5.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число
Видеоурок 1: Понятие вектора
Видеоурок 2: Равенство векторов
Видеоурок 3: Сложение и вычитание векторов
Видеоурок 4: Умножение вектора на число
Лекция: Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число
ВекторВектор – это тело, которое изучается в математике, но используется в большом количестве наук. Например, в физике существуют скалярные величины (те, что характеризуются значением – масса, температура и т.д.), а также векторные величины (сила, работа и другие).
Вектор – это величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением. Иными словами, это направленный отрезок.
Но кроме его длины, нам также важно, где находится его начало, а где конец.
Если вектор имеет свое начало в некоторой точке А, а заканчивается в точке В, то его обозначают следующим образом:
Кроме двух букв, вектор можно обозначить одной буквой со значком вектора сверху.
Длиной вектора (его модулем) называют расстояние между концом вектора и его началом.
Для определения модуля вектора следует воспользоваться следующей формулой:
Кроме этого, модуль вектора может обозначаться следующим образом:
Если некоторый вектор имеет начало и конец в одной и той же точке, то такой вектор называют нулевым. Нулевой вектор обозначают, как
Если длина некоторого вектора равна единичному отрезку, то его называют единичным.
Если некоторые векторы расположены на одной прямой или же параллельны друг другу, то такие векторы называются коллинеарными.
Если некоторые векторы можно назвать коллинеарными, но кроме этого они направлены в одну сторону, то их можно назвать сонаправленными.
Если же наоборот два коллинеарных вектора смотрят в разные стороны, то их называют противоположно направленными.
Если же некоторые векторы являются коллинеарными, сонаправленными, а также имеют одинаковую длину (модуль), то их можно назвать равными.
Координаты вектора
Для нахождения координаты вектора следует вычесть соответствующие координаты его конца и начала.
Например, если начало вектора А (3; 6), а конец В (5;9), то этот вектор будет иметь следующие координаты: {2;3}.
Сложение и вычитание векторов
Чтобы сложить два вектора для получения нового, необходимо сложить соответствующие координаты.
Например, сложим вектор {2;3} с вектором {5;7}. В результате получим новый вектор с координатами {7;10}. С вычитанием все аналогично.
Умножение вектора на некоторое число
Чтобы умножить вектор на некоторое число, следует умножить каждую его координату на данное число.
Свойства:
- Первоначальный вектор и вектор умноженный на некоторое число, который равный ему, являются параллельными.
- Если число, на которое умножался вектор, больше нуля, то новый вектор будет сонаправлен первоначальному. Если же число меньше нуля, то векторы будут противоположно направленны.
- Вконтакте
- Сайт
Длина (модуль) вектора — онлайн справочник для студентов
Определение
Длина (модуль) вектора \(\
\overline{A B}
\) является неотрицательным числом, равным расстоянию между его началом и концом, то есть длина вектора является длиной сегмента \(\
A B
\).
{2}}=\sqrt{1+0+16}=\sqrt{17}
\)
Физика
166
Реклама и PR
31
Педагогика
80
Психология
72
Социология
7
Астрономия
9
Биология
30
Культурология
86
Экология
8
Право и юриспруденция
36
Политология
13
Экономика
49
Финансы
9
История
16
Философия
8
Информатика
20
Право
35
Информационные технологии
6
Экономическая теория
7
Менеджент
719
Математика
338
Химия
20
Микро- и макроэкономика
1
Медицина
5
Государственное и муниципальное управление
2
География
542
Информационная безопасность
2
Аудит
11
Безопасность жизнедеятельности
3
Архитектура и строительство
1
Банковское дело
1
Рынок ценных бумаг
6
Менеджмент организации
2
Маркетинг
238
Кредит
3
Инвестиции
2
Журналистика
1
Конфликтология
15
Этика
9
Формулы дифференцирования Координаты вектора.
Направляющие косинусы Проекция вектора на ось Операции над векторами Векторы: основные понятия и определения
Узнать цену работы
Узнай цену
своей работы
Имя
Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое Принимаю Политику конфиденциальностиПодпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях
python – Как получить величину вектора в Numpy?
спросил
Изменено 2 месяца назад
Просмотрено 478 тысяч раз
В соответствии с «Есть только один очевидный способ сделать это», как получить величину вектора (одномерного массива) в Numpy?
по умолч.
магазин(х):
вернуть math.sqrt (сумма (i ** 2 для i в x))
Вышеприведенное работает, но я не могу поверить , что я должен сам указать такую тривиальную и базовую функцию.
- питон
- numpy
3
Вам нужна функция numpy.linalg.norm . (Я считаю, что это должно быть в базе numpy как свойство массива — скажем, x.norm() — ну да ладно).
импортировать numpy как np х = np.массив ([1,2,3,4,5]) np.linalg.norm(x)
Вы также можете ввести необязательный или для желаемой нормы n-го порядка. Скажем, вам нужна 1-норма:
np.linalg.norm(x,ord=1)
И так далее.
2
Если вас вообще беспокоит скорость, вам следует вместо этого использовать:
mag = np.sqrt(x.dot(x))
Вот несколько тестов:
>>> import timeit >>> timeit.
timeit('np.linalg.norm(x)', setup='импортировать numpy как np; x = np.arange(100)', number=1000)
0,0450878
> >> timeit.timeit('np.sqrt(x.dot(x))', setup='импортировать numpy как np; x = np.arange(100)', number=1000)
0,0181372
РЕДАКТИРОВАТЬ: реальное улучшение скорости происходит, когда вам нужно взять норму многих векторов. Использование чистых функций numpy не требует циклов for. Например:
В [1]: импортировать numpy как np В [2]: a = np.arange(1200.0).reshape((-1,3)) В [3]: %timeit [np.linalg.norm(x) для x в a] 100 циклов, лучший из 3: 4,23 мс на цикл В [4]: %timeit np.sqrt((a*a).sum(axis=1)) 100000 петель, лучшая из 3: 18,9 мкс на петлю В [5]: np.allclose([np.linalg.norm(x) for x in a],np.sqrt((a*a).sum(axis=1))) Выход[5]: Верно
6
Еще одна альтернатива — использовать функцию einsum в numpy для любого массива:
В [1]: импортировать numpy как np В [2]: a = np.arange(1200.0).reshape((-1,3)) В [3]: %timeit [np.linalg.norm(x) для x в a] 100 циклов, лучший из 3: 3,86 мс на цикл В [4]: %timeit np.sqrt((a*a).sum(axis=1)) 100000 циклов, лучший из 3: 15,6 мкс на цикл В [5]: %timeit np.sqrt(np.einsum('ij,ij->i',a,a)) 100000 циклов, лучшее из 3: 8,71 мкс на цикл
или векторы:
В [5]: a = np.arange(100000)
В [6]: %timeit np.sqrt(a.dot(a))
10000 циклов, лучший из 3: 80,8 мкс на цикл
В [7]: %timeit np.sqrt(np.einsum('i,i', a, a))
10000 циклов, лучший из 3: 60,6 мкс на цикл
Однако есть некоторые накладные расходы, связанные с его вызовом, которые могут сделать его медленнее при небольших входных данных:
В [2]: a = np.arange(100)
В [3]: %timeit np.sqrt(a.dot(a))
100000 циклов, лучший из 3: 3,73 мкс на цикл
В [4]: %timeit np.sqrt(np.einsum('i,i', a, a))
100000 циклов, лучший из 3: 4,68 мкс на цикл
1
Самый быстрый способ, который я нашел, это через inner1d.
Вот как это сравнивается с другими методами numpy:
import numpy as np
из numpy.core.umath_tests импортировать inner1d
V = np.random.random_sample((10**6,3,)) # 1 миллион векторов
A = np.sqrt(np.einsum('...i,...i', V, V))
B = np.linalg.norm (V, ось = 1)
C = np.sqrt((V ** 2).sum(-1))
D = np.sqrt ((V * V). Сумма (ось = 1))
E = np.sqrt (inner1d (V, V))
print [np.allclose(E,x) for x in [A,B,C,D]] # [True, True, True, True]
импорт cProfile
cProfile.run("np.sqrt(np.einsum('...i,...i', V, V))" # 3 вызова функции за 0,013 секунды
cProfile.run('np.linalg.norm(V,axis=1)') # 9вызовы функций за 0,029 секунды
cProfile.run('np.sqrt((V ** 2).sum(-1))') # 5 вызовов функций за 0,028 секунды
cProfile.run('np.sqrt((V*V).sum(axis=1))') # 5 вызовов функций за 0,027 секунды
cProfile.run('np.sqrt(inner1d(V,V))') # 2 вызова функции за 0,009 секунды
inner1d примерно в 3 раза быстрее, чем linalg.norm, и на волосок быстрее, чем einsum
6
использовать функцию норма в scipy.
linalg (или numpy.linalg )
>>> из scipy import linalg as LA
>>> a = 10*NP.random.randn(6)
>>> а
массив([ 9.62141594, 1.29279592, 4.80091404, -2.93714318,
17.06608678, -11.34617065])
>>> ЛА.норма(а)
23.36461979210312
>>> # сравните с функцией OP:
>>> импортировать математику
>>> mag = lambda x : math.sqrt(sum(i**2 for i in x))
>>> маг(а)
23.36461979210312
Вы можете сделать это вкратце, используя пояс для инструментов vg. Это легкий слой поверх numpy, который поддерживает одиночные значения и сложенные векторы.
импортировать numpy как np импорт в.г. х = np.массив ([1, 2, 3, 4, 5]) mag1 = np.linalg.norm(x) mag2 = vg.величина(x) напечатать mag1 == mag2 # Истинный
Я создал библиотеку во время моего последнего запуска, где она была мотивирована таким использованием: простые идеи, которые слишком многословны в NumPy.
возьмите квадрат каждого индекса, затем суммируйте, затем возьмите sqrt.
импортировать numpy как np
величина определения (v):
вернуть np.sqrt (np.sum (np.square (v)))
печать (величина ([3,4]))
Дан пример одного пятимерного вектора:
x = np.array([1,-2,3,-4,5])
Обычно вы кодируете это:
из scipy import linalg mag = linalg.norm(x)
Для различных типов ввода (матрицы или стек (пакет) 5D-векторов) проверьте справочную документацию, которая последовательно описывает API. https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.linalg.norm.html
ИЛИ
Если виртуальная среда свежая и scipy отсутствует, просто введите
mag = np.sqrt(x.dot(x))
1
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Обязательно, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Калькулятор векторной величины[2D, 3D, 4D, 5D]
Автор Wojciech Sas, PhD
Отзыв от Bogna Szyk и Jack Bowater
Последнее обновление: 31 октября 2022 г.
- Как найти величину вектора?
- Величина векторной формулы
- Как пользоваться калькулятором векторной величины?
- Примеры векторов в реальной жизни
Этот калькулятор величины вектора представляет собой простой инструмент, который поможет вам оценить величину на основе компонентов вектора. В тексте вы узнаете, как найти величину вектора и привыкнете к общей величине векторной формулы. В конце текста вы можете прочитать о некоторых физических величинах, которые являются векторами, и о том, что говорят нам их величины.
Как найти модуль вектора?
Мы можем определить векторную банку как упорядоченный набор чисел. Количество компонент вектора зависит от размерности пространства. На практике мы обычно имеем дело с трехмерными векторами с тремя различными компонентами. В декартовых координатах мы можем использовать значения компонентов x , y и z .
🙋 Не стесняйтесь использовать трехмерный калькулятор расстояний Omni, чтобы сэкономить время при решении таких математических задач!
Когда мы переключаемся на сферические координаты, удобно использовать значения двух углов, θ и φ , и величина , которая является длиной вектора в чистом виде.
Другими словами, это трехмерное расстояние между начальной и конечной точками вектора.
Компоненты вектора также могут быть комплексными числами.
Величина векторной формулы
Величина вектора |V| можно оценить разными способами, в зависимости от размерности векторного пространства. У нас есть:
-
|В| = √(x² + y²)в двумерном пространстве; -
|В| = √(x² + y² + z²)в трехмерном пространстве; -
|В| = √(x² + y² + z² + t²)в 4-мерном пространстве; -
|В| = √(x² + y² + z² + t² + w²)в 5-мерном пространстве и так далее…
Как видно из формулы для модуля вектора, во всех случаях модуль представляет собой квадратный корень из суммы компонентов вектора во второй степени . В этом калькуляторе величины вектора вы можете установить размерность вашего вектора, чтобы была выбрана правильная формула. В результате величина величины всегда положительна, поэтому мы можем измерить ее в любом эксперименте, имеющем дело с векторными величинами.
Мы также можем вычислить величину вектора как квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя:
|V| = √(V·V)
По определению модуль единичного вектора равен 1 . Наш калькулятор единичных векторов поможет вам научиться нормализовать любой вектор.
Матрицы также могут иметь величины, или, по крайней мере, они имеют нормы , которые указывают величину растяжения вектора , на который он умножается.
Как пользоваться калькулятором векторной магнитуды?
Давайте посмотрим на этот вычислительный пример, чтобы узнать, как найти величину вектора в 4-мерном пространстве. Компоненты вектора: x = 3 , y = -1 , z = 2 , t = -3 .
- Оцените квадраты каждой компоненты вектора:
x² = 9,y² = 1,z² = 4,t² = 9. - Сложите их все вместе:
x² + y² + z² + t² = 9 + 1 + 4 + 9 = 23.
