Метод подстановки что такое: Решение систем уравнений — метод как решить систему линейных уравнений

Метод подстановки | Алгебра

Метод подстановки решения систем линейных уравнений первый раз изучается в курсе алгебры 7 класса. В дальнейшем этот метод встречается ещё не раз, поскольку с помощью подстановки можно решать и другие виды систем уравнений.

 

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом подстановки

1) В одном из уравнений выражаем одну переменную через другую.

2) Полученное выражение подставляем вместо этой переменной в другое уравнение системы и решаем уравнение с одной переменной.

3) Найденное значение переменной подставляем в выражение и вычисляем значение другой переменной.

Ответ системы записывают в круглых скобках через точку с запятой в алфавитном порядке. Для системы уравнений из двух переменных ответ схематически выглядит так:

(x; y),

из трёх — (x; y; z).

 

Как определить, из какого уравнения выразить одну переменную через другую?

При решении систем линейных уравнений способом подстановки выразить одну переменную через другую можно из любого уравнения, но желательно лучше выбирать для этого путь, который проще.

• Как правило, удобнее всего брать переменную, коэффициент при которой равен единице. В этом случае, чтобы выразить такую переменную через другую, нужно просто перенести остальные слагаемые в правую часть, изменив при переносе их знаки на противоположные.

Например, в системе

   

во втором уравнении коэффициент при переменной y равен 1 (b₂=1), поэтому удобно выразить из второго уравнения y через x:

y=с₂ — a₂x

и подставить получившееся выражение вместо y в первое уравнение:

a₁x+b₁(с₂ — a₂x)=с₁.

Записывают эти действия коротко:

   

   

 

• Следующий по удобству вариант — коэффициент -1 перед переменной.

Например, в системе

   

коэффициент при y в первом уравнении равен -1, поэтому удобно выразить из первого уравнения y через x.

Это можно сделать так: оставив y со знаком «-«в левой части, первое слагаемое перенести в правую часть

-y=с₁ -a₁x,

после чего умножить обе части уравнения на -1:

y= a₁x — с₁ .

Также можно y перенести в правую часть, изменив его знак на «+», а a₁x  — в левую, изменив знак на «-«:

a₁x — с₁=y.

Можно сразу же поменять местами правую и левую части:

y= a₁x — с₁ .

Записывают эти действия кратко:

   

   

 

• Поскольку удобно делить на 2, 5, 10, при наличии одного из таких коэффициентов перед переменной удобно выразить такую переменную через другую.

Например, в системе

   

можно выразить из первого уравнения x через y:

   

   

 

• В общем виде план решение систем линейных уравнений способом подстановки можно записать, например, так:

   

   

   

Из второго уравнения находим значение x. Подставив это значение в 1-е уравнение, находим y.

 

В следующий раз рассмотрим решение систем линейных уравнений методом подстановки на конкретных примерах.

Рубрика: Системы линейных уравнений | Комментарии

Решение системы линейных уравнений. Метод подстановки, сложения, графический. Особые случаи, тесты

Математика->Система уравнений->решение системы линейных уравнений->

Тестирование онлайн

• Система линейных уравнений

Система линейных уравнений

Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c — числа, а x, y — переменные, называется системой линейных уравнений.

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений.

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7:

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4. Ответ: (1; -4), записывается в скобках, на первой позиции значение x, на второй — y.

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение системы на «3».

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным

Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

Пусть дана система

1) Если , то система имеет единственное решение.

2) Если , то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.

3) Если , то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.

Метод подстановки – алгебраический и графический метод

Метод подстановки можно определить как способ алгебраического решения линейной системы. Метод подстановки работает, заменяя одно значение y другим. Проще говоря, метод включает в себя нахождение значения переменной x через переменную y. После того, как это будет сделано, мы закончим подстановкой значения переменной x во второе уравнение. Это помогает нам напрямую найти значение переменной y. Теперь мы можем легко подставить значение y в любое из заданных уравнений, чтобы найти x.

Метод подстановки состоит из трех шагов:

• Шаг 1: Сначала вам нужно решить одно уравнение для одной из переменных.

• Шаг 2: Теперь вам нужно подставить (вставить) это выражение в другое уравнение и решить его.

• Шаг 3: На последнем шаге вам нужно повторно подставить значение в исходное уравнение, и вы сможете найти соответствующую переменную.

На первый взгляд, этот метод может показаться сложным, но некоторые полезные приемы помогут вам не сбиться с пути. Нужно иметь в виду, что наша цель при решении любой системы — найти точку пересечения.

Что такое алгебраический метод?

Алгебраический метод можно определить как совокупность нескольких методов, которые обычно используются для решения пары линейных уравнений, предположительно включающих две переменные (a,b) или (x,y). Как правило, алгебраический метод можно разделить на три различные категории:

• Метод подстановки: Мы уже видели, что представляет собой метод подстановки, и различные шаги, связанные с решением вопросов с помощью этого метода.

• Метод исключения: Объединение уравнений может оказаться довольно мощным инструментом для решения системы линейных уравнений. Учащиеся должны знать, что сложение или вычитание двух уравнений для исключения общей переменной называется методом исключения. Как только одна переменная исключена, мы можем легко найти значение другой.

• Метод перекрестного умножения: Как следует из названия, метод перекрестного умножения использует умножение для установления совпадающих членов в уравнениях до их объединения. В конечном итоге это помогает нам найти решение представленной системы линейных уравнений. При использовании метода умножения учащиеся должны умножать все члены в обеих частях уравнения. Не просто умножайте термин, который вы пытаетесь исключить, иначе вы получите неверный ответ на свою проблему.

Разница между методом замены и исключения

Как мы уже отмечали ранее, и метод исключения, и метод замены являются способами алгебраического решения линейных уравнений. Метод исключения немного проще в применении, чем метод замены, когда речь идет о больших уравнениях или дробях. Поэтому метод исключения часто называют методом замещения. Однако давайте всесторонне рассмотрим различия между этими двумя методами с помощью таблицы, приведенной ниже:

• Метод подстановки: В этом методе мы модифицируем уравнение, чтобы найти значение любой из переменных. После того, как это сделано, мы подставляем его значение в другое уравнение, которое было дано. Математики заметили, что лучше использовать метод подстановки, когда уравнения задаются в виде x = ay + b и y = MX + n.

• Метод исключения: В этом методе мы умножаем или делим одно или оба уравнения на число, чтобы сделать коэффициент одной из двух неизвестных переменных одинаковым в обоих уравнениях. Затем мы переходим к добавлению или вычитанию уравнений, чтобы исключить переменную с тем же коэффициентом. Таким образом, наша цель состоит в том, чтобы попытаться найти значение одной переменной, которое можно подставить в любое из уравнений, чтобы найти и другую переменную. В отличие от метода подстановки, математики заметили, что лучше использовать метод исключения, когда коэффициент любого из слагаемых одинаков. Например, мы можем использовать метод исключения, когда Ax + By + C = 0 и Px + By + R = 0,9.0003

Что такое графический метод?

Графический метод также известен как геометрический метод, используемый для решения системы линейных уравнений. В этом графическом методе уравнения строятся на основе ограничений и целевой функции.

Для решения системы линейных уравнений этот метод включает в себя различные шаги для получения решения. В этой статье мы сосредоточимся в основном на решении линейных уравнений с использованием первого алгебраического метода, который в деталях известен как «Метод подстановки».

Давайте рассмотрим пример,

Y = 2x + 4, 3x + y = 9

Теперь мы можем заменить y во втором уравнении на первое уравнение, так как мы можем записать второе уравнение в терминах y(y= у) как

3x + y = 9

y=2x + 4

3x + (2x + 4) =9

5x + 4 =9

5x = 9 — 4 000309 0005=

=1

Это значение x, равное 1, можно затем использовать для нахождения значения y путем замены 1 на x пример в первом уравнении,

Y = 2x + 4y = 2x + 4 = 2*1 + 4y 

= 2*1+ 4 = 6

Y = 6

Следовательно, значение y равно 6.

Решение уравнения линейная система равна (1, 6).

Мы можем использовать метод подстановки, даже если оба уравнения линейной системы имеют стандартную форму. Мы можем просто начать с решения одного из уравнений для одной из его переменных.

Вопросы для решения:

Вопрос 1: Решите для значений «x» и «y»:    x + y = 5,   3x + y = 11,

Ответ:  Давайте запишем полученную информацию,       

 x + y = 5 …………… Уравнение (i)       

3x + y = 11 ………… Уравнение (ii)

Поскольку нам даны два различных уравнения в виде двух разных линейных уравнений, теперь попробуем решить их методом подстановки:

Из первого уравнения находим, что можно записать y = 5 — x.

Подставляя значение y в уравнение (ii),

получаем; 3х + (5 — х) = 11⇒2х = 11 — 5⇒ 2х = 6⇒ х = 6/2.

Следовательно, значение x = 3.

Теперь подставив значение x = 3 в другое уравнение, т. е. y = 5 – x, мы получим: y = 5- x ⇒ y = 5 – 3

Следовательно, мы получить значение y = 2.

Следовательно, значение x = 3 и значение y = 2

Вопрос 2: Решите значения ‘x’ и ‘y’:       2x + 6y = 10,       1x — 2y = 15

 Ответ:  Давайте запишем полученную информацию,       

2x + 6y = 10 …………… Уравнение (i)      

1 x — 2y = 15 …………… Уравнение (ii)

Из данных двух уравнений рассмотрим первое уравнение и найдем значение одной из переменных, скажем, «x» из уравнения:     2x = 10 — 6y  ⟹ x = 5 — 3y

Подставив значение x = 5 — 3y в уравнении (ii),

получаем; (5 — 3л) — 2л = 15 ⟹ -5л = 15 — 5 ⟹ -5л = 10 ⟹ у = -2.

Теперь подставляя значение y = -2 в уравнение x = 5 — 3y,

получаем; x = 5 — 3(-2) ⟹ x = 5 + 6 ⟹ x = 11.

Следовательно, значение x = 11 и y = 2

Решение линейного уравнения с использованием подстановки

Уравнение, в котором самая высокая степень переменной всегда равна 1, называется линейным уравнением (или) уравнением первого порядка. График линейного уравнения всегда будет прямой линией. Когда уравнение имеет только одну переменную и высшая степень равна 1, то оно называется линейным уравнением с одной переменной. Общая форма линейного уравнения с одной переменной: ax + b = 0, где a — коэффициент при x, а b — константа. Стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид ax + by + c = 0, где a и b — коэффициенты x и y соответственно, а c — константа. Вот некоторые примеры линейных уравнений: 3x+4=0, 2y=8, m+n=5, 4a-3b+c=7, x/2=8 и т. д. В основном существует два метода решения одновременных линейных уравнений. : графический метод и алгебраический метод. Алгебраический метод далее подразделяется на три типа, а именно: 

1. Метод подстановки
2. Метод исключения
3. Метод перекрестного умножения

Метод подстановки

Решение линейного уравнения означает нахождение решения данного линейного уравнения. Существуют в основном два метода решения одновременных линейных уравнений: графический метод и алгебраический метод. Метод подстановки — один из алгебраических методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными. Как следует из названия, в методе подстановки значение переменной из одного уравнения подставляется во второе уравнение. Таким образом, пара линейных уравнений преобразуется в одно линейное уравнение всего с одной переменной, которое затем можно легко решить. Например, мы должны найти значение переменной x через переменную y из первого уравнения, а затем подставить значение переменной x во второе уравнение. Таким образом, мы можем решить и найти значение переменной y. Наконец, мы можем подставить значение y в любое из данных уравнений, чтобы найти x. Мы также можем поменять местами этот процесс, где мы сначала находим x, а затем находим y.

Этапы решения системы уравнений методом подстановки

Ниже приведены шаги, которые применяются при решении системы уравнений методом подстановки.

• Шаг 1: При необходимости раскройте скобки, чтобы упростить данное уравнение.
• Шаг 2: Решите одно из данных уравнений для любой из переменных. В зависимости от простоты расчета вы можете использовать любую переменную.
• Шаг 3: Теперь подставьте решение, полученное на шаге 2, в другое уравнение.
• Шаг 4: Теперь упростим новое уравнение, полученное с помощью основных арифметических операций, и решим уравнение для одной переменной.
• Шаг 5: Наконец, чтобы найти значение второй переменной, подставьте значение переменной, полученное на шаге 4, в любое из приведенных уравнений.

Теперь
Рассмотрим пример решения системы уравнений методом подстановки, 3(x+4)−6y = 0 и 5x+3y+7 = 0,

Решение:

Шаг 1:

Дальнейшее упрощение первого уравнения дает 3x − 6y + 12 = 0.

Теперь два уравнения равны: 4 4 = 0  ———— (1)

5x + 3y + 7 = 0 ———— (2)

Шаг 2:  

Решая уравнение (1),   x = (−12 + 6y)/ 3 = −4 + ​​2y

Шаг 3:  

Подставляем значение x в полученное уравнение (2). т. е. мы подставляем x = −4 + ​​2y  в уравнение 5x + 3y + 7 = 0,

5(−4 + 2y) + 3y + 7 = 0

Шаг 4:  

Теперь упростим новое уравнение, полученное на предыдущем шаге.

⇒ 5(−4 + 2у) + 3у + 7 = 0

⇒ -20 + 10у + 3у + 7 = 0

⇒ 13у — 13 = 0

⇒ 13у = 13

4 13 ⇒ y = 1

Шаг 5:  

Теперь подставьте полученное значение y в любое из приведенных уравнений. Подставим значение y в уравнение (1).

⇒ 3x — 6y + 12 = 0,

⇒ 3x −6(1) + 12 = 0

⇒ 3x −6 + 12 = 0

⇒ 3x + 6 = 0

⇒ 3(x + 2) = 0

2 ⇒ 0 ⇒ x = −2

Таким образом, решая данную систему уравнений методом подстановки, получаем x = −2 и y= 1.

Отличие метода подстановки от метода исключения

Метод подстановки методом исключения являются алгебраические методы решения одновременных линейных уравнений. Теперь давайте рассмотрим различия между двумя методами.

Метод подстановки	Метод исключения
Во втором методе подстановки значение переменной из уравнения подставляется.	В методе исключения мы делаем коэффициент либо переменной x, либо переменной y обоих уравнений одинаковым путем умножения или деления одного или обоих уравнений на число. Прибавляя или вычитая из обоих уравнений, исключается переменная с одинаковым коэффициентом. Таким образом, находится значение одной переменной, которое можно подставить в любое из уравнений, чтобы определить и другую переменную.
Метод подстановки можно легко применить к уравнениям, содержащим меньшие значения, или когда данные уравнения имеют форму x = ay + b и y = mx + n.	Метод исключения можно легко применить к уравнениям, содержащим большие числа или дроби, по сравнению с методом подстановки. Когда коэффициент любого из слагаемых одинаков, предпочтительно использовать метод исключения. Например, мы можем использовать метод исключения, когда ax + by + c = 0 и px + by + r = 0,9.0003

Решенные примеры на основе метода подстановки

Пример 1: Решите: 4x−3y = 5 и 3x + y = 7, используя метод подстановки.

Решение:

Даны два уравнения: к данным двум уравнениям можно найти, выполнив следующие шаги:

Из уравнения (2) можно найти значение y через x, т. е.

y = 7 − 3x

Теперь подставьте значение y в уравнение (1).

⇒ 4x — 3 (7–3x) = 5

⇒ 4x — 21+ 9x = 5

⇒ 13x = 21 + 5

⇒ 13x = 26

⇒ x = 26/13 = 2

. значение x в уравнении 2:

⇒ 3(2) + y = 7

⇒ y = 7 − 6 = 1

Следовательно, значения x и y равны 2 и 1 соответственно.

Пример 2: Решите: 2m + 5n = 1 и 3m − 2n = 11 методом подстановки.

Решение:

Даны два уравнения:

2m + 5n = 1  ————(1)

3m − 2n = 11   ————(2)

3 90, решение к данным двум уравнениям можно найти, выполнив следующие шаги:

Из уравнения (2) можно найти значение m через n, т. е.

m = (11 + 2n)/3  ————( 3)

Теперь подставьте значение m в уравнение (1).

⇒ 2[(22 + 2n)/3] + 5n = 1

⇒ (22 + 4n)/3 + 5n = 1,

⇒ [(22 + 4n) + 15n]/3 = 1

⇒ 22 + 19n = 3

⇒ 19n = 3 − 22 = −19

⇒ n = −19/19 = −1

4 заместитель значение n в уравнении 3:

⇒ m = (11 + 2(−1))/3

⇒ m = (11−2)/3

⇒ m = 9/3 = 3

Следовательно, значения m и n равны 3 и -1 соответственно.

Пример 3: Решите 6a − 4b = 15 и 2a + 3b = −8 методом подстановки.

Решение:

Даны два уравнения:

6a − 4b = 15  ————(1)

2a + 3b = −8   ————(2)

Теперь решение данных двух уравнений может быть найти с помощью следующих шагов:

Из уравнения (2) мы можем найти значение «а» через b, т. е.

а = (−8 − 3b)/2  ————(3)

Теперь подставьте значение «а» в уравнение (1).

⇒ 6[(−8 − 3b)/2) − 4b = 15

⇒ (−48 − 18b)/2 − 4b = 15

⇒ −48 − 18b − 8b = 15 × 2

⇒ -48 — 26b = 30

⇒ -26b = 30 + 48 = 78

⇒ b = -78/26 = -3

Теперь подставим значение «b» в уравнение (3)

⇒ a = (−8 −3(−3))/2

⇒ a = (−8 + 9)/2 = 1/2

⇒ a = 0,5

Следовательно, значения a и b равны 0,5 и −3 соответственно.

Пример 4: Если сумма двух чисел равна 38, а разница между ними равна 12. Найдите числа, используя метод подстановки.

Решение:

Пусть два числа будут x и y.

Исходя из данных, мы можем написать

x + y = 38   ————(1)

x − y = 12   ————(2)

Теперь решение данных двух уравнений может можно найти, выполнив следующие шаги:

Из уравнения (2) мы можем найти значение x через y, т. е.

x = 12 + y  ————(3)

Теперь подставим значение х в уравнении (1).

⇒ 12 + у + у = 38

⇒ 12 + 2у = 38,

⇒ 2y = 38 − 12 = 26

⇒ y = 26/2 = 13

 Теперь подставьте значение y в уравнение (3): числа 25 и 13.

Пример 5: Решите: m + n = 5 и 4m − 3n = 6 методом подстановки.

Решение:

Данные два уравнения: к данным двум уравнениям можно найти, выполнив следующие шаги:

Из уравнения (1) мы можем найти значение m через n, т. е.

m = 5 − n ————(3)

Теперь подставим значение m в уравнение (2).

⇒ 4 (5−n) — 3n = 6

⇒ 20 — 4n — 3n = 6

⇒ 20 — 7n = 6

⇒ 20 — 6 = 7n

⇒ 7n = 14 0003

⇒ n = = N = = N = = N = = N = = N = = N = = N = = N = = N = = N 14/7 ⇒ n = 2

Подставим значение n в уравнение 1,

⇒ m + 2 = 5

⇒ m = 5 − 2 ⇒ m = 3

Следовательно, значения m и n равны 3 и 2 соответственно.

Часто задаваемые вопросы о методе подстановки

Вопрос 1: Что подразумевается под линейным уравнением?

Ответ: 

Уравнение, в котором старшая степень переменной всегда равна 1, называется линейным уравнением (или) уравнением первого порядка. График линейного уравнения всегда будет прямой линией. Вот некоторые примеры линейных уравнений: 3x+4=0, 2y=8, m+n=5, 4a-3b+c=7, x/2=8 и т. д. 

Вопрос 2. Какие разные методы решения системы уравнений линейных уравнений с двумя переменными?

Ответ:

Существуют в основном два метода решения одновременных линейных уравнений: графический метод и алгебраический метод. Алгебраический метод далее подразделяется на три типа, а именно:

• Метод подстановки
• Метод исключения
• Метод перекрестного умножения

Вопрос 3: Что подразумевается под методом подстановки в алгебре?

Ответ:

Метод подстановки — один из алгебраических методов решения системы линейных уравнений с двумя переменными. Как следует из названия, в методе подстановки значение переменной из одного уравнения подставляется во второе уравнение. Таким образом, пара линейных уравнений преобразуется в одно линейное уравнение всего с одной переменной, которое затем можно легко решить.

Вопрос 4: Каков первый шаг метода подстановки?

Ответ:

Первым шагом в методе подстановки является решение одного из заданных уравнений для любой из переменных. В зависимости от простоты расчета вы можете использовать любую переменную.

No related posts.