Найти производную функции 1 x: производная 1/x

Содержание

Реальный вариант ЕГЭ по математике-2023 (центр)

Досрочный вариант ЕГЭ по математике-2023 (профиль) с ответами и решениями. Это один из вариантов досрочного экзамена 28 марта 2023 года. Здесь вы можете увидеть, как выглядит реальный профильный ЕГЭ по математике.

 

Часть 1

Ответом к заданиям 1–11 является целое число или конечная десятичная дробь. Во всех заданиях числа предполагаются действительными, если отдельно не указано иное. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

1. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены высота CH и медиана CM, угол B равен 73º. Найдите угол MCH. Ответ дайте в градусах.

 

 

2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 4, BC = 7, AA1 = 3.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, A1, B1.

 

 

3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

 

 

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,03. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

 

 

5. Найдите корень уравнения:

 

 

6.

 

 

7. На рисунке изображен график y = f ′ (x) — производной функции f (x), определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция f (x) принимает наибольшее значение?

 

 

9. Один мастер может выполнить заказ за 15 часов, а другой — за 10 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

 

 

10. На рисунке изображен график функции вида f (x) = ax. Найдите значение f (3).

 

 

11. Найдите наименьшее значение функции y = x3 − 6x2 + 19 на отрезке [1; 4]. 

 

 

Часть 2

 

13. Дан тетраэдр ABCD. На ребре AC выбрана точка

K так, что AK : KC = 3 : 7. Также на ребрах AD, BD и BC выбраны точки L, M и N соответственно так, что KLMN — квадрат со стороной 2.
a) Докажите, что BM : MD = 3 : 7.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости (KLM), если известно, что объем пирамиды CKLM равен 50.

 

 

14. Решите неравенство

 

 

16. Две окружности касаются внешним образом в точке B. AB и BC — диаметры первой и второй окружностей. Из точки A проведена касательная AM ко второй окружности, которая вторично пересекает первую окружность в точке K. Луч MB вторично пересекает первую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые

AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника BCD, если AK = 7, KM = 14.

 

 

17. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].

 

 

18. Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное число должно быть натуральным.
a) Могло ли из числа 128 получиться число 29?
б) Могло ли из числа 128 получиться число 31?
в) Какое наименьшее число можно получить из 128?

 

Ответ: а) Да
б) Нет
в) 2

Решение: а) Построим пример:

б) Заметим, что утроенная сумма цифр натурального числа делится на 3. Тогда если к натуральному числу прибавить или вычесть из него утроенную сумму его цифр, то остаток при делении на 3 не изменится. Значит, у всех полученных чисел остаток будет таким же, как у числа 128.

Число 128 дает остаток 2 при делении на 3. Значит, у чисел, полученных в результате таких операций, остаток также будет равен 2. Так как число 31 дает остаток 1 при делении на 3, то из 128 не могло получиться число 31.
в) Наименьшее натуральное число — это 1. Так как 1 дает остаток 1 при делении на 3, а 128 — остаток 2, то из числа 128 не могло получиться число 1. Тогда наименьшее число, которое могло получиться из 128, — это 2. Приведем пример на 2:

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

3.7: Производные обратных функций

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    2496
    • Гилберт Стрэнг и Эдвин «Джед» Герман
    • OpenStax
    Цели обучения
    • Вычисление производной обратной функции.
    • Распознавать производные стандартных обратных тригонометрических функций.

    В этом разделе мы исследуем взаимосвязь между производной функции и производной обратной функции. Для функций, производные которых мы уже знаем, мы можем использовать это соотношение, чтобы найти производные обратных функций, не прибегая к предельному определению производной. В частности, мы будем применять формулы производных обратных функций к тригонометрическим функциям. Эта формула также может быть использована для распространения правила степени на рациональные показатели. 9{−1}(x)\big)}.\label{inverse1} \]

    Альтернативно, если \(y=g(x)\) является инверсией \(f(x)\), то

    \[g'(x)=\dfrac{1}{f’\big(g(x)\big)}. \label{inverse2} \]

    Пример \(\PageIndex{1}\): Применение теоремы об обратной функции

    Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную \(g(x)=\dfrac{x+2) }{Икс}\). Сравните полученную производную с производной, полученной прямым дифференцированием функции.

    Решение

    Обратное выражение \(g(x)=\dfrac{x+2}{x}\) равно \(f(x)=\dfrac{2}{x−1}\). 9{−1/3} \nonumber \]

    и

    \[\dfrac{dy}{dx}\Bigg|_{x=8}=\frac{1}{3}\nonumber \]

    наклон касательной к графику в точке \(x=8\) равен \(\frac{1}{3}\).

    Подставив \(x=8\) в исходную функцию, получим \(y=4\). Таким образом, касательная проходит через точку \((8,4)\). Подставляя в формулу точки-наклона прямой, получаем касательную

    \[y=\tfrac{1}{3}x+\tfrac{4}{3}. \nonumber \]

    Упражнение \(\PageIndex{3}\) 9{−1/2}\)

    Производные обратных тригонометрических функций

    Обратимся теперь к нахождению производных обратных тригонометрических функций. Эти производные окажутся бесценными при изучении интегрирования далее в этом тексте. Производные обратных тригонометрических функций довольно удивительны тем, что их производные на самом деле являются алгебраическими функциями. Ранее было доказано, что производные алгебраических функций являются алгебраическими функциями, а производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями. Здесь мы впервые видим, что производная функции не обязательно должна быть того же типа, что и исходная функция. 9{−1}x\) в \(x=0.\)

    Подсказка

    \(f′(0)\) — наклон касательной.

    Ответить

    \(у=х\)

    Основные понятия

    • Теорема об обратной функции позволяет вычислять производные от обратных функций без использования предельного определения производной.
    • Мы можем использовать теорему об обратной функции, чтобы вывести формулы дифференцирования для обратных тригонометрических функций. 92−1}}\)

      Авторы и авторство


      Эта страница под названием 3.7: Производные обратных функций распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Германом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

      1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        ОпенСтакс
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Версия лицензии
        4,0
        Программа ООР или издатель
        ОпенСтакс
        Показать страницу TOC
        нет
      2. Теги
        1. автор @ Эдвин «Джед» Герман
        2. автор@Гилберт Странг
        3. Производная функции арккосеканса
        4. Производная функции арккосинуса
        5. Производная функции арккотангенса
        6. Производная функции арксеканса
        7. Производная функции арктангенса
        8. Теорема об обратной функции
        9. Степенное правило с рациональными показателями
        10. источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1

      3.7 Производные обратных функций. Математический анализ Том 1

      Цели обучения

      • 3.7.1 Вычислить производную обратной функции.
      • 3.7.2 Распознавать производные стандартных обратных тригонометрических функций.

      В этом разделе мы исследуем взаимосвязь между производной функции и производной обратной функции. Для функций, производные которых мы уже знаем, мы можем использовать это соотношение, чтобы найти производные обратных функций, не прибегая к предельному определению производной. В частности, мы будем применять формулы производных обратных функций к тригонометрическим функциям. Эта формула также может быть использована для распространения правила степени на рациональные показатели.

      Производная обратной функции

      Начнем с рассмотрения функции и ее обратной. Если f(x)f(x) и обратима, и дифференцируема, кажется разумным, что обратная функция f(x)f(x) также дифференцируема. На рис. 3.28 показано соотношение между функцией f(x)f(x) и ее обратной функцией f−1(x).f−1(x). Посмотрите на точку (a,f−1(a))(a,f−1(a)) на графике функции f−1(x)f−1(x), имеющую касательную с наклоном (f −1)′(a)=pq.(f−1)′(a)=pq. Эта точка соответствует точке (f−1(a),a)(f−1(a),a) на графике f(x)f(x), имеющей касательную с наклоном f′(f −1(a))=qp.f′(f−1(a))=qp. Таким образом, если f−1(x)f−1(x) дифференцируема в точках a,a, то должно быть так, что

      (f−1)′(a)=1f′(f−1(a)).(f−1)′(a)=1f′(f−1(a)).

      Рисунок 3,28 Касательные функции и ее обратной связаны; то же самое можно сказать и о производных этих функций.

      Мы также можем вывести формулу для обратной производной, если сначала вспомним, что x=f(f−1(x)).x=f(f−1(x)). Затем, дифференцируя обе части этого уравнения (используя цепное правило справа), мы получаем

      1=f′(f−1(x))(f−1)′(x)).1=f′(f−1(x))(f−1)′(x)).

      Решая (f−1)′(x),(f−1)′(x), получаем

      (f−1)′(x)=1f′(f−1(x)). (f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).

      (3.19)

      Мы суммируем этот результат в следующей теореме.

      Теорема 3.11

      Теорема об обратной функции

      Пусть f(x)f(x) функция, одновременно обратимая и дифференцируемая. Пусть y=f−1(x)y=f−1(x) является обратным к f(x).f(x). Для всех xx, удовлетворяющих f′(f−1(x))≠0,f′(f−1(x))≠0,

      dydx=ddx(f−1(x))=(f−1)′ (x)=1f′(f−1(x)).dydx=ddx(f−1(x))=(f−1)′(x)=1f′(f−1(x)).

      Альтернативно, если y=g(x)y=g(x) является обратным f(x),f(x), то

      g'(x)=1f'(g(x)).g ‘(х)=1f'(г(х)).

      Пример 3,60

      Применение теоремы об обратной функции

      Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную g(x)=x+2x.g(x)=x+2x. Сравните полученную производную с производной, полученной прямым дифференцированием функции.

      Решение

      Обратным к g(x)=x+2xg(x)=x+2x является f(x)=2x−1.f(x)=2x−1. Поскольку g′(x)=1f′(g(x)),g′(x)=1f′(g(x)), начнем с нахождения f′(x). f′(x). Таким образом,

      f′(x)=−2(x−1)2 и f′(g(x))=−2(g(x)−1)2=−2(x+2x−1)2=−x22. f′(x)=−2(x−1)2 и f′(g(x))=−2(g(x)−1)2=−2(x+2x−1)2=−x22.

      Наконец,

      g′(x)=1f′(g(x))=−2×2.g′(x)=1f′(g(x))=−2×2.

      Мы можем проверить, что это правильная производная, применив правило отношения к g(x)g(x), чтобы получить

      g′(x)=−2×2.g′(x)=−2×2.

      Контрольно-пропускной пункт 3,42

      Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную g(x)=1x+2.g(x)=1x+2. Сравните результат, полученный прямым дифференцированием g(x)g(x).

      Пример 3,61

      Применение теоремы об обратной функции

      Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную g(x)=x3.g(x)=x3.

      Решение

      Функция g(x)=x3g(x)=x3 является обратной функцией f(x)=x3.f(x)=x3. Поскольку g′(x)=1f′(g(x)),g′(x)=1f′(g(x)), начнем с нахождения f′(x).f′(x). Таким образом,

      f′(x)=3x2andf′(g(x))=3(x3)2=3×2/3. f′(x)=3x2andf′(g(x))=3(x3)2= 3х2/3.

      Наконец,

      g′(x)=13×2/3=13x−2/3.g′(x)=13×2/3=13x−2/3.

      Контрольно-пропускной пункт 3,43

      Найдите производную g(x)=x5g(x)=x5, применив теорему об обратной функции.

      Из предыдущего примера видно, что можно использовать теорему об обратной функции, чтобы распространить правило степени на показатели степени 1n,1n, где nn — целое положительное число. Это расширение в конечном итоге позволит нам дифференцировать xq,xq, где qq — любое рациональное число.

      Теорема 3.12

      Распространение степенного правила на рациональные показатели

      Правило степени может быть распространено на рациональные показатели. То есть, если nn — натуральное число, то

      ddx(x1/n)=1nx(1/n)−1.ddx(x1/n)=1nx(1/n)−1.

      (3.20)

      Кроме того, если nn — натуральное число, а mm — произвольное целое число, то

      ddx(xm/n)=mnx(m/n)−1. ddx(xm/n)=mnx( м/н)−1.

      (3.21)

      Доказательство

      Функция g(x)=x1/ng(x)=x1/n является обратной функцией f(x)=xn.f(x)=xn. Поскольку g′(x)=1f′(g(x)),g′(x)=1f′(g(x)), начнем с нахождения f′(x).f′(x). Таким образом,

      f′(x)=nxn−1andf′(g(x))=n(x1/n)n−1=nx(n−1)/n.f′(x)=nxn−1andf′(g(x) )=n(x1/n)n−1=nx(n−1)/n.

      Наконец,

      g′(x)=1nx(n−1)/n=1nx(1−n)/n=1nx(1/n)−1.g′(x)=1nx(n−1)/n=1nx (1−n)/n=1nx(1/n)−1.

      Чтобы дифференцировать xm/nxm/n, мы должны переписать его как (x1/n)m(x1/n)m и применить цепное правило. Таким образом,

      ddx(xm/n)=ddx((x1/n)m)=m(x1/n)m−1·1nx(1/n)−1=mnx(m/n)−1.ddx(xm/ n)=ddx((x1/n)m)=m(x1/n)m−1·1nx(1/n)−1=mnx(m/n)−1.

      Пример 3,62

      Применение степенного правила к рациональной степени

      Найдите уравнение касательной к графику y=x2/3y=x2/3 в точке x=8.x=8.

      Решение

      Сначала найдите dydxdydx и оцените его как x=8. x=8. Поскольку

      dydx=23x−1/3 и dydx|x=8=13dydx=23x−1/3anddydx|x=8=13

      , наклон касательной к графику при x=8x=8 равен 13,13.

      Подставляя x=8x=8 в исходную функцию, получаем y=4.y=4. Таким образом, касательная проходит через точку (8,4).(8,4). Подставляя в формулу точки-наклона прямой, получаем касательную прямой

      у=13х+43.у=13х+43.

      Контрольно-пропускной пункт 3,44

      Найдите производную от s(t)=2t+1.s(t)=2t+1.

      Производные обратных тригонометрических функций

      Обратимся теперь к нахождению производных обратных тригонометрических функций. Эти производные окажутся бесценными при изучении интегрирования далее в этом тексте. Производные обратных тригонометрических функций довольно удивительны тем, что их производные на самом деле являются алгебраическими функциями. Ранее было доказано, что производные алгебраических функций являются алгебраическими функциями, а производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями. Здесь мы впервые видим, что производная функции не обязательно должна быть того же типа, что и исходная функция.

      Пример 3,63

      Производная функции обратного синуса

      Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную g(x)=sin-1x.g(x)=sin-1x.

      Решение

      Так как для xx в интервале [−π2,π2],f(x)=sinx[−π2,π2],f(x)=sinx является обратным g(x)=sin−1x,g(x) =sin−1x, начнем с нахождения f′(x).f′(x). Поскольку

      f′(x)=cosxandf′(g(x))=cos(sin−1x)=1−x2,f′(x)=cosxandf′(g(x))=cos(sin−1x) =1−x2,

      мы видим, что

      g′(x)=ddx(sin−1x)=1f′(g(x))=11−x2.g′(x)=ddx(sin−1x)=1f′(g(x))=11− х2.

      Анализ

      Чтобы увидеть, что cos(sin-1x)=1-x2,cos(sin-1x)=1-x2, рассмотрим следующий аргумент. Установите sin-1x=θ.sin-1x=θ. В этом случае sinθ=xsinθ=x, где −π2≤θ≤π2.−π2≤θ≤π2. Начнем с рассмотрения случая, когда 0<θ<π2.0<θ<π2. Поскольку θθ — острый угол, мы можем построить прямоугольный треугольник, имеющий острый угол θ, θ, гипотенузу длины 11 и сторону, противоположную углу θθ, имеющую длину x. x. По теореме Пифагора сторона, примыкающая к углу θθ, имеет длину 1−x2,1−x2. Этот треугольник показан на рис. 3.29.. Используя треугольник, мы видим, что cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.

      Рисунок 3,29 Используя прямоугольный треугольник с острым углом θ, θ, гипотенузой длины 1,1 и стороной, противоположной углу θθ, имеющей длину x, x, мы можем увидеть, что cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.cos( sin−1x)=cosθ=1−x2.

      В случае, когда −π2<θ<0,−π2<θ<0, мы делаем наблюдение, что 0<−θ<π20<−θ<π2 и, следовательно,

      cos(sin−1x)=cosθ=cos (-θ)=1-x2.cos(sin-1x)=cosθ=cos(-θ)=1-x2.

      Теперь, если θ=π2θ=π2 или θ=−π2,x=1θ=−π2,x=1 или x=−1,x=−1, и поскольку в любом случае cosθ=0cosθ=0 и 1−x2= 0,1−x2=0, имеем

      cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.cos(sin−1x)=cosθ=1−x2.

      Наконец, если θ=0θ=0, x=0x=0 и cosθ=1-0=1cosθ=1-0=1.

      Следовательно, во всех случаях cos(sin-1x)=1-x2.cos(sin-1x)=1-x2.

      Пример 3,64

      Применение цепного правила к функции обратного синуса

      Примените цепное правило к формуле, полученной в примере 3. 61, чтобы найти производную h(x)=sin−1(g(x))h(x)=sin− 1(g(x)) и использовать этот результат, чтобы найти производную h(x)=sin-1(2×3).h(x)=sin-1(2×3).

      Решение

      Применяя цепное правило к h(x)=sin−1(g(x)),h(x)=sin−1(g(x)), мы получаем

      h′(x)=11−(g (x))2g′(x).h′(x)=11−(g(x))2g′(x).

      Теперь пусть g(x)=2×3,g(x)=2×3, поэтому g'(x)=6×2.g'(x)=6×2. Подставляя в предыдущий результат, получаем

      h′(x)=11−4×6·6×2=6×21−4×6.h′(x)=11−4×6·6×2=6×21−4×6.

      Контрольно-пропускной пункт 3,45

      Используйте теорему об обратной функции, чтобы найти производную g(x)=tan-1x.g(x)=tan-1x.

      Производные остальных обратных тригонометрических функций также можно найти с помощью теоремы об обратных функциях. Эти формулы содержатся в следующей теореме.

      Теорема 3.13

      Производные обратных тригонометрических функций

      ddxsin-1x=11-(x)2ddxsin-1x=11-(x)2

      (3. 22)

      ddxcos-1x=-11-(x)2ddxcos-1x=-11-(x)2

      (3.23)

      ddxtan-1x=11+(x)2ddxtan-1x=11+(x)2

      (3.24)

      ddxcot-1x=-11+(x)2ddxcot-1x=-11+( x)2

      (3.25)

      ddxsec-1x=1|x|(x)2-1ddxsec-1x=1|x|(x)2-1

      (3.26)

      ddxcsc-1x=-1 |x|(x)2−1ddxcsc−1x=−1|x|(x)2−1

      (3.27)

      Пример 3,65

      Применение формул дифференцирования к функции арктангенса

      Найдите производную f(x)=tan−1(x2).f(x)=tan−1(x2).

      Решение

      Пусть g(x)=x2,g(x)=x2, поэтому g′(x)=2x.g′(x)=2x. Подставляя в уравнение 3.24, получаем

      f′(x)=11+(x2)2·(2x).f′(x)=11+(x2)2·(2x).

      Упрощая, имеем

      f′(x)=2×1+x4.f′(x)=2×1+x4.

      Пример 3,66

      Применение формул дифференцирования к функции обратного синуса

      Найдите производную h(x)=x2sin-1x. h(x)=x2sin-1x.

      Решение

      Применяя правило произведения, мы имеем

      h′(x)=2xsin−1x+11−x2·x2.h′(x)=2xsin−1x+11−x2·x2.

      Контрольно-пропускной пункт 3,46

      Найдите производную h(x)=cos-1(3x-1).h(x)=cos-1(3x-1).

      Пример 3,67

      Применение функции арктангенса

      Положение частицы в момент времени tt определяется выражением s(t)=tan−1(1t)s(t)=tan−1(1t) для t≥12.t≥12 . Найдите скорость частицы в момент времени t=1.t=1.

      Решение

      Начните с дифференцирования s(t)s(t), чтобы найти v(t).v(t). Таким образом,

      v(t)=s′(t)=11+(1t)2·−1t2.v(t)=s′(t)=11+(1t)2·−1t2.

      Упрощая, имеем

      v(t)=−1t2+1.v(t)=−1t2+1.

      Таким образом, v(1)=−12.v(1)=−12.

      Контрольно-пропускной пункт 3,47

      Найдите уравнение касательной к графику f(x)=sin-1xf(x)=sin-1x при x=0.x=0.

      Раздел 3.

      7 Упражнения

      В следующих упражнениях используйте график y=f(x)y=f(x) до

      1. нарисуйте график y=f−1(x),y=f−1(x) и
      2. используйте часть а. для оценки (f−1)′(1).(f−1)′(1).

      260.

      261.

      262.

      263.

      В следующих упражнениях используйте функции y=f(x)y=f(x), чтобы найти

      1. dfdxdfdx при x=ax=a и
      2. х=f−1(y).x=f−1(y).
      3. Затем используйте деталь b. найти df−1dydf−1dy при y=f(a).y=f(a).

      264.

      f(x)=6x−1,x=−2f(x)=6x−1,x=−2

      265.

      f(x)=2×3−3,x=1f(x)=2×3−3,x=1

      266.

      f(x)=9−x2,0≤x≤3,x=2f(x)=9−x2,0≤x≤3,x=2

      267.

      f(x)=sinx,x=0f(x)=sinx,x=0

      Для каждой из следующих функций найдите (f−1)′(a). (f−1)′(a).

      268.

      f(x)=x2+3x+2,x≥-32,a=2f(x)=x2+3x+2,x≥-32,a=2

      269.

      f(x)=x3+2x+3,a=0f(x)=x3+2x+3,a=0

      270.

      f(x)=x+x,a=2f(x)=x+x,a=2

      271.

      f(x)=x−2x,x<0,a=1f(x)=x−2x,x<0,a=1

      272.

      f(x)=x+sinx,a=0f(x)=x+sinx,a=0

      273.

      f(x)=tanx+3×2,a=0f(x)=tanx+3×2,a=0

      Для каждой из заданных функций y=f(x),y=f(x),

      1. найти наклон касательной к обратной функции f−1f−1 в указанной точке P,P и
      2. найти уравнение касательной к графику f−1f−1 в указанной точке.

      274.

      f(x)=41+x2,P(2,1)f(x)=41+x2,P(2,1)

      275.

      f(x)=x−4,P(2,8)f(x)=x−4,P(2,8)

      276.

      f(x)=(x3+1)4,P(16,1)f(x)=(x3+1)4,P(16,1)

      277.

      f(x)=-x3-x+2,P(-8,2)f(x)=-x3-x+2,P(-8,2)

      278.

      f(x)=x5+3×3−4x−8,P(−8,1)f(x)=x5+3×3−4x−8,P(−8,1)

      Для следующих упражнений найдите dydxdydx для заданной функции.

      279.

      y=sin-1(x2)y=sin-1(x2)

      280.

      y=cos-1(x)y=cos-1(x)

      281.

      у=сек-1(1х)у=сек-1(1х)

      282.

      у=csc-1xy=csc-1x

      283.

      y=(1+tan-1x)3y=(1+tan-1x)3

      284.

      y=cos-1(2x)·sin-1(2x)y=cos-1(2x)·sin-1(2x)

      285.

      y=1tan-1(x)y=1tan-1(x)

      286.

      у=сек-1(-х)у=сек-1(-х)

      287.

      y=раскладушка-14-x2y=раскладушка-14-x2

      288.

      у=х·csc-1xy=х·csc-1x

      В следующих упражнениях используйте данные значения, чтобы найти (f−1)′(a).(f−1)′(a).

      289.

      f(π)=0,f′(π)=−1,a=0f(π)=0,f′(π)=−1,a=0

      290.

      f(6)=2,f′(6)=13,a=2f(6)=2,f′(6)=13,a=2

      291.

      f(13)=−8,f′(13)=2,a=−8f(13)=−8,f′(13)=2,a=−8

      292.

      f(3)=12,f′(3)=23,a=12f(3)=12,f′(3)=23,a=12

      293.

      f(1)=−3,f′(1)=10,a=−3f(1)=−3,f′(1)=10,a=−3

      294.

      f(1)=0,f′(1)=−2,a=0f(1)=0,f′(1)=−2,a=0

      295.

      [T] Положение движущейся хоккейной шайбы через tt секунд равно s(t)=tan−1ts(t)=tan−1t, где ss выражено в метрах.

      1. Найти скорость хоккейной шайбы в любой момент времени t.t.
      2. Найти ускорение шайбы в любой момент времени t.t.
      3. Оценка a. и б. для t=2,4,t=2,4 и 66 секунд.
      4. Какой вывод можно сделать из результатов в с.?

      296.

      [T] Здание высотой 225 футов отбрасывает в течение дня тень различной длины xx. Угол возвышения θθ образован линиями, идущими от верха и низа здания к кончику тени, как показано на следующем рисунке. Найдите скорость изменения угла места dθdxdθdx, когда x=272x=272 фута.

      297.

      [T] Столб высотой 75 футов. Угол θθ образуется, когда провода различной длины xx футов присоединяются от земли к вершине столба, как показано на следующем рисунке. Найти скорость изменения угла dθdxdθdx, когда проволока длиной 90 футов прилагается.

      298.

      [T] Телевизионная камера на уровне земли находится на расстоянии 2000 футов от стартовой площадки космической ракеты, которая настроена на вертикальный взлет, как показано на следующем рисунке.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *