Интервал сходимости степенного ряда: Радиус сходимости степенного ряда онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Содержание

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2),

Глава 95.

Степенные ряды. Область сходимости

В курсе математического анализа изучаются последовательности и ряды, членами которых являются не числа, а функции, определенные на некотором множестве. Такие функциональные последовательности и ряды широко применяются в различных приложениях для анализа и приближенных вычислений. Мы ограничимся рассмотрением степенных рядов.

Определение: Функциональный ряд вида

(9.5.1)

Называется Степенным рядом. Постоянные числа называются Коэффициентами степенного ряда (9.5.1).

При разных значениях переменной мы получим разные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися. Особый интерес представляет множество значений , при которых ряд (9.5.1) сходится, оно называется Областью сходимости степенного ряда.

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда представляет собой Функцию переменной . Стало быть, последовательность частичных сумм является Функциональной последовательностью и сумма ряда (9.5.1) является Функцией переменной : .

Теорема: (Теорема Абеля). Если степенной ряд (9.5.1) Сходится при и , то он Абсолютно сходится при всех , таких, что . Если ряд (9.5.1)

Расходится при , то он Расходится И при всех , удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля примечательна утверждением, что если степенной ряд (9.5.1) сходится при , то он сходится абсолютно всюду на отрезке . Если же – точка расходимости ряда, то он расходится везде вне интервала .

Отсюда следует основополагающая в теории степенных рядов Теорема.

Теорема: Если степенной ряд (9.5.1) Сходится не только при , то существует такое положительное число (возможно, и бесконечное), что ряд Абсолютно сходится в интервале и Расходится везде вне этого интервала.

Число и интервал называются соответственно Радиусом сходимости и интервалом сходимости степенного ряда. Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости . При вопрос о сходимости должен рассматриваться конкретно для каждого ряда.

Способ определения радиуса сходимости степенного ряда (9.5.1) указывает следующая Теорема.

Теорема

Если для степенного ряда (9.5.1) существует Предел

,

(9.5.2)

То Радиус сходимости этого ряда определяется формулой .

Заметим, что если предел (9.5.2) равен нулю, то степенной ряд сходится на всей числовой прямой, т. е. .

Рассмотрим примеры на Определение радиуса сходимости степенного ряда.

Пример

Определить радиус сходимости ряда .

Решение

Согласно Теореме 3, радиус сходимости этого ряда определяется по формуле , т. е. данный ряд Абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример

Определить радиус сходимости ряда , .

Решение

Радиус сходимости находим . Радиус сходимости данного ряда . Выясним вопрос о сходимости ряда в точке . При подстановке в степенной ряд значения , получим числовой ряд , который имеет различный характер сходимости в зависимости от .

А) при ряд сходится Условно на отрезке как знакопеременный ряд, а на интервале он сходится Абсолютно (т. к. и ряд сходится как сумма геометрической прогрессии со знаменателем ).

Б) При ряд сходится Абсолютно на отрезке .

Пример

Определить радиус сходимости ряда , .

Решение

Получаем: . При получаем, что необходимое условие сходимости числового ряда не соблюдается. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно на интервале как сумма геометрической прогрессии со знаменателем меньше единицы.

Пример

Определить радиус сходимости ряда .

Решение

Радиус сходимости ряда: Следовательно, данный ряд сходится лишь в точке .

Свойства степенных рядов

Вообще говоря, сумма степенного ряда является функцией от переменной .

.

(9.5.3)

Пусть интервал сходимости этого ряда . Тогда говорят, что функция может быть разложена в степенной ряд на интервале .

Степенные ряды обладают рядом свойств; два из них мы приведем без доказательства.

Степенной ряд можно Дифференцировать почленно на промежутке его сходимости, так что

(9.5.4)

1. При этом интервал сходимости ряда (9.5.4) тот же, что и ряда (9.5.3). Таким же образом можно вычислить производные любого порядка.

2. Степенной ряд можно Интегрировать почленно в интервале его сходимости , т. е. .

Замечание

Из свойства 1 следует, что сумма степенного ряда непрерывна на интервале его сходимости.

< Предыдущая   Следующая >

Радиус и интервал сходимости степенного ряда

(30. 2.) Сформулируем понятия области и интервала сходимости ряда, укажем способ определения радиуса сходимости, на примере обозначим специфику нахождения радиуса и интервала сходимости ряда, запишем гармонический расходящийся ряд и знакочередующийся ряд, сходящийся условно.

В соответствии с теремой Абеля отметим: при условии, чтоявляется точкой сходимости ряда (30.2) ряд предполагает сходимость абсолютно во всех точках интервалаЕслиесть точка расходимости (30.2), то во всех точках интерваловряд расходится. Тогда заключим: имеется такое число, что наряд (30.2) сходится абсолютно, а нарасходится. В этом случае справедлива нижеобозначенная теорема.

Т: Область сходимости ряда (30.2) — это интервалпредполагается расходимость ряда.

Интервалопределен в качестве его радиуса сходимости. Существуют некоторые ряды, для которых интервал сходимости вырождается в точку, при этом, имеются и такие ряды, для которых интервал охватывает всю ось. Если, то ряд может расходиться и сходиться. Это зависит от конкретного ряда.

Запишем способ нахождения радиуса сходимости ряда (30.2). Исследуем ряд, составленный их абсолютных величин его членови используем по отношению к нему признак Даламбера:

 

 

При условии, что(иначе выражаясь,) ряд из абсолютных величин членов (30.2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Запишем

 

(30.4)

 

Если, то ряд (30.2) расходится, поскольку общий член рядане стремится кПолучается, что формула (30.4) обеспечивает радиус сходимости.

Пример: Определить радиус и интервал сходимости ряда

 

 

 

интервал абсолютной сходимостиНа концах интеграла: если, топредставляет собой гармонический расходящийся ряд, в случае же когда — это знакочередующийся ряд, который предполагает условную сходимость. Промежутокесть область сходимости обозначенного ряда.

Ряд (30.1) можно свести к ряду (30.2) посредством осуществления замены переменной

Если ряд, то ряд (30.1) сходится абсолютно для, иначе выражаясь, сходимость имеется на интервале

(38.4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.

3761 0

(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями. Связный неориентированный граф без циклов, в частности, предполагающий отсутствие петель и кратных ребер, именуют деревом. Несвязный неориентированный граф без цикла — лес, его связные компоненты являются деревьями.

9777 0

(38.2.) В рамках обозначенной темы рассмотрим случай определения связного неориентированного мультиграфа в качестве эйлерова и гамильтонова графа. n} + …$$


Если данный степенной ряд сходится при x=x0≠0, то он абсолютно сходится при ∀x  |x|=|x0|

Если данный степенной ряд расходится при x=x’0, то он расходится  при ∀x  |x|>|x’0|

x— центр сходимости ряда.

Интервал (–R, R) называется интервалом сходимости ряда.

Число R — это радиус сходимости ряда.

Из теоремы Абеля можно сделать вывод, что существует такое значение x=R>0, при котором для |x|<R  ряд — сходится, а для |x|>R  – ряд расходится.

В соответствии с теоремой Абеля интервал [-x0; x0] состоит из точек сходимости. При |x0|=R, где Rрадиус сходимости, тогда интервал сходимости — (-R; R).

Для нахождения интервала сходимости степенного ряда удобно применять признаки сходимости, такие как признак Даламбера:

или признак Коши

Степенной ряд внутри интервала сходимости сходится абсолютно, а вне интервала — расходится.

В случае, если  x=±ряд может быть как расходящимся, так и сходящимся условно или абсолютно. Поэтому проблема о сходимости ряда должна решаться для каждого ряда отдельно.

Радиус - сходимость - степенный ряд

Радиус - сходимость - степенный ряд

Cтраница 3

Это предложение устанавливает тесную связь между радиусом сходимости степенного ряда, с одной стороны, и природой функции, изображаемой этим рядом, с другой стороны; оно показывает, что теория степенных рядов получает полную ясность лишь в комплексной области.  [31]

Отсюда следует, что при почленном интегрировании радиус сходимости степенного ряда не уменьшается.  [32]

Таким образом, существует тесная связь между радиусом сходимости степенного ряда и природой функции, изображаемой этим рядом. Благодаря этому теория степенных рядов получает полную ясность лишь в комплексной области.  [33]

Таким образом, окончательно, Rf R: радиусы сходимости степенного ряда ( 31) и ряда ( 34), полученного из него почленным дифференцированием, совпадают.  [34]

Таким образом, окончательно, R R: радиусы сходимости степенного ряда ( 31) и ряда ( 34), полученного из него почленным дифференцированием, совпадают.  [35]

Формула (1.7) аналогична формуле Коши - Адемара для определения радиуса сходимости степенного ряда.  [36]

Число R - половина длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. О, то степенной ряд сходится лишь при х - - а, если же R - оо, то ряд сходится па всей числовой осп.  [37]

Число R - половина длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если R 0, то степенной ряд сходится лишь при х а; если же R co, то ряд сходится на всей числовой оси.  [38]

Число К - половина длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. R x, то ряд сходится на всей числовой оси.  [39]

Число R - половина длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности. Если 0, то степенной ряд сходится лишь при ха; если же Rx, то ряд сходится на всей числовой оси.  [40]

Число R - половина длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности.  [41]

Число R - половина длины интервала сходимости - называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или Гесконечности. Если R 0, то степенной ряд сходится лишь при х а; если же Лоо, то ряд сходится на всей числовой оси.  [42]

Страницы:      1    2    3

6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.

Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда найдется такое неотрицательное число , R называемое радиусом сходимости, что при всех

x, | x |< R , ряд сходится, а при всех x, | x |> R , ряд расходится.

Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда .

Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться.

Как найти радиус сходимости R? Для этого можно воспользоваться, например,

признаками Даламбера или Коши.

Теорема. Если существует | an+1/ an|=L, то R=1/L=| an/ an+1|

Док-во. Рассмотрим ряд anxn . Применим к нему признак Даламбера.

| an+1xn+1/ anxn|=| an+1/ an|∙| x | =L∙| x |

Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.

Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ .

Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x0=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Итак, интервал сходимости ряда anxn есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зависимости от результатов этого исследования областью сходимости ряда может

быть один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]

6.4.Свойства степенных рядов .

Пусть функция S(x) есть сумма степенного ряд S(x)= anxn ,x €(-R;R) .

Какие свойства функции S(x)?

Теорема. Функция S(x) является дифференцируемой на интервале сходимости x €(-R;R) . Причем ее производная S’(x) может быть найдена почленным дифференцированием членов ряда .

S’(x) = (a0 + a1x + a2x2+…+ anxn +…)’= a1 + a2x+…+ anxn-1 +…

при этом радиус сходимости полученного ряда равен R.Кроме того, степенной ряд можно почленно интегрировать.

Замечание. 1) При дифференцировании интервал сходимости (-R;R) остается неизменным. Однако ситуация в точках x= ±R может не совпадать с ситуацией, которая имеет место в исходном степенном ряде.

2) Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.

3) На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не распространяется.

6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть задана f(x) в окрестности точки x= x0

Предположим, что f(x) разлагается в ряд по степеням (x- x0): т.е. ряд имеет вид

f(x)= a0 + a1(x - x0)+ a2(x - x0)2+…+ an(x - x0)n +…

с радиусом сходимости R ,(| x - x0 |<R)

Этот ряд на интервале сходимости | x - x0 |<R можно дифференцировать бесконечно число раз:

f n(x)=n∙(n-1)∙ …∙ an+(n+1) ∙n∙…∙3∙2an+1∙( x - x0) +…

Положим в каждом равенстве x= x0 . Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:

a0=f(x0), a1=(f ’(x0))/1!, a2=(f ’’(x0))/2!,… an=( fn (x0))/n!

Итак, если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x0), то этот ряд имеет вид :

f(x)= f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+ (f ’(x0) (x - x0)2)/2!+…+ =( f n (x0) (x - x0)n)/n! +…= ( f n (x0) (x - x0)n)/n!

Определение. Степенной ряд такого вида называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0 . Если x0 =0 , то такой ряд называется рядом Маклорена.

Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).

Если функция f(x) и ее производные любого порядка ограничены в окрестности точки x0: (| x - x0 |<R) одним и тем же числом M, то ее ряд Тейлора сходится к самой f(x ) для любого x из этой окрестности | x - x0 |<R . Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

Остаточный член ряда Тейлора.

Обозначим Tn (x) сумму первых членов ряда Тейлора:

Tn (x) = f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( fn (x0) (x - x0)n)/n!

Остаточным членом ряда Тейлора называют разность:

Rn (x) = f(x)+ Tn (x)

Таким образом, имеет место формула Тейлора:

f(x)= f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( f n (x0) (x - x0)n)/n!+ Rn (x)

Важно знать, как устроен остаток Rn (x)

Теорема. Если функция f(x) имеет производную (n+1)-го порядка f (n+1)(x) в окрестности точки x0 , то остаточный член имеет вид:

Rn (x) = (x - x0)n+1)/(n+1)!∙ f (n+1)(ξ), где ξ -некоторая точка, лежащая между x и x0 .

Само по себе выражение для Rn (x) не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ , в которой f (n+1)(x) вычисляется .

Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (-| |;| |) весь состоит из точек сходимости данного ряда при всех значениях х, а вне этого интервала ряд расходится. Положив | |=R, интервал можно записать в виде (-R;R). Этот интервал называется интервалом сходимости. Число R называют радиусом сходимости, т.е. R>0 – это такое число, что при всех х, для которых |x|<R ряд абсолютно сходится, а при |x|>R ряд расходится.

В частности, когда ряд сходится лишь в одной точке , то R=0, если же ряд сходится при всех значениях , то R=∞. Сходимость ряда на концах интервала сходимости при проверяют отдельно.

Радиус сходимости можно найти по формуле, которая следует из признака Даламбера:

(14.8)

Используя радикальный признак Коши, можно установить, что

(14.9)

 

Замечания:

1) Если , то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае R=∞. Если , то R=0.

2) Интервал сходимости степенного ряда (14.7) находят из неравенства .

3) Если степенной ряд содержит не все степени х, т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяют признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей исходного ряда.

Пример 2.2. Найти область сходимости ряда:

Решение: , т.е. ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример 2.2. Найти область сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала сходимости:

Решение:Ряд неполный, поэтому используем признак Даламбера:

;

По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится при l<1, т.е. .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала сходимости.

При х=-1 имеем ряд -1+1/3-1/5+1/7-1/9+… Этот ряд сходится по признаку Лейбница.

При х=1 имеем ряд 1-1/3+1/5-1/7+… Этот ряд также сходится по признаку Лейбница.

Следовательно, область сходимости ряда [-1;1].

 

Лекция 15


Узнать еще:

6.1 Силовые ряды и функции - Calculus Volume 2

Цели обучения

  • 6. 1.1 Определите степенные ряды и приведите их примеры.
  • 6.1.2 Определите радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.
  • 6.1.3 Используйте степенной ряд для представления функции.

Степенный ряд - это тип ряда, в котором члены включают переменную. Более конкретно, если переменная равна x , то все члены ряда включают степени x .В результате степенной ряд можно рассматривать как бесконечный многочлен. Ряды степеней используются для представления общих функций, а также для определения новых функций. В этом разделе мы определяем степенной ряд и показываем, как определить, когда степенной ряд сходится, а когда расходится. Мы также покажем, как представить определенные функции с помощью степенных рядов.

Форма серии Power

Серия формы

∑n = 0∞cnxn = c0 + c1x + c2x2 + ⋯, ∑n = 0∞cnxn = c0 + c1x + c2x2 + ⋯,

, где x - переменная, а коэффициенты c n - константы, называется степенным рядом. Серия

1 + x + x2 + ⋯ = ∑n = 0∞xn1 + x + x2 + ⋯ = ∑n = 0∞xn

- это пример степенного ряда. Поскольку этот ряд является геометрическим рядом с отношением r = x, r = x, мы знаем, что он сходится, если | x | <1 | x | <1, и расходится, если | x | ≥1. | X | ≥1.

Определение

Серия формы

∑n = 0∞cnxn = c0 + c1x + c2x2 + ⋯ ∑n = 0∞cnxn = c0 + c1x + c2x2 + ⋯

(6.1)

- это степенной ряд с центром в точке x = 0.x = 0. Серия формы

∑n = 0∞cn (x − a) n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) 2 + ⋯ ∑n = 0∞cn (x − a) n = c0 + c1 (x− а) + c2 (x − a) 2 + ⋯

(6.2)

- это степенной ряд с центром в точке x = a.x = a.

Чтобы сделать это определение точным, мы оговорим, что x0 = 1x0 = 1 и (x − a) 0 = 1 (x − a) 0 = 1, даже если x = 0x = 0 и x = a, x = a, соответственно.

Серия

∑n = 0∞xnn! = 1 + x + x22! + X33! + ⋯ ∑n = 0∞xnn! = 1 + x + x22! + X33! + ⋯.

и

∑n знак равно 0∞n! Xn = 1 + x + 2! X2 + 3! X3 + ⋯ ∑n = 0∞n! Xn = 1 + x + 2! X2 + 3! X3 +

являются степенными рядами с центром в точке x = 0. x = 0. Серия

∑n = 0∞ (x − 2) n (n + 1) 3n = 1 + x − 22 · 3 + (x − 2) 23 · 32 + (x − 2) 34 · 33 + ⋯ ∑n = 0∞ (x − 2) n (n + 1) 3n = 1 + x − 22 · 3 + (x − 2) 23 · 32 + (x − 2) 34 · 33 + ⋯

- это степенной ряд с центром x = 2.х = 2.

Конвергенция серии Power

Поскольку члены степенного ряда включают переменную x , ряд может сходиться для определенных значений x и расходиться для других значений x . Для степенного ряда с центром в x = a, x = a значение ряда в x = ax = a задается как c0.c0. Следовательно, степенной ряд всегда сходится в центре. Некоторые степенные ряды сходятся только при этом значении x . Однако большинство степенных рядов сходятся более чем для одного значения x .В этом случае степенной ряд либо сходится для всех действительных чисел x , либо сходится для всех x в конечном интервале. Например, геометрический ряд ∑n = 0∞xn∑n = 0∞xn сходится для всех x в интервале (−1,1), (- 1,1), но расходится для всех x вне этого интервала. интервал. Теперь мы суммируем эти три возможности для общего степенного ряда.

Теорема 6.1

Сходимость степенного ряда

Рассмотрим степенной ряд ∑n = 0∞cn (x − a) n.∑n = 0∞cn (x − a) n. Серия удовлетворяет ровно одному из следующих свойств:

  1. Ряд сходится при x = ax = a и расходится при всех x ≠ a.x ≠ a.
  2. Ряд сходится для всех действительных чисел x .
  3. Существует действительное число R> 0R> 0 такое, что ряд сходится, если | x − a | R. | x − a |> R. При значениях x , где | x-a | = R, | x-a | = R, ряды могут сходиться или расходиться.
Проба

Предположим, что степенной ряд центрирован в точке a = 0. а = 0. (Для ряда, центрированного на значении a , отличном от нуля, результат следует, положив y = x − ay = x − a и учитывая ряд ∑n = 1∞cnyn.) ∑n = 1∞cnyn.) Сначала мы должны доказать следующий факт:

Если существует действительное число d ≠ 0d ≠ 0 такое, что ∑n = 0∞cndn∑n = 0∞cndn сходится, то ряд ∑n = 0∞cnxn∑n = 0∞cnxn сходится абсолютно для всех x такой, что | x | <| d |. | x | <| d |.

Поскольку ∑n = 0∞cndn∑n = 0∞cndn сходится, n -й член cndn → 0cndn → 0 при n → ∞.п → ∞. Следовательно, существует целое число N такое, что | cndn | ≤1 | cndn | ≤1 для всех n≥N.n≥N. Письмо

| cnxn | = | cndn || xd | n, | cnxn | = | cndn || xd | n,

мы заключаем, что для всех n≥N, n≥N,

| cnxn | ≤ | xd | n. | cnxn | ≤ | xd | n.

Серия

∑n = N∞ | xd | n∑n = N∞ | xd | n

- геометрический ряд, сходящийся, если | xd | <1. | xd | <1. Следовательно, сравнивая тест, мы заключаем, что ∑n = N∞cnxn∑n = N∞cnxn также сходится при | x | <| d |. | X | <| d |. Поскольку мы можем добавить конечное число членов к сходящемуся ряду, мы заключаем, что ∑n = 0∞cnxn∑n = 0∞cnxn сходится при | x | <| d |.| х | <| d |.

С этим результатом мы можем теперь доказать теорему. Рассмотрим серию

∑n = 0∞anxn∑n = 0∞anxn

и пусть S будет набором действительных чисел, для которых сходится ряд. Предположим, что множество S = {0} .S = {0}. Тогда серия подпадает под случай i. Предположим, что набор S - это набор всех действительных чисел. Тогда серия подпадает под случай ii. Предположим, что S ≠ {0} S ≠ {0} и S не является набором действительных чисел. Тогда существует вещественное число x * ≠ 0x * ≠ 0 такое, что ряд не сходится.Таким образом, ряд не может сходиться ни для каких x таких, что | x |> | x * |. | X |> | x * |. Следовательно, набор S должен быть ограниченным набором, что означает, что он должен иметь наименьшую верхнюю границу. (Этот факт следует из свойства наименьшей верхней границы для действительных чисел, которое выходит за рамки этого текста и рассматривается в курсах реального анализа.) Назовите эту наименьшую верхнюю границу R . Поскольку S ≠ {0}, S ≠ {0}, число R> 0.R> 0. Следовательно, ряд сходится для всех x таких, что | x |

Если ряд ∑n = 0∞cn (x − a) n∑n = 0∞cn (x − a) n попадает в случай iii. сходимости степенного ряда, то этот ряд сходится для всех x таких, что | x − a | 0, R> 0, и расходится для всех x таких что | x − a |> R. | x − a |> R. Ряды могут сходиться или расходиться при значениях x , где | x-a | = R. | X-a | = R. Набор значений x , для которых сходится ряд ∑n = 0∞cn (x − a) n∑n = 0∞cn (x − a) n, называется интервалом сходимости. Поскольку ряд расходится для всех значений x , где | x − a |> R, | x − a |> R, длина интервала составляет 2 R , и, следовательно, радиус интервала составляет R . . Значение R называется радиусом схождения. Например, поскольку ряд ∑n = 0∞xn∑n = 0∞xn сходится для всех значений x в интервале (−1,1) (- 1,1) и расходится для всех значений x , таких что | x | ≥1, | x | ≥1, интервал сходимости этого ряда равен (−1,1). (- 1,1).Поскольку длина интервала равна 2, радиус сходимости равен 1.

Определение

Рассмотрим степенной ряд ∑n = 0∞cn (x − a) n.n = 0∞cn (x − a) n. Набор действительных чисел x , в котором ряд сходится, представляет собой интервал сходимости. Если существует действительное число R> 0R> 0 такое, что ряд сходится при | x − a | R, | x − a |> R, тогда R - это радиус схождения. Если ряд сходится только при x = a, x = a, мы говорим, что радиус сходимости равен R = 0.R = 0. Если ряд сходится для всех действительных чисел x , мы говорим, что радиус сходимости равен R = ∞R = ∞ (рис. 6.2).

Рисунок 6.2 Для ряда ∑n = 0∞cn (x − a) n∑n = 0∞cn (x − a) n график (a) показывает радиус сходимости при R = 0, R = 0, график (b ) показывает радиус сходимости при R = ∞, R = ∞, а график (c) показывает радиус сходимости при R . Для графика (c) отметим, что ряд может сходиться или не сходиться в конечных точках x = a + Rx = a + R и x = a-R.x = a-R.

Чтобы определить интервал сходимости для степенного ряда, мы обычно применяем тест отношения.В примере 6.1 мы показываем три различные возможности, показанные на рисунке 6.2.

Пример 6.1

Нахождение интервала и радиуса схождения

Найдите интервал и радиус сходимости для каждого из следующих рядов.

  1. ∑n = 0∞xnn! ∑n = 0∞xnn!
  2. ∑n = 0∞n! Xn∑n = 0∞n! Xn
  3. ∑n = 0∞ (x − 2) n (n + 1) 3n∑n = 0∞ (x − 2) n (n + 1) 3n
Решение
  1. Чтобы проверить сходимость, примените тест соотношения. У нас
    ρ = limn → ∞ | xn + 1 (n + 1)! xnn! | = limn → ∞ | xn + 1 (n + 1)! · n! xn | = limn → ∞ | xn + 1 (n + 1) · N! · N! Xn | = limn → ∞ | xn + 1 | = | x | limn → ∞1n + 1 = 0 <1ρ = limn → ∞ | xn + 1 (n + 1)! Xnn! | = Limn → ∞ | xn + 1 (n + 1)! · N! Xn | = limn → ∞ | xn + 1 (n + 1) · n! · N! Xn | = limn → ∞ | xn + 1 | = | x | limn → ∞1n + 1 = 0 <1
    для всех значений x . Следовательно, ряд сходится для всех действительных чисел x . Интервал сходимости равен (−∞, ∞) (- ∞, ∞), а радиус сходимости R = ∞.R = ∞.
  2. Примените тест соотношения. При x ≠ 0, x ≠ 0 получаем, что
    ρ = limn → ∞ | (n + 1)! xn + 1n! xn | = limn → ∞ | (n + 1) x | = | x | limn → ∞ (n + 1) = ∞.ρ = limn → ∞ | (n + 1)! xn + 1n! xn | = limn → ∞ | (n + 1) x | = | x | limn → ∞ (n + 1) = ∞.
    Следовательно, ряд расходится при всех x ≠ 0.x ≠ 0. Поскольку центр ряда находится в точке x = 0, x = 0, он должен сходиться там, поэтому ряд сходится только при x ≠ 0. x 0. Интервал сходимости - это одно значение x = 0x = 0, а радиус сходимости R = 0.R = 0.
  3. Чтобы применить тест соотношения, рассмотрите
    ρ = limn → ∞ | (x − 2) n + 1 (n + 2) 3n + 1 (x − 2) n (n + 1) 3n | = limn → ∞ | (x − 2) n + 1 (n +2) 3n + 1 · (n + 1) 3n (x − 2) n | = limn → ∞ | (x − 2) (n + 1) 3 (n + 2) | = | x − 2 | 3. ρ = limn → ∞ | (x − 2) n + 1 (n + 2) 3n + 1 (x − 2) n (n + 1) 3n | = limn → ∞ | (x − 2) n + 1 (n +2) 3n + 1 · (n + 1) 3n (x − 2) n | = limn → ∞ | (x − 2) (n + 1) 3 (n + 2) | = | x − 2 | 3.
    Отношение ρ <1ρ <1, если | x − 2 | <3. | x − 2 | <3. Поскольку | x − 2 | <3 | x − 2 | <3 влечет, что −3 1ρ> 1, если | x − 2 |> 3. | x − 2 |> 3. Следовательно, ряд расходится, если x <−1x <−1 или x> 5.x> 5. Проверка отношения неубедительна, если ρ = 1.ρ = 1. Отношение ρ = 1ρ = 1 тогда и только тогда, когда x = −1x = −1 или x = 5.x = 5. Нам нужно протестировать эти значения x отдельно. Для x = −1, x = −1 ряд равен
    ∑n = 0∞ (−1) nn + 1 = 1−12 + 13−14 + ⋯.∑n = 0∞ (−1) nn + 1 = 1−12 + 13−14 + ⋯.
    Поскольку это знакопеременный гармонический ряд, он сходится. Таким образом, ряд сходится при x = −1.x = −1. Для x = 5, x = 5 ряд равен
    N = 0∞1n + 1 = 1 + 12 + 13 + 14 + ⋯. N = 0∞1n + 1 = 1 + 12 + 13 + 14 + ⋯.
    Это расходящийся гармонический ряд. Следовательно, степенной ряд расходится при x = 5.x = 5. Мы заключаем, что интервал сходимости равен [−1,5) [- 1,5), а радиус сходимости равен R = 3.R = 3.

КПП 6.1

Найти интервал и радиус сходимости ряда ∑n = 1∞xnn.∑n = 1∞xnn.

Представление функций в виде серии Power

Возможность представить функцию «бесконечным многочленом» - мощный инструмент. Полиномиальные функции - самые простые функции для анализа, поскольку они включают только основные арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления. Если мы можем представить сложную функцию бесконечным полиномом, мы можем использовать полиномиальное представление, чтобы дифференцировать или интегрировать его. Кроме того, мы можем использовать усеченную версию полиномиального выражения для приближения значений функции.Итак, вопрос в том, когда мы можем представить функцию степенным рядом?

Рассмотрим снова геометрическую серию

1 + x + x2 + x3 + ⋯ = ∑n = 0∞xn.1 + x + x2 + x3 + ⋯ = ∑n = 0∞xn.

(6,3)

Напомним, что геометрическая серия

а + ар + ар2 + ар3 + ⋯ а + ар + ар2 + ар3 + ⋯

сходится тогда и только тогда, когда | r | <1. | r | <1. В этом случае он сходится к a1 − r.a1 − r. Следовательно, если | x | <1, | x | <1, ряд в примере 6.3 сходится к 11 − x11 − x, и мы пишем

1 + x + x2 + x3 + ⋯ = 11 − x для | x | <1.1 + x + x2 + x3 + ⋯ = 11 − x для | x | <1.

В результате мы можем представить функцию f (x) = 11 − xf (x) = 11 − x степенным рядом

1 + x + x2 + x3 + ⋯, когда | x | <1.1 + x + x2 + x3 + ⋯, когда | x | <1.

Теперь мы покажем графически, как этот ряд обеспечивает представление функции f (x) = 11 − xf (x) = 11 − x, сравнивая график f с графиками нескольких частичных сумм этого бесконечного ряда. .

Пример 6.2

График функции и частичных сумм ее степенного ряда

Нарисуйте график f (x) = 11 − xf (x) = 11 − x и графики соответствующих частичных сумм SN (x) = ∑n = 0NxnSN (x) = ∑n = 0Nxn для N = 2, 4,6N = 2,4,6 на отрезке (−1,1).(-1,1). Прокомментируйте приближение SNSN как N увеличивается.

Решение

Из графика на рисунке 6.3 видно, что по мере увеличения N SNSN становится лучшим приближением для f (x) = 11 − xf (x) = 11 − x для x в интервале (−1,1). . (- 1,1).

Рис. 6.3 На графике показана функция и три ее аппроксимации частичными суммами степенного ряда.

КПП 6.2

Нарисуйте график f (x) = 11 − x2f (x) = 11 − x2 и соответствующих частичных сумм SN (x) = ∑n = 0Nx2nSN (x) = ∑n = 0Nx2n для N = 2,4,6N. = 2,4,6 на отрезке (−1,1).(-1,1).

Далее мы рассмотрим функции, содержащие выражение, подобное сумме геометрического ряда, и покажем, как представить эти функции с помощью степенного ряда.

Пример 6.3

Представление функции с помощью серии Power

Используйте степенной ряд для представления каждой из следующих функций f.f. Найдите интервал сходимости.

  1. f (x) = 11 + x3f (x) = 11 + x3
  2. f (x) = x24 − x2f (x) = x24 − x2
Решение
  1. Вы должны распознать эту функцию f как сумму геометрического ряда, потому что
    11 + x3 = 11 - (- x3).11 + x3 = 11 - (- x3).
    Используя тот факт, что при | r | <1, a1 − r | r | <1, a1 − r является суммой геометрического ряда
    N = 0∞arn = a + ar + ar2 + ⋯, ∑n = 0∞arn = a + ar + ar2 + ⋯,
    мы видим, что при | −x3 | <1, | −x3 | <1,
    11 + x3 = 11 - (- x3) = ∑n = 0∞ (−x3) n = 1 − x3 + x6 − x9 + ⋯. 11 + x3 = 11 - (- x3) = ∑n = 0∞ (−x3 ) п знак равно 1 − x3 + x6 − x9 + ⋯.
    Поскольку этот ряд сходится тогда и только тогда, когда | −x3 | <1, | −x3 | <1, интервал сходимости равен (−1,1), (- 1,1), и мы имеем
    11 + x3 = 1 − x3 + x6 − x9 + ⋯ для | x | <1. 11 + x3 = 1 − x3 + x6 − x9 + ⋯ для | x | <1.
  2. Эта функция не является точной суммой геометрического ряда.Однако с помощью небольшой алгебраической обработки мы можем связать f с геометрическим рядом. Вынося 4 из двух членов знаменателя, получаем
    x24 − x2 = x24 (1 − x24) = x24 (1− (x2) 2). x24 − x2 = x24 (1 − x24) = x24 (1− (x2) 2).
    Следовательно, имеем
    x24 − x2 = x24 (1− (x2) 2) = x241− (x2) 2 = ∑n = 0∞x24 (x2) 2n.x24 − x2 = x24 (1− (x2) 2) = x241− (x2 ) 2 знак равно ∑n = 0∞x24 (x2) 2n.
    Ряд сходится, пока | (x2) 2 | <1 | (x2) 2 | <1 (обратите внимание, что при | (x2) 2 | = 1 | (x2) 2 | = 1 ряд не сходится). Решая это неравенство, заключаем, что интервал сходимости равен (−2,2) (- 2,2) и
    x24 − x2 = ∑n = 0∞x2n + 24n + 1 = x24 + x442 + x643 + ⋯ x24 − x2 = ∑n = 0∞x2n + 24n + 1 = x24 + x442 + x643 + ⋯
    для | x | <2.| х | <2.

КПП 6.3

Представьте функцию f (x) = x32 − xf (x) = x32 − x, используя степенной ряд, и найдите интервал сходимости.

В оставшихся разделах этой главы мы покажем способы получения представлений степенного ряда для многих других функций и то, как мы можем использовать эти представления для оценки, дифференцирования и интеграции различных функций.

Раздел 6.1. Упражнения

В следующих упражнениях укажите, является ли каждое утверждение истинным, или приведите пример, чтобы показать, что оно ложно.

1.

Если ∑n = 1∞anxn∑n = 1∞anxn сходится, то тревожно → 0anxn → 0 при n → ∞.n → ∞.

2.

∑n = 1∞anxn∑n = 1∞anxn сходится при x = 0x = 0 для любых действительных чисел an.an.

3.

Для любой последовательности an, an всегда существует некоторое R> 0, R> 0, возможно, очень маленькое, такое, что ∑n = 1∞anxn∑n = 1∞anxn сходится на (−R, R). (- R ,Р).

4.

Если ∑n = 1∞anxn∑n = 1∞anxn имеет радиус сходимости R> 0R> 0 и если | bn | ≤ | an || bn | ≤ | an | для всех n радиус сходимости ∑n = 1∞bnxn∑n = 1∞bnxn больше или равен R .

5.

Предположим, что ∑n = 0∞an (x − 3) n∑n = 0∞an (x − 3) n сходится в точке x = 6.x = 6. В какой из следующих точек также должен сходиться ряд? Используйте тот факт, что если ∑an (x − c) n∑an (x − c) n сходится в x , то он сходится в любой точке ближе к c , чем к x .

  1. х = 1x = 1
  2. х = 2х = 2
  3. х = 3х = 3
  4. х = 0х = 0
  5. х = 5,99 х = 5,99
  6. х = 0,000001 х = 0,000001
6.

Предположим, что ∑n = 0∞an (x + 1) n∑n = 0∞an (x + 1) n сходится в x = −2.х = -2. В какой из следующих точек также должен сходиться ряд? Используйте тот факт, что если ∑an (x − c) n∑an (x − c) n сходится в x , то он сходится в любой точке ближе к c , чем к x .

  1. х = 2х = 2
  2. х = -1 х = -1
  3. х = -3x = -3
  4. х = 0х = 0
  5. х = 0,99 х = 0,99
  6. х = 0,000001 х = 0,000001

В следующих упражнениях предположим, что | an + 1an | → 1 | an + 1an | → 1 при n → ∞. n → ∞. Найдите радиус сходимости для каждой серии.

7.

∑n = 0∞an2nxn∑n = 0∞an2nxn

8.

∑n = 0∞anxn2n∑n = 0∞anxn2n

9.

∑n = 0∞anπnxnen∑n = 0∞anπnxnen

10.

∑n = 0∞an (−1) nxn10n∑n = 0∞an (−1) nxn10n

11.

∑n = 0∞an (−1) nx2n∑n = 0∞an (−1) nx2n

12.

∑n = 0∞an (−4) nx2n∑n = 0∞an (−4) nx2n

В следующих упражнениях найдите радиус сходимости R и интервал сходимости для ∑anxn∑anxn с заданными коэффициентами an.an.

13.

∑n = 1∞ (2x) nn∑n = 1∞ (2x) nn

14.

∑n = 1∞ (−1) nxnn∑n = 1∞ (−1) nxnn

15.

∑n = 1∞nxn2n∑n = 1∞nxn2n

16.

∑n = 1∞nxnen∑n = 1∞nxnen

17.

∑n = 1∞n2xn2n∑n = 1∞n2xn2n

18.

∑k = 1∞kexkek∑k = 1∞kexkek

19.

∑k = 1∞πkxkkπ∑k = 1∞πkxkkπ

20.

∑n знак равно 1∞xnn! ∑n = 1∞xnn!

21.

∑n знак равно 1∞10nxnn! ∑n = 1∞10nxnn!

22.

∑n = 1∞ (−1) nxnln (2n) ∑n = 1∞ (−1) nxnln (2n)

В следующих упражнениях найдите радиус сходимости каждой серии.

23.

∑k знак равно 1∞ (k!) 2xk (2k)! ∑k = 1∞ (k!) 2xk (2k)!

24.

∑n = 1∞ (2n)! Xnn2n∑n = 1∞ (2n)! Xnn2n

25.

k = 1∞k! 1 · 3 · 5 ⋯ (2k − 1) xk∑k = 1∞k! 1 · 3 · 5 ⋯ (2k − 1) xk

26.

k = 1∞2 · 4 · 6 2k (2k)! Xk∑k = 1∞2 · 4 · 6 2k (2k)! Xk

27.

∑n = 1∞xn (2nn) ∑n = 1∞xn (2nn) где (nk) = n! K! (N − k)! (Nk) = n! K! (N − k)!

28.

∑n = 1∞sin2nxn∑n = 1∞sin2nxn

В следующих упражнениях используйте тест отношения, чтобы определить радиус сходимости каждой серии.

29.

∑n знак равно 1∞ (n!) 3 (3n)! Xn∑n = 1∞ (n!) 3 (3n)! Xn

30.

∑n знак равно 1∞23n (n!) 3 (3n)! Xn∑n = 1∞23n (n!) 3 (3n)! Xn

31.

∑n = 1∞n! Nnxn∑n = 1∞n! Nnxn

32.

∑n знак равно 1∞ (2n)! N2nxn∑n = 1∞ (2n)! N2nxn

В следующих упражнениях, учитывая, что 11 − x = ∑n = 0∞xn11 − x = ∑n = 0∞xn со сходимостью в (−1,1), (- 1,1), найдите степенной ряд для каждого функция с заданным центром a , и определить интервал сходимости.

33.

f (x) = 1x; a = 1f (x) = 1x; a = 1 ( Подсказка: 1x = 11− (1 − x)) 1x = 11− (1 − x))

34.

f (x) = 11 − x2; a = 0f (x) = 11 − x2; a = 0

35.

f (x) = x1 − x2; a = 0f (x) = x1 − x2; a = 0

36.

f (x) = 11 + x2; a = 0f (x) = 11 + x2; a = 0

37.

f (x) = x21 + x2; a = 0f (x) = x21 + x2; a = 0

38.

f (x) = 12 − x; a = 1f (x) = 12 − x; a = 1

39.

f (x) = 11−2x; a = 0. f (x) = 11−2x; a = 0.

40.

f (x) = 11−4x2; a = 0f (x) = 11−4x2; a = 0

41.

f (x) = x21−4x2; a = 0f (x) = x21−4x2; a = 0

42.

f (x) = x25−4x + x2; a = 2f (x) = x25−4x + x2; a = 2

Используйте следующее упражнение, чтобы найти радиус сходимости заданного ряда в последующих упражнениях.

43.

Объясните, почему, если | an | 1 / n → r> 0, | an | 1 / n → r> 0, то | тревога | 1 / n → | x | r <1 | тревога | 1 / n → | x | r <1, ​​если | x | <1r | x | <1r, и, следовательно, радиус сходимости ∑n = 1∞anxn∑n = 1∞anxn равен R = 1r. R = 1r.

44.

∑n = 1∞xnnn∑n = 1∞xnnn

45.

∑k = 1∞ (k − 12k + 3) kxk∑k = 1∞ (k − 12k + 3) kxk

46.

∑k = 1∞ (2k2−1k2 + 3) kxk∑k = 1∞ (2k2−1k2 + 3) kxk

47.

∑n = 1∞an = (n1 / n − 1) nxn∑n = 1∞an = (n1 / n − 1) nxn

48.

Предположим, что p (x) = ∑n = 0∞anxnp (x) = ∑n = 0∞anxn такое, что an = 0an = 0, если n нечетно.Объясните, почему p (x) = - p (−x) .p (x) = - p (−x).

49.

Предположим, что p (x) = ∑n = 0∞anxnp (x) = ∑n = 0∞anxn такое, что an = 0an = 0, если n четное. Объясните, почему p (x) = p (−x) .p (x) = p (−x).

50.

Предположим, что p (x) = ∑n = 0∞anxnp (x) = ∑n = 0∞anxn сходится на (−1,1]. (- 1,1]. Найдите интервал сходимости p (Ax) .p (Ax).

51.

Предположим, что p (x) = ∑n = 0∞anxnp (x) = ∑n = 0∞anxn сходится на (−1,1]. (- 1,1]. Найдите интервал сходимости p (2x− 1) .p (2x − 1).

В следующих упражнениях предположим, что p (x) = ∑n = 0∞anxnp (x) = ∑n = 0∞anxn удовлетворяет limn → ∞an + 1an = 1limn → ∞an + 1an = 1, где an≥0an≥ 0 для каждого n . Укажите, сходится ли каждая серия на полном интервале (−1,1), (- 1,1) или информации недостаточно, чтобы сделать вывод. При необходимости используйте сравнительный тест.

52.

∑n = 0∞anx2n∑n = 0∞anx2n

53.

∑n = 0∞a2nx2n∑n = 0∞a2nx2n

54.

∑n = 0∞a2nxn (Подсказка: x = ± x2) ∑n = 0∞a2nxn (Подсказка: x = ± x2)

55.

∑n = 0∞an2xn2∑n = 0∞an2xn2 ( Подсказка: Пусть bk = akbk = ak, если k = n2k = n2 для некоторого n , иначе bk = 0.) Bk = 0.)

56.

Предположим, что p (x) p (x) - многочлен степени N .Найдите радиус и интервал сходимости ∑n = 1∞p (n) xn.n = 1∞p (n) xn.

57.

[T] Постройте графики 11 − x11 − x и частичных сумм SN = ∑n = 0NxnSN = ∑n = 0Nxn для n = 10,20,30n = 10,20,30 на интервале [- 0,99,0,99]. [- 0,99,0,99]. Прокомментируйте приближение 11 − x11 − x к SNSN около x = −1x = −1 и около x = 1x = 1 по мере увеличения N .

58.

[T] Постройте графики −ln (1 − x) −ln (1 − x) и частичных сумм SN = ∑n = 1NxnnSN = ∑n = 1Nxnn для n = 10,50,100n = 10, 50,100 на интервале [-0.99,0,99]. [- 0,99,0,99]. Прокомментируйте поведение сумм около x = −1x = −1 и около x = 1x = 1 при увеличении N .

59.

[T] Постройте графики частичных сумм Sn = ∑n = 1Nxnn2Sn = ∑n = 1Nxnn2 для n = 10,50,100n = 10,50,100 на интервале [-0,99,0,99]. [- 0,99,0,99] ]. Прокомментируйте поведение сумм около x = −1x = −1 и около x = 1x = 1 при увеличении N .

60.

[T] Постройте графики частичных сумм SN = ∑n = 1NsinnxnSN = ∑n = 1Nsinnxn для n = 10,50,100n = 10,50,100 на интервале [−0.99,0,99]. [- 0,99,0,99]. Прокомментируйте поведение сумм около x = −1x = −1 и около x = 1x = 1 при увеличении N .

61.

[T] Постройте графики частичных сумм SN = ∑n = 0N (−1) nx2n + 1 (2n + 1)! SN = ∑n = 0N (−1) nx2n + 1 (2n + 1) ! для n = 3,5,10n = 3,5,10 на интервале [−2π, 2π]. [- 2π, 2π]. Прокомментируйте, как эти графики аппроксимируют sinxsinx при увеличении N .

62.

[T] Постройте графики частичных сумм SN = ∑n = 0N (−1) nx2n (2n)! SN = ∑n = 0N (−1) nx2n (2n)! для n = 3,5,10n = 3,5,10 на интервале [−2π, 2π].{-1} \ cdot \ frac {n} {n + 1} \ right | ???

??? L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | - \ frac13 (x-3) \ frac {n} {n + 1} \ right | ???

Поскольку мы имеем дело с абсолютным значением, ??? - 1 ??? можно удалить.

??? L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {n (x-3)} {3 (n + 1)} \ right | ???

Ограничение влияет только на ??? n ???, поэтому мы можем удалить ??? (x + 3) ???.

??? L = | x-3 | \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {n} {3 (n + 1)} \ right | ???

??? L = | x-3 | \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {n} {3n + 3} \ right | ???

Так мы получим неопределенную форму ??? \ infty / \ infty ??? если мы попытаемся оценить предел, мы разделим числитель и знаменатель на переменную наивысшей степени, чтобы уменьшить дробь.

??? L = | x-3 | \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {n} {3n + 3} \ left (\ frac {\ frac {1} {n}} { \ frac {1} {n}} \ right) \ right | ???

??? L = | x-3 | \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {\ frac {n} {n}} {\ frac {3n} {n} + \ frac {3 } {n}} \ right | ???

??? L = | x-3 | \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {1} {3+ \ frac {3} {n}} \ right | ???

??? L = | x-3 | \ left | \ frac {1} {3+ \ frac {3} {\ infty}} \ right | ???

??? L = | x-3 | \ left | \ frac {1} {3 + 0} \ right | ???

??? L = | x-3 | \ left | \ frac13 \ right | ???

??? L = \ frac13 | x-3 | ???

Радиус и интервал схождения силовых рядов

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Видео с вопросом: Определение интервала сходимости Power Series

Стенограмма видеозаписи

Найдите интервал сходимости для степенного ряда: сумма от 𝑛 равна нулю до ∞ от минус два до 𝑛-й степени над 𝑛 факториалом.

Напомним, что интервал сходимости степенного ряда - это интервал, состоящий из всех значений 𝑥, для которых ряд сходится. Мы можем использовать тесты отношения или корня для проверки сходимости. Однако нам нужно быть немного осторожными. Когда 𝑥 - конечная точка интервала, ряды могут сходиться или расходиться в одной или обеих конечных точках. Таким образом, тесты отношения и корня всегда будут терпеть неудачу, если 𝑥 является конечной точкой интервала сходимости. В этом случае нам нужно проверить эти конечные точки с помощью другого теста.

Мы собираемся использовать тест отношения, чтобы проверить сходимость наших рядов. И это говорит о том, что ряд суммы 𝑛 сходится, если предел при приближении 𝑛 к ∞ абсолютного значения 𝑎 𝑛 плюс один над 𝑎 𝑛 меньше единицы. В нашем вопросе мы можем сказать, что 𝑎 𝑛 должно быть равно минус два в 𝑛 степени над 𝑛 факториалом. Итак, 𝑛 плюс один равно минус два в степени 𝑛 плюс один над 𝑛 плюс один факториал. Наша задача - найти такие значения 𝑥, что предел при приближении as к ∞ абсолютного значения частного их меньше единицы.И мы знаем, что для деления на дробь мы умножаем на обратную величину этой дроби. Итак, наш предел равен минус два в степени плюс один над 𝑛 плюс один факториал, умноженный на факториал по 𝑥 минус два в степени.

Напомним, что при делении чисел с одинаковым основанием мы можем вычесть их показатели. И это означает, что минус два в степени плюс один, деленный на минус два в степени, будет минус два в степени единицы, поскольку 𝑛 плюс один минус 𝑛 равно единице.Мы также знаем, что 𝑛 плюс один факториал равно 𝑛 плюс один умноженный на умноженный на 𝑛 минус один умноженный на минус два, и так далее. Что равно 𝑛 плюс один умножить на факториал. Итак, мы можем разделить на 𝑛 факториал. Теперь мы видим, что предел при приближении к ∞ абсолютного значения минус два над плюс один должен быть меньше единицы. Поскольку минус два не зависит от 𝑛, мы можем взять абсолютное значение 𝑥 минус два за пределы нашего предела.

Теперь, когда 𝑛 приближается к ∞, единица больше плюс один приближается к единице больше ∞, что само по себе приближается к нулю.Итак, мы видим, что мы хотим найти такие значения 𝑥, чтобы абсолютное значение 𝑥 минус два, умноженное на ноль, было меньше единицы. Но абсолютное значение 𝑥 минус два, умноженное на ноль, всегда будет равно нулю. А это, в свою очередь, всегда меньше единицы. И это означает, что наш степенной ряд, сумма от, равная нулю до ∞, от минус два до 𝑛-й степени над 𝑛 факториалом, сходится для всех значений 𝑥. В этом случае мы говорим, что его интервал сходимости - это открытый интервал от отрицательного ∞ до ∞.3

Taha:

1) пусть n = (x-1) n / (3 n * (n + 1) 3 )

2) определить n + 1 , а затем a n + 1 / a n

a n + 1 = (x-1) n + 1 / (3 n + 1 * (n + 2) 3 )

a n + 1 / a n = [(x-1) n + 1 * 3 n * (n + 1) 3 ] / [(x-1) n * 3 n + 1 * (n + 2) 3 ]

a n + 1 / a n = [(x-1) n + 1 / (x-1) n ] * [3 n /3 n + 1 ] * [(n + 1) 3 / (n + 2) 3 ]

a n + 1 / a n = [( x-1) n + 1-n ] * [3 nn-1 ] * [(n + 1) / (n + 2)] 3

a n + 1 / a n = [(x-1)] * [1/3] * [(n + 1) / (n + 2)] 3

3) определить | a n + 1 / a n | и lim n → ∞ | a n + 1 / a n |

| a n + 1 / a n | = | (1/3) * ((n + 1) / (n + 2)) 3 * (x-1) |

lim n → ∞ | a n + 1 / a n | = | (x-1) / 3 | поскольку lim n → ∞ ((n + 1) / (n + 2)) 3 = 1

4) Определите, где lim n → ∞ | a n + 1 / a n | <1

| (x-1) / 3 | <1 означает | x-1 | <3 Радиус сходимости равен 3

или -3

или -2

5) Проверьте конечные точки x = -2 и x = 4

Подключите x = -2 к ∑ (x-1) n / (3 n * (n + 1) 3 ), чтобы получить get (-1) n / (n + 1) 3

Используйте тест чередующейся серии, чтобы показать (-1) n / (n + 1) 3 сходится или расходится.Чтобы показать сходимость, покажите 1 / (n + 1) 3 убывает и покажите lim n → ∞ 1 / (n + 1).

Я позволю вам показать это.

Вставьте x = 4 в (x-1) n / (3 n * (n + 1) 3 ), чтобы получить ∑1 / (n + 1) 3

Используйте факт что 1 / (n + 1) 3 ≅ 1 / n 3 , когда n большое.

Сходится или расходится ∑1 / n 3 ?

Я тоже позволю тебе разобраться.

Сообщите мне, если вам понадобится дополнительная помощь!

Реальный анализ: 8.3. Серия и серия Power

8. Последовательность функций

8.3. Серия и мощность серии

В этом разделе будут объединены две теории, которые мы обсуждали ранее:

Простым примером числового ряда был геометрический ряд . Если числовой ряд сходятся, это представляет собой сложный способ выразить результирующее предельное значение. Например, сложным способом написать число 1 было бы:

1 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 +.знак равно

В этом разделе мы заменим числовое слагаемое на то, которое зависит от на x и попробуйте проанализировать, что происходит.

Ясно, что каждая S N , будучи конечной суммой, является четко определенная функция, которая наследует свои свойства от f n с. Но мы хотели бы знать, когда бесконечная сумма хорошо определена и что можно сказать о ее характеристики.

Приведенные выше примеры (с разной степенью сложности) показывают, что функция серии могут привести к простым функциям, которые разделяют свойства с отдельными термины f n (x) , но в то же время могут быть более сложными. Например, каждый член геометрического функционального ряда дифференцируем для всех x , но когда мы сложим бесконечно много этих простых терминов, результирующая функция даже не определена для | x | > 1 .

Мы хотели бы разработать общую теорию функциональных рядов, которая позволит нам, чтобы найти свойства серий быстро и эффективно. Основа нашей обсуждение будет:

Теорема 8.3.3: Теорема о сходимости Вейерштрасса
Предположим, что f n - это последовательность функций, определенных на D такой, что
|| f n || D <
где || f n || D - норма на Д .Тогда (функциональный) ряд f n (x) сходится абсолютно и равномерно на D к функции ф . Если, кроме того, каждый f n является непрерывным, функция предела f также является непрерывной на D . Доказательство

Теорема Вейерштрасса, если она применима, хороша тем, что позволяет рисовать выводы о серии из функций , глядя на числовой серия sup s.Простым примером является геометрический ряд, написанный как ряд одночленов в формате x , каждый из которых определен на замкнутом подмножестве (-1, 1) :

Приведенные выше примеры, особенно первый, могут показаться несколько особенными и возможно, немного надуманный. Ведь в первом примере условия серии настолько просты и складываются (в доказательстве) настолько хорошо, что быть поводом заподозрить пример готовый для студентов.Другая серия, с другой стороны, кажутся намного более сложными, чем составляющие его компоненты. Оказывается, добавление кучи относительно простых функций, даже одночлены, могут давать очень сложные функции. Вот это определенно правда:

Сумма может быть намного сложнее ее частей!

Следующая теорема станет краеугольным камнем новой теории, которая даже (наконец и неожиданно) обеспечивают прочную теоретическую основу для наших триггерные функции sin и cos . Sic!

Но давайте, как обычно, начнем с нового определения:

Определение 3.3.5: Power Series
Функциональный ряд вида
a n (x - c) n = а 0 + а 1 (x-c) + a 2 (x-c) 2 + ...
называется (формальным) степенным рядом с центром c .

Другими словами, степенной ряд - это бесконечный ряд функций, где каждый член состоит из коэффициента , , , и мощность (x-c) n . Вот несколько примеров силы ряд:

Приведенное выше определение степенного ряда является «формальным», потому что ряд может или может не сходятся. Но силовые ряды, на самом деле, очень красивы и структурированы. свойства сходимости:

Теорема 3.3.7: Серия Power
Каждая силовая серия a n (x - c) n = а 0 + а 1 (x-c) + a 0 (x-c) 2 + ... с центром в c имеет следующие свойства:
  • Ряд степеней сходится в его центре, т.е. для x = c
  • Существует r такой, что ряд сходится абсолютно и единообразно для всех | x - c | р , где p , и расходится при всех | x - c | > р .Число r называется радиусом схождения для степенной ряд и определяется как:
    r = lim sup | a n / a n + 1 |
Обратите внимание, что радиус сходимости может быть равен нулю (т.е. степенной ряд сходится только для x = c ) или быть (т.е. ряд сходится для всех х ).Отметим, что эту теорему иногда называют теоремой Абеля о Силовая серия . Доказательство

Степенный ряд - это, проще говоря, «бесконечный многочлен», то есть многочлен «бесконечной» степени:

  • p (x) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 является многочленом степени 3
  • q (x) = 1 + 2 (x-1) + 3 (x-1) 2 является многочленом степени 2 с центром c = 1 .Обратите внимание, что мы могли бы выработать скобку, чтобы получить эквивалентный многочлен с центром в c = 0 (сделать это)
  • f (x) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ... = п х н-1 является степенным рядом с центром c = 0 с некоторым радиусом сходимости
  • г (x) = 1 + 1/2 (x + 2) + 1/4 (x + 2) 2 + 1/8 (x + 2) 3 + ... = 1/2 n (x + 2) n представляет собой степенной ряд с центром c = -2 с некоторым радиусом сходимости

Степенный ряд сходится, когда x = c , потому что тогда все члены, кроме первого, равны нулю.Кроме того, ряд сходится в открытом интервале c - r до c + r и расходится вне этого интервала согласно теореме. Теорема не делает никаких заявлений о конвергенции или расхождении в конечных точках c - r и c + r , поэтому эти конечные точки должны быть исследовали «вручную».

Если вы нарисуете круг с центром c и радиусом r затем круг пересекает ось x в точках c - r и c + r и таким образом определяет регионы конвергенции и расхождения.Но оказывается, что лучше всего определить степенной ряд в пространстве комплексных чисел, т.е. все коэффициенты и переменные разрешены быть комплексным. Теорема о степенных рядах остается верной на комплексной плоскости. и множество | z - c | будет истинным кругом, внутри которого (сложный) ряд сходится и расходится снаружи. На границе диска не существует общего утверждения, за исключением того факта, что должно быть не менее одна (возможно сложная) точка на границе , где ряд не сходятся (иначе можно было бы немного увеличить радиус сходимости).

Ряды

Power подробно изучены в Complex Analysis ; в действительности анализ они только тень их истинного я ...

В заключение приведенная выше теорема дает явную формулу для радиуса сходимости для степенного ряда, что приятно. Однако в большинстве случаев мы также могли бы применить наш знакомый тест на соотношение , который мы изучали в главу 4 к условиям серии , включая полномочия x и «решить» для x .Таким образом, одним меньше формулу для запоминания (при условии, конечно, что вы помните тест соотношения, который конечно же - :)!

Для примера рассмотрим степенной ряд . Ясно, что центр сходимости ряда c = 2 . Найти радиуса сходимости, мы могли бы применить приведенную выше формулу:

r = lim sup | a n / a n + 1 |

, где a n = 3n / 2 n .Мы получили:

г =
=

Таким образом, радиус сходимости равен 2 и ряд сходится абсолютно и равномерно на любом подынтервале | x - 2 | <2 .

Чтобы применить тест отношения к той же серии, вспомните, что тест отношения говорит, что a n сходится абсолютно, если lim sup | a n + 1 | / | a n | <1 .Обратите внимание, что для тест соотношения a n + 1 будет на вершине и будет включать степени x , тогда как в формуле для радиуса сходимости он отображается внизу и не включает никаких x .

Давайте теперь применим тест отношения к нашей серии, но на этот раз мы позволим a n = 3n / 2 n (x-2) n . В соответствии к тесту отношения наш ряд абсолютно сходится, если:

Но это упрощает условие

Как и раньше, это означает, что ряд сходится, если | x - 2 | <2 , я.е. радиус сходимости - 2.

У любого метода есть свои плюсы и минусы:

  • Если применить формулу для радиуса сходимости напрямую, термины кажутся немного проще, так как вы не носите с собой никаких полномочий х . С другой стороны, вам нужно не забыть поставить термин а н сверху, отличный от общеизвестного тест соотношения.
  • Если вы применяете тест соотношения, вам не нужно вспоминать никаких дополнительных формула.Но вам нужно носить с собой степени x (что будет, с другой стороны, всегда уменьшайте красиво), и вы должны не забывать решать полученное неравенство.

Независимо от метода, который мы использовали для определения указанного выше радиуса сходимости r = 2 нам еще нужно проверить сходимость в конечных точках x = 0 и х = 4 . В этом случае оказалось бы, что ряд расходится при обе конечные точки - обязательно проверьте это.

Иногда бывает сложнее обнаружить центр ряда степеней, иначе вы может захотеть «перецентрировать» серию (что не всегда работает). В Следующие примеры позволят вам получить больше опыта работы с степенными рядами.

Конечно, многочлены - это относительно простые функции: их можно складывать, вычитаем и умножаем (но не делим), и вы снова получаете многочлен. Дифференциация и интеграция особенно просты и снова приносят прибыль полиномы.Лоту известно о многочленах (например, они могут иметь при большинство n нулей) и мы с ними довольно комфортно себя чувствуем.

Как выяснится позже, силовые ряды обладают многими из этих свойств, что позволяет нам думать о них как о «многочленах бесконечной степени». Поскольку мы можем добавить, вычесть и умножить абсолютно сходящиеся ряды (см. главу 4), мы можем сложить, вычесть и умножить (подумайте о произведении Коши) степенной ряд, пока они имеют перекрывающиеся области конвергенции.Даже дифференцирующие и объединяющие работы как это должно:

Суть этой теоремы, рассматривая степенные ряды как бесконечные многочлены, является:

a 0 + a 1 (x-c) + a 2 (x-c) 2 + ... dx =
= а 0 dx + а 1 (x-c) dx + а 2 (x-c) 2 dx + ... =
= a 0 (x-c) + 1/2 a 1 (x-c) 2 + 1/3 a 2 (x-c) 3 +... + const

и для дифференциации:

a 0 + a 1 (x-c) + a 2 (x-c) 2 + ... =
= а 0 + а 1 (x-c) + а 2 (x-c) 2 + ... =
= a 1 + 2 a 2 (x-c) + 3 a 3 (x-c) 2 + ...

Конечно, производная от степенного ряда снова является степенным рядом. с тем же центром и радиусом сходимости, что и исходная серия.Таким образом, степенной ряд можно дифференцировать снова, и снова, и снова, так что мы иметь следующий список:

Следующие примеры позволят вам поэкспериментировать с дифференциацией и интеграцией силовой ряд. Вы обнаружите, что иногда степенные ряды представляют хорошо известные «простые» функции, о которых мы подробно поговорим в следующем разделе.

В качестве последнего применения нашей теоремы вот довольно сложный пример, который будет позволяют получить (хотя и медленно сходящееся) приближение для Pi.Он привлекает из нескольких других примеров, которые мы обсуждали ранее.

Введение в серию Power

Введение в серию Power

Часто бывает, что дифференциальное уравнение не может быть решено в терминах элементарных функций (то есть в замкнутой форме в терминах полиномов, рациональных функций, e x , sin x , cos x , В х и т. Д.). Все, что доступно - это решение серии Power. Тем не менее такое выражение является вполне допустимым решением, и на самом деле многие конкретные степенные ряды, возникающие при решении конкретных дифференциальных уравнений, были тщательно изучены и занимают видное место в математике и физике.

Степенный ряд в x вокруг точки x 0 является выражением формы

, где коэффициенты c n являются постоянными.Это кратко записано с использованием обозначения суммирования следующим образом:

Внимание будет ограничено x 0 = 0; такие серии просто называются степенными рядами в x :

Ряд полезен только в том случае, если он сходится к (то есть, если он приближается к конечной предельной сумме), поэтому естественный вопрос заключается в том, для каких значений x будет сходиться данный степенной ряд? Каждый степенной ряд в x попадает в одну из трех категорий:

Степенный ряд сходится только для x = 0.

Степенный ряд сходится для | x | < R и расходятся на (то есть не сходятся) для | x | > R (где R - некоторое положительное число).

Ряд степеней сходится для всех x .

Поскольку степенные ряды, сходящиеся только для x = 0, по существу бесполезны, здесь будут обсуждаться только те степенные ряды, которые попадают в категорию 2 или категорию 3.

Тест на соотношение говорит, что серия

сойдется, если

и расходятся, если этот предел больше 1. Но (*) эквивалентно

, поэтому положительное число R , упомянутое в определении степенного ряда Категории 2, является этим пределом:

Если этот предел равен ∞, то степенной ряд сходится для | x | <∞ - что означает для всех x - и степенной ряд относится к Категории 3. R называется радиусом сходимости степенного ряда, а набор всех x , для которых сходится реальный степенной ряд, всегда является интервалом, называемым его интервалом сходимости .

Пример 1 : Найдите радиус и интервал сходимости для каждого из этих степенных рядов:

[Напомним, что n ! («Факториал n ») обозначает произведение положительных целых чисел от 1 до n .Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 25 По определению 0! устанавливается равным 1.]

а. В этой серии мощности c n = 2 n / n !, поэтому тест соотношения говорит о

Следовательно, этот ряд сходится для всех x .

г. Радиус сходимости степенного ряда в (b) составляет

Поскольку R = 3, степенной ряд сходится для | x | <3 и расходится при | x | > 3.Для степенного ряда с конечным интервалом сходимости вопрос о сходимости на концах интервала следует рассматривать отдельно. Может случиться так, что степенной ряд не сходится ни в одной из конечных точек, только в одной или в обеих. Силовая серия

не сходится ни в конечной точке x = 3, ни в x = −3, поскольку отдельные члены обеих результирующих серий

явно не приближаются к 0, поскольку n → ∞.(Для сходимости любого ряда необходимо, чтобы отдельные члены равнялись 0.) Следовательно, интервал сходимости степенного ряда в (b) - это открытый интервал −3 < x <3.

г. Радиус сходимости этого степенного ряда составляет

Так как R = 1, серия

сходится для | x | <1 и расходится при | x | > 1. Поскольку этот степенной ряд имеет конечный интервал сходимости, вопрос о сходимости на концах интервала следует рассматривать отдельно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *