Как построить параболу по уравнению: Парабола, квадратичная функция. Как решаются квадратные уравнения?

70. 5. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Исследование параболы по каноническому уравнению

Определение 1. Параболой Называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой D, которая не проходит через точку F.

Точка F называются Фокусами, расстояние от фокуса параболы до директрисы называется Фокальным параметром параболы и обозначается через P.

Выведем уравнение параболы в прямоугольной системе координат OXy, связанной с гиперболjq. Для этого начало O системы координат поместим в середину перпендикуляра, опущенного из точки F На директрису. Ось OX направим по прямой KF. Ось OY — прямую проходящую через О параллельно директрисе. Такая система координат называется Канонической. В выбранной системе координат фокус имеет координаты F(P/2, 0), директриса уравнение x = — P/2.

Пусть M(X,Y) произвольная точка плоскости OXy, M1 проекция точки M на директрису. Точка M1 имеет координаты: M1(- P/2, y). По

Определению 1 точка M принадлежит параболе тогда и только тогда, когда

|MF| = |MM1|. (1)

Находим

|MF| =, |MM1| =.

Отсюда получим уравнение параболы

=.

Для того, чтобы упростить это уравнение, и возведем обе его части в квадрат

Или

. (2)

Мы доказали, что если точка лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2). Докажем обратное, что если координаты точки M(X,Y) удовлетворяют уравнению (2), то она принадлежит параболе. Для этого вычисляем расстояния |MF|.

|MF| = =.

Таким образом, доказали, что уравнение (2) является уравнением параболы.

Уравнение (2) называется Каноническим уравнением параболы.

Отрезок |MF| называются Фокальными радиусами точки M.

Исследуем параболу по каноническому уравнению.

1. Парабола проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) удовлетворяют уравнению (2) и парабола пересекает оси только в начале координат и эта точка называется вершиной гиперболы.

2. Так как переменная Y входит в уравнение (2) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y) параболе принадлежат две точки (X, ±Y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, парабола симметрична относительно координатной оси OX.

3. Из уравнения параболы находим X ³ 0, и она находится в полосе 0 £X <+¥ (см. рис. 24).

4. Исследуем поведение параболы в первой четверти. Для этого выразим Y из уравнения (2) через X:

.

Отсюда видим, что в первой четверти на промежутке 0 £X <+¥ Парабола является графиком возрастающей функции.

4. Исследуем пересечения гиперболы с прямыми, проходящими через начало координат. Вертикальная и горизонтальная прямые, оси OХ, OY пересекает параболу только в начале координат. Рассмотрим любую другую прямую, которую можно задать уравнением Y = Kx, K ≠ 0. Подставляя в уравнение (1) находим, что прямая пересекает параболу в двух точках .

Замечание 1. С помощью циркуля и линейки можно построить сколь угодно много точек на параболе. Проведем прямую параллельную директрисе на расстоянии R, и с центром в фокусе F, радиусом R. Точки пересечения прямой и окружностей лежат на параболе (см. рис. 26).

< Предыдущая		Следующая >

Что такое парабола, каноническое уравнение, как найти координаты вершины параболы формула, построение оси симметрии по квадратному уравнению

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Содержание

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

1. Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).
2. Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

• x0 = -b / (2 * a),
• y0 = y (x0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

• х = -16 / (2 * 4) = -2,
• y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b2 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

• D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),
• D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),
• D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

• определить направление ветвей,
• найти координаты вершины,
• найти пересечение с осью ординат,
• найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,
3. с осью ординат пересекается в значении у = 4,
4. найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,
5. ищем корни:

• Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),
• Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,
2. координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,
3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1,
4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

• Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),
• Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Как найти уравнение параболы

Обновлено 19 ноября 2018 г.

Автор Lisa Maloney

В реальном мире парабола — это дуга, которую описывает мяч, когда вы бросаете его, или отличительная форма спутниковой антенны. С математической точки зрения, парабола — это форма, которую вы получаете, когда разрезаете твердый конус под углом, параллельным одной из его сторон, поэтому она известна как одно из «конических сечений». Самый простой способ найти уравнение параболы — использовать знания о специальной точке, называемой вершиной, которая расположена на самой параболе.

Распознавание формулы параболы

Если вы видите квадратное уравнение с двумя переменными вида y = ax ² + bx + c ​, где a ≠ 0, то поздравляем! Вы нашли параболу. Квадратное уравнение иногда также называют формулой «стандартной формы» параболы.

Но если вам показывают график параболы (или дают небольшую информацию о параболе в текстовом формате или в формате «словной задачи»), вы захотите записать свою параболу в так называемой вершинной форме, которая выглядит так:

​ y = a(x — h) ² + k ​ (если парабола раскрывается вертикально)

​ x = a(y — k) ² + h ​ (если парабола раскрывается вертикально) по горизонтали)

Что такое вершина параболы?

В обеих формулах координаты (h,k) представляют собой вершину параболы, то есть точку, в которой ось симметрии параболы пересекает линию самой параболы. Или, другими словами, если бы вы сложили параболу пополам прямо посередине, вершина была бы «вершиной» параболы, прямо там, где она пересекала бы сгиб бумаги.

Нахождение уравнения параболы

Если вас попросят найти уравнение параболы, вам либо сообщат вершину параболы и по крайней мере еще одну точку на ней, либо вы получить достаточно информации, чтобы понять их. Получив эту информацию, вы сможете найти уравнение параболы в три шага.

Давайте решим пример задачи, чтобы увидеть, как это работает. Представьте, что вам дана парабола в виде графика. Вам говорят, что вершина параболы находится в точке (1,2), что она открывается вертикально и что еще одна точка параболы — (3,5). Каково уравнение параболы?

В первую очередь вам нужно решить, какую форму уравнения вершин вы будете использовать. Помните, что если парабола открывается вертикально (что может означать, что открытая сторона буквы U направлена ​​вверх или вниз), вы будете использовать это уравнение:

​ y = a(x — h) ² + k ​

И если парабола открывается горизонтально (что может означать, что открытая сторона буквы U обращена вправо или влево), вы будете использовать это уравнение:0003

Поскольку парабола в примере раскрывается вертикально, воспользуемся первым уравнением.

Затем подставьте координаты вершины параболы (h, k) в формулу, которую вы выбрали на шаге 1. Поскольку вы знаете, что вершина находится в точке (1,2), вы подставите h = 1 и k = 2, что дает следующее:

y = a(x — 1) ² + 2

Последнее, что вам нужно сделать, это найти значение a . Для этого выберите любую точку ( x,y ) на параболе, если эта точка не является вершиной, и подставьте ее в уравнение.

В этом случае вы уже получили координаты другой точки вершины: (3,5). Таким образом, вы подставите x = 3 и y = 5, что даст вам:

5 = a(3 — 1) ² + 2

Теперь все, что вам нужно сделать, это решить это уравнение для ​ и ​. Небольшое упрощение дает вам следующее:

​ 5 = a(2) ² + 2 ​, что можно еще упростить до:

​ 5 = a(4) + 2 ​, что в очередь становится:

​ 3 = a(4) ​ и, наконец:

​ a = 3/4 ​

Теперь, когда вы нашли значение ​ a ​, подставьте его в уравнение закончите пример:

​ y = (3/4)(x — 1) ² + 2 ​ — уравнение параболы с вершиной (1,2) и содержащей точку (3,5).

• Со всеми этими буквами и цифрами, которые плавают вокруг, может быть трудно понять, когда вы «закончили» поиск формулы! Как правило, когда вы работаете с задачами в двух измерениях, вы закончите, когда у вас останется только две переменные. Эти переменные обычно записываются как x ​ и ​ y , ​ особенно когда вы имеете дело со «стандартными» формами, такими как парабола.

Параболы как конические сечения

Горячая математика

А парабола это кривая, образованная пересечением плоскости и конуса, когда плоскость находится под тем же наклоном, что и сторона конуса.

Парабола также может быть определена как множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки (называемой фокус параболы) и заданной прямой (называемой директриса параболы).

В начале алгебры мы обычно рассматриваем только параболы, ось симметрии является вертикальным. Уравнения для этих кривых имеют общий вид

у знак равно а Икс 2 + б Икс + с ,

куда а , б и с являются константами.

Стандартная форма уравнения параболы с вершиной в ( 0 , 0 ) составляет.

Уравнение	Фокус	Директриса
Икс 2 знак равно 4 п у	( 0 , п )	у знак равно − п	Вертикальная ось ( Икс знак равно 0 )
у 2 знак равно 4 п Икс	( п , 0 )	Икс знак равно − п	Горизонтальная ось ( у знак равно 0 )

Пример 1:

Найдите фокус и директрису параболы. у знак равно − 2 Икс 2 .

Поскольку Икс -член возведен в квадрат, ось вертикальна, а стандартная форма

Икс 2 знак равно 4 п у

Перепишем уравнение в стандартной форме:

Икс 2 знак равно − 1 2 у

Сравнивая уравнение со стандартной формой:

4 п знак равно − 1 2 п знак равно − 1 8

Фокус параболы стандартной формы Икс 2 знак равно 4 п у , является ( 0 , п ) .

Таким образом, основное внимание в уравнении уделяется ( 0 , − 1 8 ) .

Директриса параболы стандартной формы Икс 2 знак равно 4 п у , является у знак равно − п .

Итак, направляющая уравнения у знак равно 1 8 .

Пример 2:

Нарисуйте уравнение, а затем найдите фокус и директрису параболы. у 2 знак равно − 3 Икс .

Уравнение имеет вид у 2 знак равно 4 п Икс куда 4 п знак равно − 3 .

Решение для п :

п знак равно − 3 4

Фокус параболы стандартной формы у 2 знак равно 4 п Икс , является ( п , 0 ) .

Таким образом, основное внимание в уравнении уделяется ( − 3 4 , 0 ) .

Директриса параболы стандартной формы у 2 знак равно 4 п Икс , является Икс знак равно − п .

Итак, направляющая уравнения Икс знак равно 3 4 .

Поскольку переменная у квадратная, ось симметрии горизонтальная. Также значение п меньше чем 0 , парабола открывается влево.

Выбрать минус Икс -значения и составить таблицу.

Икс	− 1	− 2	− 3	− 4
Д	1,73	2,45	3	3,46

Отметьте точки и проведите через них параболу.