Доказательство 1 признака равенства треугольников: 3 признака равенства треугольников

Два или более треугольника подобны, если их соответствующие углы конгруэнтны, а их стороны пропорциональны друг другу (отношение их сторон равно). Замечание вещей из нашей повседневной жизни или хороший взгляд в наших учебниках говорят нам, что существует так много объектов, похожих друг на друга, которых мы никогда не замечали. Например, медвежонок похож на свою мать, хотя мать относительно больше, такая же. понятие применяется здесь в треугольниках.

ΔABC и ΔPQR — подобные треугольники

Разница между подобными треугольниками и конгруэнтными треугольниками

• В подобных треугольниках форма всегда одинакова, но размер может отличаться.
• В конгруэнтных треугольниках форма и размер равны.

Треугольники ΔABC и ΔPQR конгруэнтны

Теорема Фалеса или основная теорема о равны), отношение их соответствующих сторон всегда равно».

Два треугольника ΔABC и ΔADE изображены в одном

Как мы можем заметить, приведенные выше Два треугольника являются равноугольными.

∠A = ∠A [общий угол]

∠B = ∠D [соответствующие углы]

∠C = ∠E [соответствующие углы]

Следовательно, делается вывод: «Если линия проведена параллельно одной стороне треугольника пересечься по оставшимся двум сторонам, он разделит оставшиеся две стороны в том же отношении»

, DF//BC

Если провести прямую, параллельную одной стороне треугольника, пересекающую другие стороны в разных точках, то две другие стороны делятся в том же отношении

Доказать : 

Дано: 

В ΔABC DE параллельно BC

Построение:

Соедините BE и CD и проведите перпендикуляр к AC и AB из D и E.

3

6

In ΔADE, площадь треугольника = 1/2 × DE × EN ⇢ 1

Кроме того, 1/2 × DE× DM ⇢ 2

/

In площадь треугольника ΔBDE1 × bd × en ⇢ 3

в ΔDec, площадь треугольника = 1/2 × EC × DM ⇢ 4

Разделение уравнения 1 и 3

⇢ 5

Уравнение делпидного дел

⇢ 5

2 и 4

\⇢ 6

Мы знаем, что площади ΔBDE и ΔDEC равны, так как BD параллельна DE и оба имеют одинаковое основание DE

Теперь из уравнения 5 и 6

Доказательство:

Дано: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

, чтобы доказать:

Строительство: Сделайте линию PQ в ΔDEF, такой, что AB = DP, AC = DQ, BC = PQ

Доказательство: в ΔABC и ΔDPQ

AB = DP, DP, DP, в ΔABC и ΔDPQ

AB = D AC=DQ, ∠A=∠D

Согласно С.А.С. Свойству треугольников оба треугольника конгруэнтны друг другу.

ΔABC≅ ΔDPQ

Можно сказать, ∠B= ∠DPQ (по CPCT)

∠B= ∠E, следовательно, ∠E = ∠DPQ

По соответствующим углам можно сделать вывод, что PQ параллелен EF

С помощью обратной теоремы Фалеса,

Добавление 1 к левой и правой сторонам

Следовательно, отношение DP к AB и DQ к

равно соотношению сторон

. выходит тоже равным.

Следовательно, ΔABC= ΔDEF

Если два угла обоих треугольников вместе с обеими сторонами, соединенными с ними, равны, то такие треугольники называются подобными треугольниками.

Доказательство

, чтобы доказать: ΔABC2 ΔDEF

Дано: ♂ = ♂,

Строительство: нарисуйте линию PQ в треугольнике ΔDEF, что AB = DP, AC = DQ

.

Возврат дроби,

Вычитание обеих сторон на 1,

Итак, PQ параллелен EF (путем обращения BPT)

∠P= ∠E, ∠Q= ∠F (соответствующими углами)

ΔABC= ΔDPQ

∠A= ∠D, ∠B=∠P, ∠C=∠Q

Со времен ↑P = ♂, Ϫq = Ϫf

Следовательно, ↑A = ♂, ♂ = ♂, ♂ = ♂

ΔAbc2 Δdef

Теорема

9005 в a прямоугольный треугольник, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон

Мы знаем, что ∠PQR= ∠QSR

∠P= ∠P

Следовательно, Δ PQR∼ ΔQSR

QR ² = PR × RS ⇢ 1

Примените то же самое для Δ PQR и Δ PSQ

PQ ² = PR × PS ⇢ 2

От 1 и 2

9292929292929292929292

929292929292

9292929 2

929 2

9 2

. PQ ² + QR ² = PR× RS + PR×  PS

PQ ² + QR ² = PR (RS+ PS)

PQ ² + QR ² = PR ²

Следовательно, доказано.

Примеры задач

Вопрос 1: На приведенном ниже рисунке XY параллелен BC, AX=2 см, XB= 3 см, а основание треугольника BC= 5 см. Затем найдите значение XY, используя теорему Фалеса. .

Решение:

Согласно теореме Thales,

XY = 2CM

Вопрос 2: В правом анжели с точки зрения q.

Решение:

ABC прямоугольный треугольник,

Используя теорему Пифагора, получаем,

AC ² + 2 AB 20362 2

P ² = (4Q) ² + (3Q) ²

P ² = 16Q + 90.

P ² = 25Q + 9QU.

P ² = 25Q +

P ² = 25Q +

P ² = 25Q +

P ² = 16q +

P ² = 16Q +

P ² . Вопрос 3: На приведенном ниже рисунке, когда PQ параллелен BC, найдите значение x.

Решение:

В треугольнике PQ параллельна BC, следовательно, можно применить теорему Фалеса,

(3x-3)(2)= (x+2)(5)

6x-6= 5x+ 10

x = 16

Вопрос 4. Какими тремя способами можно доказать подобие двух треугольников ?

Ответ:

Три способа доказательства подобия треугольников: (бок-бок-бок)

Вопрос 5: В треугольнике ABC линия DE проведена так, что ∠ABC = ∠DEC. Докажите, что ΔABC≅ ΔDEC.

Решение:

в ΔABC и ΔDec,

Уже дано, что ▲ = ↑дек

и, поскольку угол C является общим в обоих треугорах, мы можем сказать,

om. ACB= ∠DCE

Поскольку два угла равны, третий угол автоматически будет равен, так как сумма трех углов треугольника всегда равна 180°

Следовательно, из критерия подобия ААА можно сделать вывод,

ΔABC ≅ ΔDEC

Вопрос 6: В прямоугольном равнобедренном треугольнике основание равно 2 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение:

Треугольник, данный в вопросе, является прямоугольным равнобедренным треугольником и должен выглядеть примерно так.

BC= 2 см

Так как это равнобедренный треугольник, AB= 2 см,

Согласно теореме Pythagoras, AC ² = AB ² + BC ²

AC ² = 2 ² + 2 ² 9000 2

AC = ac = 2 ²

AC = 2 ² 9000 2

9000 2

² + 2 ² 9000 2

^{. Вопрос 7: Чем SAS и SSS Criterion отличаются друг от друга?}

Ответ:

Оба критерия дают одинаковый результат, то есть оба они доказали, что треугольники конгруэнтны друг другу, но методы их доказательства очень разные. В критерии SSS, когда известно, что все три стороны равны, два треугольника конгруэнтны по своей природе. В критерии SAS, когда любые две стороны и углы между этими двумя сторонами равны, треугольники считаются конгруэнтными.

Критерии для конгруэнтных треугольников — A Plus Topper

Конгруэнтные треугольники — это треугольники, имеющие одинаковый размер и форму . Это означает, что соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

Конгруэнтные треугольники не обязательно должны находиться в одинаковой ориентации или положении. Только они должны быть одинаковыми по размеру и форме.

1. SSS (сторона сторона сторона) Критерии соответствия (условие):
   Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны соответствующим трем сторонам другого треугольника.
   
   ∴ По критерию SSS ∆ABC ∆EDF
   ∴ ∠A = ∠E, ∠B = ∠D, ∠C = ∠F (c.p.c.t.)
2. ASA (Angle Side Angle) 906 Два критерия соответствия 906 (Условие): треугольники равны, если два угла и сторона, прилежащая к одному из них, равна соответствующим углам и стороне другого.
   
   ∴ По критериям ASA ∆ABC ≅ ∆DEF
   ∴ ∠A = ∠D, AB = DE, AC = DF (c.p.c.t.)
3. AAS (Angle Angle Side) Критерии соответствия (условие):
   
   ∴ По AAS, ∆ABC ≅ ∆FDE
   ∴ ∠C = ∠E, AB = FD, AC = FE (c.p.c.t.)
4. AS
5. Side Angle Side) Критерии соответствия (условие):
   Когда две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответствующим сторонам и углу между ними другого треугольника, два треугольника конгруэнтны. Это условие конгруэнтности известно как конгруэнтность стороны-угла-стороны. Короче пишем условие SAS.
   
   По SAS, ∆ABC ≅ ∆QPR
   ∴ ∠A = ∠Q, ∠C = ∠R, AC = QR (c.p.c.t.)
6. RHS (Правая гипотенуза) Критерии соответствия треугольника (Условие два справа): 6 конгруэнтны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника.
   
   ∴ by rhs, ∆ABC ≅ ∆QPR
   ∴ ♂ = ♂, ▲ = Ϫr, BC = PR (C.P.C.T.)

Пример 1:

Пример 2:

9

.0003

Пример 3:

Пример 4:

Читать дальше:

• Как вы докажите, что Triangles
2020
• RS Aggarwal Class 7 Solutions Argreence
2020202020
• RS AGGAL Class 7 Solutions Argreence
2020202020
• RS Aggarwal Class 7 Solutions
020202020
• RS Aggarwal Class 7 Solutions
020202020
• RS Aggarwal. треугольников и неравенств в треугольнике

Теорема 1: Если два угла и сторона, прилежащая к ним, одного треугольника равны двум углам и стороне, прилежащей к другому треугольнику, то оба треугольника равны.
Доказательство:
Дано: ∆ABC и ∆DEF, где
∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE и BC = EF.

Доказать: ∆ABC ≅ ∆DEF.
Доказательство:
Случай I:
Пусть AC = DF.
В этом случае AC = DF, BC = EF и ∠C = ∠F.
∴ ∆ABC ≅ ∆DEF    (SAS-критерии)
Случай II:
Если возможно, пусть AC ≠ DF.
Затем постройте D’ F = AC. Присоединитесь к D’E.
Теперь в ∆ABC и ∆D’EF мы имеем AC = D’F, BC = EF и ∠C = ∠F.
∴ ∆ABC ∆D’EF          (SAS-критерии)
∴ ∠ABC = ∠D’EF      (c.p.c.t)
Но, ∠ABC = ∠DEF  (дано)
∴ ∠D’EF.
Это возможно только при совпадении D и D’.
∴ ∆ABC ≅ ∆DEF.

Теорема 2: Два прямоугольных треугольника равны, если одна сторона и гипотенуза одного соответственно равны соответствующей стороне и гипотенузе другого. (т.е. RHS)
Дано: Два прямоугольных треугольника ∆ABC и ∆DEF, в которых ∠B = ∠E = 90°, BC = EF и AC = DF.
Доказать: ∆ABC ≅ ∆DEF.
Конструкция: Произведите DE в G так, чтобы
GE = AB. Присоединяйтесь к ГФ.

Доказательство: В ∆ABC и ∆GEF имеем:
AB = GE      (построение),
BC = EF      (дано),
∠B = ∠FEG = 90°
⇒ ∆GEF
⇒ ∠A = ∠G и AC = GF     (c.p.c.t.)
Теперь AC = GF и AC = DF ⇒GF = DF
⇒ ∠G = ∠D ⇒ ∠A = ∠D        [∵ ∠G = ∠A ]
Теперь ∠A = ∠D, ∠B = ∠E ⇒ 3-й ∠C = 3-й ∠F.
Таким образом, в ∆ABC и ∆DEF имеем:
BC = EF, AC = DF и ∠C = ∠F.
∴ ∆ABC ≅ ∆DEF    (SAS-критерии).

Критерии равных треугольников Пример задач с решениями

Пример 1:     Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Решение:     Пусть ABCD — параллелограмм, а AC — диагональ.

(по SSS): In ∆ABC и ∆ADC
AB = CD    (обратные стороны ||gm)
BC = AD    (противоположные стороны ||gm)
AC = AC     (общий)
∴ Согласно SSS, ∆ABC ≅ ∆CDA доказано
{другие результаты: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠B = ∠D (c. p.c.t.)}
(по ASA): In ∆ABC и ∆ADC
∠1 = ∠2     (альтернативный)
AC = AC    (общий)
∠3 = ∠4 ASA 9  (альтернативный)
∠3 = ∠4 ASA 9  (альтернативный) , ∆ABC ≅ ∆CDA
{другие результаты: ∠B = ∠D, AB = CD, BC = AD (c.p.c.t.)}
(по AAS): В ∆ABC и ∆ADC
∠1 = ∠2     (альтернативный )
∠3 = ∠4     (альтернативный)
BC = AD    (разн. стороны)
∴ ∆ABC ≅ ∆CDA
{другие результаты: AB = CD, ∠B = ∠D, AC = AC (c.p.c.t.)}
(по SAS): In ∆ABC и ∆ADC
AB = CD     (оп. стороны ||gm)
∠1 = ∠2       (альтернативный)
AC = AC      (общий)
∴ ∆ABC ≅ ∆CDA
{другие результаты: ∠3 = ∠4, BC = AD, ∠B = ∠D ( c.p.c.t.)
Мы не можем использовать «RHS» для этого доказательства.
Примечание. Критерий соответствия ASS или SSA недействителен.

Пример 2:     На рис. дано, что AB = CF, EF = BD и ∠AFE = ∠DBC. Докажите, что ∆AFE ∆CBD.

Решение:     Имеем AB = CF
⇒ AB + BF = CF + BF
⇒ AF = CB        …. (i)
В ∆s AFE и CBD имеем
AF = CB           [Из (i)]
∠AFE = ∠DBC     [Дано]
и EF = BD        [Дано]
Итак, по критерию конгруэнтности SAS мы have
∆AFE ≅ ∆CBD

Пример 3:     На рис. X и Y две точки на равных сторонах AB и AC ∆ABC, такие что AX = AY. Докажите, что XC = YB.

Решение:     В ∆s AXC и AYB имеем
ax = ay [дано]
♂ = ♂ [общий угол]
ac = ab [дано]
SO, по критерию SAS Congruene
∆Axc ≅ ∆AYB
⇒ XC = YB (C.P.C.T.)

⇒ xc = yb (C.P.C.T.)

. 4:     На рис. PQRS — четырехугольник, а T и U — соответственно точки на PS и RS, такие, что PQ = RQ, ∠PQT = ∠RQU и ∠TQS = ∠UQS. Докажите, что QT = QU.

Решение: Мы имеем,
Ϫpqt = Ϫrqu
и, Ϫtqs = Ϫuqs
∴ ↑pqt + retqs = retrqu + Ϫuqs
⇒ Ϫpqs = retqs…. (и)
Таким образом, в треугольниках PQS и RQS имеем
PQ = RQ               [Дано]
∠PQS = ∠RQS     [Из (i)]
и QS = QS       [Общая сторона]
Следовательно, по критерию конгруэнтности SAS имеем
∆PQS ≅ ∆RQS
⇒ ∠QPS = ∠QRS        (c. p.c.t.)
⇒ ∠QPT = ∠QRU      …. (ii)
Теперь рассмотрим треугольники QPT и QRS. В этих двух треугольниках имеем
QP = QR                  [Дано]
∠PQT = ∠RQU       [Дано]
∠QPT = ∠QRU       [Из (ii)]
Следовательно, по критерию конгруэнтности ASA мы получаем
∆QPT ≅ ∆QRU
⇒ QT = QU.

Пример 5:     На рис. PS = QR и ∠SPQ = ∠RQP.

Докажите, что PR = QS и ∠QPR = ∠PQS.
Решение: в ∆Spq и ∆rqp, мы имеем
ps = qr [дано]
↑spq = 3.rqp [дано]
pq = pq [общий]
Следовательно, по критерию SAS конгруэнтности, мы имеем
. SPQ ∆RQP ⇒ SQ = RP и
∠QPR = ∠PQS

Пример 6:     ∆ABC — равнобедренный треугольник с AB = AC. Сторона BA превращается в D так, что
АВ = н.э. Докажите, что угол ∠BCD прямой.
Решение:     Дано : A ∆ABC такое, что AB = AC. Сторона BA превращается в D так, что AB = AD.

Строительство: Присоединитесь к компакт-диску.
Чтобы доказать: ∠BCD = 90º
Доказательство: В ∆ABC мы имеем AB = AC
⇒ ∠ACB = ∠ABC        … (i)      [∵ Углы напротив. равные стороны равны]
Теперь AB = AD           [Дано]
∴ AD = AC                 [∴ AB = AC]
Таким образом, в ∆ADC имеем
AD = AC
⇒ ∠ACD = ∠ADC (ii) …    
[∵ Углы опп. равные стороны равны]
Складывая (i) и (ii), получаем
∠ACB + ∠ACD = ∠ABC + ∠ADC
⇒ ∠BCD = ∠ABC + ∠BDC
[∵ ∠ADC = ∠BDC, ∠ABC = ∠DBC]
⇒ ∠BCD + ∠BCD = ∠DBC + ∠BCD + ∠BDC. прямой угол.

Пример 7:     На рис. AC = BC, ∠DCA = ∠ECB и ∠DBC = ∠EAC.

Докажите, что треугольники DBC и EAC равны, а значит, DC = EC.
Решение:     У нас есть,
∠DCA = ∠ECB
⇒ ∠DCA + ∠ECD = ∠ECB + ∠ECD
⇒ ∠ECA = ∠DCB         …. (i)
Теперь в ∆s DBC и EAC имеем
∠DCB = ∠ECA           [Из (i)]
BC = AC                               конгруэнтности
∆DBC ≅ ∠EAS
⇒ DC = EC     (c. p.c.t.)

Пример 8:     Если высоты от двух вершин треугольника до противоположных сторон равны, докажите, что треугольник равнобедренный.
Решение:    Дано: A ∆ABC, при котором высоты BE и CF от B и C соответственно на AC и AB равны.

Чтобы доказать: ∆ABC является равнобедренным, т.е. AB = AC
Доказательство: В ∆s ABC и ACF мы имеем
∠AEB = ∠AFC       [Каждый равен 90º] ∠CmonAFE угол ]
и, BE = CF         [Дано]
Итак, по критерию сходимости ААС имеем
∆ABE ≅ ∆ACF
⇒ AB = AC        [∵ Соответствующие части конгруэнтных треугольников равны]
Следовательно, ∆равнобедренный.

Пример 9:     В ∆ABC AB = AC и биссектрисы углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что BO = CO и луч AO является биссектрисой угла BAC.
Решение: В ∆ABC, мы имеем
AB = AC


Теперь, в ∆ABO и ∆ACO, мы имеем
AB = AC [дано]
потряно = OC                      [Из (ii)]
Итак, по критерию конгруэнтности SAS
∆ABO ≅ ∆ACO
⇒ ∠BAO = ∠CAO
[∵ Соответствующие части равных треугольников]
⇒ AO — биссектриса ∠BAC.

Пример 10:     На рис. BM и DN являются перпендикулярами к отрезкам AC и BM = DN.

Докажите, что AC делит BD пополам.
Решение:     В ∆s BMR и DNR имеем
∠BMR = ∠DNR
[Каждое равно 90º ∵ BM ⊥ AC и DN ⊥ AC]
∠BRM = ∠DRN     [Vert. опп. углов]
и, BM = DN       [Дано]
Итак, по критерию конгруэнтности ААС
∆BMR ≅ ∆DNR
⇒ BR = DR
[∵ Соответствующие части равных треугольников равны]
⇒ R — середина BD.
Следовательно, AC делит BD пополам.

Пример 11:     На рис. BD и CE две высоты ∆ABC, такие что BD = CE.

Докажите, что ∆ABC равнобедренная.
Решение: в ∆Abd и ∆Ace, мы имеем
↑ADB = ↑AEC = 90º [дано]
omBAD = ↑CAE [Common]
и, BD = CE [дано]
. , у нас
∆ABD ≅ ∆ACE
⇒ AB = AC   [∵ Соответствующие части конгруэнтных треугольников равны]
Следовательно, ∆ABC равнобедренный.

Пример 12:     Если два равнобедренных треугольника имеют общее основание, линия, соединяющая их вершины, делит их пополам под прямым углом.
Решение:    Дано: Два равнобедренных треугольника ABC и DBC, имеющие общее основание BC, такие, что AB = AC и DB = DC.
Чтобы доказать: AD (или AD произведено) делит пополам BC под прямым углом.

Доказательство: В ∆s ABD и ACD имеем
AB = AC      [Дано]
BD = CD    [Дано]
AD = AD    [Общая сторона]
Итак, по критерию конгруэнтности SSS
∆ABD ≅ ∆ACD
⇒ ∠1 = ∠2 …. (i)
[∵ Соответствующие части конгруэнтных треугольников равны]
Теперь в ∆s ABE и ACE имеем
AB = AC         [Дано]
∠1 = ∠2           [Из (i)]
и, AE = AE       [Общая сторона]
Итак, согласно критерию конгруэнтности SAS,
∆ABE ≅ ∆ACE
⇒ BE = CE
[∵ Соответствующие части конгруэнтных треугольников равны]
и, ∠3 = ∠4
Но, ∠3 + ∠4 = 180º
[∵ Сумма углов линейной пары равна 180º]
⇒ 2 ∠3 = 180º     [∵ ∠3 = ∠4] ⇒ ⇒ ⇒ 3 = 90º
∴ ∠3 = ∠4 = 90º
Следовательно, AD делит BC пополам под прямым углом.

Пример 13:     AD, BE и CF, высоты ∆ABC равны. Докажите, что ∆ABC — равносторонний треугольник
Решение:     В прямоугольных треугольниках BCE и BFC имеем
Hyp. БК = Гип. BC
BE = CF       [Дано]
Итак, по критерию соответствия RHS,

∆BCE ∆BFC.
⇒ ∠B = ∠C  [∵ Соответствующие части конгруэнтных треугольников равны]
⇒ AC = AB     …. (i)
[∵ Стороны, противоположные равным углам, равны]
Аналогично, ∆ABD ≅ ∆ABE
⇒ ∠B =∠A
[Соответствующие части конгруэнтных треугольников равны]
⇒ AC = BC       …. (ii)
[Стороны, противоположные равным углам, равны]
Из (i) и (ii) получаем
AB = BC = AC
Следовательно, треугольник ∆ABC равносторонний.

Пример 14:     На рис. AD = BC и BD = CA.

Докажите, что ∠ADB = ∠BCA и
∠DAB = ∠CBA.
Решение:     В треугольниках ABD и ABC имеем
AD = BC           [Дано]
BD = CA           [Дано]
и AB = AB    ⇒ ∠DAB = ∠ABC
[∵ Соответствующие части равных треугольников]
⇒ ∠DAB = ∠CBA

Пример 15:     Отрезок AB параллелен другому отрезку CD. O — середина AD (см. рисунок). Покажите, что (i) ∆AOB ≅ ∆DOC (ii) O также является серединой BC.
Решение:    (i) Рассмотрим ∆AOB и ∆DOC
∠ABO = ∠DCO
(Альтернативные углы, поскольку AB || CD и BC – трансверсаль)

∠AOB = ∠DOC     (Вертикально противоположные 8 углов) 90 OD               (Дано)
Следовательно, ∆AOB ≅ ∆DOC    (правило AAS)
(ii) OB = OC (c.p.c.t.)
Итак, O — середина BC.

Пример 16:     В четырехугольнике ABCD AC = AD и AB делит пополам ∠A. Покажите, что ∆ABC ∆ABD. Что можно сказать о БК и БД?

Решение: в ∆ABC & ∆ABD
AB = AB (обыкновенный)
↑1 = ♂2 {∵ AB — это бисектор ♂}
AC = AD (дано)
∴ SAS, ∆ABC ≅ ∆ AD (дано)
ABD Proved
также BC = BD       (c.p.c.t.)

Пример 17:     AD и BC равны перпендикулярам к отрезку AB. Докажите, что CD делит AB пополам.

Решение:     Чтобы показать CD пополам AB, т. е. AO = OB
∴ в ∆OAD и ∆OBC
∠O = ∠O            (вертикально противоположные углы)
∠A = ∠B = 90°  (Дано)
AD = BC        (Дано)
∴ По AAS, ∆OAD ≅ ∆OBC
∴ OA = OB      (c.p.c.t.)
∴ CD, делит пополам AB. Доказано

Пример 18:     Прямая l — это биссектриса угла ∠A, а B — это любая точка на l. BP и BQ — перпендикуляры из B к плечам ∠A (см. рисунок). Покажите, что

(i) ∆APB ≅ ∆AQB
(ii) BP = BQ или B равноудалены от плеч ∠A.
Решение:     (i) В ∆APB и ∆AQB
∠P = ∠Q = 90° (Дано)
∠PAB = ∠QAB (Учитывая, что «l» делит пополам ∠A)
AB = AB (Общий)
∴ По AAS, ∆APB ≅ ∆AQB. Proved
(ii) BP = BQ (c.p.c.t.) Proved.

Пример 19:     На данном рисунке AC = AE, AB = AD и ∠BAD = ∠EAC. Докажите, что ВС = DE.

Решение:     В ∆ABC и ∆ADE

Пример 20:     В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в точке C M является серединой гипотенузы AB. C соединяется с M и доводится до точки D так, что DM = CM. Точка D соединяется с точкой B (см. рисунок). Покажите, что:

(i) ∆AMC ≅ ∆BMD
(ii) ∠DBC прямой угол
(iii) ∆DBC ≅ ∆ACB
(iv) CM = AB
Решение:    (i)
AM = MB     (M — середина AB)
∠1 = ∠2       (вертикально противоположные углы)
CM = MD (данные)
∴ По SAS, ∆AMC ≅ ∆MBD Доказано.
(ii) ∠ACM = ∠MDB    (c.p.c.t. (i))
Это альтернативные углы
∴ DB || AC
Итак, ∠DBC + ∠ACB = 180°
(внутренние углы)
⇒ ∠DBC + 90° = 180°
⇒ ∠DBC = 90° Доказано.
(iii)  In ∆DBC и ∆ACB
BC = BC (      общий)
∠DBC = ∠ACB = 90°
DB = AC      (c.p.c.t. части (i))
∆ACB По SAS, ∉ . Доказано
(iv) DC = AB      (c.p.c.t. части (iii))
Но CM = DC       (дано)
∴ CM = AB Доказано.

Использование критериев соответствия и подобия для треугольников для решения задач и доказательства отношений в геометрических фигурах — Common Core: High School

All Common Core: High School — Geometry Resources

6 диагностических тестов 114 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Common Core: High School — Справка по геометрии » Конгруэнтность » Используйте критерии конгруэнтности и подобия треугольников для решения задач и доказательства отношений в геометрических фигурах

Выберите ответ, описывающий конгруэнтный треугольник

Возможные ответы:

Треугольники, у которых 2 из 3 соответствующих сторон имеют одинаковую длину, но различаются соответствующие углы

Треугольники с соответствующими углами одной меры, но с разными сторонами

Треугольники с соответствующими сторонами одинаковой длины, но с разными углами

Треугольники с соответствующими сторонами одинаковой длины и соответствующими углами одинаковой меры

Правильный ответ :

Треугольники с соответствующими сторонами одинаковой длины и соответствующими углами одинаковой меры

Объяснение:

Чтобы треугольники были конгруэнтными, все соответствующие углы и стороны должны быть одинаковой величины. Соответствующие стороны треугольников — это стороны одной меры, находящиеся в одинаковых положениях в разных треугольниках. Это показано красным на двух треугольниках ниже. Соответственные углы треугольников — это углы одной и той же меры, находящиеся в одном и том же положении в разных треугольниках. Это показано синим цветом на двух треугольниках ниже.

 

 

Сообщить об ошибке

Выберите ответ, описывающий подобные треугольники

 

Возможные ответы:

Треугольники с соответствующими сторонами одинаковой длины и соответствующими углами одинаковой меры

Треугольники с соответствующими углами одинаковой меры, но различными соответствующими сторонами

Треугольники, у которых 2 из 3 соответствующих сторон имеют одинаковую длину, но разные соответствующие углы

Треугольники, у которых соответствующие стороны имеют одинаковую длину, но разные соответствующие углы

Правильный ответ:

Треугольники с соответствующими углами одной меры, но с разными сторонами

Объяснение:

Фигуры, как правило, похожи, если они имеют одинаковую форму, но разные размеры. Если бы они были одинакового размера, они были бы конгруэнтны. Чтобы иметь одинаковую форму, даже если размеры различаются, форма должна иметь одинаковые углы. Возьмем, к примеру, два треугольника ниже, они имеют равные углы, но разные размеры. Следовательно, эти треугольники подобны.

 

Сообщить об ошибке

Верно или неверно: при рассмотрении прямоугольных треугольников, если два прямоугольных треугольника имеют конгруэнтные гипотенузу и конгруэнтный катет, то эти треугольники конгруэнтны.

Возможные ответы:

Неверно

Верно

Правильный ответ:

Верно

Пояснение:

Если два прямоугольных треугольника имеют конгруэнтные катет и гипотенузу, то можно сказать, что у них две конгруэнтные стороны. Поскольку оба эти треугольника прямоугольные, мы также знаем, что у них конгруэнтный угол (их 9угол 0 градусов). Таким образом, эти два треугольника имеют две пары соответствующих конгруэнтных сторон и одну пару соответствующих конгруэнтных углов. По теореме SAS эти прямоугольные треугольники конгруэнтны. Использование того факта, что два прямоугольных треугольника конгруэнтны, когда у них конгруэнтны гипотенуза и конгруэнтный катет, называется теоремой HL.

 

Сообщить об ошибке

Верно или неверно: треугольники, у которых все три соответствующие стороны равны по длине, могут по-прежнему иметь разные соответствующие углы, поэтому не гарантируется, что треугольники со всеми тремя соответствующими сторонами одинаковой длины будут подобны или конгруэнтны.

Возможные ответы:

Неверно

Верно

Правильный ответ:

Неверно

Объяснение:

Теорема Сторона-Сторона-Сторона (SSS) утверждает, что два треугольника конгруэнтны, если три соответствующие стороны каждого треугольника конгруэнтны. Если подумать, то для того, чтобы все три соответствующие стороны были равны, они должны совмещаться под одинаковыми углами, что делает эти треугольники конгруэнтными. Подробное доказательство, основанное на подходе Филона, приведено ниже для лучшего объяснения. Обратите внимание, что для этой теоремы существуют более сильные доказательства, но визуально это доказательство лучше всего подходит для этого уровня понимания теоремы.

Доказательство: 

(Мы хотим показать, что если все три стороны двух треугольников равны, то эти два треугольника конгруэнтны)

Рассмотрим два треугольника  и . Предположим следующее:

Поскольку мы можем повернуть треугольник так, чтобы он совпадал и . Для упрощения мы будем называть этот общий отрезок прямой.

 

Теперь проведем линию от вершины к вершине . Это дает нам два равнобедренных треугольника. Напомним из определения равнобедренного треугольника, что две смежные стороны и углы равны. Так и .

Затем мы можем сделать вывод, что . Теперь мы знаем, что по крайней мере две стороны двух заданных треугольников равны и угол, заключенный между этими сторонами, равен между двумя треугольниками. По теореме SAS эти два треугольника конгруэнтны.

 

 

Сообщить об ошибке

Рассмотрим два треугольника ниже (ABE и CBE). Учитывая, что стороны  и  равны и делят пополам , докажите, что треугольники ABE и CBD конгруэнтны. равны и делятся пополам, докажите, что треугольники ABE и CBD равны.

Возможные ответы:

Доказательство:

Доказательство:

Доказательство:

Правильный ответ:

Доказательство:

. Объяснение:

Объяснение: Для объяснения следуйте приведенному ниже подробному доказательству:

 

Сообщить об ошибке

Треугольник  похож на треугольник . Решите для  и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить для  и  ниже, нам нужно использовать тот факт, что подобные треугольники пропорциональны. Это позволяет нам установить отношения длин сторон для решения неизвестных переменных:

Чтобы найти:

Таким образом, мы можем установить следующие отношения

избавиться от дробей

So 

 

To solve for :

So we can set up the following ratios

 

 by cross-multiplying to get rid of the fractions

 

Так

Сообщить об ошибке

Рассмотрим группу отрезков ниже. находится параллельно . Какая связь между треугольниками  и ?

Возможные ответы:

Нет родства

Конгруэнтны

Сходны

Правильный ответ:

Сходны

Объяснение:

Поскольку  параллелен , точка пересечения  образует две пары противоположных вертикальных углов. Теперь мы можем сказать, что  и  равны по определению противоположных вертикальных углов. Обратите внимание, что  и являются альтернативными внутренними углами. По определению, .

У нас есть два равных соответствующих угла. Теорема об угле-угле (AA) для подобных треугольников гласит, что если два треугольника имеют две пары конгруэнтных соответствующих углов, треугольники подобны. Итак, по теореме AA треугольники  и  подобны.

Сообщить об ошибке

 и параллельны. Треугольники и треугольник подобны? Если да, то решить для .

Возможные ответы:

Нет, эти треугольники не похожи

. Не хватает информации, чтобы определить, похожи ли эти треугольники

Правильный ответ:

. Объяснение:

Поскольку  параллелен , точка пересечения  образует две пары противоположных вертикальных углов. Теперь мы можем сказать, что  и  равны по определению противоположных вертикальных углов. Обратите внимание, что  и являются альтернативными внутренними углами. По определению, . У нас есть два равных соответствующих угла. Теорема об угле-угле (AA) для подобных треугольников гласит, что если два треугольника имеют две пары конгруэнтных соответствующих углов, треугольники подобны. Итак, по теореме AA треугольники  и  подобны. Чтобы решить для , мы должны использовать тот факт, что подобные треугольники пропорциональны. Это позволяет нам установить отношения длин сторон для решения:

Мы можем установить следующие соотношения:

Крестный умножение, чтобы избавиться от фракций

, так что длина

Сообщите о ошибке

рассмотреть параллель. Из того, что вы знаете о параллелограммах и наших теоремах о конгруэнтности треугольников, докажите, что треугольники  и  конгруэнтны.

Возможные ответы:

Доказательство:

Доказательство:

Доказательство:

Правильный ответ:

Доказательство:

3 9 Объяснение:

Сообщить об ошибке

Верно или неверно: приведенные ниже треугольники подобны, но НЕ конгруэнтны.

No related posts.