Комплексные числа примеры решения: Комплексные числа, примеры с решением

Содержание

определение, алгебраическая форма, геометрическая интерпретация, действия с ними

В данной публикации мы рассмотрим определение комплексного числа, его алгебраическую форму и геометрическую интерпретацию, а также свойства арифметических действий, выполняемых с такими числами.

Определение комплексного числа
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Арифметические действия с комплексными числами
- Сложение и вычитание
- Умножение
- Деление

Определение комплексного числа

Комплексным называется число вида z = a + bi, где:

a и b – это вещественные числа;
i – мнимая единица, для которой справедливо равенство: i² = -1;
a – действительная часть;
bi – мнимая часть.

Примечание: a + bi – это алгебраическая форма комплексного числа, которое нужно воспринимать как единое целое, а не как сложение.

Для обозначения множества комплексных чисел используется символ, похожий на букву C.

Если b = 0, то комплексное число принимает вид: z = a + 0 ⋅ i = a. Таким образом, вещественное (действительное) число – это частный случай комплексного.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Комплексные числа можно перенести на координатную (комплексную) плоскость, осью абсцисс которой будут являться действительная часть (Re), а осью ординат – мнимая (Im).

В качестве примера ниже показаны следующие комплексные числа, которые можно интерпретировать как векторы:

z = 1 + 4i
z = 2 – i
z = -3 – 2i
z = -3 + 2i
z = 3
z = -2i

z = 3 является комплексным числом с нулевой мнимой частью, т.е. по сути это действительное число.
z = -2i – исключительно мнимое число с нулевой действительной частью.

Арифметические действия с комплексными числами

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел выполняется по тем же законам, которые применимы к обычным числам.

Например,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Пример 1: сложим два комплексных числа: x = 2 + 4i и y = 1 – 3i.

Решение:
x + y = (2 + 4i) + (1 – 3i) = (2 + 1) + (4 – 3)i = 3 + i.

Пример 2: вычтем из комплексного числа x = 6 – 2i число y = 3 + 5i.

Решение:
x – y = (6 – 2i) – (3 + 5i) = 6 – 2i – 3 – 5i = 3 – 7i.

Ниже представлены свойства действий с комплексными числами.

Сложение и вычитание

YYYY» data-time-format=»HH:mm» data-features=»["after_table_loaded_script"]» data-search-value=»» data-lightbox-img=»» data-head-rows-count=»1″ data-pagination-length=»50,100,All» data-auto-index=»off» data-searching-settings=»{"columnSearchPosition":"bottom","minChars":"0"}» data-lang=»default» data-override=»{"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default"}» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>


Коммутативность (переместительность)	x + y = y + x
Ассоциативность (сочетательность)	x + (y + z) = (x + y) + z
Прибавление нуля	x + 0 = x
Противоположный элемент	x + (-x) = 0
Вычитание через сложение	x — y = x + (-y)

Умножение

00″ data-percent-format=»10.00%» data-date-format=»DD.MM.YYYY» data-time-format=»HH:mm» data-features=»["after_table_loaded_script"]» data-search-value=»» data-lightbox-img=»» data-head-rows-count=»1″ data-pagination-length=»50,100,All» data-auto-index=»off» data-searching-settings=»{"columnSearchPosition":"bottom","minChars":"0"}» data-lang=»default» data-override=»{"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default"}» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>


Коммутативность (переместительность)	x ⋅ y = y ⋅ x
Ассоциативность (сочетательность)	x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z
Умножение на 0	x ⋅ 0 = 0
Умножение на 1	x ⋅ 1 = x
Дистрибутивность (распределительность)	x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z

Деление

У каждого комплексного числа a + bi, за искл. нуля, есть обратное к нему число, которое имеет вид:

Деление ненулевых комплексных чисел:

Примеры с решениями

Пример 1.1. В задачах 1 – 6 записать данные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

7. =

Алгебраические операции над комплексными числами

Алгебраические операции сложения и умножения над комплексными числами вводятся по правилам сложения и умножения двучленов, т.е., если

то

Для любого комплексного числа существует обратное, т. е. такое, что. Легко проверить, что этим числом является число , где – комплексно-сопряженное число.

Например, представим комплексное число в алгебраической форме.

Решение.

Умножение и деление комплексных чисел можно производить не в алгебраической, а в тригонометрической форме. Использование формул тригонометрии дает следующий результат: пусть, , , , тогда

Здесь видим простое правило: при произведении модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

Целая степень комплексного числа определяется многократным умножением. При этом, возможно использование формулы бинома Ньютона, а если степень не велика, то формул сокращенного умножения, например

Для возведения комплексного числа в степень удобно пользоваться не алгебраической, а тригонометрической или показательной формами записи комплексного числа.

Справедлива следующая формула, которая носит название формула Муавра: для

Корень -й степени () из комплексного числа имеет различных значений, которые находятся по формуле:

где. Эти значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят ее на n равных частей (т.е. при являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность).

Пример 1.2. Найти произведение и частное чисел и.

Решение. По формулам (1.1) – (1.2)

Пример 1.3. Вычислить.

Решение. Модуль числа равен, а главное значение его аргумента. По формуле (1.3)

Пример 1.4. Найти все значения.

Решение. Искомые корни обозначим Модуль подкоренного числа равен 1, а аргумент (главный) равен 0. Отсюда, по формуле (1.5),

При , при , при . Корни уравнения показаны на рис. 10.

Рис. 10. Корни уравнения

Рис. 11. Построение области к примеру 1.5.

Пример 1.5. Построить область

на комплексной плоскости

Решение. Первая из областей () представляет собой сектор с началом в точке. Границы сектора отмечены пунктирной линией, поскольку они заданы строгим неравенством.

Вторая область представляет собой круг с центром в точке и радиусом. Граница области изображена сплошной линией, так как область задана нестрогим неравенством. Искомая область есть пересечение сектора и круга. На рис.11 эта область не заштрихована.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить, исходя из определения числа:, , , ,.

2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел и изобразить их на комплексной плоскости:

3. Найти модули и аргументы комплексных чисел. Изобразить числа на комплексной плоскости и записать их в тригонометрической и показательной формах:

4. Вычислить по формуле Муавра:

5. Найти все значения корней: а), б), в).

6. Найти главное значение аргумента комплексного числа.

7. Все ли заданные числа записаны в тригонометрической форме? Если нет, то записать их в тригонометрической и показательной формах: а), б).

8. Представить в тригонометрической форме число .

9. Числа, , представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

10. Числа, и даны в задании 9. Решить уравнения.

11. Построить линии на комплексной плоскости: 1), 2), 3), 4), 5).

12. Построить области на комплексной плоскости:

Комплексные числа избранные задачи (стр. 1 из 20)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА АГЛЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

Комплексные числа

(избранные задачи)

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

по специальности 050201.65 математика

(с дополнительной специальностью 050202.65 информатика)

Выполнила: студентка 5 курса

физико-математического

факультета

Научный руководитель:

ВОРОНЕЖ – 2008

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………..…

2. Комплексные числа (избранные задачи)

2. 1. Комплексные числа в алгебраической форме….……………….….

2.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел…………..…

2.3. Тригонометрическая форма комплексных чисел

2.4. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени……………..………………………………………………………

2.5. Комплексные числа и параметры…………………………………….

3. Заключение…………………………………………………………………..

4. Список литературы………………………….………………………………

1. Введение

В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.

Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.

В данной дипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.

В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.

В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня из комплексного числа.

Четвертая часть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.

При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В части упражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, где комплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностью решения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений (неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических с параметром.

Особенностью изложения материала каждой части является первоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применение при решении задач.

В конце дипломной работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения. Особое внимание хочется обратить на такие источники, как:

1. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. [10]. Материал учебного пособия изложен в виде лекционных и практических занятий.

2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. [21] Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач.

2. Комплексные числа (избранные задачи)

2.1. Комплексные числа в алгебраической форме

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида

где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

Обозначим этот корень через

. Таким образом, по определению

, или

следовательно,

Символ

называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел

составляется выражение вида

Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

где

– действительные числа, а

– некоторый символ, удовлетворяющий условию

. Число

называется действительной частью комплексного числа

, а число

– его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

Комплексные числа вида

являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.

Комплексные числа вида

называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида

называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. если выполняются равенства

Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Суммой двух комплексных чисел

называется комплексное число

вида

Произведением двух комплексных чисел

называется комплексное число

вида

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения:

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

3. Коммутативный закон умножения:

4. Ассоциативный закон умножения:

Решение уравнений с комплексными числами примеры. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексные числа — это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или .

Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой :

Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.

Самая популярная модель множества комплексных чисел — это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).

Операции над комплексными числами.

На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.

1.1 Сложение.

(Как видно, данная операции в точности соответствует )

1.2 Вычитание , аналогично, производится по следующему правилу:

2. Умножение.

3. Деление.

Определяется просто как обратная операция к умножению.

Тригонометрическая форма.

Модулем комплексного числа z называется следующая величина:

очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.

Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.

Оказывается, что

z = ρ(cosφ+isinφ) .

Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы :

Последнюю формулу называют Формулой Муавра . Непосредственно из нее выводится формула

корня n-ной степени из комплексного числа :

таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.

Комплексные числа

Мнимые и комплексные числа. Абсцисса и ордината

комплексного числа. Сопряжённые комплексные числа.

Операции с комплексными числами. Геометрическое

представление комплексных чисел. Комплексная плоскость.

форма комплексного числа. Операции с комплексными

числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Начальные сведения о мнимых и комплексных числах приведены в разделе «Мнимые и комплексные числа». Необходимость в этих числах нового типа появилась при решении квадратных уравнений для случая D D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики

и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0 i или a – 0 i .

Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .

3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d ) i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + (b – d

) i .

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

( ac – bd ) + (ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = – 1.

П р и м е р . (a+ bi )( a – bi ) = a 2 + b 2 . Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) — значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi .

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3 i ) .

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i

И выполнив все преобразования, получим:

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или буквой r

План урока.

1. Организационный момент.

2. Изложение материала.

3. Домашнее задание.

4. Подведение итогов урока.

Ход урока

I. Организационный момент .

II. Изложение материала .

Мотивация.

Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из отрицательного числа.

Введение понятия комплексного числа.

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi , где i – мнимая единица, причем i 2 = — 1 .

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение . Комплексным числом называется выражение вида a + bi , где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:

а) Два комплексных числа a 1 + b 1 i и a 2 + b 2 i равны тогда и только тогда, когда a 1 =a 2 , b 1 =b 2 .

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i .

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 — b 1 b 2) + (a 1 b 2 — a 2 b 1) i .

Алгебраическая форма комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a : a + 0i = a .

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi : 0 + bi = bi .

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

1) Сложение.

Определение . Суммой комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i называется комплексное число z , действительная часть которого равна сумме действительных частей z 1 и z 2 , а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z 1 и z 2 , то есть z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i .

Числа z 1 и z 2 называются слагаемыми.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .

2º. Ассоциативность: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3º. Комплексное число –a –bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi . Комплексное число, противоположное комплексному числу z , обозначается -z . Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i) .

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i .

2) Вычитание.

Определение. Вычесть из комплексного числа z 1 комплексное число z 2 z, что z + z 2 = z 1 .

Теорема . Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i) .

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i .

3) Умножение.

Определение . Произведением комплексных чисел z 1 =a 1 +b 1 i и z 2 =a 2 +b 2 i называется комплексное число z , определяемое равенством: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i .

Числа z 1 и z 2 называются сомножителями.

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z 1 z 2 = z 2 z 1 .

2º. Ассоциативность: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

4º. z · = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 — действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i) .

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i .

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i .

4) Деление.

Определение . Разделить комплексное число z 1 на комплексное число z 2 , значит найти такое комплексное число z , что z · z 2 = z 1 .

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z 2 ≠ 0 + 0i .

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z 1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i , тогда

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное .

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i 2 = -1 , легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i 3 = i 2 i = -i,

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 5 = i 4 i = i,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17) · i 23 .

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.

i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = — i.

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = — i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ — Студопедия

Поделись

Содержание

§1.	КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§2	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
§3.	ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§4	ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§5.	ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
§6	ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§7.	ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ. ФОРМУЛА КОШИ
§8.	РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА ТЕОРЕМА АБЕЛЯ
§9.	РЯД ТЕЙЛОРА НУЛИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
§10.	РЯД ЛОРАНА ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
§11.	ВЫЧЕТЫ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ .
§12.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ
	ЛИТЕРАТУРА

Уже простейшие алгебраические операции над действительными числами (извлечение квадратного корня из отрицательного числа, решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом) выводят за пределы множества действительных чисел. Дальнейшее обобщение понятия числа приводит к комплексным числам. Замечательным свойством множества комплексных чисел является его замкнутость относительно основных математических операций. Иначе говоря, основные математические операции над комплексными числами не выводят из множества комплексных чисел.

Комплексным числом (в алгебраической форме) называется выражение

где – произвольные действительные числа, – мнимая единица, определяемая условием .

Число называется действительной частью комплексного числа , обозначается (от латинского «realis»), число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от латинского «imaginarius»).

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: , . Два комплексных числа равны либо не равны (понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся).

Комплексно-сопряженным к числу называется число . Очевидно, комплексно–сопряженное число к числу совпадает с числом : .

Арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.

Пусть , . Тогда

сумма ,

разность ,

произведение ,

частное (при )

Пример 1. Заданы комплексные числа , .

Найти , , .

Решение. ;

;

Задача 1. Пусть и – пара комплексно-сопряженных чисел. Показать, что их сумма есть действительное число, разность – мнимое число, а произведение есть действительное неотрицательное число.

Пример 2. Найти , .

Решение. ; .

Замечание. Степени числа можно представить в виде таблицы

Пример 3. Перемножить числа и .

Решение.

Пример 4. Вычислить а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Раскроем квадрат разности:

б) Раскроем куб суммы:

в) По биному Ньютона:

Можно было считать так: .

Пример 5. Найти частное , если .

Решение.

Пример 6. Вычислить а) , б) .

Решение. а) .

б) .

Запомним:

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат. Отложим по оси абсцисс действительную часть комплексного числа , а по оси ординат – его мнимую часть . Получим точку с координатами . При этом каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости. Верно и обратное: каждой точке плоскости можно поставить в соответствие комплексное число , действительная часть которого равна абсциссе точки, а мнимая часть равна ординате точки. Таким образом, между комплексными числами и точками плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. (Ранее мы говорили о взаимно однозначном соответствии между действительными числами и точками числовой прямой).

Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Для отличия её от действительной плоскости в правом верхнем углу пишут букву , обведенную кружком. Ось абсцисс на такой плоскости называют действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. Комплексно-сопряженное число – это зеркальное отражение заданного комплексного числа относительно действительной оси. Начало координат называется нуль-точкой. Расстояние комплексного числа от начала координат называется модулем этого числа:

Задача 2. Доказать, что .

Модуль разности двух комплексных чисел – это расстояние между соответствующими точками:

Каждой точке комплексной плоскости поставим в соответствие вектор с началом в нуль-точке и концом в данной точке. Очевидно, это соответствие взаимно однозначно. В такой интерпретации действительная и мнимая части комплексного числа – это первая и вторая компоненты вектора. Сумма представляется теперь диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , разность понимается как . Модуль комплексного числа представляет собой длину вектора. Геометрически очевидным является неравенство треугольника в комплексной плоскости: .

Пример 7. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

Решение. а) Так как , то заданное двойное неравенство можно переписать в виде: . Получили вертикальную полосу.

б) Так как , то заданное двойное неравенство перепишем в виде: . Получили горизонтальную полосу. Задачи в) и г) решить самостоятельно.

Пример 8. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых а) ; б) ; в) .

Решение. а) Модуль комплексного числа – это длина вектора, идущего из нуль-точки в точку , т.е. расстояние от начала координат до точки . Значит, в случае речь идет о геометрическом месте точек плоскости, равноудаленных от начала координат – это окружность (в данном случае радиус окружности равен 1). Можно было перевести задачу на язык декартовых координат:

б) Здесь речь идет о геометрическом месте точек, находящихся вне круга радиуса (с центром в начале координат).

в) точки находятся в кольце между окружностями радиуса и .

Пример 9. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых а) ; б) ; в) .

Решение. а) Модуль разности – это расстояние между точкой комплексной плоскости и точкой 1. Значит, речь идет о геометрическом месте точек, равноудаленных (на расстояние 1) от точки 1, – это окружность радиуса 1 с центром в точке (1;0). На языке координат:

б) Точки находятся одновременно в круге с центром в начале координат и в круге с центром, смещенным в точку : .

в) Это точки правой полуплоскости , лежащие внутри круга : .

Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргументом комплексного числа называют угол , который составляет вектор с положительным направлением действительной оси, . Этот угол определяется неоднозначно:

Здесь – главное значение аргумента, оно выделяется неравенствами (т.е. на комплексной плоскости проводится разрез по действительной оси влево от начала координат).

В первом столбце указан для числа , лежащего на действительной или мнимой оси, а во втором столбце — для всех остальных комплексных чисел.

Обозначим . Так как , , то комплексное число можно представить в тригонометрической форме:

Два комплексных числа и , заданных в тригонометрической форме

, ,

в силу неоднозначности аргумента равны тогда и только тогда, когда , .

Пример 10. Найти модули и аргументы, а также главные значения аргументов комплексных чисел . Записать каждое из них в тригонометрической форме.

Решение. Модули всех этих чисел одинаковы:

Аргумент каждого числа находим, учитывая четверть, в которой лежит соответствующая точка.

1) Точка лежит в первой четверти, значит,

В тригонометрической форме , здесь учтена — периодичность косинуса и синуса.

2) Точка лежит во второй четверти, значит,

3) Точка лежит в третьей четверти, значит,

4) Точка лежит в четвертой четверти, значит,

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть числа и заданы в тригонометрической форме: , . Перемножим их:

Вспоминая формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, получаем

. (1)

Мы видим, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Геометрический смысл этой операции: представляя числа и векторами на комплексной плоскости, исходящими из нуль-точки, видим, что вектор получается из вектора «растяжением» в раз и поворотом на угол .

Для частного получаем формулу:

. (2)

Пример 11. Найти произведение и частное чисел

и .

Решение. В соответствии с формулой (1) запишем:

Проверим результат, перемножая эти числа в алгебраической форме:

По формуле (2) находим

В алгебраической форме эта операция запишется так:

Возведение комплексного числа в степень. Из формулы (1) следует, что возведение в степень комплексного числа производится по правилу

. (3)

Пример 12. Вычислить 1) ; 2) .

Решение. 1) Выше мы получили запись комплексного числа в тригонометрической форме: . По формуле (3) находим . Этот же результат был получен выше в примере 4в) с помощью бинома Ньютона.

2) Прежде всего представим число в тригонометрической форме.

, ,

точка лежит в четвертой четверти, значит, . Поэтому

Остается воспользоваться формулой (3):

Раскрывая куб разности, получим тот же результат (проверьте!).

При формула (3) превращается в формулу Муавра:

. (4)

С её помощью легко получаются соотношения, выражающие синусы и косинусы кратных углов с и .

Пример 13. Выразить и через и .

Решение. Полагая в формуле Муавра , получим:

Слева раскроем куб суммы и соберем подобные члены:

Здесь учтено, что . Пришли к равенству двух комплексных чисел в алгебраической форме

которое справедливо в том и только в том случае, когда равны действительные и мнимые части этих чисел.

Равенство действительных частей дает ;

приравнивая мнимые части, получаем .

Извлечение корня из комплексного числа. Если комплексные числа и связаны соотношением , то . Представим числа и в тригонометрической форме:

, .

Будем считать, что здесь – главное значение аргумента числа .

Наша задача – по заданному числу (т. е. по известным и ) определить (т.е. и ). В соответствии с формулой (3) равенство запишется в виде

Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует:

Здесь – корень -ой степени из действительного неотрицательного числа. Значит, для корня -ой степени из комплексного числа получаем формулу

. (5)

Полагая последовательно , получим различных значений :

Все эти корни имеют одинаковые модули , т.е. соответствующие точки располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргументы двух соседних корней отличаются на угол . Значит, все значения корня -ой степени из комплексного числа находятся в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса .

Пример 14. Найти все значения корня -ой степени из комплексного числа и изобразить их на комплексной плоскости, если

1) , 2) , 3) , 4) .

Решение. 1) Прежде всего, найдем модуль и аргумент комплексного числа : . Формула (5) для примет вид

откуда ,

Точки находятся в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность единичного радиуса, один корень – является действительным числом. Аргументы двух соседних точек отличаются на угол . Заметим, что .

2) Здесь : , поэтому

откуда ,

Точки находятся в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность , корень является действительным числом. Заметим, что . Сравните с результатом пр.12.2, где получили , т.е. .

3) Здесь : и при

откуда ,

4) Здесь и при

, откуда получаем два числа:

, .

Запомним: .

Задача 3. Выполнить задания пр.14, если 1) , 2) .

Пример 15. Разложить на линейные множители квадратный трехчлен

1) ; 2) .

Решение. 1) Рассмотрим квадратное уравнение . Его дискриминант . Значит, действительных корней нет. Из пр.14.4 следует, что . По формуле для корней квадратного уравнения . Получили два комплексно-сопряженных корня и . В соответствии с найденными корнями можем разложить квадратный трехчлен на линейные множители:

2) Рассмотрим квадратное уравнение . Его дискриминант , действительных корней нет. Из пр.14.4 следует, что . По формуле для корней квадратного уравнения . Получили два комплексно-сопряженных корня и . В соответствии с найденными корнями разлагаем квадратный трехчлен на линейные множители:

Обращаем внимание на то, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет пару комплексно сопряженных корней.

Задача 4. Убедиться, что справедливы разложения на линейные множители

; ; .

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера (будет доказана позже):

, (6)

позволяет записать комплексное число в показательной форме:

, где .

Из формулы Эйлера и из — периодичности синуса и косинуса следует:

Значит, , т.е. .

Пример 16. Числа записать в показательной форме.

Решение. В примере 10 нашли ,

, , ,

, , , . ?

Легко проверить справедливость соотношений:

Сравните эти соотношения с правилами умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме.

Пример 17. Сравните комплексные числа и .

Решение. Из пр.16: . У чисел и модули равны. Выделяя в показателе числа слагаемое, кратное , представим в виде , так как множитель . Значит, .

определение, как найти, геометрический смысл

Что такое комплексное число

Комплексное число — это выражение типа \(z\;=\;a\;+\;ib\). Здесь a и b будут являться любыми действительными числами, а i — специальным числом, называемым мнимой единицей. Действительная часть комплексного числа обозначается как \(a\;=\;RE\;z \), а мнимая часть — \(b\;=\;Im\;z\).

Во множестве комплексных чисел содержится множество вещественных чисел. Если множество комплексных чисел — это всевозможные пары (x, y), то содержащееся в нем множество вещественных чисел — это пары (x, 0). Те же комплексные числа, которые задают пары (0, y) являются мнимыми.

Что такое модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа — это длина вектора, который изображает комплексное число.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Любое комплексное число кроме 0 может быть выражено в тригонометрической форме.

\(z\;=\;\left|z\right|\;\cdot\;(\cos\left(\varphi\right)\;+\;i\sin\left(\varphi\right))\)

В этом виде \(\left|z\right|\) — модуль комплексного числа z. Может обозначаться как p и r.

Если \(\left|z\right|\;=\;r,\) то r будет обозначать длину радиус-вектора точки M (x, y). 2}\)

То есть модуль комплексного числа можно вычислить как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой его частей.

Модуль комплексного числа имеет следующие свойства:

Модуль не отрицателен — \(\left|x\right|\;\geq\;0\). \(\left|x\right|\;=\;0\) только в том случае, если z = 0.
Модуль суммы двух комплексных чисел будет меньше или равен сумме модулей: \(\left|z_1\;+\;z_2\right|\;\leq\;\left|z_1\right|\;+\;\left|z_2\right|.\)
Модуль результата умножения двух комплексных числе будет равен произведению модулей: \(\left|z_1\;\cdot\;z_2\right|\;=\;\left|z_1\right|\;\cdot\;\left|z_2\right|.\)
Модуль результата деления двух комплексных чисел будет равняться частному модулей: \(\left|z_1\;\div\;z_2\right|\;=\;\left|z_1\right|\;\div\;\left|z_2\right|.\)
Модуль неравенства комплексных чисел будет равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости: \(\left|z_1\;-\;z_2\right|\;=\;\sqrt{\left(x_1\;-\;x_2\right)^2\;+\;\left(y_1\;-\;y_2\right)^2}\). 2}\;=\;\sqrt5.\)
Так как \(Re z = 2 > 0\), \(Im z = -1 < 0\), точка расположена в 4 четверти. Тогда из равенства \(\tan\left(\varphi\right)\;=\;-\frac12\) следует:
\(\varphi\;=\;arc\tan\left(-\frac12\right)\)
Ответ: \(\varphi\;=\;arc\tan\left(-\frac12\right)\)
Комплексные задачи с решениями и ответами
;» cwidth=»1001″/>
;» cwidth=»1001″> Комплексные числа важны в прикладной математике. Представлены задачи и вопросы по комплексным числам с подробным решением.
1. Оцените следующие выражения
  а) (3 + 2и) — (8 — 5и)
  б) (4 — 2и)*(1 — 5и)
  в) (- 2 — 4и) / я
  г) (- 3 + 2и) / (3 — 6и)
2. Если (x + yi) / i = (7 + 9i), где x и y действительны, каково значение (x + yi)(x — yi)?
3. Определить все комплексные числа z, удовлетворяющие уравнению
  z + 3 z’ = 5 — 6i
  , где z’ — комплексное сопряжение z.
4. Найдите все комплексные числа вида z = a + bi , где a и b — действительные числа, такие что z z’ = 25 и a + b = 7
  , где z’ — комплексное сопряжение z.
5. Комплексное число 2 + 4i является одним из корней квадратного уравнения x ² + bx + c = 0, где b и c — действительные числа.
  а) Найдите б и в
  б) Запишите второй корень и проверьте его.
6. Найдите все комплексные числа z такие, что z ² = -1 + 2 sqrt(6) i.
7. Найдите все комплексные числа z такие, что (4 + 2i)z + (8 — 2i)z’ = -2 + 10i, где z’ — комплексно-сопряженное число z.
8. Учитывая, что комплексное число z = -2 + 7i является корнем уравнения:
  z ³ + 6 z ² + 61 z + 106 = 0
  найти действительный корень уравнения.
9. а) Покажите, что комплексное число 2i является корнем уравнения
  z ⁴ + z ³ + 2 z ² + 4 z — 8 = 0
  б) Найдите все корни корня этого уравнения.
10. 4 + a z ³ + b z ² + c z + d — полином, где a, b, c и d — действительные числа. Найти a, b, c и d, если два нуля многочлена P являются следующими комплексными числами: 2 — i и 1 — i.
Ответы на вышеуказанные вопросы
1. а) -5+7i
  б) -6 — 22и
  в) -4 + 2и
  д) -7/15 — 4и/15
2. (x + yi) / i = (7 + 9i)
  (х + у) = я (7 + 9 я) = -9 + 7 я
  (x + yi)(x — yi) = (-9 + 7i)(-9 — 7i) = 81 + 49 = 130
3. Пусть z = a + bi, z’ = a — bi; a и b действительные числа.
  Подставив z и z’ в данное уравнение, получим
  а + би + 3*(а — би) = 5 — 6и
  а + 3а + (б — 3б) я = 5 — 6я
  4а = 5 и -2b = -6
  а = 5/4 и б = 3
  г = 5/4 + 3i
4. z z’ = (а + би)(а — би)
  = а ² + б ² = 25
  а + b = 7 дает b = 7 — а
  Подставьте выше в уравнение a ² + b ² = 25
  а ² + (7 — а) ² = 25
  Решите приведенную выше квадратичную функцию для a и используйте b = 7 — a, чтобы найти b.
  а = 4 и b = 3 или а = 3 и b = 4
  z = 4 + 3i и z = 3 + 4i обладают свойством z z’ = 25.
5. а) Подставим решение в уравнение: (2 + 4i) ² + b(2 + 4i) + c = 0
  Расширьте члены уравнения и перепишите как: (-12 + 2b + c) + (16 + 4b)i = 0
  Действительная часть и мнимая часть равны нулю.
  -12 + 2б + с = 0 и 16 + 4б = 0
  Решите для b: b = -4 , подставьте и решите для c: c = 20
  б) Поскольку данное уравнение имеет действительные числа, второй корень является комплексно-сопряженным данному корню: 2 — 4i является вторым решением.
  Чек: (2 — 4i) ² — 4 (2 — 4i) + 20
  (расширить) = 4 — 16 — 16i — 8 + 16i + 20
  = (4 — 16 — 8 + 20) + (-16 + 16)i = 0
6. Пусть г = а + би
  Подставить в данное уравнение: (a + bi) ² = -1 + 2 sqrt(6) i
  Разверните: а ² — б ² + 2 аб i = — 1 + 2 sqrt(6) i
  Действительная часть и мнимая часть должны быть равны.
  a ² — b ² = — 1 и 2 ab = 2 sqrt(6)
  Уравнение 2 ab = 2 sqrt(6) дает: b = sqrt(6) / a
  Заменитель: а ²— (кв.(6) / а) ²) = — 1
  a ⁴ — 6 = — a ²
  Решите приведенное выше уравнение и выберите только действительные корни: a = sqrt(2) и a = — sqrt(2)
  Подставьте, чтобы найти b, и запишите два комплексных числа, которые удовлетворяют данному уравнению.
  z1 = sqrt(2) + sqrt(3) i , z2 = — sqrt(2) — sqrt(3) i
7. Пусть z = a + bi, где a и b — действительные числа. Комплексное сопряжение z’ записывается через a и b следующим образом: z’= a — bi. Подставьте z и z’ в данное уравнение
  (4 + 2i)(a + bi) + (8 — 2i)(a — bi) = -2 + 10i
  Развернуть и разделить действительную и мнимую части.
  (4а — 2б + 8а — 2б) + (4б + 2а — 8б — 2а )i = -2 + 10i
  Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Сгруппируйте похожие термины.
  12а — 4б = -2 и — 4б = 10
  Решите систему неизвестных a и b, чтобы найти:
  б = -5/2 и а = -1
  z = -1 — (5/2)i
8. Поскольку z = -2 + 7i является корнем уравнения, а все коэффициенты в терминах уравнения являются действительными числами, то z’, комплексно сопряженное с z, также является решением. Следовательно
  z ³ + 6 z ² + 61 z + 106 = (z — (-2 + 7i))(z — (-2 — 7i)) q(z)
  = (z ² + 4z + 53) q(z)
  q(z) = [ z ³ + 6 z ² + 61 z + 106 ] / [ z ² + 4z + 53 ] = г + 2
  Z + 2 является коэффициентом z ³ + 6 z ² + 61 z + 106 и, следовательно, z = -2 является действительным корнем данного уравнения.
9. а) (2и) ⁴ + (2и) ³ + 2 (2и) ² + 4 (2и) — 8
  = 16 — 8i — 8 + 8i — 8 = 0
  б) 2i является корнем -2i также является корнем (комплексно-сопряженным, поскольку все коэффициенты действительны).
  z ⁴ + z ³ + 2 z ² + 4 z — 8 = (z — 2i)(z + 2i) q(z)
  = (z ² + 4)q(z)
  q(z) = z ² + z — 2
  Два других корня уравнения являются корнями q(z): z = 1 и z = -2.
10. Так как все коэффициенты многочлена P вещественны, комплексно-сопряженные к данным нулям также являются нулями многочлена P. Следовательно
  P(z) = (z — (2 — i))(z — (2 + i))(z — (1 — i))(z — (1 + i)) =
  = z ⁴ — 6 z ³ + 15 z ² — 18 z + 10
  Отсюда: a = -6, b = 15, c = -18 и d = 10.
Дополнительные ссылки
Комплексные числа
Математика средней школы (10, 11 и 12 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Математика средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и задачи с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и задачами с ответами
Домашняя страница
сообщите об этом объявлении
Введение в комплексные числа и комплексные решения
Это «Введение в комплексные числа и комплексные решения», раздел 9. 6 из книги «Начальная алгебра» (v. 1.0). Для получения подробной информации об этом (включая лицензирование) нажмите здесь.
Для получения дополнительной информации об источнике этой книги или о том, почему она доступна бесплатно, посетите домашнюю страницу проекта. Там вы можете просматривать или скачивать дополнительные книги. Чтобы загрузить ZIP-файл с этой книгой для использования в автономном режиме, просто нажмите здесь.
Помогла ли вам эта книга? Рассмотрите возможность передачи:
Помощь Creative Commons
Creative Commons поддерживает свободную культуру от музыки до образования. Их лицензии помогли сделать эту книгу доступной для вас.
Помогите государственной школе
DonorsChoose.org помогает таким людям, как вы, помогать учителям финансировать их классные проекты, от художественных принадлежностей до книг и калькуляторов.
9.6 Введение в комплексные числа и комплексные решения
Цели обучения
1. Выполнение операций с комплексными числами.
2. Решите квадратные уравнения с комплексными решениями.
Знакомство с комплексными числами
До этого момента квадратный корень из отрицательного числа оставался неопределенным. Например, мы знаем, что −9 не является действительным числом.
Не существует действительного числа, которое при возведении в квадрат дает отрицательное число. Начнем решение этого вопроса с определения воображаемой единицы, определяемой как i=−1 и i2=−1., i , как квадратный корень из −1.
Чтобы выразить квадратный корень из отрицательного числа через мнимую единицу i , мы используем следующее свойство, где a представляет любое неотрицательное действительное число: 3i, то можно было бы ожидать, что 3 i в квадрате равно −9:
. Следовательно, квадратный корень любого отрицательного действительного числа можно записать в терминах мнимой единицы. Такие числа часто называют мнимыми числами. Квадратные корни любых отрицательных действительных чисел. .

Пример 1: Перепишите в терминах мнимой единицы i .
а. −4
б. −5
в. −8
Решение:
а. −4=−1⋅4=−1⋅4=i⋅2=2i
б. −5=−1⋅5=−1⋅5=i5
c. −8=−1⋅4⋅2=−1⋅4⋅2=i⋅2⋅2=2i2
Обозначение Примечание
Если мнимое число содержит радикал, поместите i перед радикалом. Рассмотрим следующее:
2i2=22i
Поскольку умножение коммутативно, эти числа эквивалентны. Однако в форме 22i мнимая единица i часто ошибочно принимают за часть подкоренного числа. Чтобы избежать этой путаницы, рекомендуется размещать и перед радикалом и использовать 2i2.
Комплексное числоЧисла вида a+bi, где a и b — действительные числа. — любое число вида
, где a и b — действительные числа. Здесь a называется действительной частью. Действительное число a комплексного числа a+bi. и b называется мнимой частью. Действительное число b комплексного числа a+bi. Например, 3−4i — это комплексное число, имеющее действительную часть 3 и мнимую часть −4. Важно отметить, что любое действительное число также является комплексным числом. Например, действительное число 5 также является комплексным числом, потому что его можно записать как 5+0i с действительной частью 5 и мнимой частью 0. Следовательно, множество действительных чисел, обозначенное как R , является подмножеством набор комплексных чисел, обозначаемый С .
Сложение и вычитание комплексных чисел аналогично сложению и вычитанию одинаковых членов. Добавьте или вычтите действительные части, а затем мнимые части.

Пример 2: Добавить: (3−4i)+(2+5i).
Решение: Добавьте действительные части, а затем добавьте мнимые части.
Ответ: 5+i

Чтобы вычесть комплексные числа, вычтите действительные части и вычтите мнимые части. Это согласуется с использованием распределительного свойства.

Пример 3: Вычесть: (3−4i)−(2+5i).
Решение: Распределите отрицательное, а затем соедините одинаковые члены.
Ответ: 1−9i

Распределительное свойство также применяется при умножении комплексных чисел. Воспользуйтесь тем фактом, что i2=−1, чтобы преобразовать результат в стандартную форму: a+bi.

Пример 4: Умножьте: 5i(3−4i).
Решение: Начните с применения свойства распределения.
Ответ: 20+15i

Пример 5: Умножьте: (3−4i)(4+5i).
Решение:
Ответ: 32−i

Для данного комплексного числа a+bi его комплексно-сопряженных двух комплексных чисел, действительные части которых совпадают, а мнимые части противоположны. Если дано a+bi, то его комплексно-сопряженным является a−bi. это а-би. Далее мы исследуем произведение комплексных сопряженных чисел.

Пример 6: Умножьте: (3−4i)(3+4i).
Решение:
Ответ: 25

В общем случае произведение комплексно-сопряженных чиселДействительное число, которое получается в результате умножения комплексно-сопряженных чисел: (a+bi)(a−bi)=a2+b2. следует:
Обратите внимание, что результат не включает воображаемую единицу; значит результат реальный. Это приводит нас к очень полезному свойству:
Чтобы разделить комплексные числа, мы применяем метод, используемый для рационализации знаменателя. Умножить числитель и знаменатель (делимое и делитель) на сопряженное знаменателю. Затем результат можно преобразовать в стандартную форму a+bi.

Пример 7: Разделить: 11−2i.
Решение: В этом примере сопряжение знаменателя равно 1+2i. Умножьте на 1 в виде (1+2i)(1+2i).
Чтобы выразить это комплексное число в стандартной форме, запишите каждый член над общим знаменателем 5.
Ответ: 15+25i

Пример 8: Разделите: 3−4i3+2i.
Решение:
Ответ: 113−1813i

Попробуйте! Разделить: 5+5i1−3i.
Ответ: −1+2i
Решение видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео)
Квадратные уравнения с комплексными решениями
Теперь, когда комплексные числа определены, мы можем завершить изучение решений квадратных уравнений. Часто решения квадратных уравнений не являются реальными.

Пример 9: Решите по квадратичной формуле: x2−2x+5=0
Решение: 903:00 Начните с идентификации a , b и c . Здесь
Подставляем эти значения в квадратичную формулу и упрощаем.
Проверьте эти решения, подставив их в исходное уравнение.
Ответ: Решения 1−2i и 1+2i.

Уравнение не может быть приведено в стандартной форме. Общие шаги решения с использованием квадратичной формулы показаны в следующем примере.

Пример 10: Решите: (2x+1)(x−3)=x−8.
Решение:
Шаг 1: Запишите квадратное уравнение в стандартной форме.
Шаг 2: Идентифицируйте a , b и c для использования в квадратичной формуле. Здесь
Шаг 3: Подставьте соответствующие значения в квадратную формулу и затем упростите.
Ответ: Решение 32±12i. Проверка необязательна.

Пример 11: Решите: x(x+2)=−19.
Решение: Начните с переписывания уравнения в стандартной форме.
Здесь a=1, b=2 и c=19. Подставьте эти значения в квадратичную формулу.
Ответ: Решения равны −1−3i2 и −1+3i2.
Обозначение Примечание
Рассмотрим следующее:
−1+3i2=−1+32i
Оба числа эквивалентны, и −1+32i имеет стандартную форму, где действительная часть равна −1, а мнимая часть равна 32. , Однако это число часто выражается как -1 + 3i2, даже если это выражение не в стандартной форме. Опять же, это делается для того, чтобы избежать возможности неверного истолкования мнимой единицы как части подкоренного числа.

Попробуйте! Решите: (2x+3)(x+5)=5x+4.
Ответ: −4±i62=−2±62i
Решение для видео
(нажмите, чтобы посмотреть видео)
Ключевые выводы
Результатом сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел является комплексное число.
Используйте комплексные числа для описания решений квадратных уравнений, которые не являются действительными.
Тематические упражнения
Часть A: Знакомство с комплексными числами
Перепишите в терминах i .
1. −64
2. −81
3. −20
4. −18
5. −50
6. −48
7. — 45
8. 8
9. −14
10. −29
Выполнить операции.
11. (3+5i)+(7−4i)
12. (6−7i)+(−5−2i)
13. (−8−3i)+(5+2i)
14. (−10+15i)+(15−20i)
15. (12+34i)+(16−18i)
16. (25−16i)+(110−32i)
17. (5+2i)−(8−3i)
18. ( 7−i)−(−6−9i)
19. (−9−5i)−(8+12i)
20. (−11+2i)−(13−7i)
21. (114+ 32i)−(47−34i)
22. (38−13i)−(12−12i)
23. 2i(7−4i)
24. 6i(1−2i)
25. −2i( 3−4i)
26. −5i(2−i)
27. (2+i)(2−3i)
28. (3−5i)(1−2i)
29. (1− i)(8−9i)
30. (1+5i)(5+2i)
31. (4+3i)2
32. (2−5i)2
33. (4−2i)(4+2i)
34. (6+5i)(6−5i)
35 , (12+23i)(13−12i)
36. (23−13i)(12−32i)
37. 15+4i
38. 13−4i
39. 20i1−3i
4 90,2504 90 10i1−2i
41. 10−5i3−i
42. 4−2i2−2i
43. 5+10i3+4i
44. 2−4i5+3i
900−3i
1 42. 45. 46. 3−i4−5i
Часть B: Комплексные корни
Решите путем извлечения корней, а затем решите с помощью квадратичной формулы. Проверить ответы.
47. x2+9=0
48. x2+1=0
49. 4t2+25=0
50. 9t2+4=0
51. 4y2+3=0
9y2+5=0
53. 3×2+2=0
54. 5×2+3=0
55. (x+1)2+4=0
56. (x+3)2+9= 0
Решите по квадратичной формуле.
57. x2−2x+10=0
58. x2−4x+13=0
59. x2+4x+6=0
60. x2+2x+9=0
61. y2 −6y+17=0
62. y2−2y+19=0
63. t2−5t+10=0
64. t2+3t+4=0
65. −x2+10x−29=0
66. −x2+6x−10=0
67. −y2−y−2=0
68 −y2+3y−5=0
69. −2×2+10x−17=0
70. −8×2+20x−13=0
71. 3y2−2y+4=0
72. 5y2− 4y+3=0
73. 2×2+3x+2=0
74. 4×2+2x+1=0
75. 2×2−12x+14=0
76. 3×2−23x+13=0
77. 2x(x−1)=−1
78. x(2x+5)=3x−5
79. 3t(t−2)+4=0
80. 5t(t−1) =t−4
81. (2x+3)2=16x+4
82. (2y+5)2−12(y+1)=0
83. −3(y+3)(y−5)=5y+46
84. −2(y−4) (y+1)=3y+10
85,9x(x−1)+3(x+2)=1
86,5x(x+2)−6(2x−1)=5
87 3(t−1)−2t(t−2)=6t
88. 3(t−3)−t(t−5)=7t
89. (2x+3)(2x−3)− 5(x2+1)=−9
90. 5(x+1)(x−1)−3×2=−8
Часть C: Дискуссионная доска
91. Изучите возможности i . Поделитесь своими открытиями на доске обсуждений.
92. Исследуйте и обсуждайте богатую историю мнимых чисел.
93. Исследуйте и обсуждайте реальные приложения, использующие комплексные числа.
Ответы
1: 8i
3: 2i5
5: 5i 2
7: −3i5
9: I2
11: 10+
13: −3-1
15550 15550 15550 15550 15550 15550 15550 15550 15550 15550 15550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 15550 15550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 1550 15550 15: 23. 58i
17: −3+5i
19: −17–17i
21: −12+94i
23: 8+14i
25: −8–6i
27: 7-4i
29 29 : −1−17i
31: 7+24i
33: 20
35: 12−136i
37: 541–441i
39: −6+2i
41: 72–12i
43: 115-25i
45: −413+713i
47: ± 3I
4
491: 4
491: 4
491: 49250 491: 4
4

Комплексный номер	Реальная часть	Воображаемая часть
[латекс]3+7i[/латекс]	[латекс]3[/латекс]	[латекс]7i[/латекс]
[латекс]18–32i[/латекс]	[латекс]18[/латекс]	[латекс]−32i[/латекс]
[латекс] -\frac{3}{5}+i\sqrt{2}[/латекс]	[латекс] -\frac{3}{5}[/латекс]	[латекс] i\sqrt{2}[/латекс]
[латекс] \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}i[/латекс]	[латекс] \frac{\sqrt{2}}{2}[/латекс]	[латекс]-\frac{1}{2}i[/латекс]

Номер	Сложная форма: [латекс]а+би[/латекс]	Реальная часть	Воображаемая часть
[латекс]17[/латекс]	[латекс]17+0i[/латекс]	[латекс]17[/латекс]	[латекс]0i[/латекс]
[латекс]−3i[/латекс]	[латекс]0–3i[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]−3i[/латекс]

491: 4
491: 4
4
491: 4
491: 4
491: 4
491: 4
4913.
51: ± I32
53: ± I63
55: −1 ± 2i
57: 1 ± 3i
59: −2 ± I2
61: 3 ± 2i2
63: 52 ± 152i 9250 42504
250425042504250425042504250425042504250425042504
25049250
: 3 ± 2I2
. 65: 5 ± 2i
67: −12 ± 72i
69: 52 ± 32i
71: 13 ± 113i
73: −34 ± 74i
75: 18 ± 78i
77: 1244444444444444444444444444444444444: 18 ± 78i 9000
77: 1274
75: 18 ± 78i 9000
77: 1274
75: 18.
79: 1±33i
81: 12±i
83: 16±116i
85: 13±23i
87: 14±234i
89: 14±234i
90: ±0i5 | Алгебра среднего уровня
Результаты обучения
Выражение корней отрицательных чисел через i
Представление мнимых чисел в виде bi и комплексных чисел в виде [latex]a+bi[/latex]
Вам действительно нужно только одно новое число, чтобы начать работать с квадратными корнями из отрицательных чисел. Это число представляет собой квадратный корень из [латекс]−1,\sqrt{-1}[/латекс]. {2}}=-1 [/латекс]. 9{2}}=-1[/latex]
Число i позволяет нам работать с корнями всех отрицательных чисел, а не только [латекс] \sqrt{-1}[/латекс]. Следует помнить два важных правила: [латекс] \sqrt{-1}=i[/латекс] и [латекс] \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/latex]. Вы будете использовать эти правила, чтобы переписать квадратный корень из отрицательного числа как квадратный корень из положительного числа, умноженный на [латекс] \sqrt{-1}[/латекс]. Далее вы упростите квадратный корень и перепишете [latex] \sqrt{-1}[/latex] как i. Давайте рассмотрим пример.
Пример
Упрощение. [latex] \sqrt{-4}[/latex]
Показать решение
Пример
Упрощение. [latex] \sqrt{-18}[/latex]
Показать решение
Пример
Упрощение. [latex] -\sqrt{-72}[/latex]
Показать решение
Возможно, вы хотели упростить [латекс] -\sqrt{-72}[/латекс], используя различные коэффициенты. Некоторым могло прийти в голову переписать этот радикал как [латекс] -\sqrt{-9}\sqrt{8}[/latex] или [латекс] -\sqrt{-4}\sqrt{18}[/latex], или [латекс] -\sqrt{-6}\sqrt{12}[/латекс], например. Каждый из этих радикалов в конечном итоге дал бы один и тот же ответ [латекс] -6i\sqrt{2}[/латекс].
В следующем видео мы покажем больше примеров того, как использовать мнимые числа для упрощения квадратного корня с отрицательным подкоренным числом.

Извлечение квадратного корня из отрицательного числа
Нахождение полных квадратов в радикале.
Перепишите радикал, используя правило [латекс] \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}[/latex].
Перепишите [латекс] \sqrt{-1}[/латекс] как i .
Пример: [латекс] \sqrt{-18}=\sqrt{9}\sqrt{-2}=\sqrt{9}\sqrt{2}\sqrt{-1}=3i\sqrt{2}[/latex]
Комплексные числа
Комплексное число представляет собой сумму действительное число и мнимое число. Комплексное число выражается в стандартной форме: a + bi , где a – действительная часть, а bi – мнимая часть. Например, [латекс]5+2i[/латекс] — это комплексное число. Так же и [латекс]3+4i\sqrt{3}[/латекс].
Мнимые числа отличаются от действительных чисел тем, что возведение в квадрат мнимого числа дает отрицательное действительное число. Вспомните, когда возводится в квадрат положительное действительное число, результатом является положительное действительное число, а когда возводится в квадрат отрицательное действительное число, снова получается положительное действительное число. Комплексные числа представляют собой комбинацию действительных и мнимых чисел. Вы можете использовать обычные операции (сложение, вычитание, умножение и так далее) с мнимыми числами. Вы увидите больше этого позже.
Комплексный номер Реальная часть Воображаемая часть
[латекс]3+7i[/латекс] [латекс]3[/латекс] [латекс]7i[/латекс]
[латекс]18–32i[/латекс] [латекс]18[/латекс] [латекс]−32i[/латекс]
[латекс] -\frac{3}{5}+i\sqrt{2}[/латекс] [латекс] -\frac{3}{5}[/латекс] [латекс] i\sqrt{2}[/латекс]
[латекс] \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}i[/латекс] [латекс] \frac{\sqrt{2}}{2}[/латекс] [латекс]-\frac{1}{2}i[/латекс]
В числе с корнем в составе b , например [latex]-\frac{3}{5}+i\sqrt{2}[/latex] выше, мнимые i должны писаться перед корнем. Хотя запись этого числа в виде [латекс] -\frac{3}{5}+\sqrt{2}i[/латекс] технически правильна, гораздо труднее определить, является ли и находится внутри или снаружи корня. Если поставить его перед радикалом, как в [латекс] -\frac{3}{5}+i\sqrt{2}[/latex], это прояснит любую путаницу. Посмотрите на эти два последних примера.
Номер Сложная форма:
[латекс]а+би[/латекс] Реальная часть Воображаемая часть
[латекс]17[/латекс] [латекс]17+0i[/латекс] [латекс]17[/латекс] [латекс]0i[/латекс]
[латекс]−3i[/латекс] [латекс]0–3i[/латекс] [латекс]0[/латекс] [латекс]−3i[/латекс]
Сделав [latex]b=0[/latex], любое действительное число можно представить как комплексное число. Действительное число a записывается как [латекс]а+0i[/латекс] в сложной форме. Точно так же любое мнимое число может быть представлено как комплексное число. Сделав [latex]a=0[/latex], любое мнимое число [latex]bi[/latex] можно записать как [latex]0+bi[/latex] в комплексной форме.
Пример
Запишите [латекс]83.6[/латекс] как комплексное число.
Показать решение
Пример
Запишите [латекс]−3i[/латекс] как комплексное число.
Показать решение
В следующем видео мы покажем больше примеров того, как записывать числа в виде комплексных чисел.

Резюме
Комплексные числа имеют вид [латекс]а+би[/латекс], где a и b — действительные числа, а i — квадратный корень из [латекс]−1[/ латекс]. Все действительные числа можно записать как комплексные, установив [latex]b=0[/latex]. Мнимые числа имеют форму bi , а также могут быть записаны как комплексные числа, если установить [latex]a=0[/latex]. Квадратные корни из отрицательных чисел можно упростить, используя [латекс] \sqrt{-1}=i[/латекс] и [латекс] \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}[/latex].
3.1: Комплексные числа — Математика LibreTexts
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
1343
OpenStax
OpenStax
Цели обучения
Выражение квадратных корней из отрицательных чисел в виде кратных \(i\).
Нанесение комплексных чисел на комплексную плоскость.
Сложение и вычитание комплексных чисел.
Умножать и делить комплексные числа.
92+4=0\]
Наши лучшие предположения могут быть +2 или -2. Но если мы проверим +2 в этом уравнении, оно не сработает. Если мы проверим -2, это не сработает. Если мы хотим получить решение этого уравнения, нам придется пойти дальше, чем мы до сих пор. В конце концов, до сих пор мы описывали квадратный корень из отрицательного числа как неопределенный. К счастью, есть другая система чисел, которая обеспечивает решение подобных проблем. В этом разделе мы рассмотрим эту систему счисления и то, как в ней работать.
Выражение квадратных корней из отрицательных чисел как кратных
i
Мы знаем, как найти квадратный корень из любого положительного действительного числа. Аналогичным образом мы можем найти квадратный корень из отрицательного числа. Отличие в том, что рут не настоящий. Если значение подкоренного числа отрицательное, корень называется мнимым числом. Мнимое число i определяется как квадратный корень из минус 1.
\[\sqrt{-1}=i\]
Итак, используя свойства радикалов, 92=−1\]
Мы можем записать квадратный корень любого отрицательного числа как кратное i. Возьмем квадратный корень из –25.
\[\begin{align} \sqrt{-25}&=\sqrt{25 {\cdot} (-1)}\\ &=\sqrt{25}\sqrt{-1} \\ &= 5i \end{align}\]
Мы используем 5 i , а не −5 i , потому что главный корень из 25 является положительным корнем.
Комплексное число представляет собой сумму действительного числа и мнимого числа. Комплексное число выражается в стандартной форме при записи \(a+bi\), где \(a\) — действительная часть, а \(bi\) — мнимая часть. Например, \(5+2i\) — комплексное число. То же самое и с \(3+4\sqrt{3}i\).
Рисунок \(\PageIndex{1}\)
Мнимые числа отличаются от действительных чисел, поскольку возведение в квадрат мнимого числа дает отрицательное действительное число. Вспомните, когда возводится в квадрат положительное действительное число, результатом является положительное действительное число, а когда возводится в квадрат отрицательное действительное число, снова получается положительное действительное число. Комплексные числа представляют собой комбинацию действительных и мнимых чисел.
Мнимые и комплексные числа
Комплексное число — это число вида \(a+bi\), где
\(a\) — действительная часть комплексного числа.
\(bi\) — мнимая часть комплексного числа.
Если \(b=0\), то \(a+bi\) — действительное число. Если \(a=0\) и \(b\) не равно 0, комплексное число называется мнимым числом . Мнимое число – это четный корень из отрицательного числа.
Стандартная форма
Дано мнимое число, выразить его в стандартной форме.
Запишите \(\sqrt{-a}\) как \(\sqrt{a}\sqrt{-1}\).
Выразите \(\sqrt{−1}\) как \(i\) .
Напишите \(\sqrt{a}{\cdot}i\) в простейшей форме.

Пример \(\PageIndex{1}\): Выражение мнимого числа в стандартной форме
Выражение \(\sqrt{−9}\) в стандартной форме.
Решение
\[\sqrt{−9}=\sqrt{9}\sqrt{−1}=3i \nonnumber\]
В стандартной форме это \(0+3i\).
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Экспресс \(\sqrt{−24}\) в стандартной форме.
Ответить
\(\sqrt{−24}=0+2i\sqrt{6}\)
Нанесение комплексного числа на комплексную плоскость
Мы не можем наносить комплексные числа на числовую прямую, как настоящие числа. Однако мы все еще можем представить их графически. Чтобы представить комплексное число, нам нужно обратиться к двум компонентам числа. Мы используем комплексную плоскость, которая представляет собой систему координат, в которой горизонтальная ось представляет действительную составляющую, а вертикальная ось представляет мнимую составляющую. Комплексные числа — это точки на плоскости, выраженные в виде упорядоченных пар \((a,b)\), где \(a\) представляет координату по горизонтальной оси, а \(b\) представляет координату по вертикальной оси.
Рассмотрим число \(−2+3i\). Действительная часть комплексного числа равна −2, а мнимая часть равна \(3i\). Мы построили упорядоченную пару \((−2,3)\) для представления комплексного числа \(−2+3i\), как показано на рисунке \(\PageIndex{2}\)
Рисунок \(\PageIndex{2} \): График комплексного числа, \(-2 + 3i\). Обратите внимание, что действительная часть \((-2)\) отложена по оси x, а мнимая часть \((3i)\) отложена по оси y.
Комплексная плоскость
На комплексной плоскости горизонтальная ось — это действительная ось, а вертикальная ось — воображаемая ось, как показано на рисунке \(\PageIndex{3}\).
Рисунок \(\PageIndex{3}\): комплексная плоскость, показывающая, что горизонтальная ось (в реальной плоскости ось x) известна как действительная ось, а вертикальная ось (в реальной плоскости y- ось) называется воображаемой осью.
How To …
Для данного комплексного числа представить его компоненты на комплексной плоскости.
Определите действительную и мнимую части комплексного числа.
Перемещайтесь по горизонтальной оси, чтобы показать действительную часть числа.
Перемещение параллельно вертикальной оси для отображения мнимой части числа.
Нарисуйте точку.

Пример \(\PageIndex{2}\): построение комплексного числа на комплексной плоскости
Нанесение комплексного числа \(3−4i\) на комплексную плоскость.
Решение
Действительная часть комплексного числа равна 3, а мнимая часть равна \(−4i\). Наносим упорядоченную пару \((3,−4)\), как показано на рисунке \(\PageIndex{4}\).
Рисунок \(\PageIndex{4}\): График комплексного числа, \(3 — 4i\). Обратите внимание, что действительная часть \((3)\) отложена по оси x, а мнимая часть \((-4i)\) отложена по оси y.
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Нанесите комплексное число \(−4−i\) на комплексную плоскость.
Ответить
Рисунок \(\PageIndex{5}\)
Сложение и вычитание комплексных чисел
Как и с действительными числами, мы можем выполнять арифметические операции над комплексными числами. Чтобы сложить или вычесть комплексные числа, мы объединяем действительные части и объединяем мнимые части.
Комплексные числа: сложение и вычитание
Сложение комплексных чисел:
\[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\]
Вычитание комплексных чисел:
\[(a+bi) −(c+di)=(a−c)+(b−d)i\]
Как…
Даны два комплексных числа, найдите их сумму или разность.
Определите действительную и мнимую части каждого числа.
Сложите или вычтите действительные части.
Сложите или вычтите мнимые части.
Пример \(\PageIndex{3}\): добавление комплексных чисел
Добавить \(3−4i\) и \(2+5i\).
Решение
Складываем действительные части и складываем мнимые части.
\[\begin{align*} (a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i \\ (3−4i)+(2+5i)&= (3+2)+(−4+5)i \\ &=5+i \end{align*}\]
Упражнение \(\PageIndex{3}\)
Вычесть \(2+5i\) из \(3–4i\).
Ответить
\((3−4i)−(2+5i)=1−9i\)
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел очень похоже на умножение биномов. Основное отличие состоит в том, что мы работаем с реальной и мнимой частями отдельно.
Умножение комплексного числа на вещественное число
Начнем с умножения комплексного числа на вещественное число. Мы распределяем действительное число так же, как и биномиальное. Так, например,
Рисунок \(\PageIndex{6}\)
Как…
Учитывая комплексное число и действительное число, умножьте их, чтобы найти произведение.
Использовать свойство дистрибутива.
Упростить.
Пример \(\PageIndex{4}\): умножение комплексного числа на действительное число
Найдите произведение \(4(2+5i).\)
Решение
Распределите 4.
\[\begin{align*} 4(2+5i)&=(4⋅2)+(4⋅5i) \\ &=8+20i \end{align*}\]
Упражнение \(\PageIndex{ 4}\)
Найдите произведение \(−4(2+6i)\).

Ответить

Номер	Стандартная форма
6и	0+6i
9	-9+0i
0	0+0i
-i+2	2-я
8+iroot(3)	8+iroot(3)

Номер	Конъюгат	Продукт
3-я	3+i	(3-я)(3+я)=9+1=10
2+7i	2-7и	(2+7i)(2-7i)=53
-6i	6и	(-6i)(6i)=36

определение, алгебраическая форма, геометрическая интерпретация, действия с ними

Определение комплексного числа

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Арифметические действия с комплексными числами

Сложение и вычитание

Умножение

Деление

Примеры с решениями

Алгебраические операции над комплексными числами

Задачи для самостоятельного решения

Комплексные числа избранные задачи (стр. 1 из 20)

Решение уравнений с комплексными числами примеры. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Алгебраическая форма комплексного числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ — Студопедия

определение, как найти, геометрический смысл

Что такое комплексное число

Что такое модуль комплексного числа

Комплексные задачи с решениями и ответами

Дополнительные ссылки

Введение в комплексные числа и комплексные решения

9.6 Введение в комплексные числа и комплексные решения

Цели обучения

Знакомство с комплексными числами

Обозначение Примечание

Решение видео

Квадратные уравнения с комплексными решениями

Обозначение Примечание

Решение для видео

Ключевые выводы

Тематические упражнения

Ответы

Результаты обучения

Пример

Пример

Пример

Извлечение квадратного корня из отрицательного числа

Комплексные числа

Пример

Пример

Резюме

3.1: Комплексные числа — Математика LibreTexts

Выражение квадратных корней из отрицательных чисел как кратных

Нанесение комплексного числа на комплексную плоскость

Сложение и вычитание комплексных чисел

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексного числа на вещественное число

Деление комплексных чисел

Упрощающие степени \(i\)

Ключевые понятия

Глоссарий

Задачи с решениями

Добавить комментарий Отменить ответ