Корень алгебра знак: √ — Квадратный корень: U+221A radic

Содержание

обозначение знака и способы набора на клавиатуре

Корнем называют не только часть растения, но и математический элемент. По умолчанию он предназначен для расчётов и вычисления именно квадратного корня, то есть числа в степени одна вторая. У этого математического элемента есть и другое название – радикал, произошедшее, вероятно, от латинского слова radix. Поэтому в некоторых случаях радикал обозначается буквой r.

Содержание:

  • Что такое корень и его назначение
  • Немного истории
  • Применение
  • Как набирать
    • Знак корня на клавиатуре
    • Способы набора символа в Ворде

Что такое корень и его назначение

В общих чертах его знак похож на латинскую букву V, с тем лишь отличием, что правая часть длиннее левой. Связано это с тем, что справа пишется число большее, чем левое. И как было сказано выше – левое часто не пишут (если речь идет о квадратном корне).

  1. Пример 1. √16 = 4. Полная запись выглядела бы так: 2√16 = 4. Как видно из примера, двойка по умолчанию не пишется. Она обозначает то, сколько раз число 4 было умножено на само себя. Иными словами – 4, умноженное на 4 равняется числу 16.
  2. Пример 2. 3√8 = 2. Тут уже вычисляется кубический корень (третьей степени). Число 8 получается из умножения числа 2 на само себя три раза – 2*2*2 = 8.

Немного истории

Современное обозначение извлечения квадратного корня из восьми, где восьмёрка находится под правым «крылышком» корня (знака), раньше имело бы выражение вида r8 с чёрточкой над восьмёркой. Но это было не всегда удобно по ряду причин.

Изменить выражение на современный лад впервые предложил в 1525 году авторитетный немецкий математик Кристоф Рудольф. Этот человек внёс большой вклад в развитие алгебры в целом, излагая сложные математические формулы доступным и ясным языком. Его труд примечателен еще и тем, что изобилует доступными и наглядными примерами. Поэтому даже спустя два века на его работу ссылаются многие учебники.

На данный момент в типографике знак корня почти не отличается в разных странах, так как вариант Рудольфа пришёлся по вкусу большинству.

Применение

Разумный вопрос, который рано или поздно возникает у человека, только начавшего изучать математику – зачем вообще нужен квадратный корень? Конечно, он, может, никогда и не пригодится уборщице тёте Люсе или дворнику дяде Васе, но для более образованного человека квадратный корень всё же нужен.

Начнём с того, что квадратный корень нужен для вычисления диагонали прямоугольника. Ну и что с того? – спросят многие. А с того, что это нужно для качественного ремонта, чтобы правильно и аккуратно разложить линолеум, сделать навесной потолок и для проведения многих других работ в сфере строительства.

Ведь дома и квартиры строят люди, вещи и материалы для ремонта изготавливают люди, либо машины, которыми управляют опять-таки люди. А человеку свойственно ошибаться. Поэтому вычисление квадратного корня может существенно сэкономить нервы и деньги при ремонте какого-либо помещения.

Квадратный корень также необходим физикам, математикам, программистам и другим профессионалам, чья профессия связана с вычислениями и наукой. Без подобных знаний наука стояла бы на месте. Однако даже простому человеку никогда не помешают базовые знания о корне. Ведь эти знания развивают мозг, заставляют его работать, образуя новые нейронные связи. Чем больше знаний в голове – тем больше человек запомнит.

Как набирать

Знак корня на клавиатуре

В электронном виде этот символ может понадобиться как студентам, учителям, научным деятелям. Связано это может быть с докладом, проектом, рефератом и так далее. В стандартной раскладке клавиатуры нет символа квадратного корня, так как он не является популярным или часто используемым. Но его можно набрать и другими способами.

Самые распространённые программы для работы с документами – это пакет MS Office, в частности, Microsoft Word. Набрать квадратный корень в этой программе можно несколькими способами, которые по аналогии могут подойти и к другим программам, с небольшими различиями в интерфейсе.

Способы набора символа в Ворде

Можно использовать следующие варианты:

  • При помощи набора специального кода. В самом низу клавиатуры находится клавиша с названием Alt. Этих клавиш две, подойдёт любая из них. В правой части клавиатуры есть цифры, над которыми находится клавиша Num Lock. Эту клавишу нужно предварительно нажать, чтобы активировать цифры, находящиеся под ней. Затем зажимаем клавишу Alt и не отпуская клавишу, набираем: 251. После этого на экране появится нужный значок.
  • Ещё один способ связан с меню «вставка-символ». После того как будет найден нужный знак, его можно будет повторять, как ранее использованный. Его код в меню поиска — 221A, (латинская буква). Предварительно лучше включить Юникод.
  • Самый «красивый» символ набирается с помощью компонента Microsoft Equation 3. 0. Для этого надо зайти в «вставка-объект-Microsoft Equation 3.0», после чего найти там нужный знак и использовать его. При этом методе знак смотрится лучше всего, так как тут он отображается правильно с типографической и математической точки зрения.

§ Что такое квадратный корень

Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

В уроке «Степень числа» мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя. Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 32 = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат? Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

Запомните!

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак. Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9», это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

√9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический». Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом. Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.


Запомните!

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.

  • √−9 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
  • √64 = 8
  • √−1,44 = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
  • √256 = 16

Квадратный корень из нуля

Запомните!

Квадратный корень из нуля равен нулю.

√0 = 0

Квадратный корень из единицы

Запомните!

Квадратный корень из единицы равен единице.

√1 = 1

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто. Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от 1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

  • √81 = 9
  • √64 = 8
  • √100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Важно!

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

  1. забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
  2. вычислить для целого числа квадратный корень;
  3. полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из правила умножения десятичных дробей).

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

√0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число «4».

√16 = 4
√0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей. Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на «0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня √0,16 нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой. Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

√0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби «0,42» дает «0,16». Умножим в столбик «0,4» на «0,4».


Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

√1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число «144». Какое число в квадрате даст «144»? Ответ — число «12».

122 = 144

√144 = 12

√1,44 = …

Так как в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби, которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

√1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,22» дает в квадрате «1,44».

1,22 = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел √2, √3, √5, √6, и т.

п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен √2 или √3 и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»? Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя непериодическую десятичную дробь и входит в множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√15 − 2 · 4 = √15 − 8 = √7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7». Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно оставить с корнем.

√15 − 2 · 4 = √15 − 8 = √7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора, то после вычисления квадратного корня на калькуляторе округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до «0,001».

√15 − 2 · 4 = √15 − 8 = √7 ≈ 2,646

Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня

Знак корня в русском языке на клавиатуре. Квадратный корень

З знак квадратного корня знаком всем. Его используют школьники и студенты, преподаватели и репетиторы по математике, доктора наук и академики. Однако не все знают, что современная форма и появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с в далекого XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом

Radix (корень) или сокращенно R .

В XV в. Н.Шюке писал вместо . Современный знак корня произошел от обозначения, применяемого немецкими математиками XV-XVI вв. , называвшие алгебру — наукой «Косс», а математиков -алгебраистов «коссистами». (Математики XII-XV вв. писали все свои труды исключительно на латинском языке. Они называли неизвестное — res (вещь). Итальянские математики перевели слово res как cosa . Последний термин заимствовали немцы, от которых и появилось коссисты и косс.)

В XV в. некоторые немецкие коссисты для обозначения квадратного корня пользовались точкой перед выражением или числом. В скорописи эти точки заменялись черточками, а позже они перешли в символ
Один такой знак означал обычный квадратный корень. Если нужно было обозначить корень четвертой степени, то применялся сдвоенный знак знак Для обозначения кубического корня использовали утроенный знак

Комментарий репетитора по математике: остается только гадать, как именно обозначался корень восьмой степени. Если брать аналогию с четвертой степенью, то этот знак должен был отождествлять трехкратное извлечение квадратного корня, то есть для этого нужно было поставить три квадратика. Однако, это обозначение занято кубическим корнем.

Скорее всего, в последствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты. Впервые этот знак был замечен в немецкой алгебре «Красивый и быстрый счет при помощи искусных правил алгебры»:

Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Книга пользовалась большим успехом и постоянно переиздавалась на протяжении всего XVI в. и после аж до 1615г. Знаком корня, предложенного Криштофом пользовались А.Жирар, С.Стевин (он писал показатель корня справа от знака радикала в кружке: V (2) или V (3).

В 1626г. нидерландский математик А.Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R . Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так: .

И только в 1637 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге «геометрия».

Но и здесь не было точной копии современной формы. Запись Декарта несколько отличалась от той, к который мы с вами привыкли одной деталью. У него было записано: , где буква С, поставленная сразу после радикала, указывала на запись кубического корня. В современном виде это выражение выглядело бы так: .

Самое близкое к современному написанию радикала применял Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1685 г.) Впервые запись корня, полностью совпадающая с сегодняшней, встречается в книге французского математика Ролля «Руководство алгебры», вышедшей в 1690 г. Только через некоторое время после ее написания математики планеты принята, наконец, единую и окончательная форма записи квадратного корня:

Колпаков А.Н. Профессиональный репетитор по математике .

Вам обязательно нужно знать о том, как установить корень на клавиатуре, если требуется, чтобы данный символ был размещен в тесте. Попробуйте поступить очень простым способом. Вы можете открыть экранную таблицу и в необходимом месте разместить указанный математический знак. Делается это легко. Помимо приведенного символа таким способом устанавливаются и другие необходимые обозначения. После выбора значка квадратного корня обязательно нужно нажать кнопку «Вставить», которая находится в самой таблице. В результате знак будет отображен в тексте. Если вы желаете быстро найти его в таблице, необходимо перейти в специальный раздел «Математические символы». Как написать корень на клавиатуре с помощью данного метода, вы уже знаете. Как видите, это очень просто и быстро.

Код

Хотите узнать, как поставить корень на клавиатуре в текстовом редакторе «Ворд»? Рекомендуем воспользоваться специальным меню «Вставка» — «Символ». Если необходимо установить данный знак, выберите его код — 221A. При этом совершенно неважно, установите вы букву английскую или русскую. Кстати, стоит учитывать и то, что набор предоставленных символов в вашей напрямую будет зависеть и от шрифта, который указан в одноименном разделе. Хотя бывает такое, что в некоторых вариантах может не оказаться.

Ручное назначение. Подробное описание

Если вы будете знать код квадратного корня, то сможете его моментально вставлять в Практически в каждом приложении такого типа присутствует специальное поле, которое предназначено для вставки комбинаций для особых знаков. Кстати, корень на клавиатуре без вспомогательной таблицы или сервиса вы не сможете установить, так как подобных клавиш нет, но при желании они назначаются самим пользователем в настройках системы. Учитывайте, что тогда другие обозначения не будут работать.

Заключение

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Инструкция

Проще всего обозначить корень квадратный через меню «Вставка- ». Для этого выберите по очереди пункты меню Вставка-Символ… В появившейся на экране табличке с набором выберите знак корня квадратного и нажмите кнопку «Вставить». Символ квадратного корня появится . (Обычно окошко с набором символов закрывает большую часть текста, поэтому появление символа можно не ).
Чтобы ускорить поиск квадратного корня, выберите в поле «набор»: пункт «математические ». Чтобы увидеть доступных символов, в поле «из» нужно установить «Юникод (шестн.)».

Выбор корня квадратного (как и любого другого знака) можно значительно ускорить, если знать его код, для ввода которого существует специальное поле: «Код знака». Для корня квадратного (v), это — «221A» (регистр не важен, «А» — английская).
Повторный ввод символов удобнее осуществлять с помощью специальной панели «Ранее использовавшиеся символы».
Если квадратного корня используется очень часто, то здесь же можно настроить комбинации «горячих клавиш» или параметры автозамены.
Набор представленных символов также зависит от шрифта, указанного в поле «Шрифт» — в некоторых шрифтах квадратного корня может и не оказаться.

Быстрее всего обозначить корень квадратный с помощью клавиши Alt и кода квадратного корня.
Для этого нажмите кнопку Alt и, удерживая ее, наберите на цифровой части клавиатуры 251.

Если под знаком корня находится сложное математическое выражение, то значок квадратного корня лучше обозначить посредством редактора формул.
Для этого выберите последовательно следующие пункты меню: Вставка – Объект – Microsoft Equation 3.0. После этого откроется редактор математических формул, где, в частности, будет и символ квадратного корня.
Если строки «Microsoft Equation 3.0» нет в выпадающем меню, при установке программы Word эта опция не была установлена. Для установки этой возможности вставьте установочный диск с программой Word (желательно тот, с которого производилась первоначальная ) и запустите программу инсталляции. Отметьте галочкой Microsoft Equation 3.0 и эта строка станет доступной.

Аналогичный способ написания в Word символа квадратного корня. Выберите последовательно следующие пункты меню: Вставка – Поле – Формула – Eq. После чего откроется редактор математических формул.

Написать корень квадратный можно и с помощью комбинации специальных символов. Для этого нажмите комбинацию клавиш Ctrl+F9. Затем, внутри появившихся фигурных скобок наберите: eq
(;1000000) и нажмите F9. В результате получится корень квадратный из миллиона. Естественно, вместо 1000000 можно ввести любое, нужное вам, число… Кстати, полученное выражение в дальнейшем можно будет отредактировать.

Квадратный корень можно нарисовать и самостоятельно, с помощью встроенного в Word «графического редактора». Для этого разверните панель рисования и начертите корень квадратный, соединив три отрезка.
Если кнопки для панели рисования нет, то нажмите: Вид – Панели инструментов и поставьте галочку напротив строки «Рисование». Если под знаком корня планируется набирать какие-то цифры или выражения, то настройте опцию «обтекание » на «перед текстом» или «за текстом».

Очень часто при наборе текстовых документов возникает необходимость написать символ, которого нет на клавиатуре. Например, не редко возникает необходимость написать корень либо . В данной статье мы рассмотрим сразу несколько способов, как можно написать корень на клавиатуре или без ее использования.

Если вам нужно просто поставить знак корень, то это делается достаточно просто. Для этого нужно воспользоваться комбинацией клавиш ALT+251. Данная комбинация клавиш нажимается следующим образом: сначала зажимаете клавишу ALT на клавиатуре, а потом не отпуская ALT набираете число 251 на дополнительном цифровом блоке (под клавишей Num Lock).

Нужно отметить, что число 251 нужно набирать именно на дополнительном цифровом блоке, а Num Lock должен быть включен. Иначе комбинация клавиш ALT+251 не сработает. На скриншоте внизу показан индикатор сообщающий, что Num Lock включен.

Кроме этого вы можете воспользоваться программой «Таблица символов», которая есть в любой версии Windows. С помощью этой программы можно вставить в текст знак корень или любой другой символ. Для того чтобы запустить «Таблицу символов» нажмите Windows-R и в открывшемся окне выполните команду «charmap.exe».

Либо воспользуйтесь поиском в меню «Пуск» и введите поисковый запрос «таблица символов».

После открытия «Таблицы символов» вам нужно найти знак корень, нажать на кнопку «Выбрать», а потом на кнопку «Копировать». В результате выбранный вами символ будет скопирован в буфер обмена, и вы сможете вставить его в нужное место вашего текста с помощью комбинации клавиш CTRL-V либо с помощью команды «Вставить».

Если вы набираете текст в программе Word, то вы можете написать знак корень с помощью встроенного редактора формул. Для этого нужно перейти на вкладку «Вставка», открыть там меню «Формула» и выбрать вариант «Вставить новую формулу».

Вставка знака математического корня в MS Word. О знаке квадратного корня

Интернет

Тем, кто собирается писать курсовую работу, диплом или любой другой технический текст, могут пригодиться символы, отсутствующие на клавиатуре. В их числе – значок квадратного, кубического корня, корня четвертой степени и пр. На самом деле, вставить в текст этот символ – радикал — не так сложно, как кажется. Давайте разберемся, как пишется корень на клавиатуре.

Способ №1

Этот способ подойдет для отображения значка квадратного корня, в случае которого показатель степени 2 обычно опускается.

  1. Установите курсор там, где необходимо вставить значок корня.
  2. Откройте в Word вкладку «Вставка»;
  3. Найдите графу «Символ» и выберите «Другие символы»;
  4. Выберите строку «Математические операторы» и найдите среди появившихся знаков необходимый вам вариант. Нажимаем «Вставить».

Если символ корня вам нужно вставить не один раз, то пользоваться этой функцией весьма удобно. Все ранее использованные значки отображаются непосредственно под кнопкой «Символ».

Способ №2

Этот способ пригоден для отображения не только квадратного, но еще и кубического корня и корня четвертой степени.


Способ №3

Для отображения корня любой степени удобно использовать следующий способ:


Способ №4

Этот способ не требует применения специальных функций Word – все необходимое для написания квадратного корня есть на самой клавиатуре.


Способ №5

Еще один вариант внесения символа квадратного корня в текст заключается в следующем.

  1. «Пуск»->«Все программы»->«Стандартные»->«Служебные»->«Таблица символов»;
  2. В появившейся таблице отыщите нужный значок и нажмите на него. Затем нажимаем «Выбрать» (значок появится в строке для копирования) и «Копировать»;
  3. С помощью сочетания клавиш Ctrl+C скопируйте корень в необходимую строчку в тексте.

Теперь вы знаете, как пишется корень на клавиатуре. Как видите, существует немало способов внесения данного математического символа в текст, и все они довольно простые.

Голос за пост — плюсик в карму! 🙂

З знак квадратного корня знаком всем. Его используют школьники и студенты, преподаватели и репетиторы по математике, доктора наук и академики. Однако не все знают, что современная форма и появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с в далекого XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R .

В XV в. Н.Шюке писал вместо . Современный знак корня произошел от обозначения, применяемого немецкими математиками XV-XVI вв., называвшие алгебру — наукой «Косс», а математиков -алгебраистов «коссистами». (Математики XII-XV вв. писали все свои труды исключительно на латинском языке. Они называли неизвестное — res (вещь). Итальянские математики перевели слово res как cosa . Последний термин заимствовали немцы, от которых и появилось коссисты и косс.)

В XV в. некоторые немецкие коссисты для обозначения квадратного корня пользовались точкой перед выражением или числом. В скорописи эти точки заменялись черточками, а позже они перешли в символ
Один такой знак означал обычный квадратный корень. Если нужно было обозначить корень четвертой степени, то применялся сдвоенный знак знак Для обозначения кубического корня использовали утроенный знак

Комментарий репетитора по математике: остается только гадать, как именно обозначался корень восьмой степени. Если брать аналогию с четвертой степенью, то этот знак должен был отождествлять трехкратное извлечение квадратного корня, то есть для этого нужно было поставить три квадратика. Однако, это обозначение занято кубическим корнем.

Скорее всего, в последствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты. Впервые этот знак был замечен в немецкой алгебре «Красивый и быстрый счет при помощи искусных правил алгебры»:

Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Книга пользовалась большим успехом и постоянно переиздавалась на протяжении всего XVI в. и после аж до 1615г. Знаком корня, предложенного Криштофом пользовались А.Жирар, С.Стевин (он писал показатель корня справа от знака радикала в кружке: V (2) или V (3).

В 1626г. нидерландский математик А.Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R . Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так: .

И только в 1637 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге «геометрия».

Но и здесь не было точной копии современной формы. Запись Декарта несколько отличалась от той, к который мы с вами привыкли одной деталью. У него было записано: , где буква С, поставленная сразу после радикала, указывала на запись кубического корня. В современном виде это выражение выглядело бы так: .

Самое близкое к современному написанию радикала применял Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1685 г.) Впервые запись корня, полностью совпадающая с сегодняшней, встречается в книге французского математика Ролля «Руководство алгебры», вышедшей в 1690 г. Только через некоторое время после ее написания математики планеты принята, наконец, единую и окончательная форма записи квадратного корня:

Колпаков А.Н. Профессиональный репетитор по математике .

Иногда работа с документами Microsoft Word выходит за пределы обычного набора текста, благо, возможности программы это позволяют. Мы уже писали о создании таблиц, графиков, диаграмм, добавлении графических объектов и тому подобном. Также, мы рассказывали о вставке символов и математических формул. В этой статье мы рассмотрим смежную тему, а именно, как в Ворде поставить корень квадратный, то есть, обычный знак корня.

Вставка знака корня происходит по той же схеме, что и вставка любой математической формулы или уравнения. Однако, пара нюансов все же присутствует, поэтому данная тема заслуживает детального рассмотрения.

1. В документе, в котором нужно поставить корень, перейдите во вкладку “Вставка” и кликните в том месте, где должен находиться этот знак.

2. Кликните по кнопке “Объект” , расположенной в группе “Текст” .

3. В окне, которое появится перед вами, выберите пункт “Microsoft Equation 3.0” .

4. В окне программы будет открыт редактор математических формул, внешний вид программы полностью изменится.

5. В окне “Формула” нажмите на кнопку “Шаблоны дробей и радикалов” .

6. В выпадающем меню выберите знак корня, который нужно добавить. Первый — квадратный корень, второй — любой другой выше по степени (вместо значка “x” можно будет вписать степень).

7. Добавив знак корня, введите под него необходимо числовое значение.

8. Закройте окно “Формула” и кликните по пустому месту документа, чтобы перейти в обычный режим работы.

Знак корня с цифрой или числом под ним будет находиться в поле, похожем на текстовое поле или поле объекта “WordArt” , которое можно перемещать по документу и изменять в размерах. Для этого достаточно потянуть за один из маркеров, обрамляющих это поле.

Чтобы выйти из режима работы с объектами, просто кликните в пустом месте документа.

    Совет: Чтобы вернутся в режим работы с объектом и повторно открыть окно “Формула” , дважды кликните левой кнопкой мышки в поле, в котором находится добавленный вами объект

На этом все, теперь вы знаете, как в Word поставить знак корня. Осваивайте новые возможности этой программы, а наши уроки вам в этом помогут.

Если вам нужно написать, к примеру, технический текст, возникает вопрос: «как написать символы, которых нет на клавиатуре?» Одним из таких символов является корень или радикал.

Наверняка вы замечали, что на многих сайтах используется этот обозначение. И это неудивительно, ведь подобными возможностями обладают все без исключения текстовые редакторы, а если быть точнее, суть вопроса заключается именно в клавиатуре.

Как написать корень на клавиатуре? – всё очень просто! Хоть знак «корень» на клавиатуре и не расположен, его всё-таки можно написать: для этого существует даже не один, а несколько способов. Рассмотрим их подробнее:

  • Способ №1. Используя горячие клавиши клавиатуры (Alt-код, т.е. первая клавиша в коде — Alt).
  • Способ №2. Используя 10-й код (HTML-код).
  • Способ №3. Используя 16-й код (Юникод).

Обратите внимание! Для того чтобы воспользоваться способом №1, вы должны нажать и удерживать клавишу Alt, после чего начать ввод числового кода с использованием дополнительных цифровых клавиш (расположены на правой части клавиатуры).

Перед тем как ввести числовой код, убедитесь, что цифровые клавиши включены (индикатор NumLk должен гореть). 10-й и 16-й коды можно не вводить, а просто скопировать из таблицы и вставить в том месте, где вам нужно.

√ Квадратный корень Alt + 251 √ √∛ Кубический корень — ∛ ∛∜ Четвертый корень — ∜ ∜

Теперь вы знаете, как писать корень на клавиатуре – для этого нужно запомнить комбинацию «Alt+251». Точнее, нужно удерживать клавишу Alt, после чего на цифровых клавишах нажать 2, 5, 1 и отпустить Alt.

Если вы всё сделали верно, на экране появится знак корня. Выглядит он следующим образом: √ (вы также можете просто скопировать его отсюда). Так самому можно писать и другие самые разные смайлики в ворде и других текстовых редакторах.

Вы можете воспользоваться и помощью поисковика Google. Для этого просто введите в поиск то, что вы ищите (к примеру, знак корня), после чего просто его скопировать.

Если у вас возникли какие-либо проблемы (на вашем ноутбуке нет расположенных справа цифровых клавиш и т. д.), достаточно нажать Пуск и перейти в таблицу символов. В зависимости от Windows таблица символов может находиться как в разделе с приложениями, так и в разделе «Стандартные».

Вам понадобилось написать некий технический текст, связанный с математикой, и вы задались вопросом – как написать символы, которых нет на стандартной раскладке клавиатуры? Например, знак корня, который еще называют радикалом. Вы наверняка замечали это обозначение на многих сайтах. И это неудивительно, потому что даже стандартный блокнот способен его отобразить. Как же найти корень на клавиатуре? Вы удивитесь, но это очень просто!

Способ №1. Использовать клавишу Alt и цифровой блок

Для того чтобы воспользоваться этим способом, убедитесь что у вашей клавиатуры есть цифровой блок (справа или же совмещенный с буквами) и что индикатор NumLock горит. Если он не горит, включите его клавишей NumLock/NumLk.

На ноутбуках или компактных клавиатурах может также понадобиться зажатие клавиши Fn, подробнее об этом вы можете узнать из инструкции к своему ноутбуку. Итак, чтобы набрать знак корня на клавиатуре, вам необходимо зажать клавишу Alt и последовательно ввести цифры 2, 5 и 1 на цифровом блоке, а затем отпустить зажатую клавишу.

Если вы все сделали правильно, то на экране появится знак радикала. Это самый простой способ написания корня на клавиатуре. Но что если вам необходим кубический или корень четвертой степени? К сожалению, сделать это таким же способом нельзя, но можно другими, однако работают они только в браузере, при оформлении статей для сайтов. О них поговорим чуть ниже.

Способ №2. Если на вашей клавиатуре нет цифрового блока

Если так случилось, что на вашей клавиатуре отсутствует цифровой блок и нет возможности написать корень на клавиатуре первым способом — не отчаивайтесь! Вы также можете воспользоваться любым поисковиком и, введя в него «знак корня», получить символ, который уже можно скопировать в вашу статью.


Если же у вас нет интернета, то вы можете воспользоваться стандартным приложением Windows – таблицей символов. Найти ее очень просто. Для этого зайдите в меню «Пуск», найдите в нем папку «Стандартные», а в ней — папку «Служебные». Также вы можете нажать сочетание клавиш Win+R и в открывшемся поле ввести charmap. exe и нажать Enter. Этот способ применим не только к символу корня, но и к другим.

Способ №3. Использовать десятиричный код (HTML-код)

Этот способ также не требует введения цифр с цифрового блока. Чтобы добавить в свою статью таким способом квадратный, кубический корень или корень четвертой степени, на клавиатуре необходимо набрать данные последовательности символов и цифр:

  • √ — для квадратного корня;
  • ∛ — для кубического корня

Способ №4. Использовать шестнадцатиричный код (Юникод)

Данный способ используют крайне редко ввиду его непрактичности, но не сказать о нем было бы упущением. Кто знает, когда пригодится. Если сайт, на котором будет располагаться ваша статья, работает в кодировке Юникод (хотя давно повсеместно используется UTF-8), вы можете использовать данные последовательности:

  • √ — для квадратного корня;
  • ∛ — для кубического корня;
  • ∜ — для корня четвертой степени.

Как видите, нет ничего сложного в вопросе, как найти квадратный корень на клавиатуре. Теперь вы знаете целых четыре способа, как написать его, а также кубический или корень четвертой степени.

Степени и корни — МАТВОКС

Степени и корни — МАТВОКС

Перейти к содержанию

ПОИСК

Страница Вконтакте открывается в новом окне

Вы здесь:

Содержание раздела

История развития понятия «Степень числа»

Древние математики умели пользоваться сложением, вычитанием умножением, делением. А вот понятие «возведение в степень» сложилось позднее.

 

Первые натуральные степени чисел в III веке Диофант описывал так: «Все числа состоят из некоторого количества единиц…Среди них находятся квадраты, получающиеся от умножении некоторого числа самого на себя. Это же число называется стороной квадрата. Затем кубы, получающиеся от умножения квадрата на его сторону. Далее квадратно-квадрат — от умножения квадратов самих на себя. Далее квадратно-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны. Далее кубо-кубы — от умножения кубов самих на себя.»

Греческий математик Диофант в III веке написал свой труд «Арифметика». В этой работе он ввел символы для первых 6 степеней.

В своих работах французский математик Франсуа Виет для обозначения степеней применял сокращения:

N (Numerus – число) — для второй степени?

C (cubus – куб) — для третьей степени,

QQ — для четвертой степени и так далее.

 

Некоторые математики, чтобы показать возведение в степень, писали a∙a, a∙a∙a, a∙a∙a∙a.

Ученые математики решали сложные алгебраические задачи и в своих работах им приходилось пользоваться сложной символикой, когда речь заходила о возведении в степень. Во-первых, было много символов. Во-вторых, у каждого математика была своя символика. Эти аспекты делали сложным восприятие математических трудов.

Чтобы упростить сложность обозначения возведения в степень, для начала нужно было ввести единые обозначения и, кроме того, сократить число символов.

Многие математики XII века поняли, что показатель степени должен быть выражен числом.

 

Название показателя степени ввёл немецкий математик Михаэль Штифель в 1544 г.

Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени» .

В своей книге «Полная арифметика» (Arithmetica integra), во-первых, Михаэль Штифель ввел термин potenzieren — что в переводе означает возведение в степень. Во-вторых, он ввел термин Exponens в переводе показатель.

Далее Симон Стевин (нидерландский математик) предложил называть степени по их показателям.

Французский математик Николай Орем (1325 – 1382) написал книгу «Вычисление пропорций» (Algorismus proportionum). В этой книге уже есть дробный показатель степени.

 

Никола Шюке — французский математик в 1484 написал трактат «Наука о числах». Он ввел отрицательный и нулевой показатель. Далее в свою символику он ввёл определение показателя степени. Мелким шрифтом он писал его сверху и справа от коэффициента.

 

В 1637 Рене Декарт написал «Геометрию». В этом труде появилась современная запись показателя степени. Он записывал показатель степени правее и выше переменной:a3,a4, a5 и т.д. Однако вторую степень он записывал как произведение a∙a.

Михаэль Штифель

(c) http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Stifel.html

Исаак Ньютон в 1676 г. уже использовал современную запись для отрицательных и дробных показателей.

 

Работы английских математиков Джона Валлиса (1616 – 1703 гг.) и Исаака Ньютона (1643 – 1727 гг.) дали современное определение и обозначение степени с отрицательным, нулевым и дробным показателем.

Квадратные и кубические корни

Вавилонские математики еще 4000 лет тому назад умели извлекать квадратные корни. Однако, они могли вычислять квадратные корни только приближённо. В результате своих исследований вавилонские ученые составили приближенные таблицы величин квадратных корней из числа.

Муса аль-Хорезми

Wikimedia Commons

Древнегреческий ученый Герон Александрийский в первом веке до новой эры подробно описал метод приближенных вычислений.

 

В трактате среднеазиатского математика Муса аль-Хорезми при решении квадратных уравнений встречается подробное извлечение квадратного корня. Этот трактат-учебник математики назывался «Книгой о восполнении и противопоставлении» («Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала»).

Он был выпущен около 830 года. Во-первых, в этом учебнике был дан метод решения линейных и квадратных уравнений. Во-вторых, Муса аль-Хорезми решал уравнение алгебраическим путем, тогда как греки в то время решали квадратное уравнение геометрическим путем.

В 12 веке индийский математик Бхаскара написал трактат «Сиддханта-широмани» («Венец учения»), состоящий из четырёх частей: «Лилавати» посвящена арифметике, «Биждаганита» — алгебре, «Голадхайя» — сферике, «Гранхаганита» — теории планетных движений.

Бха́скара (1114—1185, обычно называемый Бхаскарой II, чтобы отличить его от другого индийского учёного Бхаскары I) — крупнейший индийский математик и астроном XII века.

Бхаскара получал отрицательные корни уравнений, хотя и сомневался в их значимости. Ему принадлежит один из самых ранних проектов вечного двигателя.

В части «Лилавати» он излагал технику вычислений. Во-первых, в ней он отмечал, что положительное число имеет два корня: один положительный и один отрицательный. Во-вторых, что из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень.

Книга «Лилавати» в странах Азии была образцом учебника по технике вычислений. В 1816 году она была напечатана в Калькутте и с тех пор неоднократно переиздавалась в качестве учебника математики.

У математиков в эпоху Возрождения не было единого обозначения квадратного корня. Некоторые европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень) или сокращённо буквой R. От этого обозначения произошёл термин «радикал». В последствии этим термином стали называть знак корня.

 

Для обозначения квадратного корня в 15 веке некоторые немецкие математики пользовались точкой. Перед числом иск которого нужно было извлечь корень поставили точку. В дальнейшем стали ставить ромбик ◊ вместо точки.

 

Преподаватель математики из Вены Кристов Рудольф в своем учебнике использовал знак √.

 

Кристоф (Христоф) Рудольф (1499—1545) — немецкий математик, автор первого немецкого учебника алгебры, в котором предложил знак радикала, закрепившийся в науке.

 

Позднее в 16 веке фламандский математик Симон Стевин и французский математик Альберт Жирар после знака √ справа в кружочке писали показатель корня. Например, √③ или √④.

 

Некоторые математики ставили знак √ и над выражением, из которого извлекали корень, ставили черту.

 

Со временем знак √ и черту начали соединять.

 

Позже Альберт Жирар предложил писать над знаком радикала показатель кубического корня, а также показатели высших степеней.

 

Постепенно такая форма записи стала вытеснять знак R.

В 1637 Рене Декарт в своем труде «Геометрия» применил новое обозначение корня.

 

В 1690 году вышла книга французского математика Мишеля Ролля «Руководство алгебры». В этой книге впервые была использована такая форма записи корня, которую позднее приняли все математики.

 

В последствии знак √ стали называть знаком арифметического квадратного корня, а арифметический квадратный корень из числа а стали обозначать √a.

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

MATHVOX

Вверх

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Don`t copy text!

Сайт учителя математики и информатики Глинкиной Л.Н.

Сайт учителя математики и информатики Глинкиной Л.Н.
 

 

Добро пожаловать на сайт!

Меню сайта

 

Вам понравился сайт?
да нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Копилка по математике

 Материалы к уроку

  • Конспект урока «Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня». Алгебра-8

  • Кросснамбер по теме «Квадратные корни». Алгебра-8

  • Тест по теме «Применение свойств арифметического квадратного корня». Алгебра-8

  • Тест «Решение неравенств». Алгебра-9 

  • Тест «Функции и графики». Алгебра-10 

  • Тест «Тригонометрические формулы» (Вариант 1) 

  • Тест «Тригонометрические формулы» (Вариант 2) 

  • Тест «Точки экстремума» 

  • Тест «Корень n-ой степени» 

  • Тест «Многогранники» 

  • Тест «Тетраэдр» 

  • Тест «Последовательности и прогрессии» 

  • Тест по геометрии 

  • Тест «Векторы» 

  • Кроссворд «Треугольники» 

  • Кроссворд «Прямоугольный треугольник» 

  • Тренажер по теме «Арифметический квадратный корень»

  • Карточки для устного счета. Математика — 5, 6 класс

  • Устный счет по теме «Корень n-ой степени». Алгебра-10 

  • Элективные курсы по математике в 10 классе «Уравнения элементарной алгебры»

  • Элективные курсы по математике в 10 классе «Решение задач на параметры»

  • Элективные курсы «Избранные вопросы математики»

  • Элективные курсы «Решение систем линейных уравнений с помощью теории матриц и определителей

  • Календарно-тематическое планирование. Алгебра-10

  • Календарно-тематическое планирование. Геометрия-10 (Атанасян)  

  • Презентация «Основное свойство первообразных». Алгебра-11 

  • Презентация «Степень с рациональным показателем и ее свойства». Алгебра-11  

  • Презентация «Прямоугольная система координат». Геометрия-11 (Атанасян)  

  • Презентация «Координаты вектора». Геометрия-11 (Атанасян) 

  • Презентация «Скалярное произведение векторов». Геометрия-11 (Атанасян) 

  • Презентация «Усеченный конус».  Геометрия-11 (Атанасян)   

  • Презентация «Объем шара». Геометрия-11 (Атанасян) 

 

Контрольные работы

  • Контрольная работа №6, Математика-5 класс

  • Контрольная работа №1 по Геометрии (Атанасян) -7 класс    

  • Контрольная работа по теме «Свойства степени с дробным показателем» — 9 класс 

  • Контрольная работа по теме «Геометрическая прогрессия» — 9 класс

  • Контрольная по теме «Корень n-ой степени» — 9 класс

  • Контрольная работа №1. Алгебра-10 кл.

  • Контрольная работа №2. Алгебра-10 кл.   

  • Контрольная работа №3. Алгебра-10 кл.   

  • Контрольная работа №4. Алгебра-10 кл.      

  • Контрольная работа №5. Алгебра-10 кл.   

  • Контрольная работа №6. Алгебра-10 кл.    

  • Контрольная работа №1 по Геометрии-10 кл. (Атанасян)

  • Контрольная работа №2 по Геометрии-10 кл. (Атанасян)    

  • Контрольная работа №3 по Геометрии-10 кл. (Атанасян)       

  • Контрольная работа по теме «Логарифмы» — 11 класс    

  •   

    Рабочие программы, элективные курсы

    • Рабочая программа по математике-5, Виленкин Н.Я.  

    • Рабочая программа по алгебре-7 

    • Рабочая программа по алгебре-9 

    • Рабочая программа по алгебре-10 

    • Рабочая программа по геометрии-7 

    • Рабочая программа по геометрии-9 

    • Рабочая программа по геометрии-10

    Плакаты, таблицы, дополнительные материалы

    • Плакат «Параллельности прямых»  

    • Плакат «Таблица квадратов» 

    • Материал «От Пифагора и до наших дней»  

     

    Внеклассная работа

    • Игра «Брейн-ринг»

  • Игра «О, счастливчик»

  •  

    Использован Design #996 ucoz

    Сайт управляется системой uCoz

    Квадраты и квадратные корни в алгебре

    Сначала вы можете прочитать наше введение в квадраты и квадратные корни.

    Квадраты

    Чтобы возвести число в квадрат, просто умножьте его само на себя …

    Пример: Сколько будет 3 в квадрате?

    3 В квадрате = = 3 × 3 = 9

    «Квадрат» часто записывается как маленькая двойка, например:


    Здесь написано «4 в квадрате равно 16»
    (маленькая двойка означает число появляется дважды при умножении, поэтому 4×4 = 16)

    Квадратный корень

    Квадратный корень из из идет в другом направлении:

    3 в квадрате равно 9, поэтому квадратный корень из из 9 равно 3

    Это все равно, что спросить:

    Что я могу умножить само на себя, чтобы получить это?

    Определение

    Вот определение:

    Квадратный корень из x равен число r , квадрат которого равен x:

    r 2 = x
    r является квадратным корнем из x

    Символ квадратного корня


     

    Это специальный символ, означающий «квадратный корень». это как галочка,
    и на самом деле началась сотни лет назад в виде точки с движением вверх.

    Он называется радикалом и всегда делает математику важной!

    Мы можем использовать это так:


    мы говорим «квадратный корень из 9 равен 3»

    Пример: Что такое √36 ?

    Ответ: 6 × 6 = 36, поэтому √36 = 6

    Отрицательные числа

    Мы также можем возводить в квадрат отрицательные числа.

    Пример: Сколько будет

    минус 5 в квадрате ?

    Но подождите… что значит «минус 5 в квадрате»?

    • 5 в квадрате, а потом минус?
    • или квадрат (−5)?

    Непонятно! И получаем разные ответы:

    • возводим в квадрат 5, затем делаем минус: −(5×5) = −25
    • квадрат (-5): (-5)×(-5) = +25

    Итак, давайте проясним это, используя «()».

    Пример Исправлено: Что такое

    (−5) 2 ?

    Ответ:

    (−5) × (−5) = 25

    (потому что отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительное)

    Это было интересно!

    Когда мы возводим в квадрат отрицательное число, мы получаем положительный результат .

    Точно так же, как при возведении в квадрат положительного числа:

    Теперь помните наше определение квадратного корня?

    Квадратный корень из x равен числу r квадрат которого равен x:

    r 2 = x
    r является квадратным корнем из x

    И мы только что нашли, что:

    (+5) 2 = 25
    (−5) 2 = 25

    Итак, и +5, и -5 являются квадратными корнями из 25

    Два квадратных корня

    Может быть положительный и отрицательный квадратный корень!

    Это важно помнить.

    Пример: решить w

    2 = a

    Ответ:

    w = √a   и   w = −√a

    Главный квадратный корень

    5 скажем, √25 = 5?

    Потому что означает главный квадратный корень … тот, который не является отрицательным!

    Там — это два квадратных корня, но символ √ означает просто главный квадратный корень .

    Пример:

    Квадратный корень из 36 равен 6 и −6

    Но √36 = 6 (не −6)

    Главный квадратный корень иногда называют положительным квадратным корнем (но он может быть равен нулю) .

    Знак плюс-минус

    .
    ±  – специальный символ, означающий «плюс-минус»,
       
    поэтому вместо записи:   w = √a   и   w = −√a
    можно написать:   ш = ±√a

    Вкратце

    Когда имеем:r 2 = x

    тогда:r = ±√x

    Почему это важно?

    Почему это «плюс-минус» важно? Потому что мы не хотим упустить решение!

    Пример: Решите x

    2 − 9 = 0

    Начните с: x 2 − 9 = 0

    Переместите 9 вправо: x 2 = 9

    Квадратные корни:

    Ответ:x = ±3

    «±» говорит нам также включить ответ «-3».

    Пример: Найдите x в (x − 3)

    2 = 16

    Начните с: (x − 3) 2 = 16

    Квадратный корень:x − 3 = ±√16

    Вычислить √16:x − 3 = ±4

    Прибавить 3 к обеим сторонам: x = 3 ± 4

    Ответ: x = 7 или −1

    Проверить: (7−3) 2 = 4 2 = 16
    Проверить: (−1−3) 2 = (−4) 2 = 16

    Квадратный корень из xy

    Когда два числа умножаются в пределах квадратный корень, мы можем разделить его на умножение двух квадратных корней следующим образом:

    √xy = √x√y

    , но только когда x и y равны , оба больше или равны 0

     

    Пример: чему равно

    √(100×4) ?

    √ (100 × 4) = √ (100) × √ (4)

    = 10 × 2

    = 20

    и √x√y = √xy :

    Пример: что является

    √8 √2 ?

    √8√2= √(8×2)

     = √16

     = 4

    Пример. Что такое

    √(−8 × −2) ?

    √(−8 × −2) = √(−8) × √(−2)

     = ???

    Кажется, мы попали в какую-то ловушку!

    Мы можем использовать мнимые числа, но это приводит к неправильному ответу −4

    О, верно. ..

    Правило работает только тогда, когда x и y оба больше или равны 0

    Итак, мы можем’ не используйте это правило здесь.

    Вместо этого сделайте это так:

    √(−8 × −2) = √16 = +4

    Почему √xy = √x√y ?

    Мы можем использовать тот факт, что возведение квадратного корня в квадрат возвращает нам исходное значение снова:

    (√a) 2 = a

    Предположим, что a не является отрицательным!

    Мы можем сделать это для xy: (√xy) 2 = xy

    А также для x и y отдельно: (√xy) 2 = (√x) 2 (√y) 2

    Использовать a 2 b 2 = (ab) 2 :(√xy) 2 = (√x√y) 2

    Удалить квадрат с обеих сторон0442 :√xy = √x√y

    Показатель степени половины

    Квадратный корень также может быть записан как дробный показатель степени половины:


    , но только для x больше или равно 0

    Как насчет квадратного корня из минусов?

    Результатом является мнимое число. .. прочтите эту страницу, чтобы узнать больше.

     

    Более сложный вопрос

    Символ квадратного корня √ (копирование и вставка, клавиатура, в Word и Mac)

    Символ квадратного корня или знак квадратного корня выглядит как √, и это математический символ, который люди писали со времен, когда в древности была разработана кодировка ASCII. T его знак на словах известен как радикальный. И вы можете просто набрать его прямо с клавиатуры. В этой статье мы покажем вам, как это сделать разными способами в зависимости от вашей операционной системы и вкусов.

    Копия символа квадратного корня

    Время от времени мы сталкиваемся с необходимостью добавить в текст определенный символ, но на клавиатуре он отсутствует. Это не имеет значения, потому что для иконок используется таблица символов. Символы, в свою очередь, можно писать, нажимая определенные клавиши на клавиатуре. Сегодня мы научимся печатать/писать знак квадратного корня.

    Например: Квадратный корень из 3 равен √3 = 1,73205080757

    Другие названия корневых символов √

    В математике квадратный корень и другие корневые символы имеют следующие названия.

    • Радикальный символ
    • Радикальный знак
    • Корневой символ
    • основание
    • Глухой

    Обзор корневых знаков

    Microsoft Windows

    √ – Alt+251

    Apple Mac OS

    √ – ALT+V

    В документе Word

    Нажмите  Вставьте   в верхней части монитора. Нажмите на  Символ  с правой стороны полосы. Нажмите на Дополнительные символы   в появившемся контейнере.

    Нажмите на отображаемое «Подмножество». Выберите «Математические операторы», расположенные в третьей строке. Нажмите «Вставить». Радикальный символ будет отображаться в вашем тексте/документе.

    ПОДРОБНО

    #1 Как набрать символ квадратного корня

    1. Вы не увидите знака корня на основной клавиатуре вашего компьютера или ноутбука, но это не значит, что его нельзя указать.
    2. Включите цифровую клавиатуру, расположенную справа от основной клавиатуры, с помощью клавиши Num Lock.
    3. Затем нажмите клавишу Alt и, удерживая ее, наберите 251 на цифровой клавиатуре (поочередно, то есть сначала 2, затем 5 и, наконец Отпустите клавишу Alt.
    4. Если все сделано правильно, вы увидите символ корня.
    5. Кстати, если правый Alt не работает, используйте левый Alt.
    6. Если вы все сделали правильно, на экране появится знак корня. Выглядит это так: √ (можно просто скопировать отсюда)

    #2 Символ квадратного корня в слове

    1. Если у вас нет цифровой клавиатуры или этот способ будет для вас более удобным.
    2. Нажмите Win + R на клавиатуре, чтобы открыть окно «Выполнить».
    3. Добавьте команду charmap.exe и нажмите OK.
    4. Если все сделано правильно, перед вами появится таблица символов.
    5. В списке символов найдите корневой знак (поиск может занять некоторое время), затем нажмите на него и поочередно нажмите на кнопки «Выбрать» и «Копировать».
    6. Затем вставьте нужный символ в строку.
    7. Готово.
    8. И все же первый способ нам кажется более удобным — при условии, что основная клавиатура наделена цифровым блоком (на ноутбуках, например, это встречается не так часто).
    9. Если вы все сделали как положено, на экране появится корневой знак. Выглядит это так: √ (можно просто скопировать отсюда). Так что вы сами можете написать много других разных смайликов в Word и других текстовых редакторах.

    Символ квадратного корня на Mac

    Чтобы ввести символ корня в Mac OS X, все, что вам нужно сделать, это нажать ALT+V

    √ – ALT+V

    Перейдите к нужному файлу как вставленный корневой символ. Вы будете использовать это расширение в любой программе Mac, которая позволяет печатать, включая интернет-браузер.

    Коснитесь ситуации, в которой вы хотите использовать символ.

    Щелкните ⌥ Option+v. это легко принесет символ квадратного корня.

    Option + клавиша V

    Что такое знак квадратного корня в алгебре

    Определение арифметического квадратного корня не добавляет ясности, но его стоит запомнить: неотрицательное число » 90 464 м»  – это неотрицательное число, квадрат которого равен  и .

    Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
    √m = x
    x 2  = m
    x ≥ 0
    m ≥ 0

    Из определения следует, что «  не может быть отрицательным. То есть то, что находится под корнем, обязательно является положительным числом.

    Чтобы понять, почему это именно так, давайте рассмотрим пример.

    Попробуем найти корень √-81

    Здесь логично предположить, что 4, но проверим: 9* 9 = 81 — не сходится.

    Если – 9, то -9 * -9 = 81, (минус на минус всегда дает плюс).

    Оказывается, ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.

    Числа под знаком корня должны быть положительными.

    Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным .

    Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x 2  = 81, x = 9 и x = -9.

    История квадратного корня

    Радикал впервые появился в 1525 году, когда немецкий математик Кристофф Рудофф использовал этот символ для обозначения квадратного корня в своем учебнике по алгебре под названием «Косс».

    1220

    Для обозначения 1637 года знаменитый французский философ и физический математик Рене Декарт использует этот символ и добавляет верхнюю черту в геометрии.

    Происхождение радикального символа

    Представлен символ квадратного корня. Первоначальное использование этого знака восходит к работе Леонардо Пизанского «Практическая геометрия», начиная с 1220 года.0003

    1637 – Николя Шюке

    1525 – Кристоф Рудофф

    Корень квадратный

    как: RU, где R — квадратный корень. Это открывает возможности для новых исследований и лучших представлений, но, прежде всего, для того, чтобы придать символу характер стабильности и существования во всем мире.

    Где применяется квадратный корень?

    В основном квадратный корень используется в математике, физике для упрощения сложных степенных функций, неравенств и уравнений. Еще в древности людям просто необходимо было вычислить квадратный корень. Многие занимались сельским хозяйством и, деля площадь на квадраты, без корня ничего не могли вычислить. Поэтому корневой знак был введен по человеческой необходимости, так как зная площадь, людям в шестнадцатом веке нужно было вычислить сторону квадрата.

    Вот почему был введен квадратный корень, которым мы пользуемся и по сей день. И сейчас он нам часто нужен. Вспомним теорему Пифагора. Что мы о ней знаем? Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов прямоугольного треугольника. А если нам нужно рассчитать сторону участка квадратной формы в 100 квадратных метров, что мы используем? Квадратный корень, конечно. И тогда нам будет легко это сделать. Квадратный корень из 100 равен 10. Значит, наша сторона участка равна 10 метрам.

    Символ квадратного корня

    Квадратный корень Символ . . .

    Фон — Почему используются символы. . .

    Символы используется в качестве лаконичный способ дающий длинный инструкции

    относится к числа и логика.

    Математические символы сообщение инструмент. Символы изобретение, которое используется для устранения необходимость писать длинный, простой язык инструкции к описывать расчеты и другие процессы.

    Самый ценный, самый часто используемый Символы в
    математика . . .
    :

    самый важный, самый часто используемый Разное перечислены символы ниже.

    Разнообразный Символы — нажмите описание


    Многоточие




    Символ за «Площадь Корень» —

    Символы , , а также находятся эквивалент к и взаимозаменяемый с одним еще один.

    Все три символы означают точно то же самое: квадратный корень из число представлена «ИКС».

    Квадратный корень числа представлена Х это еще один число, которое может быть умножается на себе равный Х.


    Пример 1: Площадь Корень

    Квадратный корень из 256:

    Использование плюс-минус символ представляет собой короткий путь показать, что квадратный корень из 256 есть два ответы:

    (16)(16) = 256

    (-16)(-16) = 256


    Пример 2: куб Корень

    Куб Корень из 64:

    Примечание: есть только один решение, а положительный 4

    (4)(4)(4) = 64


    Пример 3: Четвертый Корень

    Четвертый Корень из 16:

    Примечание: есть два решения

    (2)(2)(2)(2) = 16

    (-2)(-2)(-2)(-2) = 16

    Почему «±» с другой стороны?

    Purplemath

    В разделе «Решение квадратного корня» урока «Решение квадратичных уравнений» у нас была следующая задача и решение:

    • Решите
      x 2 — 4 = 0

    Мои шаги были:

    x 2 — 4 = 0

    x 2 = 4

    x = ± 2

    Then Myse Myship:

    . = ± 2

    Содержание продолжается ниже

    MathHelp.com

    … и я объяснил форму решения, сказав:

    Почему знак «±» («плюс-минус»)? Потому что это могла быть положительная 2 или отрицательная 2, которые были возведены в квадрат, чтобы получить 4.

    Хотя это и правильное объяснение, мы можем быть более точны с математической точки зрения относительно источника этого «плюс-минус». Объяснение может выглядеть следующим образом:


    Предположим, нам дано уравнение « x 2 = 4» и нам предлагается решить его. Когда мы «извлекаем квадратный корень» из любой части, мы делаем более короткий путь от обычного решения. Если вместо этого мы применим обычные методы факторизации к этому квадрату, мы сначала переместим все в одну сторону от знака «равно», сомножим и решим:0003

    x 2 = 4

    x 2 — 4 = 0

    ( x — 2) ( x + 2) = 0

    = 2).

    Поскольку мы факторизовали разность квадратов, мы пришли к двум решениям, равным во всем, кроме знаков. «Извлекая квадратный корень» из любой стороны первой вычислительной строки выше и ставя знак «плюс-минус» перед числовой частью уравнения, мы нашли бы два одинаковых значения решения, включая их разные знаки. , на один или два шага меньше. Но используемые рассуждения более ясны в факторизованной форме.

    В приведенном выше примере мы извлекали квадратный корень из полного квадрата (а именно, 4), но процесс работает так же хорошо, когда строго числовая часть уравнения такого рода не является полным квадратом. Например:

    x 2 = 7

    Это можно преобразовать в разность квадратов, если мы допустим, что квадратный корень из семи является одним из возводимых в квадрат значений:

    x 2 = (кв.[7]) 2

    Затем мы можем разложить как обычно:

    x 2 — (sqrt[7]) 2 = 0

    ( x — sqrt[7])( x + sqrt[7]) = 0

    x = ± sqrt[7]

    Это тот же результат, который мы получили бы, «извлекая квадратный корень» из любой части исходного уравнения, а затем добавляя «±» перед числовой частью :

    x 2 = (квадрат[7]) 2

    sqrt[ x 2 ] = ± sqrt[7]

    x = ± sqrt[7]


    Другое объяснение наличия «±» с одной стороны уравнения гораздо более техническое, основанное на математических определениях:


    Предположим, нам дают уравнение « x 2 = 4″ и нам говорят решить. Когда мы возьмем квадратный корень из любой стороны, мы получим следующее:

    То есть, с технической точки зрения, у нас нет знака «±» перед квадратным корнем справа. Однако —

    Техническое определение «квадратный корень из x в квадрате» — это «абсолютное значение x ». То есть:

    Из-за этого весьма технического соображения уравнение на самом деле упрощается как:

    x 2 = 4

    | х | = 2

    Но x может быть положительным или отрицательным (но, очевидно, не нулевым). Чтобы решить это абсолютное уравнение, мы должны рассмотреть каждый из двух случаев. Если x положительно, то мы можем удалить столбцы абсолютных значений, ничего не меняя:

    Если x > 0, то | х | = х , значит | х | = x = 2

    С другой стороны, если x отрицательно, то мы должны изменить знак x , когда мы удалим столбцы абсолютного значения, поэтому мы получим:

    Если x < 0, то| х | = − x , поэтому | х | = − x = 2

    . Решая это, мы получаем, что x = −2.

    То есть пока мы ставим знак «±» со стороны числа, «плюс-минус» фактически (технически) идет со стороны с переменной, потому что квадратный корень из квадрата переменной возвращает абсолютное значение этой переменной. «Извлекая квадратный корень» из любой части и помещая «±» перед числовым значением, мы избавляем себя от необходимости решать уравнение абсолютного значения, которое (технически) было создано путем извлечения квадратного корня. 92}}$, то f(x) также может быть выражена как:
    C. ${|x|}$
    D. $ \pm x$

    Я думал, что ответ D, но это C. Не удалось быть и то, и другое?

    • алгебра-предварительное исчисление
    • абсолютное значение

    $\endgroup$

    5

    $\begingroup$

    Проблема в условностях. Квадратный корень является частью более общей задачи нахождения «корней» числа (здесь $n$ — целое число $> 1$). Есть два способа записать корень числа: 92} =\влево|х\вправо| = \begin{case} x & x> 0 \\ -х & х < 0 \\ 0 и х = 0\конец{случаи} $$

    Итак, ваше решение включает в себя $\pm x$ (т.е. иногда это $+x$, а иногда $-x$).

    $\endgroup$

    1

    $\begingroup$

    Давайте попробуем с номером, чтобы увидеть, где ошибка. Давайте посмотрим на $f(4)$.

    Тогда $f(4)$ = $\sqrt{16} = 4$, и нам нужно убедиться, что варианты C и D также дают $4$. 9+$ — это домен с квадратным корнем и кодовый домен. То есть это главный квадратный корень.

    Отвечая на ваш вопрос, да, это может быть и то, и другое. Важным моментом для рассмотрения является то, что функция — это не просто «правило», потому что домен также является определяющей характеристикой функции.

    $\endgroup$

    Твой ответ

    Зарегистрируйтесь или войдите в систему

    Зарегистрируйтесь с помощью Google

    Зарегистрироваться через Facebook

    Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

    Опубликовать как гость

    Электронная почта

    Обязательно, но не отображается

    Опубликовать как гость

    Электронная почта

    Требуется, но не отображается

    Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

    .

    Корни и радикалы

    Квадратные и кубические корни

    Напомним, что квадратный кореньЧисло, которое при умножении само на себя дает исходное число. числа — это число, которое при умножении само на себя дает исходное число. Например, 5 — это квадратный корень из 25, потому что 52=25. Поскольку (−5)2=25, мы можем сказать, что −5 также является квадратным корнем из 25. Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный. По этой причине мы используем подкоренной знак   для обозначения главного (неотрицательного) квадратного корня. Положительный квадратный корень из положительного действительного числа, обозначаемый символом  . и знак минус перед радикалом -  для обозначения отрицательного квадратного корня.

    25=5Положительный квадратный корень из 25−25=−5Отрицательный квадратный корень из 25

    Ноль — единственное действительное число с одним квадратным корнем.

    0=0     потому что     02=0

    Пример 1

    Оценить.

    1. 121
    2. −81

    Решение:

    1.  121=112=11
    2.  −81=−92=−9

    Если подкоренное выражение A в подкоренном знаке, An., число внутри подкоренного знака, можно разложить на множители как квадрат другого числа, то квадратный корень из числа очевиден. В этом случае имеем следующее свойство:

    a2=a       if       a≥0

    Или, в более общем случае,

    a2=|a| if     a∈ℝ

    Абсолютное значение важно, потому что a может быть отрицательным числом, а знак радикала обозначает главный квадратный корень. Например,

    (−8)2=|−8|=8

    Используйте абсолютное значение, чтобы гарантировать положительный результат.

    Пример 2

    Упрощение: (x−2)2.

    Решение:

    Здесь выражение переменной x−2 может быть отрицательным, нулевым или положительным. Так как знак зависит от неизвестной величины x , мы должны убедиться, что получаем главный квадратный корень, используя абсолютное значение.

    (х-2)2=|х-2|

    Ответ: |x−2|

    Важность использования абсолютного значения в предыдущем примере становится очевидной, когда мы вычисляем значения, которые делают подкоренное число отрицательным. Например, когда x=1,

    (x−2)2=|x−2|=|1−2|=|−1|=1

    Далее рассмотрим квадратный корень из отрицательного числа. Чтобы определить квадратный корень из -25, вы должны найти число, которое при возведении в квадрат дает -25:

    −25=? или     ( ? )2= −25

    Однако возведение любого действительного числа в квадрат всегда дает положительное число. Квадратный корень из отрицательного числа в настоящее время не определен. А пока скажем, что −25 не является действительным числом. Следовательно, функция квадратного корняФункция, определяемая f(x)=x. заданное как f(x)=x, не определяется как действительное число, если x -значения отрицательны. Наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f(0)=0=0 и f(4)=4=2. Вспомните график функции квадратного корня.

    Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю: [0,∞). Чтобы определить область определения функции, содержащей квадратный корень, мы смотрим на подкоренное число и находим значения, дающие неотрицательные результаты.

    Пример 3

    Определите область определения функции, определяемой формулой f(x)=2x+3.

    Решение:

    Здесь подкоренное число равно 2x+3. Это выражение должно быть нулевым или положительным. Другими словами,

    2x+3≥0

    Найдите х .

    2x+3≥02x≥−3x≥−32

    Ответ: Домен: [−32,∞)

    Кубический кореньЧисло, которое при трехкратном использовании в качестве множителя дает исходное число, обозначаемое символом 3. числа — это число, которое при трехкратном умножении само на себя дает исходное число. Кроме того, мы обозначаем кубический корень, используя символ  3, где 3 называется индексом. Положительное целое число n в обозначении  n, которое используется для обозначения n -го корня.. Например,

    643=4,     потому что     43=64

    Произведение трех равных множителей будет положительным, если множитель положительный, и отрицательным, если множитель отрицательный. По этой причине любое действительное число будет иметь только один действительный кубический корень. Следовательно, технические особенности, связанные с главным корнем, не применяются. Например,

    −643 = −4, потому что (−4) 3 = −64

    В целом, учитывая любое реальное число A , мы имеем следующее свойство:

    A33 = A If a∈ℝ

    При упрощении кубических корней ищите множители, являющиеся совершенными кубами.

    Пример 4

    Оценить.

    1. 83
    2. 03
    3. 1273
    4. −13
    5. −1253

    Решение:

    1. 83=233=2
    2. 03=033=0
    3. 1273=(13)33=13
    4. -13=(-1)33=-1
    5. −1253=(−5)33=−5

    Возможно, подкоренное число не является совершенным квадратом или кубом. Если целое число не является полной степенью индекса, то его корень будет иррациональным. Например, 23 — это иррациональное число, которое на большинстве калькуляторов можно приблизить с помощью корневой кнопки  x. В зависимости от калькулятора мы обычно вводим индекс перед нажатием кнопки, а затем подкоренное число следующим образом:

    3 yx 2 =

    Следовательно, у нас есть

    93≈2

    Поскольку кубические корни могут быть отрицательными, нулевыми или положительными, мы не используем никаких абсолютных значений.

    Пример 5

    Упрощение: (y−7)33.

    Решение:

    Кубический корень количества в кубе есть это количество.

    (y−7)33=y−7

    Ответ: y−7

    Попробуйте! Оценка: −10003.

    Ответ: −10

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Далее рассмотрим функцию кубического корня. Функция определяется выражением f(x)=x3.:

    f(x)=x3     Cube root функция.

    Поскольку кубический корень может быть как отрицательным, так и положительным, мы заключаем, что область определения состоит из всех действительных чисел. Нарисуйте график, нанеся точки. Выберите несколько положительных и отрицательных значений для x , а также ноль, а затем вычислите соответствующие значения y .

    xf(x)=x3Ordered Pairs−8−2f(−8)=−83=−2(−8,−2)−1−1f(−1)=−13=−1(−1,−1 )00f(0)=03=0(0,0)11f(1)=13=1(1,1)82f(8)=83=2(8,2)

    Нанесите точки и нарисуйте график функция кубического корня.

    График проходит тест вертикальной линии и действительно является функцией. Кроме того, диапазон состоит из всех действительных чисел.

    Пример 6

    При заданном g(x)=x+13+2 найти g(-9), g(-2), g(-1) и g(0). Нарисуйте график g.

    Решение:

    Замените x указанными значениями.

    xg(x)g(x)=x+13+2Ordered Pairs−90g(−9)=−9+13+2=−83+2=−2+2=0(−9,0)−21g (−2)=−2+13+2=−13+2=−1+2=1(−2,1)−12g(−1)=−1+13+2=03+2=0+2 =2(−1,2)03g(0)=0+13+2=13+2=1+2=3(0,3)

    Мы также можем набросить график, используя следующие переводы:

    y = x3basic cube root fundy = x+13horizontal shift влево 1 Unity = x+13+2 Вверх по 2 единицы

    Ответ: 9000

    Nth Roots

    для любое целое число n≥2, мы определяем n -е корневое число, которое при возведении в степень n -й степени (n≥2) дает исходное число. положительного действительного числа как числа, которое при возведении в n -ю степень дает исходное число. Учитывая любое неотрицательное действительное число a , мы имеем следующее свойство:

    ann=a,     if       a≥0

    Здесь n называется индексом, а an называется подкоренным числом. Кроме того, мы можем обращаться ко всему выражению An как к радикалу. Используется при обращении к выражению формы An. Когда индекс представляет собой целое число, большее или равное 4, мы говорим «корень в четвертой степени», «корень в пятой степени» и скоро. n -й корень любого числа очевиден, если мы можем записать подкоренное число с показателем степени, равным индексу.

    Пример 7

    Упрощение.

    1. 814
    2. 325
    3. 17
    4. 1164

    Решение:

    1. 814=344=3
    2. 325=255=2
    3. 17=177=1
    4. 1164=(12)44=12

    Примечание : Если индекс n=2, то подкорень указывает на квадратный корень, и подкорень принято писать без индекса; а2=а.

    Мы уже позаботились о том, чтобы определить главный квадратный корень из действительного числа. Теперь мы расширим эту идею до n -го корня, когда n четно. Например, 3 — это корень четвертой степени из 81, потому что 34=81. А поскольку (−3)4=81, мы можем сказать, что −3 также является корнем четвертой степени из 81. Следовательно, мы используем подкоренной знак  n для обозначения главного (неотрицательного) n -го корня. Положительный n -й корень, когда n четно. когда n четно. В этом случае для любого действительного числа a , мы используем следующее свойство:

    ann=|a| Когда n равно четному

    Например,

    814=344=|3|=3  814=(−3)44=|−3|=3 

    , будем обозначать знаком минус перед радикалом − n.

    −814=−344=−3

    Мы видели, что квадратный корень из отрицательного числа не является действительным, потому что любое действительное число, возведенное в квадрат, даст положительное число. На самом деле аналогичная проблема возникает для любого четного индекса:

    −814=? или     ( ? )4=−81

    Мы можем видеть, что корень четвертой степени из −81 не является действительным числом, потому что четвертая степень любого действительного числа всегда положительна.

    −4−814−646}        Эти радикалы не настоящие числа.

    Вам предлагается попробовать все это на калькуляторе. Что это говорит?

    Пример 8

    Упрощение.

    1. (-10)44
    2. −1044
    3. (2г+1)66

    Решение:

    Поскольку индексы четные, используйте абсолютные значения, чтобы гарантировать неотрицательные результаты.

    1. (−10)44=|−10|=10
    2. −1044=−10 0004 не является действительным числом.
    3. (2у+1)66=|2у+1|

    Если индекс n нечетный, таких проблем не возникает. Произведение нечетного числа положительных множителей положительно, а произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно. Следовательно, когда индекс n нечетно, существует только один действительный корень n -й для любого действительного числа a . И у нас есть следующее свойство:

    ann=a          Когда n нечетно

    Пример 9

    Упростить.

    1. (−10)55
    2. −325
    3. (2г+1)77

    Решение:

    Поскольку индексы нечетные, абсолютное значение не используется.

    1. (−10)55=−10
    2. −325=(−2)55=−2
    3. (2г+1)77=2г+1

    Таким образом, для любого действительного числа a мы имеем

    ann=| a |When n is evenann=aWhen n is нечетно

    Когда n нечетно , корень n положительный или отрицательный в зависимости от знака подкоренного числа.

    273=333    =3−273=(−3)33=−3

    Когда n равно четному , корень n -й равен положительному или недействительному в зависимости от знака подкоренного числа.

    164=244=2164=(−2)44=|−2|=2−164  Не настоящее число

    Попробуйте! Упростить: −8−325.

    Ответ: 16

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Упрощение радикалов

    Не всегда подкоренное число является совершенной степенью данного индекса. Если это не так, то мы используем правило произведения для радикалов с заданными действительными числами An и Bn,  A⋅Bn=An⋅Bn. и факторное правило для радикалов с заданными действительными числами An и Bn,  ABn=AnBn, где B≠0. чтобы упростить их. Даны действительные числа An и Bn,

    Упрощенный радикал Радикал, в котором подкоренное число не состоит ни из каких множителей, которые могут быть записаны в виде совершенных степеней индекса. если он не содержит множителей, которые можно записать в виде полных степеней индекса.

    Пример 10

    Упростим: 150.

    Решение:

    Здесь 150 можно записать как 2⋅3⋅52.

    150=2⋅3⋅52Применить правило произведения для радикалов.=2⋅3⋅52Упростить.=6   ⋅   5=56

    Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе:

    150 обычно12,25 и 56,12,25

    Также стоит отметить, что

    12.252≈150

    Ответ: 56

    Примечание : 56 — точный ответ, а 12,25 — приблизительный ответ. Мы представляем точные ответы, если не указано иное.

    Пример 11

    Упростить: 1603.

    Решение:

    Используйте простую факторизацию числа 160, чтобы найти наибольший коэффициент совершенного куба:

    160=25⋅5=23⋅22⋅5 разложить на множители, а затем применить правило произведения для радикалов.

    1603=23⋅22⋅53Применить правило произведения для радикалов.=233⋅22⋅53Упростить.=2⋅203

    Мы можем проверить наш ответ на калькуляторе.

    1603≈5,43    и     2203≈5,43

    Ответ: 2203

    Пример 12

    Упростить: −3205.

    Решение:

    Здесь мы отмечаем, что индекс нечетный, а подкоренное число отрицательное; следовательно, результат будет отрицательным. Мы можем разложить подкоренное число следующим образом:

     −320=−1⋅32⋅10=(−1)5⋅(2)5⋅10

    Тогда упростим:

    −3205=(−1)5⋅(2)5⋅105Применить правило произведения для радикалов.=(−1)55⋅(2)55⋅105Упростить.=−1⋅2⋅105=−2⋅105

    Ответ: −2105

    Пример 13

    Упрощенно: −8643.

    Решение:

    В этом случае рассмотрим эквивалентную дробь с −8=(−2)3 в числителе и 64=43 в знаменателе, а затем упростим.

    −8643= −864 3Применить правило частного для радикалов.=(−2)33433Упростить.=−24=−12

    Ответ: −12

    Попробуйте! Упростить: 80814

    Ответ: 2543

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Ключевые выводы

    • Чтобы упростить квадратный корень, найдите наибольший совершенный квадратный множитель подкоренного числа, а затем примените правило произведения или частного для радикалов. .
    • Чтобы упростить кубический корень, найдите наибольший совершенный кубический множитель подкоренного числа и затем примените правило произведения или частного для радикалов.
    • При работе с n -й корень, n определяет применимое определение. Мы используем ann=a, когда n нечетно и ann=|a| когда n четно.
    • Чтобы упростить корни n , найдите множители, мощность которых равна индексу n , а затем примените правило произведения или частного для радикалов. Как правило, процесс упрощается, если вы работаете с простой факторизацией подкоренного числа.

    Тематические упражнения

      Часть A: Квадратные и кубические корни

        Упрощение.

      1. 36

      2. 100

      3. 49

      4. 164

      5. −16

      6. −1

      7. (−5)2

      8. (−1)2

      9. −4

      10. −52

      11. −(−3)2

      12. −(−4)2

      13. x2

      14. (-х)2

      15. (х-5)2

      16. (2x−1)2

      17. 643

      18. 2163

      19. −2163

      20. −643

      21. −83

      22. 13

      23. −(−2)33

      24. −(−7)33

      25. 183

      26. 8273

      27. (-г)33

      28. −y33

      29. (г-8)33

      30. (2x−3)33

        Определите область определения данной функции.

      1. г(х)=х+5

      2. г(х)=х-2

      3. f(x)=5x+1

      4. f(x)=3x+4

      5. г(х)=-х+1

      6. г(х)=-х-3

      7. ч(х)=5−х

      8. ч(х)=2−3х

      9. г(х)=х+43

      10. г(х)=х-33

        Вычислить заданное определение функции.

      1. Учитывая f(x)=x−1, найти f(1), f(2) и f(5)

      2. Учитывая f(x)=x+5, найти f(−5), f(−1) и f(20)

      3. Учитывая f(x)=x+3, найти f(0), f(1) и f(16)

      4. Учитывая f(x)=x−5, найти f(0), f(1) и f(25)

      5. Учитывая g(x)=x3, найти g(−1), g(0) и g(1)

      6. Учитывая g(x)=x3−2, найти g(−1), g(0) и g(8)

      7. Учитывая g(x)=x+73, найти g(-15), g(-7) и g(20)

      8. Учитывая g(x)=x−13+2, найти g(0), g(2) и g(9)

        Нарисуйте график данной функции и укажите ее область определения и область значений.

      1. ф(х)=х+9

      2. f(x)=x−3

      3. f(x)=x−1+2

      4. ф(х)=х+1+3

      5. г(х)=х-13

      6. г(х)=х+13

      7. г(х)=х3−4

      8. г(х)=х3+5

      9. г(х)=х+23−1

      10. г(х)=х-23+3

      11. f(x)=−x3

      12. f(x)=−x−13

      Часть B:

      n th Корни

        Упрощение.

      1. 644

      2. 164

      3. 6254

      4. 14

      5. 2564

      6. 10 0004

      7. 2435

      8. 100 0005

      9. 1325

      10. 12435

      11. −164

      12. −16

      13. −325

      14. −15

      15. −1

      16. −164

      17. −6−273

      18. −5−83

      19. 2−1,0003

      20. 7−2435

      21. 6−164

      22. 12−646

      23. 32516

      24. 6169

      25. 5271253

      26. 732755

      27. −58273

      28. −8625164

      29. 2100 0005

      30. 21287

      Часть C: Упрощение радикалов

        Упрощение.

      1. 96

      2. 500

      3. 480

      4. 450

      5. 320

      6. 216

      7. 5112

      8. 10135

      9. −2240

      10. −3162

      11. 15049

      12. 2009

      13. 675121

      14. 19281

      15. 543

      16. 243

      17. 483

      18. 813

      19. 403

      20. 1203

      21. 1623

      22. 5003

      23. 541253

      24. 403433

      25. 5-483

      26. 2−1083

      27. 8964

      28. 71624

      29. 1605

      30. 4865

      31. 2242435

      32. 5325

      33. −1325

      34. −1646

        Упрощение. Дайте точный ответ и примерный ответ, округлив его до сотых.

      1. 60

      2. 600

      3. 9649

      4. 19225

      5. 2403

      6. 3203

      7. 2881253

      8. 62583

      9. 4864

      10. 2885

        Перепишите следующее выражение в подкоренном выражении с коэффициентом 1.

      1. 215

      2. 37

      3. 510

      4. 103

      5. 273

      6. 363

      7. 254

      8. 324

      9. Каждая сторона квадрата имеет длину, равную квадратному корню из площади квадрата. Если площадь квадрата 72 квадратных единицы, найдите длину каждой из его сторон.

      10. Каждое ребро куба имеет длину, равную кубическому корню из объема куба. Если объем куба 375 кубических единиц, найдите длину каждого его ребра.

      11. Ток I , измеренный в амперах, определяется по формуле I=PR, где P — потребляемая мощность, измеренная в ваттах, а R — сопротивление, измеренное в омах. Если лампочка мощностью 100 Вт имеет сопротивление 160 Ом, определите необходимый ток. (Округлить до сотых долей ампера.)

      12. Время в секундах, в течение которого объект находится в свободном падении, определяется по формуле t=s4, где s представляет расстояние в футах, на которое упал объект. Через какое время предмет упадет на землю с вершины 8-футовой стремянки? (Округлить до десятых долей секунды.)

      Часть D: Дискуссионная доска

      1. Объясните, почему для любого положительного действительного числа существует два действительных квадратных корня и один действительный кубический корень для любого действительного числа.

      2. Чему равен квадратный корень из 1 и кубический корень из 1? Объяснить, почему.

      3. Объясните, почему -1 не является действительным числом и почему -13 является действительным числом.

      4. Исследуйте и обсудите методы, использовавшиеся для вычисления квадратных корней до повсеместного использования электронных калькуляторов.

    Ответы

    1. 6

    2. 23

    3. −4

    4. 5

    5. Не настоящее число

    6. −3

    7. |х|

    8. |х−5|

    9. 4

    10. −6

    11. −2

    12. 2

    13. 12

    14. −y

    15. г−8

    16. [−5,∞)

    17. [−15,∞)

    18. (-∞,1]

    19. (-∞,5]

    20. (-∞,∞)

    21. f(1)=0; f(2)=1; f(5)=2

    22. f(0)=3; f(1)=4; f(16)=7

    23. г(-1)=-1; г(0)=0; г(1)=1

    24. г(-15)=-2; г(-7)=0; г(20)=3

    25. Домен: [−9,∞); диапазон: [0,∞)

    26. Домен: [1,∞); диапазон: [2,∞)

    27. Домен: ℝ; диапазон: ℝ

    28. Домен: ℝ; диапазон: ℝ

    29. Домен: ℝ; диапазон: ℝ

    30. Домен: ℝ; диапазон: ℝ

    1. 4

    2. 5

    3. 4

    4. 3

    5. 12

    6. −2

    7. −2

    8. Не настоящее число

    9. 18

    10. −20

    11. Не настоящее число

    12. 154

    13. 3

    14. −103

    15. 20

    1. 46

    2. 430

    3. 85

    4. 207

    5. −815

    6. 567

    7. 15311

    8. 323

    9. 263

    10. 253

    11. 3 63

    12. 3235

    13. −1063

    14. 1664

    15. 255

    16. 2753

    17. −12

    18. 215; 7,75

    19. 467; 1. 40

    20. 2303; 6.21

    21. 23635; 1,32

    22. 364; 4,70

    23. 60

    24. 250

    25. 563

    26. 804

    27. 62 шт.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.

      © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

      Карта сайта