Линия параллельная основаниям трапеции делит одну боковую: № 25. Линия, параллельная основаниям трапеции, делит одну боковую сторону в отношении m:n. B каком отношении делит она вторую боковую сторону?

Содержание

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Навигация по странице: Определение трапеции Элементы трапеции Виды трапеций Основные свойства трапеции Стороны трапеции Средняя линия трапеции Высота трапеции Диагонали трапеции Площадь трапеции Периметр трапеции Окружность описанная вокруг трапеции Окружность вписанная в трапецию Другие отрезки трапеции

Определение.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия
    — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Рис.1 Рис.2

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m = a + b
2

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2


Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m — b

b = 2m — a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a — h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a — c·cos α — d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с = h       d = h
sin αsin β


Средняя линия трапеции

Определение.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m = a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m = 
S
h


Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h = sin γ · d1 d2 = sin δ · d1 d2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h = sin γ · d1 d2 = sin δ · d1 d2
2m2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h = 2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h = S
m


Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 — 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 — 2ac·cos α

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 =  d 2 + ab —  a(d 2 — c2)
a — b
d2 = 
c2 + ab —  a(c2 — d 2)
a — b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a — h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a — h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab — d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab — d12


Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S = (a + b) · h
2

2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S = d1d2 · sin γ = d1d2 · sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S = a + bc2((a — b)2 + c2 — d 2)2
22(a — b)

5. Формула Герона для трапеции

S = a + b√(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
|a — b|
где
p = a + b + c + d  — полупериметр трапеции.
2


Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d


Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R = a·c·d1
4√p(p — a)(p — c)(p — d1)

где

p = a + c + d1
2

a — большее основание


Окружность вписанная в трапецию

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r = h
2

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL = b   KN = ML = a   TO = OQ = a · b
22a + b


Все таблицы и формулы

Диагонали трапеции

Свойства диагоналей трапеции

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции


Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.

 
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции.

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции


Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными.
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны. 
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции


Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

Свойства трапеции, достроенной до треугольника


Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции


Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции ( BC/AD ).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции


Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами, углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения задач по геометрии на тему «диагонали трапеции»


Далее, в формулах используются следующие обозначения:

a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

 

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции,  одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту


Примечание. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме.

Задача.
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение.
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ: 16 см

Задача.
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение.
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину  KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

h2 + (24 — a)2 = (5√17)2
и
h2 + (24 — b)2 = 132

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h2 + (24 — 16 + b)2 = 425
h2  = 425 — (8 + b)2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b)2 + (24 — b)2  = 169
-(64 + 16b + b)2 + (24 — b)2 = -256
-64 — 16b — b2 + 576 — 48b + b2  = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h2  = 425 — (8 + b)2 = 425 — (8 + 12)2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см2

Ответ: площадь трапеции равна 80 см2.

0  

 Трапеция (задачи про основания) | Описание курса | Прямоугольная трапеция 

   

Задачи для повторения курса геометрии в 9 классе.

Задачи по геометрии 7-9 класс.

Учитель математики: Охрименко Нина Михайловна

Ленинградская средняя школа №1 Акжарского района Северо- Казахстанской области.

Содержание предлагаемых задач проверяет знания учащихся :овладение конкретными математическими знаниями, необходимые для применения в практической деятельности, интеллектуальное развитие, формирование качества мышления ,характерного для математической деятельности и необходимого человеку для полноценного функционирования в обществе. Разнообразный задачный материал по важнейшим разделам школьного курса геометрии 7-9 классов. Можно использовать при повторении геометрии в 9 классе ,а также как подготовительные в качестве тренировочных упражнений для самоподготовки к ЕНТ в 11 классе. Ко всем заданиям даны ответы. Так как у учащихся очень мало дополнительной литературы по математике ,я сделала подборку интересных и очень важных , необходимых задач ,которые затем учащиеся используют для самоподготовки к ЕНТ

Задачи для повторения курса геометрии в 9 классе.

1.Средняя линия ,параллельная основанию треугольника равна 4см, а периметр равнобедренного треугольника равен 18см. Найдите площадь

треугольника.(12)

2.Найдите наибольший угол треугольника,если медиана равна половине стороны к которой она проведена.(90)

3. Площадь ромба 18см2,острый угол равен300. Найдите сторону ромба.(6)

4.Диагонали ромба относятся как 2:1. Площадь ромба равна12см2. Найдите сторону ромба.(√15)

5.Острый угол параллелограмма АВСД равен 600.Диагональ ВД=3см и перпендикулярна стороне АВ. Найдите площадь параллелограмма.(3√3)

6. Найдите площадь прямоугольной трапеции с основаниями 7см и 3см и острым углом 600.(20√3)

7. Угол при основании равнобедренной трапеции равен 600,а ее диагональ равна 4см и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции.(4√3)

8. Основания трапеции равны 5 см и 15 см .а диагонали 12см и 16см. Найдите площадь трапеции.(96)

9. Основания трапеции равны 28см и 11см , а боковые стороны 25см и 26см . Найдите высоту трапеции.(24)

10. В прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 15 см вписан квадрат ,имеющий общий угол. Найдите периметр квадрат.(24)

11. В треугольник АВС вписан ромб АДЕК, так что угол А общий ,а вершина Е лежит на стороне СВ. Найдите сторону ромба, если АВ=12см и АС=8см.(4,8)

12.В треугольнике угол С=900, СД биссектриса , АД=5см. НайдитеВС, если высота ДМ треугольника АДС равна 3см.(21/4)

13.Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями 6см и 2см проведена прямая параллельная основаниям. Найдите длину ее отрезка , заключенного между боковыми сторонами трапеции.(3)

14. В трапеции с основаниями 2см и 6см, проведена средняя линия . Найдите длину ее отрезка ,заключенного между диагоналями трапеции.(2)

15. Найдите основание равнобедренного треугольника с углом при основании 300,если взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии ,равном 3см от боковых сторон и на расстоянии 2√3см от основания. (24)

16. Найдите наибольший угол треугольника со сторонами 1см ,√2 см и √5см.(135)

17. Найдите наибольший угол параллелограмма с сторонами 3см и 5см и диагональю 7см.(120)

18. Найдите боковые стороны равнобедренной трапеции, если основания и площадь равны соответственно 8см , 14см и 44см2.(5)

19 Найдите площадь ромба, если его высота равна 12см а диагональ 13см. (202,8)

20. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр 74дм ,а площадь3м2. (12и25)

21.В параллелограмме диагонали АС и ВД пересекаются в точкеМ, угол АВД=300, угол ВМС=450. Найти АВ, если АС=4√2см. (4)

22.Если диагональ параллелограмма , длина которой 4√6см составляет с основанием угол 600, а другая диагональ составляет с этим основанием угол 450, то длина другой диагонали:(12)

23.В трапеции АВСД диагональ АС образует с основанием СД угол 450, угол АВС=750, боковая сторона ВС=2√6см. Найдите основание АВ.

24. В треугольнике АВС , АВ=14см и медианы АК=15см и ВР=9см, М-точка пересечения медиан. Найдите угол АМВ .(120)

25. . В треугольнике АВС , АВ=13см и медианы АМ=18см и ВК=7,5см. Найдите площадь треугольника АВС .(90)

26. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне равна 15см, а высота ,опущенная на основание равна 18см. Найдите площадь треугольника. (144)

27. В равнобедренном треугольнике АВС основание АВ=4√2см, боковые стороны- 6см. Найдите медиану АМ. (5)

28.Стороны треугольника11см, 12см и 13см. Найдите длину медианы ,проведенной к большей стороне. (9,5)

29.В окружности проведена хорда ,перпендикулярнная к радиусу и проходящая через его середину. Найдите длину хорды, если диаметр равен 8см.(4√3)

30. Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину хорды МК ,если АР=2см, АТ=24см, АМ:КА=3:4. (14)

31.Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2:1, считая от вершины острого угла. Найдите стороны параллелограмма , если его периметр равен 60см. (12и 18)

32.Диагонали трапеции делят углы , прилежащие к большему основанию пополам. Периметр трапеции равен 36см, средняя линия равна 11,7см. Найдите длину большего основания. (17,1)

33. В равнобедренной трапеции АВСД диагональ АС является биссектрисой угла ВАД при основании АВ. Найдите площадь трапеции АВ=11см, СД=5см. (32)

34. В равнобедренной трапеции АВСД боковые стороны и меньшее основание равны 2см, диагональ ВД перпендикулярна боковой стороне АВ. Найдите площадь трапеции. (3√3)

35. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит его боковую сторону на отрезки длиной 2см и 4см, короткий лежит около основания. Найдите длину основания. (3)

36. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если биссектриса угла при основании делит его боковую сторону на отрезки длиной 3см и 2см, считая от основания. (75√7/16)

37. В равнобедренном треугольнике с основанием 5см и боковой стороной 20см. Найдите биссектрису угла при основании. (6)

38. . В треугольнике состоронами 2см, 3см и 4см. Найдите биссектрису среднего по величине угла .(√6)

39.Концы диаметра окружности удалены от касательной на 1см и 3см. Найдите угол между касательной и диаметром.(30)

40.Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная половине радиуса. Найдите угол между хордой и диаметром. (arcsin1/4)

41. Из точки на окружности проведены касательная и секущая . Найдите

длину касательной , если окружность делит касательную на отрезки 18см и 50см. (10√34,6√34)

42.Хорды АВ и СД пересекаются в точке М, причем АМ=МВ, СМ=16см, ДМ:МС=1:4. Найдите АВ. (16)

43. Хорды АВ и СД пересекаются в точке М, причем АМ:МВ=1:3, СД=20см, ДМ=5см. Найдите АВ. (20)

44.Внутри окружности радиуса 13см дана точка М на расстоянии 5см от центра. Через эту точку проведена хорда равная 25. Найти отрезки на которые хорда делится точкой М. (16и9)

45.Основание равнобедренного треугольника √32, а медиана к боковой стороне равна 5 см. Найдите длины боковых счторон. (6 и 6)

46.В окружность вписан правильный треугольник, площадь которого 9√3см2, а в треугольник вписана окрухность. Найдите площадь полученного кольца. (9∏)

47.В круге радиуса 6см по одну сторону от центра проведены две параллельные хорды , стягивающие дуги в 600и 1200. Найдите площадь части круга ,заключенного между хордами. (6∏)

48.В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12см и 6см. Найдите площадь круга. (225/4∏)

49.Общая хорда двух кругов стягивает дуги в 600и 1200. Найдите отношение площадей этих кругов. (3:1)

50. В прямоугольный треугольник вписана окружность.Точка касания делит один из катетов на отрезки 6см и 10см. Найдите площадь треугольника. (240)

51. Если в прямоугольном треугольнике гипотенуза 20см, а радиус вписанной окружности 4см, то сумма катетов равна. (28)

52. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружности равны 2см и 5см. (24)

53. Периметр прямоугольного треугольника 36см, а радиус вписанной в него окружности 3,5см. Найдите радиус описанной около него окружности. (7,25)

54. Стороны треугольника АВС равны 15см , 14см и 13см. О-точка пересечения медиан. Найдите площадь треугольника АОВ. (28)

55. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник , делит гипотенузу в отношении 2:3. Найдите радиус этой окружности, если меньший катет 12 см. (4)

56. В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом 2√3см. Высота РН делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1:2 считая от Р. Найдите периметр треугольника РМК. (36)

57. Основание треугольника равно 20, медианы боковых сторон 18см и 24см . Найдите площадь треугольника. (288)

58. Окружность , вписанная в равнобедренную трапецию , делит боковую сторону на отрезки 1 см и 4см. Найдите площадь трапеции. (20)

59. Найдите угол А в треугольнике АВС , если а=14см, в=16см,с=10см. (60)

60. В равнобедренном треугольнике высота равна 20м, а основание относится к боковой стороне как 4:3 . Найдите радиус круга , вписанного в этот треугольник. (8)

61.Четырехугольник АВСД вписан в окружность с центром О. Найдите угол АОС , если угол АВС=1300. (100)

62. Выпуклый четырехугольник АВСД вписан в окружность. Угол А=800. А угол А вдвое больше угла Д. Найдите наименьший угол четырехугольника АВСД . (60)

63.В ромб, который своей диагональю делится на два равносторонних треугольника вписана окружность радиуса 2см. Найдите сторону ромба. (8/√3)

64. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 2см. (2√2)

65. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если АВ=8см, АС=3см , уголА=600. (7/√3)

66. Точки А,В,С лежат на окружности. Найдите хорду АС , если угол АВС=300, а диаметр окружности равен 10см. (5)

67. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции с диагональю 10см и углом при основании 300. (10)

68. . Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции с основаниями 14см и 2см и углом 450 при основании. (5√2)

69. Равнобедренная трапеция с основанием 8см и боковой стороной 5см ,описана около окружности. Найдите радиус окружности. (2)

70. Равнобедренная трапеция с основаниями 8см и 2см , описана около окружности. Найдите площадь трапеции. (20)

71. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 600, площадь равна 24√3см2, вписана окружность. Найдите радиус окружности. (3)

72.Основания трапеции 4см и 16см .Найдите радиусы вписанной в трапецию и описанной около нее окружностей ,если обе они существуют. (4. 5/4√41)

73. В окружность вписана трапеция АВСД , в которую вписана окружность радиуса 2см. Найдите среднюю линию трапеции, если угол А=600. (8/√3)

74. Найдите длину гипотенузы. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе разбивает его на два треугольника с площадями 4см2 и 16см2. (10)

75. Площадь равнобедренной трапеции ,описанной около круга ,равна 12см, а острый угол при основании равен 300 . Найдите среднюю линию трапеции. (8)

76. Прямоугольная трапеция ,описана около окружности радиуса 3см. Найдите площадь трапеции, если одна из боковых сторон 10см. (48)

77. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12см и высотой 8см, проведена касательная параллельная основанию. Найдите отрезок касательной ,заключенный внутри треугольника (3)

78. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 17см, 65см и 80см. (7,2)

79. Четырехугольник АВСД со сторонами АВ=4см, ВС=2см, СД=6см , описан около окружности радиуса 5см. Найдите площадь четырехугольника. (50)

80. В равнобедренную трапецию вписана окружность.Точка касания делит боковую сторону в отношении 9:16, высота трапеции равна 24см. Найдите длину средней линии трапеции. (25)

Видеоресурсы

Наименование

Действия

Результат фильтрации: 13118 элементов

Внимание! Видеоматериалы, размещённые в данном разделе, представлены из открытых интернет-источников в исходном виде. В связи с этим Администрация сайта profspo.ru не несёт ответственности за содержание данных материалов и не является их правообладателем. Использование на сайте материалов из открытых интернет-источников осуществляется в соответствии со ст. 1274 ГК РФ («Свободное использование произведения в информационных, научных, учебных или культурных целях»).

«… пучок света в шумах …» — пьеса Хуго Балля и ее постановки | Юлиана Каминская

«. .. пучок света в шумах …» — пьеса Хуго Балля и ее постановки | Лектор: Юлиана Каминская | Организатор: Лекторий Cultura Смотрите это видео на Лекториуме: https://www.lektorium.tv/lecture/29584 Подписывайтесь на канал: https://www.lektorium.tv/ZJA Следите за новостями: https://vk.com/openlektorium https://www.facebook.com/openlektorium

Литература

«DIY культура города: открытый код и прототип» в рамках проекта «Искусство для города» | Лекториум

Лекция: «DIY культура города: открытый код и прототип» в рамках проекта «Искусство для города» | Курс: Искусство для города | Лектор: Хуан Чакон, Наталия Хози | Организатор: Научная среда Смотрите это видео на Лекториуме: https://www.lektorium.tv/lecture/28310 Подписывайтесь на канал:…

«Интернет Вещей». Открытая лекция Роба Ван Краненбурга

Интернет вещей (Internet of Things, IoT) — качественно новый этап развития интернета, позволяющий сопрягать физические и виртуальные объекты, процессы, системы. Проект IoT принят в качестве приоритетного на государственном уровне в ЕС (www.internet-of-things.eu) и Китае, является ключевым для…

Физика

«Сделано в России». Производство сыра

В видеосюжете рассказано об истории сыроварения, а также о технологических особенностях производства сыра с использованием современного оборудования.

Ветеринария и зоотехния

»Игротехника» в политологических исследованиях | Ольга Попова | СПбГУ | Лекториум

Лекция: »Игротехника» в политологических исследованиях | Лектор: Ольга Попова | Организатор: Санкт-Петербургский Государственный Университет (СПбГУ) Смотрите это видео на Лекториуме: https://lektorium.tv/lecture/15187 Подписывайтесь на канал: https://www.lektorium.tv/ZJA Следите за…

Политология

»Революции» на Ближнем Востоке: Тунис, Египет — кто следующий?

»Революции» на Ближнем Востоке: Тунис, Египет — кто следующий? | Лектор: Валерий Ачкасов | Организатор: Санкт-Петербургский Государственный Университет (СПбГУ) Смотрите это видео на Лекториуме: https://www. lektorium.tv/lecture/15202 Подписывайтесь на канал: https://www.lektorium.tv/ZJA Следите…

История

‘Psychological’ or `Mental’ Violence and Domestic Violence Laws: Problems and Solutions

‘Psychological’ or `Mental’ Violence and Domestic Violence Laws: Problems and Solutions | Курс: Актуальные проблемы юридической психологии. Потерпевшие и свидетели: от научных исследований к эффективной практике | Лектор: Cheryl Thomas | Организатор: Санкт-Петербургский Государственный Университет…

Психология

«Вызов инноватора». НИЯУ МИФИ

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» принял участие во флешмобе «Вызов инноватора».

Физика

«Гроб Магомеда»

Парение катушки с током Гервидс Валериан Иванович — доцент кафедры общей физики МИФИ, кандидат физико-математических наук.

Физика

«Меры Пальма детерминантных процессов» | Александр Буфетов | Лекториум

Меры Пальма детерминантных процессов | Лектор: Александр Буфетов | Организатор: Математическая лаборатория имени П. Л.Чебышева Смотрите это видео на Лекториуме: https://www.lektorium.tv/lecture/27887 Подписывайтесь на канал: https://www.lektorium.tv/ZJA Следите за новостями:…

Математика

«Мы Вас приветствуем!»

Опыт с перчаткой. Гервидс Валериан Иванович — доцент кафедры общей физики МИФИ, кандидат физико-математических наук.

Физика

«Создаешь, молодежь!» Часть 1

Физика

«Создаешь, молодежь!» Часть 2

Физика

«Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Задачи С2

Тема лекции: Часть С2 Лектор: Днестрян Андрей Игоревич, преподаватель кафедры высшей математики МФТИ Теоретическая справка: http://abitu.net/folders/file/206 Домашнее задание: http://abitu.net/folders/file/210 «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» — это цикл онлайн-занятий, состоящий из 10 уроков по физике…

Математика

«Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Задачи С4

Тема: Решение задач части С4 по математике. Лектор: Молчанов Евгений Геннадьевич, преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель», а также многократный призер…

Математика

«Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Задачи С5

Тема: Решение задач части С5 по математике. Лектор: Днестрян Андрей Игоревич, преподаватель кафедры высшей математики МФТИ. Домашнее задание: http://abitu.net/folders/file/192 «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» — это цикл онлайн-занятий, состоящий из 10 уроков по физике и 9 уроков по…

Математика

«Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Разбор досрочного варианта ЕГЭ 2014

Тема лекции: Разбор досрочного варианта ЕГЭ 2014. Лектор: Бабичева Татьяна Сергеевна, аспирант МФТИ, м.н.с. МФТИ, призер и победитель множества олимпиад по математике. «Экспресс-подготовка к ЕГЭ» — это цикл онлайн-занятий, состоящий из 10 уроков по физике и 9 уроков по…

Математика

«Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, С3

Лекция будет посвящена решению задач части С3 по математике. Лектор: Молчанов Евгений Геннадьевич, преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель», а также…

Математика

«Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Часть С1

Тема лекции: Постоянный ток. Часть С1 Лектор: Молчанов Евгений Геннадьевич, преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель», а также многократный призер…

Математика

«Экспресс-подготовка к ЕГЭ» от МФТИ, Математика, Часть С5

Тема лекций: Часть С5 Лектор: Молчанов Евгений Геннадьевич , преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель», а также многократный призер Всероссийской олимпиады по…

Математика

Авторизация

Используйте email-адрес, указанный вами при персональной регистрации, или данные, предоставленные вашему учебному заведению для регистрации.

E-mail или логин

Пароль (забыли пароль?)

запомнить

Регистрация по кодам приглашения
Обычная регистрация

  • Arial
  • Roboto
  • Times New Roman
  • Стандартный
  • Средний
  • Большой

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям: Свойство средней линии трапеции — доказательство — ЭкоДом: Дом своими руками

Содержание

чему равна, свойства, доказательство теоремы

Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.

Трапеция – это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 — AD и BC), две другие – боковыми (на рисунке AB и CD).

Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 — KL).

Свойства средней линии трапеции

  1. Длина средней линии равна половине суммы длин ее оснований:
  2. Средняя линия всегда параллельна ее основаниям.

Доказательство теоремы о средней линии трапеции

Доказать, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

Дана трапеция ABCD со средней линией KL. Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B и L. На рисунке 2 это прямая BQ. А также продолжить основание AD до пересечения с прямой BQ.

Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD:

  1. По определению средней линии KL точка L является серединой отрезка CD. Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.
  2. ∠ BLC = ∠ QLD, так как эти углы вертикальные.
  3. ∠ BCL = ∠ LDQ, так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD.

Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC = ∠ LQD, BC=DQ и самое главное — BL=LQ => KL, являющаяся средней линией трапеции ABCD, также является и средней линией треугольника ABQ. Согласно свойству средней линией треугольника ABQ получаем:

  1. KL = 1/2AQ = 1/2 (AD+DQ) = 1/2 (AD+BC)
  2. KL || AD по свойству средней линии треугольника. А так как AD || BC по определению трапеции, то KL || BC.

Для закрепления материала рекомендуем Вам просмотреть видео урок по данной теме:

Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

Скорее всего, Вам будет интересно:

Средняя линия трапеции ABCD: определение, свойства, признак, длина

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии трапеции, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания изложенного материала.

Определение средней линии трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.

  • LM – средняя линия трапеции ABCD
  • L – середина стороны AB, т. е. AL = LB
  • M – середина стороны CD, т.е. CM = MD

Свойства средней линии трапеции

Свойство 1

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется их полусумме.

Для рисунка выше:

Свойство 2

Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции.

Свойство 3

Средняя линия трапеции делит ее на две другие трапеции, площади которых соотносятся следующим образом (см. первый чертеж публикации):

Признак средней линии трапеции

Если отрезок, выходящий из середины боковой стороны трапеции, пересекает ее вторую боковую сторону и, при этом, параллелен основаниям фигуры, то он является средней линией этой трапеции.

Вторая средняя линия

Иногда дополнительно выделяют вторую среднюю линию трапеции – отрезок, соединяющий середины ее оснований. При этом следует помнить, что к ней не применимы Свойства 1-3 и Признак, рассмотренные выше.

Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой.

Пример задачи

Средняя линия трапеции равняется 25 см, а ее высота – 7 см. Найдите площадь фигуры.

Решение

Как мы знаем, площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту h: S = (a+b)/2 ⋅ h

В данном случае полусумма оснований – это и есть средняя линия. Обозначим ее буквой m. То есть m = (a+b)/2.

Таким образом, S = m ⋅ h = 25 см ⋅ 7 см = 175 см2.

Средняя линия т. Трапеция. Свойства, признаки, площадь. Средняя линия трапеции

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией
.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями
, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами
. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN
средняя линия, AB
и CD

— основания, AD
и BC
— боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача
: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема
: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC
=>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Мы соединяем A 5 с B и проводим такие прямые через A 4 , A 3 , A 2 и A 1 , которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 . Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Таким же образом, из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключении получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Средняя линия
фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Энциклопедичный YouTube

    1
    /
    3

    ✪ 8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника

    ✪ геометрия СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Атанасян 8 класс

    ✪ Средняя линия треугольника | Геометрия 7-9 класс #62 | Инфоурок

    Субтитры

Средняя линия треугольника


Свойства

  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
  • средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • Три средние линии треугольника разбивает его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником .
Признаки

  • если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника


Средняя линия четырёхугольника
— отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны.
Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.
Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода
    . Средние линии второго рода
    — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода
    выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания . На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с , а также . Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

Доказано!

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Вычисляем по формуле:

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большее основание:

Таким образом:

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

Таким образом DC=6. Вычисляем:

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Исходя из условия можем записать:

Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

Второе уравнение уже можно записать в виде:

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть другая величина.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD
, если стороны квадратных клеток равны 1.

Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.

– это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 — AD
и BC
), две другие – боковыми (на рисунке AB
и CD
).

Средняя линия трапеции
– это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 — KL
).

Свойства средней линии трапеции

Доказательство теоремы о средней линии трапеции

Доказать
, что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

Дана трапеция ABCD
со средней линией KL
. Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B
и L
. На рисунке 2 это прямая BQ
. А также продолжить основание AD
до пересечения с прямой BQ
.

Рассмотрим полученные треугольники LBC
и LQD
:

  1. По определению средней линии KL
    точка L
    является серединой отрезка CD
    . Отсюда следует, что отрезки CL
    и LD
    равны.
  2. ∠ BLC
    = ∠ QLD
    , так как эти углы вертикальные.
  3. ∠ BCL
    = ∠ LDQ
    , так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD
    и BC
    и секущей CD
    .

Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC
и LQD
равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC
= ∠ LQD
, BC=DQ
и самое главное — BL=LQ
=> KL
, являющаяся средней линией трапеции ABCD
, также является и средней линией треугольника ABQ
. Согласно свойству средней линией треугольника ABQ
получаем.

Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 Средняя линии треугольника. Средняя линия трапеции.

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

 

 

На рисунке средней линией является отрезок DE.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и DBE. Они подобны, так как имеют две пары пропорциональных сторон (AB = 2BD, BC = 2BE) и общий угол B. Значит, все углы в этих треугольниках равны. ∠BDE = ∠BAC, следовательно, DE||AC по признаку параллельности: соответствующие углы равны. Коэффициент подобия равен 2, значит, AC = 2DE.

Следствие. Три средних линии делят треугольник на 4 равных треугольника ADF, DBE, ECF, DEF.

Каждый из четырёх треугольников ADF, DBE, ECF, DEF подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 0,5.

 

 

Напомним, что трапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции. Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

 

 

На рисунке средней линией трапеции является отрезок EF.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

 

 

Дано: ABCD – трапеция, E – середина AB, F – середина CD.

Доказать: EF||BC||AD, EF = (BC+AD):2.

Доказательство. Проведем через вершину B и середину боковой стороны F трапеции прямую линию. Обозначим точку пересечения прямых BF и AD буквой G.

Рассмотрим треугольники BCF и FDG. В них CF = FD (по условию), ∠BFC = ∠DFG (вертикальные углы), ∠BCF = ∠GDF (накрест лежащие при параллельных прямых). Следовательно, треугольники равны по второму признаку.

Из равенства треугольников следует BF = FG и DG = BC. Значит, отрезок EF является средней линией треугольника ABG. Отсюда следует параллельность: EF||AD||BC.

Найдем длину EF. По теореме о средней линии треугольника EF = AG:2 = (AD+DG):2 = (AD+BC):2, что и требовалось доказать.

Чему равна средняя линия трапеции формула. Средняя линия. Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции
Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции
.

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции
.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2

или

LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными
.

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.

Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.

Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны
, то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований
.

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника
Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции
(BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка
    , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b

— основания трапеции

c, d

— боковые стороны трапеции

d1 d2

— диагонали трапеции

α β
— углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1.
Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований
. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2
. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3
. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание
. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме
.

Задача
.

Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение
.

Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC

9 / 6 = 24 / BC

BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ
: 16 см

Задача
.

В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение
.

Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим
длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле
нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит

AD = AM+BC+KD

a + 8 + b = 24

a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2

и

h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении

h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425

h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:

425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169

-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256

-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256

-64b = -768

b = 12

Таким образом, KD = 12

Откуда

h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25

h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований

, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции

S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ
: площадь трапеции равна 80 см 2 .

Средняя линия
фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника


Свойства

  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.
Признаки

  • Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.
  • Площадь и, соответственно, и объём отсекаемого средней линией треугольника равна 1/4 от площади и, соотвественно, объёму от всего данного треугольника.

Средняя линия четырёхугольника


Средняя линия четырёхугольника
— отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны.
Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.
Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона ;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода
    . Средние линии второго рода
    — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода
    выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона .
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
  • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции


Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции
— отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле:
E
F
=
A
D
+
B
C
2
{\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}}
, где AD
и BC
— основания трапеции.

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2
    .
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.

    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ
    .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b)
    .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2
    .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2
    .
  3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2
    .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2
    . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2
    .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ
    .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ
    . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ
    .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2
    .
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ
    .
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab
    .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2
    ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной
:

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение:
Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В решении планиметрических задач, помимо сторон и углов фигуры, нередко активное участие принимают и другие величины – медианы, высоты, диагонали, биссектрисы и прочие. К их числу относится и средняя линия.
Если исходный многоугольник – трапеция, то что представляет собой его средняя линия? Данный отрезок представляет собой часть прямой, которая пересекает боковые стороны фигуры посередине и располагается параллельно двум другим сторонам – основаниям.

Как найти среднюю линию трапеции через линию средины и основания

Если известны величина верхнего и нижнего оснований, то рассчитать неизвестное поможет выражение:

a, b – основания, l – средняя линия.

Как найти среднюю линию трапеции через площадь

Если в исходных данных присутствует значение площади фигуры, то с помощью данной величины также можно вычислить длину линии средины трапеции. Воспользуемся формулой S = (a+b)/2*h,
S – площадь,
h – высота,
a, b – основания.
Но, так как l = (a+b)/2, то S = l*h, а значит l=S/h.

Как найти среднюю линию трапеции через основание и углы при нем

При наличии длины большего основания фигуры, ее высоты, а также известных градусных мер углов при нем, выражение для нахождения линии средины трапеции будет иметь следующий вид:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, при этом
l – искомая величина,
a – большее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Если известно значение меньшего основания (при тех же остальных данных), найти линию средины поможет соотношение:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l – искомая величина,
b – меньшее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и углы

Рассмотрим ситуацию, когда в условиях задачи присутствуют значения диагоналей фигуры, углы, которые они образуют, пересекаясь друг с другом, а также высота. Рассчитать среднюю линию можно с помощью выражений:

l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d1, d2 – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

Как найти среднюю линию трапецииДля равнобедренной фигуры

В случае, если базовая фигура – трапеция равнобедренная, приведенные выше формулы будут иметь следующий вид.

  • При наличии значений оснований трапеции изменений в выражении не произойдет.

l = (a+b)/2, a, b – основания, l – средняя линия.

  • Если известны высота, основание и углы, к нему прилегающие, то:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – линия средины,
a, b – основания (b
α – углы при нем,
h – высота фигуры.

  • Если известна боковая сторона трапеции и одно из оснований, то определить искомую величину можно, обратившись к выражению:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – линия средины,
a, b – основания (b
h – высота фигуры.

  • При известных значениях высоты, диагоналей (а они равны между собой) и углах, образованных в результате их пересечения, линию средины можно найти следующим образом:

l=(d*d)/2h*sinγ или l=(d*d)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

  • Известны площадь и высота фигуры, тогда:

l=S/h,
S – площадь,
h – высота.

  • Если перпендикуляр-высота неизвестен, его можно определить с помощью определения тригонометрической функции.

h=c*sinα, поэтому
l=S/c*sinα,
l – линия средины,
S – площадь,
c – боковая сторона,
α- угол у основания.

Вторая средняя линия трапеции презентация. Средняя линия трапеции

Определение: средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. АК = КС ВЕ = СЕ КЕ – средняя линия АВС Определение: средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых её сторон. А ВС К Н Е АН = НВ КЕ = СЕ НЕ – средняя линия АВСК А В С К Е Сколько средних линий в треугольнике? Сколько средних линий в трапеции?

Средняя линия треугольника Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. А С В М К Дано: АВС, МК – средняя линия Доказательство: Т. к. по условию МК – средняя линия, то АМ = МВ = ½ АВ, СК = КВ = ½ ВС, Значит, ВМ АВ ВК ВС 1 2 В – общий для АВС и МВК, значит, АВС и МВК подобны по второму признаку подобия, следовательно, ВМК = А, значит, МК АС. Доказать: МК АС, МК = ½ АС МК АС 1 2 Из подобия треугольников также следует, что, т. е. МК = ½ АС.

Реши задачу F R N ? А В

Доказательство: Проведём А 1 В 1 А В С А1А1 В1В1 О С1С1 По условию АА 1, ВВ 1 – медианы значит, ВА 1 = СА 1, АВ 1 = СВ 1, т. е. А 1 В 1 – средняя линия. Значит, А 1 В 1 АВ, поэтому 1 = 2, 3 = 4. Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам. Значит, их стороны пропорциональны: АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 По свойству средней линии треугольника АВ = 2 А 1 В 1, т. е. АО ВО АВ А1ОА1О В1ОВ1О А1В1А1В1 2 1 Аналогично, СО С1ОС1О 2 1 Получим: С1ОС1О АОВОСО А1ОА1ОВ1ОВ1О 2 1

Средняя линия трапеции Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. А В С К М Р Дано: АВСК – трапеция МР – средняя линия Доказать: МР АК, МР ВС МР = Доказательство: О Проведём через точку М прямую МЕ АК, докажем, что МЕ пройдёт через Р. Т. к. АВСК – трапеция, то ВС АК, а, значит, ВС МЕ АК Т. к. МР – средняя линия, то АМ= МВ, КР = СР Е Следовательно, МР лежит на МЕ, значит, МР АК, МР ВС. Проведём ВК. По теореме Фалеса О – середина ВК, значит, МО – средняя линия АВК, ОР – средняя линия ВСК МР = МО + ОР = ½ АК + ½ ВС = ½ (АК + ВС) = По теореме Фалеса МЕ пересечёт СК в середине СК, т. е. в точке Р.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts. google.com

Подписи к слайдам:

Средняя линия (8 класс)

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника. Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называют СРЕДНЕЙ ЛИНИЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА.

Теорема Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. т.е.: КМ ║ АС КМ = ½ АС A B C K M

Решить задачу устно: A B C K M 7 см Дано: M К – сред. линия Найти: АС?

Работа в парах:

Решим задачу: Дано: MN – сред. линия Найти: P ∆ АВС M N A B C 3 4 3, 5

Работа в парах:

Средняя линия трапеции

Вспомним: Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны A D B C BC || AD — основания AB łł CD – боковые стороны

Средняя линия трапеции. Определение: Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. A D B C M N MN – средняя линия трапеции ABCD

Теорема о средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. т.е.: М N ║ВС║А D М N = ½ (ВС+А D) M N A D B C

Решить устно: M N A D B C 6,3 см 18,7 см?

Решить устно в парах: Дано: AB = 16 см; CD = 1 8 см; М N = 15 см Найти: P ABCD = ? M N A D B C

Самостоятельная работа Задача: Средняя линия трапеции равна 5 см. Найти основания трапеции, если известно, что нижнее основание больше верхнего основания в 1,5 раз. Решение: A D B C 5 см Пусть BC = Х см тогда AD = 1.5X см BC+AD = 10 см X + 1.5X = 10 X = 4 Значит: BC = 4 см AD = 6 см

СПАСИБО ЗА УРОК!!!

Презентация разработана учителем математики ГБОУ СОШ №467 Г. Санкт-Петербурга, Колпинского района Лугвиной Натальей Анатольевной

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок обобщения и закрепления знаний по теме «Средняя линия треугольника. Средняя линия трапеции» в 8 классе с использованием ИКТ….

Рабочая тетрадь — это индивидуальное творческое задание ученика. которое предполагает самостоятельную работу с текстом по теме «Трапеция. Средняя линия трапеции», применение знаний при решении задач. …

краткое содержание других презентаций

«Построение правильных многоугольников» — ?=60?. ·180?. Геометрия. ?=. n. n — 2. Работу выполнила учитель математики МОУ «Гимназия №11» Лисицына Е.Ф.

«Теорема Фалеса» — Теорема Фалеса. Именем Фалеса названа геометрическая теорема. Астрономия. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Презентация по геометрии Ученицы 9 «А» класса Сорогиной Полины. Милетский материалист. Геометрия. По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е. Фалес широко известен как геометр. И так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е.

«Разложение вектора по двум неколлинеарным» — Пусть р коллинеарен b . Доказательство: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Доказательство: Пусть а и b — неколлинеарные векторы. Лемма: Если векторы а и b коллинеарны и а? 0, то существует такое число k, что b = ka. Докажем, что любой вектор р можно разложить по векторам а и b. Геометрия 9 класс. Тогда р = уb , где у – некоторое число.

«Правильные многоугольники 9 класс» — Урок геометрии в 9 классе. Луковникова Н.М., учитель математики. Построение правильного пятиугольника 1 способ. МОУ гимназия №56 г.Томск-2007. Правильные многоугольники.

«Симметрия фигур» — Прямая а называется осью симметрии фигуры. D. Одна фигура получена из другой преобразованием. Оглавление. Преобразование, обратное движению, также является движением. А1. Выполнил:Пантюков Е. А. Существует множество различных видов симметрии. М1. Преобразование фигур.

«Симметрия относительно прямой» — Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Симметрия в природе. Савченко Миша, 9В класс. Угол. Кто же изображен на фотографии оригинале? Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9». Равнобедренная трапеция. Построить отрезок А1В1 симметричный отрезку АВ относительно прямой. Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Прямоугольник.

«Урок площадь трапеции» — В прямоугольной трапеции основания 5см. и 17см. , а меньшая боковая сторона 10см. Учитель подводит итоги, задавая вопросы: Кто получил 5, 4, 3 балла? В каждом случае формулируют теорему, которую доказали. Решение поставленной задачи. Как вычислить площадь трапеции? Какие элементы плоских фигур используются в формулах площадей?

«Задачи на теорему Пифагора» — №21 Найти: Х. №18 Найти: Х. №27 Найти: Х. Задачи на готовых чертежах («Теорема Пифагора»). №23 Найти: Х. №25 Найти: Х. №26 Найти: Х. №13 Найти: Х. №20 Найти: Х. №19 Найти: Х. №14 Найти: Х. Вы справились со всеми предложенными заданиями. №29 Найти: Х. №28 Найти: Х. №30 Найти: Х. №22 Найти: Х.

«Теорема Фалеса» — Фалес широко известен как геометр. Астрономия. Милетский материалист. Проведем через точку В2 прямую ЕF, параллельную прямой А1А3. Из равенства треугольников следует равенство сторон В1В2=В2В3. Теорема Фалеса. Считается, что Фалес первым изучил движение Солнца по небесной сфере. Треугольники В2В1F и В2В1Е равны по второму признаку равенства треугольников.

«Теорема синусов» — Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Решение: Устная работа: Ответы к задачам по чертежам: Проверка домашнего задания. Тема урока: Теорема синусов. Теорема синусов:

«Урок теорема Пифагора» — Определить вид треугольника: Знакомства с теоремой. Доказательство теоремы. Разминка. Теорема Пифагора. И обрете лестницу долготою 125стоп. План урока: Исторический экскурс. Показ картинок. Решение простейших задач. Вычислите высоту CF трапеции ABCD. Доказательство. Определить вид четырехугольника KMNP.

«Теорема Пифагора 8 класс» — ФИГУРЫ. Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные. Дано: прямоугольный треугольник a,b катеты с- гипотенуза. Высота. Доказательство Бхаскари. Открытия пифагорийцев в математике. Дано: Прямоугольный треугольник, a, b – катеты, с — гипотенуза Доказать: c2 = a2 + b2. Меньшая сторона прямоугольного треугольника.

Тема «Средняя линия трапеции» относится к одной из важных тем курса геометрии. Данная фигура довольно часто встречается в различных задачах, как и ее средняя линия. Задания, содержащие данные этой темы часто встречаются в итоговых контрольных и аттестационных работах. Знание по данной теме могут также пригодиться при обучении в средних и высших заведениях.

Хотя и в теме заявлена фигура трапеция, но рассмотрение данной темы может проходить в период изучения темы «Векторы» и «Применение векторов при решении задач». Это можно понять, глядя на слайд презентации.

Автор здесь определяет среднюю линию, как отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Более того, здесь же отмечено, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна их полусумме. Вот именно в ходе доказательства этого утверждения и пригодятся знания, связанные с векторами. Применяя правила сложения векторов по чертежу, который показан, как иллюстрация условия, получаются равенства. Эти равенства имеют одинаковую левую часть, и она является средней линией трапеции в виде вектора. Складывая эти равенства, получаются большое выражение в правой части равенства.

слайды 1-2 (Тема презентации «Средняя линия трапеции», определение средней линии трапеции)

Если внимательно рассмотреть, то в двух случаях получается сложение противоположных векторов, дающих в результате нуль. Тогда остается, что двойной вектор, содержащий среднюю линию трапеции, равен сумме векторов, содержащий основания. Разделив это равенство на 2, получается, что вектор, содержащий среднюю линию, равен половине суммы векторов, содержащих основания. Теперь идет сравнение векторов. Получается, что все эти векторы одинаково направленные. Это значит, что знаки векторов можно смело опускать. И тогда получается, что сама средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Презентация содержит единственный слайд, который несет в себе большое количество информации. Здесь дано определение средней линии трапеции, а также указано ее основное свойство. В курсе геометрии это свойство является теоремой. Так здесь доказана теорема с использованием знаний понятия векторов и действий над ними.

Учитель может данную презентацию дополнить своими примерами и задачами, но все, что требуется для среднего уровня знаний по данному предмету здесь опубликовано. Более того, так автор оставил возможность учителю пофантазировать, доработать то, что ему самому захочется для того,чтобы создать соответствующую атмосферу на уроке. Не стоит забывать и про сам настрой на урок. Тогда с помощью данной презентации точно можно добиться желаемого результата.

Средняя линия — трапеция — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Средняя линия — трапеция


Cтраница 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований.
 [1]

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
 [2]

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобочной. В равнобочной трапеции углы при основании равны. Трапеция, у которой хотя бы один угол прямой, называется прямоугольной.
 [3]

Средняя линия трапеции делит высоту трапеции на два равных отрезка.
 [4]

Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми 2 дм.
 [5]

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и делит высоту пополам.
 [6]

Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равча 2 дм.
 [7]

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.
 [8]

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и длина ее равна полусумме длин оснований.
 [9]

Средняя линия трапеции равна 21 4, а биссектриса большего угла параллельна боковой стороне.
 [10]

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
 [11]

Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований.
 [12]

Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из оснований больше другого на 4 см. Найти основания трапеции.
 [13]

Средняя линия трапеции равна 56 дм.
 [14]

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4




Линия, параллельная основанию трапеции

Есть ряд интересных особенностей линий, проведенных параллельно основанию трапеции. В этой задаче мы видели одну из них — линию, параллельную основанию и соединяющую середины ног.

Если основания трапеции — это a и b, длина этой линии равна ½ (a + b). Позже мы будем иметь дело с другой такой интересной линией — линией, параллельной основанию трапеции, которая разделяет ее на две похожие трапеции.

Но здесь мы рассмотрим следующую линию, проведенную параллельно основанию трапеции и разделившую трапецию на 2 равные области. Эту линию иногда называют биссектрисой площади.

Задача

ABCD — трапеция, AB || CD. Ef параллелен основаниям (EF || AB, EF || AB) и делит ABCD на две равные области. Найдите формулу длины EF, используя AB и CD.

Стратегия

Назовем верхнюю основу «a», нижнюю основу «b» и среднюю линию «c».

Линия c создает две трапеции внутри исходной трапеции. Площади двух маленьких трапеций равны, поэтому назовем эту область «S», а площадь большой трапеции — 2S.

Мы запишем формулы для площадей двух маленьких трапеций, используя основы a, b и c, а затем воспользуемся некоторой базовой алгеброй для решения относительно c, учитывая тот факт, что площади равны, и что общая высота меньших трапеций равна высоте большой: h 1 + h 2 = h

Решение

Для верхней малой трапеции:
(1) S = (a + c) · h 1 /2 → h 1 = 2S / (a ​​+ c)

Для нижней малой трапеции:
(2) S = (b + c) · h 2 /2 → h 2 = 2S / (b + c)

Для большой трапеции h = h 1 + h 2 , а площадь равна 2S, поэтому
(3) 2S = (a + b) · h / 2 = (a + b) · [2S / (a ​​+ c) + 2S / (b + c)] / 2
(4) 1 = (a + b) / [1 / (a ​​+ c) + 1 / (b + c)] / 2 // делим обе стороны на 2S
(5) 2 = (a + b) / (a ​​+ c) + (a + b) / (b + c) // переставляем
(6 ) 2 · (a + c) · (b + c) = (a + b) (b + c) + (a + b) (a + c) // общий знаменатель и перекрестное умножение
(7) 2ab + 2ac + 2cb + 2c 2 = ab + ac + b 2 + bc + a 2 + ac + ba + bc
(8) 2c 2 = b 2 + a 2
(9) c = √ [(b 2 + a 2 ) / 2]

Итак, c — среднее квадратичное (или среднеквадратичное значение — RMS) двух оснований трапеции.

Средняя линия трапеции. Свойства, знаки, площадь. Средняя линия трапеции

Четырехугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией .

Параллельные стороны трапеции называются основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами … Если стороны равны, то такая трапеция равнобедренная. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя линия трапеции

Средняя линия — это отрезок прямой, соединяющий середины сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

Теорема:

Если прямая линия, пересекающая середину одной стороны, параллельна основанию трапеции, то она делит трапецию второй стороны пополам.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин ее оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — стороны

МН = (AB + DC) / 2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин ее оснований.

Основная задача : Докажите, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине основания трапеции.

Центральная линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Он параллелен третьей стороне и составляет половину длины третьей стороны.
Теорема : Если линия, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне этого треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC и BN = NC =>

Применение свойств треугольника и трапеции средней линии

Разделение отрезка на определенное количество равных частей.
Задача: разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p — случайный луч с началом в точке A, не лежащий на прямой AB. Накладываем последовательно 5 равных отрезков на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​A 5
Соединяем A 5 с B и проводим такие линии через A 4, A 3, A 2 и A 1, которые параллельны A 5 B. Они пересекают AB соответственно в точках B 4, B 3, B 2 и B 1. Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 видим, что BB 4 = B 4 B 3. Таким же образом из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

При этом из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В заключение получаем :
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Понятно, что чтобы разделить отрезок AB на другое количество равных частей, нам нужно спроецировать такое же число равных отрезков на луч p.А затем продолжайте, как описано выше.

средняя линия фигуры в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие использовано для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция.

Энциклопедический YouTube

    1
    /
    3

    ✪ 8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника

    ✪ геометрия СРЕДНИЙ ТРЕУГОЛЬНИК Атанасян 8 сорт

    ✪ Средняя линия треугольника | Геометрия 7-9 класс №62 | Инфо-урок

    Субтитры

Средняя линия треугольника

Свойства
  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • , когда все три средние линии пересекаются, образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
  • средняя линия отсекает треугольник, похожий на этот, а его площадь составляет одну четвертую площади исходного треугольника.
  • Три средние линии треугольника делят его на 4 равных (одинаковых) треугольника, похожих на исходный треугольник. Все четыре одинаковых треугольника называются средними треугольниками.Центр этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником.
Знаки
  • если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.

Средняя линия четырехугольника

Средняя линия четырехугольника — отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника.

Недвижимость

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Второй соединяет 2 другие противоположные стороны. Третий соединяет центры двух диагоналей (не все четырехугольники имеют точку пересечения, которая делит диагонали пополам).

  • Если в выпуклом четырехугольнике средняя линия составляет равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.
  • Длина центральной линии четырехугольника меньше половины суммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырехугольника — это вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырехугольника, а центр лежит на пересечении срединных линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
  • Последняя точка означает следующее: В выпуклом четырехугольнике четыре средних линии второго рода . Средние линии второго рода — четыре отрезка внутри четырехугольника, проходящие через середины его соседних сторон, параллельных диагоналям.Четыре средние линии второго вида выпуклый четырехугольник, разрежьте его на четыре треугольника и один центральный четырехугольник. Этот центральный четырехугольник — параллелограмм Вариньона.
  • Точка пересечения средних линий четырехугольника является их общей серединой и делит половину отрезка, соединяющего середины диагоналей. Кроме того, она

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и дайте нам знать, если у вас возникнут вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация — это данные, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или для связи с ним.

Вас могут попросить предоставить вашу личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

  • Когда вы отправляете запрос на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. Д.

Как мы используем вашу личную информацию:

  • Личная информация, которую мы собираем, позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
  • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как аудит, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
  • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном рекламном мероприятии, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае необходимости — в соответствии с законом, постановлением суда, в ходе судебного разбирательства и / или на основании запросов общественности или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть вашу персональная информация. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если мы определим, что такое раскрытие необходимо или целесообразно по соображениям безопасности, правоохранительной деятельности или по другим социально важным причинам.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему третьему лицу — правопреемнику.
Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Уважение вашей конфиденциальности на уровне компании

Чтобы убедиться, что ваша личная информация в безопасности, мы доводим до наших сотрудников правила конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением мер конфиденциальности.

В этой статье мы сделали для вас еще одну подборку трапециевидных задач. Условия так или иначе связаны с его средней линией. Типы задач взяты из открытого банка типовых задач. При желании можно освежить теоретические знания… В блоге уже освещены задачи, к условиям которых тоже относятся. Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины сторон. Он параллелен основаниям и равен их полусумме.

Прежде чем решать задачи, давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ AC, пересекающаяся со средней линией, образует точку K, диагональ BD — точку L.Докажите, что отрезок KL равен половине разницы между основаниями.

Прежде всего отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на его основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте себе отрезок линии, соединяющий две базовые точки, он разделит эту трапецию на две другие. Получается, что отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину стороны с другой стороны, будет проходить через ее середину.

Он также основан на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых мы отложим последовательно несколько равных отрезков и проведем через их концы параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отрежут равные отрезки на второй прямой.

То есть в данном случае K — это середина AC, а L — середина BD. Следовательно, EK — это средняя линия треугольника ABC, LF — средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Теперь мы можем выразить отрезок KL через основания:

Проверено!

Этот пример дан не случайно.В задачах для самостоятельного решения есть как раз такая задача. Только это не говорит о том, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии. Рассмотрим задачи:

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания 30 и 16.

Рассчитываем по формуле:

27820. Средняя линия трапеции 28 и меньше база равна 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большую базу:

Таким образом:

27836. Перпендикуляр, опущенный от вершины тупого угла к большему основанию равнобедренной трапеции, делит его на части длиной 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Чтобы найти осевую линию, вам необходимо знать основание. Базу AB найти несложно: 10 + 4 = 14. Найдите DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

AF, FE и EB будут 4, 6 и 4 соответственно. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры, опущенные к большему основанию, делят ее на три сегмента.Два из них, являющиеся сторонами отрезанных прямоугольных треугольников, равны между собой. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противоположные стороны равны. В этой задаче:

Таким образом DC = 6. Вычисляем:

27839. Основания трапеции равны 2: 3, а средняя линия — 5. Найдите меньшее основание.

Введем коэффициент пропорциональности x.Тогда AB = 3x, DC = 2x. Можно написать:

Следовательно, меньшее основание 2 ∙ 2 = 4.

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите сторону трапеции.

Исходя из условия, мы можем написать:

Если обозначить среднюю линию через значение x, то получим:

Второе уравнение уже можно записать как:

27841. средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4.Найдите большую основу трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как x, тогда большее (AB) будет равно x + 4. Мы можем написать

Мы получили, что нижнее основание — это ранняя пятерка, поэтому большее — 9

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два сегмента, разница между которыми равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Мы можем легко найти большее основание трапеции, если вычислим отрезок EO. Это средняя линия в треугольнике ADB, а AB = 2 ∙ EO.

Что у нас есть? Говорят, что средняя линия равна 12, а разница между сегментами EO и OF равна 2. Мы можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в этом случае можно подобрать пара чисел без вычислений, это 5 и 7. Но, тем не менее, решим систему:

Отсюда EO = 12–5 = 7. Таким образом, большее основание равно AB = 2 ∙ ЭО = 14.

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции — 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота, проведенная через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции, лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высоты делятся в половине.

Казалось бы, чтобы вычислить среднюю линию, надо найти основания.Тут возникает небольшой тупик … Зная высоту, в таком случае рассчитать базы? И не как! Таких трапеций с фиксированной высотой и пересекающимися под углом 90 градусов диагоналями очень много. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам не нужно знать сами основания, достаточно знать их сумму (или половину суммы). Мы можем сделать это.

Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом, образуются равнобедренные прямоугольные треугольники с высотой EF:

Из вышесказанного следует, что FO = DF = FC, а OE = AE = EB. А теперь запишем, какая высота выражается в отрезках DF и AE:

Итак, средняя строка — 12.

* В общем, это задача, как вы понимаете, для вербального счета. Но я уверен, что подробное объяснение необходимо. А так … Если посмотреть на фигуру (при условии, что при строительстве соблюдается угол между диагоналями), сразу бросается в глаза равенство FO = DF = FC, а OE = AE = EB.

В составе прототипов также есть типы заданий с трапециями. Он строится на листе в ячейке, и вам нужно найти среднюю линию, сторона ячейки обычно равна 1, но может быть другое значение.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD , если стороны квадратных ячеек равны 1.

Все просто, мы вычисляем основания по ячейкам и используем формулу: (2 + 4) / 2 \ u003d 3

Если базы строятся под углом к ​​сетке ячеек, то есть два пути.Например!

Средняя линия трапеции, и особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства определенных теорем.

Представляет собой четырехугольник, всего 2 стороны которого параллельны друг другу. Параллельные стороны называются основаниями (на рисунке 1 — AD и BC ), две другие — боковыми (на рисунке AB и CD ).

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 — KL ).

Свойства осевой линии трапеции

Доказательство теоремы о средней линии трапеции

Докажите , что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.

Дана трапеция ABCD со средней линией KL … Чтобы доказать рассматриваемые свойства, необходимо провести прямую линию через точки B и L … На рисунке 2 это прямая BQ … А также продолжить фундамент AD до пересечения линии BQ .

Рассмотрим получившиеся треугольники LBC и LQD :

  1. По определению средней линии KL точка L является средней точкой сегмента CD … Отсюда следует, что сегменты CL и LD равны.
  2. ∠ BLC = ∠ QLD , поскольку эти углы вертикальные.
  3. ∠ BCL = ∠ LDQ , так как эти углы лежат поперек параллельных прямых AD и BC и секущей CD .

Из этих трех равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилегающим к ней углам (см. Рис. 3). Отсюда ∠ LBC = ∠ LQD , BC = DQ и самое главное — BL = LQ => KL , которая является средней линией трапеции ABCD , также является средняя линия треугольника ABQ … По свойству средней линии треугольника ABQ получаем.

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных сторон. На рисунке ниже показано несколько различных типов трапеций.

Примечание. Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон, подразумевая, что он может содержать две пары параллельных сторон, что делает его параллелограммом. В рамках данной статьи мы определим трапецию как четырехугольник с одной парой параллельных сторон.

Грани трапеции

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями.Непараллельные стороны называются ножками. Высота (или высота) — это отрезок линии, используемый для измерения кратчайшего расстояния между двумя основаниями.

Углы трапеции

В трапеции пара углов, имеющих общее основание, называется базовыми углами. Для трапеций, показанных на диаграмме ниже, A и ∠D — это базовые углы, а ∠B и ∠C — базовые углы. Пара углов рядом с опорой дополнительные: ∠A + ∠B = 180 ° и ∠C + ∠D = 180 °.

Срединный отрезок трапеции

Середина трапеции — это отрезок прямой, соединяющий середину ее ног.Средний сегмент параллелен основаниям и имеет длину, равную половине суммы двух оснований.

На рисунке выше средний сегмент EF делит ветви AB и CD пополам и

Площадь трапеции

Площадь А трапеции равна половине произведения суммы ее оснований и ее высоты.

, где h — высота, а b 1 и b 2 — базовые длины.

Классификация трапеций

Трапеции можно классифицировать как разносторонние или равнобедренные в зависимости от длины ног.Если ноги и углы основания трапеции совпадают, это равнобедренная трапеция. В остальном это разносторонняя трапеция.

Чешуйчатая трапеция Равнобедренная трапеция
Ножки или углы основания не совпадают Конгруэнтные ножки и углы основания

Трапеции также можно классифицировать как прямые трапеции или тупые трапеции в зависимости от их углов.Если одна из ножек перпендикулярна основанию, трапеция представляет собой прямую трапецию. В противном случае трапеция должна содержать два тупых угла и называется тупой трапецией.

Правая трапеция Тупая трапеция
Одна нога перпендикулярна основаниям. Два угла тупые.

Равнобедренные трапеции

Равнобедренная трапеция — это особая трапеция с совпадающими сторонами и углами основания.Он обладает следующими свойствами.

  • Две диагонали равнобедренной трапеции совпадают. Они также образуют равные треугольники. На изображенной ниже равнобедренной трапеции диагонали AC и BD совпадают. Поскольку ноги равнобедренной трапеции конгруэнтны, а следующие пары треугольников имеют общее основание, △ ABD ≅ DCA и △ ABC ≅ △ DCB согласно постулату Сторона-Сторона-Сторона.
  • Соотношение сегментов, составляющих диагонали трапеции, пропорционально. На диаграмме выше AE = DE, BE = CE и
  • Равнобедренная трапеция имеет одну линию симметрии: высоту, разделяющую ее основания пополам.На рисунке выше высота FE делит пополам основания AD и BC. Отражение равнобедренной трапеции ABCE поперек FE сохраняет его, делая FE линией симметрии.

Упражнения по математике

]]>
  • Матрицы
  • Алгебра
  • Геометрия
  • Функции
  • Тригонометрия
  • Координатная геометрия
  • Комбинаторика
Suma y resta Продукт для эскалара Продукт Inversa
Мономы Полиномы Особые продукты Уравнения Квадратные уравнения
Радикальные выражения Системы уравнений Последовательности и серии Внутренний продукт Экспоненциальные уравнения
Матрицы Детерминанты Инверсия матрицы Логарифмические уравнения Системы трех переменных уравнений
Двумерные фигуры Площади Теорема Пифагора Расстояния
Графики Определение уклона Положительный или отрицательный наклон Определить наклон прямой Ecuación de una recta Уравнение прямой (из графика)
Квадратичная функция Posición relativa de dos rectas Асимптоты Пределы Distancias
Непрерывность и разрывы
Теорема Пифагора Синус Косинус Касательная Косеканс Секант

Котангенс

Тригонометрические идентификаторы
Тригонометрические функции острого угла Тригонометрические функции связанных углов Решение прямоугольных треугольников Закон косинусов Закон синусов
Ecuación de una recta Posición relativa de dos rectas Distancias Углы в пространстве Внутренний продукт
Факториал Варианты без повторов Вариации с повторением Перестановки с повторением Перестановки без повторов
Упражнения Круговые перестановки Биномиальный коэффициент Комбинации с повторением Комбинации без повторов
Среднее арифметическое

Параллельно через пересечение диагоналей.

Параллель через пересечение диагоналей.




Необязательно, чтобы трапеция была равнобедренной. Возьмите любую трапецию
ABCD с диагоналями AC и BD , пересекающимися в точке E .
Пусть a = AB и b = CD . Пусть c будет длиной
отрезка FG параллельно двум основаниям трапеции. Наш
проблема состоит в том, чтобы выразить c через a и b .

———————————

Вытяните стороны DA и CB так, чтобы они встретились в точке H. Постройте линию A, параллельную стороне.
DA через G и продолжается до места пересечения AB в точке J (внешней по отношению к AB)
и CD в K (внутренний для CD).

Это дает следующие похожих треугольников : HAB, HDC, GJB,
GKC. Обратите внимание, что в терминах a , b и c , BJ = c
a и CK = b c

Следовательно, учитывая треугольники GJB и HAB, отношение подобия
есть и учитывая треугольники GKC и HDC, отношение подобия. Следовательно, у нас есть отношение, включающее a, b и c, которое мы можем решить для
c.

Если три числа таковы, что по любой части наибольшее
срок превышает средний срок, а средний срок превышает третий срок
та же часть третьего и среднего члена — это среднее гармоническое
первого и третьего. Это соотношение показано в этом уравнении.
Обычно отношение записывается в одной из следующих форм, чтобы показать, что
c — гармоническое среднее положительных чисел a и b :

или же

Таким образом, длина отрезка параллельной прямой через точку пересечения
диагоналей — это гармоническое среднее оснований трапеции.


Возврат



трапеция и ее теоремы

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

В этом разделе мы обсудим трапецию и ее теоремы.

Трапеция — это четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон. AB || CD. (если есть две пары параллельных прямых, то это параллелограмм)

Когда непараллельные стороны трапеции равны, то это равнобедренная трапеция.
Теорема 1: Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда углы основания совпадают.

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция. AD = BC и AB || CD.

Докажите, что: ∠C = ∠D

Заявления Причины
1) ABCD — трапеция. 1) Дано
2) AB || CD 2) Дано
3) AD = BC 3) Дано
4) DA || CE 4) По конструкции
5) ADCE — параллелограмм. 5) По свойствам параллелограмма.
6) DA = CE и DC = AE 6) По свойствам параллелограмма.
7) BC = CE 7) BC = AD и AD = CE (переходное свойство)
8) ∠CEB ≅ & CBE 8) Если BC ≅ CE, то противоположный им угол конгруэнтен.
9) ∠DAB ≅ ∠ABC 9) свойство параллелограмма и углов линейной пары
10) ∠A + ∠D = 180 и ∠B + ∠C = 180 10) Внутренние углы на с той же стороны трансверсали являются дополнительными.
11) ∠A + ∠D = ∠C + ∠B 11) Транзитивность (правые части одинаковы, поэтому левые части равны)
12) ∠D = ∠C 12) Сверху (∠A = ∠B)

Пример: В форме трапеции PQRS, PQ || RS и PS = QR. Если ∠S = 60 0 , найдите оставшиеся углы.
Решение:
PQ || RS и PS = QR, поэтому трапеция PQRS является равнобедренной трапецией.
У равнобедренной трапеции углы основания равны. (трапеция и ее теоремы)
∠S = ∠R и ∠P = ∠Q
Но ∠S = 60 0
∴ ∠R = 60 0
Пусть ∠P = ∠Q = x
Сумма всех углов в четырехугольнике 360.
∴ ∠P + ∠Q + ∠S + ∠R = 360
x + x + 60 + 60 = 360
2x +120 = 360
2x = 360-120
2x = 240
∴ x = 240/2
x = 120
∠P = ∠Q = 120 0
__________________________________________________________________
Некоторые важные теоремы трапеций приведены ниже:

1.Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда базовые углы совпадают.
2. Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда диагонали совпадают.
3. Если трапеция равнобедренная, противоположные углы являются дополнительными.
Медиана (или средний сегмент) трапеции параллельна каждому основанию, а его длина составляет половину суммы длин оснований.
Никогда не предполагайте, что трапеция равнобедренная, если вам не предоставят (или не можете доказать) эту информацию.

Практика
1) В форме трапеции ABCD, AB || CD и BC = AD. Если m∠C = 65 0 , найдите m∠D.
2) PQRS — это трапеция, в которой PQ || RS. Если ∠P = ∠Q = 40, найдите размеры двух других углов.
3) В трапеции ABCD B = 120 0 Найдите m∠C.
4) В четырехугольнике HELP, если EP = LH, то какой это четырехугольник?
5) В четырехугольнике углы имеют соотношение 4: 5: 3: 6.Найдите размеры каждого угла.
6) Если три угла трапеции равны 130 0 , 120 0 , 50 0 и 2x 0 . Найдите x и 4-й угол.
7) Нарисуйте равнобедренную трапецию с именем PQRS, PS || QR и PQ = SR.


Четырехугольник

• Введение в четырехугольник
• Типы четырехугольника
• Свойства четырехугольника
• Параллелограмм и его теоремы
• Прямоугольник и его теоремы
• Квадрат и его теоремы
• Ромб и его теоремы
• Трапеция и его теоремы
• Воздушный змей и его теоремы
• Теорема средней точки

Геометрия

Домашняя страница

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

Как найти площадь трапеции без длины одной из параллельных сторон

Трапеция — это четырехугольная геометрическая форма, имеющая две параллельные и две непараллельные стороны. Площадь трапеции можно рассчитать как произведение высоты и среднего значения двух параллельных сторон, также известных как основания. Есть несколько свойств трапеций, которые позволяют определять неизвестные параметры на основе известных факторов, включая меру параллельных сторон, меру непараллельных сторон и меру различных углов.В частности, площадь трапеции может быть получена с использованием этих различных свойств, несмотря на то, что известна только длина одного основания, если известны длина диагонали, высота трапеции и одна непараллельная сторона.

    Определите заданную длину одного основания, высоту трапеции и длину одной непараллельной стороны. Например, предположим, что высота трапеции составляет 4 дюйма, одно основание — 6 дюймов, а непараллельная сторона — 5 дюймов.

    Определите длину диагонали.2, где c — гипотенуза, а a и b — две другие стороны. В этом примере, проведя линию высоты и диагональную линию, идущую из одного угла, можно увидеть два различных прямоугольных треугольника. Тогда можно увидеть, что сумма двух неизвестных сторон этих двух треугольников равна длине неизвестного основания.

Ошибка 404 — Страница не найдена

К сожалению мы не можем показать то, что вы искали. Может быть, попробуете поиск по сайту или одну из приведенных ниже ссылок?

Поиск для:

Архивы

Архивы Выберите месяц Сентябрь 2022 Август 2022 Июль 2022 Июнь 2022 Май 2022 Апрель 2022 Март 2022 Февраль 2022 Январь 2022 Декабрь 2021 Ноябрь 2021 Октябрь 2021 Сентябрь 2021 Август 2021 Июль 2021 Июнь 2021 Май 2021 Апрель 2021 Март 2021 Февраль 2021 Январь 2021 Декабрь 2020 Ноябрь 2020 Октябрь 2020 Сентябрь 2020 Август 2020 Июль 2020 Июнь 2020 Май 2020 Апрель 2020 Март 2020 Февраль 2020 Январь 2020 Декабрь 2019 Ноябрь 2019 Октябрь 2019 Сентябрь 2019 Август 2019 Июль 2019 Июнь 2019 Май 2019 Апрель 2019 Март 2019 Февраль 2019 Январь 2019 Декабрь 2018 Ноябрь 2018 Октябрь 2018 Сентябрь 2018 Август 2018 Июль 2018 Июнь 2018 Февраль 2018 Январь 2018 Ноябрь 2017 Сентябрь 2017 Август 2017 Июль 2017 Апрель 2017 Март 2017 Февраль 2017 Январь 2017

Рубрики

РубрикиВыберите рубрикуbritish bulldogАстраБез рубрикиВидеоурокивоспитательная работаВПРВСОШвысшая пробадвидиктантЕГЭЕГЭ 2022 информатикаЕГЭ 2022 математикаЕГЭ по химиизолотое руноизложениеитоговое сочинениеитоговое устное собеседованиеКенгуруКИТконкурс Пегасконтрольная работактпматематический праздникмежрегиональный химический турнирМОШмцкоОВИООГЭОГЭ 2022 математикаолимпиада звездаолимпиада курчатоволимпиада ЛомоносовОПКРаботы статградрабочая программарабочая тетрадьРДРРешу ЕГЭРешу ОГЭрусский медвежонокСочинениеСтатьитексты егэтесттурнир ЛомоносоваУчебные пособияЧИПЮМШ

Страницы

  • 04. 10.2020 XLIII Турнир Ломоносова задания и ответы
  • 05.12.17 Ответы и задания по математике 10 класс СтатГрад варианты МА00201-МА00208
  • 05.12.17 Ответы и задания по математике 7 класс «СтатГрад» варианты МА70101-МА70106
  • 06.11.2017 Олимпиада «Звезда» естественные науки задания и ответы 6-11 класс отборочный этап
  • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Камчатского края и Чукотского автономного округа
  • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 для Республика Алтай, Алтайский край, Республика Тыва, Респ. Хакасия, Красноярский край, Кемеровская, Томская и Новосибирская область
  • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения 2017 зона 8 Республика Саха (Якутия), город Якутск, Амурская область, Забайкальский край
  • 06.12.17 Официальные темы итогового сочинения для Республика Бурятия, Иркутская область зона 7
  • 06.12.2017 5 зона Омск MSK+3 (UTC+6) официальные темы
  • 06.12.2017 Ответы и задания по обществознанию 9 класс «СтатГрад» варианты ОБ90201-ОБ90204
  • 07. 12.17 Ответы и задания по русскому языку 11 класс СтатГрад варианты РЯ10701-РЯ10702
  • 07.12.2017 Ответы и задания по биологии 9 класс пробное ОГЭ 4 варианта
  • 08.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс контрольная работа ОГЭ 56 регион
  • 08.12.2017 Ответы и задания по физике 9 класс работа СтатГрад ОГЭ ФИ90201-ФИ90204
  • 10.04.2020 Решать впр тренировочные варианты по математике 6 класс с ответами
  • 10.10.17 Математика 9 класс контрольная работа 4 варианта ФГОС 56 регион задания и ответы
  • 10.10.17 Русский язык 9 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ90101-РЯ90102
  • 10.11.2017 История 9 класс задания и ответы статград варианты ИС90201-ИС90204
  • 100balnik мы в ВКОНТАКТЕ
  • 100balnik отзывы пользователей
  • 11 апреля 10-11 класс география ответы и задания
  • 11 апреля 6 класс история ответы и задания
  • 11 апреля 7 класс биология ответы и задания
  • 11.04.2020 Решать ВПР тренировочные варианты по математике 5 класс с ответами
  • 11. 10.17 Физика 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты ФИ10101-ФИ10104
  • 11.12.2017 — 16.12.2017 Олимпиада по дискретной математике и теоретической информатике
  • 11.12.2017 Зимняя олимпиада по окружающему миру для 4 класса задания и ответы
  • 11.12.2017 Ответы и задания по английскому языку 11 класс СтатГрад вариант АЯ10101
  • 11.12.2017 Соревнование для 5-6 классов интернет-карусель по математике задания и ответы
  • 12.04.2020 Решать тренировочные варианты ВПР по математике 4 класс + ответы
  • 12.10 Русский язык 10 класс диагностическая работа ФГОС для 11 региона задания и ответы
  • 12.10.17 Русский 2 класс ВПР официальные варианты задания и ответы
  • 12.10.17 Химия 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ90101-ХИ90104
  • 12.12.2017 Ответы и задания по географии 9 класс работа СтатГрад варианты ГГ90101-ГГ90102
  • 13.09.2017 Биология 11 класс СтатГрад задания и ответы все варианты
  • 13.10.17 Математика 9 класс задания и ответы для 11 региона
  • 13. 10.2017 Обществознание 11 класс работа СтатГрад задания и ответы ОБ10101-ОБ10104
  • 13.12.2017 Ответы по физике 11 класс статград задания варианты ФИ10201-ФИ10204
  • 13.12.2017 Письмо говорение по английскому языку 7-9 класс работа 56 регион
  • 14.09.2017 Информатика 11 класс тренировочная работа статград ответы и задания
  • 14.12 Геометрия 9 класс задания и ответы «СтатГрад»
  • 14.12.2017 КДР ответы по русскому языку 8 класс задания все варианты
  • 14.12.2017 Контрольная работа по математике 8 класс за 1 полугодие 2 варианта заданий с ответами
  • 14.12.2017 Литература 11 класс ответы и задания СтатГрад вариант ЛИ10101
  • 14.12.2017 Ответы КДР по математике 10 класс задания 6 вариантов
  • 14.12.2017 Ответы по геометрии 9 класс СтатГрад задания варианты МА90301-МА90304
  • 14.12.2017 Ответы по математике 11 класс КДР задания 6 вариантов
  • 15.09 Математика 10 класс контрольная работа 3 варианта 56 регион задания и ответы
  • 15. 09.2017 Биология 9 класс тренировочная работа «СтатГрад» БИ90101-БИ90104 ответы и задания
  • 15.11.2017 Задания и ответы 2-11 класс по Русскому медвежонку 2017 год
  • 15.12.2017 Обществознание 11 класс ответы и задания СтатГрад варианты ОБ10201-ОБ10204
  • 16 апреля 11 класс английский язык ответы и задания
  • 16 апреля 5 класс история ответы и задания
  • 16 апреля 6 класс биология ответы и задания
  • 16 апреля 7 класс география ответы и задания
  • 16.01.2018 Контрольная работа по русскому языку 9 класс в формате ОГЭ с ответами
  • 16.01.2018 Ответы и задания КДР по русскому языку 11 класс 23 регион
  • 16.10.2017 Ответы и задания всероссийской олимпиады школьников по математике 4-11 класс ВОШ
  • 16.11.2017 МЦКО 10 класс русский язык ответы и задания
  • 17.01.2018 Ответы и задания по информатике 11 класс работа статград варианты ИН10301-ИН10304
  • 17.10.17 Физика 9 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ФИ90101-ФИ90104
  • 18 апреля 11 класс химия ответы и задания
  • 18 апреля 5 класс биология ответы и задания
  • 18 апреля 6 класс обществознание ответы и задания
  • 18 апреля 7 класс математика ответы и задания
  • 18. 09. Математика 10 класс задания и ответы
  • 18.10.17 Математика 9 класс РПР 64 регион задания и ответы 1 этап
  • 18.10.2017 Задания и ответы по математике 9 класс 50 регион Московская область
  • 18.12.2017 Биология 11 класс Статград задания и ответы варианты БИ10201-БИ10204
  • 19.09 Диагностическая работа по русскому языку 5 класс задания и ответы за 1 четверть
  • 19.09 Контрольная работа по русскому языку 11 класс для 56 региона задания и ответы 1 четверть
  • 19.09.2017 школьный этап всероссийской олимпиады по ОБЖ 5-11 класс задания и ответы
  • 19.10.17 Русский язык 11 класс (ЕГЭ) задания и ответы статград варианты РЯ10601-РЯ10602
  • 19.12.2017 КДР геометрия 8 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
  • 19.12.2017 КДР математика 9 класс краевая диагностическая работа задания и ответы
  • 19.12.2017 Математика 10 класс тригонометрия база и профиль ответы и задания СтатГрад
  • 2 апреля 11 класс история ВПР
  • 2 апреля 7 класс английский язык ВПР
  • 20. 09 Входная контрольная работа русский язык 7 класс для 56 региона задания и ответы
  • 20.09.2017 История 9 класс варианты ИС90101-ИС90102 ОГЭ задания и ответы
  • 20.11.2017 Русский язык 9 класс «СтатГрад» ОГЭ задания и ответы РЯ90701-РЯ90702
  • 20.12.2017 Химия 9 класс ответы и задания работа Статград варианты ХИ90201-ХИ90202
  • 21.09.17 Математика 11 класс варианты МА10101-МА10108 задания и ответы
  • 21.10.17 ОБЖ 7-11 класс муниципальный этап ВОШ для Москвы ответы и задания
  • 21.11.17 Биология 9 класс СтатГрад задания и ответы варианты БИ90201-БИ90204
  • 21.12.2017 Математика 9 класс РПР для 64 региона задания и ответы 2 этап
  • 21.12.2017 Ответы и задания по математике 11 класс «СтатГрад» база и профиль
  • 21.12.2017 Ответы и задания по русскому языку 10-11 класс варианты КДР 23 регион
  • 22.09.17 Обществознание 9 класс работа статград ОГЭ варианты ОБ90101-ОБ90102 задания и ответы
  • 22.09.17 Русский язык 10 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы
  • 22. 10 Задания и ответы олимпиады по литературе 7-11 класс муниципальный этап 2017
  • 23 апреля математика 5 класс ВПР 2019
  • 23 апреля русский язык 6 класс ВПР 2019
  • 23 апреля ФИЗИКА 7 класс ВПР 2019
  • 23.11.2017 Задания и ответы по информатике 9 класс для вариантов статград ИН90201-ИН90204
  • 24.10.17 Изложение 9 класс русский язык СтатГрад варианты РЯ90601-РЯ90602
  • 24.10.17 КДР 8 класс математика алгебра задания и ответы 23 регион
  • 24.10.17 Контрольная работа английский язык 7-9 класс для 56 региона письмо
  • 25.09.17 Информатика 9 класс задания и ответы СтатГрад варианты ИН90101-ИН90102
  • 25.10.17 Английский язык 7-9 класс контрольная работа для 56 региона чтение варианты
  • 25.10.17 История 11 класс МЦКО варианты задания и ответы
  • 25.10.17 Русский язык 9 класс МЦКО задания и ответы
  • 26.09 Английский язык 7,8,9 класс контрольная работа для 56 региона задания и ответы ФГОС
  • 26.09.17 История 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты ИС10101-ИС10102
  • 26. 09.17 Математика 11 класс мониторинговая работа ЕГЭ 3 варианта задания и ответы
  • 26.10 ВПР Русский язык 5 класс ответы и задания все реальные варианты
  • 26.10.17 Химия 11 класс «СтатГрад» задания и ответы варианты ХИ10101-ХИ10104
  • 27.09.2017 Математика 9 класс работа статград варианты МА90101-МА90104 задания и ответы
  • 27.10 Задания и ответы для олимпиады по биологии муниципальный этап 2017
  • 28.09.17 Русский язык 11 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты РЯ10101-РЯ10102
  • 29.09.17 Математика 10 класс задания и ответы «СтатГрад» варианты МА00101-МА00104
  • 30.11.2017 МЦКО математика 11 класс ответы и задания
  • 4 апреля 11 класс биология ВПР
  • 4 апреля 7 класс обществознание ВПР
  • 4 класс диктант 2019 год
  • 4 класс диктант платно
  • 4 класс математика 22.04.2019-26.04.2019
  • 4 класс математика платно ответы и задания
  • 4 класс окр. мир платно
  • 4 класс окружающий мир 22.04.2019-26. 04.2019
  • 4 класс русский тест 2019 год
  • 4 класса тест платно
  • 5 класс биология платно
  • 5 класс история платно
  • 5 класс русский язык впр 25 апреля
  • 5 класс русский язык платно
  • 6 класс история платно
  • 6 класс математика впр 25 апреля
  • 6 класс математика платно
  • 6 класс общество платно
  • 6 класс платно гео ответы и задания
  • 6 класс платно ответы и задания
  • 7 класс ВПР 2019 по географии ответы и задания 16 апреля 2019
  • 7 класс история впр 25 апреля
  • 7 класс русский язык 56 регион ответы и задания 21.12.2018
  • 7.11.17 Английский язык 9 класс от СтатГрад задания и ответы варианты АЯ90101-АЯ90102
  • 8.11.2017 Русский язык 11 класс СтатГрад задания и ответы варианты РЯ10201-РЯ10202
  • 9 апреля география 6 класс ВПР 2019
  • 9 апреля русский язык 7 класс ВПР 2019
  • 9 апреля физика 11 класс ВПР 2019
  • 9 класс английский язык ОГЭ 24 25 мая
  • 9 класс БИОЛОГИЯ ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
  • 9 класс информатика огэ 2019 год
  • 9 класс математика огэ 2019 год
  • 9 класс обществознание ОГЭ 2019
  • 9 класс ОГЭ 2019
  • 9 класс русский язык ОГЭ 2019
  • 9 класс ФИЗИКА огэ 2019 год
  • 9 класс ФИЗИКА ЭКЗАМЕН огэ 2019 год
  • 9 класс экзамен по истории огэ 2019 год
  • 9. 11.17 Математика 9 класс работа «СтатГрад» задания и ответы варианты МА90201-МА90204
  • British Bulldog 2019 ответы и задания 3-4 класс 10-11 декабря 2019
  • British Bulldog 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
  • British Bulldog 5-6 класс ответы и задания 2018-2019
  • British Bulldog 9-11 класс ответы и задания 2018-2019
  • FAQ
  • My Calendar
  • Алгебра 7 класс статград 4 декабря 2019 ответы и задания МА1970101-106
  • Алгебра и начала анализа статград 10 класс 4 декабря 2019 ответы и задания
  • Английский 9 класс СтатГрад задания и ответы
  • Английский язык 11 класс АЯ10301 ответы и задания 23 апреля 2019 год
  • Английский язык 11 класс СтатГрад 17.04
  • Английский язык 11 класс статград 5 декабря 2019 ответы и задания АЯ1910101
  • Английский язык 7 класс ВПР 2020 тренировочные варианты задания и ответы
  • Английский язык 7 класс ВПР ответы и задания 2 апреля 2019 год
  • Английский язык 7-9 класс ответы и задания 56 регион
  • Английский язык 7,8,9 класс мониторинговая работа чтение 2019
  • Английский язык 9 класс ответы и задания АЯ1990101 АЯ1990102 статград 6 ноября 2019
  • Английский язык 9 класс платно
  • Английский язык 9 класс статград ответы и задания 2018-2019 06. 11
  • Английский язык аудирование ответы 7 8 9 класс 56 регион 2018-2019
  • Английский язык говорение 56 регион ответы 7 8 9 класс 2018-2019
  • Английский язык задания и ответы школьного этапа олимпиады ВОШ 2019-2020
  • Английский язык ответы 7 8 класс 56 регион чтение 2018-2019
  • Английский язык письмо 7 8 класс ответы и задания 2018-2019
  • Аргументы для тем итогового сочинения 2019-2020 регион МСК+8
  • Архив работ
    • 01.04.2020 Английский язык 9 класс ответы и задания для АЯ1990201-АЯ1990202
    • 05.03.2020 Физика 11 класс статград ответы и задания ФИ1910401-ФИ1910404
    • 06.03.2020 История 11 класс ИС1910401-ИС1910404 статград ответы и задания
    • 12.02.2020 Математика 10 класс МА1900401-МА1900404 ответы и задания
    • 12.05.2020 Математика 9 класс МА1990701-МА1990704 ответы и задания статград
    • 13.05.2020 Русский язык 11 класс варианты РУ1910501-РУ1910502 ответы и задания
    • 14.05.2020 Химия 11 класс варианты ХИ1910501-ХИ1910504 ответы и задания
    • 14. 09.2017 Варианты и ответы контрольной работы математика 8 класс для 56 региона
    • 15.05.2020 Математика 10-11 класс варианты МА1900701-МА1900710 ответы и задания
    • 18.05.2020 Физика 11 класс варианты ФИ1910501-ФИ1910504 ответы и задания
    • 19.03.2020 Русский язык 10-11 класс РЯ1910901-РЯ1910902 ответы и задания
    • 19.05.2020 История 11 класс варианты ИС1910501-ИС1910504 статград ответы и задания
    • 21.05.2020 ОБ1910501-ОБ1910504 ответы и задания обществознание 11 класс статград
    • 24.03.2020 Химия 11 класс ХИ1910401-ХИ1910404 ответы и задания статград
    • Биология 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2020 ответы и задания
    • Вариант № 33006760 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
    • Варианты с ответами пробного экзамена ЕГЭ 2020 по математике в Санкт-Петербурге
    • ВПР 2020 по математике 8 класс новые варианты с ответами
    • ВПР 2020 тренировочная работа по обществознанию 8 класс задания и ответы
    • ВПР 2020 тренировочные варианты БИ1980201-БИ1980202 по биологии 8 класс задания с ответами
    • ВПР 2020 тренировочные варианты по биологии 6 класс задания с ответами
    • ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 7 класс задания с ответами
    • ВПР 2020 тренировочные варианты по математике 7 класс
    • ВПР 2020 физика 7 класс варианты ФИ1970101, ФИ1970102 с ответами
    • ВПР по математике 4 класс задания и ответы 2018
    • ВПР по математике 5 класс задания и ответы 2018 год
    • ВПР по обществознанию 7 класс 2020 тренировочные варианты с ответами
    • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по литературе 11 класс
    • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по математике ПРОФИЛЬ 11 класс
    • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по русскому языку 11 класс
    • Задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников по праву 5-11 класс 2017-2018
    • Задания и ответы регионального этапа 2019 по экономике ВСОШ
    • История 5 класс ИС1950101-ИС1950102 ВПР 2020 ответы и задания
    • Контрольная работа в формате ОГЭ 2020 по истории 9 класс 3 четверть
    • Контрольная работа ЕГЭ 2020 по химии 11 класс задания и ответы
    • Контрольная работа по истории 11 класс в формате ЕГЭ 2020 задания и ответы
    • Математика 7 класс ответы и задания по диагностической работе 09. 10.2018
    • МЦКО русский язык 11 класс задания и ответы варианты 14 января 2020
    • Новые задачи с ответами по химии 9-10 класс Сириус
    • Новый тренировочный вариант 200622 по информатике и ИКТ 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Новый тренировочный вариант 33006755 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Обществознание 9 класс ответы ОБ90301 и ОБ90302 25.01.2019
    • Олимпиада по английскому языку 4-7 класс ответы и задания для пригласительного этапа 16 апреля 2020
    • Ответы Биология 11 класс тренировочная работа 18 января 2019
    • Ответы пробное ОГЭ география 9 класс 22 января 2019
    • Ответы работа статград история 11 класс 22 января 2019
    • Пробные варианты ВПР 2020 по окружающему миру 4 класс с ответами
    • Пробный ЕГЭ по математике 11 класс задания и ответы апрель 2020 год
    • РДР 2020 5 класс реальные 2 варианта задания и ответы
    • РДР 2020 6 класс реальные задания и ответы 12 марта 2020 год
    • Решать новые тренировочные варианты впр по обществознанию 6 класс 2020
    • Решу ЕГЭ 2020 по информатике 11 класс тренировочный вариант задания №200106
    • Тренировочная работа Обществознание 11 класс ответы 1 февраля 2019
    • Тренировочная работа по математике 9 класс ответы 12 февраля 2019
    • Тренировочная работа по физике 9 класс ответы статград 29 января 2019
    • Тренировочная работа по химии 9 класс ответы статград 14 февраля 2019
    • Тренировочная работа русский язык 11 класс ответы 5 февраля 2019
    • Тренировочная работа русский язык 9 класс ответы 7 февраля 2019
    • Тренировочный вариант 200622 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Тренировочный вариант 200622 по географии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Тренировочный вариант 200622 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Тренировочный вариант 200622 по химии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
    • Тренировочный вариант 29382872 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 29382873 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29382874 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527679 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 29527683 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527684 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527685 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527686 по математике профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 29527687 по математике 11 класс профильный ЕГЭ задания с ответами
    • Тренировочный вариант 33006750 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006751 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006752 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006753 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006754 по математике профильный ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант 33006756 по математике профильный уровень ЕГЭ с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 200525 задания и ответы по математике профиль
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527688 по математике 11 класс профильный задания с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527689 по математике 11 класс профильный задания с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 29527690 по математике 11 класс профильный задания с ответами
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 33006763 задания и ответы по математике профиль
    • Тренировочный вариант ЕГЭ 33006764 задания и ответы по математике профиль
    • Физика 9 класс ФИ1990401- ФИ1990404 ответы и задания статград 3 марта 2020
    • Химия 11 класс ХИ1910601-ХИ1910602 ВПР 2020 тренировочная работа
    • Экзаменационная контрольная работа по литературе 9 класс ОГЭ 2020
  • Астра 2019 ответы и задания 3-4 класс 20 ноября 2019
  • Банк заданий ФИПИ по русскому языку ЕГЭ 2019 морфемика и словообразование
  • Биология 10 класс РДР задания и ответы 14 ноября 2019-2020
  • Биология 11 класс 5 ноября 2019 статград ответы и задания БИ1910201-204
  • Биология 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
  • Биология 11 класс ВПР ответы и задания 11. 05
  • Биология 11 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019
  • Биология 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Биология 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 18 апреля 2019 год
  • Биология 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
  • Биология 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Биология 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
  • Биология 6 класс платно
  • Биология 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
  • Биология 7 класс впр статград ответы и задания 11 сентября 2019
  • Биология 9 класс 15 ноября ответы и задания статград 2018
  • Биология 9 класс БИ90501 БИ90502 ответы и задания 23 апреля 2019
  • Биология 9 класс ответы БИ90401 и БИ90402 статград 01.2019
  • Биология 9 класс ответы и задания 25 ноября работа статград БИ1990201-БИ1990204
  • Биология 9-10 класс ответы КДР 24 января 2019
  • Биология ОГЭ 2018 платно
  • Благодарим за ваш заказ!
  • Британский бульдог 7-8 класс ответы и задания 2018-2019
  • Вариант 322 КИМы с реального ЕГЭ 2018 по математике
  • Вариант № 33006761 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Вариант № 33006762 тренировочный ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Вариант №1 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
  • Вариант №2 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
  • Вариант №3 морфемика и словообразование банк заданий ФИПИ ЕГЭ 2018-2019
  • Вариант №4 морфемика и словообразование банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ
  • Вариант №5 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
  • Вариант №6 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
  • Вариант №7 банк заданий с ответами ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку морфемика
  • Вариант по биологии с реального ЕГЭ 2020 задания и ответы
  • Варианты БИ1910301-БИ1910304 по биологии 11 класс ответы и задания 14 января 2020
  • Варианты ВПР по физике 11 класс задания и ответы за 2018 год
  • Варианты для проведения ВПР 2020 по математике 6 класс с ответами
  • Ваши отзывы — пожелания
  • Вероятность и статистика 7 класс ответы 16. 05
  • Вероятность и статистика 8 класс ответы 16.05
  • Витрина
  • ВКР английский язык 7,8,9 класс задания и ответы говорение 2019-2020
  • ВКР по геометрии 8 класс ответы и задания
  • Возможные варианты для устного собеседования 9 класс ОГЭ 13 марта 2019
  • Вот что с восторгом воскликнул Иван Васильевич готовые сочинения
  • ВОШ всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
  • ВОШ ВСЕРОССИЙСКИЕ школьные олимпиады 2017-2018 задания и ответы
  • ВОШ муниципальный этап по обществознанию ответы и задания 2018-2019
  • ВОШ по ОБЩЕСТВОЗНАНИЮ 2017-2018
  • ВОШ Школьный этап 2017-2018 задания и ответы для Республики Коми
  • ВОШ школьный этап по экономике ответы и задания 2018-2019
  • ВПР 11 класс английский язык ответы и задания 20 марта 2018
  • ВПР 11 класс география
  • ВПР 11 класс история ответы и задания 21 марта 2018
  • ВПР 2019 6 класс обществознание ответы и задания 18 апреля 2019 год
  • ВПР 2019 по математике 7 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
  • ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания 18 апреля 2019 год
  • ВПР 2019 физика 11 класс ответы и задания 9 апреля 2019 год
  • ВПР 2020 6 класс задание №10 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 6 класс задание №11 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 6 класс задание №6 по математике с ответами
  • ВПР 2020 6 класс задание №7 по математике с ответами
  • ВПР 2020 6 класс задание №8 по математике с ответами
  • ВПР 2020 6 класс задание №9 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 английский язык варианты АЯ1910201-АЯ1910202 задания и ответы
  • ВПР 2020 биология 11 класс варианты БИ1910601-БИ1910602 ответы и задания
  • ВПР 2020 биология 5 класс новые варианты с ответами
  • ВПР 2020 вариант демоверсии по биологии 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 география 10-11 класс варианты ГГ1910401-ГГ1910402 ответы и задания
  • ВПР 2020 география 6 класс варианты ГГ1960101, ГГ1960102 задания и ответы
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №12 по русскому языку с ответами
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по математике с ответами которые будут
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №13 по русскому языку с ответами
  • ВПР 2020 год 6 класс задание №14 по русскому языку с реальными ответами
  • ВПР 2020 демоверсия по биологии 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по географии 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по географии 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по иностранным языкам 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по истории 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по истории 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по математике 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по математике 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по обществознанию 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 7 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 демоверсия по русскому языку 8 класс задания и ответы
  • ВПР 2020 задание 6 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №1 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
  • ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
  • ВПР 2020 задание №2 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №3 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №4 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №5 по математике 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 6 класс с ответами
  • ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
  • ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 6 класс с реальными ответами
  • ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 6 класс ответы которые будут
  • ВПР 2020 математика 5 класс реальные задания с ответами
  • ВПР 2020 новые варианты с ответами по русскому языку 7 класс
  • ВПР 2020 ответы и задания всероссийские проверочные работы
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №1 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №10 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №2 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №3 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №4 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №6 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №7 с ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №8 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №9 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по биологии 7 класс тренировочные варианты БИ1970201,БИ1970202
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание 1 с ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №10 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №2 с ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №3 с ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №4 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №5 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №6 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №7 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №8 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по истории 6 класс задание №9 с реальными ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание 11 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание 12 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №1 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №13 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №2 реальное с ответами
  • ВПР 2020 по математике 7 класс задание №8 реальное с ответами
  • ВПР 2020 русский язык 8 класс варианты РУ1980201, РУ1980202 ответы
  • ВПР 2020 тренировочные варианты по географии 8 класс задания с ответами
  • ВПР 2020 тренировочные варианты по русскому языку 5 класс задания с ответами
  • ВПР 2020 физика 11 класс варианты ФИ1910601-ФИ1910602 ответы и задания
  • ВПР 2020 химия 8 класс демоверсия задания и ответы
  • ВПР 2021 ответы и задания всероссийские проверочные работы
  • ВПР 2022 ответы и задания всероссийские проверочные работы
  • ВПР 4 класс математика 2020 год реальные официальные задания и ответы
  • ВПР БИОЛОГИЯ 11 класс 2018 реальные ответы и задания
  • ВПР география 10-11 класс
  • ВПР математика 5 класс ответы и задания
  • ВПР по истории 11 класс ответы и задания 18. 05
  • ВПР ФИЗИКА 11 класс 2018
  • ВПР физика 11 класс резервный день ответы
  • ВПР ХИМИЯ 11 05.04
  • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2018-2019 задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада муниципальный этап 2019-2020 задания и ответы
  • Всероссийская олимпиада по праву ответы и задания школьный этап 25-26 октября 2019
  • Всероссийская олимпиада по химии ответы и задания школьный этап 21-22 октября 2019
  • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада региональный этап 2018-2019 задания и ответы
  • Всероссийская олимпиада школьников региональный этап 2019-2020 задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКАЯ олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Краснодарского края
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 муниципальный этап задания и ответы для Челябинской области
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 региональный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2017-2018 учебный год задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 учебный год задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2018-2019 школьный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2019-2020 учебный год задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 муниципальный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 региональный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2020-2021 школьный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2021 заключительный этап задания и ответы
  • ВСЕРОССИЙСКИЕ олимпиады 2022-2023 задания и ответы
  • Всероссийские проверочные работы 2017 задания и ответы
  • Всероссийские проверочные работы 2017-2018 задания и ответы
  • Всероссийские проверочные работы 2018-2019 задания и ответы
  • Всесибирская олимпиада школьников задания и ответы по математике 2018-2019
  • Входная контрольная работа по математике 11 класс ответы и задания 2019-2020
  • Входная контрольная работа по математике 4 класс ответы и задания 2019-2020
  • Входная контрольная работа по математике 5 класс ответы и задания 2019-2020
  • Входная работа по русскому языку 11 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
  • Гарантия
  • ГГ1910101 ответы и задания география 11 класс статград 4 октября 2019
  • ГДЗ 5 классы решебники
  • ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н. Я
  • ГДЗ решебники
  • Гелиантус АСТРА 1-2 класс ответы и задания 2018-2019
  • Гелиантус АСТРА 3-4 класс ответы и задания 2018-2019
  • География 10-11 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
  • География 11 класс ответы и задания 17 апреля 2019 тренировочная №4
  • География 11 класс ответы и задания вариант ГГ10101 статград 2018-2019
  • География 11 класс платно
  • География 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
  • География 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 9 апреля 2019
  • География 6 класс ВПР 2020 год задание 7 и официальные ответы
  • География 6 класс ВПР 2020 год задание №8 и реальные ответы
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №2 официальное с ответами
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №3 с ответами официальные
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №4 с ответами официальные
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №5 с ответами официальные
  • География 6 класс ВПР 2020 задание №6 и официальные ответы
  • География 6 класс задание №1 реального ВПР 2020 с ответами
  • География 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
  • География 9 класс ответы и задания ГГ90401 ГГ90402 22 апреля 2019
  • География 9 класс ответы и задания тренировочная статград 18 марта 2019
  • География 9 класс СтатГрад задания и ответы
  • География 9 класс статград ответы и задания 13 марта 2018
  • География задания и ответы школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
  • География муниципальный этап 2019 задания и ответы всероссийской олимпиады
  • Геометрия 9 класс ответы и задания 12 декабря 2019 работа статград
  • Готовое итоговое сочинение 2018-2019 на тему может ли добрый человек проявлять жестокость?
  • Готовые сочинения для варианта №1 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И. П
  • Готовые сочинения для варианта №2 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №3 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №4 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №5 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №6 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения для варианта №7 из сборника ЕГЭ 2021 Цыбулько И.П
  • Готовые сочинения ЕГЭ в избушке у самого леса живёт старый охотник
  • Готовые сочинения ЕГЭ несомненно Дюма останется ещё на многие
  • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту может быть самая трогательная и самая глубокая
  • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту Н. Тэффи нежность самый кроткий робкий божественный лик любви
  • Готовые сочинения ЕГЭ по тексту отправь голову в отпуск Измайлов
  • Готовые сочинения ЕГЭ ты часто жаловался мне, что тебя «не понимают!»
  • Готовые сочинения как-то Анатолий Бочаров высказал по тексту В. В. Быкову
  • Готовые сочинения на Невском, у Литейного постоянно толпились
  • Готовые сочинения по тексту Ф. М. Достоевскому в эту ночь снились мне
  • Готовые сочинения чего нам так не хватает а не хватает нам любви к детям по тексту А. А. Лиханову
  • Готовые сочинения я очень плохо знаю деревенскую жизнь с проблемами и текстом
  • ДВИ МГУ варианты ответы и программы вступительных испытаний
  • Демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ по всем предметам
  • Демоверсия ВПР 2020 география 6 класс задания и ответы фипи
  • Демоверсия ВПР 2020 история 6 класс задания и ответы фипи
  • Демоверсия ВПР 2020 по биологии 6 класс задания и ответы фипи
  • Демоверсия ВПР 2020 по обществознанию 6 класс задания и ответы фипи
  • Демоверсия ОГЭ 2019 по математике решение заданий
  • Диктант по русскому языку 4 класс ВПР 2018 задания
  • ДКР 2019 по географии 10 класс ответы и задания Свердловская область
  • ДКР 2019 по географии 7 класс задания и ответы 11 декабря 2019-2020
  • Добро пожаловать
  • Доступ ко всем работам
  • ЕГЭ 2020 тренировочный вариант 200622 с ответами по истории 11 класс
  • Если хочешь понять душу леса найди лесной 9 готовых сочинений ЕГЭ
  • Естественные науки ответы и задания олимпиада ЗВЕЗДА 25-29 ноября 2019-2020
  • за эти месяцы тяжелой борьбы решающей 9 готовых сочинений ЕГЭ
  • Задание № 15 неравенства ОГЭ по математике 9 класс 2020
  • Задания ВПР 2017 для 11 класса по географии
  • Задания ВПР 2017 для 4 класса по русскому языку
  • Задания ВПР 2017 для 5 класса по математике
  • Задания заключительного этапа ВСЕРОССИЙСКОЙ олимпиады по информатике 2017/2018
  • Задания и ответы 2 варианта пробного экзамена ЕГЭ по математике 11 класс 4 апреля 2018
  • Задания и ответы 56 регион на ФЕВРАЛЬ 2017
  • Задания и ответы 6 класс XXX математический праздник 2019 год
  • Задания и ответы Англ. яз 18.11
  • Задания и ответы Биология 14.11
  • Задания и ответы Биология 9 класс 21.11.
  • Задания и ответы всероссийской олимпиады по русскому языку Московской области 19 ноября 2017
  • Задания и ответы ГЕОГРАФИЯ 21.11.2017
  • Задания и ответы для комплексной работы КДР для 8 класса ФГОС 4 варианта
  • Задания и ответы для Оренбургской области 56 регион декабрь 2017
  • Задания и ответы для Оренбургской области ноябрь 2017
  • Задания и ответы для Оренбургской области октябрь 2017
  • Задания и ответы для Оренбургской области сентябрь 2017
  • Задания и ответы для работ 11 регион Республика Коми 2018-2019
  • Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми Декабрь 2018-2019
  • Задания и ответы для работ 11 региона Республика Коми НОЯБРЬ 2018-2019
  • Задания и ответы для работ 56 региона октябрь 2018
  • Задания и ответы для работ Республики Коми
  • Задания и ответы для регионального этапа по физической культуре 2018
  • Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион декабрь 2018
  • Задания и ответы для школьных работ Оренбургской области 56 регион февраль 2018
  • Задания и ответы КДР 2019 математика 9 класс 20 февраля
  • Задания и ответы Математика 03. 12
  • Задания и ответы Математика 17.11
  • Задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 по немецкому языку 7-11 класс ВСОШ
  • Задания и ответы муниципального этапа по русскому языку 2019-2020 Москва
  • Задания и ответы МХК 15.11
  • Задания и ответы на Апрель 2017 для 56 региона
  • Задания и ответы на Май 2017 для 56 региона
  • Задания и ответы на Март 2017 для 56 региона
  • Задания и ответы олимпиады по литературе региональный этап 2020
  • Задания и ответы по информатике 11 класс 28 ноября 2017 СтатГрад варианты ИН10201-ИН10204
  • Задания и ответы по истории для 11 классов (56 регион)
  • Задания и ответы по математике 11 класс профиль вариант №22397963
  • Задания и ответы по математике 11 класс профиль ЕГЭ вариант №22397967
  • Задания и ответы по математике 6 класс ВПР 2018
  • Задания и ответы по русскому языку 6 класс ВПР 2018
  • Задания и ответы по русскому языку 9 класс СтатГрад 29 ноября 2017 варианты РЯ90201-РЯ90202
  • Задания и ответы по физике муниципального этапа 2019 всероссийская олимпиада
  • Задания и ответы по химии 11 класс СтатГрад 30 ноября 2017 года варианты ХИ10201-ХИ10204
  • Задания и ответы ПРАВО 14. 11
  • Задания и ответы право региональный этап ВОШ 2019
  • Задания и ответы регионального этапа 2019 по английскому языку
  • Задания и ответы регионального этапа 2019 по испанскому языку
  • Задания и ответы регионального этапа 2019 по китайскому языку
  • Задания и ответы регионального этапа 2019 по химии ВОШ
  • Задания и ответы региональный этап ВОШ 2019 по французскому
  • Задания и ответы Русский язык 19.11
  • Задания и ответы Русский язык ОГЭ 9 класс 20.11.
  • Задания и ответы Физика 18.11
  • Задания и ответы Химия 24.11
  • Задания Московской математической олимпиады 8 класс 17 марта 2019 год
  • Задания МОШ 2019 по физике 1 тур 7 8 9 10 класс
  • Задания по истории муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
  • Задания, ответы и результаты олимпиады по биологии региональный этап 2020
  • Задания, ответы и результаты олимпиады по химии региональный этап 2020
  • Заключительный этап 2022 задания и ответы многопрофильной инженерной олимпиады звезда
  • Заключительный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020 задания и ответы
  • Закрытый раздел
  • Золотое руно 2018 ответы и задания 16 февраля конкурс по истории
  • Изложение русский язык 9 класс статград ответы и задания 4 октября 2019
  • Информатика 11 класс 15 ноября 2019 статград ответы и задания ИН1910201- ИН1910204
  • Информатика 11 класс КДР ответы и задания 18 декабря 2018
  • Информатика 11 класс платно
  • Информатика 11 класс СтатГрад задания и ответы
  • Информатика 11 класс тренировочная №5 ответы и задания 15 апреля 2019 год
  • Информатика 7 класс ответы РДР 21 февраля 2019
  • Информатика 9 класс 06. 03
  • Информатика 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
  • Информатика 9 класс ответы и задания тренировочная №5 25 апреля 2019
  • Информатика 9 класс ответы статград 13 ноября 2018
  • Информатика 9 класс ответы статград 31 января 2019
  • Информатика ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
  • Информатика ОГЭ 2018
  • Информатика ОГЭ 2018 платно
  • Информатика ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
  • История 10 класс РДР 2019 официальные задания и ответы все варианты
  • История 11 класс 13 ноября 2019 ответы и задания статград вариант ИС1910201- ИС1910204
  • История 11 класс ВПР 2018 год задания и ответы все варианты
  • История 11 класс ВПР 2019 ответы и задания 2 апреля 2019 год
  • История 11 класс ВПР 2020 тренировочные варианты с ответами
  • История 11 класс задания и ответы СтатГрад
  • История 11 класс ИС10201 и ИС10202 ответы и задания статград 23.11.2018
  • История 11 класс ответы и задания СтатГрад 24. 04
  • История 11 класс ответы ИС10401 и ИС10402 11 марта 2019 год
  • История 11 класс СтатГрад 24 ноября 2017 задания и ответы варианты ИС10201-ИС10204
  • История 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • История 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 16 апреля 2019
  • История 5 класс ВПР 2020 вариант демоверсии ответы и задания
  • История 5 класс ВПР 25.04
  • История 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • История 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 11 апреля 2019
  • История 6 класс тренировочные варианты ВПР 2020 задания и ответы
  • История 7 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
  • История 7 класс платно 24 апреля
  • История 9 класс входная контрольная работа ФГОС задания и ответы 2019-2020
  • История 9 класс ответы и задания тренировочная №5 26 апреля 2019 год
  • История 9 класс СтатГрад 27 февраля ответы и задания
  • История 9 класс статград ответы и задания 2018-2019
  • История 9 класс статград ответы и задания 30 марта 2018
  • История всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
  • Итоговая контрольная работа по математике 8 класс за 2018-2019 учебный год
  • Итоговая контрольная работа по русскому языку 7 класс за 2018-2019 учебный год
  • Итоговая работа математика 10 класс ответы и задания 24 апреля 2019 год
  • Итоговое собеседование варианты 12 февраля 2020
  • Итоговое сочинение 05. 12.2018
  • Итоговое сочинение 2017
  • Итоговое устное собеседование ОГЭ 2022 по русскому языку 9 класс
  • Как написать эссе по обществознанию ЕГЭ
  • Как получить задания и ответы для ВПР 2019
  • Как получить работу задания и ответы
  • Как получить темы на итоговое сочинение 6 декабря 2017 года
  • Как человеку воспитать в себе доброту? готовое итоговое сочинение 2018-2019
  • КДР (задания+ответы) на Февраль 2017
  • КДР (задания+ответы) на Январь 2017
  • КДР 1 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
  • КДР 2 класс задания и ответы комплексная работа варианты 2018 год
  • КДР 2019 23 регион ответы и задания май 2019 год
  • КДР 2019 задания и ответы по английскому языку 8 класс 21 мая 2019 год
  • КДР 2019 ответы и задания апрель 2019 год
  • КДР 2019 ответы по географии 9 класс 15 февраля
  • КДР 2019 химия 9 и 10 класс ответы 19 марта 2019 год
  • КДР 2019-2020 декабрь 23 регион ответы и задания
  • КДР 2020 23 регион ответы и задания Краснодарский край
  • КДР 9 класс русский язык ответы и задания 14 декабря 2018
  • КДР Английский язык 8 класс ответы и задания 2018-2019
  • КДР апрель 2017 работы задания и ответы
  • КДР апрель 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • КДР декабрь 2017 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • КДР задания и ответы
  • КДР задания и ответы комплексная работа 3 класс 2018 год
  • КДР задания и ответы комплексная работа 4 класс варианты 2018 год
  • КДР Май 2017 работы задания и ответы
  • КДР Май 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • КДР математика 11 класс задания и ответы 28 февраля 2018 год
  • КДР математика 7 класс ответы и задания 12. 04
  • КДР математика 9 класс 19.04
  • КДР ответы и задания 23 регион Январь 2019
  • КДР ответы и задания для Краснодарского края 23 регион ДЕКАБРЬ 2018
  • КДР ответы и задания математика 10-11 класс 23 ноября 2018
  • КДР ответы и задания НОЯБРЬ 2018 для Краснодарского края 23 регион
  • КДР ответы и задания октябрь 2018 для Краснодарского края 23 регион
  • КДР ответы и задания по английскому языку 9 10 11 класс 8 февраля 2018
  • КДР ответы и задания по Биологии 10 класс 23 января 2018
  • КДР ответы и задания по Биологии 11 класс 23 января 2018
  • КДР ответы и задания по Биологии 9 класс 23 января 2018
  • КДР ответы и задания по Географии 10 класс 25 января 2018
  • КДР ответы и задания по Географии 9 класс 25 января 2018
  • КДР ответы и задания по информатике 10 класс 18 января 2018
  • КДР ответы и задания по информатике 9 класс 18 января 2018
  • КДР ответы и задания по истории 9 10 11 класс 13 февраля 2018
  • КДР ответы и задания по обществознанию 9 10 11 класс 1 февраля 2018
  • КДР ответы и задания по русскому языку 9 класс 6 февраля 2018
  • КДР ответы и задания по химии 10 11 класс 6 февраля 2018
  • КДР ответы математика 7 класс 30 января 2019
  • КДР ответы русский язык 9 класс 6 февраля 2019
  • КДР ответы физика 9-10 класс 31 января 2019
  • КДР по алгебре 8 класс ответы и задания 2018-2019
  • КДР ПО ГЕОГРАФИИ 11 КЛАСС 23 регион ответы и задания 22 февраля
  • КДР по литературе 10 11 класс 2018 ответы и задания
  • КДР по литературе 10 класс ответы
  • КДР по Математике 9 класс официальные ответы
  • КДР по русскому языку для 9 классов
  • КДР русский язык 7 8 класс ответы и задания
  • КДР русский язык 7-8 класс ответы 17. 05
  • КДР февраль 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • КДР январь 2018 задания и ответы для Краснодарского края 23 регион
  • Кенгуру 2017 9 класс ответы
  • Кенгуру 2017 ответы и задания 2-10 класс
  • Кенгуру 2019 ответы и задания 5-6 класс
  • Кенгуру 2019 ответы и задания для 7-8 класса
  • КИТ 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
  • КИТ 8-9 класс ответы и задания 2018-2019
  • КИТ-2019 ответы и задания 10-11 класс 27 ноября 2019-2020
  • Комплексная работа ФГОС 5 6 7 8 9 класс ответы и задания 30 ноября 2018
  • Конкурс АСТРА 2019 ответы и задания 5-6 класс 20 ноября 2019
  • Конкурс КИТ 2018 4-5 класс ответы и задания
  • Конкурс КИТ 2019 ответы и задания 2-3 класс 27 ноября 2019
  • Контакты
  • Контрольная входная работа по русскому языку 10 класс ответы и задания 2019-2020
  • Контрольная работа за 1 полугодие по русскому языку 7 класс ответы и задания
  • Контрольная работа по математике 11 класс 2 четверть в формате ЕГЭ 3 варианта с ответами
  • Контрольная работа по русскому языку 10 класс за 1 полугодие 2 варианта с ответами
  • Контрольная работа по русскому языку 8 класс за 1 полугодие 2 четверть задания и ответы
  • Контрольные работы ОГЭ 2021 задания и ответы для 9 класса
  • Контрольные срезы 56 регион ответы и задания октябрь 2019-2020
  • Корзина
  • Критерии ответы и задания по физике 11 класс статград 23 марта 2018
  • Критерии ответы по информатике 11 класс статград 16 марта 2018
  • Критерии ответы по русскому языку 11 класс статград 2018
  • Кружила январская метелица скрипели мерзлые готовые сочинения ЕГЭ
  • Куда поступить после 11 класса в 2017 году
  • Литература 11 класс ответы и задания ЕГЭ статград 22. 03.2018
  • Литература 11 класс СтатГрад задания и ответы
  • Литература 9 класс ОГЭ 2019 год
  • Литература 9 класс ответы и задания статград 22 ноября 2018 год
  • Литература 9 класс статград ОГЭ сочинение ответы 14 марта 2018
  • Литература ОГЭ 2018 платно
  • Литература олимпиада ВОШ задания муниципальный этап 2018-2019
  • Литература ответы и задания школьный этап 2019 всероссийской олимпиады школьников
  • Литература ответы и задания школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
  • Литература школьный этап 2019-2020 задания и ответы олимпиады ВОШ
  • Математика 7 классов 56 регион задания и ответы
  • Математика 10 класс (вероятность и статистика)
  • Математика 10 класс 56 регион ответы 16.05
  • Математика 10 класс вероятность и статистика ответы и задания 4 апреля 2019
  • Математика 10 класс задания и ответы мониторинговая работа ФГОС 2019-2020
  • Математика 10 класс ответы и задания 18.05
  • Математика 10 класс ответы и задания статград
  • Математика 10 класс ответы и задания статград 2018-2019
  • Математика 10 класс статград ответы и задания 29. 03.2018
  • Математика 10 класс статград ответы и задания БАЗА и ПРОФИЛЬ
  • Математика 10 класс тригонометрия ответы статград 18.12.2018
  • Математика 10-11 класс ответы и задания варианты статград 17 мая 2019
  • Математика 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
  • Математика 11 класс 17 декабря 2019 контрольная работа задания и ответы
  • Математика 11 класс диагностическая работа ЕГЭ профиль задания и ответы для 11 региона
  • Математика 11 класс КДР ответы и задания 28 февраля
  • Математика 11 класс ответы база профиль статград 24 января 2019
  • Математика 11 класс ответы и задания БАЗА ПРОФИЛЬ 20.09
  • Математика 11 класс ответы и задания тренировочная работа №5 19 апреля 2019
  • Математика 11 класс ответы статград БАЗА ПРОФИЛЬ 20.12.2018
  • Математика 11 класс профиль 56 рег
  • Математика 11 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 13 марта 2019
  • Математика 3 класс задания ВСОКО МЦКО итоговая работа 2019
  • Математика 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Математика 4 класс ВПР ответы 25. 04
  • Математика 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
  • Математика 5 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Математика 5 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
  • Математика 5 класс задания и ответы СтатГрад варианты 12 сентября 2017 год
  • Математика 5 класс контрольная работа за 1 полугодие задания и ответы 2019-2020
  • Математика 5 класс официальная демоверсия ВПР 2020 задания и ответы
  • Математика 5 класс платно
  • Математика 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Математика 6 класс ВПР 2019 ответы и задания варианты 25 апреля
  • Математика 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
  • Математика 6 класс ответы СтатГрад 15.05
  • Математика 7 класс ответы и задания варианты МА70301 МА70302 14 мая 2019
  • Математика 7 класс РДР ответы 2018-2019
  • Математика 8 класс 56 регион 17.03
  • Математика 8 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
  • Математика 8 класс входная контрольная работа ответы и задания 2019-2020
  • Математика 8 класс задания и ответы работа статград 12 сентября 2017
  • Математика 8 класс ответы и задания варианты МА80201 МА80202 14 мая 2019
  • Математика 8 класс ответы и задания по диагностической работе 11 регион 2018-2019
  • Математика 8 класс статград ответы и задания
  • Математика 9 класс — 64 регион ответы
  • Математика 9 класс 12 ноября 2019 ответы и задания работа статград МА1990201-04
  • Математика 9 класс 13. 02
  • Математика 9 класс 56 рег ответы
  • Математика 9 класс контрольная работа в формате ОГЭ 4 варианта ответы и задания
  • Математика 9 класс ОГЭ 2018 ответы и задания
  • Математика 9 класс ответы 11 регион 18.12.2018
  • Математика 9 класс ответы 15.05 СтатГрад
  • Математика 9 класс ответы и задания 11 регион 4 октября 2018
  • Математика 9 класс ответы и задания варианты 56 регион 10 октября 2019
  • Математика 9 класс ответы и задания РПР 64 регион 20.12.2018
  • Математика 9 класс ответы и задания статград 19 марта 2019
  • Математика 9 класс ответы и задания статград варианты 15 мая 2019 год
  • Математика 9 класс ответы РПР 64 регион 2019 3 этап 20 марта
  • Математика 9 класс пробник статград ответы и задания 21 марта 2018
  • Математика 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
  • Математика 9 класс статград ответы и задания 13 февраля 2018 года
  • Математика 9 класс статград ответы и задания 27.09.2018
  • Математика База платно
  • Математика геометрия 9 класс КДР ответы и задания 20 февраля 2018
  • Математика задания и ответы муниципальный этап ВОШ 2018-2019 для Москвы
  • Математика олимпиада ВОШ 2018-2019 школьный этап задания и ответы
  • Математика ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Математика профиль 11 класс 56 регион контрольная работа 18. 12.2018
  • Математика тренировочная работа 9 класс ответы статград 8 ноября 2018 года
  • Математическая вертикаль 2021-2022 ответы и задания
  • Математическая вертикаль ответы и задания 2020-2021 учебный год
  • Материалы за 2016-2021 учебный год
  • Международный молодёжный предметный чемпионат по правоведению для 10-11 классов.
  • Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2017-2018 задания и ответы
  • Многопрофильная инженерная олимпиада «Звезда» 2018-2019 ответы и задания
  • Многопрофильная инженерная олимпиада Звезда 2021-2022 ответы и задания
  • Многопрофильная олимпиада Звезда 2019-2020 ответы и задания
  • Многопрофильная олимпиада Звезда 2020-2021 ответы и задания
  • Мой аккаунт
  • Мониторинговая работа аудирование по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019-2020
  • Мониторинговая работа по английскому языку 7,8,9 класс задания и ответы 2019
  • Мониторинговая работа по русскому языку 5 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
  • Мониторинговая работа по русскому языку 8 класс ответы и задания ФГОС 2019-2020
  • Мониторинговые работы 56 регион ответы и задания сентябрь 2019
  • Московская олимпиада школьников 2020-2021 ответы и задания
  • Московская олимпиада школьников 2021-2022 ответы и задания
  • Московский турнир юных физиков задания 2019-2020 учебный год
  • МПУ МЦКО 4 класс задания 31 января 2019 год
  • Муниципальный этап 2019 олимпиады по испанскому языку задания и ответы ВОШ
  • Муниципальный этап 2019 олимпиады по истории задания и ответы ВСОШ
  • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиада по ОБЖ ответы и задания для Москвы
  • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по химии задания и ответы Московская область
  • Муниципальный этап 2019-2020 олимпиады по экологии ответы и задания ВсОШ Москва
  • Муниципальный этап 2019-2020 по литературе ответы и задания ВсОШ Москва
  • Муниципальный этап ВОШ 2018 по праву задания и ответы для Москвы
  • Муниципальный этап ВОШ 2018-2019 задания по химии в Московской области
  • Муниципальный этап ВОШ по астрономии ответы и задания 2018-2019 учебный год
  • Муниципальный этап ВОШ по ОБЖ ответы и задания 2018-2019
  • Муниципальный этап олимпиады 2019 по искусству МХК задания и ответы ВСОШ
  • Муниципальный этап олимпиады 2019-2020 по астрономии задания и ответы Московская область
  • Муниципальный этап олимпиады по биологии ответы и задания 19 октября 2019
  • Муниципальный этап по астрономии всероссийской олимпиады задания 2018-2019
  • Муниципальный этап по обществознанию 2019-2020 ответы и задания ВСОШ Москва
  • Муниципальный этап по экономике всероссийская олимпиада 2018-2019
  • МХК искусство задания и ответы муниципального этапа 2019-2020 учебный год
  • МХК искусство школьный этап 2019 ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
  • МХК муниципальный этап 8 ноября задания всероссийской олимпиады 2018-2019
  • МЦКО 2019-2020 расписание и демоверсии диагностических работ
  • МЦКО 2020-2021 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
  • МЦКО 2021-2022 расписание и демоверсии диагностических работ с ответами
  • МЦКО 2022-2023 демоверсии, варианты и ответы диагностических работ
  • МЦКО 7 класс математика ответы 13 февраля 2018
  • МЦКО 8 класс метопредмет ответы и задания 27 февраля
  • МЦКО 8 класс ответы 15. 03
  • МЦКО история 10 класс ответы 25.10.2018
  • МЦКО математика 3 класс задания
  • Мцко математика 7 класс 02.03.17
  • МЦКО математика 9 класс варианты задания и ответы 2019-2020
  • МЦКО математика 9 класс ответы и задания 3 октября 2018
  • МЦКО ответы и задания по русскому языку 11 класс 18 января 2018
  • МЦКО ответы и задания по русскому языку 7 8 класс 1 февраля 2018
  • МЦКО по физике для 9 классов
  • МЦКО русский язык 9 класс ответы 2018-2019
  • МЦКО физика для 7 классов ответы и задания
  • Направления тем итогового сочинения 2017-2018
  • Наше наследие 1-11 класс муниципальный тур ответы и задания 2019-2020
  • Наше наследие 1-11 класс школьный тур ответы и задания 2019-2020
  • Наше наследие олимпиада задания и ответы 2017-2018
  • Наше наследие ответы и задания 5-6 класс школьный тур 2019-2020
  • Наше наследие ответы и задания 9-11 класс школьный тур 2019-2020
  • Новый тренировочный вариант 200622 по биологии 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 200622 по физике 11 класс ЕГЭ 2020 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210201 по английскому языку 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210201 по истории 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210201 по литературе 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210201 по обществознанию 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 210208 по химии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 34072997 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
  • Новый тренировочный вариант 34072998 по математике профиль 11 класс ЕГЭ с ответами
  • Новый тренировочный вариант 34072999 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант 34073000 по математике профиль 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант ЕГЭ 34073001 по математике профильный с ответами
  • Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по биологии 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • Новый тренировочный вариант КИМ 210208 по физике 11 класс ЕГЭ 2021 с ответами
  • О нас
  • ОБ1910201-ОБ1910204 ответы и задания обществознание 11 класс 13 декабря 2019
  • ОБЖ школьный этап задания и ответы олимпиады ВОШ 2019-2020
  • Обществознание 10 класс КДР 2019 задания и ответы 01. 03.2019
  • Обществознание 11 класс 04.05
  • Обществознание 11 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
  • Обществознание 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания 19 марта 2018
  • Обществознание 11 класс СтатГрад задания и ответы
  • Обществознание 11 класс Статград ответы и задания
  • Обществознание 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Обществознание 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 4 апреля 2019 год
  • Обществознание 9 11 класс контрольная работа 56 регион 20 февраля 2018
  • Обществознание 9 класс 19 декабря 2019 ответы и задания ОБ1990201-ОБ1990204
  • Обществознание 9 класс КДР 2019 ответы 01.03.2019
  • Обществознание 9 класс ответы и задания 29 апреля 2019 тренировочная №5
  • Обществознание 9 класс СтатГрад задания и ответы
  • Обществознание 9 класс тренировочная №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
  • Обществознание 9 класс тренировочная работа №1 ответы и задания 21.09
  • ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ для 9 классов Республика Коми, 11 регион
  • Обществознание ОГЭ 2018 платно
  • ОГЭ
  • ОГЭ 2017 закрытый раздел
  • ОГЭ 2018 Математика платно
  • ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 24 региона
  • ОГЭ 2019 география 9 класс ответы для 54 региона
  • ОГЭ 2019 официальное расписание экзаменов 9 класс
  • ОГЭ английский язык 2018 ответы и задания 9 класс
  • Одно желание было у лейтенанта Бориса Костяева готовые сочинения ЕГЭ
  • Окружающий мир 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Окружающий мир 4 класс демоверсия ВПР 2020 задания и ответы ФИПИ
  • Олимпиада Звезда заключительный тур 2017-2018 задания и ответы
  • Олимпиада Ломоносов по математике 11 класс задания и ответы 2018-2019
  • Олимпиада Наше Наследие 2019-2020 учебный год задания и ответы
    • Школьный тур 5-11 класс наше наследие задания и ответы 2019-2020
  • Олимпиада Наше Наследие 2020-2021 учебный год ОВИО задания и ответы
  • Олимпиада Наше Наследие задания и ответы 2018-2019 учебный год
  • Олимпиада основы православной культуры задания и ответы 2019-2020
  • Олимпиада по английскому языку 8-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 17 апреля 2020
  • Олимпиада по английскому языку задания и ответы муниципального этапа 2019
  • Олимпиада по английскому языку школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада по астрономии муниципальный этап 2019 задания и ответы
  • Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап 2019 ВОШ
  • Олимпиада по биологии ответы и задания школьный этап ВсОШ 23-24 октября 2019
  • Олимпиада по математике НТИ отборочный этап ответы и задания 2018-2019
  • Олимпиада по МХК школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада по обществознанию школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада по праву школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада по русскому языку задания и ответы школьного этапа 2019
  • Олимпиада по физической культуре муниципальный этапа 2019-2020 задания и ответы
  • Олимпиада по экологии 4-10 класс ответы и задания для пригласительного этапа 15 апреля 2020
  • Олимпиада по экологии ответы и задания школьный этап 2019-2020 Московская область
  • Олимпиада по экологии школьный этап 2017 задания
  • Олимпиада РОСАТОМ 2018-2019 задания и ответы
  • Олимпиада ФИЗТЕХ 11 класс ответы и задания 2018-2019
  • Олимпиада школьников САММАТ 2019-2020 ответы и задания
  • Оплата заказа
  • Оренбургская область 56 регион задания и ответы работы январь 2018
  • Отборочные задания по математике для физико-математической школы 2019 год
  • Отборочные задания по физике для физико-математической школы 2019 год
  • Ответы 56 регион математика 8 класс 19 декабря 2018
  • Ответы 7 8 класс золотое руно 2019 с заданиями
  • Ответы 9-11 класс золотое руно задания 2019
  • Ответы английский язык 7 8 9 класс говорение 56 регион 2018-2019
  • Ответы английский язык для 9 классов 56 регион
  • Ответы ВПР 2020 по биологии 6 класс задание №5
  • Ответы для реального задания №10 ВПР 2020 по географии 6 класс
  • Ответы для реального задания №9 ВПР 2020 по географии 6 класс
  • Ответы задания и сочинения татарский язык ЕРТ
  • Ответы задания изложение по русскому языку 9 класс СтатГрад 8 февраля 2018
  • Ответы и задания 1-2 класс конкурс АСТРА 20 ноября 2019-2020
  • Ответы и задания 10-11 класс КИТ 2018
  • Ответы и задания 11 класс кенгуру выпускника 2019
  • Ответы и задания 12. 04.2018
  • Ответы и задания 2 класс пегас 2019
  • Ответы и задания 2 класс чип 2019-2020 Австралия
  • Ответы и задания 3-4 класс золотое руно 2019
  • Ответы и задания 3-4 класс кенгуру 2019 год
  • Ответы и задания 3-4 класс пегас 2019
  • Ответы и задания 3-4 класс ЧИП 2019 год
  • Ответы и задания 4-5 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
  • Ответы и задания 4-5 класс русский медвежонок 14 ноября 2019
  • Ответы и задания 5-6 класс Гелиантус (астра) 2018-2019
  • Ответы и задания 5-6 класс золотое руно 2019 год
  • Ответы и задания 6-7 класс КИТ 2019 конкурс 27 ноября 2019-2020
  • Ответы и задания 6-7 класс русский медвежонок 2018-2019
  • Ответы и задания 8-9 класс русский медвежонок 2018-2019
  • Ответы и задания 9 класс кенгуру выпускника 2019
  • Ответы и задания 9-10 класс кенгуру 2019 год
  • Ответы и задания английский язык 9 класс диагностика №2 22 марта 2019
  • Ответы и задания БИ10401 и БИ10402 биология 11 класс 4 марта 2019
  • Ответы и задания биология 11 класс статград
  • Ответы и задания биология 11 класс статград 30 ноября 2018
  • Ответы и задания ВПР по географии 10-11 класс 03. 04.2018
  • Ответы и задания география 11 класс статград 9 декабря 2019 ГГ1910201
  • Ответы и задания для конкурса Кенгуру 2020 11 класс
  • Ответы и задания для конкурса по информатике КИТ 1-11 класс 29 ноября 2017 год
  • Ответы и задания для Оренбургской области 56 регион март 2019
  • Ответы и задания для пробных работ 56 региона 2018
  • Ответы и задания для работ 15.02.2017
  • Ответы и задания для работы статград по истории 9 класс
  • Ответы и задания золотое руно 2019 1-2 класс
  • Ответы и задания информатика 11 класс ИН1910101 ИН1910102 23 сентября 2019
  • Ответы и задания история 9 класс статград 29 ноября 2018 год
  • Ответы и задания КДР 23 регион март 2019 год
  • Ответы и задания КДР геометрия 8 класс 16 ноября 2018 года
  • Ответы и задания кенгуру 2 класс 2019 год
  • Ответы и задания кенгуру выпускника 4 класс 2019
  • Ответы и задания контрольная по математике 7 класс
  • Ответы и задания контрольных работ для 56 региона декабрь 2019
  • Ответы и задания МЦКО английский язык 9 класс 2018
  • Ответы и задания ОГЭ 2018 по математике 9 класс
  • Ответы и задания олимпиада звезда по обществознанию 2019-2020 отборочный этап
  • Ответы и задания олимпиады по физкультуре 8,9,10 класс пригласительный этап 28 апреля 2020
  • Ответы и задания по астрономии школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Ответы и задания по биологии 11 класс 30 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по биологии 11 класс статград 12. 09
  • Ответы и задания по биологии 9 класс 17.09 статград
  • Ответы и задания по Биологии 9 класс 24 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по биологии 9 класс БИ1990101-02 статград 14 октября 2019
  • Ответы и задания по биология 9 класс СтатГрад 2018
  • Ответы и задания по информатике 11 класс статград 14.09
  • Ответы и задания по информатике 9 класс статград 19.09
  • Ответы и задания по информатике 9 класс СтатГрад 31 января 2018
  • Ответы и задания по Истории 11 класс 23 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по истории 11 класс ИС1910101 ИС1910102 27 сентября 2019
  • Ответы и задания по истории 9 класс 18 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по истории школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
  • Ответы и задания по итальянскому языку школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Ответы и задания по китайскому языку олимпиада школьный этап 2019-2020
  • Ответы и задания по литературе школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020 московская область
  • Ответы и задания по математике 10 класс контрольная работа
  • Ответы и задания по математике 11 класс 25 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по математике 11 класс ЕГЭ база 56 регион 04. 04.18
  • Ответы и задания по математике 11 класс мониторинговая работа 2019-2020
  • Ответы и задания по математике 8 класс статград 11.09
  • Ответы и задания по математике 9 класс 12 декабря 2019 статград все варианты
  • Ответы и задания по математике 9 класс 56 регион 4 декабря 2018
  • Ответы и задания по математике 9 класс МА1990101-МА1990104 3 октября 2019
  • Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада
  • Ответы и задания по математике школьный этап 2019-2020 всероссийской олимпиады
  • Ответы и задания по МХК искусство всероссийская олимпиада школьный этап 2019-2020
  • Ответы и задания по ОБЖ всероссийская олимпиада 2018-2019
  • Ответы и задания по ОБЖ школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
  • Ответы и задания по обществознанию 11 класс ОБ10101 ОБ10102 статград 2018-2019
  • Ответы и задания по обществознанию 9 класс 26 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по обществознанию ОГЭ 2018
  • Ответы и задания по праву муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
  • Ответы и задания по русскому языку 11 класс 19 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по русскому языку 11 класс 2 октября 2019 РУ1910101 РУ1910102
  • Ответы и задания по Русскому языку 11 класс статград 28 марта 2018
  • Ответы и задания по русскому языку 7 класс входная работа
  • Ответы и задания по русскому языку 8 класс 56 регион
  • Ответы и задания по русскому языку 9 класс МЦКО 1 октября 2019
  • Ответы и задания по русскому языку 9 класс статград РУ1990101-02 16 октября 2019
  • Ответы и задания по Русскому языку КДР 11 класс январь 2019
  • Ответы и задания по русскому языку муниципальный этап 11 ноября всероссийской олимпиады 2018-2019
  • Ответы и задания по русскому языку ОГЭ 2018
  • Ответы и задания по русскому языку олимпиада школьный этап 22 октября 2019
  • Ответы и задания по физике 10 класс КДР 30 января 2018
  • Ответы и задания по физике 11 класс ВОШ 2018-2019
  • Ответы и задания по физике 11 класс ВПР 2018 10. 04.18
  • Ответы и задания по физике 11 класс КДР 30 января 2018
  • Ответы и задания по физике 9 класс 29 января 2018 СтатГрад
  • Ответы и задания по физике 9 класс КДР 30 января 2018
  • Ответы и задания по физике 9 класс статград
  • Ответы и задания по физике школьный этап всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Ответы и задания по химии 11 класс 28 ноября 2018
  • Ответы и задания по химии 11 класс ВПР 2018 05.04.18
  • Ответы и задания по химии 11 класс статград ХИ1910101 и ХИ1910102 15 октября 2019
  • Ответы и задания по химии 9 класс статград ХИ1990101-ХИ1990104 21 октября 2019
  • Ответы и задания по химии 9 класс тренировочная работа статград
  • Ответы и задания по экологии школьный этап всероссийской олимпиады школьников 2019-2020
  • Ответы и задания русский язык 11 класс варианты 16 мая 2019 год
  • Ответы и задания русский язык 7 класс ВПР 9 апреля 2019 год
  • Ответы и задания русский язык 9 класс 56 регион 06. 04.18
  • Ответы и задания стартовая работа русский язык 8 класс 23 сентября 2019
  • Ответы и задания статград обществознание 11 класс 14 декабря 2018
  • Ответы и задания статград по физике 9 класс варианты 24 октября 2019
  • Ответы и задания тренировочная №4 история 9 класс 21 марта 2019
  • Ответы и задания ФИ90401 и ФИ90402 физика 9 класс 4 марта 2019
  • Ответы и задания Физика ОГЭ 2018 9 класс
  • Ответы и задания ЧИП 1-2 класс 2019
  • Ответы и задания школьный этап по математике всероссийской олимпиады новосибирская область 2019-2020
  • Ответы и задания школьный этап по физике всероссийской олимпиады в Московской области 2019-2020
  • Ответы КДР 2019 по информатике 10 класс 15 марта 23 регион
  • Ответы КДР 2019 по информатике 9 класс 15 марта 23 регион
  • Ответы КДР 2019 по литературе 10 класс 15 марта 23 регион
  • Ответы КДР 2019 по литературе 9 класс 15 марта 23 регион
  • Ответы КДР 23 регион биология 11 класс 21. 12.2018
  • Ответы КДР 23 регион история 11 класс 21.12.2018
  • Ответы КДР задания 23 регион Февраль 2019 год
  • Ответы КДР литература 11 класс 14 декабря 2018
  • Ответы КДР физика 11 класс 14 декабря 2018
  • Ответы МЦКО математика 10 класс 5 декабря 2018
  • Ответы МЦКО математика 11 класс 28 ноября 2018
  • Ответы МЦКО по истории 9 класс 19.09
  • Ответы на тренировочная работа по химии 9 класс «СтатГрад»
  • Ответы на тренировочную работу по русскому языку 11 класс
  • Ответы обществознание 9 класс статград 5 декабря 2018
  • Ответы обществознание для 10 классов 23 регион
  • Ответы ОГЭ 2018 английский язык
  • Ответы ОГЭ 2018 русский язык
  • Ответы олимпиада по праву 9 класс школьный этап ВОШ 2018-2019
  • Ответы олимпиада по физике 9 класс 2018-2019
  • Ответы по английскому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
  • Ответы по английскому языку олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
  • Ответы по астрономии школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
  • Ответы по биологии 9 10 11 класс вош 2018-2019 школьный этап
  • Ответы по биологии для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
  • Ответы по географии ВОШ олимпиада школьный этап 2018-2019
  • Ответы по географии для 9 классов 11 регион
  • Ответы по информатике 11 класс 12. 05
  • Ответы по искусству МХК олимпиада ВОШ школьный этап 2018-2019
  • Ответы по истории 11 класс статград тренировочная работа №1 26.09
  • Ответы по истории 11 класс школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
  • Ответы по истории 9 класс статград
  • Ответы по истории для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
  • Ответы по математике 7-8 класс КДР
  • Ответы по математике 8 класс МЦКО 28 марта 2018
  • Ответы по математике 9 класс 64 регион
  • Ответы по математике 9 класс СтатГрад 15.02
  • Ответы по немецкому языку 7-9 класс 56 регион 10.12.2018 Аудирование
  • Ответы по русскому языку 11 класс 11 регион 13.02
  • Ответы по русскому языку для 7 и 8 класс 12.05
  • Ответы по русскому языку школьный этап олимпиады ВОШ 2018-2019
  • Ответы по тренировочная работа по биологии 11 класс
  • Ответы по тренировочная работа по обществознанию 9 класс
  • Ответы по физике 9 класс ФИ90201 и ФИ90202 статград 7 декабря 2018
  • Ответы по физике, биологии для 11 классов 56 регион 16. 02
  • Ответы по химии 11 класс пробное ЕГЭ статград 12 марта 2019
  • Ответы по химии 9 класс статград 19 декабря 2018
  • Ответы по химии, информатике, географии, обществознанию для 9 классов
  • Ответы по экологии школьный этап ВОШ 2018-2019
  • Ответы репетиционный экзамен по математике 9 класс пробное ОГЭ 9 февраля 2018
  • Ответы РПР по математике 9 класс 64 регион 3 этап 2018
  • Ответы русский язык 10 класс 56 регион 12.05
  • Ответы русский язык 5-8 класс контрольная работа за 1 полугодие 56 регион 2018
  • Ответы статград география 11 класс 11.12.2018
  • Ответы СтатГрад по обществознанию 9 класс
  • Ответы статград по обществознанию 9 класс варианты ОБ1990101-02 23 октября 2019
  • Ответы тренировочная работа по истории 9 класс
  • Ответы тренировочная работа по математике 10 класс 08.02.2017
  • Ответы тренировочная работа по русскому языку 9 класс 09.02.2017
  • Ответы тренировочная работа по химии 11 класс 14. 02
  • Ответы физике для 9 классов (Оренбургская область, 56 регион)
  • Отзывы прошлых лет
  • Отзывы с первого экзамена ОГЭ 2018 по английскому языку
  • Отзывы с первых экзаменов ЕГЭ 2017
  • Отзывы с прошедших экзаменов ОГЭ 2019
  • Отзывы с экзамена по русскому языку ОГЭ 2018
  • Открытый банк заданий и ответы ФИПИ ЕГЭ 2019 по русскому языку 11 класс
  • Официальные работы РДР 2019-2020 для 78 региона
    • РДР 2020 по математике 11 класс задания и ответы 2 варианта ИС «Знак»
    • РДР 2020 по математике 9 класс задания, ответы и критерии
  • Официальные работы РДР для 78 региона 2018-2019 учебный год
  • Официальные РДР 2020 для Московской области задания и ответы
  • Официальные РДР 2021 для Московской области задания и ответы
  • Официальные РДР 2022 для Московской области задания и ответы
  • Официальные темы для Республика Саха (Якутия) Сахалинская область итоговое сочинение 2018-2019
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+1
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса MSK+6
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 11 класс для часового пояса МСК
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK +9
  • Официальные темы итогового сочинения 2018-2019 для часового пояса MSK+7
  • Оформление заказа
  • Пегас 2018 задания и ответы 7 февраля конкурс по литературе
  • Пегас 2019 5-6 класс ответы и задания
  • Пегас 2019 7-8 класс ответы и задания
  • Пегас 2019 ответы для 9-11 класса
  • Письмо английский язык 7 8 9 класс 56 регион ответы и задания
  • Платно русский язык 9 класс
  • Поддержать проект
  • Полугодовая контрольная работа по русскому языку 11 класс задания и ответы 2019-2020
  • ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКОЕ СОГЛАШЕНИЕ
  • Предэкзаменационная работа задания и ответы по информатике 9 класс ОГЭ 2019
  • Предэкзаменационная работа задания и ответы по математике 11 класс ЕГЭ 2019
  • Пригласительный школьный этап 2021 всероссийская олимпиада школьников задания и ответы
  • Пробная (тренировочная) ВПР 2019 география 10-11 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 биология 11 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 география 6 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 математика 7 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 4 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 5 класс ответы и задания
  • Пробное (тренировочное) ВПР 2019 русский язык 6 класс ответы и задания
  • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 11 класс
  • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 5 класс
  • Пробное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 7 класс
  • Пробное ВПР 2019 по истории 5 класс ответы и задания
  • Пробное ВПР 2019 по истории 6 класс ответы и задания
  • Пробное ВПР 2019 по химии 11 класс ответы и задания
  • Пробное Итоговое собеседование 9 класс русский язык ОГЭ 2019 задания
  • Пробный экзамен по обществознанию и литературе для 11 классов ответы
  • Проект математическая вертикаль ответы и задания
  • Работа по математике 11 класс статград ответы и задания 25 сентября 2019
  • Работа статград по русскому языку 9 класс 3 декабря 2019 ответы и задания
  • Работы (задания+ответы) для Республики Коми Март 2017
  • Работы (задания+ответы) Март 2017 СтатГрад
  • Работы (задания+ответы) Февраль 2017
  • Работы (задания+ответы) Январь 2017
  • Работы 56 регион ответы и задания май 2019 год
  • Работы для 56 региона Май 2018 ответы и задания
  • Работы для Оренбургской области
  • Работы для Республики Коми Декабрь 2017 задания и ответы
  • Работы для Республики Коми Ноябрь 2017 задания и ответы
  • Работы для Республики Коми Октябрь 2017 задания и ответы
  • Работы задания и ответы по регионам
  • Работы МЦКО демоверсии задания и ответы
  • Работы СтатГрад 2018 февраль задания и ответы
  • Работы СтатГрад апрель 2018 задания и ответы
  • Работы Статград ВПР задания и ответы февраль 2019
  • Работы статград ВПР март 2019 задания и ответы
  • Работы СтатГрад декабрь 2017 задания и ответы
  • Работы статград декабрь 2018-2019 ответы и задания
  • Работы статград декабрь 2019 задания и ответы 2019-2020 учебный год
  • Работы статград задания и ответы ноябрь 2019-2020 учебный год
  • Работы СтатГрад задания и ответы октябрь 2018
  • Работы статград задания и ответы октябрь 2019-2020 учебный год
  • Работы СтатГрад задания и ответы сентябрь 2018
  • Работы СтатГрад март 2018 задания и ответы
  • Работы СтатГрад ноябрь 2017 задания и ответы
  • Работы СтатГрад октябрь 2017 задания и ответы
  • Работы СтатГрад сентябрь 2017 задания и ответы
  • Работы статград сентябрь 2019 год ответы и задания
  • Работы СтатГрад январь 2018 задания и ответы
  • Работы статград январь 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
  • Работы СтатГрад, КДР за апрель 2017
  • Работы СтатГрад, КДР за май 2017
  • Работы СтатГрад, КДР за март 2017
  • Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за февраль 2017
  • Работы СтатГрад, КДР, тренировочные за январь 2017
  • Рабочая программа по окружающему миру ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
  • Рабочая программа по чтению ФГОС с 1 по 4 класс на 2022-2023
  • Рабочие программы по английскому языку ФГОС с 2 по 11 класс на 2022-2023
  • Рабочие программы ФГОС на 2022-2023 учебный год для 1-11 класса
    • Рабочая программа по информатике ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
    • Рабочие программы 7 класс по ФГОС на 2022-2023 год
    • Рабочие программы для 10 класса ФГОС на 2022-2023
    • Рабочие программы по ОБЖ ФГОС с 5 по 11 класс на 2022-2023
  • Расписание
    • ЕГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов от Рособрнадзора
    • ЕГЭ и ОГЭ 2020 год официальное расписание экзаменов у 9 и 11 класса
    • ОГЭ 2021 официальное расписание проведения экзаменов у 9 класса
    • Официальное расписание ЕГЭ 2019 11 класс основной досрочный этап
    • Расписание муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников в Санкт-Петербурге 2018-2019
    • Расписание работ КДР 2019
    • Расписание РДР 2020-2021 для 58 региона задания и ответы Пензенская область
    • Расписание РПР 2018-2019 для 26 региона
  • Расписание ГИА ОГЭ 2017
  • Расписание ЕГЭ 2018 досрочный основной резервный период
  • Расписание итогового сочинения 2017-2018
  • Расписание проведения экзаменов 9 класса ОГЭ 2018
  • Расписание школьных олимпиад 2017-2018 задания и ответы
  • Распределения реальных тем итогового сочинения 2017-2018 по зонам регионам
  • РДР 2019-2020 по физике 10 класс ответы и задания
  • РДР 8 класс ответы и задания по математике 15 ноября 2018
  • РДР математика 10 класс 14 ноября 2019 ответы и задания
  • РДР математика 6 класс ответы и задания 21 ноября 2019 78 регион
  • РДР ответы и задания для Санкт-Петербурга
    • Официальные работы РДР для 78 региона задания и ответы 2020-2021 учебный год
  • РДР по русскому языку 9 класс ответы и задания вариант 1901 и 1902 17 октября 2019
  • Реальное ВПР 2020 задание 1 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание 2 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №1 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №10 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №10 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №11 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №12 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №2 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №3 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №3 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №4 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №4 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №5 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №5 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №6 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №6 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №7 по биологии 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №7 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №8 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальное ВПР 2020 задание №9 по русскому языку 5 класс с ответами
  • Реальные задания по математике ПРОФИЛЬ ЕГЭ 2018
  • Реальные темы и готовые сочинения 4 декабря 2019 ФИПИ для региона МСК+9
  • Реальные темы итогового сочинения 2018-2019 5 декабря
  • Реальный вариант с ЕГЭ 2019 по математике 29 мая 2019 год
  • Региональный экзамен по математике 7 класс
  • Региональный экзамен по математике 7 класс 56 регион ответы и задания
  • Региональный экзамен по русскому языку 8 класс 56 регион
  • Региональный этап 2019 по астрономии задания и ответы всероссийская олимпиада
  • Региональный этап 2019 по географии ответы и задания ВОШ
  • Региональный этап 2019 по искусству МХК ответы и задания ВОШ
  • Региональный этап 2019 по истории задания и ответы всероссийская олимпиада
  • Региональный этап 2019 по немецкому языку задания и ответы
  • Региональный этап по биологии задания всероссийская олимпиада 2018-2019
  • Региональный этап по математике ответы и задания 2019
  • Результаты ЕГЭ 2017 у школьников
  • Решать реальное ВПР 2020 задание №8 по биологии 5 класс с ответами
  • Решать реальное ВПР 2020 задание №9 по биологии 5 класс с ответами
  • Решения и задания муниципального этапа 2019 олимпиады по математике
  • РПР 2017-2021 задания и ответы для Саратовской области 64 регион
  • РПР математика 9 класс 3 этап задания и ответы 2018-2019
  • РПР по математике 9 класс 64 регион задания 2018-2019
  • Русский медвежонок 10-11 класс ответы и задания 2018-2019
  • Русский медвежонок 14 ноября 2019 ответы и задания 6-7 класс
  • Русский медвежонок 2-3 класс ответы и задания 2018-2019
  • Русский медвежонок 2019 ответы и задания для 10-11 класса 14 ноября
  • Русский Медвежонок 2019 ответы и задания для 2-3 класса
  • Русский медвежонок 2019-2020 ответы и задания 8-9 класс 14 ноября
  • Русский медвежонок 4-5 класс ответы и задания 2018-2019
  • Русский медвежонок для учителей 2020 год задания и ответы
  • Русский язык 10 класс КДР ответы и задания
  • Русский язык 10 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
  • Русский язык 10 класс ответы и задания 56 регион
  • Русский язык 10 класс ответы МЦКО 8 ноября 2018 год
  • Русский язык 10 класс СтатГрад ответы 12. 05
  • Русский язык 10-11 класс ответы и задания 22 апреля 2019 тренировочная №1
  • Русский язык 10-11 класс ответы и задания СтатГрад
  • Русский язык 10-11 класс ответы РЯ10901 и РЯ10902 6 марта 2019
  • Русский язык 11 класс 03.06.2019
  • Русский язык 11 класс 11 ноября 2019 ответы и задания работа статград
  • Русский язык 11 класс 56 регион ответы
  • Русский язык 11 класс диагностическая работа №5 ответы и задания 8 апреля 2019
  • Русский язык 11 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
  • Русский язык 11 класс контрольная работа в формате ЕГЭ 2 варианта задания и ответы
  • Русский язык 11 класс мониторинговая работа ответы и задания
  • Русский язык 11 класс ответы и задания диагностика 2 статград 18 марта 2019
  • Русский язык 11 класс ответы и задания СтатГрад 17.05
  • Русский язык 11 класс ответы РЯ10601 и РЯ10602 статград 2018-2019
  • Русский язык 11 класс ответы статград 30 января 2019
  • Русский язык 11 класс РЯ1910701-РЯ1910702 статград ответы и задания 11 декабря 2019
  • Русский язык 11 класс статград 24 октября 2019 ответы и задания РЯ1910601-02
  • Русский язык 11 класс статград ЕГЭ ответы и задания
  • Русский язык 11 класс СТАТГРАД ответы и задания 28 февраля
  • Русский язык 11 класс статград ответы и задания вариант РЯ10201 и РЯ10202 07. 11.2018
  • Русский язык 11 класс тренировочная работа №1 ответы статград 2018-2019
  • Русский язык 3 класс МЦКО ВСОКО задания итоговая работа 2019
  • Русский язык 4 класс ВПР 2020 демоверсия задания и ответы ФИПИ
  • Русский язык 4 класс задания и ответы мониторинговая работа 2019-2020
  • Русский язык 5 класс демоверсия ВПР 2020 ФИПИ задания и ответы
  • Русский язык 5 класс ответы и задания 21.09
  • Русский язык 6 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Русский язык 6 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
  • Русский язык 6 класс ВПР 2020 демоверсия фипи задания и ответы
  • Русский язык 6 класс статград ответы и задания 2018-2019
  • Русский язык 7 класс 56 регион ответы
  • Русский язык 7 класс 56 регион ответы и задания 15 марта 2018
  • Русский язык 7 класс задания и ответы мониторинговая работа 10 сентября 2019
  • Русский язык 7 класс ответы и задания РУ1970101 и РУ1970102 26 сентября 2019
  • Русский язык 7 класс ответы и задания статград 2018-2019
  • Русский язык 7 класс статград ответы и задания
  • Русский язык 7-8 класс ответы КДР 23 января 2019
  • Русский язык 8 класс 56 регион задания и ответы
  • Русский язык 8 класс КДР ответы и задания 19 декабря 2018
  • Русский язык 8 класс ответы и задания 56 регион
  • Русский язык 8 класс ответы и задания 6 мая 2019 итоговая работа
  • Русский язык 8 класс стартовая работа ответы и задания 24. 09
  • Русский язык 8 класс статград ответы и задания
  • Русский язык 9 класс 11.05 ответы
  • Русский язык 9 класс 74 регион ответы
  • Русский язык 9 класс ответы и задания 19 апреля 2019 диагностическая работа №4
  • Русский язык 9 класс ответы и задания варианты 13 мая 2019 год
  • Русский язык 9 класс ответы и задания диагностика статград 15 марта 2019
  • Русский язык 9 класс ответы и задания полугодовая работа 2018-2019
  • Русский язык 9 класс ответы изложение статград 2018-2019
  • Русский язык 9 класс СтатГрад 17.04
  • Русский язык 9 класс СтатГрад задания и ответы
  • Русский язык 9 класс статград ОГЭ ответы и задания 15 марта 2018
  • Русский язык 9 класс СТАТГРАД ответы и задания
  • Русский язык 9 класс статград РЯ90201-РЯ90202 ответы и задания 27.11.
  • Русский язык платно
  • Русский язык школьный этап 2018-2019 ответы и задания Санкт-Петербург
  • Русский язык школьный этап 2019-2020 задания и ответы московская область
  • РЭ по математике 7 класс 24. 05 ответы
  • РЭ по русскому языку 7 класс ответы 19.05
  • РЭ по русскому языку 8 класс ответы 24.05
  • СтатГрад
    • Задания и ответы работы СТАТГРАД ВПР март 2020
    • Работы статград апрель 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград апрель 2022 год варианты ответы и решения
    • Работы статград декабрь 2020 год задания ответы и решения
    • Работы статград декабрь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград задания и ответы апрель 2020 год
    • Работы статград май 2020 год задания, ответы, решения
    • Работы статград май 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград май 2022 год варианты ответы и решения
    • Работы статград март 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград март 2022 год задания ответы и решения
    • Работы статград ноябрь 2020 год задания, ответы и решения
    • Работы статград ноябрь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград октябрь 2020 год задания, ответы и решения
    • Работы статград октябрь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград сентябрь 2020 год задания, ответы и решения
    • Работы статград сентябрь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград сентябрь 2022 год варианты ответы и решения
    • Работы статград февраль 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград февраль 2022 год задания ответы и решения
    • Работы статград январь 2021 год задания ответы и решения
    • Работы статград январь 2022 год задания ответы и решения
  • Статград 9 класс русский язык ответы и задания 21. 12.2018
  • СтатГрад апрель 2017 работы задания и ответы
  • СтатГрад биология 11 класс 14.04.17
  • Статград ВПР работы апрель 2019 ответы и задания
  • СТАТГРАД ВПР февраль 2020 задания и ответы 2019-2020 учебный год
  • Статград география 11 класс ответы и задания март 2018
  • Статград география 9 класс ответы и задания 20 ноября 2018
  • СтатГрад задания и ответы по обществознанию 11 класс 1 февраля 2018 года
  • Статград задания и ответы январь 2018-2019
  • Статград информатика 9 класс 27 ноября 2019 ответы и задания ИН1990201-ИН1990204
  • СтатГрад информатика 9 класс ответы и задания 5 марта 2018
  • Статград история 11 класс 2 варианта ответы и задания 12 марта 2018
  • СтатГрад май 2017 работы задания и ответы
  • СтатГрад математика 11 класс ответы и задания 6 марта 2018
  • Статград Обществознание 11 класс ответы и задания
  • Статград обществознание 9 класс ответы и задания 13 марта 2018
  • СтатГрад обществознание 9 класс ответы и задания 17. 05
  • СтатГрад ответы и задания для работ ноябрь 2018
  • СтатГрад ответы и задания по математике 10 класс База и Профиль 7 февраля 2018
  • СтатГрад ответы и задания по русскому языку 11 класс 6 февраля 2018
  • Статград ответы русский язык 11 класс 19.12.2018
  • СтатГрад по математике для 11 классов
  • Статград работы май 2018 ответы и задания
  • Статград работы ответы и задания май 2019
  • СтатГрад русский язык диагностические работы 2017 задания и ответы
  • Темы итогового сочинения 2017
  • Темы на пробное итоговое сочинение для 52 региона
  • Темы по направлениям которые будут итоговое сочинение 2018 6 декабря
  • Тест по русскому языку 4 класс ВПР 2018 ответы и задания
  • Тренировочная работа по биологии 11 класс
  • Тренировочная работа по биологии 9 класс ответы и задания 15 января 2019
  • Тренировочная работа по информатике 11 класс
  • Тренировочная работа по информатике 9 класс ответы
  • Тренировочная работа по математике 10 класс ответы 6 февраля 2019
  • Тренировочная работа по математике 11 класс ответы 06. 03
  • Тренировочная работа по химии 11 класс ответы 8 февраля 2019
  • Тренировочная работа статград по географии 11 класс ответы 15.02.2019
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по английскому языку 7 класс
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по биологии 6 класс
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по истории 11 класс
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по математике 6 класс
  • Тренировочное ВПР 2019 ответы и задания по физике 11 класс
  • Тренировочные варианты 200203, 200217, 200302 по химии 11 класс с ответами 2020
  • Тренировочные варианты ВПР 2020 по химии 8 класс ХИ1980101,ХИ1980102
  • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по биологии задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по обществознанию 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по русскому языку задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ 2023 по математике 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по английскому языку 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по географии 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по информатике задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по истории 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по литературе 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по физике 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ЕГЭ по химии 11 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты КДР 10 класс обществознание 2019
  • Тренировочные варианты ОГЭ по английскому языку 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по биологии 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по географии 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по информатике 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по истории 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по математике 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по обществознанию 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по русскому языку 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по физике 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты ОГЭ по химии 9 класс задания с ответами
  • Тренировочные варианты по биологии 10 класс задания с ответами
  • Тренировочные задания МЦКО ВСОКО математика 3 класс 2019
  • Тренировочные работы для 56 региона задания и ответы сентябрь 2018
  • Тренировочные работы для 56 региона Оренбургской области задания и ответы
  • Тренировочные работы по математике статград 2017 задания и ответы
  • Тренировочный вариант 33006757 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант 33006758 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант 33006759 ЕГЭ по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073002 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073003 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073004 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073005 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073006 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073007 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073008 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073009 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073010 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант ЕГЭ 34073011 по математике профильный уровень с ответами
  • Тренировочный вариант с ответами 200316 по физике 11 класс ЕГЭ 2020
  • Тренировочный варианты №191223 и №191209 по химии 11 класс ЕГЭ 2020
  • Тренировочный ЕГЭ 2020 математика 11 класс профиль задания и ответы
  • Турнир ЛОМОНОСОВ задания и ответы 2018-2019
  • Турнир Ломоносова задания и ответы 2019-2020 учебный год
    • 09. 03.2020 XLII Заключительный тур Ломоносова по биологии задания и ответы
    • 09.03.2020 Заключительный тур Ломоносова по астрономии задания и ответы
    • 29.09.2019 Задания и ответы по астрономии 42 турнир М.В.Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по биологии 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по истории 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по лингвистике 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по литературе 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по математике 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по физике 42 турнир М.В. Ломоносова
    • 29.09.2019 Задания и ответы по химии 42 турнир М.В. Ломоносова
    • Ответы и задания по истории XLII заключительный тур Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по лингвистике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по литературе XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по математике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по физике XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
    • Ответы и задания по химии XLII заключительный турнир Ломоносова 9 марта 2020
  • Условия перепечатки материалов | Правообладателям
  • Устная часть английский язык 2018 платно
  • Устное собеседование 2019 официальные варианты 13 февраля
  • Устное собеседование 9 класс 2019
  • Физика 11 класс 7 ноября 2019 статград ответы и задания варианты ФИ1910201-ФИ1910204
  • Физика 11 класс ВПР ответы 25. 04
  • Физика 11 класс ответы и задания 6 мая 2019 тренировочная работа №5
  • Физика 11 класс ответы и задания пробник статград 14 февраля 2018
  • Физика 11 класс ответы и задания статград 2018
  • Физика 11 класс ответы и задания ФИ1910101 ФИ1910102 19 сентября 2019
  • Физика 11 класс СтатГрад ответы и задания
  • Физика 11 класс тренировочная ЕГЭ №4 статград ответы и задания 14 марта 2019
  • Физика 7 класс ВПР 2019 ответы и задания 23 апреля
  • Физика 9 класс задания и ответы СтатГрад
  • Физика 9 класс ответы и задания ФИ90101 и ФИ90102 статград 2018-2019
  • Физика 9 класс ответы и задания ФИ90401 ФИ90402 статград
  • Физика 9 класс СтатГрад 03.05 ответы
  • Физика 9 класс статград ответы и задания 10 декабря 2019 варианты ФИ1990201-ФИ1990204
  • Физика ОГЭ 2018 ответы и задания 2 июня
  • Физика ОГЭ 2018 платно
  • Физика турнир Ломоносова задания 2018-2019
  • Физическая культура 10 ноября задания муниципальный этап всероссийская олимпиада 2018-2019
  • ФИПИ открытый банк заданий ЕГЭ 2019 по русскому языку Лексика и фразеология
  • Французский язык 7-11 класс муниципальный этап 2019-2020 ответы и задания Москва
  • Химия 11 класс 10. 05 СтатГрад ответы
  • Химия 11 класс ВПР 27.04 задания и ответы
  • Химия 11 класс ЕГЭ статград ответы и задания 14 марта 2018
  • Химия 11 класс ответы для ХИ10101 ХИ10102 статград 19.10
  • Химия 11 класс ответы и задания 28 ноября 2019 статград ХИ1910201-ХИ1910204
  • Химия 11 класс ответы и задания варианты статград 13 мая 2019 год
  • Химия 11 класс ответы и задания СтатГрад 9 февраля 2018 года
  • Химия 11 класс СтатГрад задания и ответы
  • Химия 9 класс задания и ответы СтатГрад
  • Химия 9 класс КДР ответы и задания 15 февраля 2018 года
  • Химия 9 класс ОГЭ 4 июня 2019 год
  • Химия 9 класс ОГЭ статград ответы и задания 15 февраля 2018
  • Химия 9 класс ответы и задания 16.05
  • Химия 9 класс ответы и задания ОГЭ статград 22.03.2018
  • Химия 9 класс ответы тренировочная №4 статград 20 марта 2019
  • Химия 9 класс статград ОГЭ ответы и задания
  • Химия ВОШ школьный этап ответы и задания 2018-2019
  • Химия ответы и задания для школьного этапа всероссийской олимпиады 2019-2020
  • Частная группа
  • ЧИП Австралия 23 октября 2019 ответы и задания 7-8 класс
  • ЧИП Австралия 3-4 класс ответы и задания 23 октября 2019-2020
  • ЧИП Австралия ответы и задания 5-6 класс 23 октября 2019-2020
  • ЧИП мир сказок 2019 ответы и задания для 1 класса 5-7 лет
  • Читательская грамотность 4 класс МЦКО 2019 тестирование
  • Чтение читательская грамотность 3 класс МЦКО ВСОКО задания 2019
  • Школьные конкурсы расписание 2017-2018
  • Школьные олимпиады и конкурсы 2017-2018 задания и ответы
  • Школьный тур наше наследие 7-8 класс ответы и задания 2019-2020
  • Школьный этап 2019-2020 всероссийская олимпиада по астрономии ответы и задания
  • Школьный этап 2019-2020 олимпиады ВОШ по физике ответы и задания
  • Школьный этап 2019-2020 по биологии ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
  • Школьный этап 2019-2020 по испанскому языку ответы и задания всероссийской олимпиады
  • Школьный этап 2019-2020 по праву задания и ответы для всероссийской олимпиады школьников
  • Школьный этап 2019-2020 по праву ответы и задания всероссийской олимпиады школьников
  • Школьный этап 2019-2020 по русскому языку ответы и задания всероссийская олимпиада школьников
  • Школьный этап ВОШ 2019-2020 ответы и задания по французскому языку
  • Школьный этап ВОШ по информатике ответы и задания 2018-2019
  • Школьный этап ВОШ по испанскому языку ответы и задания 2018-2019
  • Школьный этап ВОШ по математике задания и ответы 2018-2019
  • Школьный этап ВСЕРОССИЙСКИХ олимпиад 2017-2018 задания
  • Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по обществознанию 2019-2020 учебный год
  • Школьный этап всероссийской олимпиады задания и ответы по физической культуре 2019-2020
  • Школьный этап ВсОШ 2019-2020 ответы и задания по обществознанию
  • Школьный этап олимпиады по информатике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
  • Школьный этап олимпиады по математике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
  • Школьный этап олимпиады по экономике ответы и задания всероссийской олимпиады 2019
  • Школьный этап по английскому языку 2019-2020 задания и ответы московская область
  • Школьный этап по ОБЖ задания и ответы всероссийская олимпиада 2019-2020
  • Экзамен по географии ОГЭ 2019
  • Экономика олимпиада муниципальный этап 2019 ВсОШ задания и ответы

Площадь трапеции – объяснение и примеры

Напомним, что трапеция , также называемая трапецией , , представляет собой четырехугольник с одной парой параллельных сторон и другой парой непараллельных сторон. Подобно квадрату и прямоугольнику, трапеция тоже плоская. Следовательно, это 2D.

В трапеции параллельные стороны называются основаниями, а пара непараллельных сторон — катетами. Расстояние по перпендикуляру между двумя параллельными сторонами трапеции известно как высота трапеции.

Проще говоря, основание и высота трапеции перпендикулярны друг другу.

Трапеции могут быть как прямыми трапециями (два угла по 90 градусов), так и равнобедренными трапециями (две стороны одинаковой длины). Но иметь один прямой угол невозможно, потому что у него есть пара параллельных сторон, которые ограничивают его, чтобы он одновременно образовывал два прямых угла.

Из этой статьи вы узнаете:

  • Как найти площадь трапеции,
  • Как вывести формулу площади трапеции и,
  • Как найти площадь трапеции, используя формулу площади трапеции.

 

Как найти площадь трапеции?

Площадь трапеции — это область, покрытая трапецией в двумерной плоскости. Это пространство, заключенное в двумерную геометрию.

На приведенном выше рисунке трапеция состоит из двух треугольников и одного прямоугольника. Следовательно, мы можем вычислить площадь трапеции, взяв сумму площадей двух треугольников и одного прямоугольника.

Получить формулу трапеции

Область трапеции ADEF = (½ x AB x FB ) + ( BC x FB ) + (½ x CD X )

= (½ x CD X ) 9 0007

= (½ x CD X ) 9 0007

= (½ x CD X ) 9 0007

= (½ x CD X ) . ¹/₂ × AB × H ) + ( BC × H ) + (¹/₂ × CD × H )

= ¹/× H × ( AB + 2 BC + CD )

= ¹/₂ × h × ( FE + AD )

Но, FE = b 1 и AB = B 2

Следовательно, площадь трапеции ADEF ,

= ¹/ × H × (B 1 + B 2 )… ………. (Это формула площади трапеции)

Формула площади трапеции

Согласно формуле площади трапеции, площадь трапеции равна половине произведения высоты и суммы двух оснований.

Площадь = ½ x (сумма параллельных сторон) x (перпендикулярное расстояние между параллельными сторонами).

Площадь = ½ h (b 1 + b 2 )

Где h — высота, а b 1, и b 2 — параллельные стороны трапеции.

Как найти площадь неправильной трапеции?

Неправильная трапеция имеет непараллельные стороны разной длины. Чтобы найти его площадь, нужно найти сумму оснований и умножить ее на половину высоты.

В вопросе иногда отсутствует высота, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Как найти периметр трапеции?

Вы знаете, что периметр — это сумма всех длин внешнего края фигуры. Следовательно, периметр трапеции равен сумме длин всех 4-х сторон.

Пример 1

Вычислите площадь трапеции, высота которой 5 см, а основания 14 см и 10 см.

Раствор

Пусть b 1 = 14 см и b 2 = 10 см

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + B 2 ) CM 2

= ½ x 5 (14 + 10) CM 2

= ½ x 5 x 24 CM 2

= 60 CM 2 2

= 60 CM 2

= 60 CM 2

= 60 CM 2

= 60 CM

= 60 CM

= 60 CM

= ½ x Пример 2

Найдите участок трапеции высотой 30 мм, основания которого равны 60 мм и 40 мм.

Solution

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. единиц

= ½ x 30 x (60 + 40) мм

1 2

02 = ½ x 30 x 100 мм

2

= 1500 мм 2

Пример 3

Площадь трапеции равна 32 дюймам. Если длины двух параллельных сторон трапеции равны 19 и 27 дюймов, найдите высоту трапеции.

Раствор

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. единицы.

⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x высота x (19 + 27) кв. дюймов

⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x высота x 46 кв. дюймов

⇒ 322 = 23h

Разделите обе стороны на 23.

h = 14

Итак, высота трапеции 14 дюймов.

Пример 4

Учитывая, что высота трапеции 16 м, а длина одного основания 25 м. Вычислите размер другого основания трапеции, если ее площадь равна 352 м 2 .

Раствор

Пусть b 1 = 25 м

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. шт.

⇒ 352 м 2 = ½ x 16 м x (25 м + b 2 ) кв. шт.

⇒ 352 = 200 + 8b 2

Вычтите по 200 с обеих сторон.

⇒ 152 = 8b 2

Разделите обе части на 8, чтобы получить;

b 2 = 19

Следовательно, длина другого основания трапеции равна 19 м.

Пример 5

Вычислите площадь трапеции, показанной ниже.

Решение

Поскольку катеты (непараллельные стороны) трапеции равны, то высоту трапеции можно рассчитать следующим образом;

Чтобы получить основания двух треугольников, вычтите 15 см из 27 см и разделите на 2.

⇒ (27 – 15)/2 см

⇒ 12/2 см = 6 см

12 2 = h 2 + 6 2 По теореме Пифагора высота (h) рассчитывается как;

144 = h 2 + 36.

Вычесть 36 с обеих сторон.

ч 2 = 108.

ч = 10,39 см.

Отсюда высота трапеции 10,39см.

Теперь вычислите площадь трапеции.

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. единицы.

= ½ x 10,39 x (27 + 15) см 2 .

= ½ x 10,39 x 42 см 2 .

= 218,19 см 2 .

Пример 6

Одно основание трапеции на 10 м больше высоты. Если другое основание равно 18 м, а площадь трапеции 480 м 2 , найдите высоту и основание трапеции.

Решение

Пусть высота = x

Другое основание на 10 м больше высоты = x + 10.

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2) кв. единицы.

Подстановкой,

480 = ½ * x * (x + 10 + 18)

480 = ½ *x * (x + 28)

Используйте свойство распределения, чтобы удалить скобки.

480 = ½x 2 + 14x

Умножение каждого члена на 2.

960 = x 2 + 28x

x 2 + 28x — 960 = 0

Solve Solve Квадратичный уравнение;

x = – 48 или x = 20

Подставьте положительное значение x в уравнение высоты и основания.

Высота: x = 20 м.

Другая база = х + 10 = 10 + 20 = 30 м.

Следовательно, другое основание и высота трапеции равны 30 и 20 м соответственно.

 

Объяснение урока: Площадь трапеции

В этом объяснении мы научимся находить площадь трапеции с помощью формулы и применять ее для нахождения площади в реальной жизни.

Мы начнем с обсуждения различных существующих типов трапеций. Трапеция – это четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон. Мы называем эти стороны основаниями и часто обозначаем их длины буквами 𝑎 и 𝑏. Перпендикулярное расстояние между двумя основаниями называется высотой трапеции и обычно обозначается ℎ. Две другие стороны трапеции (непараллельные противоположные стороны) известны как ноги.

Равнобедренная трапеция — это трапеция, катеты которой имеют одинаковую длину. Все равнобедренные трапеции имеют линию симметрии, проходящую через середины их оснований.

A правая трапеция – это трапеция, у которой один из катетов перпендикулярен двум параллельным основаниям.

Теперь рассмотрим, как найти площадь трапеции, у которой высота обозначена через ℎ, а длины основания по 𝑎 и 𝑏.

Допустим, мы проводим диагональ трапеции, соединяющую две противоположные вершины. Это делит трапецию на два треугольника, как показано на рисунке ниже.

Площадь каждого треугольника можно найти по формуле площадьоснованиятреугольникаперпендикулярвысота=×2.

Перпендикулярная высота каждого треугольника равна ℎ. Верхний треугольник имеет основание длиной 𝑎 единиц, а нижний треугольник имеет основание длины 𝑏 единиц. Следовательно, площадь трапеции равна площадь трапецииплощадь верхнего треугольникаплощадь цветкатреугольник=+=𝑎×ℎ2+𝑏×ℎ2=(𝑎+𝑏)ℎ2.

Заметим, что (𝑎+𝑏) есть сумма длин параллельных оснований трапеции. Неформально мы можем думать о площадь трапеции как «половина суммы параллельных оснований, умноженная на высоту».

Формула: Площадь трапеции

Площадь трапеции равна половине суммы длин параллельных оснований, умноженных на высоту.

Для трапеции с высотой ℎ и длинами оснований 𝑎 и 𝑏 площадь определяется выражением площадь трапеции=12(𝑎+𝑏)ℎ.

В нашем первом примере мы покажем, как применить эту формулу, чтобы найти площадь трапеции, зная ее высоту и длины ее оснований.

Пример 1. Нахождение площади трапеции

Длины параллельных сторон трапеции равны 82 и 70. Если высота равна 100, какова площадь трапеции?

Ответ

Напомним, что площадь трапеции определяется выражением площадь трапеции=12(𝑎+𝑏)ℎ, где 𝑎 и 𝑏 представляют длины оснований или параллельных сторон трапеции. и ℎ представляет его перпендикулярную высоту. Нам дана каждая из этих длин в вопросе.

Замена 𝑎=82, 𝑏=70 и ℎ=100, а затем вычисление дает площадь трапеции=12(82+70)×100=12×152×100=76×100=7600.

Следовательно, площадь трапеции равна 7‎ ‎600 квадратных единиц.

Теперь мы рассмотрели пример того, как вычислить площадь трапеции, зная ее высоту и длины параллельных сторон. Теперь рассмотрим проблему это, по сути, обратное: вычисление высоты трапеции по ее площади и длинам ее оснований.

Пример 2. Нахождение высоты трапеции по ее площади

Площадь этой трапеции составляет 30‎ ‎000 ярдов 2 . Какова его высота?

Ответ

Начнем с того, что вспомним, что площадь трапеции можно вычислить, умножив половину суммы длин параллельных оснований на высоту перпендикуляра.

Из рисунка видно, что параллельные основания трапеции имеют длины 80 ярдов и 295 ярдов. Нам также известна длина одного из катетов трапеции. (232 ярда), но это не относится к нашему расчету, так как это не перпендикулярная высота трапеции.

Мы можем использовать данную площадь трапеции и длины двух параллельных оснований, чтобы составить уравнение, где ℎ представляет собой неизвестную высоту трапеции: 12(80+295)ℎ=30000.

Теперь решим это уравнение, чтобы определить значение ℎ. Упрощение левой части дает 3752ℎ=30000.

Умножение обеих частей уравнения на 2375 (множительное обратное 3752) дает ℎ=30000×2375=60000375=160.

Следовательно, высота трапеции равна 160 ярдам.

В примере, который мы только что видели, нам дали больше информации, чем нужно на рисунке. Длина катета трапеции не требовалась для того, чтобы вычислить его площадь. Понимание измерений, необходимых для применения конкретной формулы, и возможность выбрать соответствующую информацию на диаграмме или словесное описание является важным навыком при решении геометрических задач.

В нашем следующем примере мы рассмотрим, как найти длину одной из параллельных сторон трапеции, зная ее площадь, высоту, и длину другой параллельной стороны.

Пример 3. Нахождение длины основания трапеции по ее площади

Площадь трапеции равна 1‎ ‎760, а расстояние между ее параллельными сторонами равно 40. Если одна параллельная сторона равна 39, чему равна другая сторона?

Ответ

Напомним, что площадь трапеции с параллельными сторонами (или основаниями) длин 𝑎 и 𝑏 единиц а высота ℎ единиц определяется выражением площадь трапеции=12(𝑎+𝑏)ℎ.

Нам известно, что эта трапеция имеет площадь 1‎ ‎760 квадратных единиц. Расстояние между параллельными сторонами, иначе говоря, высота трапеции, составляет 40 единиц, а длина одной параллельной стороны или основания трапеции составляет 39единицы. Подставляя каждое из этих значений в формулу выше дает уравнение, которое мы можем решить, чтобы определить длину другой параллельной стороны: 1760=12(39+𝑏)×40.

Начнем с упрощения правой части уравнения, уменьшив коэффициент 2: 1760=20(39+𝑏).

Деление обеих частей уравнения на 20 дает 88=39+𝑏.

Наконец, вычитание 39 из каждой части уравнения дает 49=𝑏.

Следовательно, длина другой параллельной стороны (или основания) трапеции равна 49единицы.

Теперь рассмотрим альтернативный способ задания формулы площади трапеции. Неформально мы сказали, что эту формулу можно рассматривать как «половина суммы параллельных оснований, умноженная на высоту». На самом деле «половина суммы параллельных оснований» имеет геометрическое значение. которые мы определяем ниже.

Определение: среднее основание трапеции

Среднее основание трапеции — это отрезок, концы которого являются серединами катетов трапеции. Среднее основание трапеции параллельна двум основаниям трапеции.

Длина среднего основания трапеции 𝑚 равна среднему арифметическому длин оснований 𝑎 и 𝑏: 𝑚=𝑎+𝑏2.

Другими словами, длина среднего основания трапеции равна «половине суммы длин параллельных оснований». Формула для Следовательно, площадь трапеции может быть эквивалентно выражена как площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

Формула: площадь трапеции с использованием длины ее среднего основания

Площадь трапеции равна произведению длины ее среднего основания на ее высоту.

Для трапеции с высотой ℎ и средним основанием длины 𝑚 площадь определяется выражением площадь трапеции=𝑚ℎ.

Теперь рассмотрим два примера, в которых мы используем эту версию формулы площади для решения двух задач, касающихся площади трапеции.

Пример 4. Использование среднего основания для определения площади трапеции

Найдите площадь показанной трапеции.

Ответ

Изучив схему, мы видим, что 𝑋𝑌 делит каждый из катетов трапеции, 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶, на два отрезка равной длины. Следовательно, 𝑋𝑌 соединяет середины катетов трапеции и, следовательно, является средним основанием трапеции.

Напомним, что площадь трапеции можно вычислить из длины ее среднего основания и высоты по формуле площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

Замена 19 мм длины среднего основания и 8 мм на высоту трапеции дает areaoftrapezoidmm=19×8=152.

Пример 5. Вычисление длины среднего основания трапеции по ее площади и высоте

Найдите длину среднего основания трапеции, площадь которой равна 28 см 2 и высотой 4 см.

Ответ

Напомним, что площадь трапеции можно вычислить по формуле площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

Нам известны площадь и высота трапеции, и мы можем составить уравнение. Подстановка 28 для площади и 4 для высоты дает 28=×4. lengthofmiddlebase

Чтобы найти длину среднего основания, разделим обе части уравнения на 4: длина среднего основания = 284 = 7.

Среднее основание данной трапеции равно 7 см.

Методы, которые мы разработали в этом объяснении, также могут быть применены к реальным задачам, связанным с трапециями. Теперь рассмотрим последний пример связанные с измерениями полей фермера, одно из которых имеет форму трапеции.

Пример 6. Использование площадей трапеций для решения реальной задачи

Фермер владеет двумя полями одинаковой площади: одно в форме ромба и одно в форме трапеции, как показано на рисунке. Вычислите длину среднего основания трапециевидного поля.

Ответ

Начнем с рассмотрения поля слева на рисунке. Это поле имеет форму ромба, потому что длины его четырех сторон равны. Нам даны длины двух диагоналей ромба: они равны 100 м и 90 м. Вспомним, что площадь ромба равна площадь ромба=𝑑𝑑2, где 𝑑 и 𝑑 представляют длины его диагоналей. Следовательно, у нас есть площадь ромба=100×902=

=4500.

Далее рассмотрим поле справа на рисунке. Это поле имеет форму трапеции, потому что это четырехугольник с одной парой параллельных сторон. Нам дана высота трапеции (25 м) и теперь мы знаем, что ее площадь, равная площади другого поля, составляет 4‎ ‎500 м 2 .

Поскольку мы хотим вычислить длину среднего основания трапеции, вспомним формулу площади трапеции, включающую эту меру: площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

Подстановка известной площади трапеции (4‎ ‎500 м 2 ) и известной высоты (25 м) дает уравнение, которое мы можем решить, чтобы определить длину среднего основания: 4500=×25.lengthofmiddlebase

Разделив обе части этого уравнения на 25, получим длина среднего основания m=450025=180.

Длина среднего основания поля в форме трапеции 180 м.

Давайте закончим, повторив некоторые ключевые моменты.

Ключевые точки

  • Площадь трапеции с высотой ℎ и параллельными основаниями длин 𝑎 и 𝑏 определяется выражением площадь трапеции=12(𝑎+𝑏)ℎ.
  • Неформально мы можем считать это площадь трапеции равна половине суммы параллельных основанийвысота=×.
  • Среднее основание трапеции — это отрезок, концы которого являются серединами двух катетов трапеции.
  • Длина среднего основания трапеции, 𝑚, является средним арифметическим длин оснований: 𝑚=𝑎+𝑏2.
  • Площадь трапеции равна произведению длины ее среднего основания на ее высоту: площадь трапециидлина середины основаниявысота=×.

Равнобедренная трапеция – формула, свойства, определение, примеры

Равнобедренная трапеция – это трапеция с конгруэнтными углами при основании и конгруэнтными непараллельными сторонами. Трапеция – это четырехугольник, у которого параллельна только одна сторона. Равнобедренная трапеция обладает многими интересными свойствами, которые делают ее уникальной и помогают нам отличить ее от других четырехугольников. Давайте обсудим их подробно.

1. Определение равнобедренной трапеции
2. Свойства равнобедренной трапеции
3. Формула равнобедренной трапеции
4. Часто задаваемые вопросы о равнобедренной трапеции

Определение равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция может быть определена как трапеция, у которой непараллельные стороны и углы при основании имеют одинаковую величину. Другими словами, если две противоположные стороны (основания) трапеции параллельны, а две непараллельные стороны имеют одинаковую длину, то это равнобедренная трапеция. Посмотрите на изображение ниже: стороны c и d равны по длине, а противоположные стороны a и b (основания трапеции) параллельны друг другу.

Свойства равнобедренной трапеции

Ниже приведены свойства равнобедренной трапеции согласно рисунку, приведенному ниже.

  • Имеет ось симметрии. Он не имеет вращательной симметрии и имеет одну линию симметрии, соединяющую середины параллельных сторон.
  • Одна пара сторон параллельна и является базовой стороной. (AB II DC на данном изображении)
  • Остальные стороны, кроме основания, непараллельны и равны по длине. (c = d на данном изображении)
  • Диагонали имеют одинаковую длину. (АС = БД)
  • Углы основания одинаковые. (∠D = ∠C, ∠A=∠B)
  • Сумма противоположных углов равна 180° или дополнительным. (∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°)
  • Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен основаниям. (PQ ⊥ DC)

Формула равнобедренной трапеции

Ниже приведены формулы для расчета площади и периметра равнобедренной трапеции.

Площадь равнобедренной трапеции

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, мы должны сложить стороны основания или параллельные стороны и разделить на 2, а затем умножить результат на высоту.
Площадь равнобедренной трапеции = (сумма параллельных сторон ÷ 2) × h

Периметр равнобедренной трапеции

Чтобы найти периметр равнобедренной трапеции, мы должны сложить все стороны равнобедренной трапеции.
Периметр равнобедренной трапеции = сумма всех сторон

Похожие статьи о равнобедренной трапеции

Ознакомьтесь с интересными темами, чтобы узнать больше о равнобедренной трапеции.

  • Формула трапеции
  • Площадь трапеции
  • Периметр трапеции Формула
  • Калькулятор равнобедренных трапеций

 

Примеры на равнобедренной трапеции

  1. Пример 1: Найдите высоту равнобедренной трапеции, если площадь равна 128 дюймов 2 и длины оснований 12 дюймов и 20 дюймов.
    Решение: Данная площадь = 128 дюймов 2 , основания = 12 дюймов и 20 дюймов
    мы знаем, что площадь равнобедренной трапеции = (сумма параллельных сторон ÷ 2) × высота
    следовательно, 128 = [(12 + 20) ÷ 2] × высота 90 673 Высота = 128/16 = 8 дюймов

  2. Пример 2: Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания 3 дюйма и 5 дюймов, а высота 4 дюйма.
    Решение: Площадь равнобедренной трапеции = (сумма параллельных сторон ÷ 2) × высота
    дано, основания = 3 дюйма и 5 дюймов, высота = 4 дюйма
    Площадь = [(3 + 5) ÷ 2] × 4
    Площадь = 16 дюймов 2

  3. Пример 3: Найдите периметр равнобедренной трапеции, если ее основания равны 20 и 25 дюймов, а непараллельные стороны по 30 дюймов каждая.
    Решение: Периметр равнобедренной трапеции = сумма всех сторон равнобедренной трапеции
    Периметр равнобедренной трапеции = 20 + 25 + 30 + 30 = 105 дюймов

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по равнобедренной трапеции

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о равнобедренной трапеции

Что такое равнобедренная трапеция?

Равнобедренная трапеция — это разновидность трапеции, у которой непараллельные стороны равны друг другу. Равнобедренная трапеция — это тип четырехугольника, в котором линия симметрии делит пополам одну пару противоположных сторон. Основания равнобедренной трапеции параллельны друг другу, а стороны равны по размеру.

Каковы свойства равнобедренной трапеции?

У равнобедренной трапеции четыре стороны. Две противоположные стороны (основания) параллельны друг другу, а две другие стороны равны по длине, но не параллельны друг другу.

Если один угол при основании равнобедренной трапеции равен 30°. Найдите другой угол при основании.

Согласно свойству равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому если один угол при основании равен 30°, то и другой угол при основании будет равен 30°.

В чем разница между трапецией и равнобедренной трапецией?

В трапеции каждая сторона имеет разную длину и диагонали не равны, тогда как в равнобедренной трапеции непараллельные стороны равны, углы при основании равны, диагонали равны, а противоположные углы дополняют друг друга.

Какая формула площади равнобедренной трапеции?

Формула для расчета площади равнобедренной трапеции: Площадь = (сумма параллельных сторон ÷ 2) × высота.

Какая формула для периметра равнобедренной трапеции?

Формула для вычисления периметра равнобедренной трапеции: Периметр = сумма всех сторон равнобедренной трапеции

Скачать БЕСПЛАТНО учебные материалы

Рабочие листы по геометрии

Вписанное свойство трапеции. Трапеция. Определение, формулы и свойства

Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон параллельна. Термин «трапеция» происходит от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «стол». В этой статье мы рассмотрим виды трапеций и их свойства. Кроме того, мы разберемся, как рассчитать отдельные элементы данного примера, диагональ равнобедренной трапеции, среднюю линию, площадь и т. д. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, то есть в легкодоступном форма.

Общая информация

Для начала разберемся, что такое четырехугольник. Эта фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две несмежные вершины четырехугольника называются противоположными. То же самое можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников – параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтовидная форма.

Итак, вернемся к трапеции. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны параллельны. Они называются базами. Две другие (непараллельные) — стороны. В материалах экзаменов и различных тестов часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от студента знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учащихся со свойствами углов и диагоналей, а также со средней линией равнобедренной трапеции. Но ведь помимо этого упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них позже…

Типы трапеций

Есть много типов этой фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать две из них – равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольной трапецией называется фигура, у которой одна из сторон перпендикулярна основаниям. Он имеет два угла, которые всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция – геометрическая фигура, стороны которой равны между собой. Это означает, что углы при основаниях также попарно равны.

Основные принципы методики изучения свойств трапеции

Основным принципом является использование так называемого задачного подхода. На самом деле нет необходимости вводить в теоретический курс геометрии новые свойства этой фигуры. Их можно обнаружить и сформулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задачи необходимо ставить перед учащимися в тот или иной момент учебного процесса. При этом каждое свойство трапеции можно представить как ключевую задачу в системе задач.

Второй принцип – так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это предполагает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запомнить. Например, свойство четырех точек. Это можно доказать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равенство площадей треугольников, прилегающих к сторонам фигуры, можно доказать, применяя не только свойства равновеликих треугольников, проведенных к сторонам, лежащим на одной прямой, но и используя формулу S= 1/ 2(ab*sinα). Кроме того, можно заниматься на вписанной трапеции или прямоугольном треугольнике на описанной трапеции и т. д.

Использование «внеклассных» признаков геометрической фигуры в содержании школьного курса является задачной технологией их обучения. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся получить более глубокие знания о трапеции и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, стороны этой геометрической фигуры равны. Ее еще называют правильной трапецией. Чем он так примечателен и почему получил такое название? К особенностям этой фигуры относится то, что равны не только стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусов. Но это не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов этой фигуры равна 180 градусам, и только при этом условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующее свойство рассматриваемой геометрической фигуры состоит в том, что расстояние от вершины основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, будет равно средней линии.

Теперь разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим решение этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать буквами A, B, C, D, где BS и AD — основания. У равнобедренной трапеции стороны равны. Будем считать, что их размер равен X, а размеры оснований равны Y и Z (меньше и больше соответственно). Для проведения расчета необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получится прямоугольный треугольник ABN, где АВ — гипотенуза, а ВN и AN — катеты. Вычисляем размер катета AN: из большего основания вычитаем меньшее, а результат делим на 2. Записываем в виде формулы: (Z-Y)/2=F. Теперь для расчета острый угол треугольника, используем функцию cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить второй, для этого выполняем элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

Есть и второе решение этой проблемы. В начале опускаем высоту Н от угла В. Рассчитываем величину ножки БН. Мы знаем, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(X2-F2). Далее воспользуемся тригонометрической функцией tg. В результате имеем: β = arctg(BN/F). Найден острый угол. Далее определяем аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Его высота и срединная линия равны;

Центр круга — это точка, где находится ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, то она равна корню квадратному из произведения этих отрезков;

Четырехугольник, образованный точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности, представляет собой квадрат, сторона которого равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований на произведение половины суммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Эта тема очень удобна для изучения свойств этой. Например, диагонали делят трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям подобны, а прилежащие к сторонам равны. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается с помощью критерия подобия в двух углах. Для доказательства второй части лучше использовать изложенный ниже метод.

Доказательство теоремы

Примем, что фигура ABSD (AD и BS — основания трапеции) делится диагоналями VD и AC. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АВО и СОД — у боковых сторон. Треугольники SOD и BOS имеют общую высоту, если их основаниями являются отрезки BO и OD. Получаем, что разность их площадей (P) равна разнице между этими отрезками: PBOS/PSOD=BO/OD=K. Следовательно, PSOD=PBOS/K. Аналогично треугольники BOS и AOB имеют общую высоту. За их основания возьмем отрезки СО и ОА. Получаем PBOS/PAOB=CO/OA=K и PAOB=PBOS/K. Отсюда следует, что PSOD=PAOB.

Для закрепления материала учащимся предлагается найти зависимость между площадями полученных треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями, путем решения следующей задачи. Известно, что площади треугольников BOS и AOD равны, необходимо найти площадь трапеции. Поскольку ПСОД = ПАОБ, значит, ПАВСД = ПБОС + ПАОД + 2 * ПСОД. Из подобия треугольников BOS и AOD следует, что BO/OD = √(PBOS/PAOD). Следовательно, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаем PSOD=√(PBOS*PAOD). Тогда PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

свойства подобия

Продолжая развивать эту тему, мы можем доказать и другие интересные свойства трапеций. Итак, используя подобие, можно доказать свойство отрезка, проходящего через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка RK, проходящего через точку O. Из подобия треугольников AOD и BOS следует, что AO/OS=AD/BS. Из подобия треугольников АОП и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО = БС*АД/(БС+АД). Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBS следует, что OK = BS * AD / (BS + AD). Отсюда мы получаем, что RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельных основаниям и соединяющий две стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство трапеции, которое называется свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения сторон (Е), а также середины оснований (Т и W) всегда лежат на одной прямой. Это легко доказывается методом подобия. Получившиеся треугольники BES и AED подобны, и в каждом из них медианы ET и EZH делят угол при вершине E на равные части. Следовательно, точки E, T и W лежат на одной прямой. Точно так же точки T, O и G расположены на одной прямой. Все это следует из подобия треугольников BOS и AOD. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и W — будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, учащимся можно предложить найти длину отрезка (LF), который делит фигуру на две подобные. Этот отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как получившиеся трапеции ALFD и LBSF подобны, то BS/LF=LF/AD. Отсюда следует, что LF=√(BS*BP). Получаем, что отрезок, который делит трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство сходства. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две фигуры одинакового размера. Примем, что трапеция ABSD делится отрезком EN на два подобных. От вершины B опускается высота, которая делится отрезком EH на две части — B1 и B2. Получаем: ПАБСД/2=(БС+ЭХ)*Б1/2=(АД+ЭХ)*Б2/2 и ПАБСД=(БС+АД)*(Б1+Б2)/2. Далее составляем система, первое уравнение которой (БС+ЭН)*В1=(АД+ЭН)*В2 и второе (БС+ЭН)*В1=(БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует что B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равные, равна среднему квадрату длин оснований: √ ((BS2 + AD2)/2).

Выводы о подобии

Итак, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий середины сторон трапеции, параллелен AD и BS и равен среднему арифметическому между BS и AD (длина основание трапеции).

2. Прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей, параллельных AD и BS, будет равна среднему гармоническому чисел AD и BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Отрезок, делящий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований BS и AD.

4. Элемент, делящий фигуру на две равные, имеет длину средних квадратов чисел AD и BS.

Для закрепления материала и понимания связи между рассматриваемыми отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он легко может отобразить среднюю линию и отрезок, проходящий через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. Но где будет третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к обнаружению желаемого соотношения между средними значениями.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Примем, что отрезок MH параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Назовем точки пересечения W и W. Этот отрезок будет равен полуразности оснований. Давайте проанализируем это более подробно. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МС — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, Сщ = АД / 2-БС / 2 = (АД + ВС) / 2.

Центр тяжести

Посмотрим, как определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо вытянуть основания в противоположные стороны. Что это значит? Необходимо к верхнему основанию добавить нижнее основание — в любую из сторон, например, вправо. А низ удлиняется на длину верха влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры является центром тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Перечислим признаки таких фигур:

1. Трапецию можно вписать в окружность только в том случае, если она равнобедренная.

2. Трапецию можно описать по окружности при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин сторон.

Следствия вписанной окружности:

1. Высота описываемой трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД прямой, что, собственно, тоже не составит труда. Но знание этого свойства позволит нам использовать прямоугольный треугольник при решении задач.

Уточним теперь эти следствия для равнобедренной трапеции, вписанной в окружность. Получаем, что высота есть среднее геометрическое оснований фигуры: H=2R=√(BS*AD). Отрабатывая основной прием решения задач на трапеции (принцип рисования двух высот), учащийся должен решить следующую задачу. Примем, что BT есть высота равнобедренной фигуры ABSD. Необходимо найти отрезки AT и TD. Используя формулу, описанную выше, сделать это не составит труда.

Теперь разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Снижаем высоту от вершины B к основанию AD. Так как окружность вписана в трапецию, то BS+AD=2AB или AB=(BS+AD)/2. Из треугольника ABN находим sinα=BN/AB=2*BN/(BS+AD). ПАБСД=(БС+АД)*БН/2, БН=2Р. Получаем ПАБСД=(БС+АД)*R, отсюда следует, что R=ПАБСД/(БС+АД).

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пришло время перейти к последнему элементу этой геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+В)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = А-Н*(ctgα + ctgβ)/2;

М = В + Н * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. Например, D1 и D2 — диагонали трапеции; α, β — углы между ними:

М = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Через площадь и высоту: M = P / N.

\[(\Large(\text(Произвольная трапеция)))\]

Определения

стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны называются ее сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание. 9\круг\).

2) Так как \(AD\параллель BC\) и \(BD\) секанс, то \(\угол DBC=\угол BDA\) лежит поперек.
Также \(\угол BOC=\угол AOD\) как вертикальный.
Следовательно, в двух углах \(\треугольник BOC\sim\треугольник AOD\).

Докажем, что \(S_(\треугольник AOB)=S_(\треугольник COD)\). Пусть \(h\) — высота трапеции. Тогда \(S_(\треугольник ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\треугольник ACD)\). Затем: \

Определение

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.


Доказательство*

1) Докажем параллелизм.


Проведите прямую \(MN»\параллельно AD\) (\(N»\in CD\) ) через точку \(M\) ). Тогда по теореме Фалеса (поскольку \(MN»\параллельно AD\параллельно BC, AM=MB\)) точка \(N»\) является серединой отрезка \(CD\)… Следовательно, точки \(N\) и \(N»\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Нарисуем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\) . Пусть будет \(BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»\).


Тогда по теореме Фалеса \(M»\) и \(N»\) являются серединами отрезков \(BB»\) и \(CC»\) соответственно. Итак, \(MM»\) — это средняя линия \(\треугольник ABB»\) , \(NN»\) — это средняя линия \(\треугольник DCC»\) . Так: \

Так как \(MN\параллельно AD\параллельно BC\) и \(BB», CC»\perp AD\) , то \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\ ) являются прямоугольниками. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B»M»=M»B\) . Следовательно, \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\) .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.


Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы «Похожие треугольники».

1) Докажем, что точки \(P\), \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.


Проведите прямую \(PN\) (\(P\) точка пересечения продолжений сторон, \(N\) середина \(BC\) ). Пусть она пересекает сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) является серединой \(AD\) .

Рассмотрим \(\треугольник BPN\) и \(\треугольник APM\) . Они подобны по двум углам (\(\угол APM\) — общий, \(\угол PAM=\угол PBN\) как соответствующие при \(AD\параллели BC\) и секущей \(AB\)). Означает: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Рассмотрим \(\треугольник CPN\) и \(\треугольник DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\угол DPM\) — общий, \(\угол PDM=\угол PCN\) как соответствующие при \(AD\параллели BC\) и секущей \(CD\)). Означает: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Отсюда \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.


Пусть \(N\) — середина \(BC\), \(O\) — точка пересечения диагоналей. Нарисуйте линию \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) является серединой \(AD\) .

\(\треугольник BNO\sim \треугольник DMO\) на два угла (\(\угол OBN=\угол ODM\) лежащие при \(BC\параллели AD\) и \(BD\) секущей; \( \угол BON=\угол DOM\) как вертикальный). Означает: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Означает: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Отсюда \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Равнобедренная трапеция)))\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, равнобедренные.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) является параллелограммом, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Поскольку у них равные гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , эти треугольники конгруэнтны, следовательно, \(\угол DAB = \угол CDA\) .

2)

Поскольку \(AB=CD, \угол A=\угол D, AD\) — общее, то по первому признаку. Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Поскольку \(\треугольник ABD=\треугольник ACD\), то \(\угол BDA=\угол CAD\) . Следовательно, треугольник \(\треугольник AOD\) равнобедренный. Аналогично доказывается, что \(\треугольник BOC\) равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

2) Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) такую, что \(\угол A = \угол D\) .


Достроим трапецию до треугольника \(AED\), как показано на рисунке. Так как \(\угол 1 = \угол 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны, так как соответствуют параллельным прямым \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Точно так же углы \(2\) и \(4\) равны, но \(\угол 1 = \угол 2\) , тогда \(\угол 3 = \угол 1 = \угол 2 = \угол 4\ ), поэтому треугольник \(BEC\) также равнобедренный и \(BE = EC\) .

В конце концов \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\), т.е. \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Так как \(\треугольник AOD\sim \треугольник BOC\), то мы обозначаем их коэффициент подобия через \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Подобно \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


Поскольку \(AC=BD\) , тогда \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Итак, \(\треугольник AOD\) равнобедренный и \(\угол OAD=\угол ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\треугольник ABD=\треугольник ACD\) (\(AC=BD, \угол OAD=\угол ODA, AD\)- общее). Итак, \(AB=CD\) , поэтому.

Многоугольник — это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Угловые вершины многоугольника и вершины многоугольника являются конгруэнтными точками.

Определение. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны равны.
На рис. одиннадцать AB = CD ; г. до н.э. г. = г. н.э. г. .

2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
На рис. 11∠ А = ∠ С ; ∠ Б = ∠ Д .

3 Диагонали (отрезки, соединяющие две противоположные вершины) пересекаются, и точка пересечения делится пополам.

На рис. 11 сегментов AO = OC ; БО = ОД .

Определение. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны назвали ее основанием , а две другие стороны сторонами .

Виды трапеций

1. Трапеция , стороны которой не равны,
называется универсальной (рис. 12).

2. Трапецию, у которой стороны равны, называют равнобедренной (рис. 13).

3. Трапецию, у которой одна сторона образует с основаниями прямой угол, называют прямоугольной (рис. 14).

Отрезок, соединяющий середины сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции ( МН ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому названия трапеций аналогичны названиям треугольников (треугольники разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

Площадь параллелограмма и трапеции

Правило. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

ФГКОУ «МКК «Школа-интернат МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Заведующий отдельной дисциплиной

(математика, информатика и ИКТ) Крылова Ю.В.

7 9000 _____________

«___» _____________ 2015

«Трапеция и ее свойства»

Методическая разработка

учитель математики

Шаталина Елена Дмитриевна

Рассмотрено и

на заседании ОУП от _______________

Протокол №______

Москва

2015

Содержание

Введение 2

    Определения 3

    Свойства равнобедренной трапеции 4

    Вписанные и описанные окружности 7

    Свойства списанных и ограниченных трапеций 8

    Средние значения в трапеции 12

    Свойства произвольного трапеции 15

    Признаки трапеции 18

    Дополнительные конструкции в трапзоидной 20

    Trapezoid.

10. Заключение

Список литературы

Приложение

    Доказательства некоторых свойств трапеции 27

    Задания для самостоятельной работы

    Задания по теме «Трапеция» повышенной сложности

    Контрольный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, называемой трапецией. «Обычная фигура», — скажете вы, но это не так. Она таит в себе множество тайн и загадок, если вы внимательно присмотритесь и вникнете в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — от греческого слова trapezion — «стол». Кредиты. в 18 веке от лат. яз., где трапеция греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапецию впервые находит древнегреческий ученый Посидоний (II век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе начали изучать трапецию. Эта цифра нас заинтересовала, а в учебнике о ней написано невероятно мало. Поэтому мы решили взять это дело в свои руки и найти информацию о трапеции. его свойства.

В работе рассматриваются свойства, знакомые учащимся по материалу, пройденному в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, необходимые для решения сложных задач. Чем больше задач предстоит решить, тем больше вопросов возникает при их решении. Ответ на эти вопросы иногда кажется загадкой, познавая новые свойства трапеции, необычные способы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В Интернете, если забить в поисковике, очень мало литературы по методам решения задач на тему «трапеция». В процессе работы над проектом было найдено большое количество информации, которая поможет школьникам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

    Определения

Трапеция Четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Две другие — боковые.
Если стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция, у которой на стороне прямые углы, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

2 . Свойства равнобедренной трапеции.



3 . Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4



1
0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна сумме оснований.



3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме сторон, то в нее можно вписать окружность.

E
Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность.

4 . Свойства вписанных и описанных трапеций


2. Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то


сумма длин оснований равна сумме длин сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4 . Если в трапецию вписана окружность, то стороны от ее центра видны под углом 90°.



    E если в трапецию вписана окружность, которая касается одной из сторон, делит ее на отрезки м и № , , то радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.


1

0 . Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции равны 30°, 30°, 150°, 150°.






5. Средние значения в трапеции

среднее геометрическое






    В любой трапеции с основаниями и и б для а > б неравенство :



б ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Свойства произвольной трапеции

1
. Середины диагоналей трапеции и середины сторон лежат на одной прямой.



2. Биссектрисы углов, прилегающих к одной из сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т. е. при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенуза равна катету.



3. Отрезки прямой, параллельные основаниям трапеции, пересекающие стороны и диагонали трапеции, заключенные между сторонами диагонали, равны.

    Точка пересечения продолжения сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середины оснований лежат на одной прямой.



5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилегающие к основаниям, подобны, а треугольники, прилегающие к сторонам, равны (т. е. , имеют равные площади).

6. Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов сторон, прибавленной к удвоенному произведению оснований.


д 1 2 + д 2 2 = в 2 + д 2 + 2 аб

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разнице квадратов оснований д 1 2 д 2 2 = и 2 б 2

8 . Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.


9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последним пополам.

7. Знаки трапеции


восемь. Дополнительные конструкции в трапецию

1. Отрезок, соединяющий середины сторон, является средней линией трапеции.

2
. Отрезок, параллельный одной из сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой стороны, а другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3
. Даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проведена прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находится площадь треугольника, затем высота треугольника, которая равна высоте трапеции.

4

. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой — полусумме оснований трапеция, то есть средняя линия трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенной из вершин одного основания, разрезаны на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции, проведен через вершину — точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получится треугольник, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья — равна сумме оснований
.


7
.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т. е. при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной В сторону.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.


1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равных треугольника, примыкающих к сторонам.

1
1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равных треугольника, примыкающих к сторонам.

1
2. Продолжение сторон трапеции до пересечения позволяет рассматривать подобные треугольники.

13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то начерчена высота трапеции — среднее геометрическое произведение оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведение отрезков сторон, на которые она делится точка контакта.


9. Площадь трапеции

1 . Площадь трапеции равна произведению половины суммы оснований на высоту S = ½(a + б) h или

P

Площадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = м ч .

2. Площадь трапеции равна произведению стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой стороны на прямую, содержащую первую сторону.


    Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным r и углом при основании α :

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗУЕТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция, безусловно, прогрессивное изобретение человечества. Он призван разгрузить наши руки, сделать ходьбу на виндсерфере удобной и легкой. Ходьба на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между шагами и ногами и эффективно ускориться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна в Средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В то время основу женской одежды составляли туники в пол, туника сильно расширялась к низу, что создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961 году и стало гимном молодости, независимости и изысканности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная как Твигги. Невысокая девушка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а ее любимыми нарядами были короткие платья-трапеции.

Трапеция в природе: Трапеция также встречается в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия и, конечно же, гора Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в повседневной жизни: Трапеция также используется в повседневной жизни, потому что ее форма практична. Встречается в таких предметах, как: ковш экскаватора, стол, шнек, станок.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующей стилистической формой в архитектуре инков является простая, но изящная трапеция. Он имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна и стенные ниши встречаются в постройках всех типов, как в храмах, так и в менее значительных постройках, более грубых, так сказать, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Такая форма зданий необычна, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в машиностроении: Трапеция используется при конструировании деталей в космической технике и в авиации. Например, некоторые солнечные панели космических станций имеют форму трапеции, так как имеют большую площадь, а значит, аккумулируют больше солнечной энергии.

В 21 веке люди почти не задумываются о значении геометрических фигур в своей жизни. Им совершенно все равно, какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают форму, которая практична. Но от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его назначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одним из величайших достижений человечества — трапецией. Мы открыли дверь в удивительный мир фигур, рассказали вам секреты трапеции и показали, что геометрия окружает нас повсюду.

Библиография

    Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Теория и проблемы математики. Книга 1 Учебник для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

    Быков А.А., Малышев Г.Ю., Факультет довузовской подготовки. Математика. Учебное пособие 4 часть М2004

    Гордин Р.К. Планиметрия. Книга заданий.

    Иванов А.А.,. Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступления в вузы-М: Изд-во МФТИ, 2003-288с. ISBN 5-89155-188-3

    Пиголкина Т.С., Министерство образования и науки Российской Федерации, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задание №2 для 10 классов (2012-2013 учебный год).

    Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть 1). Математическая энциклопедия абитуриента. М., изд-во Российского открытого университета 1992.

    Шарыгин И.Ф. Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в вузах (1987-1990 гг.) Львов журнал Квантор 1991.

    Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1. Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, пересекает стороны трапеции в точках К и Л . Докажите, что если основания трапеции равны и и б , затем длина сегмента КЛ равно среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть будет O — точка пересечения диагоналей, г. н.э. знак равно а, вс знак равно б . Прямой КЛ параллельно основанию AD , следовательно, K О г. н.э. , треугольники АТ К О и плохо аналогично, поэтому


(1)

(2)

Подставляем (2) в (1) , получаем KO=

Аналогично LO = Тогда К Л = КО + LO =

    В относительно любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений сторон лежат на одной прямой.

    Доказательство. Пусть продолжения сторон пересекаются в точке 9.1024 ТО. Через точку и точка О пересечения диагоналей провести прямую линию КО.

К

Покажем, что эта прямая делит основания пополам.

O обозначить VM = х, МС = г, АН = и, Н.Д. = В . У нас есть:

ВКМ ~ ∆АКН

М

х

Б

С

Д

МК С ~ ∆НКД → →

В этой статье мы постараемся максимально полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет об общих признаках и свойствах трапеции, а также о свойствах вписанной трапеции и о окружности, вписанной в трапецию. Затронем также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разобраться в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала вкратце вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны друг другу (это основания). А две не параллельны — это стороны.

В трапеции высоту можно не указывать — перпендикулярно основаниям. Проводятся средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции можно провести биссектрису.

О различных свойствах, связанных со всеми этими элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, при чтении начертите трапецию ACME на листе бумаги и проведите в ней диагонали.

  1. Если найти середины каждой из диагоналей (назовем эти точки X и T) и соединить их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции состоит в том, что отрезок XT лежит на средней линии. А его длину можно получить, разделив разность оснований на два: ХТ = (а — б) / 2 .
  2. Перед нами та самая трапеция ACME. Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOE и IOC, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники подобны. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = AE/KM.
    Отношение площадей треугольников AOE и IOC описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только на этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые диагональные отрезки образовали вместе со сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЭМО равны — их площади одинаковы.
  4. Еще одним свойством трапеции является построение диагоналей. Итак, если мы продолжим стороны АК и МЕ в сторону меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся в какой-то точке. Далее проведите прямую линию через середины оснований трапеции. Он пересекает основания в точках X и T.
    Если теперь продолжить линию XT, то она соединит точку пересечения диагоналей трапеции O, точку, в которой пересекаются продолжения сторон и середины оснований X и T.
  5. Через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х — на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОН = КМ/АЭ .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, параллельный основаниям трапеции (а и б). Точка пересечения разделит его на две равные части. Длину отрезка можно найти по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Проведите среднюю линию трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, сложив длины оснований и разделив их пополам: м = (а + b)/2 .
  2. Если провести любой отрезок (высоту, например) через оба основания трапеции, то средняя линия разделит ее на две равные части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и начертите биссектрису. Возьмем, к примеру, угол КАЕ нашей трапеции АСМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко увидите, что биссектриса отсекает от основания (или его продолжения на прямой вне самой фигуры) отрезок такой же длины, как и сторона.

Свойства угла трапеции

  1. Какой бы из двух пар углов, примыкающих к стороне, вы ни выбрали, сумма углов в паре всегда равна 180 0 : α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соедините середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов для любого из них равна 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить по разнице длин оснований, деленной пополам: ТХ = (АЭ — КМ) / 2 .
  3. Если провести параллельные линии через стороны угла трапеции, то они разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобедренной) трапеции

  1. У равнобедренной трапеции углы при любом из оснований равны.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы легче было представить, о чем она. Посмотрите внимательно на основание АЕ — вершина противоположного основания М проецируется в некоторую точку на прямой, содержащей АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средней линии равнобедренной трапеции равно.
  3. Несколько слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции — их длины равны. А также углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции одинаковы.
  4. Только вблизи равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как обязательным условием для этого является сумма противоположных углов четырехугольника 180 0 .
  5. Свойство равнобедренной трапеции следует из предыдущего абзаца — если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции следует свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + б)/2 .
  7. Снова проведите линию ТХ через середины оснований трапеции — в равнобедренной трапеции она перпендикулярна основаниям. И в то же время ТХ является осью симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите к большему основанию (назовем его а) высоту от противоположной вершины трапеции. Вы получите два разреза. Длину одного можно найти, если сложить длины оснований и разделить пополам: (а+б)/2 . Второе мы получим, если из большего основания вычтем меньшее и разделим полученную разницу на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Поскольку речь уже идет о трапеции, вписанной в окружность, остановимся на этом вопросе подробнее. В частности, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Здесь тоже рекомендуется не полениться взять в руки карандаш и нарисовать то, о чем пойдет речь ниже. Так вы быстрее поймете и лучше запомните.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к ​​стороне. В этом случае большее основание пересекает центр описанной окружности ровно посередине (R = ½AE).
  2. Диагональ и сторона могут также встречаться под острым углом — тогда центр окружности находится внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может находиться вне трапеции, за ее большим основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной имеется тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции ACME (вписанный угол), равен половине соответствующего ей центрального угла: MAE = ½MY .
  5. Кратко о двух способах нахождения радиуса описанной окружности. Способ первый: внимательно посмотрите на свой рисунок — что вы видите? Вы легко заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла, умноженное на два. Например, R = АЕ/2 * sinAME . Аналогично формулу можно записать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, стороной и основанием трапеции: R = AM * ME * AE / 4 * S AME .

Свойства трапеции, описанной около окружности

В трапецию можно вписать окружность, если выполняется одно условие. Подробнее об этом ниже. А вместе это сочетание фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, то длину ее средней линии легко найти, сложив длины сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
  2. Для трапеции ACME, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин сторон: AK + ME = KM + AE .
  3. Из этого свойства оснований трапеции следует обратное утверждение: в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме сторон, можно вписать окружность.
  4. Точка касания окружности радиуса r, вписанной в трапецию, делит боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно рассчитать по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, нарисуйте этот пример сами. У нас есть старая добрая трапеция ACME, описанная вокруг окружности. В нем проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Треугольники АОК и ЕОМ, образованные отрезками диагоналей и сторон, прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т. е. стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, один из углов которой прямой. И его свойства вытекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна сторона перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и сторона трапеции, примыкающие к прямому углу, равны. Это позволяет вычислить площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через сторону, примыкающую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы наверное уже догадались, что здесь нам снова понадобится трапеция ACME — нарисуйте равнобедренную трапецию. Из вершины M проведите прямую MT, параллельную стороне AK (MT || AK).

Получившийся четырехугольник АКМТ является параллелограммом (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку ME = KA = MT, ∆ MTE равнобедренный и MET = MTE.

АК || МТ, следовательно, МТЭ = КАЭ, МЭТ = МТЭ = КАЭ.

Где АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЭ = КМЭ.

Q.E.D.

Теперь, исходя из свойства равнобедренной трапеции (равенство диагоналей), докажем, что трапеция ACME равнобедренная :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЭ. Получаем параллелограмм КМНЕ (основание — МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆AMH равнобедренный, так как AM = KE = MX и MAX = MEA.

МХ || KE, KEA = MXE, следовательно, MAE = MXE.

Оказалось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, так как АМ = КЕ и АЕ — общая сторона двух треугольников. А также MAE=MXE. Можно заключить, что AK = ME, а значит, трапеция AKME равнобедренная.

Задание повторить

Основания трапеции АСМЕ равны 9 см и 21 см, сторона КА, равная 8 см, образует с меньшим основанием угол 150 0 . Вам нужно найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опускаем высоту к большему основанию трапеции. И начнем смотреть на углы трапеции.

Уголки АЕМ и КАН односторонние. Значит, в сумме они составляют 1800. Следовательно, КАН = 30 0 (исходя из свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆ANK (думаю, этот момент очевиден для читателей без дополнительных доказательств). Из него находим высоту трапеции КН — в треугольнике это катет, который лежит напротив угла 30 0 . Следовательно, КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находится по формуле: S АКМЭ = (КМ + АЭ) * КН / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились нарисовать трапеции по всем вышеперечисленным свойствам с карандашом в руках и разобрать их на практике, вы должны были хорошо усвоить материал.

Конечно, здесь много информации, разнообразной и местами даже запутанной: спутать свойства описываемой трапеции со свойствами вписанной не так уж и сложно. Но вы сами видели, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный обзор всех основных свойств трапеции. А также специфические свойства и особенности равнобедренных и прямоугольных трапеций. Очень удобно использовать для подготовки к зачетам и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайта, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Январские именины, Православные праздники в январе Календарь имен по святцам на каждый месяц

Январские именины, Православные праздники в январе Отличительные черты характера январских девушек

Площадь Трапеции — Формула, Примеры, Решения

  1. Трапеция — что это за фигура?
  2. Особенности трапеции
  3. Теорема: площадь трапеции
  4. Вычисление площадей в прошлые времена
  5. Вычисление площадей в современном мире
    1. Формула площади трапеции по основанию и высоте
    2. Формула площади трапеции в основании и на осевой линии
    3. Формула площади трапеции через радиус вписанной окружности и угол
    4. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними
  6. Трапеция и созвездия
  7. Трапеции в экспериментальной физике

Учащиеся должны выполнять разные домашние задания по геометрии. Однако больше всего трудностей возникает у учащихся средних классов, поскольку они изучали только математику и алгебру, и геометрию. Например, им нужно найти перпендикулярное расстояние, площадь поверхности или параллельные стороны трапеции. Сегодня мы поговорим именно о трапециях, нахождении площади и рассмотрении ее как одной из важнейших теорем.

Трапеция — что это за фигура?

Трапеция – это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Высота трапеции – это расстояние между прямыми, на которых лежат основания трапеции, любым общим перпендикуляром этих прямых. Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины сторон.

Черты трапеции

Если в трапецию вписана окружность, то сумма основ всегда совпадает с суммой сторон: a+b=c+d, а средняя линия всегда равна полусумме сторон:

Равнобедренная трапеция — это трапеция, стороны которой равны AB = CD. Тогда диагонали AC = BD и углы при основании равны:

Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, если сумма противоположных прямых углов равна 180°. В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания до проекции противоположной вершины, которая непосредственно связана с основанием, всегда совпадает с осевой линией.

Прямоугольная трапеция — это тип трапеции, у которой угол при основании равен 90°.

Теорема: площадь трапеции

Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, мы делаем следующее: делим многоугольник на треугольники и находим площадь треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади многоугольника. С помощью этой методики выводим формулу расчета площади запасной части трапеции. Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований на прямую, содержащую другое основание. На рисунке ниже мы указали, что отрезок линии BH является высотой трапеции ABCD:

Исходя из этого, получаем теорему: «Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту». Используя формулу площади, мы можем доказать эту теорему.

Дана трапеция: ABCD, AD, BC — длины оснований, BH — высота.

Докажите: площадь этой трапеции ABCD будет равна S = ½ (AD + BC) · BH.

Доказательство: проведите диагональ BD. Он делит трапецию на два треугольника ABD и BCD. Это означает, что периметр трапеции ABCD будет равен сумме площадей этих треугольников.

В треугольнике ABD: AD — основание, BH — высота. В треугольнике BCD: BC является основанием.

Нарисуем высоту ДК. Площадь S треугольника ABD = 1/2 AD · BH; площадь S треугольника BCD = 1/2 BC · DK. Так как BH = DK, то площадь S треугольника BCD = 1/2 BC · BH. Таким образом, площадь S трапеции ABCD = 1/2 AD · BH + 1/2 BC · BH = 1/2 (AD + BC) · BH. Что требовалось доказать.

Вычисление площадей в прошлые времена

Еще 4-5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь трапеции в квадратных единицах. Древние египтяне 4000 лет назад использовали почти те же приемы, что и мы: сумму параллельных сторон делили пополам и умножали на высоту.

Определение площадей геометрических фигур — одна из древнейших практических задач. Люди не сразу нашли правильный подход к их решению. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей открыл Евклид. При расчете площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.

Вычисление площадей в современном мире

Сегодня существует множество формул для вычисления длин сторон, вершин, параллельных оснований и площади трапеции. Мы рассмотрим самые основные из них. Приведенные ниже формулы просты в использовании, но если вам сложно их понять и вам нужна помощь с домашним заданием, вы всегда можете обратиться в нашу службу. Опытные авторы проконсультируют вас по всем заданиям, и вы значительно улучшите свою успеваемость.

Формула площади трапеции по основанию и высоте

Дана произвольная трапеция. Для нахождения его площади используем следующую формулу:

В этой формуле:

  • а, b — основания трапеции;
  • hh — высота трапеции.

Представим, что нам нужно найти площадь трапеции, у которой известны основания, численно равные 10 см и 8 см. Также известный рост, 6 см в длину.

Решение:

  • а = 8;
  • б = 10;
  • ч = 6;

Сразу подставляем цифры в полученную формулу и вычисляем значение:

Ответ: 54 квадратных сантиметра.

Формула площади основания и центральной линии трапеции

Следует отметить, что средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований. Таким образом, нахождение площади через центральную линию есть не что иное, как метод, аналогичный первому. Насколько:

В этой формуле:

  • S = l ⋅ h;
  • l — средняя линия трапеции;
  • h — высота.

Предположим, нам нужно найти площадь трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 см, а высота трапеции в два раза больше ее высоты.

Решение:

  • л = 5;
  • ч = 2 ⋅ л.

Найдите высоту трапеции:

h = 2 ⋅ 5 = 10

Площадь:

S = l ⋅ h = 5 ⋅ 10 = 50 см.кв.

Ответ: 50 квадратных сантиметров

Формула площади трапеции через радиус и угол вписанной окружности

Этот случай подходит только для равнобедренной трапеции:

В этой формуле: радиус вписанной окружности;

  • α — угол между основанием и стороной.
  • Предположим, нам дан радиус вписанной окружности в трапецию, равный 4 см. Угол α равен 90 градусов. Нам нужно найти площадь трапеции.

    Решение:

    • r = 4;
    • α = 90.

    По формуле:

    Ответ: 64 квадратных сантиметра.

    Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

    Существует простая формула для нахождения площади трапеции через диагонали и угол между ними:

    В этой формуле:

    • d1, d2 — диагонали трапеции;
    • α — угол между диагоналями.

    Пусть две диагонали трапеции равны 20 см и 7 см. При пересечении они образуют угол 30 градусов. Нам нужно найти площадь трапеции.

    Решение:

    • d1 = 20;
    • д2 = 7;
    • α = 30°.

    Площадь:

    Ответ: 35 квадратных сантиметров.

    Трапеция и созвездия

    Трапеция встречается не только в домашних заданиях по математике. Эту цифру можно найти при изучении созвездий. Выдающимся астеризмом весеннего неба является трапеция Льва, которую можно наблюдать по вечерам с февраля по май. Эта фигура расположена в зодиакальном созвездии Льва, образуя тело животного, и по форме напоминает трапецию.

    Четыре яркие звезды созвездия α, β, γ и δ расположены на вершинах трапеции – тела льва. А голову льва образуют звезды, расположенные в виде серпа. Отсюда и название — трапеция Льва.

    Трапеции в экспериментальной физике Посмотреть

    Союз физики и математики предполагает непрерывное движение науки вперед. В физике ученые проводят опыты, суть которых становится полностью ясной только после математического анализа. Многие разделы математики обязаны своим возникновением и дальнейшим развитием новым физическим опытам. В качестве примера рассмотрим школьную лабораторную работу по физике.

    Постановка вопроса: Рассмотрим фигуру — произвольную трапецию ABCD. Проведите две его диагонали AC и BD, которые делят трапецию на четыре треугольника — ABO, BCO, CDO и DAO. Треугольники ABO и CDO равны:

    Формулировка цели опытной работы: с помощью взвешивания доказать, что массы треугольников, полученных диагоналями и сторонами трапеции, равны.

    Ход лабораторной работы:

    1. Учащимся необходимо взять: лист бумаги, линейку, карандаш, ластик, ножницы.
    2. Учащиеся проводят параллельные линии с помощью прямоугольных линеек.
    3. Учащимся необходимо построить пять различных трапеций и провести диагональ.
    4. Учащиеся вырезают ножницами те треугольники в трапеции, которые имеют одну сторону трапеции.
    5. С помощью балочных весов учащиеся взвешивают разрезанные треугольники ABO и CDO.
    6. Учащиеся записывают полученные результаты в таблицу и сравнивают.

    Как видите, знания о трапеции пригодятся вам в физике и других науках.

    Математическая задача: длина 26 — вопрос № 68714, статистика, среднее

    Длина медианы трапеции равна 10 дюймам. Медиана делит трапецию на две части, соотношение которых равно 3:5. Длина более короткого основания:

    Правильный ответ:

    c =  5 в

    Пошаговое объяснение:

    м=10 дюйм S1​:S2​=3:5  (a+c)/2 =m a+c=2⋅ m=20 in h2​=h3​ h2​+h3​=h  S1​=h2​⋅ (a+m)/2 S2​=h3​⋅ (c+m)/2 =h2​⋅ (c+m)/2  h2​⋅ (c+m)/2:h2​⋅ (a+m)/2=3:5  (c+m):(a+m)=3: 5  (c+m)=53​⋅ (a+m) (a+c)/2=m (c+10)=53​⋅ (a+10) (a+c)/2=10  (c+ 10)=3/5⋅ (a+10) (a+c)/2=10 3a−5c=20 a+c=20 2-й ряд – 31 ⋅ 1-й ряд → 2-й ряд 3a-5c=20 2,67c=13,33 c= 2,6666666713,33333333​=5 a=320+5c​=320+5⋅ 5​=15 a=15 c=5=5 в


    Вы нашли ошибку или неточность? Не стесняйтесь

    написать нам

    . Благодарю вас!

    Советы по использованию связанных онлайн-калькуляторов

    Нужна помощь в вычислении среднего арифметического?
    Ищете статистический калькулятор?
    Воспользуйтесь нашим калькулятором коэффициентов.
    У вас есть линейное уравнение или система уравнений и вы ищете ее решение? Или у вас есть квадратное уравнение?
    См. также наш калькулятор тригонометрического треугольника.

    Вам необходимо знать следующие знания для решения этой задачи по математике:

    • Статистика
    • Среднее
    • Геометрия
    • сходства
    • .
    • 43434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343434343443434343434343434434343н. выражение переменной из формулы
    • контуры
    • площадь фигуры
    • треугольник
    • трапеция
    • основные функции
    • ratio
    Units of physical quantities:
    • area
    Grade of the word problem:
    • practice for 14 year olds

     

    We encourage you to watch this tutorial video on this math problem : video1   video2

    • Трапеция — центральная медиана
      Центральная медиана делит трапецию на две меньшие трапеции. Найдите отношение его площадей.
    • МО Z9–I–2 — 2017
      VO является более длинным основанием в трапеции VODY, а диагональное пересечение K делит линию VD в отношении 3:2. Площадь треугольника КОВ равна 13,5 см². Найдите площадь всей трапеции.
    • Герб
      Класс создал свой герб, который имел форму, состоящую из равнобедренной трапеции ABCD (более короткое основание а = 4,5 см в длину, более длинное 2а = 9 см, высота трапеции 6 см) и полукруга с центром S и диаметр АВ. Три одинаковых равнобедренных треугольника для
    • Трапеция KLMN
      Трапеция KLMN имеет основания KL 40см и MN 16см. В основании KL находится точка P. Отрезок NP делит трапецию на звенья одинаковой площади. На каком расстоянии точка P от точки K?
    • MO Z8–I–6 2018
      В трапеции KLMN KL имеет основание 40 см и MN 16 см. Точка P лежит на прямой KL так, что отрезок NP делит трапецию на две части одинаковой площади. Найдите длину линии КП.
    • Внутренние углы
      Величина внутреннего угла при центральной вершине C равнобедренного треугольника ABC равна 72°. Прямая p, параллельная основанию этого треугольника, делит треугольник на трапецию и меньший треугольник. Каковы внутренние углы трапеций
    • Терции трапеции
      Трапеция ABCD с параллельными сторонами AB и CD и точкой E стороны AB. Отрезок DE делит трапецию на две части одинаковой площади. Найдите длину отрезка AE.
    • Тимоти
      Рост Тимоти 56 4/5 дюймов. Тереза ​​на 1 1/6 дюйма ниже Тимоти, а Джейн на 1 1/3 дюйма ниже Терезы. Какой рост у Джейн?
    • Равнобедренная трапеция
      Какова высота равнобедренной трапеции, длина основания которой 11 см и 8 см, а длина катетов 2,5 см?
    • Рассчитать 3993
      Медиана трапеции p равна 18,6 см, а основание a = 29,8 см. Вычислите размер второго основания c.
    • Томас 2
      Рост Томаса 56 3/4 дюйма. Джиллиан на 1 3/8 дюйма ниже Томаса, а Джейн на 1 1/5 дюйма ниже Джиллиан. Какой рост у Джейн? Подпишите имена на диаграмме ленты, чтобы представить эту проблему. Джейн Джиллиан Томас Отлично!
    • Трапеция
      Длина основания и высота основания трапеции находятся в соотношении 5:3:2.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.