Найдите наибольший общий делитель 18 и 36: Найдите НОД и НОК чисел 18 и 36

2\cdot 5=360 $$

Найбольшее общее кратное числе 70a и 55b найдем так же разложив эти числа:

$$ 70a=2\cdot 5\cdot 7\cdot a $$

$$ 55b=5\cdot 11\cdot b $$

Тогда получаем:

$$ HOK=2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot a\cdot b=770ab $$

Содержание

1. разложите на простые множители число 546.

2. какую цифру можно записать вместо звездочки в силе 681*, чтобы оно
А) делилось на 9
Б) делилось на 5
В) было кратно 6
3. Найдите произведение чисел a и b, если их наименьшее общее кратное 420, а наибольший общий делитель равен 30.
Решение: 546=2*3*91
а) 6813
б ) 6810
в) 6810
НОК(a.b)=420
НОД (a.b)=30
a=210
b=60
a+b=270

1. разложите на простые множители число 546.
546 =2*3*7*13
546 : 2 = 273
273 : 3 = 91
91 : 7 = 13
13 :13 = 1
2. какую цифру можно записать вместо звездочки в силе 681*, чтобы оно
А) делилось на 9
На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9
6+8+1+*=15+*
15+*=18
*=18-15=3
6813 делится на 9
Б) делилось на 5
на 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0
6810 или 6815
В) было кратно 6
на 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3)
на 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3
6+8+1+*=15+*
15 делится на 3
*=0
681*=6810 чётное число делятся на 2 и на 3 одновременно, значит и на 6
3. найдите произведение чисел a и b, если их наименьшее общее кратное 420, а наибольший общий делитель равен 30.
НОК=420 НОД=30
420=2*2*3*5*7=30*2*7=60*7=210*2
30=2*3*7
a=60
b=210
a*b=60*210=12600

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел

504 и 756
Решение: 504 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7

756 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7

НОД (504 и 756) = 2 * 2 * 3 * 3 * 7 = 252 — наибольший общий делитель

504 : 252 = 2 756 : 252 = 3

НОК (504 и 756) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7 = 1512 — наименьшее общее кратное

1512 : 504 = 3 1512 : 756 = 2

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: 1) 4и10; 2) 6и14; 3) 8и12; 4) 15и18; 5) 20и24; 6) 26и39.

Решение: Разложили на множители.
Для НОК берем все-все.
Для НОД — только общие
1) 4 = 2*2 и 10 = 2*5 и НОД=2 и НОК = 2*2*5 = 20
2) 6 = 2*3 и 14 = 2*7 и НОД=2 и НОК = 2*3*7 = 42
3) 8 = 2*4 и 12 = 3*4 и НОД=4 и НОК =2*3*4 = 28
4) 15 = 3*5 и 18 = 2*3*3 и НОД = 3 и НОК = 18*5 = 90
5) 20 = 4*5 и 24 = 4*6 и НОД = 4 и НОК = 4*5*6 = 120
6) 26 = 2*13 и 39 = 3*13 и НОД = 13 и НОК = 6*13 = 78.

Выполните задания:

1) Разложите на простые множители: 216; 162; 144; 512; 675; 1024
2) Найдите наибольший общий делитель чисел: 324; 111 и 432
3) Запишите все двузначные числа: кратные числу 17; кратные числу 28
4) Найдите наименьшее общее кратные чисел: 168; 231 и 60
Решение: 1)
216=2*2*2*3*3*3
162=2*2*3*3*17
144=12²= 2*2*2*2*3*3
512=2⁹=2*2*2*2*2*2*2*2*2
675=25*9*3 = 3*3*3*5*5
1024=2¹⁰= 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2
2) Разложим числа на простые множители, найдем общие множители:
111= 3*37
324=2*2*3*3*3*3
432= 2*2*2*2*3*3*3
НОД (111,324,432) = 3
3)
Двузначные числа, кратные 17: 17, 34,51,68,85.
17*1=17
17*2=34
17*3= 51
17*4=68
17*5=85
17*6 = 102 — уже трехзначное число
Двузначные числа кратные 28 : 28,56,84.
28*1 = 28
28*2= 56
28*3=84
4) Разложим числа на простые множители:
231= 3*7*11
60= 2*2*3*5
168=2*2*2*3*7
К большему числу (231) добавим недостающие множители из меньших чисел ( выделены):
НОК (60,168,231) = 231*2*2*2*5=231*40= 9240

Найдите наибольший общий делитель и наименьший общее кратное чисел:

А: 18 и 36
Б: 33 и 44
В: 378 и 441
Г: 11.340 и 37.800
Решение: А. 18 = 2 * 3 * 3 36 = 2 * 2 * 3 * 3
НОД (18 и 36) = 2 * 3 * 3 = 18 — наибольший общий делитель
НОК (18 и 36) = 2 * 2 * 3 * 3 = 36 — наименьшее общее кратное
Б. 33 = 3 * 11 44 = 2 * 2 * 11
НОД (33 и 44) = 11 — наибольший общий делитель
НОК (33 и 44) = 2 * 2 * 3 * 11 = 132 — наименьшее общее кратное
В.

378 = 2 * 3 * 3 * 3 * 7 441 = 3 * 3 * 7 * 7
НОД (378 и 441) = 3 * 3 * 7 = 63 — наибольший общий делитель
НОК (378 и 441) = 2 * 3 * 3 * 3 * 7 * 7 = 2 646 — наименьшее общее кратное
Г. 11 340 = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 * 5 * 7
37 800 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7
НОД (11 340 и 37 800) = 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5 * 7 = 3 780 — наибольший общий делитель
НОК (11 340 и 37 800) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 = 113 400 — наименьшее общее кратное

Найдите наименьший общее кратное чисел 108 120

Найдите наибольшие общее делитель чисел 147 189
Решение: Найдите наименьший общее кратное чисел 108 120
Кратное — число которое ДЕЛИТ одновременно
Разложение на множители дает
108=2*2*3*3*3
120=2*2*2*3*5
Выписываем ОДИНАКОВЫЕ множители
НОК(108;120)=2*2*3=12
Проверка
120:12=10
108:12=9
Найдите наибольшие общее делитель чисел 147 189
Общий делитель, ДЕЛИТСЯ одновременно
Разложение на множители дает
147=3*7*7
189=3*3*3*7
НОД(147;189)=147*9=189*7=1323

108=2*2*3*3*3 120=2*2*2*2*3*5 НОК(108,120)=2*2*3*3*3*2*5=1080 147=3*7*7 189=3*3*3*7 НОД(147,189)=21

Наименьшее общее кратное двух чисел равно 360, а наибольший общий делитель 18.

Найдите первое число, если второе равно 90.
Решение: Пусть первое число, которое нужно найти, равно х.
НОК(х; 90)=360
НОД(х; 90)=18
=> =>
=>
Где n, m ∈ N
20=1*20=2*10=4*5
n=1, m=20, x=18
n=2, m=10, x=36
n=4, m=5, x=72
n=20, m=1, x=360
n=10, m=2, x=180
n=5, m=4, x=90 — посторонний корень, т. к. совпадает со вторым числом.
Получилось 5 возможных значений х. Выясним, какие из них лишние (не удовлетворяют условию):
18=2*3*3
36=2*2*3*3
72=2*2*2*3*3
360=2*2*2*3*3*5
180=2*2*3*3*5
90=2*3*3*5
НОК(18;90)=2*3*3*5=90, х=18 — посторонний корень
НОК(36; 90)=2*2*3*3*5=180, х=36 — посторонний корень
НОК(72; 90)=2*2*2*3*3*5=360, х=72 — возможный корень
НОК(360; 90)=360, х=360 — возможный корень
НОК(180; 90)=180, х=180 — посторонний корень
Осталось проверить 2 числа:
НОД(72;90)=2*3*3=18, х=72 — корень
НОД(360;90)=90, х=360 — посторонний корень

Найдите наибольший общий делитель и наименьшие общие кратное чисел а) 18 и 36 б)33 и 64 в),378 и 441 г) 11340 37800.

Решение: А) 18 и 36
18 = 2 · 3∧2
36 = 2∧2 · 3∧2
наибольший общий делитель = 2 · 3∧2 = 18
18 = 2 · 3∧2
36 = 2∧2 · 3∧2
Наименьшее общее кратное = 2∧2 · 3∧2 = 36
б) 33 и 64
33 = 3 · 11
64 = 2∧6
наибольший общий делитель = 1
это взаимно простые числа!
33 = 3 · 11
64 = 2∧6
Наименьшее общее кратное = 3 · 11 · 2∧6 = 2112
в) 378 и 441
378 = 2 · 3∧3 · 7
441 = 3∧2 · 7∧2
наибольший общий делитель = 3∧2 · 7 = 63
378 = 2 · 3∧3 · 7
441 = 3∧2 · 7∧2
Наименьшее общее кратное = 2 · 3∧3 · 7∧2 = 2646
г) 11340 и 37800
11340 = 2∧2 · 3∧4 · 5 · 7
37800 = 2∧3 · 3∧3 · 5∧2 · 7
наибольший общий делитель = 2∧2 · 3∧3 · 5 · 7 = 3780
11340 = 2∧2 · 3∧4 · 5 · 7
37800 = 2∧3 · 3∧3 · 5∧2 · 7
Наименьшее общее кратное = 2∧3 · 3∧4 · 5∧2 · 7 = 113400

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 675 и 945.

Решение: Разложим на множители каждое число
675 = 3 * 3 * 3 * 5 * 5
945 = 3 * 3 * 3 * 5 * 7
Наибольший общий делитель составим из одинаковых множителей
3 * 3 * 3 * 5 = 135
Наименьшее общее кратное составим из всех множителей меньшего числа и ещё дополним множителями второго числа, которых нет в первом
3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7 = 4725
Ответ: НОД = 135 и НОК = 4725

234 5 6 > >>

Наибольший общий делитель равен наименьшему общему кратному » задачи

НОД и НОК »

Найдите наибольший общий делитель чисел

а) 12 и 24
б) 6 и 9
в) 75 и 45
г) 81 и 243
д) 4725 и 7875
Решение: После числа будем писать возможные делители
a)12 12/6/4/3/2/1
24 24/12/6/4/3/2/1
Наибольший делитель — 12
б)6 6/3/1
9 9/3/1
Наибольший- 3
в) 75 75/25/15/5/1
45 45/15/9/5/1
Наибольший — 15
г) 81 81/27/9/3/1
243 243/81/27/9/3/1
Наибольший — 81
д)4725 4725/1575/945/675/525/315/225/189/175/135.
7875 7875/2625/1575/1125/875/525.
Наибольший — 1575
Найдите наибольший общий делитель чисел 12 24,75и45,4725и7875,6и9,81и243

Решение: 12 = 2 * 2 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
НОД (12 и 24) = 2 * 2 * 3 = 12 — наибольший общий делитель
75 = 3 * 5 * 5
45 = 3 * 3 * 5
НОД (75 и 45) = 3 * 5 = 15 — наибольший общий делитель
4725 = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7
7875 = 3 * 3 * 5 * 5 * 5 * 7
НОД (4725 и 7875) = 3 * 3 * 5 * 5 * 7 = 1575 — наибольший общий делитель
6 = 2 * 3 9 = 3 * 3 НОД (6 и 9 ) = 3 — наибольший общий делитель
81 = 3 * 3 * 3 * 3
243 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3
НОД (81 и 243) = 3 * 3 * 3 * 3 = 81 — наибольший общий делитель
найдите наибольший общий делитель — нод(120;144;324)

Решение: нод(120;144;324)= 12 думаю правильно
120/2    144/2       324/2
60/2      72/2        162/2
30/2      36/2         81/3
15/3      18/2         27/3
5/5        9/3           9/3
1           3/3          3/3
               1             1
Ощие множители трех чисел 2, 2, 3
2*2*3=12
Разложив данные числа на простые множители, найдите наибольший общий делитель 1)12 и 16 2) 21 и 98 3)42 и 56 4)36 и 90 5)130 и 78 6)110 и 154 7)27,54 и 81 8)18,120 и 138 9)11,22 и 444

Решение: 1) 48
2) 294
3) 168
4) 8100
5) 390
6) 770
7) 162
1)12=3*4
16=4*4
Общий делитель 4
2)21=3*7
98=14*7
Общий делитель 7
3)42=7*6
56=7*8
Общий делитель 7
4)36=9*4
90=9*10
Общий делитель 9
5)130=13*10
78=13*6
Общий делитель 13
6)110=11*10
154=11*14
Общий делитель 11
7)27,54=27*1,02
81=27*3
Общий делитель 27
8)18,120=3*6,04
138=3*46
Общий делитель 3
9)11,22=3*2,74
444=3*148
Общий делитель 3
Найдите наибольший общий делитель чисел: а)12 и 20, б)27 и 72, в)60 и 64, г)96 и 36, д)360 и 840, е)84 и 112

Решение: ^ — это знак степени
а)12 и 20
12=2*2*3=2^2*3
20=2*2*5=2^2*5
Выпишем наименьшие степени общих делителей 2
2^2=4
Общий делитель 4
б)27 и 72,
27=3*3*3=3^3
72=2*2*2*3*3=2^3 * 3^2
3^2=9
в)60 и 64,
60=2*2*3*5=2^2 * 3 * 5
64=2*2*2*2*2*2=2^6
2^2=4
г)96 и 36,
96=2*2*2*2*2*3=2^5 * 3
36=2*2*3*3=2^2 * 3^2
2^2 * 3=12
д)360 и 840,
360=2*2*2*3*3*5=2^3 * 3^2 * 5
840=2*2*2*3*5*7=2^3*3*5*7
2^3*3*5=120
е)84 и 112
84=2*2*3*7=2^2 *3 *7
112=2*2*2*2*7=2^4 * 7
2^2 *7=28
Найдите наибольший общий делитель 48 и 12.
150 и 100
Решение: 2, просто, если делить на другие числа, то будет ответ с дробью
48=2×3×2×2×2
12=2×3×2
тут ищи общие цифры но их должно быть как можно меньше
это 3×2×2=12
наибольший общий делитель 48 и 12 это 12
150=5×2×3×5
100=2×5×2×5
тут тоже ищем
2×5×5=50 наибольший делитель 150 и 100 это 50
Найдите наибольший общий делитель чисел: 1)12 и 32 2)14 и 42 3)68 и 102 4)360 и 366 5) 32,96 и 112

Решение: 1) Разложим числа на простые множители:
12 = 2*6 = 2*2*3
32 = 4*8 = 2*2*2*2*2
Выделим общие множители :
НОД (12,32) = 2*2=4
2)
14=2*7
42= 6*7 = 2*3*7
НОД (14,42) = 2*7 =14
3)
68=2*34 = 2*2*17
102= 2*51=2*3*17
НОД (68,102) = 2*17= 34
4)
360= 4*9*10= 2*2*2*3*3*5
366= 6*61= 2*3*61
НОД (360,366) =2*3=6
5)
32 = 2*2*2*2*2
96= 3*32= 2*2*2*2*2*3
112= 2*2*2*2*7
НОД (32,96, 112) = 2*2*2*2 = 16
Найдите наибольший общий делитель чисел:

а)12 и 32
б)14 и 42
в)68 и 102
Г)480 и 660
д)23;96 и 112
е)21;126 и 252
Решение: А) 12 и 32 наибольший общий делитель 4 (12:4=3 и 32:4=8)
разложим на множители: 12=2*2*3 и 32=2*2*2*2*2
б) 14 и 42 наибольший общий делитель 14 (14:14=1 и 42:14=3)
разложим на множители:
14=2*7 и 42=2*3*7
в) 68 и 102 наибольший делитель 34 (68:34=2 102:34=3)
разложим на множители:
68= 2*2*17 и 102=2*3*17
г) 480 и 669 наибольший общий делитель 3 (480:3=160 и 669:3=223)
разложим на множители:
480=2*2*2*2*2*3*5 669=3*223
д) 23 и 96 и 112 наибольший общий делитель для этих 3-х чисел 1 (число 23 можно разложить только на множители 1 и 23, 96 и 112 на 23 не делятся)
разложим на множители:
23=23*1 и 96=2*2*2*2*2*3 и 112=2*2*2*2*7
для чисел 96 и 112 — наибольший делитель 16 (96:16=6, 112:16=7)
е) 21 и 126 и 252 наибольший общий делитель 21 (21:21=1, 126:21=6, 252:21=12)
разложим на множители:
21=7*3 и 126=2*3*3*7 и 252=2*3*3*7
Выпишите все делители заданных чисел, подчеркните их общие делители и найдите наибольший общий делитель:

Образец:
Число 12; делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Число 30; делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
НОД (12, 30) = 6.
а) числа 18 и 42; НОД (18, 42) = …; б) числа 75 и 45; НОД (75, 45) = …;
в) числа 54 и 36; НОД (54, 36) = …; г) числа 12 и 18; НОД (12, 18) = …;
д) числа 12 и 75; НОД (12, 75) = …; е) числа 18 и 30; НОД (18, 30) = …;
ж) числа 18 и 54; НОД (18, 54) = …; з) числа 48 и 6; НОД (48, 6) = …;
и) числа 72 и 8; НОД (72, 8) = …; к) числа 175 и 25; НОД (175, 25) = …;
л) числа 400 и 100; НОД (400, 100) = …; м) числа 72 и 9; НОД (72, 9) = ….

Решение: А)18- 1,2,3,6,9,18; 42-1,2,3,6,7,14,21,42 нод(12;42)=6
б)75-1,3,5,15,25,75; 45-1,3,5,9,15,45 нод(75;45)=15
в)54-1,2,3,6,9,18,27,54 36-1,2,3,4,6,9,12,18,36 нод=18
г)12-1,2,3,4,6,12 18-1,2,3,6,9,18 нод=6
д)12-1,2,3,4,6,12 75-1,3,5,15,25,75 нод=3
е)18-1,2,3,6,9,18 30-1,2,3,5,6,10,15,30 нод=6
ж)18-1,2,3,6,9,18 54-1,2,3,6,9,18,27,54 нод=18
з)48-1,2,3,4,6,8,12,16,24,48 6-1,2,3,6 нод=6
и)72-1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72 8-1,2,4,8 нод=8
к)175-1,5,7,25,35,175 25-1,5,25 нод=25
л)400-1,2,4,5,8,10,20,40,50,80,100,200,400
100-1,2,4,5,10,20,25,50,100 нод=100
м)72-1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72 9-1,3,9 нод=9

Найдите наибольший общий делитель чисел способом перебора делителей : 12 и 32 32 и 42 35 и 60 36 и 63 30 и 45 27 и 54 42 и 56 80 и 32 39 и 65

Решение: Делители у 12 такие 12 = 2*2*3.

Делители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное презентация, доклад

Слайд 1Текст слайда:

Делители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

Слайд 2Текст слайда:

Решите __________

84 : л = 14 84 : т = 7 84 : е = 21 84 : л = 4 84 : ь = 3 84 : д = 28 84 : е = 6 84 : и = 12

уравнения

л = т = е = л = ь = д = е = и =

Слайд 3Текст слайда:

л = т = е = л = ь = д = е = и =

Расположите числа в порядке возрастания

Слайд 4Текст слайда:

Делитель

Слайд 5Текст слайда:

Назовите все возможные варианты деления 12 яблок на равные части

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8Текст слайда:

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

12:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Слайд 9Текст слайда:

Найдите все делители для чисел:

18:

15:

20:

36:

48:

1, 3, 9

1, 2, 3, 6, 9, 18

1, 3, 5, 15

1, 2, 4, 5, 10, 20

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 42, 48

Слайд 10Текст слайда:

Подчеркните общие делители чисел:

18:

15:

20:

36:

48:

1, 3, 9

1, 2, 3, 6, 9, 18

1, 3, 5, 15

1, 2, 4, 5, 10, 20

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 42, 48

Из общих делителей выделите наибольшее число:

Слайд 11Текст слайда:

Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка», и 36 конфет «Чебурашка» если надо использовать все конфеты

: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Слайд 12Текст слайда:

Наибольший Общий Делитель

НОД

Слайд 13Текст слайда:

На какое наибольшее количество ребят можно разделить поровну 12 яблок и 9 конфет?

Слайд 14Текст слайда:

12
6
3
1

2
2
3

9
3
1

3
3

НОД (9,12)=3

Слайд 15Текст слайда:

Нахождение наибольшего общего делителя:
Разложить числа на простые множители.
Найти одинаковые множители . У одного из чисел взять их в кружок.
Найти произведение тех множителей, которые взяли в кружок.

Слайд 16Текст слайда:

НОД (36,48)=

36
18
9
3
1

2
2
3
3

48
24
12
6
3
1

2
2
2
2
3

НОД (36,48)=

2 · 2 · 3 =

Слайд 17Текст слайда:

НОД (9, 18) =

НОД (10, 7) =

НОД (15,20) =

НОД (35,14)=

НОД (24,60)=

№ 148
№ 152

Слайд 18Текст слайда:

Числа
правят
миром.

ПИФАГОР
V век до н.э.

Взаимно простые числа

Слайд 19Текст слайда:

№ 146

Проверяем:

НОД (18, 60) =

НОД (72, 96, 120) =

НОД (35, 88) =

Слайд 20Текст слайда:

Самостоятельно:

НОД (7, 21) =

НОД (25, 9) =

НОД (8, 12) =

НОД (15, 40)=

НОД (7, 11)=

Слайд 21Текст слайда:

Историческая минутка.

Слайд 22Текст слайда:

№ 152

Ребята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке?

123
41
1

3
41

82
41
1

2
41

НОД (123, 82) =

Слайд 23Текст слайда:

№ 149

НОД (35, 40) =

НОД (77, 20) =

НОД (10, 30, 41) =

НОД (231, 280)=

Проверяем:

Слайд 24Текст слайда:

Находим:

НОД (18, 14, 6) =

НОД (26, 15, 9) =

НОД (12, 24, 48) =

НОД (30, 50, 70)=

Проверяем:

Слайд 25Текст слайда:

№ 153

Для поездки за город было выделено несколько автобусов с одинаковым количеством мест в каждом. В лес поехали 424 человека, а на озеро – 277 человек. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека в автобусе не осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом автобусе?

Решение

Слайд 26Текст слайда:

424
212

106
53
1

2
2
2
53

477
159
53
1

3
3
53

НОД (424, 477) =

424 : 53 =

477 : 53 =

8 + 9 =

Слайд 27Текст слайда:

— Хлопните в ладоши, если число кратно 2

«Я самый внимательный»

— Запищите, если число кратно 5

— Топайте ногами, если число кратно 10

560

435

226

1000

539

3255

Слайд 28Текст слайда:

Что больше, произведение или сумма чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

Слайд 29 Текст слайда:

Назовите четырёхзначное число, записанное с помощью цифр:

1, 5, 7, 8

: 1578

— кратное 2

7518

5178 …

— кратное 5

: 1785

7185

8175 …

— кратное 3

: 1578

5718

7815 …

Слайд 30Текст слайда:

Наименьшее Общее Кратное

НОК

Слайд 31Текст слайда:

От одной пристани до другой ходят два катера. Начинают работу одновременно в 8 ч утра. Первый катер на рейс туда и обратно тратит 2 часа, а второй – 3 часа. Через какое наименьшее время оба катера окажутся на первой пристани и сколько рейсов за это время сделает каждый катер?

Задача.

Решение

Слайд 32Текст слайда:

— кратные 2

— кратные 3

: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18…

: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…

Наименьшее кратное:

Через 6 часов после начала работы два катера
одновременно окажутся на первой пристани

6 : 2 = 3 (рейса)

— 1 катер

6 : 3 = 2 (рейса)

— 2 катер

Слайд 33Текст слайда:

= 2 · 3

= 3 · 3

НОК (6, 9) =

2 · 3

· 3

НОК (6, 9) =

= 18

Слайд 34Текст слайда:

Нахождение наменьшего общего кратного:
Разложить числа на простые множители.

Выписать множители, входящие в разложение одного из чисел.
Добавить к ним недостающие множители из разложений других чисел.
Найти произведение получившихся множителей.

Слайд 35Текст слайда:

Шаг Володи 75 см, а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они сделают по целому числу шагов?

Решение

Задача.

Слайд 36Текст слайда:

НОК (60,75) =

60
30
15
5
1

2
2
3
5

75
25
5
1

3
5
5

НОК (60,75) =

2 · 2 · 3 · 5

= 300 (см)

· 5

Слайд 37Текст слайда:

300 см

300 : 75 = 4

300 : 60 = 5

Слайд 38Текст слайда:

НОК (35, 12) =

= 5 · 7

= 2 · 2 · 3

НОК (35, 12) =

12 · 35

= 420

НОК (45,180) =

180

= 3 · 3 · 5

= 2 · 2 · 3 · 3 · 5

НОК (45,180) =

180

Слайд 39Текст слайда:

НОК (72, 99) =

= 2 · 2 · 2 · 3 · 3

= 3 · 3 · 11

НОК (72, 99) =

99 · 2 · 2 · 2

= 792

НОК (210,350) =

210

350

= 2 · 3 · 5 · 7

= 2 · 5 · 5 · 7

НОК (45,180) =

= 1050

350 · 3

Слайд 40Текст слайда:

НОД (9, 12) =

НОК (9, 12) =

= 3 · 3

= 2 · 2 · 3

НОД (9, 12) =

НОК (9, 12) =

9 · 12

3 · 36

108

Слайд 41Текст слайда:

Реши самостоятельно:

1. Напишите все делители числа 24 45

2. Найдите наибольший общий делитель чисел 75 и 45 12 и 24

3. Найдите наименьшее общее кратное чисел 30 и 40 20 и 70

Слайд 42Текст слайда:

Проверь себя:

НОД (75,45)=3 5=15

24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

45: 1, 3, 5, 9, 15, 45

НОД (12,24)=2 2 3=12

НОК (30,40)= =2 2 2 3 5=120

НОК (20,70)= =2 2 5 7=140

Слайд 43Текст слайда:

Конфеты:

http://s014.radikal.ru/i328/1012/6c/f40ce93c2fff.jpg

http://images.vector-images.com/clipart/xl/170/valentines_prg37.jpg

Подарки:

http://img-fotki.yandex. ru/get/5818/132373940.2d1/0_6e30b_be1b2a70_XL

Новогодняя ёлка:

http://konov-larisa.narod.ru/content01.jpg

Пифагор:

Автобус:

http://www.johnston.k12.ia.us/schools/ElemLMC/images/bus1.gif

http://www.sunhome.ru/UsersGallery/Cards/162/2164517.jpg

Лес:

http://www.childrenswebmagazine.com/Images/pond.gif

Озеро:

В.В.Выговская «Поурочные разработки по математике» 6 класс – М.; ВАКО, 2009.
– 544с. – (В помощь школьному учителю)

Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват.учреждений /
Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков,С.И.Шварцбурд – 30-е изд., стер. –
М.: Мнемозина, 2013. –288 с.:ил.

Зиннатуллина Светлана Александровна. Презентация «Делители. НОД. НОК.»

http://infoteka.intergu.ru/query/about.asp?id=13138&r=735389354490894553027635#

Дети. Анимированные картинки

http://www.smayli.ru/smile/detia-318. html

http://www.smayli.ru/smile/detia-311.html

Наибольший общий делитель (НОД) – определение, примеры и свойства. Зачем вводить понятия «Наибольший общий делитель (НОД)» и «Наименьшее общее кратное (НОК)» чисел в школьный курс математики

Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

Как найти наибольший общий делитель

Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

48 = 2*2*2*2*3,
36 = 2*2*3*3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

48 = 2*2*2*2*3 ,
36 = 2*2*3 *3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

1. Разложить числа на простые множители.
2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
3. Посчитать произведение оставшихся множителей.

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …,НОД(d k-1 , a k)=d k .

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение.

В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ;60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .

Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида:570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .

Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , тоd 4 =НОД(6, 36)=6 .

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть,НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Пример.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Решение.

Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 ,294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

К началу страницы

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.

Пример.

Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140 .

Решение.

Модуль числа −231 равен 231 , а модуль числа −140 равен 140 , иНОД(−231, −140)=НОД(231, 140) . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства:231=140·1+91 ; 140=91·1+49 ; 91=49·1+42 ; 49=42·1+7 и 42=7·6 . Следовательно,НОД(231, 140)=7 . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел−231 и −140 равен 7 .

Ответ:

НОД(−231, −140)=7 .

Пример.

Определите НОД трех чисел −585 , 81 и −189 .

Решение.

При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189) . Разложения чисел 585 , 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид585=3·3·5·13 , 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7 . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3 . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9 , следовательно,НОД(−585, 81, −189)=9 .

Ответ:

НОД(−585, 81, −189)=9 .

35. Корені многочлена. Теорема Безу. (33 и выше)

36. Кратні корені, критерій кратності кореня.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12.

Общий делитель двух данных чисел a и b — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b . Общий делитель нескольких чисел (НОД) — это число, служащее делителем для каждого из них.

Кратко наибольший общий делитель чисел a и b записывают так:

Пример : НОД (12; 36) = 12.

Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

Пример:

НОД (7; 9) = 1

Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми чи слами .

Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1. Их НОД равен 1.

Наибольший общий делитель (НОД), свойства.

Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД(m , n ).
Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m , n ).

Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.

Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:

и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m и n :

Это соотношение называется соотношением Безу , а коэффициенты u и v — коэффициентами Безу . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a 1 , a 2 , … , a n ).

Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм . Кроме того, значение НОД (m ,n ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:

где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m ,n ) и НОК (m ,n ) выражаются формулами:

Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:

— это и есть искомый НОД.

Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа — результат перемножения и есть наибольший общий делитель.

Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:

1. Разложить делители чисел на простые множители:

Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.

2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:

28 = 2 . 2 . 7

64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2

3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:

НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

Первый способ записи НОД:

Найти НОД 48 и 36.

НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12

Второй способ записи НОД:

Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

Д (10) = {1, 2, 5, 10}

Д (15) = {1, 3, 5, 15}

Д (10, 15) = {1, 5}

Наибольший общий делитель

Определение 2

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.

Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.

Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:

$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$

Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=2\cdot 11=22$

Пример 2

Найти НОД одночленов $63$ и $81$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:

Разложим числа на простые множители

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=3\cdot 3=9$

Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.

Пример 3

Найти НОД чисел $48$ и $60$.

Решение:

Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$

Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$

Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.

Определение НОК

Определение 3

Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

Разложить числа на простые множители
Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Пример 4

Найти НОК чисел $99$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Разложить числа на простые множители

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Выписать множители, входящие в состав первого

добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.

Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:

Если $a$ и $b$ —натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

Если $a$ и $b$ —натуральные числа, такие что $b

Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.

Свойства НОД и НОК

Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$

Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$

Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$

Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ — общее кратное чисел $a$ и $b$

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$

Эта статья посвящена такому вопросу, как нахождение наибольшего общего делителя. Сначала мы объясним, что это такое, и приведем несколько примеров, введем определения наибольшего общего делителя 2 , 3 и более чисел, после чего остановимся на общих свойствах данного понятия и докажем их.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Определение 1

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Пример 1

Вот примеры такого делителя: тройка будет общим делителем для чисел — 12 и 9 , поскольку верны равенства 9 = 3 · 3 и − 12 = 3 · (− 4) . У чисел 3 и — 12 есть и другие общие делители, такие, как 1 , − 1 и − 3 . Возьмем другой пример. У четырех целых чисел 3 , − 11 , − 8 и 19 будет два общих делителя: 1 и — 1 .

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Также отметим, что если у нас есть общий для нескольких чисел делитель b , то те же числа можно разделить и на противоположное число, то есть на — b . В принципе, мы можем взять лишь положительные делители, тогда все общие делители также будут больше 0 . Такой подход также можно использовать, однако совсем игнорировать отрицательные числа не следует.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Согласно свойствам делимости, если b является делителем целого числа a , которое не равно 0, то модуль числа b не может быть больше, чем модуль a , следовательно, любое число, не равное 0 , имеет конечное число делителей. Значит, число общих делителей нескольких целых чисел, хотя бы одно из которых отличается от нуля, также будет конечным, и из всего их множества мы всегда можем выделить самое большое число (ранее мы уже говорили о понятии наибольшего и наименьшего целого числа, советуем вам повторить данный материал).

В дальнейших рассуждениях мы будем считать, что хотя бы одно из множества чисел, для которых нужно найти наибольший общий делитель, будет отлично от 0 . Если они все равны 0 , то их делителем может быть любое целое число, а поскольку их бесконечно много, выбрать наибольшее мы не сможем. Иначе говоря, найти наибольший общий делитель для множества чисел, равных 0 , нельзя.

Переходим к формулировке основного определения.

Определение 2

Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.

На письме наибольший общий делитель чаще всего обозначается аббревиатурой НОД. Для двух чисел его можно записать как НОД (a , b) .

Пример 2

Какой можно привести пример НОД для двух целых чисел? Например, для 6 и — 15 это будет 3 . Обоснуем это. Сначала запишем все делители шести: ± 6 , ± 3 , ± 1 , а потом все делители пятнадцати: ± 15 , ± 5 , ± 3 и ± 1 . После этого мы выбираем общие: это − 3 , − 1 , 1 и 3 . Из них надо выбрать самое большое число. Это и будет 3 .

Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.

Определение 3

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Для чисел a 1 , a 2 , … , a n делитель удобно обозначать как НОД (a 1 , a 2 , … , a n) . Само значение делителя записывается как НОД (a 1 , a 2 , … , a n) = b .

Пример 3

Приведем примеры наибольшего общего делителя нескольких целых чисел: 12 , — 8 , 52 , 16 . Он будет равен четырем, значит, мы можем записать, что НОД (12 , — 8 , 52 , 16) = 4 .

Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.

На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).

Пример 4

Так, наибольший общий делитель чисел 60 , 15 и — 45 равен 15 , поскольку пятнадцать делится не только на 60 и — 45 , но и на само себя, и большего делителя для всех этих чисел не существует.

Особый случай составляют взаимно простые числа. Они представляют собой целые числа с наибольшим общим делителем, равным 1 .

Основные свойства НОД и алгоритм Евклида

У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.

Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.

Определение 4

Числа a и b имеют наибольший общий делитель, равный НОД для b и a , то есть НОД (a , b) = НОД (b , a) . Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.

Определение 5

Если число a можно разделить на число b , то множество общих делителей этих двух чисел будет аналогично множеству делителей числа b , то есть НОД (a , b) = b .

Докажем это утверждение.

Доказательство 1

Если у чисел a и b есть общие делители, то на них можно разделить любое из них. В то же время если a будет кратным b, то любой делитель b будет делителем и для a , поскольку у делимости есть такое свойство, как транзитивность. Значит, любой делитель b будет общим для чисел a и b . Это доказывает, что если мы можем разделить a на b , то множество всех делителей обоих чисел совпадет с множеством делителей одного числа b . А поскольку наибольший делитель любого числа есть само это число, то наибольший общий делитель чисел a и b будет также равен b , т.е. НОД (a , b) = b . Если a = b , то НОД (a , b) = НОД (a , a) = НОД (b , b) = a = b , например, НОД (132 , 132) = 132 .

Используя это свойство, мы можем найти наибольший общий делитель двух чисел, если одно из них можно разделить на другое. Такой делитель равен одному из этих двух чисел, на которое можно разделить второе число. К примеру, НОД (8 , 24) = 8 , так как 24 есть число, кратное восьми.

Определение 6 Доказательство 2

Попробуем доказать данное свойство. У нас изначально есть равенство a = b · q + c , и любой общий делитель a и b будет делить и c , что объясняется соответствующим свойством делимости. Поэтому любой общий делитель b и c будет делить a . Значит, множество общих делителей a и b совпадет с множеством делителей b и c , в том числе и наибольшие из них, значит, равенство НОД (a , b) = НОД (b , c) справедливо.

Определение 7

Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.

Перед тем, как сформулировать свойство, советуем вам повторить теорему, которую мы доказывали в статье о делении с остатком. Согласно ей, делимое число a можно представить в виде b · q + r , причем b здесь является делителем, q – некоторым целым числом (его также называют неполным частным), а r – остатком, который удовлетворяет условию 0 ≤ r ≤ b .

Допустим, у нас есть два целых числа больше 0 , для которых будут справедливы следующие равенства:

a = b · q 1 + r 1 , 0

Эти равенства заканчиваются тогда, когда r k + 1 становится равен 0 . Это случится обязательно, поскольку последовательность b > r 1 > r 2 > r 3 , … представляет собой ряд убывающих целых чисел, который может включать в себя только конечное их количество. Значит, r k является наибольшим общим делителем a и b , то есть, r k = НОД (a , b) .

В первую очередь нам надо доказать, что r k – это общий делитель чисел a и b , а после этого – то, что r k является не просто делителем, а именно наибольшим общим делителем двух данных чисел.

Просмотрим список равенств, приведенный выше, снизу вверх. Согласно последнему равенству,
r k − 1 можно разделить на r k . Исходя из этого факта, а также предыдущего доказанного свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что r k − 2 можно разделить на r k , так как
r k − 1 делится на r k и r k делится на r k .

Третье снизу равенство позволяет нам сделать вывод, что r k − 3 можно разделить на r k , и т.д. Второе снизу – что b делится на r k , а первое – что a делится на r k . Из всего этого заключаем, что r k – общий делитель a и b .

Теперь докажем, что r k = НОД (a , b) . Что для этого нужно сделать? Показать, что любой общий делитель a и b будет делить r k . Обозначим его r 0 .

Просмотрим тот же список равенств, но уже сверху вниз. Исходя из предыдущего свойства, можно заключить, что r 1 делится на r 0 , значит, согласно второму равенству r 2 делится на r 0 . Идем по всем равенствам вниз и из последнего делаем вывод, что r k делится на r 0 . Следовательно, r k = НОД (a , b) .

Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.

Перейдем к другим свойствам.

Определение 8

Если a и b являются целыми числами, не равными 0 , то должны существовать два других целых числа u 0 и v 0 , при которых будет справедливым равенство НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .

Равенство, приведенное в формулировке свойства, является линейным представлением наибольшего общего делителя a и b . Оно носит название соотношения Безу, а числа u 0 и v 0 называются коэффициентами Безу.

Доказательство 3

Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:

a = b · q 1 + r 1 , 0

Первое равенство говорит нам о том, что r 1 = a − b · q 1 . Обозначим 1 = s 1 и − q 1 = t 1 и перепишем данное равенство в виде r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Здесь числа s 1 и t 1 будут целыми. Второе равенство позволяет сделать вывод, что r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · q 2) · b . Обозначим − s 1 · q 2 = s 2 и 1 − t 1 · q 2 = t 2 и перепишем равенство как r 2 = s 2 · a + t 2 · b , где s 2 и t 2 также будут целыми. Это объясняется тем, что сумма целых чисел, их произведение и разность также представляют собой целые числа. Точно таким же образом получаем из третьего равенства r 3 = s 3 · a + t 3 · b , из следующего r 4 = s 4 · a + t 4 · b и т.д. В конце заключаем, что r k = s k · a + t k ·b при целых s k и t k . Поскольку r k = НОД (a , b) , обозначим s k = u 0 и t k = v 0 , В итоге мы можем получить линейное представление НОД в требуемом виде: НОД (a , b) = a · u 0 + b · v 0 .

Определение 9

НОД (m · a , m · b) = m · НОД (a , b) при любом натуральном значении m .

Доказательство 4

Обосновать это свойство можно так. Умножим на число m обе стороны каждого равенства в алгоритме Евклида и получим, что НОД (m · a , m · b) = m · r k , а r k – это НОД (a , b) . Значит, НОД (m · a , m · b) = m ·НОД (a , b) . Именно это свойство наибольшего общего делителя используется при нахождении НОД методом разложения на простые множители.

Определение 10

Если у чисел a и b есть общий делитель p , то НОД (a: p , b: p) = НОД (a , b) : p . В случае, когда p = НОД (a , b) получим НОД (a: НОД (a , b) , b: НОД (a , b) = 1 , следовательно, числа a: НОД (a , b) и b: НОД (a , b) являются взаимно простыми.

Поскольку a = p · (a: p) и b = p · (b: p) , то, основываясь на предыдущем свойстве, можно создать равенства вида НОД (a , b) = НОД (p · (a: p) , p · (b: p)) = p ·НОД (a: p , b: p) , среди которых и будет доказательство данного свойства. Это утверждение мы используем, когда приводим обыкновенные дроби к несократимому виду.

Определение 11

Наибольшим общим делителем a 1 , a 2 , … , a k будет число d k , которое можно найти, последовательно вычисляя НОД (a 1 , a 2) = d 2 , НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k — 1 , a k) = d k .

Это свойство полезно при нахождении наибольшего общего делителя трех и более чисел. С помощью него можно свести это действие к операциям с двумя числами. Его основой является следствие из алгоритма Евклида: если множество общих делителей a 1 , a 2 и a 3 совпадает с множеством d 2 и a 3 , то оно совпадет и с делителями d 3 . Делители чисел a 1 , a 2 , a 3 и a 4 совпадут с делителями d 3 , значит, они совпадут и с делителями d 4 , и т.д. В конце мы получим, что общие делители чисел a 1 , a 2 , … , a k совпадут с делителями d k , а поскольку наибольшим делителем числа d k будет само это число, то НОД (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .

Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Как найти наибольший общий делитель (НОД) + свойства, формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Для начала разберемся, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое целое натуральное число, на которое делится данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общими делителями будут 4 и 1. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4.

Любое число можно разделить на 1 и на само себя. Значит, у любого набора целых чисел будет как минимум два общих делителя.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и 16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

Зафиксируем все делители четырех: 4, 2, 1.

А теперь все делители шестнадцати: 16, 8, 4 и 1.

Выбираем общие: это 4, 2, 1. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, 18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, 18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые
Д (28) = 2 * 2 * 7
Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ
НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова

Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

Разложим числа 84 и 90 на простые множители:

Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:
2 * 3 = 6.

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

Разложим 15 и 28 на простые множители:

Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

Разложим оба числа на простые множители:

Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.

Перемножим общие множители:
НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

Ответ: НОД (24, 18) = 6

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

Большее число поделить на меньшее.

Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.

Первый остаток поделить на второй остаток.

Второй остаток поделить на третий и т. д.

Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

140 : 96 = 1 (остаток 44)

96 : 44 = 2 (остаток 8)

44 : 8 = 5 (остаток 4)

8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.

Найти НОД найденного делителя и третьего числа.

Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

GCF, равный 18 и 36

GCF, равный 18 и 36, — это наибольшее возможное число, которое делится на 18 и 36 ровно без остатка. Множители 18 и 36 равны 1, 2, 3, 6, 9, 18 и 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 соответственно. Существует 3 широко используемых метода нахождения GCF 18 и 36 — деление в длину, разложение на простые множители и алгоритм Евклида.

1.	GCF 18 и 36
2.	Список методов
3.	Решенные примеры
4.	Часто задаваемые вопросы

Что такое GCF 18 и 36?

Ответ: НГК 18 и 36 равно 18.

Объяснение:

НГК двух ненулевых целых чисел, x(18) и y(36), есть наибольшее натуральное число m(18) который делит и x (18), и y (36) без остатка.

Методы определения GCF 18 и 36

Давайте рассмотрим различные методы определения GCF чисел 18 и 36.

Метод длинного деления
Метод простой факторизации
Список общих факторов

GCF 18 и 36 путем длинного деления

GCF 18 и 36 — это делитель, который мы получаем, когда остаток становится равным 0 после повторного длинного деления.

Шаг 1: Разделите 36 (большее число) на 18 (меньшее число).
Шаг 2: Поскольку остаток = 0, делитель (18) равен НОД 18 и 36.

Соответствующий делитель (18) — это НОД 18 и 36.

НОД 18 и 36 с помощью простой факторизации

Простая факторизация 18 и 36 равна (2 × 3 × 3) и (2 × 2 × 3 × 3) соответственно. Как видно, числа 18 и 36 имеют общие простые делители. Следовательно, GCF чисел 18 и 36 равен 2 × 3 × 3 = 18.

GCF чисел 18 и 36 по перечислению общих коэффициентов

Факторы 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Факторы 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Существует 6 общих делителей чисел 18 и 36: 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Следовательно, наибольший общий делитель чисел 18 и 36 равен 18.

☛ Также проверьте:

GCF 15 и 20 = 5
GCF 25 и 90 = 5
GCF 26 и 65 = 13
GCF 64 и 120 = 8
GCF 25 и 35 = 5
GCF 105 и 90 = 15
GCF 12 и 72 = 12

GCF 18 и 36 Примеры

Пример 1: Произведение двух чисел равно 648. Если их GCF равен 18, какова их НОК?
Решение:
Дано: GCF = 18 и произведение чисел = 648
∵ LCM × GCF = произведение чисел
⇒ LCM = Продукт/GCF = 648/18
Следовательно, НОК равен 36.
Пример 2: Найдите наибольшее число, которое точно делит 18 и 36.
Решение:
Наибольшее число, которое точно делит 18 и 36, является их наибольшим общим делителем, т. е. НОД 18 и 36.
⇒ Множители 18 и 36:
- Множители 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Коэффициенты 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Следовательно, GCF 18 и 36 равен 18.
Пример 3: Для двух чисел GCF = 18 и LCM = 36. Если одно число равно 18, найдите другое число.
Решение:
Дано: GCF (x, 18) = 18 и НОК (x, 18) = 36
∵ GCF × LCM = 18 × (x)
⇒ x = (GCF × LCM)/18
⇒ х = (18 × 36)/18
⇒ х = 36
Следовательно, другое число равно 36.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Готовы увидеть мир глазами математика?

Математика лежит в основе всего, что мы делаем. Наслаждайтесь решением реальных математических задач на живых уроках и станьте экспертом во всем.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Часто задаваемые вопросы о GCF 18 и 36

Что такое GCF 18 и 36?

GCF 18 и 36 равен 18 . Чтобы вычислить наибольший общий множитель (НОД) чисел 18 и 36, нам нужно разложить каждое число на множители (множители 18 = 1, 2, 3, 6, 9)., 18; множители 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36) и выберите наибольший множитель, который точно делит и 18, и 36, т. е. 18.

Как найти НОД 18 и 36 с помощью простой факторизации?

Чтобы найти НОК чисел 18 и 36, мы найдем простое разложение данных чисел, т. е. 18 = 2 × 3 × 3; 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
⇒ Поскольку 2, 3, 3 являются общими членами простой факторизации 18 и 36. Следовательно, GCF(18, 36) = 2 × 3 × 3 = 18
☛ Простое число

Если GCF чисел 36 и 18 равно 18, найдите его НОК.

GCF(36, 18) × LCM(36, 18) = 36 × 18
Так как GCF 36 и 18 = 18
⇒ 18 × НОК(36, 18) = 648
Следовательно, НОК = 36
. ☛ Калькулятор наибольшего общего множителя

Как найти НОД 18 и 36 методом деления?

Чтобы найти НОД 18, 36 с помощью метода деления в длину, 36 нужно разделить на 18. Соответствующий делитель (18), когда остаток равен 0, принимается за НОД.

Каковы методы определения GCF 18 и 36?

Существует три широко используемых метода нахождения GCF 18 и 36 .

Путем простой факторизации
По алгоритму Евклида
Длинным делением

Какая связь между LCM и GCF 18, 36?

Следующее уравнение можно использовать для выражения отношения между наименьшим общим кратным и НОД 18 и 36, т. е. НОД × НОК = 18 × 36.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы 93-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Как найти GCF (наибольший общий множитель) и LCM (наименьшее общее кратное)

В этой статье вы узнаете, как вычислить наибольший общий делитель (НОК) и наименьшее общее кратное (НОК) целых чисел. Эти навыки помогают в самых разных ситуациях. Давайте посмотрим, что они из себя представляют!

Предположим, у вашей мамы есть два прямоугольных торта для вечеринки, один ванильный и один клубничный, оба одинаковой толщины. Торт со вкусом ванили имеет площадь 12 квадратных дюймов, а торт со вкусом клубники имеет площадь 20 квадратных дюймов. Ваша мама хочет разделить оба торта на кусочки так, чтобы все кусочки были одинакового размера, и оба торта были разделены поровну без оставшихся более мелких кусочков.

«Нет проблем, — говорит мама, — я просто нарежу торты на кусочки по 4 квадратных дюйма. Таким образом, у всех будет кусок одинакового размера».

Откуда ей это знать?

Дополнительная справка по GCF и LCM

Наибольший общий делитель

Прежде чем мы рассмотрим ситуацию с тортом, давайте вспомним, что такое фактора . Факторы — это числа, которые при умножении дают другое число. Обычно мы говорим о факторах парами. 1 и 8 являются делителями 8, потому что 1×8=8. Числа 4 и 2 тоже делят на 8, потому что 4×2=8.

Числа имеют уникальную простую факторизацию . Напомним, что простые числа, такие как 2, 3 и 5, можно разделить только на себя и на 1. Мы можем продолжать делить множители любого числа на составляющие его простые числа. Итак, любое число состоит из уникального набора простых чисел, перемноженных вместе. Взгляните на эти факторных дерева и на то, что они нам говорят:

Факторизация 18

Число 18 изначально разлагается двумя разными способами: 3 и 6, а также 2 и 9.. Мы видим, что простая факторизация одинакова, независимо от нашей первой пары факторов.

2 x 3 x 3 = 18. Фиолетовые круги совпадают на обоих деревьях.

Какое отношение этот имеет к двум пирожным?

Математически ваша мама подсчитала, что Наибольший общий делитель (GCF) между 12 и 20 равен 4. Другими словами, 4 — это наибольший общий множитель, который имеет оба числа. Мы можем увидеть это, взглянув на простые факторизации обоих чисел:

Синие числа являются простыми множителями обоих чисел. Чтобы найти GCF, просто определите простые множители, которые являются общими для обоих чисел, и перемножьте их.

Оба числа имеют общие простые делители 2 и 2. 2 x 2 = 4. Это объясняет, как ваша мама знала, что нужно разрезать оба торта на кусочки по 4 квадратных дюйма!

Что такое GCF 15 и 27?

В этом случае оба числа имеют только один общий делитель, 3. Решение обычно записывается как GCF (15,27) = 3,

Что такое GCF 18 и 36?

GCF (18,36) = 2 x 3 = 6.

Найдите GCF 7 и 56.

множитель другого числа. GCF (7,56) = 7.

Найдите GCF 7 и 13.

Число 1 не является простым числом, но это GCF 7 и 13, которые являются простыми числами.

GCF (7,13) = 1

Давайте ненадолго вернемся к пирожным. Ваша мама обнаружила, что:

и что GCF равен 4, поэтому она должна разделить пирожные на кусочки по 4 квадратных дюйма. Посмотрите на числа, которые не являются частью GCF:

Желтые числа говорят нам о том, что в маленьком торте 3 кусочка по 4 квадратных дюйма, а в большом торте 5 кусочков по 4 квадратных дюйма. В общей сложности 8 кусочков по 4 квадратных дюйма имеет смысл, потому что 8 × 4 = 32, что соответствует размерам торта в 12 и 20 квадратных дюймов, поскольку 12 + 20 = 32.

Предположим, 60 девочек и 48 мальчиков хотят принять участие в турнире по кикболу. Какое наибольшее количество команд можно составить с одинаковым соотношением девочек и мальчиков? Сколько девочек и мальчиков будет в каждой команде?

Можно сформировать 3 х 2 х 2 = 12 команд, в каждой по 5 девочек и 2 х 2 = 4 мальчика.

Наименее распространенное кратное

Вам очень хочется хот-догов, поэтому вы идете в магазин и покупаете пачку собак и пачку булочек. Обычно в пачке франков содержится 10 штук, а в пачке булочек — 8. Это приводит нас к одному из величайших математических затруднений нашего времени. После того, как вы съедите 8 собак, у вас останется 2, но у вас не будет булочек. Вам понадобится еще одна пачка булочек, чтобы собаки не пропали даром. Конечно, после того, как вы съедите те , будет вам 6 плюшек и ни одной собачки. Вы пойдете в магазин еще раз, и цикл продолжится.

Чтобы решить задачу о хот-догах, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) булочек и собачек. Нам нужно наименьшее число, которое делится как на количество собак в стае, так и на количество булочек в стае. Как только мы найдем это число, мы сможем выяснить, сколько упаковок каждого из них нужно купить, чтобы у нас не осталось остатков.

Давайте начнем с перечисления нескольких кратных собак и булочек:

Существует много общих кратных собак и булочек, но вы можете видеть, что НОК хот-догов и булочек равен 40. Другие общие кратные равны 80, 120 и т. д. Покупка 4 упаковок хот-догов и 5 упаковок булочек обеспечит собаку для каждой булочки. Надеюсь, ты голоден!

Здесь также можно использовать простую факторизацию. Нахождение LCM таким способом в некотором роде противоположно нахождению GCF. Для GCF нам нужны 90 191 общих 90 192 факторов. Для LCM нам нужны уникальных фактора. Если множитель встречается в обоих числах, нам нужна наибольшая мощность этого множителя. Вот оно! 9{3} = 120\). Через 120 минут, или в 10:00, в следующий раз все три поезда будут на станции одновременно.

Заключительные мысли!

При экспериментировании с множителями и кратными часто оказываются полезными GCF и LCM. Их навыки могут пригодиться для вычислений, таких как упрощение дробей. Однако, как мы видели, они расширяют наше понимание умножения и деления, подталкивая нас к истинному пониманию того, что значит для числа быть множителем или кратным, и позволяют нам разобраться в реальных ситуациях. Самое приятное то, что все, что вам нужно сделать, чтобы попрактиковаться, это выбрать несколько чисел. В основном мы практиковались с двумя одновременно, но вы можете найти GCF и LCM любой группы чисел. Дать ему шанс!

Наибольший общий делитель чисел 18 и 36

Существует множество методов, которые мы можем применить для вычисления НОД чисел 18 и 36.

В нашем первом методе мы найдем разложение чисел 18 и 36 на простые множители.

Во втором методе мы создадим список всех множителей чисел 18 и 36.

Это числа, которые делят числа 18 и 36 без остатка.

Когда они у нас есть, все, что нам нужно сделать, это найти тот, который является самым большим общим числом из 2 списков.

Теперь давайте рассмотрим каждый метод и вычислим GCF для чисел 18 и 36.

Факторизация простых чисел
Список факторов
Алгоритм Евклида
Двоичный алгоритм наибольшего общего делителя

Метод 1 — Факторизация простых чисел

При использовании метода факторизации простых чисел все, что нам нужно сделать, это найти общие простые делители чисел 18 и 36, а затем умножить их. Очень просто:

Шаг 1: Давайте создадим список всех простых множителей 18 и 36:

Простые делители числа 18:

Как вы можете видеть ниже, простые делители числа 18 равны 2, 3 и 3 .

Давайте проиллюстрируем простую факторизацию 18 в экспоненциальной форме:

18 = 2 ¹ x3 ²

Простые множители числа 36:

Давайте проиллюстрируем простую факторизацию 36 в экспоненциальной форме:

36 = 2 ² x3 ²

Шаг 2: Запишите список всех общих простых делителей чисел 18 и 36: это

2, 3 и 3 .

Шаг 3: Все, что нам нужно сделать сейчас, это перемножить эти общие простые множители:

Найти произведение всех общих простых множителей путем их умножения:

2 ¹ x3 ² = 18

Готово!

Согласно нашим вычислениям, приведенным выше, Наибольший общий делитель чисел 18 и 36 равен 18

Метод 2.

Список делителей

С помощью этого простого метода нам нужно найти все делители чисел 18 и 36. , Факторы — это числа, которые делят другое число без остатка и просто определяют общие, а затем выбирают, какое из них больше.

Шаг 1: Создайте список всех чисел, которые делят 18 и 36 без остатка:

Список факторов, которые делят 18 без остатка:

1, 2, 3, 6, 9 и 18 .

Список факторов, которые делят 36 без остатка:

1, 2, 3, 4, 9, 12, 18 и 36 .

Шаг 2: Определите наибольшее общее число из двух приведенных выше списков:

Как вы можете видеть в списках множителей сверху, для чисел 18 и 36 мы выделили число 18 , а это значит, что мы нашли Наибольший Общий Делитель, или GCF.

Согласно нашим вычислениям выше, Наибольший общий делитель 18 и 36 равен 18

Метод 3 — алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида говорит, что если число k является GCM 18 и 36, тогда число k также является НОД остатка от деления чисел 18 и 36.

Мы выполняем эту процедуру до тех пор, пока напоминание не станет равным 0.

Наибольший общий делитель — это последнее ненулевое число.

Шаг 1: Рассортируйте числа в порядке возрастания:

18, 36

Шаг 2

Выньте из набора меньшее число в порядке делителя: 18

Оставшийся набор: 33

2 Найдите напоминание о делении между числом и делителем

36 мод 18 = 0

Соберите делитель и все остатки и отсортируйте их в порядке возрастания. Удалите все дубликаты и 0. Наш набор:

Шаг 3: Возьмите оставшееся число из нашего набора

Наибольший общий делитель чисел 18 и 36 равен 18

Метод 4. Двоичный алгоритм наибольшего общего делителя наибольший общий делитель двух целых неотрицательных чисел. Алгоритм Штейна использует более простые арифметические операции, чем обычный алгоритм Евклида; он заменяет деление арифметическими сдвигами, сравнениями и вычитанием.

Хотя алгоритм в его современной форме был впервые опубликован израильским физиком и программистом Йозефом Штайном в 1967 году, он мог быть известен во II веке до н. э. в древнем Китае.

Шаг 1: Отсортируйте числа и установите начальный GCF равным 1

Список: 18, 36

Шаг 2: Все числа четные.

Разделите их все на 2 и умножьте свой GCF на 2.
Удалите дубликаты и отсортируйте.
Повторите процесс, если все числа четные:

Результирующий список: 9, 18

GCF = 1*2 = 2

Шаг 3: Разделите все оставшиеся четные значения на 2, удалите дубликаты и отсортируйте.

Повторите процесс, если в списке есть четные номера:

18/2 = 9

Получившийся список: 9

Шаг 4: Остается только одно число, 9.

Умножьте его на ваш текущий GCF:

GCF = 2*9 = 18

Наибольший общий делитель 18 и 36 равен 18

Другие наибольшие общие факторы 18

GCF 18 и 22

GCF 18 и 23

GCF 18 и 24

GCF 18 и 25

GCF 18 и 26

GCF 18 и 27.

GCF 18 и 28

GCF 18 и 29

GCF 18 и 30

GCF 18 и 31

Другие наибольшие общие факторы 36

GCF 36 и 40

GCF 36 и 41

GCF 36 и 42

GCF 36 и 43

GCF 36 и 44

GCF 36 и 45

GCF 36 и 46

GCF 36 и 47

GCF 36 и 48

GCF 36

Нахождение наибольшего общего делителя с помощью метода списка

Другой способ определить НОД: наибольший общий делитель двух чисел — это наибольший делитель, общий для обоих чисел.

Два приведенных выше определения означают одно и то же.

Не смущайтесь, если встретите другие названия наибольшего общего делителя. Все они имеют одинаковое значение. Альтернативные названия GCF:

Наибольший общий делитель, сокращенно НОД

Наибольший общий делитель, сокращенно HCF

Прежде чем продолжить, убедитесь, что вы знаете, как найти все делители число. В противном случае, пожалуйста, просмотрите мой короткий урок о том, как найти все делители числа с помощью метода радуги.

Шаг 1: Перечислите или запишите ВСЕ множители каждого числа.

Шаг 2: Определите общие факторы. Вы можете сделать это, обведя каждый общий фактор или нарисовав отрезок между ними. Это действительно зависит от вас, как вы хотите отметить общие факторы, чтобы они выделялись.

Шаг 3: После определения общих факторов выберите число, имеющее наибольшее значение. По сути, это число будет Наибольшим общим фактором (GCF).

Примеры нахождения наибольших общих делителей

ПРИМЕЧАНИЕ. Я решил сосредоточиться на нахождении НОД двух чисел, потому что это наиболее распространенные проблемы, с которыми вы столкнетесь при изучении НОД.

Пример 1 : Найдите наибольший общий делитель чисел 12 и 18.

Эта задача проста, потому что в ней используются относительно простые числа. Вы должны быть в состоянии найти все делители 12 и 18, используя метод радуги. В качестве альтернативы я перечислил все множители чисел от 1 до 100, чтобы вы могли использовать их по своему усмотрению.

Итак, вот все делители числа 12 и 18.

Факторы числа 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Факторы числа 18 : 1, 2, 3, 6, 9 , 18

Перечислив все факторы каждого числа, мы теперь определяем общие факторы. Как вы можете видеть ниже, общими делителями чисел 12 и 18 являются 1, 2, 3 и 6. Обратите внимание, что я обозначил общие делители, заключив их в «прямоугольник».

Так что же такое GCF? Очевидно, что GCF является одним из общих факторов. Общий множитель, который имеет наибольшее значение, на самом деле является Наибольшим общим множителем. Следовательно, GCF 12 и 18 равен 6. Вот и все!

Пример 2 : Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 96.

Во многих случаях в математике по мере увеличения числа возрастает и уровень сложности задачи. Да, это верно и при нахождении GCF двух больших чисел. Однако концепция или процедура никогда не меняются.

Итак, приступим. Найдем полные делители 64 и 96.

◉ Полные делители числа 64 равны 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64.

◉ Полные делители числа 96 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 и 96.

Ниже приведены списки факторов в вертикальном формате.

Следующим шагом является сравнение списков факторов. Затем нарисуйте фигуру так, чтобы общий множитель находился внутри каждой фигуры. Здесь можно творить! Обратите внимание, что на иллюстрации ниже у нас есть шесть (6) общих делителей, которые равны 1, 2, 4, 8, 16 и 32. , наибольший общий делитель 64 и 96 — это просто 32.

Пример 3 : Определите наибольший общий делитель чисел 42 и 126.

Легко торопиться с решением математической задачи, потому что вы уже знакомы с шагами ее решения. Однако рекомендуется сделать паузу или сделать шаг назад и посмотреть на проблему с более широкой точки зрения, прежде чем углубляться в процесс решения самой проблемы.

Причина в том, что процедура, которую вы уже знаете, может быть не самой эффективной по времени, потому что может быть лучший способ, то есть более короткое решение.

Давайте подойдем к этому так. Если 42 может делить 126 без остатка, то это означает, что 42 является делителем 126. Мало того, что 42 является общим делителем 42 и 126, но это также общий делитель, который имеет наибольшее значение.

Если подумать, общий делитель не может быть больше 42, потому что он не может быть больше меньшего числа из данных двух чисел.

Значит, 42 делят 126 поровну? Ответ — да! Следовательно, наибольший общий делитель (НОД) 42 и 126 равен просто 42. Готово!

Пример 4 : Чему равен GCF 71 и 223 ?

Как и в примере с #3 , не торопитесь применять шаги, которые вы уже знаете. Я не могу переоценить важность практики сдержанности при решении математических задач в целом. Отступить назад, чтобы увидеть общую картину, чрезвычайно важно, потому что это позволит вам выработать стратегию и, следовательно, разработать жизнеспособный подход к проблеме.

Итак, теперь, если вы внимательно изучите два числа, 71 и 223, вы должны легко признать, что оба они являются простыми числами. Помните, что простое число имеет ровно два множителя , которые равны 1 и самому себе. Другими словами, мы можем сказать, что простое число делится только на 1 и само на себя.

Перечисление множителей 71 и 223:

Множителей 71: 1, 71

Множителей 223: 1, 223

Мы можем заключить, что поскольку 1 является ТОЛЬКО общим множителем, отсюда следует, что 1 также должен быть наибольшим общим делителем по умолчанию. Таким образом, {\rm{gcf}}\left( {71,223} \right) = 1.

Пример 5 : Что такое GCF 72 и 84 ?

Во-первых, мы знаем, что оба числа не простые, на самом деле оба числа четные. Это означает, что у них есть общие делители, отличные от 1. Во-вторых, также очевидно, что меньшее число 72 не может разделить без остатка большее число 84. Это позволяет нам заключить, что меньшее из двух чисел, 72, , а НЕ самое большое. тоже общий фактор.

Что ж, остается только один вариант — продолжить пошаговую процедуру нахождения НГК двух чисел, описанную в первой части этого урока.

Перечисляя все множители каждого числа, мы имеем:

множители 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

множители 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

При сравнении списков множителей общие множители 72 и 84 равны 1, 2, 3 , 4, 6 и 12.

Судя по диаграмме, 12 — наибольший общий делитель 72 и 84. Готово!

Вас также может заинтересовать:

Использование простой факторизации для нахождения НОК

Поиск НОК методом списка

Использование простой факторизации для нахождения НОК

Как найти наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель — это наибольшее число, которое можно разделить точно на все заданные числа. Например, 5 — это наибольший общий делитель чисел 15 и 20. Он также известен как наибольший общий делитель или наибольший общий делитель.

Множитель — это число, которое точно делится на другое число. Например, 2 — это коэффициент 16.

Факторы часто можно записывать парами. Например, 2 × 8 = 16, поэтому 2 и 8 являются парой множителей для 16.

Наибольшее число в обоих списках — 8. Следовательно, наибольший общий делитель 16 и 24 равен 8. Это означает, что 8 — это наибольшее число, которое может делиться точно на 16 и 24.

Наибольший общий множитель используется в других разделах математики, например, в дробях. Например, чтобы упростить дробь, разделите числитель и знаменатель на их наибольший общий множитель.

Наибольший общий множитель используется для решения некоторых реальных задач. Например, один торт имеет длину 20 см, а другой — 15 см. Если оба торта нужно разрезать на более мелкие кусочки одинаковой длины, какова длина самого большого куска торта, который мы можем разрезать, не теряя торта?

Нам нужно найти кусок наибольшего размера, который входит в обе длины торта. Нам нужно найти наибольшее число, которое делится на 15 и 20. Это наибольший общий множитель.

Наибольший общий множитель 15 и 20 равен 5. Таким образом, торты нужно разрезать на кусочки по 5 см, чтобы все кусочки были одинакового размера и ни один торт не пропал.

Перечислите все факторы каждого числа в отдельных списках.
Наибольший общий делитель — это наибольшее число, общее для всех списков.

Например, мы найдем наибольший общий делитель 10 и 28.

Первым шагом является перечисление всех факторов каждого числа.

Делителями 10 являются 1, 2, 5 и 10.

Делителями числа 28 являются 1, 2, 3, 4, 6, 8, 14 и 28.

Последний шаг — найти наибольшее число, которое есть в обоих списках.

2 — это наибольшее число, которое встречается в обоих списках факторов, поэтому 2 — это самый высокий общий фактор.

При обучении поиску факторов важно помнить, что они часто входят в пары факторов. Полезно перечислять числа по порядку и одновременно записывать каждую пару.

Вот еще один пример нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.

Каков наибольший общий делитель чисел 6 и 18?

Первым шагом является перечисление всех факторов для обоих чисел.

Делители числа 6 равны 1, 2, 3 и 6.

Делителями числа 18 являются 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Следующим шагом является поиск наибольшего числа, которое есть в обоих списках факторов.

6 — самое большое число в обоих списках, поэтому 6 — это самый высокий общий делитель.

В этом примере число 6 является GCF, несмотря на то, что оно само является одним из чисел.

Если одно из чисел делится точно на все остальные числа, то это число является наибольшим общим делителем. 6 — это наибольший общий делитель 6 и 18.

6 делится точно на 6 и на 18.

Как найти наибольший общий делитель с помощью простой факторизации

Чтобы найти наибольший общий делитель с помощью простой факторизации:

Найдите простую факторизацию каждого числа с помощью факторного дерева.
Найдите все числа, которые являются общими для каждого списка простых множителей.
Перемножьте эти числа вместе, чтобы найти наибольший общий множитель.

Например, найти наибольший общий делитель чисел 16 и 20.

Первый шаг — найти простую факторизацию каждого числа с помощью факторного дерева.

16 = 2 × 2 × 2 × 2 и 20 = 2 × 2 × 5.

Следующий шаг — найти все числа, общие для каждого списка простых множителей.

2 × 2 является общим для обоих списков.

Последний шаг — перемножить эти общие числа, чтобы найти наибольший общий множитель.

2 × 2 = 4, значит, 4 — это НОК.

Это означает, что 4 — это наибольшее число, которое делится как на 16, так и на 20.

Вот еще один пример нахождения старшего общего делителя с помощью простой факторизации.

Каков наибольший общий делитель чисел 27 и 36?

Первый шаг — найти простую факторизацию обоих чисел.

27 можно записать как 3 × 9. Число 3 простое и обведено. Девятку можно записать как 3 × 3. Обе эти тройки также можно обвести.

Число записывается в виде перемножения обведенных чисел на дереве простых множителей.

27 = 3 × 3 × 3.

36 можно записать как 6 × 6. Каждую 6 можно записать как 2 × 3. И 2, и 3 простые, поэтому их можно обвести.

36 = 2 × 2 × 3 × 3.

Следующий шаг — найти числа, общие для обоих списков простых множителей.

3 × 3 есть в обоих списках. В числе 27 перемножаются три тройки, но в числе 36 перемножаются только две тройки. Поэтому мы берем только 3 × 3, а не 3 × 3 × 3.

Последний шаг — перемножить эти числа вместе, чтобы найти наибольший общий множитель.

3 × 3 = 9, поэтому 9 — это HCF 27 и 36. Это означает, что 9 — это наибольшее число, которое можно разделить точно на 27 и 36.

Наибольший общий делитель трех чисел

Чтобы найти наибольший общий делитель 3 чисел, перечислите все делители каждого числа в 3 отдельных списках. Затем умножьте все числа, которые являются общими для всех 3 списков.

Например, найдите наибольший общий делитель трех чисел 12, 18 и 30.

Это значит найти наибольшее число, которое делится точно на все три числа.

Есть два метода, которые мы можем использовать, чтобы найти наибольший общий делитель трех чисел. Первый метод заключается в нахождении наибольшего общего числа из их списка факторов. Второй метод состоит в том, чтобы сделать простую факторизацию каждого из чисел и умножить числа, общие для каждой простой факторизации.

HCF из 3 номеров: метод 1

Первым шагом является перечисление всех факторов каждого числа.

Делителями 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Делителями числа 18 являются 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Делителями 30 являются 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30.

Следующий шаг — найти наибольшее число, общее для всех списков факторов.

6 является наибольшим числом в списках множителей всех трех чисел, поэтому 6 является наибольшим общим множителем.

Это означает, что 6 — это наибольшее число, которое делится точно на 12, 18 и 30.

HCF из 3 номеров: метод 2

Первый шаг — найти простую факторизацию каждого числа с помощью дерева простых множителей.

12 можно записать как 2 × 2 × 3.

18 можно записать как 2 × 3 × 3.

30 можно записать как 2 × 3 × 5.

Следующий шаг — найти числа, общие для всех списков простой факторизации.

У нас 2×3.

Последний шаг — умножить эти числа, чтобы найти наибольший общий множитель.

2 × 3 = 6, значит, 6 — это наибольший общий делитель чисел 12, 18 и 30.

При введении старшего общего множителя самым простым методом обучения является метод перечисления множителей и поиска наибольшего числа в каждом списке. Это потому, что вам нужно знать только базовое деление, чтобы найти множители.

Нахождение наибольшего общего множителя с помощью факторизации простых чисел является более надежным методом обучения с большими числами, но требует понимания простых чисел и деревьев простых множителей.

1. разложите на простые множители число 546.

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: 1) 4и10; 2) 6и14; 3) 8и12; 4) 15и18; 5) 20и24; 6) 26и39.

Выполните задания:

Найдите наибольший общий делитель и наименьший общее кратное чисел:

Найдите наименьший общее кратное чисел 108 120

Наименьшее общее кратное двух чисел равно 360, а наибольший общий делитель 18.

Найдите наибольший общий делитель и наименьшие общие кратное чисел а) 18 и 36 б)33 и 64 в),378 и 441 г) 11340 37800.

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 675 и 945.

Наибольший общий делитель равен наименьшему общему кратному » задачи

Найдите наибольший общий делитель чисел

Найдите наибольший общий делитель чисел 12 24,75и45,4725и7875,6и9,81и243

найдите наибольший общий делитель — нод(120;144;324)

Разложив данные числа на простые множители, найдите наибольший общий делитель 1)12 и 16 2) 21 и 98 3)42 и 56 4)36 и 90 5)130 и 78 6)110 и 154 7)27,54 и 81 8)18,120 и 138 9)11,22 и 444

Найдите наибольший общий делитель чисел: а)12 и 20, б)27 и 72, в)60 и 64, г)96 и 36, д)360 и 840, е)84 и 112

Найдите наибольший общий делитель 48 и 12.

Найдите наибольший общий делитель чисел: 1)12 и 32 2)14 и 42 3)68 и 102 4)360 и 366 5) 32,96 и 112

Найдите наибольший общий делитель чисел:

Выпишите все делители заданных чисел, подчеркните их общие делители и найдите наибольший общий делитель:

Найдите наибольший общий делитель чисел способом перебора делителей : 12 и 32 32 и 42 35 и 60 36 и 63 30 и 45 27 и 54 42 и 56 80 и 32 39 и 65

Делители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное презентация, доклад

Определение наибольшего общего делителя

Как найти наибольший общий делитель

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

Наибольший общий делитель (НОД), свойства.

Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).

Определение НОК

Свойства НОД и НОК

Что такое общие делители

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Основные свойства НОД и алгоритм Евклида

Как найти наибольший общий делитель (НОД) + свойства, формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Способы нахождения наибольшего общего делителя

1. Разложение на множители

2. Алгоритм Евклида

Свойства наибольшего общего делителя

GCF, равный 18 и 36

Что такое GCF 18 и 36?

Методы определения GCF 18 и 36

GCF 18 и 36 путем длинного деления

НОД 18 и 36 с помощью простой факторизации

GCF чисел 18 и 36 по перечислению общих коэффициентов

GCF 18 и 36 Примеры

Часто задаваемые вопросы о GCF 18 и 36

Что такое GCF 18 и 36?

Как найти НОД 18 и 36 с помощью простой факторизации?

Если GCF чисел 36 и 18 равно 18, найдите его НОК.

Как найти НОД 18 и 36 методом деления?

Каковы методы определения GCF 18 и 36?

Какая связь между LCM и GCF 18, 36?

Как найти GCF (наибольший общий множитель) и LCM (наименьшее общее кратное)

Наибольший общий делитель чисел 18 и 36

Метод 1 — Факторизация простых чисел

Шаг 1: Давайте создадим список всех простых множителей 18 и 36:

Простые делители числа 18:

Простые множители числа 36:

Шаг 2: Запишите список всех общих простых делителей чисел 18 и 36: это

Шаг 3: Все, что нам нужно сделать сейчас, это перемножить эти общие простые множители:

Готово!

Метод 2.

Шаг 1: Создайте список всех чисел, которые делят 18 и 36 без остатка:

Шаг 2: Определите наибольшее общее число из двух приведенных выше списков:

Метод 3 — алгоритм Евклида

Шаг 1: Рассортируйте числа в порядке возрастания:

Шаг 2

2 Найдите напоминание о делении между числом и делителем

Шаг 3: Возьмите оставшееся число из нашего набора

Шаг 1: Отсортируйте числа и установите начальный GCF равным 1

Шаг 2: Все числа четные.

Шаг 3: Разделите все оставшиеся четные значения на 2, удалите дубликаты и отсортируйте.

Шаг 4: Остается только одно число, 9.

Другие наибольшие общие факторы 18

Другие наибольшие общие факторы 36

Нахождение наибольшего общего делителя с помощью метода списка

Примеры нахождения наибольших общих делителей

Как найти наибольший общий делитель

Как найти наибольший общий делитель с помощью простой факторизации

Наибольший общий делитель трех чисел

HCF из 3 номеров: метод 1