Квадратное уравнение с двумя неизвестными: Решение уравнений с двумя переменными

Содержание

Конспект урока по математике «Линейные уравнения с двумя неизвестными»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Лицей народной дипломатии» г. Сыктывкар

Методическая разработка урока

алгебры в 7 классе

«Линейные уравнения с двумя переменными»

Подготовила: Филатова Н.И.,

учитель математики

	Предмет	Алгебра
	Класс	7
	Тема и номер урока в теме	Линейные уравнения с двумя переменными (1 урок)
	Базовый учебник	УМК по алгеебре учебник 7 класс Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Цель урока: Сформировать умение решать линейные уравнения с двумя переменными с помощью выражения одной переменной через другую, умение решать линейные уравнения с двумя переменными графическим способом.

Задачи:

— образовательные (формирование познавательных УУД):

Умение устанавливать причинно-следственные связи;
Умение вычленять из всего материала нужное;
Умение решать линейные уравнения с двумя переменными.

— воспитательные (формирование коммуникативных УУД):

Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;
Умение слушать и понимать речь других.

— развивающие (формирование регулятивных УУД)

Умение устанавливать причинно следственные связи;
Умение вычленять из всего материала нужное;

Овладевать умением прогнозировать;
Осуществлять самоконтроль;
Выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала.

Тип урока: урок открытия нового знания
Формы работы учащихся: фронтальная работа, индивидуальная.
Необходимое техническое оборудование: Учебник, заранее подготовленные записи на доске, карточки для индивидуальной работы.
Средства: учебник, карточки.
Структура и ход урока

Таблица 1.

Структура и ход урока

№	Этап урока	Время (в мин.)	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Формируемые УУД
№	Этап урока	Время (в мин.)	Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Познавательные	Регулятивные	Коммуникативные,личностные
1	Организаци онный	2-3	Приветствие, проверка подготовленности, организация внимания, создание условий для включения учащихся в работу.	Ребята рассаживаются по местам, внимательно слушают учителя, отвечают на поставленные вопросы, проверка готовности к уроку.		Осуществлять самоконтроль.	Слушать и понимать речь других; уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли
2	Актуализа ция знаний	5-7	Проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания. Возможные вопросы учителя: Что это за равенства? Верно, а что называется уравнением? Верно, а чем отличаются друг от друга уравнения на доске? Создание проблемной ситуации: А почему мы с вами не можем решить такие уравнения? А при решении каких жизненных ситуаций мы можем встретить такие уравнения? Предлагаю вам жизненную ситуацию: Вы собрались классом в поход. Сколько двухместных и трехместных палаток нужно взять, чтобы все разместились, и не оставалось свободных мест. Мы знаем, как решить эту задачу? Как вы думаете, что мы будем сегодня изучать и какова цель нашего урока?	Отвечают на задаваемые учителем вопросы; высказывают свое мнение; проверяют, на сколько хорошо ими усвоен материал предыдущей темы. Возможные ответы учащихся: Равенство, содержащее переменную. Некоторые из них квадратные, некоторые кубические, в некоторых из них присутствуют две неизвестных. Мы умеем решать только уравнения с одной неизвестной. Высказывают предположения. Нет На сегодняшнем уроке мы будем изучать уравнения с двумя неизвестными, а цель — научиться решать уравнения с двумя переменными.	Уметь вычленять из всего материала нужное.	Осуществлять самоконтроль; овладевать умением прогнозировать.	Слушать и понимать речь других; уметь с достаточной точностью выражать свои мысли; владеть диалогической формой речи.
3	Открытие нового знания	15-20	Учитель с помощью наводящих вопросов помогает учащимся выстроить цепочку логических умозаключений; задаёт вопросы; слушает ответы; организует обсуждение материала; комментирует ответы; объясняет новый материал; поощряет работу учащихся. Возможные вопросы учителя: Как вы думаете, что это за уравнения? Давайте вспомним, что называется степенью многочлена? А что значит стандартный вид многочлена? Что называется степенью уравнения? Для начала давайте вспомним, что значит решить уравнение? а что является решением уравнения? что будет решением уравнения с двумя переменными? Как вы думаете, что является графиком уравнения с двумя переменными?	Воспринимают и анализируют информацию; рассуждают вместе с учителем Возможные ответы учащихся: Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов; Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида. В многочлене каждый член является одночленом стандартного вида, причем среди них нет подобных членов. Наибольший показатель степени в которую возводится переменная. Решить уравнение – значит найти множество его корней. Решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Значения х и у обращающие уравнение в верное равенство. Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решением данного уравнения.	Знать определение уравнения, что значит решить уравнение, что является решением уравнения; уметь применять имеющиеся знания в новой ситуации; овладевать умением поиска и выделения необходимой информации.	Выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала; осуществлять самоконтроль.	Слушать и понимать речь других; уметь точно выражать свои мысли; владеть диалогической формой речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.
4	Закрепление нового материала	7-10	Учитель контролирует работу учащихся; следит за правильностью оформления записей; при необходимости помогает учащимся, задает наводящие вопросы. Приложение 1.	Учащиеся анализируют изученный материал; обсуждают идеи решения; следят за правильностью оформления записей, за правильностью решенных на доске заданий.	Уметь решать линейные уравнения с двумя переменными; уметь анализировать линейные уравнения с двумя переменными.	Осуществлять самоконтроль.	Слушать и понимать речь других; умение точно выражать свои мысли.
5	Подведение итогов урока	2	Подводит итоги урока; задет вопросы о том, что было изучено на уроке, какая цель стояла, что было повторено; Примерные вопросы к ученикам: Чему был посвящен урок? Какая цель на сегодняшнем уроке перед нами стояла? Достигли ли мы поставленной цели? Что повторили и что узнали нового? благодарит учеников за проявленную активность; отвечает на заданные вопросы; подводит итоги урока.	Задаю вопросы, которые остались не понятны после изучения нового материала; отмечать свои успехи и трудности; оценивают свою работу. Возможные ответы учащихся: Линейным уравнениям с двумя переменными. Научиться решать уравнения с двумя переменными. Да Повторили: что такое уравнение, степень многочлена, что значит привести многочлен к стандартному виду, что значит решить уравнение, что называется решением уравнения, свойства уравнений с одной переменной. Узнали: что такое уравнение с двумя переменными, как определить степень уравнения, что является решением уравнения с двумя переменным, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.	Уметь оценивать свои успехи и трудности; оценивать свою работу.	Выделять и осознавать то, что уже усвоено и что нужно еще усвоить.	Устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли

СОДЕРЖАНИЕ УРОКА

Подробное описание деятельности учителя и учащихся в соответствии с технологической (монологическая речь учителя, вопросы, примерные ответы учащихся, оформление доски, задачи с решением и оформлением и др. ). Возможно оформление в виде таблицы.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный этап

Здравствуйте ребята, садитесь. Посмотрите, на доске написано несколько выражений, то есть равенств, содержащих переменные.

Актуализация знаний

Что это за равенства?

Верно, а что называется уравнением?

Верно, а чем отличаются друг от друга уравнения на доске?

Правильно. С одними из них мы уже очень часто сталкивались и умеем хорошо решать, а с другими, если и сталкивались, то достаточно редко.

А при решении каких жизненных ситуаций мы можем встретить такие уравнения?

Предлагаю вам жизненную ситуацию:

Вы собрались классом в поход. Сколько двухместных и трехместных палаток нужно взять, чтобы все разместились, и не оставалось свободных мест.

Реальна в жизни такая ситуация?

Мы знаем, как решить эту задачу?

Тогда, как вы думаете, что мы с вами будем изучать на сегодняшнем уроке и какова наша цель?

Верно, на сегодняшнем уроке мы с вам рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными. Откроем тетради, запишем сегодняшнее число и тему урока: «Линейные уравнения с двумя переменными».

Открытие нового знания

Как вы думаете, что это за уравнения?

Хорошо, запишем определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида: ax+by=c, где x и y – переменные, a,b и с – некоторые числа. Выберите из предложенных уравнения с двумя переменными. Примеры линейных уравнений с двумя неизвестными:

5х+2у=10
2х+3у=8
-7х+у=5
х — у=5
8х+3у=1
х – 5у= -3

Запишите себе несколько примеров в тетради.

Заметим, что если в уравнении ах+ву=с; а≠0, в≠0, то его называют уравнением первой степени с двумя переменными.

А как вы думаете, что вообще такое степень уравнения и как ее определить? Чтобы узнать, как определить степень уравнения нам поможет многочлен. Давайте вспомним, что называется степенью многочлена?

А что значит стандартный вид многочлена?

Верно, тогда вернемся к нашим уравнениям и кто мне скажет, что называется степенью уравнения?

Таким образом, степень уравнения – это наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Запишем определение. Чтобы определить степень уравнения, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения. Давайте с вами вместе определим степень следующих уравнений.

ху – х² – у²= 2
(х²+у² — ху)²= ху²
(х² — у)³= х²у³+ 1

Хорошо, степень уравнения определять мы научились. А как вы думаете, что является решением уравнения с двумя переменными? Для начала давайте вспомним, что значит решить уравнение?

Хорошо, а что является решением уравнения?

Все правильно, тогда, вернемся к нашим уравнениям с двумя переменными и кто мне скажет, что будет решением уравнения с двумя переменными?

Хорошо, решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

При каких значениях х и у уравнение 3х – у = 13 обращается в верное равенство?

Верно, значит пара (0; -13) является решение данного уравнения. Обратите внимание, что на первом месте пишется значение переменной х, а на втором месте значение переменной у. А будет ли решение нашего уравнения являться также решением следующего уравнения:

у = 3х – 13

Может кто-то знает, как называются такие уравнения?

Значит уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Также заметим, что уравнения с двумя переменными обладают теми же свойствами, что и уравнения с одной переменной. Кто назовет мне эти свойства?

Итак, каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с двумя переменными изображается в координатной плоскости точкой с координатами (х; у), где х – абсцисса, у – ордината. Как вы думаете, что является графиком уравнения с двумя переменными?

Верно, графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решением этого уравнения. Выясним, что представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными. Рассмотрим следующее уравнение: 3х + 2у = 6. Что для начала мы можем сделать?

Правильно, давайте так и поступим: 2у = 6 – 3х;

у = .

Найдем несколько решений полученного уравнения:

Х	0	1	2	-1	-2
У	3	1,5	0	4,5	6

Отметим эти точки на координатной плоскости. Соединим их и получим график данного уравнения.

Итак, графиком линейного уравнения является прямая, значит нам достаточно найти только два решения линейного уравнения с двумя переменными. Запишем алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными:

1. Выразить из данного уравнения одну переменную, через другую.

2. Найти любые два решения уравнения.

3. Записать координаты точек, через которые проходит график.

4. Изобразить найденные точки в системе координат и провести прямую.

Рассмотрим еще несколько примеров:

0,5х +0у = — 1,5. Выразим х: х = — 3, у – произвольное число. Графиком уравнения является прямая, проходящая через точку с координатами

(-3;0).

0х – 2у = 6. Выразим у: 2у = 6; у = Графиком уравнения является прямая, проходящая через точку с координатами (0; 3).

Закрепление нового материала

Теперь рассмотрим задания на карточках. Приложение 1.

Подведение итогов урока

Итак, мы рассмотрели линейное уравнение с двумя неизвестными. Давайте подведем итоги урока.

Чему был посвящен урок?

Какая цель на сегодняшнем уроке перед нами стояла?

Достигли ли мы поставленной цели?

Что повторили и что узнали нового?

Запишите домашнее задание: №1190, 1192, 1206(б, г, е)

Надеюсь наш сеголняшний урок прошел познавательно. Спасибо за внимание.

Уравнения

Равенство, содержащее переменную

Некоторые из них квадратные, некоторые кубические, в некоторых из них присутствуют две неизвестных.

Высказывают предположения.

Да!

Нет

На сегодняшнем уроке мы будем изучать уравнения с двумя неизвестными, а цель — научиться решать уравнения с двумя переменными.

Уравнение, содержащее две неизвестные.

Выбирают из представленных на доске уравнений уравнения с двумя переменными, называют их.

Записывают примеры линейных уравнений с двумя переменными.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов; Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

В многочлене каждый член является одночленом стандартного вида, причем среди них нет подобных членов.

Наибольший показатель степени в которую возводится переменная.

2 степень

4 степень

6 степень

Решить уравнение – значит найти множество его корней.

Решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Значения х и у обращающие уравнение в верное равенство.

Например, пара значений (8;3)

Да

Равносильные

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решением данного уравнения.

Выразить переменную у через х.

Ученики работают устно, около доски и делают записи в тетрадях.

Линейным уравнениям с двумя переменными.

Научиться решать уравнения с двумя переменными.

Да

Повторили: что такое уравнение, степень многочлена, что значит привести многочлен к стандартному виду, что значит решить уравнение, что называется решением уравнения, свойства уравнений с одной переменной.

Узнали: что такое уравнение с двумя переменными, как определить степень уравнения, что является решением уравнения с двумя переменным, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.

Список используемой литературы:

Макарычев Ю.Н. Алгебра 7 класс / Миндюк Н. Г., Нешков К.И., Феоктистов Е.И. М.: «Мнемозина» 2011 г. – 337 с.

Приложение 1.

«Уравнения с двумя переменными»

Какие из перечисленных уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными?

x² – 2y = 3
3x – y = 17
xy + 2x = 9
13x + 6y = 0

Является ли пара чисел х=5 и у= — 2 решением уравнения: 5х – 2у = 10? Ответ обоснуйте.
Найти два решения для следующих уравнений:

2x + y = 7
2x – 3y = 10

Найти пару одинаковых чисел, которые являются решением уравнения х + 3у = 36.
Заменить звездочки числами так, чтобы пары: (1; *), (2; *), (*; 2), (*; 0) удовлетворяли уравнению: х + 3у = 10.
Найти значение коэффициента в уравнении ах + 5у = 1, если пара х = 3, у = — 4 является решением этого уравнения.
Из линейного уравнения 4х – 3у =12 выразите:

у через х;
х через у

Принадлежат ли точки A (4;1), B (1;3), C (-6; -7,5) графику уравнения 3х +4у = 16?
Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел: х = 2; у = 4,5.
Постройте график уравнения: 3у – 2х = 10.

Уравнения в целых числах. Решение логических задач 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Уравнения в целых числах

Для решения задачи мы составляем ее математическую модель. У нас есть известные и неизвестные данные. Мы записываем соотношения между ними и получаем уравнение, неравенство или их системы.

Кроме соотношений между величинами, которые мы записываем на математическом языке в виде уравнений и неравенств, математическая модель может содержать ограничения на значения переменных.

Например, неизвестная величина должна быть положительной. С таким ограничением мы сталкивались, когда решали геометрические или физические задачи: длина и время – это положительные величины. И получая при решении математической модели отрицательные значения таких величин, мы их отбрасывали.

На этом уроке мы рассмотрим математические модели с другими ограничениями – когда неизвестные величины являются целыми или натуральными числами. Такие ограничения обычно возникают в тех случаях, когда мы говорим о количестве чего-либо. Посмотрим, как повлияет это ограничение на количество решений.

Ранее мы в основном сталкивались с задачами, в которых количество уравнений было равно количеству неизвестных. Мы решали уравнение с одной неизвестной, систему двух уравнений с двумя неизвестными и т. д.:

Обратите внимание, что в рассмотренных примерах мы получали конечное количество решений.

Пример. Для сравнения: если мы возьмем одно уравнение с двумя неизвестными, например , то получим бесконечное множество решений. Чтобы указать их все, можно, например, выразить : и построить график соответствующей функции (см. рис. 1).

Рис. 1. График функции

Координаты всех точек функции и будут тем бесконечным множеством решений.

Но если указать, что неизвестные и – это натуральные числа, то количество решений будет уже конечным. Посмотрим: может принимать значения только , или . Ведь если будет равно , то уже будет равен нулю – это не натуральное число. Если же будет больше , то будет отрицательным, а значит, точно не натуральным числом. Итак, получаем всего три решения:

Ответ: , , .

Рассмотренное уравнение в натуральных числах может быть математической моделью, например такой задачи: «В ящике лежат шапки и перчатки. Сколько пар перчаток и сколько шапок лежит в ящике, если всего в нем находится предметов?».

Обозначив количество пар перчаток как , а количество шапок как , мы получим уравнение в натуральных числах. Полученное ранее решение этого уравнения в натуральных числах можно интерпретировать так: в ящике могут быть пара перчаток и шапок; пары перчаток и шапки; пары перчаток и шапки.

Итак, математической моделью задачи может быть уравнение в целых числах. Такие уравнения еще называют диофантовыми уравнениями в честь древнегреческого математика Диофанта (см. рис. 2).

Рис. 2. Диофант Александрийский

Общего алгоритма для решения произвольного диофантового уравнения не существует, поэтому мы разберем только некоторые простые случаи этих уравнений.

Решение уравнений в целых числах

Основным методом для решения уравнений в целых числах является использование свойств делимости целых (натуральных) чисел: если одна часть равенства делится на некоторое целое число, то и другая часть должна на него делиться.

Задание 1. Решить уравнение в целых числах:

Решение

В левой части можем вынести за скобку :

Поскольку и – целые числа, то левая часть уравнения делится на . Но правая часть не делится на . Это означает, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет решений.

Полученный результат можно обобщить: если имеется уравнение в целых числах вида , то мы всегда можем в левой части вынести за скобки НОД чисел и . Если число не будет делиться на него, то уравнение не будет иметь решений в целых числах.

Задание 2. Решить уравнение в натуральных числах:

Решение

НОД чисел и равен – это взаимно простые числа, поэтому использовать сформулированное только что свойство мы не можем. Но можно обратить внимание, что два слагаемых ( и ) делятся на . Перенесем их в одну сторону:

Теперь можем вынести за скобки :

Правая часть уравнения делится на . Соответственно, и левая должна делиться на . Это возможно только в том случае, когда делится на (так как на не делится нацело и, кроме того, у и нет общих делителей, кроме ).

Если бы у нас было, например, уравнение , то мы не могли бы утверждать, что обязательно должно делиться на , ведь у и есть общий делитель . Например, , то есть равенство возможно при , которое не делится нацело на ).

Кроме того, можно оценить, что . Иначе выражение будет больше и должно быть отрицательным.

Итак: – натуральное число, делится на , не превосходит . Этим критериям удовлетворяет только число . Подставляем это в уравнение, находим :

Ответ: .

Задание 3. Решить уравнение в целых числах:

Решение

Поскольку и – целые числа, то выражения и принимают только целые значения. Получаем, что произведение двух целых чисел равно . Теперь нам достаточно перебрать все возможные варианты разложения числа на целые множители:

Получили четыре случая:

Найдем решения в каждом из них:

Систему удобно решить методом сложения. Умножаем первое уравнение на и складываем. Получим:

Тогда:

Оставшиеся случая можете рассмотреть самостоятельно. Проверить себя можно ниже.

Решение систем уравнений

Рассмотрим оставшиеся три случая:

Систему, как и в первом случае, удобно решать, умножив первое уравнение на и сложив его со вторым:

После аналогичного преобразования получим:

Получим:

Ответ: , , , .

Уравнения с цифрами

Частным случаем уравнений в целых числах являются уравнения с цифрами или, если говорить точнее, уравнения, в которых неизвестные являются числами от до . В таких уравнениях под неизвестной мы будем понимать некоторое однозначное число. Чтобы обозначить двузначное число, нам потребуются уже две цифры: и b. Число, в разряде десятков которого стоит цифра , в разряде единиц – цифра , принято обозначать как . Черта сверху нужна для того, чтобы отличать запись от умножения чисел и .

С учетом разрядных слагаемых число можно записать так: . Аналогичным образом можно записать трехзначное число (), четырехзначное () и т. д.

Задание 4. Найти все двузначные числа, которые в раза больше суммы своих цифр.

Решение

Для решения, конечно, можно было бы просто перебрать все двузначные числа. Но это долго. Попробуем составить математическую модель нашей задачи.

Двузначное число в общем виде можно записать так: . Причем , иначе мы получим однозначное число. Сумма цифр такого числа равна . По условию, получаем соотношение:

Расписав двузначное число с помощью разрядных слагаемых, получим уравнение:

Мы получили уравнение, где неизвестными являются числа от до . Это частный случай диофантовых уравнений, поэтому будем пользоваться теми же принципами: исследовать делимость. Преобразуем уравнение:

Левая часть делится на , значит, и правая часть также должна делиться на . Поскольку – это число от до , то возможны лишь варианта: или . При получаем:

Но мы указали, что , значит, этот вариант не подходит. При получаем:

Тогда двузначное число:

Ответ: .

Задание 5. Существует ли двузначное число, которое равно сумме квадратов своих цифр?

Решение

Составив математическую модель данной задачи, получим уравнение:

Или, расписав с помощью разрядных слагаемых:

Преобразуем уравнение:

Глядя на обе части уравнения, сразу нельзя сказать, на что они делятся. В таком случае начинаем проверять делимость на простые числа. Можно обратить внимание, что в правой части стоит произведение двух последовательных чисел: и . Одно из них точно четное, другое – нечетное. Произведение четного и нечетного числа точно будет делиться на . Значит, и левая часть уравнения должна делиться на .

Число может быть только четным. Ведь если оно нечетное, то и выражение также нечетное. В таком случае их произведение не будет делиться на .

Получается, может быть равно , , или (как и в предыдущей задаче , чтобы число было двузначным). Соответственно, произведение может быть равно (при и ) или (при и ). Получаем всего случая:

или .

Далее можно решить полученные уравнения и убедиться, что они не имеют целых решений. Или же можно просто вспомнить таблицу умножения и понять, что произведение двух последовательных натуральных чисел не будет равно ни , ни . Таким образом, уравнение не будет иметь решений в целых числах.

Ответ: не существует двузначных чисел, которые равны сумме квадратов своих цифр.

Решение логических задач

Вторую часть нашего урока мы посвятим решению логических задач. В этих задачах нам не удастся составить уравнение. Идея их решения состоит в том, чтобы делать предположения и искать противоречия.

Задание 6. Кролик утверждает, что вчера Винни-Пух съел не менее баночек меда, Пятачок — что не менее баночек, ослик Иа — что не менее . Сколько баночек меда съел вчера Винни-Пух, если из трех этих утверждений истинно только одно?

Решение

Поскольку истинно только 1 утверждение, то возможно лишь 3 варианта:

Верно утверждение Кролика.
Верно утверждение Пятачка.
Верно утверждение ослика Иа.

Для решения задачи рассмотрим каждый из этих вариантов.

Верно утверждение Кролика, т. е. количество баночек не менее . Но тогда верны и остальные утверждения, ведь это значит, что баночек было и не менее , и не менее . А это противоречит условию задачи, что верно только утверждение.

Верно утверждение Пятачка. Аналогично из этого следует, что утверждение ослика Иа также верно. Это также противоречит условию задачи.
Верно утверждение ослика Иа. Количество съеденных баночек меда не менее . При этом утверждения Пятачка и Кролика неверны, т. е. количество баночек менее и менее . Здесь противоречий не возникает. Эти условиям удовлетворяет только число .

Ответ: баночек.

Задание 7. Из пяти следующих утверждений о результатах матча хоккейных команд «Медведи» и «Металлист» четыре истинны, а одно – ложно. Определить, с каким счетом закончился матч, и указать победителя (если матч завершился победой одной из команд).

Выиграли «Медведи».
Всего в матче было заброшено менее шайб.
Матч закончился вничью.

Всего в матче было заброшено более шайб.
«Металлист» забросил более шайб.

Здесь у нас 5 возможных вариантов: каждое из 5 утверждений может быть ложным. Как и в предыдущей задаче, рассмотрим каждый вариант и будем искать противоречия.

1. Ложно утверждение 1, остальные утверждения истинны. Тогда из 2 и 4 условий следует, что было заброшено шайб: это единственное число, меньшее и большее . Но из утверждения 3 следует, что команды забросили одинаковое число шайб, то есть общее количество должно быть четным. Получаем противоречие.

2. Ложно утверждение 2, остальные истинны. Но в этом случае утверждения 1 и 3 противоречат друг другу.

Аналогично можно отбросить варианты, когда ложно утверждение 4 и ложно утверждение 5.

3. Остается лишь один возможный вариант: утверждение 3 ложно, остальные истинны. Тогда из условий 2 и 4 следует, что всего было заброшено шайб. Из условия 5 следует, что «Металлист» забросил минимум шайбы. Но при этом шайб он забросить не мог, ведь тогда был бы счет в пользу «Металлиста», что противоречит условию 1. Аналогично и больше шайб эта команда забросить не могла. Получаем, что команда «Металлист» забросила шайбы. Тогда команда «Медведи» – шайб.

Ответ: счет в пользу «Медведей».

Таблицы

Для решения многих задач удобно визуализировать условие. Это же относится и к решению логических задач. Для их наглядного представления можно использовать таблицы.

Задание 8. Три друга: Андрей, Борис и Аркадий – живут в трех разных городах: Архангельске, Брянске и Белгороде. Один из них архитектор, другой – бизнесмен, третий – актер. Определить город проживания и профессию каждого из них, если:

Андрей раз в год ездит в гости к своему другу-бизнесмену в Белгород;

Борис всегда хотел стать актером, но так и не осуществил свою мечту;
только у одного из друзей имя, город и профессия начинаются на одну и ту же букву.

Решение

Для удобства решения составим таблицу:

Имя

Андрей

Борис

Аркадий

Город

Архан. , Бр., Бел.

Архан., Бр., Бел

Профессия

Арх., акт., бизн.

Составив таблицу именно таким образом, мы уместили в нее все возможные варианты. Теперь будем вычеркивать варианты, не соответствующие условию. Из первого утверждения можно сделать вывод, что Андрей точно не бизнесмен и не живет в Белгороде. Из второго условия следует, что Борис не актер.

Имя	Андрей	Борис	Аркадий
Город	Архан. , Бр., Бел.	Архан., Бр., Бел.	Архан., Бр., Бел.
Профессия	Арх., акт., бизн.	Арх., акт., бизн.	Арх., акт., бизн.

Дальше однозначных выводов мы сделать не можем. Продолжим анализировать условие 1. Этим другом может быть или Борис, или Аркадий. Рассмотрим каждый из вариантов.

1. Борис живет в Белгороде и является бизнесменом.

Имя	Андрей	Борис	Аркадий
Город	Архан. , Бр., Бел.	Архан., Бр., Бел.	Архан., Бр., Бел.
Профессия	Арх., акт., бизн.	Арх., акт., бизн.	Арх., акт., бизн.

То есть именно он является тем человеком из условия 3. Остались Андрей с Аркадием и архитектор с актером, т. е. у них имена точно совпадают с названием профессии. При этом кто-то из них точно живет в Архангельске, т. е. у этого человека также будут совпадать первые буквы имени, профессии и города. Получаем противоречие с условием 3. Этот вариант не подходит.

2. Остается только второй вариант – Аркадий живет в Белгороде и является бизнесменом.

Имя	Андрей	Борис	Аркадий
Город	Архан. , Бр., Бел.	Архан., Бр., Бел.	Белгород
Профессия	Арх., акт., бизн.	Арх., акт., бизн.	Бизнесмен

Тогда из всех профессий для Бориса остается лишь архитектор. Тогда Андрей – актер.

Имя	Андрей	Борис	Аркадий
Город	Арх. Бр. Бел	Арх. Бр. Бел	Белгород
Профессия	Актер	Архитектор	Бизнесмен

Дальше 2 варианта: Андрей живет в Архангельске, а Борис – в Брянске или наоборот. Но во втором случае условие 3 не будет выполнено ни для одного из друзей. В итоге получаем ответ:

Имя	Андрей	Борис	Аркадий
Город	Архангельск	Брянск	Белгород
Профессия	Актер	Архитектор	Бизнесмен

Графы

Еще одним наглядным представления информации в логических задачах являются графы. Граф представляет собой множество точек (вершин), соединенных линиями (ребрами) (см. рис. 3). Вершины графов обычно соответствуют некоторому объекту, а ребра – связями между объектами.

Рис. 3. Графы

Сейчас мы рассмотрим лишь простейшее применение графов. Но в целом теория графов – это мощнейший инструмент, используемый в различных областях: логистике, базах данных, нейронных сетях и пр. А возникла эта теория при построении математической модели к задаче о мостах в городе Кенигсберге (сейчас Калининград). Подробнее об этом вы можете узнать ниже.

Задача Эйлера про мосты

Мы уже много раз говорили о том, что решение любой практической задачи начинается с построения математической модели.

Но иногда модель сводится к эквивалентной математической задаче, которая оказывается важнейшим инструментом для решения целого класса других, совершенно не похожих на первый взгляд задач. Одним из таких примеров является задача Эйлера про мосты.

Издавна среди жителей Кенигсберга (сейчас Калининграда) была распространена такая загадка: как пройти по всем городским мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче Эйлера про мосты

В году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук, Леонарда Эйлера (см. рис. 5). Он доказал, что сделать это было нельзя.

Рис. 5. Леонард Эйлер

Но важно, конечно, не само решение этой шуточной задачи, а то, что, решая ее, Эйлер свел ее к эквивалентной формулировке, которая помогла разработать принципиально новый математический инструмент – теорию графов, которая сейчас повсеместно используется, например в программировании.

Основная идея Эйлера: нам не важны размеры мостов, значит, их можно считать линиями, а также размеры частей города – их можно считать точками (см. рис. 6). Тогда задача сводится к такой: можно ли нарисовать такой граф, не отрывая карандаша от бумаги.

Рис. 6. Мосты можно считать линиями, а города – точками, т. к. их размеры не важны

Решая задачу семи мостов, Эйлер вывел несколько важных теорем, касающихся различных графов. Одна из них говорила, что граф с более чем двумя нечетными вершинами (т. е. вершинами, к которым ведет нечетное число ребер) нельзя начертить одним росчерком.

Интуитивное доказательство этого утверждения несложное: рисуя граф, не отрывая руки, мы должны входить и выходить из каждой точки одинаковое количество раз, т. е. в точке должно сходиться только четное количество ребер (см. рис. 7).

Рис. 7. Чтобы граф можно было нарисовать, не отрывая руки, у него должно быть не более двух нечетных вершин

Исключение составляют две вершины – начало (из этой точки мы выходим на один раз больше, чем входим) и конец (для него все наоборот). Если же таких вершин больше, то начертить граф одним росчерком не получится. У графа из задачи о мостах все вершины нечетные (см. рис. 8), поэтому задача не имеет решения.

Рис. 8. У графа из задачи о мостах все вершины нечетные

Для нас важнее отметить, что правильная эквивалентная формулировка условия и упрощение модели – залог решения любой задачи.

Задание 9. В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас, вода. Известно следующее:

Вода и молоко находятся не в чашке.
Сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом.
В банке не лимонад и не вода.
Стакан стоит около банки и сосуда с молоком.

В каком сосуде какая жидкость?

Решение

Нарисуем граф, вершинам которого будут все жидкости и сосуды. Если жидкость находится в указанном сосуде, то мы будем соединять соответствующие вершины ребром черного цвета. А чтобы откинуть лишние варианты, будет соединять вершины красным ребром в том случае, если жидкость точно не находится в этом сосуде.

Условия 1 и 3 говорят нам, каких жидкостей нет в чашке и стакане (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к заданию 9

Из условия 2 можно сделать вывод, что в кувшине нет ни лимонада, ни кваса. А из условия 4, что молоко – не в банке и не в стакане (см. рис. 10):

Рис. 10. Иллюстрация к заданию 9

Итак, мы с помощью графа эквивалентно переписали условие задачи. Поскольку в каждом сосуде есть какая-то из жидкостей, то из каждой вершины должно в итоге выходить по 3 красных и 1 черному ребру. Дорисуем недостающие ребра. Сразу можем сказать, что в банке находится квас, а молоко находится в кувшине (см. рис. 11):

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 9

Значит, в кувшине нет воды. Получается, что вода в стакане. Тогда для лимонада остается чашка (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию 9

Ответ: лимонад в чашке, вода в стакане, молоко в кувшине, квас в банке.

Другой способ решения задачи

Задачу про сосуды и жидкости можно решить и с помощью таблицы. Идея будет точно такой же, как и в случае с графами, но кому-то такой способ может показаться более наглядным.

Изобразим в таблицу, в которой по строкам будут жидкости, а по столбцам – сосуды. «Плюс» на пересечении будет означать, что в данном сосуде находится именно эта жидкость. «Минус» – что этой жидкости в этом сосуде нет.

	Чашка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко
Лимонад
Квас
Вода

Первое условие говорит нам, что вода и молоко находятся не в чашке, из второго условия можно сделать вывод, что в кувшине не лимонад и не квас, третье условие говорит, что в банке не лимонад и не вода, а из четвертого можно сделать вывод, что молоко не в стакане и не в банке. Занесем эти выводы в таблицу:

	Чашка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко
Лимонад
Квас
Вода

Поскольку в каждый сосуд налита ровно одна жидкость, то в каждом столбце должен быть ровно один «плюс» и, соответственно, в каждой строке должен быть ровно один «плюс». Сразу видим, что в кувшине – молоко. Ставим «плюс», а оставшуюся в столбце кувшина ячейку заполняем «минусом»:

	Чашка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко
Лимонад
Квас
Вода

Тогда сразу понятно, что вода в стакане, ставим «минусы» в оставшихся ячейках столбца стакана и получаем, что лимонад в чашке. Значит, квас в банке:

	Чашка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко
Лимонад
Квас
Вода

Список литературы

Никольский С. М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал math5school.ru (Источник)
Интернет-портал mir-logiki.ru (Источник)
Интернет-портал globallab.org (Источник)

Домашнее задание

Найти пятизначное число, если известно, что при умножении этого числа на получается пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

На школьном вечере четыре юноши: Валентин, Николай, Владимир и Алексей (все из разных классов) – и их одноклассницы танцевали в парах, но каждый юноша танцевал не со своей одноклассницей.

2=0.} — решения нет.$

Ответ: $(\sqrt{2.5},-\sqrt{2.5})$, $(-\sqrt{2.5},\sqrt{2.5})$, $(-2\sqrt{\frac{5}{13}},3\sqrt{\frac{5}{13}})$, $(2\sqrt{\frac{5}{13}},-3\sqrt{\frac{5}{13}})$

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 24.06.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

10.

5 Графическое построение квадратных уравнений с двумя переменными — Элементарная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Распознать график квадратного уравнения с двумя переменными
Найдите ось симметрии и вершину параболы
Найдите точки пересечения параболы
График квадратных уравнений с двумя переменными
Решение максимальных и минимальных приложений

Приготовься 10.13

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Нарисуйте график уравнения y=3x−5y=3x−5, нанеся точки.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.11.

Приготовься 10.14

Вычислить 2×2+4x-12×2+4x-1, когда x=-3x=-3.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.57.

Приготовься 10.15

Вычислить -b2a-b2a, когда a=13a=13 и b=56b=56.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1. 89.

Распознать график квадратного уравнения с двумя переменными

Мы начертили уравнения вида Ax+By=CAx+By=C. Мы назвали уравнения, подобные этому, линейными уравнениями, потому что их графики представляют собой прямые линии.

Теперь мы построим уравнения вида y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c. Мы называем такое уравнение квадратным уравнением с двумя переменными.

Квадратное уравнение с двумя переменными

Квадратное уравнение с двумя переменными, где a,b,andca,b,c — действительные числа, а a≠0a≠0, представляет собой уравнение вида

y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c

Точно так же, как мы начали рисовать линейные уравнения с точек, мы будем делать то же самое с квадратными уравнениями.

Давайте сначала посмотрим на график квадратного уравнения y=x2y=x2. Мы выберем целые значения xx между −2−2 и 2 и найдем их значения yy. См. Таблицу 10.1.

у=х2у=х2
хх	гг
0	0
1	1
−1−1	1
2	4
−2−2	4

Стол 10. 1

Обратите внимание, когда мы допускаем x=1x=1 и x=−1x=−1, мы получаем одно и то же значение для yy.

y=x2y=x2y=12y=(−1)2y=1y=1y=x2y=x2y=12y=(−1)2y=1y=1

То же самое произошло, когда мы положили x=2x=2 и x=−2x=−2.

Теперь мы нанесем точки, чтобы показать график y=x2y=x2. См. рисунок 10.2.

Рисунок 10.2

График не является линией. Эта фигура называется параболой. Каждое квадратное уравнение имеет такой график.

В примере 10.43 вы потренируетесь рисовать параболу, нанося несколько точек.

Пример 10.43

График y=x2−1y=x2−1.

Решение

Мы построим график уравнения, нанеся точки.

Выберите целые числа для x , подставьте их в уравнение и решите для и .
Запишите значения упорядоченных пар в диаграмму.
Нанесите точки и соедините их плавной кривой. Результатом будет график уравнения y=x2−1y=x2−1.

Попытайся 10,85

График y=−x2y=−x2.

Попытайся 10,86

График y=x2+1y=x2+1.

Чем отличаются уравнения y=x2y=x2 и y=x2−1y=x2−1? Чем отличаются их графики? Насколько их графики совпадают?

Все параболы вида y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c открываются вверх или вниз. См. рисунок 10.3.

Рисунок 10.3

Обратите внимание, что единственная разница в этих двух уравнениях заключается в отрицательном знаке перед x2x2 в уравнении второго графика на рис. 10.3. Когда член x2x2 положительный, парабола открывается вверх, а когда член x2x2 отрицателен, парабола открывается вниз.

Ориентация параболы

Для квадратного уравнения y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c, если:

Пример 10.44

Определите, открывается ли каждая парабола вверх или вниз:

ⓐ y=−3×2+2x−4y=−3×2+2x−4 ⓑ y=6×2+7x−9y=6×2+7x−9

Решение

ⓐ Найдите значение « a ».		Так как «а» отрицательно, парабола будет направлена вниз.
ⓑ Найдите значение « a ».		Так как «а» положительно, парабола развернется вверх.

Попытайся 10,87

Определите, открывается ли каждая парабола вверх или вниз:

ⓐ y=2×2+5x−2y=2×2+5x−2 ⓑ y=−3×2−4x+7y=−3×2−4x+7

Попытайся 10,88

Определите, открывается ли каждая парабола вверх или вниз:

ⓐ y=-2×2-2x-3y=-2×2-2x-3 ⓑ y=5×2-2x-1y=5×2-2x-1

Найдите ось симметрии и вершину параболы

Посмотрите еще раз на рисунок 10.3. Видите ли вы, что мы можем сложить каждую параболу пополам, и тогда одна сторона будет лежать поверх другой? «Линия сгиба» — это линия симметрии. Назовем ее осью симметрии параболы.

Мы снова показываем те же два графика с осью симметрии красным цветом. См. рисунок 10.4.

Рисунок 10,4

Уравнение оси симметрии можно получить с помощью квадратичной формулы. Опустим здесь вывод и перейдем непосредственно к использованию результата. Уравнение оси симметрии графика y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c равно x=−b2a.x=−b2a.

Итак, чтобы найти уравнение симметрии каждой из парабол, которые мы начертили выше, подставим в формулу x=−b2ax=−b2a.

Посмотрите на рисунок 10.4. Это уравнения пунктирных красных линий?

Точка на параболе, которая находится на оси симметрии, является самой низкой или самой высокой точкой на параболе, в зависимости от того, направлена ли парабола вверх или вниз. Эта точка называется вершиной параболы.

Мы можем легко найти координаты вершины, потому что знаем, что она находится на оси симметрии. Это означает, что его координата x равна −b2a−b2a. Чтобы найти y -координата вершины, подставляем значение x -координаты в квадратное уравнение.

Ось симметрии и вершина параболы

Для параболы с уравнением y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c:

Осью симметрии параболы является линия x=−b2ax=−b2a.
Вершина находится на оси симметрии, поэтому ее координата x равна −b2a−b2a.

Чтобы найти координату y вершины, подставим x=−b2ax=−b2a в квадратное уравнение.

Пример 10.45

Для параболы y=3×2−6x+2y=3×2−6x+2 найти: ⓐ ось симметрии и ⓑ вершину.

Решение

ⓐ
Осью симметрии является линия x=−b2ax=−b2a.
Подставьте значения a, b в уравнение.
Упрощение.		х=1х=1
		Осью симметрии является линия x=1x=1.
ⓑ
Вершина находится на линии симметрии, поэтому ее координата x будет x=1x=1.
Подставьте x=1x=1 в уравнение и найдите лет.
Упрощение.
Это координата и .		y=−1y=−1 Вершина равна (1,−1).(1,−1).

Попытайся 10,89

Для параболы y=2×2−8x+1y=2×2−8x+1 найти: ⓐ ось симметрии и ⓑ вершину.

Попытайся 10,90

Для параболы y=2×2−4x−3y=2×2−4x−3 найти: ⓐ ось симметрии и ⓑ вершину.

Найдите точки пересечения параболы

Когда мы рисовали линейные уравнения, мы часто использовали точки пересечения x и y , чтобы помочь нам построить линии. Нахождение координат точек пересечения также поможет нам построить параболы.

Помните, что на отрезке y значение xx равно нулю. Итак, чтобы найти точку пересечения y , мы подставляем x=0x=0 в уравнение.

Найдем точки пересечения и двух парабол, показанных на рисунке ниже.

Рисунок 10,5

При отрезке x значение yy равно нулю. Чтобы найти точку пересечения x , мы подставляем y=0y=0 в уравнение. Другими словами, нам нужно будет решить уравнение 0=ax2+bx+c0=ax2+bx+c относительно xx.

y=ax2+bx+c0=ax2+bx+cy=ax2+bx+c0=ax2+bx+c

Но подобное решение квадратных уравнений — это именно то, что мы делали ранее в этой главе.

Теперь мы можем найти точки пересечения x двух парабол, показанных на рис. 10.5.

Сначала мы найдем x точек пересечения параболы с уравнением y=x2+4x+3y=x2+4x+3.


Пусть у=0у=0.
Фактор.
Используйте свойство нулевого продукта.
Решить.
		Пересечения x равны (−1,0)(−1,0) и (−3,0).(−3,0).

Теперь мы найдем x точек пересечения параболы с уравнением y=−x2+4x+3y=−x2+4x+3.


Пусть у=0у=0.
Этот квадратичный коэффициент не учитывается, поэтому мы используем квадратичную формулу.
а=-1а=-1, б=4б=4, с=3с=3
Упрощение.
		Пересечения x равны (2+7,0)(2+7,0) и (2−7,0)(2−7,0).

Мы будем использовать десятичные аппроксимации точек пересечения по оси x, чтобы мы могли найти эти точки на графике.

(2+7,0)≈(4,6,0)(2−7,0)≈(−0,6,0)(2+7,0)≈(4,6,0)(2−7,0)≈( −0,6,0)

Соответствуют ли эти результаты нашим графикам? См. рисунок 10.6.

Рисунок 10,6

Как

Найдите точки пересечения параболы.

Чтобы найти точки пересечения параболы с уравнением y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c:

y-interceptx-interceptsLetx=0и решить fory.Lety=0и решить дляx.y-interceptx-interceptsLetx=0and решить fory.Lety=0 и решить forx.

Пример 10.46

Найдите точки пересечения параболы y=x2−2x−8y=x2−2x−8.

Решение


Чтобы найти точку пересечения y , положим x=0x=0 и найдем y .
		Когда x=0x=0, тогда y=−8y=−8. Точка пересечения y — это точка (0,−8)(0,−8).

Чтобы найти х -перехват, пусть y=0y=0 и решаем для x .
Решить факторингом.

Когда y=0y=0, тогда x=4orx=-2x=4orx=-2. Точки пересечения x — это точки (4,0)(4,0) и (-2,0)(-2,0).

Попытайся 10,91

Найдите точки пересечения параболы y=x2+2x−8.y=x2+2x−8.

Попытайся 10,92

Найдите точки пересечения параболы y=x2−4x−12.y=x2−4x−12.

В этой главе мы решали квадратные уравнения вида ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0. Мы решили для xx, и результаты были решениями уравнения.

Теперь мы рассмотрим квадратные уравнения с двумя переменными вида y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c. Графики этих уравнений представляют собой параболы. x точек пересечения парабол происходят там, где y=0y=0.

Например:

Квадратное уравнениеКвадратное уравнение с двумя переменнымиy=x2−2x−15×2−2x−15=0(x−5)(x+3)=0lety=00=x2−2x−150=(x−5)(x+3) x−5=0x+3=0x=5x=−3x−5=0x+3=0x=5x=−3(5,0)и(−3,0)x-отрезкиКвадратное уравнениеКвадратное уравнение с двумя переменнымиy=x2− 2x−15×2−2x−15=0(x−5)(x+3)=0lety=00=x2−2x−150=(x−5)(x+3)x−5=0x+3=0x= 5x=−3x−5=0x+3=0x=5x=−3(5,0) и (−3,0)x-отрезки

Решениями квадратного уравнения являются значения xx точек пересечения x .

Ранее мы видели, что квадратные уравнения имеют 2, 1 или 0 решений. На графиках ниже показаны примеры парабол для этих трех случаев. Поскольку решения уравнений дают x -пересечений графиков, количество x -пересечений совпадает с количеством решений.

Ранее мы использовали дискриминант для определения количества решений квадратного уравнения вида ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0. Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы сказать нам, сколько x — перехваты на графике есть.

Прежде чем вы начнете решать квадратное уравнение для нахождения значений отрезков x , вы можете оценить дискриминант, чтобы знать, сколько решений ожидать.

Пример 10.47

Найдите точки пересечения параболы y=5×2+x+4y=5×2+x+4.

Решение


Чтобы найти y -перехват, пусть x=0x=0 и решить для и .		Когда x=0x=0, тогда y=4y=4. Точка пересечения и — это точка (0,4)(0,4).

Чтобы найти точку пересечения x , пусть y=0y=0 и найдите x .
Найдите значение дискриминанта, чтобы предсказать количество решений и, таким образом, x -перехватов.		b2−4ac12−4⋅5⋅41−80−79b2−4ac12−4⋅5⋅41−80−79
Поскольку значение дискриминанта отрицательное, реального решения уравнения нет.		Нет x -перехватов.

Попытайся 10,93

Найдите точки пересечения параболы y=3×2+4x+4.y=3×2+4x+4.

Попытайся 10,94

Найдите точки пересечения параболы y=x2−4x−5.y=x2−4x−5.

Пример 10.48

Найдите точки пересечения параболы y=4×2−12x+9у=4х2-12х+9.

Решение


Чтобы найти точку пересечения y , положим x=0x=0 и найдем y .
		Когда x=0x=0, тогда y=9y=9. Точка пересечения и — это точка (0,9)(0,9).

Чтобы найти точку пересечения x , пусть y=0y=0 и найдите x .
Найдите значение дискриминанта, чтобы предсказать количество решений и, таким образом, x -перехватов.		b2−4ac22−4⋅4⋅9144−1440b2−4ac22−4⋅4⋅9144−1440
		Поскольку значение дискриминанта равно 0, уравнение имеет только одно действительное решение. Следовательно, есть только один x -intercept.
Решите уравнение, разложив на множители совершенный квадратный трехчлен.
Использовать свойство нулевого продукта.
Найти x .
		Когда y=0y=0, тогда 32=x,32=x.
		Точка пересечения x — это точка (32,0).(32,0).

Попытайся 10,95

Найдите точки пересечения параболы y=−x2−12x−36.y=−x2−12x−36.

Попытайся 10,96

Найдите точки пересечения параболы y=9×2+12x+4.y=9×2+12x+4.

График квадратных уравнений с двумя переменными

Теперь у нас есть все необходимое для построения квадратного уравнения с двумя переменными. Нам просто нужно собрать их вместе. В следующем примере мы увидим, как это сделать.

Пример 10.49

Как построить квадратное уравнение с двумя переменными

График y=x2−6x+8y=x2−6x+8.

Решение

Попытайся 10,97

Нарисуйте параболу y=x2+2x−8. y=x2+2x−8.

Попытайся 10,98

Нарисуйте параболу y=x2−8x+12.y=x2−8x+12.

Как

Нарисуйте квадратное уравнение с двумя переменными.

Шаг 1. Напишите квадратное уравнение с yy на одной стороне.
Шаг 2. Определите, направлена ли парабола вверх или вниз.
Шаг 3. Найдите ось симметрии.
Шаг 4. Найдите вершину.
Шаг 5. Найдите точку пересечения и . Найдите точку, симметричную точке пересечения y поперек оси симметрии.
Шаг 6. Найдите x -перехватов.
Шаг 7. Нарисуйте параболу.

Мы смогли найти пересечения x в последнем примере с помощью факторизации. Мы находим x -перехватов в следующем примере, также факторизуя.

Пример 10.

График y=−x2+6x−9у=-х2+6х-9.

Решение

Уравнение y имеет одну сторону.
Поскольку и равно −1−1, парабола открывается вниз. Чтобы найти ось симметрии, найдите x=−b2ax=−b2a.		Ось симметрии x=3.x=3. Вершина находится на линии x=3.x=3.
Найти y , когда x=3.x=3.		Вершина (3,0).(3,0).
Перехват y происходит, когда x=0.x=0. Замените x=0.x=0. Упростить. Точка (0,−9)(0,−9) находится на три единицы левее линии симметрии. Точка на три единицы правее линии симметрии равна (6,−9). (6,−9). Точка, симметричная точке пересечения y-, равна (6,−9)(6,−9)		y -отрезок равен (0,−9).(0,−9).
Пересечение x происходит, когда y=0.y=0.
Замените y=0.y=0.
Фактор GCF.
Разложить трехчлен на множители.
Найти x .
Соедините точки, чтобы построить параболу.

Попытайся 10,99

Нарисуйте параболу y=−3×2+12x−12. y=−3×2+12x−12.

Попытайся 10.100

Нарисуйте параболу y=25×2+10x+1.y=25×2+10x+1.

Для графика y=−x2+6x−9y=−x2+6x−9 вершина и точка пересечения x были одной и той же точкой. Помните, как дискриминант определяет количество решений квадратного уравнения? Дискриминант уравнения 0=-x2+6x-90=-x2+6x-9 равен 0, поэтому существует только одно решение. Это означает, что есть только одна точка пересечения x , и это вершина параболы.

Сколько x -отрезков вы ожидаете увидеть на графике y=x2+4x+5y=x2+4x+5?

Пример 10.51

График y=x2+4x+5y=x2+4x+5.

Решение

В уравнении y с одной стороны.
Поскольку a равно 1, парабола открывается вверх.
Чтобы найти ось симметрии, найдите x=−b2a.x=−b2a.		Ось симметрии x=−2.x=−2.
Вершина находится на прямой x=−2.x=−2.
Найти y , когда x=−2.x=−2.		Вершина равна (−2,1).(−2,1).
Перехват y происходит, когда x=0.x=0. Замените x=0.x=0. Упростить. Точка (0,5)(0,5) находится на две единицы правее линии симметрии. Точка на две единицы левее линии симметрии равна (−4,5).(−4,5).		Пересечение и равно (0,5).(0,5). Точка, симметричная точке пересечения y-, равна (−4,5)(−4,5).
Пересечение x происходит, когда y=0.y=0.
Замените y=0.y=0. Проверка дискриминанта.
		b2−4acb2−4ac 42−4⋅1542−4⋅15 16−2016−20 −4−4
Поскольку значение дискриминанта отрицательное, решения нет, а значит, нет х- перехват. Соедините точки, чтобы построить параболу. Вы можете выбрать еще две точки для большей точности.

Попытайся 10.101

Нарисуйте параболу y=2×2−6x+5.y=2×2−6x+5.

Попытайся 10.102

Нарисуйте параболу y=−2×2−1.y=−2×2−1.

Найти точку пересечения y , подставив x=0x=0 в уравнение, несложно, не так ли? Но нам нужно было использовать квадратичную формулу, чтобы найти x — перехваты в примере 10. 51. В следующем примере мы снова воспользуемся квадратичной формулой.

Пример 10.52

График y=2×2-4x-3y=2×2-4x-3.

Решение


Уравнение y имеет одну сторону. Поскольку и равны 2, парабола открывается вверх.
Чтобы найти ось симметрии, найдите x=−b2ax=−b2a.		Ось симметрии x=1x=1.
Вершина на линии x=1.x=1.
Найдите и , когда x=1x=1.		Вершина равна (1,−5)(1,−5).
Перехват y происходит, когда x=0. x=0.
Замените x=0.x=0.
Упрощение.		Пересечение y- равно (0,−3)(0,−3).
Точка (0,−3)(0,−3) находится на единицу левее линии симметрии. Точка на одну единицу вправо от линии симметрии равна (2,−3)(2,−3)		Точка, симметричная точке пересечения y-, равна (2,−3).(2,−3).
Пересечение x происходит, когда y=0y=0.
Замените у=0у=0.
Используйте квадратичную формулу.
Подставить значения a, b, c.
Упрощение.
Упрощение внутри радикала.
Упростите радикальное.
Фактор GCF.
Удалить общие множители.
Запишите в виде двух уравнений.
Приблизьте значения.
		Приблизительные значения точек пересечения x- составляют (2,5,0)(2,5,0) и (−0,6,0)(−0,6,0).
Постройте параболу, используя найденные точки.

Попытайся 10.103

Нарисуйте параболу y=5×2+10x+3.y=5×2+10x+3.

Попытайся 10.104

Нарисуйте параболу y=−3×2−6x+5.y=−3×2−6x+5.

Решение максимальных и минимальных приложений

Знание того, что вершина параболы является самой низкой или самой высокой точкой параболы, дает нам простой способ определить минимальное или максимальное значение квадратного уравнения. Координата y вершины является минимальным значением y параболы, которая раскрывается вверх. Это максимальное значение y параболы, которая раскрывается вниз. См. рисунок 10.7.

Рисунок 10,7

Минимальные и максимальные значения квадратного уравнения

y -координата вершины графика квадратного уравнения

минимальное значение квадратного уравнения, если парабола раскрывается вверх.
максимальное значение квадратного уравнения, если парабола направлена вниз.

Пример 10.53

Найдите минимальное значение квадратного уравнения y=x2+2x−8y=x2+2x−8.

Решение


Поскольку и положительны, парабола открывается вверх.
Квадратное уравнение имеет минимум.
Найдите ось симметрии.		Ось симметрии x=−1x=−1.
Вершина находится на линии x=−1.x=−1.
Найти y , когда x=−1.x=−1.		Вершина равна (−1,−9)(−1,−9).
Поскольку парабола имеет минимум, координата вершины y- является минимальным значением y- квадратного уравнения.
Минимальное значение квадратичного выражения равно −9−9, и оно возникает, когда x=−1x=−1.
Покажите график, чтобы проверить результат.

Попытайся 10.

105

Найдите максимальное или минимальное значение квадратного уравнения y=x2−8x+12y=x2−8x+12.

Попытайся 10.106

Найдите максимальное или минимальное значение квадратного уравнения y=−4×2+16x−11y=−4×2+16x−11.

Мы использовали формулу

ч=-16t2+v0t+h0h=-16t2+v0t+h0

для вычисления высоты в футах, hh, объекта, подброшенного вверх в воздух с начальной скоростью v0v0 через tt секунд.

Эта формула представляет собой квадратное уравнение относительно переменной tt, поэтому ее график представляет собой параболу. Находя координаты вершины, мы можем найти, сколько времени потребуется объекту, чтобы достичь максимальной высоты. Затем мы можем рассчитать максимальную высоту.

Пример 10.54

Квадратное уравнение h=−16t2+v0t+h0h=−16t2+v0t+h0 моделирует высоту волейбольного мяча, брошенного прямо вверх со скоростью 176 футов в секунду с высоты 4 фута.

ⓐ Сколько секунд потребуется волейбольному мячу, чтобы достичь максимальной высоты?
ⓑ Найдите максимальную высоту волейбольного мяча.

Решение

h=−16t2+176t+4h=−16t2+176t+4

Поскольку a отрицательно, парабола открывается вниз.

Квадратное уравнение имеет максимум.

ⓐ
Найдите ось симметрии.t=-b2at=-1762(-16)t=5,5Ось симметрии ist=5,5.Вершина находится на прямой t=5,5.Максимум достигается при t=5,5 секунд. Найдите ось симметрии.t=-b2at=-1762(-16)t=5,5Ось симметрии ist=5,5.Вершина находится на линии t=5,5.Максимум достигается при t=5,5 секунд.

ⓑ

Найти ч при t=5,5t=5,5.
Используйте калькулятор для упрощения.
		Вершина равна (5,5 488)(5,5 488).
Поскольку парабола имеет максимум, координата h- вершины является максимальным значением y квадратного уравнения.		Максимальное значение квадрата составляет 488 футов, и это происходит, когда t=5,5t=5,5 секунд.

Попытайся 10.107

Квадратное уравнение h=-16t2+128t+32h=-16t2+128t+32 используется для нахождения высоты камня, брошенного вверх с высоты 32 фута со скоростью 128 фут/сек. Через какое время камень достигнет максимальной высоты? Какая максимальная высота? Ответы округлить до десятых.

Попытайся 10.108

Игрушечная ракета, взлетающая вверх с земли со скоростью 208 футов/сек, имеет квадратное уравнение h=−16t2+208th=−16t2+208t. Когда ракета достигнет максимальной высоты? Какая будет максимальная высота? Ответы округлить до десятых.

Раздел 10.5 Упражнения

Практика делает совершенным

Распознать график квадратного уравнения с двумя переменными

В следующих упражнениях граф:

163.

у=х2+3у=х2+3

164.

у=-х2+1у=-х2+1

В следующих упражнениях определите, открывается ли парабола вверх или вниз.

165.

у=-2×2-6x-7y=-2×2-6x-7

166.

у=6х2+2х+3у=6х2+2х+3

167.

у=4х2+х-4у=4х2+х-4

168.

у=-9×2-24x-16y=-9×2-24x-16

Найти ось симметрии и вершину параболы

В следующих упражнениях найдите ⓐ ось симметрии и ⓑ вершину.

169.

у=х2+8х-1у=х2+8х-1

170.

у=х2+10х+25у=х2+10х+25

171.

у=-х2+2х+5у=-х2+2х+5

172.

у=-2×2-8x-3y=-2×2-8x-3

Найдите точки пересечения параболы

В следующих упражнениях найдите точки пересечения x и y .

173.

у=х2+7х+6у=х2+7х+6

174.

у=х2+10х-11у=х2+10х-11

175.

у=-х2+8х-19у=-х2+8х-19

176.

у=х2+6х+13у=х2+6х+13

177.

у=4х2-20х+25у=4х2-20х+25

178.

у=-х2-14х-49у=-х2-14х-49

Графики квадратных уравнений с двумя переменными

В следующих упражнениях постройте график, используя точки пересечения, вершину и ось симметрии.

179.

у=х2+6х+5у=х2+6х+5

180.

у=х2+4х-12у=х2+4х-12

181.

у=х2+4х+3у=х2+4х+3

182.

у=х2-6х+8у=х2-6х+8

183.

у=9х2+12х+4у=9х2+12х+4

184.

у=-х2+8х-16у=-х2+8х-16

185.

у=-х2+2х-7у=-х2+2х-7

186.

у=5х2+2у=5х2+2

187.

у=2х2-4х+1у=2х2-4х+1

188.

у=3х2-6х-1у=3х2-6х-1

189.

у=2х2-4х+2у=2х2-4х+2

190.

у=-4×2-6x-2y=-4×2-6x-2

191.

у=-х2-4х+2у=-х2-4х+2

192.

у=х2+6х+8у=х2+6х+8

193.

у=5х2-10х+8у=5х2-10х+8

194.

у=-16х2+24х-9у=-16х2+24х-9

195.

у=3х2+18х+20у=3х2+18х+20

196.

у=-2×2+8x-10y=-2×2+8x-10

Решить максимальное и минимальное приложения

В следующих упражнениях найдите максимальное или минимальное значение.

197.

у=2х2+х-1у=2х2+х-1

198.

у=-4×2+12x-5y=-4×2+12x-5

199.

у=х2-6х+15у=х2-6х+15

200.

у=-х2+4х-5у=-х2+4х-5

201.

у=-9х2+16у=-9х2+16

202.

у=4х2-49у=4х2-49

В следующих упражнениях решите. Ответы округлить до десятых.

203.

Стрела выпущена вертикально вверх с платформы высотой 45 футов со скоростью 168 фт/сек. Используйте квадратное уравнение h=-16t2+168t+45h=-16t2+168t+45, чтобы найти, сколько времени потребуется стреле, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту.

204.

Камень брошен вертикально вверх с платформы высотой 20 футов со скоростью 160 фт/сек. Используйте квадратное уравнение h=-16t2+160t+20h=-16t2+160t+20, чтобы найти, сколько времени потребуется камню, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту.

205.

Владелец компьютерного магазина подсчитал, что, взимая xx долларов каждый за определенный компьютер, он может продавать 40-x40-x компьютеров каждую неделю. Квадратное уравнение R=-x2+40xR=-x2+40x используется для определения дохода, RR, полученного, когда цена продажи компьютера равна xx. Найдите цену продажи, которая даст ему максимальный доход, а затем найдите сумму максимального дохода.

206.

Розничный продавец, продающий рюкзаки, считает, что, продавая их по xx долларов каждый, он сможет продавать 100−x100−x рюкзаков в месяц. Квадратное уравнение R=-x2+100xR=-x2+100x используется для нахождения RR, полученного, когда цена продажи рюкзака равна xx. Найдите цену продажи, которая даст ему максимальный доход, а затем найдите сумму максимального дохода.

207.

Владелец ранчо собирается огородить с трех сторон загон у реки. Ему нужно максимально увеличить площадь загона, используя 240 футов ограждения. Квадратное уравнение A=x(240−2x)A=x(240−2x) дает площадь загона AA для длины x,x загона вдоль реки. Найдите длину загона вдоль реки, которая даст максимальную площадь, а затем найдите максимальную площадь загона.

208.

Ветеринар обустраивает прямоугольную беговую площадку возле своего дома для собак, о которых он заботится. Ему нужно максимизировать площадь, используя 100 футов ограждения. Квадратное уравнение A=x(100−2x)A=x(100−2x) дает площадь AA собачьей дорожки для длины xx здания, граничащего с собачьей дорожкой. Найдите длину здания, которое должно граничить с собачьей дорожкой, чтобы получить максимальную площадь, а затем найдите максимальную площадь собачьей дорожки.

Математика на каждый день

209.

В предыдущем наборе упражнений вы работали с квадратным уравнением R=−x2+40xR=−x2+40x, которое моделировало доход, полученный от продажи компьютеров по цене xx долларов. Вы нашли цену продажи, которая дала бы максимальный доход, и рассчитали максимальный доход. Теперь вы посмотрите на больше характеристик этой модели.
ⓐ Нарисуйте уравнение R=−x2+40xR=−x2+40x. ⓑ Найдите значения отрезков x .

210.

В предыдущем наборе упражнений вы работали с квадратным уравнением R=−x2+100xR=−x2+100x, которое моделировало доход, полученный от продажи рюкзаков по цене xx долларов. Вы нашли цену продажи, которая дала бы максимальный доход, и рассчитали максимальный доход. Теперь вы посмотрите на больше характеристик этой модели.
ⓐ Нарисуйте уравнение R=−x2+100xR=−x2+100x. ⓑ Найдите значения отрезков x .

Письменные упражнения

211.

Для модели дохода в упражнении 10.205 и упражнении 10.209 объясните, что x значат для владельца компьютерного магазина.

212.

Для модели дохода в упражнении 10.206 и упражнении 10.210 объясните, что означают точки пересечения x для продавца рюкзаков.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Видео-вопрос: Нахождение двух неизвестных в квадратном уравнении с использованием соотношения между его коэффициентами и корнями уравнения 𝑥 в квадрате плюс 𝑚𝑥 плюс 𝑛 равно нулю, найти значения 𝑚 и 𝑛.

Итак, что нам говорят в этом вопрос в том, что один и 12 являются корнями или решениями уравнения. И уравнение, которое мы рассматриваем является квадратичным в форме 𝑥 в квадрате плюс 𝑚𝑥 плюс 𝑛 равно нулю. Но на самом деле у нас есть пара методы, которые мы можем использовать, чтобы помочь нам решить эту проблему. Итак, мы рассмотрим первую метод, и первый метод будет включать факторизованную форму нашего квадратичный.

Ну, что мы знаем, так это наш квадратичный в факторизованной форме будет 𝑥 минус один, умноженный на 𝑥 минус 12, равно нулю. Итак, вы можете задаться вопросом: «Ну, как мы сразу получили факторизованную форму?» Ну, когда у нас есть факторы форма квадратного, значения 𝑥 или наши решения или корни, являются значениями что делает каждую из скобок равными нулю. Так, например, если у вас есть 𝑥 равно единице, то единица минус единица равняется нулю для левых круглых скобок. И если вы получили 12 за наше значение 𝑥, тогда 12 минус 12 равно нулю. И я хочу одну из наших скобок быть равным нулю, потому что в правой части уравнения результат равен нуль. И если у вас есть ноль, умноженный на ничего, это даст нам наш ноль. Хорошо, отлично. Итак, у нас есть квадратное выражение Факторная форма. Итак, что мы хотим делать дальше?

Ну, а теперь, чтобы мы могли рассчитать, что такое 𝑚 и 𝑛, что мы собираемся сделать, это распределить по нашему скобки. Итак, во-первых, что у нас будет 𝑥 умножить на 𝑥, что равно 𝑥 в квадрате. Итак, что у нас будет 𝑥 умножить на минус 12, что дает нам минус 12𝑥. И затем, что мы собираемся двигаться дальше to now — отрицательный в первых скобках. И это потому, что мы умножили 𝑥 обоими терминами во вторых скобках. Итак, у нас есть отрицательный, умноженный по 𝑥. Итак, у нас минус 𝑥. И вот, наконец, мы получили минус один умножается на минус 12, что дает нам плюс 12. Итак, у нас есть 𝑥 в квадрате минус 12𝑥 минус 𝑥 плюс 12 равно нулю.

Итак, последний этап — упрощаем квадратное, и мы делаем это, собирая подобные члены. Итак, когда мы делаем это, что мы получится 𝑥 в квадрате минус 13𝑥 плюс 12 равно нулю. Итак, теперь, если мы вернемся к нашему исходное уравнение, мы можем видеть, что коэффициент 𝑥 является нашим 𝑚 и числовое значение само по себе является нашим 𝑛. Таким образом, мы можем сказать, что значение 𝑚 равно минус 13, а значение 𝑛 равно 12.

Хорошо, отлично. Мы упоминали, что могли бы два разных метода решения этой проблемы. Итак, это первый способ. Сейчас мы рассмотрим другой метод. Ну а для второго способа что что мы делаем, так это смотрим на наш квадратик и замечаем, что он имеет вид 𝑎𝑥 квадрат плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐 равно нулю. А у нас есть специальный набор отношений, чтобы иметь дело с корнями нашего уравнения. Ну, два отношения, которые мы глядя на то, что сумма корней равна отрицательному 𝑏 над 𝑎 и произведением корней равно 𝑐 над 𝑎.

Ну, как мы уже указывали в метод первый, наши корни один и 12. И потом, что мы можем также определить это наши 𝑎, 𝑏 и 𝑐. Ну, 𝑎 один, потому что у нас есть одиночное 𝑥 в квадрате, 𝑏 равно 𝑚, а 𝑐 равно 𝑛. Таким образом, используя наш первый отношение, которое является суммой корней, равно отрицательному 𝑏 над 𝑎, мы можем скажем, что один плюс 12 равно отрицательному 𝑚 больше единицы. Таким образом, мы можем сказать, что 13 равно отрицательному 𝑚. Итак, если мы разделим на минус один, то, что мы собираемся получить, это минус 13 равно 𝑚, что мы и получили с нашим первым методом. Так здорово, мы нашли 𝑚. Итак, теперь давайте найдем 𝑛.

Что ж, чтобы найти 𝑛, воспользуемся второе соотношение, а именно то, что произведение корней равно 𝑐 над 𝑎. Ну, это даст нам один умноженное на 12 равно 𝑛 больше единицы. Таким образом, мы можем сказать, что 12 равно 𝑛. Итак, опять же, это то же самое, что и мы попал в наш первый метод. Таким образом, мы можем подтвердить, что значения 𝑚 и 𝑛 отрицательные 13 и 12 соответственно.

Система двух уравнений с нелинейным уравнением — Криста Кинг Математика

Как подойти к решению системы уравнений, в которой одно уравнение не является линейным

Этот урок покажет вам алгебраический способ решения пары уравнений, одно из которых является линейным уравнением, то есть уравнением прямой, где все переменные переменные первой степени, такие как ???x??? и ???y???. В другом уравнении будет хотя бы одна переменная в квадрате, например ???x^2??? или ???y^2???. 92=100 \\y=-\frac{3}{2}x-5 \end{case}???

то у вас есть система уравнений.

Решения системы уравнений находятся там, где графики обоих уравнений пересекаются друг с другом. Давайте посмотрим, как решить эту систему на следующем примере.

Решение системы, когда одно уравнение линейное, а другое квадратичное

Пройти курс 92+60х=0???

Умножить на ???10x??? чтобы помочь решить для ???x???.

???10x(x+6)=0???

???10x=0??? и ???x+6=0???

???х=0??? и ???x=-6???

Подставьте эти ???x???-значения в ???y=-(3/2)x-5??? чтобы найти ???y???-значения, которые идут с ними.

Когда ???x=0???,

???y=-\frac{3}{2}(0)-5=-5???

итак, у нас есть решение ???(0,-5)???. А когда ???x=-6???,

???y=-\frac{3}{2}(-6)-5=4???

итак, у нас есть решение ???(-6,4)???.

Вы можете посмотреть на это изображение системы, чтобы увидеть, что решения находятся там, где пересекаются эллипс и линия. 2-54y=143???

???x-3y=3???

Решение системы означает, что мы находим точки пересечения графиков двух уравнений.

Давайте решим эту систему, решив второе уравнение для ???y??? а затем сделать замену на ???y??? в первое уравнение.

???x-3y=3???

???-3y=-x+3???

???\frac{-3}{-3}y=\frac{-x}{-3}+\frac{3}{-3}???

???y=\frac{1}{3}x-1???

Подставьте это значение для ???y??? в первое уравнение, а затем решить для ???x???. 92-6x-27=0???

Фактор, затем вычислить ???x???.

???(х-9)(х+3)=0???

???x-9=0??? и ???x+3=0???

???х=9??? и ???x=-3???

Подставьте эти значения для ???x??? в уравнение, которое вы решили для ???y??? чтобы найти их соответствующие ???y???-значения.

???y=\frac{1}{3}x-1???

???y=\frac{1}{3}(9)-1=2???

Итак, одно решение ???(9,2)???, и

???y=\frac{1}{3}(-3)-1=-2???

другой ???(-3,-2)???.

Иногда приятно увидеть то, что мы только что сделали.