Линейные неравенства решать: § Как решать линейные неравенства

{2}-8\) — есть переменная во второй степени, это квадратное неравенство

Содержание

Решение линейных неравенств

Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.

Например, для неравенства \(x-2>0\) число \(5\) будет решением, т.к. при подстановке пятерки вместо икса мы получим верное числовое: \(3>0\). А вот число \(1\) решением не будет, так как при подстановке получится неверное числовое неравенство:\(-1>0\) . Но решением неравенства будут не только пятерка, но и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и еще бесконечное множество чисел: любое число, больше двойки.

Поэтому линейные неравенства не решают перебором и подстановкой значений. Вместо этого их с помощью равносильных преобразований приводят к одному из видов:

\(x<c\),        \(x>c\),        \(x\leqс\),        \(x\geqс\),       где \(с\) — любое число

После чего ответ отмечается на числовой оси и записывается в виде промежутка (также называемого интервалом).

Вообще, если вы умеете решать линейные уравнения, то и линейные неравенства вам под силу, потому что процесс решения очень схож. Есть лишь одно важное дополнение: 

При умножении или делении неравенства на любое отрицательное число (или выражение) нужно менять знак сравнения на противоположный (почему так – смотри здесь).

Пример. Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2(x+1)-1<7+8x\)

Раскроем скобки

\(2x+2-1<7+8x\)

 

Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки

\(2x-8x<7-2+1\)

 

Приведем

подобные слагаемые

\(-6x<6\)        \(|:(-6)\)

 

Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять знак сравнения

\(x>-1\)


Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство строгое, поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем



Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)



Особый случай №1: решение неравенства – любое число

В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.

Пример. Решить неравенство \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Решение:

\(3(2x-1)+5<6x+4\)

Раскроем скобки

\(6x-3+5<6x+4\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(6x+2<6x+4\)

 

Перенесем  члены с иксом влево, а числа вправо, не забывая при этом менять знаки

\(6x-6x<4-2\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(0<2\)


Получили верное числовое неравенство. Причем оно будет верным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса будет решением

Ответ:

 \(x\in(-\infty;\infty)\)

Особый случай №2: неравенство не имеет решений

Возможна и обратная ситуация, когда у линейного неравенства вообще нет решений, то есть никакой икс не сделает его верным. Например, \(x-2>x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.

Пример. Решить неравенство \(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)
Решение:

\(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)

Нам мешают знаменатели. Сразу же избавляемся от них, умножая всё неравенство на общий знаменатель всех дробей, то есть – на 6

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\((\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)\()\)

 

Раскроем скобки

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\(\frac{3x+2}{6}\)\(-6\)

 

Сократим то, что можно сократить 

\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)

 

Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые

\(3x-15>3x-4\)


Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки

\(3x-3x>-4+15\)


Вновь приводим подобные слагаемые

\(0>11\)


Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет.

Ответ: \(x\in\varnothing\)

Смотрите также:  
Системы линейных неравенств
Строгие и нестрогие неравенства


Урок 42. линейные уравнения и неравенства с двумя переменными — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
  • Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
  • Нахождение площади получившейся фигуры.

Глоссарий по теме

Уравнение вида     ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где   a, b и c   —   некоторые числа (a ≠ 0 ,   b ≠0), а, х и у   —   переменные.  

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Историческая справка

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

Актуализация знаний

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

  1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Пример

Построить график уравнения 2х+у =1

у = -2х + 1

Если х=0, то у=1;

Если х=2, то у=-3.

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

  1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с < 0 или ах + bу + с > 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Пример

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

  1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
  2. Пусть точка М11,у1) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, аМ21,у2)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0. Тогда 2у2 – 3х1 – 6 = 0, а 2у1 – 3х1 – 6 < 0, т.к. у1< у2

Изобразим множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0 штриховкой (рис. 1)

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с < 0, а другая – графиком неравенства ах + bу + с > 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c < 0 или aх + bу + c > 0, достаточно взять какую-нибудь точку М11; у1), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх1 + bу1 + c.

Пример

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 2х + 3у < 6

Начертим график уравнения 2х + 3у = 6.

Пара (0;0) является решением неравенства 2х + 3у < 6, и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 2х + 3у < 6 является нижняя полуплоскость (рис. 2).

Рисунок 2 – решение неравенства 2х + 3у < 6

  1. Система линейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Пример

Решите систему:

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения (рис.3). 

Рисунок 3 – решение системы

Система имеет единственное решение: x = 4 ,   y = 4 .

  1. Система линейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя переменными на примере:

  1. Построим прямые х – у = 2 и х + 3у = 6
  2. Пара (4;1) является решением как первого, так и второго неравенства, те является общим решением неравенств системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множество общих решений неравенств есть множество решений системы (пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему).

Множество решение системы изображается двойной штриховкой. (плоской угол) (рис. 4).

Рисунок 4 – решение системы

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 3х – 2у + 6 0.

  1. Начертим график уравнения 3х – 2у + 6 = 0
  2. Отметим в какой-нибудь полуплоскости, например, точку (1;2).

Пара (1;2) не является решением неравенства и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 3х – 2у + 6 = 0. 9 (рис. 5)

Рисунок 5 – решение неравенства

Пример 2

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы

Построим прямые х + у = 3 и 4х – 5у = 20.

Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой. Двойная штриховка – множество решений системы. Система задает плоский угол (рис. 6)

Рисунок 6 – решение системы

Если к системе добавить еще одно неравенство

, то получится система трех неравенств с двумя переменными

Этой системой задается треугольник (рис. 7)

Рисунок 7 – решение системы

Точка О принадлежит , левая часть неравенства положительна, и поэтому множество его решений – объединение множеств .

Решение неравенств. Доступно о том, как решать неравенства

§ 1 Линейные неравенства

На этом занятии мы познакомимся с определением линейного неравенства. Рассмотрим свойства, используемые при решении линейных неравенств. Научимся решать линейные неравенства.

Линейным неравенствомназывают неравенства вида aх+ b > 0 или aх+ b

Так как неравенство может быть строгим и нестрогим, то линейные неравенства могут иметь следующий вид aх+ b ≥0, aх+ b ≤ 0.

Неравенство является линейным, так как х входит в неравенство в первой степени.

Решением линейного неравенства является значение переменной х, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Возьмем неравенство 2х+5 > 0.

Подставим вместо х значение нуль. Получим 5 > 0. Это верное неравенство. Значит, х=0, является решением неравенства 2х+5>0.

Подставив вместо х значение -2,5, получим 0 > 0. Это неверное неравенство. Следовательно, х= -2,5 не является решением линейного неравенства 2х + 5>0. Подбирая значения х, можно найти еще несколько частных решений.

Найти все решения или доказать, что неравенство не имеет решений, означает решить линейное неравенство.

Неравенства, которые имеют одни и те же решения, называются равносильными.

При решении неравенств используют правила, применяя которые можно получить более простые для решения равносильные неравенства.

§ 2 Примеры решения линейных неравенств

Решим неравенство 2х+5>0. И первое правило, которое здесь можно использовать: если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство.

Разделим обе части неравенства на 2. Получим х > -2,5.

Ответ можно записать так: х > -2,5 или в виде числового промежутка

Результатом является положительно-направленный открытый луч.

Открытый, так как наше неравенство строгое, а значит, число -2,5 не включается в числовой промежуток.

Решим другое линейное неравенство 3х — 3 ≥ 7х — 15.

Так же, как при решении линейных уравнений, слагаемые с х перенесем влево, а числовые слагаемые — вправо. Не забудем при переносе поменять знаки слагаемых на противоположные. Исходя из первого правила, знак неравенства при этом не меняется.

Получим 3х — 7х ≥ -15 + 3 или -4х ≥ -12.

Далее используем третье правило: если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то жеотрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.

Разделим обе части неравенства на -4.

Получим х ≤ 3.

Покажем решение на оси х.

Результатом является отрицательно-направленный закрытый луч. Закрытый, так как наше неравенство нестрогое, а значит, число 3 включается в числовой промежуток.

Рассмотрим решение более сложного линейного неравенства

Используя второе правило, обе части неравенства умножим на число 15. Число 15 будет общим знаменателем дробей.

Умножим числители на дополнительные множители.

Получим неравенство 5х + 6х — 3 > 30х.

Используя правило один, перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые — вправо, поменяв знаки при переносе на противоположные.

Получим -19х > 3.

Применим правило три, разделим обе части неравенства на -19. В этом случае надо поменять знак неравенства на противоположный знак.

Покажем решение на оси х.

Результатом является открытый луч, потому что неравенство строгое, а значит, число не включается в числовой промежуток. Это отрицательно-направленный луч.

Решим следующее неравенство

Обе части неравенства умножим на 4.

Получим 5 — 2х ≤ 8х. Перенесем слагаемые с х влево, числовые слагаемые — вправо

2х — 8х ≤ -5 или -10х ≤-5.

Разделим обе части неравенства на -10. Это число отрицательное, по правилу 3 необходимо поменять знак неравенства на противоположный.

Получим х≥0,5.

Покажем решение на оси х.

Результатом является закрытый луч, так как неравенство нестрогое, а значит, число 0,5 включается в числовой промежуток. Это положительно-направленный луч.

При решении неравенств после преобразований может получиться так, что коэффициент при х равен нулю, например, 0∙х> b (или 0∙х

Решим неравенство 2(х + 8) -5х

Раскроем скобки 2х + 16 — 5х

Используя свойство один, перенесем слагаемые с х влево, а числа- вправо, получим 0∙х

Ответ: нет решения или пустое множество.

Решим другое неравенство х > х — 1.

Перенесем х справа налево, получим 0∙х > -1. При любом значении х неравенство обращается в неравенство 0 > -1. Это верное неравенство.

§ 3 Краткий итог урока

Важно запомнить:

Линейным неравенством называют неравенство вида aх+ b > 0 (или aх+ b

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

При решении линейных неравенств используют правила, позволяющие заменить данное неравенство на более простые для решения равносильные ему неравенства:

1) если член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;

2)если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства, то получим равносильное неравенство;

3) если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим равносильное неравенство.

Целью применения этих правил является приведение линейного неравенства к виду х > b/a или х

Решением линейного неравенства является числовой промежуток. Это может быть открытый или закрытый числовой луч, который может быть как

положительно-направленным, так и отрицательно-направленным.

Список использованной литературы:

  1. Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б., под редакцией Теляковского С.А. Алгебра: учебн. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 2013.
  2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина.
  3. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс.- М.: ВАКО, 2010.
  4. Алгебра 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой / Авт.-сост. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учитель, 2005.

Проще можно сказать, что это такие неравенства, в которых есть переменная только в первой степени, и она не находится в знаменателе дроби. {2}-8\) — есть переменная во второй степени, это

Решение линейных неравенств

Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.

Например, для неравенства \(x-2>0\) число \(5\) будет решением, т.к. при подстановке пятерки вместо икса мы получим верное числовое: \(3>0\). А вот число \(1\) решением не будет, так как при подстановке получится неверное числовое неравенство:\(-1>0\) . Но решением неравенства будут не только пятерка, но и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и еще бесконечное множество чисел: любое число, больше двойки.

Поэтому линейные неравенства не решают перебором и подстановкой значений. Вместо этого их с помощью приводят к одному из видов:

\(xc\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), где \(с\) — любое число

После чего ответ отмечается на числовой оси и записывается в виде (также называемого интервалом).

Вообще, если вы умеете решать , то и линейные неравенства вам под силу, потому что процесс решения очень схож. Есть лишь одно важное дополнение:

Пример. Решить неравенство \(2(x+1)-1Решение:

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

Особый случай №1: решение неравенства – любое число

В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.

Пример. Решить неравенство \(3(2x-1)+5Решение:

Ответ: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Особый случай №2: неравенство не имеет решений

Возможна и обратная ситуация, когда у линейного неравенства вообще нет решений, то есть никакой икс не сделает его верным. Например, \(x-2>x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.

Пример. Решить неравенство \(\frac{x-5}{2}\) \(>\) \(\frac{3x+2}{6}\) \(-1\)
Решение:

\(\frac{x-5}{2}\) \(>\) \(\frac{3x+2}{6}\) \(-1\)

Нам мешают знаменатели. Сразу же избавляемся от них, умножая всё неравенство на общий знаменатель всех , то есть – на 6

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac{3x+2}{6}\) \(-1\)\()\)

Раскроем скобки

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac{3x+2}{6}\) \(-6\)

Сократим то, что можно сократить

\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)

Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые

\(3x-15>3x-4\)


Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки

\(3x-3x>-4+15\)


Вновь приводим подобные слагаемые


Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет.

Ответ: \(x\in\varnothing\)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.



















Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: формирование навыков решения линейных неравенств.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Задачи урока:

  • Образовательные:
  1. вспомнить, что такое неравенство;
  2. вспомнить свойства числовых неравенств;
  3. выяснить с учащимися, что значит решить неравенство;
  4. ввести понятие линейного неравенства;
  5. познакомить учащихся с алгоритмом решения линейных неравенств.
  • Воспитательные:
    1. отработать навыки решения линейных неравенств, применяя алгоритм решения линейных неравенств.
  • Развивающие:
    1. развитие умения самостоятельно анализировать текст, добывать знания и делать выводы;
    2. развитие познавательного интереса;
    3. развитие мышления учащихся;
    4. развитие умений общаться в группах, сотрудничать и взаимообучать;
    5. развитие правильной речи учащихся.

    Ход урока

    1 этап. Мотивационный

    Учитель обращается к классу: «Серьезность изучаемых в школе предметов не мешает нам творчески переосмысливать новые знания. Думая о сегодняшнем уроке, я почти случайно зарифмовала свои размышления. Послушайте, что у меня получилось, и попробуйте определить тему урока».

    В математике — соотношенье между числами и выраженьями,
    В них и знаки для сравнения: меньше, больше иль равно?
    Я вам дам одну подсказку, вполне полезную возможно,
    Мир объединяет равенство, частица «не» указывает на …… (неравенство)

    Итак, тема урока «Неравенства ».

    2 этап. Изучение нового материала

    Стадия осмысления: (5 мин) (добывание учащимися знаний)

    (применяю прием маркировки текста «Инсерт» — учащиеся читают текст, вникают в него, делают специальные пометки)

    Отмечают «+» то, что им уже известно , «-» то, что новое, не знакомо .

    Текст

    Неравенство – это два числа или выражения, соединенные одним из знаков:

    • > (больше),
    • ≤ (меньше или равно),
    • ≥ (больше или равно),
    • ≠ (не равно).

    Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b , где а и b – любые числа, причем а 0 .

    Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, х + 5 Подставив вместо х значение 1 , получим 1+ 5 верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

    Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

    Свойства числовых неравенств:

    1. Если а > b и b > c, то а > с.
    2. Если а > b, то а + с > b + с.
    3. Если а > b и m > 0, то аm > bm;
      Если а > b и m
    4. Если а > b и с > d, то a + c > b + d.
    5. Если а > b и с > d, то ac > bd, где а, b, c, d – положительные числа.
    6. Если а > b, а и b – неотрицательные числа, то aⁿ > bⁿ , n – любое натуральное число.
    Алгоритм решения линейных неравенст Пример: решить неравенство
    5(х – 3) > 2х — 3
    1. Раскрыть скобки: 5х – 15 > 2х — 3
    2. Перенести все слагаемые с х влево, а числа вправо, меняя при этом знак на противоположный: 5х – 2х > -3 + 15
    3. Привести подобные слагаемые: 3х > 12
    4. Разделить обе части неравенства на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный): 3х > 12: 3
    х > 4
    5. Перейти от аналитической модели х > 4 к геометрической модели:
    6. Указать множество решений данного неравенства, записав ответ: Ответ: (4; +∞)

    Фаза рефлексии: (беседа с классом по вопросам)

    Учитель составляет «Кластер» на доске.

    1. Что из того, что вы прочитали, вам уже было знакомо?
    2. Что из того, что вы прочитали, оказалось новой информацией?
    3. А что вам напоминает алгоритм решения линейного неравенства? (решение линейного уравнения, за исключением создания геометрической модели и записи ответа)

    Судя по этой схеме, вы уже многое знаете о неравенствах, а сегодня на уроке мы расширим эти знания.

    3 этап. Закрепление нового материала (отработка навыков решения линейных неравенств)

    Стратегия «Зигзаг»: (в группе по 5 человек, 5 групп) отработка навыков решения линейных уравнений: каждый ученик получает свое неравенство, решает, применяя алгоритм решения линейного неравенства, затем обсуждение в группах и объяснение другим ученикам.

    1. Попытка решить самому!!! 5 мин

    Задание: Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой.

    №1. 17 – х > 2∙(5 – 3х)

    №2. 2∙(32 – 3х) ≥ 1- х

    №3. 8 + 5х ≤ 3∙(7 + 2х)

    №4. 2∙(0,1х – 1)

    №5. 5х + 2 ≤ 1 – 3∙(х + 2)

    2. Разбор задания в группе. 5 мин

    Переходят в экспертные группы с одинаковым заданием. Обсуждают решения, консультируют друг друга и исправляют свои ошибки, если они есть. Необходимо, чтобы каждый понял решение своего неравенства.

    Учитель выступает в роли консультанта.

    (Ученик сам – группа учеников – учитель)

    3. Взаимообучение. 5-7 мин Ученики возвращаются на свои места и рассказывают ход решения своего неравенства по очереди другим, идет запись в тетрадь неравенств.

    Задача группы: чтобы каждый овладел алгоритмом решения линейных неравенств.

    После того, как ученики готовы идет самопроверка нескольких неравенств через ИКТ, нескольких у доски.

    Обсуждение (беседа): Кто верно выполнил решение всех неравенств («один за всех и все за одного ») поднимите руку? Кто допустил ошибки? Где и почему?

    Если позволит время: для тех, кто не ошибся решить (или в качестве домашнего задания) творческое задание (одно на выбор) и сделать к нему соответствующий вывод:

    1) 2(х + 8) – 5х

    2)

    3) При каких значениях х двучлен 5х – 7 принимает положительные значения?

    4 этап. Подведение итогов

    Ребята! Чем мы на уроке занимались? Чему учились?

    Давайте вспомним: Что значит решить неравенство? Чем мы будем пользоваться при решении неравенства? (обратить еще раз внимание на алгоритм)

    Ребята! Как вы думаете, кто сегодня отличился на уроке? (оценивают себя сами)

    5 этап. Домашнее задание

    П.34 В программе для создания слайдов выполнить презентацию о неравенстве Коши.

    Хочу я вам дать совет:

    «Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий»

    А. И. Маркушевич

    Всем спасибо за урок! Желаю успехов!

    Что нужно знать о значках неравенств? Неравенства со значком больше (> ), или меньше () называются строгими. Со значками больше или равно (), меньше или равно () называются нестрогими. Значок не равно () стоит особняком, но решать примеры с таким значком тоже приходится постоянно. И мы порешаем.)

    Сам значок не оказывает особого влияния на процесс решения. А вот в конце решения, при выборе окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! Что мы и увидим ниже, на примерах. Есть там свои приколы…

    Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё просто, без фокусов. Скажем, 5 > 2 — верное неравенство. 5 2 — неверное.

    Такая подготовка работает для неравенств любого вида и проста до ужаса.) Нужно, всего лишь, правильно выполнять два (всего два!) элементарных действия. Эти действия знакомы всем. Но, что характерно, косяки в этих действиях — и есть основная ошибка в решении неравенств, да… Стало быть, надо повторить эти действия. Называются эти действия вот как:

    Тождественные преобразования неравенств.

    Тождественные преобразования неравенств очень похожи на тождественные преобразования уравнений. Собственно, в этом и есть основная проблема. Отличия проскакивают мимо головы и… приехали.) Поэтому я особо выделю эти отличия. Итак, первое тождественное преобразование неравенств:

    1. К обеим частям неравенства можно прибавить (отнять) одно и то же число, или выражение. Любое. Знак неравенства от этого не изменится.

    На практике это правило применяется как перенос членов из левой части неравенства в правую (и наоборот) со сменой знака. Со сменой знака члена, а не неравенства! Правило один в один совпадает с правилом для уравнений. А вот следующие тождественные преобразования в неравенствах существенно отличается от таковых в уравнениях. Поэтому я выделяю их красным цветом:

    2. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же положительное число. На любое положительное не изменится.

    3. Обе части неравенства можно умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число. На любое отрицательное число. Знак неравенства от этого изменится на противоположный.

    Вы помните (надеюсь…), что уравнение можно умножать/делить на что попало. И на любое число, и на выражение с иксом. Лишь бы не на ноль. Ему, уравнению, от этого ни жарко, ни холодно.) Не меняется оно. А вот неравенства более чувствительны к умножению/делению.

    Наглядный пример на долгую память. Напишем неравенство, не вызывающее сомнений:

    5 > 2

    Умножим обе части на +3, получим:

    15 > 6

    Возражения есть? Возражений нет.) А если умножим обе части исходного неравенства на -3, получим:

    15 > -6

    А это уже откровенная ложь. ) Полное враньё! Обман народа! Но стоит изменить знак неравенства на противоположный, как всё становится на свои места:

    15 -6

    Про враньё и обман — это я не просто так ругаюсь.) «Забыл сменить знак неравенства…» — это главная ошибка в решении неравенств. Это пустяковое и несложное правило стольких людей ушибло! Которые забыли…) Вот и ругаюсь. Может, запомнится…)

    Особо внимательные заметят, что неравенство нельзя умножать на выражение с иксом. Респект внимательным!) А почему нельзя? Ответ простой. Мы же не знаем знак этого выражения с иксом. Оно может быть положительное, отрицательное… Стало быть, мы не знаем, какой знак неравенства ставить после умножения. Менять его, или нет? Неизвестно. Разумеется, это ограничение (запрет умножения/деления неравенства на выражение с иксом) можно обойти. Если очень надо будет. Но это тема для других уроков.

    Вот и все тождественные преобразования неравенств. Ещё раз напомню, что они работают для любых неравенств. А теперь можно переходить к конкретным видам.

    Линейные неравенства. Решение, примеры.

    Линейными неравенствами называются неравенства, в которых икс находится в первой степени и нет деления на икс. Типа:

    х+3 > 5х-5

    Как решаются такие неравенства? Они решаются очень просто! А именно: с помощью сводим самое замороченное линейное неравенство прямо к ответу. Вот и всё решение. Главные моменты решения я буду выделять. Во избежание дурацких ошибок.)

    Решаем это неравенство:

    х+3 > 5х-5

    Решаем точно так же, как и линейное уравнение. С единственным отличием:

    Внимательно следим за знаком неравенства!

    Первый шаг самый обычный. С иксами — влево, без иксов — вправо… Это первое тождественное преобразование, простое и безотказное.) Только знаки у переносимых членов не забываем менять.

    Знак неравенства сохраняется:

    х-5х > -5-3

    Приводим подобные.

    Знак неравенства сохраняется:

    > -8

    Осталось применить последнее тождественное преобразование: разделить обе части на -4.

    Делим на отрицательное число.

    Знак неравенства изменится на противоположный:

    х 2

    Это ответ.

    Так решаются все линейные неравенства.

    Внимание! Точка 2 рисуется белой, т.е. незакрашенной. Пустой внутри. Это означает, что она в ответ не входит! Я её специально такой здоровой нарисовал. Такая точка (пустая, а не здоровая!)) в математике называется выколотой точкой.

    Остальные числа на оси отмечать можно, но не нужно. Посторонние числа, не относящиеся к нашему неравенству, могут и запутать, да… Нужно только помнить, что увеличение чисел идёт по стрелке, т.е. числа 3, 4, 5, и т.д. находятся правее двойки, а числа 1, 0, -1 и т.д. — левее.

    Неравенство х — строгое. Икс строго меньше двух. Если возникают сомнения, проверка простая. Подставляем сомнительное число в неравенство и размышляем: «Два меньше двух? Нет, конечно!» Именно так. Неравенство 2 неверное. Не годится двойка в ответ.

    А единичка годится? Конечно. Меньше же… И ноль годится, и -17, и 0,34… Да все числа, которые меньше двух — годятся! И даже 1,9999…. Хоть чуть чуть, да меньше!

    Вот и отметим все эти числа на числовой оси. Как? Тут бывают варианты. Вариант первый — штриховка. Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и видим, что заштрихована область всех иксов, подходящих под условие х . Вот и всё.

    Второй вариант рассмотрим на втором примере:

    х ≥ -0,5

    Рисуем ось, отмечаем число -0,5. Вот так:

    Заметили разницу?) Ну да, трудно не заметить… Эта точка — чёрная! Закрашенная. Это означает, что -0,5 входит в ответ. Здесь, кстати, проверка и смутить может кого-нибудь. Подставляем:

    -0,5 ≥ -0,5

    Как так? -0,5 никак не больше -0,5! А значок больше имеется…

    Ничего страшного. В нестрогом неравенстве годится всё, что подходит под значок. И равно годится, и больше годится. Следовательно, -0,5 в ответ включается.

    Итак, -0,5 мы отметили на оси, осталось ещё отметить все числа, которые больше -0,5. На этот раз я отмечаю область подходящих значений икса дужкой (от слова дуга ), а не штриховкой. Наводим курсор на рисунок и видим эту дужку.

    Особой разницы между штриховкой и дужками нет. Делайте, как учитель сказал. Если учителя нет — рисуйте дужки. В более сложных заданиях штриховка менее наглядна. Запутаться можно.

    Вот так рисуются линейные неравенства на оси. Переходим к следующей особенности неравенств.

    Запись ответа для неравенств.

    В уравнениях было хорошо.) Нашли икс, да и записали ответ, например: х=3. В неравенствах существуют две формы записи ответов. Одна — в виде окончательного неравенства. Хороша для простых случаев. Например:

    х

    Это полноценный ответ.

    Иногда требуется записать то же самое, но в другой форме, через числовые промежутки. Тогда запись начинает выглядеть очень научно):

    х ∈ (-∞; 2)

    Под значком скрывается слово «принадлежит».

    Читается запись так: икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до двух не включая . Вполне логично. Икс может быть любым числом из всех возможных чисел от минус бесконечности до двух. Двойкой икс быть не может, о чём нам и говорит слово «не включая».

    А где это в ответе видно, что «не включая» ? Этот факт отмечается в ответе круглой скобкой сразу после двойки. Если бы двойка включалась, скобка была бы квадратной. Вот такой: ]. В следующем примере такая скобка используется.

    Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:

    х ∈ [-0,5; +∞)

    Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.

    Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.

    Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но — именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.

    Популярные задания с неравенствами.

    Сами по себе линейные неравенства просты. Поэтому, частенько, задания усложняются. Так, чтобы подумать надо было. Это, если с непривычки, не очень приятно.) Но полезно. Покажу примеры таких заданий. Не для того, чтобы вы их выучили, это лишнее. А для того, чтобы не боялись при встрече с подобными примерами. Чуть подумать — и всё просто!)

    1. Найдите любые два решения неравенства 3х — 3

    Если не очень понятно, что делать, вспоминаем главное правило математики:

    Не знаешь, что нужно — делай, что можно!)

    х 1

    И что? Да ничего особенного. Что нас просят? Нас просят найти два конкретных числа, которые являются решением неравенства. Т.е. подходят под ответ. Два любых числа. Собственно, это и смущает.) Подходит парочка 0 и 0,5. Парочка -3 и -8. Да этих парочек бесконечное множество! Какой ответ правильный?!

    Отвечаю: все! Любая парочка чисел, каждое из которых меньше единицы, будет правильным ответом. Пишите, какую хотите. Едем дальше.

    2. Решить неравенство:

    4х — 3 0

    Задания в таком виде встречаются редко. Но, как вспомогательные неравенства, при нахождении ОДЗ, например, или при нахождении области определения функции, — встречаются сплошь и рядом. Такое линейное неравенство можно решать как обычное линейное уравнение. Только везде, кроме знака «=» (равно ) ставить знак «» (не равно ). Так к ответу и подойдёте, со знаком неравенства:

    х 0,75

    В более сложных примерах, лучше поступать по-другому. Сделать из неравенства равенство. Вот так:

    4х — 3 = 0

    Спокойно решить его, как учили, и получить ответ:

    х = 0,75

    Главное, в самом конце, при записи окончательного ответа, не забыть, что мы нашли икс, который даёт равенство. А нам нужно — неравенство. Стало быть, этот икс нам как раз и не нужен.) И надо записать его с правильным значком:

    х 0,75

    При таком подходе получается меньше ошибок. У тех, кто уравнения на автомате решает. А тем, кто уравнения не решает, неравенства, собственно, ни к чему…) Ещё пример популярного задания:

    3. Найти наименьшее целое решение неравенства:

    3(х — 1) 5х + 9

    Сначала просто решаем неравенство. Ракрываем скобки, переносим, приводим подобные… Получаем:

    х > — 6

    Не так получилось!? А за знаками следили!? И за знаками членов, и за знаком неравенства…

    Опять соображаем. Нам нужно найти конкретное число, подходящее и под ответ, и под условие «наименьшее целое». Если сразу не осеняет, можно просто взять любое число и прикинуть. Два больше минус шести? Конечно! А есть подходящее число поменьше? Разумеется. Например, ноль больше -6. А ещё меньше? Нам же самое маленькое из возможных надо! Минус три больше минус шести! Уже можно уловить закономерность и перестать тупо перебирать числа, правда?)

    Берём число поближе к -6. Например, -5. Ответ выполняется, -5 > — 6. Можно найти ещё число, меньше -5, но больше -6? Можно, например -5,5… Стоп! Нам сказано целое решение! Не катит -5,5! А минус шесть? Э-э-э! Неравенство строгое, минус 6 никак не меньше минус 6!

    Стало быть, правильный ответ: -5.

    Надеюсь, с выбором значения из общего решения всё понятно. Ещё пример:

    4. Решить неравенство:

    7 3х+1 13

    Во как! Такое выражение называется тройным неравенством. Строго говоря, это сокращённая запись системы неравенств. Но решать такие тройные неравенства всё равно приходится в некоторых заданиях… Оно решается безо всяких систем. По тем же тождественным преобразованиям.

    Надо упростить, довести это неравенство до чистого икса. Но… Что куда переносить!? Вот тут самое время вспомнить, что перенос влево-вправо, это сокращённая форма первого тождественного преобразования.

    А полная форма звучит вот как: К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить/отнять любое число, или выражение.

    Здесь три части. Вот и будем применять тождественные преобразования ко всем трём частям!

    Итак, избавимся от единички в средней части неравенства. Отнимем от всей средней части единичку. Чтобы неравенство не изменилось, отнимем единичку и от оставшихся двух частей. Вот так:

    7 -1 3х+1-1 13-1

    6 12

    Уже лучше, правда?) Осталось разделить все три части на тройку:

    2 х 4

    Вот и всё. Это ответ. Икс может любым числом от двойки (не включая) до четвёрки (не включая). Этот ответ тоже записывается через промежутки, такие записи будут в квадратных неравенствах. Там они — самое обычное дело.

    В конце урока повторю самое главное. Успех в решении линейных неравенств зависит от умения преобразовывать и упрощать линейные уравнения. Если при этом следить за знаком неравенства, проблем не будет. Чего я вам и желаю. Отсутствия проблем.)

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас. )

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

    Справочник по математикеАлгебраЛинейные функции,
    уравнения, неравенства
    Линейные уравнения
    Линейные неравенства
    Системы линейных неравенств

    Линейные уравнения

          Линейным уравнением относительно переменной   x   называется уравнение первой степени

    kx + b = 0 ,(1)

    где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

          В случае уравнение (1) имеет единственное решение при любом значении   b :

          В случае, когда  уравнение (1) решений не имеет.

          В случае, когда  k = 0,   b = 0, решением уравнения (1) является любое число

    Линейные неравенства

          Линейным неравенством относительно переменной   x   называется неравенство, принадлежащее к одному из следующих типов:

    где   k   и   b  – произвольные вещественные числа.

          Решая линейные, да и не только линейные, неравенства, следует помнить, что

    при умножении или делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется,

    а

    при умножении или делении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

          В соответствии с этим решение линейных неравенств, в зависимости от значений коэффициентов   k   и   b,   представлено в следующей Таблице 1.

          Таблица 1. – Решение неравенств первой степени (линейных неравенств)

     kx + b > 0kx + b < 0
    k > 0Знак неравенства сохраняется
    k = 0,
    b < 0
    k = 0,
    b = 0
    k = 0,
    b > 0
    k < 0Знак неравенства меняется на противоположный
    kx + b > 0kx + b < 0
    k > 0   Знак неравенства сохраняется
    k = 0,   b < 0
    k = 0,   b = 0
    k = 0,   b > 0
    k < 0   Знак неравенства меняется на противоположный
    k > 0
    Знак неравенства сохраняется

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    k = 0,   b < 0

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    k = 0,   b = 0

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    k = 0,   b > 0

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    k < 0
    Знак неравенства меняется на противоположный

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b > 0

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    Решение неравенства:

    Неравенство:

    kx + b < 0

    Решение неравенства:

    Системы линейных неравенств

          Рассмотрим решение систем линейных неравенств на примерах.

          Пример 1. Решить систему неравенств

          Решение. Решим каждое из неравенств системы:

          Изобразив на одной координатной прямой (рис. 1) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.

    Рис.1

          Ответ:

          Пример 2. Решить систему неравенств

          Решение. Решим каждое из неравенств системы:

          Изобразив на одной координатной прямой (рис. 2) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера.

    Рис.2

          Ответ:

          Пример 3. Решить систему неравенств

          Решение. Решим каждое из неравенств системы:

          Изобразив на одной координатной прямой (рис. 3) оба точечных множества, составляющих последнюю систему, получаем ответ примера

    Рис.3

          Ответ:

     

          На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Все целые решения неравенства. Линейные неравенства, примеры, решения

    Неравенство это выражение с, ≤, или ≥. Например, 3x — 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно. Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений . Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами .

    Линейные неравенства

    Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

    Принципы решения неравенств
    Для любых вещественных чисел a, b, и c :
    Принцип прибавления неравенств : Если a Принцип умножения для неравенств : Если a 0 верно, тогда ac Если a bc также верно.
    Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

    Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
    Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами .

    Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
    a) 3x — 5 b) 13 — 7x ≥ 10x — 4
    Решение
    Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
    Множество решений есть {x|x
    Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y 1 = 3x — 5 и y 2 = 6 — 2x. Тогда отсюда видно, что для x
    Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

    Двойные неравенства

    Когда два неравенства соединены словом и , или , тогда формируется двойное неравенство . Двойное неравенство, как
    -3 и 2x + 5 ≤ 7
    называется соединённым , потому что в нём использовано и . Запись -3 Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

    Пример 2 Решите -3 Решение У нас есть

    Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

    Для проверки, нарисуем y 1 = 2x — 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y 1 ≤ y 2 или y 1 > y 3 .

    Неравенства с абсолютным значением (модулем)

    Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
    Для а > 0 и алгебраического выражения x:
    |x| |x| > a эквивалентно x или x > a.
    Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

    Например,
    |x| |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
    и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

    Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
    a) |3x + 2| b) |5 — 2x| ≥ 1

    Решение
    a) |3x + 2|

    Множеством решением есть {x|-7/3
    b) |5 — 2x| ≥ 1
    Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] . Целые числа, которые входят в данный промежуток — это -3; -2; -1; 0; 1. Всего их 5.

    4) Сколько целых чисел являются решениями системы неравенств?

    Например, неравенством является выражение \(x>5\).

    Виды неравенств:

    Если \(a\) и \(b\) – это числа или , то неравенство называется числовым . Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные .

    Например:
    \(-5

    \(17+3\geq 115\) — неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).

    Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной . {5x-2}\)

    … и так далее.

    Что такое решение неравенства?

    Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

    Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется

    решением неравенства . Если же нет — то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

    Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.

    Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\). .. И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют Для нашего случая имеем:

    \(x+6>10\) \(|-6\)
    \(x>4\)

    То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми , дополнительно отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

    Ответ: \(x\in(4;+\infty)\)

    Когда в неравенстве меняется знак?

    В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

    При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

    Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

    \(3>1\) \(|\cdot2\)
    \(6>2\)

    Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

    \(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
    \(-9>-3\)

    Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9 С делением получится аналогично, можете проверить сами.

    Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

    Пример: Решить неравенство \(2(x+1)-1Решение:

    \(2x+2-1

    Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки

    \(2x-8x

    \(-6x

    Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять с «меньше» на «больше»

    Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство , поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем

    Запишем ответ в виде интервала

    Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)

    Неравенства и ОДЗ

    Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на , то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

    Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}

    Решение: Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:

    \(x+1 \(x

    Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

    \(\sqrt{-5+1} \(\sqrt{-4}

    Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

    \(x+1\geq0\)
    \(x\geq-1\)

    И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

    Ответ: \(\left[-1;8\right)\)

    После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Что такое линейное неравенство?

    В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

    Определение 1

    Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a · x + b > 0 , когда вместо > используется любой знак неравенства

    Определение 2

    Неравенства a · x c , с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной .

    Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0 , тогда строгое неравенство вида 0 · x > c и 0 · x

    Их различия заключаются в:

    • форме записи a · x + b > 0 в первом, и a · x > c – во втором;
    • допустимости равенства нулю коэффициента a , a ≠ 0 — в первом, и a = 0 — во втором.

    Считается, что неравенства a · x + b > 0 и a · x > c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0 · x + 5 > 0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а = 0 не подойдет.

    Определение 3

    Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x считаются неравенства вида a · x + b 0 , a · x + b ≤ 0 и a · x + b ≥ 0 , где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

    Исходя из правила, имеем, что 4 · x − 1 > 0 , 0 · z + 2 , 3 ≤ 0 , — 2 3 · x — 2 7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 называют сводящимися к линейному.

    Как решить линейное неравенство

    Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x , ≥) , p являющееся некоторым числом, при a ≠ 0 , а вида a , ≥) при а = 0 .

    Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

    Используя равносильные преобразования

    Чтобы решить линейное неравенство вида a · x + b , ≥) , необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

    Определение 4

    Алгоритм решение линейного неравенства a · x + b , ≥) при a ≠ 0

    • число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a · x , ≥) ;
    • будет производиться деление обеих частей неравенства на число не равное 0 . Причем, когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

    Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

    Пример 1

    Решить неравенство вида 3 · x + 12 ≤ 0 .

    Решение

    Данное линейное неравенство имеет a = 3 и b = 12 . Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

    Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3 · x ≤ − 12 . Необходимо произвести деление обеих частей на 3 . Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3 · x) : 3 ≤ (− 12) : 3 , что даст результат x ≤ − 4 .

    Неравенство вида x ≤ − 4 является равносильным. То есть решение для 3 · x + 12 ≤ 0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4 . Ответ записывается в виде неравенства x ≤ − 4 , или числового промежутка вида (− ∞ , − 4 ] .

    Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

    3 · x + 12 ≤ 0 ; 3 · x ≤ − 12 ; x ≤ − 4 .

    Ответ: x ≤ − 4 или (− ∞ , − 4 ] .

    Пример 2

    Указать все имеющиеся решения неравенства − 2 , 7 · z > 0 .

    Решение

    Из условия видим, что коэффициент a при z равняется — 2 , 7 , а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

    Производим деление обеих частей уравнения на число — 2 , 7 . Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (− 2 , 7 · z) : (− 2 , 7)

    Весь алгоритм запишем в краткой форме:

    − 2 , 7 · z > 0 ; z

    Ответ: z

    Пример 3

    Решить неравенство — 5 · x — 15 22 ≤ 0 .

    Решение

    По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x , которое равняется — 5 , с коэффициентом b , которому соответствует дробь — 15 22 . Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести — 15 22 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на — 5 , изменить знак неравенства:

    5 · x ≤ 15 22 ; — 5 · x: — 5 ≥ 15 22: — 5 x ≥ — 3 22

    При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 15 22: — 5 = — 15 22: 5 , после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число — 15 22: 5 = — 15 22 · 1 5 = — 15 · 1 22 · 5 = — 3 22 .

    Ответ: x ≥ — 3 22 и [ — 3 22 + ∞) .

    Рассмотрим случай, когда а = 0 . Линейное выражение вида a · x + b

    Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b

    Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0 · x + b , ≥) :

    Определение 5

    Числовое неравенство вида b , ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

    Пример 4

    Решить неравенство 0 · x + 7 > 0 .

    Решение

    Данное линейное неравенство 0 · x + 7 > 0 может принимать любое значение x . Тогда получим неравенство вида 7 > 0 . Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

    Ответ : промежуток (− ∞ , + ∞) .

    Пример 5

    Найти решение неравенства 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 .

    Решение

    При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид − 12 , 7 ≥ 0 . Оно является неверным. То есть 0 · x − 12 , 7 ≥ 0 не имеет решений.

    Ответ: решений нет.

    Рассмотрим решение линейных неравенств, где оба коэффициента равняется нулю.

    Пример 6

    Определить не имеющее решение неравенство из 0 · x + 0 > 0 и 0 · x + 0 ≥ 0 .

    Решение

    При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0 > 0 и 0 ≥ 0 . Первое является неверным. Значит, 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

    Ответ : неравенство 0 · x + 0 > 0 не имеет решений, а 0 · x + 0 ≥ 0 имеет решения.

    Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

    Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0 . Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

    Определение 6

    Метод интервалов – это:

    • введение функции y = a · x + b ;
    • поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
    • определение знаков для понятия их на промежутках.

    Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a · x + b , ≥) при a ≠ 0 с помощью метода интервалов:

    • нахождение нулей функции y = a · x + b , чтобы решить уравнение вида a · x + b = 0 . Если a ≠ 0 , тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х 0 ;
    • построение координатной прямой с изображением точки с координатой х 0 , при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
    • определение знаков функции y = a · x + b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
    • решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком,

    Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

    Пример 6

    Решить неравенство − 3 · x + 12 > 0 .

    Решение

    Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения − 3 · x + 12 = 0 . Получаем, что − 3 · x = − 12 , x = 4 . Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4 . Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

    Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (− ∞ , 4) , необходимо произвести вычисление функции y = − 3 · x + 12 при х = 3 . Отсюда получим, что − 3 · 3 + 12 = 3 > 0 . Знак на промежутке является положительным.

    Определяем знак из промежутка (4 , + ∞) , тогда подставляем значение х = 5 . Имеем, что − 3 · 5 + 12 = − 3

    Мы выполняем решение неравенства со знаком > , причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

    Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (− ∞ , 4) или x

    Ответ : (− ∞ , 4) или x

    Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0 , 5 · x − 1 0 и 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 . Их решениями будут значения x 2 и x ≥ 2 . Для этого изобразим график линейной функции y = 0 , 5 · x − 1 , приведенный ниже.

    Видно, что

    Определение 7

    • решением неравенства 0 , 5 · x − 1
    • решением 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 считается промежуток, где функция y = 0 , 5 · x − 1 ниже О х или совпадает;
    • решением 0 , 5 · x − 1 > 0 считается промежуток, гре функция располагается выше О х;
    • решением 0 , 5 · x − 1 ≥ 0 считается промежуток, где график выше О х или совпадает.

    Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y = a · x + b , а правая – y = 0 , причем совпадает с О х.

    Определение 8

    Построение графика функции y = a · x + b производится:

    • во время решения неравенства a · x + b
    • во время решения неравенства a · x + b ≤ 0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси О х или совпадает;
    • во время решения неравенства a · x + b > 0 производится определение промежутка, где график изображается выше О х;
    • во время решения неравенства a · x + b ≥ 0 производится определение промежутка, где график находится выше О х или совпадает.

    Пример 7

    Решить неравенство — 5 · x — 3 > 0 при помощи графика.

    Решение

    Необходимо построить график линейной функции — 5 · x — 3 > 0 . Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с О х — 5 · x — 3 > 0 получим значение — 3 5 . Изобразим графически.

    Решение неравенства со знаком > , тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше О х. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

    Необходимый промежуток является частью О х красного цвета. Значит, открытый числовой луч — ∞ , — 3 5 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки — 3 5 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с О х.

    Ответ : — ∞ , — 3 5 или x

    Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y = 0 · x + b , то есть y = b . Тогда прямая будет параллельна О х или совпадающей при b = 0 . Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

    Пример 8

    Определить из неравенств 0 · x + 7

    Решение

    Представление y = 0 · x + 7 является y = 7 , тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной О х и находящейся выше О х. Значит, 0 · x + 7

    График функции y = 0 · x + 0 , считается y = 0 , то есть прямая совпадает с О х. Значит, неравенство 0 · x + 0 ≥ 0 имеет множество решений.

    Ответ : второе неравенство имеет решение при любом значении x .

    Неравенства, сводящиеся к линейным

    Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

    Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5 − 2 · x > 0 , 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x , x — 3 5 — 2 · x + 1 > 2 7 · x .

    Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

    При сведении неравенства 5 − 2 · x > 0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид − 2 · x + 5 > 0 , а для приведения второго получаем, что 7 · (x − 1) + 3 ≤ 4 · x − 2 + x . Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

    7 · x − 7 + 3 ≤ 4 · x − 2 + x 7 · x − 4 ≤ 5 · x − 2 7 · x − 4 − 5 · x + 2 ≤ 0 2 · x − 2 ≤ 0

    Это приводит решение к линейному неравенству.

    Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

    Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

    Определение 9

    • раскрыть скобки;
    • слева собрать переменные, а справа числа;
    • привести подобные слагаемые;
    • разделить обе части на коэффициент при x .

    Пример 9

    Решить неравенство 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1 .

    Решение

    Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x − 18 + 1 . После приведения подобных слагаемых имеем, что 6 · x + 15 ≤ 6 · x − 17 . После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6 · x + 15 − 6 · x + 17 ≤ 0 . Отсюда имеет неравенство вида 32 ≤ 0 из полученного при вычислении 0 · x + 32 ≤ 0 . Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

    Ответ : нет решений.

    Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 5 2 · x − 1 ≥ 1 является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2 · x − 1 ≥ 0 . Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Предварительные сведения

    Определение 1

    Неравенство вида $f(x) >(≥)g(x)$, в котором $f(x)$ и $g(x)$ будут являться целыми рациональными выражениями, называется целым рациональным неравенством.

    Примерами целых рациональных неравенств являются линейные, квадратные, кубические неравенства с двумя переменными.

    Определение 2

    Значение $x$, при котором выполняется неравенство из определения $1$, называется корнем уравнения.

    Пример решения таких неравенств:

    Пример 1

    Решить целое неравенство $4x+3 >38-x$.

    Решение.

    Упростим данное неравенство:

    Получили линейное неравенство. Найдем его решение:

    Ответ: $(7,∞)$.

    В данной статье мы рассмотрим следующие способы решения целых рациональных неравенств.

    Способ разложения на множители

    Данный способ будет заключаться в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Данное уравнение приводится к виду $φ(x)=0$ (где $φ(x)=f(x)-g(x)$). Затем функция $φ(x)$ раскладывается на множители с минимально возможными степенями. Применяется правило: Произведение многочленов равняется нулю, когда один из них равняется нулю. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. 2+3=0$

    $x=-2$ и «корней нет»

    Изобразим кривую знаков:

    Так как в начальном неравенстве знак «больше или равно», то получаем

    Ответ: $(-∞,-2]$.

    Способ введения новой переменной

    Такой способ состоит в следующем: Записывается уравнение вида $f(x)=g(x)$. Решаем его следующим образом: введем такую новую переменную, чтобы получить уравнение, способ решения которого уже известен. Его, впоследствии, решаем и возвращаемся к замене. Из нее и найдем решение первого уравнения. Далее найденные корни отмечаются на числовой прямой и строится кривая знаков. В зависимости от знака начального неравенства записывается ответ.

    Алгебра 7-9 классы. 26. Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

    Подробности
    Категория: Алгебра 7-9 классы

     

     

     РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

     

    Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств помогут нам решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.

     

    Рассмотрим, например, неравенство

    2х + 5 < 7.

    Подставив вместо х значение 0, получим 5 < 7 — верное неравенство; значит, х = 0 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 1, получим 7 < 7 — неверное неравенство; поэтому х = 1 не является решением данного неравенства. Подставив вместо х значение -3, получим -6 + 5 < 7, т.е. — 1 < 7 — верное неравенство; следовательно, х = -3 — решение данного неравенства. Подставив вместо х значение 2,5, получим 2 — 2,5 + 5 < 7, т. е. 10 < 7 — неверное неравенство. Значит, х = 2,5 не является решением неравенства.

     

    Но вы же понимаете, что это — тупиковый путь: ни один математик не станет так решать неравенство, ведь все числа невозможно перебрать! Вот тут-то и нужно использовать свойства числовых неравенств, рассуждая следующим образом.

    Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7 — верное числовое неравенство. Но тогда и 2х + 5 — 5< 7 — 5 — верное неравенство (согласно свойству 2: к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число — 5). Получили более простое неравенство 2х < 2. Разделив обе его части на положительное число 2, получим (на основании свойства 3) верное неравенство х < 1.

    Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Эти числа заполняют открытый луч (-∞, 1). Обычно говорят, что этот луч — решение неравенства 2х + 5 < 7 (точнее было бы говорить о множестве решений, но математики, как всегда, экономны в словах). Таким образом, можно использовать два варианта записи решений данного неравенства: х < 1 или (-∞, 1).

    Свойства числовых неравенств позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

     

    Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.

    Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.

     

    Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

     

    Применим эти правила для решения линейных неравенств, т. е. неравенств, сводящихся к виду ах + b > 0 (или ах + b < 0),

    где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.

    Пример 1.

    Решить неравенство Зх — 5 ≥ 7х — 15.

    Р е ш е н и е.

    Перенесем член в левую часть неравенства, а член — 5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена , и у члена -5 (руководствуемся правилом 1). Тогда получим

    Зх — 7х ≥ — 15 + 5, т. е. — 4х ≥ — 10.

    Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число — 4, не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3). Получим х < 2,5. Это и есть решение заданного неравенства.

    Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞, 2,5].

    О т в е т: х < 2,5, или (-∞, 2,5].

     

    Для неравенств, как и для уравнений, вводится понятие равносильности. Два неравенства f(x) < g(x) и r(x) < s(x) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (или, в частности, если оба неравенства не имеют решений).

    Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства. Эти преобразования как раз и указаны в сформулированных выше правилах 1—3.

     

    Пример 2.

    Решить неравенство

    Р е ш е н и е.

    Умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения (правило 2), Это позволит нам освободиться от знаменателей, т. е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:

    Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:

     

    Наконец, применив правило 3, получим

    О т в е т: или

     

    В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств, мы, конечно, сможем решить не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ах > b (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства, строгого или нестрогого).

     

    Алгебра — линейные неравенства

    Онлайн-заметки Пола
    Главная / Алгебра / Решение уравнений и неравенств / Линейные неравенства

    Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

    Мобильное уведомление

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 2-11: Линейные неравенства

    До сих пор в этой главе мы сосредоточились на решении уравнений. Настало время немного переключиться и начать думать о решении неравенства. Прежде чем мы приступим к решению неравенств, мы должны сначала пройтись по паре основ.

    На данном этапе вашей математической карьеры предполагается, что вы знаете, что

    \[а <б\]

    означает, что \(a\) — это некоторое число, которое строго меньше, чем \(b\). Также предполагается, что вы знаете, что

    \[а \ge б\]

    означает, что \(a\) — это некоторое число, которое либо строго больше, чем \(b\), либо точно равно \(b\). Точно так же предполагается, что вы знаете, как поступить с оставшимися двумя неравенствами. > (больше) и \( \le \) (меньше или равно).

    Мы хотим обсудить некоторые проблемы с обозначениями и некоторые тонкости, которые иногда достаются студентам, когда они действительно начинают работать с неравенствами.

    Во-первых, помните, что когда мы говорим, что \(a\) меньше, чем \(b\), мы имеем в виду, что \(a\) находится слева от \(b\) на числовой прямой. Итак,

    \[- 1000 < 0\]

    — истинное неравенство.

    Далее не забудьте правильно интерпретировать \( \le \) и \( \ge \). Оба следующих неравенства являются истинными.

    \[4 \le 4\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} — 6 \le 4\]

    В первом случае 4 равно 4 и, следовательно, «меньше или равно» 4. Во втором случае -6 строго меньше 4 и, следовательно, «меньше или равно» 4. Наиболее распространенная ошибка состоит в том, чтобы решить, что первое неравенство не является истинным неравенством. Также будьте осторожны, чтобы не использовать эту интерпретацию и не переводить ее в < и/или >. Например,

    \[4 < 4\]

    не является истинным неравенством, поскольку 4 равно 4 и строго не меньше 4.

    Наконец, в этом и последующих разделах мы будем встречать много двойных неравенств , так что мы не можем забыть о них. Далее следует двойное неравенство.

    \[ — 9 < 5 \le 6\]

    В двойном неравенстве мы говорим, что оба неравенства должны быть верны одновременно. В этом случае 5 определенно больше, чем -9и в то же время меньше или равно 6. Следовательно, это двойное неравенство является истинным неравенством.

    С другой стороны,

    \[10 \le 5 < 20\]

    не является истинным неравенством. Хотя верно, что 5 меньше 20 (поэтому верно второе неравенство), неверно, что 5 больше или равно 10 (поэтому первое неравенство неверно). Если хотя бы одно из неравенств двойного неравенства неверно, то неверно и все неравенство. Этот момент важнее, чем вы можете себе представить на данный момент. В следующем разделе мы столкнемся с ситуациями, когда многие студенты пытаются объединить два неравенства в двойное неравенство, которое просто невозможно объединить, поэтому будьте осторожны.

    Следующей темой, которую нам нужно обсудить, является идея записи интервалов . Интервальное обозначение — очень удобное сокращение для неравенств, и оно будет широко использоваться в следующих нескольких разделах этой главы.

    Лучший способ определить обозначение интервала — это следующая таблица. В таблице три столбца. Каждая строка содержит неравенство, график, представляющий неравенство, и, наконец, обозначение интервала для данного неравенства.

    Помните, что квадратная скобка «[» или «]» означает, что мы включаем конечную точку, а скобка «(» или «)» означает, что мы не включаем конечную точку.

    Теперь, с первыми четырьмя неравенствами в таблице, обозначение интервала на самом деле не что иное, как график без числовой линии на нем. С последними четырьмя неравенствами обозначение интервала является почти графом, за исключением того, что нам нужно добавить соответствующую бесконечность, чтобы убедиться, что мы получили правильную часть числовой прямой. Также обратите внимание, что бесконечность НИКОГДА не ставится в скобки. Они получают только скобки.

    Прежде чем перейти к решению неравенств, необходимо сделать одно последнее замечание по поводу записи интервалов. Всегда помните, что когда мы пишем интервальную нотацию для неравенства, число слева должно быть меньшим из двух.

    Пришло время подумать о решении линейных неравенств. При решении неравенств мы будем использовать следующий набор фактов. Обратите внимание, что факты приведены для <. Однако мы можем записать эквивалентный набор фактов для оставшихся трех неравенств.

    1. Если \(a < b\), то \(a + c < b + c\) и \(a - c < b - c\) для любого числа \(c\). Другими словами, мы можем прибавить или вычесть число к обеим частям неравенства, но само неравенство не изменится.
    2. Если \(a < b\) и \(c > 0\), то \(ac < bc\) и \(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\). Таким образом, при условии, что \(c\) является положительным числом, мы можем умножить или разделить обе части неравенства на число без изменения неравенства.
    3. Если \(a < b\) и \(c < 0\), то \(ac > bc\) и \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\). В этом случае, в отличие от предыдущего факта, если \(c\) отрицательно, нам нужно изменить направление неравенства, когда мы умножаем или делим обе части неравенства на \(c\).

    Это почти те же факты, которые мы использовали для решения линейных уравнений. Единственным реальным исключением является третий факт. Это важный факт, так как его чаще всего неправильно используют и/или забывают при решении неравенств.

    Если вы не уверены, что считаете, что знак \(c\) имеет значение для второго и третьего фактов, рассмотрите следующий пример числа.

    \[ — 3 < 5\]

    Надеюсь, мы все согласимся, что это истинное неравенство. Теперь умножьте обе части на 2 и на -2.

    \[\begin{align*}- 3 & < 5\hspace{0.5in} & - 3 & < 5\\ - 3\left( 2 \right) & < 5\left( 2 \right)\hspace{0.5 in} & - 3\left( { - 2} \right) & > 5\left( { — 2} \right)\\ — 6 & < 10 \hspace{0.5in} & 6 & > — 10\end{ выровнять*}\]

    Действительно, при умножении на положительное число направление неравенства остается прежним, однако при умножении на отрицательное число направление неравенства меняется.

    Хорошо, давайте решим некоторые неравенства. Мы начнем с неравенств, которые содержат только одно неравенство. Другими словами, мы отложим решение двойных неравенств до следующего набора примеров.

    Здесь нужно помнить, что мы просим определить все значения переменной, которые мы можем подставить в неравенство и получить истинное неравенство. Это означает, что наши решения в большинстве случаев будут сами неравенствами.

    Пример 1 Решение следующих неравенств. Приведите решение в форме неравенства и интервальной записи.

    1. \( — 2\влево( {m — 3} \вправо) < 5\влево( {m + 1} \вправо) - 12\)
    2. \(2\влево( {1 — x} \вправо) + 5 \le 3\влево( {2x — 1} \вправо)\)

    Показать все решения Скрыть все решения

    Показать обсуждение

    Решение одиночных линейных неравенств происходит почти так же, как и решение линейных уравнений. Мы упростим обе стороны, получим все члены с переменной с одной стороны и числами с другой, а затем умножим/разделим обе части на коэффициент переменной, чтобы получить решение. Единственное, что вы должны помнить, это то, что если вы умножаете/делите на отрицательное число, вы меняете направление неравенства.

    a \( — 2\влево( {m — 3} \вправо) < 5\влево( {m + 1} \вправо) - 12\) Показать решение

    Здесь действительно нечего делать, кроме как следовать описанному выше процессу.

    \[\begin{align*} — 2\left( {m — 3} \right) & < 5\left( {m + 1} \right) - 12\\ - 2m + 6 & < 5m + 5 - 12 \\ - 7 м & < - 13\\ м & > \frac{{13}}{7}\end{align*}\]

    Вы уловили тот факт, что здесь изменилось направление неравенства, не так ли? Мы разделили на «-7», поэтому нам пришлось изменить направление. Форма неравенства решения: \(m > \frac{{13}}{7}\). Обозначение интервала для этого решения: \(\left({\frac{{13}}{7},\infty} \right)\).

    b \(2\left( {1 — x} \right) + 5 \le 3\left( {2x — 1} \right)\) Показать решение

    Опять же, здесь особо нечего делать.

    \[\begin{align*}2\left( {1 — x} \right) + 5 & \le 3\left( {2x — 1} \right)\\ 2 — 2x + 5 & \le 6x — 3 \\ 10 & \le 8x\\ \frac{{10}}{8} & \le x\\ \frac{5}{4} & \le x\end{align*}\]

    Теперь, с этим неравенством, мы получили переменную с правой стороны, хотя более традиционно с левой стороны. Итак, давайте поменяем местами, чтобы переменная оказалась слева. Обратите внимание, однако, что нам нужно будет также изменить направление неравенства, чтобы убедиться, что мы не изменим ответ. Итак, вот запись неравенства для неравенства.

    \[x \ge \frac{5}{4}\]

    Обозначение интервала для решения: \(\left[ {\frac{5}{4},\infty} \right)\).

    Теперь решим двойные неравенства. Этот процесс в чем-то похож на решение одиночных неравенств, но в чем-то он сильно отличается. Поскольку есть два неравенства, нет никакого способа получить переменные «с одной стороны» неравенства, а числа — с другой. Легче увидеть, как они работают, если мы сделаем пример или два, поэтому давайте сделаем это.

    Пример 2. Решите каждое из следующих неравенств. Приведите решения в форме неравенства и интервала.

    1. \( — 6 \le 2\влево( {x — 5} \вправо) < 7\)
    2. \( — 3 < \frac{3}{2}\left( {2 - x} \right) \le 5\)
    3. \( — 14 < - 7\влево( {3x + 2} \вправо) < 1\)

    Показать все решения Скрыть все решения

    a \( — 6 \le 2\left( {x — 5} \right) < 7\) Показать решение

    Этот процесс очень похож на процесс для одиночных неравенств, но сначала нам нужно быть осторожным в нескольких местах. Нашим первым шагом в этом случае будет удаление скобок в среднем термине.

    \[ — 6 \le 2x — 10 < 7\]

    Теперь нам нужен \(x\) сам по себе в среднем члене и только числа в двух внешних терминах. Для этого мы будем складывать/вычитать/умножать/разделять по мере необходимости. Единственное, что нам нужно помнить, это то, что если мы делаем что-то со средним термином, нам нужно сделать то же самое с ОБОИМИ терминами. Одна из наиболее распространенных ошибок на этом этапе — добавить что-то, например, в середину и добавить это только к одной из двух сторон.

    Хорошо, мы добавим 10 ко всем трем частям, а затем разделим все три части на два.

    \[\begin{array}{c} 4 \le 2x < 17\\ 2 \le x < \displaystyle \frac{{17}}{2}\end{array}\]

    Это ответ в форме неравенства. Интервальная форма записи ответа: \(\left[ {2,\frac{{17}}{2}} \right)\).

    b \( — 3 < \frac{3}{2}\left( {2 - x} \right) \le 5\) Показать решение

    В этом случае первое, что нам нужно сделать, это очистить дроби, умножив все три части на 2. Затем мы действуем так же, как и в первой части.

    \[\begin{array}{c} — 6 < 3\left( {2 - x} \right) \le 10\\ - 6 < 6 - 3x \le 10\\ - 12 < - 3x \le 4\ конец {массив}\]

    Здесь мы еще не совсем закончили, но нам нужно быть очень осторожными со следующим шагом. На этом шаге нам нужно разделить все три части на -3. Однако помните, что всякий раз, когда мы делим обе части неравенства на отрицательное число, нам нужно изменить направление неравенства. Для нас это означает, что оба неравенства должны изменить направление здесь.

    \[4 > х \ge — \frac{4}{3}\]

    Итак, решение имеет форму неравенства. Нам нужно быть осторожными с обозначением интервала для решения. Во-первых, запись интервала НЕ \(\left( {4, — \frac{4}{3}} \right]\). Помните, что в записи интервала меньшее число всегда должно идти слева! Следовательно, правильное обозначение интервала для решения: \(\left[ { — \frac{4}{3},4} \right)\).

    Обратите внимание, что это также совпадает с формой решения в виде неравенства. Неравенство говорит нам, что \(x\) — это любое число между 4 и \( — \frac{4}{3}\) или, возможно, \( — \frac{4}{3}\) само по себе, и это точно о чем говорит нам интервальное обозначение.

    Кроме того, неравенство можно перевернуть, чтобы получить меньшее число слева, если мы захотим. Вот эта форма,

    \[ — \frac{4}{3} \le x < 4\]

    При этом также убедитесь, что правильно обработаны неравенства.

    c \( — 14 < - 7\left( {3x + 2} \right) < 1\) Показать решение

    Не так уж и много. Мы поступим так же, как и с предыдущими двумя.

    \[\begin{array}{c} — 14 < - 21x - 14 < 1\\ 0 < - 21x < 15\end{массив}\]

    Не радуйтесь тому, что одна из сторон теперь равна нулю. Это не проблема. Опять же, как и в предыдущей части, мы будем делить на отрицательное число, поэтому не забудьте поменять направление неравенств.

    \[\begin{array}{c} \displaystyle 0 > x > — \frac{{15}}{{21}}\\ \displaystyle 0 > x > — \frac{5}{7}\hspace{0,25 in}{\mbox{OR}}\hspace{0,25in} — \frac{5}{7} < x < 0\end{массив}\]

    Для решения подойдет любое из неравенств во второй строке. Интервальное обозначение решения: \(\left( { — \frac{5}{7},0} \right)\).

    При решении двойных неравенств обязательно обращайте внимание на неравенства, которые есть в исходной задаче. Одна из наиболее распространенных ошибок здесь состоит в том, чтобы начать с задачи, в которой одно из неравенств равно < или >, а другое — \( \le \) или \( \ge \), как мы делали это в первых двух частях книги. предыдущий пример, а затем по окончательному ответу они оба < или > или они оба \( \le \) или \( \ge \). Другими словами, легко внезапно сделать оба неравенства одинаковыми. Будьте осторожны с этим.

    Последний пример, который мы хотим здесь обработать.

    Пример 3. Если \( — 1 < x < 4\), то определить \(a\) и \(b\) в \(a < 2x + 3 < b\).

    Показать решение

    Это проще, чем может показаться на первый взгляд. Все, что мы действительно собираемся сделать, это начать с заданного неравенства, а затем манипулировать средним членом, чтобы он выглядел как второе неравенство. Опять же, нам нужно помнить, что все, что мы делаем со средним термином, нам также нужно делать с двумя внешними терминами.

    Итак, сначала умножим все на 2.

    \[- 2 < 2x < 8\]

    Теперь прибавьте ко всему 3.

    \[1 < 2x + 3 < 11\]

    Теперь у нас есть средний член, идентичный второму неравенству в условии задачи, поэтому все, что нам нужно сделать, это выбрать \(a\) и \(b\). Из этого неравенства видно, что \(a = 1\) и \(b = 11\).

    Решение неравенств

    Иногда нам нужно решить такие неравенства:

    Символ

    Слова

    Пример

    >

    больше

    х + 3 > 2

    <

    меньше

    7x < 28

    больше или равно

    5 х — 1

    меньше или равно

    2 года + 1 7

    Решение

    Наша цель состоит в том, чтобы иметь x (или любую другую переменную) саму по себе слева от знака неравенства:

    Что-то вроде:   х < 5
    или:   г ≥ 11

    Мы называем это «решенным».

    Пример: x + 2 > 12

    Вычесть 2 с обеих сторон:

    x + 2 − 2 > 12 − 2

    Упростить:

    x > 10

    Решено!

    Как решать

    Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …

    … но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .


    Направление: Куда «указывает» стрелка

    Некоторые вещи могут изменить направление !

    < становится >

    > становится <

    ≤ становится ≥

    ≥ становится ≤

    Безопасные действия

    Эти вещи не влияют на направление неравенства номер с обеих сторон

  • Умножить (или разделить) обе части на положительное число
  • Упростить сторону
  • Пример: 3x

    < 7+3

    Мы можем упростить 7+3, не затрагивая неравенство:

    3x < 10

    Но эти вещи меняют направление неравенства («<" становится ">» например):

    • Умножить ( или разделить) обе стороны на отрицательное число
    • Замена левой и правой сторон

    Пример: 2y+7

    < 12

    Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

    12 > 2y+7

    Вот подробности:

    Добавление или вычитание значения

    Мы часто можем решать неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (так же, как во Введении в алгебру), например:

    Пример: x + 3

    < 7

    Если вычесть 3 из обеих частей, мы получим:

    x + 3 − 3 < 7 − 3    

    х < 4

    И это наше решение: x < 4

    Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

     

    Что мы сделали?

    Мы пошли от этого:

     

    Сюда:

       

    х+3 < 7

     

    х < 4

             

    И это хорошо работает для прибавляя и вычитая , потому что если мы прибавим (или вычтем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не повлияет на неравенство

    Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли. Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекса все равно будет больше монет, чем у Билли.

    Что, если я решу задачу, но «x» окажется справа?

    Неважно, просто поменяйте местами стороны, но перевернет знак , чтобы он по-прежнему «указывал» на правильное значение!

    Пример: 12

    < x + 5

    Если вычесть 5 из обеих частей, мы получим:

    12 − 5 < x + 5 − 5    

    7 < x

    900 решение!

    Но нормально ставить «х» слева…

    … так что перевернём стороны (и знак неравенства!):

    x > 7

    Видите, как знак неравенства по-прежнему «указывает» на меньшее значение (7) ?

    Вот наше решение: x > 7

    Примечание: «x» может быть справа, но людям обычно нравится видеть его слева.

    Умножение или деление на значение

    Еще одна вещь, которую мы делаем, это умножение или деление обеих частей на значение (так же, как в Алгебре — Умножение).

    Но нам нужно быть немного осторожнее (как вы увидите).


    Положительные значения

    Все в порядке, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :

    Пример: 3y

    < 15

    Если мы разделим обе части на 3, мы получим:

    3y 3

    / 1 < 15 /3

    y < 5

    И это наше решение: y < 5


    Отрицательные значения

    0

    0
    Когда мы умножаем или делим на отрицательное число
    мы должны обратить неравенство.

    Почему?

    Ну, вы только посмотрите на числовой ряд!

    Например, от 3 до 7 это увеличение ,
    , а от -3 до -7 это уменьшение.

    −7 < −3 7 > 3

    Видите, как меняется знак неравенства (с < на >)?

    Рассмотрим пример:

    Пример: −2y

    < −8

    Разделим обе части на −2 . .. и обратим неравенство !

    −2y < −8

    −2y /−2 > −8 /−2

    y > 4

    Я перевернул неравенство в той же строке Я разделил на отрицательное число.)

    Итак, просто запомните:

    При умножении или делении на отрицательное число инвертировать неравенство

    Умножение или деление на переменные

    Вот еще один (хитрый!) пример:

    Пример: bx

    < 3b

    Кажется, просто разделить обе части на b , что дает нам:

    x < 3

    … но подождите … если b равно отрицательному , нам нужно обратить неравенство следующим образом:

    x > 3

    Но мы не знаем, является ли b положительным или отрицательным, поэтому мы не можем ответить на этот !

    Чтобы помочь вам понять, представьте себе замену b на 1 или −1 в примере bx < 3b :

    • , если b равно 1 , тогда ответ будет 90 5 9 9 2 2 2 < 1 3
    • , но если b равно −1 , то мы решаем −x < −3 , и ответ равен x > 3
    • .

    Ответ может быть x < 3 или x > 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .

    Так:

    Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если только вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).

    Большой пример

    Пример:

    x−3 2 < −5

    Во-первых, давайте удалим «/2», умножив обе части на 2.

    Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенство не изменится.

    x−3 2 ×2 < −5 ×2  

    x−3 < −10

    Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам: 1 − 0 2 1 − 2 +

    x + 3    

    x < −7

    Вот и наше решение: x < −7

    Сразу два неравенства!

    Как мы можем решить что-то с двумя неравенствами сразу?

    Пример:

    −2 < 6−2x 3 < 4

    Сначала удалим «/3», умножив каждую часть на 3.

    Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не t change:

    −6 < 6−2x < 12

    Теперь вычтем 6 из каждой части:

    −12 < −2x < 6

    Теперь разделим каждую часть на 2 (положительное число, так что снова неравенства не меняются):

    −6 < −x < 3

    Теперь умножь каждую часть на −1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства меняют направление .

    6 > x > −3

    И это решение!

    Но для аккуратности лучше иметь меньший номер слева, больший справа. Итак, поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):

    −3 < x < 6

     

    Резюме

    • Многие простые неравенства можно решить путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих сторон до тех пор, пока у вас не останется переменная сама по себе.
    • Но эти вещи изменят направление неравенства:
      • Умножение или деление обеих частей на отрицательное число
      • Замена левой и правой сторон
    • Не умножать и не делить на переменная (если вы не знаете, что она всегда положительная или всегда отрицательная)

     

    2.

    7 Решение линейных неравенств — Элементарная алгебра 2e

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Наносить графические неравенства на числовую прямую
    • Решите неравенства, используя свойства вычитания и сложения неравенства
    • Решите неравенства, используя свойства деления и умножения неравенства
    • Решите неравенства, требующие упрощения
    • Переведите в неравенство и решите

    Приготовься 2.18

    Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

    Перевод с алгебраического на английский: 15>x15>x.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.12.

    Приготовься 2.19

    Решите: n−9=−42.n−9=−42.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.3.

    Приготовься 2.20

    Решите: −5p=−23,−5p=−23.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.13.

    Приготовься 2.

    21

    Решите: 3а-12=7а-20,3а-12=7а-20.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.34.

    Графические неравенства на числовой прямой

    Вы помните, что означает, что число является решением уравнения? Решением уравнения является значение переменной, которое дает истинное утверждение при подстановке в уравнение.

    Как насчет решения неравенства? Какое число сделает неравенство x>3x>3 верным? Вы думаете, ‘ x может быть 4’? Это верно, но x может быть и 5, и 20, и даже 3,001. Любое число больше 3 является решением неравенства x>3x>3.

    Мы показываем решения неравенства x>3x>3 на числовой прямой, заштриховывая все числа справа от 3, чтобы показать, что все числа больше 3 являются решениями. Поскольку число 3 само по себе не является решением, мы поместили число 3 в открытую скобку. График x>3x>3 показан на рис. 2.7. Обратите внимание, что используется следующее соглашение: светло-синие стрелки указывают в положительном направлении, а темно-синие стрелки указывают в отрицательном направлении.

    Рисунок 2,7 На этой числовой прямой изображено неравенство x>3x>3.

    График неравенства x≥3x≥3 очень похож на график x>3x>3, но теперь нам нужно показать, что 3 тоже является решением. Мы делаем это, помещая скобку в точку x=3x=3, как показано на рис. 2.8.

    Рисунок 2,8 Неравенство x≥3x≥3 изображено на этой числовой прямой.

    Обратите внимание, что символ открытой скобки (, показывает, что конечная точка неравенства не включена. Символ открытой скобки [ показывает, что конечная точка включена.

    Пример 2,66

    График на числовой прямой:

    ⓐ x≤1x≤1 ⓑ x<5x<5 ⓒ x>−1x>−1

    Решение
    1. ⓐ x≤1x≤1
      Это означает, что все числа меньше или равны 1. Мы заштриховали все числа на числовой строке слева от 1 и поставили квадратную скобку на x=1x=1, чтобы показать, что это включены.
    2. ⓑ x<5x<5
      Это означает, что все числа меньше 5, но не включая 5. Мы заштриховываем все числа на числовой строке слева от 5 и помещаем скобки на x=5x=5, чтобы показать, что это не включено.
    3. ⓒ x>-1x>-1
      Это означает, что все числа больше -1-1, но не включая -1-1. Мы заштриховываем все числа на числовой прямой справа от -1-1, затем помещаем круглую скобку в точку x=-1x=-1, чтобы показать, что она не включена.

    Попытайся 2.131

    График на числовой прямой: ⓐ x≤−1x≤−1 ⓑ x>2x>2 ⓒ x<3x<3

    Попытайся 2.132

    График на числовой прямой: ⓐ x>−2x>−2 ⓑ x<−3x<−3 ⓒ x≥−1x≥−1

    Мы также можем представить неравенства, используя интервальную нотацию . Как мы видели выше, неравенство x>3x>3 означает, что все числа больше 3. У решения этого неравенства нет верхнего предела. В интервальных обозначениях мы выражаем x>3x>3 как (3,∞).(3,∞). Символ ∞∞ читается как «бесконечность». Это не настоящее число. На рис. 2.9 показаны как числовая линия, так и интервальная запись.

    Рисунок 2,9 Неравенство x>3x>3 изображено на этой числовой прямой и записано в интервальной записи.

    Неравенство x≤1x≤1 означает, что все числа меньше или равны 1. У этих чисел нет нижнего конца. Мы пишем x≤1x≤1 в записи интервала как (−∞,1](−∞,1]. Символ −∞−∞ читается как «отрицательная бесконечность». На рис. 2.10 показаны как числовая прямая, так и запись интервала.

    Рисунок 2.10 Неравенство x≤1x≤1 изображено на этой числовой прямой и записано в интервальной записи.

    Неравенства, числовые линии и запись интервалов

    Вы заметили, что круглая или квадратная скобка в обозначении интервала соответствует символу в конце стрелки? Эти отношения показаны на рис. 2.11.

    Рисунок 2.11 В обозначениях неравенств на числовой прямой и в обозначениях интервалов используются аналогичные символы для обозначения конечных точек интервалов.

    Пример 2,67

    Нарисуйте график на числовой прямой и запишите в виде интервала.

    ⓐ x≥−3x≥−3 ⓑ x<2,5x<2,5 ⓒ x≤−35x≤−35

    Решение

    1. Заштрихуйте справа от −3−3 и поместите квадратную скобку на −3−3.
      Запись в интервальной записи.


    2. Заштрихуйте слева от 2.52.5 и поставьте скобку на 2.52.5.
      Запись в интервальной записи.


    3. » data-label=»»>
      Заштрихуйте слева от −35−35 и поместите скобку на уровне −35−35.
      Запись в интервальной записи.

    Попытайся 2,133

    Нарисуйте график на числовой прямой и запишите в виде интервалов:

    ⓐ x>2x>2 ⓑ x≤−1,5x≤−1,5 ⓒ x≥34x≥34

    Попытайся 2.134

    Нарисуйте график на числовой прямой и запишите в виде интервалов:

    ⓐ x≤−4x≤−4 ⓑ x≥0,5x≥0,5 ⓒ x<−23x<−23

    Решите неравенства, используя свойства вычитания и сложения неравенства

    Свойства равенства вычитания и сложения утверждают, что если две величины равны, когда мы добавляем или вычитаем одно и то же количество из обеих величин, результаты будут равны.

    Свойства равенства

    Свойство вычитания равенстваСложение свойства равенстваДля любых чиселa,b,andc,Для любых чиселa,b,andc,ifa=b,thena-c=b-c.ifa=b,thena+c=b+c.Свойство вычитания РавенстваДополнение Свойство Равенства Для любых чисел a, b и c, Для любых чисел a, b и c, ifa=b,thena-c=b-c.ifa=b,thena+c=b+c.

    Аналогичные свойства справедливы и для неравенств.

    Например, мы знаем, что −4 меньше 2.
    Если из обеих величин вычесть 5, останется ли левая часть
    меньше правой?
    Получаем -9 слева и -3 справа.
    А мы знаем, что −9 меньше −3.
    Знак неравенства остался прежним.

    Точно так же мы можем показать, что неравенство остается неизменным и для сложения.

    Это приводит нас к свойствам вычитания и сложения неравенства.

    Свойства неравенства

    Свойство вычитания неравенстваСложение неравенстваДля любых чиселa,b,andc,Для любых чиселa,b,andc,ifabthena-c>b-c. ifabthena+c>b+c.Свойство вычитания неравенстваСложение свойства неравенстваДля любых чиселa,b,andc,Для любых чиселa,b,andc,ifabthena- c>b−c.ifabthena+c>b+c.

    Мы используем эти свойства для решения неравенств, предпринимая те же действия, что и для решения уравнений. Решая неравенство x+5>9x+5>9, шаги будут выглядеть так:

    х+5>9х+5>9
    Вычтите 5 с обеих сторон, чтобы выделить xx. х+5-5>9-5х+5-5>9-5
    Упрощение. х>4х>4

    Стол 2.6

    Любое число больше 4 является решением этого неравенства.

    Пример 2,68

    Решите неравенство n−12≤58n−12≤58, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Добавьте 1212 к обеим частям неравенства.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи. (-∞,98](-∞,98]

    Попытайся 2,135

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    р-34≥16р-34≥16

    Попытайся 2.136

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    r-13≤712r-13≤712

    Решение неравенств с использованием свойств деления и умножения неравенства

    Свойства равенства деления и умножения утверждают, что если две величины равны, то при делении или умножении обеих величин на одну и ту же величину результаты также будут равны (при условии, что мы не не делить на 0).

    Свойства равенства

    Свойство деления равенства Свойство умножения равенства Для любых чисел a, b, c и c ≠ 0, Для любых действительных чисел a, b, c, ifa=b,thenac=bc. ifa=b,thenac=bc.Свойство деления равенстваСвойство умножения Равенства Для любых чисел a, b, c и c ≠ 0, Для любых действительных чисел a, b, c, ifa=b, thenac=bc.ifa=b, thenac=bc.

    Существуют ли аналогичные свойства для неравенств? Что происходит с неравенством, когда мы делим или умножаем обе его части на константу?

    Рассмотрим несколько числовых примеров.

    Разделите обе стороны на 5. Умножить обе стороны на 5.
    Упрощение.
    Вставьте знаки неравенства.

    Знаки неравенства остались прежними. Знаки неравенства остались прежними.

    Остается ли неравенство тем же, когда мы делим или умножаем на отрицательное число?

    Разделите обе части на −5. Умножьте обе стороны на −5.
    Упрощение.
    Вставьте знаки неравенства.

    Знаки неравенства поменялись местами. Знаки неравенства поменялись местами.

    Когда мы делим или умножаем неравенство на положительное число, знак неравенства остается прежним. Когда мы делим или умножаем неравенство на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

    Вот свойства деления и умножения неравенства для удобства.

    Свойства деления и умножения неравенства

    Для любых вещественных чиселa,b,cifa0,thenacbandc>0,thenac>bcandac>bc.ifabcandac>bc.ifa>bandc<0 ,thenac0,thenacbandc>0,thenac>bcandac>bc.ifabcandac>bc. еслиa>bandc<0, тоac

    Когда мы делим или умножаем неравенство на a:

    • положительное число, неравенство остается тем же .
    • отрицательное число, неравенство переворачивает .

    Пример 2,69

    Решите неравенство 7y<​427y<​42, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Разделите обе части неравенства на 7.
    Поскольку 7>07>0, неравенство остается прежним.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2.137

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    с-8>0с-8>0

    Попытайся 2.138

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    12d≤​6012d≤​60

    Пример 2,70

    Решите неравенство −10a≥50−10a≥50, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Разделите обе части неравенства на −10.
    Поскольку −10<0−10<0, неравенство меняется на противоположное.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2.139

    Решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    −8q<32−8q<32

    Попытайся 2.140

    Решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    −7r≤​−70−7r≤​−70

    Решение неравенств

    Иногда при решении неравенства переменная оказывается справа. Мы можем переписать неравенство в обратном порядке, чтобы получить переменную слева.

    x>aимеет то же значение, что и aaaимеет то же значение, что и aa

    Думайте об этом так: «Если Ксавьер выше Алекса, то Алекс ниже Ксавьера».

    Пример 2,71

    Решите неравенство −20<45u−20<45u, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Умножьте обе части неравенства на 5454.
    Поскольку 54>054>0, неравенство остается прежним.
    Упрощение.
    Перепишите переменную слева.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2.141

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    24≤38м24≤38м

    Попытайся 2,142

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    −24<43n−24<43n

    Пример 2,72

    Решите неравенство t−2≥8t−2≥8, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Умножьте обе части неравенства на −2−2.
    Поскольку −2<0−2<0, неравенство меняется на противоположное.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2,143

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    k-12≤15k-12≤15

    Попытайся 2,144

    Решите неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    и-4≥-16и-4≥-16

    Решение неравенств, требующих упрощения

    Для решения большинства неравенств требуется более одного шага. Мы следуем тем же шагам, что и в общей стратегии решения линейных уравнений, но обязательно уделяем пристальное внимание умножению или делению.

    Пример 2,73

    Решите неравенство 4m≤9m+174m≤9m+17, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Вычтите 9м9м с обеих сторон, чтобы собрать переменные слева.
    Упрощение.
    Разделите обе части неравенства на −5 и переверните неравенство.
    Упрощение.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2,145

    Решите неравенство 3q ≥ 7q − 233q ≥ 7q − 23, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Попытайся 2.146

    Решите неравенство 6x<10x+196x<10x+19, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Пример 2,74

    Решите неравенство 8p+3(p−12)>7p−288p+3(p−12)>7p−28, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Максимально упростите каждую сторону. 8р+3(р-12)>7р-288р+3(р-12)>7р-28
    Распространение. 8п+3п-36>7п-288п+3п-36>7п-28
    Объедините похожие термины. 11p-36>7p-2811p-36>7p-28
    Вычтите 7p7p с обеих сторон, чтобы собрать переменные слева. 11p-36-7p>7p-28-7p11p-36-7p>7p-28-7p
    Упрощение. 4п-36>-284п-36>-28
    Добавьте 36 к обеим сторонам, чтобы собрать константы справа. 4р-36+36>-28+364р-36+36>-28+36
    Упрощение. 4п>84п>8
    Разделите обе части неравенства на 4; неравенство остается прежним. 4п4>844п4>84
    Упрощение. р>2р>2
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение во внутренней записи. (2,∞)(2,∞)

    Попытайся 2,147

    Решите неравенство 9y+2(y+6)>5y−249y+2(y+6)>5y−24, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Попытайся 2,148

    Решите неравенство 6u+8(u−1)>10u+326u+8(u−1)>10u+32, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Точно так же, как некоторые уравнения являются тождествами, а некоторые противоречиями, неравенства также могут быть тождествами или противоречиями. Мы распознаем эти формы, когда при решении неравенства у нас остаются только константы. Если результатом является истинное утверждение, у нас есть тождество. Если результатом является ложное утверждение, мы имеем противоречие.

    Пример 2,75

    Решите неравенство 8x−2(5−x)<4(x+9)+6x8x−2(5−x)<4(x+9)+6x, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в интервальной записи.

    Решение
    Максимально упростите каждую сторону. 8x−2(5−x)<4(x+9)+6x8x−2(5−x)<4(x+9)+6x
    Распределить. 8x−10+2x<4x+36+6x8x−10+2x<4x+36+6x
    Объедините похожие термины. 10x−10<10x+3610x−10<10x+36
    Вычтите 10x10x с обеих сторон, чтобы собрать переменные слева. 10x−10−10x<10x+36−10x10x−10−10x<10x+36−10x
    Упрощение. −10<36−10<36
    Xx исчезли, и мы получили верное утверждение. Неравенство есть тождество.
    Решение — все действительные числа.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи. (-∞,∞)(-∞,∞)

    Попытайся 2,149

    Решите неравенство 4b−3(3−b)>5(b−6)+2b4b−3(3−b)>5(b−6)+2b, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в интервальной записи.

    Попытайся 2.150

    Решите неравенство 9h−7(2−h)<8(h+11)+8h9h−7(2−h)<8(h+11)+8h, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в интервальной записи.

    Пример 2,76

    Решите неравенство 13a−18a>524a​+3413a−18a>524a​+34, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    Решение
    Умножьте обе части на ЖК-дисплей, 24, чтобы очистить дроби.
    Упрощение.
    Объедините похожие термины.
    Вычтите 5a5a с обеих сторон, чтобы собрать переменные слева.
    Упрощение.
    Утверждение неверно! Неравенство есть противоречие.
    Нет решения.
    Нарисуйте решение на числовой прямой.
    Запишите решение в интервальной записи. Нет решения.

    Попытайся 2.151

    Решите неравенство 14x−112x>16x+7814x−112x>16x+78, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в виде интервалов.

    Попытайся 2,152

    Решите неравенство 25z−13z<115z−3525z−13z<115z−35, нарисуй решение на числовой прямой и запиши решение в виде интервалов.

    Перевести в неравенство и решить

    Чтобы перевести английские предложения в неравенства, нам нужно распознать фразы, которые указывают на неравенство. Некоторые слова просты, например, «больше чем» и «меньше чем». Но другие не так очевидны.

    Подумайте о фразе «по крайней мере» — что значит быть «не моложе 21 года»? Это означает 21 или больше. Фраза «по крайней мере» такая же, как «больше или равно».

    В таблице 2.7 приведены некоторые общие фразы, обозначающие неравенства.

    >> ≥≥ << ≤≤
    больше больше или равно меньше меньше или равно
    больше это как минимум меньше не больше
    больше, чем не меньше имеет меньше, чем не больше
    превышает это минимум ниже это максимум

    Стол 2,7

    Пример 2,77

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Двенадцать раз c не более 96.

    Решение
    Перевести.
    Решить — разделить обе части на 12.
    Упрощение.
    Запись в интервальной записи.
    График на числовой прямой.

    Попытайся 2,153

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Двадцать раз y не больше 100

    Попытайся 2.154

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Девять раз z не менее 135

    Пример 2,78

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Тридцать меньше, чем x , равно как минимум 45.

    Решение
    Перевести.
    Решить — добавить 30 к обеим сторонам.
    Упрощение.
    Запись в интервальной записи.
    График на числовой прямой.

    Попытайся 2,155

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Девятнадцать меньше р не меньше 47

    Попытайся 2,156

    Переведи и реши. Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    Четыре больше, чем не более 15.

    Раздел 2.7 Упражнения

    Практика ведет к совершенству

    Графические неравенства на числовой прямой

    В следующих упражнениях изобразите каждое неравенство на числовой прямой.

    430.


    ⓐ x≤−2x≤−2
    ⓑ x>−1x>−1ⓒ x<0x<0

    431.

    ⓐ x>1x>1ⓑ x<−2x<−2
    ⓒ x≥−3x≥−3

    432.


    ⓐ x≥−3x≥−3ⓑ x<4x<4ⓒ x≤−2x≤−2

    433.


    ⓐ x≤0x≤0ⓑ x>−4x>−4ⓒ x≥−1x≥−1

    В следующих упражнениях изобразите каждое неравенство на числовой прямой и запишите в виде интервалов.

    434.


    ⓐ x<−2x<−2ⓑ x≥−3,5x≥−3,5ⓒ x≤23x≤23

    435.


    ⓐ x>3x>3ⓑ x≤−0,5x≤−0,5ⓒ x≥13x≥13

    436.


    ⓐ x≥−4x≥−4ⓑ x<2,5x<2,5ⓒ x>−32x>−32

    437.


    ⓐ x≤5x≤5ⓑ x≥−1,5x≥−1,5ⓒ x<−73x<−73

    Решение неравенств с использованием свойств вычитания и сложения неравенства

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    438.

    n-11<33n-11<33

    439.

    м-45≤62м-45≤62

    440.

    u+25>21u+25>21

    441.

    v+12>3v+12>3

    442.

    а+34≥710а+34≥710

    443.

    б+78≥16б+78≥16

    444.

    f−1320<−512f−1320<−512

    445.

    г-1112<-518г-1112<-518

    Решение неравенств с использованием свойств деления и умножения неравенства

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    446.

    8x>728x>72

    447.

    6 лет<486 лет<48

    448.

    7r≤567r≤56

    449.

    9с≥819с≥81

    450.

    −5u≥65−5u≥65

    451.

    −8v≤96−8v≤96

    452.

    −9с<126−9с<126

    453.

    −7d>105−7d>105

    454.

    20>25ч30>25ч

    455.

    40<58k40<58k

    456.

    76j≥4276j≥42

    457.

    94г≤3694г≤36

    458.

    а-3≤9а-3≤9

    459.

    б-10≥30б-10≥30

    460.

    −25

    461.

    −18>q−6−18>q−6

    462.

    9t≥−279t≥−27

    463.

    7с<−287с<−28

    464.

    23г>-3623г>-36

    465.

    35x≤−4535x≤−45

    Решение неравенств, требующих упрощения

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    466.

    4v≥9v−404v≥9v−40

    467.

    5u≤8u−215u≤8u−21

    468.

    13q<7q−2913q<7q−29

    469.

    9p>14p−189p>14p−18

    470.

    12x+3(x+7)>10x−2412x+3(x+7)>10x−24

    471.

    9y+5(y+3)<4y-359y+5(y+3)<4y-35

    472.

    6ч-4(ч-1)≤7ч-116ч-4(ч-1)≤7ч-11

    473.

    4k-(k-2)≥7k-264k-(k-2)≥7k-26

    474.

    8м-2(14-м)≥7(м-4)+3м8м-2(14-м)≥7(м-4)+3м

    475.

    6n−12(3−n)≤9(n−4)+9n6n−12(3−n)≤9(n−4)+9n

    476.

    34b-13b<512b-1234b-13b<512b-12

    477.

    9u+5(2u−5)≥12(u−1)+7u9u+5(2u−5)≥12(u−1)+7u

    478.

    23г-12(г-14)≤16(г+42)23г-12(г-14)≤16(г+42)

    479.

    56а-14а>712а+2356а-14а>712а+23

    480.

    45ч-23(ч-9)≥115(2ч+90)45ч-23(ч-9)≥115(2ч+90)

    481.

    12v+3(4v−1)≤19(v−2)+5v12v+3(4v−1)≤19(v−2)+5v

    Смешанная практика

    В следующих упражнениях решите каждое неравенство, нарисуйте решение на числовой прямой и запишите решение в виде интервалов.

    482.

    15k≤−4015k≤−40

    483.

    35k≥−7735k≥−77

    484.

    23p−2(6−5p)>3(11p−4)23p−2(6−5p)>3(11p−4)

    485.

    18q−4(10−3q)<5(6q−8)18q−4(10−3q)<5(6q−8)

    486.

    −94x≥−512−94x≥−512

    487.

    −218y≤−1528−218y≤−1528

    488.

    с+34<-99с+34<-99

    489.

    д+29>-61д+29>-61

    490.

    m18≥−4m18≥−4

    491.

    n13≤−6n13≤−6

    Преобразование в неравенство и решение

    В следующих упражнениях переведите и решите .Затем запишите решение в интервальной записи и начертите на числовой прямой.

    492.

    Четырнадцать раз d больше 56.

    493.

    Девяносто раз c меньше 450.

    494.

    Восемь раз z меньше −40−40.

    495.

    Десять раз y не больше −110−110.

    496.

    Три более ч не менее 25.

    497.

    Шесть больше к превышает 25.

    498.

    Десять меньше w не менее 39.

    499.

    Двенадцать меньше x не меньше 21.

    500.

    Минус пять раз r не более 95.

    501.

    Дважды отрицательно s меньше 56.

    502.

    Девятнадцать меньше b не больше −22−22.

    503.

    Пятнадцать меньше а составляет не менее −7−7.

    Математика на каждый день

    504.

    Безопасность Рост ребенка h должен быть не менее 57 дюймов, чтобы ребенок мог безопасно ездить на переднем сиденье автомобиля. Запишите это как неравенство.

    505.

    Летчики-истребители Максимальный рост летчика-истребителя h 77 дюймов. Запишите это как неравенство.

    506.

    Лифты Общий вес, w , пассажиров лифта может быть не более 1200 фунтов. Запишите это как неравенство.

    507.

    Покупки Количество товаров, n , которое покупатель может иметь в очереди экспресс-кассы, не превышает 8. Запишите это в виде неравенства.

    Письменные упражнения

    508.

    Приведите пример из своей жизни, используя фразу «по крайней мере».

    509.

    Приведите пример из своей жизни, используя фразу «максимум».

    510.

    Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении −5x>10−5x>10.

    511.

    Объясните, почему необходимо обратить неравенство при решении n−3<12n−3<12.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

    ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

    Линейные неравенства — определение, формулы, графики, примеры

    В математике неравенство возникает, когда проводится неравное сравнение между двумя математическими выражениями или двумя числами. В общем случае неравенства могут быть либо числовыми, либо алгебраическими, либо их комбинацией. Линейные неравенства  – это неравенства, которые включают хотя бы одно линейное алгебраическое выражение, то есть многочлен степени 1 сравнивается с другим алгебраическим выражением степени меньше или равной 1. Существует несколько способов представления различных видов линейных неравенств.

    В этой статье мы узнаем о линейных неравенствах, решении линейных неравенств, построении графиков линейных неравенств.

    1. Что такое линейные неравенства?
    2. Правила линейных неравенств
    3. Решение системы линейных неравенств
    4. Решение систем линейных неравенств с помощью графика
    5. Графики линейных неравенств
    6. Часто задаваемые вопросы о линейных неравенствах

    Что такое линейные неравенства?

    Линейные неравенства определяются как выражения, в которых два линейных выражения сравниваются с использованием символов неравенства. Пять символов, которые используются для представления линейных неравенств, перечислены ниже:

    Нужно заметить, что если p < q, то p — некоторое число, строго меньшее q. Если p ≤ q, то это означает, что p — некоторое число, которое либо строго меньше q, либо в точности равно q. То же самое относится и к оставшимся двум неравенствам > (больше) и ≥ (больше или равно).

    Теперь предположим, что у нас есть линейное неравенство, 3x — 4 < 20. В этом случае LHS < RHS. Мы можем видеть, что выражение в левой части, т. е. 3x - 4, на самом деле меньше, чем число в правой части, равное 20. Мы можем графически представить это неравенство на весах как:

    Правила линейных неравенств

    Над линейными неравенствами выполняются 4 типа операций: сложение, вычитание, умножение и деление. Линейные неравенства с одним и тем же решением называются эквивалентными неравенствами. Существуют правила как равенства, так и неравенства. Все упомянутые ниже правила также верны для неравенств, включающих меньше или равно (≤) и больше или равно (≥). Прежде чем научиться решать линейные неравенства, давайте рассмотрим некоторые важные правила неравенства для всех этих операций.

    Правило сложения линейных неравенств:

    Согласно правилу сложения линейных неравенств, добавление одного и того же числа к каждой стороне неравенства дает эквивалентное неравенство, то есть символ неравенства не меняется.

    Если x > y, то x + a > y + a, а если x < y, то x + a < y + a.

    Правило вычитания линейных неравенств:

    Согласно правилу вычитания линейных неравенств, вычитание одного и того же числа с каждой стороны неравенства дает эквивалентное неравенство, то есть символ неравенства не меняется.

    Если x > y, то x − a > y − a, а если x < y, то x − a < y − a.

    Правило умножения линейных неравенств:

    Согласно правилу умножения линейных неравенств, умножение обеих частей неравенства с положительным числом всегда дает эквивалентное неравенство, то есть символ неравенства не меняется.

    Если x > y и a > 0, то x × a > y × a, а если x < y и a > 0, то x × a < y × a. Здесь × используется как символ умножения.

    С другой стороны, умножение обеих частей неравенства на отрицательное число не дает эквивалентного неравенства, если мы также не изменим направление символа неравенства.

    Если x > y и a < 0, то x × a < y × a, а если x < y и a < 0, то x × a > y × a.

    Правило деления линейных неравенств:

    Согласно правилу деления линейных неравенств, деление обеих частей неравенства на положительное число дает эквивалентное неравенство, то есть символ неравенства не меняется.

    Если x > y и a > 0, то (x/a) > (y/a), а если x < y и a > 0, то (x/a) < (y/a).

    С другой стороны, деление обеих частей неравенства на отрицательное число дает эквивалентное неравенство, если символ неравенства поменять местами.

    Если x > y и a < 0, то (x/a) < (y/a), а если x < y и a < 0, то (x/a) > (y/a)

    Решение системы линейных неравенств

    Решение линейных многошаговых неравенств с одной переменной аналогично решению многошаговых линейных уравнений; начните с выделения переменной из констант. По правилам неравенств, при решении многошаговых линейных неравенств нам важно не забывать менять знак неравенства при умножении или делении с отрицательными числами.

    • Шаг 1: Упростите неравенство с обеих сторон — как с левой, так и с правой стороны в соответствии с правилами неравенства.
    • Шаг 2: При получении значения, если неравенство является строгим, решение для x меньше или больше значения, полученного в соответствии с вопросом. И, если неравенство не является строгим неравенством, то решение для x меньше или равно или больше или равно значению, полученному в соответствии с вопросом.

    Теперь давайте попробуем решить линейные неравенства на примере, чтобы понять концепцию.

    2x + 3 > 7

    Чтобы решить это линейное неравенство, мы должны выполнить следующие шаги:

    2x > 7 — 3 ⇒ 2x > 4 ⇒ x > 2

    Решением этого неравенства будет множество всех значений x, для которых выполняется это неравенство x > 2, то есть всех действительных чисел, строго больших 2.

    Решение линейных неравенств с переменной с обеих сторон

    Попробуем решить линейные неравенства с одной переменной, применяя изученную концепцию. Рассмотрим следующий пример.

    3x — 15 > 2x + 11

    Действуем следующим образом:

    -15 — 11 > 2x — 3x ⇒ — 26 > — x ⇒ x > 26

    Решение системы линейных неравенств с помощью графика

    Система линейных неравенств с двумя переменными имеет вид ax + by > c или ax + by ≤ c. Знаки неравенств могут меняться в соответствии с заданным набором неравенств. Чтобы решить систему линейных неравенств с двумя переменными, мы должны иметь по крайней мере два неравенства. Теперь, чтобы решить систему линейных неравенств с двумя переменными, рассмотрим пример.

    2y — x > 1 и y — 2x < -1

    Сначала нанесем данные неравенства на график. Для этого выполните указанные действия:

    • Замените знак неравенства на =, то есть имеем 2y — x = 1 и y — 2x = -1. Поскольку линейное неравенство строгое, на графике проводим пунктирные линии.
    • Проверить, удовлетворяет ли начало координат (0, 0) заданным линейным неравенствам. Если это так, то заштрихуйте область на одной стороне линии, которая включает в себя начало координат. Если начало координат не удовлетворяет линейному неравенству, заштрихуйте область по одну сторону от линии, которая не включает начало координат.
      Вместо 2y — x > 1 подставьте (0, 0) и мы получим: 2 × 0 — 0 > 1 ⇒ 0 > 1, что неверно. Следовательно, заштрихуйте сторону прямой 2y — x = 1, которая не включает начало координат. Аналогично, для y — 2x < -1, подставляя (0, 0), мы имеем: 0 - 2 × 0 < -1 ⇒ 0 < -1, что неверно. Следовательно, имел сторону прямой y - 2x = -1, которая не включает начало координат.
    • Общей заштрихованной будет допустимая область, образующая решение системы линейных неравенств. Если нет общей заштрихованной области, то решения не существует. Фиолетовая область на приведенном ниже графике показывает решение данной системы линейных неравенств.

    Графики линейных неравенств

    Линейные неравенства с одной переменной изображаются на числовой прямой, так как на выходе получается решение с одной переменной. Следовательно, графическое отображение линейных неравенств в одной переменной выполняется с использованием только числовой прямой. Напротив, линейные неравенства с двумя переменными изображаются на двумерном графике с осями x и y, поскольку на выходе получается решение двух переменных. Следовательно, построение графика линейных неравенств с двумя переменными выполняется с помощью графика.

    Графики линейных неравенств — одна переменная

    Рассмотрим приведенный ниже пример.

    4x > -3x + 21

    Решение в этом случае простое.

    4x + 3x > 21 ⇒ 7x > 21 ⇒ x > 3

    Это можно изобразить на числовой прямой следующим образом:

    Любая точка, лежащая на синей части числовой прямой, удовлетворяет этому неравенству. Обратите внимание, что в этом случае мы нарисовали пустую точку в точке 3. Это указывает на то, что 3 не является частью множества решений (это потому, что данное неравенство имеет строгое неравенство). Согласно полученному решению синяя часть числовой прямой удовлетворяет неравенству. Возьмем другой пример линейных неравенств:

    3x + 1 ≤ 7

    Действуем следующим образом:

    3x ≤ 7 — 1 ⇒ 3x ≤ 6 ⇒ x ≤ 2

    Мы хотим представить это множество решений на числовой прямой. Таким образом, мы выделяем ту часть числовой прямой, которая лежит левее 2

    . Мы видим, что любое число, лежащее в красной части числовой прямой, будет удовлетворять этому неравенству и, следовательно, является частью набора решений для этого неравенство. Обратите внимание, что мы нарисовали сплошную точку точно в точке 2. Это означает, что 2 также является частью набора решений.

    ☛ Похожие темы:

    Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными линейным неравенствам

    • Линейные неравенства с двумя переменными
    • Неравенства, включающие абсолютные значения
    • Умножение многочленов
    • Особые случаи в линейных уравнениях
    • Линейные уравнения и неравенства с одной переменной

    Важные замечания о линейных неравенствах

    Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении линейных неравенств:

    • В случае линейного неравенства между левой и правой сторонами существует некоторое другое отношение, например меньше или больше.
    • Линейное неравенство называется так из-за того, что наибольшая степень (показатели) переменной равна 1.
    • «Меньше» и «больше» являются строгими неравенствами, тогда как «меньше или равно» и «больше или равно» не являются строгими линейными неравенствами.
    • Для каждого линейного неравенства, в котором используется строгое линейное неравенство, значение, полученное для x, показано пустой точкой. Он показывает, что полученное значение исключено.
    • Для каждого линейного неравенства, которое не является строгим неравенством, значение, полученное для x, показано сплошной точкой. Это показывает, что полученное значение включено.

     

    Примеры решения линейных неравенств

    1. Пример 1.  Найдите решение линейного неравенства -2x — 39 ≥ -15 и нанесите его на числовую прямую.

      Решение: Задачу решим следующим образом:

      — 2x — 39≥ — 15 ⇒ — 2x ≥ 24

      ⇒ 2x ≤ — 24 ⇒ x ≤ — 12

      Линейное неравенство будет отображено на числовой прямой следующим образом:

      Набор решений изображен выше. Можно сказать, что любое число, лежащее в красной части числовой прямой, будет удовлетворять этому линейному неравенству и, следовательно, является частью множества решений этого неравенства. Следовательно, мы нарисовали сплошную точку точно в точке -12. Это указывает на то, что -12 также является частью набора решений.

      Ответ: Следовательно, решение x ≤ -12

    2. Пример 2. Решить линейные неравенства в этом линейном неравенстве 2x — 5 > 3 — 7x

      Решение: Решим данное линейное неравенство следующим образом:

      2x + 7x > 3 + 5 ⇒ 9x > 8 ⇒ x > 8/9

      Ответ: x > 8/9 является решением линейного неравенства 2x — 5 > 3 — 7x

    перейти к слайдуперейти к слайду

    Хотите создать прочную основу в математике?

    Выйдите за рамки запоминания формул и поймите «почему», стоящее за ними. Испытайте Cuemath и приступайте к работе.

    Записаться на бесплатный пробный урок

    Вопросы о линейном неравенстве

     

    перейти на слайдперейти на слайд

    Часто задаваемые вопросы о линейных неравенствах

    Что такое линейные неравенства в алгебре?

    Линейные неравенства определяются как выражения, в которых два линейных выражения сравниваются с использованием символов неравенства. Эти выражения могут быть числовыми, алгебраическими или их комбинацией.

    Что является примером линейного неравенства?

    Примером линейного неравенства является x — 5 > 3x — 10. Здесь левое значение строго больше, чем правое, поскольку в этом неравенстве используется символ больше. После решения неравенство выглядит так: 2x < 5 ⇒ x < (5/2).

    Каково реальное использование линейных неравенств?

    Неравенства чаще используются во многих реальных задачах, чем равенства, для определения наилучшего решения проблемы. Это решение может быть таким же простым, как определение количества продукта, которое должно быть произведено, чтобы максимизировать прибыль, или оно может быть таким же сложным, как поиск правильной комбинации лекарств, которые нужно дать пациенту.

    Каково использование линейных неравенств в бизнесе?

    Предприятия используют неравенство для создания моделей ценообразования, планирования своих производственных линий и контроля запасов. Они также используются для отгрузки или складирования материалов и товаров.

    Какие символы используются в линейных неравенствах?

    Символы, используемые в линейных неравенствах:

    • Не равно (≠)
    • Меньше чем (<)
    • Больше, чем (>)
    • Меньше или равно (≤)
    • Больше или равно (≥)

    Каковы два сходства между линейными неравенствами и уравнениями?

    Сходства между линейными неравенствами и уравнениями:

    • Оба математических утверждения связывают два выражения друг с другом.
    • Оба решаются одинаково.

    Как решать линейные неравенства с двумя переменными?

    Чтобы решить систему линейных неравенств с двумя переменными, необходимо иметь хотя бы два неравенства. Мы нанесем данные неравенства на график и проверим наличие общей заштрихованной области, чтобы определить решение.

    Как решать системы линейных неравенств графически?

    Данные неравенства изобразим на графике аналогично линейным уравнениям, но пунктирными линиями из-за неравенства. Далее мы проверяем общую заштрихованную область, чтобы найти решение. Если нет общей заштрихованной области, то решения не существует. Заштрихованная область может быть ограниченной или неограниченной.

    Чем квадратные неравенства отличаются от линейных неравенств?

    Квадратные неравенства состоят из алгебраических выражений степени 2, тогда как линейные неравенства состоят из алгебраических выражений степени 1.

    Решение линейных неравенств с одной переменной

    Линейные неравенства

    Линейное неравенствоЛинейные выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и >. это математическое утверждение, которое связывает линейное выражение как меньшее или большее, чем другое. Ниже приведены некоторые примеры линейных неравенств, все из которых решаются в этом разделе:

    Решение линейного неравенстваВещественное число, которое дает истинное утверждение, когда его значение заменяет переменную. это действительное число, которое даст истинное утверждение при замене переменной. Линейные неравенства либо имеют бесконечно много решений, либо не имеют решений. Если существует бесконечно много решений, изобразите набор решений на числовой прямой и/или выразите решение, используя интервальную запись.

    Пример 1

    Являются ли x=−4 и x=6 решениями уравнения 5x+7<22?

    Решение:

    Подставим значения вместо x , упростим и проверим, получим ли мы верное утверждение.

    Ответ: x=−4 является решением, а x=6 — нет.

    Все методы решения линейных уравнений, кроме одного, применимы и к решению линейных неравенств. Вы можете прибавлять или вычитать любое действительное число к обеим частям неравенства, а также умножать или делить обе части на любые 9.0010 положительное действительное число для создания эквивалентных неравенств. Например:

    10> −510–7> −5–7 Вычитание 7 с обеих сторон.3> −12 ✓ True

    10> −5105> −55 Разделите обе стороны на 5,2> −1 ✓ TRU

    7 с каждой стороны и деление каждой стороны на положительные 5 приводит к истинному неравенству.

    Пример 2

    Решите и нарисуйте набор решений: 5x+7<22.

    Решение:

    5x+7<225x+7−7<22−75x<155x5<155x<3

    Полезно потратить минуту и ​​выбрать несколько значений из набора решений, подставить их в исходное неравенство, а затем проверить результаты. Как указано, вы должны ожидать, что x=0 решит исходное неравенство, а x=5 — нет.

    Такая проверка показывает, что мы правильно решили неравенство.

    Мы можем выразить это решение двумя способами: используя запись набора и запись интервала.

    {x|x<3}   Set notation   (−∞,3)  Interval notation

    В этом тексте мы будем представлять ответы, используя интервальную запись.

    Ответ: (−∞,  3) 

    При работе с линейными неравенствами при умножении или делении на отрицательное число применяется другое правило. Чтобы проиллюстрировать проблему, рассмотрим истинное утверждение 10>−5 и разделим обе части на −5.

    .0004

    Деление на -5 приводит к ложному утверждению. Чтобы сохранить истинное утверждение, неравенство должно быть обращено.

    10>−510−5<−5−5            Обратное неравенство.−2<1             ✓При умножении отрицательного числа на

    возникает та же проблема. Это приводит к следующему новому правилу: при умножении или делении на отрицательное число инвертировать неравенство . Это легко забыть сделать, поэтому будьте особенно внимательны и следите за отрицательными коэффициентами. В общем случае, учитывая алгебраические выражения A и B , где c положительное ненулевое действительное число, мы имеем следующие свойства неравенств Свойства, используемые для получения эквивалентных неравенств и используемые в качестве средства для их решения.:

    Мы используем эти свойства для получения Эквивалентное неравенство Неравенства, которые имеют один и тот же набор решений. Один с одним и тем же набором решений, где переменная изолирована. Процесс аналогичен решению линейных уравнений.

    Пример 3

    Решите и нарисуйте набор решений: −2(x+8)+6≥20.

    Решение:

    −2 (x+8)+6ц . 20 Распределение. — 2x — 16+6≥20 Комбинируйте, как термины. — 2x — 10,20 Решайте для x.2x ≥30 Разделите обе стороны на 2. –2x — 2≤30–2 Обратите внимание на неравенство. X≤15

    Ответ: Интервальная нотация (−∞, −15]

    Пример 4

    Решение и график набор решений: −2 (4x-5 )<9−2(x−2).

    Решение:

    −2(4x−5)<9−2(x−2)−8x+10<9−2x+4−8x+10<13− 2x−6x<3−6x−6>3−6                   Обратное неравенство.x>−12    

    Ответ: Интервальное обозначение (−12, ∞)

    Пример 5

    Решите и нарисуйте набор решений: 12x−2≥12(74x−9)+1.

    Решение:

    12x — 2≥12 (74x — 9) +1 12x — 2≥78x — 92+1 12x — 78x≥ — 72+2–38x–32 (−83) ( — 38x) ≤ ( −83)(−32)             Обратное неравенство. x≤4

    Ответ: Интервальное обозначение: (−∞,  4]

    Попробуйте! Решите и нарисуйте набор решений: 10−5(2x+3)≤25. ∞);

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Составные неравенства

    Ниже приведены некоторые примеры составных линейных неравенств:

    Эти составные неравенства Два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». на самом деле два неравенства в одном утверждении, соединенные словом и или словом или . Например, −13<3x−7<17 является составным неравенством, поскольку его можно разложить следующим образом: −13<3x−7  и   3x−7<17

    Мы можем решить каждое неравенство по отдельности; пересечение двух наборов решений решает исходное составное неравенство. Хотя этот метод работает, есть еще один метод, который обычно требует меньшего количества шагов. Примените свойства этого раздела ко всем трем частям составного неравенства с целью изолировать переменную в середине утверждения, чтобы определить границы набора решений.

    Пример 6

    Решите и нарисуйте набор решений: −13<3x−7<17.

    Решение:

    −13<3x−7<17−13 +7<3x−7 +7<17 +7−6<3x<24−63<3x3<243−2

    Ответ: Обозначение интервала: (−2,8)

    Пример 7

    Решите и нарисуйте набор решений: 56≤13(12x+4)<2.

    Решение:

    56≤13(12x+4)<256≤16x+43<26⋅(56)≤6⋅(16x+43)<6⋅(2)5≤x+8<125−8≤ x+8−8<12−8−3≤x<4

    Ответ: Запись интервала [−3,4)

    Важно отметить, что при умножении или делении всех трех частей составного неравенства на отрицательное число , вы должны обратить все неравенства в утверждении. Например: −10<−2x<20−10−2>−2x−2>20−25>  x  >−10 Ответ выше можно записать в эквивалентной форме, где меньшие числа лежат слева, а большие числа лежат справа, как они появляются на числовой прямой. −10

    Попробуйте! Решите и начертите набор решений: −3≤−3(2x−3)<15.

    Ответ: (−1,2];

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Для составных неравенств со словом « или » вы работаете с обоими неравенствами по отдельности, а затем рассматриваете объединение наборов решений. union решает любое неравенство

    Пример 8

    Решите и начертите набор решений: 4x+5≤−15  или  6x−11>7

    Решение:

    Решите каждое неравенство и сформируйте объединение, объединив наборы решений.

    Ответ: Интервальное обозначение (−∞,−5]∪(3,∞)

    Попробуйте! <1.

    Ответ: (−∞,−1)∪(32, ∞)

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Применение линейных неравенств

    Некоторые ключевые слова и фразы, обозначающие неравенства, приведены ниже. :

    Как и во всех приложениях, внимательно прочитайте задачу несколько раз и найдите ключевые слова и фразы. Определите неизвестные и назначьте переменные. Затем переведите формулировку в математическое неравенство. Наконец, используйте свойства, которые вы узнали, для решения задачи. неравенство и выразить решение графически или в интервальной записи.

    Пример 9

    Семь меньше, чем сумма числа, умноженная на 3, и 5 не больше 11. Найдите все числа, удовлетворяющие этому условию.

    Решение:

    Сначала выберите переменную для неизвестного числа и определите ключевые слова и фразы.

    Пусть n представляют неизвестное, обозначенное как « число ».

    Найти n .

    3(n+5)−7≤113n+15−7≤113n+8≤113n≤3n≤1

    Ответ: Любое число, меньшее или равное 1, будет удовлетворять утверждению.

    Пример 10

    Чтобы получить B по курсу математики, средний результат теста должен быть не менее 80% и менее 90%. Если учащийся набрал 92 %, 96 %, 79 % и 83 % на первых четырех тестах, сколько он должен набрать на пятом тесте, чтобы получить четверку?

    Решение:

    Задайте составное неравенство, в котором среднее значение теста находится в диапазоне от 80% до 90%. В этом случае включите нижнюю границу, 80.

    Пусть x представляет результат пятого теста.

    80≤испытание среднее<9080≤92+96+79+83+x5<905⋅80≤5⋅350+x5<5⋅ ≤350+x<45050≤x<100

    Ответ: Она должна набрать не менее 50% и менее 100%.

    В предыдущем примере верхняя граница 100% не входила в набор решений. Что произойдет, если она заработает 100% на пятом тесте?

    среднее=92+96+79+83+1005=4505=90

    Как мы видим, ее среднее значение составит 90%, что принесет ей пятерку. решения. Решения представлены графически на числовой прямой или с использованием интервальной записи, или и того, и другого.

  • Все правила решения линейных неравенств, кроме одного, аналогичны правилам решения линейных уравнений. Если вы разделите или умножите неравенство на отрицательное число, переверните неравенство, чтобы получить эквивалентное неравенство.
  • Составные неравенства со словом «или» требуют, чтобы мы решили каждое неравенство и образовали объединение каждого набора решений. Это значения, которые решают хотя бы одно из заданных неравенств.
  • Составные неравенства со словом «и» требуют пересечения множеств решений для каждого неравенства. Это значения, которые решают оба или все заданные неравенства.
  • Общие рекомендации по решению текстовых задач применимы к приложениям, использующим неравенства. Помните о новом списке ключевых слов и фраз, которые указывают на математическую установку, включающую неравенства.
  • Тематические упражнения

      Часть A. Линейные неравенства

        Определить, является ли заданное значение решением.

      1. 5x-1<-2; х=−1

      2. −3x+1>−10; х=1

      3. 2x−3<−5; х=1

      4. 5x−7<0; х=2

      5. 9y−4≥5; у=1

      6. −6y+1≤3; у=-1

      7. 12а+3≤-2; а=-13

      8. 25а-2≤-22; а=-45

      9. −10<2x−5<−5; х=-12

      10. 3x+8<−2  или  4x−2>5; х=2

        Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

      1. 3x+5>−4

      2. 2x+1>−1

      3. 5–6 лет <–1

      4. 7−9 лет>43

      5. 6−a≤6

      6. −2а+5>5

      7. 5x+63≤7

      8. 4x+116≤12

      9. 12 лет+54≥14

      10. 112г+23≤56

      11. 2(3x+14)<−2

      12. 5(2г+9)>−15

      13. 5-2(4+3г)≤45

      14. −12+5(5−2x)<83

      15. 6(7−2а)+6а≤12

      16. 2а+10(4-а)≥8

      17. 9(2t−3)−3(3t+2)<30

      18. −3(t−3)−(4−t)>1

      19. 12(5x+4)+56x>−43

      20. 25+16(2x−3)≥115

      21. 5x−2(x−3)<3(2x−1)

      22. 3(2x−1)−10>4(3x−2)−5x

      23. −3y≥3(y+8)+6(y−1)

      24. 12≤4(у-1)+2(2у+1)

      25. −2(5t−3)−4>5(−2t+3)

      26. −7(3t−4)>2(3−10t)−t

      27. 12(х+5)−13(2х+3)>76х+32

      28. −13(2x−3)+14(x−6)≥112x−34

      29. 4(3x+4)≥3(6x+5)−6x

      30. 1−4(3x+7)<−3(x+9)−9x

      31. 6−3(2a−1)≤4(3−a)+1

      32. 12-5(2а+6)≥2(5-4а)-а

      Часть B: Составные неравенства

        Нанесите все решения на числовую прямую и укажите соответствующее обозначение интервала.

      1. −1<2x+1<9

      2. −4<5x+11<16

      3. −7≤6y−7≤17

      4. −7≤3г+5≤2

      5. −7<3x+12≤8

      6. −1≤2x+73<1

      7. −4≤11−5t<31

      8. 15<12−t≤16

      9. −13≤16a+13≤12

      10. −16<13a+56<32

      11. 5x+2<−3​   или   7x−6>15

      12. 4x+15≤−1​   или   3x−8≥−11

      13. 8x−3≤1​   или   6x−7≥8

      14. 6x+1<−3​   или   9x−20>−5

      15. 8x−7<1​   или   4x+11>3

      16. 10x−21<9​   или   7x+9≥30

      17. 7+2 года <5​   или   20−3 года>5

      18. 5−y<5   или   7−8y≤23

      19. 15+2x<−15   или   10−3x>40

      20. 10−13x≤5   или   5−12x≤15

      21. 9−2x≤15​   и   5x−3≤7

      22. 5−4x>1   и   15+2x≥5

      23. 7 лет−18<17   и  2 года−15<25

      24. 13 лет+20≥7   и   8+15 лет>8

      25. 5−4x≤9   и   3x+13≤1

      26. 17−5x≥7   и   4x−7>1

      27. 9 лет+20≤2   и   7 лет+15≥1

      28. 21−6y≤3   и   −7+2y≤−1

      29. −21<6(x−3)<−9

      30. 0≤2(2x+5)<8

      31. −15≤5+4(2y−3)<17

      32. 5<8−3(3−2 года)≤29

      33. 5<5−3(4+t)<17

      34. −3≤3−2(5+2t)≤21

      35. −40<2(x+5)−(5−x)≤−10

      36. −60≤5(x−4)−2(x+5)≤15

      37. −12<130(x−10)<13

      38. −15≤115(x−7)≤13

      39. −1≤a+2(a−2)5≤0

      40. 0<5+2(а-1)6<2

      Часть C: Приложения

        Найдите все числа, удовлетворяющие заданному условию.

      1. На три меньше, чем удвоенная сумма числа, а 6 не больше 13.

      2. Пять меньше, чем сумма числа, умноженная на 3, и 4 не больше 10.

      3. Пятикратная сумма числа и 3 не меньше 5.

      4. Трехкратная разница между числом и 2 не менее 12.

      5. Сумма трех чисел, умноженных на 8, составляет от 2 до 20.

      6. На восемь меньше, чем удвоенное число, находится в диапазоне от -20 до -8.

      7. Четыре вычитается из трех, умноженных на некоторое число от -4 до 14.

      8. Девять вычитается из 5, умноженного на некоторое число от 1 до 11.

        Составьте алгебраическое неравенство и решите его.

      1. При членстве в гольф-клубе стоимостью 120 долларов в месяц каждый раунд игры в гольф стоит всего 35 долларов. Сколько раундов в гольф может сыграть участник, если он хочет сохранить свои расходы максимум на 270 долларов в месяц?

      2. Аренда грузовика стоит 95 долларов в день плюс 0,65 доллара за милю. Сколько миль можно проехать за однодневную аренду, чтобы стоимость не превышала 120 долларов?

      3. Марк заработал 6, 7 и 10 баллов из 10 в первых трех тестах. Что он должен набрать в четвертом тесте, чтобы в среднем было не менее 8?

      4. Джо получил 78, 82, 88 и 70 баллов за свои первые четыре экзамена по алгебре. Что он должен набрать на пятом экзамене, чтобы средний балл был не менее 80?

      5. Гимнастка набрала 13,2, 13,0, 14,3, 13,8 и 14,6 балла в первых пяти упражнениях. Что он должен набрать в шестом соревновании, чтобы средний балл был не менее 14,0?

      6. Танцор получил 7,5 и 8,2 балла от первых двух судей. Какой должна быть ее оценка от третьего судьи, если она должна получить в среднем 8,4 или выше?

      7. Если два раза угол составляет от 180 до 270 градусов, то каковы границы исходного угла?

      8. Периметр квадрата должен быть от 120 до 460 дюймов. Найдите длины всех возможных сторон, удовлетворяющих этому условию.

      9. Компьютер настроен на отключение, если температура превышает 45°C. Приведите эквивалентное утверждение, используя градусы Фаренгейта. Подсказка: C=59(F−32).

      10. Определенный антифриз эффективен в диапазоне температур от −35°C до 120°C. Найдите эквивалентный диапазон в градусах Фаренгейта.

      Часть D: Дискуссионная доска

      1. Часто учащиеся обращают неравенство, решая 5x+2<−18? Как вы думаете, почему это распространенная ошибка? Объясните начинающему студенту алгебры, почему мы этого не делаем.

      2. Выполните поиск в Интернете по запросу «решение линейных неравенств». Поделитесь ссылкой на веб-сайт или видеоурок, которые вы считаете полезными.

      3. Напишите свои собственные 5 ключевых выводов для всей этой главы. Что вы считаете обзором, а что новым? Поделитесь своими мыслями на доске обсуждений.

    Ответы

    1. Да

    2. Да

    3. Да

    4. (-3,∞);

    5. (1,∞);

    6. [0,∞);

    7. (-∞,3];

    8. [−2,∞);

    9. (-∞,-5);

    10. [−8,∞);

    11. [5,∞);

    12. (-∞,7);

    13. (-1,∞);

    14. (3,∞);

    15. (-∞,-32];

    16. (-∞,0);

    17. [−2,∞);

    1. (-1,4);

    2. [0,4];

    3. (−5,5];

    4. (−4,3];

    5. [−4,1];

    6. (-∞,-1)∪(3,∞);

    7. (-∞,12]∪[52,∞);

    8. (-∞,5);

    9. (-∞,-10);

    10. [−3,2];

    11. (-∞,5);

    12. (-12,32);

    13. [−1,3);

    14. (-8,-4);

    15. (-15,-5];

    16. (-5,20);

    17. [−13, 43];

    1. (-∞,2]

    2. [−2,∞)

    3. (−2,4)

    4. (0,6)

    5. Участник может сыграть 4 раунда или меньше.

    6. Марк должен заработать не менее 9 баллов в четвертом тесте.

    7. Он должен набрать 15,1 балла в шестом событии.

    8. Угол между 90 и 135 градусами.

    9. Компьютер выключится, когда температура превысит 113°F.

    1. Ответ может отличаться

    2. Ответ может отличаться

    Решение линейных неравенств — ChiliMath

    Поиск

    Большинство правил или методов, используемых для решения многоступенчатых уравнений, должны легко применяться для решения неравенств.

    Единственная большая разница заключается в том, как символ неравенства меняет направление , когда отрицательное число умножается или делится на обе части уравнения.

    В этом уроке я рассмотрю семь (7) рабочих примеров с различные уровни сложности, чтобы обеспечить достаточную практику.


    БОЛЬШЕ

    • Symbol:
    • Example:
    • Graph:

    GREATER THAN OR EQUAL TO

    • Symbol:
    • Example:
    • Graph:

    LESS Чем

    • Символ:
    • Пример:
    • График:

    Меньше, чем или равна

    • Symbol:

    • .0369
    • Пример:
    • График:

    Примеры решения и графического отображения линейных неравенств все значения

    x, которые могут его удовлетворить. Это означает, что существует почти бесконечное количество значений x, подстановка которых дает истинные утверждения.

    Проверить значения x = 0, x = 1, x = 2, x = 3, x = 5, x = 6 и x = 7.

    Какое из этих значений x соответствует истинному утверждению?

    Вы должны согласиться после некоторых обратных замен, что работают только 5, 6 и 7; а остальные терпят неудачу. Но вопрос в том, есть ли другие значения x, кроме упомянутых? Ответ — да! Теперь давайте решим неравенство, чтобы выяснить весь набор значений, которые могут сделать его верным.

    • Напишите исходную задачу.
    • Добавьте 17 с обеих сторон, чтобы оставить переменные слева, а константу справа.
    • Неравенство сводится к этому после упрощения.
    • Разделите обе части неравенства на коэффициент при x.
    • Окончательный ответ:
    • Используйте открытое отверстие, чтобы указать, что 3 не является частью решения. Решение неравенства x > 3 включает все значения справа от 3, кроме самого 3. Теперь вы понимаете, почему все числа больше 3 являются решениями?

    Пример 2: Решите и нарисуйте решение неравенства

    Этот пример иллюстрирует, что происходит с символом неравенства при делении на отрицательное число.

    • Напишите исходную задачу.
    • Чтобы изолировать переменную x слева от неравенства, я добавлю обе стороны по 2.
    • Вот как это выглядит после того, как я упростил предыдущий шаг.
    • Теперь, чтобы найти x, я разделю обе части на — \,3.

    ВСЕГДА меняйте направление неравенства всякий раз, когда вы делите или умножаете отрицательное число на обе стороны неравенства.

    Используйте закрытое или заштрихованное отверстие , чтобы указать, что 7 является частью решения. Решение неравенства x \le 7 включает 7 и все, что находится слева от него.


    Пример 3: Решите и нарисуйте решение неравенства

    В этой задаче у меня есть переменные с обеих сторон неравенства. Хотя не имеет значения, где мы храним переменную, слева или справа, имеет смысл все время быть последовательным , изолируя ее с левой стороны. Это просто «стандартный» способ, я думаю.

    Однако, если вы пытаетесь сохранить переменную справа, убедитесь, что вы знаете об их тонкостях. Например, ответ на эту задачу: x < - \,6, что совпадает с - \,6 > x. Они эквивалентны, потому что начало неравенства также указывает на -1,6. Следовательно, это означает, что если я поменяю переменную и константу в своем окончательном ответе, я также должен изменить направление символа , чтобы сохранить значение прежним.

    • Напишите исходную задачу.
    • Я хочу оставить x слева. Я сделаю это, добавив 6x к обеим сторонам на
    • . После шага выше мне нужно переместить константу вправо.
    • Вычесть обе стороны на 7.
    • Упростить
    • Чтобы окончательно изолировать x слева, разделите обе части на коэффициент x, равный 2. направление неравенства, потому что I разделил обе части на положительное число.

      • Используйте открытое отверстие , чтобы указать, что — \,6 является , а не частью решения. Решение неравенства x < - \,6 включает все значения слева от - \,6, но исключая само - \,6.

      Пример 4: Решите и нарисуйте решение неравенства

      Я построил эту задачу, чтобы подчеркнуть шаг, необходимый для работы с символом скобки 9 0047 . Я знаю, что это не оттолкнет вас, потому что вы видели это раньше при решении линейных уравнений, верно? Шаг, необходимый для избавления от скобок, заключается в применении дистрибутивного свойства умножения вместо сложения. Однако я должен предостеречь вас от осторожности при работе со знаками в процессе умножения. Помните, что произведение двух членов с одинаковыми знаками положительно, а если знаки разные, то произведение отрицательно.

      • Напишите исходную задачу. Сначала я уберу скобки, распределив это — \,4 в бином \left( {x — 5} \right).
      • Упрощайте и будьте осторожны при распространении. Помните, вы получаете положительное произведение, если знаки совпадают, и отрицательное, если знаки разные.
      • При решении неравенств у меня есть привычка «всегда» держать переменную в левой части. Хотя держать его справа тоже правильно. Это всего лишь вопрос предпочтений. Чтобы сохранить x слева, вычтите обе стороны в 3 раза.
      • Поскольку я хочу, чтобы константа оставалась справа, становится ясно, что мой следующий шаг — исключить 20 слева.
      • Вычтем обе части на 20.
      • Очевидно, я разделю обе части на отрицательный коэффициент и переверну неравенство.
      • Чтобы найти x, разделите обе части на — \,7, что дает нам окончательный ответ.
      • Используйте закрытое или заштрихованное отверстие , чтобы указать, что 5 является частью решения. Решение неравенства x \ge 5  включает 5 и все, что находится справа от него.

      Пример 5: Решите и нарисуйте решение неравенства

      Мой общий подход здесь состоит в том, чтобы немедленно убрать круглые скобки, используя свойство дистрибутивности, объединить одинаковые члены с обеих сторон и, наконец, оставить x слева, а константу — слева. Обратная сторона.

      • Напишите исходную задачу. Я дважды применю распределительное свойство слева для двух скобок.

      Для правой стороны это похожие термины, поэтому я просто их объединяю.

      • Упрощение. На этом этапе я буду дальше комбинировать подобные термины слева. Объедините x и константы вместе.
      • Вот что я получил после выполнения вышеуказанного шага.
      • Сдвиньте константы вправо, добавив обе части на 6.
      • Упрощение.
      • Теперь переместите все переменные влево, добавив обе стороны в 4 раза.
      • Разделите обе части на — \,3, чтобы изолировать x. Однако я должен изменить ориентацию символа неравенства, так как я разделил обе части на отрицательное число.
      • Используйте открытое отверстие , чтобы указать, что — \,2 является , а не частью решения. Решение неравенства x > — 2 подразумевает все значения справа от — \,2, но исключая — \,2.

      Пример 6: Решите и нарисуйте решение неравенства

      «Сложность» этой задачи не должна вас беспокоить. Ключом к успешному решению этой проблемы является применение всех методов, которые вы узнали из наших предыдущих примеров. Если вам нужен обзор, не стесняйтесь оглянуться назад.

      Попробуйте решить эту проблему, не глядя на подробное решение. Всякий раз, когда вы думаете, что закончили, сравните то, что у вас есть на бумаге , с ответом ниже.

      • Напишите исходную задачу. Избавьтесь от скобок в обеих частях неравенства, применив распределительное свойство.
      • Упрощение. Соедините похожие термины с обеих сторон.
      • Вот как это выглядит после объединения одинаковых терминов.
      • Вычтите обе стороны на 12, чтобы x остался слева.
      • Упрощение.
      • Вычтите обе части в 5 раз, чтобы константа осталась справа.
      • Решите x, разделив обе части на — 10, однако не забудьте также поменять направление неравенства.
      • Используйте открытое отверстие, чтобы указать, что 2 не является частью решения. Решение неравенства включает все значения выше 2, кроме 2.

      Пример 7: Решите и нарисуйте решение неравенства

      Давайте закончим хорошо, выполнив последний пример мастерства! Опять же, сначала сделайте это сами на бумаге, а затем сравните свое решение с ответом ниже.

      • Напишите исходную задачу. Объедините члены x в левой части, а затем дважды примените свойство распределения к правой части неравенства.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.