Формула куба разложение: § Как использовать разность кубов a³

Содержание

§ Как использовать разность кубов a³

Как применять разность квадратов
a² − b² Как применять квадрат суммы
(a + b)² Как применять квадрат разности
(a − b)² Как применять куб суммы
(a + b)³ Как применять куб разности
(a − b)³ Как применять сумму кубов
a³ + b³ Как применять разность кубов
a³ − b³

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Важно!

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону.

(a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³

Как разложить на множители разность кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что «27а³» — это «(3а)³», значит, для формулы разности кубов вместо «a» мы используем «3a».

Используем формулу разности кубов. На месте «a³» у нас стоит «27a³», а на месте «b³», как и в формуле, стоит «b

3».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов «(x − 1)(x² + x + 1)» напоминает правую часть формулы разности кубов «a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)», только вместо «a» стоит «x», а на месте «b» стоит «1».

Используем для «(x − 1)(x² + x + 1)» формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить «(y² − 1)(y⁴ + y² + 1)» с правой частью формулы разности кубов
«a³ − b

3 = (a − b)(a² + ab + b²)», то можно понять, что на месте «a» из первой скобки стоит «y², а на месте «b» стоит «1».

Важно!

Одночлены, которые стоят на месте «a» или «b» могут стоять в степени.

Например, в рассматриваемом примере на месте «a» стоит «y²». Это означает, что именно «y²» мы рассматриваем как «a».

Представим скобку «(y⁴ + y² + 1)» таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы разности кубов.

Используем формулу разности кубов и решим пример до конца.

Как применять разность квадратов
a² − b² Как применять квадрат суммы
(a + b)² Как применять квадрат разности
(a − b)² Как применять куб суммы
(a + b)³ Как применять куб разности

(a − b)³ Как применять сумму кубов
a³ + b³ Как применять разность кубов
a³ − b³

Чему равна разность кубов: формула, доказательство, примеры

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel. ru Математика Алгебра Разность кубов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Формула разности кубов
Доказательство формулы
Примеры задач

Формула разности кубов

Разность кубов чисел/выражений равняется произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Полный квадрат суммы выглядит следующим образом: (a + b)² = a² + 2ab + b². В нашем случае во второй скобке напротив второго слагаемого нет множителя 2, поэтому выражение является неполным.

Формула верна и в обратную сторону:

(a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³

Примечание: a³ – b³ ≠ (a – b)³

Доказательство формулы

Достаточно просто умножить скобку (a – b) на (a² + ab + b²), чтобы убедиться в том, что выражение верно, т. е. пойти от обратного:

(a – b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³.

Примеры задач

Задание 1

Представьте в виде произведения множителей выражение: (7x)³ – 5³.

Решение
(7x)³ – 5³ = (7x – 5)((7x)² + 7x ⋅ 5 + 5²) = (7x – 5)(49x² + 35x + 25)

Задание 2
Представьте выражение 512x³ – 27y³ в виде разности кубов и разложите его на множители.

Решение
512x³ – 27y³ = ((8x)³ – (3y)³) = (8x – 3y)((8x)² + 8x ⋅ 3y + (3y)²) = (8x – 3y)(64x² + 24xy + 9y²)

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

В математике полное алгебраическое тождество в кубе $a$ плюс $b$ называется тремя способами.

Правило куба суммы двух слагаемых.
Куб биномиального тождества.
Специальная формула биномиального произведения.

Использование

В математике правило куба суммы двух слагаемых используется в качестве формулы в следующих двух случаях.

Разложение

Куб суммы двух слагаемых расширяется как сумма кубов обоих слагаемых и утроенное произведение обоих слагаемых и их суммы. 93$

Доказательства

Алгебраическое тождество целого куба $a$ плюс $b$ может быть доказано математически двумя следующими способами.

Алгебраический метод

Научитесь разлагать формулу полного куба $a$ плюс $b$ произведением трех двухчленов с базисом.

Подробнее

Геометрический метод

Узнайте, как геометрически доказать алгебраическое тождество целого куба $a$ плюс $b$ по объему куба.

92$

Как правило, $a$ минус $b$ целое алгебраическое тождество в кубе называется в математике следующими тремя способами.