Комплексные числа график: Комплексные числа онлайн

alexxlab / / Разное

Комплексные числа — Алгебра и геометрия

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратныхдля случая D < 0 (здесь D–дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: z=a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Свойства:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0i или a – 0i. Например 5 + 0iи 5 – 0iозначают одно и то же число 5.

2. Комплексное число 0+ biназывается чисто мнимым числом. Записьbi означает то же самое, что и 0+ bi.

3. Два комплексных числаa+ biи c+ diсчитаются равными, еслиa= c иb= d. В противном случае комплексные числа не равны.

Действия:

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ biи c+ di называется комплексное число (a+ c) + (b+ d)i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Вычитание.Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di(вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d)i.Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение.Произведением комплексных чисел a+ biи c+ di называется комплексное число:

(ac – bd) + (ad + bc)i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a+ biи c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством:  i 2 = –1.

П р и м е р .  ( a+ bi )( a – bi )= a 2 + b 2. Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число  a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) — значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di,  даёт в результате делимое  a+ bi. Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р .  Найти  ( 8 + i ) : ( 2 – 3i) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на  2 + 3i и выполнив все преобразования, получим

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка Aозначает число –3, точка B–число 2, и  O –ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ biбудет представлено точкой  Р  с абсциссой а и ординатой b. Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  | a+ bi | или ) буквой  r  и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси; Rez

мнимую единицу по мнимой оси. Imz

Видео YouTube

Теория о комплексных числах — энергетик

Карл Фридрих Гаусс

    Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Карл Гаусс в 1831 году.

   Итак, комплексные числа были введены в связи со следующей задачей, что действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение. Напомним, что квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

     Заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
Не имеют корней;
Имеют ровно один корень;
Имеют два различных корня.
    К понятию комплексного числа привело стремление решить уравнение


x2 +1 = 0 и извлечь корень из отрицательного числа.

Наряду с алгебраической формой  z = x + i y комплексного числа рассмотрим
еще две формы записи.

Тригонометрической формой комплексного числа , не равного нулю, называется запись  где  /z/— модуль комплексного числа, /φ/ — аргумент комплексного числа.  

И комплексное число  можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме: z=reiφ.

    Ввиду того, что традиционно символ i в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой j, но принципиальной разницы нет как обозначать — j или i.  Комплексное число — это выражение вида a

 + bi, где a, b — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица, символ, квадрат которого равен – i = 1, то есть i2 = –1. Число a называется действительной частью, а число b — мнимой частью комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a. 

     Сразу заметим, что арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Действительные числа (см. рис. ниже) – это и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.

  Сложение и вычитание комплексных чисел происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i2 = –1). Число   = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z ·   = a2 + b2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

 

 

 

   Напомним, чтобы всё было сразу понятно, если вмести нам вспомнить из школьной программы, то в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита.

Например:

A={0,5,6,−9},B={Δ,+,−5,0}.A={0,5,6,−9},B={Δ,+,−5,0}.

Нас интересует следующие обозначение:

  • N– множество всех натуральных чисел;
  • Z– множество целых чисел;
  • Q– множество рациональных чисел;
  • J– множество иррациональных чисел;
  • R– множество действительных чисел;
  • C– множество комплексных чисел.

Пример:  обозначенияг на графике см. Рис.(обозначение буквой R множество действительных чисел).

  Теперь пора вернутся как говорится «к нашим баранам», т.е. к комплексным числам, на графике обозначают, как уже отмечалось выше буквой C, ниже примеры графиков:

2.2: Графическое представление и отношение Эйлера

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    106807
    • Марсия Левитус
    • Университет штата Аризона

    Комплексные числа могут быть представлены графически в виде точки на координатной плоскости. В декартовых координатах ось \(х\) используется для действительной части числа, а ось \(у\) используется для мнимой составляющей. Например, комплексное число \(x+iy\) представлено точкой на рисунке \(\PageIndex{1}\).

    Комплексные числа также могут быть представлены в полярной форме. Мы знаем, что для точки \((x,y)\) на плоскости \(\cos\phi=x/r\) и \(\sin\phi=y/r\). Следовательно, комплексное число \(x+iy\) также может быть представлено как \(r\cos\phi+i r\sin\phi\). 9*}=\sqrt{(1+i)(1-i)}=\displaystyle{\color{Maroon}\sqrt{2}} \nonumber\]

    внешние ссылки
    • Выражение комплексного числа в полярной форме Я: http://www.youtube.com/watch?v=6z6fzPXUbSQs
    • Выражение комплексного числа в полярной форме II: http://www.youtube.com/watch?v=tAIxdEVuTZ8
    • Выражение комплексного числа в полярной форме III: http://www.youtube.com/watch?v=XIYDO_weAVA

    Эта страница под названием 2.2: Графическое представление и взаимосвязь Эйлера распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4. 0 и была создана, изменена и/или курирована Марсией Левитус с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Марсия Левитус
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Версия лицензии
        4,0
        Показать страницу TOC
        № на стр.
      2. Теги
        1. Соотношение Эйлера
        2. источник@https://www.public.asu.edu/~mlevitus/chm240/book.pdf

      Как построить график комплексных чисел

      Автор: Ян Куанг и Эллейн Касе и

      Обновлено: 26 марта 2016 г.

      Математика для реальной жизни Для чайников

      Исследуйте книгу Купить на Amazon

      Чтобы построить комплексные числа, вы просто комбинируете идеи вещественных чисел координатную плоскость и координатную плоскость Гаусса или Аргана, чтобы создать комплексную координатную плоскость. Другими словами, если задано комплексное число A+B i , вы берете действительную часть комплексного числа (A) для представления координаты x-, а мнимую часть (B) представляете у- координата.

      В координатной плоскости Гаусса или Аргана на вещественной оси (горизонтальной оси) полностью существуют чисто вещественные числа вида a + 0 i , а чисто мнимые числа вида 0 + B

      i существуют полностью на мнимой оси (вертикальной оси). На рисунке а показан график действительного числа, а на рисунке б — график мнимого числа.

      Сравнение графиков действительного и мнимого числа.

      Хотя вы изображаете комплексные числа так же, как любую точку на плоскости координат действительных чисел, комплексные числа не являются реальными! 9Координата 0180 x- является единственной действительной частью комплексного числа, поэтому вы называете ось x- реальной осью , а ось y- мнимой осью при построении графика в плоскости комплексных координат.

      Графическое представление комплексных чисел дает возможность визуализировать их, но графическое комплексное число не имеет такого же физического значения, как пара координат в виде действительных чисел. Для координаты ( x, y ) положение точки на плоскости представляется двумя числами. В комплексной плоскости значение одного комплексного числа представлено положением точки, поэтому каждое комплексное число A + B

      i можно представить в виде упорядоченной пары (A, B).

      Комплексные числа, нанесенные на комплексную координатную плоскость.

      На этом рисунке вы можете увидеть несколько примеров графических комплексных чисел:

      • Точка A. Действительная часть равна 2, а мнимая часть равна 3, поэтому комплексная координата равна (2, 3), где 2 находится на действительной (или горизонтальной) оси, а 3 — на мнимой (или вертикальной). ) ось. Эта точка равна 2 + 3 i.

      • Точка B. Действительная часть равна –1, а мнимая часть равна –4; вы можете нарисовать точку на комплексной плоскости как (–1, –4). Эта точка равна –1 – 4 i.

      • Точка C. Действительная часть равна 1/2, а мнимая часть равна –3, поэтому комплексная координата равна (1/2, –3).

        No related posts.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *