Функция тангенс: Функция y = tgx и её свойства — урок. Алгебра, 10 класс.

Сообщество Экспонента

• Публикация
• 07.12.2022

Электропривод и силовая электроника

Наша команда представила решение для электроэнергетической отрасли на базе КПМ РИТМ. В очередной раз мы провели демонстрацию работы стенда с терминалами РЗиА (ВАЖНО! — мы не занимаемся рекламой сипротеков, на их месте может быть любой терминал, в том числе и В…

На прошлой неделе прошел международный форум «Электрические сети», который объединил десятки ведущих представителей профессионального сообщества электроэнергетики, а также задал вектор развития для внедрения новых прорывных технологий.

• Электропривод
• электроэнергетика

07.12.2022

• Публикация
• 07.12.2022

Робототехника и беспилотники

В докладе будет рассказано о применении алгоритмов обучения с подкреплением к различным задачам: от простых игровых задач до задачи навигации мобильного робота. Также будут представлены результаты сравнения различных алгоритмов в задачах избежания столкновения.

..

Приглашаем на вебинар «Обучение с подкреплением: от игр к реальным задачам», который пройдет 13 декабря в 10:00.

В настоящее время технологии обучения с подкреплением активно применяются во многих сферах: от ритейла до автономных транспортных средств. Может быть лучше: основной сложностью этого подхода является отсутствие размеченных данных, и, к сожалению, нет формализованного подхода как данные могут быть размечены для этой задачи. Другая сложность — это формализация функции вознаграждения. От удачного ее выбора зависит конечный успех настройки алгоритма управления.

• MATLAB
• Simulink
• САУ
• МОП
• Модельно ориентированное проектирование
• Искусственный интеллект

07.12.2022

• вопрос
• 07.12.2022

Системы связи, Цифровая обработка сигналов, ПЛИС и СнК, Другое

Здравствуйте! У меня вопрос по поводу дифференциальной квадратурной фазовой модуляции (DQPSK), которая применяется в стандарте связи TETRA.   Мне необходимо построить сигнал с данной модуляцией и…

Здравствуйте! У меня вопрос по поводу дифференциальной квадратурной фазовой модуляции (DQPSK), которая применяется в стандарте связи TETRA.  Мне необходимо построить сигнал с данной модуляцией и…

13 Ответов

• вопрос
• 07.12.2022

Изображения и видео, Математика и статистика, Автоматизация испытаний, Другое

Добрый день, мне нужно выполнить в матлаб вычитание постоянного наклона для изображения, полученного атомно-силовым микроскопом. Изображение представляет собой квадратную матрицу. Для этого требуется…

Добрый день, мне нужно выполнить в матлаб вычитание постоянного наклона для изображения, полученного атомно-силовым микроскопом. Изображение представляет собой квадратную матрицу. Для этого требуется…

6 Ответов

• вопрос
• 06.12.2022

Математика и статистика, Системы управления, Изображения и видео, Робототехника и беспилотники, Глубокое и машинное обучение(ИИ)

Коллеги, добрый день.     Как правильно орудоватьть fprintf, чтобы получить лог-файл следующего вида дата tab событие дата tab событие ….   Я прорбую вот так: fid1=fopen(fullfile(app….

Коллеги, добрый день.     Как правильно орудоватьть fprintf, чтобы получить лог-файл следующего вида дата tab событие дата tab событие ….   Я прорбую вот так: fid1=fopen(fullfile(app….

1 Ответ

• вопрос
• 05.12.2022

Системы управления, Изображения и видео, Робототехника и беспилотники, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Другое

Дорогой, hub/exponenta/   подсткажите, пожалуйста, есть ли какая-нибудь разница при запуске в среде Апп дизайнера и откомпелировангого проекта? В среде Апп дизайнера файл создается с помощью функ…

Дорогой, hub/exponenta/   подсткажите, пожалуйста, есть ли какая-нибудь разница при запуске в среде Апп дизайнера и откомпелировангого проекта? В среде Апп дизайнера файл создается с помощью функ. ..

• вопрос
• 05.12.2022

Системы управления, Робототехника и беспилотники, Математика и статистика, Верификация и валидация, Встраиваемые системы, Автоматизация испытаний, Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Другое

Здравствуйте, никак не пойму как нужно соединить блоки, чтобы построить систему. Пожалуйста помогите, спасибо. Задание. Моделирование работы магазина.Требуется промоделировать работу небольшого магази…

Здравствуйте, никак не пойму как нужно соединить блоки, чтобы построить систему. Пожалуйста помогите, спасибо. Задание. Моделирование работы магазина.Требуется промоделировать работу небольшого магази…

• вопрос
• 04.12.2022

Другое

У вас на сайте была переведенная на русский документация MATLAB? Не могу найти.

У вас на сайте была переведенная на русский документация MATLAB? Не могу найти.

4 Ответа

• Отвеченный вопрос
• 03.12.2022

Системы управления, Электропривод и силовая электроника

Здравствуйте! Очень нужна помощь, мне нужно многократно (раз 50) запустить схему в симулинке, меняя всего лишь один Gain на +1 или на +0,5 на каждом запуске. Вручную мне это делать надоело, но я не зн…

Здравствуйте! Очень нужна помощь, мне нужно многократно (раз 50) запустить схему в симулинке, меняя всего лишь один Gain на +1 или на +0,5 на каждом запуске. Вручную мне это делать надоело, но я не зн…

2 Ответа

• Simulink

03.12.2022

• вопрос
• 01.12.2022

Другое

Доброго времени суток. Решил исправить немного модель в симулинке, использовал блок Switch, обнаружил, что он работает некорректно. При подаче на него того же значения он просто выдает ноль, хотя долж…

Доброго времени суток. Решил исправить немного модель в симулинке, использовал блок Switch, обнаружил, что он работает некорректно.

При подаче на него того же значения он просто выдает ноль, хотя долж…

1 Ответ

Бесплатные видеоуроки от проекта «Инфоурок»

Большая коллекция из 3243 видеоурока по 20 предметам и различным темам

УченикВероника

УчительЕвгения Вадимовна

Отличный учитель, который всегда вовлекает ученика в процесс, и сам проявляет заинтересованность в успехах ученика. Интересно слушать и работать!

УченикВероника

УчительДарья Максимовна

Дарья Максимовна замечательный, отзывчивый педагог!Обьясняет простым и доступным язык любую сложную тему- это большой плюс!! Спасибо большое моему репетитору, так как я уверена, что ОГЭ сдам на отлично !!

УченикДарья

УчительЕлизавета Владимировна

Очень качественные и продуктивные занятия. Занимаюсь не долго, но уже чувствуется прогресс. Очень милый и добрый преподаватель. Всё понятно объясняет. Мне, очень нравится заниматься математикой с Елизаветой Владимировной.

УченикКарина

УчительАндрей Юрьевич

Мне понравилось заниматься с Андреем Юрьевичем. Впервые встречаю репетитора, который прежде учить языку, рассказывает про его истоки – географию, культуру, историю. Мне очень откликается такой подход. Видно, что преподаватель с большим опытом. Я очень довольна первым занятием! Буду продолжать заниматься с данным преподавателем.

УченикМия

УчительТатьяна Александровна

Ответственная, настойчивая, харизматичная, пунктуальная, высокий уровень проф подготовки, терпеливая. Наша девочка довольна, проявляет явный интерес к урокам и продвинулась в изучаемой теме. Большое спасибо вам и преподавателю Татьяне Александровне.

УченикАлёна

УчительЕлена Петровна

Прекрасный преподаватель. После восьми занятий английский стал намного лучше, многое узнала. Все понятно в объяснении, уроки на позитиве. Благодарна за работу. Искренне рекомендую.

УченикКатя

УчительЕлена Александровна

Все понравилось приятно работать с учителем. Как по мне лучше чем Елена Александровна я еще не видела учителя по русскому языку.

УченикДиана

УчительДиана Михайловна

У Дианы Михайловны занимаются английским языком две дочери: Есения и Ксения. Девочкам очень нравится преподаватель и наполнение уроков, материал преподносится в очень интересной форме, а все объяснения понятны и доступны. Девочки уже показали успехи в изучении английского языка в школе.

УченикДмитрий

УчительСветлана Анатольевна

Дмитрий прошел со Светланой Анатольевной 4 занятия и уже виден прогресс! Мальчик по натуре немного застенчивый, поначалу был немногословен, но уже хорошо разговаривает на уроках, что говорит о профессионализме педагога.

УченикАрина

УчительИрина Сергеевна

Спасибо огромное. Очень рады, что нашли этот ресурс для занятий. Ирина Сергеевна объясняет все быстро, понятно и динамично. Всего за несколько занятий наверстали упущенное по химии и прошли дальше. Обязательно будем обращаться в дальнейшем.

УченикЕлизавета

УчительРимма Николаевна

У Елизаветы есть успехи, занимается с удовольствием и заинтересованностью. Римма Николаевна очень интересно преподносит материал. Очень нравится учитель, занимаемся с удовольствием.

УченикАртём

УчительНина Ивановна

Нам понравилась Нина Ивановна, хороший человек и прекрасный педагог. Очень ответственная, трудолюбивая и толковая. Сразу нашла подход к ученику. Доходчиво объяснит любую тему. Преподаватель, в отличии от многих репетиторов не просто отбывает время, а действительно помогает.

УченикЭдуард

УчительЖанна Сергеевна

Замечательный педагог, нашла подход с первых занятий. Все очень доходчиво и понятно объясняет. Ребенку очень нравится, просит дополнительные часы для занятий.

УченикЛюдмила

УчительРита Ивановна

Добрый день! Рита Ивановна очень профессионально оценила все пробелы моего сына и нам бы хотелось продолжить с ней обучение! Занятия очень хорошие, учитель понятно все объясняет, всем рекомендую.

УченикСветлана

УчительОльга Олеговна

Спасибо Ольге Олеговне за проведённый урок в праздничный день. Здоровья, процветания, побольше радостных событий в жизни, благополучия, успехов и удачи в таком не лёгком и таком нужном труде!!! Спасибо за урок, всё понравилось!

УченикИрина

УчительТатьяна Николаевна

Очень грамотный педагог, хорошо подходит к вопросам с которыми обращаемся, подход к ребенку очень понравился, буквально на 5-8 урок у ребенка был уже прогресс и теперь любит математику. На урок математики приходим с удовольствием, подтянули свои недочеты, решаем быстро примеры, а главное сами. Спасибо за знания!

УченикПолина

УчительСветлана Михайловна

Светлана Михайловна очень хороший учитель, за урок мы разбираем много вопросов и обсуждаем правила русского языка в каждом конкретном примере. Занимаюсь с удовольствием!

УченикМария

УчительДарья Александровна

Замечательный, приятный и внимательный преподаватель. Ребенок сначала засмущался от непривычного формата урока, но Дарья Александровна, в итоге, смогла завоевать внимание и доверие дочери. Обязательно будем продолжать обучение! Спасибо!

УченикАнтон

УчительСветлана Васильевна

Репетитор быстро оценила проблемы, порекомендовала способы восполнения пробелов. Продолжим заниматься дальше, так как Светлана Васильевна доступно объясняет материал, и все сразу становится понятным. Классный репетитор, советую!

УченикСофия

УчительГалина Михайловна

Добрый день! Галина Михайловна — замечательный педагог! Мне все было очень понятно и вообще было приятно общаться! Была непонятна тема : ,, Не /ни с глаголами ,,. После того, как Галина Михайловна объяснила, все трудности были сняты. Огромное спасибо !!! 🙏

УченикЛеонид

УчительЕлена Александровна

На уроке педагог работала по индивидуальной программе, выявила пробелы в знаниях и все доходчиво разъяснила. Сложные темы, объяснили легко и понятно, сыну все очень понравилось!

УченикГалина

УчительТамара Иосифовна

Замечательный педагог и очень доброжелательный человек!!! Тамара Иосифовна очень доходчиво объяснила непонятные для меня моменты, причем из разных тем, за один урок!!! Урок проходил в спокойной и дружественной обстановке. Спасибо большое!!! Очень понравилось!!!

УченикМария

УчительВладимир Григорьевич

Спасибо большое, Вы лучший преподаватель по информатике. Как хорошо, что есть такая замечательная платформа. Спасибо всем, кто ее организовал и Вам лично. Всем друзьям и знакомым буду рекомендавать! онлайн-уроки.

УченикОльга

УчительИрина Ивановна

Очень понравился урок! Ирина Ивановна с первых минут расположил к себе ребёнка так, что даже мой непоседливый и не очень настроенный на учебу пятиклассник увлекся так, что не заметил, как пролетели 45мин. Спасибо! С удовольствием продолжим занятия!

УченикФёдор

УчительНаталия Анатольевна

Как родитель могу сказать, что самое важное — это расположить к себе ребенка. Уже после первого занятия с Наталией Анатольевной я увидела желание заниматься в глазах своей дочери. Занятие проходило очень комфортно. Понравилось, как построена программа проверочного урока.

УченикПолина

УчительМарина Михайловна

Мне очень понравилось вводное занятие, спасибо большое. За пол часа Марина Михайловна с помощью разговора поняла все мои слабые места и помогла многие из них подправить и понять. Я хочу заниматься с ней и далее.

УченикАйсултан

УчительГалина Дмитриевна

Здравствуйте! У нас был пробный урок с Галиной Дмитриевной по математике. Занимались именно логическими задачами. Учитель имеет очень хороший подход к детям и у нее есть своя отработанная хорошая методика. Хорошо объясняет, приятная. Спасибо!

УченикВиктор

УчительЮлия Анатольевна

Спасибо большое учитель объясняет очень хорошо там где ты что либо не поймёшь педагог тебе всё объяснит как раз педагог сказала повторить всё то что мне говорил предыдущий репетитор СПАСИБО БОЛЬШОЕ !!!

УченикМаксим

УчительАлёна Юрьевна

Благодарим за интересное и познавательное занятие! Преподаватель четко и внимательно ведет занятие, обращает внимание на моменты, которые необходимо доработать. Профессионально! Приятно общаться.

УченикАлександр

УчительАнастасия Сергеевна

Добрый день! Мы безумно рады, что нам посчастливилось найти такого замечательного и удивительного педагога, как Анастасия Сергеевна! Она очень интересно проводит урок, ребёнок безумно рад. Сразу чувствуется, что человек талантливый. С нетерпением ждём новый урок.

УченикЕкатерина

УчительСергей Васильевич

Спасибо за урок! Занятие очень понравилось, Сергей Васильевич все понятно и интересно обьясняет, во время урока была доброжелательная атмосфера. Также учитель посоветовал некоторые книги и способы подготовки к экзамену. Спасибо!!!

УченикКарина

УчительГулез Гаджимурадовна

Нравятся все педагоги с которыми мы занмаемся, все обладают высоким уровнем профессионализма,используют интересные и современные методы и технологии обучения. Имеет хороший уровень научно-методической подготовки. Ребенок занимается с большим интересом. Будем заниматься с Вами до окончания школы, сейчас мы в 4 классе)

УченикФеона

УчительНаталия Михайловна

За 45 минут узнала и поняла больше, чем за полгода в школе. Учитель объясняет очень понятно, доходчиво, выше школьного уровня. Однозначно этот урок не последний. С Уважением, Феона.

УченикЕкатерина

УчительНаталья Васильевна

Спасибо, Наталья Васильевна! Профессионально, четко, по делу. Педагог очень терпеливая, спокойная, уверенная. Занятие очень понравилось и ребенку и мне, маме.

УченикМаксим

УчительАлександр Александрович

Спасибо большое Александру Александровичу. Очень быстро нашел подход к ребёнку , а так же увлек математикой! Ребёнку было комфортно общаться. Надеемся встретиться на следующих занятиях.

УченикМарина

УчительНиколай Васильевич

Николай Васильевич помог за короткий срок восполнить пробелы в знаниях, за что очень благодарны! Уроки очень интересные! Будем обращаться еще к нему.

УченикМарина

УчительАлександр Сергеевич

Занятия ребенку с Александром Сергеевичем очень нравятся. Все схватывает, доволен уроками. С репетитором нашли общий язык. Мы очень благодарны Александру Сергеевичу! Хороший педагог. Спасибо.

УченикЕлизавета

УчительАлёна Игоревна

Дети понимают всё, абсолютно. В школе не понимают ничего, а с Вашими репетиторами понимают всё. Сдвиги очень большие. Алёна Игоревна хороший педагог. Все занятия результативные.

УченикДжу Уван Ми

УчительГалина Михайловна

Плохо знаю русский язык, и постоянно делаю многие ошибки в тексте и в работе. Только благодаря достуным объяснениям учителя я мог самостоятельно находить ошибки. Большое спасибо за Вашу работу и сердечные помощи в изучении русского языка!

УченикРоман

УчительИрина Алексеевна

Мой сын занимался с Ириной Алексеевной, очень понравилось, всё спокойно и понятно было показано, рассказано. Очень профессионально и качественно выстроены занятия, учитель доброжелателен, ребенку интересно заниматься.

УченикЖеня

УчительОльга Сергеевна

Ольга Сергеевна — профессинал своего дела. Высококвалифицированный педагог. По английскому нужно было именно аудирование и речь, 100% подобрали репетитора по нашему запросу. Педагог строгий — то, что нужно моему ребёнку. Мы очень довольны!

УченикНикита

УчительСарвар Шодиевич

До этого никогда не занимался у репетиторов, думал что буду сидеть ничего не понимать и всё время уйдёт зря. Однако Сарвар Шодиевич очень понятно объясняет, не подчёркивает ваши «незнания» и до упора старается всё разъяснить. Могу с уверенностью посоветовать этого репетитора каждому, кто хочет разобраться в алгебре и геометрии.

УченикВиктор

УчительЮлия Анатольевна

Спасибо большое учитель объясняет очень хорошо там где ты что либо не поймёшь педагог тебе всё объяснит как раз педагог сказала повторить всё то что мне говорил предыдущий репетитор СПАСИБО БОЛЬШОЕ !!!

УченикЭльмира

УчительЛюдмила Евгеньевна

Выражаю благодарность центру где есть такие сильные и ответственные учителя. Отдельная благодарность Людмиле Евгеньевне за опыт за знания.

УченикДарья

УчительОльга Александровна

Ольга Александровна отлично объясняет темы, с ребенком нашла общий язык моментально. Дочь занимается с удовольствием, пробелы подтянули за пару уроков. Спасибо Вам большое!

УченикОлеся

УчительГузалия Робертовна

Сыну очень понравилось заниматься с Гузалией Робертовной. Очень внимательный и доброжелательный педагог, который сразу видит слабые стороны. Всячески поощряет ребёнка и помогает поднять самооценку. Большое спасибо!

УченикДарья

УчительМария Никитична

Нравится, как преподает Мария Никитична (по программе школы + присутствует игровая минутка, ученице на занятиях не бывает скучно) Уровень знаний повысили до 5-ки, значительно расширили словарный запас. Все устраивает, рекомендует знакомым и в целом рада, что такая платформа существует.

УченикОлеся

УчительДаниил Станиславович

Спасибо. Урок понравился. Даниил Станиславович заинтересовал английским языком. Составили предположительные темы для занятий после новогодних праздников

УченикГеоргий

УчительЕкатерина Станиславовна

Грамотный, добрый, располагающий к себе педагог. С ребёнком Екатерина Станиславовна установила хороший контакт. Преподносит информацию очень доступно. Занятие проходит разнообразно, в том числе в игровой форме. Рекомендуем 5+

УченикНиколя

УчительАлла Валентиновна

Алла Валентиновна отличный преподаватель! Выявила все пробелы в знаниях Константина по русскому языку и работает над их устранением. Также помогает в работе над текущими темами урока. Уже прошли несколько занятий и продолжаем заниматься. нашла общий язык с сыном. Все нравится. Хотим заниматься дальше!

УченикПолина

УчительСветлана Григорьевна

Светлана Григорьевна просто супер учитель!!!! Все очень понятно и хорошо объясняет, прохожу с ней темы по географии 6 класса. На уроке с ней очень интересно. Уже 2 урока — одно удовольствие!!!

УченикНаталья

УчительСергей Александрович

Классный репетитор, все темы разбираются на 5+, будем обязательно продолжать обучение, также рекомендуем всем ученикам!

УченикМаксим

УчительНадежда Викторовна

Замечательный педагог, с которым нравится заниматься. Максим готовится к сдаче ОГЭ по русскому языку и занимается с репетитором с начала ноября прошлого года. За это время успели повторить пройденный материал и изучить несколько тем нового материала. Надежда Викторовна объясняет материал в доступной форме. Максим продолжит с ней занятия.

УченикАлександра

УчительИрина Борисовна

Отличный репетитор ! Ирина Борисовна обьясняет сложные темы простым и доступным языком ! Сердечно благодарю педагога за грамотность и профессионализм !!!!

УченикФеона

УчительЯнина Александровна

Преподаватель компетентный, объясняет понятно, выше школьного уровня. Быстро заполняет пробелы в знаниях. Будем сотрудничать. С Уважением, Феона.

УченикМадина

УчительМария Анатольевна

Очень чётко и понятно объяснила Мария Анатольевна. Спасибо вам. Не смотря первый раз, пробную занятия, она прям очень понравилась дочке и естественно мне💐. В дальнейшем обязательно будем заниматься с ней и подниматься.

УченикВероника

УчительЕвгения Вадимовна

Отличный учитель, который всегда вовлекает ученика в процесс, и сам проявляет заинтересованность в успехах ученика. Интересно слушать и работать!

УченикВероника

УчительДарья Максимовна

Дарья Максимовна замечательный, отзывчивый педагог!Обьясняет простым и доступным язык любую сложную тему- это большой плюс!! Спасибо большое моему репетитору, так как я уверена, что ОГЭ сдам на отлично !!

УченикДарья

УчительЕлизавета Владимировна

Очень качественные и продуктивные занятия. Занимаюсь не долго, но уже чувствуется прогресс. Очень милый и добрый преподаватель. Всё понятно объясняет. Мне, очень нравится заниматься математикой с Елизаветой Владимировной.

УченикКарина

УчительАндрей Юрьевич

Мне понравилось заниматься с Андреем Юрьевичем. Впервые встречаю репетитора, который прежде учить языку, рассказывает про его истоки – географию, культуру, историю. Мне очень откликается такой подход. Видно, что преподаватель с большим опытом. Я очень довольна первым занятием! Буду продолжать заниматься с данным преподавателем.

Вычисление тригонометрической функции тангенса

Общее

Функция тангенса, в современных обозначениях обозначаемая как tan(x), является тригонометрической функцией. Тригонометрические функции обычно устанавливаются как функции угла в контексте геометрии прямоугольного треугольника. Таким образом, тангенс угла φ определяется как отношение противолежащей стороны прямоугольного треугольника, содержащего φ, к прилежащей стороне (см. рисунок):

\tan(\varphi) = \frac{\textrm{ противоположная сторона}}{\textrm{прилегающая сторона}}

К сожалению, приведенное выше определение ограничено диапазоном углов от 0 до 90°. Расширяя этот диапазон, в удобном определении используется единичный круг (радиус равен 1). Любая точка окружности соответствует паре значений синуса и косинуса угла, заключенного между положительной горизонтальной осью и радиальным сегментом, направленным к этой точке, как показано на рисунке ниже. Абсолютное значение касательной представлено длиной касательного сегмента от точки окружности до горизонтальной оси. Угол φ считается положительным в направлении против часовой стрелки. Углы больше 90°, как и отрицательные, возможны при соблюдении соответствующего знака координат.

Приведенные выше определения функции тангенса основаны на геометрической конструкции (прямоугольный треугольник или единичная окружность) и предполагают, что ее аргументом является угол. Эта ассоциация с углом носит ограничительный характер, учитывая широкое использование тригонометрических функций в математике, физике, технике и т. д. Приложения могут принимать в качестве аргумента любое реальное значение x\in\mathbb{R} с любым вообразимым значением, придаваемым ему, или вообще никакое. \circ}{\pi}). Таким образом, удобнее применять правила вывода и интегрирования. 97}{315} \cdots \end{split}

Приведенный выше ряд сходится при -\frac{pi}{2} < x < \frac{pi}{2}. B _n обозначает n-е число Бернулли.

Свойства

Касательная функция является периодической с периодом, равным π. Следовательно:

\tan (x + k\pi ) = \tan x, \quad k\in \mathbb{Z}

Тангенс связан с функциями синуса и косинуса по формуле:

\tan x = \frac {\sin x}{\cos x}

Производная функции тангенса (x в радианах) определяется следующими выражениями: 92 a\\ \\ \end{split}

APC Касательная функция

Мотивирующие вопросы

• Как определяется функция тангенса в терминах функций синуса и косинуса?

• Почему график функции тангенса так отличается от графиков функций синуса и косинуса?

• Каковы важные применения функции тангенса?

В упражнении 4.1.4 мы определили расстояние между двумя точками \(A\) и \(B\) на противоположных сторонах реки, зная длину вдоль одного берега реки и угол, образованный между точкой ниже по течению и точку на противоположном берегу, как показано на рисунке 4. 2.1. Сначала используя косинус угла, мы определили значение \(z\) и оттуда смогли использовать синус угла, чтобы найти \(w\text{,}\) ширину реки, которая оказывается быть

\begin{уравнение*} w = 50 \cdot \frac{\sin(56.4)}{\cos(56.4)}\text{.} \end{equation*}

Рисунок 4.2.1. Нахождение ширины реки.

Оказывается, нам регулярно нужно вычислять отношение функций синуса и косинуса под одним и тем же углом, поэтому удобно определить новую функцию как их отношение.

Определение 4.2.2. Касательная функция.

Для любого действительного числа \(t\), для которого \(\cos(t) \ne 0\text{,}\) мы определяем тангенс \(t\) , обозначенный \(\tan(t)\text{,}\)

\begin{уравнение*} \ tan (t) = \ frac {\ sin (t)} {\ cos (t)} \ text {.} \end{уравнение*}

Предварительный просмотр 4.2.1.

Ответив на следующие вопросы, мы пытаемся понять специальные значения и общее поведение функции тангенса.

1. Без использования вычислительного устройства найти точное значение \(\tan(t)\) при следующих значениях: \(t = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4 }, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}\text{.

   }\ )

2. Почему \(\tan \left( \frac{\pi}{2} \right)\) не определено? Какие еще три входных значения \(x\), для которых \(\tan(x)\) не определены?

3. Перейдите в браузере по адресу http://gvsu.edu/s/0yO ¹ («zero-y-Oh»), чтобы найти рабочий лист Desmos с уже введенными данными функции тангенса. Нажмите на несколько оранжевых точек, чтобы сравнить ваши точные значения в (а) с десятичными значениями, заданными Desmos . Добавьте в таблицу одну запись: \(x = \frac{11\pi}{24}\text{,}\) \(y = T(\frac{11\pi}{24})\text{.} \) Примерно в каких координатах лежит эта точка? Каковы соответствующие значения \(\sin(\frac{11\pi}{24})\) и \(\cos(\frac{11\pi}{24})\text{?}\) Почему значение \(\tan(\frac{11\pi}{24})\) такое большое?

4. В верхней части списка ввода в левой части рабочего листа Desmos щелкните кружок, чтобы выделить функцию \(T(x) = \tan(x)\) и, таким образом, отобразить ее график вместе с точками данных. в оранжевом. Используйте график и свою работу выше, чтобы ответить на следующие важные вопросы о функции тангенса:

   • Каков домен \(y = \tan(x)\text{?}\)

   • Каков период \(y = \tan(x)\text{?}\)

   • Каков диапазон \(y = \tan(x)\text{?}\)

Подраздел 4.2.1 Два взгляда на касательную функцию

Рисунок 4.2.3. Угол \(t\) в стандартном положении в единичной окружности, пересекающий дугу из \((1,0)\) в \((a,b).\)Рисунок 4.2.4. Прямоугольный треугольник со смежными катетами и противоположным углом \(\theta\text{.}\)

Поскольку функция тангенса определяется через две фундаментальные круговые функции по правилу \(\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\text{,}\), мы можно использовать наше понимание функций синуса и косинуса, чтобы понять функцию тангенса. В частности, мы можем рассматривать тангенс угла с двух разных точек зрения: как угол в стандартном положении в единичной окружности или как угол в прямоугольном треугольнике.

С точки зрения рисунка 4.2.3, поскольку точка, соответствующая углу \(t\), пересекает окружность и порождает точку \((a,b)\text{,}\), мы знаем, что \(\cos(t ) = a\) и \(\sin(t) = b\text{,}\) и, следовательно, функция тангенса отслеживает отношение этих двух величин и определяется как

\begin{уравнение*} \ tan (t) = \ frac {\ sin (t)} {\ cos (t)} = \ frac {b} {a} \ text {.} \end{уравнение*}

С точки зрения любого прямоугольного треугольника (не обязательно в единичной окружности) с гипотенузой «hyp» и катетами «adj» и «opp», которые соответственно примыкают и противоположны известному углу \(\theta\text{,}\) как видно на рисунке 4.2.4, мы знаем, что \(\sin(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}\) и \(\cos(\theta) = \frac {\text{adj}}{\text{hyp}}\text{.}\) Подставив эти выражения вместо \(\sin(\theta)\) и \(\cos(\theta)\) в правиле для касательной функции, мы видим, что

\begin{уравнение*} \ tan (\ theta) = \ frac {\ sin (\ theta)} {\ cos (\ theta)} = \ frac {\ frac {\ text {opp}} {\ text {hyp}}} {\ frac { \text{adj}}{\text{hyp}}} = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}\text{. } \end{уравнение*}

Обычно мы используем первую перспективу отслеживания отношения \(y\)-координаты к \(x\)-координате точки, пересекающей единичный круг, чтобы думать об общем поведении и графике касательной функции , и используйте вторую перспективу в прямоугольном треугольнике всякий раз, когда мы работаем над определением пропущенных значений в треугольнике.

Подраздел 4.2.2 Свойства касательной функции

Поскольку функция тангенса определяется в терминах функций синуса и косинуса, ее значения и поведение полностью определяются этими двумя функциями. Для начала мы знаем значение \(\tan(t)\) для каждого специального угла \(t\) на единичной окружности, который мы определили для функций синуса и косинуса. Например, мы знаем, что

\begin{уравнение*} \tan \left(\frac{\pi}{6} \right) = \frac{ \sin \left(\frac{\pi}{6} \right)}}{\cos \left(\frac{\pi {6} \right) } = \ frac{ \ frac {1} {2} }{ \ frac {\ sqrt {3}} {2} } = \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ text {.} \end{уравнение*}

Выполняя аналогичные вычисления для каждого известного специального угла на единичной окружности, мы получаем результаты, показанные в Таблице 4. 2.5 и Таблице 4.2.6. Отметим также, что в любом месте \(\cos(t) = 0\text{,}\) значение \(\tan(t)\) не определено. Записываем такие экземпляры в таблицу, записывая «u».

Таблица 4.2.5.

\(т\)	\(0\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{6}\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{4}\)	\(\ гидроразрыва {\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\пи\)
\(\sin(t)\)	\(0\)	\(\ гидроразрыва{1}{2}\)	\(\ гидроразрыва {\ sqrt {2}} {2} \)	\(\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2} \)	\(1\)	\(\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2} \)	\(\ гидроразрыва {\ sqrt {2}} {2} \)	\(\ гидроразрыва{1}{2}\)	\(0\)
\(\cos(t)\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\ гидроразрыва {\ sqrt {2}} {2} \)	\(\ гидроразрыва{1}{2}\)	\(0\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-1\)
\(\загар(т)\)	\(0\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	\(1\)	\(\frac{3}{\sqrt{3}}\)	и	\(-\frac{3}{\sqrt{3}}\)	\(-1\)	\(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)	\(0\)

Таблица 4. 2.6.

\(т\)	\(\frac{7\pi}{6}\)	\(\frac{5\pi}{4}\)	\(\frac{4\pi}{3}\)	\(\frac{3\pi}{2}\)	\(\frac{5\pi}{3}\)	\(\frac{7\pi}{4}\)	\(\frac{11\pi}{6}\)	\(2\пи\)
\(\sin(t)\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-1\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\cos(t)\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(\ гидроразрыва{1}{2}\)	\(\ гидроразрыва {\ sqrt {2}} {2} \)	\(\ гидроразрыва {\ sqrt {3}} {2} \)	\(0\)
\(\загар(т)\)	\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)	\(1\)	\(\frac{3}{\sqrt{3}}\)	и	\(-\frac{3}{\sqrt{3}}\)	\(-1\)	\(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)	\(0\)

Таблица 4. 2.5 и Таблица 4.2.6 помогают нам определить тренды касательной функции. Например, мы наблюдаем, что знак \(\tan(t)\) положительный в квадранте I, отрицательный в квадранте II, положительный в квадранте III и отрицательный в квадранте IV. Это верно, потому что функции синуса и косинуса имеют одинаковый знак в первом и третьем квадрантах и ​​противоположные знаки в двух других квадрантах.

Кроме того, мы наблюдаем, что по мере приближения \(t\)-значений в первом квадранте к \(\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\sin(t)\) становится ближе к \(1\text{,}\), а \(\cos(t)\) ближе к \(0\) (всегда положительное). Отметив, что \(\frac{\pi}{2} \приблизительно 1,57\text{,}\), мы наблюдаем, что

\begin{уравнение*} \ tan (1,47) = \ frac {\ sin (1,47)} {\ cos (1,47)} \ приблизительно \ frac {0,995} {0,101} = 9,887 \end{уравнение*}

и

\begin{уравнение*} \ tan (1,56) = \ frac {\ sin (1,56)} {\ cos (1,56)} \ приблизительно \ frac {0,9994}{0,0108} = 92,6205\текст{.} \end{уравнение*}

Поскольку отношение чисел ближе и ближе к \(1\), деленное на числа ближе и ближе к \(0\) (но положительное), неограниченно возрастает, это означает, что \(\tan(t)\) неограниченно увеличивается когда \(t\) приближается к \(\frac{\pi}{2}\) с левой стороны. Как только \(t\) немного превышает \(\frac{\pi}{2}\) в квадранте II, значение \(\sin(t)\) остается близким к \(1\text{,} \), но теперь значение \(\cos(t)\) отрицательно (и близко к нулю). Например, \(\cos(1,58) \приблизительно -0,0092\text{.}\) Это делает значение \(\tan(t)\) неограниченно уменьшающимся (отрицательным и удаляющимся от \(0\)) при \(t\), приближающемся к \(\frac{ \pi}{2}\) с правой стороны и приводит к тому, что \(h(t) = \tan(t)\) имеет вертикальную асимптоту в точке \(t = \frac{\pi}{2}\text {.}\) Периодичность и знаковое поведение \(\sin(t)\) и \(\cos(t)\) означают, что это асимптотическое поведение функции тангенса будет повторяться.

Нанеся данные в таблицу вместе с ожидаемыми асимптотами и интуитивно соединив точки, мы увидим график функции тангенса на рисунке 4.2.7.

Рисунок 4.2.7. График функции касательной вместе со специальными точками, исходящими из единичной окружности.

Из таблиц 4.2.5 и 4.2.6, а также из рисунка 4.2.7 видно, что касательная функция имеет период \(P = \pi\) и что функция возрастает на любом интервале, на котором она определена. Подытожим нашу недавнюю работу следующим образом.

Свойства функции касательной.

Для функции \(h(t) = \tan(t)\text{,}\)

• его областью определения является множество всех действительных чисел, кроме \(t = \frac{\pi}{2} \pm k\pi\), где \(k\) — любое целое число;

• его диапазон — это набор всех действительных чисел;

• его период равен \(P = \pi\text{;}\)

• увеличивается на любом интервале, на котором функция определена в каждой точке интервала.

Хотя функция тангенса сама по себе является интересной математической функцией, ее наиболее важные применения связаны с определением прямоугольных треугольников, и в оставшейся части этого раздела мы сосредоточимся на этой перспективе.

Подраздел 4.2.3 Использование функции касательной в прямоугольных треугольниках

Функция касательной предлагает нам дополнительный выбор при работе с прямоугольными треугольниками с ограниченной информацией. В ситуации, когда у нас есть прямоугольный треугольник с одним дополнительным известным углом, если мы знаем длину гипотенузы, мы можем использовать либо синус, либо косинус угла, чтобы легко найти оставшиеся длины сторон. Но в условиях, когда мы знаем только длину одного катета, функция тангенса теперь позволяет нам таким же простым способом определить значение оставшегося катета, а оттуда — гипотенузу.

Пример 4.2.8.

Используйте функцию касательной, чтобы определить ширину \(w\text{,}\) реки на рисунке 4.2.9. (Обратите внимание, что здесь мы возвращаемся к задаче из упражнения 4.1.4, которую ранее решили без использования функции касательной.) Какую еще информацию мы теперь можем легко определить?

Рисунок 4.2.9. Прямоугольный треугольник с известным углом и катетом.

Решение.

Используя перспективу, что \(\tan(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}\) в прямоугольном треугольнике, в этом контексте мы имеем 9\circ) = \frac{w}{50} \end{equation*}

и, таким образом, \(w = 50\tan(56. 4)\) — точная ширина реки. Используя вычислительное устройство, мы находим, что \(w \приблизительно 75,256\текст{.}\)

Зная ширину реки, мы можем использовать теорему Пифагора или функцию синуса для определения расстояния от \(P\) к \(A\text{,}\), в которой известны все \(6\) частей треугольника.

Функция касательной находит широкое применение при поиске недостающей информации в прямоугольных треугольниках, где известна информация об одной или нескольких сторонах треугольника. 9{\circ}\) с землей. Какой длины должны быть кабели и на каком расстоянии от основания башни они должны быть закреплены?

Мероприятие 4.2.3.

Supertall ² высотных здания изменили горизонт Манхэттена. Эти небоскребы известны своей небольшой площадью по сравнению с их высотой, с их отношением ширины к высоте самое большее \(1:10\text{,}\), а некоторые даже достигают \(1:24\text{.} \) Предположим, что относительно невысокий сверхвысокий объект высотой \(635\) футов, как показано на рис. 4.2.10, и второй сверхвысокий объект построен поблизости. Учитывая два угла, которые вычисляются от нового здания, какова высота \(s\text{,}\) нового здания и как далеко друг от друга \(d\text{,}\) две башни? 9\circ\), найдите второе уравнение, связывающее \(x\) и \(h\text{.}\)

Наша работа в (a) и (b) приводит к системе двух уравнений с двумя неизвестными \(x\) и \(h\text{.}\) Решите каждое из двух уравнений относительно \(h\ ), а затем соответствующим образом подставить, чтобы найти одно уравнение в переменной \(x\text{.}\)

Решите уравнение из (c), чтобы найти точное значение \(x\) и определить приблизительное значение с точностью до \(3\) знаков после запятой.

Используйте предыдущую работу, чтобы точно определить \(h\), а также определить оценку с точностью до \(3\) знаков после запятой.

Если первоначальные измерения геодезистов были сделаны на высоте \(78\) футов над уровнем моря, на какой высоте над уровнем моря находится вершина холма?

Подраздел 4.

2.4 Резюме

• Функция тангенса определена как отношение функций синуса и косинуса в соответствии с правилом

  \begin{уравнение*} \ тангенс (т) = \ гидроразрыва {\ грех (т)} {\ соз (т)} \end{уравнение*}

  для всех значений \(t\), для которых \(\cos(t) \ne 0\text{.}\)

• График функции тангенса существенно отличается от графиков функций синуса и косинуса прежде всего тем, что вблизи значений, где \(\cos(t) = 0\text{,}\) отношение \(\frac{\ sin(t)}{\cos(t)}\) неограниченно увеличивается или уменьшается, образуя вертикальные асимптоты. Кроме того, в то время как период функций синуса и косинуса равен \(P = 2\pi\text{,}\), период функции тангенса равен \(P = \pi\) из-за того, как функции синуса и косинуса повторять одни и те же значения (с разными знаками), когда точка пересекает единичный круг.

• Функция тангенса находит одно из наиболее важных применений при построении прямоугольных треугольников, когда известна одна сторона треугольника и известен один из непрямых углов. Вычисление тангенса известного угла, скажем, \(\alpha\text{,}\) и использование того факта, что

  \begin{уравнение*} \ загар (\ альфа) = \ гидроразрыва {\ текст {опп}} {\ текст {прил}} \end{уравнение*}

  , тогда мы можем найти длину недостающего катета через другой и тангенс угла.

Упражнения 4.2.5 Упражнения

1.

По полученной информации найдите квадрант, в котором находится конечная точка, определяемая \(t\). Введите I, II, III или IV.

(a) \(\sin (t)\lt 0\) и \(\cos (t)\lt 0\text{,}\) квадрант ;

(b) \(\sin (t)>0\) и \(\cos (t)\lt 0\text{,}\) квадрант ;

(c) \(\sin (t)>0\) и \(\cos (t)>0\text{,}\) квадрант ;

(d) \(\sin (t)\lt 0\) и \(\cos (t)>0\text{,}\) квадрант ; 9\circ\text{,}\) найти недостающие углы или стороны. Дайте ответ не менее чем с 3 десятичными знаками.

АВ =

ВС =

\(\альфа\)=

4.

Если \(\cos(\phi) = 0,8347\) и \(3 \pi /2 \leq \phi \leq 2 \pi\text{,}\) аппроксимируйте следующее число до четырех знаков после запятой.

(a) \(\sin( \phi )\) = (Округлить до четырех знаков после запятой.)

(b) \(\tan( \phi )\) = (Округлить до четырех знаков после запятой.)

5.

Предположим, что \(\displaystyle \sin{ \theta } = \frac{x}{8}\) и угол \(\theta\) находится в первом квадранте. Запишите алгебраические выражения для \(\cos(\theta)\) и \(\tan(\theta)\) через \(x\text{.}\)

(a) \(\cos( \theta )\) =

(b) \(\tan( \theta )\) =

6.

Точно решите приведенные ниже уравнения. Дайте ответы в радианах и найдите все возможные значения \(t\) в интервале \(0 \leq t \leq 2 \pi\text{.}\) Если имеется более одного ответа, введите свои решения в список, разделенный запятыми.

(a) \(\displaystyle \sin{(t)} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), когда \(t =\)

(b) \(\displaystyle \cos{ (t)} = — \frac{\sqrt{2}}{2}\), когда \(t =\) 9{\circ}\text{.}\) Если пандус будет подниматься от ровного тротуара до крыльца на высоте \(3\) футов над землей, какой длины должен быть пандус? На каком расстоянии от крыльца он будет упираться в тротуар? Какой уклон пандуса?

8.