Как найти матрицу а в n степени: Как возвести матрицу в степень? OTUS

Возведение унимодулярной матрицы в степень. : Высшая алгебра

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

 
Rat 

 Возведение унимодулярной матрицы в степень.

17.04.2009, 14:42 

24/04/08
109
Москва

Здравствуйте!

Вот у меня есть унимодулярная матрица и ее надо возвести в степень . Не посоветуете литературу, где про это можно почитать. Я знаю, что это делается с помощью полиномов Чебышова, но хотелось бы подробнее.

Спасибо!


   

                  

Парджеттер 

 

20. 04.2009, 08:32 

Экс-модератор

07/10/07
3368

А унимодулярная это та, у которой определитель равен 1?


   

                  

bot 

 

21.04.2009, 09:03 

Заслуженный участник

21/12/05
5808

Новосибирск

Парджеттер

, , если речь идёт о матрице над кольцом целых чисел.

Более общо, унимодулярной матрицей над кольцом с единицей называют квадратную матрицу с обратимым определителем. К примеру, квадратная полиномиальная (полиномы над полем) матрица унимодулярна, если её определитель есть отличный от нуля скаляр.

Добавлено спустя 4 минуты 32 секунды:

Чебышов звучит лучше, чем Чебышев, но правильно — Чебышёв.


   

                  

Парджеттер 

 Re: Возведение унимодулярной матрицы в степень.

14.04.2010, 15:09 

Экс-модератор

07/10/07
3368

bot

, да, это на редкость содержательный ответ по теме

Итак, возвращаюсь к мёртвой теме лишь потому, что в широко доступной литературе эта информация отсутствует. Математики обычно тоже не в курсе. Поэтому эта информация может быть полезна.

Итак, пусть есть матрица

Задача стоит в том, чтобы найти .

Приводимая в некоторых оптических книгах [Ярив и Юх; Борн и Вольф] формула для возведения матрицы в степень имеет вид

где , а — полиномы Чебышёва 2-го рода:
Есть два сорта доказательства этого факта. Наиболее простой и прозрачный на самом деле простая индукция. Второй — матричный — изложен в статье
F. Abeles, Ann. de Physique 5, 596-640, 706-782 (1950)
которую я бы сам с удовольствием почитал.

Проверка для случаев , естественно, тривиальна. Для 2 оставляю это в качестве упражнения.

Пусть этот факт справедлив для , т.е.

Необходимо показать, что при этом справедливо

Показать это нетрудно, раскрыв произведение матриц

в процессе преобразования надо вспомнить про унимодулярность и стандартную рекурсивную формулу для полиномов Чебышёва 2-го рода .

Таким образом, эта теорема будет доказана.

Так что теперь тему можно каталогизировать.


   

                  

Профессор Снэйп 

 Re: Возведение унимодулярной матрицы в степень.

14.04.2010, 15:51 

Заморожен

18/12/07
8774
Новосибирск

Приводим матрицу к жордановой форме и считаем от неё любую аналитическую функцию. Хоть возведение в степень, хоть синус-косинус-лонарифм, хоть что ещё…


   

                  

Padawan 

 Re: Возведение унимодулярной матрицы в степень.

14.04.2010, 16:32 

Заслуженный участник

13/12/05
4289

Зачем к жордановой? Достаточно только собственные значения найти.


   

                  

Парджеттер
 

 Re: Возведение унимодулярной матрицы в степень.

14.04.2010, 18:44 

Экс-модератор

07/10/07
3368

Профессор Снэйп в сообщении #309424 писал(а):

Приводим матрицу к жордановой форме и считаем от неё любую аналитическую функцию. Хоть возведение в степень, хоть синус-косинус-лонарифм, хоть что ещё…

Да, хорошо, что Вы не физик 🙂

p.s. Жордановость это действительно стрельба из пушки по воробьям. Если бы такая задача стояла чисто математически, то надо было бы только решить задачу на собственные значения, о чем и говорит Padawan.


   

                  

BapuK 

 Re: Возведение унимодулярной матрицы в степень.

15.04.2010, 16:11 

06/03/09
240
Владивосток

Профессор Снэйп в сообщении #309424 писал(а):

Приводим матрицу к жордановой форме и считаем от неё любую аналитическую функцию. Хоть возведение в степень, хоть синус-косинус-лонарифм, хоть что ещё…

А каким образом? Проводим аналогию с рядами Тейлора для функций и вместо переменной подставляем матрицу? или можно как-то по-другому?


   

                  

Padawan 

 Re: Возведение унимодулярной матрицы в степень.

15.04.2010, 16:53 

Заслуженный участник

13/12/05
4289

BapuK

Дело в том, что если разность двух многочленов делится на характеристический многочлен матрицы, то по теореме Гамильтона-Кэли . Поэтому естественно в качестве значения функции при принять значение , где — такой многочлен, что разность делится на характеристический многочлен матрицы. В качестве можно взят интерполяционный многочлен Лагранжа, если корни хар. многочлена простые. Если же корни кратные, то надо еще потребовать, чтобы на корнях совпадали еще и значения производных и до порядка кратности корня. Это называется интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

На самом деле достаточно, чтобы делилось не на хар. многочлен, а на так называемый минимальный многочлен матрицы — это многочлен наименьшей степени, аннулирующий данную матрицу. Он равен , где — хар. многочлен, а — НОД миноров — ого порядка матрицы . имеет те же корни, что и . Вот чтобы его найти можно привести матрицу к жордановой форме. Точнее надо знать саму эту форму, а трансформирующую матрицу знать совсем не обязательно.

Допустим минимальный многочлен матрицы равен (для примера)
Тогда существуют такие матрицы (одинакового с ) порядка, что для любой функции , аналитической в окрестости собственных значений , будет

Матрицы , , называются компонентами матрицы .

Про всё это очень хорошо написано в книжке Ф. Р. Гантмахера «Теория матриц».


   

                  

ewert 

 Re: Возведение унимодулярной матрицы в степень.

15.04.2010, 21:48 

Заслуженный участник

11/05/08
32127

BapuK в сообщении #309905 писал(а):

А каким образом? Проводим аналогию с рядами Тейлора для функций и вместо переменной подставляем матрицу? или можно как-то по-другому?

Для матриц произвольного вида — иначе никак. Нет просто точки опоры. Нет никакого универсального критерия того, что разумно считать функцией от матрицы.

Кроме одного. Многочлен от матрицы — определяется естественно и однозначно. Ряд же Тейлора — это естественное обобщение многочленов. Поэтому аналитические функции от матрицы вводятся вполне напрашивающимся способом.

С двумя нюансами. Во-первых, в пределах радиуса сходимости тех степенных матричных рядов (для целых функций типа экспоненты эта проблема, конечно, отпадает). Во-вторых (это если первая проблема всё-таки остаётся) — не вполне тривиальным оказывается выбор ветви матричной функции.

Но это — если матрица именно общего вида. Если же она, скажем, эрмитова, то появляется ещё более естественный способ определения функции от неё — на основе её спектрального разложения. Не требующий аналитичности функции.

Но который с аналитическим разложением, разумеется, согласуется.


   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
   Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы


Билет №3.

1)

2.) Обратная матрица, алгоритм ее нахождения. Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка А= . Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если АА-1-1А=Е, где Е – единичная матрица n-го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц, т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадает. Алгоритм нахождения обратной матрицы.1. Запись в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е. 2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом одновременно преобразовывать матрицу Е. 3. Если необходимо, то переставить строки последней таблицу так, что бы под матрицей А исходной таблицы получилась матрица Е. 4. Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е в исходной таблице. Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы. Т. Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Матрица называется невырожденной, если векторы-столбцы матрицы являются линейно независимыми. Для того чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т. е. r = n.Док-во. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу . Покажем, что векторы-столбцы матрицы линейно независимые. Справедливо равенство ,где = (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0)  единичный вектор. .Составим линейную комбинацию векторов с числовыми коэффициентами и заменим в этой комбинации все эти векторы на , получим

. Покажем, что . Умножим слева на , , , ,

. линейно независимые, то последнее равенство выполняется только при нулевом наборе чисел . Достаточность. Пусть векторы линейно независимые. Покажем, что существует .Любая линейно независимая система n-мерных векторов может служить базисом n-мерного векторного пространства . Поэтому — базис и разложить единичные векторы по нему. = , (j = 1,2,…, n).Покажем, что матрица В — обратная для матрицы А.

АВ = = ( ) = ( ) = Е.

Решение матричных уравнений. Вид матричных уравнений: АХ=В, ХА=В, АХВ=С, где А, В и С – матрицы, Х – искомая матрица. Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы. Из уравнения АХ=В: А-1АХ=В => (А-1А)Х=А-1В => ЕХ=А-1В =>Х=А-1В. Аналогично решаются другие уравнения. Из уравнения ХА=В: ХАА-1=ИА-1, Х(АА-1)=ВА-1, Х=ВА-1. Из уравнения АХВ=С: А-1АХВВ-1-1СВ-1, (А-1А)Х(ВВ-1)=А-1СВ-1, Х=А-1СВ-1.

Б илет №4

1.)

2.)

билет №5

1.) Теорема об экстремуме целевой функции.

Целевая функция задачи лин. Порграм. Достигается экстремума в угловой точке области допустимых решений, причём, если целевая функция достигает экстремума в нескольких угловых точках области допустимых решений, то она также достигает экстремума в любой выпуклой линейной комбинации этих точек.

Доказательство. Будет считать, что решается задача на нахождение максимума целевой функции

Z(x)=CX->max,

AX=A0,

X≥Ө.

Докажем, что целевая функция достигает экстремума в угловой точке области допустимых решений G от противного. Если Х* является оптимальным решением, то Z(X*)>Z(X) при любом Х, принадлежащем G. Предположим, что оптимальное решение задачи Х* не является угловой точкой. Тогда по теореме о выпуклости многоугольника Х*= , ƛj≥0 при любом j, =1, Xj (j=1,2,….,n) – угловые точки области G. Найдём Z(X*)=CX*=C Xj= CXj= Z(Xj). Среди значений Z(Xj) выберем наибольшее. Пусть это будет Z(Xk), т.е. maxZ(Xj)=Z(Xk). Тогда Z(X*)≤ Z(Xk)=Z(Xk) =Z(Xk), что противоречит тому, что Х* оптимальное решение в задаче на максимум. Следовательно, Х* является угловой точкой области G. 2. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть угловые точки области допустимых решений Х1, Х2, …..Хк являются оптимальными решениями, т.е. Z(X1)=Z(X2)=…=Z(Xk) и Z(X1)≥Z(X) при любом х, принадлежащем G. Выпуклая линейной комбинации этих угловых точек равна Х* = Xj, ƛj≥0 при любом j, =1. Найдём значение целевой функции Z(X*)=CX*=C Xj= = =Z(X1) =Z(X1), т.е. этот вектор Х* также является решением.

2.) Собственные значения и собственные векторы матриц. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Пусть имеется матрица n-го порядка . Собственным значением матрицы А называется число ƛ, при которых существует ненулевой вектор Х, удовлетворяющий уравнению АХ=ƛХ. Собственным вектором матрицы А, принадлежащим ее собственному значению ƛ, называется ненулевой вектор Х, удовлетворяющий уравнению АХ=ƛХ. Уравнение АХ=ƛХ можно записать в виде АХ-ƛХ= Θ или (А-ƛЕ)Х= Θ. В координатной записи данное матричное уравнение представляет систему уравнений с n неизвестными

Данная однородная система уравнений имеет хотя бы одно ненулевое решение, если ранг матрицы системы r(A- ƛЕ) меньше числа неизвестных n. Если векторы-столбцы матрицы A- ƛЕ линейно зависимые, то ее определитель равен нулю, т.е. . Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Если определитель | A- ƛЕ | раскрыть , то получится многочлен n-ой степени вида а0ƛn+a1ƛn-1+…+an-1ƛ+an. Характеристическое уравнение имеет вид а0ƛn+a1ƛn-1+…+an-1ƛ+an=0. Данное уравнение имеет n корней, образующих множество ƛ(А) собственных значений матрицы А. Св-во 1. Для любого собственного значения ƛk(А) существует n-rk линейно независимых собственных векторов F1k), F2k),…, Fnrkk), образующих фундаментальную систему решений однородной системы уравнений (А- ƛk Е)Х= Θ. Здесь rk=r(А- ƛk Е) – ранг матрицы А- ƛk Е. Св-во 2. Множество всех собственных векторов А(ƛk), соответствующих собственному значению ƛk(А) матрицы А, совпадает с общим решением однородной системы уравнений (А- ƛk Е)Х= Θ, т.е. А(ƛk)={X|x=F1k)t1+F2k)t2+…+Fnrkk)tnrk, t1, t2, …,tnrk € R}. Св-во 3. Любые два собственных вектора F1k) и F2k), соответствующие различным собственным значениям ƛ1≠ƛ2 характеристического уравнения | A- ƛЕ | = 0 матрицы А, являются линейно независимыми. Св-во 4. Система собственных векторов, составленная из систем собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям ƛ1(А), ƛ2(А),…, ƛn(A), является линейно зависимой. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Говорят, что матрица А приводится к диагональному виду с помощью матрицы Т, если матрица Т-1АТ является диагональной. Для нахождения матрицы Т необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Матрицу Т составляют из собственных векторов – столбцов. Если эта матрица является квадратной, то матрицу А можно привести к диагональному виду.

Билет №6

1.) Теоремы о взаимосвязи опорных решений задачи линейного программирования и угловых точек области допустимых решений. Опорное решение – допустимое решение для которого, векторы условий соответствующие положительным компонентам этого решения являются линейно независимыми. Т. Любое опорное решение является угловой точкой области допустимых решений. Док-во. Пусть  опорное решение с базисом некоторой задачи с системой ограничений . Предположим, что X не является угловой точкой, тогда оно – выпуклая линейная комбинация каких-либо точек области допустимых решений, например, и , т. е. . Так как последние n m координат вектора X равны нулю, а и положительные, то последние n m координат векторов и также равны нулю. Подставим в систему ограничений задачи: ,

Векторы образуют базис, то они линейно независимые, а потому данное равенство может выполнятся только тогда, когда Отсюда получаем Следовательно, , и опорное решение X не является выпуклой линейной комбинацией каких-либо допустимых решений, а является угловой точкой области допустимых решений. Т. Любая угловая точка области допустимых решений является опорным решением. Док-во. Пусть угловая точка области допустимых решений и при j = 1, 2,…, m. Чтобы доказать, что это решение — опорное, достаточно показать, что векторы , соответствующие положительным координатам решения, являются линейно независимыми. Пусть векторы линейно зависимы. Тогда существует ненулевой набор чисел такой, что Так как X допустимое решение, то имеет место равенство , т.е. — решение системы ограничений задачи. Аналогично доказываем, что решением системы является также вектор . Для того, чтобы векторы и удовлетворяли условиям неотрицательности, выберем  , что . Это возможно, так как при j = 1, 2,…, m.. При таком выборе числа  векторы и являются допустимыми. Нетрудно видеть, что , т.е. X — выпуклая линейная комбинация и . Это противоречит тому, что X является угловой точкой. Следовательно, векторы линейно независимые, и решение X является опорным.

2.) Квадратичная форма: ее стандартный вид, изменение при невырожденном линейном преобразовании, канонический вид. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Квадратичной формой n переменных x1,x2,…,xn называется функция F(x1,x2,…,xn), представляющая собой сумму, каждое слагаемое которой имеет вторую степень относительно этих переменных. Обычно используют квадратичные формы следующего вида(cтандартная форма):

Матрица данного вида называется матрицей квадратичной формы.

.Матрица является симметрической, т.к. aij=aji i,j=1,2,…,n. Квадратичная форма в векторно-матричном виде: F(x)=XTAX, где . Преобразование квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании координат. X=CY, , , . Здесь x1 , x2 , …, xn – старые переменные, y1 , y2 , …, yn -новые переменные, С – матрица преобразования координат. Преобразование координат называется невырожденным, если матрица преобразования С невырожденная. Квадратичная форма F(x)=XTAX в новой системе координат примет вид F(Y)= (CY)TA(CY)=YTCTACY=YTA*Y, где A*=CTAC- матрица квадратичной формы в новой системе координат. Канонический вид квадратичной формы. Квадратичная форма называется канонической, если все ее коэффициенты aijпри i ≠ j равны нулю, т. е. она имеет вид:

Матрица такой квадратичной формы является диагональной . Т. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Знакоопределенность квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. Т. Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами канонической квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду. РАНГОМ квадратичной формы называется отличных от нуля коэффициентов в ее каноническом виде. Ранг квадратичной формы совпадает с рангом матрицы квадратичной формы. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она принимает положительные(отрицательные) значения в любой точке n-мерного пространства , кроме начала координат, т.е. . Т. Для того чтобы квадратичная форма F(Х)=XTAX была положительно(отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А были положительные(отрицательные). n$ на $P(x)$, характеристический полином, чтобы получить остаток $R(x)$, степень которого меньше $ к$. 9n = P(A)Q(A)+R(A) = R(A)$, где R(A) легко найти.

Например, если $n=100$ и $k=3$, то $R(x)$ — полином второй степени.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie 9{-1}$$

С правой частью легко иметь дело, так как мощность диагональной матрицы очень легко увидеть 🙂

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Вы должны диагонализировать его, если это возможно. 2-3x-10\,.$$ 9{-1}\,.$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Хорошо известная стратегия заключается в диагонализации, поскольку эта матрица диагонализируема. Для разнообразия здесь немного другой подход, удобный для небольших матриц. Если у вас есть время, попробуйте выполнить оба метода до конца без помощи компьютера. Это довольно эквивалентно. Хотя у вас есть две линейные системы, которые нужно решить для собственных векторов, и только одна здесь для констант $c,d$ ниже. 9{-1}$$

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Два дополнительных метода, которые можно использовать, если известны собственные значения $\lambda_1$ и $\lambda_2$:

  • Разложить $A$ на $\lambda_1P_1+\lambda_2P_2$, где $P_1 = {A-\lambda_2I\over \lambda_2-\lambda_1}$ и $P_2={A-\lambda_1I\over\lambda_1-\lambda_2}$ являются проекциями на соответствующие собственные пространства с $P_1P_2=P_2P_1=0$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *