«Функция y=sin(x). Определения и свойства»
«Построение графика функции с модулем» — Y = lnx. Закрепили знания на ранее изученных функциях. Построение графиков функций. Вопрос классу. Y = x2 – 2x – 3. Проектная деятельность. Урок обобщения и систематизации знаний. График функции. Актуализация знаний о графиках функций. Обобщение. Попробуйте самостоятельно построить графики. Y = f(x).
««Графики функций» 9 класс» — Цели урока. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Нули функции. Определение. Заполните пропуски. Установите соответствие между функцией и вершиной. Тренажер. Выберите уравнение, с помощью которого задана линейная функция. Установите соответствие. Выберите уравнение. Обратная пропорциональность.
«Графики функций с модулями» — Найдём вершину функции. Кубическая функция. Отрицательная сторона. Графики функций. Квадратичная функция. Сложная функция. Функция с модулем. Графики функций надо обязательно уметь строить. Подготовка к ЕГЭ.
Графики функций с модулями. Парабола. График функции.
«Уравнение касательной к графику функции» — Производная в точке. Правила дифференцирования. График функции. Алгоритм нахождения уравнения. Ответьте на вопросы. Геометрический смысл производной. Номера из учебника. Уравнение касательной к графику функции. Определение. Касательная к графику функции. Основные формулы дифференцирования. Провести касательную.
«Построение графиков функций» — Построение графика функции y = sinx. Линия тангенсов. Алгебра. Тема: Построение графиков функций. График функции y = sinx. Выполнила: Филиппова Наталья Васильевна учитель математики Белоярская средняя общеобразовательная школа №1. Построить график функции y=sin(x) +cos(x).
«График обратной пропорциональности» — Применение гиперболы. Гипербола. Монотонность функции. Чётность, нечётность. Функция «Обратная пропорциональность». График. Построение графика обратной пропорциональности. Гипербола и космические спутники. Однополостной гиперболоид.
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.
Как построить график функции y=sin x? Для начала рассмотрим график синуса на промежутке .
Единичный отрезок берём длиной 2 клеточки тетради.
На оси Oy отмечаем единицу.
Для удобства число π/2 округляем до 1,5 (а не до 1,6, как требуется по правилам округления). В этом случае отрезку длиной π/2 соответствуют 3 клеточки.
На оси Ox отмечаем не единичные отрезки, а отрезки длиной π/2 (через каждые 3 клеточки). Соответственно, отрезку длиной π соответствует 6 клеточек, отрезку длиной π/6 — 1 клеточка.
При таком выборе единичного отрезка график, изображённый на листе тетради в клеточку, максимально соответствует графику функции y=sin x.
Составим таблицу значений синуса на промежутке :
Полученные точки отметим на координатной плоскости:
Так как y=sin x — нечётная функция, график синуса симметричен относительно начала отсчёта — точки O(0;0). С учётом этого факта продолжим построение графика влево, то точки -π:
Функция y=sin x — периодическая с периодом T=2π. Поэтому график функции, взятый на на промежутке [-π;π], повторяется бесконечное число раз вправо и влево.
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Что будем изучать:
- Свойства функции Y=sin(X).
- График функции.
- Как строить график и его масштаб.
- Примеры.
Свойства синуса. Y=sin(X)
Ребята, мы уже познакомились с тригонометрическими функциями числового аргумента. Вы помните их?
Давайте познакомимся поближе с функцией Y=sin(X)
Запишем некоторые свойства этой функции:
1) Область определения – множество действительных чисел.
2) Функция нечетная. Давайте вспомним определение нечетной функции. Функция называется нечетной если
выполняется равенство: y(-x)=-y(x). Как мы помним из формул привидения: sin(-x)=-sin(x). Определение выполнилось, значит Y=sin(X) – нечетная функция.
3) Функция Y=sin(X) возрастает на отрезке и убывает на отрезке [π/2; π].
Когда мы движемся по первой четверти (против часовой стрелки), ордината увеличивается, а при движении по второй четверти она уменьшается.
4) Функция Y=sin(X) ограничена снизу и сверху. Данное свойство следует из того, что
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Наименьшее значение функции равно -1 (при х = — π/2+ πk). Наибольшее значение функции равно 1 (при х = π/2+ πk).
Давайте, воспользовавшись свойствами 1-5, построим график функции Y=sin(X). Будем строить наш график последовательно, применяя наши свойства. Начнем строить график на отрезке .
Особое внимание стоит обратить на масштаб. На оси ординат удобнее принять единичный отрезок равный 2 клеточкам, а на оси абсцисс — единичный отрезок (две клеточки) принять равным π/3 (смотрите рисунок).
Построение графика функции синус х, y=sin(x)
Посчитаем значения функции на нашем отрезке:
Построим график по нашим точкам, с учетом третьего свойства.
Таблица преобразований для формул привидения
Воспользуемся вторым свойством, которое говорит, что наша функция нечетная, а это значит, что ее можно отразить симметрично относительно начало координат:
Мы знаем, что sin(x+ 2π) = sin(x).
Это значит, что на отрезке [- π; π] график выглядит так же, как на отрезке [π; 3π] или или [-3π; — π] и так далее. Нам остается аккуратно перерисовать график на предыдущем рисунке на всю ось абсцисс.
График функции Y=sin(X) называют — синусоидой.
Напишем еще несколько свойств согласно построенному графику:
6) Функция Y=sin(X) возрастает на любом отрезке вида: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k – целое число и убывает на любом отрезке вида: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – целое число.
7) Функция Y=sin(X) – непрерывная функция. Посмотрим на график функции и убедимся что у нашей функции нет разрывов, это и означает непрерывность.
8) Область значений: отрезок [- 1; 1]. Это также хорошо видно из графика функции.
9) Функция Y=sin(X) — периодическая функция. Посмотрим опять на график и увидим, что функция принимает одни и те же значения, через некоторые промежутки.
Примеры задач с синусом
1. Решить уравнение sin(x)= x-π
Решение: Построим 2 графика функции: y=sin(x) и y=x-π (см.
рисунок).
Наши графики пересекаются в одной точке А(π;0), это и есть ответ: x = π
2. Построить график функции y=sin(π/6+x)-1
Решение: Искомый график получится путем переноса графика функции y=sin(x) на π/6 единиц влево и 1 единицу вниз.
Решение: Построим график функции и рассмотрим наш отрезок [π/2; 5π/4].
На графике функции видно, что наибольшие и наименьшие значения достигаются на концах отрезка, в точках π/2 и 5π/4 соответственно.
Ответ: sin(π/2) = 1 – наибольшее значение, sin(5π/4) = наименьшее значение.
Задачи на синус для самостоятельного решения
- Решите уравнение: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Построить график функции y=sin(π/3+x)-2
- Построить график функции y=sin(-2π/3+x)+1
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке
- Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=sin(x) на отрезке [- π/3; 5π/6]
Модуль 3 — Функции и преобразования
Экспоненциальные функции используются в самых разных реальных задачах.
На этом уроке вы будете использовать преобразованные экспоненциальные функции для моделирования сложных процентов и радиоактивного распада, а затем графически проиллюстрируете правило произведения логарифмов.
Основная экспоненциальная функция
Функция y = b x , для b > 0 и b 1, называется экспоненциальной функцией. (Возможные значения для базы, b , ограничены, чтобы гарантировать правильное поведение функции.)
Если b > 1, уравнение описывает экспоненциальный рост.
Если 0 < b < 1, уравнение описывает экспоненциальное затухание.
Основные графики экспоненциального роста и затухания показаны ниже. В обоих случаях y = b x , но графики различаются в зависимости от значения
| Экспоненциальный рост b > 1 | Экспоненциальный спад 0 < b < 1 |
Оба графика асимптотичны относительно оси x .
График роста приближается к оси x , когда x является большим по абсолютной величине отрицательным числом, а график затухания приближается к оси x , когда x является большим положительным числом. В каждом случае мы говорим, что график имеет горизонтальную асимптоту y = 0.
Общая экспоненциальная функция
Общая экспоненциальная функция имеет вид y = a · b x , где b > 0, b 1, а a — любое действительное число. Эффекты преобразований, которые обсуждались в уроках 3.1 и 3.2, справедливы для любой функции и применимы к общей экспоненциальной функции.
3.3.1 Опишите, как значение a в y = a · b x преобразует график y = b x путем обсуждения соответствующих преобразований для трех случаев 0 < | и | < 1, | и | > 1 и a < 0. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
Проблема сложных процентов
Если первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов ежегодно начисляются по процентной ставке 6%, будущая стоимость инвестиций определяется экспоненциальной функцией роста.
В этом уравнении x — это количество лет инвестиций, а y — будущая стоимость инвестиций.
- Введите уравнение y = 1000 · 1,06 x в редакторе Y=.
- Показать таблицу значений, связанных с г = 1000 · 1,06 x
3.3.2 Какова стоимость инвестиций через 6 лет?
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
График задачи сложных процентов
Отобразите графическое представление проблемы сложных процентов.
Обратите внимание, что b = 1,06, что больше 1, что указывает на функцию роста, и что a = 1000 указывает на то, что базовый график y = 1,06 x растянут по вертикали в 1000 раз.
Удвоение времени
Нас часто интересует, сколько времени потребуется, чтобы инвестиции удвоились.
Если первоначальные инвестиции составляли 1000 долларов, удвоенная стоимость составит 2000 долларов, а время, необходимое для удвоения инвестиций, можно найти, решив уравнение
Найдите приближенное решение, просмотрев таблицу значений функции y = 1000(1,06) x и определив x при y = 2000.
- Отобразите таблицу значений, нажав [TABLE] и прокрутите вниз, чтобы найти значение x , которое дает y — значение около 2000.
Как показано в таблице, потребуется от 11 до 12 лет, чтобы удвоить инвестиции в размере 1000 долларов.
Эквивалентные уравнения
Решение уравнения также можно найти, вычитая 2000 из обеих частей 2000 = 1000(1,06) x , чтобы получить эквивалентное уравнение 0 = 1000(1,06) x — 2000, что имеет то же решение, что и исходное уравнение.
На приведенном ниже экране показаны графики Y 1 = 1000(1,06) x и Y 2 = 1000(1,06) x — 2000 в [0, 20, 20]. 1000, 3000, 500]. Пунктирная линия добавляется путем построения графика Y3=2000 в стиле «пунктирной линии» и установки Xres равным 2.
Обратите внимание, что x -значение, которое дает y -значение 2000 на верхнем графике, это то же самое x -значение, которое дает ноль на нижнем графике. То есть 0 = 1000 · 1,06 x 2000 имеет то же решение, что и 2000 = 1000(1,06) x .
Графическое решение уравнения удвоения
Правая часть y = 1000(1,06) x 2000 – экспоненциальная функция y = 1000(1,06) x , сдвинутая вниз на 2000 единиц. Нуль преобразованной функции y = 1000 · 1,06 x 2000 – время удвоения.
3.3.3 Постройте график функции y = 1000(1,06) x 2000 в окне [0, 15, 1] x [-2500, 2500, 500] и используйте функцию Zero в окне CALC экрана Graph. меню, чтобы найти время удвоения. Щелкните здесь, чтобы получить ответ. 9x и Y3=2000, а затем просто используя «пересечение» из меню РАСЧЕТ.
Радиоактивный распад
Радиоактивное датирование часто используется для определения возраста когда-то живых организмов. Количество радиоактивного вещества в живом организме постоянно, но после его смерти количество радиоактивного вещества начинает распадаться.
Уравнение полураспада
Время, которое требуется веществу, чтобы разложиться так, что остается половина исходного количества, называется его периодом полураспада , и его часто используют для написания уравнения, которое будет моделировать количество вещества, присутствующего в любой момент времени.
Предположим, что период полураспада некоего радиоактивного вещества составляет 30 дней.
Если изначально имеется 10 граммов, сколько останется через 50 дней?
Уравнение количества радиоактивного вещества, y , оставшееся после x дней
Уравнение эквивалентно
Так как можно приблизительно представить как y = 10(0,97716) x .
Эти уравнения являются эквивалентными экспоненциальными функциями затухания.
3.3.4 График функции y = 10(0,97716) x в окне [0, 150, 10] x [-1, 11, 1] и определите, сколько осталось через 50 дней. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
Графическое решение уравнения периода полураспада
Определите, когда останется 1 грамм, решив уравнение
Вычтите 1 из обеих частей, чтобы получить эквивалентное уравнение, ноль которого является решением исходного уравнения.
Правая часть этого уравнения представляет собой преобразованную экспоненциальную функцию затухания. Нуль этой преобразованной функции – это время, когда остается 1 грамм.
3.3.5 График y = 10(0,97716) x — 1 в окне [0, 150, 10] x [-5, 11, 1] и используйте функцию Zero в меню CALC экрана Graph, чтобы определить, когда останется 1 грамм. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
Логарифмическая функция
Обратная экспоненциальная функция y = b x является логарифмической функцией y = log б х . Графики экспоненциальной и логарифмической функций являются отражением друг друга через прямую y = x .
Экспоненциальная и логарифмическая функции, когда b > 1.
Обратите внимание, что график экспоненциальной функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0, а график логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту х = 0.
Общие логарифмы
Когда b = 10, логарифм называется десятичным логарифмом . Обычно десятичные логарифмы записываются как y = log( x ) без указания основания b . Ключ десятичного логарифма, , на вашем ТИ-83 стоит в первой колонке.
Правило произведения для логарифмов
Вы можете проиллюстрировать правило произведения для логарифмов, отобразив графики y = log x и y = log 2 x .
- Установите Y 1 = логарифм ( x ) и Y 2 = логарифм (2 x ).
- График функций в окне [-1, 5, 1] x [-2, 2, 1].
3.3.6 Какой тип преобразования Y 1 = log( x ) дает график Y 2 = log(2 x )? Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
Подтверждение постоянной разницы
Подтвердите, что две функции отличаются на константу, построив график их разницы.
3.3.7 Опишите, как этот график подтверждает ответ на предыдущий вопрос. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
Проверка значения постоянной разницы
Убедитесь, что постоянная разница между двумя функциями равна log(2).
- Установите Y 4 = log(2) в редакторе Y=.
- Отобразите графики и выберите Трассировка.
- Используйте клавиши со стрелками вверх и вниз для перемещения курсора трассировки между графиками Y 3 и Y 4 .
Вы должны увидеть, что обе функции отображаются, как указано в тексте в верхней левой части экрана, и что они выдают одинаковые значения x и y , как показано в нижней части экрана.
| Графическое свидетельство того, что | Y 3 и Y 4 — один и тот же график |
Экраны выше являются доказательством того, что значение константы C в ответе на 3.
3.7 является log(2), и что
Правило произведения для логарифмов
Предыдущее обсуждение иллюстрирует правило произведения для логарифмов:
Исследуйте эффект умножения аргумента логарифма на другие значения, такие как 3, 4 и 5, и постройте график y = log(3 x ), y = log(4 x ) и y = log(5 x ).
3.3.8. Основываясь на ваших результатах, каково общее правило произведения для логарифмов? Щелкните здесь, чтобы получить ответ.
модуль-5-линейные-функции-ответы — Google-подобные0005
Является ли каждая из функций линейной функцией? … 5. Найдите и интерпретируйте точку пересечения по оси y. … МОДУЛЬ. 5 ключ. fCD f121 f131,714 щуповые подъемники 4 щуп fi3.
[PDF] Модуль 5 Викторина D Answers.pdf
www.goldenrams.com › cms › lib › Centricity › Domain › Module 5 .
..
Ann Swers. Имя. МОДУЛЬ Написание линейных уравнений. 56. Викторина по модулю: D. 1. Найдите наклон и точку пересечения с осью Y линии, изображенной на координатной сетке.
[PDF] Название
nwaggoner.weebly.com › загрузки › урок_5.1_notes.pdf
Модуль 5. Название. 5.1. Учебный класс. Понимание линейного. Функции. Основной вопрос: Что такое линейная функция? TEKS A1.3.C…график линейных функций на …
Алгебра 1 Модуль 5 Линейные функции Флэшкарточки – Quizlet
quizlet.com › Математика › Алгебра
Изучайте с помощью Quizlet и запоминайте карточки, содержащие такие термины, как линейная функция, линейное уравнение, стандартная форма линейного уравнения и многое другое.
Модуль 5: Запись карточек с линейными функциями — Quizlet
quizlet.com › module-5-writing-linear-functions-flas…
Изучайте с Quizlet и запоминайте карточки, содержащие такие термины, как table is linear?, Уловка: как защититься от отрицаний, когда .
..
[PDF] МОДУЛЬ 5 Линейные функции — учителя NOHS
www.nohsteachers.info › pruggles › WKS 5-1 и 5-2 ответы
МОДУЛЬ 5 Линейные функции. УРОК 5-1. Практика и решение проблем: A/B. 1. нелинейный. 2. линейный. 3. линейный. 4. 4/5, 1/5, -2/5; да; -3/5. 5. 0, -12; нет.
8 класс — Урок 2 — Графики линейных функций и скорость изменения
www.youtube.com › смотреть
04.03.2019 · Модуль 5 — 8 класс — Урок 2 — Графики линейных функций и скорость изменения . 58 просмотров …
Добавлено: 22:16
Прислан: 04.03.2019
Es fehlt: ответы | Muss Folgendes enthalten:answers
LDME-Модуль 5 Линейные функции | Другая викторина — Quizizz
quizizz.com › admin › ldme-module-linear-functions
В. Что такое точка пересечения по оси Y в уравнении? y = 5x — 4. варианты ответа. (0,5).
Повторение Модуля 5 — Написание линейных уравнений — Викторина
quizizz.com › admin › викторина › модуль-5-обзор-написание-линейных-уравнений
Какое уравнение для этого графика? варианты ответов.