Как сокращать дроби с буквами и степенями 9 класс: Сокращение алгебраических дробей — урок. Алгебра, 8 класс.

Сокращение дробей. Что значит сократить дробь

Сокращение дробей. Что значит сократить дробь

Вот и добрались до сокращения. Применяется здесь основное свойство дроби. НО! Не всё так просто. Со многими дробями (в том числе из школьного курса) вполне можно им обойтись. А если взять дроби «покруче»? Разберём подробнее! Рекомендую посмотреть материалов с дробями.

Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится. Рассмотрим три подхода:

Подход первый.

Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:

Сократим:

В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:

Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.

Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:

— если число чётное то оно делится на 2.

— если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.

— если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.

— если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.

Второй подход.

Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):

Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.

Формально принцип сокращения можно записать так:

Подход третий.

Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!

Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:

Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:

А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:

Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:

Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:

Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:

Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:

Следующий пример. Сократим 88179/2717.

Делим, получим:

Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:

Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):

Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95

*В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:

Теперь записываем исходное число:

И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.

Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:

Две четвёртых.

Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:

Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.

Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.

Вывод:

Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.

Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.

Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.

*Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.

И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.

C уважением, Александр Крутицких.

Дети в школе учат правила сокращения дробей в 6 классе. В этой статье мы сначала расскажем вам о том, что же означает это действие, затем разъясним, как сократимую дробь перевести в несократимую. Следующим пунктом будут правила сокращения дробей, а затем уже постепенно подберемся к примерам.

Что значит «сократить дробь «?

Итак, все мы знаем, что обычные дроби делятся на две группы: сократимые и несократимые. Уже по названиям можно понять, что те, что сократимые — сокращаются, а те, которые несократимые — не сокращаются.

• Сократить дробь — это значит разделить ее знаменатель и числитель на их (отличный от единицы) положительный делитель. В результате, конечно, выходит новая дробь с меньшим знаменателем и числителем. Полученная дробь будет равна исходной дроби.

Стоит отметить, что в книгах по математике с заданием «сократите дробь » это значит, что нужно исходную дробь привести именно к этому несократимому виду.

Если говорить простыми словами, то деление знаменателя и числителя на их наибольший общий делитель и есть сокращение.

Как сократить дробь. Правила сокращения дробей (6 класс)

Итак, здесь всего два правила.

1. Первое правило сокращения дробей: сначала нужно будет найти наибольший общий делитель знаменателя и числителя вашей дроби.
2. Второе правило: делить знаменатель и числитель на наибольший общий делитель, в конечном итоге получить несократимую дробь.

Как сократить неправильную дробь?

Правила сокращения дробей идентичны правилам сокращения неправильных дробей.

Для того чтобы сократить неправильную дробь, для начала нужно будет расписать на простые множители знаменатель и числитель, а уже потом общие множители сокращать.

Сокращение смешанных дробей

Правила сокращения дробей также распространяется на сокращение смешанных дробей. Есть лишь небольшая разница: целую часть мы можем не трогать, а дробную сократить или смешанную дробь перевести в неправильную, затем сократить и опять перевести в правильную дробь.

Сократить смешанные дроби можно двумя способами.

Первый: расписать дробную часть на простые множители и целую часть тогда не трогать.

Второй способ: перевести сначала в неправильную дробь, расписать на обычные множители, потом сократить дробь. Уже полученную неправильную дробь перевести в правильную.

Примеры можно увидеть на фото выше.

Мы очень надеемся, что смогли помочь вам и вашим детям. Ведь на уроках они очень часто бывают невнимательными, поэтому приходится заниматься интенсивнее на дому самостоятельно.

Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики . Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.

Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:

Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?

Неправильное решение.

Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:

Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:

Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.

Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.

Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:

Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!

Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.

Работа с пропорциями

Еще одно проблемное место — пропорции . Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:

Задача. Решите уравнение:

Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :

Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.

А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение . Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:

Многие читатели возразят: «Где ошибка в первом решении?» Что ж, давайте разбираться. Вспомним правило работы с уравнениями:

Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля .

Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля

. В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:

Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.

Выводы: собираем все вместе

Итак, для решения дробно-рациональных уравнений помните три правила:

1. Сокращать можно только множители. Слагаемые — нельзя. Поэтому учитесь раскладывать числитель и знаменатель на множители;
2. Основное свойство пропорции: произведение крайних элементов равно произведению средних;
3. Уравнения можно умножать и делить только на числа k , отличные от нуля. Случай k = 0 надо проверять отдельно.

Помните эти правила и не допускайте ошибок.

Дроби и их сокращение — еще одна тема, которая начинается в 5 классе. Здесь формируется база этого действия, а потом эти умения тянутся ниточкой в высшую математику. Если ученик не усвоил, то у него могут возникнуть проблемы в алгебре. Поэтому лучше уяснить несколько правил раз и навсегда. А еще запомнить один запрет и никогда его не нарушать.

Дробь и ее сокращение

Что это такое, знает каждый ученик. Любые две цифры расположенные между горизонтальной чертой сразу воспринимаются, как дробь. Однако не все понимают, что ею может стать любое число. Если оно целое, то его всегда можно разделить на единицу, тогда получится неправильная дробь. Но об этом позже.

Начало всегда простое. Сначала нужно выяснить, как сократить правильную дробь. То есть такую, у которой числитель меньше, чем знаменатель. Для этого потребуется вспомнить основное свойство дроби. Оно утверждает, что при умножении (так же, как и делении) одновременно ее числителя и знаменателя на одинаковое число получается, равноценная исходной дробь.

Действия деления, которые выполняются в этом свойстве и приводят к сокращению. То есть максимальному ее упрощению. Дробь можно сокращать до тех пор, пока над чертой и под ней есть общие множители. Когда их уже не будет, то сокращение невозможно. И говорят, что эта дробь несократимая.

Два способа

1. Пошаговое сокращение. В нем используется метод прикидки, когда оба числа делятся на минимальный общий множитель, который заметил ученик. Если после первого сокращения видно, что это не конец, то деление продолжается. Пока дробь не станет несократимой.

2. Нахождение наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя. Это самый рациональный способ того, как сокращать дроби. Он подразумевает разложение числителя и знаменателя на простые множители. Среди них потом нужно выбрать все одинаковые. Их произведение даст наибольший общий множитель, на который сокращается дробь.

Оба эти способа равноценны. Ученику предлагается освоить их и пользоваться тем, который больше понравился.

Что делать, если есть буквы и действия сложения и вычитания?

С первой частью вопроса все более-менее понятно. Буквы можно сокращать так же как и числа. Главное, чтобы они выступали в роли множителей. А вот со второй у многих возникают проблемы.

Важно запомнить! Сокращать можно только числа, которые являются множителями. Если они слагаемые — нельзя.

Для того чтобы понять, как сокращать дроби, имеющие вид алгебраического выражения, нужно усвоить правило. Сначала представить числитель и знаменатель в виде произведения. Потом можно сокращать, если появились общие множители. Для представления в виде множителей пригодятся такие приемы:

• группировка;
• вынесение за скобку;
• применение тождеств сокращенного умножения.

Причем последний способ дает возможность сразу получить слагаемые в виде множителей. Поэтому его необходимо использовать всегда, если видна известная закономерность.

Но это еще не страшно, потом появляются задания со степенями и корнями. Вот тогда требуется набраться смелости и усвоить пару новых правил.

Выражение со степенью

Дробь. В числителе и знаменателе произведение. Есть буквы и числа. А они еще и возведены в степень, которая тоже состоит из слагаемых или множителей. Есть чего испугаться.

Для того чтобы разобраться в том, как сокращать дроби со степенями, потребуется выучить два момента:

• если в показателе степени стоит сумма, то ее можно разложить на множители, степенями которых будут исходные слагаемые;
• если разность, то на делимое и делитель, у первого в степени будет уменьшаемое, у второго — вычитаемое.

После выполнения этих действий становятся видны общие множители. В таких примерах нет необходимости вычислять все степени. Достаточно просто сократить степени с одинаковыми показателями и основаниями.

Для того чтобы окончательно усвоить то, как сокращать дроби со степенями, нужно много практиковаться. После нескольких однотипных примеров действия будут выполняться уже автоматически.

А если в выражении стоит корень?

Его тоже можно сократить. Только опять же, соблюдая правила. Причем верны все те, которые были описаны выше. В общем, если стоит вопрос о том, как сократить дробь с корнями, то нужно делить.

На иррациональные выражения тоже можно разделить. То есть если в числителе и знаменателе стоят одинаковые множители, заключенные под знак корня, то их можно смело сокращать. Это приведет к упрощению выражения и выполнению задания.

Если после сокращения под чертой дроби осталась иррациональность, то от нее нужно избавиться. Другими словами, умножить на нее числитель и знаменатель. Если после этой операции появились общие множители, то их снова нужно будет сократить.

Вот, пожалуй, и все о том, как сокращать дроби. Правил немного, а запрет один. Никогда не сокращать слагаемые!

12 забавных практических занятий по обучению дробям, которые обязательно понравятся вашим детям!

Дроби являются неотъемлемой частью учебного плана по математике для учащихся всех возрастов. Тем не менее, многие студенты борются с дробями, и, будем честными, преподавателям тоже не так просто учить дроби. Но никогда не бойся! Дроби не должны вызывать затруднений ни у вас, ни у ваших учеников, если вы добавите несколько забавных заданий на уроки математики.

Вот несколько забавных практических идей для начала!

1. Используйте тесто

Через @saddleupfor2ndgrade

Тесто — отличный инструмент для развития мелкой моторики, но он также полезен при обучении дробям. Дайте каждому ученику шарик теста и попросите его расплющить его. Назовите несколько дробей, например, половину или четверть, и попросите их использовать пластиковый нож, чтобы разрезать тесто, чтобы показать каждую дробь.

2. Вырезать бумажные тарелки

Через @aclassicaleducation

Попросите учащихся украсить несколько бумажных тарелок, чтобы они выглядели как их любимый пирог или торт. Затем нарежьте пластины на различные фракции, например, на две части для половинок. Вы можете выполнить несколько действий после того, как пластины будут разрезаны. Дайте ученикам примеры дробей, и они должны найти соответствующий круг. Например, вы можете сказать «одна треть», и ваши ученики должны будут найти свой пирог, разрезанный на три части, и поднять один кусок. Ваши ученики также могут играть в эту игру с партнерами или в небольших группах. Вы также можете попросить учащихся пометить каждую часть соответствующей дробью.

3. Перекусить

Через @saba_mum_of_3

Дети любят перекусить! Используйте это в своих интересах, обучая дроби с едой. Предоставьте своим учащимся несколько бумажных этикеток с фракциями, над которыми вы работаете, а затем попросите их рассортировать продукты, например предварительно нарезанные фрукты, по группам, чтобы они соответствовали этикеткам каждой фракции.

4. Сортировка мелких предметов

Через @earlyeducationzone

Решите, над какой долей должны работать ваши ученики, а затем предоставьте рабочие коврики с кругами, разделенными на это количество секций. Раздайте небольшие предметы, такие как хлопья, резинки или бусины, и пусть ваши ученики покажут вам, как выглядят дроби, если их рассортировать по группам. Этот урок также может помочь закрепить различные дроби, которые на самом деле равны.

5. Сложите бумагу

Через @momofcurioussid

Одно из самых простых занятий по обучению дробям требует только обычной бумаги! Просто дайте ученикам несколько листов чистой бумаги и попросите их сложить их на равные части. После складывания ваши учащиеся могут пометить каждую секцию, чтобы визуально представить каждую фракцию. Сделайте это еще более увлекательным, назначив каждой дроби разный цвет бумаги, чтобы у ваших учеников был еще один способ визуального распознавания и идентификации дробей.

6. Играть в домино

Через @momofcurioussid

Домино идеально подходит для изучения и отработки дробей, потому что они уже разделены пополам, что очень похоже на дроби. Ваши ученики могут использовать домино, чтобы перевести точки в числовые дроби, а затем определить, являются ли дроби правильными или неправильными. Урок может пойти дальше для старших школьников, потому что они могут преобразовать неправильные дроби в правильную форму.

7. Рисуйте тротуарным мелом

Через @teaching3rdgradethings

Выйдите на урок математики на улицу и потренируйтесь рисовать дроби тротуарным мелом. Вы можете сделать это двумя способами. Дайте учащимся дробь, например одну четвертую, и попросите их нарисовать эту дробь. Другой вариант — показать им изображение дробной части и попросить написать числовой эквивалент. Сотрудничайте со своими учениками и попросите их дать друг другу частичные викторины, позволяя им рисовать или записывать свои ответы мелом на тротуаре.

8. Напишите задачки-рассказы

Через @jen_griffith5

Задачи-рассказы — неотъемлемая часть любого учебного курса по математике, и вам не нужно прекращать их использовать, когда вы доберетесь до дробей. На самом деле, если ваши ученики напишут свои собственные задачи, это эффективный способ помочь закрепить концепцию дробей в их мозгу. Сделайте это еще веселее (и позвольте им выставлять оценки за вас), попросив учеников поменяться листами и решить словесные задачи друг друга.

9. Приготовить пиццу

Через @taysteaching

Это одна из тех дробных игр, от которых вы проголодаетесь! Бумажная пицца может быть (почти) такой же приятной, как настоящая пицца, и она может помочь вашим ученикам выучить свои дроби. Дайте каждому учащемуся чистый бумажный корж для пиццы и попросите его разделить его на определенное количество частей, например 4 или 6. Затем попросите их сделать из бумаги начинку для своей пиццы. Объясните, что каждый кусок их пиццы должен отличаться от других кусочков. Закончив приготовление пиццы, они могут записать, в какой части пиццы есть пепперони или маслины.

Через @teachingwithmisskate

Все дети любят конструкторы Lego, и они хорошо подходят для изучения дробей. Попросите учащихся составить стопку из кубиков Lego двух цветов, а затем попросите их определить, какая часть их башни соответствует каждому цвету. Учащиеся могут рассортировать лего по стопкам в зависимости от количества гвоздиков на каждом блоке, чтобы показать дроби. Например, блок с восемью шипами можно считать целым, а блок с четырьмя шипами — половинкой. Кроме того, ознакомьтесь с этим списком из 18 выдающихся математических заданий с Lego.

11. Используйте чипсы с красками

Через @mindful.educator

Чипсы с красками — это простой в подготовке способ обучения и тренировки дробей. Быстрая поездка в магазин товаров для дома — это все, что нужно, чтобы подготовить этот урок. Возьмите стопку из нескольких кусочков краски — большинство из них разделены на три или четыре секции. Попросите учащихся обозначить каждую часть кусочка краски цифрой «одна треть» или «одна четвертая». Продлите урок и попросите учеников нарисовать картинку и написать слова для каждой дроби.

12.

Назовите дроби Via @a_is_for_anderson

Пусть каждый ученик нарисует и украсит свое имя большими буквами так, как ему хочется. Затем попросите учащихся нарисовать прямоугольники под каждой буквой своего имени и написать долю каждой буквы в сравнении с количеством букв в их имени. Например, для пятибуквенного имени каждая буква будет одной пятой. Затем предложите учащимся записать, какая часть их имени состоит из согласных, а какая из гласных. Учащиеся старшего возраста должны сокращать любые неупрощенные дроби. Сотрудничайте со своими учениками и посмотрите, смогут ли они придумать какие-нибудь задачи на сложение со своими дробями.

Когда дроби будут интересными, вы получите больше поддержки от своих учеников, что сделает игру более увлекательной для всех. Более того, эти практические занятия покажут вашим ученикам дроби в реальном мире вокруг них.

15-19-simplified — Googlesuche.0003

15/19 уже в самой простой форме. Его можно записать как 0,789474 в десятичной форме (округлив до 6 знаков после запятой). Шаги к упрощению дробей.

Ähnliche Fragen

Что такое 15 20 как дробь?

Что такое в простейшей форме?

Как упростить дробь?

Что такое 15/19 упрощенный? — Калькулятор дробей

thefractioncalculator.com › SimplifyFractions › 19-s…

Здесь мы упростим 15/19к его простейшей форме и преобразовать его в смешанное число, если это необходимо. В дроби 15/19 15 — числитель, а 19 — …

Упростить 15/19 до простейшей формы — онлайн-калькулятор

online-calculator.org › 15-19-упрощенный

Что такое 15 /19 Упрощенный? — 15/19 — это упрощенная дробь для 15/19. Упростите 15/19 до простейшей формы. Онлайн-калькулятор упрощенных дробей, чтобы уменьшить …

15/19 упрощенно — Как упростить 15/19 как дробь в простейшей форме

калькулятор.название ›simplefraction

Что такое упрощенное 15/19? 15/19 как дробь в простейшей форме 15/19. Здесь мы покажем вам, как упростить, сократить дробь 15/19 до минимального значения . ..

Как упростить большую дробь 15/19 до минимального члена?

linearequationscalculator.com › дробь › сокращение-…

Здесь мы дали шаги по упрощению дроби 11340/456. Получите решение, т.е. 15/19, когда дробь 15/19упрощается до минимального значения.

Упростить 15/19 до минимума — CoolConversion

coolconversion.com › математика › дроби-упрощение

Упростить 15/19 до минимума ; В процентах: Подробный ответ: Дробь 1519 уже находится в простейшей форме, поэтому ее нельзя уменьшить никак …

Что такое 15/19 от упрощенной до простейшей формы? — Calculatio

calculat.io › … › 🔢 Калькулятор упрощения дробей

Упрощение дроби 15/19 путем деления на наименьшее возможное число. Чтобы упростить нашу дробь, мы можем начать делить как числитель [15], так и …

15/19 упрощенный — Калькулятор дробей

Fractioncalculator.pro › Fractions-Simplifier › 19_si…

Fractions Simplifier: Как упростить или сократить число 15/19 до минимальной формы.