Количество перестановок из n по m: Перестановки, размещения и сочетания. Формулы.

= (2.1)

Напомним, что выражение N! Называется эн–факториал, и определяется оно так:

0!=1; 1!=1; 2!= 1·2=2; 3!=1·2·3=6; 4!=1·2·3·4=24;… N!= 1·2·3···N. (2.2)

Доказательство формулы (2.1).

1) Составим сначала все возможные размещения из N Элементов (A1; A2;…An) по одному элементу в каждом размещении и подсчитаем их число . Эти размещения – просто отдельно взятые элементы A1; A2;…An. Их количество равно N. То есть

=N (2.3)

2) Составим теперь все возможные размещения из N элементов по два элемента в каждом размещении и подсчитаем их число . Эти размещения тоже очевидны:

A1 a2 a2 a1 a3 a1 an a1

A1 a3 a2 a3 a3 a2 an a2

A1 a4 a2 a4 a3 a4 an a3 (2.4)

…… …… …… ……

A1 an a2 an a3 an an an-1

В каждом из столбцов (2.4) N —1 размещение, а всех столбцов N, поэтому

=N(N—1) (2.5)

3) Составим все возможные размещения из N элементов по три элемента в каждом размещении и подсчитаем их число . Эти размещения получим, если возьмем за основу все возможные размещения (2.4) по два элемента и добавим по очереди справа к каждому из них любой из оставшихся N-2 элементов. Таким образом, из каждого размещения (2.4) по два элемента можно образовать

A1 a2 a3 ; a1 a2 a4; a1 a2 a5;……… a1 a2 an (2.6)

Следовательно,

=· (N-2)=N(N-1)(N-2) (2.7)

Аналогично:

= · (N-3)=N(N-1)(N-2)(N-3) (2.8)

= · (N-4)=N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)

………………………………………

То есть

= N(N-1)(N-2)(N-3)…..(N—M+1) (2.9)

Итак, мы получили формулу для при произвольном M (M=1,2,…N).

Преобразуем ее к более удобному виду. Для этого домножим и разделим выражение (2.9) на убывающие недостающие множители (N

==

==

Формула (2.1) доказана.

Для примера подсчитаем общее количество всех возможныхРазмещений из трех элементов (A1; A2; A3) по одному, по два и по три элемента. Причем сделаем это и непосредственно, составив все эти размещения и пересчитав их, и по формуле (2.1):

=3; =6; =6 (2.11)

Эти же результаты дает и формула (2.1):

==; =; = (2.12)

2. Перестановки. Перестановками из данной совокупности N Элементов (A1; A2;…An) называются различным образом упорядоченные (по разному переставленные) комбинации всех этих элементов. Их общее количество обозначается символом . Так как перестановки – это по сути размещения из N элементов по N элементов в каждом размещении, то

(2.

3. Сочетания. Сочетаниями из N элементов по M Элементов в каждом сочетании называются (в отличие от размещений) всевозможные Неупорядоченные группы по M элементов в каждой группе. Неупорядоченные — это значит, что важно, какие элементы содержатся в каждом сочетании, а каком порядке они там находятся – это неважно. Различные размещения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Общее их количество обозначается символом , и находится оно по формуле:

= (2.14)

Доказательство формулы (2.14)

Очевидно, что если взять все возможные сочетания из N элементов по M элементов и сделать в каждом из них все возможные перестановки, то в итоге получим все возможные размещения из N Элементов по M элементов в каждом размещении. Отсюда следует:

, и значит (2.15)

Для примера подсчитаем общее количество всех возможных сочетаний из трех элементов (

(2.16)

Эти же результаты дает и формула (2.14):

; (2.17)

Кстати, комбинации в (2.11) и в (2.16) наглядно демонстрируют разницу между размещениями и сочетаниями.

Выводя формулы (2.1), (2.13) и (2.14) для общего числа размещений, перестановок и сочетаний, мы полагали, что в каждом из указанных соединений любой из элементов совокупности (А1; а2; …..аN) может встретиться только один раз. То есть повторять в них элементы нельзя. Если же повторять их всё же можно, то мы придём к Размещениям, перестановкам и сочетаниям с повторениями.

4. Размещения с повторениями. Начнём с рассмотрения частного случая. Пусть исходная совокупность элементов составляет всего три элемента (

Впрочем, мы могли подсчитать это число и иначе. Составляя любое размещение из двух элементов, на первое место в таком размещении можно поставить любой из данных трёх элементов (три варианта). На второе место – тоже любой из трёх элементов (тоже три варианта). Комбинируя каждый элемент, стоящий на первом месте, с каждым элементом, стоящим на втором месте, получим 32=9 всех возможных комбинаций. То есть =32=9.

А теперь легко понять, что если всех элементов не три, а N, и из них составляются все возможные размещения с повторениями по M Элементов в каждом размещении, то их общее число найдётся по формуле:

=Nm (2.18)

5. Сочетания с повторениями. Опять начнём с частного случая. А именно, подсчитаем – общее число всех возможных сочетаний с повторениями из трёх элементов (А1; а2; а3) по два элемента в каждом сочетании. Этих сочетаний, очевидно, будет 6 – те 3, которые представлены в (2.16) и в которых оба элемента разные, и ещё три сочетания А1а1; а2а2; а3а3 с повторяющимися элементами. То есть =6=. И вообще, можно доказать, что

(2.19)

6. Перестановки с повторениями. Пусть среди элементов (А1; а2; …..аN) содержится лишь K различных элементов (

(2/20)

В самом деле, если бы все N Элементов были разными, то число всех возможных перестановок из них, согласно (2.13), было бы равно Но среди них разных элементов лишь K, остальные N – K элементов повторяют эти K элементов. В частности, первый из этих K элементов повторяется раз. Сделав любую перестановку из этих Одинаковых элементов (не трогая остальных!) мы ничего не нарушим ни в какой перестановке из N элементов. А вот если бы все эти повторяющихся элементов были разными, то сделав любую их перестановку, мы получили бы другую перестановку из

А теперь рассмотрим примеры на применение полученных выше формул.

Пример 1. В посёлке устанавливается телефонная сеть с трёхзначными телефонными номерами. Сколько всего можно установить телефонных номеров? Сколько из них будет тех, которые содержат: 1) три разные цифры? 2) две одинаковые цифры? 3) три одинаковые цифры?

Решение.

1) Номеров с тремя разными цифрами будет, очевидно, столько, сколько существует всех возможных соединений (комбинаций) из 10 цифр 0,1,2,…9 по три цифры в каждом соединении. Так как в этих соединениях важен порядок следования цифр (например, 137 и 173 – это разные номера), то этими соединениями будут размещения. А значит, их общее количество N1 можно найти по формуле (2.1):

3) Пропуская вопрос (2), ответим на вопрос (3). Номеров с тремя одинаковыми цифрами будет, очевидно, 10. Это номера 000, 111, 222, … 999. То есть N3 = 10.

2) Все остальные номера – с двумя одинаковыми цифрами. Следовательно, их общее количество

N2 = 1000 – (N1 + N3 ) = 1000 – (720 + 10) = 270.

Пример 2. Сколько всего диагоналей у выпуклого N – угольника?

Решение: Соединяя каждую пару вершин треугольника, получим либо диагональ, либо сторону многоугольника. Число всех различных пар вершин N-угольника равно числу всех возможных соединений из N элементов (вершин многоугольника) по два элемента (по две вершины) в каждом соединении. Так как порядок следования элементов в этих парах, очевидно, не важен (диагональ, соединяющая, например, 2-ю и 5-ю вершину – это та же диагональ, которая соединяет 5-ю и 2-ю вершину), то такими парными соединениями будут сочетания из N элементов по два элемента в каждом сочетании. Следовательно, их общее число равно . В это число входят и сами N сторон многоугольника. Поэтому искомое число N Диагоналей N-угольника найдётся по формуле:

Пример 3. В чемпионате области по футболу участвуют 20 команд, причём каждые две из них встречаются между собой два раза (игры идут в два круга). Сколько всего матчей играется в течение сезона?

Решение. В первом круге состоится столько матчей, сколько существует сочетаний из 20 команд по две в каждом сочетании. То есть их число равно:

Во втором круге играется столько же матчей, поэтому в течение сезона их состоится 190·2=380.

Пример 4. Сколькими различными способами можно рассадить N человек за круглым столом?

Решение. Общее число всех способов, с помощью которых N человек может занять N мест за любым (не только круглым) столом равно, очевидно, числу всех перестановок из N Элементов (из N человек), то есть равно Но если стол круглый, то любая циклическая перестановка (одновременная пересадка всех вправо или влево на одно или несколько мест) не нарушает порядка рассаживания людей за столом. А таких циклических пересаживаний всего N. Поэтому искомое число Nn рассаживания N человек за круглым столом равно:

В частности, N2=1; N3 = 2; N4 = 6; N5 = 24;…..

Пример 5. Автомобильные номера состоят из двух букв (всего используется 30 букв) и трёх цифр (используются все 10 цифр). Сколько всего автомобилей можно занумеровать таким образом, чтобы никакие два автомобиля не имели одинакового номера?

Решение: Различных пар букв будет столько, сколько можно составить размещений с повторениями из 30 букв по две в каждом размещении. То есть, согласно формуле (2.18), их будет:

=302=900.

Аналогично различных троек цифр будет:

=103=1000.

(впрочем, это и так очевидно). Комбинируя (соединяя) теперь каждую пару букв с каждой тройкой цифр, получим искомое общее число N различных автомобильных номеров:

N= 900 · 1000 = 900000.

Пример 6. Имеются две колоды по 36 карт. Из каждой колоды вынимаются по одной карте. Сколько различных пар карт может быть при этом образовано?

Решение. В образовываемых парах карт порядок их следования, очевидно, не важен. Поэтому эти пары – различные сочетания из 36 карт. По условию, среди этих пар могут оказаться n пары с одинаковыми картами. То есть образованные пары карт – это сочетания с повторениями. А значит, их общее число:

Пример 7. Сколько всех возможных перестановок букв можно сделать в слове «математика»?

Решение. В слове «математика» всего 10 букв, из которых буква А повторяется 3 раза, буква М – два раза, буква т – два раза. Поэтому искомое число N Перестановок в слове «математика» — это число перестановок с повторениями. Согласно формуле (2.20),

Пример 8. Сколькими различными способами могут занять места в президиуме 5 человек, если в президиуме 8 мест?

Решение. – число всех возможных способов выбора пяти различных мест из имеющихся восьми. На этих местах 5 человек можно рассадить числом способов = 5! В итоге искомое число способов

Пример 9. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются две карты. Какова вероятность того, что ими окажется два туза (любых)?

Решение. В данной задаче испытание – это вынимание из колоды наудачу двух карт, а событие А – вынимание двух тузов. Возможных исходов в испытании столько, сколько всего пар карт можно составить. Таких пар будет, очевидно, N = = 630. Все эти 630 возможных исходов испытания, очевидно, равновозможны. А число M исходов, благоприятствующих событию А – это, очевидно, число всех пар из четырёх тузов, то есть M = = 6. Поэтому по классической формуле (1.3) получаем:

Пример 10. Ребёнок играет двумя карточками с буквой «М» и двумя карточками с буквой «А», выкладывая их в линию. Какова вероятность того, что у него получится слово «МАМА»?

Решение. В данной задаче испытание — это выкладывание ребёнком наудачу в линию четырёх карточек, а событие А – выкладывание слова «МАМА». Возможные исходы испытания – это различные перестановки четырёх карточек, причём перестановки с повторениями, в которых и буква М, и буква А повторяются два раза. Число таких перестановок, согласно формуле (2.20), равно

Это – число N Всех возможных исходов испытания, причём исходов равновозможных. А число M исходов, благоприятствующих событию А, равно 1: M=1 (перестановка «МАМА»). В итоге по классической формуле (1.3) получаем:

Пример 11. Из десяти билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов: а) только один выигрышный; б) оба выигрышные.

Решение. Здесь испытание – выбор пяти билетов из десяти. Всего существует способов выбрать 5 билетов из 10. Следовательно, число N Всех возможных исходов испытания и в задаче а), и в задаче б) одинаково и равно . Причём все эти исходы равновозможны.

В задаче а) благоприятный исход испытания состоит в том, что из двух выигрышных билетов будет выбран один (это можно сделать двумя способами), а из восьми невыигрышных будут выбраны четыре (это можно сделать Способами). Таким образом, общее число всех благоприятных исходов равно 2·, а значит, вероятность события А, состоящего в том, что среди пяти отобранных билетов окажется лишь один выигрышный, по классической формуле (1.3) равна:

В задаче б) благоприятный исход испытания состоит в том, что из двух выигрышных билетов будут взяты оба (их можно взять одним способом) и ещё три билета будут взяты невыигрышных (их можно взять способами). Число благоприятных исходов, таким образом равно , а вероятность события В, состоящего в том, что среди пяти отобранных билетов окажется два выигрышных, по классической формуле равна

Пример 12. На книжную полку в произвольном порядке выставлены 5 книг. Какова вероятность того, что некоторые две из них, составляющие двухтомник, окажутся на полке рядом?

Решение. В данной задаче испытание – это установка на полку в произвольном порядке пяти книг. А событие А – то, что книги двухтомника окажутся рядом.

Всех возможных исходов испытания, очевидно, столько, сколько существует перестановок из пяти книг. То есть их = 5! = 120. Благоприятствующими событию А будут те из них, когда книги двухтомника стоят рядом.

Для начала подсчитаем число тех благоприятствующих исходов, когда книги двухтомника стоят на первых двух местах, причём первый том стоит на первом месте, а второй на втором. Так как последние три книги могут быть установлены произвольно, то таких исходов будет =3! = 6. Меняя местами книги двухтомника, получим ещё 6 благоприятствующих исходов. Таким образом, если книги двухтомника занимают на полке первые два места, то всего соответствующих благоприятствующих исходов (перестановок книг) оказывается 2· = 12. Но благоприятствующими событию А Исходами будут и те, при которых книги двухтомника стоят на 2-3, 3-4, 4-5 местах. Итого всех таких исходов оказывается 12·4=48. А тогда по классической формуле (1.3) получаем:

Упражнения.

1. В пятом классе изучается 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день должно быть 4 урока? Решить задачу в предположении, что:

А) порядок уроков важен;

Б) порядок уроков не важен.

Ответ: а) 11880; б) 495.

2. Сколько различных символов можно закодировать с помощью 8-значных двоичных чисел (чисел, содержащих в своей записи лишь нули и единицы общим числом 8)?

Ответ: 256.

3. Пять девушек и пять юношей разыграли 10 мест выделенного им на концерт зрительного ряда (места с 31 по 40). Какова вероятность того, что они будут сидеть строго вперемешку (никакие две девушки и два юноши не будут сидеть рядом)?

Ответ: 1/126.

4. Найти вероятность того, что в лотерее «Спортлото 5 из 36» можно угадать:

А) все 5 номеров; б) 4 номера; в) 3 номера.

Ответ: а) 1/324632; б) 150/324632; в) 4350/324632.

5. Доказать, что вероятность того, что у двенадцати случайно выбранных человек дни рождения приходятся на разные месяцы, меньше 0,0001.

6. Сколькими различными способами можно распределить 6 различных учебников между тремя студентами по два учебника каждому?

Ответ: 90 способами.

комбинаторика — Доказательство числа: * перестановок «n» вещей, взятых «r» за раз, когда «m» указанных вещей всегда собираются вместе *

Спрошено 7 лет, 4 месяца назад

Изменено 4 месяца назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Читаю ниже во многих источниках

Количество перестановок «n» вещей, взятых «r» за раз, когда «m» указанных вещей всегда собираются вместе =$ m! * (n-m+1) !$ 9rC_m=\frac{r!}{(rm)!m!}$

Далее расположите m элементов: $m! (г-м+1)!$

Далее я должен умножить все вышеперечисленное и сделать отмену. Итак, я достиг: $\frac{n!(r-m+1)!}{(n-r)!(r-m)!}$

Но я не понимаю, как поступить, чтобы получить данные $ m! * (n-m+1) !$

• комбинаторика

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Закажите вещи, которые собираются вместе: $m!$

Теперь рассматривайте весь блок из $m$ вещей как единый элемент, у вас есть $n-m+1$ элементов для заказа.

Заказать новую группу элементов: $(n-m+1)!$

Таким образом, для каждого порядка $m$ элементов у вас будет $(n-m+1)!$ порядков, так что..

$m!(n-m+1)!$

При необходимости запросить дополнительные разъяснения (сказать, что непонятно)

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Думаю, что приведенная Вами формула неверна — она ​​не учитывает условие «расстановки r объектов». Ваш подход учитывает это (поэтому он не будет соответствовать этой формуле), но я думаю, что он не совсем соответствует языку, который обычно относится к m указывает объекта, которые должны храниться вместе (например, «расположите 12 выбранных букв латинского алфавита так, чтобы P, Q, R, S отображались вместе»).
Это будет работать:

1. Выберите m объектов: указаны, есть только один способ сделать это.
2. Выберите остальные r объектов для размещения: (n-m)!/((r-m)!(n-m+r)!) способы сделать это
3. расставить m указанных объектов: m! пути — это формирует один большой объект
4. упорядочить r-m+1 объектов, состоящих из большого объекта из шага 3 и других (r-m) выбранных объектов: (r-m+1)! способы упорядочить их.

Собираем все вместе: m!(n-m)!(r-m+1)! / ((n-r+m)!(r-m)!) способов упорядочить r объектов, взятых из n объектов, если m указанных объектов необходимо (выбрать и) сохранить вместе.

$\endgroup$

$\begingroup$

Это вопрос о перестановке, поэтому объекты могут идти в другом порядке.

1. Рассматривать M объектов как единую сущность/объект. Помните, что внутри этой сущности может быть m объектов. устроил в М! способов.

2. Теперь общее количество объектов равно (n-m+1).

   пр. если n = 3 и m = 2, то если мы будем рассматривать 2 объекта как один объект / объект, у нас будет 2 (3-2 + 1 = 2) объекта.

3. Так как это перестановка, (n-m+1) может быть организована в (n-m+1)! способов. то есть (n-m+1) P (n-m+1).

4. Сейчас; с шага 1 и шага 3; M объектов можно расположить в M! пути, И (n-m+1) объекты могут быть расположены (n-m+1) способами. Следовательно, общее количество способов выбора равно Шагу 1 * Шагу 3. Что равно M!*(n-m+1)!

Спасибо!!

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

перестановок | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Используйте принцип сложения, чтобы определить общее количество вариантов для данного сценария.
• Используйте принцип умножения, чтобы найти количество перестановок n различных объектов.
• Найдите количество перестановок n различных объектов по формуле.
• Найдите количество перестановок n неразличимых объектов.

Использование принципа сложения

Компания, занимающаяся продажей индивидуальных чехлов, предлагает чехлы для планшетов и смартфонов. Есть 3 поддерживаемые модели планшетов и 5 поддерживаемых моделей смартфонов. Принцип сложения говорит нам, что мы можем добавить количество опций планшета к количеству опций смартфона, чтобы найти общее количество опций. По принципу сложения всего 8 вариантов.

Общее примечание: принцип сложения

В соответствии с принципом сложения , если одно событие может произойти [latex]m[/latex] способами, а второе событие без общих исходов может произойти [latex]n[ /latex] способами, то первое или второе событие может произойти [latex]m+n[/latex] способами.

Пример: использование принципа сложения

В меню ужина есть 2 варианта вегетарианских блюд и 5 вариантов мясных блюд. Каково общее количество вариантов входа?

Показать решение

Попробуйте

Студент покупает новый компьютер. Он выбирает между 3 настольными компьютерами и 4 портативными компьютерами. Каково общее количество опций компьютера?

Показать решение

Использование принципа умножения

Принцип умножения применяется, когда мы делаем более одного выбора. Предположим, мы выбираем закуску, основное блюдо и десерт. Если в меню ужина с фиксированной ценой есть 2 варианта закусок, 3 варианта основных блюд и 2 варианта десерта, всего имеется 12 возможных вариантов по одному, как показано на древовидной диаграмме.

Возможные варианты:

1. суп, курица, торт
2. суп, курица, пудинг
3. суп, рыба, пирог
4. суп, рыба, пудинг
5. суп, бифштекс, пирог
6. суп, стейк, пудинг
7. салат, курица, торт
8. салат, курица, пудинг
9. салат, рыба, торт
10. салат, рыба, пудинг
11. салат, стейк, торт
12. салат, стейк, пудинг

Мы также можем найти общее количество возможных обедов путем умножения.

Мы также можем заключить, что существует 12 возможных вариантов ужина, просто применив принцип умножения.

Общее примечание: принцип умножения

В соответствии с принципом умножения , если одно событие может произойти [latex]m[/latex] способами, а второе событие может произойти [latex]n[/latex] способами после того, как произошло первое событие, то два события могут произойти [latex]m\times n[/latex] способами. Это также известно как Фундаментальный Принцип Подсчета .

Пример: использование принципа умножения

Диана упаковала 2 юбки, 4 блузки и свитер для своей деловой поездки. Ей нужно будет выбрать юбку и блузку для каждого наряда и решить, надевать ли свитер. Используйте принцип умножения, чтобы найти общее количество возможных нарядов.

Показать решение

Попробуйте

Ресторан предлагает специальное предложение на завтрак, которое включает бутерброд, гарнир и напиток. Есть 3 вида сэндвичей на завтрак, 4 варианта гарнира и 5 вариантов напитков. Найдите общее количество возможных специальных завтраков.

Показать решение

Принцип умножения можно использовать для решения различных типов задач. Один тип задач связан с размещением объектов по порядку. Мы собираем буквы в слова и цифры в числа, выстраиваемся в очередь для фотографий, украшаем комнаты и многое другое. Порядок объектов называется перестановка .

Нахождение количества перестановок

n различных объектов с использованием принципа умножения

Для решения задач перестановки часто полезно рисовать отрезки для каждого варианта. Это позволяет нам определить количество каждого варианта, чтобы мы могли умножить. Например, предположим, что у нас есть четыре картины, и мы хотим найти количество способов, которыми мы можем повесить три картины на стену по порядку. Мы можем нарисовать три линии, чтобы обозначить три места на стене.

Есть четыре варианта первого места, поэтому пишем 4 в первой строке.

После того, как первое место было занято, есть три варианта для второго места, поэтому мы пишем 3 во второй строке.

После того, как второе место занято, есть два варианта для третьего места, поэтому мы пишем 2 в третьей строке. Наконец, мы находим продукт.

Есть 24 возможных перестановки картин.

Как сделать: Имея [latex]n[/latex] различных вариантов, определите, сколько существует перестановок.

1. Определите, сколько вариантов есть для первой ситуации.
2. Определите, сколько вариантов осталось для второй ситуации.
3. Продолжайте, пока все ячейки не будут заполнены.
4. Перемножьте числа вместе.

Пример: определение количества перестановок с использованием принципа умножения

На соревнованиях по плаванию девять пловцов соревнуются в гонке.

1. Сколькими способами они могут поставить первое, второе и третье места?
2. Сколькими способами они могут занять первое, второе и третье места, если пловец по имени Ариэль выиграет первое место? (Предположим, что есть только один участник по имени Ариэль. )
3. Сколькими способами все девять пловцов могут выстроиться в очередь для фото?

Показать решение

Попробуйте

Семья из пяти человек снимает портреты. Используя принцип умножения, найдите следующее.
Сколькими способами семья может выстроиться для портрета?

Показать решение

Сколькими способами фотограф может выстроить в ряд 3 членов семьи?

Показать решение

Сколькими способами семья может выстроиться для портрета, если родители должны стоять на каждом конце?

Показать решение

Нахождение количества перестановок

n различных объектов с помощью формулы

Для некоторых задач перестановки неудобно использовать принцип умножения, потому что нужно умножать очень много чисел. К счастью, мы можем решить эти проблемы с помощью формулы. Прежде чем мы изучим формулу, давайте рассмотрим два общепринятых обозначения перестановок. Если у нас есть набор объектов [latex]n[/latex] и мы хотим выбрать объекты [latex]r[/latex] из набора по порядку, мы пишем [latex]P\left(n,r\right) [/латекс]. Другой способ записать это — [латекс]{}_{n}{P}_{r}[/латекс], нотация, обычно встречающаяся на компьютерах и калькуляторах. Чтобы вычислить [латекс]P\влево(n,r\вправо)[/латекс], мы начнем с нахождения [латекс]n![/латекс], количества способов выстроить в линию все [латекс]n[/латекс] объекты. Затем мы делим на [латекс]\левый(n-r\правый)![/латекс], чтобы исключить элементы [латекс]\левый(n-r\правый)[/латекс], которые мы не хотим выстраивать в ряд.

Давайте посмотрим, как это работает, на простом примере. Представьте себе клуб из шести человек. Им нужно избрать президента, вице-президента и казначея. Шесть человек могут быть избраны президентом, любой из пяти оставшихся человек может быть избран вице-президентом, а любой из оставшихся четырех человек может быть избран казначеем. Это можно сделать несколькими способами: [латекс]6\умножить на 5\умножить на 4=120[/латекс]. Используя факториалы, мы получаем тот же результат.

[латекс]\dfrac{6!}{3!}=\dfrac{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3!}{3!}=6\cdot 5\cdot 4=120[/latex]

Есть 120 способов выбрать 3 офицеров по порядку из клуба с 6 членами. Мы называем это перестановкой 6, взятых по 3 за раз. Общая формула выглядит следующим образом.

[латекс]P\left(n,r\right)=\dfrac{n!}{\left(n-r\right)!}[/latex]

Обратите внимание, что формула по-прежнему работает, если мы выбираем все [latex]n[/latex] объектов и расстановка их по порядку. В этом случае мы будем делить на [латекс]\левый(n-n\правый)![/латекс] или [латекс]0![/латекс], который, как мы сказали ранее, равен 1. Таким образом, количество перестановок [ latex]n[/latex] объекты, взятые [latex]n[/latex] за раз, равны [latex]\frac{n!}{1}[/latex] или просто [latex]n!\text{.}[ /латекс]

A Общее примечание: формула для перестановок

n различных объектов

Учитывая [latex]n[/latex] различных объектов, количество способов выбрать [latex]r[/latex] объекты из набора по порядку равно

[латекс]P\left(n,r\right)=\dfrac{n!}{\left(n-r\right)!}[/latex]

Как: Учитывая задачу со словами, оценить возможные перестановки .

1. Определите [латекс]n[/латекс] из предоставленной информации.
2. Определить [латекс]r[/латекс] по предоставленной информации.
3. Замените [латекс]n[/латекс] и [латекс]r[/латекс] в формуле указанными значениями.
4. Оценить.

Пример: определение количества перестановок с помощью формулы

Профессор создает экзамен из 9 вопросов из банка тестов из 12 вопросов. Сколько способов она может выбрать и расположить вопросы?

Показать решение

Вопросы и ответы

Могли бы мы решить  используя принцип умножения?

Да. Мы могли бы умножить [latex]15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4[/latex] чтобы найти тот же ответ .

Попробуй

В спектакле 7 актеров готовятся выйти на сцену. Используя формулу перестановки, найдите следующее.

Сколькими способами могут выстроиться 7 актеров?

Показать решение

Сколькими способами можно выбрать 5 из 7 актеров, чтобы выстроиться в очередь?

Показать решение

Нахождение числа перестановок n неразличимых объектов

Мы изучали перестановки, в которых все задействованные объекты были различными. Что произойдет, если некоторые из объектов неразличимы? Например, предположим, что есть лист из 12 наклеек. Если бы все наклейки были разными, было бы [латекс]12![/латекс] способов заказать наклейки. Однако 4 наклейки — это одинаковые звезды, а 3 — одинаковые луны. Поскольку все объекты не различны, многие из подсчитанных нами перестановок [latex]12![/latex] являются дубликатами. Общая формула для этой ситуации выглядит следующим образом.

[латекс]\dfrac{n!}{{r}_{1}!{r}_{2}!\dots {r}_{k}!}[/latex]

В этом примере мы нужно разделить на количество способов заказать 4 звезды и количество способов заказать 3 луны, чтобы найти количество уникальных перестановок наклеек. Есть [латекс]4![/латекс] способов упорядочить звезды и [латекс]3![/латекс] способы упорядочить луну.

[латекс]\dfrac{12!}{4!3!}=3\text{,}326\text{,}400[/latex]

Существует 3 326 400 способов заказать лист наклеек.

Общее примечание: формула для нахождения числа перестановок

n Неразличимые объекты

Если в наборе есть [latex]n[/latex] элементы и [latex]{r}_{1}[/latex] одинаковы, [latex]{r}_{ 2}[/latex] одинаковы, [latex]{r}_{3}[/latex] одинаковы и так далее до [latex]{r}_{k}[/latex], количество перестановок может можно найти по

[латекс]\dfrac{n!}{{r}_{1}!{r}_{2}!\dots {r}_{k}!}[/latex]

Пример: Нахождение количества перестановок

n неразличимых объектов

Найдите количество перестановок букв в слове DISTINCT.

No related posts.