Производная произведения двух функций
Пусть функция w (х) равна произведению двух функций u (х) и v (х):
w (х) = u (х) • v (х).
То же самое мы будем записывать кероче:
w = u • v.
Предположим, что функции u и v дифференцируемы. Будет ли дифференцируемым их произведение w? Имеем: .
Δw = w (x + Δ x) — w (x) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) — u (x) v (x).
Но
u (x + Δ x) — u (x) =
v (x + Δ x)- v (x) = Δv.
Отсюда
u (x + Δ x) = u + Δu,
v (x + Δ x) = v + Δv.
Следовательно,
Δw = (u + Δu) (v + Δv) — uv = u • v + u • Δv + Δu • v + Δu • Δv — uv =
= u Δv + Δu v + Δu Δv.
Поэтому
Δw/Δx = u Δv/Δx + v Δu/Δx+ Δu/Δx Δv
При Δx -> 0 получаем:
u -> u
v -> v
Δu/Δx -> u
Δv/Δx -> v
Покажем, что при Δx -> 0 Δv также стремится к нулю. Действительно,
Δv = Δv/Δ
Таким образом,
$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta x} = uv+uv+u\cdot 0 = uv+uv $$
Итак, в рассматриваемом случае производная существует и равна:
(uv) = uv + uv.
Производная произведения двух функций равна произведению производной от первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции.
Примеры.
1) Найти производную функции у = (х + а) (х + b).
По правилу дифференцирования произведения
у = (х + а) (х + b) + (х + а) (х + b) = 1 • (х + b) + (х + а) • 1 = 2х+ а+ b.
2) Найти производную функции у = (х + 1) (x2 — 3).
Имеем:
у = (х + 1) (x2 — 3) + (х + 1) (x2 — 3) = (1 + 0) (x2 — 3) + (х + 1) (2х + 0) =
=3x2 + 2x — 3.
5. Производные произведения и отношения двух функций.
Ответ. (u(x)⋅v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). Производная произведения равна производная первой функции на вторую плюс первая функция, умноженная на производную второй. Пример. Найти производную функции y(x)=xsinx. Так как заданная функция есть произведением двух функций u(x)=x и v(x)=sinx, то производную y′(x) находим как от произведения. Согласно формуле имеем: y′(x)=(xsinx)′=(x)′⋅sinx+x⋅(sinx)′=$$=1⋅sinx+x⋅cosx=sinx+xcosx. Ответ. y′(x)=sinx+xcosx.
6. Производные сложной и обратной функции.
Ответ. Дифференцирование сложной функции: . Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Пример. Найти производную функции . Представим, что нам нужно вычислить значение выражения при (вместо единицы может быть любое число). В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет функцией: .
Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет функцией:
После этого нужно применить правило дифференцирования сложной функции . Начинаем решать – заключаем всю функцию в скобки и ставим справа вверху штрих: Сначала находим производную функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные шаблоны применимы и в том случае, если «икс» заменить любой дифференцируемой функцией . В данном примере вместо «икс»: . . Функция не изменилась. Очевидно, что . Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так: . Далее производная второй функции: . Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения: . Готово. Производная обратной функции.
Примеры.
7. Производные основных элементарных функций.
Ответ. Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: степенная функция с любым действительным показателем; показательная и логарифмическая функции; тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Формулы:
8. Производные высших порядков.
Ответ. Вот функция: и вот её первая производная: . Вторая производная – это производная от 1-й производной: . Вторую производную уже считают производной высшего порядка. Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной: . Четвёртая производная – есть производная от 3-й производной: . Пятая производная: , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю: . Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения: , производную же «энного» порядка обозначают через . При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в скобки – чтобы отличать производную от «игрека» в степени. Иногда встречается такая запись: – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно. Пример
Вы сделали вывод? Сравните свой результат с правилом продукта, сформулированным далее.
Производная произведения двух функций есть производная первой, умноженная на вторую плюс первая, умноженная на производную от второй.
Математически $$$f(x)=g(x)h(x) \Rightarrow f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$$$
Некоторые другие примеры:
$$f (x) = 5x$$
Мы хотим вывести предыдущее выражение, поэтому нам нужно распознать функции $$g (x)$$ и $$h (x) $$, что должно позволить нам использовать правило произведения. 2$$
Мы можем взять $$g (x) =x$$ и $$h (x) =x$$ и использовать правило произведения.
Затем, $$$f ‘(x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$$ Очевидно, результат такой же, как тот, который мы уже знали.
Похожие темы
- Производная суммы двух функций
- Производная от деления двух функций
- Обнаружение элементарных функций
Решенные задачи производной произведения двух функций
Посмотреть проблемыисчисление — производная произведения более чем двух функций
Задавать вопрос
спросил
Изменено 1 год, 7 месяцев назад
Просмотрено 7к раз
$\begingroup$
Я пытаюсь обобщить правило произведения более чем на произведение двух функций, используя тот факт, что я могу рассматривать произведение $n$-1 функций как одно.