16. Функциональные ряды. Точки и область сходимости. Функциональные ряды
Формально записанное выражение
(25)
где — последовательность функций от независимой переменной x, называется функциональным рядом.
Примерами функциональных рядов могут служить:
(26)
(27)
Придавая независимой переменной x некоторое значение и подставляя его в функциональный ряд (25), получим числовой ряд
Если он сходится, то говорят, что функциональный ряд (25) сходится при ; если он расходится, что говорят, что ряд (25) расходится при .
Пример 13. Исследовать сходимость ряда (26) при значениях x = 1 и x = — 1. Решение. При x = 1 получим числовой ряд
который сходится по признаку Лейбница (см. пример 11). При x = — 1 получим числовой ряд
который
расходится как произведение расходящегося
гармонического ряда на – 1.
Если такую проверку на сходимость функционального ряда (1) осуществить относительно всех значений независимой переменной из области определения его членов, то точки этой области разобьются на два множества: при значениях x, взятых в одном из них, ряд (25) сходится, а в другом – расходится.
Множество значений независимой переменной, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
Пример 14. Найти область сходимости ряда
Решение. Члены ряда определены на всей числовой прямой и образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = sin x. Поэтому ряд сходится, если
и расходится, если
(значения
невозможны).
Но
при
значениях
и
при
остальных значениях x.
Следовательно, ряд сходится при всех
значениях x,
кроме
.
Областью его сходимости служит вся
числовая прямая, за исключением этих
точек.
Пример 15. Найти область сходимости ряда
Решение. Члены ряда образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q = ln x. Поэтому ряд сходится, если , или , откуда . Это и есть область сходимости данного ряда.
Пример 16. Исследовать сходимость ряда
Решение. Возьмём произвольное значение . При этом значении получим числовой ряд
(*)
Найдём предел его общего члена
при :
Следовательно, ряд (*) расходится при произвольно выбранном, т.е. при любом значении x. Область его сходимости – пустое множество.
Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.
Степенным рядом называют ряд
члены
которого – степенные функции, расположенные
по возрастающим целым неотрицательным
степеням 
Примерами степенных рядов могут служить приведённые выше ряды (26) и (27).
Область сходимости функционального ряда может быть разнообразной по структуре и даже не содержать ни одной точки.
При подстановке в степенной ряд значения x = 0 получится числовой ряд
который сходится. Следовательно, при x = 0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. Её можно установить с помощью следующей теоремы.
Теорема 1 (теорема Абеля). Если степенной ряд сходится при некотором значении , отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях .
Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях .
Как
отмечалось выше, любой степенной ряд
сходится при значении x =
0. Есть степенные ряды, которые сходятся
только при x =
0 и расходятся при остальных значениях х.
Исключая из рассмотрения этот случай,
предположим, что степенной ряд сходится
при некотором значении
,
отличном от нуля. Тогда, по теореме
Абеля, он сходится во всех точках
интервала
,
симметричного относительно начала
координат. Если же степенной ряд
расходится при некотором значении
,
то на основании следствия из теоремы
Абеля он расходится и во всех точках
вне отрезка
.
Отсюда следует, что для любого степенного
ряда имеется интервал
,
симметричный относительно начала
координат, называемый интервалом
сходимости, в каждой точке которого ряд
сходится, на границах может сходиться,
а может и расходиться, при чем не
обязательно одновременно, а вне
отрезка
ряд
расходится. Число
В
частных случаях интервал сходимости
степенного ряда может вырождаться в
точку (тогда ряд сходится только при x =
0 и считается, что R =
0) или представлять собой всю числовую
прямую (тогда ряд сходится во всех точках
числовой прямой и считается, что
).
Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).
Теорема 2. Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, т.е..
(28)
Пример 17. Найти область сходимости степенного ряда
Решение. Здесь
т.е.
Используя формулу (28), найдём радиус сходимости данного ряда:
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости . В примере 13 показано, что данный ряд сходится при x = 1 и расходится при x = -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал .
Пример 18. Найти область сходимости степенного ряда
Решение.
Коэффициенты ряда положительны, причём
Имеем
Найдём предел этого отношения, т.е. радиус сходимости степенного ряда:
Исследуем сходимость ряда на концах интервала . Подстановка значений x
Первый из этих рядов сходится (см. пример 5). Но тогда в силу теоремы параграфа «Абсолютная сходимость» сходится и второй ряд, а область его сходимости – отрезок
Пример 19. Найти область сходимости степенного ряда
Решение. Здесь
По формуле (28) находим радиус сходимости ряда:
Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд, соответственно получим
Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). Итак, на обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости – интервал .
Пример
20.
Найти
область сходимости степенного ряда
Решение. Здесь , а
Найдём отношение
Следовательно, радиус сходимости ряда
т.е. ряд сходится при любом конечном значении x. Область его сходимости – бесконечный интервал .
Пример 21. Найти область сходимости степенного ряда
Решение. Находимо отношение , где , а :
Согласно формуле (28) радиус сходимости данного ряда
т.е. ряд сходится только при x = 0 и расходится при остальных значениях х.
Примеры показывают, что на концах интервала сходимости ряды ведут себя различно. В примере 17 на одном конце интервала сходимости ряд сходится, а на другом – расходится, в примере 18 – на обоих концах сходится, в примере 19 – на обоих концах расходится.
Формула
радиуса сходимости степенного ряда
получена в предположении, что все
коэффициенты членов ряда, начиная с
некоторого, отличны от нуля.
Поэтому
применение формулы (28) допустимо только
в этих случаях. Если это условие
нарушается, то радиус сходимости
степенного ряда следует искать с помощью
признака Даламбера, или же, сделав замену
переменной, преобразованием ряда к
виду, в котором указанное условие
выполняется.
Пример 22. Найти интервал сходимости степенного ряда
Решение. Данный ряд не содержит членов с нечётными степенями х. Поэтому преобразуем ряд, полагая . Тогда получим ряд
для нахождения радиуса сходимости которого можно применить формулу (28). Так как , а , то радиус сходимости этого ряда
Из равенства получаем , следовательно, данный ряд сходится на интервале .
Лекция 4. Функциональные ряды. Степенные ряды. Формула Тейлора — Мегаобучалка
4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости
Определение 1. Ряд, члены которого являются функциями одной или
нескольких независимых переменных, определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом.
Рассмотрим функциональный ряд , члены которого являются функциями одной независимой переменной х. Сумма первых n членов ряда является частичной суммой данного функционального ряда. Общий член есть функция от х, определённая в некоторой области. Рассмотрим функциональный ряд в точке . Если соответствующий числовой ряд сходится, т.е. существует предел частичных сумм этого ряда (где − сумма числового ряда), то точка называется точкой сходимости функционального ряда . Если числовой ряд расходится, то точка называется точкой расходимости функционального ряда.
Определение 2. Областью сходимости функционального ряда называется множество всех таких значений х, при которых функциональный ряд сходится. Область сходимости, состоящая из всех точек сходимости, обозначается . Отметим, что R.
Функциональный ряд сходится в области , если для любого он сходится как числовой ряд, при этом его сумма будет некоторой функцией .
Это так называемая предельная функция последовательности : .
Как находить область сходимости функционального ряда ? Можно использовать признак, аналогичный признаку Даламбера. Для ряда составляем и рассматриваем предел при фиксированном х: . Тогда является решением неравенства и решением уравнения (берём только те решения уравнения, в
которых соответствующие числовые ряды сходятся).
Пример 1. Найти область сходимости ряда .
Решение. Обозначим , . Составим и вычислим предел , тогда область сходимости ряда определяется неравенством и уравнением . Исследуем дополнительно сходимость исходного ряда в точках, являющимися корнями уравнения:
а) если , , то получается расходящийся ряд ;
б) если , , то ряд сходится условно (по
признаку Лейбница, пример 1, лекция 3, разд. 3.1).
Таким образом, область сходимости ряда имеет вид: .
4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля
Рассмотрим частный случай функционального ряда, так называемый степенной ряд , где .
Определение 3. Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,
где − постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
Степенной ряд есть «бесконечный многочлен», расположенный по возрастающим степеням . Любой числовой ряд является
частным случаем степенного ряда при .
Рассмотрим частный случай степенного ряда при : . Выясним, какой вид имеет
область сходимости данного ряда .
Теорема 1 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится при всяком х, для которого справедливо неравенство .
2) Если же степенной ряд расходится при , то он расходится при всяком х, для которого .
Доказательство. 1) По условию степенной ряд сходится в точке ,
т. е. сходится числовой ряд
(1)
и по необходимому признаку сходимости его общий член стремится к 0, т.е. . Следовательно, существует такое число , что все члены ряда ограничены этим числом: .
Рассмотрим теперь любое х, для которого , и составим ряд из абсолютных величин: .
Запишем этот ряд в другом виде: так как , то (2).
Из неравенства получаем , т.е. ряд
(3)
состоит из членов, которые больше соответствующих членов ряда (2). Ряд представляет собой сходящийся ряд геометрической прогрессии со знаменателем , причём , так как . Следовательно, ряд (2) сходится при . Таким образом, степенной ряд абсолютно сходится.
2) Пусть ряд расходится при , иными словами,
расходится числовой ряд . Докажем, что для любого х ( ) ряд расходится. Доказательство ведётся от противного. Пусть при некотором
фиксированном ( ) ряд сходится, тогда он сходится при всех (см. первую часть данной теоремы), в частности, при , что противоречит условию 2) теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие. Теорема Абеля позволяет судить о расположении точки сходимости степенного ряда. Если точка является точкой сходимости степенного ряда, то интервал заполнен точками сходимости; если точкой расходимости является точка , то
бесконечные интервалы заполнены точками расходимости (рис.
1).
Рис. 1. Интервалы сходимости и расходимости ряда
Можно показать, что существует такое число , что при всех степенной ряд абсолютно сходится, а при − расходится. Будем считать, что если ряд сходится только в одной точке 0, то , а если ряд сходится при всех , то .
Определение 4. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал , что при всех этот ряд сходится и притом абсолютно, а для всех х, лежащих вне этого интервала, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Замечание. На концах интервала вопрос о сходимости или расходимости степенного ряда решается отдельно для каждого конкретного ряда.
Покажем один из способов определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда.
Рассмотрим степенной ряд и обозначим .
Составим ряд из абсолютных величин его членов:
и применим к нему признак Даламбера.
Пусть существует
,
где
.
По признаку Даламбера ряд сходится, если , и расходится, если . Отсюда ряд сходится при , тогда интервал сходимости: . При ряд расходится, так как .
Используя обозначение , получим формулу для определения радиуса сходимости степенного ряда:
,
где − коэффициенты степенного ряда.
Если окажется, что предел , то полагаем .
Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда также можно использовать радикальный признак Коши, радиус сходимости ряда определяется из соотношения .
Определение 5. Обобщенным степенным рядом называется ряд вида
. Его также называют рядом по степеням .
Для такого ряда интервал сходимости имеет вид: , где − радиус сходимости.
Покажем, как находится радиус сходимости для обобщенного степенного ряда.
,
т.е. , где .
Если , то , и область сходимости R; если , то и область сходимости .
Пример 2. Найти область сходимости ряда .
Решение. Обозначим . Составим предел
.
Решаем неравенство: , , следовательно, интервал
сходимости имеет вид: , причём R = 5. Дополнительно исследуем концы интервала сходимости:
а) , , получаем ряд , который расходится;
б) , , получаем ряд , который сходится
условно. Таким образом, область сходимости: , .
Ответ: область сходимости .
Пример 3. Ряд расходится для всех , так как при , радиус сходимости .
Пример 4. Ряд сходится при всех R, радиус сходимости .
Как найти область сходимости этого степенного ряда
спросил
Изменено 2 года, 4 месяца назад
Просмотрено 58 раз
$\begingroup$
Примечание: Следующие вопросы взяты из второго вопроса вступительного экзамена по математике для выпускников 2011 года по китайскому языку (первый набор): 9n\;$ сходится, а так как $\;a_n\to 0\;$ монотонно (и тем самым ограничено), то наш ряд сходится по
признаку Абеля.
Таким образом, радиус сходимости не меньше $\;R=1\;$ …Вы понимаете, почему правая точка $\;x=2\;$ — это , а не , содержащаяся в интервале сходимости? Таким образом, радиус сходимости равен ровно $\;1\;$ .
$\endgroup$
2
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
9{n}$.