Найти производную первого порядка: Дифференцирование функции, заданной неявно

§ 2. Дифференцирование функций

2.1. Функции одного переменного. Основными понятиями дифференциального исчисления являются производная функции и дифференциал функции. При этом функции, имеющие конечные производные, называются дифференцируемыми. Для таких функций можно доказать ряд теорем, из которых следуют правила нахождения производных для алгебраической суммы, произведения и частного дифференцируемых функций:

; (2.1)

; (2.2)

; (2.3)

. (2.4)

Равенство (2.3) основано на том, что производная постоянной функции (константы) равна нулю; оно означает, что при дифференцировании константа выносится за знак производной.

В Таблице 2.1 формулы для производных элементарных функций приводятся как для случая независимого аргумента (левый столбец), так и для сложной функции (правый столбец).

Таблица 2.1

Таблица основных производных

1) ,

2)

3)

4)

5)

6) ,

7)

8) ,

9)

10)

11)

12)

13)

1)

2)

3)

4)

5)

6) ,

7)

8) ,

9)

10)

11)

12)

13)

Чтобы найти производную функции в точке , необходимо сначала найти , а затем в полученное выражение подставить заданное значение .

Пример 2.1. Найти производную функции в произвольной точке и при x=1.

Решение. Применим формулы (2.4), (2.1) и (дважды) формулу производной степенной функции:

Итак, Чтобы выполнить второе задание, подставим вместо x числовое значение 1: .

Дифференциал функции , играющий важную роль в исследовании функций (а также позволяющий при необходимости находить приближенное значение функции), можно найти по формулам:

, (2.5)

(для произвольной точки из области определения) и

(2.6)

(для фиксированной точки x=a).

Пример 2.2. Найти дифференциал функции .

Решение. Сначала воспользуемся формулой (2. 2) и табличной производной косинуса для сложной функции:

С учетом формулы (2.5) получаем:

Пример 2.3. Найти в точке производную функции и дифференциал функции в этой точке.

Решение. Предварительно «подготовим» функцию к дифференцированию: . Теперь воспользуемся формулами производных для степенной функции и функции (из таблицы), а также формулами (2.1), (2.3):

Подставляем значение : .

Для определения дифференциала функции воспользуемся формулой (2.6):

Ответ: ;

При определенных условиях определены производные и дифференциалы старших порядков, в частности, второго порядка, при этом:

(2.7.)

, (2. 8)

(2.9)

Пример 2.4. Для функции найти производную второго порядка ( ) и дифференциал второго порядка в точке x=2.

Решение. Сначала найдем первую производную:

Далее воспользуемся (2.7):

Подставляем значение x=2:

Наконец, используем (2.9):

2.2. Дифференцирование функций двух переменных. При дифференцировании функции по одной из независимых переменных (x или y) вторая фиксируется и считается константой. Применяются уже знакомые правила (2.1)-(2.4) и формулы из таблицы производных, однако при записи обязательно указывается, по какой переменной происходит дифференцирование. Так, для частной производной первого порядка по x используются обозначения или . Аналогично запись обозначает частную производную первого порядка по y.

Для полного дифференциала функции в произвольной точке и в фиксированной точке M(a;b) справедливы формулы:

(2.10)

(2.11)

Как и для функции одного переменного, можно находить частные производные старших порядков. Например, для частных производных второго порядка справедливы правила

; (2.12)

Полный дифференциал второго порядка (в произвольной или фиксированной точке) находится по формулам

(2.13)

(2.14)

Заметим, что если исходная функция удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам, то справедливо равенство . В этом случае говорят, что «смешанные производные второго порядка» совпадают, или что «порядок дифференцирования не играет роли».

Пример 2. 5

. Найти частные производные (по x и по y) первого порядка функции , выписать полный дифференциал этой функции.

Решение. Чтобы найти , необходимо зафиксировать переменную y. Тогда получаем степенную функцию от x (y — показатель степени), а потому . Фиксируя x, получаем показательную функцию от y, поэтому . Применяя теперь формулу (2.10), получим:

.

Пример 2.6. Найти в точке М(1;2) полный дифференциал функции ).

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка, используя (2.1)-(2.3):

.

В данном случае числовые коэффициенты и переменная y выступали в роли констант: во втором слагаемом они были вынесены за скобки при дифференцировании, а третье слагаемое от x не зависело – поэтому его производная по x равна нулю. Аналогично ищем производную по

y (фиксируем x):

.

Здесь первое и четвертое слагаемые от y не зависят, их производные по y равны нулю.

Теперь вычисляем значения производных в данной точке: ; .

Воспользовавшись (2.11), окончательно имеем:

Пример 2.7. Найти частные производные второго порядка функции и выписать полный дифференциал второго порядка в точке M(0;1).

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка. Следует обратить внимание на то, что при фиксированном y функция представляет собой произведение двух функций, зависящих от x, а при фиксированном x это константа, умноженная на функцию от y. Применяя (2.1)-(2.3), имеем:

;

Теперь воспользуемся формулами (2.12), причем найдем лишь одну (любую) из смешанных производных:

Находим частные производные второго порядка в заданной точке M(0;1):

; ;

.

Чтобы выписать дифференциал второго порядка, используем (2.14):

.

Замечание. При нахождении частных производных второго порядка в качестве проверки можно было найти вторую смешанную производную и убедиться, что результаты совпадают:

Как найти производную первого порядка

Понятие производной, характеризующее скорость изменения функции, является основным в дифференциальном исчислении. Производной функции f(x) в точке x0, называется следующее выражение: lim(x→x0) (f(x) – f(x0)) / (x – x0), т.е. предел к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке (f(x) – f(x0)) к соответствующему приращению аргумента (x – x0).

Чтобы найти производную первого порядка, пользуйтесь следующими правилами дифференцирования.

Во-первых, на забывайте самые простые из них — производная константы равна 0, а производная переменной равна 1. Например: 5’ = 0, x’ = 1. 2 + x + 1) * (2 * x + 1).



Как понизить силу тока

Для чего нужен транспортир

Как получить ток

Как начертить овал

Как представить число в виде обыкновенные дроби

Несколько фактов о пустыне Сахара

Проверка первой производной

Проверка первой производной используется для проверки возрастания или убывания функции в своей области определения и определения ее локальных максимумов и минимумов.

Первая производная — это наклон линии, касательной к графику функции в данной точке. Может быть полезно думать о первой производной как о наклоне функции. При положительном наклоне график увеличивается.

Когда он отрицательный, график убывающий. Точки, в которых наклон равен 0, называются критическими точками и являются точками, которые могут быть локальными минимумами или максимумами. Первый тест производной включает проверку поведения функции вокруг этих точек, чтобы определить, являются ли они локальными минимумами или максимумами.

Проверка первой производной основана на том факте, что знак первой производной не меняется между критическими точками. Таким образом, если мы находим критические точки функции, мы можем проверить точки в интервалах между критическими точками, чтобы определить, возрастает или убывает функция на этих интервалах. Затем, определив, увеличивается или уменьшается функция до и после критической точки, мы можем определить, является ли точка минимумом, максимумом или ни тем, ни другим.

Для заданной дифференцируемой функции тест первой производной можно использовать для нахождения локальных минимумов или максимумов функции, выполнив следующие шаги:

  1. Найти f'(x).
  2. Найдите f'(x) = 0 или undefined, чтобы найти критические точки функции.
  3. Проверка точки в каждом интервале между критическими точками, чтобы определить, увеличивается или уменьшается функция в пределах интервала; функция возрастает в точке а, если f'(a) > 0; оно убывает в точке a, если f'(a)

После нахождения критических точек функции можно применить тест первой производной. Пусть критическая точка a такая, что f'(a) = 0,

  • Если f’ меняется с положительного на отрицательное при x = a, то f имеет локальный максимум в точке a.
  • Если f’ меняется с отрицательного на положительное в точке x = a, то точка является локальным минимумом в точке a.
  • Если f’ не меняет знака в точке x = a, то f не имеет локальных экстремумов в точке a.

Пример

Найдите любой относительный экстремум для f(x) = x 3 — 12x + 1.

Сначала продифференцируйте функцию:

Затем найдите f'(x) = 0 или undefined. В этом случае, поскольку f(x) является многочленом, он определен во всей своей области определения, и нам нужно решить только для f'(x) = 0.

Таким образом, x = -2 или 2. Это критические точки f(x), поэтому интервалы, которые нам нужно проверить, равны (-∞, -2), (-2, 2) и (2, ∞). Напомним, что внутри этих интервалов знак f’ не меняется, поэтому нам нужно выбрать только одну точку в каждом интервале. Подстановка x = -3, 0 и 3 в f’,

находим, что f’ положительна на интервале (-∞, -2), отрицательна на интервале (-2, 2) и положительна на интервале (2, ∞), что означает что график f(x) увеличивается, уменьшается и увеличивается на этих соответствующих интервалах, как показано в таблице ниже:

Интервал Знак f’ f увеличивается/уменьшается
(-∞, -2) + увеличение
(-2, 2) уменьшение
(2, ∞) + увеличение

Используя эту таблицу, мы можем затем определить, имеет ли f(x) локальные экстремумы в этих критических точках. Поскольку знак f’ меняется с положительного на отрицательный при x = -2, f имеет максимум при x = -2; поскольку знак f’ меняется с положительного на отрицательный при x = 2, f имеет минимум при x = 2, что мы можем подтвердить на графике ниже:




Производные второго порядка в непрерывности и дифференцируемости | Класс 12 Математика

Производная второго порядка определяется как производная от первой производной данной функции. Производная первого порядка в данной точке дает нам информацию о наклоне касательной в этой точке или о мгновенной скорости изменения функции в этой точке. Производная второго порядка дает нам представление о форме графика данной функции. Вторая производная функции f(x) обычно обозначается как f”(x) . Он также обозначается D 2 y или y 2 или y», если y = f(x) .

Пусть y = f(x)

Тогда dy/dx = f'(x)

Если f'(x) дифференцируема, мы можем снова продифференцировать (1) относительно x. Тогда левая часть становится d/dx(dy/dx), которая называется производной второго порядка от y относительно x.

Пример 1: Найдите d 2 y/dx 2 , если y = x 3 ?

Решение:

Учитывая, что, y = x 3

Затем, первым производным будет
DY/DX = D/DX (x 3 ) = 3x 2

) = 3x 2

) , мы будем дифференцироваться, чтобы найти его
секунду,

Следовательно, D 2 Y/DX 2 = D/DX (DY/DX)

= D/DX (3x 2 )

= D/DX (3x 2 )

. = 6x                

Примечание: d/dx (x n ) = nx n – 1 , где n — степень, возведенная в x.

Пример 2 : Найти d 2 y/dx 2 , если y = Asinx + Bcosx, где A и B константы?

Решение:

Учитывая, что, y = asinx + bcosx

Затем первым производным будет

dy/dx = d/dx (asinx + bcosx)

= d/dx (sinx) + B d/dx (cosx)

          = A(cosx) + B(-sinx)

          = Acosx – Bsinx

Снова продифференцируем далее, чтобы найти ее вторую производную, DY/DX)

= D/DX (ACOSX -BSINX)

= A D/DX (COSX) -B D/DX (SINX)

= A (-SINX) -B (COSX)

= — Asinx – Bcosx

             = -(Asinx + Bcosx)

             = -y

ПРИМЕЧАНИЕ:

D/DX (SINX) = COSX

D/DX (COSX) = -SINX

Пример 3: y = logx, найдите D 2 Y/DX 2: ?

Решение:

Учитывая, что, y = logx

, затем первая производная будет,

dy/dx = d/dx (logx)

= (1/x)

снова, мы будем далее дифференцировать, чтобы найти его вторую производную,

d 2 Y/DX 2 = D/DX (DY/DX)

= D/DX (1/x) (из первого производного)

= -1/x 2

Пример 4: Y = e x sin5x, Найти d 2 y/dx 2 ?

Решение:

Учитывая, что y = e x sin5x

Тогда первая производная будет
 

dy/dx = d/dx (e x SIN5X)

= E x D/DX (SIN5X) + SIN5X D/DX (E x ) (Правило умножения)

= E x (COS5X. 5) + SIN5X. e x

          = e x (5cos5x + sin5x)

Снова продифференцируем, чтобы найти вторую производную,

d 2 y/dx

2 2 = dy/dx

1 2 )

             = d/dx (e x (5cos5x + sin5x))

             = e x d/dx (5cos5x + sin5x) + (5cos5x + sin5x) d/dx(e x )

               = e x (d/dx (5cos5x) + d/dx (sin5x)) 5cos5x + sin5x) d/dx (E x )

= E x (5 (-Sin5x) 5 + 5Cos5x) + (5Cos5x + sin5x) (E x )

= E x ( -25sin5x + 5cos5x + 5cos5x + sin5x)

             = e x (10cos5x – 24sin5x)

             = 2e 9025x x 0003

Примечание: Правило дифференцирования умножения
d(uv) / dx = (u. dv/dx) + (v. du/dx)

Второй порядок

Производные функции в параметрической форме

Для вычисления второй производной функции в параметрической форме дважды используем цепное правило. Следовательно, чтобы найти вторую производную, мы находим производную по t от первой производной, а затем делим на производную от x по t. Предположим, что x = x(t) и y = y(t), тогда его параметрическая форма во втором порядке:

Первая производная: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)

Вторая производная: d 2 y/dx 2 = d/dx (0/dx) = d/dx

= d/dt (dy/dx)/(dx/dt)

Примечание: совершенно неправильно писать вышеуказанную формулу как D 2 y/dx 2 = (D 2 y/dx 2 = (D 2 Y/DX . dt 2 ) / (d 2x /dt 2 )

Пример: если x = t + стоимость, y = sint, найдите вторую производную.

Решение:

Указано, что, x = t + stost и y = sint

Первая производная,

dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

= dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

= (dy/dt)/(dx/dt)

= (dy/dt)/(dx/dt)

. (d / dt (sint)) / (d / dt (t + stost))

= (стоимость) / (1- sint) — (1)

Второе производное,

D 2 Y / dx 2 = d/dx (dy/dx)

              = d/dx (cost / 1 – sint)                                                                    0088

= D / DT (Стоимость / 1-SINT) / (DX / DT) — (правило цепи)

= ((1-SINT) (-SINT)-Стоимость (-cost)) / (1 — SINT) 2 / (DX / DT) — (Правило коэффициента)

= (-SINT + SIN 2 T + COS 2 T) / (1- SINT) 2 / ( 1 – sint)

              = (-sint + 1) / (1 – sint) 3

                   = 1 / (1 – sint) 2

Примечание:

2) Цепное правило: dy/dx = (dy/du) . (du/dx)

Графическое представление производных второго порядка

Графически первая производная представляет наклон функции в точке, а вторая производная описывает, как наклон изменяется в зависимости от независимой переменной в график.

На этом графике синяя линия указывает наклон, т.е. первую производную данной функции. Например, мы используем критерий второй производной для определения максимума, минимума или точки перегиба. Вторая производная данной функции соответствует кривизне или вогнутости графика. Если значение производной второго порядка положительно, то график функции вогнут вверх. Если значение производной второго порядка отрицательно, то график функции открыт вниз.

Вогнутость функции

Пусть f(x) — дифференцируемая функция на подходящем интервале. Тогда график f(x) можно классифицировать как:

Вогнутый вверх: Участок кривой вогнут вверх, если значение y растет все быстрее и быстрее, двигаясь слева направо.

Вогнутость вниз: Противоположность вогнутости вверх, при которой значение y уменьшается слева направо, называется вогнутостью вниз.

Точки перегиба: Точки перегиба — это точки, в которых функция меняет вогнутость, т.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *