аргумент и модуль комплексного числа
Вы искали аргумент и модуль комплексного числа? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и аргумент комплексного числа, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «аргумент и модуль комплексного числа».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как аргумент и модуль комплексного числа,аргумент комплексного числа,аргумент комплексного числа в ютубе,аргумент комплексного числа найти,аргумент комплексного числа найти онлайн,аргумент комплексного числа онлайн,аргумент комплексного числа что такое,аргумент комплексного числа это,главное значение аргумента комплексного числа,как найти аргумент комплексного числа,как найти аргумент комплексного числа онлайн,как найти модуль комплексного числа,как найти модуль комплексного числа и аргумент,комплексные числа модуль числа,модуль и аргумент комплексного числа,модуль комплексного числа,модуль комплексного числа найти,модуль комплексных чисел,найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел z 3,найдите модуль комплексного числа,найти аргумент комплексного числа,найти модуль и аргумент комплексного числа,найти модуль и аргумент комплексного числа калькулятор онлайн,найти модуль и аргумент комплексного числа онлайн,найти модуль комплексного числа,онлайн аргумент комплексного числа,онлайн найти аргумент комплексного числа,определение модуля комплексного числа,что называется модулем комплексного числа.
Решить задачу аргумент и модуль комплексного числа вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ — Мегаобучалка
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Комплексным числом называется выражение вида
, (1.
1)
где и действительные числа, а мнимая единица, определяемая равенством или . Числа и называются действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются , .
Форму (1.1) комплексного числа называют алгебраической. Два комплексных числа и считаются равными, если равны их действительные и мнимые части: , . Число равно 0 при условии .
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не устанавливаются.
Число называется сопряженным числу .
Алгебраические действия над комплексными числами определяются следующими равенствами:
,
,
Комплексное число изображается точкой на координатной плоскости (рис.1.1). При этом действительные числа изображаются точками на оси , называемой здесь действительной осью, а мнимые числа изображаются точками оси , называемой мнимой осью. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Рис. 1.1
| Комплексное число может быть изображено вектором с координатами x и y и с началом в точке (рис.1.1). Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем комплексного числа. Угол , образуемый этим вектором с положительным направлением действительной оси, называется аргументом комплексного числа. |
Модуль числа принято обозначать , а аргумент .
Для модуля и аргумента, как видно на рис.1.1, справедливы формулы
, (1.2)
(при ). (1.3)
Величина имеет бесконечное множество значений, определяемых с точностью до целого кратного числа . Если величину одного из углов обозначить через , то совокупность величин всех углов запишется в виде:
Значение , принадлежащее промежутку , называется главным и обозначается . Итак,
, (1.4)
(1.5)
В силу формулы (1.3) и определения (1.4) находим, что
Если действительная часть , то при , и , при .
Комплексному числу 0не приписывается какое-либо значение аргумента.
Зная модуль комплексного числа и его аргумента , мы можем вычислить его действительную часть x и мнимую y:
и записать число z в форме
(1.6)
Эту форму комплексного числа называют тригонометрической.
Имеют место следующие правила умножения, деления, возведения в целую положительную степень и извлечение корня для чисел z в тригонометрической форме:
, (1.7)
, (1.8)
, , (1.9)
, (1.10)
где .
Формула (1.9) при называется формулой Муавра.
Геометрически n значений выражения (1.10) изображаются вершинами некоторого правильного n – угольника, вписанного в окружность, с центром в начале координат и с радиусом .
Условимся выражение обозначать символом , т.е.
, (1.11)
не придавая этой записи пока никакого другого смысла, кроме как обозначения. Далее будет показано, что символ обладает свойствами показательной функции, для которой справедлива формула (1.
11), называемая формулой Эйлера.
Используя обозначение (1.11), умножив левую и правую части на
(1.12)
Ввиду ее компактности она удобнее равносильной тригонометрической формы.
Алгебраические действия (1.7) – (1.10) над комплексными числами в показательной форме (1.12) имеют более рациональный вид:
, (1.13)
, (1.14)
, (1.15)
, (1.16)
При решении задач полезно помнить, что , , , и т.д., и вообще при любом целом , , , .
УПРАЖНЕНИЯ
1. Решить уравнение .
Решение. 1-й способ: .
, , .
2-й способ: В результате подстановки в данное уравнение имеем , откуда после преобразований получим систему уравнений . Решая систему, получим , .
2. Найти и , если .
Решение: , откуда , .
3. Выяснить геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел и .
Решение: .
Следовательно, есть расстояние между точками , и (рис. 1.2).
| Рис.1.2 | Если изобразить комплексное число с помощью вектора, то действительная и мнимая части вектора являются координатами вектора, а так как при вычитании векторов их координаты соответственно вычитаются, то вычитание комплексных чисел |
сводится к вычитанию векторов, изображающих эти числа.
Как видно из рис. 1.2, есть длина вектора , т.е. расстояние между точками, изображающими числа и .
4. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа , представить его в тригонометрической и показательной формах.
Решение. По определению модуля . Так как значения аргумента удовлетворяют соотношению , то . Итак, , и согласно (1.6) и (1.12) имеем , .
5. Для комплексных чисел и , вычислить и , представив их вначале в тригонометрической форме.
Решение.
, . Применяя формулы (1.7) и (1.8), получим
6. Вычислить .
Решение. Запишем число в тригонометрической форме. По формуле (1.9) имеем
.
7. Вычислить и изобразить на комплексной плоскости все значения .
Решение. Представим в тригонометрической форме (1.6), для чего найдем модуль и главное значение аргумента , . Имеем .
Применяя формулу (1.10), найдем 3 значения корня, содержащихся в формуле , где . Воспользовавшись показательной и тригонометрической формами числа (1.6), (1.12), получаем
при ,
при ,
при .
Точки , , образуют вершины правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в начале координат (рис. 1.3).
8. Решить уравнение .
Решение. Нахождение всех корней уравнения сводится к задаче: найти все значения корня . Для чего запишем число в показательной форме и применим формулу (1.16) , где .
При , откуда следует, что , .
При , откуда следует, что , .
При , , .
При , , .
| Рис.1.3 | Рис.1.4 |
Как видно из рис. 1.4, точки , , , комплексной плоскости лежат в вершинах квадрата (на окружности радиуса с центром в начале координат).
Вопрос Видео: Нахождение главного аргумента комплексного числа
Стенограмма видео
Учитывая, что 𝑧 равно минус пять плюс девять 𝑖, найдите главный аргумент 𝑧, округленный до двух знаков после запятой.
В этом вопросе нам дано комплексное число 𝑧 в алгебраической форме, и нас просят найти главный аргумент нашего комплексного числа 𝑧. И нам нужно округлить наш ответ до двух знаков после запятой.
Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с того, что вспомним, что мы подразумеваем под аргументом комплексного числа 𝑧 и что означает, что этот аргумент является главным аргументом. Во-первых, мы говорим, что аргумент комплексного числа 𝑧 равен 𝜃, когда это угол, который 𝑧 образует с положительной вещественной осью на диаграмме Аргана.
В этом определении есть несколько моментов, на которые стоит обратить внимание. Во-первых, когда мы говорим об угле, который 𝑧 образует с положительной действительной осью на диаграмме Аргана, на самом деле мы имеем в виду угол, который образует луч от начала координат до 𝑧 с положительной действительной осью. Тем не менее, может быть проще думать об этом просто как о ракурсе, который делает 𝑧.
Затем, когда мы измеряем этот угол, мы измеряем его против часовой стрелки, чтобы он был положительным, и по часовой стрелке, чтобы он был отрицательным. И точно так же, как и в случае любого угла, измеренного таким образом, будет несколько углов, которые дают одно и то же значение. Поэтому, чтобы обойти это, мы вводим нечто, называемое главным аргументом комплексного числа. Мы говорим, что 𝜃 является главным аргументом нашего комплексного числа 𝑧, если при измерении в радианах 𝜃 больше отрицательного 𝜋 и меньше или равно 𝜋 или при измерении в градусах 𝜃 больше отрицательного значения 180 градусов и меньше или равно 180 градусов.
Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы найти главный аргумент для нашего комплексного числа 𝑧. Начнем с того, что нарисуем это на диаграмме Аргана. Помните, что на диаграмме Аргана горизонтальная ось представляет действительную часть нашего комплексного числа, а вертикальная ось представляет мнимую часть нашего комплексного числа. Мы хотим нанести на нашу диаграмму Аргана комплексное число 𝑧, равное отрицательному числу пять плюс девять 𝑖.
Итак, нам нужно найти действительную и мнимую части этого числа. И мы можем это сделать, потому что 𝑧 задано в алгебраической форме. Это форма 𝑎 плюс 𝑏𝑖, где 𝑎 и 𝑏 — действительные числа. Реальная часть 𝑧 будет нашим значением 𝑎. Это константа сама по себе, в данном случае минус пять. А мнимая часть 𝑧 будет нашим коэффициентом 𝑖, который в данном случае равен девяти. Мы можем использовать это, чтобы нанести 𝑧 на нашу диаграмму Аргана. Его горизонтальная координата должна быть минус пять, а его вертикальная координата должна быть девять.
Теперь мы собираемся нарисовать главный аргумент 𝑧 на нашей диаграмме. Для этого начнем с соединения 𝑧 с началом луча. Помните, что аргумент угла 𝑧 — это аргумент, который этот луч делает с положительной вещественной осью. Угол, который мы хотим найти, 𝜃, как показано на рисунке. И мы можем видеть, что, поскольку это измеряется против часовой стрелки, это значение 𝜃 будет положительным.
На самом деле существует множество различных методов, которые мы можем использовать, чтобы найти это значение 𝜃. Все они будут включать в себя некоторую тригонометрию. Проще всего сделать это прямо из нашей диаграммы. Найдем значение угла 𝛼. Мы можем найти угол 𝛼, построив следующий прямоугольный треугольник. Высота этого прямоугольного треугольника равна модулю мнимой части 𝑧, которая равна девяти. А ширина этого прямоугольного треугольника есть модуль действительной части 𝑧. Это пять. Итак, в этом прямоугольном треугольнике мы знаем длину, противоположную углу 𝛼, и длину, примыкающую к углу 𝛼.
И мы знаем, используя тригонометрию, тангенс 𝛼 — это длина его противоположной стороны, деленная на длину его смежной стороны в прямоугольном треугольнике.
Итак, в нашем случае тангенс 𝛼 равен девяти на пять. И мы можем найти значение 𝛼, взяв арктангенс обеих сторон. 𝛼 равно обратному тангенсу девяти на пять. И найдем это значение в градусах. Получаем, что 𝛼 равно 60,945, и это продолжается в градусах. Наконец, мы можем найти значение 𝜃, взглянув на нашу диаграмму. Мы знаем, что угол 𝛼 плюс угол 𝜃 составляют прямую. Это будет равно 180 градусам. Следовательно, 𝜃 будет 180 градусов минус 𝛼, что, как мы можем вычислить, равно 119.0,054, и это продолжается градусов.
И вопрос требует, чтобы мы дали ответ с точностью до двух знаков после запятой. Итак, чтобы сделать это, мы смотрим на третий десятичный знак в нашем расширении, который равен четырем, чтобы определить, нужно ли нам округлять в большую или меньшую сторону. Так как четыре меньше пяти, нам нужно округлить в меньшую сторону.
И это дает нам окончательный ответ. Таким образом, мы смогли найти главный аргумент 𝑧 равно минус пять плюс девять 𝑖 с округлением до двух знаков после запятой. У нас получилось 119,05 градусов.
Аргумент калькулятора комплексных чисел
Поиск инструмента
Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:Просмотр полного списка инструментов dCode
Аргумент комплексного числа
Инструмент для вычисления значения аргумента комплексного числа. Аргументом ненулевого комплексного числа $z$ является значение (в радианах) угла $\theta$ между абсциссой комплексной плоскости и линией, образованной $(0;z)$.
Результаты
Аргумент комплексного числа — dCode
Теги: Арифметика, Геометрия
Поделиться
dCode и многое другое
Программа dCode бесплатна, а ее инструменты оказывают ценную помощь в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Калькулятор аргументов
Комплексный номер z| Формат результата | Автоматический выбор Точное значение (когда возможно) Приблизительное числовое значение Научное обозначение |
См.
также: Модуль/величина комплексного числа
Комплекс из калькулятора аргументов и модулей
Аргумент $ \theta $Модуль/величина $ r $
См. также: Экспоненциальная форма комплексного числа — Аффикс комплексного числа — Сопряжение комплексного числа
Ответы на вопросы (FAQ)
Что такое аргумент комплексного числа? (Определение)
Аргумент угол $\theta$, определяющий комплексное число $z$ в комплексной плоскости, отмечен arg или Arg вычисляется по формуле:
$$ \arg(z) = 2\arctan \left( \frac{\Im(z)}{\Re(z) + |z|} \ справа) = \theta \mod 2\pi $$
, где $ \Re(z) $ действительная часть, $ \Im(z) $ мнимая часть и $ |z| $ комплексный модуль $z$.
Как вычислить аргумент комплексного числа?
Чтобы определить аргумент комплексного числа $ z $, примените приведенную выше формулу, чтобы найти $ \arg(z) $.
Пример: Возьмем $ z = 1+i $, действительная часть равна $ 1 $, мнимая часть равна $ 1 $ и модуль комплексного числа $ |z| $ равно $ \sqrt(2) $, поэтому $\arg(z) = 2 \arctan\left(\frac{1}{1 + \sqrt(2)} \right) = \frac{\pi}{4 } $
Результатом вычисления $ \arg(z) $ является значение между $ -\pi $ и $ +\pi $, а тета-значение равно модулю $ 2\pi $
В электричестве аргумент равен эквивалентна фазе (а модуль является действующим значением).
Каковы свойства аргументов? 9n ) \equiv n \times \arg(z) \mod 2\pi $
$ \arg( \frac{1}{z} ) \equiv -\arg(z) \mod 2\pi $
$ \arg( \frac{z_1}{z_2} ) \equiv \arg(z_1) — \arg(z_2) \mod 2\pi $
Если $ a $ строго положительное вещественное число, а $ b $ строго отрицательное действительное число , то
$ \arg(a \cdot z) \equiv \arg(z) \mod 2\pi $
$ \arg(b \cdot z) \equiv \arg(z) +\pi \mod 2 \pi $
Какие значения сложных аргументов нужно знать?
Некоторые аргументы тривиальны (аргумент 1, аргумент -1, аргумент i, аргумент -i и т. д.) и их можно запомнить:
— $ \arg( 1 ) = 0 $
— $ \arg( 2 ) = 0 $
— $ \arg( n ) = 0 $ (где $ n $ — положительное действительное число)
— $ \arg(-1) = \pi $
— $ \arg(-2) = \pi $
— $ \arg(-n) = \pi $ (с $ n $ ненулевым положительным вещественным числом)
— $ \arg( i ) = \pi / 2 $
— $ \arg( — i ) = — \pi / 2 $
— $ \arg( 1+i ) = \pi / 4 $
— $ \arg( 1-i ) = — \pi / 4 $
— $ \arg( -1+i ) = 3 \pi / 4 $
— $ \arg( -1-i ) = — 3 \pi / 4 $
Каков аргумент числа 0?
Аргумент $ 0 $ равен $ 0 $ (число 0 имеет действительную и комплексную часть нуля и поэтому является нулевым аргументом).
Что означает аргумент, равный 0?
Если аргумент комплексного числа равен $ \arg(z) = 0 $, то число не имеет мнимой части (это действительное число).
Каков главный аргумент?
Аргумент представляет собой угол, обычно в радианах. Углы повторяются каждые $ 2 \pi $, поэтому их бесконечное количество.
Главный/основной аргумент находится между $-\pi $ и $\pi$ (но некоторые люди берут между $0$ и $2\pi$)
Чтобы вычислить главный аргумент из не- главный аргумент добавить или вычесть $ 2 \pi $ столько раз, сколько необходимо (расчет по модулю $ 2 \pi $)
dCode всегда вычисляет главный аргумент.
Исходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Комплексный числовой аргумент». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Комплексный числовой аргумент», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Комплексного числового аргумента».