Контрольная работа по матрицам 1 курс: Контрольная работа « Матрицы и определители» для студентов 1 курса

Содержание

Математика. Траектория 2 » School of Advanced Studies

Численные методы (траектория 2)

Сроки обучения

2 квартиль 2017-2018 учебного года (32 часа)

3 квартиль 2017-2018 учебного года (32 часа)

Преподаватели

Мария Бузинских, Анна Мелентьева ([email protected]), Татьяна Салтанова ([email protected]), Ольга Уфукова, Дмитрий Шармин ([email protected]), Валентин Шармин ([email protected]).

Описание курса

Содержание дисциплины разделено на четыре модуля: «Введение в математику», «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Основы математической статистики».

Знакомство с модулем «Введение в математику» позволит взглянуть на математику как на живую развивающуюся науку с интересной историей и с широкими возможностями практического применения, увидеть четкую структуру математического знания, которая обычно остаётся скрытой от внимания за большим числом конкретных формул, фактов и алгоритмов.

Модуль «Математический анализ» представляет собой ядро данной траектории. Он включает материал, составляющий теоретическую основу классических методов математического моделирования в естественных науках (физике, биологии, химии и др.), в экономике, а также в социологии. Так, очень многие биологические модели описываются одним дифференциальным уравнением или системой дифференциальных уравнений (например, модели биологических систем, модели роста численности популяций и др.). Моделирование спроса и потребления, применение моделей управления запасами в экономике предполагает знание дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных. Многие задачи моделирования социальных явлений и процессов в социологии также успешно решаются с помощью средств математического анализа.

Модуль «Линейная алгебра» включает матричную и векторную алгебру, теорию линейных алгебраических уравнений. Этот раздел математики, как и математический анализ, применяется главным образом в экономике, а также в естественных науках и социологии. Примерами использования аппарата линейной алгебры служат балансовые модели в экономике, решение транспортной задачи, матричные модели популяций в биологии, методы многомерного шкалирования и главных компонент в социологии и т. д.

Изучение модуля «Основы математической статистики» позволит студентам использовать базовые статистические методы для обработки и анализа результатов исследований в самых разных областях науки, а также для выявления и анализа закономерностей в больших массивах данных. Кроме того, знание основных понятий и фактов математической статистики даст возможность освоить в дальнейшем специальные компьютерные программы, предназначенные для обработки статистической информации.

Занятия строятся по традиционной схеме. Каждое занятие предполагает краткое рассмотрение и обсуждение в аудитории основных теоретических положений темы занятия, а также решение задач. Для успешного освоения материала требуется достаточно интенсивная самостоятельная работа, в том числе выполнение домашних заданий.

Цель и задачи курса

Цель: Формирование у студентов знаний и умений, необходимых для освоения и использования математических методов в специальных дисциплинах и в области будущей профессиональной деятельности.

Задачи:

Формирование у студентов представлений о математике как о развивающейся науке, имеющей свой предмет, задачи и методы
Формирование у студентов общего представления об основных идеях, понятиях и методах математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики
Развитие у студентов умений работать с математическим аппаратом, решать типовые задачи математического анализа, линейной алгебры, теории вероятностей и математической статистики
Формирование у студентов умений разбираться в существующих математических методах и моделях и условиях их применения

Аттестация

Квартиль 2

Итоговая оценка складывается из следующих компонентов:

10% — работа на занятиях в аудитории;

15% — выполнение домашних заданий;

10% — самостоятельная работа по теме занятий 1-2;

20% — контрольная работа по темам занятий 3-7;

20% — контрольная работа по темам занятий 9-11, 13;

25% — коллоквиум по теоретическому материалу занятий 1-7, 9-11.

Квартиль 3

Итоговая оценка складывается из следующих компонентов:

10% — работа на занятиях в аудитории;

20% — выполнение домашних заданий;

25% — контрольная работа по темам занятий 2-4;

25% — контрольная работа по темам занятий 7-10;

20% — контрольная работа по темам занятий 12-15.

Требования дисциплинарного характера

Не допускается пропуск аудиторных занятий. В случае пропуска занятий по уважительной причине, подтверждённой документально (болезнь), студент должен выполнить дополнительные задания по пройденному на каждом из пропущенных занятий материалу. В случае пропуска занятий по всем остальным причинам пропуск 90-минутного занятия уменьшает итоговую оценку за текущий квартиль на 0,5 баллов (по 10-балльной шкале).

Квартиль 2

Занятие 1,2. Функции и их графики. Предел функции. Непрерывность функции

Понятие функции. Сложная и обратная функции. Свойства и графики элементарных функций. Предел функции в точке и на бесконечности, односторонние пределы. Вычисление пределов функций, виды неопределенностей. Замечательные пределы. Понятие непрерывности функции. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность сложной и обратной функций. Основные свойства непрерывных функций.

Занятие 3,4. Понятие производной. Вычисление производных

Самостоятельная работа по теме занятий 1-2 (40 минут).

Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. Таблица производных элементарных функций. Правило дифференцирования сложной функции. Вычисление производных.

Занятие 5. Производные высших порядков. Правило Лопиталя

Дифференциал функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.

Занятие 6,7. Применение производной к исследованию функций

Признак монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Направления выпуклости и точки перегиба графика функции (признак выпуклости графика функции, необходимое и достаточное условия точки перегиба). Асимптоты графика функции. Исследование функции и построение ее графика.

Занятие 8. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 3-7.

Занятие 9. Первообразная и неопределенный интеграл

Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование.

Занятие 10,11. Методы интегрирования

Метод подстановки. Метод интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных функций.

Занятие 12. Повторение материала. Коллоквиум

Повторение материала по темам занятий 9-11. Коллоквиум проводится письменно по темам занятий 1-7, 9-11 (40 минут).

Занятие 13. Определенный интеграл

Понятие и свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла. Площадь плоской фигуры.

Занятие 14. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 9-11, 13.

Квартиль 3

Занятие 1. История возникновения и развития математики

Как возникают математические науки (на примере теории графов). Занимательные задачи в истории математики (на примере чисел Фибоначчи, задачи де Мере и др.).

Занятие 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Понятие функции двух переменных. Частные производные. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных. Условный экстремум функции двух переменных.

Занятие 3,4. Дифференциальные уравнения первого и второго порядка

Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши. Общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка: основные понятия. Некоторые виды дифференциальных уравнений второго порядка.

Занятие 5. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 2-4.

Занятие 6. Математика и реальный мир

Математика как один из инструментов познания окружающего мира. Математические методы и модели. Примеры применения математических методов и моделей в различных областях деятельности человека. Язык математики. Структура математического знания: понятия, аксиомы, теоремы.

Занятие 7,8. Матрицы

Матрицы и действия над ними. Понятие и свойства определителей. Вычисление определителей третьего и четвертого порядков. Обратная матрица. Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы.

Занятие 9,10. Системы линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений, содержащие m уравнений и n неизвестных: основные понятия. Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Занятие 11. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 7-10.

Занятие 12. Выборочный метод. Точечные статистические оценки числовых характеристик случайной величины

Вероятность и относительная частота события. Дискретные и непрерывные случайные величины. Генеральная совокупность и выборка. Виды выборок и способы отбора. Статистическое распределение выборки. Интервальная таблица частот. Графическое изображение статистического распределения (полигон частот, гистограмма частот). Точечные статистические оценки числовых характеристик случайной величины (выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленная выборочная дисперсия, исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочная мода, выборочная медиана).

Занятие 13. Интервальные статистические оценки числовых характеристик случайной величины

Представление о биномиальном и нормальном распределениях случайных величин. Необходимость использования интервальных оценок. Точность и надёжность оценки. Доверительные интервалы для оценки генеральной средней и генерального среднего квадратического отклонения нормального распределения. Точечная и интервальная оценки вероятности биномиального распределения по относительной частоте.

Занятие 14. Выборочный коэффициент корреляции. Выборочное уравнение прямой линии регрессии

Функциональная, стохастическая и корреляционная зависимости. Функция регрессии. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Выборочное уравнение прямой линии регрессии.

Занятие 15. Проверка статистических гипотез

Понятие статистической гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Общий алгоритм проверки статистической гипотезы. Виды статистических гипотез. Примеры проверки статистических гипотез.

Занятие 16. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 12-15.

Занятие 16. Контрольная работа

Контрольная работа проводится по темам занятий 12-15.

6 Матричная алгебра: ускоренный курс

Часть материала в этой главе взята из заметок, которые Хе Ён Ю написала для учебного лагеря по математике для докторской программы по политическим наукам в Вандербильте.

Матричная алгебра является важным инструментом для понимания многомерной статистики. Вы, вероятно, уже знакомы с матрицами, по крайней мере, неформально. Представления данных, с которыми мы работали до сих пор — каждая строка — наблюдение, каждый столбец — переменная, — отформатированы как матрицы.

Введение в матричную алгебру — это семестровый курс обучения в колледже. У нас нет столько времени, и даже не вполовину меньше. Эта глава дает вам минимального минимума , который вам нужно понять, чтобы приступить к работе с матричной алгеброй, необходимой для МНК с несколькими ковариатами. Если вы хотите использовать передовые статистические методы в своих исследованиях и ранее не посещали курс матричной алгебры или линейной алгебры, я рекомендую потратить некоторое время этим летом, чтобы наверстать упущенное. Например, в Массачусетском технологическом институте есть курс линейной алгебры для студентов, доступный онлайн, включая видеолекции.

6.1 Операции с векторами

Вектор представляет собой упорядоченный массив.

k\).

Вектор можно умножить на скаляр $c \in \mathbb{R}$, что даст ожидаемый результат: \[ c \mathbf{v} = \begin{pmatrix} c v_1 \\ c v_2 \\ \vdots \\ c v_k \end{pmatrix} \] Вы также можете складывать и вычитать два вектора одинаковой длины. ¹⁸ \[ \begin{выровнено} \mathbf{u} + \mathbf{v} &= \begin{pmatrix} и_1+в_1\и_2+в_2\\вдоц\и_к+в_к \конец{pmatrix}, \\ \mathbf{u} — \mathbf{v} &= \begin{pmatrix} u_1 — v_1 \ u_2 — v_2 \ \vdots \ u_k — v_k \end{pматрица}. \end{выровнено} \]

Особым вектором является нулевой вектор , который содержит, как вы уже догадались, все нули. Мы пишем $\mathbf{0}_k$ для обозначения нулевого вектора длины $k$. Когда длина нулевого вектора ясна из контекста, мы можем просто написать $\mathbf{0}$.

Последней важной векторной операцией является скалярное произведение . Скалярное произведение $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$, записанное как $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$, представляет собой сумму произведений записи: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} «=» u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_k v_k «=» \sum_{m=1}^k u_m v_m.

Важной концепцией регрессионного анализа является линейная независимость набора векторов. Пусть $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_J$ будет набором $J$ векторов, каждый из которых имеет длину $k$. Мы называем $\mathbf{u}$ линейной комбинацией из $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_J$, если мы можем вызвать в воображении набор действительных чисел $c_1 , \ldots, c_J$, чтобы сделать следующее утверждение верным: \[ \mathbf{u} = c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_J \mathbf{v}_J. \] Коллекция векторов линейно независимые если единственное решение \[ c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_J \mathbf{v}_J = \mathbf{0} \] равно $c_1 = 0, \ldots, c_J = 0$. В противном случае мы называем векторы линейно зависимыми .

Некоторые забавные факты о линейной независимости:

Если любой вектор в $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_J$ является линейной комбинацией других, то эти векторы линейно зависимый.
Набор $J$ векторов длины $k$ не может быть линейно независимым, если $J > k$. Другими словами, для заданных векторов длины $k$ максимум, что может быть линейно независимым друг от друга, это $k$.
Если любые $\mathbf{v}_j = \mathbf{0}$, то $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_J$ линейно зависимы. (Почему?)

Примеры: \[ \begin{собранный} \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}; \\ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix}; \\ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \\ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 14 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{собранный} \]

6.2 Операции с матрицами

Матрица представляет собой двумерный массив чисел с элементами в строках и столбцах. Мы называем матрицу с $n$ строк и $m$ столбцов матрицей $n \times m$. Вот пример матрицы $2 \times 3$: \[ \mathbf{А} «=» \begin{bматрица} 99 и 73 и 2\ 13 и 40 и 41 \end{bmatrix} \] Обратите внимание на соглашение об использовании жирного шрифта в верхнем регистре для обозначения матрицы. Для матрицы $\mathbf{A}$ мы обычно пишем $a_{ij}$ для обозначения элемента в $i$-й строке и $j$-м столбце. В приведенном выше примере у нас есть $a_{13} = 2$. 9k\) как $1 \times k$ матрицы строк или как $k \times 1$

матрицы столбцов . В этой книге я буду обращаться с векторами как с матрицами-столбцами, если не указано иное.

Как и векторы, матрицы могут быть умножены на скаляр $c \in \mathbb{R}$. \[ с \mathbf{A} = \begin{bматрица} c a_{11} & c a_{12} & \cdots & c a_{1m} \\ c a_{21} & c a_{22} & \cdots & c a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c a_{n1} & c a_{n2} & \cdots & c a_{nm} \end{bmatrix} \]

Матрицы одинаковой размерности (т. е. с одинаковым количеством строк $n$ и столбцов $m$) могут быть добавлены … \[ \mathbf{А} + \mathbf{В} = \begin{bматрица} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1m} + b_{1m} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2m} + b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} + b_{n1} & a_{n2} + b_{n2} & \cdots & a_{nm} + b_{nm} \\ \end{bmatrix} \] …и вычитается… \[ \mathbf{А} — \mathbf{В} = \begin{bматрица} a_{11} — b_{11} и a_{12} — b_{12} & \cdots & a_{1m} — b_{1m} \\ a_{21} — b_{21} и a_{22} — b_{22} & \cdots & a_{2m} — b_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} — b_{n1} и a_{n2} — b_{n2} & \cdots & a_{nm} — b_{nm} \\ \end{bmatrix} \] 9\вершина\). Пример: \[ \begin{bматрица} 1 и 10 и 100 \\ 10&2&0,1\ 100 и 0,1 и 3 \end{bmatrix}\]

Матрица по диагонали содержит нули везде, кроме главной диагонали: если $i \neq j$, то $a_{ij} = 0$. Диагональная матрица симметрична по определению. Пример: \[ \begin{bматрица} 1 и 0 и 0 \\ 0 и 2 и 0 \\ 0 и 0 и 3 \end{bmatrix}\]

$n \times n$ тождество 9Матрица 0004, записанная $\mathbf{I}_n$ (или просто $\mathbf{I}$, когда размер ясен из контекста), представляет собой диагональную матрицу $n \times n$, где каждая диагональ запись равна 1.

Пример: \[ \begin{bматрица} 1 и 0 и 0 \\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \end{bmatrix}\]

Наконец, мы подошли к умножению матриц. В то время как сложение и вычитание матриц интуитивно понятны, умножение матриц — нет. Пусть $\mathbf{A}$ будет матрицей $n \times m$ и $\mathbf{B}$ будет матрицей $m \times p$. (Обратите внимание, что количество столбцов $\mathbf{A}$ должно совпадать с количеством строк $\mathbf{B}$.) Тогда $\mathbf{A} \mathbf{B}$ является $n \times p$ матрицей, $ij$’й элемент которой является скалярным произведением $i$’й строки $\mathbf{A}$ и $j\ )-й столбец \(\mathbf{B}$: \[ a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{im} b_{mj}. \] Некоторые примеры могут прояснить это. \[ \begin{собранный} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 и 10 \\ 0 и 1 \\ -1 и 5 \end{bmatrix}, \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 и 4 \\ -1 и 10 \end{bmatrix} \\ \mathbf{A} \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 10 \cdot (-1) & 2 \cdot 4 + 10 \cdot 10 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 4 + 1 \cdot 10 \\ (-1) \cdot 1 + 5 \cdot (-1) & (-1) \cdot 4 + 5 \cdot 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 и 108\ -1 и 10\ -6 и 46 \end{bmatrix} \end{собранный} \] И вот тот, который вы скоро начнете видеть.

\[ \begin{собранный} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 и х_{11} и х_{12} \\ 1 и х_{21} и х_{22} \\ & \vdots\\ 1 и х_{N1} и х_{N2} \end{bmatrix}, \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \бета_0 \\ \бета_1 \\ \бета_2 \end{bматрица} \\ \mathbf{A} \mathbf{B} = \begin{bmatrix} \beta_0 + \beta_1 x_{11} + \beta_2 x_{12} \\ \beta_0 + \beta_1 x_{21} + \beta_2 x_{22} \\ \vdots\\ \beta_0 + \beta_1 x_{N1} + \beta_2 x_{N2} \end{bmatrix} \end{собранный} \]
Некоторые важные свойства умножения матриц:

Умножение матриц ассоциативно: $(\mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{C} = \mathbf{A} (\mathbf{B} \ mathbf{C})$.
Умножение матриц является дистрибутивным: $\mathbf{A} (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \mathbf{B} + \mathbf{A} \mathbf{C}\ ).
Для любой \(n \times m$ матрицы $\mathbf{A}$ мы имеем $\mathbf{A} \mathbf{I}_m = \mathbf{I}_n \mathbf{A} = \mathbf{A}$. Таким образом, единичная матрица похожа на матричный эквивалент числа один. (Подробнее об этом, когда мы дойдем до матричной инверсии.)
Умножение матриц является , а не коммутативным. Другими словами, $\mathbf{A} \mathbf{B} \neq \mathbf{B} \mathbf{A}$, за исключением очень особых случаев (например, оба являются квадратными и одна из них является единичной матрицей) .
Это очевидно, когда мы имеем дело с неквадратными матрицами. Пусть $\mathbf{A}$ будет $n \times m$, а $\mathbf{B}$ будет $m \times p$, так что $\mathbf{A} \mathbf {B}$ существует. Тогда $\mathbf{B} \mathbf{A}$ даже не существует, если только $n = p$. Даже тогда, если $n \neq m$, то $\mathbf{A} \mathbf{B}$ равно $n \times n$ и $\mathbf{B} \mathbf{A} $ равно $m \times m$, поэтому они не могут быть одинаковыми.

Например, $\mathbf{A} \mathbf{B} \neq \mathbf{B} \mathbf{A}$ даже для квадратных матриц: \[\begin{gathered} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 и 0 \\ 2 и 0 \end{bmatrix}, \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 и 0 \\ 0 и 0 \конец{бматрица}, \\ \mathbf{A} \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 и 0 \\ 2 и 0 \end{bmatrix}, \mathbf{B} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 и 0 \\ 0 и 0 \end{bматрица}. \сверху\). 9{-1} \раз b = 1. \]
Аналогично, в матричной алгебре мы говорим, что $n \times n$ матрица $\mathbf{C}$ является
обратной матрицей $n \times n$ $ \mathbf{A}$, если $\mathbf{A} \mathbf{C} = \mathbf{C} \mathbf{A} = \mathbf{I}_n$.
Некоторые основные свойства обратных матриц:
Если $\mathbf{C}$ является обратной к $\mathbf{A}$, то $\mathbf{A}$ является обратной из $\mathbf{C}$. Это следует непосредственно из определения.
Если $\mathbf{C}$ и $\mathbf{D}$ являются обратными к $\mathbf{A}$, то $\mathbf{C} = \mathbf{D}\ ). Доказательство: если \(\mathbf{C}$ и $\mathbf{D}$ обратны $\mathbf{A}$, то мы имеем \[ \begin{выровнено} \mathbf{A} \mathbf{C} = \mathbf{I} &\Leftrightarrow \mathbf{D} (\mathbf{A} \mathbf{C}) = \mathbf{D} \mathbf{I} \\ &\Стрелка влево (\mathbf{D} \mathbf{A}) \mathbf{C} = \mathbf{D} \\ &\Стрелка влево\mathbf{I} \mathbf{C} = \mathbf{D} \\ &\Стрелка влево\mathbf{C} = \mathbf{D}.
\end{выровнено} \] 9{-1} = \mathbf{I}_n\).
Некоторые матрицы не являются обратимыми ; т. е. обратного им не существует. В качестве простого примера подумайте о \[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 и 0 \\ 0 и 0 \end{bматрица}. \] Обратной к $\mathbf{A}$, если бы она существовала, была бы матрица $2 \times 2$ $\mathbf{C}$ такая, что $\mathbf{A} \mathbf {C} = \mathbf{I}_2$. Но для всех $2 \times 2$ матриц $\mathbf{C}$ мы имеем \[ \mathbf{А} \mathbf{С} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{11} и c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \] Следовательно, $\mathbf{A}$ не имеет обратного.
Помните, что инверсия матриц похожа на деление скалярных чисел. В этом свете предыдущий пример является обобщением принципа, согласно которому нельзя делить на ноль. Но необратимы не только матрицы, заполненные нулями. Например, на первый взгляд может быть неочевидно, что следующая матрица необратима: \[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 и 2 \\ 2 и 4 \end{bматрица}.
\] Мы знаем это из следующей теоремы: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее столбцы линейно независимы. В приведенном выше примере второй столбец в 2 раза больше первого столбца, поэтому столбцы не являются линейно независимыми, поэтому матрица необратима.
Рассмотрим общую матрицу $2 \times 2$ \[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix} а и б \\ CD \end{bматрица}. \] Здесь у нас есть простой критерий линейной независимости. В частности, столбцы $\mathbf{A}$ линейно независимы тогда и только тогда, когда $ad \neq bc$ или $ad — bc \neq 0$. Мы называем это определителем матрицы , поскольку он определяет, обратима ли матрица. 9{-1}$ не существует}. \end{собранный} \]
6.4 Решение линейных систем
Вы, возможно, помните, что в предыдущих курсах математики вас просили решать $x_1$ и $x_2$ в системах уравнений, подобных следующему: \[ \begin{выровнено} 2 х_1 + х_2 &= 10, \\ 2 х_1 — х_2 &= -10. \end{выровнено} \] Матричная алгебра позволяет записать всю эту систему в виде одного уравнения $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$, где \[ \begin{выровнено} \mathbf{A} &= \begin{bmatrix} 2 и 1 \\ 2 и -1 \конец{бматрица}, \\ \mathbf{x} &= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}, \\ \mathbf{b} &= \begin{bmatrix} 10 \\ -10 \end{bmatrix}. \end{выровнено} \] 9{-1} \mathbf{b}.\] Фактически, линейная система уравнений $\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$ имеет единственное решение тогда и только тогда, когда $ \mathbf{A}$ обратим. В противном случае оно имеет либо нулевые решения, либо бесконечно много решений.
Пример с нулевыми решениями: \[ \begin{выровнено} х_1 + х_2 &= 1, \\ 2 х_1 + 2 х_2 &= 10. \end{выровнено} \]
Пример с бесконечным числом решений: \[ \begin{выровнено} х_1 + х_2 &= 1, \\ 2 x_1 + 2 x_2 &= 2. \end{выровнено} \]
6.5 Приложение: Матрицы в R
Мы используем команду matrix() для создания матриц.
A <- матрица(с(2, 1, 3, 4), сейчас = 2, nкол = 2) А
## [1] [2] ## [1,] 2 3 ## [2,] 1 4
Обратите внимание, что он заполняет столбец «вниз». Вместо этого, чтобы заполнить «поперек», используйте аргумент byrow :
B <- matrix(c(2, 1, 3, 4), сейчас = 2, nкол = 2, по ряду = ИСТИНА) Б
## [1] [2] ## [1,] 2 1 ## [2,] 3 4
Существует несколько утилит для проверки размерности матрицы.
nrow(A)
## [1] 2
ncol(A)
## [1] 2
dim(A)
## [1] 2 2
$ i$-я строка, $j$-й столбец или $ij$-й элемент, используйте квадратные скобки.
A[1, ] # 1-й ряд
## [1] 2 3
A[ 2] # 2-й столбец
## [1] 3 4
A[2, 1] # запись во 2-м ряд, 1-й столбец
## [1] 1
Обратите внимание, что когда вы извлекаете строку или столбец, R превращает их в вектор — результат имеет только одно измерение. Если вам не нравится такое поведение (т. е. вы хотите, чтобы извлеченный столбец был матрицей с одним столбцом), используйте параметр drop = FALSE в квадратных скобках.
A[ 2, падение = ЛОЖЬ]
## [1] ## [1,] 3 ## [2,] 4
Сложение и вычитание матриц работает так, как вы и ожидали.
## [1] [2] ## [1,] 4 4 ## [2,] 4 8
## [1] [2] ## [1,] 0 2 ## [2,] -2 0
Как скалярное умножение.
## [1] [2] ## [1,] 10 15 ## [2,] 5 20
-1 * B
## [1] [2] ## [1,] -2 -1 ## [2,] -3 -4
Однако оператор * выполняет поэлементное умножение , а не умножение матриц.
## [1] [2] ## [1,] 4 3 ## [2,] 3 16
Чтобы выполнить умножение матриц, используйте %*% оператор.
А %*% В
## [1] [2] ## [1,] 13 14 ## [2,] 14 17
Чтобы инвертировать матрицу или решить линейную систему, используйте функцию solve() .
# Инверсия А решить(A)
## [1] [2] ## [1,] 0,8 -0,6 ## [2,] -0.2 0.4
# Найдите x в Ax = (3, 2) solve(A, c(3, 2))
## [1] 1.2 0.2
Вот не очень забавный факт об обращении матриц в R: это не совсем точно. Чтобы увидеть это, давайте инвертируем матрицу с некоторыми десятичными элементами.
X <- матрица(с(1,123, 2,345, 3,456, 4,567), 2, 2) Y <- решить (X) Y
## [1] [2] ## [1,] -1,5348273 1,1614546 ## [2,] 0. 7880819 -0.3774055
Теперь давайте посмотрим, что мы получим, если умножим X и Y .
X %*% Y
## [1] [2] ## [1,] 1.000000e+00 -7.406889e-17 ## [2,] 8.210031e-17 1.000000e+00
Это не единичная матрица! Проблема здесь ошибка с плавающей запятой 9{-16}\), или 0,0000000000000001.
(Еще одна раздражающая вещь, связанная с ошибкой с плавающей запятой, заключается в том, что она различается на разных компьютерах. Таким образом, ваши выходные данные при запуске приведенного выше кода могут немного отличаться от моих!)
Давайте проверим, что наш результат равен численно равен тому, что мы ожидали . Под численно равными я имею в виду, грубо говоря, что любые различия меньше, чем количество ошибок, которые вы ожидаете из-за ошибки с плавающей запятой. Сначала мы будем использовать diag() для создания единичной матрицы $2 \times 2$, затем мы сравним числовое равенство, используя все. равно() .
I <- диаг.(2) all.equal(X %*% Y, I)
## [1] TRUE
В то время как традиционный оператор == является более строгим, проверяя точное равенство.
X %*% Y == I
## [1] [2] ## [1,] ИСТИНА ЛОЖЬ ## [2,] FALSE FALSE
Мораль истории: при сравнении десятичных чисел используйте all.equal() вместо == . Когда all.equal() не равно TRUE , он возвращает сообщение, указывающее, насколько далеко друг от друга находятся числа. Это раздражает, если вы хотите использовать all.equal() , скажем, в операторе if / else . Чтобы обойти это, у нас есть функция isTRUE() .
all.equal(1.0, 1.5)
## [1] "Средняя относительная разница: 0,5" . Если solve() выдает ошибку, в которой говорится «обратное число условия…» или «система точно сингулярна», это означает, что вы пытались инвертировать матрицу, которая не является обратимой.

Z <- матрица(с(1, 1, 2, 2), 2, 2) solve(Z)
## Ошибка вsolve.default(Z): подпрограмма Лапака dgesv: система точно в единственном числе: U[2,2] = 0
R позволит вам складывать и вычитать векторы разной длины с помощью метода, называемого «переработка». Например, c(1, 0) + c(1, 2, 3, 4) даст c(2, 2, 4, 4) . Это общепринятая практика в R, но не в математических выводах. ↩︎
О определителях матриц $3 \times 3$ и больших матриц см. в дружественном местном учебнике по линейной алгебре. Спойлер: вычислять определитель большой матрицы вручную неинтересно.↩︎
Обзор матричной алгебры | СТАТ ОНЛАЙН
На странице «Контрольный список предварительных требований» на веб-сайте Департамента статистики перечислены курсы, требующие практических знаний матричной алгебры в качестве предварительного условия. Студенты, у которых нет этой основы или которые не просматривали этот материал в течение последних нескольких лет, будут бороться с концепциями и методами, которые строятся на этой основе. Курсы, для которых требуется эта основа, включают:
STAT 414 - Введение в теорию вероятностей
STAT 501 - Методы регрессии
STAT 504 - Анализ дискретных данных
STAT 505 - Прикладной многомерный статистический анализ
Обзорные материалы
Многие из наших возвращающихся, работающих профессиональных студентов сообщают, что они прошли курсы, которые включали темы матричной алгебры, но часто эти курсы были пройдены несколько лет назад. Чтобы помочь студентам оценить, соответствуют ли их текущие знания и умения ожиданиям преподавателей вышеуказанных курсов, онлайн-программа подготовила краткий обзор этих концепций и методов. Затем следует короткий экзамен для самооценки, который поможет вам понять, есть ли у вас необходимый опыт.
Процедура самооценки
Ознакомьтесь с концепциями и методами на страницах этого раздела этого веб-сайта. Обратите внимание на курсы, с которыми связаны определенные разделы в качестве обязательных условий:
СТАТ 414 СТАТ 501 СТАТ 504 СТАТ 505
M. 1 — определения матриц Обязательный Обязательный Обязательно Обязательно
M.2 — матричная арифметика Обязательный Обязательный Обязательный Обязательно
M.3 — свойства матрицы Обязательный Обязательный Обязательный Обязательно
M.4 — обратная матрица Обязательный Обязательный Обязательный Требуется
M.5 — дополнительные темы Рекомендовано Рекомендовано Рекомендовано 5.1, 5.4, требуется
5.2, 5.3, рекомендуется
Загрузите и сдайте экзамен для самооценки
Просмотрите решения для экзамена по самооценке и определите свой балл.
Учащиеся, набравшие менее 70% (менее 21 правильного вопроса), должны рассмотреть возможность дальнейшего изучения этих материалов, и им настоятельно рекомендуется пройти такой курс, как МАТЕМАТИКА 220, или аналогичный курс в местном колледже или общественном колледже.
No related posts.