Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла
Как найти,
гипотенузу или катеты в прямоугольном треугольнике.
a, b — катеты
c — гипотенуза
α, β — острые углы
Формулы для катета, (a):
Формулы для катета, (b):
Формулы для гипотенузы, (c):
Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b — сторона (основание)
a — равные стороны
α — углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b):
Формулы длины равных сторон , (a):
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a, b, c — стороны произвольного треугольника
α, β, γ — противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):
* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):
В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
H — высота из прямого угла
a, b — катеты
с — гипотенуза
c1 , c2 — отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α, β — углы при гипотенузе
Формула длины высоты через стороны, (H):
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):
Формула длины высоты через катет и угол, (H):
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
a — сторона, основание
b, c — стороны
β, γ — углы при основании
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, (H):
Формула длины высоты через сторону и угол, (H):
Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):
Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):
Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA
и делящий гипотенузу c, пополам.
Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).
M — медиана
R — радиус описанной окружности
O — центр описанной окружности
с — гипотенуза
a, b — катеты
α — острый угол CAB
Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):
Формула длины через катеты, (M):
Формула длины через катет и острый угол, (M):
Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины
Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.
M — медиана, отрезок |AO|
c — сторона на которую ложится медиана
a, b — стороны треугольника
γ — угол CAB
Формула длины медианы через три стороны, (M):
Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):
Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.
В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.
L — высота=биссектриса=медиана
a — сторона треугольника
Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):
Калькулятор — вычислить, найти медиану, биссектрису, высоту
Формулы для вычисления высоты, биссектрисы и медианы.
В равнобедренном треугольнике: высота, биссектриса и медиана, исходящие из угла образованного равными сторонами, один и тот же отрезок.
L — высота = биссектриса = медиана
a — одинаковые стороны треугольника
b — основание
α — равные углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:
L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)
a, b — катеты прямоугольного треугольника
с — гипотенуза
α — угол прилежащий к гипотенузе
Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):
Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):
2.
Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:
L — биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла
a, b — катеты прямоугольного треугольника
с — гипотенуза
α, β — углы прилежащие к гипотенузе
Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):
Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):
L— биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам
a, b — стороны треугольника
с — сторона на которую опущена биссектриса
d, e — отрезки полученные делением биссектрисы
γ — угол
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):
Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):
Длина биссектрисы через три стороны, (L):
Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):
Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.
что это? Отвечаем на вопрос. Как найти синус, косинус и тангенс?
Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.
Истоки тригонометрии
Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.
Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры.
В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.
Основные формулы тригонометрии, тригонометрия как…
Сегодня тригонометрия является частью специфического гармонического анализа в математике, который…
Начальный этап
Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.
Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.
Сферическая тригонометрия
Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов.
Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».
Доказательство теоремы Пифагора
Не только каждый школьник, но и каждый уважающий себя образованный человек должен знать, что такое…
Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание – она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.
Прямоугольный треугольник
Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.
Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику.
Во-первых, гипотенуза – это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.
В каких четвертях косинус положительный? В каких четвертях…
Вопросы, возникающие при изучении тригонометрических функций, разнообразны. Некоторые из них – о…
Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.
Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.
Определение
Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.
Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе.
Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза – это по умолчанию самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.
Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.
Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей.
Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.
Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.
Простейшие формулы
В тригонометрии не обойтись без формул – как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.
Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.
Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой.
Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.
Формулы двойного угла и сложения аргументов
Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.
Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих – в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.
Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.
Теоремы
Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов.
С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.
Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла — полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.
Ошибки по невнимательности
Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.
Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата – можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.
Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.
В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов.
Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.
Применение
Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.
В заключение
Итак, вы знаете, что такое синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.
Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные.
Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.
Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение – это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.
Касательные и наклоны
Касательные и наклоныОпределение касательной
Синус и косинус — не единственные тригонометрические функции, используемые в тригонометрии. Многие другие использовались на протяжении веков, такие как гаверсины и спреды. Наиболее полезным из них является тангенс. С точки зрения диаграммы единичного круга, касательной является длина вертикальной линии ED , касательной к окружности из точки касания E до точки D , где эта касательная пересекает луч AD , образующий угол.
| Если ваш браузер поддерживает Java, вы можете перетаскивать точку B , чтобы увидеть, как синус, косинус и тангенс изменяются при изменении угла. (Дополнительную информацию об управлении фигурой см. в разделе Об апплете.) |
Тангенс относительно синуса и косинуса
Поскольку два треугольника ADE и ABC подобны, имеемНо ED = tan A, AE = 1, CB = sin A, и AC = cos AB.
Касательные и прямоугольные треугольники
Точно так же, как синус и косинус можно найти как отношение сторон прямоугольного треугольника, можно найти и тангенс. Мы будем использовать три отношения, которые у нас уже есть. Во-первых, tan A = sin A / cos A.
Во-вторых, sin A = a/c. В-третьих, cos A = b/c. Разделив a/c на b/c и убрав появляющиеся c , мы заключаем, что tan A = a/b. Это означает, что касательная – это противолежащая сторона, деленная на прилежащую сторону:
Наклоны линий
Одна из причин, по которой касательные так важны, заключается в том, что они дают наклоны прямых линий. Рассмотрим прямую линию, проведенную в координатной плоскости x-y .Точка B находится там, где линия пересекает ось y . Мы можем принять координаты B равными (0, b ), так что b, , называемая точкой пересечения y , указывает, насколько выше x -ось B лежит. (Эти обозначения противоречат обозначению сторон треугольника a, b, и c, , поэтому не будем сейчас обозначать стороны.)
Вы можете видеть, что точка на 1 единицу правее начала координат помечена 1, и ее координаты, конечно же, (1,0).
Пусть C будет точкой, где эта вертикальная линия пересекает горизонтальную линию через B. Тогда C имеет координаты (1, b ).
Точка A находится там, где вертикальная линия выше 1 пересекает исходную линию. Пусть м обозначает расстояние, на котором А выше С. Тогда А имеет координаты (1, b + м ). Это значение м называется уклоном линии. Если вы переместитесь вправо на одну единицу в любом месте по линии, то вы переместитесь вверх на м единиц.
Теперь рассмотрим угол СВА. Назовем это угол наклона. Тангенс CA/BC = м / 1 = м. Таким образом, наклон представляет собой тангенс угла наклона.
Углы возвышения и депрессии
Термин «угол места» относится к углу над горизонталью от зрителя. Если вы находитесь в точке А, АХ и АХ это горизонтальная линия, то угол возвышения до точки В над горизонтом — угол BAH.
Аналогично, «угол депрессии» к точке C ниже горизонта составляет угол CAH.
Касательные часто используются для решения задач, связанных с углами возвышения и депрессии.
Опять общие углы
Мы можем расширить нашу таблицу синусов и косинусов общих углов до тангенсов. Вам не нужно запоминать всю эту информацию, если вы можете просто запомнить отношения сторон 45°-45°-9треугольник 0° и треугольник 30°-60°-90°. Отношения являются значениями триггерных функций.Обратите внимание, что тангенс прямого угла указан как бесконечность. Это потому, что по мере того, как угол увеличивается до 90°, его тангенс неограниченно растет. Может быть, лучше сказать, что касательная 90 ° не определена, поскольку, используя определение окружности, луч, исходящий из начала координат под углом 90 °, никогда не пересекается с касательной.
| Угол | Градусов | Радиан | косинус | синус | тангенс |
|---|---|---|---|---|---|
| 90° | π /2 | 900 15 01 | бесконечность | ||
| 60° | π /3 | 1/2 | √3 / 2 | √3 | |
| 45° | π /4 | √2 / 2 | √2 / 2 | 1 | |
| 30 ° | π /6 | √3 / 2 | 1/2 | 1/√3 | |
| 0° | 0 9001 6 | 1 | 0 | 0 |
Упражнения
29.
В прямоугольном треугольнике a = 30 ярдов и тангенс A = 2. Найдите b и c.
49. cos t = 2 tan t. Найдите значение sin т.р.
Примечание: В следующих задачах расстояние означает расстояние по горизонтали, если не указано иное; под высотой объекта понимается его высота над горизонтальной плоскостью через точку наблюдения. Высота глаза наблюдателя не должна приниматься во внимание, если это специально не оговорено. В задачах, связанных с тенью объекта, предполагается, что тень падает на горизонтальную плоскость через основание объекта, если не указано иное.
151. Угол возвышения дерева на расстоянии 250 футов составляет 16° 13′. Найдите высоту.
152. Найти высоту колокольни на расстоянии 321 фут, угол возвышения 35° 16′.
153. С корабля угол возвышения верхней части маяка на высоте 200 футов над водой составляет 2° 20′.
Найдите расстояние.
154. С вершины маяка на высоте 165 футов над водой угол депрессии корабля составляет 3° 50′. Найдите расстояние.
159. Найдите высоту башни на расстоянии 186 футов, угол возвышения 40° 44′.
160. С одной стороны ручья шест высотой 50 футов имеет с противоположной точки угол возвышения 5° 33′. Найдите ширину потока.
164. От одного холма вершина другого на 128 футов выше имеет угол возвышения 2° 40′. Найдите расстояние.
165. С одного холма на вершину другого далекого 6290 футов имеет угол возвышения 4° 9′. Найдите, на сколько высота второго холма больше высоты первого.
189. Фронтон крыши имеет ширину 40 футов у основания и 26 футов от основания до конька. Под каким углом наклон стропил?
Советы
Общий совет для всех этих упражнений: сначала нарисуйте фигуру. 29. Так как вы знаете a и коричневый А, можно найти б.
Затем можно определить c по теореме Пифагора, или с помощью синусов, или с помощью косинусов.
49. Вам понадобятся две личности. Во-первых, tan t = sin t /cos t. Во-вторых, тождество Пифагора, sin 2 t + cos 2 t = 1. Тогда вам нужно решить квадратное уравнение.
151. Помните, что тангенс угла прямоугольного треугольника равен противолежащей стороне, деленной на прилежащую сторону. Вы знаете соседнюю сторону (расстояние до дерева) и угол (угол возвышения), поэтому можете использовать касательные для нахождения высоты дерева.
152. Вы знаете угол (опять же, угол возвышения) и примыкающую сторону (расстояние до шпиля), поэтому используйте касательные, чтобы найти противоположную сторону.
153. Используя угол и противоположную сторону, используйте тангенс, чтобы найти соседнюю сторону.
154. Та же подсказка, что и в 153.
159. Та же подсказка, что и в 152.
160. Та же подсказка, что и в 153.
164. Та же подсказка, что и в 153.
165. Та же подсказка, что и в 152.
189. Фронтон крыши представляет собой равнобедренный треугольник. Если провести перпендикулярную линию от хребта, то получится два конгруэнтных прямоугольных треугольника. Вы знаете две стороны треугольников, поэтому можете определить угол наклона стропил с помощью арктангенса.
Ответы
29. b = a /tan A = 30/2 = 15 ярдов. c = 33,5 ярда.
49. Поскольку cos t = 2 tan t, следовательно, cos t = 2 sin t /cos t, so cos 2 t = 2 sin t, и, по тождеству Пифагора вы получаете 1 – sin 2 t = 2 sin t. Получается квадратное уравнение sin 2 t + 2 sin t – 1 = 0.
Решения: sin t = –1 ± √2. Из этих двух решений единственно возможным является sin t = √2 – 1.
151. Высота = 250 tan 16°13′ = 72,7′ = 72’9″.
152. Высота = 321 tan 35°16′ = 227 футов.
153. Расстояние = 200/тангенс 2°20′ = 4908 футов, почти миля.
154. Расстояние = 165/тангенс 3°50′ = 2462 фута, почти полмили.
159. Высота = 186 tan 40°44′ = 160 футов.
160. Расстояние = 50/тангенс 5°33′ = 515 футов.
164. Расстояние = 128/тангенс 2°40′, около 2750 футов, чуть больше полумили.
165. Высота = 6290 tan 4°9′ = 456,4 фута.
189. тангенс А = 26/20, поэтому А = 52°.
Использование синуса, косинуса и тангенса
Все математические ресурсы SAT
137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept
SAT Mathematics Help » Тригонометрия » Используя синус, косинус и тангенс
Треугольники ABC и XYZ подобны.
Какова ценность?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Поскольку эти треугольники подобны, у них будет точно такое же отношение между их сторонами, а это означает, что синус Z будет таким же, как и синус C. А поскольку синус = противолежащее/гипотенуза, вы можете вычислить это как к .
Сообщить об ошибке
Три угла прямоугольного треугольника имеют размеры , и . Если и , то что?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Вы, вероятно, знаете SOH-CAH-TOA для синуса, косинуса и тангенса, что, конечно же, является абсолютно необходимым знанием для вопросов по тригонометрии на SAT. Следующим элементом передовых знаний о тригонометрии, который любит проверять SAT, является следующий набор правил:
Вы должны знать эти правила , чтобы иметь возможность решать сложные вопросы тригонометрии SAT!
Вот еще один способ понять эти правила:
В прямоугольном треугольнике всегда есть два меньших угла .
Синус одного угла = косинусу другого угла.
Косинус одного угла = синусу другого угла.
Если вы понимаете SOH-CAH-TOA и прямоугольные треугольники, это логично: Из SOH и CAH вы можете видеть, что единственная разница между синусом и косинусом заключается в том, что у синуса длина противоположной стороны в числителе а косинус имеет длину смежной стороны в числителе. Что ж, в прямоугольном треугольнике, когда вы переключаетесь с одного из меньших углов на другой, вы меняете местами, какая сторона является противоположной, а какая — смежной! (Гипотенуза всегда остается одной и той же стороной.) На основе SOH и CAH, поменяв местами противоположную и смежную стороны означает то же самое, что и перестановка значений синуса и косинуса углов.
Возвращаясь к этому конкретному вопросу, поскольку , и должны быть двумя меньшими углами прямоугольного треугольника. Поэтому, основываясь на правилах, описанных выше, и .
Так как , это означает, что тоже! Таким образом, правильных вариантов ответа — .
Это классический вопрос с подвохом, потому что составители тестовых вопросов знают, что большинство учащихся не ожидают, что правильный ответ будет точно таким же, как другое значение, указанное в вопросе! Таким образом, учащиеся, не знающие правил или не уверенные в своих знаниях на 100%, будут бояться выбрать этот ответ и, скорее всего, предложат другой ответ. Это задача, которую авторы вопросов SAT ставят перед студентами. Вы должны очень хорошо знать эти правила, чтобы успешно пройти это испытание и выбрать правильный ответ!
Сообщить об ошибке
Три угла прямоугольного треугольника имеют меры , и . Подобный треугольник имеет угловые меры , и . Если , и , что такое ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Сначала нужно разложить соответствующие углы в подобных треугольниках.
Очевидно, так как , и прямые углы. Таким образом, мы знаем, что внутри каждого треугольника и . Ключевой дополнительной информацией в вопросе об углах является то, что . Это означает, что и . Теперь мы точно знаем, какие углы в подобных треугольниках конгруэнтны (равны) друг другу.
Теперь ключевым шагом вопроса является использование значения для нахождения значения . Поскольку теперь мы это знаем, мы это знаем. Теперь мы можем сосредоточиться только на треугольнике с углами , и .
Вы, вероятно, знаете SOH-CAH-TOA для синуса, косинуса и тангенса, что, конечно же, является абсолютно необходимым знанием для вопросов по тригонометрии на SAT. Следующим элементом передовых знаний о тригонометрии, который любит проверять SAT, является следующий набор правил:
Вы должны знать эти правила , чтобы иметь возможность решать сложные вопросы тригонометрии SAT!
Вот еще один способ понять эти правила:
В прямоугольном треугольнике всегда есть два меньших угла .
Синус одного угла = косинусу другого угла.
Косинус одного угла = синусу другого угла.
Если вы понимаете SOH-CAH-TOA и прямоугольные треугольники, это логично: Из SOH и CAH вы можете видеть, что единственная разница между синусом и косинусом заключается в том, что у синуса длина противоположной стороны в числителе а косинус имеет длину смежной стороны в числителе. Что ж, в прямоугольном треугольнике, когда вы переключаетесь с одного из меньших углов на другой, вы меняете местами, какая сторона является противоположной, а какая — смежной! (Гипотенуза всегда остается одной и той же стороной.) На основе SOH и CAH, поменяв местами противоположную и смежную стороны означает то же самое, что и перестановка значений синуса и косинуса углов.
Возвращаясь к этому конкретному вопросу, поскольку , и должны быть двумя меньшими углами прямоугольного треугольника.
Поэтому, основываясь на правилах, описанных выше, и .
Так как , это означает, что тоже! Таким образом, правильный выбор ответа равен 0,8.
Это классический вопрос с подвохом, потому что составители тестовых вопросов знают, что большинство учащихся не ожидают, что правильный ответ будет точно таким же, как другое значение, указанное в вопросе! Таким образом, учащиеся, не знающие правил или не уверенные в своих знаниях на 100%, будут бояться выбрать этот ответ и, скорее всего, предложат другой ответ. Это задача, которую авторы вопросов SAT ставят перед студентами. Вы должны очень хорошо знать эти правила, чтобы успешно пройти это испытание и выбрать правильный ответ!
Сообщить об ошибке
Три угла прямоугольного треугольника имеют меры , , и . Какова ценность ?
Возможные ответы:
Ответ не может быть определен на основе информации, указанной в вопросе.
Правильный ответ:
Объяснение:
Прежде всего, следите за выбором ответа-ловушки «Ответ не может быть определен из информации, указанной в вопросе»!! НИКОГДА НЕ УГАДАЙТЕ ЭТОТ ОТВЕТ, если вы не совсем уверены, что он ДОЛЖЕН быть правдой! Чаще всего SAT использует этот вариант ответа как ловушку для студентов, которые не знают расширенный метод, который существует и необходим для поиска правильного ответа, который можно определить из информации, приведенной в вопросе, если вы знаете правильный метод. Если вы не понимаете, как ответить на вопрос, и вам нужно угадать, угадайте один из трех других вариантов ответа!
Вы, вероятно, знаете SOH-CAH-TOA для синуса, косинуса и тангенса, что, конечно же, является абсолютно необходимым знанием для вопросов по тригонометрии на SAT. Следующим элементом передовых знаний о тригонометрии, который любит проверять SAT, является следующий набор правил:
Вы должны знать эти правила , чтобы иметь возможность решать сложные вопросы тригонометрии SAT!
Вот еще один способ понять эти правила:
В прямоугольном треугольнике всегда есть два меньших угла .
Синус одного угла = косинусу другого угла.
Косинус одного угла = синусу другого угла.
Если вы понимаете SOH-CAH-TOA и прямоугольные треугольники, это логично: Из SOH и CAH вы можете видеть, что единственная разница между синусом и косинусом заключается в том, что у синуса длина противоположной стороны в числителе а косинус имеет длину смежной стороны в числителе. Что ж, в прямоугольном треугольнике, когда вы переключаетесь с одного из меньших углов на другой, вы меняете местами, какая сторона является противоположной, а какая — смежной! (Гипотенуза всегда остается одной и той же стороной.) На основе SOH и CAH, поменяв местами противоположную и смежную стороны означает то же самое, что и перестановка значений синуса и косинуса углов.
Возвращаясь к этому конкретному вопросу, и должны быть двумя меньшими углами прямоугольного треугольника. Поэтому, основываясь на правилах, описанных выше, и .
Следовательно, . Таким образом, правильный вариант ответа равен 0.
Сообщить об ошибке
[Примечание. Следующий вопрос может появиться в разделе «С калькулятором», поэтому учащийся может использовать калькулятор для ответа на него.]
Два острых угла имеют размеры и , и . Если и , каково значение ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Вы, вероятно, знаете SOH-CAH-TOA для синуса, косинуса и тангенса, что, конечно же, является абсолютно необходимым знанием для вопросов по тригонометрии на SAT. Следующим элементом передовых знаний о тригонометрии, который любит проверять SAT, является следующий набор правил:
Вы должны знать эти правила , чтобы иметь возможность решать сложные вопросы тригонометрии SAT!
Вот еще один способ понять эти правила:
В прямоугольном треугольнике всегда есть два меньших угла .
Синус одного угла = косинусу другого угла.
Косинус одного угла = синусу другого угла.
Если вы понимаете SOH-CAH-TOA и прямоугольные треугольники, это логично: Из SOH и CAH вы можете видеть, что единственная разница между синусом и косинусом заключается в том, что у синуса длина противоположной стороны в числителе и косинус имеет в числителе длину Прилежащей стороны. Что ж, в прямоугольном треугольнике, когда вы переключаетесь с одного из меньших углов на другой, вы меняете местами, какая сторона является противоположной, а какая — смежной! (Гипотенуза всегда остается одной и той же стороной.) На основе SOH и CAH, поменяв местами противоположную и смежную стороны означает то же самое, что и перестановка значений синуса и косинуса углов.
Возвращаясь к этому конкретному вопросу, мы должны думать о правилах, объясненных выше, по-другому: поскольку правила говорят нам об этом и вопрос говорит нам об этом, мы можем сделать логический вывод, что .
[Вопрос также добавляет информацию о том, что оба угла острые, что означает , поэтому мы знаем, что имеем дело с «нормальными» угловыми мерами между и , а не с какими-то более сложными угловыми мерами, большими чем, например.] Теперь мы можем переставить в более простая форма.
Теперь мы можем просто подставить значения и в уравнение . Продолжая добавлять 25 к обеим сторонам, мы получаем . Разделив обе части на 10, получим . Следовательно, правильный выбор ответа равен 11,5.
Если вы ошибочно думаете, что получите неправильный ответ 20.5. Если вы ошибочно полагаете, что получите неправильный ответ 38.5. Это большое значение 38,5 включено в число вариантов ответа главным образом для того, чтобы сделать более заманчивый неправильный вариант ответа 20,5 более «разумным» по сравнению с ним, чтобы заманить больше учащихся в ловушку неправильного угадывания 20,5.
Сообщить об ошибке
На приведенном выше рисунке отрезки DE и BC параллельны, DE перпендикулярен AB и .
Если и , какова площадь трапеции DBCE?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
SAT любит упаковывать множество различных понятий в один вопрос, чтобы заставить вас использовать все свои знания по математике, чтобы ответить на вопрос. Здесь вы должны начать с информации о том, что DE перпендикулярен AB, чтобы установить, что это прямой угол, и поэтому треугольник ADE является прямоугольным. Кроме того, поскольку DE и BC параллельны, это означает, что угол также должен быть прямым, а треугольник ABC прямоугольным.
Так как треугольники ADE и ABC также имеют один и тот же угол A, их третьи углы и также должны быть равны, потому что сумма трех углов каждого треугольника должна быть равна . Теперь, когда вы знаете, что все три угла треугольников ADE и ABC равны, это означает, что они подобны треугольникам.
Следующая ключевая информация в этом вопросе . Зная SOH-CAH-TOA, вы знаете это. В этих треугольниках соседними сторонами к А являются AD в малом треугольнике и АВ в большом треугольнике. Гипотенуза AE в малом треугольнике и AC в большом треугольнике. Следовательно, вы это знаете.
Теперь вы должны распознать числа 12 и 13 в «пифагорейской тройке» прямоугольного треугольника 5-12-13! Напомним, что это длины сторон прямоугольного треугольника, потому что . Однако будьте осторожны! Значение косинуса сообщает вам только отношение длин сторон, а не сами фактические длины сторон. Это могут быть 12 и 13, 24 и 26, 120 и 130, 1,2 и 1,3, 0,12 и 0,13 или любая другая пара длин с соотношением .
Информация в вопросе, которая помогает нам определить фактическую длину сторон. Поскольку BC должна быть кратчайшей стороной прямоугольного треугольника с отношением 5-12-13, вы можете видеть, что фактические длины сторон треугольника ABC должны быть дважды умножены на 5, 12 и 13: Таким образом и .
Кроме того, вопрос говорит вам, что . Следовательно, вычитая длину EC из длины AC, вы знаете, что . Это означает, что и . Поскольку и , это означает, что .
Теперь у вас есть все длины сторон трапеции DBCE, и вы готовы вычислить ее площадь. Вам нужно знать формулу площади трапеции: . Это выглядит сложно, но логичный способ понять и запомнить это — осознать, что всего среднее двух оснований трапеции . Всегда помните, что основания — это две стороны, которые параллельны друг другу, независимо от того, в каком направлении они ориентированы на диаграмме. Здесь две базы DE и BC. Их длины равны 5 и 10, поэтому их среднее значение равно 7,5. Высота трапеции — это высота от одного основания до другого, перпендикулярная обоим основаниям. В этом случае, поскольку углы и углы прямые, угол DB перпендикулярен углам DE и BC, а значит, сам угол DB является высотой трапеции. Таким образом, высота равна 12, а площадь трапеции равна , поэтому выбор правильного ответа равен 90.
Сообщить об ошибке
В треугольнике LMN LM перпендикулярен MN. Если , какова ценность ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Хотя SAT иногда может задавать такие вопросы по геометрии, как этот, без диаграммы, часто вам следует нарисовать диаграмму самостоятельно, чтобы наглядно представить, что происходит в вопросе!
Здесь вопрос говорит вам, что LM перпендикулярна MN. Перпендикулярные линии встречаются под прямым углом, так что это причудливый скрытый способ сказать вам, что это прямой угол. Теперь вы знаете, что LMN — прямоугольный треугольник, поэтому вам следует нарисовать его собственную диаграмму:
Далее вопрос говорит вам, что . Зная SOH-CAH-TOA, вы знаете, что.
Сторона, противоположная L, — это MN, а сторона, примыкающая к L, — это LM, так что теперь вы знаете, что . Технически мы не знаем реальных длин сторон, только отношение одной стороны к другой: они могут быть 4 и 3, или 8 и 6, или 400 и 300, или 0,8 и 0,6, или любые две длины с отношением из . Но в этом конкретном вопросе это не имеет значения, поскольку вопрос требует от вас значения , которое также является отношением длин сторон, как и тангенс L. Таким образом, в этом вопросе вы можете просто не усложнять и принять простейший случай и .
Вы знаете прямоугольный треугольник 3-4-5, так что теперь вы можете предположить .
Снова от SOH-CAH-TOA, вы знаете это. Убедитесь, что вы сейчас переключили перспективу с угла L на угол N! Вопрос просит вас указать значение . С точки зрения угла N прилежащая сторона равна MN, а гипотенуза — LN. Так . Поэтому c выбор правильного ответа равен .
Сообщить об ошибке
Если и , каково значение ?
Возможные ответы:
Ответ не может быть определен на основе информации, указанной в вопросе.
Правильный ответ:
Объяснение:
Прежде всего, следите за выбором ответа-ловушки «Ответ не может быть определен из информации, указанной в вопросе»!! НИКОГДА НЕ УГАДАЙТЕ ЭТОТ ОТВЕТ, если вы не совсем уверены, что он ДОЛЖЕН быть правдой! Чаще всего SAT использует этот вариант ответа как ловушку для студентов, которые не знают расширенный метод, который существует и необходим для поиска правильного ответа, который можно определить из информации, приведенной в вопросе, если вы знаете правильный метод. Если вы не понимаете, как ответить на вопрос, и вам нужно угадать, угадайте один из трех других вариантов ответа!
В этом вопросе SAT пытается запутать вас лишними числами, алгеброй и скобками в первом уравнении, которое они вам дают. Не вводите в заблуждение и не вводите в заблуждение! В скобках нет хитрости: вы можете просто сложить все термины вместе и получить .
Теперь просто вычтите 10 с обеих сторон, и вы получите .
Теперь вы можете увидеть связь с вопросом о значениях тангенса: так как , и могут быть двумя меньшими углами прямоугольного треугольника!
Совет профессионала : На этом этапе наиболее опытные студенты-математики уже сразу увидят ответ: Поскольку вы знаете из SOH-CAH-TOA, что , и переход от одного меньшего угла прямоугольного треугольника к другому меньшему углу просто меняет местами противоположные стороны углов и смежные стороны, тангенс одного угла всегда является обратной величиной тангенса другого угла! Таким образом, самые опытные студенты-математики сразу знают, что это правильный вариант ответа .
Если вы не видите этого сразу, другой способ закончить решение вопроса — нарисовать собственную диаграмму: . (Имейте в виду, что на самом деле это могут быть любые длины сторон, имеющие отношение 2:3.
) Теперь, переключившись на треугольник с точки зрения угла, вы видите, что теперь противоположная сторона равна , а примыкающая сторона . Итак, что такое выбор правильного ответа .
Сообщить об ошибке
В приведенном выше треугольнике XYZ тангенс равен 1. Чему равно число?
Возможные ответы:
Информация не может быть определена.
Правильный ответ:
Объяснение:
Вопрос говорит вам, что тангенс угла a равен 1. Мы хотим иметь в виду, что тангенс представляет собой отношение: это длина противоположной стороны, деленная на длину соседней стороны. Когда коэффициент равен 1? Когда обе фигуры одинаковы. Итак, сторона XY = сторона YZ, а это означает, что вы имеете дело с равнобедренным прямоугольным треугольником (и именно здесь действительно пригодится обозначение «не в масштабе», поскольку вы бы не подумали, что это правда из рисунка) .
Поскольку это равнобедренный прямоугольный треугольник, вы знаете, что отношение сторон равно: . На данный момент, даже если вы не знаете фактических длин, все, что вам нужно сделать, это применить это соотношение. Синус b противоположен гипотенузе, которая является отношением . Отсюда вам нужно «рационализировать знаменатель», умножив его на 1 (в данном случае ). После упрощения остается .
Сообщить об ошибке
В треугольнике ниже тангенс равен . Что такое тангенс?
Возможные ответы:
Информация не может быть определена.
Правильный ответ:
Объяснение:
В этом примере перед нами стоит задача применить наше понимание соотношений, которые мы выражаем с помощью SOH-CAH-TOA, нашего греха, косинуса и тангенса. Имейте в виду, что эти соотношения следующие:
Исходя из этого, если нам говорят, что тангенс ( ) , то тангенс должен быть обратным, так как противоположность а° является прилежащей к Ь°, и наоборот наоборот Во многих случаях понимание того, как SOH-CAH-TOA манипулирует одними и теми же отношениями и сторонами треугольника в вопросах SAT, может упростить ту степень, в которой нам действительно нужно «вычислять».