Интегралы онлайн определенные: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = x2 dx (х 2)

Содержание

Приближенное вычисление определенного интеграла

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Интегралы Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть требуется найти определенный интеграл , причем функция считается непрерывной на отрезке . Если от подынтегральной функции первообразная находится легко, то значение рассматриваемого интеграла находится по формуле Ньютона-Лейбница:

   

Но не в каждом случае отыскание первообразной для подынтегральной функции является достаточно простым, а также не для всякой непрерывной функции существует первообразная, выражающаяся через элементарные функции.

В подобных случаях применяют приближенные формулы, которые позволяют вычислить определенный интеграл с любой степенью точности.

Наиболее часто используются три формулы приближенного вычисления определенного интеграла – формула прямоугольников, формула трапеций и формулу парабол или формула Симпсона, основанные на геометрическом смысле определенного интеграла: если функция непрерывна и положительна на отрезке , то определенный интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями , , и (рис. 1).

1. Формула прямоугольников

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Вычислим численно определенный интеграл , который равен площади криволинейной трапеции.

Разобьем основание этой трапеции (отрезок ) на равных частей-отрезков длины

   

Величину будем называть шагом разбиения. В результате получим точки

   

Можно записать, что

   

В середине каждого такого элементарного отрезка отметим точку . Приняв ординату этой точки за высоту, построим прямоугольник с площадью (рис. 2).

Тогда сумма площадей всех прямоугольников равна площади ступенчатой фигуры, которая представляет собой приближенное значение искомого определенного интеграла :

   

Полученная формула называется формулой прямоугольников.

Абсолютная погрешность последнего приближенного равенства удовлетворяет следующей оценке:

   

где – наибольшее значение на рассматриваемом отрезке .

2. Формула трапеций

Эту формулу получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл . Разобьем отрезок интегрирования на равных частей длины . В результате получим точки (рис. 3). Пусть – соответствующие им ординаты функции. Тогда можно записать, что

   

Заменим кривую ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат и . Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями , и высотой , то есть

   

   

Записанная формула называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность

   

где .

3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции на каждом отрезке , которые получены после разбиения отрезка интегрирования на равных частей, не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления определенного интеграла .

Как было сказано выше, разобьем отрезок на равных частей (отрезков) длиной точками

   

причем , . В точках разбиения находим значения подынтегральной функции

   

то есть (рис. 4).

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями одной элементарной параболической трапецией с основанием . Тогда, например, на частичном отрезке парабола проходит через три точки , , и так далее.

Расчетная формула парабол (или Симпсона) для этого метода имеет вид:

   

   

Абсолютная погрешность вычисления по этой формуле оценивается соотношением

   

где .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Определенный интеграл — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Образовательные:
Обобщить и систематизировать знания определения
определённого интеграла, формулы площади фигуры,
ограниченной графиками заданных функций, научить
применять полученные знания при решении
математических, физических и экономических задач.
Развивающие:
продолжить формирование умений и навыков по

вычислению определённых интегралов. Развивать у
учащихся умение самостоятельно мыслить, производить
вычисления, а так же логическое мышление, речь и
воображение.
Воспитательные:
Воспитывать трудолюбие, положительное отношение к
математике, эстетическое восприятие окружающего мира,
чувство коллективизма, взаимопомощи,
самостоятельности учащихся.
«Учиться можно только с
настроением…
Чтобы переваривать
знания, надо поглощать
их с аппетитом»
Анатоль Франс (1844-1924)
Знак
интеграла используется для
обозначения интеграла в
математике. Впервые он был
использован немецким
математиком и основателем
дифференциального и
интегрального
исчисления Лейбницем в
конце XVII века.
• Происхождение
• слова интеграл
• латинское, от
«integer», что
означает целый.
А знак интеграла ∫ –
результат
видоизменения
латинской буквы
S, первой в слове
сумма.

8. Современное обозначение неопределённого интеграла было введено Лейбницем в 1675 году. Он образовал интегральный символ   из

Современное обозначение
неопределённого интеграла
было введено Лейбницем в
1675 году. Он
образовал интегральный
символ из
буквы ſ («длинная s») —
сокращенной по латыни
summa Современное
обозначение определённого
интеграла, с указанием
пределов интегрирования,
были впервые
предложены Жаном
Батистом Жозефом Фурье
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716)
в 1819-20 годах.
• «Гений есть терпение
мысли,
сосредоточенной в
известном
направлении.»
• Исаак Ньютон
• (1643-1727)
• Английский физик,
механик,
математик и
астроном Исаак
Ньютон (1643 1727) использовал,
правда не во всех
своих работах, в
качестве символа
интегрирования
значок квадрата
перед
обозначением
функции или вокруг
него, а также
вертикальную черту
над функцией
Формула Ньютона-Лейбница относится к математическому
анализу и является основной формулой интегрального
исчисления!
Исааку Ньютону принадлежит роль «Отца современной
математики».
Ньютон вместе с Лейбницем заложили основы современного
дифференциального и интегрального исчисления.
Благодаря формуле Ньютона-Лейбница устанавливается связь
между определенным и неопределенным интегралом. А
именно:
Чтобы решить определенный интеграл, надо сначала
вычислить неопределенный интеграл (или найти
первообразную), а затем вычислить определенный
интеграл, подставив первообразную подынтегральной
функции в формулу Ньютона-Лейбница:
Найди
ошибку
Проверяем формулы и
определения
1. Неопределённым интегралом
называется множество
первообразных.
2. Интеграция это процесс
объединения.
1. Определённым интегралом
называется сумма
первообразных.
2. Интегрирование означает
действие понижение
показателя степени.
3. Криволинейной трапецией
называется трапеция, у которой
одно основание больше другого.
4. Определённый интеграл от
скорости означает пройденный
путь за определённый
промежуток времени.
3. Определённый интеграл от
производительности труда есть
объём выпускаемой продукции
за указанный промежуток
времени.
4.
5.
5.
6. Sтр =
6.
7.
7.
Проверяем формулы и
определения
Критерии оценки:
«5» — змейка совпала
«4» — 2 исправления
«3» — 3,4 исправления
Устный счёт — разминка
Повторим три основных
смысла
определённого
интеграла:
Геометрический смысл определённого
интеграла
Площадь такой
фигуры, называемой
криволинейной
трапецией,
вычисляют по
y
y f x
b
формуле S f x dx .
a
o
a
x
b

19. Какие из данных фигур являются криволинейными трапециями?

1
2
3
у
y
y
y = f(x)
0
a
b
х
a
0
b
x
a
0
b
x
y
y
y
a
b
x
0
a
y = f1(x)
y = f2(x)
0
0
c
4
b
a
b x
x
5
6
Физический смысл определённого
интеграла
Путь, пройденный точкой за промежуток
времени: от t 1 до t 2
равен определённому интегралу от скорости
движущейся точки
S =
Экономический смысл
определённого интеграла
Величина и объём продукции,
произведённой за промежуток времени
[0;t]
численно равна определённому
интегралу от производительности
труда f(t) за указанный промежуток
времени
V =
Кто такие экономисты?
Специалисты, отвечающие за эффективность экономической
деятельности предприятия или организации. Экономисты
востребованы во всех структурах, где необходимо рассчитать,
спланировать и осуществить контроль движения финансовых
потоков, проанализировать итоги финансовой деятельности
предприятия, и определить рентабельность
В обязанности экономиста входит:
•расчет материальных, финансовых и трудовых затрат, необходимых
для производства и реализации продукции;
•определение эффективности трудовой и производственной
деятельности;
•ведение учета всех показателей по результатам финансовоэкономической деятельности организации или предприятия;
•ведение периодической отчетности, формирование, ведение и
сохранение базы данных экономической информации, внесение в базу
изменений, возникающих в процессе обработки данных.
Казахстанский путь – 2050:
Единая цель, единые интересы, единое будущее
Конкурентоспособность нашей национальной
экономики может быть достигнута только в
условиях ее интеграции в мировую экономику.
Из Послания Главы государства Нурсултана Назарбаева
народу Казахстана 17 января 2014г.
Деловая игра
ТОО «Сарыарка АвтоПром»
1. Линия «Peugeot»
2. Линия «Ssang Yong»
3. Линия
«Toyota»
«Peugeot»
«Toyota»
«Ssang Yong»
«Ssang Yong»
Практическая работа
«Определённый интеграл»
Домашнее задание:
1)
А.Е. Абылкасымова
«Алгебра и начала
анализа 11»
стр.85 № 19, 20, 21
2) Творческое задание
Рефлексия
Сегодня на уроке
Я узнал:
Я научился:
Я смогу применить в своей профессии:
Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведешь её, так и пройдет.
Не забывай: она твоё творенье.
Омар – Хайям

30. БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ

English     Русский Правила

Определенный интеграл и неопределенный интеграл

Онлайн-калькулятор интегралов

Бессрочный Определенный

(   )  


dxdydzdtdudvdwdrdsdldmdndpdq
   
Используйте inf для +∞ и -inf для -∞


Решение:

Интегральное исчисление является одной из самых важных областей в мире математики, поэтому мы предоставляем этот онлайн-интегральный калькулятор в ваши руки.

С этим Integral Solver вы сможете вычислять все виды интегралов благодаря тому, что он использует мощный математический процессор. Одним нажатием кнопки вы можете преобразовать его из Калькулятора определенных интегралов в Калькулятор неопределенных интегралов и наоборот.

Чтобы вы могли максимально использовать возможности интегрального калькулятора, ниже вы найдете раздел с инструкциями, а чуть ниже — краткое изложение основных теоретических понятий, связанных с вычислением интегралов.

Содержание

  • 1 Калькулятор интегралов онлайн
  • 2 Инструкции по использованию калькулятора интегралов
  • 3 Определение интеграла
  • 4 Что такое неопределенный интеграл?
  • 5 Определение определенного интегрального
  • 6 Неправильный интегральный
  • 7 Правила интеграции
    • 7.1 Правило интегральной мощности
    • 7.2 Интеграл постоянного
    • 7.3 Правило интеграции 70072
    • 7. 4 Правило интеграции для AX
    • 7.5 7.5 771 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7.5 7. /х
    • 7.6 Свойства интегралов
    • 7.7 Триггерные интегральные правила
  • 8 Таблица интегралов

Инструкции по использованию интегрального калькулятора

Чтобы использовать калькулятор, выполните следующие действия:

  1. Выберите режим расчета, который вы хотите использовать: для вычисления определенных интегралов нажмите кнопку «Определенные», а для решения неопределённых интегралов нажмите кнопку «Неопределенные».
  2. Выберите дифференциал для интеграла, который вы хотите вычислить. Вы должны сделать это с учетом независимой переменной функции, которую вы будете вводить в калькулятор. Например, если вы хотите интегрировать f(x)=x 2 +1 необходимо выбрать дифференциал dx .
  3. Запишите функцию в основной ввод, для этого вы должны использовать список допустимых функций, который представлен после шага 4. Если вы выбрали режим Определенного интегрального калькулятора, вы также должны ввести пределы интегрирования. Если вы хотите вычислить определенный интеграл по бесконечному интервалу, вы должны написать inf вместо +∞ и -inf вместо – .
  4. После того, как вы выполнили предыдущие шаги, вам просто нужно нажать кнопку «Рассчитать», при этом автоматически появится окно с решением.

9
Допустимые функции и символы Описание
квт() Квадратный корень
лн()
Натуральный логарифм Экспоненты
абс() Абсолютное значение
sin(), cos(), tan(), csc(), sec(), cot() Основные тригонометрические функции
asin(), acos(), atan(), acsc(), asec(), acot() Обратные тригонометрические функции
sinh(), cosh(), tanh(), csch(), sech(), coth() Гиперболические функции
asinh(), acosh(), atanh(), acsch(), asech(), acoth() Обратные гиперболические функции
число пи PI-номер (π = 3,14159. ..)
е Число Непера (e= 2,71828…)
я Для обозначения мнимой составляющей комплексного числа.
инф

Определение интеграла

Интеграл – это математический метод, позволяющий получить примитивную функцию F(x) из функции f(x), которая была получена ранее. То есть интеграл — это операция, обратная производной, точно так же, как умножение — делению. По этой причине интеграл также называют первообразная .

If F'(x)=f(x),

⌠⌡ f ( x ) d x = F ( x )+ C

where ,

  • — интегральный символ.
  • ∫f(x)d(x) называется неопределенным интегралом от f(x) по x.
  • Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а эта математическая операция называется интегрированием.
  • d(x) называется дифференциалом x.
  • F(x) — примитивная или первообразная функция, а C — константа интегрирования.

Что такое неопределенный интеграл?

Из того, что было объяснено выше, мы можем заключить, что функция f(x) имеет бесконечные примитивы, поскольку, если F(x) является примитивом f (x), то и любая другая функция, определяемая как G(x) = F ( x) + C, где C — постоянная величина. Понятие неопределенного интеграла используется для обозначения множества всех первообразных функции f(x).

Например, неопределенный интеграл от f(x)=2x равен x 2 +C , что группирует семейство примитивных функций: x 2 , x 2 +11, x 2 +2, x 2 +3 , …

Определение определенного интеграла

Определенный интеграл функции f(x) определяет площадь под кривой на отрезке [a, b].

f ( x ) d x

Правило Барроу говорит нам, что определенный интеграл от f(x) на отрезке [a,b] равен разности между значениями, которые примитивная функция F(x) принимает на этом отрезке. From this rule we obtain the formula for the definite integral:

f ( x ) d x = F ( b )− F ( a )

Формула определенного интеграла

Пример: вычислить определенный интеграл от f(x)=x^2+3 в интервале [0, 2]:

Несобственный интеграл

Несобственный интеграл — это особый вид определенного интеграла, в котором функция становится неопределенной в какой-то точке интервала интегрирования. Это может быть связано с тем, что один или оба предела интегрирования бесконечны, или с тем, что внутри интервала интегрирования есть точка, в которой функция не существует.

Несобственные интегралы бывают трех типов:

  1. Несобственные интегралы 1-го типа — это интегралы, в которых один или оба предела интегрирования имеют бесконечное значение, а функция на этом интервале непрерывна.
  1. Несобственные интегралы типа 2 — это интегралы, которые испытывают асимптотический разрыв на интервале интегрирования.
  2. Несобственные интегралы типа 3 являются комбинацией двух предыдущих.

Интегральный решатель, который мы представляем вам здесь, также является замечательным калькулятором несобственных интегралов, с помощью которого вы сможете простым способом решать все виды несобственных интегралов.

Правила интеграции

Правила интеграции представляют собой набор рекомендаций, которые помогают нам выполнять интеграцию основных функций простым способом. Вот основные правила интеграции:

Integral power rule

⌠⌡ x n d x = x n +1 n +1 + C

Integral of a constant

⌠⌡ a d x = a x + C

Integration rule for e

x

⌠⌡ e x d x = e x + C

Integration rule for a

x

⌠⌡ a x d x = a x l n ( a ) + C

Integral of 1/x

⌠⌡ 1 x d x = l ( x )+ C

Свойства интегралов

⌠⌡ F ( x )+ G ( x ) D x ). ( x ) d x +⌠⌡ g ( x ) d x

⌠⌡ f ( x )- g ( x ) d x = ⌠⌡ f ( x ) d x G ( x ) D x

⌠⌡ K F ( x ) D x = K x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f f x f . ( x ) D x , где k — постоянная

Правила интеграла TRIG

⌠⌡SIN ( x ) D x = –COS) D x = –COS) D x = –COS) D x = –COS) D x = \ ) D x = COS) C

⌠⌡cos( x ) d x = sin( x )+ C

⌠⌡TAN ( x ) D x = — L N (Cos ( x ))+ C 9000 9000 9000

9000

9000

9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 (cos ( x ))). x ) D x = L N (TAN ( x 2))+ C

⌠⌡SEC ( x ) D

⌠⌡SEC ( x ) D

xsec ( x )) n (tan( x 2 )+ π4 )+ C

⌠⌡sec( x ) d x = l n (tan( x 2 )+ π4 )+ C

⌠⌡cot( x ) d x = l n ( sin( x ))+ C

Таблица интегралов

В качестве дополнения к калькулятору первообразных здесь мы предлагаем вам таблицу с более чем 110 интегралами. Эта таблица интегралов позволяет вводить значения коэффициентов, что очень полезно при изучении методов решения интегралов.

Сделано из

Калькулятор определенных интегралов — онлайн Калькулятор определенных интегралов

Калькулятор определенных интегралов используется для вычисления значения определенного интеграла. В интегральном исчислении определенный интеграл определяется как интеграл, имеющий определенное значение.

Что такое калькулятор определенных интегралов?

Калькулятор определенных интегралов — это онлайн-инструмент, который помогает интегрировать заданную функцию между заданными верхним и нижним пределами. Определенные интегралы используются для вычисления площади под кривой. Чтобы использовать Калькулятор определенного интеграла , введите значения в соответствующие поля ввода.

Калькулятор определенных интегралов

ПРИМЕЧАНИЕ. Верхний предел всегда должен быть больше нижнего предела.

Как пользоваться калькулятором определенных интегралов?

Чтобы найти значение определенных интегралов с помощью онлайн-калькулятора определенных интегралов, выполните шаги, указанные ниже:

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору определенных интегралов Cuemath.
  • Шаг 2: Введите значения в указанные поля ввода калькулятора определенных интегралов
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы интегрировать данную функцию.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор определенных интегралов?

Интеграцию можно рассматривать как процесс добавления полос бесконечно малых площадей для получения целого. Далее, это обратный процесс дифференцировки. Интегралы бывают двух видов — неопределенные и определенные. Неопределенные интегралы не имеют определенных пределов. Следовательно, конечная стоимость носит неопределенный характер. Определенные интегралы используются для нахождения площади под кривой между двумя конечными точками. В качестве конечных точек выступают пределы определенного интеграла. Таким образом, нижний предел обозначает начальную точку интегрирования. Точно так же верхний предел представляет собой конечную точку интегрирования. Шаги для решения определенного и неопределенного интеграла одинаковы. Единственное отличие состоит в том, что в определенном интеграле мы применяем пределы, чтобы найти определенное значение функции.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *