Как найти производную произведения двух функций: Производная произведения функций (u*v)’

Содержание

Производная произведения двух функций

Пусть функция w (х) равна произведению двух функций u (х) и v (х):

w (х) = u (х) • v (х).

То же самое мы будем записывать кероче:

w = u • v.

Предположим, что функции u и v дифференцируемы. Будет ли дифференцируемым их произведение w? Имеем: .

Δw = w (x + Δ x) — w (x) = u (x + Δ x) v (x + Δ x) — u (x) v (x).

Но

u (x + Δ x) — u (x) =

Δu,

v (x + Δ x)- v (x) = Δv.

Отсюда

u (x + Δ x) = u + Δu,

v (x + Δ x) = v + Δv.

Следовательно,

Δw = (u + Δu) (v + Δv) — uv = u • v + u • Δv + Δu • v + Δu • Δv — uv =

= u Δv + Δu v + Δu Δv.

Поэтому

^Δ^w/_Δ_x =

u ^Δ^v/_Δ_x + v ^Δ^u/_Δ_x+ ^Δ^u/_Δ_xΔv

При Δx -> 0 получаем:

u -> u

v -> v

^Δ^u/_Δ_x -> u

^Δ^v/_Δ_x -> v

Покажем, что при Δx -> 0 Δv также стремится к нулю. Действительно,

Δv = ^Δ^v/_Δ

_x • Δx = v • 0 = 0.

Таким образом,

$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta x} = uv+uv+u\cdot 0 = uv+uv $$

Итак, в рассматриваемом случае производная существует и равна:

(uv) = uv + uv.

Производная произведения двух функций равна произведению производной от первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную от второй функции.

Примеры.

1) Найти производную функции у = (х + а) (х + b).

По правилу дифференцирования произведения

у = (х + а) (х + b) + (х + а) (х + b) = 1 • (х + b) + (х + а) • 1 = 2х+ а+ b.

2) Найти производную функции у = (х + 1) (x² — 3).

Имеем:

у = (х + 1) (x² — 3) + (х + 1) (x² — 3) = (1 + 0) (x² — 3) + (х + 1) (2х + 0) =
=3x² + 2x — 3.

5. Производные произведения и отношения двух функций.

Ответ. (u(x)⋅v(x))′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). Производная произведения равна производная первой функции на вторую плюс первая функция, умноженная на производную второй. Пример. Найти производную функции y(x)=xsinx. Так как заданная функция есть произведением двух функций u(x)=x и v(x)=sinx, то производную y′(x) находим как от произведения. Согласно формуле имеем: y′(x)=(xsinx)′=(x)′⋅sinx+x⋅(sinx)′=$$=1⋅sinx+x⋅cosx=sinx+xcosx. Ответ. y′(x)=sinx+xcosx.

Если функции и дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v, причём . т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

6. Производные сложной и обратной функции.

Ответ. Дифференцирование сложной функции: . Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Пример. Найти производную функции . Представим, что нам нужно вычислить значение выражения при (вместо единицы может быть любое число). В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет функцией: .

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет функцией:

После этого нужно применить правило дифференцирования сложной функции . Начинаем решать – заключаем всю функцию в скобки и ставим справа вверху штрих: Сначала находим производную функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные шаблоны применимы и в том случае, если «икс» заменить любой дифференцируемой функцией . В данном примере вместо «икс»: . . Функция не изменилась. Очевидно, что . Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так: . Далее производная второй функции: . Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения: . Готово. Производная обратной функции.

Примеры.

7. Производные основных элементарных функций.

Ответ. Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: степенная функция с любым действительным показателем; показательная и логарифмическая функции; тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Формулы:

8. Производные высших порядков.

Ответ. Вот функция: и вот её первая производная: . Вторая производная – это производная от 1-й производной: . Вторую производную уже считают производной высшего порядка. Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной: . Четвёртая производная – есть производная от 3-й производной: . Пятая производная: , и очевидно, что все производные более высоких порядков тоже будут равны нулю: . Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие обозначения: , производную же «энного» порядка обозначают через . При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в скобки – чтобы отличать производную от «игрека» в степени. Иногда встречается такая запись: – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно. Пример

. Дана функция . Найти .

2 х$$ $$(Ax+B)(Ax+B)$$ $$A(Ax+B)+(Ax+B)A=2A(Ax+B)$$ $$g(x)\cdot h(x)$$ ?

Вы сделали вывод? Сравните свой результат с правилом продукта, сформулированным далее.

Производная произведения двух функций есть производная первой, умноженная на вторую плюс первая, умноженная на производную от второй.

Математически $$$f(x)=g(x)h(x) \Rightarrow f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$$$

Некоторые другие примеры:

$$f (x) = 5x$$

Мы хотим вывести предыдущее выражение, поэтому нам нужно распознать функции $$g (x)$$ и $$h (x) $$, что должно позволить нам использовать правило произведения. 2$$

Мы можем взять $$g (x) =x$$ и $$h (x) =x$$ и использовать правило произведения.

Затем, $$$f ‘(x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$$ Очевидно, результат такой же, как тот, который мы уже знали.

Похожие темы

Производная суммы двух функций
Производная от деления двух функций
Обнаружение элементарных функций

Решенные задачи производной произведения двух функций

Посмотреть проблемы

исчисление — производная произведения более чем двух функций

Задавать вопрос

спросил 11 лет, 4 месяца назад

Изменено 1 год, 7 месяцев назад

Просмотрено 7к раз

$\begingroup$

Я пытаюсь обобщить правило произведения более чем на произведение двух функций, используя тот факт, что я могу рассматривать произведение $n$-1 функций как одно.