Как определить угол между векторами: Угол между векторами

как найти, формула через координаты, обозначение

Угол между векторами

Определение

Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.

 

На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:

\(\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.

Острый:

 

Тупой:

 

Прямой:

 

С величиной \(0^\circ\) (то есть, векторы сонаправлены):

 

С величиной \(180^\circ\) (векторы направлены в противоположные стороны):

 

Нахождение угла между векторами

Как правило, угол между \( \overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих. 2}}=\frac{10}{\sqrt{10}\cdot2\sqrt5}=\frac{10}{10\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}\)

Ответ: \(\cos\left(\widehat{\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BC}}\right)=\frac1{\sqrt2}.\)

Примеры решения задач

Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.

Задача 1

Известно, что \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\). Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину.

Решение

Применим формулу:

\( \cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{\left(\overrightarrow a;\overrightarrow b\right)}{\left|\overrightarrow a\right|\times\left|\overrightarrow b\right|}\)

Подставим известные значения:

\(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{-9}{3\cdot6}=-\frac12\)

Далее найдем угол между данными векторами:

\(arc\cos\left(-\frac12\right)=\frac{3\pi}4\)

Ответ: \(\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=-\frac12,\;\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{3\pi}4. 2}}=\frac{26}{\sqrt{25}\cdot\sqrt{29}}=\frac{26}{5\sqrt{29}}\)

Ответ: \(\cos\left(\widehat{\overrightarrow a;\overrightarrow b}\right)=\frac{26}{5\sqrt{29}}\)

Вычислить угол между векторами

Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2016-05-25

Вычислить угол между векторами. В этой публикации хочу вам показать один способ определения угла между двумя векторами. В условии для каждого из векторов задаются координаты начала и конца. Векторы могут быть построены на координатной плоскости или без того. Конечно же, данную задачу обычно (и это естественно) решают применяя формулу скалярного произведения векторов, и такой подход был показан в этой статье.

Но если пофантазировать и представить, что вдруг вы напрочь забыли эту формулу или вообще в решении задач с  векторами как-то давно не практиковались, то на помощь может прийти нижеизложенный способ. Это вполне достойная альтернатива. Чем у вас будет больше «инструментов» в запасе, тем лучше.

Найти угол между векторами. Ответ дать в градусах.

Идея очень простая: мы строим треугольник (соединяем концы векторов) и далее используем способ изложенный в этой статье. Его суть такова – в полученном треугольнике вычисляем стороны и для далее вычисления искомого угла используем теорему косинусов.

Приступим! Строим треугольник, далее описываем около него прямоугольник. Затем прямо на эскизе обозначаем длины катетов в образовавшихся прямоугольных треугольниках:

Вычисляем стороны. По теореме Пифагора:

Теорема косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус  угла между ними.

Вычисляем угол:

Таким образом, угол между векторами равен 45 градусам.

Ответ: 45

Решение через формулу скалярного произведения

Сама формула:

Известна следующая формула.

Скалярным произведением векторов на плоскости в прямоугольной системе координат называется число равное сумме произведений соответствующих координат векторов.

Значит:

Вычислим координаты векторов:

Подставим их в формулу:

Таким образом, угол между векторами равен 45 градусам.

Ответ: 45

*Если векторы будут расположены на координатной плоскости не касаясь друг друга, то один из них всегда можно сдвинуть параллельным переносом и далее уже действовать как описано выше.

**Если они будут построены схематично на координатной плоскости, а не на листе в клетку и при этом будут указаны координат концов, то треугольник построить несложно.

С уважением, Александр.

В школе урок математики. Учитель:

— Петя, назови двузначное число!
— Сорок шесть.
— Теперь поменяй местами цифры и скажи, что получилось.
— Не знаю…
— Садись, два! Вовочка, назови двузначное число!
— Тридцать три, и можете начинать свои фигли-мигли!

*Делитесь информацией в социальных сетях!

Категория: Векторы | ЕГЭ-№1Углы

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Видео-вопрос: нахождение меры меньшего угла между двумя векторами по их величинам и их скалярному произведению

Учитывая, что |𝐀| = 35, |𝐁| = 23 и 𝐀 ⋅ 𝐁 = −(805√(2))/2 определяют меру меньшего угла между двумя векторами.

Стенограмма видео

Учитывая, что модуль вектора 𝐀 равно 35, а модуль вектора 𝐁 равен 23, а скалярное произведение между 𝐀 и 𝐁 равно равный отрицательному корню 805 из двух, деленному на два, определяют меру меньшего угол между двумя векторами.

В этом вопросе нам дается информация о векторах 𝐀 и 𝐁. И нас просят определить меньший угол между этими двумя векторами. Иногда в этих вопросах мы нравится рисовать картину происходящего. Однако информация, которую мы данные о наших векторах не позволят нам нарисовать картинку. Мы не знаем компонентов векторы 𝐀 и 𝐁. Вместо этого мы знаем только их модуль и их скалярное произведение.

Так что нам придется полагаться полностью по нашей формуле. Помните, это говорит нам, является ли 𝜃 угол между двумя векторами 𝐀 и 𝐁, то cos вектора 𝜃 будет равен точке произведение между 𝐀 и 𝐁, деленное на модуль 𝐀, умноженный на модуль 𝐁. И мы бы нашли значение 𝜃 взяв арккосинус обеих частей этого уравнения. И это дает нам полезный результат потому что функция арккосинуса имеет диапазон от нуля до 180 градусов.

Поэтому это не имеет большого значения как мы рисуем наши векторы 𝐀 и 𝐁. Если значение 𝜃 между нулем и 180, это всегда будет давать нам меньший угол между этими двумя векторами. Единственная возможная оговорка к этому было бы, если бы наши векторы указывали в прямо противоположных направлениях. Тогда угол, измеренный в обоих направления будут равны 180 градусам.

Однако, как мы увидим, это не что происходит в этом вопросе.

Теперь найдем меньший угол между нашими двумя векторами 𝐀 и 𝐁. Он решает уравнение, потому что 𝜃 будет равно скалярному произведению между 𝐀 и 𝐁, деленному на модуль 𝐀 раз больше модуля 𝐁. В вопросе нам говорят точку произведение между 𝐀 и 𝐁 равно отрицательному корню 805 два из двух, модуль 𝐀 равно 35, а модуль 𝐁 равен 23. Таким образом, мы можем подставить эти значения прямо в нашу формулу, что дает нам, потому что 𝜃 отрицательный корень 805 два над двумя все разделить на 35 умножить на 23,

Мы можем упростить это. Помните, что деление на число так же, как умножение на обратное этому числу, что дает нам cos 𝜃 отрицательный корень 805 два разделить на два раза 35 раз 23. И если бы мы должны были оценить 35 раз 23, мы увидели бы, что оно в точности равно 805.

Поэтому мы можем их отменить, оставив нам с cos 𝜃 равно отрицательному корню два из двух.

И, наконец, мы можем решить для нашего значение 𝜃, взяв обратный cos обеих частей уравнения. Помните, мы знаем, что это даст нам меньший угол между нашими двумя векторами. Это дает нам 𝜃 является обратным cos отрицательного корня два из двух, который мы можем вычислить, составляет 135 градусов.

Угол между векторами — Исчисление 3

Все ресурсы исчисления 3

6 Диагностические тесты 373 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 Следующая →

Исчисление 3 Помощь » Векторы и векторные операции » Угол между векторами

Найдите угол между этими двумя векторами,  и .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Давайте вспомним формулу для нахождения угла между двумя векторами.

Сообщить об ошибке

Рассчитать угол между , .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вспомним уравнение для нахождения угла между векторами.

 

Сообщить об ошибке

Каков угол между векторами  и ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти угол между векторами, мы должны использовать формулу скалярного произведения

, где  является скалярным произведением векторов   и , соответственно.

   и  – величины векторов и соответственно.

 это угол между двумя векторами.

 

Пусть вектор  представляется как   , а вектор   представляется как  .

 

Скалярное произведение векторов   и  равно .

Величина вектора  равна и вектор равна .

 

Преобразование формулы скалярного произведения для решения дает нам

Для этой задачи

 

 

Сообщить об ошибке

s Каков угол между векторами  и

s?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти угол между векторами, мы должны использовать формулу скалярного произведения

, где  является скалярным произведением векторов   и , соответственно.

   и  – величины векторов и соответственно.

 это угол между двумя векторами.

 

Пусть вектор  представляется как   , а вектор   представляется как  .

 

Скалярное произведение векторов   и  равно .

Величина вектора  равна и вектор равна .

 

Преобразование формулы скалярного произведения для решения дает нам

Для этой задачи

Векторы перпендикулярны

 

Сообщить об ошибке

Какой угол между векторами

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти угол между векторами, мы должны использовать формулу скалярного произведения

, где  является скалярным произведением векторов   и , соответственно.

   и  – величины векторов и соответственно.

 это угол между двумя векторами.

 

Пусть вектор  представлен как   , а вектор   представлен как  .

 

Скалярное произведение векторов   и  равно .

Величина вектора  равна и вектор равна .

 

Преобразование формулы скалярного произведения для решения дает нам

Для этой задачи

 

 

Сообщить об ошибке

s Каков угол между векторами  и

s?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти угол между векторами, мы должны использовать формулу скалярного произведения

, где  является скалярным произведением векторов   и , соответственно.

   и  – величины векторов и соответственно.

 это угол между двумя векторами.

 

Пусть вектор  представлен как   , а вектор   представлен как  .

 

Скалярное произведение векторов   и  равно .

Величина вектора  равна и вектор равна .

 

Преобразование формулы скалярного произведения для решения дает нам

Для этой задачи

Два вектора параллельны.

Сообщить об ошибке

Найдите приблизительный острый угол в градусах между векторами .

Возможные ответы:

Нет других ответов Пояснение:

Чтобы найти угол между двумя векторами, используйте формулу

.

Сообщить об ошибке

Найдите угол между двумя следующими векторами.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти угол между двумя векторами, нам нужно взять частное их скалярного произведения и их модулей:

Следовательно, мы находим, что

.