Квадратные уравнения примеры для тренировки: Упражнения. Квадратные уравнения.

Квадратные уравнения задания для тренировки с решением. Решение неполных квадратных уравнений

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III

§ 50 Квадратные уравнения

Уравнения вида

ax 2 + bx + c = 0, (1)

где х — неизвестная величина, а, b, с — данные числа (а =/= 0), называются квадратными.

Выделяя в левой части квадратного уравнения полный квадрат (см. формулу (1) § 49), получаем:

Очевидно, что уравнение (2) эквивалентно уравнению (1) (см. § 2). Уравнение (2) может иметь действительные корни только тогда, когда или b 2 — 4ас > 0 (поскольку 4а 2 > 0).

Ввиду той особой роли, которую играет выражение D = b 2 — 4ас при решении уравнения (1), этому выражению дано специальное название — дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 (или дискриминант квадратного трехчлена ax 2 + bx + c

). Итак, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней .

Если же D =b 2 — 4ас > 0, то из (2) получаем:

Если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то это уравнение имеет действительные корни. Они записываются в виде дроби, в числителе которой стоит коэффициент уравнения при х , взятый с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из дискриминанта, а в знаменателе — удвоенный коэффициент при х 2 .

Если дискриминант квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня:

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень:

х = — b / 2 a

(В этом случае иногда говорят, что уравнение имеет два равных корня: x 1 =

x 2 = — b / 2 a )

Примеры.

1) Для уравнения 2х 2 — х — 3 = 0 дискриминант D = (- 1) 2 — 4 2 (- 3) = 25 > 0. Уравнение имеет два различных корня:

2) Для уравнения 3х 2 — 6х + 3 = 0 D = (- 6) 2 — 4 3 3 = 0. Это уравнение имеет один действительный корень

3) Для уравнения 5х 2 + 4х + 7 = 0 D = 4 2 — 4 5 7 = — 124

4) Выяснить, при каких значениях а квадратное уравнение х 2 + ах + 1 = 0:

а) имеет один корень;

б) имеет два разных корня;

в) вообще не имеет корней,

Дискриминант данного квадратного уравнения равен

D = а 2 — 4.

Если | а | = 2, тo D = 0; в этом случае уравнение имеет один корень.

Если | а | > 2, то D > 0; в этом случае уравнение имеет два разных корня.

Наконец, если | а |

Упражнения

Решить уравнения (№ 364-369):

364. 6х 2 — х — 1 = 0. 367. — х 2 + 8х — 16 = 0.

365. 3х 2 — 5х + 1 = 0. 368. 2х 2 — 12х + 12 == 0.

366. х 2 — х + 1 = 0. 369. 2х — х 2 — 6 = 0.

370. Можно ли число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы их произведение было равно 70?

371. При каких значениях а уравнение

х 2 — 2ах + а (1 + а ) = 0

а) имеет два различных корня;

б) имеет только один корень;

в) не имеет корней?

372. При каких значениях а уравнение

(1 — а ) х 2 — 4ах + 4 (1 — а ) = 0

а) не имеет корней;

б) имеет не более одного корня;

в) имеет не менее одного корня?

373. При каком значении а уравнение х 2 + ах + 1 = 0 имеет единственный корень? Чему он равен?

374. В каких пределах заключено число а , если известно, что уравнения

х 2 + х + а = 0 и х 2 + х — а = 0

375. Что вы можете сказать о величине а , если уравнения

4а (х 2 + х ) = а — 2,5 и х (х — 1) = 1,25 — а

имеют одинаковое число корней?

376. Поезд был задержан на станции на

t мин. Чтобы наверстать потерянное время, машинист увеличил скорость на а км/ч и на следующем перегоне в b км ликвидировал опоздание. С какой скоростью поезд шел до задержки на станции?

377. Два подъемных крана, работая вместе, разгрузили баржу за t ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если один из них тратит на это на а ч меньше другого?

378. Один из заводов выполняет некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить заказ каждый завод, работая отдельно, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ в 5 раз больший?

Решить уравнения (№ 379, 380).

(Обратите внимание на та, что в этих уравнениях неизвестное содержится в знаменателях дробей. Полученные корни необходимо будет проверить!)

381*. При каких значениях а уравнения

х 2 + ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0

имеют хотя бы один общий корень?

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь —

дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:

a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a )

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. ..»
И для тех, кто «очень даже…»)

Виды квадратных уравнений

Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение ключевым словом является «квадратное». Оно означает, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

Здесь a, b и с – какие-то числа. b и c – совсем любые, а а – любое, кроме нуля. Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с.

Такие квадратные уравнения называются полными.

А если b = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени. От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х=0,

-х 2 +4х=0

И т.п. А если уж оба коэффицента, b и c равны нулю, то всё ещё проще:

2х 2 =0,

-0,3х 2 =0

Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями. Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

Кстати, почему а не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

Решение квадратных уравнений.

Решение полных квадратных уравнений.

Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а , b и c .

Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня называется дискриминант . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, в уравнении:

а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Это ответ.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте !

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения .

Решение неполных квадратных уравнений.

Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с .

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0 ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с , а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х 1 = 0 , х 2 = 4 .

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1 — то, что меньше, а х 2 — то, что больше.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х 1 = -3 , х 2 = 3 .

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

Дискриминант. Формула дискриминанта.

Волшебное слово дискриминант ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых квадратных уравнений:

Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D . Формула дискриминанта:

D = b 2 — 4ac

И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта? Ведь -b, или 2a в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с . Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1 , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно .

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Теперь можно и порешать.)

Решить уравнения:

8х 2 — 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 — 4x + 4 = 0

(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Ответы (в беспорядке):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 = 2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х — любое число

х 1 = -3
х 2 = 3

решений нет

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. 2 + b*x + c = 0 ,где x — переменная, a,b,c – константы; a0 . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

Геометрический смысл квадратного уравнения

Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х) . Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. 2 и осуществим преобразование

Отсюда находим

Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0 При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

Теорема Виета

Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета. 2+x-6=0 .

Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6 . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2} . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны

Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см 2 .

Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х 2 -18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения

Вычисляем корни уравнения

Если х=11 , то 18-х=7 , наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9 ).

Задача 6. Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0 уравнения на множители.

Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

Раскрыв скобки получим тождество. 2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Решение: Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3 . При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0 .
Вычислим дискриминант

и найдем значения а при котором оно положительно

С первого условия получим а>3 . Для второго находим дискриминант и корни уравнения

Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0 . Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0 , которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

Квадратные уравнения применяются при решении многих задач. Значительная часть задач, легко решаемых при помощи уравнений первой степени, может быть решена и чисто арифметически, хотя иногда гораздо более трудным, длинным и часто искусственным путём. Задачи же, приводящие к квадратным уравнениям, как правило, совсем не поддаются арифметическому решению. А к таким задачам приводят многочисленные и самые разнообразные вопросы физики, механики, гидромеханики, аэродинамики и многих других прикладных наук.

Основные этапы составления квадратных уравнений по условиям задачи те же, что и при решении задач, приводящих к уравнениям первой степени. Приведём примеры.

Задача. 1. Две машинистки перепечатали рукопись за 6 час. 40 мин. Во сколько времени могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая одна, если первая затратила бы на эту работу на 3 часа больше второй?

Решение. Пусть вторая машинистка затратит на перепечатку рукописи х часов. Значит, первая машинистка затратит на эту же работу часов.

Узнаем, какую часть всей работы выполняет за один час каждая машинистка и какую — обе вместе.

Первая машинистка выполняет за час часть

Вторая часть.

Обе машинистки выполняют часть.

Отсюда имеем:

По смыслу задачи положительное число

Умножим обе части уравнения на После упрощения получим квадратное уравнение:

Так как , то уравнение имеет два корня. По формуле (В) найдём:

Но так как должно быть то значение не является допустимым для данной задачи.

Ответ. Первая машинистка затратит на работу часов, вторая 12 часов.

Задача 2. Собственная скорость самолёта км в час. Расстояние в 1 км самолёт пролетел дважды: сначала по ветру, затем против ветра, причём на второй перелёт он затратил на часов больше. Вычислить скорость ветра.

Ход решения изобразим в виде схемы.

Квадратное уравнение общий вид, формула дискриминанта, примеры и алгоритмы нахождения корней полных и неполных уравнений с объяснениями

Независимо от того, в каком классе проходят уроки алгебры – математическом или обычном – квадратное уравнение изучается почти сразу после освоения всех видов своего простого линейного аналога, будучи «следующим уровнем сложности». Вычисление и поиск верного ответа не представляют трудностей, достаточно запомнить алгоритм решения и следовать ему.

Наравне с выражениями с комплексными числами и функциями с двумя переменными, алгебра поначалу заставит ученика изрядно поломать голову вне зависимости от возраста и склада ума. 

Отчаявшиеся понять данный раздел науки могут использовать решебник и онлайн-калькулятор, выкладываемые в интернете от разных авторов в различном оформлении — на вкус читателя.

Примеры с переменной в квадрате – хорошие задания для тренировки навыков счета. В математических дисциплинах квадратное уравнение нередко выступает промежуточным шагом к доказательству теорем.

Содержание

• Дискриминант
• Корни квадратного уравнения
• Полное и неполное квадратное уравнение
• Решение квадратных уравнений
  • Стандартный алгоритм решения через дискриминант
  • Теорема Виета
• График квадратного уравнения
• Квадратные уравнения – примеры и подробные решения
  • Полное решение с двумя числами
  • Единственный корень в уравнении
  • Отсутствие целевых точек
• Как решать систему уравнений с квадратами

Дискриминант

Изучаемое выражение имеет стандартный вид:

ax² + bx + c = 0

Все три слагаемых имеют коэффициенты, способные принимать любые значения, но при переменной в квадрате он не должен равняться 0, иначе уравнение перестает быть квадратным.

Например, уравнение 2x² + 2 = 0 идентично выражению 2x² + 0x + 2 = 0.

Части равенства справа от знака равенства переносятся влево с противоположным знаком:

6x² = 8x — 4

6x² — 8x + 4 = 0

Разобрать квадратное уравнение поможет дискриминант (D). Этот вспомогательный показатель через сложные расчеты позволит найти корни выражения или обнаружить невозможность решения. 

Вывод формулы выполняется благодаря манипуляции с числовыми показателями:

D = b² — 4ac

Например, в выражении 5x² — 7x + 2 = 0

D равен: (-7)² — 4*5*2 = 49 — 40 = 9.

Определение дискриминанта подскажет количество корней:

• D>0: два корня;

• D=0: один корень;

• D<0: нет решения.

Связано это с тем, что в процессе решения дискриминант придется возводить под квадратный корень — √(D) – а отрицательные числа из него не выводятся.

Корни квадратного уравнения

Завершающий шаг – вывод ответов путем вычислений. Как решить уравнение – зависит от количества корней.

1. Если ответа 2, их нахождение выполнится через формулы:

2. Когда корень один, дискриминант уже не нужен (ведь √(0) = 0), и решать головоломку проще:

3. В случае, когда решения нет, вычислять ничего не нужно.

Далеко не все способы требуют долгих расчетов. Ученым-математиком из Франции Франсуа Виетом была выведена закономерность, раскрывающая удивительные свойства (коэффициентов):

Уникальна теорема Виета тем, что под ее определение подходят уравнения — приведенные там, где множитель при x² равен 1.  

Например:

 

Сумма корней равна –b, ведь сложение x1 и x2 приводит к такому ответу:

Произведение обоих ответов происходит по аналогичному принципу:

 

Способы решения заданий с переменными в квадрате не являются специфическими – даже неприведенные выражения можно решить данной теоремой.

Как пример: 2x² — 6x + 9 = 0 при делении на коэффициент при x² (а=2) примет вид x² — 3x + 4,5 = 0 – и вполне годится для решения методикой французского ученого.

Другой метод того, как решать вариант с а≠1 – делить на a сумму и произведение корней:

2x²-5x+2=0

х1+ х2=5/2 =2,5

х1* х2=2/2 = 1

х1=2, х2=0,5.

Полное и неполное квадратное уравнение

Выражение ax² + bx + c = 0 считается полным, если содержит все три коэффициента. Если есть слагаемые, равные 0, оно становится неполным.

Неполное квадратное уравнение решается гораздо легче своего полного аналога. Нахождение корней не вызывает трудностей и предполагает свои особенности в поиске ответа.

Самый простой способ – разложение на множители.

2x² — 5 x = 0 — неполное, так как с = 0.

x*(2x — 5) = 0

х1 = 0

2x — 5 = 0

х2 = 2,5.

Когда отсутствует bx, отыскать ответ еще легче:

x² — 9 = 0 (здесь b = 0)

(x+3)*(x-3) = 0

или: x² = 9

х1 = 3, х2 = -3.

Решение квадратных уравнений

Способы решения разнообразны. Состав слагаемых определяет, как находить верный ответ.

Самые легкие – разложение на множители. 

Пример:

x2 + 3x — 28 = 0.

Достаточно решить, что 28 = (-4)*7, а 3х = 7х — 4х;

Многочлен x² + 7x — 4x — 28 = 0 можно представить в виде (x + 7)(x — 4) = 0;

Только два значения способны выполнить условие равенства: -7 и 4.

Вариант сложнее – вывод формулы полного квадрата:

4x² + 8x + 4 — 4 — 32 = 0

Из 4x² + 8x возможен многочлен 4x² + 8x + 4, способный превратиться в (2x + 2)²

Сформировать 4x² + 8x — 32 = 0 в более компактный вид:

4x² + 8x +4 — 4 — 32 = 0

(2x + 2)² — 36 = 0

Cвободное число переходит в правую часть:

Но не все уравнения удается преобразовать в удобную версию. Самые распространенные способы:

Стандартный алгоритм решения через дискриминант

2x² + 5x — 3 = 0

Найти D:

D = 5² — 4∗2∗(-3) = 25 + 24 = 49

Вычислить корни

Теорема Виета

2x² + 5x — 3 =0

Из суммы корней и произведения образовать пропорцию

Нахождение ответов подбором и подсчетом:

-3 + 0,5 = -2,5

-3∗0,5 = -1,5

Помимо рядовых вычислений, алгебра предусматривает графический путь – минимум расчетов и чертежи на геометрической плоскости (системе координат).

График квадратного уравнения

В отличие от рассмотренных выше вариантов, построение графика позволит наглядно решить уравнение. Здесь оно предстает в виде системы двух функций – выражений с двумя переменными.

Стандартная формула ax² + bx + c = 0 принимает иной вид:

 

или ax² = -bx  -c.

Общие точки параболы и линии станут ответами на задачу.

Квадратные уравнения – примеры и подробные решения

Нахождение ответа через стандартный алгоритм с дискриминантом и ее оформление в приведенное выражение уже рассмотрены, лишь графический метод нуждается в подробном рассмотрении – наглядном свидетельстве либо наличия корней, либо отсутствия оных.

Полное решение с двумя числами

Равенство x² + 2x — 3 = 0 аналогично удобному для графика аналогу x² = -2x + 3

На плоскость наносится система двух функций:

Пересечения графиков на точках [1;1] и [-3;9] являются решением задачи. Если нужны были данные по переменной x, воспользоваться нужно ими.

Ответ: 1 и -3.

Единственный корень в уравнении

Подобно примеру выше, выражение 3x² + 6x + 3 = 0 преобразуется в систему:

 

Здесь только 1 точка касается обоих графиков – [-1;3]. Координата x – корень уравнения.

Ответ: х = 1.

Отсутствие целевых точек

Уравнение и система

на координатной плоскости не располагают общими отметками.

Как решать случай с несовпадением графиков? Это невозможно.

Ответ: нет корней.

Как решать систему уравнений с квадратами

Квадратные уравнения с двумя переменными нередко предстают в виде системы. Их решение потребует больше усилий и времени, но нахождение ответа все еще возможно.

Первый метод уже рассмотрен в разделе выше – графический. Процесс неизменен:

Разбить уравнения на более простые.

Составить функцию с каждым на общей системе координат.

Точки пересечения станут корнями уравнения.

Второй способ – подстановка одного выражения в другое:

К системе подходит следующий алгоритм решения:

1. Представить одну переменную в составе другой:

2. Подставить выраженную переменную x в другое выражение:

3. Решить выражение как обычное квадратное уравнение:

Комбинация ответов занимает много места – дискриминант не всегда удается вывести из-под знака корня:

Третий способ – введение новых переменных. Актуален, когда подстановка займет много времени и поможет упросить вывод формулы.

 

 

Обозначить новые переменные:

Использовать их в решении, заменив ими неудобные множители:

  

Итог – два набора данных

 

или

  

Продолжить «расшифровку» с полученными парами чисел, создав и решив стандартное уравнение.

Первый вариант:

 

Здесь на выходе две подсистемы.

Второй вариант:

Корни при данном раскладе отсутствуют. Решение – первая подборка.

Ответ: х1 = (1;3), х2 = (3;1).

Предыдущая

АлгебраМетод интервалов определение, способы и алгоритмы решения квадратных, рациональных, иррациональных, показательных и дробных неравенств, плюсы и минусы, онлайн-калькулятор

Следующая

АлгебраФакториал определение, формула, обозначение, основные свойства и функции, таблица, алгоритмы нахождения, примеры задач с решениями, онлайн-калькулятор

Решение квадратных уравнений с применением теоремы Виета

Цель: Применение теоремы Виета и ей обратной теоремы при нахождении коэффициентов в квадратных уравнениях, при решении заданий из вариантов ЕГЭ.

Воспитательные задачи: Способствовать формированию умений, применять приемы сравнений, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию творческих способностей. Побуждать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Оборудование: плакаты, компьютер, экран, видеопроектор.

Ход урока

I. Вводная беседа. Устные упражнения (5 мин.)

Сегодня на уроке мы с вами вместе подведем итог, как важно применение теоремы Виета. В каких упражнениях применяется теорема и как важно ее знать и применять. (Учитель показывает презентацию, в которой сформулированы цели, задачи, структура урока). <Приложение 1>

Учащиеся формулируют теорему Виета и ей обратную теорему. У доски два ученика записывают формулы теоремы Виета для приведенного и полного квадратных уравнений:

– формулы для полного квадратного уравнения;

– формулы для приведенного квадратного уравнения;

Трое учащихся решают на дополнительных досках индивидуальные задания.

Решите уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

II. Устные упражнения (5 мин.)

Затем с учащимися решаем устные упражнения:

Найдите корни уравнения:

3. Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов a + b + c = 0,

То Используя это свойство, решите уравнения:

4. Теорема Виета применяется при нахождении суммы и произведения корней. Покажите, как это выглядит. Перед вами уравнения:

У какого из данных уравнений:

1. Сумма корней равна 6, а произведение – 16?
2. Корни равны?
3. Один из корней уравнения равен 6?
4. Каждый из корней на 2 больше, чем корни уравнения ? Ответ обосновать.

III. Лабораторная работа (3 мин.)

Учащимся предлагается выполнить лабораторную работу.

Составьте квадратные уравнения, которые:

• не имеют корней;
• имеет один из корней, равный 0;
• имеет два корня, равных по модулю, но противоположных по знаку;
• имело бы один корень;
• сумма коэффициентов уравнения равна 0.

Учащиеся выполняют это задание по группам (4–5 учащихся в группе).

Пример лабораторной работы:

IV. Работа с таблицей (3 мин.)

Выполнив лабораторную работу, три группы озвучивают свою лабораторную работу, а остальные группы сдают лабораторные работы на плакатах на проверку (2 мин.).

Один из учащихся (Евсеев А.) заранее готовит презентацию об исследовании знаков в приведенных квадратных уравнениях. <Приложение 2>

Все учащиеся работают с таблицей и отвечают на вопросы о знаках в квадратных уравнениях:

1. Когда корни квадратного уравнения имеют одинаковые знаки?
2. Когда оба корня положительные, отрицательные?
3. Когда корни имеют разные знаки?
4. Когда больший по модулю корень отрицателен?
5. Когда больший по модулю корень положителен?

Сформулируйте выводы о знаках корней квадратных уравнений.

V. Тренировочные упражнения. Работа у доски (23 мин.)

Следующий этап урока: двое учащихся решают у доски задания о нахождении неизвестных коэффициентов в квадратных уравнениях.

1. В уравнении один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р. Ответ:

2. Один из корней уравнения равен 12,5. Найдите другой корень уравнения и коэффициент с. Ответ:

Такого вида уравнения часто встречаются на экзаменах. Поэтому сейчас Слинько В. предлагает просмотреть презентацию о нахождении коэффициентов в квадратных уравнениях. <Приложение 3>

А после просмотра презентации учащимся предлагается решить 2 уравнения самостоятельно с последующей проверкой.

1. Разность корней квадратного уравнения равна 2. Найдите с.

Ответ: c = 35.

2. Разность корней квадратного уравнения равна 6. Найдите с.

Ответ: c = –8,75.

Использование теоремы Виета дает возможность решать более сложные задания.

Трое учащихся решают задания у доски, комментируя и объясняя ход решения:

1. Один из корней уравнения равен 8. Найдите другой корень и коэффициент в.

Ответ: .

2. Один из корней уравнения равен 5,3. Найдите другой корень и коэффициент с.

Ответ: .

3. В уравнении квадратов корней равна . Найдите с. Ответ: с = 9.

VI. Заключение (6 мин.)

В заключение урока подводим итоги. Учащиеся формулируют применение теоремы Виета.

Теорема Виета применяется:

• при нахождении суммы и произведения корней квадратных уравнений;
• при составлении квадратных уравнений;
• при решении уравнений методом подбора;
• при нахождении коэффициентов в уравнении, свободного члена;
• при сравнении знаков коэффициентов в квадратном уравнении.

Один из учащихся рассказывает стихотворение.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойстве корней теорема Виета.
Что проще скажи постоянства такого?
Умножишь ты корни и дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта – что за беда?!
В числителе в, в знаменателе а.

Домашнее задание: № 645, № 667, № 671 из учебника «Алгебра 8», автор Макарычев Ю. Н.

Учитель выставляет оценки за урок, благодарит учащихся за работу на уроке.

Также предлагается посмотреть презентацию о решении квадратных уравнений с параметром, в которой рассматриваются задания повышенной сложности, применяемые на экзаменах и малом ЕГЭ. <Приложение 4>

Квадратное уравнение — GRE Math

Все математические ресурсы GRE

13 диагностических тестов 452 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →

GRE Math Help » Алгебра » Уравнения / Неравенства » Квадратное уравнение

Решите для x: x ² + 4x = 5

Возможные ответы:

-5 или 1

-5

Ни один из других ответов

-1

-1 или 5

Правильный ответ:

-5 или 1

Пояснение:

Решите факторингом. Сначала приведем все к виду: Ax ² + Bx + C = 0:

x ² + 4x — 5 = 0

Затем множим: (x + 5) (x — 1) = 0

Решите каждое кратное для 0 отдельно:

X + 5 = 0; х = -5

х — 1 = 0; х = 1

Следовательно, x равно -5 или 1

Сообщить об ошибке

Решите для x: (x ² – x) / (x – 1) = 1

Возможные ответы:

4 Нет решения

x = -2

x = 2

x = -1

x = 1

Правильный ответ:

Нет решения

Объяснение:

Начните с умножения обеих сторон на (x – 1):

x ² – x = x – 1

Решите как квадратное уравнение: x ² – 2x + 1 = 0

Фактор слева: (x – 1)(x – 1) = 0

Следовательно, x = 1.

Однако обратите внимание, что в исходном уравнении значение 1 вместо х поместит 0 в знаменатель. Поэтому решения нет.

Отчет о ошибке

x ² — 3x — 18 = 0

Количество A: x

Количество B: 6

Возможные ответы:

D. Отношение не может быть определена из информации. данный.

A. Количество A больше

B. Количество B больше.

C. Обе величины равны.

Правильный ответ:

D. На основании предоставленной информации установить связь невозможно.

Объяснение:

x ²  – 3 x  – 18 = 0 можно разложить на ( x –  6)(x + 3) = 0

Следовательно, x может быть либо 6, либо –3.

Сообщить об ошибке

У фермера есть забор длиной 44 фута, и он хочет загнать своих овец. Он хочет построить прямоугольный загон площадью 120 квадратных футов. Что из нижеперечисленного является возможным размером стороны забора?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Составьте два уравнения из данной информации:

 и 

Подставьте во второе уравнение:

Умножьте на .

Затем разделите на коэффициент 2, чтобы упростить вашу работу:

Затем, поскольку у вас есть квадратичная установка, переместите член на другую сторону (через вычитание с обеих сторон), чтобы установить все равным 0:

Когда вы ищете числа, которые умножаются на положительные 120 и прибавляются к -22, чтобы вы могли разложить квадратное число, вы можете обнаружить, что -12 и -10 соответствуют всем требованиям. Это дает вашу факторизацию:

Это делает возможными решения 10 и 12. Поскольку 12 не появляется в вариантах, это единственно возможный правильный ответ.

Сообщить об ошибке

Какова сумма всех значений  , которые удовлетворяют:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

При работе с квадратными уравнениями всегда начинайте с приведения их к стандартной форме:

Следовательно, возьмите наше уравнение:

И перепишите его как:

Для решения этой задачи можно использовать квадратичную формулу. . Тем не менее, это можно учесть, если вы будете осторожны. С учетом факторов уравнение можно переписать как:

Теперь любая из групп слева может быть  и все уравнение будет таким. Поэтому вы настраиваете каждое как отдельное уравнение и решаете для:

или

Сумма этих значений:

Отчет о ошибке

: 

Количество B:

Возможные ответы:

Количество A больше.

Сравнение не может быть определено по данной информации.

Количество B больше.

Обе величины равны.

Правильный ответ:

Количество B больше.

Объяснение:

При работе с квадратными уравнениями всегда начинайте с приведения их к стандартной форме:

Следовательно, возьмите наше уравнение:

И перепишите его как:

Хотя для решения этой задачи можно было бы использовать квадратичную формулу, самый простой способ решить этот вопрос — разложить на множители левую часть уравнения. Это дает вам:

Теперь любая из групп слева может быть  и все уравнение будет таким. Поэтому вы составляете каждое из них как отдельное уравнение и решаете:

ИЛИ

Поскольку оба ваших ответа меньше , количество B больше количества A.

Сообщить об ошибке

Если f(x) = -x ² + 6x — 5, то каким может быть значение a, если f(a) = f(1,5)?

Возможные ответы:

2.5

1

4.5

3.5

4

90 10 5 1 Правильный ответ: 4 Объяснение:

Нам нужно ввести 1,5 в нашу функцию, затем нам нужно ввести в нашу функцию «а» и установить эти результаты равными.

f(а) = f(1,5)

f(a) = -(1,5) ² +6(1,5) -5

f(a) = -2,25 + 9 — 5

f(a) = 1,75

-a ² + 6a -5 = 1,75

Умножьте обе части на 4, чтобы мы могли работать только с целыми коэффициентами.

-4а ² + 24а — 20 = 7

Вычесть 7 с обеих сторон.

-4a ² + 24a — 27 = 0

Умножьте обе части на отрицательную, просто чтобы получить больше положительных коэффициентов, с которыми обычно легче работать.

4a ² — 24a + 27 = 0

Чтобы разложить это на множители, нам нужно умножить внешние коэффициенты, что дает нам 4 (27) = 108. Нам нужно подумать о двух числах, которые умножаются, чтобы дать нам 108, но добавьте, чтобы получить -24. Эти два числа равны -6 и -18. Теперь мы перепишем уравнение как:

4a ² — 6a -18a + 27 = 0

Теперь мы можем сгруппировать первые два члена и два последних члена, а затем мы можем факторизовать.

(4а ² — 6а )+(-18а + 27) = 0

2а(2а-3) + -9(2а — 3) = 0

(2а-9)(2а-3) = 0

Это означает, что 2а — 9 = 0, или 2а — 3 = 0.

2а — 9 = 0

2а = 9

а = 9/2 = 4,5

2а — 3 = 0

а = 3/2 = 1,5

Таким образом, а может быть либо 4,5, либо 1,5.

Единственный доступный вариант ответа, который может быть 4.5.

Сообщить об ошибке

Найдите x:  2(x + 1) ²  – 5 = 27

Возможные ответы:

3 или –5

3 или 4

–2 или 5

–3 или 2

–2 или 4

Правильный ответ:

3 или –5

6 Пояснение:

Квадратные уравнения обычно имеют два ответа. Мы добавляем 5 к обеим частям, а затем делим на 2, чтобы получить квадратное выражение в одной части уравнения: (x + 1) ² = 16. Извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем x + 1 = –4 или x + 1 = 4. Затем мы вычитаем по 1 с обеих сторон, чтобы получить x = –5 или x = 3,

Сообщить об ошибке

Произведение двух последовательных положительных чисел, кратных трем, равно 54. Чему равна сумма этих двух чисел?

Возможные ответы:

3

6

12

15

Правильный ответ:

15

Объяснение:

Определим переменные как x = первое кратное трем и x + 3 = следующее последовательное кратное 3.

Зная, что произведение этих двух чисел равно 54, мы получаем уравнение x(x + 3) = 54 , Чтобы решить это квадратное уравнение, нам нужно умножить его и приравнять к нулю, а затем разложить на множители. Так х ² + 3x – 54 = 0 становится (x + 9)(x – 6) = 0. Решая для x, мы получаем x = –9 или x = 6, и верно только положительное число. Таким образом, эти два числа равны 6 и 9, а их сумма равна 15.

Сообщить об ошибке

Решить 3x ² + 10x = –3

Возможные ответы:

x = –1/3 или –3

x = –2/3 или –2

x = –1/9 или –9

x = –1/6 или –6

x = –4/3 или –1

Правильный ответ:

х = –1/3 или –3

Объяснение:

Обычно квадратные уравнения имеют два ответа.

Во-первых, уравнения должны быть представлены в стандартной форме: 3x ² + 10x + 3 = 0

Во-вторых, попробуйте разложить квадратное число на множители; однако, если это невозможно, используйте квадратичную формулу.

В-третьих, проверьте ответ, подставив ответы обратно в исходное уравнение.

Сообщить об ошибке

← Предыдущий 1 2 3 4 Следующий →

Уведомление об авторских правах

Все математические ресурсы GRE

13 Диагностические тесты 452 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Бесплатные практические задачи GMAT по квадратным уравнениям с примерами решений 3

Набор из 10 задач на квадратные уравнения, похожие на решение задач GMAT, с подробными решениями, аналогичными вопросам теста GMAT. Вопрос 1 Решите уравнение x 2 + 5x = — 6 относительно x. А) х = 2 и х = 3 B) x = — 2 только В) х = — 2 и х = — 3 D) х = — 3 только E) Нет решений Вопрос 2 Найдите значения констант k и m так, чтобы уравнение 2 x 2 + kx — m = 0 имело решения при x = 1 и x = -2. А) k = 1 и m = — 2 Б) к = — 2 и м = — 4 В) k = 2 и m = 0 Г) k = 2 и m = 4 Д) k = 0 и m = 4 Вопрос 3 Решите уравнение (x — 1)(x + 3) = (1 — x) относительно x. А) х = 1 и х = — 3 Б) х = 1 и х = — 4 В) х = 1 и х = 4 Г) х = 1 и х = 0 Д) х = 1 и х = 3 Вопрос 4 Решите уравнение 2 — (x — 2) 2 = — 18 относительно x. А) х = — 2 + 2 √5 и х = — 2 — 2 √5 Б) х = 2 √5 и х = — 2 √5 В) х = 20 и х = -20 D) х = √5 и х = — √5 Д) х = 2 + 2 √5 и х = 2 — 2 √5 Вопрос 5 Найдите положительное значение константы k, чтобы уравнение x 2 + k x + 4 = 0 имеет только одно решение. А) 4 Б) 3 С) 2 Д) 1 Э)-2 Вопрос 6 Если x = 2 является решением уравнения (m + 2)x 2 = 16, где m — константа, то каково второе решение этого уравнения? А) х = 3 Б) х = — 3 С) х = — 2 Г) х = — 4 Д) х = 0 Вопрос 7 Если x = — 2 является решением уравнения (1/2) a x 2 + 3x — 4 = 0, где a — постоянная, то каково второе решение этого уравнения? А) х = 4/5 Б) х = 4 С) х = 5/4 Г) х = 5 E) Второго решения нет Вопрос 8 Найдите значения констант b и c так, чтобы уравнение x 2 + bx + c = 0 имело решения при x = 2 и x = -1. А) б = 2 и с = — 1 Б) б = — 2 и с = 1 В) б = 2 и с = 2 Г) б = 1 и с = 0 Д) б = -1 и с = -2. Вопрос 9 X и Y — два действительных числа, такие что X + Y = 11/5, X Y = 2/5 и X больше 1. Найдите X и Y. А) Х = 1/5 и Y = 10 Б) Х = 2 и Y = 1/5 В) Х = 2 и Y = 2/5 Г) Х = 3/5 и Y = 1/5 E) X = 10 и Y = 1/5 Вопрос 10 Сумма числа x, такого, что x больше 1, а обратное ему число равно 10/3. Найдите x. А) х = 6 Б) х = 1/3 С) х = 10 Г) х = 3 Д) х = 13 Больше практических тестов по математике Бесплатная практика для тестов GAMT Math Бесплатные математические тесты Compass Практика Бесплатная практика для тестов SAT, ACT по математике Бесплатный количественный анализ GRE для практики бесплатных вопросов по исчислению AP (AB и BC) с ответами

сообщите об этом объявлении

9.

4: Решение квадратных уравнений с помощью квадратичной формулы

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

5178

• OpenStax
• OpenStax

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решать квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы
• Использование дискриминанта для предсказания количества и типа решений квадратного уравнения
• Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения 9{2}-4 a b\), когда \(a=3\) и \(b=−2\).
• Упростить \(\sqrt{108}\).
• Упростить \(\sqrt{50}\).

Решение квадратных уравнений с помощью квадратной формулы

Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз выполняли одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ «да». Математики ищут закономерности, когда делают что-то снова и снова, чтобы облегчить себе работу. В этом разделе мы выведем и используем формулу для нахождения решения квадратного уравнения.

Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в общем», так что мы проделаем алгебраические шаги только один раз, а затем используем новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы пройдем этапы заполнения квадрата, используя общую форму квадратного уравнения, чтобы решить квадратное уравнение относительно \(x\) .

Начнем со стандартной формы квадратного уравнения и решим его относительно \(x\), заполнив квадрат.

9{2}-4 a c}}{2 a} \label{quad}\]

Чтобы использовать квадратную формулу , мы подставляем значения \(a,b\) и \(c\) из стандартную форму в выражение в правой части формулы. Тогда упростим выражение. Результатом является пара решений квадратного уравнения.

Обратите внимание, что квадратичная формула (Equation \ref{quad}) является уравнением. Убедитесь, что вы используете обе части уравнения.

Пример \(\PageIndex{1}\) Как решить квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 9{2}-4 \cdot 2 \cdot(-5)}}{2 \cdot 2}\)

Шаг 3 : Упростите дробь и найдите \(x\).   \(\begin{array}{l}{x=\dfrac{-9 \pm \sqrt{81-(-40)}}{4}} \\ {x=\dfrac{-9 \pm \sqrt {121}}{4}} \\ {x=\dfrac{-9 \pm 11}{4}} \\ {x=\dfrac{-9+11}{4}}\quad x=\dfrac{ -9-11}{4} \\ {x=\dfrac{2}{4} \quad \quad\:\:\: x=\dfrac{-20}{4}}\\ {x=\dfrac {1}{2} \quad\quad\:\:\: x=-5}\end{массив}\) 9{2}+b х+с=0\). Определите значения \(a,b\) и \(c\).
1. Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения \(a,b\) и \(c\).
2. Упрощение.
3. Проверьте решения. {2}-6 x=-5\). 9{2}-4 \cdot \color{cyan}1 \color{black} \cdot ( \color{limegreen}5 \color{black})}}{2 \cdot \color{cyan} 1} \)
   Упрощение.

   \(x=\dfrac{6 \pm \sqrt{36-20}}{2}\)

   \(x=\dfrac{6 \pm \sqrt{16}}{2}\)

   \(x=\dfrac{6 \pm 4}{2}\)

   Перепишите, чтобы показать два решения.

   \(x=\frac{6+4}{2}, \quad x=\frac{6-4}{2}\) 9{2}+24=-10 б\).

   Ответить

   \(b=-6, b=-4\)

   Когда мы решали квадратные уравнения, используя свойство квадратного корня, мы иногда получали ответы, содержащие радикалы. Это может произойти и при использовании квадратичной формулы . Если мы получим радикал в качестве решения, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.

   Пример \(\PageIndex{3}\)

   Решите с помощью квадратичной формулы: \(2 x^{2}+10 x+11=0\). 9{2}-4 а в}}{2 а}\)

   Затем подставьте значения \(a, b\) и \(c\). Упрощение.

   \(x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{100-88}}{4}\)

    

   \(x=\dfrac{-10 \pm \sqrt{12}}{4}\)

   Упростите радикальное.

   \(x=\dfrac{-10 \pm 2 \sqrt{3}}{4}\)

   Вынесите общий множитель из числителя.

   \(x=\dfrac{\color{red}{2}(-5 \pm \sqrt{3})}{4}\)

   Удалите общие множители.

   \(x=\dfrac{-5 \pm \sqrt{3}}{2}\)

   9{2}+2 р+9=0\).

   Решение :

   Это уравнение имеет стандартную форму.
   Определите значения \(a,b,c\).
   Напишите квадратную формулу.
   Затем подставьте значения \(a,b,c\).
   Упрощение.
   Упростите радикал, используя комплексные числа.
   Упростите радикальное.
   Умножьте общий делитель в числителе.
   Удалите общие множители. 9{2}+b х+с=0\). Иногда нам нужно будет выполнить некоторую алгебру, чтобы привести уравнение к стандартной форме, прежде чем мы сможем использовать квадратную формулу. Пример \(\PageIndex{5}\) Решите с помощью квадратичной формулы: \(x(x+6)+4=0\). Решение : Наш первый шаг — привести уравнение к стандартной форме.   Распределите, чтобы получить уравнение в стандартной форме. Теперь это уравнение имеет стандартную форму. Определите значения \(a,b,c\). Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения \(a,b,c\). Упрощение.   Упростите радикальное. Умножьте общий делитель в числителе. Удалите общие множители. Запишите двумя решениями. Чек: Мы оставляем вам чек!   Таблица 9.3.6 Упражнение \(\PageIndex{9}\) Решите с помощью квадратичной формулы: \(x(x+2)−5=0\). Ответить \(x=-1+\sqrt{6}, x=-1-\sqrt{6}\) Упражнение \(\PageIndex{10}\) Решите с помощью квадратичной формулы: \(3y(y−2)−3=0\). Ответить 9{2}+\dfrac{2}{3} u=\dfrac{1}{3}\). Решение : Наш первый шаг — очистить дроби. 9{2}=0\). Мы знаем из свойства нулевого продукта , что это уравнение имеет только одно решение, \(x=3\). {2}-20 x=-25\). Решение :   Умножьте обе части на ЖК-дисплей, \(6\), чтобы очистить дроби. Умножить. Вычтите \(2\), чтобы получить уравнение в стандартной форме. Определите значения \(a, b\) и \(c\). Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения \(a, b,\) и \(c\). Упрощение.   Упростите радикальное. Умножьте общий делитель в числителе. Удалите общие множители. Перепишите, чтобы показать два решения. Чек: Мы оставляем вам чек!     Добавьте \(25\), чтобы получить уравнение в стандартной форме. Определите значения \(a, b\) и \(c\). Напишите формулу квадрата. Затем подставьте значения \(a, b\) и \(c\). Упрощение.   Упростите радикальное. Упростите дробь. Чек: Мы оставляем вам чек!   9{2}-40 т=-16\). Ответить \(t=\dfrac{4}{5}\) Использование дискриминанта для предсказания количества и типа решений квадратного уравнения Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два действительных решения, одно действительное решение, а иногда два комплексных решения. Есть ли способ предсказать количество и тип решений квадратного уравнения без фактического решения уравнения? Да, выражение под радикалом квадратной формулы позволяет нам легко определить количество и тип решений. Это выражение называется дискриминантом . Определение \(\PageIndex{2}\) Дискриминант Рисунок 9.3.85 Давайте посмотрим на дискриминант уравнений в некоторых примерах, а также на количество и тип решений этих квадратных уравнений. Квадратное уравнение (в стандартной форме) 9{2}-20 р+25=0\) Ответить \(2\) действительные решения \(2\) комплексные растворы \(1\) действительное решение Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения Ниже мы суммируем четыре метода, которые мы использовали для решения квадратных уравнений. Методы решения квадратных уравнений Факторинг 9{2}=k\) мы используем свойство Square Root. Для любого другого уравнения, вероятно, лучше всего использовать квадратную формулу. Помните, что вы можете решить любое квадратное уравнение, используя квадратную формулу, но это не всегда самый простой метод. Как насчет метода завершения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают его не использовать. Нам нужно было включить его в список методов, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы вывести квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс заполнения квадрата в других областях алгебры. 9{2}=125\) Ответить Квадратичная формула Факторинг или свойство квадратного корня Свойство квадратного корня Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики использования квадратичной формулы. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт