Дисперсия в чем измеряется: Дисперсия (рассеяние, разброс)

Дисперсия случайной величины | это… Что такое Дисперсия случайной величины?

У этого термина существуют и другие значения, см. Дисперсия.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Свойства 4 Пример 5 См. также 6 Примечания 7 Литература

Определение

Пусть  — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание^[1][2].

Замечания

• Если случайная величина вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  , где  — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  , где ;

• В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;

Пример

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

и математическое ожидание случайной величины

Тогда дисперсия случайной величины

См.

также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение

Примечания

1. ↑ Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
2. ↑ Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.

Литература

• Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259
• Орлов А. И. Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.

Дисперсия случайной величины | это.

.. Что такое Дисперсия случайной величины?

У этого термина существуют и другие значения, см. Дисперсия.

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

Содержание 1 Определение 2 Замечания 3 Свойства 4 Пример 5 См. также 6 Примечания 7 Литература

Определение

Пусть  — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ обозначает математическое ожидание^[1][2].

Замечания

• Если случайная величина вещественна, то, в силу линейности математического ожидания, справедлива формула:

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  , где  — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  , где ;

• В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;

Пример

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины

и математическое ожидание случайной величины

Тогда дисперсия случайной величины

См.

также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение

Примечания

1. ↑ Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
2. ↑ Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. — М.: Либроком, 2009. — С. 93-94. — 656 с.

Литература

• Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259
• Орлов А. И. Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.

мер дисперсии

мер дисперсии

Общие меры дисперсии

Диапазон

Диапазон представляет собой разницу между верхним и нижним значениями. Поскольку он использует только экстремальные значения, на него сильно влияют экстремальные значения.

Процедура поиска

1. Берется наибольшее значение и вычитается наименьшее значение

Формула

Дисперсия

Дисперсия — это среднеквадратичное отклонение от среднего значения. Это полезность ограничено, потому что единицы измерения возведены в квадрат и не совпадают с исходными данными. Выборочная дисперсия обозначается цифрой 9.0023 s ² , это несмещенная оценка дисперсии населения.

Процедура поиска

1. Найдите среднее значение данных
2. Вычтите среднее из каждого значения, чтобы найти отклонение от среднего
3. Возведение в квадрат отклонения от среднего
4. Сумма квадратов отклонения от среднего
5. Разделить на степени свободы (на одну меньше объема выборки)

Формула

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение — это среднее отклонение от среднего значения. Нашлось путем извлечения квадратного корня из дисперсии и решает проблему отсутствия в тех же единицах, что и исходные данные. Стандартное отклонение выборки обозначается по с . Это не объективная оценка стандартного отклонения населения.

Процедура поиска

1. Найти дисперсию
2. Извлеките квадратный корень

Формула

Менее распространенные меры дисперсии

Среднее абсолютное отклонение

Сумма отклонений от среднего всегда будет равна нулю. Нам нужно сделать убедиться, что ни одно из отклонений не является отрицательным. Мы можем сделать это, возводя в квадрат каждый отклонение (как мы делаем в дисперсии или стандартном отклонении) или взяв абсолютное значение (как мы делаем в среднем абсолютном отклонении).

Процедура поиска

1. Найдите среднее значение данных
2. Вычтите среднее из каждого значения данных, чтобы получить отклонение от среднего
3. Возьмите абсолютное значение каждого отклонения от среднего
4. Суммируйте абсолютные значения отклонений от среднего
5. Разделите общую сумму на размер выборки.

Формула

Вариация

Вариация представляет собой сумму квадратов отклонений от среднего значения. Это имеет единицы, возведенные в квадрат, а не такие же, как исходные данные, и это действительно не учитывать размер выборки.

Процедура поиска

1. Найдите среднее значение данных
2. Вычтите среднее из каждого значения, чтобы найти отклонение от среднего
3. Возведение в квадрат отклонения от среднего
4. Сумма квадратов отклонения от среднего

Формула

Эмпирическое правило диапазона

Практическое правило диапазона говорит о том, что диапазон примерно в четыре раза превышает стандартное отклонение. Альтернативно, стандартное отклонение составляет примерно одну четверть диапазон. Это означает, что большая часть данных находится в пределах двух стандартных отклонений. среднего.

Процедура поиска

1. Найти диапазон
2. Разделить на четыре

Формула

Индекс асимметрии Пирсона

Индекс асимметрии Пирсона можно использовать для определения симметричности данных. или перекошенный. Если индекс находится между -1 и 1, то распределение симметрично. Если индекс не больше -1, то он смещен влево, а если он равен меньше 1, то он смещен вправо.

Процедура поиска

1. Найти среднее, медиану, и стандартное отклонение данных.
2. Вычесть медиану из среднего.
3. Умножить на 3
4. Разделить на стандартное отклонение

Формула

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации выражается в процентах и ​​описывает стандарт отклонение относительно среднего. Его можно использовать для сравнения изменчивости, когда единицы различаются (единицы будут делиться, предоставляя только необработанное число).

Процедура поиска

1. Найдите среднее значение и стандарт отклонение для данных
2. Разделить стандартное отклонение на среднее
3. Умножить на 100

Формула

Правило Чебышева

Правило, указывающее минимальное количество данных, которые будут нравиться в пределах k ( k >1) стандартные отклонения среднего значения для любого распределения данных. По крайней мере, 3/4 (75%) данных будут находиться в пределах 2 стандартных отклонений от среднее и не менее 8/9(89%) данных в пределах 3 стандартных отклонений от Значение.

Правило гласит

Не менее данных будет в пределах k стандартных отклонений от среднего

Для проверки правила

1. Ранжируйте данные от низшего к высшему. Это не обязательно, но делает это проще.
2. Найдите среднее значение и стандарт отклонение данных.
3. Найдите нижнюю границу, умножив стандартное отклонение на к и вычитание из среднего.
4. Найдите верхнюю границу, умножив стандартное отклонение на k и добавить его к среднему.
5. Подсчитайте количество значений между этими двумя границами.
6. Разделить количество значений между границами на общее количество значения

Эмпирическое правило

В то время как правило Чебышева работает для любого распределения данных, эмпирическое правило работает только для колоколообразных симметричных данных. Однако он более точен, чем Правило Чебышева.

Правило гласит

• Приблизительно 68% значений будут лежать в пределах одного стандартного отклонения среднее
• Приблизительно 95% значений будут лежать в пределах двух стандартных отклонений среднего
• Приблизительно 99,7% значений будут лежать в пределах трех стандартных отклонений среднего

Эмпирическое правило иногда называют «правилом 68-95-99,7».

Для проверки правила

1. Ранжируйте данные от низшего к высшему. Это не обязательно, но делает это проще.
2. Найдите среднее значение и стандарт отклонение данных.
3. Найдите нижнюю границу, умножив стандартное отклонение на k и вычитание из среднего.
4. Найдите верхнюю границу, умножив стандартное отклонение на k и добавить его к среднему.
5. Подсчитайте количество значений между этими двумя границами.
6. Разделить количество значений между границами на общее количество значения

 

Дисперсия и стандартное отклонение — Изучите дисперсию и стандартное отклонение, Решенные примеры, Часто задаваемые вопросы

 

Дисперсия и стандартное отклонение — два важных измерения в статистике. Дисперсия — это мера того, как точки данных отличаются от среднего, тогда как стандартное отклонение — это мера распределения статистических данных. Основное различие между дисперсией и стандартным отклонением заключается в их единицах. Стандартное отклонение представлено в тех же единицах, что и среднее значение данных, а дисперсия представлена ​​в квадратах.

Здесь мы стремимся понять определения дисперсии и стандартного отклонения, их свойства и различия. Кроме того, давайте узнаем здесь больше об их измерениях, формулах и некоторых примерах.

1.	Дисперсия
2.	Стандартное отклонение
3.	Свойства стандартного отклонения
4.	Формула для дисперсии и стандартного отклонения
5.	Связь между дисперсией и стандартным отклонением
6.	Решенные примеры
7.	Практические вопросы
8.	Часто задаваемые вопросы о дисперсии и стандартном отклонении

Дисперсия

По словам неспециалиста, дисперсия является мерой того, насколько набор данных разбросан от их среднего или среднего значения. Обозначается как ‘σ ² ’.

Свойства дисперсии

• Оно всегда неотрицательно при изучении вероятности и статистики, поскольку каждый член суммы дисперсии возводится в квадрат, и поэтому результат либо положительный, либо нулевой.
• Дисперсия всегда имеет квадратные единицы. Например, дисперсия набора гирь, оцененная в килограммах, будет дана в килограммах в квадрате. Поскольку дисперсия населения возводится в квадрат, мы не можем напрямую сравнивать ее со средним значением или самими данными.

Стандартное отклонение 

Разброс статистических данных измеряется стандартным отклонением. Распределение измеряет отклонение данных от их среднего или среднего положения. Степень дисперсии вычисляется методом оценки отклонения точек данных. О дисперсии можно прочитать в сводной статистике. Стандартное отклонение обозначается символом «σ».

Свойства стандартного отклонения

• Он описывает квадратный корень из среднего значения квадратов всех значений в наборе данных и также называется среднеквадратичным отклонением.
• Наименьшее значение стандартного отклонения равно 0, поскольку оно не может быть отрицательным.
• Если значения данных группы схожи, стандартное отклонение будет очень низким или близким к нулю. Но когда значения данных меняются друг с другом, стандартная вариация высока или далека от нуля.

Формула дисперсии и стандартного отклонения

Как уже говорилось, дисперсия набора данных представляет собой среднеквадратичное расстояние между средним значением и каждым значением данных. А стандартное отклонение определяет разброс значений данных вокруг среднего значения.

Формулы для дисперсии и стандартного отклонения как для генеральной совокупности, так и для выборочного набора данных приведены ниже:{2}}\)

Здесь

с = выборочное стандартное отклонение

Отношение дисперсии и стандартного отклонения

Дисперсия равна среднему квадрату отклонения от среднего, а стандартное отклонение — это квадратный корень числа. Кроме того, стандартное отклонение представляет собой квадратный корень из дисперсии. Обе меры демонстрируют изменчивость в распределении, но их единицы различаются: стандартное отклонение выражается в тех же единицах, что и исходные значения, тогда как дисперсия выражается в квадратах единиц.

• Формула отклонения
• Образец формулы стандартного отклонения
• Калькулятор среднего и стандартного отклонения
• Какая связь между дисперсией и стандартным отклонением?

 

1. Пример 1. Если бросают игральную кость, найдите дисперсию и стандартное отклонение возможных вариантов.

   Решение: При броске игральной кости возможное количество результатов равно 6. Таким образом, пространство выборки n = 6, а набор данных = {1;2;3;4;5;6}.

   Чтобы найти дисперсию, сначала нам нужно вычислить среднее значение набора данных.

   Среднее значение, x̅ = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5

   Мы можем поместить значение данных и среднее значение в формулу, чтобы получить;

   σ ² = Σ (xi – x̅)2/n

   σ ² = ⅙ (6.25+2.25+0.25+0.25+2.25+6.25)

   σ ² = 2.917

   Answer: Следовательно, дисперсия равна σ2 = 2,917 и стандартному отклонению, σ = √2,917 = 1,708

   .

2. Пример 2: Найдите стандартное отклонение средних температур, зарегистрированных за пятидневный период прошлой зимой:
   18, 22, 19, 25, 12 (среднее значение = 19,2)

   Решение:

   На этот раз мы будем использовать таблицу для наших расчетов.

   Среднее значение = 19,2

   
   Чтобы найти дисперсию, мы делим 5-1 = 4

   94,8/4 = 23,7

   Наконец, мы находим квадратный корень из этой дисперсии. √ 23,7 = 4,9

   Таким образом, стандартное отклонение зарегистрированных температур равно 4,9; дисперсия равна 23,7

   Наконец, мы находим квадратный корень из этой дисперсии. √23,7 ≈ 4,9

   Ответ:   Таким образом, стандартное отклонение зарегистрированных температур равно 4,9; дисперсия 23,7.

перейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

перейти к слайдуперейти к слайду

 

Часто задаваемые вопросы о дисперсии и стандартном отклонении

В чем разница между стандартным отклонением и дисперсией?

Дисперсия — это среднеквадратичное отклонение от среднего значения, а стандартное отклонение — это квадратный корень из этого числа. Обе меры отражают изменчивость в распределении, но их единицы различаются: стандартное отклонение выражается в тех же единицах, что и исходные значения (например, минуты или метры).

Как рассчитать дисперсию?

Дисперсия может быть рассчитана как:

• Найдите среднее значение набора данных. Сложите все значения данных и разделите на размер выборки n.
• Найдите квадрат разницы от среднего значения для каждого значения данных. Вычтите среднее значение из каждого значения данных и возведите результат в квадрат.
• Найдите сумму всех квадратов разностей. …
• Рассчитать дисперсию.

Что такое средняя дисперсия и стандартное отклонение в статистике?

Дисперсия — это сумма квадратов разностей между всеми числами и средними значениями… где μ — среднее значение, N — общее количество элементов или частота распределения.