Модуль числа
Математика
Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой.
Модуль обозначается с помощью символа: | |.
- Запись |6| читается как «модуль числа 6», или «модуль шести».
- Запись |8| читается как «модуль 8-ми».
Модуль положительного числа равен самому числу. Например, |2| = 2. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу <=> |-3| = 3. Модуль нуля равен нулю, то есть |0| = 0. Модули противоположных чисел равны, то есть |-a| = |a|.
Для лучшего понимания 🔥 темы: «модуль числа» предлагаем воспользоваться методом ассоциаций 😨.
Представим, что модуль числа — это баня 🛁, а знак «минус» — грязь 💩.
Оказываясь под знаком модуля (то есть в «бане») отрицательное число «моется» 💦, и выходит без знака «минус» — чистым ⛄✨.
МодульВ бане могут «мыться» 🚿 (то есть стоять под знаком модуля) и отрицательные 💩, и положительные числа ⛄, и число ноль 🍩.
История модуля числа или 6 интересных фактов о модуле числа
1. Слово «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера».
2. Ввел в обращение этот термин ученик Исаака Ньютона — английский математик и философ Роджер Котс (1682 – 1716).
3. Великий немецкий физик, изобретатель, математик и философ Готфрид Лейбниц в своих работах и трудах использовал функцию модуля, которую он обозначил mod x.
4. Обозначение модуля было введено в 1841 году немецким математиком
Карлом Вейерштрассом (1815 — 1897).
5. При написании модуль обозначается с помощью символа: | |.
6. Еще одной версии термин «модуль» был введен в 1806 году французским
математиком по имени Жан Робер Аргáн (1768 — 1822). Но это не совсем так.
В начале девятнадцатого века математики Жан Робер Аргáн (1768 — 1822)
и Огюстен Луи Коши (1789 — 1857) ввели понятие «модуль комплексного числа»,
который изучается в курсе высшей математики.
Решение задач на тему «Модуль числа»
Задача №1. Расположи выражения: -|12|, 0, 54, |-(-2)|, -17 в порядке возрастания.
Решение:
Для начала раскроем скобки и модули:
— | 12 | = — 12
| — ( — 2) | = 2
Далее осталось расположить числа: -12, 0, 54, 2, -17 в порядке возрастания. Получим следующее неравенство:
-17 < -12 < 0 < 2 < 54, что будет равносильно:
-17 < -|12| < 0 < | — ( — 2) | < 54.
Ответ: -17 < -|12| < 0 < | — ( — 2) | < 54.
Задача№2. Нужно расположить выражения: -|-14|, -|30|, |-16|, -21, | -(-9) |
в порядке убывания.
Решение:
Для начала раскроем скобки и модули:
— | — 14| = — 14
— |30| = -30
|-16| = 16
| -(-9) | = 9
Далее осталось расположить числа: -14, -30, 16, -21, 9 в порядке убывания. Получим следующее неравенство:
16 > 9 > -14 > — 21 > — 30 что будет равносильно:
|-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|.
Ответ: |-16| > | -(-9) | > — | — 14| > — 21 > — |30|
Другие статьи по теме
Математика
§ Модуль числа. Свойства модуля
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
Скрыть меню
На главную страницу
Войти при помощи
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы. Разрядные слагаемые
- Счет в пределах 10 и 20
Математика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность.
Площадь круга - Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Площадь кругаАлгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
- Точка, прямая и отрезок
- Что такое аксиома и теорема
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
Алгебра 9 класс
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое
Алгебра 10 класс
- Иррациональные числа
Алгебра 11 класс
- Факториал
Думать и творить, творить и думать — вот основа всякой мудрости.
Иоганн Вольфганг фон Гёте
на главную
Введите тему
Русский язык Поддержать сайт
Обозначим на координатной прямой две точки, которые соответствуют числам «−4» и 2.
Точка «A», соответствующая числу «−4», находится на расстоянии 4 единичных отрезков от точки 0 (начала отсчёта), то есть длина отрезка «OA» равна 4 единицам.
Число 4 (длина отрезка «OA») называют модулем числа «−4».
Обозначают модуль числа так: |−4| = 4
Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус четыре равен четырём».
Точка «B», соответствующая
числу «+2», находится на расстоянии двух единичных отрезков от начала отсчёта,
то есть длина отрезка «OB» равна двум единицам.
Число 2 называют модулем числа «+2» и записывают: |+2| = 2 или |2| = 2.
Если взять некоторое число «a» и изобразить его точкой «A» на координатной прямой, то расстояние от точки «A» до начала отсчёта (другими словами длина отрезка «OA») и будет называться модулем числа «a».
|a| = OA
Запомните!
Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.
Запишем свойства модуля с помощью буквенных выражений, рассмотрев все возможные случаи.
- Модуль положительного числа равен самому числу.
|a| = a, если a > 0 - Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
|−a| = a, если a < 0 - Модуль нуля равен нулю.
|0| = 0, если a = 0 - Противоположные числа имеют равные модули.
|−a| = |a| = a
Примеры модулей рациональных чисел:
- |−4,8| = 4,8
- |5| = 5
- |0| = 0
- |− | =
Предварительное исчисление алгебры
— Почему определение абсолютного значения $|x+1|$ такое, какое оно есть?
спросил
Изменено 7 лет, 4 месяца назад
Просмотрено 648 раз
$\begingroup$
В моей записной книжке указано, что для вышеуказанной функции у нас было бы:
$f(x) = {-(x+1), x<-1; (x+1), x\geq-1}$
Чего я не понимаю, так это почему мы взяли $-1$ вместо $0$, как в случае с функцией $|x|$? Существенно ли изменится функция, если я буду использовать $0$ вместо $-1$?
- алгебра-предварительное исчисление
- функции
- абсолютное значение
$\endgroup$
4
$\begingroup$
$$|х| = \begin{case} x &\mbox{if } x \geq 0 \\
-x & \mbox{if } x < 0.
Вышеприведенная функция говорит, что функция $|x|$ работает, добавляя знак минус всякий раз, когда $x$ отрицательно, делая $x$ в целом положительным и оставляя $x$ как есть, когда $x \geq 0$. Теперь сдвинем эту функцию влево на $1$ единицу.
Получаем $$|x+1| = \begin{case} x+1 &\mbox{if } x+1 \geq 0 \\ -(x+1) & \mbox{if } x+1 < 0. \end{cases}$$
Но $x+1 \geq 0 \iff x \geq -1$ и аналогично для $x+1 < 0 \iff x < -1$, поэтому мы можем переписать приведенное выше как $$|x+1| = \begin{case} x+1 &\mbox{if } x \geq -1 \\ -(x+1) & \mbox{если } x < -1. \end{case}$$
Это говорит о том, что всякий раз, когда $x+1$ положительно, мы оставляем $x+1$ как есть. Но $x+1$ положительно, пока $x \geq -1$ Однако, если $x+1$ отрицательно, мы добавляем знак минус, чтобы снова сделать его положительным. Но $x+1$ отрицательно, если $x<-1$.
Вы можете увидеть это на графике $|x+1|$ и $x+1$:
$\endgroup$
4
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Функции абсолютного значения
Горячая математикаФункция абсолютного значения — это функция, которая содержит алгебраическое выражение в символах абсолютного значения. Напомним, что абсолютное значение числа — это его расстояние от 0 на числовой прямой.
Родительская функция абсолютного значения, записанная как f(x)=| x |, определяется как
f(x)={x if x>00 if x=0−x if x<0
Чтобы построить график функции абсолютного значения, выберите несколько значений x и найдите несколько упорядоченных пар.
| х | г=| х | |
| −2 | 2 |
| −1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
Нанесите точки на координатную плоскость и соедините их.
Обратите внимание, что график имеет V-образную форму.
(1) Вершина графа (0,0).
(2) Ось симметрии (x=0 или ось y) — это линия, которая делит график на две конгруэнтные половины.
(3) Домен — это множество всех действительных чисел.
(4) Диапазон — это набор всех действительных чисел, больших или равных 0. То есть y≥0.
(5) Точка пересечения по осям x и y равна 0.
Сдвиг по вертикали
Для преобразования функции абсолютного значения f(x)=| х | по вертикали можно использовать функцию
g(x)=f(x)+k.
Когда k>0, график g(x) переводит k единиц вверх.
Когда k<0, график g(x) переводит k единиц вниз.
Горизонтальное смещение
Для преобразования абсолютного значения функция f(x)=| х | по горизонтали можно использовать функцию
g(x)=f(x−h).
Когда h>0, график f(x) смещается на h единиц вправо, чтобы получить g(x).
Когда h<0, график f(x) сдвигается на h единиц влево, чтобы получить g(x).