Возведение унимодулярной матрицы в степень. : Высшая алгебра
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
| |||
24/04/08 |
| ||
| |||
Парджеттер |
| |||
07/10/07 |
| |||
| ||||
bot |
| |||
21/12/05 |
| |||
| ||||
Парджеттер |
| |||
07/10/07 |
| |||
| ||||
Профессор Снэйп |
| |||
18/12/07 |
| |||
| ||||
Padawan |
| |||
13/12/05 |
| |||
| ||||
Парджеттер |
| |||
07/10/07 |
| |||
| ||||
BapuK |
| ||
06/03/09 |
| ||
| |||
Padawan |
| |||
13/12/05 |
| |||
| ||||
ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 10 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Билет №3.
1)
2.) Обратная матрица, алгоритм ее нахождения. Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка А= . Матрица А-1 называется обратной по отношению к матрице А, если АА-1=А-1А=Е, где Е – единичная матрица n-го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц, т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадает. Алгоритм нахождения обратной матрицы.1. Запись в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е. 2. Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом одновременно преобразовывать матрицу Е. 3. Если необходимо, то переставить строки последней таблицу так, что бы под матрицей А исходной таблицы получилась матрица Е. 4. Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е в исходной таблице. Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы. Т. Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной. Матрица называется невырожденной, если векторы-столбцы матрицы являются линейно независимыми. Для того чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т. е. r = n.Док-во. Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу . Покажем, что векторы-столбцы матрицы линейно независимые. Справедливо равенство ,где = (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0) единичный вектор. .Составим линейную комбинацию векторов с числовыми коэффициентами и заменим в этой комбинации все эти векторы на , получим
. Покажем, что . Умножим слева на , , , ,
. линейно независимые, то последнее равенство выполняется только при нулевом наборе чисел . Достаточность. Пусть векторы линейно независимые. Покажем, что существует .Любая линейно независимая система n-мерных векторов может служить базисом n-мерного векторного пространства . Поэтому — базис и разложить единичные векторы по нему. = , (j = 1,2,…, n).Покажем, что матрица В — обратная для матрицы А.
АВ = = ( ) = ( ) = Е.
Решение матричных уравнений. Вид матричных уравнений: АХ=В, ХА=В, АХВ=С, где А, В и С – матрицы, Х – искомая матрица. Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы. Из уравнения АХ=В: А-1АХ=В => (А-1А)Х=А-1В => ЕХ=А-1В =>Х=А-1В. Аналогично решаются другие уравнения. Из уравнения ХА=В: ХАА-1=ИА-1, Х(АА-1)=ВА-1, Х=ВА-1. Из уравнения АХВ=С: А-1АХВВ-1=А-1СВ-1, (А-1А)Х(ВВ-1)=А-1СВ-1, Х=А-1СВ-1.
Б илет №4
1.)
2.)
билет №5
1.) Теорема об экстремуме целевой функции.
Целевая функция задачи лин. Порграм. Достигается экстремума в угловой точке области допустимых решений, причём, если целевая функция достигает экстремума в нескольких угловых точках области допустимых решений, то она также достигает экстремума в любой выпуклой линейной комбинации этих точек.
Доказательство. Будет считать, что решается задача на нахождение максимума целевой функции
Z(x)=CX->max,
AX=A0,
X≥Ө.
Докажем, что целевая функция достигает экстремума в угловой точке области допустимых решений G от противного. Если Х* является оптимальным решением, то Z(X*)>Z(X) при любом Х, принадлежащем G. Предположим, что оптимальное решение задачи Х* не является угловой точкой. Тогда по теореме о выпуклости многоугольника Х*= , ƛj≥0 при любом j, =1, Xj (j=1,2,….,n) – угловые точки области G. Найдём Z(X*)=CX*=C Xj= CXj= Z(Xj). Среди значений Z(Xj) выберем наибольшее. Пусть это будет Z(Xk), т.е. maxZ(Xj)=Z(Xk). Тогда Z(X*)≤ Z(Xk)=Z(Xk) =Z(Xk), что противоречит тому, что Х* оптимальное решение в задаче на максимум. Следовательно, Х* является угловой точкой области G. 2. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть угловые точки области допустимых решений Х1, Х2, …..Хк являются оптимальными решениями, т.е. Z(X1)=Z(X2)=…=Z(Xk) и Z(X1)≥Z(X) при любом х, принадлежащем G. Выпуклая линейной комбинации этих угловых точек равна Х* = Xj, ƛj≥0 при любом j, =1. Найдём значение целевой функции Z(X*)=CX*=C Xj= = =Z(X1) =Z(X1), т.е. этот вектор Х* также является решением.
2.) Собственные значения и собственные векторы матриц. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Пусть имеется матрица n-го порядка . Собственным значением матрицы А называется число ƛ, при которых существует ненулевой вектор Х, удовлетворяющий уравнению АХ=ƛХ. Собственным вектором матрицы А, принадлежащим ее собственному значению ƛ, называется ненулевой вектор Х, удовлетворяющий уравнению АХ=ƛХ. Уравнение АХ=ƛХ можно записать в виде АХ-ƛХ= Θ или (А-ƛЕ)Х= Θ. В координатной записи данное матричное уравнение представляет систему уравнений с n неизвестными
Данная однородная система уравнений имеет хотя бы одно ненулевое решение, если ранг матрицы системы r(A- ƛЕ) меньше числа неизвестных n. Если векторы-столбцы матрицы A- ƛЕ линейно зависимые, то ее определитель равен нулю, т.е. . Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Если определитель | A- ƛЕ | раскрыть , то получится многочлен n-ой степени вида а0ƛn+a1ƛn-1+…+an-1ƛ+an. Характеристическое уравнение имеет вид а0ƛn+a1ƛn-1+…+an-1ƛ+an=0. Данное уравнение имеет n корней, образующих множество ƛ(А) собственных значений матрицы А. Св-во 1. Для любого собственного значения ƛk(А) существует n-rk линейно независимых собственных векторов F1(ƛk), F2(ƛk),…, Fn—rk(ƛk), образующих фундаментальную систему решений однородной системы уравнений (А- ƛk Е)Х= Θ. Здесь rk=r(А- ƛk Е) – ранг матрицы А- ƛk Е. Св-во 2. Множество всех собственных векторов А(ƛk), соответствующих собственному значению ƛk(А) матрицы А, совпадает с общим решением однородной системы уравнений (А- ƛk Е)Х= Θ, т.е. А(ƛk)={X|x=F1(ƛk)t1+F2(ƛk)t2+…+Fn—rk(ƛk)tn—rk, t1, t2, …,tn—rk € R}. Св-во 3. Любые два собственных вектора F1(ƛk) и F2(ƛk), соответствующие различным собственным значениям ƛ1≠ƛ2 характеристического уравнения | A- ƛЕ | = 0 матрицы А, являются линейно независимыми. Св-во 4. Система собственных векторов, составленная из систем собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям ƛ1(А), ƛ2(А),…, ƛn(A), является линейно зависимой. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду. Говорят, что матрица А приводится к диагональному виду с помощью матрицы Т, если матрица Т-1АТ является диагональной. Для нахождения матрицы Т необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Матрицу Т составляют из собственных векторов – столбцов. Если эта матрица является квадратной, то матрицу А можно привести к диагональному виду.
Билет №6
1.) Теоремы о взаимосвязи опорных решений задачи линейного программирования и угловых точек области допустимых решений. Опорное решение – допустимое решение для которого, векторы условий соответствующие положительным компонентам этого решения являются линейно независимыми. Т. Любое опорное решение является угловой точкой области допустимых решений. Док-во. Пусть опорное решение с базисом некоторой задачи с системой ограничений . Предположим, что X не является угловой точкой, тогда оно – выпуклая линейная комбинация каких-либо точек области допустимых решений, например, и , т. е. . Так как последние n m координат вектора X равны нулю, а и положительные, то последние n m координат векторов и также равны нулю. Подставим в систему ограничений задачи: ,
Векторы образуют базис, то они линейно независимые, а потому данное равенство может выполнятся только тогда, когда Отсюда получаем Следовательно, , и опорное решение X не является выпуклой линейной комбинацией каких-либо допустимых решений, а является угловой точкой области допустимых решений. Т. Любая угловая точка области допустимых решений является опорным решением. Док-во. Пусть угловая точка области допустимых решений и при j = 1, 2,…, m. Чтобы доказать, что это решение — опорное, достаточно показать, что векторы , соответствующие положительным координатам решения, являются линейно независимыми. Пусть векторы линейно зависимы. Тогда существует ненулевой набор чисел такой, что Так как X допустимое решение, то имеет место равенство , т.е. — решение системы ограничений задачи. Аналогично доказываем, что решением системы является также вектор . Для того, чтобы векторы и удовлетворяли условиям неотрицательности, выберем , что . Это возможно, так как при j = 1, 2,…, m.. При таком выборе числа векторы и являются допустимыми. Нетрудно видеть, что , т.е. X — выпуклая линейная комбинация и . Это противоречит тому, что X является угловой точкой. Следовательно, векторы линейно независимые, и решение X является опорным.
2.) Квадратичная форма: ее стандартный вид, изменение при невырожденном линейном преобразовании, канонический вид. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Квадратичной формой n переменных x1,x2,…,xn называется функция F(x1,x2,…,xn), представляющая собой сумму, каждое слагаемое которой имеет вторую степень относительно этих переменных. Обычно используют квадратичные формы следующего вида(cтандартная форма):
Матрица данного вида называется матрицей квадратичной формы.
.Матрица является симметрической, т.к. aij=aji i,j=1,2,…,n. Квадратичная форма в векторно-матричном виде: F(x)=XTAX, где . Преобразование квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании координат. X=CY, , , . Здесь x1 , x2 , …, xn – старые переменные, y1 , y2 , …, yn -новые переменные, С – матрица преобразования координат. Преобразование координат называется невырожденным, если матрица преобразования С невырожденная. Квадратичная форма F(x)=XTAX в новой системе координат примет вид F(Y)= (CY)TA(CY)=YTCTACY=YTA*Y, где A*=CTAC- матрица квадратичной формы в новой системе координат. Канонический вид квадратичной формы. Квадратичная форма называется канонической, если все ее коэффициенты aijпри i ≠ j равны нулю, т. е. она имеет вид:
Матрица такой квадратичной формы является диагональной . Т. Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Знакоопределенность квадратичной формы. Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. Т. Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами канонической квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду. РАНГОМ квадратичной формы называется отличных от нуля коэффициентов в ее каноническом виде. Ранг квадратичной формы совпадает с рангом матрицы квадратичной формы. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если она принимает положительные(отрицательные) значения в любой точке n-мерного пространства , кроме начала координат, т.е. . Т. Для того чтобы квадратичная форма F(Х)=XTAX была положительно(отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы А были положительные(отрицательные). n$ на $P(x)$, характеристический полином, чтобы получить остаток $R(x)$, степень которого меньше $ к$. 9n = P(A)Q(A)+R(A) = R(A)$, где R(A) легко найти.
Например, если $n=100$ и $k=3$, то $R(x)$ — полином второй степени.
$\endgroup$
1
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie 9{-1}$$
С правой частью легко иметь дело, так как мощность диагональной матрицы очень легко увидеть 🙂
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Вы должны диагонализировать его, если это возможно. 2-3x-10\,.$$ 9{-1}\,.$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Хорошо известная стратегия заключается в диагонализации, поскольку эта матрица диагонализируема. Для разнообразия здесь немного другой подход, удобный для небольших матриц. Если у вас есть время, попробуйте выполнить оба метода до конца без помощи компьютера. Это довольно эквивалентно. Хотя у вас есть две линейные системы, которые нужно решить для собственных векторов, и только одна здесь для констант $c,d$ ниже. 9{-1}$$
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Два дополнительных метода, которые можно использовать, если известны собственные значения $\lambda_1$ и $\lambda_2$:
- Разложить $A$ на $\lambda_1P_1+\lambda_2P_2$, где $P_1 = {A-\lambda_2I\over \lambda_2-\lambda_1}$ и $P_2={A-\lambda_1I\over\lambda_1-\lambda_2}$ являются проекциями на соответствующие собственные пространства с $P_1P_2=P_2P_1=0$.