Использование четности функции при решении задач с параметром
Определенный класс задач с параметрами легко решаются с помощью использования четности функции. Как правило, задачи этого класса можно распознать по вопросу задачи: «При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?»
Прежде чем мы рассмотрим алгоритм решения этих задач, вспомним определение четной функции:
Функция называется четной, если выполняются два условия:
1. Область определения функции симметрична относительно начала координат.
2. Для любых из области определения функции выполняется равенство
То есть если число является корнем уравнения , то число также будет корнем этого уравнения.
Следовательно, если уравнение имеет хотя бы один отличный от нуля корень, то число, ему противоположное также будет корнем уравнения.
Поэтому если в задаче стоит стоит вопрос «При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?», то этим единственным решением будет число .
Отсюда следует алгоритм решения задач этого класса задач.
1. Проверяем, является ли функция четной.
2. Если это так, находим, при каких значениях параметра является корнем уравнения . Для этого подставляем в уравнение и решаем его относительно параметра. Находим соответствующие значения параметра.
3. Подставляем в исходное уравнение последовательно найденные значения параметра и отбираем те, при которых уравнение имеет единственное решение.
Решим задачу:
Найдите все значения , при которых уравнение имеет единственное решение.
Решение:
1. Перенесем все слагаемые влево:
Проверим, является ли функция четной.
Для этого найдем значение функции в точке :
,
так как и
Да, функция является четной, следовательно, единственным решением уравнения будет число .
2. Подставим в уравнение и решим полученное уравнение относительно параметра :
Обозначим , получим уравнение:
, отсюда
Итак, мы получили три значения параметра, при которых один из коней исходного уравнения равен нулю.
Найдем, при каком значении параметра этот корень единственный.
3. Для этого рассмотрим три случая.
1.
Получаем уравнение:
, отсюда
или — больше одного корня.
2.
Получаем уравнение:
Раскроем модули:
а) приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:
б) нанесем числа -2 и 2 на числовую ось и расставим знаки подмодульных выражений:
Рассмотрим наше уравнение на каждом из трех промежутков:
1)
— нет решений.
2)
3)
— нет решений.
Итак, если , то , других корней нет, уравнение имеет единственное решение. Годится.
3.
Получаем уравнение:
Получили такое же уравнение, как и в случае 2. Поэтому нас также устраивает.
Ответ: {3;7}
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Четность функции
Четность и нечетность функции являются одним из основных ее свойств, и исследование функции на четность занимает внушительную часть школьного курса по математике.
Она во много определяет характер поведения функции и значительно облегчает построение соответствующего графика.
Определим четность функции. Вообще говоря, исследуемую функцию считают четной, если для противоположных значений независимой переменной (x), находящихся в ее области определения, соответствующие значения y (функции) окажутся равными.
Дадим более строгое определение. Рассмотрим некоторую функцию f (x), которая задана в области D. Она будет четной, если для любой точки x, находящейся в области определения:
- -x (противоположная точка) также лежит в данной области определения,
- f (-x) = f (x).
Из приведенного определения следует условие, необходимое для области определения подобной функции, а именно, симметричность относительно точки О , являющейся началом координат, поскольку если некоторая точка b содержится в области определения четной функции, то соответствующая точка — b тоже лежит в этой области. Из вышесказанного, таким образом, вытекает вывод: четная функция имеет симметричный по отношению к оси ординат (Oy) вид.
(-x))=- h(x). Следовательно, h(x) – нечетная.
Кстати, следует напомнить, что есть функции, которые невозможно классифицировать по этим признакам, их называют ни четными, ни нечетными.
Четные функции обладают рядом интересных свойств:
- в результате сложения подобных функций получают четную;
- в результате вычитания таких функций получают четную;
- функция, обратная четной, также четная;
- в результате умножения двух таких функций получают четную;
- в результате умножения нечетной и четной функций получают нечетную;
- в результате деления нечетной и четной функций получают нечетную;
- производная такой функции – нечетная;
- если возвести нечетную функцию в квадрат , получим четную.
Четность функции можно использовать при решении уравнений.
Чтобы решить уравнение типа g(x) = 0, где левая часть уравнения представляет из себя четную функцию, будет вполне достаточно найти ее решения для неотрицательных значений переменной.
2+2 может быть нечетным, причем для любого значения параметра. Действительно, легко проверить, что множество корней данного уравнения содержит решения «парами». Проверим, является ли 0 корнем. При подстановке его в уравнение, получаем 2=2 . Таким образом, кроме «парных» 0 также является корнем, что и доказывает их нечетное количество.
Видео с вопросами: определение четности функций
При каких значениях 𝑥 обе функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5 и 𝑔(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 − 48 положительны?
Стенограмма видео
Какие значения 𝑥 для которых функция 𝑓 от 𝑥 равна 𝑥 минус пять, а 𝑔 от 𝑥 равна 𝑥 в квадрате плюс два 𝑥 минус 48 оба положительны?
Начнем с рассмотрения
функция 𝑓 от 𝑥 равна 𝑥 минус пять. Если мы хотим, чтобы это было позитивно, 𝑓
𝑥 должно быть больше нуля. Это дает нам 𝑥 минус пять
больше нуля.
Добавление пяти к обеим сторонам этого
неравенство дает нам 𝑥 больше пяти. 𝑓 of 𝑥 поэтому положительно на
открытый интервал от пяти до ∞. Это положительная функция для любого
значение больше пяти. Сейчас мы повторим этот процесс для
𝑔 из 𝑥. Это дает нам 𝑥 в квадрате плюс два
𝑥 минус 48 больше нуля. Чтобы решить любое квадратное неравенство
этой формы нам сначала нужно найти нули, установив нашу функцию равной
нуль. 𝑥 в квадрате плюс два 𝑥 минус 48
равен нулю.
Это может быть факторизовано или факторизовано
в два набора круглых скобок или квадратных скобок. Первый член в каждой скобке равен
𝑥. Вторые члены должны иметь
произведение отрицательного числа 48 и суммы двух. Шесть умножить на восемь равно
48. Это означает, что минус шесть
умножить на восемь равно минус 48. Минус шесть плюс восемь равно
два.
Наши два набора скобок 𝑥
минус шесть и 𝑥 плюс восемь. Как произведение этих двух терминов
равно нулю, либо 𝑥 минус шесть равно нулю, либо 𝑥 плюс восемь равно
нуль. Добавление шести к обеим сторонам
первое уравнение дает нам 𝑥 равно шести. И вычитая восемь из обоих
стороны второго уравнения дает нам 𝑥 равно минус восемь. Это означает, что функция 𝑔
𝑥 равно нулю, когда 𝑥 равно шести, а 𝑥 равно минус восьми.
Так как наша функция квадратична и
коэффициент при квадрате 𝑥 положителен, график будет u-образным. Это означает, что он положительный на
два раздела, когда 𝑥 больше шести и когда 𝑥 меньше отрицательного
восемь. Решение неравенства 𝑥
квадрат плюс два 𝑥 минус 48 больше нуля 𝑥 меньше отрицательного
восемь или 𝑥 больше шести. Это также можно записать с помощью
интервальное обозначение. 𝑔 из 𝑥 положителен на открытом воздухе
интервал от отрицательной ∞ до отрицательной восьмерки или открытый интервал от шести до ∞.
Мы хотим вычислить значения 𝑥 где обе функции положительны. Рассмотрим числовую прямую с ключевые значения пять, отрицательные восемь и шесть отмечены. Мы знаем, что 𝑓 из 𝑥 положительно для всех значений больше пяти. 𝑔 из 𝑥 положительно для всех значений меньше отрицательной восьмерки и больше шести. Это означает, что обе функции положительный, когда 𝑥 больше шести. Это также может быть написано с использованием обозначение интервала как открытый интервал от шести до ∞.
Nagwa использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство на нашем веб-сайте. Узнайте больше о нашей Политике конфиденциальности.
Предварительное исчисление алгебры — Как определить четность функции относительно конкретной точки.
Задавать вопрос
спросил
Изменено 7 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
Студент попросил меня продемонстрировать, почему определенная функция $f(x)$ нечетна относительно точки $a$.
Я понял, что на самом деле никогда не формализовал, не говоря уже о том, чтобы доказать такое утверждение, а скорее руководствовался результатами своей интуиции. Во всяком случае, я придумал это
$f(x)$ нечетно относительно $a \iff f(-x+a) = f(x+a)$
Это подтверждается? Для меня это имеет смысл, поскольку мы переводим функцию обратно в источник, а затем проверяем там четность. Это эквивалентно объявлению четности относительно $a$.
Кроме того, если название или моя терминология должны быть освежены, скажите, пожалуйста. Спасибо.
РЕДАКТИРОВАТЬ: Чтобы сделать это больше вопросом Math Exchange. Как бы это доказать?
- алгебра-предварительное исчисление
- четность
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Вы не можете доказать правильность определения. Вы можете только объяснить, почему вы решили определить что-то определенным образом.