго, фиолетовый} и P = {красный, желтый, синий}. Найдите дополнение P .

Решение

Дополнением набора P является набор, состоящий из элементов универсального набора U , которых нет в P . Следовательно:

= {оранжевый, зеленый, индиго, фиолетовый}

 

Для лучшего понимания предположим, что универсальный набор U представляет цвета спектра, а P основные цвета, то представляет те цвета спектра, которые не являются основными цветами.

 

Пусть U = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, синий, индиго, фиолетовый},

P = {красный, желтый, синий},

Q = {красный, зеленый}, и

R = {оранжевый, зеленый, индиго}.

Найти .

Решение

Решаем задачи поэтапно.

= {красный, желтый, синий, зеленый}

= {оранжевый, индиго, фиолетовый}

  = {красный, желтый, синий, фиолетовый}

= {фиолетовый}

 

Теперь мы используем диаграммы Венна, чтобы проиллюстрировать отношения между множествами. В конце 1800-х годов английский логик по имени Джон Венн разработал метод представления отношений между множествами. Он представил эти отношения с помощью диаграмм, которые теперь известны как диаграммы Венна. Диаграмма Венна представляет множество как внутреннюю часть круга. Часто два или более круга заключены в прямоугольник, где прямоугольник представляет универсальное множество. Визуализировать пересечение или объединение множества легко. В этом разделе мы будем в основном использовать диаграммы Венна для сортировки различных совокупностей и подсчета объектов.

 

Предположим, опрос автолюбителей показал, что за определенный период времени 30 водили автомобили с АКПП, 20 – автомобили со стандартной коробкой передач и 12 – автомобили обоих типов. Если каждый участник опроса водил автомобили с одной из этих коробок передач, сколько человек участвовало в опросе?

Решение

Для решения этой задачи мы будем использовать диаграммы Венна.

Пусть набор А представляет тех автолюбителей, которые ездили на машинах с АКПП, а набор S представляют автолюбителей, которые ездили на автомобилях со стандартной коробкой передач. Теперь воспользуемся диаграммами Венна, чтобы отсортировать информацию, представленную в этой задаче.

Так как 12 человек управляли обеими машинами, поместим число 12 в область, общую для обоих наборов.

(а)

(б)

(в)

Поскольку 30 человек ездили на машинах с АКПП, круг A должен содержать 30 элементов. Это означает, что x + 12 = 30, или x = 18. Аналогично, поскольку 20 человек управляли автомобилями со стандартной коробкой передач, круг B должен содержать 20 элементов, или y +12 = 20, что, в свою очередь, дает y = 8.

Теперь, когда вся информация разобрана, из диаграммы легко понять, что 18 человек управляли автомобилями только с автоматической коробкой передач, 12 человек водили оба типа автомобилей и 8 водили автомобили со стандартной коробкой передач. Только. Таким образом, в опросе приняли участие 18 + 12 + 8 = 38 человек.

 

Опрос 100 человек в Калифорнии показал, что 60 человек посетили Диснейленд, 15 посетили Ягодную ферму Нотта и 6 посетили оба. Сколько человек не посетило ни одно из мест?

Решение

Пусть набор D представляет людей, посетивших Диснейленд, а K — набор людей, посетивших Ягодную ферму Нотта.

(а)

(б)

Мы заполняем три области, связанные с наборами D и K , так же, как и раньше. Поскольку в опросе участвовало 100 человек, прямоугольник, представляющий универсальный набор U , должен содержать 100 объектов. Пусть x представляют тех людей в универсальном множестве, которых нет ни в множестве D , ни в K . Это означает, что 54 + 6 + 9 + x = 100 или 9.0011 x = 31.

Таким образом, в опросе участвует 31 человек, которые не посещали ни одно место.

 

Опрос 100 человек, занимающихся физическими упражнениями, дал следующую информацию:

  • 50 бег трусцой, 30 плавание и 35 езда на велосипеде
  • 14 бег трусцой и плавание
  • 7 плавать и кататься на велосипеде
  • 9 шагов и циклов
  • 3 человека принимают участие во всех трех мероприятиях

а. Сколько бегают трусцой, но не плавают и не ездят на велосипеде?

б. Сколько принимают участие только в одном из мероприятий?

в. Сколько человек не принимают участия ни в одном из этих мероприятий?

Решение

Пусть J представляет множество людей, которые бегают трусцой, S — множество людей, которые плавают, а C — велосипедисты. При использовании диаграмм Венна наша конечная цель — присвоить номер каждой области. Мы всегда начинаем с того, что сначала присваиваем номер самой внутренней области, а затем выходим наружу.

(а)

(б)

(в)

Мы поместили цифру 3 во внутреннюю часть рисунка (а), потому что она представляет количество людей, которые участвуют во всех трех видах деятельности. Далее мы вычисляем x , y и z .

  • Так как 14 человек занимаются бегом и плаванием, x +3 = 14 или x = 11,
  • Тот факт, что 9 человек бегают трусцой и ездят на велосипеде, дает y + 3 = 9, или y = 6.
  • Поскольку 7 человек плавают и ездят на велосипеде, z + 3 = 7 или z = 4.
  • Эта информация представлена ​​на рисунке (b).

Теперь переходим к нахождению неизвестных m , n и p :

  • Так как 50 человек бегут трусцой, m + 11 + 6 + 3 = 50, или m = 30.
  • 30 человек плавают, следовательно, n + 11 + 4 + 3 = 30, или n = 12,
  • Цикл 35 человек, следовательно, p + 6 + 4 + 3 = 35, или p = 22.
  • Складывая все записи во всех трех наборах, мы получаем сумму 88. Поскольку было опрошено 100 человек, число внутри универсального набора, но вне всех трех наборов, равно 100 – 88, или 12.
  • На рисунке (с) информация отсортирована, и на вопросы можно легко ответить.

а. Количество людей, которые бегают трусцой, но не плавают и не ездят на велосипеде, равно 30.

б. Число тех, кто принимает участие только в одном из этих видов деятельности, равно 30 + 12 + 22 = 64.

c. Число людей, не принимающих участия ни в одном из этих мероприятий, равно 12.

 

1. Пусть Универсальный набор U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, V = {a, e, i, f, h} , и Вт = {а, в, д, г, я}. Перечислите элементы следующих наборов:

а.

б.

2. Рассмотрим следующие наборы: A = {SARS, h2N1, H5N1, MERS-CoV, COVID-19, грипп, норовирус}, B = {Listeria, Campylobacter, Salmonella, E. coli O157, норовирус, шигелла} и C = {атипичная пневмония, листерия, туберкулез, H5N1, сальмонелла, ВИЧ, COVID-19}. Перечислите элементы следующих наборов:

а.

б.

3. Опрос спортсменов показал, что при незначительных болях 30 использовали аспирин, 50 — ибупрофен, а 15 — и то, и другое. Все опрошенные спортсмены использовали хотя бы одно из двух обезболивающих средств. Сколько спортсменов было опрошено?

4. Исследование 150 старшеклассников показало, что 25 из них ранее перенесли сотрясение мозга или травму головы, 52 — психические заболевания, а 15 — оба исхода. Сколько студентов не сообщили ни об одном из результатов?

5. Опрос 100 студентов Университета Райерсона показал, что 50 из них подписаны на Netflix, 40 — на Amazon Prime и 30 — на Disney+. Из них 15 подписаны как на Netflix, так и на Amazon Prime, 10 — на Amazon Prime и Disney+, 10 — на Netflix и Disney+, а 5 — на все три службы подписки. Нарисуйте диаграмму Венна и определите следующее:

а. Количество учащихся, подписавшихся на Amazon Prime, но не подписавшихся на два других потоковых сервиса.

б. Количество учащихся, подписавшихся на Netflix или Amazon Prime, но не на Disney+.

в. Количество учащихся, не подписанных ни на одну из этих служб.

 

 

диаграмм Венна: набор обозначений | Purplemath

IntroSets ExercisesDiag. Упражнения

Purplemath

Диаграммы Венна можно использовать для выражения логических (в математическом смысле) отношений между различными множествами. Следующие примеры должны помочь вам понять обозначения, терминологию и концепции, связанные с диаграммами Венна и обозначениями множеств.

Допустим, наша Вселенная содержит числа 1, 2, 3 и 4, поэтому U = {1, 2, 3, 4}. Пусть A — множество, содержащее числа 1 и 2; то есть А = {1, 2}.

Примечание. Фигурные скобки — это обычное обозначение множеств. Используйте скобки или квадратные скобки для , а не .

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Пусть B — множество, содержащее числа 2 и 3; то есть B = {2, 3}. Затем мы можем найти различные отношения множества с помощью диаграмм Венна. В дальнейшем я использовал розоватую штриховку, чтобы отметить «области» решения на диаграммах Венна.

Для A = {1, 2}, B = {2, 3}, U = {1, 2, 3, 4} найдите с помощью диаграммы Венна следующее:

произносится как: A union B

означает: новый набор, содержащий все элементы из A и B; если вещь находится в одном из этих наборов, она находится в новом наборе

с точки зрения элементов:

{1, 2} ⋃ {2, 3}

Диаграмма Венна:

мой ответ:

A ⋃ B = {1, 2, 3}

Приведенная выше диаграмма Венна иллюстрирует систему обозначений и логику ответа. Поскольку «объединение» означает «все в любом из наборов», все кружки заштрихованы. (Если вам не понятна логика записи набора, просмотрите запись набора, прежде чем двигаться дальше.)

Следующие примеры работают одинаково.

произносится как: «A пересекает B».

означает: новый набор, который содержит все элементы, входящие в и входных наборов; в новый набор

добавляются только элементы из обоих входных наборов с точки зрения элементов:

{1, 2} ⋂ {2, 3}

Диаграмма Венна:

мой ответ:

A ⋂ B = {2}

произносится как: «Дополнение» (или «не А» для других обозначений)

означает: новый набор получает все, что есть во Вселенной, но вне А; все в порядке, если элемент находится в B, только если он , а не , а также в A

с точки зрения элементов: {1, 2, 3, 4} − {1, 2}

Диаграмма Венна:

мой ответ:

A ∁ = {3, 4}

Тильда («TILL-duh») — это волнистый символ «~» в начале ~A; на вашей клавиатуре тильда, вероятно, расположена в левом конце ряда цифр или рядом с ним. Тильда в контексте отношения множества говорит, что теперь я хочу найти дополнение (в некотором смысле противоположное) тому, что отрицается или «выбрасывается»; в данном случае это множество А. Дополнение, которое мы видим в этом упражнении, дополнение «не», означает «выбросить все, что у вас есть сейчас (в данном случае, множество А), и вместо этого взять все остальное во Вселенной». «.

Практически говоря, дополнение «не» с тильдой говорит об обратном затенении, как я получил окончательную картинку выше.

  • А-В (или А\В)

произносится как: «А минус Б» или «А дополнение Б».

означает: новый набор получает все, что есть в А , за исключением всего, что находится в его перекрытии с Б; если он находится в A и , а не в B, то он входит в новый набор; ничто из перекрытия на диаграмме (являющееся пересечением входных наборов) не переходит в новый набор

в пересчете на элементы: {1, 2} − {2, 3}

Диаграмма Венна:

мой ответ: A − B = {1}

произносится как: «не (А союз Б) » (или «дополнение (A union B)»)

означает: новый набор получает все, что находится вне A и B; если что-то есть в любом из входных наборов, оно не входит в новый набор

с точки зрения элементов: {1, 2, 3, 4} − ({1, 2} 

⋃ {2, 3}) = {1, 2, 3, 4} − {1, 2, 3}

Диаграмма Венна:

мой ответ: ~

(A ⋃ B) = {4}

произносится как: «не (A пересекает B)» (или «дополнение (A пересекает B)» )

означает: новый набор содержит все, что находится за пределами пересечения A и B; если что-то есть в и входных наборов, то этого нет в новом наборе; все за пределами перекрытия входных наборов (включая все во вселенной, но вне входных наборов) входит в новый набор

с точки зрения элементов: {1, 2, 3, 4} − ({1, 2} 

⋂ {2, 3}) = {1, 2, 3, 4} – {2}

Диаграмма Венна:

мой ответ: ~

(A ⋂ B) = {1, 3, 4}

Существует огромное количество других возможностей для комбинаций множеств и взаимосвязей, но приведенные выше являются одними из самых простых и наиболее общий. Некоторые из приведенных выше примеров демонстрируют более одного способа форматирования (и произношения) одного и того же. В разных текстах используются разные наборы обозначений, поэтому не стоит удивляться, если в вашем тексте используются еще и другие символы, чем те, что использовались выше. Но хотя обозначения могут отличаться, концепции будут одинаковыми.

Кстати, как вы, наверное, заметили, «круги» вашей диаграммы Венна не обязательно должны быть идеально круглыми; эллипсы подойдут.

Иногда вас попросят найти точки пересечения, объединения и т. д., не зная, что это за наборы на самом деле. Это хорошо. Диаграммы Венна все еще могут помочь вам выяснить отношения множества.

Я думаю: пересечение A и C — это просто пересечение этих двух кругов, поэтому мой ответ:

В упражнении запрашивался только график результата набора обозначений. Они не дали мне ни элементов вселенной, ни каких-либо наборов. Заштрихованная картинка — это ответ, который им нужен.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *