Квадратичная функция примеры – Квадратичная функция — YouClever.org

Справочные материалы по теме «Квадратичная функция»

Функция вида , где  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов. (= )

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

 

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже

можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

 

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой .

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 

1. Направление ветвей параболы.

Так как ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 

 

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 

,  

3.   Координаты  вершины параболы:

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Кррдинаты вершины параболы

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид  — в этом уравнении — координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции  , и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции .

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции ,

  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,

  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,

  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: 

Следовательно,  координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда 

2. Координаты вершины параболы:

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

 

infourok.ru

Квадратичная функция | Primer.by

 |   |   |   |   |   |  Квадратичная функция  |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   |   | 

Квадратичная функция

  • ·         Функция, заданная формулой , где  переменные, а , причем , называется квадратичной.
  • ·         Областью определения квадратичной функции является множество .
  • ·         Графиком функции является парабола. Если a>0, то ветви параболы направлены вверх. Если a<0, то ветви параболы направлены вниз. Осью симметрии параболы служит прямая
  • ·         Координаты вершины параболы ;

·         Квадратичную функцию  всегда можно привести к виду  путем выделения полного квадрата:

Свойства функции :

1)           Областью определения функции является множество  всех действительных чисел.

2)           Множеством значений функции является множество  всех действительных чисел.

3)           Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция  не имеет.

4)           График функции имеет единственную точку пересечения с осями координат — начало координат

5)           Значение аргумента x=0 является нулем функции

6)           Функция  является четной

7)           Функция  является возрастающей на промежутке  и убывающей на промежутке .

8)           Функция  принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки этой параболы, кроме начала координат, лежат выше оси Ох.

primer.by

Квадратичная функция, функция обратной пропорциональности и их графики

Функция $f(x)=x^2$

Определим для начала квадратичную функцию.

Определение 1

Функция, имеющая вид $y=ax^2+bx+c$, где $a$ не равняется нулю, называется квадратичной функцией.

Если теперь в определении 1 принять, что $a=1,\ \ b,c=0$ то мы и получим функцию вида $y=x^2$, которая интересует нас в этом пункте.

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. По определению квадрата любого действительного числа, получим $E\left(f\right)=[0,\infty )$
  3. $f\left(-x\right)={(-x)}^2=x^2=f(x)$. Следовательно, эта функция будет четной.
  4. При $x=0,\ y=0$. Значит начало координат принадлежит данной функции. Это единственная точка пересечения с координатными осями.
  5. $f’\left(x\right)={\left(x^2\right)}’=2x$

    \[2x=0,\] \[x=0\]

    Функция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

    Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

  6. $f^{»}\left(x\right)={\left(2x\right)}^{»}=2>0$.

    Функция будет вогнутой на всей $D(f)$.

  7. Значения на концах области определения.

    \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } x^2\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } x^2\ }=+\infty \]
  8. График данной функции называется параболой. Он изображен на рисунке 1.

    Рисунок 1.

Функция $f(x)=\frac{k}{x}$

По-другому функцию такого вида еще можно назвать функцией обратной пропорциональности. Введем ее определение.

Определение 2

Функция, имеющая вид $y=\frac{k}{x}$, где $k$ не равняется нулю и область определения исключает ноль, называется функцией обратной пропорциональности.

Исследуем и построим её график для двух различных случаев.

  1. $k >0$

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. Очевидно, что эта функция никогда не будет равняться нулю, следовательно, $\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,\infty )$
    3. $f\left(-x\right)=\frac{k}{-x}=-\frac{k}{x}=-f(x)$. Следовательно, эта функция будет нечетной.
    4. Данная функция не имеет ни одной точки пересечения с координатными осями.
    5. $f’\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}’=-\frac{k}{x^2}$

      \[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]

      Функция убывает на всем промежутке области определения

    6. $f^{»}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{»}=\frac{k}{x^3}$.

      Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (0,\infty )$.

      Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.

    7. Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.

      При приближении к нулю слева функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю справа к положительной бесконечности.

    8. График данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 2.

      Рисунок 2.

  2. $k

    1. $D\left(f\right)=R$.
    2. Очевидно, что эта функция никогда не будет равняться нулю, следовательно, $\ E\left(f\right)=\left(-\infty ,0\right)\cup (0,\infty )$
    3. $f\left(-x\right)=\frac{k}{-x}=-\frac{k}{x}=-f(x)$. Следовательно, данная функция будет нечетной.
    4. Данная функция не имеет ни одной точки пересечения с координатными осями.
    5. $f’\left(x\right)={\left(\frac{k}{x}\right)}’=-\frac{k}{x^2}$

      \[-\frac{k}{x^2}=0-нет\ корней\]

      Функция возрастает на всем промежутке области определения

    6. $f^{»}\left(x\right)={\left(-\frac{k}{x^2}\right)}^{»}=\frac{k}{x^3}$.

      Функция будет выпуклой на промежутке $x\in (0,\infty )$.

      Функция будет вогнутой на промежутке $x\in (-\infty ,0)$.

    7. Значения на концах области определения: при стремлении к отрицательной и положительной бесконечности функция будет стремиться к нулю.

      При приближении к нулю справа функция стремится к отрицательной бесконечности, а при приближении к нулю слева к положительной бесконечности.

    8. Графиком данной функции называется гиперболой. Она изображена на рисунке 3.

      Рисунок 3.

Функция $f(x)=\frac{1}{x}$

Пример 1

Изобразить график функции $y=\frac{1}{x}$

Найдем ряд точек, принадлежащих данной функции.

Рисунок 4.

График имеет вид

Рисунок 5.

Отметим, что она обладает свойствами, найденными в пункте 1 для гипербол. Переписать эти свойства для данного графика предоставляем читателю самостоятельно.

spravochnick.ru

Квадратичная функция. Методическая разработка

Дополнительные сочинения

На этом уроке мы с вами вспомним, как строить графики квадратичных функций, как их преобразовывать, а также рассмотрим построение графика квадратичной функции на конкретном примере.

Тема: Повторение курса алгебры 8-го класса

Урок: Квадратичная функция

1. Теория по преобразованиям графиков на примерах «классических» функций

Вспомним определение: квадратичной называется функция вида

y = , где .

Здесь – независимая переменная, или аргумент; – зависимая переменная, или функция; – конкретные числа, параметры, коэффициенты. Тройка этих конкретных чисел задает конкретную квадратичную функцию. Частным случаем такой функции является функция .

Напомним важнейший результат: график функции (1) и график функции (2) есть одна и та же парабола, но расположенная в разных местах координатной плоскости.

Чтобы получить этот результат и понять, каким образом преобразовываются графики функций, вспомнить правила преобразования графиков функций, рассмотрим несколько примеров, а именно:

(1) , где

(2) , где

(3) , где

Вспомним, каким образом влияет на график функции этот коэффициент. Для этого расположим все три графика в одной координатной плоскости.

Сразу рассмотрим первую функцию . Она проходит через точку с координатами . Это известная нам парабола, свойства ее тоже нам известны. Как поведет себя функция ? Там, где аргумент был равен , функция тоже будет равна , то есть точка лежит на графике этой функции. При первая функция была равна , а вторая функция будет равна . А третья функция будет равна . Схематически проведем вторую функцию – она пойдет более круто. Это означает, что если функция возрастала, то функция возрастает еще круче. если функция убывала, то в еще большей степени убывает. А коэффициент влияет на график функции следующим образом: функция идет более полого.

Если сформулировать правило, то оно будет звучать следующим образом: при коэффициенте , на который функция умножается, график функции сжимается вдоль оси к оси , а при коэффициенте график функции растягивается. Влияние коэффициента прослеживается описанным выше образом при .

Теперь рассмотрим график функции y4 = , где . Чтобы получить график этой функции из графика функции y1, необходимо взять симметрию относительно оси х. Далее нарисуем график функции y5 = . Она будет симметрична графику функции y2. Итак, при разных значениях коэффициента а парабола растягивается или сжимается, становится более крутой или менее крутой.

Далее рассмотрим следующие функции

(1)

(2)

(3)

Рассмотрим, каким образом ведет себя график каждой функции. Если от аргумента отнимается единица, мы сдвигаем график вправо по оси х. Чтобы получить график функции (3), необходимо исходную параболу сдвинуть на единицу влево.

Рассмотрим еще одно правило. Для этого построим графики следующих функций:

(1) y1 =

(2) y2 =

(3) y3 =

Если к функции прибавлять единицу, то происходит сдвиг функции на единицу вверх. Если же от функции отнять единицу, то происходит сдвиг функции на единицу вниз.

Итак, мы рассмотрели основные преобразования графиков функции, а для квадратичной функции могут одновременно работать все три правила.

2. Построение графика квадратичной функции на конкретном примере

Рассмотрим конкретную функцию

.

Мы утверждали, что шаблоном графика такой функции является график функции y= . Чтобы построить график этой функции, необходимо выделить полный квадрат:

.

Теперь мы видим, что исходную параболу необходимо сдвинуть на единицу вправо и вниз на .

Далее найдем корни этой функции, разложим на множители.

       

Мы видим, что таким образом исходный трехчлен разлагается на множители. Если мы захотим решить уравнение, то есть найти корни этой функции, то теперь это легко сделать:

, .

Теперь мы сделали все аналитические действия, которые можно сделать с этой функцией.

Посмотрим, как ведет себя эта функция на плоскости . Сначала рассмотрим функцию – она послужит шаблоном. Второй нужно нарисовать функцию , сдвинув график первой функции на единицу вправо. Наконец, третьей необходимо построить график функции , то есть сдвинуть график второй функции на четыре единицы вниз. Таким образом, вершина параболы будет находиться в точке . Вспомним, что мы нашли корни, то есть функция пройдет через точки и . Можно найти не только точки пересечения с осью , но и с осью y:

.

Мы построили график функции, рассмотрели преобразования и убедились, что график квадратичной функции – это парабола, расположенная в ином месте координатной плоскости. График функции наглядно демонстрирует ее свойства. Перечислим важнейшие из них:

1. Область допустимых значений независимой переменной . Здесь – любое действительное число от до .

2. Множество всех значений . Здесь y принимает не все значения, самое маленькое – это .

3. Мы выяснили, что . Таким образом,

.

4. – не существует.

5. График функции имеет ось симметрии .

6. Функция имеет корни, то есть те значения аргумента, при которых функция обращается в .

при или .

7. при .

8. при или .

9. При убывает от до .

10. При возрастает от до .

11. Функция непрерывна

12. Точка пересечения графика с осью – (0; -3).

3. Выводы

Итак, мы рассмотрели квадратичную функцию сначала в общем виде и выяснили, что шаблоном графика этой функции является парабола . Мы повторили все правила преобразования графика такой функции и рассмотрели конкретный пример, на котором перечислили все свойства данной функции.

Список литературы

Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Кафедра информационных образовательных технологий .

ФизМат .

ЕГЭ по математике .

Домашнее задание

Постройте графики функций: а) б) в)

Найдите точки пересечения графиков функций с осью :

а) б)

Постройте график функции , если известно, что корни и связаны отношением

dp-adilet.kz

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *