Формула средней линии треугольника: Средняя линия треугольника, формулы и примеры

Как найти среднюю линию треугольника формула?

Как найти среднюю линию треугольника формула?

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Сколько может быть средних линий в треугольнике?

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией этого треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. EF ∥ AC ; EF = AC 2 . В каждом треугольнике — три средних линии.

Как определить среднюю линию?

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне треугольника, а длина средней линии треугольника равна половине этой стороны.

Как найти среднюю линию трапеции если в нее вписана окружность?

В трапецию можно вписать окружность только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны. В данную трапецию вписана окружность, значит, сумма боковых сторон равна сумме оснований = 19 + 5 = 24. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, т. е.

Как найти основания трапеции?

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу: a = 2m — b. b = 2m — a.
2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании: a = b + h · (ctg α + ctg β) …
3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании: a = b + c·cos α + d·cos β

В каком отношении диагонали делятся в точке пересечения?

Диагонали делятся точкой пересечения на попарно равные отрезки.

Как делятся диагонали трапеции точкой пересечения?

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам

В каком отношении Диагональ трапеции делит среднюю линию?

Вывод: Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований. Задача 2.

Что делают диагонали?

Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности.

Как доказать свойства равнобедренной трапеции?

Признаки равнобедренной трапеции:

1. Если углы при основании трапеции равны, то она — равнобедренная.
2. Если сумма противолежащих углов трапеции равна 180º, то она — равнобедренная.
3. Если диагонали трапеции равны, то она — равнобедренная.
4. Если около трапеции можно описать окружность, то она — равнобедренная.

Сколько градусов в равнобедренной трапеции?

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360 ° . Свойство, которое присуще трапеции любого вида: сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180 ° .

Как найти площадь равнобедренной трапеции?

Площадь равнобедренной трапеции через ее основания и высоту Формула для нахождения площади равнобедренной трапеции через ее основания и высоту: S = a + b 2 ⋅ h {S= \dfrac{a+b}{2} \cdot h} S=2a+b⋅h, где a, b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Средняя линия. Средняя линия в трапеции. Равносторонний треугольник

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Средняя линия. Средняя
линия в трапеции.
Равносторонний
треугольник.
№15,17.
План
›
›
›
›
Средняя линия треугольника
Средняя линия трапеции
Правильный треугольник
Формула высоты, медианы и биссектрисы правильного
треугольника
› Формула радиуса вписанной окружности правильного

треугольника
› Формула радиуса описанной окружности правильного
треугольника
› Свойство медиан
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ
ТРЕУГОЛЬНИК
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
› Треугольник — фигура, состоящая из трёх точек, не
лежащих на одной прямой, и трёх отрезков,
соединённых последовательно.
› Средняя линия треугольника – отрезок,
соединяющий середины двух сторон.
Свойства средней линии:
1. MN II AC – параллельна основанию
1
2. MN = 2AC – равна половине основания
1
1
3. SBMN = 4SABC – отсекает от треугольника 4 часть
4. 3 средние линии треугольника делят его на 4 равных
треугольника
ЗАДАНИЕ №15 ИЗ ОГЭ
ЗАДАНИЕ №1
Дан треугольник ABC. На
сторонах AB и BC взяты точки
M и N, которые являются
серединами сторон AB и BC.
Найдите длину MN, если
известно, что сторона AB
равна 10, сторона AC равна 12,
сторона BC равна 14.
Решение:
ЗАДАНИЕ №1
Дан треугольник ABC. На
сторонах AB и BC взяты точки
M и N, которые являются
серединами сторон AB и BC.
Найдите длину MN, если
известно, что сторона AB
равна 10, сторона AC равна 12,
сторона BC равна 14.
Решение:
MN – средняя линия.
Средняя линия параллельна основанию
и равна её половине.
ЗАДАНИЕ №1
Дан треугольник ABC. На
сторонах AB и BC взяты точки
M и N, которые являются
серединами сторон AB и BC.
Найдите длину MN, если
известно, что сторона AB
равна 10, сторона AC равна 12,
сторона BC равна 14.
Решение:
MN – средняя линия.
Средняя линия параллельна основанию
и равна её половине.
1
MN = ⋅ 12
2
MN = 6
Ответ: 6
ЗАДАНИЕ №2
Дан треугольник ABC, DE –
средняя линяя треугольника.
Площадь треугольника CDE
равна 15. Найдите площадь
треугольника ABC.
Решение:
ЗАДАНИЕ №2
Дан треугольник ABC, DE –
средняя линяя треугольника.
Площадь треугольника CDE
равна 15. Найдите площадь
треугольника ABC.
Решение:
Площадь маленького треугольника =
1
площади большого треугольника.
4
ЗАДАНИЕ №2
Дан треугольник ABC, DE –
средняя линяя треугольника.
Площадь треугольника CDE
равна 15. Найдите площадь
треугольника ABC.
Решение:
Площадь маленького треугольника =
1
площади большого треугольника.
4
SCDE = 15
SABC = ?
SCDE = 15
SABC = x
ЗАДАНИЕ №2
Дан треугольник ABC, DE –
средняя линяя треугольника.
Площадь треугольника CDE
равна 15. Найдите площадь
треугольника ABC.
Решение:
1

English     Русский Правила

Видео с вопросами: нахождение периметра треугольника с помощью теоремы о средней линии треугольника и равенства треугольников

Стенограмма видео

Используйте данные на рисунке, чтобы определите длину отрезка 𝐷𝐹, а затем периметр треугольника 𝐷𝐸𝐹.

Тогда давайте начнем этот вопрос с глядя на данные, которые нам дают. Мы можем заметить, что у нас есть конгруэнтная пара отрезков, 𝐴𝐹 и 𝐵𝐹. И есть еще пара конгруэнтные отрезки, 𝐴𝐸 и 𝐶𝐸. Мы также можем отметить, что существует прямой угол, отмеченный на схеме. Таким образом, мера угла 𝐴𝐷𝐶 равна 90 градусов. Это также позволит нам отметить что мера угла 𝐴𝐷𝐵 также будет 90 градусов, так как 𝐵𝐶 является прямым отрезок прямой и сумма мер на прямой равна 180 градусов.

Теперь первая длина, которая нам нужна вычислить — это отрезок прямой 𝐷𝐹. Мы можем рассматривать этот отрезок в контексте этого треугольника 𝐴𝐵𝐷, отмеченного розовым цветом. Таким образом, мы можем видеть, что отрезок 𝐷𝐹 — это отрезок от вершины этого треугольника до середины противоположной стороны. И это указывало бы на эту строку отрезок 𝐷𝐹 является медианой этого треугольника.

Мы также можем отметить, что треугольник 𝐴𝐵𝐷 — прямоугольный треугольник. Это важно, потому что это означает мы можем применить свойство, что в прямоугольном треугольнике длина медианы от вершина прямого угла равна половине длины треугольника гипотенуза. Поскольку медиана взята из вершине прямого угла, то мы можем написать, что эта медиана 𝐷𝐹 равна половине длина гипотенузы, которая является отрезком прямой 𝐴𝐵. Судя по диаграмме, у нас есть 𝐴𝐵 49 летсантиметров, а половина этого даст 24,5 сантиметра. И вот мы нашли первый требуемая длина отрезка 𝐷𝐹.

Далее нам нужно найти периметр треугольника 𝐷𝐸𝐹. И мы можем вспомнить, что периметр — это расстояние вокруг внешнего края. У нас есть длины одного из сторон, то есть 𝐷𝐹. Итак, чтобы отработать периметр, нам нужно найти длины отрезков 𝐸𝐹 и 𝐸𝐷.

Возьмем отрезок 𝐸𝐷 первый. Как мы уже видели, линия отрезок 𝐸𝐷 образует медиану прямоугольного треугольника 𝐴𝐶𝐷. И эта медиана от вершины содержащие прямой угол. Это означает, что его длина будет половина длины гипотенузы треугольника 𝐴𝐶𝐷, который является отрезком прямой 𝐴𝐶. Нам дано на схеме, что длина 𝐴𝐶 45 сантиметров. Итак, отрезок 𝐸𝐷 имеет длину 22,5 сантиметра.

Теперь нам нужно найти окончательный длина в треугольнике 𝐷𝐸𝐹, который является отрезком 𝐸𝐹. На этот раз мы не можем сказать эту строку отрезок 𝐸𝐹 является медианой любого треугольника. Однако это отрезок соединяющие середины двух отрезков. И это подводит нас к одному из теоремы о середине треугольника, что длина отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника равны половине длины третьей сторона.

Итак, длина отрезка 𝐸𝐹 составляет половину длины третьей стороны, которая является отрезком прямой 𝐵𝐶. А учитывая, что 𝐵𝐶 37 сантиметров, то половина от этого равна 18,5 сантиметрам.

Теперь у нас достаточно информации, чтобы найдите периметр треугольника 𝐷𝐸𝐹. Мы можем добавить длины трех сторон 24,5, 22,5 и 18,5 см, что дает нам ответ 65,5 сантиметры. Таким образом, ответы на обе части вопрос можно задать, так как длина отрезка 𝐷𝐹 равна 24,5 сантиметра и периметр треугольника 𝐷𝐸𝐹 равен 65,5 см.

Середина отрезка Теорема

В треугольнике отрезок, соединяющий середины любых двух сторон, будет параллелен третьей стороне и равен половине ее длины.

Это показано на схеме ниже.

На схеме, показанной выше, мы имеем

DE || AB и DE = 1/2 ⋅ AB

Середина

Возможно, мы уже знаем четыре специальных типа отрезков треугольника: серединные перпендикуляры, биссектрисы угла, медианы и высоты. Другой особый тип сегмента называется средним сегментом.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Упражнение

Вы можете сформировать три средние части треугольника, обведя треугольник на бумаге, вырезав его и сложив.

Шаг 1 :

Сложите одну вершину на другую, чтобы найти одну среднюю точку.

Шаг 2:

Повторите процесс, чтобы найти две другие средние точки.

Шаг 3 :

Сложите сегмент, содержащий две средние точки.

Шаг 4 :

Согните оставшиеся две средние части треугольника.

Решение задач на средний отрезок Теорема

Задача 1 :

На приведенной ниже диаграмме покажите, что средний отрезок MN параллелен стороне JK и вдвое короче.

Решение:

Используйте формулу средней точки, чтобы найти координаты M и N.

Координаты M:

= ([-2 + 6]/2, [3 + (-1)]/2)

= (4/2, 2/2)

= (2, 1)

Координаты N :

= ([4 + 6]/2, [5 + (-1)]/2)

= (10/2 , 4/2)

= (5 , 2)

Теперь найдите наклоны JK и MN.

Наклон JK :

= [5 — 3]/[4 — (-2)]

= 2/6

= 1/3

Наклон MN :

Наклон MN = [2 — 1]/[5 — 2]

Наклон MN = 1/3

Поскольку наклоны JK и MN равны, стороны JK и MN параллельны.

Используя формулу расстояния, мы имеем

MN = √10

JK = √40 = 2√10

Итак, MN вдвое длиннее JK.

Задача 2 :

На приведенной ниже диаграмме UW и VW являются средними сегментами треугольника RST. Найдите UW и RT.

Решение:

По теореме о средней линии имеем

UW = 1/2 ⋅ RS = 1/2 ⋅ 12 = 6

RT = 2 ⋅ VW = 2 ⋅ 90 30 8 = 16 900

Напишите координатное доказательство теоремы о срединном отрезке.

Решение:

Расположите точки A, B и C в удобных местах на координатной плоскости так, чтобы каждая координата была кратна 2.

(Если каждая координата кратна 2, будет легче разделить на 2, когда мы найдем средней точки)

Координаты D :

= ([2a + 0]/2, [2b + 0]/2)

= (a , b)

Координаты E :

= ([2a + 2c]/2, [2b + 0]/2)

= (a + c, b)

Найти наклон середины DE :

= [b — b]/[a + c — a]

= 0/c

= 0

Найдите наклон AB :

Сторона AB лежит на оси x.

Поскольку наклон оси x равен нулю, наклон оси AB также равен нулю.

То есть

Наклон AB = 0

Поскольку наклоны DE и AB равны, стороны DE и AB параллельны.

Найдите длины DE и AB :

DE = |a + c — a| = |с| = с

АВ = |2с — 0| = |2с| = 2c

Длина DE вдвое меньше длины AB.

Задача 4 :

Средними точками треугольника являются P(4, 2), Q(2, 3) и R(5, 4). Каковы координаты вершин треугольника.

Решение:

Нанесите на координатную плоскость средние точки P(4, 2), Q(2, 3) и R(5, 4).

Соедините эти средние точки, чтобы сформировать средние сегменты PQ, QR и PR.

Найдите наклоны средних сегментов.

Наклон среднего отрезка PQ :

= (3 — 2)/(2 — 4)

= -1/2

Наклон среднего отрезка QR :

= (4 — 3)/(5 — 2)

= 1/3

Наклон среднего сегмента PR :

= (4 — 2)/(5 — 4)

= 2/1

= 2

Каждая середина содержит две середины треугольника и параллельна стороне, содержащей третью точку середины.