Как обозначаются векторы: основные понятия и определения, формулы и онлайн калькуляторы

Глава 29. Понятие вектора

Глава 29. Понятие вектора

Направленные отрезки принято называто также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем по-прежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертовй наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы будем также обозначать вектор одной малой латинской буквой полужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (рис. 1, где изображен вектор а с началом А и концом В). Начало вектора часто будет называться таже его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вктора (при заданном масштабе), называется его модулем. Модуль вектора a обозначается символом или а. Если , то вектор называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором , называется ортом вектора и обозначается обычно символом .

Проекцией вектора на ось u называется число, равное величине отрезка оси u, где точка является проекцией точки А на ось u, а — проекцией точки В на эту ось.

Проекция вектора на ось u обозначается символом . Если вектор обозначен символом , то его проекцию на ось u принято обозначать: .

Проекция вектора на ось u выражается через его модуль и угол наклона к оси u формулой

.

Проекции произвольного вектора на оси некоторой заданной системы координат в дальнейшем обозначаются буквами X, Y, Z.

Равенство ={X, Y, Z} означает, что числа X, Y, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X=Y=Z=0, называется нулевым и обозначается .

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки (, , ) и (, , ), являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам , , .

Формула

(2)

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если , , — углы, которые составляет вектор с координатными осями (см. рис. 2), то , , называются направляющими косинусами вектора .

Вследствие формулы (1)

, , .

Отсюда, и из формулы (2) следует, что

.

Последнее равенство позволяет определить один из углов , , , если известны два других.

Текст издания:	© Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:	© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Длина и направление вектора – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Конспект

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец.

В данном случае началом отрезка является точка \(A\), концом отрезка – точка \(B\). Сам вектор обозначен через \(\vec{AB}\).

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем вектора. Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа \(|\vec{AB}|\). Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю. Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым.

Нену­ле­вые век­то­ры на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ны­ми, если они лежат на одной пря­мой либо на па­рал­лель­ных пря­мых. Коллинеарность векторов обозначается знаком \(\parallel\). Ну­ле­вой век­тор, то есть век­тор ну­ле­вой длины, счи­та­ет­ся кол­ли­не­ар­ным любо­му век­то­ру.

Век­то­ры \(\vec{a} \  и \ \vec{b}\) называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: \(\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b}\).

 

Век­то­ры \(\vec{a} \  и \ \vec{b}\) называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: \(\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}\).

Векторы \(\vec{a} \  и \ \vec{b}\) называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны.

Единичным вектором, или ортом, называется вектор, длина которого равна единице.

Вопросы

1. Найдите длину вектора.

   \(\vec{a}(4;3)\)

2. Найдите вектор \(\vec{a}\), перпендикулярный вектору \(\vec{b} (5; 3)\), если их длины равны.

3. Определите координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором \(\vec{p}(-\sqrt3;1)\).

4. Длина вектора \(\vec{a}\) (6; m) равна 10, длина вектора \(\vec{b}\) (n; 12) равна 13. Значения m и n равны

Сообщить об ошибке

Обязательные

Математическая грамотность

Грамотность чтения

История Казахстана

Предметы по профилю

Биология

Химия

Английский язык

Французский язык

География

Немецкий язык

Основы права

Русская литература

Математика

Физика

Русский язык

Всемирная история

Укажите предмет *

Скопируйте и вставьте вопрос задания *

Опишите подробнее найденную ошибку в задании *

Прикрепите скриншот

Объем файла не должен превышать 1МБ

Казахский

Русский

Обратите внимание! По выбранным Вами предметам ГРАНТЫ не предоставлены. В AlmaU, Университете Нархоз и Каспийском Университете представлены специальности, где профильными предметами являются математика, физика, география, иностранный язык, Человек. Общество. Право, всемирная история, биология, химия и творческий экзамен.

1. Скачайте приложение iTest, используя QR-код или строку поиска в AppStore или Play Market

2. Авторизуйтесь в приложении и готовьтесь к экзаменам вместе с нами

Как вы представляете векторы?

Недавно я говорил о векторах. В то время мне пришлось остановиться и вспомнить, как я представлял векторы. В идеале я должен придерживаться тех же обозначений, что и в «Основах: векторы и сложение векторов». Но позвольте мне рассмотреть различные способы представления вектора.

Графический

Может быть, это слишком очевидно, но об этом нужно было сказать. Вы можете представлять векторы, рисуя их. На самом деле, это очень полезно концептуально, но, возможно, не слишком полезно для вычислений. Когда вектор представлен графически, его величина представлена ​​длиной стрелки, а его направление представлено направлением стрелки. Вот пример:

Я думаю, что самым большим недостатком этого представления (помимо того, что сложно получить численные ответы для сложения) является то, что его не так просто представить в 3-х измерениях. Для следующих представлений я попытаюсь связать их с графическим представлением.

Величина и направление

Возможно, этот формат популярен в курсах по алгебре. По сути, вы просто указываете величину вектора и угол (от положительной оси x), на который указывает вектор. Вот пример (с использованием того же вектора, что и раньше):

И в формате величина-направление это будет:

Я не слишком нашел этот формат. Во-первых, если вы хотите добавить векторы, вам нужно найти компоненты. Во-вторых, студенты часто путаются с тем, что этот угол всегда измеряется от одной и той же оси (это не обязательно должна быть ось x, это просто то, что обычно). О, если вы хотите сделать это для трехмерного вектора, оно того не стоит. Вам понадобятся два угла. Что ж, в некоторых случаях это может быть оправдано.

Компоненты

С помощью метода компонентов идея состоит в том, чтобы просто задать величину вектора в каждом из координатных направлений. Вот пример.

Подожди. Я не закончил. Да, я записал эти компоненты в виде векторов, так что:

Часто вы увидите, что учебники останавливаются здесь. В этом случае они могут сказать что-то вроде:

Важно понимать, что это обозначение НЕ является величиной вектора F _{над x означает, что это единичный вектор. Единичный вектор — это вектор, который имеет величину 1 без единиц измерения. Это означает, что вектор F x может быть записан как:}

И, может быть, теперь вы понимаете, почему этот отрицательный знак важен. Вектор F _x находится в направлении, противоположном вектору x-шляпы, и поэтому вам нужен отрицательный знак. Таким образом, используя это обозначение, вы можете записать вектор F как:

В некоторых учебниках вместо x и y используется буква you i и j — это будет выглядеть так:

То же самое, но другой вид. Однако не забывайте о единицах. Векторы имеют единицы измерения, если вы их не укажете, вы, вероятно, математик (шучу). Кроме того, эту нотацию можно расширить до трех измерений, добавив компонент z-hat или k-hat. Еще одна приятная вещь заключается в том, что все эти векторы настроены и готовы к добавлению. Если у вас есть вектор в компонентной нотации, вы готовы к работе.

Я думаю, причина, по которой в некоторых учебниках используется формат величина-направление, заключается в том, что его легче соотносить с реальной жизнью. В реальной жизни я бы измерил величину и направление силы, а затем вычислил компоненты.

То же самое, но по-другому

Мне очень нравится учебник физики «Материя и взаимодействия» Рут Чабай и Брюса Шервуда. В учебнике векторы представлены следующим образом:

Мне нравится это обозначение. Он короткий и подчеркивает компоненты, а также идею о том, что все силы трехмерны. Короткая вещь действительно хороша для ленивых людей, таких как я. Кроме того, он очень хорошо сочетается с векторами в vpython. Вот как я бы написал этот вектор в vpython:

Представление вектора — примеры, величина, часто задаваемые вопросы

LearnPracticeDownload

Представление вектора выполняется с помощью стрелки. Мы знаем, что у стрелы есть острие и хвост. Наконечник стрелки обозначает направление вектора. Давайте узнаем больше о представлении вектора вместе с примерами.

1.	Что такое представление вектора?
2.	Представление векторов положения
3.	Представление величины вектора
4.	Представление векторных операций
5.	Часто задаваемые вопросы о представлении вектора

Что такое представление вектора?

Представление вектора выполнено направленным отрезком линии. Это стрела, у которой есть голова и хвост. здесь,

• Начальная точка вектора называется его хвостом (или) начальной точкой вектора.
• Конечная точка вектора называется его головой (или) конечной точкой вектора.

Голова вектора показывает его направление. Направление вектора — это угол, который он составляет с опорной линией. Вектор, который начинается в точке A и заканчивается в точке B, обозначается \(\overrightarrow{A B}\).

Приведенный выше вектор также может быть представлен как — \(\overrightarrow{BA}\), который является отрицательным вектором \(\overrightarrow{AB}\).

Иногда векторы обозначаются одной строчной буквой со стрелкой над ней. Например, мы можем пометить указанный выше вектор \(\overrightarrow{AB}\) как \(\overrightarrow{a}\). Но мы не можем идентифицировать начальную точку и конечную точку вектора в этом представлении.

Представление векторов положения

Точки на координатной плоскости представлены векторами положения. На приведенном выше рисунке

• Точка A представлена ​​вектором положения \(\overrightarrow{OA}\) = <-3, 2>
• Точка B представлена ​​вектором положения \(\overrightarrow{OB}\) = <2, 1>

Здесь О — начало. Мы можем вычислить компоненты вектора \(\overrightarrow{AB}\), вычитая вектор положения начальной точки из вектора конечной точки. На приведенном выше рисунке

\(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{OB}\) — \(\overrightarrow{OA}\)

= <2, 1> — <-3, 2 >

= <2 -(-3), 1 - 2>

= <5, -1>

Таким образом, вектор, представляющий \(\overrightarrow{AB}\) на приведенном выше рисунке, равен <5, -1>.

Представление величины вектора

Величина вектора \(\overrightarrow{AB}\) представлена ​​либо |\(\overrightarrow{AB}\)| или просто АБ. Мы используем AB для представления величины вектора \(\overrightarrow{AB}\), потому что величина есть не что иное, как его длина, а AB представляет собой длину отрезка, соединяющего A и B. Точно так же величина a вектор \(\overrightarrow{a}\) представлен либо как |\(\overrightarrow{a}\)| или просто «а». Мы можем найти величину вектора (когда нам известны его компоненты), взяв квадратный корень из суммы квадратов компонентов. Из последнего примера

\(\overrightarrow{AB}\) = <5, -1>

Его величина равна,

|\(\overrightarrow{AB}\)| (или) AB = √(5)² + (-1)² = √26

Представление векторных операций

Для любых трех векторов \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{c}\):

• \(\overrightarrow{a}\) + \(\overrightarrow{b}\) представляет собой сумму векторов.
• \(\overrightarrow{a}\) — \(\overrightarrow{b}\) представляет разность векторов.
• \(\overrightarrow{a}\) · \(\overrightarrow{b}\) представляет скалярное произведение векторов.
• \(\overrightarrow{a}\) × \(\overrightarrow{b}\) представляет векторное произведение векторов.
• \(\widehat{a}\) представляет единичный вектор в направлении \(\overrightarrow{a}\).
• [\(\overrightarrow{a}\) \(\overrightarrow{b}\) \(\overrightarrow{c}\)] (или) \(\overrightarrow{a}\) · [ \(\overrightarrow{b }\) × \(\overrightarrow{c}\) ] (или) [\(\overrightarrow{a}\) × \(\overrightarrow{b}\) ] · \(\overrightarrow{c}\) называется скалярное тройное произведение.

☛ Связанные темы:

• Векторные формулы
• Калькулятор добавления векторов
• Калькулятор результирующего вектора
• Калькулятор угла между двумя векторами

 

Примеры представления векторов

1. Пример 1: Если вектор начинается в точке P = <-5, 4, 3> и заканчивается в <3, -4, 0>, то как его представить?

   Решение:

   Мы знаем, что вектор представлен стрелкой, расположенной над начальной точкой, за которой непосредственно следует конечная точка вектора.

   Поскольку начальной и конечной точками данного вектора являются P и Q соответственно, вектор имеет вид \(\overrightarrow{PQ}\).

   Ответ: \(\overrightarrow{PQ}\).

2. Пример 2: Найдите компоненты вектора \(\overrightarrow{PQ}\), упомянутого в Пример 1.

   Решение:

   Заданные векторы положения:

   \(\overrightarrow{OP}\) = <-5, 4, 3>

   \(\overrightarrow{OQ}\) = <3, -4, 0>

   Мы знаем, что:

   \(\overrightarrow{PQ}\) = \(\overrightarrow{OQ}\) — \(\overrightarrow{OP}\)
   = <3, -4, 0> — <-5, 4, 3>
   = <3 - (-5), -4 - 4, 0 - 3>
   = <8, -8, -3>

   Ответ: <8, -8, -3>.

3. Пример 3: Найдите величину \(\overrightarrow{PQ}\), а также покажите, как ее можно представить.

   Решение:

   Величина \(\overrightarrow{PQ}\) представлена ​​как |\(\overrightarrow{PQ}\)| (или) ПК.

   PQ = √8² + (-8)² + (-3)²

   = √64+64+9
   = √137

   Ответ: PQ (или) \(\overrightarrow{PQ}\) = √137

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по представлению вектора

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о представлении вектора

Как представить вектор на диаграмме?

Представление вектора выполняется с помощью стрелки, конец которой является начальной точкой вектора, а вершина — конечной точкой вектора. Вектор, который начинается в P и заканчивается в Q, обозначается \(\overrightarrow{PQ}\).

Как представить вектор на графике?

Вектор имеет начальную и конечную точки. Чтобы изобразить его на графике, просто отметьте его начальную и конечную точки на листе графика и соедините их стрелкой так, чтобы хвост стрелки был в начальной точке, а ее конец в конечной точке.

Как представить величину вектора?

Величина вектора представлена ​​с помощью символа «модуль». т. е. величина вектора \(\overrightarrow{AB}\) обозначается |\(\overrightarrow{AB}\)| . Мы можем представить его просто без символа модуля и без знака вектора (стрелки), т. е. |\(\overrightarrow{AB}\)| = АБ.

Как представить векторное произведение?

Векторное произведение также известно как векторное произведение, а векторное произведение двух векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) обозначается как \(\overrightarrow{a}\) × \(\overrightarrow{b}\).

Что представляет собой векторная сумма?

По закону сложения треугольника сумма двух векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) представляет собой вектор, который начинается с хвоста вектора \(\overrightarrow{a}\) и заканчивается в начале \(\overrightarrow{b}\).

Что представляет собой разница векторов?

Разность двух векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) – это вектор, который начинается в начале \(\overrightarrow{b}\) и заканчивается в начале \(\overrightarrow{а}\).