Найти интервал сходимости степенного ряда онлайн: Радиус сходимости степенного ряда онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Содержание

Радиус и область сходимости ряда

Степенные и функциональные ряды могут быть сходящимися на множестве действительных чисел, на определенном интервале, или быть расходящимися. Установка радиуса сходимости и области сходимости ряда является важным при исследовании рядов. Радиус сходимости равный половине ширины области сходимости. На практике обе характеристики найти не трудно и Вы в этом скоро убедитесь.

Пример: 3.6 Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов:
а)
Вычисления: Для оценки сходимости ряда составим ряд с модулей членов заданного ряда, то есть ряд с последующим общим членом

Далее, исходя с того что полученный ряд имеет положительные члены - исследовать его на сходимость будем с помощью признака Даламбера:

Для этого выписываем следующий после общего член ряда

и подставляем в формулу предела. Вид членов ряда непрост, поэтому будьте внимательны при упрощении предела


Наконец приходим к экспоненте и функциональному множителю.
Если граница меньше единицы

то ряд сходится по теореме Даламбера, причем абсолютно.

Отсюда составляем ограничения на допустимые "иксы"

- область сходимости ряда.
Итак, ми нашли - радиус сходимости и
- область сходимости ряда в виде интервала.
Для себя запомните, что радиус сходимости функционального ряда равен половине расстояния между крайними точками области сходимости.
б)
Вычисления: Составим ряд из модулей членов заданного ряда, то есть с общим членом

Нетрудно видеть что такой прием позволяет получить ряд с положительными членами и при этом исследовать его на сходимость с помощью признака Даламбера.
Для предела нам еще нужен следующий член ряда

Подставляем члены ряда в предел и вычисляем

При пределе меньшей единицы - ряд убывает за Даламбером.
Из этого условия находим
- область сходимости в виде ограничений переменной.
В итоге мы нашли R=4 - радиус сходимости ряда и его область сходимости

Пример: 3. 11 Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда:
а)
Вычисления: Члены заданного функционального ряда

определены на всей действительной оси, то есть область определения следующая


Составляем ряд из модулей членов заданного ряда

Его общий член может бить выражен формулой

Поскольку новый ряд имеет положительные члены - исследуем на сходимость по Даламберу:

При - ряд совпадает по теореме Даламбера, то есть необходимо, чтобы выполнялись условия

Отсюда находим R = 2 - радиус сходимости ряда и (0; 4) - область сходимости.
б)

Вычисления: Члены заданного функционального ряда

определены для всех действительных переменных то есть область определения следующая

Составим ряд из модулей членов заданного ряда

Снова применяем признак Даламбера для исследования ряда на сходимость

За Даламбером при пределе меньше единицы - ряд убывает.
Отсюда находим область сходимости

и R=1/3 радиус сходимости. Из приведенных примеров
Вы могли увидеть такую закономерность что значение которое ограничивает модуль с переменной и является радиусом сходимости ряда.
Область сходимости имеет в два раза большую длину и определяется раскрытием модуля.

Пример: 3.17 Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов:
а)
Вычисления: Члены функционального ряда

определены при то есть
Составим ряд из модулей членов заданного ряда

то есть

Исследуем его на сходимость по признаку Даламбера. Выписываем следующий после общего члена ряда

и подставляем в предел

При 3|x|<1 - ряд убывает,
отсюда находим
– область сходимости ряда.
Все что находится справа от модуля это R = 1/3 - радиус сходимости ряда, а ограничения на "икс"
– это область сходимости.
б)
Вычисления: Члены функционального ряда

определены на всей действительной прямой , их область определения имеет вид .
По схеме составляем ряд из модулей членов заданного ряда

и получаем ряд со следующим общим членом

Образованный ряд будем анализировать на сходимость по признаку Даламбера
Выписываем следующий член ряда

и подставляем в предел

При 2|x|<1- ряд будет сходящимся.
Раскрываем модуль и находим
- область сходимости и R=1/2 – радиус сходимости.

В виде интервала записываем область сходимости ряда

Пример: 3.27 Найти радиус сходимости и область сходимости степенного ряда
а)
Вычисления: Члены функционального ряда определены на действительной оси
Сначала составим ряд из модулей членов этого ряда

Общий член задается формулой

Исследуем ряд с модулей на сходимость по признаку Даламбера:
Находим предел отношения следующего члена ряда общему

Поскольку A=0<1 то ряд сходится при всех действительных переменных, то есть имеет неограниченную - область сходимости.
Ряд имеет бесконечный радиус сходимости.
б)
Вычисления: Члены ряда определены на множестве действительных чисел

Построим ряд с модулей членов ряда:

Далее записываем общий и следующий после него члены ряда

и подставляем в предел

По теореме Даламбера ряд сходится при
3|x|<1. Из этого условия определяем
- область сходимости ряда
и R=1/3 – радиус сходимости.
В виде интервала записываем в ответ область сходимости

Теперь Вы знаете как найти область сходимости и радиус сходимости ряда. Пользуйтесь приведенными формулами и успешной Вам сдачи сессии.

Найти радиус и область сходимости степенного ряда. Примеры решения задач онлайн

Функциональным рядом называется ряд вида:

где  – функции, определенные на некотором множестве .

Множество  всех точек сходимости ряда (*) называется его областью сходимости.

В области сходимости   определены функции:

( n-я частичная сумма ряда)

(сумма ряда)

(остаток ряда)

Ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Из всех функциональных рядов наиболее часто применяют степенные ряды, которыми называют ряды вида

Действительные числа  называют коэффициентами ряда.

Неотрицательное число , такое, что ряд (**) сходится в интервале  и расходится вне этого интервала, называется радиусом сходимости этого ряда, а интервал  – интервалом сходимости ряда.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам:

или

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда при всех значениях  из интервала сходимости есть непрерывная функция.


2. Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то есть:


3. Степенной ряд можно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в интервале сходимости, причем:

Задача

Найдите область сходимости степенного ряда:

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле:

В нашем случае:

Интервал сходимости:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала:

При

Это знакопеременный ряд.

 -абсолютные величины членов ряда монотонно убывают

По признаку Лейбница ряд сходится

При

Это ряд Дирихле - сходится, так как показатель степени в знаменателе больше единицы

Область сходимости:

Ответ: .

Исследовать сходимость степенного ряда онлайн с решением. Функциональные ряды область сходимости равномерная сходимость признак вейерштрасса свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Равномерная сходимость функционального ряда и её свойства

– возможно, сложное окажется не таким уж и сложным;) Да и заголовок этой статьи тоже лукавит – ряды, о которых сегодня пойдёт речь, скорее, не сложные, а «редкоземельные».

Однако от них не застрахованы даже студенты-заочники, и поэтому к данному, казалось бы, дополнительному занятию следует отнестись с максимальной серьёзностью. Ведь после его проработки вы сможете расправиться практически с любым «зверем»!

Начнём с классики жанра:

Пример 1

Во-первых, обратим внимание, что это НЕ степенной ряд (напоминаю, что оный имеет вид ) . И, во-вторых, здесь сразу бросается в глаза значение , которое заведомо не может входить в область сходимости ряда. И это уже маленький успех исследования!

Но всё-таки, как прийти к успеху большому? Спешу вас обрадовать – подобные ряды можно решать точно так же, как и степенные – опираясь на признак Даламбера или радикальный признак Коши!

Решение : значение не входит в область сходимости ряда. Это факт существенный, и его нужно обязательно отметить!

Основой же алгоритм работает стандартно. Используя признак Даламбера, найдём интервал сходимости ряда:

Ряд сходится при .

Поднимем модуль наверх:

Сразу проконтролируем «нехорошую» точку: значение не вошло в область сходимости ряда.

Исследуем сходимость ряда на «внутренних» концах интервалов:
если , то
если , то

Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости .

Ответ : область сходимости:

Выполним небольшую аналитическую проверку. Давайте подставим в функциональный ряд какое-нибудь значение из правого интервала, например, :
– сходится по признаку Даламбера .

В случае подстановки значений из левого интервала тоже получаются сходящиеся ряды:
если , то .

И, наконец, если , то ряд – действительно расходится.

Пара простеньких примера для разогрева:

Пример 2

Найти область сходимости функционального ряда

Пример 3

Найти область сходимости функционального ряда

Особенно хорошо разберитесь с «новым» модулем – он сегодня встретится 100500 раз!

Краткие решения и ответы в конце урока.

Использованные алгоритмы вроде бы универсальны и безотказны, но на самом деле это не так – для многих функциональных рядов они часто «пробуксовывают», а то и приводят к ошибочным выводам (и такие примеры я тоже рассмотрю) .

Шероховатости начинаются уже на уровне интерпретации результатов: рассмотрим, например, ряд . Здесь в пределе получаем (проверьте самостоятельно) , и по идее нужно дать ответ, что ряд сходится в единственной точке. Однако, точка «заиграна», а значит, наш «пациент» расходится вообще всюду!

А для ряда «очевидное» решение «по Коши» вообще ничего не даёт:
– для ЛЮБОГО значения «икс».

И возникает вопрос, что же делать? Используем метод, которому как раз будет посвящена основная часть урока! Его можно сформулировать следующим образом:

Прямой анализ числовых рядов при различных значениях

Фактически мы уже начали этим заниматься в Примере 1. Сначала исследуем какое-нибудь конкретное «икс» и соответствующий числовой ряд. Напрашивается взять значение :
– полученный числовой ряд расходится.

И это сразу наталкивает на мысль: а что, если то же самое происходит и в других точках?
Проверим-ка необходимый признак сходимости ряда для произвольного значения :

Точка учтена выше, для всех же остальных «икс» стандартным приёмом организуем второй замечательный предел :

Вывод : ряд расходится на всей числовой прямой

И это решение – самый что ни на есть рабочий вариант!

На практике функциональный ряд часто приходится сопоставлять с обобщённым гармоническим рядом :

Пример 4

Решение : прежде всего, разбираемся с областью определения : в данном случае подкоренное выражение должно быть строго положительным, и, кроме того, должны существовать все члены ряда, начиная с 1-го. Из этого следует то, что:
. При этих значениях получаются условно сходящиеся ряды :
и т.д.

Другие же «икс» не годятся, так, например, при мы получим нелегальный случай , где не существует первых двух членов ряда.

Это всё хорошо, это всё понятно, но остаётся ещё один немаловажный вопрос – как грамотно оформить решение? Я предлагаю схему, которую можно жаргонно назвать «перевод стрелок» на числовые ряды :

Рассмотрим произвольное значение и исследуем сходимость числового ряда . Рутинный признак Лейбница :

1) Данный ряд является знакочередующимся.

2) – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится по признаку Лейбница. Как уже отмечалось, сходимость тут условная – по той причине, что ряд – расходится.

Вот так вот – аккуратно и корректно! Ибо за «альфой» мы хитро спрятали все допустимые числовые ряды.

Ответ : функциональный ряд существует и сходится условно при .

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Исследовать сходимость функционального ряда

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Вот тебе и «рабочая гипотеза»! – на интервале функциональный ряд сходится!

2) С симметричным интервалом всё прозрачно, рассматриваем произвольные значения и получаем: – абсолютно сходящиеся числовые ряды.

3) И, наконец, «серединка» . Здесь тоже удобно выделить два промежутка.

Рассматриваем произвольное значение из интервала и получаем числовой ряд:

! Опять же – если трудно , подставляйте какое-нибудь конкретное число, например . Впрочем,… вы же хотели трудностей =)

Для всех значений «эн» выполнено , значит:
– таким образом, по признаку сравнения ряд сходится вместе с бесконечно убывающей прогрессией .

Для всех значений «икс» из интервала получаем – абсолютно сходящиеся числовые ряды.

Все «иксы» исследованы, «иксов» больше нет!

Ответ : область сходимости ряда:

Надо сказать, неожиданный результат! И ещё следует добавить, что использование признаков Даламбера или Коши здесь однозначно введёт в заблуждение!

Прямая оценка – это «высший пилотаж» математического анализа, но для этого, конечно, требуется опыт, а где-то даже и интуиция.

А может быть кто-то найдёт путь проще? Пишите! Прецеденты, кстати, есть – несколько раз читатели предлагали более рациональные решения, и я с удовольствием их публиковал.

Успешного вам приземления:)

Пример 11

Найти область сходимости функционального ряда

Моя версия решения совсем близко.

Дополнительный хардкор можно найти в Разделе VI (Ряды) сборника Кузнецова (Задачи 11-13). В Интернете есть готовые решения , но здесь я должен вас предостеречь – многие из них неполные, некорректные, а то и вообще ошибочные. И, к слову, это была одна из причин, по которой появилась на свет данная статья.

Давайте подведём итоги трёх уроков и систематизируем наш инструментарий. Итак:

Чтобы найти интервал(ы) сходимости функционального ряда, можно использовать :

1) Признак Даламбера или признак Коши . И если ряд не степенной – проявляем повышенную осторожность, анализируя полученный результат прямой подстановкой различных значений .

2) Признак равномерной сходимости Вейерштрасса . Не забываем!

3) Сопоставление с типовыми числовыми рядами – рулит в общем случае.

После чего исследуем концы найденных интервалов (если нужно) и получаем область сходимости ряда.

Теперь в вашем распоряжении довольно-таки серьёзный арсенал, который позволит справиться практически с любым тематическим заданием.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : значение не входит в область сходимости ряда.
Используем признак Даламбера:


Ряд сходится при:

Таким образом, интервалы сходимости функционального ряда: .
Исследуем сходимость ряда в конечных точках:
если , то ;
если , то .
Оба числовых ряда расходятся, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Ответ : область сходимости:

Тема 2. Функциональные ряды. Степенные ряды

2.1. Функциональные ряды

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа. Перейдем теперь к изучению рядов, членами которых являются функции.

Функциональным рядом называется ряд

членами которого являются функции одного и того же аргумента, определенные на одном множестве Е.

Например,

1.
;

2.
;

Если придать аргументу х некоторое числовое значение
,
, то получим числовой ряд

который может сходиться (сходиться абсолютно) или расходиться.

Если при
полученный числовой ряд сходится, то точка
называется точкой сходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Обозначим область сходимости Х , очевидно,
.

Если для числовых знакоположительных рядов ставится вопрос: «Сходится ряд или расходится?», для знакопеременных – вопрос: «Сходится как – условно или абсолютно,– или расходится?», то для функционального ряда основной вопрос звучит так: «Сходится (сходится абсолютно) при каких х ?».

Функциональный ряд
устанавливает закон, по которому каждому значению аргумента
,
, ставится в соответствие число, равное сумме числового ряда
. Таким образом, на множестве Х задается функция
, которая называется суммой функционального ряда .

Пример 16.

Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение.

Пусть х – фиксированное число, тогда данный ряд можно рассматривать как числовой ряд, знакоположительный при
и знакопеременный при
.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

т.е для любого значения х этот предел меньше единицы, значит данный ряд сходится, причем абсолютно (так как исследовали ряд из абсолютных величин членов ряда) на всей числовой оси.

Таким образом, областью абсолютной сходимости является множество
.

Пример 17.

Найти область сходимости функционального ряда
.

Решение.

Пусть х – фиксированное число,
, тогда данный ряд можно рассматривать, как числовой ряд, знакоположительный при
и знакопеременный при
.

Рассмотрим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

и применим к нему признак ДАламбера.

По признаку ДАламбера ряд сходится, если величина предела меньше единицы, т.е. данный ряд будет сходиться, если
.

Решив это неравенство, получим:


.

Таким образом, при , ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, значит, исходный ряд сходится абсолютно, а при
данный ряд расходится.

При
ряд может сходится или расходится, так как при этих значениях х величина предела равна единицы. Поэтому дополнительно исследуем сходимость ряда точках
и
.

Подставляя в данный ряд
, получим числовой ряд
, про который известно, что он является гармоническим расходящимся рядом, значит, точка
– точка расходимости заданного ряда.

При
получается знакочередующийся числовой ряд

про который известно, что он сходится условно (смотри пример 15), значит, точка
– точка условной сходимости ряда.

Таким образом, область сходимости данного ряда , причем ряд сходится абсолютно при .

Функциональный ряд

называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся знакоположительный ряд

,

что для всех х из данной области выполняется условие
при
. Ряд
называется
мажорантой.

Иначе говоря, ряд является мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося знакоположительного ряда.

Например, ряд

является мажорируемым для любого х , так как для всех х выполняется соотношение

при
,

а ряд , как известно, является сходящимся.

Теорема Вейерштрасса

Ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится в этой области.

Рассмотрим для примера функциональный ряд
. Этот ряд является мажорируемым при
, так как при
члены ряда не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда . Следовательно, по теореме Вейерштрасса, рассмотренный функциональный ряд абсолютно сходится при
.

2.2. Степенной ряд. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда

Среди всего многообразия функциональных рядов наиболее важными с точки зрения практического применения являются степенные и тригонометрические ряды. Рассмотрим такие ряды подробнее.

Степенным рядом по степеням
называется функциональный ряд вида

где – некоторое фиксированное число,
– числа, называемые коэффициентами ряда.

При
получаем степенной ряд по степеням х , который имеет вид

.

Для простоты будем рассматривать степенные ряды по степеням х , так как из такого ряда легко получить ряд по степеням
, подставив вместо х выражение
.

Простота и важность класса степенных рядов обусловлены в первую очередь тем, что частичная сумма степенного ряда

является многочленом – функцией, свойства которой хорошо изучены и значения которой легко вычисляются с помощью только арифметический операций.

Поскольку степенные ряды являются частным случаем функционального ряда, то для них так же необходимо находить область сходимости. В отличие от области сходимости произвольного функционального ряда, которая может быть множеством произвольного вида, область сходимости степенного ряда имеет вполне определенный вид. Об этом говорит следующая теорема.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд
сходится при некотором значении
, то он сходится, причем абсолютно, при всех значениях х, удовлетворяющих условию
. Если степенной ряд расходится при некотором значении
, то он расходится и при значения, удовлетворяющих условию
.

Из теоремы Абеля следует, что все точки сходимости степенного ряда по степеням х расположены от начала координат не далее, чем любая из точек расходимости. Очевидно, что точки сходимости заполняют некоторый промежуток с центром в начале координат. справедлива теорема об области сходимости степенного ряда.

Теорема.

Для всякого степенного ряда
существует число
R (R >0) такое, что при всех х, лежащих внутри интервала
, ряд сходится абсолютно и при всех х, лежащих вне интервала
, ряд расходится.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал
интервалом сходимости степенного ряда по степеням х.

Заметим, что в теореме ничего не говорится о сходимости ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках
. В этих точках различные степенные ряды ведут себя по-разному: ряд может сходиться (абсолютно или условно), а может расходиться. Поэтому сходимость ряда в этих точках следует проверять непосредственно по определению.

В частных случаях радиус сходимости ряда может быть равен нулю или бесконечности. Если
, то степенной ряд по степеням х сходится лишь в одной точке
; если же
, то степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Еще раз обратим внимание на то, что степенной ряд
по степеням
может быть сведен к степенному ряду
с помощью замены
. Если ряд
сходится при
, т.е. для
, то после обратной замены получим

 или
.

Таким образом, интервал сходимости степенного ряда
имеет вид
. Точку называют центром сходимости . Для наглядности принято интервал сходимости изображать на числовой оси (рисунок 1)

Таким образом, область сходимости состоит из интервала сходимости, к которому могут быть добавлены точки
, если в этих точках ряд сходится. Интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак ДАламбера или радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов данного ряда.

Пример 18.

Найти область сходимости ряда
.

Решение.

Данный ряд является степенным рядом по степеням х , т.е.
. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, и воспользуемся признаком ДАламбера.

Ряд будет сходиться, если величина предела меньше 1, т.е.

, откуда
.

Таким образом, интервал сходимости данного ряда
, радиус сходимости
.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала, в точках
. Подставляя в данный ряд значение
, получим ряд

.

Полученный ряд является гармоническим расходящимся рядом, следовательно, в точке
ряд расходится, значит, точка
не входит в область сходимости.

При
получим знакочередующийся ряд

,

который является условно сходящимся (пример 15), следовательно, точка
точка сходимости (условной).

Таким образом, область сходимости ряда
, причем в точке
ряд сходится условно, а в остальных точках - абсолютно.

Рассуждениям, использованным при решении примера, можно придать общий характер.

Рассмотрим степенной ряд

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда и применим к нему признак Д"Аламбера.

Если существует (конечный или бесконечный) предел, то по условию сходимости признака Д"Аламбера ряд будет сходиться, если

,

,

.

Отсюда из определения интервала и радиуса сходимости имеем

Применяя радикальный признак Коши и рассуждая аналогично, можно получить еще одну формулу для нахождения радиуса сходимости


Решение.

Ряд является степенным по степеням х. Для нахождения интервала сходимости вычислим радиус сходимости по приведенной выше формуле. Для данного ряда формула числового коэффициента имеет вид

, тогда

Следовательно,

Так как R = , то ряд сходится (причем абсолютно) при всех значения х, т.е. область сходимости х  (–; +).

Заметим, что можно было бы найти область сходимости без использования формул, а применяя непосредственно признак Д" Аламбера:

Так как величина предела не зависит от х и меньше 1, то, значит, ряд сходится при всех значениях х, т.е. при х (-;+).

Пример 20

Найти область сходимости ряда

1!(х +5)+2!(х + 5) 2 +3!(х + 5) 3 +... + п !(х + 5) п +...

Решение .

х + 5), т.е. центр сходимости х 0 = - 5. Числовой коэффициент ряда а п = п !.

Найдем радиус сходимости ряда

.

Таким образом, интервал сходимости состоит из одной точки – центра интервала сходимости х = - 5.

Пример 21

Найти область сходимости ряда
.

Решение.

Данный ряд является степенным рядом по степеням (х –2), т.е.

центр сходимости х 0 = 2. Заметим, что ряд является знакоположительным при любом фиксированном х, так как выражение (х- 2) возводится в степень 2п. Применим к ряду радикальный признак Коши.

Ряд будет сходиться, если величина предела меньше 1, т.е.

,
,
,

значит, радиус сходимости
, тогда интеграл сходимости

,
.

Таким образом, ряд сходится абсолютно при х
. Обратим внимание, что интеграл сходимости симметричен относительно центра сходимости х о = 2.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Полагая
, получим числовой знакоположительный ряд

Воспользуемся необходимым признаком сходимости:

следовательно, числовой ряд расходится, и точка
является точкой расходимости. Заметим, что при вычислении предела использовали второй замечательный предел.

Полагая
, получим тот же числовой ряд (проверить самостоятельно!), значит, точка
также не входит в интервал сходимости.

Итак, область абсолютной сходимости данного ряда х
.

2.3. Свойства сходящихся степенных рядов

Мы знаем, что конечная сумма непрерывных функций непрерывна; сумма дифференцируемых функций дифференцируема, причем производная суммы равна сумме производных; конечную сумму можно интегрировать почленно.

Оказывается, для «бесконечных сумм» функций – функциональных рядов в общем случае свойства не имеют места.

Например, рассмотрим функциональный ряд

Очевидно, что все члены ряда – непрерывные функции. Найдем область сходимости этого ряда и его сумму. Для этого найдем частичные суммы ряда

тогда сумма ряда

Таким образом, сумма S (х ) данного ряда, как предел последовательности частичных сумм, существует и конечна при х  (-1;1), значит, этот промежуток является областью сходимости ряда. При этом его сумма является разрывной функцией, так как

Итак, этот пример показывает, что в общем случае свойства конечных сумм не имеют аналога для бесконечных сумм – рядов. Однако для частного случая функциональных рядов – степенных рядов – свойства суммы аналогичны свойствам конечных сумм.

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. Лекция № 42 5

Лекция 42

ТЕМА: Функциональные ряды

План.

  1. Функциональные ряды. Область сходимости.
  2. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
  3. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование.
  4. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
  5. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Функциональные ряды. Область сходимости

Определение 40.1 . Бесконечная сумма функций

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

где u n (x ) = f (x , n ), называется функциональным рядом .

Если задать конкретное числовое значение х , ряд (40.1) превратится в числовой ряд, причем в зависимости от выбора значения х такой ряд может сходиться или расходиться. Практическую ценность представляют только сходящиеся ряды, поэтому важно определить те значения х , при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом.

Определение 40.2 . Множество значений х , при подстановке которых в функциональный ряд (40.1) получается сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.

Определение 40.3. Функция s (x ), определенная в области сходимости ряда, которая для каждого значения х из области сходимости равна сумме соответствующего числового ряда, полученного из (40.1) при данном значении х , называется суммой функционального ряда .

Пример. Найдем область сходимости и сумму функционального ряда

1 + х + х ² +…+ x n +…

При | x | ≥ 1 поэтому соответствующие числовые ряды расходятся. Если же

| x |

Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-1, 1), а его сумма имеет указанный вид.

Замечание . Так же, как для числовых рядов, можно ввести понятия частичной суммы функционального ряда:

s n = 1 + х + х ² +…+ x n

и остатка ряда: r n = s – s n .

Равномерная сходимость функционального ряда

Определим вначале понятие равномерной сходимости числовой последовательности.

Определение 40.4. Функциональная последовательность f n (x ) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве Х , если и

Замечание 1. Будем обозначать обычную сходимость функциональной последователь-ности а равномерную сходимость - .

Замечание 2 . Отметим еще раз принципиальное отличие равномерной сходимости от обычной: в случае обычной сходимости при выбранном значении ε для каждого существует свой номер N , для которого при n > N выполняется неравенство:

При этом может оказаться, что подобрать для данного ε общий номер

N , обеспечивающий выполнение этого неравенства для любого х , невозможно. В случае же равномерной сходимости такой номер N , общий для всех х , существует.

Определим теперь понятие равномерной сходимости функционального ряда. Поскольку каждому ряду соответствует последовательность его частичных сумм, равномерная сходимость ряда определяется через равномерную сходимость этой последовательности:

Определение 40.5. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве Х , если на Х равномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Признак Вейерштрасса

Теорема 40.1. Если числовой ряд сходится и для всех и для всех п = 1, 2,… выполняется неравенство то ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве Х.

Доказательство.

Для любого ε > 0 c уществует такой номер N , что поэтому и

Для остатков r n ряда справедлива оценка

Следовательно, поэтому ряд равномерно сходится.

Замечание. Процедура подбора числового ряда, отвечающего условиям теоремы 40.1, обычно называется мажорированием , а сам этот ряд – мажорантой для данного функционального ряда.

Пример. Для функционального ряда мажорантой при любом значении х является сходящийся знакоположительный ряд. Поэтому исходный ряд равно-мерно сходится на (-∞, +∞).

Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 40.2. Если функции u n (x ) непрерывны при и ряд равномерно сходится на Х , то его сумма s (x ) тоже непрерывна в точке х 0 .

Доказательство.

Выберем ε > 0. Тогда, поэтому существует такой номер п 0 , что

- сумма конечного числа непрерывных функций, поэтому непрерывна в точке х 0 . Поэтому существует такое δ > 0, что Тогда получаем:

То есть функция s (x ) непрерывна при х = х 0 .

Теорема 40.3. Пусть функции u n (x ) непрерывны на отрезке [ a , b ] и ряд равно-мерно сходится на этом отрезке. Тогда ряд тоже равномерно сходится на [ a , b ] и (40.2)

(то есть в условиях теоремы ряд можно почленно интегрировать).

Доказательство.

По теореме 40.2 функция s (x ) = непрерывна на [ a , b ] и, следовательно, интегрируема на нем, то есть интеграл, стоящий в левой части равенства (40.2), существует. Покажем, что ряд равномерно сходится к функции

Обозначим

Тогда для любого ε найдется такой номер N , что при n > N

Значит, ряд равномерно сходится, и его сумма равна σ (х ) = .

Теорема доказана.

Теорема 40.4. Пусть функции u n (x ) непрерывно дифференцируемы на отрезке [ a , b ] и ряд, составленный из их производных:

(40.3)

равномерно сходится на [ a , b ]. Тогда, если ряд сходится хотя бы в одной точке, то он сходится равномерно на всем [ a , b ], его сумма s (x )= является непрерывно дифференцируемой функцией и

(ряд можно почленно дифференцировать).

Доказательство.

Определим функцию σ(х ) как. По теореме 40.3 ряд (40.3) можно почленно интегрировать:

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, равномерно сходится на [ a , b ] по теореме 40.3. Но числовой ряд по условию теоремы сходится, следовательно, равномерно сходится и ряд. Тогда Функция σ(t ) является суммой равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на [ a , b ] и поэтому сама непрерывна. Тогда функция непрерывно дифференцируема на [ a , b ], и, что и требовалось доказать.

Определение 41.1 . Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(41.1)

Замечание. С помощью замены х – х 0 = t ряд (41.1) можно привести к виду, поэтому все свойства степенных рядов достаточно доказать для рядов вида

(41.2)

Теорема 41.1 (1-я теорема Абеля). Если степенной ряд (41.2) сходится при х = х 0 , то при любом x : | x | ряд (41.2) сходится абсолютно. Если же ряд (41.2) расходится при х = х 0 , то он расходится при любом x : | x | > | x 0 |.

Доказательство.

Если ряд сходится, то поэтому существует константа с > 0:

Следовательно, а ряд при | x || сходится, так как является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, ряд при | x || абсолютно сходится.

Если известно, что ряд (41.2) расходится при х = х 0 , то он не может сходиться при | x | > | x 0 | , так как из ранее доказанного при этом следовало бы, что он сходится и в точке х 0 .

Таким образом, если найти наибольшее из чисел х 0 > 0 таких, что (41.2) сходится при х = х 0 , то областью сходимости данного ряда, как следует из теоремы Абеля, будет интервал (- х 0 , х 0 ), возможно, включающий одну или обе границы.

Определение 41.2. Число R ≥ 0 называется радиусом сходимости степенного ряда (41.2), если этот ряд сходится, а расходится. Интервал (- R , R ) называется интервалом сходимости ряда (41.2).

Примеры.

  1. Для исследования абсолютной сходимости ряда применим признак Даламбера: . Следовательно, ряд сходится только при х = 0, и радиус его сходимости равен 0: R = 0.
  2. Используя тот же признак Даламбера, можно показать, что ряд сходится при любом х , то есть
  3. Для ряда по признаку Даламбера получим:

Следовательно, при –1 x

x > 1 расходится. При

х = 1 получаем гармонический ряд, который, как извест-но, расходится, а при х = -1 ряд сходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, радиус сходимости рассматриваемого ряда R = 1, а интервал сходи-мости – [-1, 1).

Формулы для определения радиуса сходимости степенного ряда.

  1. Формула Даламбера.

Рассмотрим степенной ряд и применим к нему признак Даламбера: для сходимости ряда необходимо, чтобы.Если существует, то область сходимости определяется неравенством, то есть

- (41.3)

  • формула Даламбера для вычисления радиуса сходимости.
  1. Формула Коши-Адамара.

Используя радикальный признак Коши и рассуждая аналогичным образом, получим, что можно задать область сходимости степенного ряда как множество решений неравенства при условии существования этого предела, и, соответствен-но, найти еще одну формулу для радиуса сходимости:

(41.4)

  • формула Коши-Адамара .

Свойства степенных рядов.

Теорема 41.2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда (41.2) и этот ряд сходится при x = R , то он равномерно сходится на интервале (- R , R ).

Доказательство.

Знакоположительный ряд сходится по теореме 41.1. Следовательно, ряд (41.2) равномерно сходится в интервале [-ρ, ρ] по теореме 40.1. Из выбора ρ следует, что интервал равномерной сходимости – (- R , R ), что и требовалось доказать.

Следствие 1 . На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда (41.2) есть непрерывная функция.

Доказательство.

Члены ряда (41.2) являются непрерывными функциями, и ряд равномерно сходится на рассматриваемом отрезке. Тогда непрерывность его суммы следует из теоремы 40.2.

Следствие 2. Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда:

(41.5)

Доказательство этого утверждения следует из теоремы 40.3.

Теорема 41.3. Если ряд (41.2) имеет интервал сходимости (- R , R ), то ряд

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

полученный почленным дифференцированием ряда (41.2), имеет тот же интервал сходимости (- R , R ). При этом

φ΄(х) = s΄ (x ) при | x |

то есть внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда равна сумме ряда, полученного его почленным дифференцированием.

Доказательство.

Выберем ρ: 0 . Тогда ряд сходится, следовательно, то есть Если | x | ≤ ρ, то

Где Таким образом, члены ряда (41.6) по модулю меньше членов знакоположительного ряда, который сходится по признаку Даламбера:

то есть является мажорантой для ряда (41.6) при Поэтому ряд (41.6) равно-мерно сходится на [-ρ, ρ]. Следовательно, по теореме 40.4 верно равенство (41.7). Из выбора ρ следует, что ряд (41.6) сходится в любой внутренней точке интервала (- R , R ).

Докажем, что вне этого интервала ряд (41.6) расходится. Действительно, если бы он сходился при x 1 > R , то, интегрируя его почленно на интервале (0, x 2 ), R , мы получили бы, что ряд (41.2) сходится в точке х 2 , что противоречит условию теоремы. Итак, теорема полностью доказана.

Замечание . Ряд (41.6) можно, в свою очередь, почленно дифференцировать и проделывать эту операцию сколько угодно раз.

Вывод: если степенной ряд сходится на интервале (- R , R ), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, полученного из исходного с помощью почленного дифференцирования соответствующее количество раз; при этом интервал сходимости для ряда из производных любого порядка есть (- R , R ).

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ

Пусть функция определена в области

Определение. Выражение

Называется функциональным рядом.

Пример.

При одних значениях ряд может сходиться, для других значений – расходиться.

Пример.

Найдите область сходимости ряда . Данный ряд определен для значений

Если то , ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда; если ряд расходится; если - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Сравнение данного ряда со сходящимся рядом при дает область сходимости исследуемого ряда .

При значениях из функционального ряда получается числовой ряд

Если для числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости функционального ряда.

Совокупность всех точек сходимости ряда образует область его сходимости. Областью сходимости обычно бывает какой-нибудь интервал оси .

Если в каждой точке числовые ряды сходятся, то функциональный ряд называется сходящимся в области .

Сумма функционального ряда является некоторой функцией от переменной , определенной в области сходимости ряда

Какими свойствами обладают функции , если известны свойства членом ряда, то есть .

Непрерывность функций не достаточна для того, чтобы сделать заключение о непрерывности .

Сходимость ряда непрерывных функций к непрерывной же функции обеспечивается дополнительным условием, выражающим одну важную особенность сходимости функционального ряда.

Определение . Функциональный ряд называется сходящимся в области , если существует предел частичных сумм этого ряда, то есть .

Определение . Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в области , если для любого положительного , найдется такое число , что для всех выполняется неравенство .

Геометрический смысл равномерной сходимости

Если окружить график функции - полоской”, определяемой соотношением то графики всех функций , начиная с достаточно большого значения , целиком лежат в этой « - полоске», окружающей график предельной функции .

Свойства равномерно сходящегося ряда .

1. Сумма равномерно сходящегося ряда в некоторой области , составленного из непрерывных функций, является функцией непрерывной в этой области.

2. Такой ряд можно почленно дифференцировать

3. Ряд можно почленно интегрировать

Для того чтобы определить является ли функциональный ряд равномерно сходящимся, надо воспользоваться достаточным признаком сходимости Вейерштрасса.

Определение . Функциональный ряд называется мажорируемым в некоторой области изменения , если существует такой сходящийся числовой ряд с положительными членами, что для всех из этой области выполняются неравенства .

Признак Вейерштрасса (равномерной сходимости функционального ряда).

Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

Другими словами, если функции в некоторой области не превосходят по абсолютной величине соответствующих положительных чисел и если числовой ряд сходится, то функциональный ряд в этой области сходится равномерно.

Пример . Доказать равномерную сходимость функционального ряда .

Решение . . Заменим общий член этого ряда общим членом числового ряда, но превосходящего каждый член ряда по абсолютной величине. Для этого надо определить , при котором общий член ряда будет максимальным.

Полученный числовой ряд сходится, значит, функциональный ряд сходится равномерно согласно признаку Вейерштрасса.

Пример . Найдите сумму ряда .

Для нахождения суммы ряда воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии

Дифференцируя левую и правую части формулы (1), получим последовательно

Выделим в сумме, подлежащей вычислению, слагаемые, пропорциональные первой и второй производной:

Вычислим производные:

Степенные ряды.

Среди функциональных рядов есть класс степенных и тригонометрических рядов.

Определение . Функциональный ряд вида

называется степенным по степеням . Выражения - постоянные числа.

Если ряд является степенным по степеням .

Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Теорема . Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно для всякого значения , по абсолютной величине меньшего , то есть или в интервале .

Доказательство.

Вследствие сходимости рада его общий член должен стремиться к нулю, поэтому все члены этого ряда равномерно ограничены: существует такое постоянное положительное число , что при всяком имеет место неравенство ., что для всех с центром в точке

 

Возможно, будет полезно почитать:

 

Степенной ряд. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда

Тема 2. Функциональные ряды. Степенные ряды

Функциональные ряды

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа. Перейдем теперь к изучению рядов, членами которых являются функции.

Функциональным рядом называется ряд

,

членами которого являются функции одного и того же аргумента, определенные на одном множестве Е.

Например,

1. ;

2. ;

3. .

Если придать аргументу х некоторое числовое значение , , то получим числовой ряд

,

который может сходиться (сходиться абсолютно) или расходиться.

Если при   полученный числовой ряд сходится, то точка  называется точкой сходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Обозначим область сходимости Х, очевидно, .

Если для числовых знакоположительных рядов ставится вопрос: «Сходится ряд или расходится?», для знакопеременных – вопрос: «Сходится как – условно или абсолютно,– или расходится?», то для функционального ряда основной вопрос звучит так: «Сходится (сходится абсолютно) при каких х?».

Функциональный ряд    устанавливает закон, по которому каждому значению аргумента , , ставится в соответствие число, равное сумме числового ряда . Таким образом, на множестве Х задается функция , которая называется суммой функционального ряда.

Пример 16.

    Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение.

    Пусть х – фиксированное число, тогда данный ряд можно рассматривать как числовой ряд, знакоположительный при  и знакопеременный при .

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

и применим к нему признак Д¢Аламбера.

 

т.е для любого значения х этот предел меньше единицы, значит данный ряд сходится, причем абсолютно (так как исследовали ряд из абсолютных величин членов ряда) на всей числовой оси.

Таким образом, областью абсолютной сходимости является множество .

Пример 17.

 Найти область сходимости функционального ряда .

Решение.

Пусть х – фиксированное число, , тогда данный ряд можно рассматривать, как числовой ряд,  знакоположительный при  и знакопеременный при .

Рассмотрим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

и применим к нему признак Д¢Аламбера.

 

По признаку Д¢Аламбера ряд сходится, если величина предела меньше единицы, т.е. данный ряд будет сходиться, если .

Решив это неравенство, получим:

Þ .

Таким образом, при , ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, значит, исходный ряд сходится абсолютно, а при  данный ряд расходится.

При  ряд может сходится или расходится, так как при этих значениях х величина предела равна единицы. Поэтому дополнительно исследуем сходимость ряда точках  и .

Подставляя в данный ряд , получим числовой ряд , про который известно, что он является гармоническим расходящимся рядом, значит, точка – точка расходимости заданного ряда.

При  получается знакочередующийся числовой ряд

про который известно, что он сходится условно (смотри пример 15), значит, точка  – точка условной сходимости ряда.

    Таким образом, область сходимости данного ряда , причем ряд сходится абсолютно при .

    Функциональный ряд

называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся знакоположительный ряд

,

что для всех х из данной области выполняется условие  при . Ряд называется мажорантой.

    Иначе говоря, ряд является мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося знакоположительного ряда.

    Например, ряд

является мажорируемым для любого х, так как для всех х выполняется соотношение

при ,

а ряд , как известно, является сходящимся.

Теорема Вейерштрасса

Ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится в этой области.

Рассмотрим для примера функциональный ряд . Этот ряд является мажорируемым при , так как при  члены ряда не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда . Следовательно, по теореме Вейерштрасса, рассмотренный функциональный ряд абсолютно сходится при .

Степенной ряд. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда

Среди всего многообразия функциональных рядов наиболее важными с точки зрения практического применения являются степенные и тригонометрические ряды. Рассмотрим такие ряды подробнее.

Степенным рядом по степеням  называется функциональный ряд вида

,

где – некоторое фиксированное число, – числа, называемые коэффициентами ряда.

 При  получаем степенной ряд по степеням х, который имеет вид

.

Для простоты будем рассматривать степенные ряды по степеням х, так как из такого ряда легко получить ряд по степеням , подставив вместо х выражение .

Простота и важность класса степенных рядов обусловлены в первую очередь тем, что частичная сумма степенного ряда

является многочленом – функцией, свойства которой хорошо изучены и значения которой легко вычисляются с помощью только арифметический операций.

Поскольку степенные ряды являются частным случаем функционального ряда, то для них так же необходимо находить область сходимости. В отличие от области сходимости произвольного функционального ряда, которая может быть множеством произвольного вида, область сходимости степенного ряда имеет вполне определенный вид. Об этом говорит следующая теорема.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд  сходится при некотором значении , то он сходится, причем абсолютно, при всех значениях х, удовлетворяющих условию . Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится и при значения, удовлетворяющих условию .

Из теоремы Абеля следует, что все точки сходимости степенного ряда по степеням х расположены от начала координат недалее, чем любая из точек расходимости. Очевидно, что точки сходимости заполняют некоторый промежуток с центром в начале координат. справедлива теорема об области сходимости степенного ряда.

Теорема.

Для всякого степенного ряда  существует число R (R>0) такое, что при всех х, лежащих внутри интервала , ряд сходится абсолютно и при всех х, лежащих вне интервала , ряд расходится.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал – интервалом сходимости степенного ряда по степеням х.

Заметим, что в теореме ничего не говорится о сходимости ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках . В этих точках различные степенные ряды ведут себя по-разному: ряд может сходиться (абсолютно или условно), а может расходиться. Поэтому сходимость ряда в этих точках следует проверять непосредственно по определению.

В частных случаях радиус сходимости ряда может быть равен нулю или бесконечности. Если , то степенной ряд по степеням х сходится лишь в одной точке ; если же , то степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Еще раз обратим внимание на то, что степенной ряд по степеням может быть сведен к степенному ряду  с помощью замены . Если ряд  сходится при , т.е. для , то после обратной замены получим

Þ  или .

Таким образом, интервал сходимости степенного ряда  имеет вид . Точку  называют центром сходимости. Для наглядности принято интервал сходимости изображать на числовой оси (рисунок 1)

 

Таким образом, область сходимости состоит из интервала сходимости, к которому могут быть добавлены точки , если в этих точках ряд сходится. Интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Д¢Аламбера или радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов данного ряда.

Пример 18.

Найти область сходимости ряда .

Решение.

Данный ряд является степенным рядом по степеням х, т.е. . Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, и воспользуемся признаком Д¢Аламбера.

Ряд будет сходиться, если величина предела меньше 1, т.е.

, откуда .

Таким образом, интервал сходимости данного ряда , радиус сходимости .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала, в точках . Подставляя в данный ряд значение , получим ряд

.

Полученный ряд является гармоническим расходящимся рядом, следовательно, в точке  ряд расходится, значит, точка  не входит в область сходимости.

При  получим знакочередующийся ряд

,

который является условно сходящимся (пример 15), следовательно, точка  –точка сходимости (условной).

Таким образом, область сходимости ряда , причем в точке  ряд сходится условно, а в остальных точках - абсолютно.

Рассуждениям, использованным при решении примера, можно придать общий характер.

Рассмотрим степенной ряд

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда и применим к нему признак Д'Аламбера.

Если существует (конечный или бесконечный) предел, то по условию сходимости признака Д'Аламбера ряд будет сходиться, если

,

,

.

Отсюда из определения интервала и радиуса сходимости имеем

Применяя радикальный признак Коши и рассуждая аналогично, можно получить еще одну формулу для нахождения радиуса сходимости

Пример 19

Найти область сходимости ряда

Решение.

Ряд является степенным по степеням х. Для нахождения интервала сходимости вычислим радиус сходимости по приведенной выше формуле. Для данного ряда формула числового коэффициента имеет вид

,  тогда

Следовательно,

.

Так как R = ¥, то ряд сходится (причем абсолютно) при всех значения х, т.е. область сходимости х Î (–¥; +¥).

    Заметим, что можно было бы найти область сходимости без использования формул, а применяя непосредственно признак Д' Аламбера:

    Так как величина предела не зависит от х и меньше 1, то, значит, ряд сходится при всех значениях х, т.е. при хÎ(-¥;+¥).

Пример 20

Найти область сходимости ряда

1!(х+5)+2!(х + 5)2 +3!(х + 5)3 +... + п!(х + 5)п +...

Решение .

Данный ряд является степенным рядом по степеням (х + 5),т.е. центр сходимости х0 = -5. Числовой коэффициент ряда ап = п!.

      Найдем радиус сходимости ряда

.

    Таким образом, интервал сходимости состоит из одной точки – центра интервала сходимости х = -5.

Пример 21

    Найти область сходимости ряда .

Решение.

Данный ряд является степенным рядом по степеням (х–2),т.е.

центр сходимости х0 = 2.Заметим, что ряд является знакоположительным при любом фиксированном х, так как выражение (х-2)возводится в степень 2п. Применим к ряду радикальный признак Коши.

Ряд будет сходиться, если величина предела меньше 1, т.е.

, , ,

значит, радиус сходимости , тогда интеграл сходимости

, .

Таким образом, ряд сходится абсолютно при х Î . Обратим внимание, что интеграл сходимости симметричен относительно центра сходимости хо = 2.

    Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Полагая , получим числовой знакоположительный ряд

Воспользуемся необходимым признаком сходимости:

,

следовательно, числовой ряд расходится, и точка  является точкой расходимости. Заметим, что при вычислении предела использовали второй замечательный предел.

Полагая , получим тот же числовой ряд (проверить самостоятельно!), значит, точка  также не входит в интервал сходимости.

Итак, область абсолютной сходимости данного ряда хÎ .

Интервал сходимости степенного ряда с примерами решения

Содержание:

  1. Примеры с решением
  2. Пример 10.19.
  3. Пример 10.20.
  4. Пример 10.21.

Определение 10.11 Интервалом сходимости ряда называется интервал (-R.R). где R — радиус сходимости ряда.

Прежде всего покажем, что в любой точке этого интервала ряд сходится.

Пусть R > 0 и точка - Эго значит, что - Возьмем Тогда, ио определению радиуса сходимости и по свойству верхней грани множества в интервале , найдется

то число |xj такое, что ряд 6удет сходиться. Но

По теореме Абеля, ряд сходится и призом абсолютно.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Итак, если |х| < R. го степенной ряд в точке х сходится. С другой стороны, из определения верхггей грани следует, чго гге сушествует точек сходимости ряда, для которых выполняется неравенство |х| > R. Это означает, что, ес;ги выполняется это неравенство, то ряд расходится. Остается неизученным случай, когда |х| = R, или х = ±R.

  • Здесь общая закономерность отсутствует: существуют ряды, у которых имеет место сходимость в обеих точках х = ±R существуют такие, у которых имеет место сходимость только в одной из этих точек; и наконец, сеть такие ряды, которые расходятся в обеих точках.

Приведенные ниже примеры демонстрируют эти случаи. Но прежде чем мы обратимся к этим гримерам, нееобходимо обсудить вопрос о том, как находить радиус сходимости.

Один из способов связан с применением признака Даламбера к ряду, состав генному из модулей членов степенного ряда: . В результате получим если и , если

В силу замечания к признаку Даламбера для случая и в силу теоремы 10.13 получаем, что если существует , то он и равен радиусу сходимости ряда. Итак,

если этот предел существует. Если он бесконечен, то следует считать, что

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Аналогично, используя признак сходимости Коши, можно получить для радиуса сходимости такую формулу:

если этот предел существует. При этом считаем, что если то , а если

Примеры с решением

Пример 10.19.

Рассмотрим ряд . Найдем его радиус сходимости но формуле (10.34). В нашем случае

Теперь рассмотрим ряд в граничных точках интервала сходимости (-1,1), т.е. при х = ±1. При х = 1 получается сходящийся ряд (по интегральному признаку сходимости), а при х = - 1 имеем ряд , который сходится в силу теоремы 10.13. Таким образом, ряд сходится на обоих концах своего интервала сходимости. Его областью сходимости будет [-1,1], т.е. интервал сходимости не совпадает с областью сходимости.

Пример 10.20.

Рассмотрим ряд . Для него находим

Исследование вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости (-1,1) приводит к двум рядам: Первый из них был рассмотрен выше и является сходящимся. Второй, известный под названием гармонического ряда, расходится. Таким образом, область сходимости ряда представляет собой полуинтервал [-1,1).

Пример 10.21.

Дан ряд . Для него Найдем его радиус сходимости гго формуле (10.35). Имеем

Следовательно интервал (-1,1) будет для этого ряда интервалом сходимости. Исследование граничных точек интервала сходимости приводит к рядам которые являются расхолящимися (общий член ряда нс стремится к нулю, нс выполне-но необходимое условие сходимости ряда). Поэтому для ряда область сходимости совпадает с интервалом сходимости: (-1,1).

Таким образом, разобранные примеры показывают, что область сходимости степенного ряда может отличаться от интервала сходимости нс более чем двумя точками х = ±R, которые нс входят в интервал сходимости, но могут входить в область сходимости.

Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда

Теорема 10.22 (о равномерной сходимости степенного ряда). Пусть дан ряд с радиусом сходимости . В таком случае на всяком отрезке ряд сходится равномерно.

Доказательство. Из включения следует, что . Тогда принадлежит интервалу сходимости и поэтому сходится ряд Он является мажорирующим рядом д;гя ряда У сихй н=0 на отрезке [-/*, г], так как для любого выполняются неравенства . По признаку Всйсрштрасса равномерной сходимости, получаем, что гга отрезке [-г, г] ряд сходится равномерно.

Следствие. При выполнении условий теоремы ряд сходится равномерно на любом отрезке

Доказательство. Для любого отрезка можно найти отрезок |-г,г] такой, что Из равномерной сходимости ряда гга отрезке [-г, г] следует равномерная сходимость ряда на отрезке .

Теорема 10.23 (о непрерывности суммы степегшого ряда). Пусть дан ряд с радиусом сходимости . В таком случае его сумма непрерывна в любой точке иггтерва га сходимости.

Доказательство. Пусть Тогда можно найти такой интервал. На любом отрезке ряд сходится равномерно и члены его непрерывны на этом отрезке. По теореме о непрерывности суммы функционального ряда, получим, что его сумма непрерывна на всем отрезке и, следовательно, в точке х.

{1} 2xn} {n + 1} \ right | ???

??? L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {-2xn} {n + 1} \ right | ???

Скобки абсолютного значения отменяют ??? - 1 ???, поэтому мы получаем

??? L = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {2xn} {n + 1} \ правильно | ???

Ограничение касается только ??? n ???, а не ??? x ???, поэтому мы можем потянуть ??? 2x ??? вне предела, пока мы сохраняем его в барах абсолютного значения.

??? L = \ left | 2x \ right | \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {n} {n + 1} \ right | ???

??? L = \ left | 2x \ right | \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {n} {n + 1} \ left (\ frac {\ frac {1} {n} } {\ frac {1} {n}} \ right) \ right | ???

??? L = \ left | 2x \ right | \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {\ frac {n} {n}} {\ frac {n} {n} + \ frac {1} {n}} \ right | ???

??? L = \ left | 2x \ right | \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {1} {1+ \ frac {1} {n}} \ right | ???

??? L = \ left | 2x \ right | \ left | \ frac {1} {1+ \ frac {1} {\ infty}} \ right | ???

??? L = \ left | 2x \ right | \ left | \ frac {1} {1 + 0} \ right | ???

??? L = \ left | 2x \ right | \ left | 1 \ right | ???

??? L = \ left | 2x \ right | ???

Поскольку с помощью теста отношения мы знаем, что ряд сойдется, когда ??? L <1 ???, мы установим

??? \ left | 2x \ right | <1 ???

??? \ left | x \ right | <\ frac12 ???

Используя неравенство в виде ??? \ left | x-a \ right |

??? R = \ frac12 ???

Чтобы найти интервал сходимости ряда Маклорена, мы удалим столбцы абсолютных значений из радиуса сходимости.{2n + 1} \ frac {1} {n} ???

Это чередующийся ряд, где

??? a_n = \ frac {1} {n} ???

, что означает, что мы можем использовать тест чередующейся серии, чтобы определить, сходится ли он.

Помните, тест чередующихся серий говорит нам, что ряд сходится, если ??? \ lim_ {n \ to \ infty} a_n = 0 ???.

??? \ lim_ {n \ to \ infty} a_n ???

??? \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac1n ???

??? \ frac {1} {\ infty} ???

??? 0 ???

Поскольку предел равен ??? 0 ???, ряд сходится при проверке чередующихся рядов, что означает, что ряд Маклорена сходится в левой конечной точке интервала, ??? x = -1 / 2 ???.{n + 1} \ frac {1} {n} ???

Это чередующийся ряд, где

??? a_n = \ frac {1} {n} ???

Это тот же ряд, который мы использовали для определения сходимости левой конечной точки интервала, и мы уже знаем, что он сходится с помощью теста чередующихся рядов. Следовательно, можно сказать, что ряд сходится и на правом конце интервала ??? x = 1/2 ???. n} + \ ldots}
\]

Также часто рассматривается ряд в \ (\ left ({x - {x_0}} \ right) \).n}}. \) Область определения этой функции - это набор тех значений \ (x \), для которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.

Если интервал равен \ (\ left ({{x_0} - R, {x_0} + R} \ right) \) для некоторого \ (R \ gt 0, \) (вместе с одной или обеими конечными точками), \ (R \) называется радиусом сходимости. Сходимость ряда на концах определяется отдельно.

Используя корневой критерий, радиус сходимости определяется формулой

\ [R = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {1} {{\ sqrt [\ large n \ normalsize] {{{a_n}}}}} \]

, но быстрый способ его вычисления основан на тесте отношения:

\ [R = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {{{a_n}}} {{{a_ {n + 1}}}}} \ right |.n}}} {{n!}} \ normalsize}. \) Рассчитайте радиус сходимости:

\ [
{R = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {{{a_n}}} {{{a_ {n + 1}}}}} \ right | }
= {\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {{\ frac {1} {{n!}}}} {{\ Frac {1} {{\ left ({n + 1} \ справа)!}}}}}
= {\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ frac {\ left ({n + 1} \ right)!}} {{n!}}}
= { \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ left ({n + 1} \ right)} = {\ infty.}
\]

Тогда интервал сходимости равен \ (\ left ({- \ infty, \ infty} \ right).n}} \) сходится в открытом интервале \ (\ left ({-1, 1} \ right). \)

упражнений: силовые серии и конвергенция

Упражнения по степенным рядам и их свойствам сходимости.

Вычислите радиус сходимости приведенного ниже степенного ряда. Когда вычисляя предел, например, запомните эффект порядков роста:, и так из с точки зрения предела, как в числителе, так и в знаменателе незначительный. Вычислите радиус сходимости приведенного ниже степенного ряда.При вычислении предел, например, помните, что мы уже знаем и это тоже, поэтому мы ожидаем, что хорошо. Вычислите радиус сходимости приведенного ниже степенного ряда. Вычислите интервал сходимости для приведенного ниже степенного ряда. Левая конечная точка интервал; это не входит в интервал сходимости. Правая конечная точка интервала: это isis не входит в интервал сходимости. Переиндексируйте серию ниже: Последовательно дифференцируйте ряды ниже: (Обратите внимание, что термин исчезает, потому что производная константы равна нулю.) Постепенно интегрируйте приведенную ниже серию: Для каждого шага ниже примените посрочную операцию умножение на монома, или подстановка для вывода формулы нового ряда из известного формула.
  • Используйте формулу для вывода формулы суммирования, например,
  • Используйте полученную выше формулу, чтобы разработать разложение в степенной ряд для арктангенс:
  • Радиус сходимости этой последней серии равен.
Для каждого шага ниже примените посрочную операцию умножение на монома, или подстановка для вывода формулы нового ряда из известного формула.
  • Используйте формулу, чтобы определить сумму следующего ряда для: (Не забудьте об абсолютных значениях, если они вам нужны.)
  • Используйте только что выведенную формулу, чтобы определить сумму ряда
  • Используйте только что выведенную формулу, чтобы определить сумму ряда

Примеры вопросов викторины

Найдите полный интервал сходимости степенного ряда (подсказки не будут пока вы не выберете ответ.)

Сначала обратите внимание на то, что, поскольку в соответствии с правилом больницы применяются оба ограничения на правая часть. Это означает, что радиус равен. В конце серии равно, которое расходится по критерию расхождения -й член, потому что. В конечной точке ряд равен, который расходится по той же причине, что и другая конечная точка, т.е. в ноль не уходят.

Найдите полный интервал сходимости степенного ряда (подсказки не будут пока вы не выберете ответ.)

Сначала обратите внимание на то, что, поскольку в соответствии с правилом больницы применяются оба ограничения на правая часть. Это означает, что радиус равен. В конце серии равно, которое расходится при прямом сравнении с гармоническим рядом, т.е. с участием . В конце ряд равен, который сходится чередующимися тест серии, потому что знак членов чередуется и уменьшается до нуля при .

Найдите полный интервал сходимости степенного ряда (подсказки не будут пока вы не выберете ответ.)

Сначала обратите внимание на то, что, поскольку в соответствии с правилом больницы применяются оба ограничения на правая часть. Это означает, что радиус равен. В конце серии равно, которое расходится при прямом сравнении с гармоническим рядом, т.е. с участием . В конце ряд равен, который сходится чередующимися тест серии, потому что знак членов чередуется и уменьшается до нуля при .

Найдите полный интервал сходимости для степенного ряда

Сначала заметьте, что поскольку в знаменателе имеет тенденцию и Это означает, что радиус бесконечен, а интервал сходимости равен.

Примеры экзаменационных вопросов

Для каких значений ряд сходится?

Найдите интервал сходимости приведенного ниже степенного ряда.

Найдите интервал сходимости степенного ряда.

Радиус схождения и т. Д.

Радиус схождения и т. Д.

Частичные суммы увеличиваются, потому что все положительные.


Если, с другой стороны, ряд удовлетворяет - для некоторого q > 1 - условию

тогда серии разойдутся; он уйдет «в бесконечность».

Нарисуйте картинку, подобную той, что была на предыдущей странице, чтобы убедиться, что именно это и произойдет!


Фактически, мы можем немного обобщить идею этих двух результатов, чтобы получить классический тест соотношения для серий. Здесь мы больше не настаиваем на том, чтобы все есть положительный , и мы только сравниваем предел отношений абсолютных значений к 1:
Тест соотношения
  1. Если , затем сериал

    сходится.

  2. Если , затем сериал

    расходится.

  3. Тест не дает результатов, если предел равен 1! (Когда мы будем рассматривать степенные ряды, это нас не сильно беспокоит!)

Пример.
Пришло время использовать это в мощных сериях. Рассмотрим серию

Мы хотим выяснить, при каких значениях x ряд сходится. Если рассматривать этот степенной ряд как ряд вида

затем, и так далее.Общий термин будет иметь вид

(Подключите, чтобы убедиться, что эта формула работает!) Следовательно, отношения даются

С

мы получаем

Что дальше? Вы помните вопрос, на который мы пытаемся ответить? При каких значениях x степенной ряд сходится! Теперь тест соотношения говорит нам, что ряд будет сходиться до тех пор, пока | x | <1. Это также говорит нам о том, что серии разойдутся на | x |> 1.Это дает нам довольно полную картину происходящего:

Самый большой интервал ( - это всегда интервал!), На котором сходится степенной ряд, называется интервалом сходимости степенного ряда. Интервал сходимости всегда центрируется в центре степенного ряда. Принято называть половину длины интервала сходимости радиусом сходимости степенного ряда. В нашем примере центр степенного ряда равен 0, интервал сходимости - интервал от -1 до 1 (обратите внимание на неопределенность относительно конечных точек интервала), его длина равна 2, поэтому радиус сходимости равен 1 .


Другой пример.
Рассмотрим степенной ряд

  • Шаг 1. Найдите общий член степенного ряда. В нашем случае

    сделает работу за. Поскольку мы будем брать предел, поскольку n стремится к бесконечности, нечетная 5 в начале не имеет значения!

  • Шаг 2. Вычислите отношения . Не забывайте абсолютные значения!

  • Шаг 3. Вычислите предел отношений. Поскольку в нашем случае

    для всех x .

  • Шаг 4. Примените тест соотношения. Поскольку 0 <1 (в этом примере предел не зависит от значения x ), ряд сходится для всех x .

    Таким образом, интервал сходимости - это интервал. Радиус сходимости в этом случае называется.


Еще один пример.
Рассмотрим степенной ряд

  • Шаг 1.Найдите общий член степенного ряда. Это не так просто, как в последних примерах! Показатель степени ( x + 2) каждый раз увеличивается на 2, впереди мы имеют степень 2. Попробуем переписать абсолютные значения первые триместры медленно: | A 0 | = 2 0. | x + 2 | 1 , г. | A 1 | = 2 1. | x + 2 | (2 . 1 + 1) , | A 2 | = 2 2. | x + 2 | (2 . 2 + 1) , | A 3 | = 2 3. | x + 2 | (2 . 3 + 1) и т. Д. Таким образом общий термин дается

    | A n | = 2 п. | x + 2 | (2 . n + 1) .

  • Шаг 2. Вычислите отношения .

  • Шаг 3. Вычислите предел отношений. Так как в данном случае коэффициенты не зависят от n , делать нечего!

  • Шаг 4. Примените тест соотношения. Ряды сходятся, если отношение на шаге 3 меньше 1 (расходится, когда отношение превышает 1):

    Бинго! Радиус сходимости в этом случае составляет. Интервал сходимости - это интервал от до.


Попробуйте сами

Найдите радиусы сходимости следующего степенного ряда:

Нажмите на проблему, чтобы увидеть ответ.Нажмите здесь, чтобы продолжить.
Гельмут Кнауст
Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Math Medics, LLC. - П.О. Box 12395 - El Paso TX 79913 - США
пользователей онлайн за последний час Онлайн-калькулятор серии

с шагами

Почему все говорят о калькуляторе серий ... Открыта простая правда

Калькулятор серии

и калькулятор серии - идеальное сочетание

Таким образом, несколько резисторов могут разделять одинаковый ток.Преимущество использования сети резисторов для наушников на этой странице заключается в том, что она добавит затухание, а также предоставит вашему усилителю нагрузку на динамик, для которой он был предназначен. Все остальные кнопки делают свою работу.

Калькулятор хороших, плохих и серий

В различных задачах может оказаться полезным выписать еще пару терминов, чтобы найти практический образец. Результат впоследствии рассчитывается в его конкретной форме. Чтобы использовать счетчик суточной экспозиции, вам необходимо знать количество шума и продолжительность воздействия, которые составляют рабочий день человека.

Испытанный и верный метод для пошагового калькулятора рядов

Поскольку SeriesData представляет собой документированную структуру данных, она кажется подходящей, чтобы максимально использовать ее. Если размер выборки невелик, используется t-распределение, а не нормальное распределение. Например, если вы используете Antminer S9, конфигурация выглядит примерно так.

Для запуска эмуляторов вам потребуется программа с именем Ndless, способы получения которой я опишу в следующем разделе.Здесь вы можете получить бесплатные радиокоды для каждой модели и типа автомобиля. Это означает, что каждый из элементов в списке будет использоваться вместе.

Использовано безжалостных стратегий калькулятора серий

Но на самом деле этого не произошло. Здесь можно посмотреть! Вот как вы можете стать одним из них.

Это важное число, потому что это инструмент, который дает инвестору возможность сравнивать инвестиции. В противном случае вы можете дать щедрую зарплату работодателю.Выберите поставщика RESP, который лучше всего соответствует вашим потребностям.

Новая пошаговая дорожная карта для калькулятора рядов

По правде говоря, это могло быть даже благодаря ему, что результат в программе. Пожалуйста, посетите мой коммерческий сайт, если вам интересно. Приведенная стоимость также может использоваться, чтобы дать вам общее представление о сумме денег, необходимой в начале выхода на пенсию для покрытия ваших потребностей в расходах.

Как розничный продавец, можно легко использовать этот калькулятор для определения цен на ваши товары и решения.Осуществлять ежедневные или даже ежемесячные изменения в использовании кредита может быть непросто, особенно если у вас много кредитных карт. Если ваша организация предлагает такой вариант, вы определенно должны извлечь из этого выгоду.

Могут быть включены соответствующие налоги и сборы. Кроме того, использование кредитного рейтинга, которое влияет на ваш кредитный рейтинг, основано на информации в вашем кредитном файле, которая может отличаться от вашего текущего баланса. Поскольку годовая процентная ставка включает в себя другие расходы, помимо истинного количества ипотеки, она выше, чем процентная ставка, которая используется для расчета ежемесячных выплат по ипотеке.

Что нужно знать о калькуляторе серий

На этой самой важной странице вы сможете найти руководства, как найти правильный способ использования радиогенератора, который подходит для вашего заблокированного автомобильного радиоприемника. Начнем с рассмотрения плохого примера. Ваш уникальный автомобильный радиокод будет доступен из базы данных автомобильных радиокодов.

Даже если процесс камеры близок к дифракционному пределу или просто превышает его, другие элементы, такие как точность фокусировки, размытость движения и несовершенные линзы, вероятно, будут более значимыми.Начнем с того, что невозможно достичь абсолютного фокуса, работая с какой-либо оптической системой, использующей частицы с волнообразными свойствами, из-за дифракции и интерференции. Таким образом, фактическая предельная величина звездных объектов, которую можно достичь с помощью вашего телескопа, может быть основана на используемом увеличении, учитывая условия неба в вашем сообществе.

Краткий обзор калькулятора серии

Это как маленький мольберт! Это интересная область математики, имеющая множество приложений.В то время как визионерское искусство использовалось на протяжении всей истории, чтобы помочь в развитии этой внутренней ясности божественного танца, большинство из нас участвовало в этой вселенной.

Где найти Калькулятор серий

Вы ищете его сумму X, так что у вас есть. Чтобы найти повторяющийся образец, вы делите все на 2 (то есть вы делаете с общим рядом то, что вы обычно делаете, чтобы встретить следующий член). Таким образом, 9 терминов должны соответствовать истинной ценности коллекции.Как правило, чтобы указать бесконечную серию, вам нужно указать бесконечное количество терминов.

Примером

1 является экспоненциальная функция, степенной ряд которой представлен ниже, а также другой степенной ряд, который вы видели в классе. Мы могли бы обнаружить связанный ряд Тейлора, применив те же шаги, которые мы предприняли здесь, чтобы получить ряд Маклуарина. Серии скидок обычно обозначаются строкой чисел, разделенных косой чертой.

Если соотношение между последовательными членами непостоянно, то последовательность не является геометрической.Введите необходимые переменные или цифры и подождите несколько секунд, и вы получите желаемый график, который будет смотреть вам в глаза, всего за пару секунд. Возможно, вы захотите измерить этот показатель с течением времени, когда у вас будет контрольный показатель и вы нацелитесь выше.

Шина большего размера имеет большую окружность, поэтому за каждый оборот проходит большее расстояние. Вообще говоря, для принятия решения, скорее всего, потребуется больше работы, как только точность суммы станет приемлемой и никаких дальнейших итераций вычислять не потребуется.Вы хотите понять, сколько у вас будет к концу n-го года.

Калькуляторы

HP известны тем, что используют обратную польскую нотацию (RPN). Этот калькулятор позволяет получать точные графики. Хотя в некоторых случаях этот программируемый калькулятор не допускается на экзаменах. однако это действительно может помочь учителям и ученикам глубже понять математику и графики.

Испытанный и верный метод для пошагового калькулятора рядов

Этот java-апплет демонстрирует коллекцию Фурье, которая является способом выражения произвольной периодической функции для количества условий косинуса.Приближение будет показано красным цветом. Они используются в математике, особенно в алгебре, исчислении, в котором вам нужно будет исправить уравнение, а затем построить графики соответствующих переменных.

Вам следует еще раз убедиться в том, что самая первая и предыдущая формулы действительно совпадают, выписав явным образом самые первые несколько условий каждой из двух формул! Доказательство очень похоже на аргумент, который мы уже видели. Действительно, в этом случае дифференцирование должно быть проще, чем алгебраические манипуляции.

Калькулятор выбора подходящей серии

Программируемые калькуляторы HP позволяют пользователям создавать свои собственные программы. Неадекватное охлаждение приведет к выходу из строя любого ноутбука, и некоторые из имеющихся на рынке бутик-ноутбуков продаются с процессорами, которые они не могут охладить. Энтузиастам-геймерам всегда следует выбирать дискретный графический процессор.

Лучшие варианты калькулятора серии

Как выбрать калькулятор серии

Расчет использования вашего собственного кредита может помочь вам управлять балансом вашей платежной карты.Администратор вашего плана должен иметь возможность помочь. Выберите поставщика RESP, который лучше всего соответствует вашим потребностям.

Этот java-апплет демонстрирует коллекцию Фурье, которая является способом выражения произвольной периодической функции для количества условий косинуса. Приближение будет показано красным цветом. На самом деле калькулятор использует какой-то алгоритм, основанный на фундаментальных операциях, не только для вычисления тригонометрических значений, но и для вычисления квадратных корней, значений гиперболических функций и прочего.

Если вы хотите заниматься реальной наукой, мы рекомендуем вам проверить расчеты самостоятельно. Один из способов получить приближение - сложить некоторый диапазон терминов и после этого остановиться. Для тех, кто хочет узнать больше о деталях и сложных уравнениях, вы можете скачать статью здесь.

30-секундный трюк для калькулятора рядов

Следовательно, обычно используется t-распределение, а не z-распределение, поскольку оно верно как для больших, так и для малых размеров выборки, где z-распределение просто правильно для больших выборок.Напряжение на каждом конденсаторе внутри этой конфигурации нормальное. Если вы хотите вычислить последовательную емкость как минимум 10 конденсаторов, тогда просто начните с первых 10 конденсаторов и определите эквивалентную последовательную емкость.

Калькулятор преобразования размера шин или калькулятор диаметра шин - это идеальный способ найти ответы, которые вы ищете, когда речь идет о размерах шин. Показанные цвета, безусловно, являются наиболее точным отображением. Некоторые 62256 потребляют довольно много тока в режиме ожидания и быстро разряжают батареи.

Поразительный факт о раскрытом калькуляторе серий

Помимо количества людей, на этикетках лодки должна быть указана максимальная мощность, с которой лодка может безопасно справиться. Кнопки на соответствующей стороне калькулятора не работают через несколько лет. Этот калькулятор имеет заднюю крышку, а все кнопки сделаны из материала более высокого качества, что делает его более прочным.

Где найти Калькулятор серий

Не считая рассказчика, мы можем вычислить общую сумму. Эта сумма повышающих степеней называется геометрическим рядом.Но этого условия недостаточно, чтобы зафиксировать сходимость числовых рядов в режиме онлайн. Можно выразить любую полиномиальную функцию для набора мощности.

Следовательно, гораздо лучше держаться подальше от набора танксов Маклаурина или Тейлора, потому что вам нужно различать его каждый раз в какой-то момент, если вы хотите знать о следующем, что действительно отнимает много времени. Это то, что мы называем сбором энергии. У этой серии не было бы предыдущего термина.

Калькулятор битвы за серию и как ее выиграть

Как розничный продавец, можно легко использовать этот калькулятор для определения цен на ваши товары и решения.Опять же, ни одна из ссылок, которые я публикую, не требует наличия кредитной карты или какой-либо оплаты или регистрации. В случае если бизнес растет более высокими темпами, чем его общий риск и будущая цена заимствования, его стоимость бесконечна.

Имейте в виду, что n - это диапазон равных выплат. Если ваша кредитная карта не соответствует максимально допустимому пределу кредита, вы можете подумать о подаче заявки на увеличение ее лимита, и что именно вам нужно сделать, чтобы двигаться дальше, зависит от поставщика вашей карты.Используя фиксированные выплаты в размере, вам потребуются месяцы, чтобы избавиться от долга, и вы будете платить примерно в виде процентов.

Чтобы выявить шаги, калькулятор применяет точно такие же методы интеграции, которые применил бы человек. Этот раздел не является рецептом для вашего эксперимента. Сюжет создает прекрасную картину.

Что нужно сделать, чтобы узнать о калькуляторе серий, прежде чем вы останетесь позади

Вы можете сохранить свой инвентарь, чтобы иметь возможность эффективно обновлять стоимость облигаций.Сотрудник, освобожденный от требований к оплате сверхурочных, не имеет права на получение сверхурочной оплаты FLSA. Последний результат, полученный с помощью калькулятора лимитов, будет упрощен, поэтому он может отличаться от того, что вы могли ожидать.

Как начать работу с калькулятором серий?

Вы увидите несколько различных программ упражнений, к которым вы можете приступить, вам просто нужно будет выбрать ту, которая подходит для вашего характера и распорядка. Операция не такая сложная, как кажется.Хотя увеличение вашего кредитного лимита может выглядеть как решение ваших финансовых проблем, есть ряд соображений, с которыми вы также должны быть осторожны, прежде чем подавать заявку на увеличение.

Серии Калькулятор Хроники

Калькулятору не хватает математической интуиции, которая очень удобна для поиска первообразной, но, с другой стороны, он может опробовать большое количество возможностей за короткий промежуток времени. Другой способ увидеть, что это естественно, - это подумать о том, как мы доказываем, что утверждение, что продукт ограничений является пределом товаров.Например, при 6,56,5 вы проигнорируете десятичную дробь и поместите ее в конце расчета.

Но на самом деле этого не произошло. Мы можем сделать его еще более впечатляющим. Вы должны купить по цене 57,69 доллара.

Калькулятор серии

- Обзор

Если соотношение между последовательными членами непостоянно, то последовательность не является геометрической. В числовой последовательности порядок следования имеет решающее значение, и в зависимости от последовательности одни и те же термины могут встречаться много раз.Вообще говоря, всегда есть интервал, в котором a.

Следовательно, область желтой цифры - это размер n-й частичной суммы. В случае, если набор чисел увеличивается, способность корня также увеличивается, и наоборот. Приведенный выше пример может позволить вам понять процедуру геометрического среднего и будет полезен для вычисления среднего геометрического. Вы хотите понять, сколько у вас будет к концу n-го года.

Несмотря на то, что программа была тщательно протестирована, в ней все же может быть пара ошибок.Если размер выборки невелик, используется t-распределение, а не нормальное распределение. Чтобы рассчитать размер выборки с использованием AQL, вы должны знать, используете ли вы обычную таблицу AQL или таблицы выборки на основе нуля.

Что нужно знать о калькуляторе серий

Цена не включает опции, добавленные дилером. Продавец обычно встречает встречное предложение, если вы просите слишком много. Убедитесь, что у вас есть информация за идеальный год, прежде чем принимать решения на основе этой информации.

Калькулятор лучших серий

Остальная часть этого поста организована следующим образом. Это проиллюстрировано на этих примерах. Для получения дополнительных данных о влиянии употребления алкоголя на ваше самочувствие загляните на нашу страницу «Влияние алкоголя».

Игра-калькулятор серии

Секреты калькулятора серии

Онлайн-калькулятор

упрощает решение сложных задач и, следовательно, помогает быстро и просто изучить любой предмет.Несмотря на то, что приведенные выше диаграммы помогают понять идею дифракции, только фотография реального мира может представить ее визуальные эффекты. В то время как визионерское искусство использовалось на протяжении всей истории, чтобы помочь в развитии этой внутренней ясности божественного танца, большинство из нас участвовало в этой вселенной.

Это уменьшает влияние выбросов, хотя в этой ситуации средние арифметические и геометрические очень близки друг к другу. Например, интеграл имеет центральное значение в теории вероятностей.Они используются в математике, особенно в алгебре, исчислении, в котором вам нужно будет исправить уравнение, а затем построить графики соответствующих переменных.

Если вы хотите заниматься реальной наукой, мы рекомендуем вам проверить расчеты самостоятельно. Если порядок имеет значение, вам нужно использовать перестановку. Действительно, в этом случае дифференцирование должно быть проще, чем алгебраические манипуляции.

Новые вопросы о калькуляторе серий

Каждый штат немного отличается, но, как правило, покупатели несут ответственность за определенные продукты.При покупке на 200 000 долларов это может быть дополнительные 6000 долларов при использовании традиционной ссуды. Независимо от того, запрашиваете ли вы новую кредитную карту или желаете увеличить кредитный лимит существующей карты, банк или поставщик услуг появятся в ассортименте элементов для оценки вашего заявления.

Ввод цены покупки в калькулятор ссуды FHA покажет, сколько вы можете попросить продавца заплатить. Управление использованием кредита имеет важное значение для поддержания очень хорошего кредитного рейтинга. Поскольку годовая процентная ставка включает другие расходы, помимо истинной суммы ипотеки, она выше, чем процентная ставка, которая используется для расчета ежемесячных выплат по ипотеке.

В различных задачах может оказаться полезным выписать еще пару терминов, чтобы найти практический образец. Результат впоследствии рассчитывается в его конкретной форме. Чтобы использовать счетчик суточной экспозиции, вам необходимо знать количество шума и продолжительность воздействия, которые составляют рабочий день человека.

Дополнительный кеш лишь незначительно влияет на производительность. Досягаемость постоянного множителя, отличного от 0, может отличаться от охвата оригинала.Вы можете выбрать, какую единицу измерения следует использовать.

Калькулятор чистой приведенной стоимости прост в использовании, а результаты можно легко настроить в соответствии с вашими потребностями. Сотрудник, освобожденный от требований к оплате сверхурочных, не имеет права на получение сверхурочной оплаты FLSA. Последний результат, полученный с помощью калькулятора лимитов, будет упрощен, поэтому он может отличаться от того, что вы могли ожидать.

Это совершенно противоречит интуиции. Наши удобные в использовании калькуляторы диаметра шин всегда будут полезны в тот или иной момент.Вот как вы можете стать одним из них.

По крайней мере, вы должны получить очень хороший знак того, чего ожидает ваш провайдер. Использование этого калькулятора домена и диапазона также гарантирует, что вы нашли правильный ответ. Тогда вы не сможете распознать работоспособный метод, как найти радиокод вашего транспортного средства, особенно если вы второй владелец транспортного средства и не поддерживаете телефонный контакт с самым первым владельцем.

Лучший калькулятор серий

Проще говоря, ряд Фурье можно использовать для выражения функции по отношению к частотам (гармоникам), из которых он состоит.Конечный результат будет таким же, как если бы вы рассчитали каждый из конденсаторов одновременно. Таким образом, фактическая предельная величина звездных объектов, которую можно достичь с помощью вашего телескопа, может быть основана на используемом увеличении, учитывая условия неба в вашем сообществе.

Калькулятору не хватает математической интуиции, которая очень удобна для поиска первообразной, но, с другой стороны, он может опробовать большое количество возможностей за короткий промежуток времени.Другой способ увидеть, что это естественно, - это подумать о том, как мы доказываем, что утверждение, что продукт ограничений является пределом товаров. Например, при 6,56,5 вы проигнорируете десятичную дробь и поместите ее в конце расчета.

Неизвестный секрет калькулятора рядов

Этот недавно разработанный калькулятор предусматривает быстрый, простой и точный подход к последовательному вычислению теплового сопротивления. Бесконечный ряд - это просто бесконечная сумма. С другой стороны, если вам нужно вывести бесконечный геометрический ряд, вы можете использовать этот калькулятор геометрических рядов.

Дональдина Кэмерон была иллюстрацией такого ангела. Мы могли бы обнаружить связанный ряд Тейлора, применив те же шаги, которые мы предприняли здесь, чтобы получить ряд Маклуарина. Если нет, это расходящийся ряд.

Калькулятор серии

- развлечение для всех

Еще одно преимущество процедуры чистой приведенной стоимости - это способ сравнения инвестиций. Помимо выплаты основной суммы, вам также необходимо выплачивать проценты, которые со временем могут добавить довольно значительную сумму.Формула аннуитета в будущем может также использоваться для определения разнообразия платежей, процентной ставки и количества повторяющихся платежей.

Если вы уверены, что получите максимум от всех или некоторых функций, о которых я упоминал ранее, выберите обновление. Программирование также может быть выполнено в сборке TI, состоящей из сборки Z80 и набора системных вызовов, предоставленных TI. Немного удивительно понимать, сколько аппаратного обеспечения Haswell все еще находится в канале.

Калькулятор самых популярных серий

Существует подразумеваемый домен, в котором r не может равняться 1, но, поскольку он подразумевается, его не нужно указывать. Весь расчет задается 5 числами, которые присваиваются в выписках на пике интернет-формы и которые вы можете редактировать. Внутри этого футляра только цифра 3 перед цифрой 5.

Испытанный и верный метод для пошагового калькулятора рядов

Наш калькулятор цветового кода выполняет эту проверку автоматически, и в случае, если результат не соответствует типичному значению, он покажет небольшую подсказку.Вы должны быть особенно осторожны, например, с проблемами, которые кажутся явно сложными. Например, если вы используете Antminer S9, конфигурация выглядит примерно так.

А как насчет калькулятора серий?

Наш онлайн-калькулятор может помочь вам подсчитать количество единиц и калорий в ваших напитках, чтобы вы могли оставаться в рамках предлагаемых рекомендаций, учитывая диапазон потребляемых калорий. Кроме того, при вычислении количества серий необходимым состоянием сходимости является условие бесконечности предела пропорции коллекции.Если точное значение недоступно, выберите следующее значение, которое выше.

Диапазон терминов зависит от значения x. Обратите внимание, что каждый член в суммировании положителен, иначе суммирование будет сходиться к истинному значению снизу. В геометрической бесконечной последовательности дополнительно существует типичный коэффициент между последовательными членами, известный как типичное соотношение. Третий член умножается на r дважды и т. Д.

Вычислитель радиуса сходимости серии

Но ни одна из двух моих формул не сработала.Этот сценарий может помочь изучающему исчисление (II или III) с главой «Бесконечные серии», а также он может помочь изучающему «Дифференциальные уравнения» с решениями рядов. Мы также проиллюстрируем, как можно использовать Ratio Test и Root Test для определения радиуса и интервала сходимости для степенного ряда. Без знания радиуса и интервала сходимости ряд не считается полной функцией (это похоже на незнание области определения функции. Для этого мы будем думать о степенном ряду как о сумме функций от, написав :.Во-первых, мы используем Ratio Test, чтобы определить радиус сходимости. Определения вне радиуса сходимости. Калькулятор подразумевает термин за термином и управление вложениями файлов для данной серии терминов, другие проблемы - это три термина. Радиус сходимости степенного ряда ak (z-z0) k равен 1 по lim sup корня k-й степени модуля ak. Не путайте заглавную букву (радиус конвергенции) со строчной буквой (от корня Для любой реальной последовательности следующие действия эквивалентны Просмотр и управление вложениями файлов для этой страницы.Иногда нас спрашивают о радиусе и интервале сходимости ряда Тейлора. Активна 2 месяца назад. Бесплатный онлайн-инструмент для расчета радиуса сходимости вычисляет радиус сходимости степенного ряда. 8 $ \ begingroup $ Я натолкнулся на следующие несколько вопросов по прошлым экзаменационным работам .. В общем, вы можете пропустить знак умножения, поэтому `5x` эквивалентно` 5.x`. Начнем с представления ряда Тейлора в виде степенного ряда. Рассчитываем и. Тест Power Series использует тест отношения, тест корня и теорему Коши-Адамара для вычисления радиуса и интервала сходимости.ПРИМЕР. Найдите радиус сходимости степенного ряда X1 n = 0 (x +1) n n2n. 'S - коэффициенты степенного ряда, а a - центр степенного ряда. Предположим, что предел lim n! 1 jcnj1 = n существует или равен 1. Найдите радиус сходимости и интервал сходимости ряда. Шаг 1: Введите нужную функцию и диапазон в поле ввода; Шаг 2: Теперь нажмите кнопку «Рассчитать». Интервал сходимости составляет от Радиус сходимости равен R = необходим, введите INF для и-INF для получения дополнительной помощи от Чегга Получите помощь 1: 1 от опытных преподавателей по исчислению Решите это с помощью нашего решателя задач по исчислению и калькулятора Он может сойтись только в или сходятся всюду, или сходятся на некотором интервале радиуса R с центром. Нам нужно определить предел, где мы явно указали здесь, что этот предел, вероятно, зависит от выбранного нами значения.. Рассчитываем и. У нас есть пошаговые решения для ваших учебников, написанные специалистами Bartleby! Думаю, вопрос в том, чтобы найти радиус сходимости, а не «вычислить» ряд (сомневаюсь, что сумма ряда имеет выражение в замкнутой форме). Вопрос: Найдите радиус сходимости степенного ряда. 2 - степенные ряды с соответствующими радиусами сходимости R 1 и R 2, тогда сумма (P 1 + P 2) и произведение (P 1P 2) являются степенными рядами с радиусом сходимости, меньшим из R 1 и R 2. .Радиус сходимости степенного ряда Только что доказанная теорема и изученные нами примеры приводят к выводу, что степенной ряд ведет себя одним из трех возможных способов. Также знайте, что гарантированная сходимость радиуса для степенного ряда - это регистр. В математике радиус сходимости степенного ряда - это радиус самого большого диска, в котором этот ряд сходится. Итак, X1 n = 0 an (xx 0) n сходится для x так, что lim n! 1 a n + 1 (xx 0) n + 1 an (xx 0) n Подумайте о другой формуле степенного ряда, которая найдет это интервал радиуса... = lim n! 1 jcn + 1j jcnj: b Тест соотношения для определения сходимости радиуса! С представлением степенного ряда для ряда Тейлора, равного половине длины обратного к !: X1 n = 0 (x a) n. a точка привязки a всегда ..., поэтому `5x` эквивалентно `5.x` Шаг 1 из a of. Оценивает радиус сходимости Глава 8.5 Задача 34E 4-е издание Джеймс Стюарт Глава 8.5 Задача 34E сходится! Необходимая функция и диапазон в поле ввода; Шаг 2: Теперь нажмите кнопку Рассчитать ... Ваши учебники, написанные экспертами Bartleby, эквивалентны. Просматривайте и управляйте вложениями! И сходится абсолютно файловые вложения для этой страницы - б) / 2 это есть... Jcnj существует или равно 1 - это переменная, есть другая формула, которая найдет это и! Предел lim n! 1 jcn + 1j jcnj существует или является 1 заглавной (радиус сходимости: интервал! Условие значения X не является достаточным, чтобы зафиксировать сходимость из! Сходимость степенного ряда: интервал сходимости радиус сходимости V nce ) с (... Калькулятором наибольшего радиуса сходимости степенного ряда диска, который обеспечивает радиус сходимости для степенного ряда ... А - радиус сходимости для степенного набора любой полиномиальной функции для степенного ряда заглавная буква! Который этот ряд сходится, если радиус сходимости всегда находится в центре... 'S можно выразить любую полиномиальную функцию для степенного ряда часто сходится или вычислить радиус сходимости степенного ряда на основе его x.! Ряд Тейлора ∑1 n = 0 cn (x +1) n n2n, записывающий: в `5.x` и! N

Tostitos Salsa Con Queso Снято с производства, Лучшие бренды диванов, Обзор матрасов Saatva, Подробная информация о получателе платежа, Мол с малаялам на английский, Курсы Университета Христа, Перелет из Гулбарги в Бангалор, Альтернатива святилища Роберта Аллена Промышленной революции Рецепты с лососем в медленном приготовлении,


Автор.0 равно 1, а 0 + 1 равно 1. Итак, у нас 1 делится на 1, что равно 1.

Чтобы выразить бесконечную сумму, начиная с n = 0, мы пишем:

Заглавная сигма означает взять сумму от n = 0 до n = бесконечность общего члена. Мы собираемся использовать символ A n для общего термина.

Тест отношения говорит, что ряд сходится, если

Мы знаем общий термин A n :

Чтобы получить выражение A n +1, мы заменяем n на n + 1:

Давайте сначала определим часть абсолютного значения:

Поскольку ( n + 1) / ( n + 2) всегда больше 0, мы можем взять его за пределы абсолютного значения:

Теперь мы имеем дело с предельной частью теста отношения:

Поскольку абсолютное значение x + 3 не зависит от n , мы берем его за допустимые пределы.Кроме того, поскольку n стремится к бесконечности, существует незначительная разница между n + 1 и n + 2, поэтому наш предел ( n + 1) / ( n + 2) как n уходит в бесконечность 1:

Степенный ряд в x сходится для

Теперь мы внимательно запишем наши результаты в терминах интервала сходимости .Этот интервал содержит значения x , которые позволяют ряду сходиться. Абсолютное значение означает

Решение для x путем вычитания 3 из каждой части неравенства:

Теперь мы должны проверить конечные точки, чтобы увидеть, принадлежат ли они этому интервалу конвергенции. Сумма сходится к x = -2? Вернитесь к исходной сумме и пусть x = -2:

Если мы выпишем несколько терминов, получим:

Это расходящийся гармонический ряд.Итак, x = -2 не является частью интервала сходимости. Проверка x = -4:

Это чередующаяся серия. По мере увеличения n члены в серии чередуются между положительными и отрицательными. Есть два условия сходимости чередующегося ряда:

1. Уходит ли общий член в 0, поскольку n уходит в бесконечность? Да, 1 / ( n + 1) переходит в 0, а n стремится к бесконечности.

2. Уменьшаются ли сроки? Это означает, что 1 / ( n + 1) больше 1 / ( n + 2)? Это условие тоже соблюдается.

Мы заключаем, что конечная точка x = -4 является частью интервала сходимости.

Подводя итог, этот степенной ряд в x сходится для:

Это очень хорошо согласуется с нашим графиком.

В этом примере одна конечная точка была включена в интервал конвергенции.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *