Как решать линейные: § Как решать линейные уравнения 7 класс

Содержание

Линейные уравнения, квадратные уравнения и неравенства: как решать

  • Альфашкола
  • Статьи
  • О чем важно помнить, чтобы решать уравнения без труда

Данную статью могу порекомендовать ученикам 8-9 классов. Пригодится при повторении изученных тем и подготовки к экзаменам.

Начнем с самого простого: линейные уравнения типа: \(ax=b\)

Казалось бы, ничего сложного,  решение: \(x={b\over a}\).                                                                            

Но если мы рассмотрим уравнение, где \(a=0\) , а — любое число, например 3, то получим: \(0x=3\), т.е. получим уравнение, которое не имеет решения, так как на 0 делить нельзя. 2+3x-4>0 \)     D<0        -2<0     и у неравенства опять нет решений.

Кстати, подобное задание очень любят составители ОГЭ по математике.

Надеюсь, что статья оказалась полезной. Не делайте глупых ошибок!

Автор: Ольга Лардыго

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Марина Валериевна Петрова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Курский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 1-4 классы и русскому языку 1-4 классы. Математика — точная наука, которая развивает логическое мышление, учит думать и является основой для дальнейшего изучения школьных предметов в старшей школе. Главное, чтобы ребенок перестал боятся задач, «трудных» уравнений и «длинных» примеров. Результат работы — мои ученики победители и призеры муниципальных и краевых олимпиад. Сейчас работаю по программе «Школа России». Есть несколько выпусков по программе»ХХI век» и опыт работы по учебнику математики Л.Петерсон.

Екатерина Витальевна Турец

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Минский государственный лингвистический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-5 классов по английскому языку. На моих уроках можно не бояться допустить ошибку, вместе найдем правильный ответ. Играем и учимся одновременно. На своих уроках использую различные электронные образовательные ресурсы, приемы eliciting, brainstorming и lead-in. Данные приемы помогают активизировать имеющиеся знания, узнать интересы ученика, заинтересовать его, находить ответы самостоятельно.

Екатерина Сергеевна Яковлева

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Донецкий Национальный Университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 5-9 классы.

Знание преподаваемого предмета на высоком уровне, любовь к своему делу и хороший результат!

Похожие статьи

  • Многочлены
  • Свойства корней
  • Объема конуса
  • Значения обратных тригонометрических функций y=arcsin(x) и y=arccos(x)
  • Рациональные неравенства
  • Интересные моменты из физики для тех, кто хочет получить на уроке больше, чем 4
  • Традиции и приметы на Хэллоуин: празднуем «страшный» праздник по всем правилам
  • Вымершие животные, которые могли существовать, если бы не деятельность человека

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Линейные уравнения

Линейные  уравнения  –  уравнения,  которые  можно  представить  в  виде  \(ax+b=0\),  где \(a\) и \(b\) – какие-либо числа.

Проще говоря, это такие уравнения, в которых переменные (обычно иксы) в первой степени. При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей.

Например:

         

\(2x+7=0\)

         

Здесь \(a=2, b=7\)

\(5=0\)

 

А тут \(a=0, b=5\) (пояснение

: данное уравнение может быть представлено в виде \(0\cdot x+5=0\))

 

\(-7(5-3y)=91\)

 

Здесь \(a\) и \(b\) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти.

 

\(\frac{x+2}{3}\)\(+x=1-\)\(\frac{3}{4}\)\(x\)

 

Тоже самое, \(a\) и \(b\) пока что неизвестны.

Решение линейных уравнений

При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.

В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения \(x+3=5\) будет число \(2\), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст \(5=5\) – верное равенство.

Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят равносильные преобразования.

Чтобы найти корень уравнения нужно

равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду

\(x=[число]\)

Это число и будет корнем.

То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:

1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения.

Например: прибавим \(5\) к обеим частям уравнения \(6x-5=1\)

                  \(6x-5=1\)         \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.

Например: разделим уравнение \(-2x=8\) на минус два

                  \(-2x=8\)         \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду \(ax=b\), и мы делим на \(a\), чтобы убрать его слева.

3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.

Например: раскроем скобки в уравнении \(2(3+x)=4(3x-2)-5\)

                  \(6+2x=12x-8-5\)

Чаще всего при решении линейного уравнения приходиться делать несколько разных преобразований.

Пример. Решить линейное уравнение \(6(4-x)+x=3-2x\)

Решение:

\(6(4-x)+x=3-2x\)

                              

Раскрываем скобки

\(24-6x+x=3-2x\)

 

Приводим подобные слагаемые

\(24-5x=3-2x\)

 

Прибавляем \(2x\) слева и справа

\(24-5x+2x=3\)

     

Вычитаем \(24\) из обеих частей уравнения

\(-5x+2x=3-24\)

     

Опять приводим подобные слагаемые

\(-3x=-21\)

     

Теперь делим уравнение на \(-3\), тем самым убирая коэффициент перед иксом в левой части.

\(x=7\)

         

Ответ: \(7\)

Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство — одинаковые числа слева и справа. Пробуем.

                   Проверка:
         \(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
           \(6\cdot(-3)+7=3-14\)
                \(-18+7=-11\)
                  \(-11=-11\)

Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.

Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.


Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?

Ответ прост:

Ваша цель – привести уравнение к виду \(x=[число]\), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных.

Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.

Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения \(x+3=13-4x\).

Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от \(x=[число]\)? Что нам мешает? Что не так?

Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать — вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.

                  \(x+3=13-4x\)         \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Хорошо. Теперь что мешает? \(4x\) справа, ведь там должны быть только числа. \(4x\) вычитается — убираем прибавлением.

                  \(x=10-4x\)         \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.

\(5x=10\)

Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.

                  \(5x=10\)         \(|:5\)
\(\frac{5x}{5}\)\(=\)\(\frac{10}{5}\)
\(x=2\)

Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.

Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.


Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.

Пример. Решить уравнение \(3x-1=2(x+3)+x\)

Решение:

\(3x-1=2(x+3)+x\)

 

Раскроем скобки

\(3x-1=2x+6+x\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(3x-1=3x+6\)

 

Перенесем члены с переменной влево, а просто числа — вправо, меняя при этом знаки

\(3x-3x=6+1\)

     

Опять приведем подобные слагаемые

\(0=7\)

     

Ну и при каком иксе ноль станет равен \(7\)? Ни при каком, тут икс вообще никак не влияет и не может «исправить» неверность получившегося равенства. Поэтому ответ – в этом линейном уравнении нет корней.

Ответ: нет корней.

На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: как могут быть равны \(3x\) из которых вычли \(1\), и \(3x\) к которым прибавили \(6\)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же выражением сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.

Особый случай 2 – в линейном уравнении бесконечное количество корней.

Пример. Решить линейное уравнение \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Решение:

\(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

 

Начинаем преобразовывать – раскрываем скобки

\(8x+16-4=12x-4x+12\)

 

Приводим подобные слагаемые

\(8x+12=8x+12\)

 

Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева

\(8x-8x=12-12\)

     

И вновь приводим подобные

\(0=0\)

     

Очевидно, что тут “подойдет” любое значение для икса, ведь он никак не влияет на полученное уравнение. {2}+8x-6x=-6+16\)

     

Опять приводим подобные.

\(2x=10\)

     

Вот так. Оказывается, исходное уравнение – вполне себе линейное, а иксы в квадрате не более чем ширма, чтоб нас запутать. 🙂 Дорешиваем, деля уравнение на \(2\), и получаем ответ.

Ответ: \(x=5\)

Пример. Решить линейное уравнение \(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)

Решение:

\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)

                              

Уравнение не похоже на линейное, дроби какие-то. .. Однако давайте избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей – шестерку

\(6\cdot\)\((\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3})\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)\(\cdot 6\)

 

Раскрываем скобку слева

\(6\cdot\)\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)\(\cdot 6\)

 

Теперь сокращаем знаменатели

\(3(x+2)-2=9+7x\)

     

Вот теперь похоже на обычное линейное! Дорешиваем его. Раскрываем скобки

\(3x+6-2=9+7x\)

     

Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева

\(3x-7x=9-6+2\)

     

Приводим подобные слагаемые

\(-4x=5\)

     

Ну и поделив на \(-4\) правую и левую часть, получаем ответ

Ответ: \(x=-1,25\)

Смотрите также:
Линейная функция

Скачать статью

Как решать линейные уравнения? | О математике понятно

        Линейные уравнения — довольно безобидная и понятная тема школьной математики. Но, как это ни странно, количество ошибок на ровном месте при решении линейных уравнений лишь немногим меньше, чем в других темах — квадратных уравнениях, логарифмах, тригонометрии и прочих. Причины большинства ошибок — банальные тождественные преобразования уравнений. В первую очередь, это путаница в знаках при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, а также ошибки при работе с дробями и дробными коэффициентами. Да-да! Дроби в линейных уравнениях тоже встречаются! Сплошь и рядом. Чуть ниже такие злые уравнения мы с вами тоже обязательно разберём.)

        Ну что, не будем тянуть кота за хвост и начнём разбираться, пожалуй? Тогда читаем и вникаем.)

Что такое линейное уравнение? Примеры.

Обычно линейное уравнение имеет следующий вид:

ax + b = 0,

       где a и b — любые числа. Какие угодно: целые, дробные, отрицательные, иррациональные — всякие могут быть!

Например:

7х + 1 = 0 (здесь a = 7, b = 1)

x — 3 = 0 (здесь a = 1, b = -3)

x/2 — 1,1 = 0 (здесь a = 1/2, b = -1,1)

       В общем, вы поняли, я надеюсь. ) Всё просто, как в сказке. До поры до времени… А если присмотреться к общей записи ax+b=0 более пристально, да немного призадуматься? Ведь a и b — любые числа! А если у нас, скажем, a = 0 и b = 0 (любые же числа можно брать!), то что у нас тогда получится?

0 = 0

       Но и это ещё не все приколы! А если, допустим, a = 0, b = -10? Тогда уже совсем какая-то ахинея получается:

0 = 10.

       Что весьма и весьма напрягает и подрывает завоёвываемое потом и кровью доверие к математике… Особенно на контрольных и экзаменах. А ведь из этих непонятных и странных равенств ещё и икс найти нужно! Которого нету вообще! И вот тут даже хорошо подготовленные ученики, порой, могут впасть, что называется, в ступор… Но не переживайте! В данном уроке все такие сюрпризы мы тоже рассмотрим. И икс из таких равенств тоже обязательно отыщем.) Причём этот самый икс ищется очень и очень просто. Да-да! Удивительно, но факт.)

       Ну хорошо, это понятно. Но как же можно узнать по внешнему виду задания, что перед нами именно линейное уравнение, а не какое-либо ещё? К сожалению, только по внешнему виду распознать тип уравнения возможно далеко не всегда. Дело всё в том, что линейными называются не только уравнения вида ax+b=0, но и любые другие уравнения, которые тождественными преобразованиями, так или иначе, сводятся к такому виду. А как тут узнаешь, сводится оно или нет? Пока пример почти не решишь — почти никак. Это огорчает. Но для некоторых типов уравнений можно при одном беглом взгляде сразу с уверенностью сказать, линейное оно или нет.

Для этого ещё разок обратимся к общей структуре любого линейного уравнения:

ax + b = 0

       Обратите внимание: в линейном уравнении всегда присутствует только переменная икс в первой степени и какие-то числа! И всё! Больше ничего. При этом нету иксов в квадрате, в кубе, под корнем, под логарифмом и прочей экзотики. И (что особенно важно!) нет дробей с иксом в знаменателях! А вот дроби с числами в знаменателях или деление на число — запросто!

Например:

       Это линейное уравнение. В уравнении присутствуют только иксы в первой степени да числа. И нету иксов в более высоких степенях — в квадрате, в кубе и так далее. Да, здесь есть дроби, но при этом в знаменателях дробей сидят только числа. А именно — двойка и тройка. Иными словами, в уравнении нету деления на икс.

       А вот уравнение

       

       уже нельзя назвать линейным, хотя здесь тоже присутствуют только числа и иксы в первой степени. Ибо, помимо всего прочего, здесь есть ещё и дроби с иксами в знаменателях. И после упрощений и преобразований такое уравнение может стать каким угодно: и линейным, и квадратным — всяким.

Как решать линейные уравнения? Примеры.

        Так как же решать линейные уравнения? Читайте дальше и удивляйтесь.) Всё решение линейных уравнений базируется всего на двух основных вещах. Перечислим их.

        1) Набор элементарных действий и правил математики.

        Это использование скобок, раскрытие скобок, работа с дробями, работа с отрицательными числами, таблица умножения и так далее. Эти знания и умения необходимы не только для решения линейных уравнений, а для всей математики вообще. И, если с этим проблемы, вспоминайте младшие классы. Иначе несладко вам придётся…

        2) Базовые тождественные преобразования уравнений.

        Их всего два. Да-да! Более того, эти самые базовые тождественные преобразования лежат в основе решения не только линейных, а вообще любых уравнений математики! Одним словом, решение любого другого уравнения — квадратного, логарифмического, тригонометрического, иррационального и т.д. — как правило, начинается с этих самых базовых преобразований. А вот решение именно линейных уравнений, собственно, на них же (преобразованиях) и заканчивается. Готовым ответом.) Так что не поленитесь и прогуляетесь по ссылке.) Тем более, что там линейные уравнения тоже детально разбираются.

        Что ж, я думаю, пора приступать к разбору примеров.

        Для начала, в качестве разминки, рассмотрим какую-нибудь элементарщину. Безо всяких дробей и прочих наворотов. Например, такое уравнение:

        х — 2 = 4 — 5х

        Это классическое линейное уравнение. Все иксы максимум в первой степени и деления на икс нигде нету. Схема решения в таких уравнениях всегда едина и проста до ужаса: все члены с иксами надо собрать слева, а все члены без иксов (т.е. числа) собрать справа. Вот и приступаем к сбору.

        Для этого запускаем в ход первое тождественное преобразование. Нам нужно перенести -5х влево, а -2 перенести вправо. Со сменой знака, ясное дело.) Вот и переносим:

        х + 5х = 4 + 2

        Ну вот. Полдела сделано: иксы собрали в кучку, числа — тоже. Теперь слева приводим подобные, а справа — считаем. Получаем:

        6х = 6

        Чего теперь нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс остался! А шестёрка — мешает. Как от неё избавиться? Запускаем теперь второе тождественное преобразование — делим обе части уравнения на 6. И — вуаля! Ответ готов.)

        х = 1

        Разумеется, пример совсем примитивный. Чтобы общую идею уловить. Что ж, решим что-нибудь посущественнее. Например, разберём вот такое уравнение:

        Детально разберём.) Это тоже линейное уравнение, хотя, казалось бы, тут есть дроби. Но в дробях есть деление на двойку и есть деление на тройку, а вот деления на выражение с иксом — нету! Так что — решаем. Используя всё те же тождественные преобразования, да.)

        Что вначале делать будем? С иксами — влево, без иксов — вправо? В принципе, можно и так. Лететь в Сочи через Владивосток.) А можно пойти по кратчайшему пути, сразу воспользовавшись универсальным и мощным способом. Если знать тождественные преобразования, разумеется.)

        Для начала задаю ключевой вопрос: что вам сильнее всего бросается в глаза и больше всего не нравится в этом уравнении? 99 человек из 100 скажут: дроби! И будут правы.) Вот и избавимся сначала от них. Безопасно для самого уравнения.) Поэтому начнём сразу со второго тождественного преобразования — с домножения. На что надо помножить левую часть, чтобы знаменатель благополучно сократился? Правильно, на двойку. А правую часть? На тройку! Но… Математика — дама капризная. Она, понимаешь, требует умножать обе части только на одно и то же число! Каждую часть помножать на своё число — не катит… Что делать будем? Что-что… Искать компромисс. Чтобы и наши хотелки удовлетворить (избавиться от дробей) и математику не обидеть.) А помножим-ка обе части на шестёрку!) То есть, на общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение. Тогда одним махом и двойка сократится, и тройка!)

        Вот и домножаем. Всю левую часть и всю правую часть целиком! Посему используем скобочки. Вот так выглядит сама процедура:

        Теперь раскрываем эти самые скобочки:

        Теперь, представив 6 как 6/1, помножим шестёрку на каждую из дробей слева и справа. Это обычное умножение дробей, но, так уж и быть, распишу детально:

        

        

        А вот здесь — внимание! Числитель (х-3) я взял в скобки! Это всё потому, что при умножении дробей числитель умножается весь, целиком и полностью! И с выражением х-3 надо работать как с одной цельной конструкцией. А вот если вы запишете числитель вот так:

        6х — 3,

        то это будет ошибкой. Дальше можно уже не решать, да…

        Но у нас всё правильно и надо дорешивать. Что дальше делать? Раскрывать скобки в числителе слева? Ни в коем случае! Мы с вами домножали обе части на 6, чтобы от дробей избавиться, а не для того чтобы париться с раскрытием скобок. На данном этапе нам надо сократить наши дроби. С чувством глубокого удовлетворения сокращаем все знаменатели и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку:

        3(х-3) + 6х = 30 — 4х

        А вот теперь и оставшиеся скобки можно раскрыть:

        3х — 9 + 6х = 30 — 4х

        Уравнение становится всё лучше и лучше! Вот теперь вновь вспоминаем про первое тождественное преобразование. С каменным лицом повторяем заклинание из младших классов: с иксами — влево, без иксов — вправо. И применяем это преобразование:

        3х + 6х + 4х = 30 + 9

        Приводим подобные слева и считаем справа:

        13х = 39

        Осталось поделить обе части на 13. То есть, вновь применить второе преобразование. Делим и получаем ответ:

        х = 3

        Готово дело. Как вы видите, в данном уравнении нам пришлось один раз применить первое преобразование (перенос слагаемых) и дважды — второе: в начале решения мы использовали домножение (на 6) с целью избавиться от дробей, а в конце решения использовали деление (на 13), чтобы избавиться от коэффициента перед иксом. И решение любого (да-да, любого!) линейного уравнения состоит из комбинации этих самых преобразований в той или иной последовательности. С чего именно начинать — от конкретного уравнения зависит. Где-то выгоднее начинать с переноса, а где-то (как в этом примере) — с домножения (или деления).

        Работаем от простого — к сложному. Рассмотрим теперь откровенную жесть. С кучей дробей и скобок. А я уж подскажу, как не надорваться.)

        Например, вот такое уравнение:

        Минуту смотрим на уравнение, ужасаемся, но всё-таки берём себя в руки! Основная проблема — с чего начинать? Можно сложить дроби в правой части. Можно выполнить вычитание дробей в скобках. Можно обе части на что-нибудь домножить. Или поделить… Так что же всё-таки можно? Ответ: всё можно! Ни одно из перечисленных действий математика не запрещает. И какую бы последовательность действий и преобразований вы бы ни выбрали, ответ получится всегда один — правильный. Если, конечно, на каком-то шаге не нарушить тождественность ваших преобразований и, тем самым, не наляпать ошибок…

        А, чтобы не наляпать ошибок, в таких навороченных примерах, как этот, всегда полезнее всего оценить его внешний вид и в уме прикинуть: что можно такое сделать в примере, чтобы максимально упростить его за один шаг?

        Вот и прикидываем. Слева стоят шестёрки в знаменателях. Лично мне они не нравятся, а убрать их очень легко. Домножу-ка я обе части уравнения на 6! Тогда шестёрки слева благополучно сократятся, дроби в скобках пока никуда не денутся. Ну и ничего страшного. С ними чуток позже расправимся.) А вот справа у нас сократятся знаменатели 2 и 3. Именно при этом действии (умножении на 6) у нас за один шаг достигаются максимальные упрощения!

        После умножения всё наше злое уравнение станет вот таким:

        Кто не понял, как именно получилось это уравнение, значит, вы плохо усвоили разбор предыдущего примера. А я старался, между прочим…

        Что дальше можно сделать? Дальше удобнее всего раскрыть все скобки справа. Причём правильно раскрыть, соблюдая основы! В правой части перед обеими скобками стоит знак плюс, поэтому все знаки при раскрытии сохраняются.

        Итак, раскрываем:

        Теперь самым логичным шагом было бы уединить дроби слева, а 5х отправить в правую часть. Заодно и подобные в правой части приведём. Получим:

        Уже гораздо лучше. Теперь левая часть сама собой подготовилась к умножению. На что надо домножить левую часть, чтобы сразу и пятёрка сократилась, и четвёрка? На 20! Но ещё у нас присутствуют минусы в обеих частях уравнения. Поэтому удобнее всего будет умножать обе части уравнения не на 20, а на -20. Тогда одним махом и минусы исчезнут, и дроби.

        Вот и умножаем:

        Кому до сих пор непонятен этот шаг — значит, проблемы не в уравнениях. Проблемы — в основах! Вновь вспоминаем золотое правило раскрытия скобок:

        Если число умножается на какое-то выражение в скобках, то это число надо последовательно умножить на каждое слагаемое этого самого выражения. При этом если число положительно, то знаки выражений после раскрытия сохраняются. Если отрицательно — меняются на противоположные:

         a(b+c) = ab+ac

         -a(b+c) = -ab-ac

         Минусы у нас исчезли после домножения обеих частей на -20. И теперь скобки с дробями слева мы умножаем на вполне себе положительное число 20. Стало быть, при раскрытии этих скобок все знаки, что были внутри них, сохраняются. А вот откуда взялись скобки в числителях дробей, я уже подробно объяснял в предыдущем примере.

А вот теперь дроби и сократить можно:

        4(3-5х)-5(3х-2) = 20

        Раскрываем оставшиеся скобки. Опять же, правильно раскрываем. Первые скобки умножаются на положительное число 4 и, стало быть, все знаки при их раскрытии сохраняются. А вот вторые скобки умножаются на отрицательное число -5 и, поэтому, все знаки меняются на противоположные:

        12 — 20х — 15х + 10 = 20

        Остались сущие пустяки. С иксами влево, без иксов — вправо:

        -20х — 15х = 20 — 10 — 12

        -35х = -2

        Вот почти и всё. Слева нужен чистый икс, а число -35 мешает. Вот и делим обе части на (-35). Напоминаю, что второе тождественное преобразование разрешает нам умножать и делить обе части на какое угодно число. В том числе и на отрицательное.) Лишь бы не на ноль! Смело делим и получаем ответ:

        x = 2/35

        На сей раз икс получился дробным. Ничего страшного. Такой уж пример.)

        Как мы видим, принцип решения линейных уравнений (даже самых накрученных) довольно простой: берём исходное уравнение и тождественными преобразованиями последовательно упрощаем его прямо до получения ответа. С соблюдением основ, разумеется! Главные проблемы здесь именно в несоблюдении основ (скажем, перед скобками стоит минус, а знаки при раскрытии поменять забыли), а также в банальной арифметике. Так что не пренебрегайте основами! Они — фундамент всей остальной математики!

 

Некоторые приколы при решении линейных уравнений. Или особые случаи.

        Всё бы ничего. Однако… Попадаются среди линейных уравнений и такие забавные перлы, которые в процессе их решения могут и в сильный ступор вогнать. Даже отличника.)

        Например, вот такое безобидное с виду уравнение:

        7х + 3 = 4х + 5 + 3х — 2

        Широко позёвывая и слегка скучая, собираем все иксы слева, а все числа справа:

        7х-4х-3х = 5-2-3

        Приводим подобные, считаем и получаем:

        0 = 0

        Вот-те раз! Выдал примерчик фокус! Само по себе это равенство возражений не вызывает: ноль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! Бесследно! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе решение не считается, да.) Что же делать?

        Без паники! В таких нестандартных случаях спасают самые общие понятия и принципы математики. Что такое уравнение? Как решать уравнения? Что значит решить уравнение?

        Решить уравнение — это значит, найти все значения переменной икс, которые при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство (тождество)!

        Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, вернее некуда!) Остаётся догадаться, при каких именно иксах у нас получается это равенство. Какие же такие иксы можно подставлять в исходное уравнение, если при подстановке все они всё равно посокращаются в полный ноль? Неужели ещё не догадались?

        Ну, конечно же! Иксы можно подставлять любые!!! Совершенно любые. Какие хотите, такие и подставляйте. Хоть 1, хоть -23, хоть 2,7 — какие угодно! Они всё равно сократятся и в результате останется чистая правда. Попробуйте, поподставляйте и убедитесь лично.)

        Вот вам и ответ:

        х — любое число.

        В научной записи это равенство пишется так:

        

        Читается эта запись так: «Икс — любое действительное число.»

        Или в другой форме, через промежутки:

        

        Как вам больше нравится, так и оформляйте. Это верный и совершенно полноценный ответ!

        А теперь я изменю в нашем исходном уравнении всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

        7х + 2 = 4х + 5 + 3х — 2

        Опять переносим слагаемые, считаем и получаем:

        7х — 4х — 3х = 5 — 2 — 2

        0 = 1

        И как вам этот прикол? Было обычное линейное уравнение, а стало непонятное равенство

        0 = 1…

        Говоря научным языком, мы получили неверное равенство. А по-русски неправда это. Бред сивой кобылы. Ахинея.) Ибо ноль никак не равен единице!

        А теперь опять соображаем, какие же иксы при подстановке в исходное уравнение дадут нам верное равенство? Какие? А никакие! Какой икс ни подставляй, всё равно всё посокращается и останется лажа. )

        Вот и ответ: решений нет.

        В математической записи такой ответ оформляется вот так:

        

        Читается: «Икс принадлежит пустому множеству.»

        Такие ответы в математике тоже встречаются довольно часто: далеко не всегда у какого-либо уравнения имеются корни в принципе. Какие-то уравнения могут и вовсе не иметь корней. Совсем.

        Вот такие вот два сюрприза. Надеюсь, что теперь внезапная пропажа иксов в уравнении не поставит вас навечно в тупик. Дело вполне знакомое.)

        И тут слышу закономерный вопрос: а в ОГЭ или ЕГЭ они будут? На ЕГЭ сами по себе в качестве задания — нет. Слишком уж простенькие. А вот в ОГЭ или в текстовых задачках — запросто! Так что теперь — тренируемся и решаем:

        

        Ответы (в беспорядке): -2; -1; любое число; 2; нет решений; 7/13.

        Всё получилось? Отлично! У вас неплохие шансы на экзамене.

        Что-то не сходится? Гм… Печалька, конечно. Значит, где-то пока есть пробелы. Либо в основах, либо в тождественных преобразованиях. Либо же дело в банальной невнимательности. Перечитайте урок ещё раз. Ибо не та это тема, без которой можно вот так легко обойтись в математике…

        Удачи! Она вам обязательно улыбнётся, поверьте!)

        

Линейные уравнения — алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса » Kupuk.net

Простые равенства с неизвестными — первоначальный этап знакомства с линейными уравнениями. Примеры с объяснением для 6 класса основываются не только на решении последних, но и на базовых определениях, а также использования формул сокращенного умножения для понижения степени до единицы. Математики рекомендуют начать с теории, а затем перейти к ее практическому применению.

Общие сведения

Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.

Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.

В математике существует термин «корень уравнения». Он означает, что для решения равенства необходимо найти все допустимые значения, превращающие его в истинное тождество. Далее следует разобрать классификацию линейных выражений с переменными.

Классификация уравнений

Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:

  • Обыкновенные.
  • С параметром.
  • Высшей степени.
  • Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.

    Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.

    Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.

    Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.

    Обыкновенные тождества

    Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:

  • Раскрыть скобки.
  • Произвести математические преобразования над компонентами уравнения.
  • Сгруппировать элементы: перенести неизвестные в одну, а известные — в другую сторону.
  • Найти корень или доказать его отсутствие (учитывать и знаменатель при его наличии).
  • Выполнить проверку, подставив решение в исходное равенство.
  • Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:

  • 7 (t 2 −1)-7t 2 +7t=7t 2 −7-7t 2 +7t=8.
  • 7t 2 −7t 2 +7t-7=7t-7=8.
  • 7t=15.
  • t=2,5.
  • 7 (2,5−1)(2,5+1)-7*2,5 (2,5−1)=8. При расчете можно получить следующее тождество, которое является истинным: 8=8.
  • Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.

    Выражения с параметром

    Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:

  • Записать равенство.
  • Раскрыть скобки и привести подобные элементы к общему виду.
  • Выполнить математические преобразования, при помощи которых следует отделить некоторый параметр от переменной.
  • Записать диапазон значений, при которых неизвестная величина в третьем пункте не превращает уравнение в пустое множество.
  • Записать формулу определения корня.
  • При необходимости подставить значение параметра.
  • Проверить результат.
  • Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:

  • t-2+pt=0.
  • Опускается, поскольку в выражении нет скобок.
  • (t+pt)=t (1+p)=2.
  • p не должен быть -1: (-inf;-1)U (-1;+inf), где -inf и +inf — минус и плюс бесконечность соответственно.
  • t=2/(1+p).
  • При p=0: t=2.
  • 2−2+0*2=0.
  • Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p) {p: (-inf;-1)U (-1;+inf)}. Каждый ученик должен понять основной смысл решения уравнений этого типа — научиться находить область значений параметра, не превращающие выражение в пустое множество.

    Линейные уравнения — алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса

    Простые равенства с неизвестными — первоначальный этап знакомства с линейными уравнениями. Примеры с объяснением для 6 класса основываются не только на решении последних, но и на базовых определениях, а также использования формул сокращенного умножения для понижения степени до единицы. Математики рекомендуют начать с теории, а затем перейти к ее практическому применению.

    Содержание

    • Общие сведения
    • Классификация уравнений
      • Обыкновенные тождества
      • Выражения с параметром
      • Понижение степени
      • Системы линейного типа

    Общие сведения

    Уравнение — совокупность чисел и переменных. Иными словами, тождеством, содержащим неизвестные величины, называется математическая запись, в которой следует определить значения переменных, превращающих это выражение в истинное. Например, переменная t в выражении 2t=6 эквивалентна 3, поскольку 2*3=6.

    Линейное — тождество, в котором максимальный показатель степени при неизвестной величине всегда эквивалентен единице.

    В математике существует термин «корень уравнения». Он означает, что для решения равенства необходимо найти все допустимые значения, превращающие его в истинное тождество. Далее следует разобрать классификацию линейных выражений с переменными.

    Классификация уравнений

    Прежде чем рассматривать примеры уравнений по алгебре в 7 классе (изучаются подробнее, чем в 6-м), необходимо разобрать их классификацию, поскольку она влияет на алгоритм нахождения корней. Они бывают трех типов:

  • Обыкновенные.
  • С параметром.
  • Высшей степени.
  • Первый вид — обыкновенные приведенные линейные уравнения, состоящие из числовых величин и переменных с единичным степенным показателем. Они являются наиболее распространенными не только в математике и физике, но и в других дисциплинах с физико-математическим уклоном. Графиком их функции является прямая линия, которую также называют прямо пропорциональной зависимостью.

    Ко второму типу относятся любые многочлены линейного типа, имеющие переменную, а также некоторый параметр. Последний влияет на решение и нахождение корней. Обычно он задается на начальном этапе решения, но бывают и исключения. В последнем случае необходимо указывать диапазон допустимых значений параметра.

    Суть решения второго вида уравнений — предотвратить превращение тождества в пустое множество. Для этой цели требуется исключить при помощи записи в виде неравенства все ложные значения параметра. Выражения с параметром применяются в программировании при написании и разработке различных алгоритмов. Кроме того, их можно встретить при описании физических процессов и явлений.

    Последний тип — выражения высшей степени, которые при помощи математических преобразований превращаются в первый или второй тип. Для их решения необходимо знать формулы сокращенного умножения, понижающие степень до единицы, а также навык раскрытия скобок и приведения подобных компонентов.

    Обыкновенные тождества

    Простое линейное уравнение записывается в таком виде: At+Bt+Ct+As+Bs+Cs=0. Некоторых коэффициентов может и не быть. Кроме того, тождество может записываться в виде выражения, включающего в свой состав скобки. Алгоритм решения имеет следующий вид:

  • Раскрыть скобки.
  • Произвести математические преобразования над компонентами уравнения.
  • Сгруппировать элементы: перенести неизвестные в одну, а известные — в другую сторону.
  • Найти корень или доказать его отсутствие (учитывать и знаменатель при его наличии).
  • Выполнить проверку, подставив решение в исходное равенство.
  • Следует отметить, что также составляются примеры линейных уравнений для тренировки в 7 классе. Необходимо разобрать решение одного из них «7 (t-1)(t+1)-7t (t-1)=8». Решать его нужно по вышеописанному алгоритму:

  • 7 (t 2 −1)-7t 2 +7t=7t 2 −7-7t 2 +7t=8.
  • 7t 2 −7t 2 +7t-7=7t-7=8.
  • 7t=15.
  • t=2,5.
  • 7 (2,5−1)(2,5+1)-7*2,5 (2,5−1)=8. При расчете можно получить следующее тождество, которое является истинным: 8=8.
  • Последний пункт реализации методики свидетельствует о том, что корень тождества найден правильно. Далее нужно рассмотреть выражения с параметром.

    Выражения с параметром

    Уравнения с некоторым параметром решаются немного по другой методике. Ее суть заключается в нахождении корня, дополнительно зависящего от некоторого значения. Алгоритм имеет следующий вид:

  • Записать равенство.
  • Раскрыть скобки и привести подобные элементы к общему виду.
  • Выполнить математические преобразования, при помощи которых следует отделить некоторый параметр от переменной.
  • Записать диапазон значений, при которых неизвестная величина в третьем пункте не превращает уравнение в пустое множество.
  • Записать формулу определения корня.
  • При необходимости подставить значение параметра.
  • Проверить результат.
  • Реализацию методики необходимо рассмотреть на практическом примере «t-2+pt=0», где р — параметр тождества. Решать выражение нужно по такому алгоритму:

  • t-2+pt=0.
  • Опускается, поскольку в выражении нет скобок.
  • (t+pt)=t (1+p)=2.
  • p не должен быть -1: (-inf;-1)U (-1;+inf), где -inf и +inf — минус и плюс бесконечность соответственно.
  • t=2/(1+p).
  • При p=0: t=2.
  • 2−2+0*2=0.
  • Иногда в некоторых задачах нет необходимости подставлять значение параметра. В этом случае следует просто записать формулу корня, указав допустимый интервал (диапазон) последнего. Например, в вышеописанном примере решение записывается следующим образом: t=2/(1+p) {p: (-inf;-1)U (-1;+inf)}. Каждый ученик должен понять основной смысл решения уравнений этого типа — научиться находить область значений параметра, не превращающие выражение в пустое множество.

    Предыдущая

    АлгебраНеполное квадратное уравнение — виды, примеры и способы решения

    Следующая

    АлгебраУравнения с параметром — алгоритмы и примеры решения

    Линейные, квадратные, кубические уравнения | ЕГЭ по математике (профильной)

    Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

    Линейные уравнения

    Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

    Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$, которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

    $5 (5 + 3х) — 10х = 8$

    Раскроем скобки.

    $25 + 15х — 10х = 8$

    Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

    $15х — 10х = 8 — 25$

    Приведем подобные слагаемые.

    $5х = -17$ — это конечный результат преобразований.

    После преобразований к виду $ax = b$, где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$

    $х=-{17}/{5}$

    $х = — 3,4$

    Ответ: $- 3,4$

    Квадратные уравнения

    Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. 2- 5х + 2 = 0$

    Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

    $a + b + c = 0$

    $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

    В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

    Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

    Практика: решай 5 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной)

    Решение линейных уравнений — Подготовка к оценке TSI

    Линейное уравнение — это уравнение, которое содержит переменную вроде « x », а не что-то вроде x 2. Линейные уравнения могут выглядеть как x + 6 = 4, или как 2 a – 3 = 7.

    В общем, чтобы решить уравнение, вы хотите получить переменную саму по себе, отменив любые операции, которые к ней применяются.

    Вот общая стратегия решения линейных уравнений.

    Шаг 1. Удаление дробей или десятичных знаков.
    Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения, удалив скобки и объединив одинаковые члены.
    Шаг 3. Изолируйте переменный член в одной части уравнения.
    Шаг 4. Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.
    Шаг 5. Проверьте свое решение.

    Пример 1 : Найдите x : 3(2 – 5 x ) + 4(6 x ) = 12

    Решение.

    Шаг 1. Очистите дроби или десятичные дроби.

    Этот шаг необязателен для данного уравнения.

    Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения.

    Удалить скобки

    3(2 – 5 x ) + 4(6 x ) = 12

    Применить свойство распределения.

    6 – 15 x + 24 x = 12

    Объединение, как термины

    6 -15 x + 24 x = 12

    Комбинирование X-Terms в левой стороне уравнения.

    6 + 9 x = 12

    Шаг 3. Выделите переменный член в одной части уравнения.

    6 + 9 x = 12

    Вычтите 6 из каждой части уравнения.

    6 + 9 x 6 = 12 –6 9 x = 6

    Шаг 4. Решить каждую часть уравнения путем деления.

    Разделите каждую часть уравнения на 9.

    9 x ÷ 9 = 6 ÷ 9

    Сократите дробь.

    x = 2/3

    Шаг 5. Проверьте свое решение.

    Это остается за вами.

    Example 2 : Solve for y : 0.12( y – 6) + 0.06 y = 0.08 y 0,7

    Раствор.

    Шаг 1. Очистить дроби или десятичные дроби.

    Умножьте каждую часть уравнения на 100.

    100 [0,12 ( Y — 6) + 0,06 Y ] = 100 [0,08 Y 0,7 ]

    СТАВА.

    Распределите 100 на каждый член уравнения.

    100 [0,12( y – 6) ] + 100 [0,06 9

    8 ]0022 = 100 [0,08 Y ] 100 [0,7]

    Упрощайте термины

    12 ( Y — 6) + Y y y y y — 6) + y = y — 6). 70

    Удалите скобки

    12 Y — 72 + 6 Y = 8 Y 70

    Combine, такие как термины 9008

    8 18 40041941

    141

    41941

    141.

    141414141

    1141.

    141414141141. 914 2

    14 2

    14 2 . у 70

    Шаг 3. Выделите переменный член в одной части уравнения.

    Вычтите 8 y из каждой части уравнения.

    18 y – 72 8 y = 8 y 70 8 y 10 y – 72 = 70

    Добавить 72 в каждую часть уравнения.

    10 y – 72 + 72 = 70 + 72 10 y = 2

    Шаг 4. Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.

    Разделите каждую часть уравнения на 10.

    10 y ÷ 10 = 2 ÷ 10 4 Сократите дробь

    у = 1/5 = 0,2

    Шаг 5. Проверьте свое решение.

    Это остается за вами.

    Решение линейных уравнений, которые либо не имеют решения

    Пример 3 : Решите следующее уравнение путем факторизации.

    Решение для x : 2 ( x + 3) — 5 = 5 x — 3 (1 + x ) 666666666666666666666. 6))0015

    Раствор.

    Шаг 1. Очистить дроби или десятичные дроби.

    Этот шаг необязателен для данного уравнения.

    2( x + 3) – 5 = 5 x – 3(1 + x )

    Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения.

    Удалить скобки

    2 x + 6 – 5 = 5 x – 3 – 3 x

    Объединить одинаковые термины

    2 x + 6 – 5 = 5 x – 3 3 x 2 x + 1 = 2 x – 3

    Шаг 3. Изолируйте переменный член в одной части уравнения.

    Вычтите 2 x из каждой части уравнения.

    2 x + 1 – 2 x = 2 x – 3 – 2 x

    1 = – 3

    Поскольку в окончательном уравнении нет переменных членов, а оставшееся уравнение является ложным, то нет решения этому уравнению. Уравнение также называют противоречием .

    Если 9х+10 = 7х, то 4х =

    а. -40/16

    б. 40/64

    с. 20

    д. -20

    Решите уравнение относительно x, затем вычислите 4 x или 4x.

    9x+10=7x

    9x-7x+10 = 7x-7x

    2x+10 = 0

    2x = -10

    x = -5

    Таким образом, 4x равно -5

    20.

    Правильный ответ: д

    а. 27/11

    б. -27/11

    с. 3

    д. -3

    Умножьте на наименьший общий знаменатель, 12, затем найдите x.

    3(3x-1)+2(x+3)=36

    9x-3+2x+6=36

    11x+3=36

    11x=33

    x=3
    Правильный ответ: с

    Решите 2(3-2x) = x-4

    а. 2

    б. -2

    с. 10/3

    д. -10/3

    Удалите круглые скобки с помощью Distributive Property и найдите x.

    2(3-2x) = x — 4

    6-4x = x — 4

    6 — 4x — x = x — x — 4

    6 — 5x = -4

    6 — 6 — 5x = -4 — 6

    -5x = -10

    x = 2
    Правильный ответ: a

    0 из 0 верно.

    Как решать линейные уравнения

     

    Key Terms

     

    o         Linear function

    o         Slope

    o         Intercept

    o         Dependent variable

    o         Independent variable

    o         Linear equation

    Objectives

     

    o         Identify the свойства, графики и символическое представление линейной функции

    o         Определение и решение линейных уравнений

     

    Линейные функции

     

    Линейная функция — это тип функции, которая включает переменную с показателем степени 1 (который обычно не отображается, поскольку, например, x ). В простейшей форме мы можем написать линейную функцию F ( x ) AS

    F ( x ) = MX + B

    , где x B

    , где x B

    .0008 — переменная, а m и b — пока еще не определенные постоянные значения (т. е. числа). Во-первых, давайте посмотрим на несколько графиков f ( x ) для различных значений m . Эти графики наложены на один и тот же график ниже, на котором показано х и f ( х ) = – х .

     

     

    Мы можем сделать несколько простых наблюдений на основе графиков этих функций на приведенном выше графике. Во-первых, обратите внимание, что константа m , по-видимому, увеличивает или уменьшает крутизну графика. По мере увеличения м от 1 до 2 и до 3 линия становится все круче. Во-вторых, обратите внимание, что когда м становится отрицательным (–1), наклон меняется с восходящего (при движении слева направо) на нисходящий. Звоним м наклон линии и определите его численно как разность в вертикальном направлении, деленную на соответствующее расстояние в горизонтальном направлении (иногда это называют «подъем над пробегом»). На приведенной ниже диаграмме показано, как мы можем рассчитать наклон линии. Обратите внимание, что конкретное горизонтальное расстояние, которое вы выберете, не имеет значения (поэтому имеет смысл выбрать значение, которое упрощает расчет), поскольку наклон линии везде одинаков.

     

     

    Наклон линии может варьироваться от 0 (по горизонтали) до положительной или отрицательной бесконечности (по вертикали). (Обратите внимание, однако, что вертикальная линия не проходит тест вертикальной линии и, следовательно, не является функцией.)

    Теперь мы можем попытаться понять, чему соответствует терм b . Давайте нарисуем график, который показывает несколько линейных функций с различными значениями b : f ( x ) = x , F ( x ) = x + 1, F ( x ) = x + 2 и F ( x ) = x — 1.

     

    В каждом случае b соответствует значению f , где функция пересекает вертикальную ось; это точка (0, b ) или, что то же самое, (0, f (0)). Таким образом, мы видим, что b является пересечением функции. Этот перехват обычно называют y -intercept , потому что горизонтальную ось часто называют осью x , а вертикальную ось часто называют осью y . Точно так же линейную функцию обычно записывают как y = m x + b ; здесь y занимает место f ( x ). Переменную y часто называют зависимой переменной , поскольку ее значение зависит от значения x . Аналогично, поскольку значение x может свободно изменяться, x (в данном случае) часто называют независимой переменной . Теперь мы можем видеть, что представляет собой каждая часть линейной функции.

     

     

    Практическая задача: Какая функция g ( t ) соответствует следующему графику?

     

     

    Решение : Как видно из графика, функция г ( t ) является линейным. Таким образом, в этом случае мы можем использовать выражение для линейной функции: g ( t ) = mt + b . Обратите внимание на график, что линия пересекает вертикальную ось в точке 1. Тогда мы знаем, что b = 1. (Если вы не уверены в этом, обратите внимание, что линия пересекает вертикальную ось в точке t = 0, и, таким образом, g (0) = 1. Используйте это, чтобы найти b :

     

    g (0) = 1 = м (0) + b = 0 + b = b

    b = 1

     

    Этот момент полезно отметить.) Затем мы можем определить уклон, глядя на подъем и уклон линии. Обратите внимание, что линия уменьшается по высоте на 1 (и, таким образом, является отрицательной), когда t увеличивается на 2 единицы от вертикальной оси до t = 2. Таким образом, уклон м равен

     

    .

    Теперь мы можем написать уравнение прямой:

    Практическая задача: Нарисуйте график F ( S ) = 3 S — 2,

    444646444464446444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444446н линия на графике, если мы знаем две точки. Глядя на определение функции, мы знаем, что точка пересечения y (т. е. точка пересечения линии с вертикальной осью) равна –2. Таким образом, мы можем провести метку в точке (0, –2). Мы можем найти любую другую точку, используя произвольное значение 9.0007 с ; выберем s = 1 для простоты. В этом случае f (1) = 3(1) – 2 = 3 – 2 = 1; поэтому мы можем отметить еще одну точку в (1, 1). Затем, используя линейку, мы можем провести линию, соединив точки, как показано ниже.

     

     

     

    Линейные уравнения

     

    линейных функций, которые включают только линейное уравнение . Каждое из следующего является примером линейного уравнения:

    3 x — 4 = 2

    –8 Z = 2 — Z

    3 = D

    Мы можем найти решение линейного уравнения (или » уравнение»), применяя алгебраические манипуляции. Учитывая уравнение, подобное любому из приведенных выше примеров, наша цель — найти выражение, которое идентифицирует значение независимой переменной. Давайте проиллюстрируем это первым примером уравнения выше; мы хотим решить для x . Упростим выражение, применив наши правила алгебры и равенства:

     

    3 x  – 4 = 2 Дано

    3 x  – 4 + 4 = 2 + 4 Равенство

    4 + 4 + 7 8 x

    4 3

    4 = 6 Commutativity

    3 x + (4 — 4) = 6 Ассоциативность

    3 x + 0 = 6 обратный

    3 x = 6 Идентичность

    Equality

    Assiation

    Association

    9000 . х = 2 Решение

     

    Приведенная выше последовательность манипуляций является исчерпывающей; по мере того, как вы будете справляться с алгебраическими манипуляциями, вам не нужно будет распознавать каждый шаг, описанный выше. Вы можете более быстро обработать уравнение следующим образом:

    3 x — 4 = 2

    3 x = 6

    x = 2

    . 2 является решением этого уравнения — если мы подставим x = 2 обратно в уравнение, то равенство будет выполнено:

     

    3(2) – 4 = 2

    6 – 4 = 2

    2 = 2

     

    Однако другие значения x не являются решениями и приведут к противоречию. Рассмотрим x = 3:

    3 (3) — 4 = 2

    9 — 4 = 2

    5 = 2

    Очевидно, 5 ≠ 2, x = 3 — это решение уравнения. Вы можете спросить, что такое решение графически; давайте посмотрим на это немного подробнее. Уравнение 3 x – 4 = 2 на самом деле является уравнением, включающим две линейные функции, которые мы могли бы назвать f и g . Таким образом, f ( x ) = 3 x – 4 и g ( x ) = 2. Построим эти функции на одном графике.

     

     

    Обратите внимание, что решением этого уравнения является значение x точки, в которой пересекаются две функции. Таким образом, в дополнение к использованию символического подхода посредством алгебраических манипуляций, мы можем решить линейное уравнение также и с помощью графика (поскольку это визуальный метод, однако точность решения иногда может быть сомнительной).

     

     

    Практическая задача: Решите для q : 3 q + 7 = –4 – q .

     

    Решение: Чтобы найти q , мы должны применить правила алгебраических вычислений, которые мы уже изучили. Вы можете легко выполнять эти манипуляции без исчерпывающего обоснования, приведенного ниже, но эти правила применяются независимо от того, признаются они явным образом или нет.

     

    3 Q + 7 = –4 — Q Указано

    3 Q + 7 + Q = –4 — Q + Q Равенство

    3 Q + Q + 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = –4 + Q Q Commutativity

    4 Q + 7 = –4 + 0 обратный

    4 Q + 7 = –4 Идентичность

    4 Q + 7 — 7 = –4 –4. – 7 Равенство

    4 q + 0 = –11 Обратное

    4 q = -11 Тождество

    (4 q ) = (–11) Equality

    q = Associativity

    1 q = Inverses

    q = Identity

     

    Опять же, вы можете просто сделать следующее:

     

    3 q + 7 = –4 – q

    4 q + 7 = –10 90 49000

    кв =

     

    К настоящему времени вы должны хорошо усвоить правила, позволяющие выполнять эти манипуляции, а следующие упражнения дадут вам дополнительную практику. Однако обычно, когда вы начинаете осваивать алгебру, вы больше полагаетесь на более быстрый подход.

     

     

    Практическая задача: Найдите точку пересечения функций f ( x ) = 3 x и g ( x ) = – x + 2.

     

    Решение: Две функции пересекаются на некоторых x , если значения этих функций на x равны. Таким образом, мы приравниваем к ( x ) и g к ( x ), а затем находим x , как показано ниже.

     

    f ( x ) = г ( x )

    3 x = – 1 x 4 0007 x + x = — x + 2 + x

    4 x = 2

    (4 x ) = (2)

    x = (2)

    x = = = = = = = = = = = = = = = (2)

    ) = (2)

    ) = (2).

     

    Таким образом, две функции пересекаются, когда x = . Мы можем проверить этот результат и найти другую координату точки пересечения путем подстановки:

     

    Точка пересечения составляет (или (0,5, 1,5))

    Линейные уравнения. формы ax+b=0 называются линейными уравнениями относительно переменной x. В этом разделе мы будем заниматься проблемой решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным уравнениям.

      Мы определяем два уравнения как эквивалентные, если они имеют одно и то же множество решений. Следующие две операции над уравнением всегда приводят к новому уравнению, эквивалентному исходному. Этими операциями, иногда называемыми элементарными преобразованиями, являются:

       T.1  Одно и то же выражение, представляющее действительное число, может быть добавлено к обеим частям уравнения.

       T.2 Одно и то же выражение, представляющее ненулевое действительное число, может быть умножено на обе части уравнения.

      Используя эти операции, мы можем преобразовать уравнение, множество решений которого неочевидно, через ряд эквивалентных уравнений в уравнение, имеющее очевидное множество решений.

    Пример 1.   Решить уравнение

      (a) 2x-3=4+x

      Добавьте -x к обеим сторонам, чтобы получить

           -x+2x-3=-x+4+x  (T.1)=-3 4  или   

      Добавьте 3 к обеим сторонам, чтобы получить

           x-3+3=4+3  (T.1)

      или  x=7

       =4 эквивалентно 3+x-4, т.к. что, в свою очередь, эквивалентно x=7, набор решений которого, очевидно, равен {7}, мы знаем, что набор решений (a) равен {7}.

    Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

    Решите похожую задачуВведите свою задачу

    Пример 2.    Решите уравнение

      (b) 1/2x+2/3=5/2x-1 Получите

    2/3 = 5/2x-1/2x-1 (T.1)

    или 2/3 = 2x-1

    Добавить 1 к обеим сторонам, чтобы получить

    1+2/3 = 2x ( T.1)

      или  5/3=2x

      Умножаем обе части на 1/2, чтобы получить 6}.

      Каждое линейное уравнение можно решить так же, как и в приведенных выше примерах. Действительно, давайте рассмотрим общее линейное уравнение

      ax+b=0

      Добавим -b к обеим частям, чтобы получить

      ax=-b

      Умножим обе части на 1/a, чтобы получить

     4 9000 б/а)

      если а а!=0. Таким образом, общее линейное уравнение имеет в качестве решения множество {b/a}, если a!=0. Таким образом, каждое линейное уравнение имеет не более одного решения.

      Следующие два примера представляют собой уравнения, которые сводятся к линейным уравнениям. 92 в обе стороны, чтобы получить

      23+16y=9+30y

       Теперь решим, как в предыдущих примерах.

      23+16y=9+30y

      23-9=30y-16y

      14=14y

      y=1

      решение есть {набор}.

    Давайте посмотрим, как наш пошаговый математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

    Решите похожую задачуВведите свою задачу

    Пример 4.  Решите уравнение

      (c) (2x)/(x-1)=2/(x-1)+1

      Замещающий набор (c) состоит из всех действительных чисел, кроме 1. Предполагая, что x!=1, мы умножаем оба стороны (c) на x-1, чтобы получить

      (d) 2x=2+x-1,x!=1

      Решая уравнение 2x =2+x- 1, мы получаем 1 как единственное решение Поскольку 1 не находится в замене (d), (d) не имеет решения. Кроме того, (c) эквивалентно (d), поэтому (c) не имеет решения.

    6.3  Решение буквенных уравнений

      Уравнение, содержащее более одной переменной или содержащее символы, представляющие константы, такие как a, b и c, может быть решено для одного из символов в терминах остальных символов с помощью применения операции T.1 и T.2 в предыдущем разделе. Студент столкнется с такими проблемами в других курсах.

    Пример 1.   Решите cx-3a=b для x.

      Добавьте 3a с обеих сторон.

      cx=b+3a

      Умножьте обе части на 1/c.

      x=(b+3a)/c

      Последнее уравнение выражает x через другие символы.

    Пример 2.   Решите 3ay-2b=2cy для y.

      Добавьте 2b с обеих сторон.

      3ay=2cy+2b

      Добавьте -2cy к обеим сторонам.

      3ay-2cy=2b

      Вычтите y.

      (3a-2c)y=2b

      Умножить обе части на 1/((3a-2c))

      y=(2b)/(3a-2c)

    Пример 3.   Решить a/x+b/(2x)=c относительно x.

      Умножьте обе стороны на 2x.

      2a+b=2cx

      2cx=2a+b

      Умножить на 1/(2c).

      x=(2a+b)/(2c)

       В заключение этого раздела мы включим еще два примера, подобных тем, с которыми учащийся может столкнуться в других областях.

    Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

    Решите похожую задачуВведите свою задачу

    Пример 4.   Решите A=P(1+rt) относительно r.

      Применить распределительный закон.

      A=P+Prt

      Добавить -P к обеим сторонам.

      A-P=Prt

      Умножьте обе части на 1/(Pt).

      (A-P)/(Pt)=r

    Пример 5.   Решить 1/R=1/r_1+1/r_2 для r_1.

      Добавьте два члена справа.

      1/(R)=(r_2+r_1)/(r_1r_2)

      Умножить на Rr_1r_2.

      r_1r_2=R(r_2+r_1)

      r_1r_2=Rr_2+Rr_1

      Добавить -Rr_1 к обеим сторонам.

      r_1r_2-Rr_1=Rr_2

      Вычтите r_1.

      r_1(r_2-R)=Rr_2

      Умножить на 1/(r_2-R).

      r_1=(Rr_2)/(r_2-R)

    6.4  Решение задач с формулировками

      Одним из фундаментальных приложений алгебры является решение задач, сформулированных словами. Задача-постановка — это словесное описание ситуации, в которой участвуют как известные, так и неизвестные величины. В этом разделе каждая задача будет решена с помощью одного уравнения с одним неизвестным.

      Наша задача состоит в том, чтобы выбрать неизвестное и определить уравнение, которому оно должно удовлетворять. Хотя единого подхода ко всем проблемам не существует, иногда могут оказаться полезными следующие рекомендации:

       1. Внимательно прочитайте задачу, пока не поймете ситуацию полностью.

       2. Определите, какие количества запрашиваются, затем выберите то, которое лучше всего использовать в качестве неизвестного.

       3. Установить связь между неизвестной и другими величинами в задаче.

       4. Найдите информацию, которая говорит, какие две величины равны.

       5. Используйте информацию в (4), чтобы написать уравнение.

       6. Решите уравнение и проверьте решение, чтобы убедиться, что оно удовлетворяет исходной задаче.

      На этом этапе основное внимание будет уделяться переводу задач-постановок в уравнения. Хотя некоторые задачи могут быть решены почти путем проверки, практика, которую мы приобретаем при составлении уравнений, окажется полезной при решении более сложных задач.

    Пример 1.   Если 2 раза прибавить определенное целое число к следующему последовательному целому числу, получится 34. Найдите целые числа.
    Шаг 1. Перечитайте!
    Шаг 2. Пусть x будет первым целым числом.
    Шаг 3. Тогда x+ 1 — следующее последовательное целое число.
    Шаг 4.  2 раза определенное целое число плюс следующее последовательное целое число равно 34.
    Шаг 5.  2x+(x+1)=34

    Шаг 6.  Решить.

      2x+(x+1)=34

      3x+1=34

      3x=33

      x=11

      Проверить. 2*11+(11+1)=34

    Пример 2.   Боб и Джо вместе заработали 60 долларов. Оба получали одинаковую ставку, но Боб работал в три раза дольше, чем Джо. Сколько получил каждый?

    Шаг 1. Перечитайте!

    Шаг 2. Пусть x будет количеством долларов, которые получил Джо.

    Шаг 3. Тогда умножьте на 3 количество долларов, которое получил Боб

    Шаг 4. Боб и Джо вместе заработали 60 долларов.
    Шаг 5. 3x+x=60

    Шаг 6.  Решить.

    3x+x = 60

    4x = 60

    x = 15

    3x = 45

    Проверка 3*15+15 = 60

    Пример 3. Сумма цифров двух цифр — это 12. Если переставить цифры местами, число уменьшится на 36. Что это за число?

    Шаг 1. Перечитайте!

    Шаг 2. Пусть x — цифра десятков.

    Шаг 3. Тогда 12 — x — это цифра единиц.

    Шаг 4. Если цифры поменять местами, то число уменьшается на 36. Решать.

      10(12-x)+x = 10x+ (12-x) -36

      =120-10x+x=10x+12-x-36

      =120-9x=4=9x-24

    18x

      =x=8

      =12-x=4

      Поэтому число 84.

      Проверьте. 84-36=48

    Пример 4.    Сколько фунтов конфет стоимостью 48 центов за фунт нужно добавить к 50 фунтам конфет стоимостью 80 центов за фунт, чтобы владелец магазина мог продавать конфеты по 60 центов за фунт ?
    Шаг 1. Перечитайте!
    Шаг 2. Пусть x будет количеством фунтов конфет по 48 центов за фунт.
    Шаг 3. Тогда 50+x будет фунтами конфет, которые он получит по 60 центов за фунт.
    Шаг 4. Количество конфет по 48 центов за фунт, умноженное на 48 центов, плюс количество конфет по 80 центов за фунт, умноженное на 80 центов, должно равняться количеству конфет по 60 центов за фунт, умноженному на 60 центов.
    Шаг 5. (48 центов/фунт)(x фунтов) + (80 центов/фунт) (50 фунтов) = (60 центов/фунт) [(50+x)фунт]

    Шаг 6.  Решить.

    48x+80*50 = 60 (50+x)

    48x+4000 = 3000+60x

    1000 = 12x

    x = (83 (1)/3) LBS

    Проверка. (83+1/3)48+80*50=60(50+83+1/3)

      Задачи, связанные со скоростями (или скоростями), будут использовать формулу

      d=rt

      где d — пройденное расстояние, r — скорость, t — время. При использовании формулы d и r должны быть выражены в одних и тех же единицах расстояния, а r и t должны быть выражены в одних и тех же единицах времени.

    Пример 5.   Группа студентов поехала на озеро в северном лесу ловить рыбу. Они преодолели 380 миль за 7 часов, из них 4 часа по асфальтированной дороге, а остальное время по грунтовой дороге. Если средняя скорость по грунтовой дороге была на 25 миль в час меньше средней скорости по шоссе, то найти для каждого участка пути среднюю скорость и пройденное расстояние.

    Шаг 1 . Перечитай!

    Шаг 2. Пусть x будет скоростью на грунтовой дороге.

    Шаг 3. Тогда х+25 — это скорость на шоссе.

    Шаг 4. Расстояние, пройденное по шоссе, плюс расстояние, пройденное по грунтовой дороге, равно 380 милям. Шаг 5

    Шаг 6.  Решить.

      (x+25)4+3x=380

      4x+100+3x=380

      7x=280

      x=40 миль в час

      x+25=65 миль в час

      Проверить. (40+25)4+40*3=380

       Рабочие задачи, связанные со скоростью выполнения, часто можно решить, сначала найдя дробную часть задачи, выполняемой каждым человеком или машиной за одну единицу времени, а затем найдя уравнение, которое связывает эти различные дробные части.

    Пример 6.   Мальчик может подстричь газон за 4 часа, а отец за 3 часа. Сколько времени им понадобится, чтобы подстричь один и тот же газон, работая вместе?

    Шаг 1. Перечитайте!

    Шаг 2. Пусть x будет количеством часов, которые им потребуется, чтобы подстричь газон Работая вместе.

    Шаг 3 . Выберите один час в качестве нашей единицы времени. Теперь мальчик может скосить 1/4 газона за один час, отец может скосить 1/3 газона за один час, а вместе они могут скосить 1/x газона за один час.


    Шаг 4. Сумма, срезанная мальчиком за один час, плюс сумма, срезанная отцом за один час, равна количеству, которое они вместе могут срезать за один час.

    Шаг 5. 1/3+1/4=1/x

    Шаг 6.  Решить.

      1/3+1/4=1/x

      7/12=1/x

      x=12/7 часов

    Как решать линейные алгебраические уравнения

    Сегодня мы научимся решать линейные алгебраические уравнения, такие как 3y + 3 = 18 или 5x — 4 = 16 . Если эти уравнения вызывают у вас легкую тошноту, не бойтесь! Я собираюсь разбить процесс на пять простых шагов.

    Прежде чем мы начнем, нам нужно поговорить о балансе. Один мудрый человек однажды сказал, что секрет жизни в равновесии. Хотите верьте, хотите нет, но это также секрет решения алгебраических уравнений!

    Давайте посмотрим на числовое предложение: 3 + 5 = 4 + 4

    Подумайте о том, что говорит нам знак равенства: он означает, что сумма 3 + 5 равна 4 + 4 . Если мы решим каждую сторону отдельно, мы увидим, что это правда.

    3 + 5 = 8

    4 + 4 = 8

    Мы можем представить себе каждую сторону знака равенства как сторону идеально сбалансированной шкалы, например:

    Что тогда происходит, если я добавить 2 слева? Выражение больше не имело бы смысла, потому что 3 + 5 + 2 делает , а не равным 4 + 4 !

    2 + 3 + 5 = 10

    4 + 4 = 8

    10 ≠ 8

    Это подводит нас к одному из самых фундаментальных правил алгебры. Какую бы операцию вы ни проделали с одной стороной знака равенства, вы должны проделать и с другой! Подумайте об этом, используя аналогию с масштабом. Если я добавляю или вычитаю что-то с одной стороны шкалы, я должен сделать то же самое с другой стороной.

    Мы готовы перейти к нашим пяти шагам!

     

    Шаг 1. Что я ищу?

    Все алгебраические уравнения требуют решения для переменной. Переменная — это буква, которая заменяет значение. В алгебраическом выражении, таком как 3x + 3 , переменная может иметь много разных значений. Мы можем просто заменить x другими значениями. Например, когда x = 1 , значение выражения будет 3 (1) + 3 = 6 . Когда x = 2 , значение выражения будет 3 (2) +3 = 8 и так далее.

    Что делает линейные алгебраические уравнения захватывающими, так это то, что, если они не содержат абсолютных значений, существует только одно значение переменной, которое может сделать это уравнение верным . Итак, когда вы видите фразу «решить для x», она на самом деле спрашивает: «Каким числом должно быть x, чтобы это уравнение было верным?» Если использовать нашу аналогию со шкалой: какой должна быть переменная, чтобы сделать шкалу сбалансированной?

    Важно определить, что вы решаете, потому что вам нужно получить только эту переменную. Ваш окончательный ответ будет выглядеть примерно так: x = некоторое число .

    ПОЛЕЗНЫЙ СОВЕТ: помните, что переменная может быть ЛЮБОЙ буквой, она не обязательно должна быть x.

    Например, если вы столкнулись с задачей, которая гласит: « Решите для y: 3y + 3 = 18 », ваш окончательный ответ должен выглядеть как « y = __ ».

    Аналогичным образом, если вы столкнулись с проблемой, которая говорит « Решите для x: 5x — 4 = 16 », тогда ваш окончательный ответ должен выглядеть как « x = __ ».

     

    Шаг 2.

    Определите похожие термины.

    Если мы хотим получить нашу переменную одну по одну сторону от знака равенства, нам нужно получить все остальные числа, которые не привязаны к переменной, называемые константами , вместе по другую сторону знака равенства. Для этого нам нужно идентифицировать подобные термины . Подобный терм — это терм, который имеет ту же переменную и тот же коэффициент. Например, x 2 и 2x 2 являются подобными терминами, а 8 и 45 являются подобными терминами.

    Помните, что коэффициент или число перед переменной не имеет значения. Кроме того, не имеет значения, является ли термин положительным или отрицательным, чтобы два термина были одинаковыми. Например, -4 и 64 по-прежнему являются терминами.

    Взгляните на числа ниже. Можете ли вы обвести похожие термины?

    3       4 года 3      5       ½ x         14x 2         18         -5

    Если вы сказали, что 3, 5, 18 и -5 подобны терминам, то вы правы.

    Если мы посмотрим на наши примеры задач, мы сможем определить похожие термины.

    3y + 3 = 18

    3 и 18 подобны термам

            5x — 4 = 16        

    -4 и 16 подобны термам.

    ПОЛЕЗНЫЙ СОВЕТ. Иногда бывает полезно обвести термины кружком или выделить их цветом, чтобы вы могли легко увидеть, что вам нужно объединить.

     

    Шаг 3. Объедините одинаковые термины, используя обратные операции.

    Наш следующий шаг — переместить наши константы вместе с одной стороны знака равенства и оставить наши члены с переменной с другой стороны.

    Как я могу перемещать члены в своем уравнении? Секрет в использовании обратных операций. В математике у каждой операции есть обратная операция. Это то, как вы «отменяете» операцию. Например, если я хочу «отменить» добавление 2, я вычитаю 2. Если я хочу «отменить» деление числа на 2, я умножаю число на 2.

    Давайте получим 3 года только в этом примере: 3 года + 3 = 18 .

    Я вычитаю 3 из левой части, потому что обратная операция прибавления 3 — это вычитание 3. Думайте об этом как об «отмене» операции. Так как я вычел 3 из левой части, я должен сделать ТОЧНО ЖЕ ТО ЖЕ ДЕЛО с правой стороной.

    Рассмотрим другой пример: 5x — 4 = 16         

    Вычитанию четырех соответствует прибавление четырех. Итак, я добавляю четыре к обеим сторонам.

     

    Шаг 4. Получите переменную отдельно, разделив ее на коэффициент.

    Сейчас у нас есть 3y = 15 и 5x = 20 . Что нам еще нужно сделать, чтобы получить переменную саму по себе? Если вы ответили «избавиться от коэффициента», то вы совершенно правы.

    Важно помнить, что коэффициенты — это просто переменная, умноженная на константу. Например, другой способ записи 5x равно 5x . Точно так же 3 года — это то же самое, что 3 раза по . Следовательно, чтобы избавиться от коэффициента числа, нам достаточно выполнить обратную операцию . Что такое операция, обратная умножению? Правильно, дивизия!

    Посмотрите, как это работает в наших примерах задач ниже:


         

     

    Шаг 5. Проверьте свои ответы.

    У нас есть ответы! Мы точно знаем, какое значение должна иметь наша переменная, чтобы каждое уравнение имело смысл. Но великие математики всегда проверяют свою работу.

    Проверить линейные уравнения довольно просто: нам просто нужно подставить наш ответ вместо переменной и посмотреть, имеет ли уравнение смысл (то есть посмотреть, сбалансированы ли стороны шкалы).

    Давайте рассмотрим нашу первую задачу: мы обнаружили, что для уравнения 5x — 4 = 16 x должно равняться 4. Подставляем вместо x 4 и решаем каждую часть в соответствии с PEMDAS.

    5(4) — 4 = 16

    20 — 4 = 16

    16 = 16

    Поскольку каждая часть уравнения имеет одинаковое значение, мы знаем, что мы правы!

    Попробуйте самостоятельно проверить второе уравнение: мы нашли, что для уравнения 3y + 3 = 18 , y = 5. 18

    Опять получилось! Теперь мы можем с уверенностью сдать домашнее задание или тест, зная, что нашли правильный ответ.

    Поначалу решать линейные алгебраические уравнения сложно, но при достаточной практике вы быстро справитесь с этим! Как только вы освоитесь с этими типами задач, ознакомьтесь с моей следующей записью в блоге «Решение линейных уравнений с переменными с обеих сторон». Увидимся там!

    Математика — от математики в начальной школе до математики в старших классах — является одним из наших наиболее часто запрашиваемых предметов. Преподавать математику, как известно, сложно, и у нас есть штат математиков, приверженных искусству преподавания. Не существует курса или стандартизированного теста, по которым у нас не было бы большого опыта преподавания. Мы работаем со студентами, которые ненавидят математику, и студентами, которые ее любят, студентами, которые не занимались математикой десять лет, и студентами, которые решают математические задачи каждый день.

    Нужна поддержка средней школы? Ознакомьтесь с другими нашими сообщениями в блоге ниже!

     

    Линейные уравнения — определение, формула, график, примеры

    Линейное уравнение — это уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1. Оно также известно как уравнение одной степени. Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид Ax + B = 0. Здесь x — переменная, A — коэффициент, B — постоянная. Стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид Ax + By = C. Здесь x и y — переменные, A и B — коэффициенты, а C — константа.

    1. Что такое линейное уравнение?
    2. Формула линейного уравнения
    3. График линейных уравнений
    4. Часто задаваемые вопросы о линейных уравнениях

    Что такое линейное уравнение?

    Уравнение, имеющее наивысшую степень 1, называется линейным уравнением. Это означает, что ни одна переменная в линейном уравнении не имеет показатель степени больше 1. График линейного уравнения всегда образует прямую линию.

    Линейное уравнение Определение: Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, где каждый член имеет показатель степени 1, и когда это уравнение изображается на графике, оно всегда приводит к прямой линии. Вот почему оно называется «линейным уравнением».

    Существуют линейные уравнения с одной переменной и линейные уравнения с двумя переменными. Давайте научимся определять линейные уравнения и нелинейные уравнения с помощью следующих примеров.

    Уравнения Линейный или нелинейный
    у = 8х — 9 Линейный
    у = х 2 — 7 Нелинейный, степень переменной x равна 2
    √у + х = 6 Нелинейный, степень переменной y равна 1/2
    у + 3х — 1 = 0 Линейный
    у 2 — х = 9 Нелинейный, степень переменной y равна 2

    Формула линейного уравнения

    Формула линейного уравнения — это способ выражения линейного уравнения. Это можно сделать разными способами. Например, линейное уравнение может быть выражено в стандартной форме, в форме точки пересечения или в форме точка-наклон. Теперь, если мы возьмем стандартную форму линейного уравнения, давайте узнаем, как оно выражается. Мы видим, что оно варьируется от случая к случаю в зависимости от количества переменных, и следует помнить, что наивысшая (и единственная) степень всех переменных в уравнении должна быть 1.

    Линейные уравнения в стандартной форме

    Стандартная форма или общая форма линейных уравнений с одной переменной записывается как Ax + B = 0; , где A и B — действительные числа, а x — единственная переменная. Стандартная форма линейных уравнений с двумя переменными выражается как Ax + By = C; , где A, B и C — любые действительные числа, а x и y — переменные.

    График линейных уравнений

    График линейного уравнения с одной переменной x образует вертикальную линию, параллельную оси y, и наоборот, тогда как график линейного уравнения с двумя переменными x и y образует прямую линию. Построим график линейного уравнения с двумя переменными с помощью следующего примера.

    Пример: Постройте график линейного уравнения с двумя переменными, x — 2y = 2.

    Построим график линейного уравнения, выполнив следующие шаги.

    • Шаг 1: Данное линейное уравнение имеет вид x — 2y = 2.
    • Шаг 2: Преобразуйте уравнение в форму y = mx + b. Это даст: y = x/2 — 1,
    • Шаг 3: Теперь мы можем заменить значение x на другие числа и получить результирующее значение y для создания координат.
    • Шаг 4: Когда мы подставляем x = 0 в уравнение, мы получаем y = 0/2 — 1, т. е. y = -1. Точно так же, если мы подставим значение x вместо 2 в уравнение y = x/2 — 1, мы получим y = 0,
    • .
    • Шаг 5: Если мы заменим значение x на 4, мы получим y = 1. Значение x = -2 дает значение y = -2. Теперь эти пары значений (x, y) удовлетворяют заданному линейному уравнению y = x/2 — 1. Поэтому мы перечисляем координаты, как показано в следующей таблице.
    х 0 2 4 -2
    и -1 0 1 -2
    • Шаг 6: Наконец, мы наносим эти точки (4,1), (2,0), (0,-1) и (-2,-2) на график и соединяем точки в получить прямую линию. Так линейное уравнение изображается на графике.

    Линейные уравнения с одной переменной

    Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором присутствует только одна переменная. Оно имеет форму Ax + B = 0, где A и B — любые два действительных числа, а x — неизвестная переменная, имеющая только одно решение. Это самый простой способ представить математическое утверждение. Это уравнение имеет степень, которая всегда равна 1. Линейное уравнение с одной переменной решается очень просто. Переменные разделяются и подводятся к одной стороне уравнения, а константы объединяются и подводятся к другой стороне уравнения, чтобы получить значение неизвестной переменной.

    Пример: Решить линейное уравнение с одной переменной: 3x + 6 = 18.

    Чтобы решить данное уравнение, подносим числа в правую часть уравнения и сохраняем переменную в левая сторона. Это означает, что 3x = 18 — 6. Затем, когда мы решим для x, мы получим 3x = 12. Наконец, значение x = 12/3 = 4.

    Линейные уравнения с двумя переменными

    Линейное уравнение в Две переменные имеют вид Ax + By + C = 0, где A, B, C — действительные числа, а x и y — две переменные, каждая из которых имеет степень 1. Если мы рассмотрим два таких линейных уравнения, они называются одновременными линейными уравнениями. Например, 6х + 2у + 9= 0 — линейное уравнение с двумя переменными. Существуют различные способы решения линейных уравнений с двумя переменными, такие как графический метод, метод подстановки, метод перекрестного умножения, метод исключения и метод определителя.

    Как решать линейные уравнения?

    Уравнение похоже на весы с одинаковыми весами с обеих сторон. Если мы прибавим или вычтем одно и то же число из обеих частей уравнения, оно останется верным. Точно так же, если мы умножаем или делим одно и то же число в обеих частях уравнения, это правильно. Мы подносим переменные к одной стороне уравнения, а константу к другой стороне, а затем находим значение неизвестной переменной. Это способ решения линейного уравнения с одной переменной. Давайте разберемся в этом с помощью примера.

    Пример: Решите уравнение, 3x — 2 = 4.

    Выполняем математические операции с левой (левой) и правой (правой) частями так, чтобы равновесие не нарушалось. Итак, давайте добавим 2 с обеих сторон, чтобы уменьшить LHS до 3x. Это не нарушит баланс. Новая левая сторона равна 3x — 2 + 2 = 3x, а новая правая сторона равна 4 + 2 = 6. Теперь давайте разделим обе части на 3, чтобы уменьшить левую часть до x. Таким образом, мы имеем х = 2 . Это один из способов решения линейных уравнений с одной переменной.

    Советы по линейным уравнениям:

    • Значение переменной, которая делает линейное уравнение верным, называется решением или корнем линейного уравнения.
    • На решение линейного уравнения не влияет сложение, вычитание, умножение или деление одного и того же числа на обе части уравнения.
    • График линейного уравнения с одной или двумя переменными всегда образует прямую линию.

    ☛ Статьи по теме:

    • Решения линейного уравнения
    • Введение в графику
    • Линейный полином
    • Калькулятор решения линейных уравнений

     

    Примеры линейных уравнений

    1. Пример 1: Сумма двух чисел равна 44. Если одно число на 10 больше другого, найдите числа, составив линейное уравнение.

      Решение:

      Пусть число равно x, значит, другое число равно x + 10. Мы знаем, что сумма обоих чисел равна 44. Следовательно, линейное уравнение можно представить в виде x + x + 10. = 44. В результате получается 2x + 10 = 44. Теперь давайте решим уравнение, изолируя переменную с одной стороны и вводя константы с другой стороны. Это означает, что 2x = 44 — 10. Упрощая RHS, мы получаем 2x = 34, поэтому значение x равно 17. Это означает, что одно число равно 17, а другое число равно 17 + 10 = 27,

      Ответ:  Следовательно, эти два числа — 17 и 27.

    2. Пример 2: Число, умноженное на шесть, равно 48. Составьте линейное уравнение и найдите неизвестное число.

      Решение: Пусть неизвестное число равно x. Шесть раз это число равно 48, значит 6x = 48. Итак, это линейное уравнение можно решить, чтобы найти значение x, которое является неизвестным числом. 6x = 48 означает, что x = 48/6 = 8.

      Ответ: Следовательно, неизвестное число равно 8.

    3. Пример 3: Решите заданное линейное уравнение: 5x — 95 = 75.

      Решение: Данное уравнение — 5x — 95 = 75.

      ⇒ 5x = 75 +

      ⇒ 5x = 170

      ⇒ x = 34

      Ответ: Следовательно, значение x равно 34.

    перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

    Есть вопросы по основным математическим понятиям?

    Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за математикой, с нашими экспертами Cuemath.

    Часто задаваемые вопросы о линейном уравнении

    Что такое линейное уравнение? Объясните на примере.

    Линейное уравнение — это уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1. Оно также известно как уравнение одной степени. Когда это уравнение изображается на графике, оно всегда приводит к прямой линии. По этой причине его называют «линейным уравнением». Существуют линейные уравнения с одной переменной, с двумя переменными, с тремя переменными и так далее. Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид Ax + B = 0. Уравнение вида Ax + By = C называется линейным уравнением с двумя переменными. Вот несколько примеров линейных уравнений: 5x + 6 = 1, 42x + 32y = 60, 7x = 84 и т. д.

    Что такое формула линейного уравнения?

    Формула линейного уравнения — это способ выражения линейного уравнения. Это может быть выражено в стандартной форме, в форме пересечения наклона или в форме точка-наклон. Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид Ax + B = 0. Здесь x — переменная, A — коэффициент при x, а B — константа. Стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид Ax + By = C. Здесь x и y — переменные, а A, B и C — любые действительные числа.

    Почему линейное уравнение называют линейным?

    Линейное уравнение называется линейным, потому что, когда мы пытаемся построить график данной линейной функции, получается прямая линия.

    Как вы решаете линейные уравнения?

    Мы можем решить линейное уравнение с одной переменной, переместив переменные в одну часть уравнения, а числовую часть — в другую. Например, x — 1 = 5 — 2x можно решить, переместив числовые части в правую часть уравнения, оставив переменные в левой части. Следовательно, мы получаем x + 2x = 5 + 1. Таким образом, 3x = 6. Это дает x = 2,

    Могут ли линейные уравнения содержать дроби?

    Да, линейные уравнения могут иметь дроби только до тех пор, пока знаменатель в дробной части является постоянной величиной. Переменные не могут быть частью знаменателя любой дроби в линейном уравнении.

    Что такое линейные уравнения с одной переменной?

    Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором присутствует только одна переменная. Оно имеет форму Ax + B = 0, где A и B — любые два действительных числа, а x — неизвестная переменная, имеющая только одно решение. Например, 9x + 78 = 18 — линейное уравнение с одной переменной.

    Что такое линейные уравнения с двумя переменными?

    Линейное уравнение с двумя переменными имеет форму Ax + By + C = 0, где A и B — коэффициенты, C — постоянный член, а x и y — две переменные, каждая со степенью 1 Например, 7x + 9y + 4 = 0 — это линейное уравнение с двумя переменными. Если мы рассмотрим два таких линейных уравнения, они называются одновременными линейными уравнениями.

    Чем квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений?

    Линейные уравнения не имеют степени, отличной от 1, в любом члене. Общая форма линейного уравнения выражается как Ax + By + C = 0, где A, B и C — любые действительные числа, а x и y — переменные. Принимая во внимание, что квадратные уравнения имеют по крайней мере один член, содержащий переменную, которая возведена во вторую степень. Общая форма квадратного уравнения выражается как ax 2 + bx + c = 0. Другое различие между двумя типами уравнений заключается в том, что линейное уравнение образует прямую линию, тогда как квадратное уравнение образует на графике параболу.

    Как строить графики линейных уравнений?

    Когда мы рисуем линейные уравнения, они образуют прямую линию. Чтобы построить график уравнения формы Ax + By = C, мы получаем два решения, которые соответствуют точкам пересечения x и y. Преобразуем уравнение к форме y = mx + b. Затем мы заменяем значение x другими числами и получаем значение y, которое создает набор координат (x, y). Эти координаты можно нанести на график, а затем соединить линией.

    Как решать линейные уравнения с дробями?

    Линейные уравнения с дробями решаются так же, как мы решаем обычные уравнения. Нам нужно ввести переменную с одной стороны и константы с другой стороны и найти переменную. Например, давайте решим уравнение (2a/3) — 10 = 12.

    • Шаг 1: Здесь мы приведем константы в правой части, то есть (2a/3) = 12 + 10.
    • Шаг 2: Теперь у нас есть (2a/3) = 22. Далее это можно записать как 2a = 22 × 3,9.2240
    • Шаг 3: Следовательно, значение a = 66/2 = 33.

    Загрузить БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

    Рабочий лист линейных уравнений

    Как решать линейные уравнения (видео)

    СтенограммаFAQsPractice

    Привет и добро пожаловать на это видео о линейных уравнениях! В этом видео мы рассмотрим:

    • Что такое линейные уравнения, и
    • Как решить для разных переменных линейное уравнение

    Что такое линейное уравнение? Ну, если вы посмотрите на слово linear вы можете найти слово line , поэтому линейное уравнение — это уравнение для прямой. Линейные уравнения имеют две переменных , чаще всего \(x\) и \(y\), которые находятся в одной степени, что означает, что они не имеют переменных для степеней или корней. Уравнение \(y = 9x + 5\) является примером линейного уравнения.

    Давайте посмотрим на некоторые уравнения и определим, являются ли они линейными. По мере того, как будет показано каждое уравнение, я хочу, чтобы вы решили, является ли оно линейным или нет.

    92 + 2\)

     

    Нет, это не линейное уравнение, потому что переменная \(x\) возведена в квадрат.

    \(y = 4x + 1\)

     

    Да, это линейное уравнение. Есть две переменные, и обе они одной степени.

    \(y + 3y = 7\)

     

    Да, несмотря на то, что это уравнение выглядит немного иначе, чем другие наши, оно все же является линейным уравнением, потому что есть две переменные, и ни одна из них не имеет root или возведен в степень.

    \(x = \sqrt{y}-4\)

     

    Нет, это не линейное уравнение из-за квадратного корня.

    Линейные уравнения чаще всего встречаются в форме «\(y=\)», потому что это самый простой способ построить график на основе уравнения. Это называется формой пересечения наклона. Тем не менее, вполне допустимо иметь уравнение с переменной \(x\) или с переменными \(x\)– и \(y\) в левой части уравнения.

    Давайте посмотрим на уравнение, в котором переменная \(x\) находится в левой части, и перестроим его так, чтобы оно представляло собой пересечение наклона.

    \(x = 2y-7\)

     

    Когда мы ищем форму пересечения наклона, мы хотим получить переменную \(y\) саму по себе в левой части уравнения. Для этого нам сначала нужно добавить 7 к обеим сторонам.

    \(x + 7 = 2y\)

     

    Затем мы делим на 2, чтобы получить \(y\) само по себе.

    \(\frac{x+7}{2} = y\)

     

    Помните, что деление на 2 равносильно умножению на \(\frac{1}{2}\), так что другой способ запишите это уравнение:

    \(\frac{1}{2}x + \frac{7}{2} = y\)

     

    Все, что осталось, это перевернуть наше уравнение так, чтобы \( у\) находится в левой части уравнения.

    \(y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\)

     

    Теперь у нас есть уравнение в форме пересечения наклона!

    Давайте рассмотрим еще одно уравнение, но на этот раз мы будем решать относительно \(x\).

    \(6y – 3x = 12\)

     

    Наш первый шаг, чтобы получить нашу переменную \(x\) саму по себе в левой части, это вычесть \(6y\) из обеих частей уравнения .

    \(-3x = 12 – 6y\)

     

    Затем делим все уравнение, то есть обе части правой части уравнения, на -3.

    \(х = -4 + 2у\)

     

    Технически это правильно, но лучший способ написать такое уравнение — поставить переменную перед числом, поэтому мы перестроим его так, чтобы оно выглядело следующим образом.

    \(x = 2y – 4\)

     

    Помните, что другой способ не был неправильным, но это более правильный способ записи нашего уравнения.

    Надеюсь, этот обзор линейных уравнений был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

    Часто задаваемые вопросы

    Q

    Как вы решаете линейные уравнения?

    A

    Решите линейные уравнения, используя обратный порядок операций, и используйте противоположные операции с обеих сторон уравнения, чтобы отменить операции, пока переменная не будет изолирована. Порядок действий следующий: скобки, возведения в степень, умножение и деление слева направо, сложение и вычитание слева направо. Чтобы изолировать переменную, выполните этот процесс в обратном порядке, начиная со сложения и вычитания и заканчивая круглыми скобками.
    Пример. 2(4x + 10) = -12
    Разделите на 2 с обеих сторон.
    4x + 10 = -6
    Вычтите 10 с обеих сторон.
    4x = -16
    Разделить на 4 с обеих сторон.
    x = -4

    Q

    Как построить график линейных уравнений?

    A

    Графики линейных уравнений обычно выполняются путем построения точки, указанной в уравнении, построения второй точки с использованием наклона и проведения прямой линии через две точки. У каждой формы уравнения будет своя начальная точка. Наклон увеличивается по сравнению с пробегом, поэтому, чтобы найти вторую точку, переместите вверх (или вниз, если есть отрицательное значение) количество в числителе и вправо число в знаменателе.

    Пример. Точка-наклон: (y – 3) = 4(x – 7)
    Нанесите первую точку из уравнения: (3, 7)

    Нарисуйте вторую точку, найденную с использованием наклона: (4, 11) – наклон равен 4 или 4/1, поэтому переместитесь на 4 вверх и на 1 вправо.

    Проведите линию через две точки ): (0, 3)

    Нанесите на график вторую точку, найденную с помощью наклона: (1, -3) — наклон равен -6 или -6/1, поэтому сдвиньте вниз 6 и вправо 1.

    Проведите прямую через две точки

    Q

    Как решать линейные уравнения с дробями?

    A

    Решите линейные уравнения с дробью, умноженной на переменную, путем умножения обеих частей на обратную дробь. Это делает число перед переменной равным 1, поэтому дробь исчезает.
    пр. Найдите x: \(\frac{2}{3}x-7=29\)
    Сначала прибавьте 7 к обеим частям.
    \(\frac{2}{3}x=36\)
    Затем умножьте на обратную дробь (\(\frac{3}{2}\)).
    \((\frac{3}{2})(\frac{2}{3})x=36(\frac{3}{2})\)
    \(x=54\)

    Практические вопросы

    Вопрос №1:

     
    Что такое \(-3x+2y=12\) в форме пересечения наклона?

    \(y=-\frac{2}{3}x+6\)

    \(y=\frac{2}{3}x+6\)

    \(y=-\frac{3 {2}x+6\)

    \(y=\frac{3}{2}x+6\)

    Показать ответ

    Ответ:

    Форма пересечения наклона возникает, когда уравнение выглядит как \(y=mx+b\), где наклон и 93-6\)

    Показать ответ

    Ответ:

    Поскольку определение линейного уравнения представляет собой уравнение прямой, в котором x -член и y -член возведены в один градус, уравнение \(y=\frac{1}{2}x+5\) является единственным уравнением, удовлетворяющим этому требованию. Следовательно, это линейное уравнение.

    Скрыть ответ

    Вопрос № 3:

     
    Что показывает \(x=-\frac{1}{3}y-3\) в форме пересечения наклона?

    \(y=-\frac{1}{3}x-6\)

    \(y=-\frac{1}{3}x+6\)

    \(y=-3x-9\ )

    \(y=-3x+9\)

    Показать ответ

    Ответ:

    Форма уравнения с пересечением наклона представляет собой уравнение в терминах y . Будем решать уравнение до тех пор, пока y не будут изолированы с одной стороны.
    \(x=-\frac{1}{3}y-3\)
    \(x+3=-\frac{1}{3}y\)
    \(-3(x+3=-\ frac{1}{3}y)\)
    \(-3x-9=y\)
    \(y=-3x-9\)

    Скрыть ответ

    Вопрос № 4:

     
    Чему равно \(5x–4y=20\) относительно x ?

    \(x=-\frac{4}{5}y+4\)

    \(x=\frac{4}{5}y+4\)

    \(x=-\frac{5 {4}y+4\)

    \(x=\frac{5}{4}y+4\)

    Показать ответ

    Ответ:

    Составить уравнение в терминах x означает, что мы решаем уравнение, чтобы x были изолированы с одной стороны.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.