Какие виды множеств существуют: Вопрос №26. Множество, иx виды. Элемент множества. Подмножество.

Содержание

Множества — Теория — Способы задания множеств

Множества

Способы задания множеств

1. Простым перечислением элементов

Пример. Множество отличников в классе 1а обозначим и зададим его перечислением: .
Способ задания множества перечислением его элементов не пригоден для задания бесконечных множеств и даже в случае конечных множеств часто практически нереализуем. Например, невозможно перечислить множество рыб в Тихом океане, хотя совершенно очевидно, что их число конечно.

2. Описание элементов определяющим свойством:
Множество , где означает, что элемент х обладает свойством .

Пример. Множество N₁₀ всех натуральных чисел, меньших 10 можно задать так:

Свойства элементов могут быть заданы не формально, а с помощью описания на естественном языке.

Пример. Множество слонов, множество птиц, множество рыб, множество натуральных чисел N.

Пример. В геометрии часто приходится иметь дело с множествами, заданными своими характеристическими свойствами. Так, окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости.

3. Множество может быть задано рекурсивно. В этом случае должен быть задан способ последовательного порождения его элементов.

Пример. Множество значений рекурсивной функции является рекурсивно — заданным множеством

Так,

и т. д.

Понятие рекурсивно заданного множества тесно связано с понятиями функции, алгоритма и формальной системы, которые будут изучаться далее.
При задании множеств могут возникать ошибки и противоречия. Множество задано верно, если для любого элемента можно определить, принадлежит он множеству или нет. Напротив, множество задано неправильно, если для какого-либо элемента нельзя определить его принадлежность множеству.

Пример. Определение множества A как множества, содержащего любые пять чисел, не является правильным, поскольку невозможно определить точно элементы A.

Пример. Множество всех простых чисел является правильным определением множества. Для любого числа можно определить, принадлежит ли оно этому множеству, хотя практически на это может потребоваться очень много времени.

Пример. Множество всех динозавров, живших на Земле, является множеством, заданным верно. Хотя практически невозможно определить элементы этого множества, но теоретически ясно, что если животное, когда-либо жившее на Земле, является динозавром, то оно принадлежит к этому множеству, в противном случае — нет.

1. Теория множеств. Дискретная математика

1.1. Множества и отношения. Множества и элементы множеств

1.2. Сравнение множеств

1.3. Операции над множествами

1.4. Диаграммы Эйлера-Венна

1.5. Табличный способ задания множеств

1.6. Свойства операций над множествами

1.7. Отношения

1.8. Специальные бинарные отношения

1.1. Множества и отношения

Множества и элементы множеств

Определение. Множество – любая определенная совокупность объектов произвольной природы. Обозначают множества прописными латинскими буквами: A, B, ¼ , а его элементы обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, ¼.

Например:

( является элементом множества (» принадлежит A«)),

( не является элементом множества A).

Определение. Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается оно символом: Æ.

Определение. – универсальное множество (универсум) – множество, из которого берутся элементы в конкретном рассуждении. – множество, рассматриваемое как наиболее общее в данной ситуации.

Множество элементов , удовлетворяющих свойству P(x) обозначается .

Примеры.

– множество натуральных чисел;

– множество вещественных чисел.

– множество комплексных чисел.

1.2. Сравнение множеств

Определение. (А содержится в В или В включает А), если . А называется подмножеством В. Если и , то А называется строгим (собственным) подмножеством В. Обозначается это .

Определение. если они являются подмножествами друг друга, то есть или

Определение. Мощность конечного множества – число его элементов. Мощность бесконечного множества равна ¥.

1.3. Операции над множествами

Определение. Объединением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из них.

Определение. Пересечением множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и первому и второму одновременно.

Определение. Разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Определение. Симметрической разностью множеств А и В () называется множество, состоящее из элементов множества А, не являющихся элементами множества В и элементов множества В, не являющихся элементами множества А.

Определение. Дополнением множества А () называется множество, состоящее из элементов множества U, не принадлежащих множеству А.

Пример:

зависит от того, какое U. Если , то , если , то .

1.4. Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера-Венна – это геометрическое представление множеств. Множество U изображается прямоугольником, рассматриваемые множества – фигурами (окружностями). Для выделения результата применяется штриховка.

1.5. Табличный способ задания множеств

Пусть задано множество U. Рассмотрим произвольное его подмножество и элемент .

Определение. Индикаторной (характеристической) функцией для множества A называется функция
.

Таким образом: .

Для имеют место свойства:

;

Индикаторы удобно задавать с помощью таблиц:

1.

6. Свойства операций над множествами

Объединение и пересечение:

1. = – коммутативность

2. = – коммутативность

3. – ассоциативность

4. – ассоциативность

5. – дистрибутивность

6. – дистрибутивность

7. – идемпотентность

8. – идемпотентность

9. – свойство дополнения

10. – свойство дополнения

11. – закон де Моргана

12. – закон де Моргана

13. – свойство нуля

14. – свойство нуля

Дополнение:

15. – инволютивность

16.

17.

Разность, симметрическая разность:

18.

19.

20.

21.

22.

23.

1.7. Отношения

Определение. Пусть A и B произвольные множества. Декартовым произведением множеств A и B называется множество всевозможных упорядоченных пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй – множеству B.

Пример. – точки плоскости.

Свойства декартовых произведений

Понятие отношения.

Отношение это один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-либо признака R у элемента множества A. Например, «быть четным» на множестве натуральных чисел. Все элементы множества A, отличающиеся признаком R , образуют подмножество множества A, называемое отношением R.

Бинарные отношения

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов множеств A и B. Все пары элементов множеств A и B, находящиеся в отношении R , образуют подмножество множества .

Определение. Бинарное отношение – это тройка множеств , где – график отношения. Пишут или aRb.

Область определения : ;

Область значений: ;

Обратное отношение: ;

Композиция отношений и :

Частичным порядком (пишут ), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

1.8. Специальные бинарные отношения

Бинарное отношение на A называется

Рефлексивным, если ;
Симметричным, если ;
Транзитивным, если ;
Антисимметричным, если ;
Отношением эквивалентности на (пишут ), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;

Определение. Бинарное отношение называется функцией из в , если и .

Функция называется

Сюръективной, если ;
инъективной, если ;
биективной, если она сюръективна и инъективна.

Мощность | Конечные множества | Бесконечные множества

← предыдущее

следующее →

Здесь нам нужно поговорить о мощности множества, которая в основном является размером множества. Мощность множества обозначается $|A|$. Сначала мы обсудим мощность для конечных множеств и тогда поговорим о бесконечных множествах.

Конечные множества:

Рассмотрим множество $A$. Если $A$ имеет только конечное число элементов, его мощность равна просто количество элементов в $A$. Например, если $A=\{2,4,6,8,10\}$, то $|A|=5$. Прежде чем обсуждать бесконечные множества, что является основным обсуждением этого раздела, мы хотели бы поговорить об очень полезное правило:

принцип включения-исключения .

Для двух конечных множеств $A$ и $B$ имеем $$|A \cup B |=|A|+|B|-|A \cap B|.$$ Чтобы увидеть это, обратите внимание, что когда мы складываем $|A|$ и $|B|$, мы дважды подсчитываем элементы в $|A \cap B|$, таким образом, вычитая его из $|A|+|B|$, мы получаем количество элементов в $|A \cup B |$, (вы можете обратитесь к рисунку 1.16 в задаче 2, чтобы увидеть это наглядно). Мы можем распространить ту же идею на три или более множеств.

Принцип включения-исключения:

$|A \cup B |= |A|+|B|-|A \cap B|$, 9n\left|A_i\right|-\sum_{i \>\>\>\>\>\>+\sum_{i
Пример
На вечеринке,
- есть $10$ человек в белых рубашках и $8$ человек в красных рубашках;
- $4$ люди носят черные туфли и белые рубашки;
- $3$ люди носят черные туфли и красные рубашки;
- общее количество людей в белых или красных рубашках или черных туфлях составляет $21$.
У скольких людей черные туфли?
Бесконечные множества:
Что, если $A$ — бесконечное множество? Оказывается, нам нужно различать два типа бесконечных множеств, где один тип значительно «больше», чем другой. В частности, один тип называется счетным , в то время как другой называется несчетное . Такие множества, как $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Z}$, называются счетными, но «большие» множества, такие как $\mathbb{R}$, называются несчетными. Разница между двумя типами заключается в что можно перечислить элементы счетного множества $A$, т. е. можно написать $A=\{a_1, a_2,\cdots\}$, но вы не можете перечислить элементы в несчетном множестве. Например, вы можете написать
- $\mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots\}$,
- $\mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\cdots\}$.
Тот факт, что вы можете перечислить элементы счетно бесконечного множества, означает, что это множество может быть взаимно однозначно соответствие натуральным числам $\mathbb{N}$. С другой стороны, вы не можете перечислить элементы в $\mathbb{R}$, так что это несчетное множество. Чтобы быть точным, вот определение.
Определение
Множество $A$ называется счетным, если верно одно из следующих утверждений.
1. если это конечное множество, $\mid A \mid
2. можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами $\mathbb{N}$, в которых В этом случае множество называется счетно бесконечным.
Вот простой способ определить, является ли множество счетным или нет. Что касается прикладной вероятности Этого руководства должно быть достаточно для большинства случаев.
- $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ и любые их подмножества счетны.
- Любой набор, содержащий интервал на прямой линии, такой как $[a,b], (a,b], [a,b),$ или $(a,b)$, где $а
Приведенного выше правила обычно достаточно для целей этой книги. Однако для аргументации более конкретно, здесь мы приводим некоторые полезные результаты, которые помогают нам доказать, является ли множество счетным или нет. Если вас меньше интересуют доказательства, вы можете их пропустить.
Теорема
Любое подмножество счетного множества счетно.

Любое надмножество несчетного множества несчетно.
Доказательство
Интуиция, стоящая за этой теоремой, следующая: если множество счетно, то любое «меньшее» множество также должно быть счетным, поэтому подмножество счетного множества также должно быть счетным. Предоставлять доказательство можно рассуждать следующим образом.
Пусть $A$ счетное множество и $B \subset A$. Если $A$ конечное множество, то $|B|\leq |A|
Вторую часть теоремы можно доказать, используя первую часть. Предположим, что $B$ несчетно. Если $B \subset A$ и $A$ счетно, то по первой части теоремы $B$ также является счетным набор, который является противоречием.
Теорема
Если $A_1, A_2,\cdots$ — список счетных множеств, то множество $\bigcup_{i} A_i=A_1 \cup A_2 \cup A_3\cdots$ также является счетным.
Доказательство
Достаточно создать список элементов в $\bigcup_{i} A_i$. Поскольку каждый $A_i$ счетен, мы можем список его элементов: $A_i=\{a_{i1},a_{i2},\cdots\}$. Таким образом, у нас есть
- $A_1=\{a_{11},a_{12},\cdots\}$,
- $A_2=\{a_{21},a_{22},\cdots\}$,
- $A_3=\{a_{31},a_{32},\cdots\}$,
- …
Теперь нам нужно составить список, содержащий все вышеперечисленные списки. Это можно сделать разными способами. Один из способов сделать это — использовать порядок, показанный на рис. 1.12, для составления списка. Здесь мы можем написать $$ \bigcup_{i} A_i=\{a_{11}, a_{12},a_{21}, a_{31}, a_{22}, a_{13}, a_{14}, \cdots \} \hspace{100pt} (1.1)$$
Рис.1.12 — Порядок составления списка.
Нам удалось создать список, содержащий все элементы $\bigcup_{i} A_i$, так что это множество счетно.

Теорема
Если $A$ и $B$ счетны, то $A \times B$ также счетно.
Доказательство
Доказательство этой теоремы очень похоже на предыдущую теорему. Так как $A$ и $B$ счетное, мы можем написать $$A = \{a_1, a_2, a_3, \cdots \},$$ $$B = \{b_1, b_2, b_3, \cdots \}.$$ Теперь мы создаем список, содержащий все элементы в $A \times B = \{(a_i,b_j) | i,j=1,2,3,\cdots\}$. Идея точно такая же, как и раньше. На рис. 1.13 показан один из возможных вариантов упорядочения.
Рис.1.13 — Заказ на составление списка.
Приведенные выше рассуждения можно повторить для любого множества $C$ в виде $$C=\bigcup_i \bigcup_j \{ a_{ij} \},$$ где индексы $i$ и $j$ принадлежат некоторым счетным множествам. Таким образом, любое множество в этой форме счетно. Например, следствием этого является счетность множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$. Это потому, что мы можем написать $$\mathbb{Q}=\bigcup_{i \in \mathbb{Z}} \bigcup_{j \in \mathbb{N}} \{ \frac{i}{j} \}.$$

приведенные выше теоремы подтверждают, что такие множества, как $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ и их подмножества счетны. Однако, как мы уже упоминали, интервалы в $\mathbb{R}$ несчетны. Таким образом, вы никогда не сможете предоставить список в виде $\{a_1, a_2, a_3,\cdots\}$, содержащий все элементы, скажем, в $[0,1]$. Этот факт можно доказать с помощью так называемого диагонального рассуждения, и мы опускаем доказательство здесь, поскольку оно не является инструментом для остальной части книги.
← предыдущая
следующая →
Печатная версия книги доступна на Amazon здесь.
Теория множеств в nLab
Пропустить навигационные ссылки | Домашняя страница | Все страницы | Последние версии | Обсудить эту страницу |
Контекст
Фундамент
Фундамент
Основа всего
- математическая логика
- система дедукции, естественная дедукция, последовательное исчисление, лямбда-исчисление, суждение
- теория типов, теория простых типов, теория зависимых типов
- коллекция, объект, тип, термин, набор, элемент
- равенство, оценочное равенство, типовое равенство
- Вселенная
  , проблемы с размером
- логика высшего порядка
теория множеств
теория множеств
- основы теории множеств
  - пропозициональная логика
  - логика первого порядка
  - типизированная логика предиката
  - отношение членства
  - пропозициональное равенство
  - набор, элемент, функция, отношение
  - вселенная, маленький набор, большой набор
- теория множества материалов
  - отношение принадлежности, пропозициональное равенство, аксиома экстенсиональности
  - структура спаривания, аксиома спаривания
  - структура объединения, аксиома объединения
  - структура набора мощности, аксиома набора мощности
  - структура натуральных чисел, аксиома бесконечности
- презентации по теории множеств
  - теория множеств первого порядка
  - теория несортированных множеств
  - просто отсортированная теория множеств
    - односортная теория множеств
    - теория двухсортных множеств
    - трехсортная теория множеств
  - теория зависимо отсортированных множеств
  - структурно представленная теория множеств
- структурализм в теории множеств
  - теория множества материалов
    - ЗФК
    - ЗФА
    - Теория множеств Мостовского
    - Новые фундаменты
  - структурная теория множеств
    - категориальная теория множеств
      - ETCS
        полностью формальный ETCS
        ETCS с элементами
        Trimble на ETCS I
        Trimble на ETCS II
        Trimble на ETCS III
      - структурный ZFC
    - аллегорическая теория множеств
      - ПОИСК
- теория набора классов
  - класс, собственный класс
  - универсальный класс, вселенная
  - категория классов
  - со структурой классов
- конструктивная теория множеств
- алгебраическая теория множеств
Основополагающие аксиомы
Основополагающая аксиома
- основные конструкции:
  - аксиома декартовых произведений
  - аксиома непересекающихся союзов
  - аксиома пустого множества
  - аксиома полноты
  - аксиома функциональных множеств
  - аксиома множеств мощности
  - аксиома частных множеств
- материальных аксиомы:
  - аксиома экстенсиональности
  - аксиома основания
  - аксиома антиосновы
  - Аксиома Мостовского
  - аксиома спаривания
  - аксиома транзитивного замыкания
  - аксиома союза
- структурных аксиомы:
  - аксиома материализации
- тип теоретических аксиом:
  - аксиомы усечения множества
    - уникальность доказательств личности
    - аксиома К
    - граница разделения
    - равенство отражение
    - аксиома локализации типа окружности
  - аксиомы теории гомотопического типа:
    - аксиома однолистности
    - Принцип Уайтхеда
- аксиомы выбора:
  - аксиома выбора
  - аксиома счетного выбора
  - аксиома зависимого выбора
  - аксиома исключенного третьего
  - аксиома существования
  - аксиома множественного выбора
  - Аксиома Маркова
  - аксиома презентации
  - аксиома выбора малой мощности
  - аксиома малых нарушений выбора
  - аксиома слабо инициальных множеств покрытий
- больших кардинальных аксиомы:
  - аксиома бесконечности
  - аксиома вселенных
  - аксиома регулярного расширения
  - недоступный кардинал
  - измеримое кардинальное число
  - элементарное вложение
  - сверхкомпактный кардинал
  - Принцип Вопенки
- сильные аксиомы
  - аксиома разделения
  - аксиома замены
- далее
  - Принцип отражения
- аксиома пространств неравенств
Удаление аксиом
- конструктивная математика
- предикативная математика
Изменить эту боковую панель
Математика
- математика
  - математических ресурсов
  - история математики
- Структурные фундаменты
  - логика
    - внутренний язык
    - классическая математика
    - конструктивная математика
    - предикативная математика
    - категория:основная аксиома
  - теория множеств
    - структурная теория множеств
  - теория категорий
    - Категории и шкивы
    - теория топоса
      - Пучки в геометрии и логике
  - теория высшей категории
    - теория высшего топоса
      - (∞,1)-теория топосов
        модели для ∞-стека (∞,1)-топосов
        когомологии
    - гомотопическая теория
      - стабильная гомотопическая теория
      - рациональная гомотопическая теория
- Топология и геометрия
  - геометрия (общий список), топология (общий список)
  - общая топология
  - дифференциальная топология
  - дифференциальная геометрия
    - синтетическая дифференциальная геометрия
    - симплектическая геометрия
  - алгебраическая геометрия
  - некоммутативная алгебраическая геометрия
  - некоммутативная геометрия (общий вариант)
  - более высокая геометрия
- Алгебра
  - универсальная алгебра
  - высшая алгебра
  - гомологическая алгебра
  - теория групп, теория колец
    - теория представлений
  - алгебраические подходы к дифференциальному исчислению
  - контрпримера по алгебре
- анализ
  - нестандартный анализ
  - функциональный анализ
    - операторные алгебры
  - Преобразование Фурье
- Теория лжи
  - высшая теория лжи
- теория вероятностей
- дискретная математика
Изменить эту боковую панель
- Идея
- Наивная против аксиоматической теории множеств
- Основополагающая и дефиниционная теория множеств
- Конструктивный и классический набор
- Материал против теории структурных множеств
- Теория категорий по теории множеств
- Связанные понятия
- Литература
Идея
Теория множеств — это теория множеств.
Наивная против аксиоматической теории множеств
Наивная теория множеств — это базовая алгебра подмножеств любого заданного множества U вместе с несколькими уровнями степенных множеств, скажем, до 𝒫𝒫𝒫U и, возможно, не дальше. Часто студенты сначала видят это для множества действительных чисел как U (хотя на самом деле можно было бы начать с множества натуральных чисел и перейти на следующий уровень для эквивалентной теории). Можно также использовать наборы функций вместо наборов степеней в качестве базовой операции формирования множества (особенно для слабо предикативной теории в конструктивной математике).
Как только вы начинаете много думать о природе множеств вообще (а не просто с использованием наивной теории множеств), быстро становится ясно, что нужно быть осторожным с тем, как можно и нельзя формировать множества. Георгу Кантору приписывают то, что он первым глубоко задумался об этом; хотя он не предлагал системы общих правил для допустимых операций по созданию множеств, он признавал, что некоторые множества «несовместимы». Аксиоматическая теория множеств — это теория множеств, которая тщательно формулирует правила (или «аксиомы»), которым множества должны подчиняться.
У Готтлоба Фреге, возможно, была первая аксиоматическая теория множеств, но она была признана (Бертраном Расселом) логически тривиальной; см. парадокс Рассела. Чарльз Сандерс Пирс представил то, что можно было бы считать первой последовательной аксиоматической теорией множеств, в работе Пирса 1885 г. (см. Brady 2000). Более широко известная непротиворечивая теория множеств — это теория множеств Эрнста Цермело 1905 года, которая составляет основу аксиоматической теории множеств, используемой сегодня.
Основополагающая и дефиниционная теория множеств
Есть два способа заниматься аксиоматической теорией множеств. Более амбициозным является разработка фундаментальная теория множеств : теория множеств как основа всей математики. Это то, что предложил Фреге (хотя и потерпел неудачу из-за непоследовательности) и чего добился Цермело.
Вариант системы Цермело (разработанный Френкелем и Сколемом и названный теорией множеств Цермело-Френкеля или ZFC) сегодня является ортодоксальным основанием, хотя его необходимо дополнить вселенными Гротендика (или чем-то в этом роде), чтобы обращаться с современной теорией категорий. , и теоретики множеств часто рассматривают его дальнейшее усиление с помощью больших кардинальных аксиом (примером которых является существование вселенных Гротендика, это лишь верхушка айсберга).
Также возможно создать дефинитивную теорию множеств , в которой множества определяются в терминах некоторого более примитивного понятия. Примеры включают
- теории классов, где множество может быть определено как малый класс.
- формальной теории категорий, где множество может быть определено как дискретная категория.
- теория зависимых типов, где множество может быть определено как те типы, которые являются h-множествами.
- теория предустановок, где множество может быть определено как предустановка, снабженная отношением эквивалентности.
В информатике иногда встречается фундамент, основанный на лямбда-исчислении; в этих терминах понятие list более естественно, чем множество, с той разницей, что множества имеют более грубое понятие равенства.
Конструктивная и классическая теория множеств
Существуют также различия в теории множеств в зависимости от того, построена ли теория множеств в классической логике или в конструктивной логике. В последнем теория множеств называется конструктивной теорией множеств 9.0163 . Чтобы убедиться, что классическая логика не подразумевается аксиомами, некоторые аксиомы, такие как аксиома выбора, не могут быть приняты в классической логике.
Материальная и структурная теория множеств
В nLab нам нравится различать два типа теории множеств, особенно в фундаментах:
- В теории материальных множеств (также называемой теорией множеств, основанной на принадлежности ) элементы множества существуют независимо от этого множества. Таким образом, имеет смысл взять два совершенно не связанных множества и спросить, равны ли два их элемента, и иногда ответ будет «да». Часто в материальной теории множеств все принимается за чистое множество, так что элементы множеств сами являются множествами. Следовательно, любые два множества можно осмысленно сравнить, чтобы выяснить, равны ли они или является ли одно из них членом другого.
- A структурная теория множеств , с другой стороны, больше похожа на теорию типов. Здесь элементы множества не имеют существования или структуры, кроме их идентичности как элементов этого множества. В частности, сами по себе они не являются множествами и не могут быть элементами какого-либо другого множества , по крайней мере, без явного приведения типов? оператор (который здесь может быть просто функцией от одного множества к другому). Точно так же элементы разных множеств нельзя сравнивать друг с другом (без приведения их к типу, чтобы они стали элементами одного и того же множества).
Среди теоретиков категорий популярно формулировать аксиомы структурной теории множеств, определяя элементарные свойства категории множеств; ортодоксией здесь (в той мере, в какой она существует) является, вероятно, ETCS Билла Лоувера, которого достаточно для большинства повседневных применений, но его необходимо дополнить, чтобы обращаться с некоторыми эзотерическими частями современной математики. Другой структурной теорией множеств, более сильной, чем ETCS, и менее тесно связанной с теорией категорий, является SEAR.
Напротив, ZFC является примером теории материальных множеств. Из модели любого вида теории множеств мы можем построить модель другого, так что они, вообще говоря, эквивалентны; например, SEARC (SEAR с аксиомой выбора) в этом смысле эквивалентен ZFC, а ETCS эквивалентен слабому («ограниченному») варианту ZFC. Более точное утверждение состоит в том, что два вида теорий образуют категории, связанные материальным и структурным примыканием.
Теория категорий по теории множеств
Теория категорий может предоставить общую теорию моделей для сравнения различных теорий множеств. Хотя только структурные теории множеств, такие как ETCS, рассматривают элементарные свойства категории «множество множеств» как фундаментальные, у любой теории множеств можно спросить, каким свойствам удовлетворяет множество, и сравнить их в этих терминах. По крайней мере, Сет должен быть претопосом.
Существует также алгебраическая теория множеств, в которой материальная теория множеств интерпретируется во внутренней логике некоторой объемлющей категории, часто называемой «категорией классов». См. также семантику стека.
- основополагающая аксиома
- теория типов
- конструктивная теория множеств
- алгебраическая теория множеств
- дескриптивная теория множеств
- внутренняя логика теории множеств
- теоретико-множественная мультивселенная
- основы математики
  - Новые фундаменты
  - унивалентные основы математики
Литература
Историческая
- Чарльз Сандерс Пирс (1885 г. ), «Об алгебре логики: вклад в философию обозначений», American Journal of Mathematics 7
- Джеральдин Брэди (2000), От Пирса до Скулема: забытая глава в истории логики, North-Holland/Elsevier Science BV, Амстердам, Нидерланды.
Общий
- Кеннет Кунен, Теория множеств, введение в доказательства независимости , Северная Голландия.
- William Lawvere, Robert Rosebrugh, Sets for Mathematics , Cambridge UP 2003. (Интернет)
- Андреас Бласс, Юрий Гуревич, Почему наборы? , Бык. европ. доц. Теор. Комп. науч. 84 (2004) 139-156. [doi:10.1007/978-3-540-78127-1_11, pdf, pdf]
  (с комментариями к ETCC)
В теории гомотопических типов
Формализация теории множеств в теории гомотопических типов (через h-множества) обсуждается в
- Эгберт Рийке, Бас Спиттерс, Множества в теории гомотопических типов (arXiv:1305.
  No related posts.