Можно ли сокращать при умножении дробей: Сокращение дробей: умножение и деление числителя и знаменателя на число

как умножать обычные дроби с разными знаменателями, на целое число в 2023 году

Умножение обыкновенных дробей с разными, одинаковыми знаменателями

Как умножить дробь на дробь? Предлагаем правило умножения обыкновенных дробей, которое звучит так:

Чтобы умножить одну дробь на другую дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первое произведение будет числителем, а второе – знаменателем произведения.

Данное правило актуально для умножения всех видов обыкновенных дробей – дробей с одинаковыми знаменателями, дробей с разными знаменателями, правильных и неправильных дробей.

Выполняя умножение, следует сокращать дроби по возможности. Кроме того, если произведение дробей неправильное число, то следует превратить дробь, выделив целую часть. К примеру,

Чтобы объяснить правило и алгоритм умножения дробей, рассмотрим площадь некоторого квадрата со стороной 1 единица.

Мы разделили квадрат на прямоугольники со сторонами 1/8 и 1/4. Соответственно, большой квадрат состоит из 32 прямоугольников (4 ⋅ 8 = 32). Поэтому площадь одного прямоугольника составляет 1/32 части площади общего квадрата.

На рисунке выше мы заштриховали большой прямоугольник, состоящий из 5 прямоугольников по горизонтали и 3 прямоугольников по вертикали. Соответственно стороны этого заштрихованного прямоугольника равны: 5/8 ед. и 3/4 ед. Поэтому площадь прямоугольника равна:

С другой стороны, заштрихованный прямоугольник состоит из 15 маленьких прямоугольников, поэтому его площадь равна 15/32 ед. Поэтому:

Итак, 5 ∙ 3 = 15 и 8 ∙ 4 = 32

Это и подтверждает правильность формулы умножения обыкновенных дробей.

Пример. Найти произведение дробей семь одиннадцатых и девять восьмых.

Чтобы умножить данные дроби, умножим числители и результат запишем в числитель, а также умножим знаменатели, записав произведение в знаменатель.

Пример. Умножить дроби

 

В данном случае мы проделали не только умножение, но и сократили дробь во время выполнения данного действия.

Умножение дробей на целое число

Как умножить дробь на натуральное число? Для умножения дроби на обычное число пользуются следующим правилом:

Чтобы умножить целое число на дробь, надо умножить данное число на числитель дроби и записать данное произведение в числитель, а в знаменатель произведения переписать знаменатель дроби (множителя) без изменений.

где a/b – дробь, n – натуральное целое число

Данное правило следует из правила умножения дробей. Ведь натуральное число n можно представить как дробь с числителем n и знаменателем 1.

Для умножения дроби на натуральное число выполняется переставное свойство (от перестановки дроби и натурального числа местами произведение не изменится):

Пример

Пример

Пример

Пример. Рассмотрим умножение числа 8 на дробь пять двенадцатых.

Этот пример будет несколько отличаться от предыдущих, ведь в произведении мы получим неправильную дробь, которую следует сократить и выделить целую часть, то есть превратить в смешанное число.

Само действие умножения будет выглядеть так:

В произведении мы получили неправильную сократительную дробь. Поскольку НСК(40; 12) = 4, то можем сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на 4

Теперь выделим целую часть:

Пошаговая запись умножения будет выглядеть так:

Обратите внимание, выполнить умножение и сокращение можно было несколько иным способом, разложив числитель и знаменатель на простые множители. Однако результат остается без изменений:

Умножение смешанных дробей

Чтобы умножить смешанное число на смешанное число, нужно предварительно представить их в виде неправильных дробей и после этого выполнить умножение согласно правилу умножения обыкновенных дробей.

Рассмотрим умножение дробей с целыми числами на примере.

Чтобы умножить целое натуральное число на смешанное число, проще отдельно умножать целую и дробную части.

Это правило можно доказать, используя распределительный закон умножения.

Ведь:

Для умножения дробей, смешанных чисел выполняются законы умножения натуральных чисел, а именно переместительный, сочетательный и распределительный законы. Кроме того, актуальны и будут следующие свойства умножения:

Умножение трех и более дробей

Поскольку все законы и свойства умножения натуральных чисел распространяются на умножение дробей, поэтому для удобства вычисления произведения трех и более дробей следует пользоваться ими. Выполняя умножение нескольких дробей, при необходимости можно переставлять множители местами, и т.д.

Пример. Выполните умножение дробей

Пример. Найти произведение дробей

Пример. Найти произведение 5 чисел

Решение:

Для упрощения вычисления мы сгруппировали число 8 с дробью семь восьмых, а число 12 с дробью пять тридцать шестых. Это позволило нам сократить множители и упростить решение.

Калькулятор умножения дробей, смешанных чисел

Как умножать дроби

Пожаловаться

Шпак Юлия

, автор статей | Создано 24 дек 2022

Содержание:

Виды дробей

Умножение дробей

Умножение десятичных дробей

Как умножить дробь на натуральное число

Умножение трёх и более дробей

Дробь в математике – это результат деления меньшего числа a на большее число b.

Часто в жизни нам приходится вспоминать правила математики

Существует две формы записи дробей:

• В столбик через черту: a/b, где а – делимое или числитель, b – делитель или знаменатель.
• Одним числом через «,» после ноля: 0,5. Такие дроби называют десятичными.

В обычной жизни редко встречаются случаи, когда меньшее число делится на большее красиво. Легко разделить в уме на 2, 4, 5, 8, 10. А вот деление на 3, 7, 11, 13 и кратные им числа представляет сложность в виде бесконечного ряда цифр после запятой. Поэтому такие числа легче и проще записывать дробями.

Виды дробей

По содержанию дроби делятся на:

• математические, то есть записанные цифрами – 5/6;
• алгебраические, то есть записанные буквами или буквенными выражениями – a/(a—b).

По свойствам дроби бывают:

• правильными – числитель меньше знаменателя (5/6);
• неправильными – числитель больше знаменателя (6/5).

В неправильной дроби сначала находят целое, а после выделяют дробный остаток

6/5=1 1/5 (одна целая и одна пятая часть числа). Иначе такое число называют смешанным.

Это базовые знания о дробях, которые помогут вам справиться с их умножением.

Умножение дробей

Главное правило: произведение двух дробей равно отношению произведения их числителей на произведение их знаменателей.

В теории всё просто: чтобы перемножить дроби, умножьте числитель первой дроби на числитель второй, аналогично поступите со знаменателями:

a/b * c/d = a * c

/b * d

С математическими дробями работать интереснее. Вот простой пример:

½ * 3/5 = 1 * 3/2 * 5 =3/10

Если есть числа второго и более порядка, попробуйте до умножения сократить дроби. Например:

30/40 * 21/70

Первую дробь сократите на 10. Получится 3/4.

Вторую дробь сократите на 7. Получится 3/7.

С учётом сокращений пример изменится:

¾ * 3/7 = 3 * ¾ * 7 = 9/28

Когда требуется умножить

смешанное число на дробь, перед умножением нужно привести смешанное число к дроби.

1 1/5  * 2/3 = 6/5 * 2/3 = 6 * 2/5 * 3 (можно провести сокращение на 3) = 2 * 2/5 * 1 = 4/5

Умножение десятичных дробей

В обычной жизни редко встречаются случаи, когда меньшее число делится на большее красиво

Десятичные дроби умножают в столбик, как и любые многозначные числа. Выглядит это так:

3,12 * 0,02

_х 3,12

   0,02

_______

   624

Теперь нужно понять, где ставить 0 и запятые. После запятых будет столько знаков, сколько их суммарно в двух множителях, то есть в нашем примере –

4. Ответ будет выглядеть так: 0,0624.

Как умножить дробь на натуральное число

Правило: произведение дроби на натуральное число равно отношению произведения числителя дроби на натуральное число к знаменателю дроби.

При умножении обычной дроби на натуральное число, нужно умножить только числитель:

2/3 * 4 = 8/3

С полученным результатом можно работать дальше, например, выделить целую часть числа: 2 2/3.

Другой пример:

2/4  *5 = 10/4

Такую дробь можно сократить на 2. Получим 5/2 или 2 ½.

Иногда в результате умножения дроби на натуральное число удаётся сократить дробь до натурального числа. Этим активно пользуются в математике.

2/3 * 6 = 12/3 = 4

Умножение десятичной дроби на натуральное число производят в столбик.

1,324 * 3

Сначала перемножают числа, не обращая внимания на запятые:

_х1,324

         3

_______

   3972

После запятой должно остаться столько же цифр, как и в дроби. В нашем примере их три.

Ответ: 3,972.

Умножение трёх и более дробей

Когда требуется умножить между собой 3 и более дроби, вспомните главное правило умножения. Оно будет распространяться и на умножение дробей.

Правило: от перемены мест множителей произведение не меняется.

Как это выглядит на примере? Умножим четыре дроби:

2/3 *4/7 * 3/8 * 12/20 = 2 * 4 * 3 * 12/3 * 7 * 8 * 20

Для начала сократим дробь. Для удобства запишем:

2 * 3 * 4 * 12 / 20 * 3 * 8 * 7

В результате сокращения получим:

1 * 1 * 1 * 3/5*1*1*7

Ответ: 3/35.

Знание правил умножения дробей может оказаться полезным, когда нет под рукой калькулятора. К тому же обычный калькулятор не умеет умножать обычные дроби, для этого есть специальные программы.

Фото: © Shutterstock.com

24 декабря 2022 16:00 | Отредактировано: 24 декабря 2022 22:55

РубрикаОбучение

В жизни пригодится: основы финансовой грамотности для детей

Славянский календарь: удивительные факты из жизни наших предков

Мама задает много философских вопросов. Например, зачем мазать кошку краской?

Комментарии

‘ + ‘

‘ + tooltips[tooltip][0] + ‘

‘ + » + tooltips[tooltip][1] + » + ‘

‘ + ‘

Узнавай и участвуй

Клубы на Бэби.ру — это кладезь полезной информации

Смотри сейчас! Тест на Беременность 4 Кто такие Коробыши? Давайте знакомиться!Проблемы у родителей: кто поможет?Зимний отдых: что выбрать?Есть ли альтернатива школе?Речевое развитие детей: когда начинать?

Умножение дробей путем упрощения первых

Умножение дробей путем упрощения первых

ExampleVideoQuestionsLesson

Share to Google Classroom

ExampleVideoQuestionsLesson

Share to Google Classroom

• Прежде чем перемножать эти дроби, мы можем упростить вычисление, сокращая.
• Мы ищем число, которое точно делится как на число сверху, так и на число внизу.
• Мы видим, что и 2, и 16 — четные числа, и их можно разделить на 2.
• Мы можем разделить 2 пополам, чтобы получить 1, и 16, чтобы получить 8.
• Поскольку мы уменьшили пополам число сверху и число снизу, ответ будет таким же.
• ² / ₇ × ¹ / ₁₆ то же самое, что ¹ / ₇ × ¹ / ₈ .
• Теперь, когда мы упростили дроби, мы делаем умножение.
• Чтобы умножить дроби, мы умножаем числители

  Число в верхней части дроби над чертой.

  вместе, а затем умножьте

  знаменателяЧисло в нижней части дроби под чертой.

  вместе по отдельности.
• 1 х 1 = 1 и 7 х 8 = 56.

Найдите числа сверху и снизу, которые можно разделить на одно и то же число.

Разделите их оба на это число, прежде чем умножать дроби.

Умножение дробей путем упрощения первой

Чтобы умножить дроби путем упрощения, выполните следующие действия.

• Найдите число над дробями и число под дробями, которые можно разделить на одно и то же число.
• Разделите оба числа в дробях на это число.
• Запишите ответы на это деление вместо исходных чисел в дроби.
• Умножьте дроби, как обычно, умножая числители и знаменатели отдельно.
• Умножение числителей над дробями равно числителю над ответом.
• Умножение знаменателей в нижней части дроби равно знаменателю в нижней части ответа.

Вот пример упрощения дробей перед умножением.

Здесь у нас есть ⁴ / ₁₅ × ⁵ / ₉ .

Первый шаг — найти число в верхней части любой из дробей и число в нижней части любой из дробей, которые можно разделить на одно и то же число.

Мы видим, что и 5 в верхней части правой дроби, и 15 в нижней части левой дроби находятся в таблице умножения на 5.

Мы говорим, что 5 — это множитель как 5, так и 15. Множитель — это число, которое делится точно на другое число.

Итак, мы делим и 5, и 15 на 5.

5 ÷ 5 = 1 и 15 ÷ 5 = 3.

Вычеркиваем 5 и 15 и заменяем их 1 и 3.

Теперь, когда мы упростили дроби, мы можем их умножить.

Чтобы умножить дроби, просто умножьте числители и знаменатели по отдельности.

Числители — это числа сверху.

4 × 1 = 4

Знаменатели — числа внизу.

3 × 9 = 27

⁴ / ₁₅   ×   ⁵ / ₉   =   ⁴ / ₂₇ .

Мы знаем, что ответ полностью упрощен, потому что никакие числа не делятся и на 4, и на 27.

Деление верха и низа дроби на одно и то же число можно назвать сокращением дроби.

Когда мы вычеркиваем число в верхней части одной дроби и число в нижней части другой дроби по диагонали, мы можем назвать это перекрестным сокращением.

Почему кросс-отмена работает?

Мы умножаем числа в верхней части дробей и делим на числа в нижней части дробей. Это потому, что черта в дроби означает деление на число под ней.

Перекрестная отмена делит число, на которое мы умножаем, и число, на которое мы делим, на одну и ту же сумму. Это означает, что ответ не меняется в размере. Значения были умножены на меньшее, но также и поделены на меньшее, поэтому ответ остается таким же, каким он был бы до перекрестного исключения.

Например, здесь мы имеем произведение ² / ₇ × ¹ / ₁₆ .

Мы можем умножать дроби без предварительного упрощения.

Сначала умножаем числители сверху.

2 × 1 = 2

И умножьте знаменатели снизу.

7 × 16 = 112

Следовательно, ² / ₇ × ¹ / ₁₆ = ² / ₁₁₂ .

Затем мы можем упростить дробь, разделив верхний числитель и нижний знаменатель на 2.

² / ₁₁₂   =   ¹ / ₅₆ , это наш окончательный ответ.

Мы упростили наш ответ, разделив верх и низ на 2, как раз в конце нашего процесса.

Вместо этого мы можем сначала упростить дробь путем взаимного сокращения.

И число 2, и число 16 можно разделить на 2. На этот раз мы разделим верх и низ на 2, прежде чем умножать. 2 — это общий делитель 2 и 16.

2 ÷ 2 = 1 и 16 ÷ 2 = 8.

Умножение дробей ¹ / ₇ × ¹ / ₈ = ¹ / ₅₆ .

Это дает нам тот же ответ, что и раньше.

Мы также можем думать о дробях как об умножении и делении предложения. Умножаем на числители сверху и делим на знаменатели снизу.

² / ₇   ×   ¹ / ₁₆   совпадает с 2 × 1 ÷ 7 ÷ 16 .

¹ / ₇   ×   ¹ / ₈   совпадает с 1 × 1 ÷ 7 ÷ 8 .

Мы можем сравнить подчеркнутые цифры, чтобы увидеть, что мы уменьшили вдвое число, на которое умножаем, от 2 до 1, а также вдвое уменьшили число, на которое делим, от 16 до 8. Ответ тот же.

Почему мы упрощаем дроби перед их умножением?

Умножение некоторых дробей может привести к перемножению больших чисел. Лучше сначала упростить дроби, сокращая общие множители, чтобы сделать числа меньше. Меньшие числа легче умножать.

Вы также с меньшей вероятностью совершите ошибку, если сначала упростите дроби. Даже последний шаг упрощения проще, потому что числа меньше. Умножение дробей без предварительного упрощения может привести к очень большим числам, и может быть неясно, на что их делить, чтобы упростить дробь.

Например, вот   ⁵ / ₁₂   ×   ⁹ / ₁₀ .

5 × 9 = 45 и 12 × 10 = 120

⁵ / ₁₂   ×   ⁹ / ₁₀   =   ⁴⁵ / ₁₂₀  .

Числа в дроби было не очень легко умножать, но последний шаг упрощения дроби непрост, так как трудно увидеть наибольший общий множитель, который делится и на 45, и на 120.

На самом деле и 45, и 120 можно разделить на 15.

45 ÷ 15 = 3 и 120 ÷ 15 = 8.

Однако гораздо проще упростить дроби перед умножением.

Мы видим, что и 5, и 10 можно разделить на 5, а 9 и 12 можно разделить на 3.

⁵ / ₁₂   ×   ⁹ / ₁₀   =   ¹ / ₄   ×   ³ / ₂

Это приводит к тому, что числа намного легче умножать, и тогда нет необходимости упрощать большую дробь в конце.

¹ / ₄   ×   ³ / ₂   =   ³ / ₈  .

Вот еще один пример того, почему мы упрощаем дроби перед их умножением.

У нас есть ⁹ / ₁₄ × ⁴ / ₁₅ .

Опять же, немедленное умножение дроби может привести к большим числам.

9 × 4 = 36 и 14 × 15 = 210

⁹ / ₁₄   ×   ⁴ / ₁₅   =   ³⁶ / ₂₁₀  , который не так просто упростить.

Мы можем делить на общий делитель 6 числа 36 и 210.

36 ÷ 6 = 6 и 210 ÷ 6 = 35.

Однако гораздо проще сначала упростить дробь, чтобы числа оставались в пределах обычной таблицы умножения.

Мы можем разделить 9 и 15 на 3, чтобы получить 3 и 5 соответственно.

Мы также можем разделить 4 и 14 на 2, чтобы получить 2 и 7 соответственно.

³ / ₇   ×   ² / ₅   =   ⁶ / ₃₅  .

Поскольку мы уже полностью упростили дроби перед их умножением, нет необходимости снова упрощать наш ответ. Это уже в самом простом виде.

Взаимное сокращение и как это сделать — Руководство по пузырьковым простым числам Иногда приходится упрощать дроби после выполнения с ними арифметических операций.

Взаимная отмена — это упрощение, которое можно было сделать раньше. Это здорово, потому что упрощение до означает, что при умножении у вас будут меньшие числа, а с меньшими числами легче работать.

Уловил? Взаимное сокращение упрощает дроби.

Но для какой операции можно использовать перекрестную отмену? Умножение дробей .

В математике мы используем слово операция для чего-то простого, что вы делаете с числом. Наиболее распространенными примерами операций являются сложение, вычитание, умножение и деление (есть и другие, но не будем сейчас об этом).

Взаимная отмена и Раздел

В дополнение к умножению можно использовать взаимное сокращение, чтобы упростить математические операции при делении дробей. Это потому, что вы всегда можете преобразовать задачу деления дроби в задачу умножения дроби. Просто возьмите обратное значение делителя. Взять , обратное дроби, означает просто поменять местами числитель и знаменатель (положить верх на низ, а низ на верх). Делитель — это число, на которое вы делите.

Как сделать перекрестную отмену?

Вы можете систематически выполнять перекрестную отмену, но есть и некоторые упрощения. Вот систематический способ перекрестного сокращения:

1. Если задача на деление преобразуется в умножение, сначала перепишите ее, преобразуя делитель в его обратную величину.
2. Найдите простые множители числителя и знаменателя обеих дробей.
3. Если какой-либо фактор не был в простейшей форме, выполните упрощение сейчас.
4. Отменить все множители, находящиеся как в числителе, так и в противоположном знаменателе. На самом деле, именно потому, что эти факторы расположены по диагонали друг от друга, мы называем это взаимной компенсацией. Если присутствует несколько копий какого-либо фактора, обработайте их, отменив только те копии, которые присутствуют в противоположном месте (так же, как при упрощении дробей).
5. Повторите предыдущий шаг на другой диагонали.
6. Умножьте все множители в верхней части обеих дробей, чтобы получить числитель ответа, и умножьте все множители в нижней части обеих дробей, чтобы получить знаменатель ответа.

   Пример пошаговой кросс-отмены

Вам всегда все это приходится делать? Нет, не всегда. Вы заметили, что мы использовали слово систематический , чтобы описать пошаговый способ перекрестной отмены? Некоторые люди, вероятно, проигнорировали это слово, а некоторые другие люди, возможно, задавались вопросом, что оно означает, и у них возникло чувство, что мы используем причудливые слова, и вскоре вещи могут потерять смысл. Пожалуйста, не беспокойтесь. Под систематичностью мы подразумевали, что любой, кто сможет выполнить эти шаги, в конце получит правильный ответ. Когда вы знакомы с процессом, вы обычно можете комбинировать или пропускать шаги, использовать альтернативные методы или идти коротким путем.

Взаимная отмена с помощью ярлыка GCF

Вы можете сэкономить работу, если числа относительно невелики и вы можете увидеть некоторые общие факторы. В таком случае вам не нужно находить полную простую факторизацию. Вместо этого мы обычно зачеркиваем числа по диагонали и пишем рядом с ними замещающие числа, удаляя наибольшие общие делители. Вот пример того, как выглядит эта техника.

Пример использования GCF для упрощения дроби

Взаимное сокращение и упрощение дроби

Взаимное сокращение на самом деле является специальной версией упрощения дробей. Воспользоваться им можно только при умножении или делении дробей. Сначала стоит попрактиковаться в упрощении дробей, чтобы получить более широкое представление и понять, насколько это полезно. На самом деле, преимущество перекрестного исключения перед умножением и последующим упрощением заключается в том, что до умножения числа становятся меньше и с ними легче работать. Вы получите тот же ответ, если сначала умножите, а затем упростите, но это может быть намного больше работы. Взаимная отмена — это простой, но хороший способ.

Как добиться успеха в перекрестной отмене?

Чтобы добиться успеха в большинстве вещей, нужна практика.