Формула сокращение: Формулы сокращенного умножения 💣

Содержание

Формулы сокращенного умножения 💣

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

 
  1. Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.

  2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

  3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.

  4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.

  5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.

  6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

  7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a — b) * (a + b) = a2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a

2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Поехали:

  1. Используя искусственный метод, прибавим и отнимем одно и тоже a * b.

    + a * b — a * b = 0

    a2 — b2 = a2 — b2 + ab — ab

  1. Сгруппируем иначе: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2

  2. Продолжим группировать: a2 — a * b — b2 +a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)

  3. Вынесем общие множители за скобки:

    (a2 — a * b) + (a * b — b2) = a *(a — b) + b *(a — b)

  1. Вынесем за скобки (a — b). a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)

  2. Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)

  3. Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — b * a — b * b = a2 — b2.

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

 

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два. 

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 + … + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+ 2 * an-1 * an

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2

* b + an-3 * b2 + … + a * bn-2 + bn-1).

Для четных показателей можно записать так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2*·m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решаем:

воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10)2 = 552 + 2 * 55 * 10 + 102 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с3 – 8 = (4 * с)3 – 23 = (4 * с – 2)((4 * с)2 + 4 * с * 2 + 22) = (4 * с – 2)(16 * с2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y — x) * (7 * y + x).

Как решаем:

  1. Произведем умножение: (7 * y — x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x — x * 7 * y — x * x = 49 * y2 + 7 * y * x — 7 * y * x — x2 = 49 * y2 — x2.
  2. Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y — x) * (7 * y + x) = (7 * y)2 — x2 = 49 * y2 — x2.

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂



Запишите вашего ребенка на увлекательные уроки математики в детскую школу Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. 

Формулы сокращенного умножения

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.

Предварительные навыки

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить.

Таковым к примеру является случай (2+ 3y)2.

Выражение (2+ 3y)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2+ 3y)

(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(2x + 3y)2 = (2x + 3y)(2x + 3y) = 4x+ 6xy + 6xy + 9y2 = 4x+ 12xy + 9y2

То есть выражение (2+ 3y)2 равно 4x2 + 12xy + 9y2

(2x + 3y)2 = 4x+ 12xy + 9y

2

Решим аналогичный пример, который попроще:

(a + b)2

Выражение (a + b)2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

Выполним это умножение:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = aab + ab + b2 = a+ 2ab + b2

То есть выражение (a + b)2 равно a+ 2ab + b2

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

Оказывается, что случай (a + b)2 можно распространить для любых a и b.

Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y)2 можно решить с помощью тождества (a + b)2 = a+ 2ab + b2. Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y)2. В данном случае переменной a соответствует член 2x, а переменной b соответствует член 3y

a = 2x

b = 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b)2 = a+ 2ab + b2, но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 × 2× 3y + (3y)2 = 4x+ 12xy + 9y

2

Как и в прошлый раз получили многочлен 4x+ 12xy + 9y2. Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

(2x + 3y)2 = 4x+ 12xy + 9y2

Тождество (a + b)2 = a+ 2ab + b2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3)2. Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3)2 = 52 = 25

Второй способ:

(2 + 3)2 = 22 + 2 × 2 × 3 + 32 = 4 + 12 + 9 = 25


Пример 2. Преобразовать выражение (5+ 3)2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab + b2

(5a + 3)2 = (5a)+ 2 × 5a × 3 + 32 = 25a2 + 30a + 9

Значит, (5a + 3)2 = 25a2 + 30a + 9.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

(5a + 3)2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a2 + 15a + 15a + 9 = 25a2 + 30a + 9

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a2. Если увеличить сторону квадрата на b, то площадь будет равна (a + b)2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b. У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b, то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a2. Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab. Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

a2 + ab + ab + b2

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab, которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab». Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab. В результате получается выражение a+ 2ab b2, которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

(a + b)2 = a+ 2ab b2


Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b)2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

(a − b)2 = (a − b)(a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a2 − 2ab + b2

(a − b)2 = (a − b)(a − b) = a− ab − ab b2 = a2 − 2ab + b2

Пример 1. Преобразовать выражение (7− 5)2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(7− 5)2 = (7x)− 2 × 7x × 5 + 52 = 49x2 − 70x + 25

Значит, (7− 5)2 = 49x2 − 70x + 25.

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

(7− 5)2 = (7− 5)(7− 5) = 49x2 − 35x − 35x + 25 = 49x2 − 70+ 25.

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a2, то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b, будет равна (a − b)2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b. У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна − b, поскольку старая сторона a уменьшилась на b. Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b

a2ab − (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

a2ab − ab + b2

Приведем подобные слагаемые:

a2 − 2ab + b2

В результате получается выражение a2 − 2ab + b2, которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y)2, и мы хотим воспользоваться формулой (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, то вместо b нужно подставлять 2y, а не −2y. Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

(5x − 2y)2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y)2 = (5x)2 − 2 × 5x × 2y + (2y)2 = 25x2 − 20xy + 4y2

Если подставлять −2y, то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

(5x − 2y)2 = (5x + (−2y))2

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

(5x + (−2y)2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y))2 = (5x)2 + 2 × 5x × (−2y) + (−2y)2 = 25x2 − 20xy + 4y2

Исключением могут быть выражения вида (− (−y))2. В данном случае, применяя формулу (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 вместо b следует подставить (−y)

(− (−y))2 = x2 − 2 × × (−y) + (−y)2 = x2 + 2xy + y2

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y), удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y. Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y)2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2


Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

(a − b)3 = a− 3a2b + 3ab− b3

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.  

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения. 

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

(a + b)3

Выражение (a + b)3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (b)

(a + b)3 = (b)(b)(b)

Но выражение (a + b)3 также может быть записано как (b)(b)2

(a + b)3 = (b)(b)2

При этом сомножитель (b)2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a+ 2ab + b2.

Тогда (a + b)3 можно записать как (b)(a+ 2ab + b2).

(a + b)3 = (b)(a+ 2ab + b2)

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

(a + b)3 = (b)(a+ 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a+ 3a2b + 3abb3

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

(a − b)3 = (a − b)(a2 − 2ab + b2) = a3 − 2a2b + ab2a2b + 2ab2b3 = a− 3a2+ 3ab− b3


Пример 1. Преобразуйте выражение (+ 1)3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

(+ 1)3 = x3 + 3 × x2 × 1 + 3 × x × 12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1

Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(+ 1)3 = (+ 1)(+ 1)(+ 1) = (+ 1)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2x2 + x + x2 + 2x + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1


Пример 2. Преобразовать выражение (6a+ 3b3)3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(a + b)3 = a+ 3a2b + 3abb3

(6a2 + 3b3)3= (6a2)+ 3 × (6a2)2 × 3b3 + 3 × 6a× (3b3)2 + (3b3)3 = 216a6 + 3 × 36a4 × 3b+ 3 × 6a× 9b6 + 27b9


Пример 3. Преобразовать выражение (n2 − 3)3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a− 3a2b + 3ab− b3

(n2 − 3)3 = (n2)3 − 3 × (n2)2 × 3 + 3 × n2 × 32 − 33 = n6 − 9n4  + 27n2 − 27


Пример 4. Преобразовать выражение (2x− x3)3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(a − b) = a− 3a2b + 3ab− b3

(2x− x3)3 = (2x2)− 3 × (2x2)2 × x3 + 3 × 2x× (x3)− (x3)3 =
8x6 − 3 × 4x4 × x3 + 3 × 2x× x6x9 =
8x6 − 12x7 + 6x8x9


Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

(a − b)(a + b)

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

(a − b)(a + b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2

То есть выражение (a − b)(a + b) равно a2 − b2

(a − b)(a + b) = a2 − b2

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b)(a + b) можно распространить для любых a и b. Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a2 − b2 имеем:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)2 − 52

Вычислим правую часть, получим 4x2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x)2 − 52 = 4x2 − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a + b) = a− b2. У нас получится тот же результат 4x2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x− 10x + 10x − 25 = 4x2 − 25


Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a2 − b2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x)2 − (5y)2 = 16x2 − 25y2


Пример 3. Выполнить умножение (2+ 3b)(2− 3b)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a2 − b2

(2a + 3b)(2a − 3b) = (2a)2 − (3b)2 = 4a2 − 9b2

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a2 − b2 разность располагается раньше.

Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b) в (a + b) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b)(a + b), так и (a + b)(a − b). Результат по прежнему будет равен a2 − b2, поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Так и в данном примере сомножители (2a + 3b) и (2a − 3b) можно записать как (2a + 3b)(2a − 3b), так и (2a − 3b)(2a + 3b). Результат всё так же будет равен 4a− 9b2.

Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

(a − b)(a + b) = a2 − b2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x)2 − 72 = 9x2 − 49


Пример 4. Выполнить умножение (x− y3)(x2 + y3)

(a − b)(a + b) = a2 − b2

(x− y3)(x2 + y3) = (x2)2 − (y3)2 = x4y6


Пример 5. Выполнить умножение (−5− 3y)(5x − 3y)

В выражении (−5− 3y) вынесем за скобки −1, тогда исходное выражение примет следующий вид:

(−5− 3y)(5x − 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:

(−5− 3y)(5− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)2 − (3y)2)

Разность квадратов была заключена в скобки. Если этого не сделать, то получится, что −1 умножается только на (5x)2. А это приведет к ошибке и изменению значения исходного выражения.

Далее вычисляем выражение в скобках:

(−5− 3y)(5− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)2 − (3y)2) = −1(25x− 9y2)

Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:

(−5− 3y)(5− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x)2 − (3y)2) =
−1(25x− 9y2) = −25x+ 9y2


Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

(a − b)(a2 + ab + b2)

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a2 + ab + b2) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a2 + ab + b2. Он похож на обычный квадрат суммы a2 + 2ab + b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x2 + 6xy + 9y2 является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y.

Действительно, первый член выражения 4x2 + 6xy + 9y2, а именно 4x2 является квадратом выражения 2x, поскольку (2x)2 = 4x2. Третий член выражения 4x2 + 6xy + 9y2, а именно 9y2 является квадратом выражения 3y, поскольку (3y)2 = 9y2. Член находящийся в середине 6xy, является произведением выражений 2x и 3y.

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a2 + ab + b2

(a − b)(a2 + ab + b2) = a(a2 + ab + b2) − b(a2 + ab + b2) =
a3 + a2b + ab2a2bab2b3 = a3b3

То есть выражение (a − b)(a2 + ab + b2) равно a3b3

(a − b)(a2 + ab + b2) = a3b3

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2)

Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y. Второй многочлен 4x2 + 6xy + 9y2 это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a2 + ab + b2) = a3b3. В нашем случае умножение (2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) можно заменить на разность кубов 2x и 3y

(2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = (2x)3 − (3y)3 = 8x− 27y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(aab b2) = a− b3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x − 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = 2x(4x2 + 6xy + 9y2) − 3y(4x2 + 6xy + 9y2) =
8x3 + 12x2y + 18xy2 − 12x2y − 18xy2 − 27y3 = 8x3 − 27y3


Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x2)

Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a2 + ab + b2) = a3b3

(3 − x)(9 + 3x + x2) = 33 − x3 = 27 − x3


Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

(a + b)(a2 − ab + b2)

Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a2 − ab + b2) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a2 − ab + b2. Он похож на обычный квадрат разности a2 − 2ab + b2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x2 − 6xy + 9y2 является неполным квадратом разности выражений 2x и 3y. 

(2x)2 − 2x × 3y + (3y)2 = 4x2 − 6xy + 9y2

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a2 − ab + b2

(a + b)(a2 − ab + b2) = a(a2 − ab + b2) + b(a2 − ab + b2) =
a3 − a2b + ab2 + a2bab2 + b3 = a3 + b3

То есть выражение (a + b)(a2 − ab + b2) равно a3 + b3

(a + b)(a2 − ab + b2) = a3 + b3

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x− 6xy + 9y2)

Первый многочлен (2x + 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y, а второй многочлен 4x2 − 6xy + 9y2 это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b)(a2ab + b2) = a3 + b3. В нашем случае умножение (2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y

(2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) = (2x)3 + (3y)3 = 8x+ 27y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a− ab b2) = ab3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y2) = 2x(4x2 − 6xy + 9y2) + 3y(4x2 − 6xy + 9y2) =
8x3 − 12x2y + 18xy2 + 12x2y − 18xy2 + 27y3 = 8x3 + 27y3


Пример 2. Выполнить умножение (2y)(4x2 − 2xy + y2)

Первый многочлен (2y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x2 − 2xy + y2) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a− ab b2) = ab3

(2y)(4x2 − 2xy + y2) = (2x)3 + y3 = 8x3 + y3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a− ab b2) = ab3. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

(2y)(4x2 − 2xy + y2) = 2x(4x2 − 2xy + y2) + y(4x2 − 2xy + y2) = 
8x3 − 4x2y + 2xy2 + 4x2y − 2xy2 + y3 = 8x3 + y3


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Преобразуйте выражение (m + n)2 в многочлен.

Решение:

(m + n)2 = m2 + 2mn + n2

Задание 2. Преобразуйте выражение (x + 8)2 в многочлен.

Решение:

(x + 8)2 = x2 + 2 × x × 8 + 82 = x2 + 16x + 64

Задание 3. Преобразуйте выражение (2x2 + 3x3)2 в многочлен.

Решение:

(2x2 + 3x3)2 = (2x2)2 + 2 × 2x2 × 3x3 + (3x3)2 = 4x4 + 12x5 + 9x6

Задание 4. Преобразуйте выражение (5a + 5)2 в многочлен.

Решение:

(5a + 5)2 = (5a)2 + 2 × 5a × 5 + 52 = 25a2 + 50a + 25

Задание 5. Преобразуйте выражение (9 − x)2 в многочлен.

Решение:

(9 − x)2 = 92 − 2 × 9 × x + x2 = 81 − 18x + x2

Задание 6. Преобразуйте выражение (x − 25)2 в многочлен.

Решение:

(x − 25)2 = x2 − 2 × x × 25 + 252 = x2 − 50x + 625

Задание 7. Преобразуйте выражение (3x2y3)2 в многочлен.

Решение:

(3x2y3)2 = (3x2)2 − 2 × 3x2 × y3 + ( y3)2 = 9x4 − 6x2y3 + y6

Задание 8. Выполните умножение (x − y)(x + y)

Решение:

(x − y)(x + y) = x2 − y2

Задание 9. Выполните умножение (2x − y)(2x + y)

Решение:

(2x − y)(2x + y) = (2x)2 − y2 = 4x2 − y2

Задание 10. Выполните умножение (7 + 3y)(3y − 7)

Решение:

(7 + 3y)(3y − 7) = (3y)2 − 72 = 9y2 − 49

Задание 11. Выполните умножение (x2 − 5)(x2 + 5)

Решение:

(x2 − 5)(x2 + 5) = (x2)2 − 52 = x4 − 25

Задание 12. Выполните умножение (a3b2)(a3 + b2)

Решение:

(a3b2)(a3 + b2) = (a3)2 − (b2)2 = a6b4

Задание 13. Выполните умножение (5a2 + 2b3)(5a2 − 2b3)

Решение:

(5a2 + 2b3)(5a2 − 2b3) = (5a2)2 − (2b3)2 = 25a4 − 4b6

Задание 14. Выполните умножение (9xy2)(y2 + 9x)

Решение:

(9xy2)(y2 + 9x) = (9x)2 − (y2)2 = 81x2y4

Задание 15. Выполните умножение (2 − x)(4 + 2x + x2)

Решение:

(2 − x)(4 + 2x + x2) = 2− x3 = 8 − x3

Задание 16. Выполните умножение (3 − 2)(9 + 6 + 4)

Решение:

(3 − 2)(9 + 6 + 4) = 3− 23 = 27 − 8 = 19

Задание 17. Выполните умножение (4x + 1)(16x2 − 4x + 1)

Решение:

(4x + 1)(16x2 − 4x + 1) = (4x)3 + 13 = 64x+ 1


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

      Формулы сокращенного умножения применяются в математике, а точнее в алгебре, для быстрого получения результата некоторых алгебраических выражений. Получаются формулы сокращенного умножения из алгебраических правил умножения многочленов. Применение формул сокращенного умножения позволяет более быстро решать математические задачи, производить сокращение громоздких алгебраических выражений. Правила алгебры разрешают произвольно выполнять преобразования выражений по формулам сокращенного умножения: можно левую часть равенства представить в виде правой части или правую часть равенства преобразовать в виде левой части равенства. Формулы сокращенного умножения рекомендуется знать наизусть, поскольку они часто применяются при решении задач и уравнений по алгебре, математике. Наиболее часто встречаются первые три формулы сокращенного умножения.

      Рекомендуется сохранить приведенный рисунок на свой компьютер в качестве шпаргалки по математике, алгебре. Представленные на рисунке формулы не являются полным перечнем формул сокращенного умножения. В алгебре существуют и другие формулы сокращенного умножения и деления. Все эти формулы имеют свои собственные названия. Рассмотрим более подробно названия приведенных формул сокращенного умножения.

      Первым [1] на картинке представлен квадрат суммы. Квадрат суммы равняется квадрату первого члена двучлена плюс удвоенное произведение первого члена на второй член двучлена плюс квадрат второго члена двучлена:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

      Вторая [2] формула сокращенного умножения называется квадрат разности. Квадрат разности равняется квадрату первого члена двучлена минус удвоенное произведение первого члена на второй член двучлена плюс квадрат второго члена двучлена. Эта формула очень похожа на формулу квадрата суммы и отличается только знаком перед удвоенным произведением:

(a — b)² = a² — 2ab + b²

      В общем виде квадрат суммы и квадрат разности можно записать так:

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

      Формула номер три [3] называется разность квадратов. Разность квадратов равняется сумме двух первых членов двучлена умноженной на разность первого и второго членов двучлена:

a² — b² = (a + b)·(a – b)

      Четвертая [4] формула называется куб суммы. Куб суммы равняется сумме кубов первого и второго членов двучлена, утроенных произведений квадрата первого члена двучлена на второй и квадрата второго члена двучлена на первый:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3b²a + b³

      Пятая [5] формула похожа на куб суммы и называется куб разности. Куб разности равен кубу первого члена двучлена минус утроенное произведение квадрата первого члена двучлена на второй плюс утроенное произведение первого члена двучлена на квадрат второго минус куб второго члена двучлена:

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3b²a — b³

      Одной формулой куб суммы и куб разности можно записать, используя знаки плюс-минус:

(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3b²a ± b³

      Шестая [6] формула называется сумма кубов. Сумма кубов равняется сумме первого и второго членов двучлена умноженной на квадрат первого члена двучлена минус произведение первого и второго членов двучлена плюс квадрат второго члена двучлена:

a³ + b³ = (a + b)·( a² — 2ab + b²)

      Седьмая [7] формула похожа на предыдущую и называется разность кубов. Разность кубов равняется разности первого и второго членов двучлена умноженной на квадрат первого члена двучлена плюс произведение первого и второго членов двучлена плюс квадрат второго члена двучлена:

a³ — b³ = (a — b)·( a² + 2ab + b²)

      Одной формулой куб суммы и куб разности можно записать, используя знаки плюс-минус и минус-плюс.

Если вам понравилась публикация и вы хотите знать больше, помогите мне в работе над другими материалами.

      9 августа 2010 года — 22 сентября 2019 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк.
Все права защищены.

Сокращение простой формулы IF в Xcel



Каков простой способ развернуть следующую формулу, чтобы она применялась к строкам 2-20 моей электронной таблицы:

=SUM(IF(B2=1,M2),IF(B3=1,M3),IF(B4=1,M4))
excel excel-formula
Поделиться Источник NancyQ     31 января 2018 в 23:51

3 ответа


  • Сокращение данных через IMPORTRANGE

    Я пытаюсь сделать некоторое сокращение данных в моем Google Sheets, используя следующую формулу IMPORTRANGE: =query(importrange(https://docs.google.com/a/ap.averydennison.com/spreadsheets/d/1xz1lXY-w5Ii_aWqVAhHgRCmeoes9ltSUtibE4kzhMHA/edit#gid=2051232966,SF_Flex_Rel!a:l), select * where Col1 =…

  • Объедините две вложенные формулы IF

    У меня есть следующие две формулы excel, которые я пытаюсь объединить в одно утверждение. =IF(U1=,,IF(AND(T1=SHIFT,U1>=210,I1=BURNABY),SHOT20,SHOT10)) =IF(U1=,,IF(AND(T1=SHIFTP,U1<480),SHOT10,SHOT15)) Когда я попробовал, я получил ошибку, что я делаю слишком много аргументов.



1

= SUMPRODUCT( ( B2:B20 = 1 ) * M2:M20 )

или

= SUMIF(B2:B20, 1, M2:M20)

Поделиться Slai     01 февраля 2018 в 00:24



0

=INDEX($M$2:$M$20,MATCH(1,$B$2:$B$20,0))

Поделиться Variatus     01 февраля 2018 в 00:13



0

Эта формула сложит строки в столбце M, если та же строка столбца B = 1.

SUMIF(B2:B20,1,M2:M20)

Поделиться Karl Kristjansson     01 февраля 2018 в 00:31


  • Выпуск Формулы Crystal report в if statement

    Я создал отчет crystal и добавил поле Формулы (stock). Это формула, которую я добавил в это поле (базовый синтаксис): if not IsNull ({LigneBonLivraison.Quantite}) Then {@stock} = {Article.StockActuel} — {LigneBonLivraison.Quantite} else {@stock} = {Article.StockActuel} Но я получаю эту ошибку A…

  • Вложенные формулы IF

    У меня есть электронная таблица Excel 2013, в которой я пытаюсь вложить 2 формулы в одну ячейку. У меня есть 1-я формула: это = IF (B2+15>N2, X, Y), где B2 & N2-даты. Мне нужно добавить еще одну формулу, где N2 пуст, что-то вроде =IF(B2 Не могли бы вы порекомендовать какое-нибудь решение?


Похожие вопросы:


Получение имени формулы Crystal Reports внутри формулы

Можно ли использовать имя формулы Crystal Reports внутри самой формулы (в Кристалле 8.5)? Например, предположим, что у меня есть такие формулы, как: @MOISTURE @PROTEIN @ACIDITY @PROPERTYX @PROPERTYY…


Excel Условное Форматирование-‘IF’ Синтаксис Формулы

Я хотел бы использовать эту формулу в качестве условной формулы форматирования: =IF(COUNTIFS(AccountsMonthsOrdered[Account],’Account Summary 2013′!$A$1,AccountsMonthsOrdered[Month],’Account Summary. ..


Преобразование формулы excel IF в Формулу Powerpivot DAX

Я изо всех сил пытаюсь найти решение для преобразования формулы из excel в powerpivot. Это относительно просто в excel. Я хочу вернуть значение, которое говорит >8000 или <8000 в зависимости от…


Сокращение данных через IMPORTRANGE

Я пытаюсь сделать некоторое сокращение данных в моем Google Sheets, используя следующую формулу IMPORTRANGE:…


Объедините две вложенные формулы IF

У меня есть следующие две формулы excel, которые я пытаюсь объединить в одно утверждение. =IF(U1=,,IF(AND(T1=SHIFT,U1>=210,I1=BURNABY),SHOT20,SHOT10))…


Выпуск Формулы Crystal report в if statement

Я создал отчет crystal и добавил поле Формулы (stock). Это формула, которую я добавил в это поле (базовый синтаксис): if not IsNull ({LigneBonLivraison.Quantite}) Then {@stock} =…


Вложенные формулы IF

У меня есть электронная таблица Excel 2013, в которой я пытаюсь вложить 2 формулы в одну ячейку. У меня есть 1-я формула: это = IF (B2+15>N2, X, Y), где B2 & N2-даты. Мне нужно добавить еще одну…


Комбинируйте формулы VLOOKUP и IF

У меня есть следующие две формулы. Я хочу иметь одну формулу для одного столбца вместо использования двух. =VLOOKUP(A2,eodcpos!B:I,8,FALSE =IF(U2=Long,B,S) Я использую первый, чтобы внести значение…


Основы формулы массива вместо вложенного if-else

Я прочесал сайт в поисках формул массива, но меня беспокоит какая-то основная проблема формулы массива, которую я не могу понять. в следующей таблице перечислены цены и различные отсечки для оптовых…


IF statement формулы

Нужна помощь в создании формулы для расчета количества дней хранения. Прилагаемое изображение электронной таблицы, которую я использую, показывает массив дат. Мне нужна формула в столбце E Live Days…

ЛЕВСИМВ, ЛЕВБ (функции ЛЕВСИМВ, ЛЕВБ)

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функций ЛЕВ ЛЕВБ и ЛЕВБ в Microsoft Excel.

Описание

Функция ЛЕВСИМВ возвращает первый символ или несколько первых символов текстовой строки на основе заданного числа символов.

Функция ЛЕВБ возвращает первый символ или несколько первых символов текстовой строки на основе заданного числа байтов.

Важно: 

  • Эти функции могут быть доступны не на всех языках.

  • Функция ЛЕВБ отсчитывает по два байта на каждый символ, только если языком по умолчанию является язык с поддержкой двухбайтовой кодировки. В противном случае функция ЛЕВБ работает так же, как функция ЛЕВСИМВ, и отсчитывает по одному байту на каждый символ.

К языкам, поддерживающим БДЦС, относятся японский, китайский (упрощенное письмо), китайский (традиционное письмо) и корейский.

Синтаксис

ЛЕВСИМВ(текст;[число_знаков])

ЛЕВБ(текст;[число_байтов])

Аргументы этих функций описаны ниже.

  • Текст    Обязательный. Текстовая строка, содержащая символы, которые требуется извлечь.

  • Число_знаков    Необязательный. Количество символов, извлекаемых функцией ЛЕВСИМВ.

    • «Число_знаков» должно быть больше нуля или равно ему.

    • Если «число_знаков» превышает длину текста, функция ЛЕВСИМВ возвращает весь текст.

    • Если значение «число_знаков» опущено, оно считается равным 1.

  • Num_bytes     Необязательный. Количество символов, извлекаемых функцией ЛЕВБ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные

Цена продажи

Швеция

Формула

Описание

Результат

=ЛЕВСИМВ(A2;4)

Первые четыре символа первой строки

Продажа

=ЛЕВСИМВ(A3)

Первый символ второй строки

Ш

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения
Номер Название формулы Короткая запись Раскрытие скобок/разложение на множители
(1) Разность квадратовa2-b2(a-b)(a+b)
(2) Квадрат суммы/разности(a±b)2a2±2ab+b2
(3) Квадрат суммы для n переменных(a1+a2+. ..+an)2a12+a22+…+an2+2∑i,jaiaj
(4) Сумма/разность кубовa3±b3(a±b)(a2∓ab+b2)
(5) Куб суммы/разности(a±b)3a3±3a2b+3ab2±b3
(6) Куб суммы для n переменных(a1+a2+…+an)3a13+a23+…+an3+3∑i,jai2aj+6∑i,j,kaiajak
(7) Разность четвертых степенейa4-b4(a-b)(a+b)(a2+b2)
(8) Четвертая степень суммы/разности(a±b)4a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4
(9) Сумма/разность nх степенейan-bn(a±b)(an-1+an-2b+an-3b2+. ..+bn-3a2+bn-2a+bn-1)
(10) Сумма (2n+1)х степенейa2n+1+b2n+1(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2+…+b2n-2a2-b2n-1a+b2n)
(11) Nая степень суммы/разности(a±b)nan±(n1)an-1b+(n2)an-2b2±..+(nn-2)a2bn-2±(nn-1)abn-1+bn

— версия для печати
Определение
Nая степень числа — результат умножения числа на себя n раз. Также квадратом числа называется результат возведения числа в степень n (в nую степень).
Пример:
(4a3b)3 = 64a3144a2b + 108ab227b3
Пояснение
Под (nk) подразумевается биномиальный коэффициент, равный
Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, квадрат суммы, разность кубов, бином Ньютона.


Откровенно говоря, эти формулы должен помнить любой ученик седьмого класса. Изучать алгебру даже на школьном уровне и не знать формулу разности квадратов или квадрата суммы просто невозможно. Они постоянно встречаются при упрощении алгебраических выражений, при сокращении дробей и даже могут помочь в арифметических вычислениях. Ну, например, вам нужно вычислить в уме: 3,162 — 2 • 3,16 • 1,16 + 1,162. Если вы начнете считать это «в лоб», получится долго и скучно, а если воспользуетесь формулой квадрата разности, ответ получите за 2 секунды!

Итак, семь формул «школьной» алгебры, которые должны знать все:


Название Формула
Квадрат суммы (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Квадрат разности (A — B)2 = A2 — 2AB + B2
Разность квадратов (A — B)(A + B) = A2 — B2
Куб суммы (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2+ B3
Куб разности (A — B)3 = A3 — 3A2B + 3AB2 — B3
Сумма кубов A3 + B3 = (A + B)(A2 — AB + B2)
Разность кубов A3 — B3 = (A — B)(A2 + AB + B2)

Версия для печати в формате png

Обратите внимание: никакой формулы суммы квадратов не существует! Не позволяйте своей фантазии заходить слишком далеко.

Как проще всего запомнить все эти формулы? Ну, скажем, увидеть определенные аналогии. Например, формула квадрата суммы похожа на формулу квадрата разности (отличие лишь в одном знаке), а формула куба суммы — на формулу куба разности. Далее, в составе формул разности кубов и суммы кубов мы видим нечто похожее на квадрат суммы и квадрат разности (только коэффициента 2 не хватает).

Но лучше всего эти формулы (как и любые другие!) запоминаются на практике. Решайте больше примеров на упрощение алгебраических выражений, и все ф-лы запомнятся сами собой.

Любознательным школьникам будет, вероятно, интересно обобщить приведенные факты. Вот, скажем, существуют формулы квадрата и куба суммы. А что, если рассмотреть выражения типа (A + B)4, (A + B)5 и даже (A + B)n, где n — произвольное натуральное число? Можно ли увидеть здесь какую — либо закономерность?

Да, подобная закономерность существует. Выражение вида (A + B)n называется биномом Ньютона. Я рекомендую пытливым школьникам самим вывести формулы для (A + B)4 и (A + B)5, а далее попытаться увидеть общий закон: сравнить, например, степень соответствующего бинома и степень каждого из слагаемых, которые получаются при раскрытии скобок; сравнить степень бинома с количеством слагаемых; попытаться найти закономерности в коэффициентах. Мы не будем сейчас углубляться в эту тему (для этого нужен отдельный разговор!), а лишь запишем готовый результат:

(A + B)n = An + Cn1An-1B + Cn2An-2B2 + … + CnkAn-kBk + … + Bn.

Здесь Cnk = n!/(k! • (n-k)!).

Напоминаю, что n! — это 1 • 2 • … • n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Называется это выражение факториалом числа n. Например, 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24. Факториал нуля считается равным единице!

А что можно сказать по поводу разности квадратов, разности кубов и т. п.? Существует ли здесь какая-либо закономерность? Можно ли привести общую формулу для An — Bn?

Да, можно. Вот эта формула:

An — Bn = (A — В)(An-1 + An-2B + An-3B2 + … + Bn-1).

Более того, для нечетных степеней n существует аналогичная ф-ла и для суммы:

An + Bn = (A + В)(An-1 — An-2B + An-3B2 — … + Bn-1).

Мы не будем сейчас выводить эти формулы (кстати, это не очень сложно), но знать об их существовании, безусловно, полезно.


Двуугловые, полуугловые и редукционные формулы · Алгебра и тригонометрия

Формулы двойного угла, полуугла и редукции · Алгебра и тригонометрия

В этом разделе вы:

  • Используйте формулы двойного угла, чтобы найти точные значения.
  • Используйте формулы двойного угла для проверки идентичности.
  • Используйте формулы сокращения, чтобы упростить выражение.
  • Используйте формулы половинного угла, чтобы найти точные значения.

Велосипедные пандусы, изготовленные для соревнований (см. [Ссылка]), должны различаться по высоте в зависимости от уровня навыков участников.Для опытных участников угол между рампой и землей должен составлять θ

.

такой, что tan θ = 53.

Для новичков угол делится пополам. Какая крутизна ската для новичков? В этом разделе мы исследуем три дополнительные категории идентичностей, которые мы можем использовать, чтобы ответить на такие вопросы, как этот.

Использование формул двойного угла для поиска точных значений

В предыдущем разделе мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций.Теперь мы еще раз посмотрим на те же формулы. Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где α = β.

Вывод формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы,

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Если положить α = β = θ,

, тогда у нас

sin (θ + θ) = sin θ cos θ + cos θ sin θsin (2θ) = 2sin θ cos θ

Получение двойного угла для косинуса дает нам три варианта. Во-первых, исходя из формулы суммы, cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β,

и положив α = β = θ,

у нас

cos (θ + θ) = cos θ cos θ − sin θ sin θcos (2θ) = cos2θ − sin2θ

Используя свойства Пифагора, мы можем расширить эту формулу двойного угла для косинуса и получить еще два варианта.Первый вариант:

cos (2θ) = cos2θ − sin2θ = (1 − sin2θ) −sin2θ = 1−2sin2θ

Вторая вариация:

cos (2θ) = cos2θ − sin2θ = cos2θ− (1 − cos2θ) = 2 cos2θ − 1

Аналогично, чтобы вывести формулу двойного угла для касательной, заменив α = β = θ

в формуле суммы дает

tan (α + β) = tan α + tan β1 − tan α tan βtan (θ + θ) = tan θ + tan θ1 − tan θ tan θtan (2θ) = 2tan θ1 − tan2θ

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла резюмируются следующим образом:

sin (2θ) = 2 sin θ cos θ


cos (2θ) = cos2θ − sin2θ = 1-2 sin2θ = 2 cos2θ − 1


tan (2θ) = 2 tan θ1 − tan2θ

Зная тангенс угла и квадрант, в котором он расположен, используйте формулы двойного угла, чтобы найти точное значение.

  1. Нарисуйте треугольник, чтобы отразить данную информацию.
  2. Определите правильную формулу двойного угла.
  3. Подставить значения в формулу, основанную на треугольнике.
  4. Упростить.

Использование формулы двойного угла для нахождения точного значения касательной

Учитывая, что tan θ = −34

и θ

находится в квадранте II, найдите следующее:

  1. грех (2θ)
  2. cos (2θ)
  3. загар (2θ)

Если мы нарисуем треугольник, чтобы отразить данную информацию, мы сможем найти значения, необходимые для решения проблем на изображении.Нам дано значение tan θ = −34,

такой, что θ

находится в квадранте II. Тангенс угла равен противоположной стороне по соседней стороне, и поскольку θ

находится во втором квадранте, соседняя сторона находится на оси x и является отрицательной. Используйте теорему Пифагора , чтобы найти длину гипотенузы:

(−4) 2+ (3) 2 = c216 + 9 = c225 = c2c = 5

Теперь мы можем нарисовать треугольник, подобный показанному в [ссылка].

  1. Начнем с написания формулы двойного угла для синуса.

    sin (2θ) = 2 sin θ cos θ

    Мы видим, что нам нужно найти sin θ

    и cos θ.

    На основании [ссылка] мы видим, что гипотенуза равна 5, поэтому sin θ = 35,

    и cos θ = −45.

    Подставьте эти значения в уравнение и упростите.

    Таким образом,

    sin (2θ) = 2 (35) (- 45) = — 2425

  2. Напишите формулу двойного угла для косинуса.

    cos (2θ) = cos2θ − sin2θ

    Снова подставьте значения синуса и косинуса в уравнение и упростите.

    cos (2θ) = (- 45) 2− (35) 2 = 1625−925 = 725

  3. Напишите формулу двойного угла для касательной.

    tan (2θ) = 2 tan θ1 − tan2θ

    В этой формуле нам нужен тангенс, который мы получили как tan θ = −34.

    Подставьте это значение в уравнение и упростите.

    загар (2θ) = 2 (−34) 1 — (- 34) 2 = −321−916 = −32 (167) = — 247

Учитывая sin α = 58,

с θ

в квадранте I, найти cos (2α).

cos (2α) = 732

Использование формулы двойного угла для косинуса без точных значений

Используйте формулу двойного угла для косинуса, чтобы записать cos (6x)

в пересчете на cos (3x).

cos (6x) = cos (2 (3x)) = 2cos2 (3x) −1

Анализ

Этот пример показывает, что мы можем использовать формулу двойного угла, не имея точных значений.Он подчеркивает, что образец — это то, что нам нужно запомнить, и что идентичности верны для всех значений в области определения тригонометрической функции.

Использование формул двойного угла для проверки личности

Установление тождеств с использованием формул двойного угла выполняется с использованием тех же шагов, которые мы использовали для вывода формул суммы и разности. Выберите более сложную часть уравнения и переписывайте ее, пока она не совпадет с другой стороной.

Использование формул двойного угла для проверки личности

Проверьте следующую идентичность, используя формулы двойного угла:

1 + грех (2θ) = (грех θ + соз θ) 2

Мы будем работать с правой частью знака равенства и перепишем выражение, пока оно не совпадет с левой частью.

(sin θ + cos θ) 2 = sin2θ + 2 sin θ cos θ + cos2θ = (sin2θ + cos2θ) +2 sin θ cos θ = 1 + 2 sin θ cos θ = 1 + sin (2θ)

Анализ

Этот процесс несложен, если мы вспомним формулу полного квадрата из алгебры:

(a ± b) 2 = a2 ± 2ab + b2

, где a = sin θ

и b = cos θ.

Часть успеха в математике — это способность распознавать закономерности. Хотя термины или символы могут меняться, алгебра остается непротиворечивой.

Проверить идентичность: cos4θ − sin4θ = cos (2θ).

cos4θ − sin4θ = (cos2θ + sin2θ) (cos2θ − sin2θ) = cos (2θ)

Проверка идентичности двойного угла на касательную

Подтвердите личность:

tan (2θ) = 2cot θ − tan θ

В этом случае мы будем работать с левой частью уравнения и упрощать или переписывать, пока она не станет правой частью уравнения.

tan (2θ) = 2 tan θ1 − tan2θ Формула двойного угла = 2 tan θ (1tan θ) (1 − tan2θ) (1tan θ) Умножьте на член, который дает желаемый числитель.= 21tan θ − tan2θtan θ = 2cot θ − tan θ Используйте обратное тождество для 1tan θ.

Анализ

Вот случай, когда более сложная часть исходного уравнения появилась справа, но мы решили работать с левой стороной. Однако, если бы мы выбрали левую сторону для переписывания, мы бы работали в обратном направлении, чтобы прийти к эквивалентности. Например, предположим, что мы хотим показать

2tan θ1 − tan2θ = 2cot θ − tan θ

Давайте поработаем над правой стороной.

2cot θ − tan θ = 21tan θ − tan θ (tan θtan θ) = 2 tan θ1tan θ (tan θ) −tan θ (tan θ) = 2 tan θ1 − tan2θ

При использовании тождеств для упрощения тригонометрического выражения или решения тригонометрического уравнения обычно существует несколько путей к желаемому результату. Не существует установленного правила относительно того, какой стороной следует манипулировать. Однако начать следует с изложенных ранее рекомендаций.

Проверьте тождество: cos (2θ) cos θ = cos3θ − cos θ sin2θ.

cos (2θ) cos θ = (cos2θ − sin2θ) cos θ = cos3θ − cos θsin2θ

Использование формул сокращения для упрощения выражения

Формулы двойного угла могут использоваться для вывода формул редукции , которые представляют собой формулы, которые мы можем использовать для уменьшения степени данного выражения, включающего четные степени синуса или косинуса. Они позволяют нам переписать четные степени синуса или косинуса в терминах первой степени косинуса. Эти формулы особенно важны на курсах математики более высокого уровня, в частности, в математическом анализе. Также называемые формулами уменьшения мощности, включены три тождества, которые легко выводятся из формул двойного угла.

Мы можем использовать две из трех формул двойного угла для косинуса, чтобы получить формулы приведения для синуса и косинуса. Начнем с cos (2θ) = 1-2 sin2θ.

Решить относительно sin2θ:

cos (2θ) = 1−2 sin2θ2 sin2θ = 1 − cos (2θ) sin2θ = 1 − cos (2θ) 2

Далее используем формулу cos (2θ) = 2 cos2θ − 1.

Решить относительно cos2θ:

cos (2θ) = 2 cos2θ − 11 + cos (2θ) = 2 cos2θ1 + cos (2θ) 2 = cos2θ

Последняя формула приведения получается записью тангенса через синус и косинус:

tan2θ = sin2θcos2θ = 1 − cos (2θ) 21 + cos (2θ) 2 Подставим формулы редукции. = (1 − cos (2θ) 2) (21 + cos (2θ)) = 1 − cos (2θ) 1 + cos ( 2θ)

Формулы приведения

Формулы сокращения резюмируются следующим образом:

sin2θ = 1 − cos (2θ) 2

cos2θ = 1 + cos (2θ) 2

tan2θ = 1 − cos (2θ) 1 + cos (2θ)

Написание эквивалентного выражения, не содержащего степени больше 1

Напишите эквивалентное выражение для cos4x

, в котором не используются степени синуса или косинуса больше 1.

Мы применим формулу приведения косинуса дважды.

cos4x = (cos2x) 2 = (1 + cos (2x) 2) 2 Формула сокращения для cos2x. = 14 (1 + 2cos (2x) + cos2 (2x)) = 14 + 12 cos (2x) +14 (1+ cos2 (2x) 2) Заменить формулу сокращения для cos2x. = 14 + 12 cos (2x) + 18 + 18 cos (4x) = 38 + 12 cos (2x) +18 cos (4x)

Анализ

Решение находится путем двойного использования формулы редукции, как уже отмечалось, и формулы полного квадрата из алгебры.

Использование формул уменьшения мощности для доказательства личности

Используйте формулы уменьшения мощности, чтобы доказать

sin3 (2x) = [12 sin (2x)] [1 − cos (4x)]

Мы будем работать над упрощением левой части уравнения:

sin3 (2x) = [sin (2x)] [sin2 (2x)] = sin (2x) [1 − cos (4x) 2] Подставьте формулу уменьшения мощности.= sin (2x) (12) [1 − cos (4x)] = 12 [sin (2x)] [1 − cos (4x)]

Анализ

Обратите внимание, что в этом примере мы заменили

1 − cos (4x) 2

для sin2 (2x).

В формуле указано

sin2θ = 1 − cos (2θ) 2

Положим θ = 2x,

, поэтому 2θ = 4x.

Используйте формулы уменьшения мощности, чтобы доказать, что 10 cos4x = 154 + 5 cos (2x) +54 cos (4x).

10cos4x = 10 (cos2x) 2 = 10 [1 + cos (2x) 2] 2 Заменить формулу сокращения для cos2x.= 104 [1 + 2cos (2x) + cos2 (2x)] = 104 + 102cos (2x) +104 (1 + cos2 (2x) 2) Подставляем формулу сокращения для cos2x. = 104 + 102cos (2x) + 108 + 108cos (4x) = 308 + 5cos (2x) + 108cos (4x) = 154 + 5cos (2x) + 54cos (4x)

Использование формул полуугла для нахождения точных значений

Следующий набор тождеств — это набор формул для половинного угла , которые могут быть выведены из формул приведения и мы можем использовать, когда у нас есть угол, который составляет половину размера специального угла. Если заменить θ

с α2,

формула половинного угла для синуса находится путем упрощения уравнения и решения для sin (α2).

Обратите внимание, что формулам половинного угла предшествует ±

.

знак. Это не означает, что допустимы как положительные, так и отрицательные выражения. Скорее, это зависит от квадранта, в котором α2

завершается.

Формула половинного угла для синуса выводится следующим образом:

sin2θ = 1 − cos (2θ) 2sin2 (α2) = 1− (cos2⋅α2) 2 = 1 − cos α2sin (α2) = ± 1 − cos α2

Чтобы вывести формулу половинного угла для косинуса, мы имеем

cos2θ = 1 + cos (2θ) 2cos2 (α2) = 1 + cos (2⋅α2) 2 = 1 + cos α2cos (α2) = ± 1 + cos α2

Для касательной идентичности имеем

tan2θ = 1 − cos (2θ) 1 + cos (2θ) tan2 (α2) = 1 − cos (2⋅α2) 1 + cos (2⋅α2) = 1 − cos α1 + cos αtan (α2) = ± 1− cos α1 + cos α

Формулы полуугла

Формулы полуугла следующие:

sin (α2) = ± 1 − cos α2

cos (α2) = ± 1 + cos α2

tan (α2) = ± 1 − cos α1 + cos α = sin α1 + cos α = 1 − cos α sin α

Использование формулы полуугла для нахождения точного значения синусоидальной функции

Найти грех (15 °)

по формуле половинного угла.

Поскольку 15 ° = 30 ° 2,

мы используем формулу половинного угла для синуса:

sin 30 ° 2 = 1 − cos30 ° 2 = 1−322 = 2−322 = 2−34 = 2−32

Помните, что мы можем проверить ответ с помощью графического калькулятора.

Анализ

Обратите внимание, что мы использовали только положительный корень, потому что sin (15 °)

положительный.

Зная тангенс угла и квадрант, в котором находится угол, найдите точные значения тригонометрических функций половины угла.

  1. Нарисуйте треугольник для представления данной информации.
  2. Определите правильную формулу полуугла.
  3. Подставить значения в формулу, основанную на треугольнике.
  4. Упростить.

Нахождение точных значений с использованием идентичностей половинных углов

Учитывая, что tan α = 815

и α

находится в квадранте III, найдите точное значение следующего:

  1. грех (α2)
  2. cos (α2)
  3. загар (α2)

Используя данную информацию, мы можем нарисовать треугольник, показанный в [ссылка]. Используя теорему Пифагора, мы находим, что гипотенуза равна 17. Следовательно, мы можем вычислить sin α = −817

и cos α = −1517.

  1. Прежде чем мы начнем, мы должны помнить, что если α

    находится в квадранте III, затем

    180 ° <α <270 °,

    так

    180 ° 2 <α2 <270 ° 2.

    Это означает, что сторона терминала

    α2

    находится во втором квадранте, поскольку

    90 ° <α2 <135 °.

    Найти sin α2,

    мы начинаем с написания формулы половинного угла для синуса.Затем мы подставляем значение косинуса, найденного в треугольнике, в [ссылка] и упрощаем.

    sin α2 = ± 1 − cos α2 = ± 1 — (- 1517) 2 = ± 32172 = ± 3217⋅12 = ± 1617 = ± 417 = 41717

    Выберем положительное значение sin α2

    , потому что угол заканчивается в квадранте II, а синус положительный в квадранте II.

  2. Найти cos α2,

    мы запишем формулу половинного угла для косинуса, подставим значение косинуса, которое мы нашли из треугольника в [ссылка], и упростим.

    cos α2 = ± 1 + cos α2 = ± 1 + (- 1517) 2 = ± 2172 = ± 217⋅12 = ± 117 = −1717

    Выберем отрицательное значение cos α2

    , потому что угол находится в квадранте II, потому что косинус отрицателен в квадранте II.

  3. Найти tan α2,

    запишем формулу полуугла для тангенса. Опять же, мы подставляем значение косинуса, найденного в треугольнике, в [ссылка] и упрощаем.

    tan α2 = ± 1 − cos α1 + cos α = ± 1 — (- 1517) 1 + (- 1517) = ± 3217217 = ± 322 = −16 = −4

    Выберем отрицательное значение tan α2

    , потому что α2

    лежит во втором квадранте, а касательная во втором квадранте отрицательна.

Учитывая, что sin α = −45

и α

находится в квадранте IV, найдите точное значение cos (α2).

−25

Нахождение измерения полуугла

Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале раздела. Велосипедная рампа предназначена для соревнований высокого уровня с углом θ

.

образован пандусом и землей.Другой пандус будет построен наполовину крутым для соревнований новичков. Если tan θ = 53

для соревнований более высокого уровня, что такое измерение угла для соревнований новичков?

Поскольку угол для соревнований новичков измеряет половину крутизны угла для соревнований высокого уровня, и tan θ = 53

для высокой конкуренции, мы можем найти cos θ

из прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора, так что мы можем использовать тождества половинных углов.См. [Ссылка].

32 + 52 = 34c = 34

Мы видим, что cos θ = 334 = 33434.

Мы можем использовать формулу половинного угла для тангенса: tan θ2 = 1 − cos θ1 + cos θ.

Так как tan θ

находится в первом квадранте, как и tan θ2.

тангенс угла θ2 = 1−334341 + 33434 = 34−3343434 + 33434 = 34−33434 + 334≈0,57

Мы можем использовать арктангенс, чтобы найти угол: tan − 1 (0,57) ≈29,7 °.

Таким образом, угол пандуса для соревнований новичков ≈29.7 °.

Ключевые уравнения

Формулы двойного угла sin (2θ) = 2sin θ cos θcos (2θ) = cos2θ − sin2θ = 1−2sin2θ = 2cos2θ − 1tan (2θ) = 2tan θ1 − tan2θ
Формулы приведения sin2θ = 1 − cos (2θ) 2cos2θ = 1 + cos (2θ) 2tan2θ = 1 − cos (2θ) 1 + cos (2θ)
Формулы полууглов sin α2 = ± 1 − cos α2cos α2 = ± 1 + cos α2tan α2 = ± 1 − cos α1 + cos α = sin α1 + cos α = 1 − cos αsin α

Ключевые понятия

  • Двойные угловые тождества выводятся из формул суммы основных тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса.См. [Ссылка], [ссылка], [ссылка] и [ссылка].
  • Формулы приведения особенно полезны в исчислении, поскольку они позволяют уменьшить степень тригонометрического члена. См. [Ссылка] и [ссылка].
  • Формулы полууглов позволяют нам найти значение тригонометрических функций, включающих полууглы, независимо от того, известен ли исходный угол или нет. См. [Ссылка], [ссылка] и [ссылка].

Упражнения по разделам

Устный

Объясните, как определить тождества редукции из тождества двойного угла cos (2x) = cos2x − sin2x.

Используйте тождества Пифагора и выделите квадратный член.

Объясните, как определить формулу двойного угла для tan (2x)

с использованием формулы двойного угла для cos (2x)

и грех (2х).

Мы можем определить формулу половинного угла для tan (x2) = 1 − cos x1 + cos x

путем деления формулы для sin (x2)

по cos (x2).

Объясните, как определить две формулы для tan (x2)

, которые не содержат квадратных корней.

1 − cos xsin x, sin x1 + cos x,

умножение верха и низа на 1 − cos x

и 1 + cos x,

соответственно.

Для формулы половинного угла, приведенной в предыдущем упражнении для tan (x2),

объясняет, почему деление на 0 не имеет значения. (Подсказка: изучите значения cos x

необходимо, чтобы знаменатель был равен 0.)

Алгебраические

Для следующих упражнений найдите точные значения a) sin (2x),

б) cos (2x),

и c) загар (2x)

без решения относительно x.

Если sin x = 18,

и x

находится в квадранте I.

а) 3732

б) 3132

в) 3731

Если cos x = 23,

и x

находится в квадранте I.

Если cos x = −12,

и x

находится в квадранте III.

а) 32

б) −12

в) −3

Если tan x = −8,

и x

находится в квадранте IV.

Для следующих упражнений найдите значения шести тригонометрических функций, если указанные условия выполнены.

cos (2θ) = 35

и 90 ° ≤θ≤180 °

cos θ = −255, sin θ = 55, tan θ = −12, csc θ = 5, sec θ = −52, cot θ = −2

cos (2θ) = 12

и 180 ° ≤θ≤270 °

Упростите следующие упражнения до одного тригонометрического выражения.

2 sin (π4) 2 cos (π4)

2 грех (π2)

Для следующих упражнений найдите точное значение, используя формулы половинного угла.

Для следующих упражнений найдите точные значения a) sin (x2),

б) cos (x2),

и c) загар (x2)

без решения относительно x,

при 0 ° ≤x≤360 °.

Если tan x = −43,

и x

находится в квадранте IV.

Если sin x = −1213,

и x

находится в квадранте III.

а) 31313

б) −21313

в) −32

Если csc x = 7,

и x

находится в квадранте II.

Если sec x = −4,

и x

находится в квадранте II.

а) 104

б) 64

в) 153

Для следующих упражнений используйте [ссылка], чтобы найти требуемые половинные и двойные углы.

Найдите sin (2θ), cos (2θ),

и загар (2θ).

Найти sin (2α), cos (2α),

и загар (2α).

120169, –119169, –120119

Найдите sin (θ2), cos (θ2),

и tan (θ2).

Найдите sin (α2), cos (α2),

и tan (α2).

21313,31313,23

Для следующих упражнений упростите каждое выражение. Не оценивайте.

2cos2 (37 °) −1

cos (74 °)

cos2 (9x) −sin2 (9x)

cos (18x)

6 sin (5x) cos (5x)

3син (10х)

Подтвердите свою личность в следующих упражнениях.

(sin t − cos t) 2 = 1 − sin (2t)

sin (2x) = — 2 sin (−x) cos (−x)

−2 sin (−x) cos (−x) = — 2 (−sin (x) cos (x)) = sin (2x)

детская кроватка x − tan x = 2 детская кроватка (2x)

sin (2θ) 1 + cos (2θ) tan2θ = tan3 θ

sin (2θ) 1 + cos (2θ) tan2θ = 2sin (θ) cos (θ) 1 + cos2θ − sin2θtan2θ = 2sin (θ) cos (θ) 2cos2θtan2θ = sin (θ) cos θtan2θ = cot (θ) tan2θ = tan3 θ

Для следующих упражнений перепишите выражение с показателем степени не выше 1.

sin4 (3x)

3 + cos (12x) −4cos (6x) 8

cos4x sin2x

2 + cos (2x) −2cos (4x) −cos (6x) 32

Технологии

Для следующих упражнений сократите уравнения до степени единицы, а затем проверьте ответ графически.

загар4x

3 + cos (4x) −4cos (2x) 3 + cos (4x) + 4cos (2x)

sin2x cos2x

1 − cos (4x) 8

tan4x cos2x

3 + cos (4x) −4 cos (2x) 4 (cos (2x) +1)

cos2 (2x) грех x

(1 + соз (4x)) грех x2

Для следующих упражнений найдите алгебраически эквивалентную функцию, только в единицах sin x

и / или cos x,

, а затем проверьте ответ, построив графики обеих функций.

грех (4x)

4sin xcos x (cos2x − sin2x)

Расширения

Для следующих упражнений подтвердите личность.

грех (2x) = 2 загар x1 + загар 2x

2tan x1 + tan2x = 2sin xcos x1 + sin2xcos2x = 2sin xcos xcos2x + sin2xcos2x = 2sin xcos x.cos2x1 = 2sin xcos x = sin (2x)

cos (2α) = 1 − tan2α1 + tan2α

загар (2x) = 2 sin x cos x2cos2x − 1

2sin xcos x2cos2x − 1 = sin (2x) cos (2x) = tan (2x)

(sin2x − 1) 2 = cos (2x) + sin4x

грех (3x) = 3 грех х cos2x − sin3x

sin (x + 2x) = sin xcos (2x) + sin (2x) cos x = sin x (cos2x − sin2x) + 2sin xcos xcos x = sin xcos2x − sin3x + 2sin xcos2x = 3sin xcos2x − sin3x

cos (3x) = cos3x − 3sin2x cos x

1 + cos (2t) sin (2t) −cos t = 2 cos t2 sin t − 1

1 + cos (2t) sin (2t) −cost = 1 + 2cos2t − 12sintcost − cost = 2cos2tcost (2sint − 1) = 2cost2sint − 1

sin (16x) = 16 sin x cos x cos (2x) cos (4x) cos (8x)

cos (16x) = (cos2 (4x) −sin2 (4x) −sin (8x)) (cos2 (4x) −sin2 (4x) + sin (8x))

(cos2 (4x) −sin2 (4x) −sin (8x)) (cos2 (4x) −sin2 (4x) + sin (8x)) == (cos (8x) −sin (8x)) (cos (8x) + sin (8x)) = cos2 (8x) −sin2 (8x) = cos (16x)

Глоссарий

формулы двойного угла
тождеств, полученных из формул суммы для синуса, косинуса и тангенса, в которых углы равны
формулы половинного угла
тождеств, полученных из формул приведения и используемых для определения значений половинного угла тригонометрических функций
формулы восстановления
тождеств, полученных из формул двойного угла и используемых для уменьшения мощности тригонометрической функции


Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution 4.2 + 9} \, dx \ end {уравнение}

Как бы вы их интегрировали? В первом используется функция арктангенса, во втором — логарифмы, а в третьем — деление. Можете ли вы проинтегрировать эти три интеграла?

Формула интеграции по частям

Пусть $ f $ и $ g $ — дифференцируемые функции. Напомним, из правила произведения следует, что $ fg $ — дифференцируемая функция и \ begin {Equation} [f (x) g (x)] ‘= f’ (x) g (x) + f (x) g ‘(x ). \ end {уравнение} Если мы проинтегрируем обе части, мы получим \ begin {уравнение} \ int [f (x) g (x)] ‘dx = \ int f’ (x) g (x) \, dx + \ int f (х) д ‘(х) \, dx.\ end {Equation} Может случиться так, что один из интегралов в правой части проще интегрировать, чем другой.

Теорема . ( Интегрирование по частям ) Пусть $ u = f (x) $ и $ v = g (x) $ — дифференцируемые функции. Дифференциалы равны $ du = f ‘(x) \, dx $ и $ dv = g’ (x) \, dx $ и формула \ begin {Equation} \ int u \, dv = uv — \ int v \, du \ end {уравнение} называется интегрированием по частям .

Пример .x + C \ end {align *}, где $ C $ — произвольная константа.

Пример . Найдите $ \ displaystyle \ int x \ sin x \, dx. $

Решение . Пусть $ u = x $ и $ dv = \ sin x \, dx $. Тогда $ du = dx $ и $ v = — \ cos x $, у нас есть \ begin {align *} \ int x \ sin x \, dx & = — x \ cos x \ — \ int (- \ cos x) \, dx \\ & = -x \ cos x + \ sin x + C \ end {align *}, где $ C $ — произвольная константа.

Теорема . Пусть $ f (x) $ и $ g (x) $ — дифференцируемые функции.{n-1} \ sin x \, dx $

Формула снижения мощности

Назначение формул уменьшения мощности — написать эквивалентное выражение без показателя степени. Они используются для упрощения вычислений и выводятся с использованием формул двойного угла и половинного угла и тождества Пифагора.

Квадраты

Кубики


Четвертые

Пятые


Пример: Найдите

Шаг 1: запишите sin 4 x в виде квадрата

sin 4 x = (sin 2 x) 2


Шаг 2: используйте правило уменьшения мощности в квадрате для синуса


Шаг 3: замените на


Шаг 4. Упростите


Хотя можно было бы использовать формулу для четвертой степени, гораздо проще записать четвертую степень в квадрате степени, так что формулу двойного угла или половинного угла также не нужно использовать.Формулы уменьшения мощности становятся очень удобными в расчетах, поскольку позволяют избавиться от показателей в тригонометрических функциях, чтобы найти меру угла. Формула восстановления

— объяснение, часто используемые формулы восстановления и решенные примеры

Формула сокращения считается важным методом интегрирования. Интеграция по формулам редукции позволяет решать сложные задачи интеграции. Его можно использовать для тригонометрических функций, степени элементарных функций, произведения двух или более сложных функций и т. Д.Эти функции нелегко интегрировать. Следовательно, чтобы упростить процесс интегрирования, мы можем использовать некоторые формулы редукции для определения решения интегральных задач. Эти формулы редукции помогают нам минимизировать степень интегралов и формулировать интегралы за конечное число шагов.

Некоторые из обычно используемых формул приведения интегралов, включая общие функции, обсуждаются ниже.

Формулы редукции для тригонометрических функций

Здесь мы обсудим некоторые важные формулы редукции для тригонометрических функций.

  • ∫ Sinn (y) dy = -sinn-1 (y) cos (y) / n + n-1 / n Sinn-2 (y) dy

  • ∫ yn Sinn (y) dy = — yncos (y) + n ∫ yn-1 cos (y) dy

  • ∫ yn Cos (y) dy = ynSin (y) — n ∫ yn-1 sin (y) dy

  • ∫ tann (y ) dy = — tann-1 (y) / n-1 — ∫ tann-2 (y) dy

  • ∫ Sinn (y) dy Cosm (y) dy = sinn + 1 (y) cosm-1 (y ) / n + m + m-1 / n + m ∫ Sinn (y) Cosm-2 (y) dy

Формула редукции для экспоненциальной функции

  • ∫ yn emy dy = 1 / mynemy –n / m yn-1 emydy

  • ∫ emy / yn dy = emy (n-1) yn-1 + m / n-1 ∫ emx / xn-1 y

  • ∫ dy / sinhny = -1 / n sinhn -1 y ch y — (n-1 / n) ∫ sh n-2 y dy

  • ∫ Sinhn y dy = -1 / n Sin hn-1 cosh y — n-1 / n ∫ Sinhn-2 y dy

Формула приведения для алгебраических функций

  • ∫ yn / ayn + b dy = y / ab / a ∫ dy / ayn + b

  • ∫ dy (ay2 + by + C) n = — 2ay- b / (n-1) (b2 — 4ac) (ay2 + by + C) n-1 -2 (2n-3) a / (n-1) (b2 — 4ac) ∫ dy / (ay2 + by + C) n-1, n ≠ 1

  • ∫ dy / (y2- a2) n = x / 2 (n-1) a2 (y2 — a2) n-1 — 2n-3 / 2 (n-1) a2 ∫ dy (y2 — a2) n-1, n ≠ 1

  • ∫ dy / (y2 + a2) n = x / 2 (n-1) a2 (y2 — a2) n-1 + 2n-3/2 (n-1) a2 ∫ dy (y2 — a2) n-1, n ≠ 1

Формулы приведения для тригонометрических функций

Формула приведения для обратной тригонометрической функции

  • ∫ yn arcsin y dy = yn + 1 / n + 1 arcsin y -1 / n + 1 ∫ yn-1 / \ [\ sqrt {1-y ^ 2dy} \]

  • ∫ yn arc cos y dy = yn + 1 / n + 1 arc cos y -1 / n + 1 ∫ yn-1 / \ [\ sqrt {1-y ^ 2dy} \]

  • ∫ yn arctan y dy = yn + 1 / n + 1 arctan y -1 / n + 1 ∫ yn-1 / \ [\ sqrt {1-y ^ 2dy} \]

Время викторины

  1. Найдите \ [\ int_ {0} ^ {π / 2 } \] sin⁶ (x) dx

  1. 0

  2. π / 8

  3. π / 4

  4. 15π / 96

2.{π / 2} \] sin10 (x) cos (x) dx

  1. 1

  2. 0

  3. 13π / 1098

  4. 21π / 2048

Пример формулы восстановления с решениями

1. По формуле приведения

In = ∫ sin y dy = 1 / n cos y sinn-1 y + n-1 / n In-2

Вычислить

∫ Sin4 y dy;

Решение:

Использование формулы сокращения с n = 4 дает

∫ Sin4 y dy = -1/4 cos y sin3 y + ¾ I2

Нам нужно вычислить I2 = sin2 y dy, где соответствует n = 2

Используя уравнения интегралов, получаем:

∫ Sin2 y dy = y / 2-1 / 2 sin y cos y + K

Без объединения всего вместе получаем

∫ Sin4 y dy

= -¼ Cos y Sin3 y + ¾ [y / 2 — 1 / sin y cos y + K]

= -1/4 -¼ Cos y Sin3 y + 3 / 8y — cos y sin y + K ‘

= 3/8 y — 1/4 sin (2y) + 1/32 sin 4 (y) + K ‘

Примечание. Мы использовали значения K и K’, поскольку значения констант на самом деле различаются.

2. Вычислить интеграл

y⁷ (8 + 3y⁴) ⁸ dy

Решение:

u = 8 + 3y⁴ → du = 12y³dy → y³dy = 1/12 du

Перепишем целое число

Вычислите интеграл

∫ y7 (8 + 3y4) ⁸ dy = ∫ y4y3 (8 + 3y4) 8 dy = ∫ y4 (8 + 3y4) y3dy

Теперь предположим, что мы можем преобразовать все y в подынтегральное выражение, исключая y4, что находится впереди. Из подстановки мы можем считать, что мы можем решить это для y4, чтобы получить,

y4 = 1/3 (u-8)

Теперь мы сделаем замену и вычислим интеграл

y7 (8 + 3y4) = 1 / 12 1/3 (u-8) u8 du = 1/36 u9 — 8u8 du = 1/36 (1/10 u10 -8 / 9u9 + C

= 1/36 (1/10 (8 + 3Y4) 10 — 8/9 (8 + 3y4) 9) + С

Ваше секретное оружие в оценке литературы — tl; dr Pharmacy

Посмотрите на него.Так бдительно. Готов в любой момент познакомить вас с деловым концом своего кулака. Думайте об этом маленьком парне всякий раз, когда читаете новое исследование или журнальную статью. Пусть он будет вашей совестью и путеводной звездой.

Абсолютный риск против относительного риска

Пришло время пополнить запас слов. Абсолютный риск — это общий риск возникновения данной «вещи» после суммирования всех факторов риска и смешивающих переменных. Например, вы можете суммировать свой пожизненный риск наличия атеросклеротического события на основе заболеваемости и распространенности вашей демографической группы.

Относительный риск другой. Это риск данной «вещи» по сравнению (т. Е. Относительно) с чем-то еще . Например, ваш риск развития ТГВ у курильщика по сравнению с тем, если вы не курили.

Когда мы говорим о Relative Risk Reduction (RRR) и Absolute Risk Reduction (ARR) , мы говорим о вмешательстве. Мы снижаем на абсолютный и относительный риск, проводя некоторое лечение. Абсолютное снижение риска — это полное снижение риска в результате выбора данного лечения. Это число часто сильно отличается от относительного снижения риска .

С RRR снижение риска по сравнению с некоторой другой группой. Вы можете сравнить эффективность Entresto в снижении смертности от сердечной недостаточности с существующим лечением, таким как эналаприл. Или вы можете сравнить Paxil CR с отсутствием вмешательства (плацебо) для уменьшения симптомов депрессии.

Отлично. Итак, что все это значит для вас как врача?

Вы можете весело провести время с относительным риском…

Например, скажем, я боюсь летать (не из-за COVID, я просто боюсь умереть в авиакатастрофе).Чтобы уменьшить этот страх, я мог больше не летать на самолетах. Это снизит мой относительный риск смерти в авиакатастрофе почти до нуля. Мы бы сравнили относительный риск следующего:

Если бы я решил НЕ летать на самолетах, может быть, мой относительный риск смерти в авиакатастрофе будет где-то около 99,999% (потому что горящий самолет может врезаться в меня, пока я » м занимаюсь дворовой работой что ли). Это ОГРОМНОЕ сокращение и очень привлекательная цифра. Разве вы не хотите снизить риск смерти в авиакатастрофе на 99?99%?

Но вы должны спросить себя… каков базовый риск смерти в авиакатастрофе (даже если вы ДЕЙСТВИТЕЛЬНО летаете на самолетах)? У нас есть доступ к этим данным, и ваш абсолютный риск составляет 0,000009%. Снижение на 99,999% с 1 из 11 миллионов не так уж и важно, не так ли? Можете ли вы представить себе рекламу этого, когда вы просматриваете ленту IG?

«Человек использует этот 1 ПРОСТОЙ УДЕЛКУ, чтобы снизить риск смерти в авиакатастрофе на 0,000009%»

Не очень интересно.Намного менее сексуально, чем 99,99%.

Давайте продолжим с лекарством от сердечной недостаточности Entresto. У вас есть исследование, которое показывает снижение относительного риска сердечно-сосудистой смерти на 19,4% у пациентов с сердечной недостаточностью, принимающих Entresto, по сравнению с эналаприлом. Если вы практиковали несколько лет назад, когда он впервые появился, вы, вероятно, видели новости, в которых смело утверждалось, что Entresto снижает риск смерти на 20% (из-за округления). Если бы вы взглянули на эти исследования и подсчитали абсолютное снижение риска, вы бы обнаружили, что их было 3.2%.

Снижение смертности на 3,2% от такого распространенного заболевания, как сердечная недостаточность, не вызывает чихания (это исследование было фактически остановлено досрочно из-за положительного эффекта, наблюдаемого в группе Entresto). Но вам, вероятно, не нужно, чтобы я говорил вам, что 3,2% намного меньше 20%.

И это то, к чему мы здесь идем с абсолютным риском. Это помогает предоставить вам перспективу к уравнению.

Как рассчитать абсолютное снижение риска

Относительное снижение риска — неплохой парень.Его просто неправильно поняли. В конце концов, RRR и ARR — это просто разные способы измерения размера вмешательства. Это способ помочь вам определить клиническую ценность лекарства. Оба они могут помочь вам решить, будет ли новое лечение X полезным для вашего пациента.

Но есть причина, по которой я пишу эту статью. Как я уже сказал выше, вам обычно нужно рассчитать абсолютное снижение риска, потому что оно вам не сообщается. Относительный риск более привлекателен, и не всегда приводит к феноменальной клинической пользе.Кроме того, в мире медицины «сексуальность» означает «чрезвычайно дорогое удовольствие». Абсолютное снижение риска абсолютно необходимо, если вы хотите провести какой-либо анализ затрат и выгод.

Итак, какова формула абсолютного снижения риска?

Вернемся к нашему исследованию Entresto. И давайте сосредоточимся на уровне смертности от сердечно-сосудистых заболеваний. Вы увидите, что в контрольной группе (эналаприл) 16,5% пациентов умерли от сердечно-сосудистых причин. В экспериментальной группе (Entresto) 13.3% умерли от сердечно-сосудистых причин.

Абсолютное снижение риска — это частота контрольных событий (CER) минус частота экспериментальных событий (EER).

CER — EER = ARR

0,165 — 0,133 = 0,032

Или, как мы упоминали выше, 3,2%. Если вы делаете это с исследованием (или контрольным вопросом), которое не дает вам процентов, вам придется вручную вычислить их на основе исследования. Таким образом, если у 800 пациентов в контрольной группе из 1000 человек произошло событие, ваш CER составляет 80% (или 0.80).

Формула снижения относительного риска там также довольно проста :

(CER — EER) / CER = RRR

(0,165 — 0,133) / 0,165 = 0,1939

Или (также как мы упоминали выше), 19,4%.

Вы заметите, что мы переводим проценты в их десятичную форму для выполнения этих вычислений. Это лучший метод, который предотвратит появление ошибок с десятичной запятой. Также необходимо работать в десятичной форме, чтобы вычислить число , необходимое для обработки (NNT ).

Ни одно обсуждение абсолютного снижения риска не будет полным без упоминания количества, необходимого для лечения. NNT — это просто еще один способ выражения ARR. Число, необходимое для лечения, — это количество пациентов, которых вы должны лечить, чтобы предотвратить одно «событие». Событием в этом случае будет смерть от сердечно-сосудистой системы от сердечной недостаточности.

NNT — это величина, обратная ARR.

1 / ARR = NNT

Используя наши числа Entresto …

1 / 0,032 = 31.25

В этом случае NNT будет 32. Почему 32? Потому что число, необходимое для лечения, всегда целое число (целое число). Нельзя лечить 0,25 человека. Поэтому, когда ваше число, которое нужно обработать, заканчивается десятичной точкой, округлите до следующего целого числа.

Чтобы применить это «в реальном выражении», вам нужно дать Entresto 32 пациентам, прежде чем вы предотвратите одну сердечно-сосудистую смерть.

Как использовать абсолютное снижение риска для принятия клинических решений

Вы должны использовать ARR, NNT и даже RRR, чтобы определить, стоит ли вмешательство того, что вам нужно для вашего пациента.Как вы видели здесь, вы можете очень легко рассчитать ARR и NNT. Вы будете использовать эту информацию в дополнение к критериям, которые вы уже используете при оценке. Когда вы взвешиваете варианты лечения для пациентов, рассчитывайте ARR для нескольких различных вариантов. Посмотрите, сколько будет стоить препарат пациенту. Посмотрите на график дозирования и определите, не будет ли проблем с его соблюдением. Посмотрите на лекарственные взаимодействия и любые другие важные моменты для каждого отдельного препарата в классе.

Затем вы можете передать эту информацию пациенту и медицинской бригаде и сделать совместный выбор , который лучше всего подходит для пациента .Когда все вовлечены (особенно пациент), все выигрывают.

И снова вам понадобится вся эта информация для экзаменов NAPLEX и BPS. Так что, если быть отличным клиницистом для вас недостаточно, позвольте необходимости повлиять на ваше решение, чтобы вам было как можно комфортнее.

В заключение. Когда сомневаешься. Только подумайте, что бы сделал Пират ARR (и его осуждающий взгляд).

Учебная лаборатория PChem | Теория групп

Учебная лаборатория PChem | Теория групп

ВЕБ-РУКОВОДСТВО — Теория групп

The Reduction Forumla

Каждая часть важна и будет иметь значение для ввода:


ВАЖНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ:

Формула редукции ВСЕГДА дает либо 0, либо положительное целое число.Если это не тот случай, когда вы выполняете расчет, вы где-то ошиблись. Часто это арифметическая ошибка или неправильно рассчитанное значение рэнд.

Пример формулы сокращения в действии: Для C 2v строка таблицы символов A 1

C 2v E C 2 (z) v (xz) v (yz) Функции линейного поворота

функции поворота


Cubic
функции
A 1 +1 +1 +1 +1 z x 2 , y 2 , z 4 2 95011453 3 , x 2 z, y 2 z
A 2 +1 +1 -1 -1 R z 50 x xyz
B 1 +1 -1 +1 -1 x, R y xz xz 2 , x 3 2
B 2 +1 -1 -1 +1 y, R x yz yz 2 , y 3 , x 2 y
Количество элементов симметрии, h = 4
Где h = 4 и R Значения (для количества неизмененных связей при выполнении элемента симметрии) равны 2, 0, 2, 0.

Применить к строке A 1 :
Цифры в круглых скобках означают ( N x R x I )
1/4 [(1 x 2 x 1) + (1 x 0 x 1) + (1 x 2 x 1) + (1 x 0 x 1)] = 1/4 x (4) = 1

Формулы двойного угла, полуугла и редукции — алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Используйте формулы двойного угла, чтобы найти точные значения.
  • Используйте формулы двойного угла для проверки идентичности.
  • Используйте формулы сокращения, чтобы упростить выражение.
  • Используйте формулы половинного угла, чтобы найти точные значения.
Рис. 1. Велосипедные пандусы для опытных гонщиков имеют более крутой уклон, чем те, что предназначены для новичков.

Велосипедные пандусы, изготовленные для соревнований (см. (Рисунок)), должны различаться по высоте в зависимости от уровня навыков участников. Для опытных спортсменов угол между рампой и землей должен быть таким, чтобы для новичков угол делился пополам.Какая крутизна ската для новичков? В этом разделе мы исследуем три дополнительные категории идентичностей, которые мы можем использовать, чтобы ответить на такие вопросы, как этот.

Использование формул двойного угла для поиска точных значений

В предыдущем разделе мы использовали формулы сложения и вычитания для тригонометрических функций. Теперь мы еще раз посмотрим на те же формулы. Формулы двойного угла являются частным случаем формул суммы, где получение формулы двойного угла для синуса начинается с формулы суммы,

Если дать, то у нас будет

Получение двойного угла для косинуса дает нам три варианта.Во-первых, исходя из формулы суммы и имея

Используя свойства Пифагора, мы можем расширить эту формулу двойного угла для косинуса и получить еще два варианта. Первый вариант:

Вторая вариация:

Аналогичным образом, чтобы вывести формулу двойного угла для касательной, замена в формуле суммы дает

Формулы двойного угла

Формулы двойного угла резюмируются следующим образом:

Как к

Зная тангенс угла и квадрант, в котором он расположен, используйте формулы двойного угла, чтобы найти точное значение.

  1. Нарисуйте треугольник, чтобы отразить данную информацию.
  2. Определите правильную формулу двойного угла.
  3. Подставить значения в формулу, основанную на треугольнике.
  4. Упростить.
[show-answer q = ”fs-id1418852 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1418852 ″]

Если мы нарисуем треугольник, чтобы отразить данную информацию, мы сможем найти значения, необходимые для решения проблем на изображении. Нам дано такое, что находится во втором квадранте.Тангенс угла равен противоположной стороне по соседней стороне, и, поскольку он находится во втором квадранте, соседняя сторона находится на оси x и является отрицательной. Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы:

Теперь мы можем нарисовать треугольник, подобный показанному на (Рисунок).

Рисунок 2.
  1. Начнем с написания формулы двойного угла для синуса.

    Мы видим, что нам нужно найти, и на основе (рисунок) мы видим, что гипотенуза равна 5, поэтому подставляем эти значения в уравнение и упрощаем.

    Таким образом,

  2. Напишите формулу двойного угла для косинуса.

    Снова подставьте значения синуса и косинуса в уравнение и упростите.

  3. Напишите формулу двойного угла для касательной.

    В этой формуле нам нужен тангенс, который мы получили в виде Подставляем это значение в уравнение и упрощаем.

    [/ скрытый-ответ]

Попробуй

В квадранте I найти

[show-answer q = ”fs-id1338288 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1338288 ″]

[/ hidden-answer]

Использование формулы двойного угла для косинуса без точных значений

Используйте формулу двойного угла для косинуса, чтобы записать в единицах

[show-answer q = ”1928247 ″] Показать решение [/ show-answer] [hidden-answer a =” 1928247 ″]

[/ скрытый-ответ]
Анализ

Этот пример показывает, что мы можем использовать формулу двойного угла, не имея точных значений.Он подчеркивает, что образец — это то, что нам нужно запомнить, и что идентичности верны для всех значений в области определения тригонометрической функции.

Использование формул двойного угла для проверки личности

Установление тождеств с использованием формул двойного угла выполняется с использованием тех же шагов, которые мы использовали для вывода формул суммы и разности. Выберите более сложную часть уравнения и переписывайте ее, пока она не совпадет с другой стороной.

Попробуй

Подтвердите личность:

[show-answer q = ”fs-id1313281 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1313281 ″]

[/ hidden-answer]

Проверка идентичности двойного угла по касательной

Подтвердите личность:

[show-answer q = ”fs-id1333908 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1333908 ″]

В этом случае мы будем работать с левой частью уравнения и упрощать или переписывать, пока она не станет правой частью уравнения.

[/ скрытый-ответ]
Анализ

Вот случай, когда более сложная часть исходного уравнения появилась справа, но мы решили работать с левой стороной. Однако, если бы мы выбрали левую сторону для переписывания, мы бы работали в обратном направлении, чтобы прийти к эквивалентности. Например, предположим, что мы хотим показать

Давайте поработаем над правой стороной.

При использовании тождеств для упрощения тригонометрического выражения или решения тригонометрического уравнения обычно существует несколько путей к желаемому результату.Не существует установленного правила относительно того, какой стороной следует манипулировать. Однако начать следует с изложенных ранее рекомендаций.

Попробуй

Подтвердите личность:

[show-answer q = ”fs-id2243554 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2243554 ″]

[/ hidden-answer]

Использование формул полуугла для нахождения точных значений

Следующий набор тождеств — это набор формул половинного угла, который можно вывести из формул редукции и использовать, когда у нас есть угол, который составляет половину размера особого угла.Если мы заменим формулу половинного угла, синус будет найден путем упрощения уравнения и решения для Обратите внимание, что формулам половинного угла предшествует asign. Это не означает, что допустимы как положительные, так и отрицательные выражения. Скорее, это зависит от квадранта, в котором заканчивается.

Формула половинного угла для синуса выводится следующим образом:

Чтобы вывести формулу половинного угла для косинуса, мы имеем

Для касательной идентичности имеем

Формулы полуугловых

Формулы полуугла следующие:

Использование формулы полуугла для нахождения точного значения синусоидальной функции

Найти с помощью формулы половинного угла.

[show-answer q = ”fs-id2281042 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2281042 ″]

Так как мы используем формулу половинного угла для синуса:

Помните, что мы можем проверить ответ с помощью графического калькулятора.

[/ hidden-answer]

Анализ

Обратите внимание, что мы использовали только положительный корень, потому что он положительный.

Как к

Зная тангенс угла и квадрант, в котором находится угол, найдите точные значения тригонометрических функций половины угла.

  1. Нарисуйте треугольник для представления данной информации.
  2. Определите правильную формулу полуугла.
  3. Подставить значения в формулу, основанную на треугольнике.
  4. Упростить.
[show-answer q = ”fs-id1631214 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1631214 ″]

Используя данную информацию, мы можем нарисовать треугольник, показанный на (Рисунок). Используя теорему Пифагора, мы находим, что гипотенуза равна 17. Следовательно, мы можем вычислить и

. Рисунок 3.
  1. Прежде чем мы начнем, мы должны помнить, что if находится в квадранте III, следовательно, это означает, что конечная сторона находится в квадранте II, так как

    Чтобы найти, мы начнем с написания формулы половинного угла для синуса. Затем мы подставляем значение косинуса, которое мы нашли из треугольника на (Рисунок), и упрощаем.

    Мы выбираем положительное значение, потому что угол заканчивается в квадранте II, а синус положительный в квадранте II.

  2. Чтобы найти, мы напишем формулу половинного угла для косинуса, подставим значение косинуса, которое мы нашли из треугольника на (Рисунок), и упростим.

    Мы выбираем отрицательное значение, потому что угол находится в квадранте II, потому что косинус отрицательный в квадранте II.

  3. Чтобы найти, запишем формулу половинного угла для тангенса. Опять же, мы подставляем значение косинуса, которое мы нашли из треугольника на (Рисунок), и упрощаем.

    Мы выбираем отрицательное значение причин в квадранте II, а тангенс отрицательное во втором квадранте. [/ Hidden-answer]

Попробуй

Учитывая, что находится в квадранте IV, найдите точное значение

. [show-answer q = ”fs-id1762529 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1762529 ″]

[/ hidden-answer]

Ключевые понятия

  • Двойные угловые тождества выводятся из формул суммы основных тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса.См. (Рисунок), (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
  • Формулы приведения особенно полезны в исчислении, поскольку они позволяют уменьшить степень тригонометрического члена. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Формулы полууглов позволяют нам найти значение тригонометрических функций, включающих полууглы, независимо от того, известен ли исходный угол или нет. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).

Упражнения по разделам

Алгебраические

Для следующих упражнений найдите точные значения а) б) и в), не решая для

.

Ифандис в квадранте I.

Ифандис в квадранте IV.

Для следующих упражнений найдите значения шести тригонометрических функций, если указанные условия выполнены.

и

[show-answer q = ”fs-id2056415 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2056415 ″]

[/ hidden-answer]

и

Упростите следующие упражнения до одного тригонометрического выражения.

[show-answer q = ”fs-id1575788 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1575788 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений найдите точное значение, используя формулы половинного угла.

[show-answer q = ”fs-id1267577 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1267577 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id2786199 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2786199 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1541638 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1541638 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id2564655 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2564655 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений найдите точные значения a) b) и c), не решая, когда

Ифандис в квадранте IV.

Ифандис в квадранте II.

Для следующих упражнений используйте (Рисунок), чтобы найти требуемые половинные и двойные углы.

Рисунок 5.

Findand

Findand

[show-answer q = ”fs-id1475703 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1475703 ″]

[/ hidden-answer]

Findand

Findand

[show-answer q = ”fs-id1740867 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1740867 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений упростите каждое выражение.Не оценивайте.

[show-answer q = ”fs-id1615373 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1615373 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1615567 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1615567 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id2

2 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2

2 ″]

[/ hidden-answer]

Подтвердите свою личность в следующих упражнениях.

[show-answer q = ”fs-id2038543 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2038543 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id2259858 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2259858 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений перепишите выражение с показателем не выше 1.

[show-answer q = ”fs-id2296538 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2296538 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id2430151 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2430151 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id505042 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id505042 ″]

[/ hidden-answer]

Технологии

Для следующих упражнений сократите уравнения до степени единицы, а затем проверьте ответ графически.

[show-answer q = ”fs-id1154392 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1154392 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id2896955 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2896955 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1899789 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1899789 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id2186001 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2186001 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений алгебраически найдите эквивалентную функцию, только в терминах и / или, а затем проверьте ответ, построив графики обеих функций.

[show-answer q = ”fs-id1643964 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1643964 ″]

[/ hidden-answer]

Расширения

Для следующих упражнений подтвердите личность.

[show-answer q = ”fs-id2749007 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2749007 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id17

″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id17

″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id2569931 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2569931 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1506519 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1506519 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id2141257 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id2141257 ″]

[/ hidden-answer]

Глоссарий

формулы двойного угла
тождеств, полученных из формул суммы для синуса, косинуса и тангенса, в которых углы равны
формулы половинного угла
тождеств, полученных из формул приведения и используемых для определения значений половинного угла тригонометрических функций
формулы восстановления
тождеств, полученных из формул двойного угла и используемых для уменьшения мощности тригонометрической функции
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *